5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir.

Transkript

1 1. KÜMELER 5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, A B cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? (51) Şekildeki gibi A, B, C kümeleri veriliyor. Taranmış bölge hangi cümleyi gösterir? (C) A) (A B) C B) (A-B) C C) A (B-C) D) (A B) C E) A (B C) kişilik bir sınıfta Fransızca bilenler kümesi F, Almanca bilenler kümesi A dir. s( F ) = 8, ( ) 9 s A =, s( A F) = 14 olduğuna göre, bu sınıfta sadece Almanca bilen kaç kişidir? ( s( X ), X kümesinin eleman sayısını. X, X kümesinin tümleyenini göstermektedir.) (5). Bir A cümlesinin 3 ten az elemanlı alt cümlelerinin sayısının 9 olması için, A kaç elemanlı olmalıdır? (7) 3. A = { x : x 5} ve B = { x : < x < 7} olduğuna göre (A B) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? (E) A) { x : x < veya x 7} B) { x : x veya x > 7} C) { x : < x 5} D) { x : x < veya x 5} E) { x : x veya x > 5} 7. A ve B herhangi iki kümedir. A B, A B ve A B kümelerinin tüm alt kümeleri sayıları sıra ile 18, 1, 8 olduğuna göre B A kümesinin eleman sayısı nedir? (4) 8. Bir kentte yapılan bir sayımda ailelerin % 70 inde televizyon, % 75 inde çamaşır makinesi bulunduğu saptanmıştır. Ailelerin en az yüzde kaçında hem televizyon hem de çamaşır makinesi bulunabilir? (45) kişilik bir grup, İngilizce, Fransızca hem İngilizce hem Fransızca bilen yada hiçbirini bilmeyen kişilerden oluşmaktadır. Bu grup da İngilizce bilmeyenlerin sayısı 1 dir. İngilizce veya Fransızca dan en çok birisini bilenlerin sayısı 6 ve Fransızca bilmeyenlerin sayısı 1 olduğuna göre hiç birini bilmeyenlerin sayısı kaçtır? (7) 9. A ve B iki kümedir. s A. s B s A B = ( ) = ( ), ( ) 10 ve A B kümesinin alt kümeleri sayısı 16 olduğuna göre A B kümesin eleman sayısı kaçtır? (17) 1

2 10. Bir kümenin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı 5 elemanlı altkümelerinin sayısına eşittir. Bu kümenin en fazla 3 elemanlı alt kümeleri sayısı nedir? (130) 14. A ile B kümeleri için A B B A s A B = ( ) 8 ( B) = s A olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? (5) A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) Basketbol veya voleybol oynayanların olduğu bir sınıfta, hem basketbol hem voleybol oynayanların sayısı 7, voleybol veya basketbolden en az birini oynayanların sayısı 16 dır. Basketbol oynayanların sayısı, voleybol oynayanlardan 5 fazla olduğuna göre, bu sınıfta basketbol oynayan kaç kişidir? (7) 15. Bir sınıfta öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her iki kursa da gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir? (53) 1. Voleybol, futbol ve basketbol sporlarından en az birini yapan sporculardan oluşan 60 kişilik bir sporcu kafilesinde; I. Her üç sporu da yapanların sayısı 6, II. Sadece voleybol, sadece futbol ve sadece basketbol oynayanların sayıları birbirine eşit III. Bu sporculardan herhangi ikisini yapanların yani voleybol ve futbol futbol ve basketbol voleybol ve basketbol oynayanların sayıları eşittir. Buna göre voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır? (4) 13. Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oynayanlar 3, voleybol oynayanlar 1, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre kafilece kaç sporcu vardır? (41) 16. En az birer elamanı bulunan farklı A ve B A \ B B = A eşitliğini gerçekliyorsa bu kümeleri ( ) kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? (A) A) B A B) A B C) A B= D) A B=B E) (A B) =B 17. A={Sınıftaki gözlüklü öğrenciler} B={Sınıftaki sarışın öğrenciler} C={Sınıftaki erkek öğrenciler} D={Sınıftaki kız öğrenciler} C A B D kümesi olduğuna göre, ( ) ( ) aşağıdakilerden hangisidir? (A) A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler} B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler} C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğrenciler} D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler}

3 18. M ve N kümeleri M = a, b, 1,, { { } } { } { } N = a,1,, olduğuna göre, M \ N fark kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? (8) 19. A = { x 1 x 100, x = 4 n, n N } B = { y 8 < y < 900, y = 6 k, k N } olduğuna göre, A B nin eleman sayısı kaçtır? (74) 3.Bir kümenin en fazla iki elamanlı alt kümeleri sayısı dir. Bu kümenin en az 4 elemanlı alt kümeleri sayısı nedir? () kişilik bir gruptaki öğrenciler İngilizce ve Fransızca dilinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı, Fransızca bilenlerin 3 katıdır. Buna göre, sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? (3) A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, \ 4 s A B = 3 s( E ) = 1, s( A B ) =, ( ) olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? (5) 0. A, B herhangi iki küme ve A B, A B, B \ A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 51, 3 ve 4 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? () 1. E evrensel küme olmak üzere, s E = ( ) 9 s( A B) = 3 s( A B) = 6 s( B ) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? (4) 6. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3. s A B = 4. s A B = 5. s B A ( ) ( ) ( ) olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? (47) 7.. s( A ) = 8, ( ) s B \ A = 3 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? (11) Yukarıdaki şemada taralı küme aşağıdakilerden hangisine eşittir? (E) A) K L M B) (K L)\M C) (M L)\K D) (K M)\(K L M) E) (L (K M))\(K L M) 3

4 8. Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının katı, her iki dili bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? (3) { } 33. A m, n, { x},{ m, n} = kümesinin hem alt kümesi hem de elemanı olan kümeleri yazınız? 34. s( A) = n olan bir A kümesinin n 1 tane özalt kümesi vardır. Buna göre n sayısı ne olabilir? ({, 4 } ) 9. Pozitif tamsayılardan oluşan { 100,, + } { 151, 3, + } A = x x < x = n n Z B = x x < x = n x Z kümeleri veriliyor. A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? Buna göre, ( ) (93) 35.Bir sınıftaki öğrencilerin 1 i matematikten, 17 si fizikten, 13 ü kimyadan kalmıştır. Buna göre ; 1 öğrenci matematik ve fizikten 6 öğrenci matematik ve kimyadan 5 öğrenci fizik ve kimyadan öğrenci her üç dersten kaldığına göre tek bir dersten kalanların mevcudu nedir? (11) 30. Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına oranı 3 dir. Erkeklerin %0 si futbol 7 oynadığına göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın % kaçıdır? (4) 36. İngilizce, Fransızca, Almanca dillerinden en çok üçünü bilenlerden oluşan bir grupta En az iki bilenler 14, En çok bir dilenler 8, En çok iki dil bilenler 15 kişi olduğuna göre bu dillerin üçünüde bilenlerin sayı nedir? (7) 31. Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s N = 4. s M ( ) ( ) ( \ ) = 5. ( \ ) s N M s M N olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? (16) 37.A ve B iki kümedir. s( A) = s( B) = 3 s( B A) B kümesinin alt küme sayısı 8 dir. Buna göre A B kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? (6) 3. Özalt kümeleri sayısı 4a + 3 olan bir kümenin, eleman sayısı azaltıldığında alt kümeleri sayısı ne kadar azalır? (3a + 3) 38.A ve B kümeleri için s( A) = s( B) + s( A B) ve s( B) = n,( n > ) olduğuna göre A B nin tüm alt kümelerinin sayısı nedir? ( n ) 4

5 39. s( A B) = n olan A B kümesinin tüm alt 75 kümeleri sayısı 16 n dir. s( A B), s( A B), s( B A) sırasıyla,3,5 sayıları ile orantılıdır. Buna göre, A B kümesi kaç elemanlıdır? (30) 44. A { a, b, c, { c},{ a, b}, k} = olduğuna göre A kümesinin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı nedir? () 40. A { a, b, c, d, e, f, g} = kümesinin dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde; a) a varken b bulunmaz. b) a ve b birlikte bulunur. c) a, b ve c den en az biri bulunur. d) a varken b ve c bulunmaz. e) Hem a hem de c bulunmaz. f) a veya c bulunmaz. g) a veya b bulunur. 45.En çok iki seçmeli dersin seçilebildiği bir sınıfta; A dersini seçen 1 öğrenci, A dersini seçmeyen 13 öğrenci, B dersini seçmeyen 10 öğrenci vardır. Her iki derside seçenler hiçbirini seçmeyenlerin iki katı olduğuna göre, yalnız B dersini seçen kaç öğrenci vardır? (11) 46. Taralı bölgeyi gösteren ifadeyi yazınız? 41.Tamsayılar kümesi evrensel küme olmak üzere { x x 3 4} A = ise A kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde asal sayılardan en az biri eleman olarak bulunur? (11) B A C 4.A ve B ayrık olmayan iki kümedir. A kümesinin eleman sayısı B kümesinin eleman sayısından fazla ve A B kümesi 18 elemanlı olduğuna göre A kümesi en az kaç elemanlı olabilir? (11) 47. A = { a, b, c} ve C { a, b, c, d, e, f, g} = kümeleri veriliyor. A B C olmak koşuluyla en çok kaç farklı B kümesi yazılabilir? (16) 43.A ve B birbirinden farklı boş olmayan iki ( B A) A ( B B ) =? ( ) kümedir. [ ] 48. A E, B E, s( A) = 6, s( A ) = 1, s( B ) = 13 olduğuna göre, B kümesinin alt küme sayısı kaçtır? (3) 5

6 49.31 kişilik bir sınıfta matematikten geçenlerin sayısı fizikten geçenlerin iki katı, her ikisinden kalanların dört katıdır. Matematik veya fizikten geçenlerin sayısı 6 kişi olduğuna göre yalnız bir dersten geçen kaç kişi vardır? () 54. A = { 1,,3, 4,5,6,7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az iki tek sayı bulunur? (88) a A = x x =, x, a N ise A kümesinin a alt küme sayısı nedir? (16) 55. Bir otobüste Almanca veya İngilizce dillerinden en az birini bilen 7 kişi vardır. Otobüste her durakta biri almanca ve biri İngilizce bilen iki kişi veya her iki dili bilen bir kişi iniyor. 15 durak sonunda otobüste yalnızca İngilizce bilen iki kişi kaldığına göre otobüste dil bilen kaç kişi vardır? (5) 51. E =Z evrensel küme { : } A = x Z x x + > kümesi veriliyor. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı eleman olarak bulunur? (11) A 56. Bir sınıftaki öğrenciler matematik ve fizik derslerinden en az birinden başarılı olmuşlardır. Matematikten başarılı olanlar sınıfın %70 i bu dersten A alanlar başarılı olanların %30 udur. Aynı sınıfta fizikten başarılı olanlar sınıfın %85 idir. Bu sınıfta fizikten başarılı olanlardan matematikten A alanlar en az % kaçtır? (6) 5.Bir güzellik yarışmasında sarışın kahverengi gözlü olanların sayısı; esmer kahverengi olanların sayısının yarısına, esmer mavi gözlü olanların sayısının 3 katının bir eksiğine, sarışın mavi gözlü olanların sayısının 1 üne eşittir. Yarışmaya 37 4 bayan katıldığına göre sarışın mavi gözlü olanların sayısı kaçtır? (0) 57. A= { 1,,3,4,5,6} kümesinin en çok dört elemanlı kaç alt kümesinde elemanı varken 3 elemanı bulunmaz? (15) 58. s( A B) = 3s( A), s( A B) ( ) 4 ( ) =, s B = s A B ise B kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? (10) 53. A ve B kümeleri için A kümesinin eleman sayısı, B kümesinin eleman sayısından 1 fazladır. Bu iki kümenin alt küme sayılarının aritmetik s A B nin alabileceği farklı ortalaması 96 ise ( ) değerlerin toplamı kaçtır? (70) 59. s( A) = a ve s( B) = b olan A ve B iki ayrık kümedir. Birinin özalt kümelerinin sayısı diğerinin a b alt küme sayısından 7 fazladır. 4 4 = 19 6

7 olduğuna göre ( A B) kümesinin kaç tane iki elemanlı alt kümesi vardır? (1) 60. n elemanlı bir kümenin, 4 elemanlı alt küme sayısı; n 8n 14 elemanlı altkümelerinin sayısına eşit ise bu kümenin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? (56) 65. Bir sınıfta resim veya müzik dersini seçenlerle hiçbirini seçmeyen öğrenciler vardır. Her iki dersi seçenlerin sayısı yalnız tek dersi seçenlerin sayısından 3 fazladır. Sınıf mevcudu 53 olduğuna göre, yalnız resim dersini seçen en çok kaç öğrenci olabilir? (4) 61. Bir B kümesinin elemanlarının 3 i A kümesinin 5 elemanı değildir. A kümesinin elemanlarının 3 ü B 66. Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısının 3 katıdır. Kız öğrencilerden oluşturabilecek ikişerli grupların sayısı sınıftaki toplam öğrenci sayısına eşit ise sınıfta kaç öğrenci vardır? (36) kümesinin elemanı değildir. s A B = 54 s B A=? (18) ( ) ( ) 67. s( A) =, A K ve K B A K B şeklinde yazılabilecek K kümesi sayısı 6 ise s( B ) =? (8) kişilik bir sınıfta, gözlüksüz erkeklerin sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının 5 katı ve gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü kızların sayısının katıdır. Gözlüksüz erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısından 7 fazla olduğuna göre sınıfta kaç tane gözlüklü öğrenci vardır? (7) 68. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt 3s B = 4s A B = 5 s A B ve kümeleridir. ( ) ( ) ( ) s( A ) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? (0) kişilik bir grupta yalnız A dilini bilen 6x, 3 yalnız B dilini bilen x ve her iki dili bilen 1x kişi vardır. Bu grupta B dilini bilen kaç kişi vardır? () 69. A { x : x } 4x 4 3, x = + Z ve { 3,, 1} tümleyeni olmak üzere ( A B) B = kümeleri veriliyor. A = A nın kümeleri sayısı kaçtır? (1) kümesinin alt 64. A,B,C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere A B ( E C ) s( C) s( B) s( A) ve = 4 = 8 bağlantıları veriliyor. s B A= ise s( C B) + s( C A) =? (49) ( ) A { x : x 1 x 6, x } B { x : x 1 3, x } = + Z ve = Z kümeleri veriliyor. Buna göre, s( B A)? = () 7

8 KÜME KAVRAMI Modern matematiğin en önemli ve temel öğelerinden biri küme kavramıdır. Kümeler teorisinin dili ve teknikleri matematiğe ve bilimin diğer birçok branşına temel teşkil eder. Kümenin, matematiğin tanımsız terimlerinden biri olduğunu mantık konusunda söylemiştik:. Bundan dolayı küme aksiyomatik bir yapıya sahiptir. Yani, kümeyi ve kümeye bağlı olan birçok terimin doğruluğunu ispatlayamayız, fakat doğru olduğunu kabul ederiz. Ünlü Alman matematikçi Georg Cantor ( ) ilk kez 1875 yılında kümenin tanımım nesneler topluluğu olarak yapmış ve bu tanım anlaşılması kolay olduğu için kabullenmiştir. İpucu : Bu özelliklere uygun bir Venn şeması aşağıdaki gibi çizilebilir. Alman İşçiler Kadın Erkek c a b 40 a Türk İşçiler Arabası olan İşçiler a b Mustafa Kemal ATATÜRK Atatürk ün çok yönlü evrensel kişiliği, İlginç Bir Soru : 480 Alman ve Türk işçisinin çalıştığı bir fabrikada, erkek işçilerin sayısı kadın işçilerden 40 eksik ve araba sahibi olan işçilerle araba sahibi olmayan işçilerin sayısı birbirine eşittir. Arabası olan Alman kadın işçilerin sayısı, arabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısının iki katı ve arabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı ise arabası olmayan Alman erkek İşçilerin sayısından 60 fazladır. Ayrıca arabası olan ve olmayan Alman erkek işçilerin sayısı da birbirine eşinir. Arabası olan Türk kadın işçilerin sayısı 40 ve arabası olan Türk erkek işçilerin sayısı 60 olduğuna göre uygun bir Venn şeması çizerek aşağıdakileri hesaplayınız. a. Türk işçilerin sayısı, b. Alman işçilerin sayısı, c. Arabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısı, d. Arabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı, e. Arabası olan Alman erkek işçilerin sayısı, j. Arabası olmayan Alman erkek işçilerin sayısı, g.arabası olmayan Alman kadın işçilerin sayısı, insanlığın tarihinde, sürekli çağdaşlaşmanın büyük ve dinamik bir öncüsünü simgelemekte, evrensel düşünceleri ve uygulamaları güncelliğini sürdüre gelmektedir, İlkin, şu gerçeği açıklayalım ki, Atatürkün evrensel başarısını tek bir temel etkene bağlamak kesinlikle olanaksızdır. Onda çok belirgin olan matematiksel düşünüş, özgün düşünce yapısının sadece bir yanı ama çok önemli bir yanıdır. Atatürkün bir yeteneği yeterince değerlendirilmeden, düşünce yapısını tam olarak kavramak olanaksızdır. Dünyada her şey için, maddiyat için, maneviyat için, hayat için, muvaffakiyet için en hakiki yol gösterici ilimdir, fendir. İlim ve fennin dışında kılavuz aramak dalgınlıktır, bilgisizliktir; doğru yoldan sapmaktır. Yalnız ilmin ve fennin yaşadığımız her dakikadaki safhalarının gelişmesini kavramak ilerlemelerini zamanında izlemek şarttır. Bin, iki bin, binlerce sene evvelki ilim ve fen ve dilin çizdiği kuralları, şu kadar bin sene sonra bugün aynen uygulamaya kalkışmak, elbette ilim ve fennin içinde bulunmak değildir. Gazi Mustafa Kemal, 193 h. Arabası olan Alman kadın işçilerin sayısı. 8

9 Dosya adı: Dizin: Şablon: KÜMELER TÜMÜ C:\Users\TOLGA\Documents mal.dotm Başlık: 1 Konu: Yazar: TOLGA Anahtar Sözcük: Açıklamalar: Oluşturma Tarihi: :50:00 Düzeltme Sayısı: 9 Son Kayıt: :10:00 Son Kaydeden: EGESU Düzenleme Süresi: 408 Dakika Son Yazdırma Tarihi: :57:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 8 Sözcük Sayısı:.743(yaklaşık) Karakter Sayısı: (yaklaşık) C:\Users\TOLGA\AppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor