NTEGRAL VE NTEGRO-D FERANS YEL DENKLEMLER N YARI-ANAL T K ÇÖZÜMLER ÜZER NE

Transkript

1 EGE ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ (YÜKSEK LSANS TEZ) NTEGRAL VE NTEGRO-DFERANSYEL DENKLEMLERN YARI-ANALTK ÇÖZÜMLER ÜZERNE Meryem ODABAI Matematik Anabilim Dal Bilim Dal Kodu: Sunu Tarihi: Tez Danman: Doç. Dr. Emine MISIRLI Bornova-ZMR

2 II

3 III Meryem ODABAI tarafndan YÜKSEK LSANS tezi olarak sunulan ntegral ve ntegro-diferansiyel Denklemlerin Yar-Analitik Çözümleri Üzerine balkl bu çalma E.Ü. Lisansüstü Eitim ve Öretim Yönetmelii ile E.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Eitim ve Öretim Yönergesi nin ilgili hükümleri uyarnca tarafmzdan deerlendirilerek savunmaya deer bulunmu ve 31/1/28 tarihinde yaplan tez savunma snavnda aday oybirlii / oyçokluu ile baarl bulunmutur. Jüri Üyeleri: mza Jüri Bakan : Doç. Dr. Emine MISIRLI... Raportör Üye : Prof. Dr. Turgut ÖZ... Üye : Doç. Dr. Ünal UFUKTEPE...

4 IV

5 V ÖZET NTEGRAL VE NTEGRO-DFERANSYEL DENKLEMLERN YARI -ANALTK ÇÖZÜMLER ÜZERNE ODABAI, Meryem Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Emine MISIRLI Ekim 28, 93 sayfa Bilindii gibi integral denklemlerin teori ve uygulamalar, uygulamal matematikte önemli bir yere sahiptir. Birçok fiziksel olgu integral denklemlerin çeitli tipleriyle modellenebilir. Bu çalmada integral denklemlerin baz nümerik ve yar-analitik çözüm yöntemleri ele alnmaktadr. Giri bölümü dnda bu tez esas olarak iki bölümden olumaktadr. Giri bölümünde tezin amac ve kapsam açklanmaktadr. kinci bölümde, integral denklemler ile ilgili temel kavramlar verilip integral denklem tipleri tantlmtr. Üçüncü bölümde, Volterra integral denklemleri için baz nümerik ve yar-analitik yöntemler verilmi ve ele alnan farkl örnekler üzerinde yöntemlerin kapasiteleri aratrlmtr. Daha önce çeitli yöntemler ile çözümü elde edilen integral ve integro-diferansiyel denklemlere yaranalitik yöntemler olan homotopi-pertürbasyon ve varyasyonel iterasyon yöntemleri uygulanm ve tam çözümler elde edilmitir. Anahtar Kelimeler: ntegral ve integro-diferansiyel denklemler

6 VI

7 VII ABSTRACT SEMI- ANALYTICAL SOLUTIONS OF INTEGRAL AND INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS ODABAI, Meryem MSc in Mathematics Supervisor: Doç. Dr. Emine MISIRLI October 28, 93 pages It is well known that the theory and applications of the integral equations have an important role in applied mathematics. Many physical phenomenon can be modelled by various types of integral equations. This thesis is concerned with some numeric and semi-analytic methods for solving integral equations. Ecept the introduction, this thesis consists of two main sections. In the introduction, the aim and content of the thesis have been given. In the second section, basic definitions about integral equations have been given and types of integral equations have been introduced. In the third section, some well known numeric and semi-analytic methods for Volterra integral equations have been given and the capacity of the methods have been investigated by the considered eamples. The semianalytic methods (homotopy-perturbation and variational iteration) have been applied to the several integral and integro-differential equations that solved by different methods and then eact solutions have been obtained. Keywords: Integral and integro-differential equations

8 VIII

9 IX TEEKKÜR Bu çalma süresince düünce ve önerilerinden yararlandm, her konuda yardm ve desteini esirgemeyen hocam sayn Doç. Dr. Emine MISIRLI ya ve yüksek lisans örenimimde beni destekleyen Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Aratrma Kurumu na (TÜBTAK) teekkürlerimi sunarm.

10 X

11 XI ÇNDEKLER Sayfa ÖZET... V ABSTRACT...VII TEEKKÜR...IX EKLLER DZN... XV ÇZELGELER DZN...XVII 1. GR NTEGRAL DENKLEMLER LE LGL TEMEL BLGLER Temel ntegral Denklem Tipleri I.Tip Volterra integral denklemi II.Tip Volterra integral denklemi I.Tip Fredholm integral denklemi II.Tip Fredholm integral denklemi Volterra ntegro-diferansiyel Denklemi... 8

12 XII ÇNDEKLER (devam) Sayfa 3. NTEGRAL DENKLEMLERN NÜMERK VE YARI-ANALTK ÇÖZÜMLER ntegral Denklemler ile Diferansiyel Denklemler Arasndaki liki Volterra Denklemleri ve Çözümün Varl Volterra ntegral Denklemleri için Nümerik Yöntemler Dikdörtgen kurallar Yamuk kural Gelitirilmi (Modifiye edilmi) Simpson kural Runge-Kutta tipi yöntem Yaknsaklk ve yaknsaklk mertebesi Nümerik Örnekler... 25

13 XIII ÇNDEKLER (devam) Sayfa 3.6 Homotopi -Pertürbasyon Yöntemi Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerinin He nin homotopi-pertürbasyon yöntemi ile çözümü Varyasyonel terasyon Yöntemi Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerinin Varyasyonel iterasyon yöntemi ile çözümü Yar-Analitik Yöntemler çin Örnekler SONUÇ KAYNAKLAR DZN... 7 EKLER ÖZGEÇM... 93

14 XIV

15 XV EKLLER DZN ekil Sayfa 3.1 Örnek 3.5.5, h=.2 için yamuk kural ve tam çözümün karlatrlmas Örnek 3.5.5, h=.2 için gelitirilmi Simpson kural ve tam çözümün karlatrlmas Örnek 3.5.5, h=.2 için dördüncü mertebeden Runge-Kutta kural ve tam çözümün karlatrlmas Örnek 3.5.6, h=.2 için dördüncü mertebeden Runge-Kutta, gelitirilmi Simpson ve yamuk kuralnn tam çözüm ile karlatrlmas...42

16 XVI

17 XVII ÇZELGELER DZN Çizelge Sayfa 3.1 Örnek 3.5.1, h=.1 ve h=.5 için Dikdörtgen kural ile elde edilen hatalar Örnek 3.5.2,, h=.1 ve h=.5 için Yamuk kural ile elde edilen hatalar Örnek 3.5.3, ma 1, 1için Yamuk kural ile elde edilen hatalar Örnek 3.5.4, h=.1 ve h=.5 için Gelitirilmi Simpson Kural ile elde edilen hatalar Örnek 3.5.5, h=.2 için Yamuk, Gelitirilmi Simpson ve Dördüncü mertebeden Runge-Kutta kurallar ile elde edilen hatalar Örnek 3.5.6, h=.2 için Yamuk, Gelitirilmi Simpson ve Dördüncü mertebeden Runge-Kutta kurallar ile elde edilen hatalar... 41

18 XVI

19 1 1.GR Birçok mühendislik problemi, genellikle adi veya ksmi diferansiyel denklemler, integral ve integro-diferansiyel denklemler gibi denklemler ile modellenebilir. ntegral denklemler ile ilgili ilk çalmalar 19. yüzyln ilk yarsnda balamtr. Fiziksel problemlerin matematiksel modelleri genellikle integral denklemler ile de ifade edilebildii için integral denklemler konusu giderek güncellemitir ve teknolojide önemli bir yere sahip olmutur. ntegral denklemler çeitli fiziksel problemlerde matematiksel model olarak kullanlabilir, ayrca çeitli matematiksel problemlerin yeniden yaplandrlmasn da salar. Genellikle diferansiyel denklem yöntemleriyle çözülebilen birçok fiziksel problem daha etkin olarak integral denklem yöntemleriyle de çözülebilir. ntegral denklemlerin diferansiyel denklemlerle ilikisi ve diferansiyel denklemlerin teknikte önemi dikkate alndnda, integral denklemler daha da önem kazanmtr. Fiziksel olaylarn matematiksel modelleri integro-diferansiyel denklemleri de içerir ve bu denklemler akkanlar dinamii, biyolojik modelleme, kimyasal kinetik gibi çeitli alanlarda görülür. ntegro-diferansiyel denklemleri analitik olarak çözmek genellikle zordur ve bu da etkili yaklam yöntemlerini kullanmay gerektirir ( Sweliam, 27). Bu çalmada, önemi giderek artan integral denklemler konusu ele alnmtr. kinci bölümde, integral denklemler ile ilgili temel bilgiler verilmi ve integral denklem tipleri tantlmtr.

20 2 Çalmann üçüncü bölümünde, uygulama alannda önemli bir yeri olan Volterra integral denklemleri ele alnmtr. Öncelikle Volterra integral denklemleri için kullanlan baz nümerik çözüm yöntemleri (dikdörtgen kural, yamuk kural, gelitirilmi Simpson kural ve Runge-Kutta yöntemi) tantlm, ele alnan farkl örneklerin yaklak çözümleri bu yöntemlerle elde edilerek yöntemler arasnda karlatrma yaplmtr. Problemlerin çözümü ve yöntemlerin karlatrlmas için yazlan Maple kodlar ekte verilmitir. Daha sonra yar-analitik çözüm yöntemlerinden homotopi-pertürbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi tantlm ve bu yöntemlerin Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerine uygulamalar incelenmitir. Daha önceki çalmalarda farkl yöntemler ile çözülen problemlere yar-analitik yöntemler uygulanm ve yöntemlerin kapasiteleri aratrlmtr. Ayrca bu çalmada, daha önceki çalmalarda yaklak çözümü elde edilen baz problemlere varyasyonel iterasyon ve homotopi-pertürbasyon yöntemleri uygulanm ve problemlerin tam çözümleri elde edilmitir. Nümerik ve yar-analitik yöntemlerin hangi amaçlarla kullanlabilecei incelenmi ve yöntemlerin örnekler üzerindeki farkl etkileri gösterilmitir. Ele alnan örneklerde yaranalitik yöntemlerin daha iyi sonuçlar verdii gözlenmitir.

21 3 2. NTEGRAL DENKLEMLER LE LGL TEMEL BLGLER Bu ksmda integral denklemler ile ilgili baz temel bilgiler verilmi ve temel integral denklem tipleri tantlmtr. ntegral denklem, bilinmeyen fonksiyonun bir veya daha fazla integral iareti altnda bulunduu bir denklemdir (Kanwal, 1971). Örnein, at b ve as b için, dier bütün fonksiyonlar bilinirken u bilinmeyen fonksiyon olduunda b f () t K(, t s) u() s ds (2.1) a b ut () f() t Ktsusds (, ) () (2.2) b 2 ut () Kts (, )[ us ()] ds a a (2.3) denklemleri, integral denklemlerdir. ntegral denklemler mekaniin ve matematiksel fiziin birçok alannda oluurlar ve çeitli fiziksel problemlerde matematiksel model olarak kullanlrlar. Aslnda bir diferansiyel denklem, snr koullar dahil edildiinde integral denklem yerini alr, integral denklemin her çözümü bu snr koullarn salar. ntegral denklemler bununla birlikte fonksiyonel analiz ve rastgele (stokastik) süreç teorileri gibi analizdeki birçok dalda en yararl araçlar olutururlar.

22 4 Bilinmeyen fonksiyonun birden fazla deikene bal olduu integral denklemler de vardr. Örnein; ut ( ) f( t) Ktsusds (, ) ( ) (2.4) integral denkleminde s ve t ler n boyutlu vektörler ve, n-boyutlu uzayda bir bölge olabilir. Bir integral denklem, eer bilinmeyen fonksiyonun üzerine dorusal operatör uygulanabiliyorsa dorusal olarak adlandrlr. (2.1) ve (2.2) denklemleri dorusal denklemler iken, (2.3) denklemi dorusal olmayan denklemdir. (2.1) ve (2.2) denklemleri L uygun dorusal operatör olduunda Lut [ ( )] f( t) (2.5) eklinde yazlabilir. Böylece herhangi c1 ve c 2 sabitleri için L cu () t c u () t c L[ u ()] t c L[ u ()] t (2.6) ifadesi elde edilir. Bu dorusal operatör için genel bir kriterdir. f, g ve K fonksiyonlar bilinen fonksiyonlar, u bilinmeyen fonksiyon, sfrdan farkl reel veya kompleks parametre olmak üzere, üst snr sabit ya da deiken olabildiinde en genel tipteki dorusal integral denklemler t gtut () () f() t Ktsusds (, ) ( ) (2.7) a biçimindedir. Burada Kts (, ) fonksiyonu, çekirdek fonksiyonu olarak adlandrlr. Bu denklem 3. tür integral denklem olarak bilinir.

23 5 (2.7) denkleminde gt () alnarak, bilinmeyen fonksiyonun sadece integral içinde olduu t f() t K(, t s) u() s ds a eklinde 1.tür integral denklem elde edilir. (2.7) denkleminde gt ( ) 1 alnarak, bilinmeyen fonksiyonun integralin içinde ve dnda yer ald t ut () f() t Ktsusds (, ) () a eklinde 2. tür integral denklem elde edilir. Burada f( t) ise denklem homojen integral denklem adn alr. L dorusal operatör, N dorusal olmayan operatör ve gt ( ) verilen sürekli fonksiyon olmak üzere genel dorusal olmayan sistem ise Lut () Nut () gt () (2.8) olarak gösterilebilir. 2.1 Temel ntegral Denklem Tipleri ntegral denklemler, dorusal ve dorusal olmayan denklemler olarak iki grupta incelenir. Dorusal denklemler yani, bilinmeyen fonksiyonun dorusal olmayan fonksiyonlarnn yer almad denklemler iki tiptedir. Birinci tip, at b deeri için integral sabit snrlara sahip, f ve K verilen fonksiyonlar ;, a ve b sabitler iken

24 6 ut () f() t Ktsusds (, ) ( ) b a biçimindedir. Bu denklem II. Tip Fredholm denklemi olarak bilinir. Eer integralin üst snr deiken ise ikinci denklem tipi t ut () f() t Ktsus (,, ( )) ds ( t) eklindedir. Bu ise ikinci tür dorusal olmayan Volterra integral denklemi olarak bilinir. Bu durum t dan çok t T için belirlenmitir. Bir özel durum ut () f() t Ktsusds (, ) ( ) dorusal denklemidir. t I. Tip Volterra integral denklemi Ktsus (,, ( )) ve f ( t ) verilmi fonksiyonlar ve us ( ) bilinmeyen fonksiyon olmak üzere I.Tip Volterra integral denklemi t f () t K(, t s, u( s)) ds, ( t a) a eklindedir. Dorusal I. Tip Volterra integral denklemi ise t f () t K(, t s) u( s) ds, ( t a) olarak gösterilir. a

25 II. Tip Volterra integral denklemi Ktsus (,, ( )) ve f () t verilmi fonksiyonlar ve us () bilinmeyen fonksiyon olmak üzere II. Tip Volterra integral denklemi eklindedir. t ut () f() t Ktsus (,, ()) ds, ( ta) a I. Tip Fredholm integral denklemi Kts (, ) ve f ( t ) verilen fonksiyonlar, us ( ) bilinmeyen fonksiyon, a ve b sabitler ve at b olmak üzere dorusal I.Tip Fredholm integral denklemi b f () t K(, t s) u( s) ds biçiminde gösterilebilir. a II. Tip Fredholm integral denklemi Kts (, ) ve f ( t ) verilen fonksiyonlar, us ( ) bilinmeyen fonksiyon;, a, b sabitler ve at b olmak üzere dorusal II.Tip Fredholm integral denklemi ut () f() t Ktsusds (, ) () eklinde gösterilebilir. b a

26 8 Bu temel integral denklem tiplerine ek olarak, tekil integral denklemler saylabilir. Bir veya her iki integral snr sonsuz olduunda veya çekirdek, integral aralnn içinde bir veya daha çok noktada süreksiz olduunda integral denklem tekil integral denklem olarak adlandrlr. Bu çalmada tekil integral denklemler ile ilgilenmeyeceiz. 2.2 Volterra ntegro-diferansiyel Denklemi Bilinmeyen u fonksiyonunun türevlerinin yer ald bir denklem integrodiferansiyel denklem olarak adlandrlr(filiz, 2). Eer yeterli düzgünlüe (smoothness) sahip ise t ut () f() t Ktsusds (, ) (), t denklemi diferansiyellenebilir ve K u() t f() t Kttut (,) () (, tsusds ) ( ) t elde edilir. Bu bir Volterra integro-diferansiyel denklem örneidir. t u( t) Ftut, ( ), Ktsusds (,, ( ) baldr. Bu ekildeki denklemlerde u () t, s, t t için us () nin deerlerine

27 9 3. NTEGRAL DENKLEMLERN NÜMERK VE YARI-ANALTK ÇÖZÜMLER Bu ksmda öncelikle integral denklemler ile diferansiyel denklemler arasndaki iliki verilmitir. Daha sonra Volterra integral denkleminin çözümünün varl için gerekli koullar belirtilip bu denklemler için kullanlan baz nümerik çözüm yöntemleri (dikdörtgen kural, yamuk kural, deitirilmi Simpson kural, Runge-Kutta yöntemi) ve yar-analitik çözüm yöntemleri (Varyasyonel iterasyon yöntemi ve Homotopi pertürbasyon yöntemi) üzerinde durulmu, ele alnan örnekler ile yöntemlerin kapasiteleri karlatrlm ve yöntemlerin problem baml olduu düüncesine ulalmtr. 3.1 ntegral Denklemler ile Diferansiyel Denklemler Arasndaki liki ntegral ve diferansiyel denklemler arasndaki iliki, integral denklemlerin öneminin anlalmas açndan önemlidir. Bu yüzden burada bu ilikiye yer verilmitir (Filiz, 2). Balangç koullaryla verilmi sabit ya da deiken katsayl bir diferansiyel denklem, Volterra tipi bir integral denkleme dönütürülebilir. Bir integral denklem de bir diferansiyel denkleme dönütürülebilmektedir. Birinci mertebeden

28 1 O halde bir integral denkleme, balangç koullar için salanan diferansiyel denklemin bir snr deer problemi olarak da baklabilir. Örnein, du() t Ft, u( t) dt diferansiyel denklemi için u() u balangç kouluyla birlikte balangç deer problemini ele alalm. Eer bu denklem t ye göre integre edilirse t ut () u F sus, ( ) ds o ifadesi elde edilir. Bu ise bir Volterra tipi integral denklemdir. Örnein, ikinci mertebeden 2 dut 2 () ut (), t dt diferansiyel denklemini u() 1 ve u() balangç koullaryla ele alalm. Bu denklemi t ye göre integre edip, daha sonra iki katl integrali tekil integrale indirgeyerek ve balangç deerlerini kullanarak t ut () 1 ( t) u( ) d denklemi elde edilir. Böylece, ikinci mertebeden diferansiyel denklem, Kt ( ) formundaki çekirdekle ikinci tür Volterra integral denklemine dönümütür.

29 11 ntegral denklemin bir diferansiyel denkleme dönütürülmesi için ise, Leibnitz formülü olarak bilinen formül uygulanr. Bu formül, integral iareti altnda türev alma ilemini gerçekletirir. Leibnitz formülü, B( ) B( ) d F(, t) db da F(, t) dt dt F(, B( ) F(, A( ) d d d A ( ) A ( ) eklindedir. Eer A( ) ve B( ) ifadeleri sabitler ise da db, d d olur ve Leibnitz formülü B B d F(, t) dt d A eklini alr. A F(, t) dt 3.2 Volterra Denklemleri ve Çözümün Varl t ut () f() t K tsus,, () ds,tt denklemini ele alalm. Burada ut ( ) bilinmeyen fonksiyon, f ( t ) bilinen fonksiyon ve K çekirdek fonksiyonu olmak üzere, i) f ( t), t T aralnda sürekli bir fonksiyon ii) Ktsz (,, ) ; stt, z için sürekli

30 12 iii) Çekirdek tüm st T ve tüm z1, z 2 için Ktsz (,, ) Ktsz (,, ) Lz z (Lipschitz koulunu salar) ifadeleri salanyor ise,t üzerinde bir tek sürekli ut ( ) çözümü vardr. Bu sonucun ispat için (Linz, 1985) baklabilir. 3.3 Volterra ntegral Denklemleri için Nümerik Yöntemler Bu ksmda, t ut () f() t K tsus,, () ds,tt (3.1) Volterra integral denkleminin nümerik çözümleri için kullanlan temel baz yöntemler verilmitir (Filiz, 2). Verilen bir h adm aral için t kh, k,1,..., n noktalarnda çözümü hesapladmz varsayalm. n 1,2,... olmak üzere ut ( n) için ut ( n ) yaklamlar, (3.1) denkleminde t tn konularak ve t k noktalarnda integrali alnan ifadenin deerleri kullanlan nümerik integrasyon kuralyla (3.1) denkleminin sa tarafndaki integralde yerine konularak hesaplanabilir. Daha sonra sonuç denklemi ut ( n ) için çözülür. Eer (3.1) denkleminde nh gtdt () hnk gt ( k ) (3.2) n k k

31 13 formunda bir integrasyon kural kullanlrsa, ut ( n ) yaklak çözümleri n n n nk n k k k ut ( ) f( t) h Kt (, t, ut ( )), n1,2,3,... (3.3) olarak elde edilir. Ktsz (,, ) Ktsz (,, ) Lz z koulu kullanlr ise ut ( n ) in tekliinin varl için yeter koul hnn L 1 olmasdr. ut ( ) f( t) olduu için yaklak çözüm adm adm hesaplanr. Genel olarak eer nk deerleri düzgün olarak sralysa, bu durumda denklem yeterince küçük h deeri için bir tek çözüme sahiptir. (Filiz, 2) Dikdörtgen kurallar t ut () f() t K tsus,, () ds Volterra integral denklemi için dikdörtgen kurallar ve n 1 n n n k k k ut ( ) f( t) h Kt (, t, ut ( )), (3.4) ut ( ) f( t) h Kt (, t, ut ( )) (3.5) n n n k k k 1 n biçimindedir. Bu denklemler kuadratik yöntemlere iki örnektir. Srasyla Açk Euler kural ve Kapal Euler kuraldr.

32 14 r,1,2,..., n 1 için (3.4) denklemi, eer ut ( r ) biliniyorsa, açk olarak ut ( n ) i verir. (3.5) denklemi kapaldr. ut () f() t Ktsusds (, ) (), t t dorusal durumunda, eer hk( tn, tn) 1 ise ut ( n ) için çözülebilir. Dorusal olmayan durumda, ut ( n ) i istenen kesinlikle çözmek için baz iteratif teknikler kullanlabilir Yamuk kural u bilinmeyen fonksiyon, K çekirdek fonksiyonu, f verilen fonksiyon olmak üzere t ut () f() t K tsus,, () ds, tt biçimindeki ikinci tür Volterra integral denkleminde yamuk kural kullanlrsa ut ( n ) yaklak deerleri 1 ut ( n) f( tn) h Kt ( n, t, ut ( )) 2 n1 K( tn, tk, u( tk)) K( tn, tn, u( tn)) k1 2 1 (3.6) ifadesi çözülerek hesaplanr.

33 15 Bu ise (3.7) kapal formunda gösterilen denklemi verir: h 1 ut ( n) Kt ( n, tn, ut ( n)) ft ( n) h Kt ( n, t, ut ( )) 2 2 n1 k1 Kt ( n, tk, ut ( k)) (3.7) Ktsus (,, ( )) Ktsus (, ) ( ) ile bir dorusal integral denklem için, ut ( n ) in yok olmayan katsaylarn veren, ut ( n ) için dorudan çözülebilen ut ( ) f( t) ile (3.7) ifadesi h 1 ut ( n) 1 Kt ( n, tn) ft ( n) h Kt ( n, t) ut ( ) 2 2 n1 k 1 Kt ( n, tk) ut ( k) (3.8) halini alr. Dorusal olmayan durumda; L, Ktsz (,, 1) Ktsz (,, 2) Lz1 z2 hl ifadesi ile verildiinde eer 1 ise bir tek ut ( n ) vardr ve genelde 2 istenen kesinlikte bir ut ( n ) için çözümde baz iteratif teknikler kullanlr. (Linz, 1985)

34 Gelitirilmi (Modifiye Edilmi) Simpson Kural Kts (, ) çekirdek fonksiyonu, f ( t ) verilen fonksiyon ve ut () bilinmeyen fonksiyon olmak üzere t ut () f() t K tsusds, ) (, atb a biçimindeki ikinci tür Volterra integral denklemini ele alalm. Simpson kuralnda, bu denklemin yaklak çözümünü hesaplamak için çift aralk says kullanlr., 2h aralnda 2h elde edilir. Ktsusds (, ) ( ) h ( Ktsu (, ) ( ) 4 Kt (, hu ) ( h ) Kt (, 2 hu ) ( 2 h )) 3 5 h (4) ( Kt (, ) u( )) 9 ab, aral 2n eit parçaya ayrlsn. t at... t t... t 1 2j1 2 j 2n Bu durumda ikinci tür Volterra integral denkleminin çift düümlerdeki yaklamlar olur ve bu t2 j ut ( ) f( t ) Kt (, susds ) ( ) 2 j 2 j 2 j a j1 t2i2 f ( t ) K( t, s) u( s) ds 2 j 2 j i t2i

35 17 j1 t2i2 u f K( t, s) u( s) ds 2 j 2 j 2 j i t2i biçiminde gösterilebilir. Simpson kural kullanlarak bu denklem halini alr. Burada, u 2i u2i 2 2 j1 h u f ( K u 4 K u K u ) 2 j 2 j 2 j,2i 2i 2 j,2i1 2i1 2 j,2i2 2i2 i 3 u 2 j yaklamn hesaplamak için, 2i 1 u yerine ortalamas alnarak Simpson kural modifiye edilebilir (Nadir and Rahmoune, 27). Bu durumda h u u u f K u K K u j1 2i 2i2 2 j 2 j 2 j,2i 2i 4 2 j,2i1 2 j,2i2 2i2 i 3 2 j1 h f ( K 2 K ) u (2 K K ) u 2 j 2 j,2i 2 j,2i1 2i 2 j,2i1 2 j,2i2 2i2 i 3 j1 j1 h h f ( K 2 K ) u (2 K K ) u 2 j 2 j,2i 2 j,2i1 2i 2 j,2i1 2 j,2i2 2i2 i 3 i 3 j1 j h h f ( K 2 K ) u (2 K K ) u 2 j 2 j,2i 2 j,2i1 2i 2 j,2i1 2 j,2i 2i i 3 i1 3 h h u f K 2K u K 2K u 3 3 2h K 2 j,2 j12 K 2 j,2 j K 2 j,2 j1 u 2i 3 2 j 2 j 2 j, 2 j,1 2 j,2 j 1 2 j,2 j 2 j elde edilir.

36 18 Genel olarak, j 1, 2,..., n için olur. h h u2 j1 2K2 j,2 j1k2 j,2 jf2 j K2 j, 2K2 j,1u 3 3 2h K K K u 3 u f 2 j,2i1 2 j,2 j 2 j,2i1 2i (3.9) Runge-Kutta Tipi Yöntem Adi diferansiyel denklemlerin çözümünde açk Runge-Kutta yöntemi oldukça sk kullanlmakta ve gelitirilmektedir. Bu yöntemleri gelitirmek için, tn h tn 1 noktasndaki çözümü hesaplamak için genel bir form yazlmtr. K ve f sürekli fonksiyonlar olmak üzere t ut () f() t K tsus,, () ds, t (3.1) eklinde ikinci tür Volterra integral denklemini ele alnsn. Ktsus (,, ( )) Ktsus (, ) ( ) olarak dorusal formu kullanlacaktr. Bu yaklam açklamak için q 1,2,..., p için ara deerler q1 ( q) ( j) n n( n q ) q j ( n q j, n j ) n j u F t h h A K t d h t c h u (3.11) olarak tanmlansn. F () u f() n ()

37 19 alnarak bu denklem u, u,..., u, u, u,..., u... deerler dizisini () (1) ( p) (1) (2) ( p) belirtmek için kullanlabilir. olarak alnmtr. u deeri, ut ( h) deerine yaklam ( p ) n u u ( n1), A b. () ( p) n n1 p, j j, A, d h, c parametreleri bir Taylor açlmyla q q j q j j belirlendiinde, Fn () t fonksiyonu t n f () t K(, t s) u( s) ds (3.12) ifadesine bir yaklam olabilmesi için seçilmitir. Aslnda (3.11) denklemi çok geneldir ve sadece birkaç formu ayrntl olarak aratrlmaktadr. Örnein, d c q q j j konularak, Pouzet tipi olarak adlandrlan formüllerin bir kümesi elde edilir. (Pouzet, 196) p 4 için Pouzet tipi yöntemdeki parametrelerin bir özel kümesi 1, 1 2, 3 4 1, 2 1 A1 A21, 2 A A A, n eklindedir. A A A A A 1 1, 6 1, 3

38 2 imdi Butcher tarafndan gelitirilen Runge-Kutta yöntemini ksaca açklayalm. Bu yöntemi açklamak için,(3.11) deki temel Runge-Kutta denklemlerini ele alalm ve katsaylar çizelgede 1/2 1/2 1 1/2 1/ ( 1) 1/6 1/3 1/3 1/6 4 (1) A T b formunda düzenleyelim. A qj çarpm faktörlerini içeren bir alt üçgensel matris, t n deki artma miktarn içeren bir vektör ve vektörü göstermektedir. Eer dördüncü mertebeden durum seçilir ise bu 1/2 A 1/2 1 T b arlk faktörlerini içeren transpoze T, b 1/6 1/3 1/3 1/6 eklinde simgelenebilir. Katsaylarn Taylor açlmyla belirlenmesi yorucudur. Birçok durumda cebirsel ifadeleri türetmenin daha kolay bir yolu vardr. ut ( qh) deerine bir yaklam olarak alnabilir. n (3.11) nin sa tarafndaki ikinci terim t n q t n q n n q f ( t h) K( t h, s) u( s) ds u, ( q ) n

39 21 ifadesine bir yaklam iken, ilk terim, f ( t h) K( t h, s) u( s) ds n q n q ifadesine bir yaklamdr. t n i kümesi q , A olarak q q j q j seçilmitir ve bu q1 q1 A b 1 olmasn gerektirir. pj j q j j Pouzet, ut (); t ut () f() t Ktsusds (, ) (), t integral denklemini salyor iken, ut ( 1) i tahmin etmek için aadaki formülü vermitir. (Pouzet, 196) n p 4 için açk Runge-Kutta formülü u u ( u f( t )), () (4) () n n1 (1) h () un Fn( tn 1/2) K( tn 1/2, tn) u n, 2 (2) h (1) un Fn( tn 1/2) K( tn 1/2, tn 1/2) u n, 2 u F ( t ) hk( t, t ) u (3) (2) n n n1 n1 n1/2 n tanmlanr ve ardndan

40 22 iken h F t f t K t t u K t t u n1 () (1) n() () (, ) j j 2 (, j1/2) j 6 j F () t f () t biçimindedir. 2 Ktt (, ) u Ktt (, ) u (2) (3) j1/2 j j1 j h u F ( t ) K( t, t ) u 2 K( t, t ) u 6 (4) () (1) n n n1 n1 n n n1 n1/2 n 2 Kt (, t ) u Kt (, t ) u (2) (3) n1 n1/2 n n1 n1 n ut u Oh (4) 4 ( n1) n ( ) olduu gösterilebilir, böylece u, ut ( n 1) deerine bir yaklamdr. (4) n alalm. Üçüncü mertebeden (yar kapal) Runge-Kutta formülünü ele 1/2 1/4 1/ /6 2/3 1/6 2 ( 1) 1/6 2/3 1/6 3 (1) A T b T A 1/4 1/4, b 1/6 2/3 1/6. 1/6 2/3 1/6

41 23 u u ( u f( t )), () (3) () n n1 (1) h () h un Fn( tn 1/2) K( tn 1/2, tn) u n / 1 K( tn 1/2, tn 1/2 ), 4 4 (2) h () (1) un Fn( tn 1) K( tn 1, tn) un 4 K( tn 1, tn 1/2) un / 6 h 1 Kt ( n1, t n1) 6 ve iken h F t f t Ktt u Ktt u Ktt u n1 () (1) (2) n() () (, ) j j 4 (, j 1/2) j (, j1) j 6 j F () t f() t h u F ( t ) K( t, t ) u 4 K( t, t ) u 6 (3) () (1) n n n1 n1 n n n1 n1/2 n formu tanmlanr. K( t, t ) u (2) n1 n1 n ut u Oh (3) 3 ( n1) n ( ) olduu gösterilebilir, böylece ut ( ) deerine bir yaklamdr. (3) u n, n Yaknsaklk ve yaknsaklk mertebesi n N için t ih, i,1,2,..., n i a noktalar üzerinde h T / n ile tanml bir,t aral verilmi olsun.

42 24 Tek ut ( ) çözümlü integral denklem için u, i,1,2,..., n deerlerinin baz yaklam yaplaryla hesaplandn varsayalm. hh ile h iken eer p sup u u( t ) O( h ) ti T i i ise H deki adm aral kullanlarak,t deki a noktalar için p. mertebeden yaknsakla sahip olur. t i a noktalarndaki u i yaklak çözümün ayrklatrma hatas olarak adlandrlan e u u( t ) ; i,1,2,..., t ih i i i i deerler kümesini ele alalm. H h h h ( m),,..., olduunu varsayalm. Burada m m iken h dr. Burada ht / m, m N alnabilir. Ayrklatrma hatas, h H bulunabilir. adm aralnn bir fonksiyonu olarak i Tanm : (3.3) formundaki yöntem, eer yaknsaktr denir. lim ma e i h ti, T ise,t üzerinde Tanm : Eer tüm h H için, M olmak üzere h tan bamsz ma e i n i Mh p

43 25 olacak ekilde öyle bir M says varsa ve eer p, bu eitsizlii salayan en büyük say ise, bu durumda p yöntemin yaknsaklk mertebesi olarak adlandrlr. Tanm : t u, () (),, ( ) olsun. Bu durumda ut f t K tsus ds (3.1) denkleminin çözümü tk ( ht, ) Kt (, yu, ( y)) dyh Kt (, t, ut ( )) k o k ki k i i i fonksiyonu (3.1) denklemi için lokal ayrklatrma hatasdr. k 3.5 Nümerik Örnekler Buradaki amacmz; dikdörtgen, yamuk, gelitirilmi Simpson ve Runge-Kutta kurallarnn kullanllarn örnekle açklamak ve kapasitelerini aratrarak aralarnda karlatrma yapmaktr. Örnek 3.5.1: 1 u ( ) tutdt ( ), 5 integral denklemini ele alalm. h.1,.5 için dikdörtgen kuraln uygulayalm. n 1 n n n k k k u ( ) f( ) h K (,, u ( ))

44 26 h.1 için n1 1.1 u ( 1) f( 1) hk1,, u ( ) u(.1) f(.1) (.2).(.1) K.1,, u() u(.1).1 n2 2.2 u ( 2) f( 2) hk 2,, u ( ) K2, 1, u ( 1) eklinde yaklak deerler hesaplanabilir. Örnek için Maple program kodlar ekte verilmitir. Dikdörtgen kural ile elde edilen hatalar Çizelge 3.1 ile gösterilmektedir. Örnek 3.5.1, h=.1 ve h=.5 için Dikdörtgen kural ile elde edilen hatalar h=.1 h= Çizelge 3.1

45 27 Örnek 3.5.2: ut () u ( ) 1 dt, t1 integral denklemini,1, h.1 ve.5 için yamuk kural ile çözelim. h 1 u ( n) K ( n, n, u ( n)) f( n) h K ( n,, u ( )) 2 2 n1 K( n, k, u ( k)) k 1 biçimindeki yamuk kural uygulanrsa, h.1 için n1 1.1, u ( ) f( ) u ( 1) K1, 1, u ( 1) f( 1) (.1). K1,, u ( ) 2 2 u (.1) 1 u (.1) (.5) f(.1) (.1) u (.1) n u ( 2) K2, 2, u ( 2) f( 2) (.1) K2,, u ( ) 2 2 K2, 1, u ( 1) u (.2) eklinde yaklak deerler hesaplanabilir. Yamuk kural için Maple program kodlar ekte verilmitir. Elde edilen nümerik çözümler Çizelge 3.2 ile gösterilmektedir.

46 28 Örnek 3.5.2, h=.1 ve h=.5 için Yamuk kural ile elde edilen nümerik çözümler h=.1 h= Çizelge 3.2 Örnek 3.5.3: u ( ) 2 ep( 1) ep( tutdt ) ( ) ( 1) 1 integral denklemini ele alalm. Bu denklem, 2 ( 1) u ( ) ep(( 1) ) 1 1

47 29 eklinde tam çözüme sahiptir. Eer 1 seçilirse, u ( ) 1 elde edilir. h.1 ve.5 için yamuk kural ile elde edilen hatalar Çizelge 3.3 te gösterilmitir. Problemin çözümü için Maple kodlar ekte verilmektedir. Örnek 3.5.3, ma 1, 1 için yamuk kural ile elde edilen hatalar h=.1 h= Çizelge 3.3.

48 3 Örnek 3.5.4: ( t) ( ) 1 ( ) u e utdt integral denklemini ele alalm. Tam çözüm u ( ) 1 olduuna göre h.1 ve.5 için gelitirilmi Simpson yöntemi ile hatalar belirleyelim. Gelitirilmi Simpson yöntemi için j 1,2,..., n, u f, K(, t) e, K K(, ) olmak üzere ( t) i, j i j h h u2 j1 2K2 j,2 j1k2 j,2 jf2 j K2 j, 2K2 j,1u 3 3 2h K K K u 3 formülü uygulanrsa 2 j,2i1 2 j,2 j 2 j,2i1 2i h.1 için j 1 h h u2 1 2K2,1 K2,2 f2 K2, 2K2,1 u u(.2) 1 2 K(.2,.1) K(.2,.2) f(.2) 3.1 K(.2,) 2 K(.2,.1) u() 3 u(.2)

49 31 h h j 2 u41 2K4,3 K4,4f4 K4, 2K4,1u 3 3 2h K K K u 3.1 u(.4) 1 2 K(.4,.3) K(.4,.4) f(.4) 3.1 K(.4,) 2 K(.4,.1) 3.2 K(.4,.1) K(.4,.2) K(.4,.3) u(.2) 3 u(.4) ,1 4,2 4,3 2 biçiminde yaklak deerler hesaplanabilir. Gelitirilmi Simpson kural ile elde edilen hatalar Çizelge 3.4 ile gösterilmitir. Problemin çözümü için Maple program kodlar ekte verilmitir. Örnek 3.5.4, h=.1 ve h=.5 için Gelitirilmi Simpson yöntemi ile elde edilen hatalar h=.1 h= Çizelge 3.4

50 32 Örnek 3.5.5: u ( ) ( tutdt ) ( ) Volterra integral denklemini ele alalm. Bu denklemin yaklak çözümünü yamuk, gelitirilmi Simpson ve dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemleri ile elde edelim. Yamuk kural, u ( ) f( ), ih, Kt (, ) t, f( ) olmak üzere i h 1 u ( n) 1 K ( n, n) f( n) h K ( n, ) u ( ) 2 2 n1 k 1 K( n, tk) u ( k) formundadr. h.2 için.2 1 n1 u( 1) 1 K( 1, 1) f(.2) (.2) K( 1, ) u( ) 2 2 u (.2) n2 u( 2) 1 K( 2, 2) f(.4) (.2) K( 2, ) u( ) 2 2 K(, ) u ( ) u (.4).392 biçiminde yaklak deerler hesaplanabilir Yamuk kural ile tam çözümün karlatrlmas ekil 3.1 ile gösterilmektedir. Problemin çözümü için Maple program kodlar ekte verilmitir.

51 ekil 3.1: Örnek 3.5.5, h=.2 için yamuk kural ile tam çözümün karlatrlmas 33

52 34 imdi bu denkleme, j 1,2,..., n ; u f, f( ), K(, t) t, K K(, ) olmak üzere i, j i j h h u2 j1 2K2 j,2 j1k2 j,2 jf2 j K2 j, 2K2 j,1u 3 3 2h K K K u 3 2 j,2i1 2 j,2 j 2 j,2i1 2i formundaki gelitirilmi Simpson yöntemini uygulayalm. h.2 için h h j1 u2 1 2K2,1 K2,2 f2 K2, 2K2,1 u u(.4) 1 2 K(.4,.2) K(.4,.4) f(.4) 3.2 K(.4,) 2 K(.4,.2) u() 3 u(.4) h h j 2 u41 2K4,3 K4,4f4 K4, 2K4,1u 3 3 2h K K K u 3 u(.8) eklinde yaklak deerler elde edilebilir. 4,1 4,2 4,3 2 Gelitirilmi Simpson yöntemi ile tam çözümün karlatrlmas ekil 3.2 ile gösterilmitir. Problemin Maple kodlar ektedir.

53 ekil 3.2: Örnek 3.5.5, h=.2 için gelitirilmi Simpson kuralnn tam çözüm ile karlatrlmas 35

54 36 Bu probleme dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemini uygulayalm. u, ut ( n 1) ifadesine bir yaklam olmak üzere açk Runge-Kutta formülü (4) n () (4) () un un 1 ( u f( )), (1) h () un Fn( n 1/2) K( n 1/2, n) u n, 2 (2) h (1) un Fn( n 1/2) K( n 1/2, n 1/2 ) u n, 2 u F ( ) hk(, ) u (3) (2) n n n1 n1 n n h F f K u K u n1 () (1) n( ) ( ) (, ) j j 2 (, j1/2) j 6 j F ( ) f( ) iken 2 K(, ) u K(, ) u (2) (3) j1/2 j j1 j h u F ( ) K(, ) u 2 K(, ) u 6 (4) () (1) n n n1 n1 n n n1 n1/2 n biçimindedir. n, h.2 için 2 K(, ) u K(, ) u (2) (3) n1 n1/2 n n1 n1 n u deerine bir yaklam olmak üzere (4), u(.2).2 u F ( t ) K(, ) u 2 K(, ) u 6 (4) () (1) o 1 1 o 1 1/2 o u u(.2) (4) o eklinde yaklak deerler hesaplanabilir. 2 K(, ) u K(, ) u (2) (3) 1 1/2 o 1 1 o

55 37 Dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemi ile tam çözümün karlatrlmas ekil 3.3 ile gösterilmitir. Problemin çözümü için Maple kodlar ekte verilmitir. ekil 3.3: Örnek 3.5.5, h=.2 için dördüncü mertebeden Runge-Kutta yönteminin tam çözüm ile karlatrlmas

56 38 Örnek 3.5.5, h=.2 için Yamuk, Gelitirilmi Simpson ve Dördüncü mertebeden Runge- Kutta yöntemi ile elde edilen hatalar Yamuk kural D.Simpson kural Runge-Kutta Çizelge 3.5 Örnek 3.5.6: 1 2 ( ) 1 ( ) ( ), 1 u tutdt 2 dorusal Volterra integral denklemini ele alalm.

57 39 Bu denklemin çözümünü yamuk, gelitirilmi Simpson ve dördüncü mertebeden Runge-Kutta kurallar ile bulalm. 1 u ( ) f( ), Kt (, ) t, f( ) 1 2 olmak üzere yamuk kural h 1 u ( n) 1 K ( n, n) f( n) h K ( n, ) u ( ) 2 2 n1 K( n, tk) u ( k) k 1 formundadr. h.2 için n1.2 1 u( 1) 1 K( 1, 1) f( 1) (.2) K( 1, ) u( ) u(.2) 1 K(.1,.1) f(.2) (.2) K(.2, ) u() 2 2 u (.2).8 n2.2 1 u( 2) 1 K( 2, 2) f( 2) (.2) K( 2, ) u( ) 2 2 K( 2, 1) u ( 1) u (.4) eklinde yaklak deerler hesaplanabilir. Problemin yamuk kural ile çözümünü elde etmek için yazlan Maple kodlar ekte verilmitir.

58 4 Bu denkleme, 1 j n u f f K t t 2 Ki, j K( i, j) olmak üzere 2 1,2,..., ;, ( ) 1, (, ), h h u2 j1 2K2 j,2 j1k2 j,2 jf2 j K2 j, 2K2 j,1u 3 3 2h K K K u 3 2 j,2i1 2 j,2 j 2 j,2i1 2i formundaki gelitirilmi Simpson yöntemini uygulayalm. h.2 için h h j1 u2 1 2K2,1 K2,2 f2 K2, 2K2,1 u u(.4) 1 2 K(.4,.2) K(.4,.4) f(.4) 3.2 K(.4,) 2 K(.4,.2) u() 3 u(.4) eklinde yaklak deerler hesaplanabilir. Problemin yamuk, gelitirilmi Simpson ve dördüncü mertebe Runge- Kutta kural ile çözümü için yazlan Maple kodlar ekte verilmektedir. h.2 için elde edilen hatalarn karlatrlmas ise Çizelge 3.6 ile verilmitir.

59 41 Örnek 3.5.6, h=.2 için Yamuk, Gelitirilmi Simpson ve Dördüncü mertebeden Runge- Kutta kurallar ile elde edilen hatalar Yamuk kural D.Simpson kural Runge-Kutta Çizelge 3.6

60 42 ekil 3.4: Örnek 3.5.6, h=.2 için dördüncü mertebeden Runge-Kutta, gelitirilmi Simpson ve yamuk kuralnn tam çözüm ile karlatrlmas

61 43 Çizelgelerden de görülebilecei gibi nümerik yöntemler, problemler için sadece saysal açdan bilgi verir. Verilen problemin fiziksel davrannn incelenmesi istendiinde ise yar-analitik yöntemlerin kullanlmas uygun olacaktr. Nümerik yöntemler kullanldnda teoride hata yok edilebilir fakat pratikte bu kolay deildir ve her zaman mümkün olmayabilir. Bu sebeple integral denklemleri çözmek için daha etkili yaklam yöntemlerine ihtiyaç duyulmaktadr. Yar-analitik yöntemler gibi problemlerin tam çözümünü verebilen yöntemler uygulamada önem kazanmakta ve özellikle mühendislik alannda tercih edilmektedir. Literatüre bakldnda bu sebeple diferansiyel dönüüm yöntemi, Adomian yöntemi, homotopi-pertürbasyon yöntemi ve varyasyonel iterasyon yöntemi gibi yar-analitik yöntemlerin çalld görülmektedir. Bu ksmda, öncelikle Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemleri için kullanlan homotopi-pertürbasyon ve varyasyonel iterasyon yöntemleri tantlmtr. Daha sonra ele alnan çeitli problemler ile yöntemlerin kapasiteleri gösterilmitir. Daha önce çeitli yöntemler ile yaklak çözümü bulunan baz problemlerin tam çözümleri varyasyonel iterasyon ve homotopi-pertürbasyon yöntemleri ile elde edilmitir.

62 Homotopi -Pertürbasyon Yöntemi He nin homotopi pertürbasyon yöntemi; çallan zor problemi, çözümü daha kolay olan bir probleme dönütürdüü için bilim adamlar ve mühendisler tarafndan son yllarda gelitirilen bir yöntemdir. Homotopi pertürbasyon yöntemi, He tarafndan 1998 ylnda ortaya atlm ve gelitirilmitir. Birçok durumda, çözüm serisine çok hzl bir yaknsaklk verir. Genellikle, tek iterasyon çözüme yüksek kesinlik salar. Homotopi-pertürbasyon teorisinin temel fikrini açklamak için, A genel integral operatör, B bir snr operatörü, f () r bilinen analitik fonksiyon ve, bölgesinin snr olmak üzere Au ( ) f( r), r (3.13) dorusal olmayan integral denklemini Bu (, un), r (3.14) snr koullar ile ele alalm. A operatörü, genel olarak, L dorusal ve N dorusal olmayan olmak üzere iki parçaya ayrlabilir. Bu sebeple (3.13) denklemi, Lu ( ) Nu ( ) f( r) (3.15) eklinde yazlabilir. He, v:,1 R ye, r, homotopi parametresi olarak adlandrlan p (,1] ve (3.13) ün balangç yaklam v olmak üzere Hv (, p) (1 p) Lv () Lv ( ) p Av () f() r (3.16)

63 45 veya Hvp (, ) Lv () Lv ( ) plv ( ) pnv () fr () (3.17) ifadesini salayan bir homotopi oluturmutur. Bu nedenle Hv (,) Lv () Lv ( ), Hv (,1) Av () f() r (3.18) olduu açktr ve p nin dan 1 e deime süreci Hvp nin (, ) Lv () Lv ( ) dan A() v f() r ye dönüümüdür. Topolojide bu, deformasyon, Lv () Lv ( ) ve A() v f() r de homotopik olarak adlandrlr. Pertürbasyon teknii uygulanarak, p 1 küçük bir parametre olarak ele alnabilecei için (3.16) veya (3.17) denklemlerinin çözümü, p nin bir serisi olarak aadaki gibi ifade edilebilir: vv pv p v p v (3.19) p 1 iken, (3.16) veya (3.17), (3.15) ifadesine karlk gelir ve (3.15) ifadesinin yaklak çözümü halini alr, yani u lim v v v v v... (3.2) p olur. Bu seri ele alnan probleme göre genellikle yaknsaktr Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerinin He nin homotopi -pertürbasyon yöntemi ile çözümü ntegral denklemlerin yar-analitik çözümlerini elde etmek için kullanlan bir yöntem homotopi-pertürbasyon yöntemidir (He, 23).

64 46 Bu yöntemin açklamas örnek ile verildikten sonra yöntem farkl problemlere uygulanarak kapasitesi aratrlmtr. Örnek : u( ) 1 u( t) u( t) dt (3.21) dorusal olmayan Volterra integro-diferansiyel denklemi ele alnsn.,1 olmak üzere bu denklemin tam çözümü 2 u ( ) 2tan 2 eklindedir. Homotopi pertürbasyon yöntemi ile, Lu ( ) u( ) g( ) olarak alnabilir. Bu nedenle, H(, v p) v() g() p K(,,(), t v t v()) t dt (3.22) eklinde bir homotopi seçilebilir, ve bir balangç noktas Hv (,) dan çözüm fonksiyonu Hv (,1) e sürekli kapal eri oluturur. (3.19) ifadesinin (3.22) denkleminde yerine konulmas ve p nin ayn kuvvetlerinin eitlenmesi ile

65 47 p : v( ) g( ) v( ) p : v 1( ) v ( t) v ( t) dt v1( ) p : v 2( ) ( v () t v 1() t v1() t v ()) t dt v2( ) p : v 3( ) ( v () tv 2() t v1() tv 1() t v2() tv ()) t dtv3( ) p : v 4( ) ( v ( t) v 3( t) v1( tv ) 2( t) v2( tv ) 1( t) v3( tv ) ( t)) dtv4( ) 2268 p v v t v t v t v t v t v t v t v t v t v t dt v : 5( ) ( () 4() 1() 3() 2() 2() 3() 1() 4() ()) 5( ) elde edilir. Bu nedenle yaklak çözüm u v ( ) n( )... n (3.23) olarak yazlabilir. Pratikte, u ( ) v ( ) serisinin tüm terimleri belirlenemez ve n (3.24) teki seri ile yaklak çözüm bulunur. m1 n n ( m) vm( ), u( ) lim m( ) (3.24) n 2.Durum: Bir baka homotopi 2 2 H v p v g p t t pv t v t dt (, ) ( ) ( ) (1 ) 2 tan 1tan ( ) ( ) (3.25) eklinde oluturulabilir. (3.19) ifadesinin (3.25) denkleminde yerine konulmas ve p nin ayn kuvvetlerinin eitlenmesi ile

66 p : v ( ) g( ) 2 tan t1tan t dt 1tan v 2tan p : v 1( ) 2tan t1tan tv ( t) v ( t) dt 2 2 v ( ) 2 p : v 2( ) ( v ( t) v 1( t) v1( 2 tv ) ( t)) dt v( ) 3 p v 3 v t v 2 t v1 t v 1 t v2 t v t dt v3 : ( ) ( () () () () () ()) ( ) olur, ve bu yaklam tekrarlanrsa v4( ) v5( )... elde edilir. Bu 1 nedenle 26). 2 u ( ) 2tan 2 tam çözümü elde edilir (Ghasemi et al., He nin homotopi-pertürbasyon yönteminin önemli bir avantaj, pertürbasyon denkleminin birçok ekilde oluturulabilmesidir. Bu sebeple yöntem problem bamldr ve istenen kesinliin elde edilmesinde pertürbe problem önemli bir rol oynar. Yar-analitik çözümler, analitik çözümlere yaklam getirir. Burada olduu gibi rekürsif iliki baz problemlerde tam çözümü verir.

67 Varyasyonel terasyon Yöntemi Varyasyonel iterasyon yönteminin temel özellii, sistem için bir düzeltme fonksiyoneli oluturmasdr. Son zamanlarda, varyasyonel iterasyon yöntemi çeitli dorusal olmayan problemlere, örnein, kesirli (fractional) diferansiyel denklemler, dorusal olmayan diferansiyel denklemler, dorusal olmayan dalga denklemleri gibi denklemlere uygulanmtr. L dorusal operatör, N dorusal olmayan operatör ve gt () verilen sürekli fonksiyon olmak üzere L ut () N ut () gt () genel dorusal olmayan sistemi ele alalm., varyasyonel teoriyle tanmlanabilen Lagrange çarpan, u, n. yaklam çözümü ve u n bir kstlanm varyasyon, yani u n olmak üzere, varyasyonel iterasyon yöntemi sistem için bir düzeltme fonksiyonelini t u () t u () t ( s) Lu ( s) Nu () s g() s ds n 1 n n n eklinde oluturmaktadr. K(, t ) integral denklemin çekirdei olmak üzere, u ( ) f( ) Ktutdt (, ) ( ) eklindeki ikinci tür Volterra integral denklemi için basit iterasyon formülü n

68 5 u ( ) f( ) K(, t) u ( t) dt n 1 biçimindedir. n Volterra integral ve integro-diferansiyel denklemlerinin Varyasyonel iterasyon yöntemi ile çözümü ntegral ve integro-diferansiyel denklemleri çözmek için kullanlan yar-analitik yöntemlerden bir dieri de varyasyonel iterasyon yöntemidir (He, 1999). Bu yöntemin integral denklemler için uygulamas örnek ile açklandktan sonra yöntem farkl problemler için uygulanarak kapasitesi aratrlacaktr. Örnek : t u( ) 1 e e u( t) dt u(), u() 1 integro-diferansiyel denklemi ele alnsn. He nin varyasyonel iterasyon yöntemi kullanlarak, t F u( ) 1 se e u( t) dt olmak üzere düzeltme fonksiyoneli u () u () () s u () s F u () s ds n1 n n n formunda yazlabilir.

69 51 Düzeltme fonksiyonelinde koulu kullanlarak, Lagrange çarpan () s s olarak tanmlanabilir. Sonuç olarak elde edilen iterasyon formülü u n n1 n n n u ( ) u ( ) ( s ) u ( s) F u ( s) ds olur. Varyasyonel iterasyon yöntemine göre, balangç tahmini baz bilinmeyen parametreler içerebilir. Balangç yaklamnn u ( ) a b formunda olduu varsaylrsa, a ve b ler bilinmeyen sabitler olmak üzere F u ( ) 1 e e ( a bt) dt 1se a ae be t elde edilir. Yukardaki iterasyon formülü ve balangç yaklam ile birinci derece yaklam çözümü u ( ) u ( ) ( s) u ( s) F u ( s) ds 1 n s s s s a be ( s ) be (1 se a ae bse ) ds n a2be be e a ae 2e 2ba 2 2 olarak bulunur. Balangç koullar kullanlr ise u1() 2a2ba2 2 b u() b1a1a1 1 elde edilir. Buradan, a ve b sabitleri

70 52 a1, b 1 olarak bulunur. Böylece, u ( ) e 1, u ( ) e 1 1 olur. O halde tam çözüm u ( ) e 1 olarak elde edilir (Xu, 27). Bu yöntem Picard yaklamn temel ald için iteratif yap analitik çözüme yaknsar. 3.8 Yar-analitik Yöntemler çin Örnekler Bu ksmda, homotopi-pertürbasyon ve varyasyonel iterasyon yöntemlerinin kapasitelerini aratrmak için çeitli problemler ele alnmtr. Daha önce farkl yöntemler ile çözülen problemlere bu yöntemler uygulanarak yöntemlerin daha iyi sonuçlar verebildii görülmütür. Çeitli yöntemler ile yaklak çözümü bulunan veya tam çözümü daha zor elde edilen baz problemler için de yar-analitik yöntemler uygulanarak problemlerin tam çözümleri elde edilmitir.

71 53 Örnek 3.8.1: ( ) ( ) 3 3 u e e u tdt dorusal olmayan denklemini ele alalm. Bu denkleme daha önce homotopipertürbasyon yöntemi uygulanm (Ghasemi et al., 27) ve tam çözümü u ( ) e olarak bulunmutur. Alternatif olarak verilen denkleme varyasyonel iterasyon yöntemini uygulayalm. teratif bir yap oluturmak için denklemi ( ) 3t 3 ( ) u e e u t dt eklinde yeniden yazalm. Varyasyonel iterasyon yöntemine göre, Lu ( ) u ( ) f( ), Lu ( ) u( ) e alnabilecei için balangç deeri denklemden ( ) u e olarak seçilebilir. Varyasyonel iterasyon yöntemine göre u ( ) f( ) Ktutdt (, ) ( ) a biçimindeki Volterra integral denklemi için basit iterasyon formülü u ( ) ( ) (, ) ( ) n 1 f K t un t dt a eklinde alnabilir (Xu, 27). Burada ( ) u e konulursa u yaklamlar elde edilir:

72 54 3t 3 1 u ( ) e e u ( t) dt 3t 3t 1( ) 3t u ( ) e e u ( t) dt u ( ) e 3 e e e dt u e 3t 3t 2( ) e e e dt u e Bu yaklam devam ettirilirse u 4 ( ) u 5 ( ) u 6 ( )... e olur. Bu nedenle tam çözüm olarak u ( ) e fonksiyonu bulunur. Örnek 3.8.2: 3 1 u ( ) u( t) ut ( ) dt e dorusal olmayan Volterra integral denklemini ele alalm. Bu denkleme varyasyonel iterasyon yöntemini uygulayalm. Denklemi ( ) 1 ( ) ( ) u e u t ut dt 2 2 2t 2 ( ) 1 ( ) ( ) u e u t ut dt eklinde yeniden yazalm.

73 55 seçilebilir. Varyasyonel iterasyon yöntemine göre bu denklemden ( ) u e u ( ) ( ) (, ) ( ) n 1 f K t un t dt 2t 2 n1( ) 1 n ( ) n( ) a u e u t u t dt iterasyonu kullanlrsa 2t 2 u1( ) 1 e u ( t) u( t) dt 2t 2t t 1 e e e dt u1( ) e 2t 2 u2( ) 1 e u1 ( t) u1( t) dt 2t 2t t 1 e e e dt u2( ) e olur ve bu yaklam devam ettirilirse u 3 ( ) u 4 ( ) u 5 ( )... e bulunur. O halde tam çözüm basit bir ekilde u ( ) e fonksiyonu olarak elde edilmektedir. Bu denkleme daha önce diferansiyel dönüüm yöntemi uygulanm (Odibat, 27) ve yine u ( ) e tam çözümü elde edilmitir.

74 56 Örnek 3.8.3: 1 2 ( ) cos( ) sin(2 ) ( ) u u t dt 2 dorusal olmayan Volterra integral denklemini ele alalm. Bu denkleme daha önce diferansiyel dönüüm yöntemi uygulanm (Odibat, 27) ve u ( ) cos tam çözümü elde edilmitir. Burada verilen integral denkleme homotopi-pertürbasyon ve varyasyonel iterasyon yöntemleri uygulanacaktr. Öncelikle 2 cos(2 ) 2cos ( ) 1 açlmdan yararlanarak denklemi 2 2 ( ) cos 2 cos ( ) u t u t dt biçiminde yeniden yazalm. Homotopi-pertürbasyon yöntemi ile 2 2 (, ) () () 2 cos () Hvp v f p t u t dt eklinde bir homotopi seçilebilir. vv pv p v p v ifadesi p 1 iken integral denklemin çözümü halini alr, yani olur. u lim v v v v v... p vv pv p v p v ifadesini homotopide yerine yazalm. Denklemden f ( ) cos olduu için

75 v pv p v p v... cos p.2 cos ( t) ( v pv p v...) dt ifadesi elde edilir. Burada p nin ayn kuvvetleri eitlenir ise p : v cos v cos p : v 2 cos t v ( t) dt v 2 cos tcos t dt v 2 p v2 v t v1 t dt v : 4 () () p : v 2 v ( t) 2 v ( t) v ( t) dt v p : v 4 olur ve bu yaklam tekrarlanrsa v4( ) v5( )... olarak elde edilir. Buna göre, denklemin çözümü ise u ( ) cos olur. Alternatif olarak verilen denklemin çözümünü bulmak için varyasyonel iterasyon yöntemini uygulayalm. 2 2 ( ) cos 2 cos ( ) u t u t dt denklemi için iterasyon formülü

76 n1( ) cos 2 cos n ( ) u t u t dt biçimindedir. Varyasyonel iterasyon ile Lu ( ) u ( ) f( ), Lu ( ) u( ) cos olduu için u ( ) cos seçilebilir. terasyon formülünde bu ifade yerine konulursa u ( ) cos 2 cos t u ( t) dt cos cos cos 1( ) cos t t dt u u ( ) cos 2 cos tu ( t) dt u ( ) cos olarak bulunur. Bu yaklam devam ettirilirse, u3( ) u4( )... cos elde edilir. O halde denklemin tam çözümü ksa sürede u ( ) cos olarak elde edilir. Örnek 3.8.4: 1 u( ) 1 tu( t) dt 3 1 u() integro-diferansiyel denklemini ele alalm. Bu denklem daha önce homotopi-pertürbasyon yöntemi ile çözülmü (Golbabai and Javidi, 27) ve yaklak çözüm elde edilmitir. Bu denkleme varyasyonel iterasyon yöntemini uygulayalm.

77 59 Denklemi 1 1 u( ) 1 tu( t) dt 3 eklinde yeniden yazalm. Bu durumda varyasyonel iterasyon teorisine göre sistem için düzeltme fonksiyoneli 1 1 un 1( ) un( ) ( s) u n ( s) 1 s s pun( p) dpds 3 biçimindedir. Varyasyonel iterasyon teorisinden 1, koullar kullanlarak Lagrange çarpan 1 olarak bulunur. Böylece düzeltme fonksiyoneli 1 1 un 1( ) un( ) u n ( s) 1 sspun( p) dpds 3 olur. Varyasyonel iterasyon yöntemi ile, Lu ( ) u( ) f( ) olarak alnr Lu ( ) u ( ) 1 olur. Böylece u () koulunu salayacak eklide ve u ( ) seçilebilir. O halde 1 1 u1( ) 11 ssu( p) dpds ssp dpds 3 u1( )

78 6 1 1 u2( ) 11 ssu1( p) dpds ssp dpds 3 u2( ) eklinde elde edilir ve bu yaklam devam ettirilirse u3( ) u4( )... bulunur. Böylece u ( ) tam çözümüne ulalr. Bu denkleme homotopi-pertürbasyon yöntemi uygulandnda denklemin yaklak çözümü elde edilmitir (Golbabai and Javidi, 27). Bu çalmada ise varyasyonel iterasyon yöntemi uygulanarak denklemin tam çözümü elde edilmitir. Bu örnek için varyasyonel iterasyon yönteminin daha avantajl olduu görülmektedir. Örnek 3.8.5: u( ) e tu( t) dt 1 u() 1, u() 1 ikinci mertebe integro-diferansiyel denklemini ele alalm. Bu denklemin çözümünü varyasyonel iterasyon yöntemi ile bulalm. Denklemi 1 u( ) e tu( t) dt biçiminde yeniden yazalm.

79 61 Varyasyonel iterasyon yöntemi ile sistem için düzeltme fonksiyoneli 1 s un 1( ) un( ) ( s) u ( ) ( ) n s e s spun p dpds biçimindedir. koulu kullanlrsa () s s olarak bulunur. Bu durumda u n 1 düzeltme fonksiyoneli 1 s un 1( ) un( ) ( s ) u ( ) ( ) n s e s spun p dpds eklini alr. Varyasyonel iterasyon yöntemi ile, Lu ( ) u( ) f( ) Lu ( ) u( ) e olarak alnabilir. Buradan ( ) u e u( ) e a b seçilebilir. u () 1b1 b u () 1a1 a olduu için ( ) u e biçiminde yazlabilir. O halde 1 s u1( ) u( ) ( s ) u ( s) e s spu( p) dpds u ( ) e 1 1 s s p e ( s ) e e s spe dpds s s e ( s) e e ( ss) ds

80 62 1 s u2( ) u1( ) ( s ) u 1 ( s) e s spu1( p) dpds u ( ) e 2 olarak bulunur. Bu yaklam tekrarlanrsa, u ( ) e tam çözümü elde edilir. Bu denklem, daha önce homotopi-pertürbasyon yöntemi ile çözülmü (Golbabai and Javidi, 27) ve denklemin yaklak çözümü elde edilmitir. Bu çalmada verilen integral denkleme varyasyonel iterasyon yöntemi uygulanarak tam çözüm elde edilmitir. Örnek 3.8.6: u ( ) ( tutdt ) ( ) Volterra integral denklemi için Homotopi-pertürbasyon yöntemini kullanalm. Bu denkleme daha önce Varyasyonel iterasyon yöntemi uygulanm (Xu, 27) ve u ( ) sin tam çözümü elde edilmitir. Homotopi-pertürbasyon teorisine göre, Hvp (, ) v () g () p ( tvtdt )() eklinde bir homotopi seçilir ise vv pv p v p v ifadesi bu homotopide yerine konulduunda

81 v pv p v p v... g( ) p ( t) v pv p v p v... dt elde edilir. Burada p nin ayn kuvvetleri eitlenir ise p : v( ) g( ) v( ) 1 p : v1( ) ( t ) v ( t) dt 1 ( t ) tdt v 1 ( ) 6 2 p : v2( ) ( t ) v 1( t) dt 3 t 1 ( t ) dt v 2 ( ) p : v3( ) ( t ) v 2( t) dt olur ve bu yaklam tekrarlanrsa 5 t 3 1 ( t ) dt v ( ) ! 5! 7! u ( )... sin tam çözümü elde edilir Bu problem için yamuk kural, deitirilmi Simpson kural ve dördüncü mertebeden Runge-Kutta yöntemleri Örnek te uygulanm, Maple kodlar ekte verilmiti. Görüldüü gibi ayn problem için Varyasyonel iterasyon yöntemi uygulandnda tam sonuç elde edilmitir.