ISSN: / Received: October 2014 NWSA ID: A0356 Accepted: January 2015 E-Journal of New World Sciences Academy

Transkript

1 NWSA-Engineering Sciences Sttus : Originl Stud ISSN: / Received: October 2014 NWSA ID: A0356 Accepted: Jnur 2015 E-Journl of New World Sciences Acdem Mustf Hlûk Srçoğlu Dumlupınr Universit, mhluk.srcoglu@dpu.edu.tr, Küth-Turke Mehmet Tevfik Ber Dumlupınr Universit, mtevfik.ber@dpu.edu.tr, Küth-Turke Yunus Özçelikörs Eskişehir Osmngzi Universit, unuso@ogu.edu.tr, Eskişehir-Turke ÖZEL ORTOTROP TABAKALI PLAKLARIN SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ŞEKİL DEĞİŞTİRME ANALİZİ ÖZET Bu çlışmd özel ortotrop tbklı plklr modellenerek denge denklemleri oluşturulmuştur. Bu denge denklemleri sonlu frklr öntemi ile çözülmüştür. Bunun için bir bilgisr progrmı geliştirilmiştir. Sonlu frk bölüm sısın göre değişen plk ort noktsının çökme değeri incelenerek doğru sonlu frk bölüm sısı tespit edilmiş ve bun göre ort düzlemin şekil değişikliği elde edilmiştir. Dört kenrındn Nvier SS-1 sınır şrtlrın ship özel ortotrop tbklı plklr çeşitli ükleme durumlrın göre incelenmiştir. Konu ile ilgili litertürdeki örnekler çözülerek elde edilen sonuçlrın litertürdeki sonuçlr ile büük bir uum içerisinde olduğu gösterilmiştir. Anhtr Kelimeler: Özel Ortotrop Tbklı Plk, İnce Plk, Sonlu Frklr Metodu, Nvier SS-1, Plk Ort Nokt Çökmesi DISPLACEMENT ANALYSIS OF SPECIALLY ORTHOTROPIC LAMINATED PLATES BY FINITE DIFFERENCE METHOD ABSTRACT In this stud; specill orthotropic lminted pltes re modeled nd equilibrium equtions re obtined. These equilibrium equtions re solved b finite difference method. A computer code is developed for this purpose. Depending on the finite difference mesh size the correct plte mid-point deflection vlue is determined nd displcement of the mid-plne re obtined. Specill orthotropic lminted pltes hving Nvier SS-1 boundr conditions t the four edges re nlzed for vrious loding conditions. Some emples which re tken from literture re solved nd it is observed tht our results re in good greement with them. Kewords: Specill Orthotropic Lmintes, Thin Plte, Finite Difference Method, Nvier SS-1, Plte Mid-Point Deflection 21

2 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Plklr üzesel tşııcı sistemlerdir. Günümüzde pı mühendisliğinin nınd gemi ve uçk mühendisliği gibi lnlrd d kullnılmktdır [1]. Bu çlışmd özel ortotrop tbklı plklr bzı kbullere göre modellenerek denge denklemleri oluşturulmuştur. Oluşturuln bu denge denklemlerinin difernsiel formu ise sısl çözüm öntemlerinden sonlu frklr öntemi ile pılmıştır. Dört kenrındn Nvier SS-1 sınır şrtlrın ship özel ortotrop tbklı plklr çeşitli ükleme durumlrın göre incelenmiştir. Mühendisliğin pek çok lnınd ugulm lnı buln plklr, eni mlzeme tekniklerinin gelişmesile teorik ve prtik çlışmlr pn mühendislerin sürekli olrk ilgi lnınd klmktdır. Timoshenko ve Woinowsk-Krieger in zmış olduklrı kitp bu konudki temel çlışmlrdn birisidir [2]. Dh sonr J. Ye, R. Szilrd, C. Hwu gibi rştırmcılr d bu konud kitp zmışlrdır [3, 4 ve 5]. Redd ve Ger ınldıklrı mklelerinde sonlu frklr öntemi kullnrk ince plklrın nlizlerini gerçekleştirmişlerdir [6]. A. Houmt, değişken rlıklı liflerden oluşmuş özel ortotrop tbklı plklrın serbest titreşimlerini incelemiştir [7]. Cprino ve Crivelli Visconti özel ortotrop tbklı plklr hkkınd ptıklrı çlışmlrını bir not olrk ınlmışlrdır [8]. Redd kitbınd özel ortotrop tbklı plklrın klsik tbklı plk teorisi ile nlizini bir bölüm olrk sunmuştur [9]. Srçoğlu ve Özçelikörs, ptıklrı çlışmd tbklı kompozit plklrın sonlu frklr öntemi ile sttik nlizini sunmuşlrdır [10]. 2. ÇALIŞMANIN ÖNEMİ (RESEARCH SIGNIFICANCE) Özel ortotrop tbklı plklrd, plğı oluşturn tbklr kompozit mlzemeden iml edilmiş olup bir doğrultud liflerle güçlendirilmişlerdir. Kompozit tbklı plklrd, tüm tbk lrdki liflerin doğrultulrı nı ise ortotrop tbklı plklr elde edilir. Eğer lif doğrultulrı plğın incelendiği düzlem içi eksenlere ( ve ) prlel olurs özel ortotrop tbklı plklr elde edilmiş olur. Bu çlışmd, bsit mesnetli dikdörtgen özel ortotrop tbklı plklrın şekil değiştirme nlizi Sonlu Frklr Yöntemi kullnılrk pılmıştır.sonlu Frklr Yönteminde kuruln Sonlu Frk Ağının büüklüğüne göre çözülecek oln lineer denklem tkımının büüklüğü değişir. Bun göre çözüm için gerekli bilgisr kpsite ihticı d değişir. Kuruln bu denklem tkımındki ktsı mtrisinin bnd mtris olm özelliği kullnılrk ve ii bir progrmlm tekniği ile bu ihtiç zltılmış, çözüm için bir bilgisr progrmı geliştirilmiştir. 3. MATERYAL VE METOT (MATERIAL AND METHOD) 3.1. Mterl (Mteril) Belirli bir ılı q ükü ile üklü üzesel tşııcı plk elemnınd kesit zorlrı Şekil 1 de gösterilmektedir. Düşe z ekseni önündeki denge denklemi zıldığınd plk denklemi elde edilir. 22

3 z Q Q d M M M M q M M M M d d h M M d M M d Q Q d Q Q d d Şekil 1. Plk elemnınd moment ve kesme kuvveti önleri [2] (Figure 1. Moment nd sher force directions on plte element [2]) Plk denklemi moment ifdeleri cinsinden şu şekildedir: (1) Bu plk denklemindeki moment ifdeleri özel ortotrop tbklı plklr için eğilme rijidlikleri ve plk ort düzlemi çökmesinin bzı türevleri ile ifde edilirse şu şekilde olur: (2) Bu ifdelerdeki eğilme rijidlikleri N toplm tbk sısı olmk üzere sbitlerine ve tbknın z klınlık koordintın bğlı olrk şu şekilde ifde edilir: (3) Kompozit bir tbkd lifler tek önlü olrk düzenlendiğinde lif doğrultusund üksek dnım ve rijitlik olur. eğilme rijidliklerinin ifdelerindeki sbitleri özel ortotrop tbkdki lif ekseni ile problem ekseni rsındki orntson çısın d bğlı olrk şu şekilde trif edilir: 23

4 (4) Bu triflerdeki ifdeleri ise dört bğımsız elstik sbit ( ) ile trif edilir. (5) Bu moment ifdeleri plk denkleminde kullnılırs bu durumd özel ortotrop tbklı plklrın düşe önde denge denklemi şu şekilde ifde edilebilir: (6) Bu dördüncü mertebeden difernsiel denklemde çökmeleri bilinmeenlerdir Metot (Method) Özel ortotrop tbklı plklrın şekil değiştirme nlizinde düşe çökme değerleri 6 ifdesindeki difernsiel denklemlerin çözümü neticesinde elde edilmiştir. Bu difernsiel denklemlerin çözümü için sonlu frklr metodu kullnılmıştır. Sonlu frklr önteminde sınır şrtlrının gerçekleşmesi kesindir fkt difernsiel denklemin sğlnmsı klşıktır. Bu çlışmd incelenen plklr bsit mesnetlidir [9]. Sonlu frklr önteminde çözüm için difernsiel denklemdeki türevlerin erine sonlu frk ğı düğüm noktlrındki değerlerinin konulmsı gerekir. Çlışmd, [10] nolu refernsın ekler kısmındn lınn Sonlu frk ifdeleri kullnılmıştır. Bu şekilde düğüm noktlrındki er değiştirmeleri cinsinden lineer denklem tkımlrı elde edilmektedir. Elde edilen bu denklemler çözülerek her nokt için bilinmeen düşe çökme değerleri hesplnır. Şekil 2 deki gibi bir plğın çereğinde ekseni önündeki bölüm sısı n ve ekseni önündeki bölüm sısı m olmk üzere plkt n m sonlu frk ğı oluşturulur. Sonlu frklr önteminde bölüm sısı rttıkç deplsmn değerleri kesin sonuc dh d klşmktdır. Özel ortotrop tbklı plkt hesplnn plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri ile m bölüm sısı rsındki ilişkii gösteren bir grfik çizildiğinde teorik olrk grfiğin t teğet hline gelmesi gerekir. Bu t teğetin eksenini kestiği değer en doğru boutsuz ort nokt çökme değeridir. Ypıln çözümlerde m sısı çok büük olduğund bu eğrinin t teğet olrk klmdığı ve beklenen teorik dvrnıştn spıldığı görülmüştür. Bu durumd eğrinin dönüm noktsındki boutsuz ort nokt çökme değeri doğru değere en kın olrk kbul edilir. 24

5 b b Şekil 2. Sonlu frk ğ noktlrı [1] (Figure 2. Finite difference mesh points [1]) h plğın z önündeki klınlığı, plğın önündeki uzunluğu, q z ekseninin tersi önünde etki eden ükün şiddeti ve E 2 elstisite modülü olmk üzere çökmeleri şğıdki şekilde boutsuz hle getirilmiştir. En doğru boutsuz ort nokt çökme değerini veren sonlu frk bölüm sısı m hesplndıktn sonr elde edilen bu değere göre plğın çereğinin tüm sonlu frk noktlrındki boutsuz çökme değerleri hesplnmıştır. 4. ÖRNEKLER VE TARTIŞMA (EXAMPLES AND DISCUSSION) Geliştirilen bilgisr progrmı rdımıl sonlu frklr metodu kullnılrk geometrileri, mlzemeleri ve ükleme durumlrı frklı oln özel ortotrop plk çözümleri pılbilmektedir. Örnek olrk, cm-epoksi mlzemesinden iml edilmiş düzgün ılı ük tşın özel ortotrop kre plk, sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop kre plk ve düzgün ılı ük tşın özel ortotrop dikdörtgen plk problemleri rı bşlıklr ltınd şğıd çözülmüşlerdir Örnek 1 (Emple 1) Cm-epoksi mlzemesinden iml edilmiş düzgün ılı ükle üklü bsit mesnetli özel ortotrop kre plkt plk ort düzleminin çökme değerleri hesplnmıştır [6]. Cm-epoksi için mlzeme özellikleri , , 0.2 ve şeklindedir. Bu mlzeme özellikleri orn olrk ise, şeklindedir. Bu örnekteki kre plğın kenr uzunluklrı ve klınlığı h dir (Şekil 3). 2 (7) 25

6 h z Şekil. Düzgün ılı ükle üklü bsit mesnetli özel ortotrop kre plk (Figure 3. Simpl supported specill orthotropic squre plte under uniforml distributed lod) Refernstki[6] plk ort noktsının boutsuz çökme değerinin bu çlışmd kullnıln boutsuz çökme değeri ile uumlu hle gelmesi için çrpnı kullnılmlıdır. (8) çrpnı mlzeme özelliklerine bğlı olup şğıd trif edilmektedir (9) çrpnı cm-epoksi mlzemesi için şu şekildedir: ce (10) Sonlu frk ğı bölüm sısın göre plk ort noktsının boutsuz çökme değerinin değişimi Tblo 1 de ve Şekil te gösterilmiştir. 26

7 Tblo 1. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop (cm-epoksi) kre plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Tble 1. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic (glss-epo) squre plte under uniforml distributed lod) m Eğim Eğrilik E E E E E E E E E E E E E E E E E-13 Bu problemde ort noktnın doğru çökme değerine krr verilirken eğimin işret değiştirdiği nokt dikkte lınmıştır. Bun göre m 280 için hesplnn değeri, özel ortotrop (cm-epoksi) kre plkt plk ort noktsının doğru en kın boutsuz çökme değeridir. Bu değer hesplnn çrpnı ile refernstki boutsuz çökme değerine dönüştürüldüğünde elde edilir m Şekil 4. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop (cm-epoksi) kre plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Figure 4. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic (glss-epo) squre plte under uniforml distributed lod) Elde edilen ort noktnın boutsuz çökme değeri, Tblo 2 de görülen (-.0876) referns değerinden %0.002 frklılık göstermektedir. Prtik olrk bu çökme değerleri nı kbul edilmelidir. 27

8 Tblo 2. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop (cm-epoksi) kre plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri[6] (Tble 2. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic (glss-epo) squre plte under uniforml distributed lod [6]) Ağ Redd&Ger % Frk Redd MFEM % Frk Bu çlışm %Frk kesin Sonlu frk bölüm sısı m 280 değerine göre plğın çereğinin tüm sonlu frk noktlrındki boutsuz çökme değerleri hesplnmıştır. Plğın şekil değiştirmesi grfik olrk Şekil te gösterilmiştir w b / / Şekil. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop (cm-epoksi) kre plğın ort düzleminin çereğinin şekil değiştirmesi (Figure 5. Mid-plne displcements of qurter of the specill orthotropic (glss-epo) squre plte under uniforml distributed lod) 4.2. Örnek 2 (Emple 2) Sinüzoidl ılı ükle üklü dört kenrındn bsit mesnetli özel ortotrop tbklı kre plk için ort düzleminin boutsuz çökme değerleri hesplnmıştır [9]. Bütün tbklrd lif önü nıdır ve önündedir (Şekil 6). Mlzeme özellikleri orn olrk, ve 0.2 şeklindedir. 28

9 h z Şekil 6. Sinüzoidl ılı ükle üklü bsit mesnetli özel ortotrop kre plk (Figure 6. Simpl supported specill orthotropic squre plte under sinusoidll distributed lod) Sonlu frk ğı bölüm sısın göre plk ort noktsının boutsuz çökme değerinin değişimi Tblo te ve Şekil 7 de gösterilmiştir. Sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı kre plk için ort noktdki boutsuz çökme değeri dir[9]. Refernst çökmenin işreti ( ) kbul edilmektedir. Tblo 3. Sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı kre plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Tble 3. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic lminted squre plte under sinusoidll distributed lod) m eğim eğrilik E E E E E E E E E E E E E E E E E-13 Bu problemde plk ort noktsının doğru çökme değerine krr verilirken eğriliğin değiştiği nokt dikkte lınmıştır. Bun göre m için hesplnn değeri sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı kre plk için plk ort noktsının doğru en kın boutsuz çökme değeridir. Hesplnn boutsuz çökme değeri, refernstki çözüm ile %0.011 frklılık göstermektedir. 29

10 m Şekil 7. Sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı kre plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Figure 7. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic lminted squre plte under sinusoidll distributed lod) Sonlu frk bölüm sısı m 60 değerine göre plğın çereğinin tüm sonlu frk noktlrındki boutsuz çökme değerleri hesplnmıştır. Plğın şekil değiştirmesi grfik olrk Şekil 8 de gösterilmiştir w b / Şekil 8. Sinüzoidl ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı kre plğın ort düzleminin çereğinin şekil değiştirmesi (Figure 8. Mid-plne displcements of qurter of the specill orthotropic lminted squre plte under sinusoidl distributed lod) /

11 4.3. Örnek 3 (Emple 3) Düzgün ılı ükü ile üklü dört kenrındn bsit mesnetli özel ortotrop tbklı dikdörtgen plk için plk ort düzleminin boutsuz çökme değeri hesplnmıştır [1]. Bu tbklı plk için önündeki boutu önündeki b boutunun rısıdır (Şekil 9). Bütün tbklrd lif önü nıdır ve önündedir. Mlzeme özellikleri orn olrk, ve 0.2 şeklindedir. z b Şekil 9. Düzgün ılı ükle üklü bsit mesnetli özel ortotrop dikdörtgen plk (Figure 9. Simpl supported specill orthotropic rectngulr plte under uniforml distributed lod) Bu örnekte incelenen özel ortotrop tbklı dikdörtgen plk problemi geliştirilen bilgisr progrmı kullnılrk nliz edilmiştir [1]. Plğın önündeki bölüm sısı m ve önündeki bölüm sısı n olmk üzere m sısı rtırılrk hesplnn plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri Tblo te listelenmiştir. Tblo kullnılrk Şekil 10 dki grfik çizilmiştir. Tblo 4. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı dikdörtgen plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Tble 4. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic lminted rectngulr plte under uniforml distributed lod) n m Eğim Eğrilik E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-14 Bu problemde plk ort noktsınd doğru en kın çökme değerine krr verilirken eğriliğin işret değiştirdiği nokt dikkte lınmıştır. Bun göre için hesplnn değeri, özel 31

12 ortotrop tbklı dikdörtgen plkt plk ort noktsının boutsuz çökme değeridir [1] m Şekil 10. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı dikdörtgen plğın plk ort noktsının boutsuz çökme değerleri (Figure 8. Nondimensionlized mid-point deflection vlues of specill orthotropic lminted rectngulr plte under uniforml distributed lod) Sonlu frk bölüm sısı m 80 ve n 2 0 değerine göre plğın çereğinin tüm sonlu frk noktlrındki boutsuz çökme değerleri hesplnmıştır. Plğın şekil değiştirmesi grfik olrk Şekil 11 de gösterilmiştir. w b / Şekil 11. Düzgün ılı ükle üklü özel ortotrop tbklı dikdörtgen plğın ort düzleminin çereğinin şekil değiştirmesi (Figure 11. Mid-plnedisplcements of qurter of the specill orthotropic lminted rectngulr plte under uniforml distributed lod) /

13 5. SONUÇ (CONCLUSIONS) Bu çlışmd özel ortotrop tbklı plklrın sehim değerlerinin belirlenmesinde sonlu frklr öntemi kullnılmış, sısl hesplm geliştirilen bir bilgisr progrmı rdımıl pılmıştır. Nvier SS-1 sınır şrtlrın ugun bsit mesnetli plklrd düşe önde denge denklemi zılrk plk denklemi momentler cinsinden zılmıştır. Plk denklemi özel ortotrop tbklı plklr için eğilme rijidlikleri ve çökmesinin bzı türevleri ile ifde edilmiştir. Elde edilen bu dördüncü mertebeden difernsiel denklemde çökmeleri bilinmeenlerdir. Bu bilinmeenler sonlu frklr öntemine göre oluşturuln lineer denklem tkımının çözümü ile elde edilmiştir. Sonlu frk bölüm sısın göre değişen plk ort noktsının boutsuz çökme değeri incelenerek doğru sonlu frk bölüm sısı tespit edilmiş ve bun göre ort düzleminin şekil değişikliği elde edilmiştir. Konu ile ilgili üç örnek seçilerek çözümlerin sonucu, sonlu frk bölüm sısı m ile plk ort noktsı boutsuz çökme değeri rsındki ilişkiler tblo ve grfikler şeklinde sunulmuştur. Arıc, plğın çereğinin tüm sonlu frk noktlrındki boutsuz çökme değerleri de hesplnrk ort düzleminin çereğinin şekil değiştirmesi grfik olrk gösterilmiştir. Litertürdeki konu ile ilgili örnekler bu çlışm kpsmınd geliştirilen bilgisr progrmı ile de çözülerek elde edilen sonuçlr krşılştırılmıştır. Bun göre; sonlu frklr öntemi ile elde edilen sonuçlrın litertürdeki sonuçlr ile büük bir uum içerisinde olduğu görülmüştür. İleriki çlışmlrd bsit mesnetli plklrın nlizi için zıln bilgisr progrmı frklı mesnet şrtlrı için geliştirilerek çözümler pılbilir. Arıc ilgili plklrın dinmik nlizi için de bu çlışm geliştirilebilir. KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Srçoğlu, M.H., (2010). Değişken Kesitli Kompozit Çprz Tbklı Plklrın Sonlu Frklr Metodu ile Gerilme ve Şekil Değiştirme Anlizi. Doktor Tezi. Eskişehir: Eskişehir Osmngzi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. 2. Timoshenko, S.P. nd Woinowsk-Krieger, S., (1959). Theor of Pltes nd Shells 2 nd ed., Singpore: McGrw Hill. 3. Ye, J., (2003). Lminted Composite Pltes nd Shells, UK: Springer. 4. Szilrd, R., (2004). Theories nd Applictions of Plte nlsis: Clssicl, Numericl nd Engineering Methods, USA: John Wile&SonsInc. 5. Hwu, C., (2009). Anisotropic Elstic Pltes, USA: Springer. 6. Redd, J.N. nd Ger, R., (1979). An ImprovedFinite-Difference Anlsis of Bending of Thin Rectngulr Elstic Pltes. Computers nd Structures, Volume:10, No:3, pp: Houmt, A., (2012). Nonliner Free Vibrtion of Composite Rectngulr Specill-Orthotropic Plte with Vrible Fiber Spcing. Composite Structures, Volume:94, No:10, pp: Cprino, G. nd Visconti, I.C., (1982). A Note on Specill Orthotropic Lmintes. Journl of Composite Mterils, Volume:16, No:5, pp: Redd, J.N., (2004). Mechnics of Lminted Composite Pltes nd Shells-Theor nd Anlsis 2 nd ed., USA: CRC Press. 10. Srçoğlu, M.H. ve Özçelikörs Y., (2011). Tbklı Kompozit Plklrın Sonlu Frklr Yöntemi ile Anlizi. Pmukkle Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Volume:17, No:1, pp: