TÜREV DEĞERLERİNİ İÇEREN RASYONEL İNTERPOLASYON YÖNTEMLERİ VE UYGULAMALARI. Bayram Ali İBRAHİMOĞLU* & Mustafa BAYRAM**

Transkript

1 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları TÜREV DEĞERLERİNİ İÇEREN RASYONEL İNTERPOLASYON YÖNTEMLERİ VE UYGULAMALARI Bayram Al İBRAHİMOĞLU* & Mustafa BAYRAM** * Yıldız Te Üverstes mya-metalurj Faültes Matemat Mühedslğ Bölümü, 4 Davutpaşa- İstabul/ Türye E-mal: bbrahm@yldz.edu.tr ** Yıldız Te Üverstes Fe-Edebyat Faültes Matemat Bölümü 4 Davutpaşa- İstabul/ Türye E-mal: msbayram@yldz.edu.tr Gelş tarh: abul tarh:.7.8 ÖZET Bu çalışmada, leer olmaya terpolasyo yötemlerde rasyoel terpolasyo yötemler celed. Bu yötemler le terpolasyo polomlarıı elde edlmes ve rasyoel terpolasyo polomlarıı hesaplama yötemler açıladı. Aahtar elmeler: Rasyoel terpolasyo, Rasyoel Hermt terpolasyou, Rasyoel terpolasyo polomlarıı hesaplama yötemler ABSTRACT I ths thess, we have cosdered ratoal terpolato techques, whch are techques of olear type. Wth the help of these methods, terpolato polyomals are obtaed techques for calculatg the ratoal terpolatg polyomals are eplaed. ey Words: Ratoal terpolato, ratoal Hermt terpolato, Methods to compute ratoal terpolats. GİRİŞ İterpolasyo elmes, elemeter alamda br fosyou tablo halde verlmş değerlerde hareetle, bu fosyou bu aralıta blmeye değerler hesaplama şlemdr. Ayı deym geş alamda, verle fosyolara yalaşım yapma ç br temel yötemdr Nümer aalzde çeştl ümer problemler çözümüde fosyoları yalaşı değerler bulma ve terpolasyo yötemler sılıla ullaıldığı görülmetedr. ullaıla bu telerde leer olmaya yötemler leer yötemlerde daha üstü olduğu blmese rağme bu ouda az sayıda aya ve çalışma vardır. Bu çalışmada leer olmaya telerde br ola rasyoel terpolasyo yötem ele alıdı. Rasyoel terpolasyo ousuda H. Padé 9 yılıda rasyoel terpolasyo polomlarıı tablosuu oluşturmuştur. Padé bu çalışmasıda terpolasyo polomlarıı oluşturulmasıda devamlı esrler ullaılableceğ göstermştr. Thorvald Ncola THİELE 96 yılıda devamlı esr temele dayaa rasyoel terpolasyo polomlarıı hesaplaması ç ed adıı taşıya br yötem gelştrmştr. []. Rasyoel terpolasyo yötem polom tp terpolasyo yöteme göre daha üstüdür. Çüü rasyoel fosyolar polomları oraı olduğuda polomlarda ço daha zeg br fosyo sııfı oluştururlar. Daha büyü ola bu fosyolar sııfı, daha doğru yalaştırma olasılığıı artırır. Özellle utuplara (tel otalara) sahp ola fosyolara, rasyoel terpolasyo teğ le yalaşılması polom terpolasyo teğe göre daha y cevap verr, çüü polomları tellğ yotur []. Rasyoel terpolasyo yötemler ullaılara leer olamaya delem sstemler, ad dferasyel delemler, 9

2 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları ısm dferasyel delemler ve tegral delemler çözüleblr. Bu çalışmada rasyoel terpolasyo polomlarıı hesaplama yötemler verlp, bu yötemler yalaşılması zor ola tel otaya sahp ble fosyou c mertebeye adar türev değerler de ullaılara elde edle terpolasyo fosyoları gerçe fosyo değerleryle arşılaştırılmıştır.. RASYONEL İNTERPOLASYON POLİNOMLARINI HESAPLAMA YÖNTEMLERİ. Taım f, omples düzlem br alt ümes ola G üzerde taımlı br fosyo ve { } Ν, G ye at farlı otaları br dzs olsu. p polomuu tam dereces p le gösterelm. f ( m, ) mertebede rasyoel terpolasyo problem, m p( ) a ve q ( ) b polomlarıı bulmata oluşur. Burada p( )/ q( ) drgeemez ve p f ( ) ( ) q,,, m (.) dr. Bu problem ((.) )çözme yere, bua arşılı gele f ( ) q( ) p( ),,, m (.) leer delem sstem ele alırız. Bu (.) fades m tae delemde oluşa br homoje delem sstemdr. Burada, p ve q u a ve b atsayılarıı toplamı m dr []. Bu edele (.) her zama e azıda br tae aşar olmaya(otrval) çözümü vardır.. Taım: a ve b reel veya omples sayı (veya fosyo ) olma üzere a b (.) a b a b b a b L a a a a fadese devamlı esr der.buda sora devamlı esr b L b b b b L (.4) veya a b b şelde göstereceğz. (.5) a C b b,,,, L (.6) fadese (.5) devamlı esr. yaısağı der[]. Eğer lm C C 4

3 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları lmt değer mevcut ve solu se devamlı esr yaısatır der. C se devamlı esr değerdr. rasyoel fades P P( b, a, b,..., a, b) C (.7) Q Q( b, a, b,..., a, b) şeldedr. C. Teorem: Eğer P, P b, Q, Q se, P b P a P Q b Q a Q eştller sağlaır, (.8). Ters Farlar G de verle br f fosyou ç ters farlar [ ] f ( ), G de her ç [, ] [ ] [ ] [,,...,,, ], G de her, ç şelde taımlaır []. [,..., ] ya,..., sıralamasıda bağımsız olmasıa rağme, geellle d [,...,, ] [,...,, ] otalarıa göre f. ters farı dyoruz. Ters farlar, so otaı,..., otalarıı umaraladırılmasıa bağlıdır. d d d... (.9) formuda br devamlı esr terpolasyouu hesaplama ç tablo. de ters farları buluması gerer. Tablo. Ters farlar tablosu [ ] [ ] [, ] [ ] [, ] [,, ] [ ] [, ] [,, ] M M M [ ] [, ] [,, ] [,..., ] 4

4 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları.4 Teorem: (.9) da devamlı esrde d [ ] se ( ). yaısağı ola C, C( ) f ( ),,.., eştlğ sağlar. İspat: Ters farları taımıda, f ( ) [ ] [ ] [, ] [ ], ç:,..., C taımlı olduğuda (.9) ç [ ] [,, ] [ ]... [, ] [,, ] [,...,, ] olduğuda, d [,..., ] le brlte C stee terpolasyo oşullarıı sağlar. [ ]... [, ] [,, ] devamlı esre Thele terpolasyo devamlı esr der.. arşılılı Ters Farlar G de verle br f fosyouu arşılılı ters farları [ ] f ( ) ρ, G de her ç ρ[, ], G de her, ç ρ[ ] ρ[ ] ρ[,, ] ρ[ ], G de her,, ç ρ[, ] ρ[, ] ρ[,..., ] ρ [,..., ] ρ [,...,, ] ρ [,...,, ] şelde taımlaır. G de her,..., ç, ρ [,..., ] fadese, f fosyou,..., otalarıa arşılı gele,. arşılılı ters farı der. Ters ve arşılılı ters farlar arasıda yaı br lş vardır. Bu lş aşağıda teoremde gbdr..5 Teorem: ç ve G de tüm,..., ρ [ ] [ ] lar ç 4

5 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları [, ] ρ [, ] [,..., ] [,..., ] [,..., ] ρ ρ olur.. Rasyoel Hermte İterpolasyo Polomları Ş md s N, ( ) olma üzere brbrde farlı { } otalarıı göz öüe alalım. f fosyouu N l otasıda türevler verldğ abul edelm. Bu rada,..., dr. Şmd, s j j ( ) ( ) f m s sağlaya j,, m ve sabt tamsayılarıı ele alalım. f ç (m, ) mertebede rasyoel Hermte terpolasyo problem, ( ) p ve ( ) q m a b polomlarıı bulmaya bağlıdır, p/q drgeemez ve ( l) ( l ) p f ( ) ( ), l,..., s ve,..., j q ( l) ( l ) p f ( ) ( ),,..., j l j q l s (.) eştller sağlar. Bu terpolasyo problemde, s terpolasyo otaları le çaışmatadır, bu yüzde s terpolasyo oşulları, de sağlama zorudadır. Dolayısıyla, bu tp br terpolasyo problem çoğulula salıımlı(osculatory) rasyoel terpolasyo problem olara adladırılır [4]. Her ç olduğu durumda problem, (.) de rasyoel terpolasyo problem le ayı olur. (.) de problem çözme yere, ( ) ( l ) ( ) l,..., - ve,..., ( ) ( l fq p ) l,..., - fq p s j (.) ( j ) leer delem sstem ele alablrz. Bu problem m delem ve m blmeyede oluşa homoje br sstem olduğuda p() ve q() ç her zama aşar olmaya br çözümü vardır. Ye farlı çözümler ayı p/ q drgeemez forma sahptr ve r m, p q eştlğe f (m, ) mertebede rasyoel Hermte terpolasyo polomu der. Burada q olaca şelde ormalze edlmştr. Rasyoel Hermte terpolasyo problem, br Newto-Padé yalaşım problem şelde yede formülasyou yapılablr. Şmd, s q, ( ) 4

6 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları f y,..., y j bölümüş farıda otalarıı brleşm le brlte, y l l,..., s d l,..., s ve y () c > j j cj f y,..., y j j ( ) B olma üzere, ( ) j ( ) B j y l l alırsa f c B ( ) ( ) l d() s s... s ( ) eştlğ buluruz. Bu serye f Newto Sers der. Böylece, (.) de problem, f q p d B ( )( ) ( ) olaca şelde m m ( ) ( ) p a B ve ( ) ( ) q b B (.) polomlarıı hesaplaması le eşdeğerdr. Problem (.) ye f (m, ) mertebede Newto-Padé yalaşım problem der. (.) ü sağlaya p ve q çözümler bulma ç, d ( )[,..., f q p y y],,, m bölümüş farları hesaplamalı ve sıfıra eştlemeldr. Fosyoları çarpımıı türev ç Lebz uralıı br geellemes ola aşağıda lemmayı vereblrz. ullaıla Lemma. ( f q)[ y,..., y] f [ y,..., y ] q[ y,..., y] l l l olur [5]. Şmd lemma ullaara, p ve q da a ve b atsayılarıı sağlama zoruda olduğu doğrusal delem sstem aşağıda şelde yazılablr. cb a cb cb a (.a) M cmb c mb... cmb am 44

7 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları c, m b... c, m b M (.b) c, m b... c, m b yazılır. (.) ve (.) problemler özdeş olduğuda, (m, ) mertebede Newto-Padé yalaşımı der. r m, rasyoel fosyoua da f.4 Rasyoel Hermte İterpolasyo Polomlarıı Tablosu f ( m), mertebede rasyoel Hermte terpolasyo polomları aşağıda şelde br tablo olara düzeleeblr [6,7]. Tablo. Rasyoel Hermte terpolasyo polomlarıı tablosu r, r, r, r, r, r, r, r, r, r, M M Tablo. (rasyoel Hermte terpolasyo polomlarıı tablosu) temsl ettğ rasyoel terpolasyo polomlarıı daha açı br bçmde aşağıda şelde yazablrz. a a a r, r, r, L b b b b b b a a a a a a r, r, r, b b b b b b a a a a a a a a a r, r, r, b b b b b b a a a a a a a, r, a a a a a r, b b b b b b r M M M O L. UYGULAMA Şmd aşağıda taımlaa test problem göz öüe alalım. f ( ) cot( ) fosyouu [-.5,.5] aralığıda değerlere arşılı gele aşağıda tabloda otaları ullaara rasyoel Hermte terpolasyo polomuu bululalım. Bulduğumuz rasyoel Hermte terpolasyo polomuda aralığı dğer otalarıı yazıp fosyou tam değerler le arşılaştıralım. 45

8 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları f ( ) f ( ) f ( ) Bu tabloda değerler m m ç, p( ) a a a a a a 46 ç, q( ) b b b b b b ve p ( ) r,( ) f( ) f( ) q( ) p( ),,,, q ( ) r,( ) f ( ) f ( ) q ( ) ( p ( ) q( ) q ( ) p( )),, r,( ) f ( ) f ( ) q ( ) ( p ( ) q ( ) p ( ) q ( ) q( ) p ( )( q ( )) p ( ) q ( ) q ( )), formüllerde ullaılırsa, b b.88965b a -.5a.5a -.5a, b b.94659e-b a-.a.4e-a -.8e-a, b b b a.a.a.a, b b.88965b a.5a.5a.5a, 5.67(. b.4b.8b) ( a.4a.a )(.b.4b.8 b) ( b.4b. b)( a.a.4a.8 a),.4(.b.b. b ) ( a.a. a)(.b.b. b) ( b.b. b)( a.a.a. a), (.b.b. b).abb ab.6ab.4ab.6ab.6ab.ab.6ab.ab.ab.6ab.ab.ab.ab ab ab.6abb.abb.6ab.6abb.6abb.6abb a.6a. ab.ab b.6abb.6abb yed delemde oluşa leer olmaya delem sstem elde ederz. Bu delem sstem Maple yardımıyla çözerse a, a, a, a, b, b, b, b atsayılarıı

9 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları a b a b a b a b elde ederz (burada terpolasyo polomuu otasıda taımlı olması ç b alara ormalze ett). Burada da rasyoel Hermte terpolasyo polomuu r,( ) şelde elde ederz. Elde ettğmz rasyoel Hermte terpolasyo polomuda aralığı dğer otalarıı yazara fosyou bu otalarda değerleryle arşılaştırara grafğ çzelm. Tablo. f ( ) le terpolasyo fosyolarıı değerler Newto Fosyou İterpolasyo Thele Rasyoel Rasyoel Hermte Gerçe Değer İterpolasyo İterpolasyo, f ( ) cot( ),, Tablo Hataları arşılaştırılması Newto İterpolasyo Hata Thele Rasyoel İterpolasyo Hata Rasyoel Hermte İterpolasyo Hata f ( ) r,( ) fşel4. ( ) r,( ) f ( ) r,( )

10 D.P.Ü. Fe Blmler Esttüsü 6. Sayı Eylül 8 Türev Değerler İçere Rasyoel İterpolasyo Yötemler ve Uygulamaları Şel. f ( ) le terpolasyo polomlarıı grafler 4. SONUÇ Bu çalışmada, rasyoel terpolasyo yötemler verld. Bu yötemler tel otaya sahp br fosyou c mertebede türevlere adar bazı otaları alııp bu otalarda değerler ullaılara alıa fosyoa arşılı gele terpolasyo fosyoları elde edld. Elde edle terpolasyo fosyoları gerçe fosyo le arşılaştırıldı. Bu arşılaştırma soucuda rasyoel Hermte terpolasyo tablosuu öşege elemalarıda br ullaılmasıa dayaa çözümü y souç verdğ görüldü. AYNALAR [] Brezs, C., Hstory of Cotued Fractos ad Padé Appromats, Sprger- Verlag, Berl ad Hedelberg,(99). [] J. Stoer ve R. Bulrsch, Itroducto to Numercal Aalyss, secod ed., Sprger, Berl,(99). [] Cuyt, A. ve Wuytac, L., Nolear Methods Numercal Aalyss, Amsterdam, (987). [4] Warer D., Hermte terpolato wth ratoal fuctos. Ph. Dr, Uversty of Calfora, (974). [5] Thele T., Iterpolatosrechug. Teuber, Lepzg, (99). [6] Claesses G., Some aspects of the ratoal Hermte terpolato table ad ts applcatos Ph. Dr., Uversty of Atwerp, (976). [7] Claesses G., A useful detty for the ratoal Hermte terpolato table, Numer. Math. 9, 7-, (978). [8] Ibrahmoglu, B.A., Ratoal Iterpolato Methods ad Its Applcatos,Master Thess,Yldz Techcal Uversty,Isttute of Sceces, 8-4, (7) 48