T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İKİ BOYUTTA ETKİLEŞEN TUZAKLANMIŞ AŞIRI SOĞUK BOZONLAR

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İKİ BOYUTTA ETKİLEŞEN TUZAKLANMIŞ AŞIRI SOĞUK BOZONLAR"

Transkript

1 T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İKİ BOYUTTA ETKİLEŞEN TUZAKLANMIŞ AŞIRI SOĞUK BOZONLAR Al hsan MEŞE DOKTORA TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Danışman :. Pof. D. Eol OKAN. Pof.D. Zeha AKDENİZ EDİRNE

2

3 Doktoa Tez İk Boyutta Etkleşen Tuzaklanmış Aşıı Soğuk Bozonla Takya Ünvestes Fen Blmle Ensttüsü Fzk Anablm Dalı ÖZET İk boyutlu b manyetk tuzakta hapsedlmş ve bbleyle güçlü etkleşme çesnde olan aşıı soğuk bozonlaın lokalzasyonu, logatmk ve Bessel fonksyonlaı le tanımlı k faklı model kullanaak ncelenmşt. Bose-Ensten yoğuşmasında sonlu sayıdak gdapla le Abkosov ögülen anlamaya yönelk, Hatee, Hatee-Fock ve vayasyonel yöntemleyle ayı hesaplamala yapılmıştı. Sayısı le 9 aasında değşen bozonk Rubdyum atomlaından oluşmuş sstemn taban duum enejle ve yoğunluk poflle elde edlmşt. İzotopk tuzak altında, yoğuşmanın fzksel özellkle paçacıkla aasındak etkleşme şddet değştleek ncelenmşt. Böylelkle atomla aasındak güçlü etkleşmelen sebep olduğu smet kıılmalaı nedenyle, Bose-Ensten yoğuşmasından, femyonk kstal fazına geçş açık b şeklde göülmekted. Sonuçla, vayasyonel yöntemlen Wgne Molekülü lokalzasyona, Hatee-Fock yaklaşımının b süpe molekülün delokalzasyonuna zn vedğ göülmüştü. Ek olaak, logatmk etkleşme potansyel kullanımı le kstalleşen bozonla Coulombk etkleşmelee göe faklı kstalzasyon oluştumaktadı. Anzotopk hamonk tuzak potansyelnn etkle, kstal yapıla çn ncelenmşt. Anzotop paametesnn azaltılması le bozonk atomlaın k boyutlu dağılımdan b boyutlu dağılıma geçş yaptığı göülmüştü. Ayıca, Bose-Ensten yoğuşması le Wgne kstalzasyonu aasındak geçş ktele analtk b metot gelştleek bellenmşt. Yıl: Sayfa: Anahta Kelmele: Bose Ensten Yoğuşması, Wgne Kstal, Süpe molekül, Vayasyonel metot, Hatee-Fock Metodu, Hamonk tuzak.

4 PhD Thess Inteactng Ulta Cold Bosons Confned n Two Dmensons Takya Unvesty, Gaduate School of Natual and Appled Scence Depatment of Physcs SUMMARY The localzaton of stongly coupled ulta cold bosonc atoms confned n a two dmensonal magnetc tap s nvestgated va two dffeent models of ntepatcle nteactons, that ae a logathmc potental and a potental descbed by Bessel functons. An undestandng towads the Abkosov lattce fomaton by a fnte numbe of votces n Bose-Ensten Condensate have been developed by usng vaous calculatons, namely Hatee, Hatee-Fock and the vaatonal methods. The gound state eneges and the densty pofles have been obtaned fo the systems of bosonc Rubdum atoms wth the numbe angng fom two to nne. Physcal popetes of the condensate ae analyzed by vayng the stength of the ntepatcle nteactons unde an sotopc tap geomety. Theefoe an obvous phase tanston fom Bose-Ensten Condensaton to the femon-lke cystals s obseved due to the boken symmety causng fom stong coelatons between the atoms. The esults exhbt that the vaatonal method allows the localzaton of Wgne Molecules whle Hatee-Fock appoxmaton obtans the delocalzaton of a supemolecule. Also the use of logathmc nteacton potental cystallzes the bosons to dffeent confguaton than that of Coulombc nteactons. The effects of ansotopc hamoncal tap potental ae also nvestgated fo the cystallne stuctues. It has been shown that the bosonc atoms ae dven fom a two dmensonal confguaton to that of one dmensonal, f the ansotopy paamete s small. In addton, the tanston cteons between Bose-Ensten Condensate and Wgne Cystallzaton have been detemned by developng an analytcal method.. Yea: Pages: Key Wods: Bose Ensten Condensaton, Wgne Cystal, Supe Molecule, Vaatonal Method, Hatee-Fock Method, Hamonc tap.

5 TEŞEKKÜR Tüm doktoa çalışma süecm boyunca çalışmayı yönlenden, danışmanlığımı üstlenen ve çalışmanın he adımında blglenden yaalandığım danışmanlaım sayın hocalaım Pof. D. Ş. Eol OKAN a ve Pof.D. Zeha Akdenz e, Çalışmanın tamamı boyunca yadımını ve blgsn hç esgemeyen hocam Yad.Doç.D. Şaban AKTAŞ, D. Pablo CAPUZZİ ve Pof. D. Mao TOSI ye, Des aşamasında blglenden faydalandığım Fzk bölümü hocalaıma, Kısa peyotla çnde yapılan dönemlk savunma zamanlaında sabıla dnleyp, cesaetlenddğ çn T.Ü. Mühendslk Mmalık Fakültes Makne Mühendslğ Bölümü öğetm üyelenden Doç. D. Tane TIMARCI ya, Çalışmanın yapım ve yazım aşamalaında yaptığı sayısız ve paha bçlmez yadımlaından dolayı Aş.Gö. Engn ÇİÇEK ve değel akadaşım Denz EKŞİ ye, he adımda vedkle destek ve moal çn akadaşlaım Özge KILIÇOĞLU ve Baış ÖZKAPI ya, Ayıca bu tez Takya Ünvestes Blmsel Aaştıma Pojele Müdülüğü taafından TÜBAP-8/4 nolu pojeyle desteklenmşt. Takya Ünvestes Blmsel Aaştıma Pojele Müdülüğü ne He an yanımda olup, sevglen hç eksk etmedkle çn Anne ve Babama, sonsuz teşekkülem sunaım.

6 İÇİNDEKİLER ÖZET SUMMARY TEŞEKKÜR SEMBOLLER ve KISALTMALAR TABLOLARIN ve ŞEKİLLERİN LİSTESİ v v. GİRİŞ.. Bose-Ensten Yoğuşmasının (BEY Tahsel Gelşm 9.. Alkal Atomlala Bose-Ensten Yoğuşması (BEY.3. Laboatua Otamında Soğutma ve Tuzaklama.4 Paçacıkla Aası Güçlü İtclğ Olan Bkaç Bozonlu Sstem 5.5 Pseudo Potansyel Yaklaşıklığı 6.6 İtc Potansyel Şddet ve Bozon Molekülünün Oluşumu (Tonks Bölges 8. ETKİLEŞEN SİSTEMLERDE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ. Çok Paçacık Poblem. Bon-Oppenheme Yaklaşımı 3.3 Dalga Fonksyonu Yaklaşıklıklaı 4.3. Bogolubov Yaklaşımı 4.3. Goss-Ptaevsk Denklem Hatee Yaklaşımı Hatee-Fock Yaklaşımı Vayasyon Yöntem Monte Calo Yöntem 33.4 Yoğunluk Fonksyonel Yaklaşımlaı Thomas-Fem Yaklaşımı Hohenbeg-Kohn teos Kohn-Sham Denklemle 37 v

7 .5 Çözüm Yöntemlenn Kıyaslanması Ve Bozonlaa Uygulanması HARTREE-FOCK VE VARYASYONEL YAKLAŞIMIN BOZONİK SİSTEMLER İÇİN TEORİSİ 4 3. Bozonla İçn Hatee-Fock Yaklaşıklığı Bozonla çn Gaussan Yaklaşıklığı İZOTROPİK TUZAK İÇİNDEKİ BOZONLAR İÇİN HARTREE, HARTREE- FOCK VE VARYASYONEL SONUÇ 5 4. Etkleşme Potansyeln İncelenmes Hatee, Hatee-Fock ve Vayasyon Yöntem le Sstemn Toplam Enejsnn Bulunması Yoğunluk Dağılımın İncelenmes ve Tek Paçacık Matsle Wgne Kstal(Molekülü Süpe Molekül ANİZOTROPİK TUZAK VE VARYASYONEL SONUÇLAR Deneysel Düzenek ve Çalışma Pensb Yoğunluk Dağılımının İncelenmes Sonuçlaın Bazı Deneysel ve Teok Çalışmalala Kaşılaştıılması Eylemszlk Moment Faz Geçşnn Nümek Olaak Bellenmes 5 6. SONUÇLAR VE DEĞERLENDİRME KAYNAKLAR 3 ÖZGEÇMİŞ v

8 SEMBOLLER ve KISALTMALAR SEMBOLLER λ db : de Bogle dalga boyu w 3 D : Çftlenm (couplng sabt γ : Etkleşme ve knetk enej oanı ψ ( : Sstemn dalga fonksyonu V( : Dış potansyel V ( ' : Etkleşme potansyel V yon ( : İyonla aası etkleşme potansyel V H ( : Elektonla aası etkleşme potansyel μ : Kmyasal potansyel n ( : Paçacık yoğunluğu + ψ ( : Yaatıcı alan opeatöü ψ ( : Yok edc alan opeatöü K ( : Bessel fonksyonu d + ve d : Atıma ve azaltma opeatöle S j α l κ V : Ötüşme mats : Anzotop paametes : Manyetk uzunluk : Potansyeln em uzunluğu : İtc potansyel şddet (çftlenm sabt φ ( : Tek paçacık dalga fonksyonu s a B : Wgne Setz yaıçapı : Boh yaıçapı a x ve a y : Paçacığın x ve y eksenndek konumu v

9 σ I N N : Gaussan dalga fonksyonun genşlğ : Eylemszlk moment : Toplam paçacık sayısı : Heb enej sevyesndek paçacık sayısı V ktk : Ktk potansyel değe KISALTMALAR BEY BCS MOT TOP HFB QMC YFT GP TD UBHF IMSL DUMPOL RHF VMC : Bose Ensten Yoğuşması : J. Bodan, L.N. Coope ve J.R. Scheffe : Manyetk optk tuzak : Zaman yöüngesel potansyel : Hatee-Fock Bogolubov yaklaşıklığı : Kuantum Monte Calo yöntem : Yoğunluk Fonksyonel Teos : Goss Ptaevsk Teoem : Taban duum : Sınılandıılmamış Bose Hatee-Fock Yaklaşıklığı : Ulusla aası Matematksel ve İstatstksel Kütüphanele : Çok değşkenl fonksyonlaım mnmzasyonu : Sınılandıılmış Hatee-Fock Yaklaşıklığı : Vayasyonel Monte Calo yöntem v

10 TABLOLAR Tablo. Knetk ve Etkleşme enejlen ve çflenm sabtnn faklı boyutlada yaklaşık fadele göstelmes 8 Tablo 4. Yoğunluk dağılımının paçacık sayına göe değşk etkleşme potansyelle çn kaşılaştıılması 76 ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekl. : Bose-Ensten yoğuşması çn şematk b göstem 7 Şekl. : Yoğunluk pofllenn sıcaklığa bağlı değşmne göe BEY 8 Şekl. 3: Lazele yadımıyla paçacıklaın yavaşlatılması 3 Şekl. 4: Buhalaştıaak Soğutma konfgüasyonu 3 Şekl. 5: Optk kstal ögü göstem 4 Şekl. 6: Bozon gazının faklı etkleşme şddetle çn davanışını göstelmes Şekl 4. : Etkleşme enejsnn logatmk ve Bessel fonksyonu çn konuma bağlı değşm ve kaşılaştıılması 57 Şekl 4.: Bessel ve logatmk potansyeln etkleşme enejsne etksnn kaşılaştıılması 58 Şekl 4. 3: Toplam potansyel enejnn Logatmk ve Bessel fonksyonu çn konuma bağlı değşm ve kaşılaştıılması 59 Şekl 4. 4: İk paçacığın toplam enejsnn çftlenm sabtne göe değşmnn üç faklı yaklaşıklık le ncelenmes 63 Şekl 4. 5: Üç paçacığın toplam enejsnn çftlenm sabtne göe değşmnn üç faklı yaklaşıklık le ncelenmes 64 Şekl 4. 6: Döt paçacığın toplam enejsnn çftlenm sabtne göe değşmnn üç faklı yaklaşıklık le ncelenmes 65 Şekl 4. 7: Beş paçacığın toplam enejsnn çftlenm sabtne göe değşmnn üç faklı yaklaşıklık le ncelenmes 66 Şekl 4. 8: Altı paçacığın toplam enejsnn çftlenm sabtne göe değşmnn üç faklı yaklaşıklık le ncelenmes 67 v

11 Şekl 4.9: Altı paçacık çn taban duum enejsnn aaştıılması 68 Şekl 4.: Yed paçacık çn taban duum enejsnn aaştıılması 69 Sekl 4.: Yoğunluk pofllenn faklı çftlenm sabt şddetne göe değşm 79 Şekl 4.: İk paçacık çn yoğunluk dağılımının k faklı yöntemle ncelenmes 8 Şekl 4.3: Döt paçacık çn yoğunluk dağılımının k faklı yöntemle ncelenmes 8 Şekl 4.4: Altı paçacık çn yoğunluk dağılımının k faklı yöntemle ncelenmes 8 Şekl 5. : Toplam enejnn anzotop paametesne bağlı değşm 85 Şekl 5. : Deneysel Düzenek 86 Şekl 5.3: Döt paçacık çn yoğunluk dağılımlaının faklı çftlenm sabt ve anzotop paametele çn ncelenmes 89 Şekl 5.4: Beş paçacık çn yoğunluk dağılımlaının faklı çftlenm sabt ve anzotop paametele çn ncelenmes 9 Şekl 5.5: Altı paçacık çn yoğunluk dağılımlaının faklı çftlenm sabt ve anzotop paametele çn ncelenmes 9 Şekl 5.6:Dokuz paçacık çn yoğunluk dağılımlaının faklı çftlenm sabt ve anzotop paametele çn ncelenmes 9 Şekl 5. 7: Döt paçacık çn yoğunluk dağılımı çftlenm sabt V = 5 hw değende anzotop paametesne göe değşmn ncelenmes 95 Şekl 5. 8: Beş paçacık çn yoğunluk dağılımın çftlenm sabt V = 5 hw değende anzotop paametesne göe değşmn ncelenmes 96 Şekl 5. 9: Altı paçacık çn yoğunluk dağılımın çftlenm sabt V = 5 hw değende anzotop paametesne göe değşmn ncelenmes 97 Şekl 5. : Dokuz paçacık çn yoğunluk dağılımın çftlenm sabt V = 5 hw değende anzotop paametesne göe değşmn ncelenmes 98 Şekl 5. : Eylemszlk momentnn x ve y bleşenlenn ( I x I y oanının çftlenm sabtne göe değşmnn faklı anzotop paametele çn ncelenmes Şekl 5. : Eylemszlk momentnn x ve y bleşenlenn oanının ( I x I y anzotop paametesne göe değşmnn ncelenmes 3 x

12 Şekl 5. 3: Yoğunluk dağılımının çftlenm sabt V = 5hw değende paçacık sayısı N =4, 5, 6 ve 9 olduğunda anzotop paametes α =, veα =. çn değşmnn ncelenmes 4 Şekl 5.4: N N oanının çftlenm sabtne göe değşm anzotop paametes α =,.9,...,. değele çn ncelenmes 7 Şekl 5.5: N N oanının çftlenm paametesne göe değşm anzotop paametes α = ve.5 alındığında 4, 5, 6 ve 9 paçacık çn ncelenmes 8 Şekl 5.6: N N oanının çftlenm sabtne göe değşm ve fonksyona göe ft eğs anzotop paametes α = ve. 5 olduğunda sıasıyla 4,6 ve 9 paçacık çn ncelenmes 9 Şekl 5.7: Ktk çftlenm sabtnn k faklı yaklaşım altında anzotop paametesne göe değşm sıasıyla N =4, 5, 6 ve 9 paçacık çn kaşılaştıılması x

13 BÖLÜM : GİRİŞ Gazla, kend aalaındak etkleşmele sıvı ve katılaa göe daha zayıf olan molekül veya atomladan oluşu. Fzksel davanış açısından gazlaı klask ve kuantum gazlaı olaak k sınıfa ayımak mümkündü. Bose-Ensten Yoğuşması (BEY, sadece kuantum gazlaında gözlenen b kavamdı ve bu açıdan klask gazladan faklılığının ncelenmes geek. B gazı oluştuan molekülle topluluğunun çok az sayıdak b alt kümes çapışmala yoluyla güçlü etkleşmelee gele. Molekülle aası kuvvetle Van de Waals kuvvetle olaak tanımlanı. Buna göe, molekülle hehang b anda çaplaından daha büyük mesafelee uzaklaştııldığında etkleşmn büyüklüğü, aalaındak uzaklığın altıncı kuvvetyle hızlı b şeklde azalı. Bu nedenle düşük yoğunluklada gaz moleküllenn bbleyle etkleşmele çok küçük potansyel enejlee sahpt. Molekülle aasında otalama uzaklık 3 Aº metebesnded bu da b molekülün çapının katı kadadı (Kettele, 999. İdeal gaz, molekülle aası etkleşme potansyel enejsnn haeketn knetk enejs yanında hmal edlebldğ duumla temsl edl. Böyle b gazı temsl eden bölüşüm fonksyonu ve dolayısıyla gazın sebest enejs, klask statstk mekanğe uygun, Maxwell-Boltzman statstğ le elde edl. İçesnde N tane molekülden oluşan V hacml b kutunun b ısı banyosunda olduğu büyük kanonk topluluğu ele alalım. Gazın b molekülünün hehang b paçacığını b duumda bulunma olasılığı le tanımlanan mümkün olan duumlaın sayısı, moleküllen sayısıyla lstelenebl. Buna göe,.nc duumda bulunan molekül n,.nc duumda bulunan molekül n ve.nc duumda bulunan molekülde n duumunu şgal ede. Toplam molekül sayısı sevyeledek paçacık sayısının toplamı cnsnden N (. = n

14 le vel. Sstem yetence büyük seçldğnde enej sevyele bbne oldukça yakın olacağından moleküllen enejle glebl duumlaın sayısı le lşklendl. Moleküllen enejle E E... E (. olaak sıalanı. Gazlaın teosnde momentumu p olan b m kütlel paçacığa eşlk eden De Bogle dalga boyu λ db yaklaşık olaak h λ = (.3 πmk T B temal dalga boyuna eştt. Buada h Plank sabt, k B Boltzman sabt, T se gazın sıcaklığıdı. B gazın paçacık yoğunluğu n le göstelse, b paçacığın çevesndek hacm /n ve paçacıkla aasındak otalama uzaklık (/n /3 olu. Böylece gazlaı sınıflandımak üzee aanılan kte elde edl. Temal dalga boyu le paçacıkla aasındak mesafe kaşılaştıılısa, λ << (/ n λ >> (/ n / 3 / 3 Klask Gaz Kuantum Gazı (.4 ayımı yapılabl. Başka b fade le, paçacıkla aasındak uzaklık temal dalga boyundan büyük se de Bogle dalgalaı yetel ölçüde gşm yapamazla. Bu tp paçacıkla Newton mekanğne uyala ve gaz klaskt. Ancak paçacıklaın de Bogle dalga boylaı molekülle aası otalama sebest yola yakın veya eşt büyüklükte se gşm otaya çıka. Gaz atık kuantum ejmnded (Kaaoğlu, 3. Kuantum ejmnde b gazın fzksel davanışını anlayablmek çn kuantum statstğ bakış açısından glebl duumlaın sayısını ve dğe özellklen blmek geekld. Kuantum mekanğne göe glebl duumlaın sayısı n... setnn bütün, n keyf değele alamaz. Kısıtlamala vadı. Kuantum mekanksel açıdan bakıldığında

15 bbnden ayıt edlemeyen paçacıklaın bulunduğu çok paçacıklı b sstemn toplam dalga fonksyonu, paçacıklaın ye değştmesne göe ya smetk ya da antsmetk olmalıdı. Paçacıklaın dalga fonksyonunun smetk ya da antsmetk olmasını paçacığın sahp olduğu spn belle. Spn kuantum mekanğne at b kavamdı ve paçacığı temsl eden dalga fonksyonunun b dönme opeasyonu altında paçacığı teka yaatması olaak tanımlanı. B paçacığın spn sayısı da bu dönmenn ncelk değene eştt. B kuantum paçacığı çn spn h veya sahpt h nn tam katlaı değene Paçacıkla spn değene bağlı olaak k sınıfa ayılabl. Bu k sınıf fzksel olaak tamamen faklı özellklee sahpt. İlk sınıf, doluluk sayısının tamsayı değele aldığı, n =,,,3,..., (.5 paçacıkla kümesd. Bu sınıftak paçacıkla Bose-Ensten statstğne uyala. Öneğn π ve K mezonlaı, fonon bu sınıfa dâhl olan bozon genel adıyla anılan paçacıkladı. Dğe sınıftak paçacıkla doluluk sayılaının alableceğ değele n =, (.6 olan guptu. Bu paçacıkla Fem-Dac statstğne uyala. Elekton, pozton, poton ve nöton bu sınıftak femyon adı velen paçacıklaa önek olaak velebl. Bose-Ensten yoğuşmasının nasıl meydana geldğn göstemek çn kütles sıfıdan faklı b bozon gazının fzksel davanışı ele alını. Bozon gazlaı, spn b tam sayıya eşt olan atomladan oluşu. Bozonla, femyonlaın tesne Paul dışalama lkesne uymazla. Bu özellkle öneml fzksel sonuçlaa yol açmaktadı. B bozon gazının dağılım fonksyonu, n = (.7 β ( ε μ e bağıntısı le vel. Sstemdek tüm paçacıklaın sayısı se, 3

16 N = n = e β ( ε μ (.8 olu. Buada ε, knetk enejy ve μ, kmyasal potansyel göste. k B Boltzman sabt ve T sıcaklık olmak üzee β = le vel. Paçacıklaın temal De Bogle k B T πh dalga boyu λ db = olaak hesaplanabl. Dalga boyunun sıcaklık le tes oantılı mk B T olduğu kolayca göüleblmekted (Tos, 3. Sstem sıcaklığı düşüülmeye başlandığında, paçacıklaı temsl eden De Bogle dalga boyu büyüklüğü atmaktadı (Şekl.. Paçacık sayı yoğunluğu le oantılı olaak b T c 3 h n 3.3 ktk mk sıcaklığında dalga paketlenn süpepozsyonu başla ve sıcaklık, T, azaldıkça güçlen. V hacm olmak üzee, üç boyutta sebest paçacık çn duum yoğunluğu, B 3 V m g ( ε = ε (.9 3π h ve bu duumlaın enej yoğunluğu 3 g V π (m ( ε dε = ε dε (. 3 h olu. (.8 bağıntısının ntegal fomunu dkkate alaak (. bağıntısını yenden yazasak toplam paçacık sayısı, N V π (m = 3 h 3 e ε β ( ε μ dε (. 4

17 elde edl. Sstemn sıcaklığı azaldığında uyaılmış duumdak paçacıklaı sayısı azalıken taban duumdak paçacıklaın sayısı atmaya başla. Sıcaklık düşüüldüğünde en düşük enejl taban duumda dah ( E =, doluluk sayısı negatf olamayacağına göe Bose gazımda kmyasal potansyel < μ olmasını geekt ve sıcaklık düştükçe kmyasal potansyel μ de küçülü. = μ ken T = Tc de mnmum ktk b T c sıcaklığı tanımla. Bu ktk sıcaklıktan düşük sıcaklıklada b bozon gazının faz değşteceğne açıkça şaet ede (Şekl.. Ancak (. denklem uyaılmış enej düzeylendek paçacıklaın sayısını ve. Çünkü denklem ε > değelen göz önüne alı. Taban enej düzeyndek, enejs ve momentumu sıfı olan paçacıklaın sayısı, N l = e βμ (. ve uyaılmış duum N ε > 3 V π (m ε mk BT = =. 6 3 V β ( ε μ h e h 3 (.3 le vel. Böylece, toplam paçacık sayısı mk BT N = +. 6V βμ e h 3 (.4 elde edl. Bozonk gazla çn T c ktk sıcaklığının üstünde, taban duumdak paçacıkla tamamen hmal edleblle. Fakat ktk Tc sıcaklığının altında kmyasal potansyel sıfıa gde. Ktk sıcaklığın altında enejs sıfıdan faklı paçacıklaın sayısı (.3 bağıntısı μ = alınaak, 5

18 N ε > N = T T c 3 (.5 elde edl. Sonuç olaak olanlaın kesn veken, kalan paçacıklaın, N ε > / N oanı toplam paçacık sayısı çnde enejs ε > 3 T ( N / N = (.6 T c oanı se enejs ve momentumu sıfı olan paçacıklaın kesn ve. Ktk sıcaklığın üstünde taban duumdak paçacıklaın sayısı hmal edlecek kada az sayıda ken sıcaklık geçş sıcaklığının altına düşüüldüğünde paçacıklaın çok büyük b kısmı taban duumda bulunu. Taban enejsne ulaşan paçacıklaın enejs ve momentumlaı sıfı olu. Bu şeklde paçacıklaın çok büyük b kısmı taban duumda bulunmasına Bose-Ensten Yoğuşması (BEY adı vel. Yoğuşmanın en öneml fzksel sonucu, sstemde bulunan tüm bozonk paçacıklaın aynı taban enej duumuna ulaşaak tek b paçacık gb davanması şeklnde özetlenebl. Şekl. de BEY göstelmşt. Femyonlaın aynı kuantum duumunda bulunmalaı Paul dışalama lkesne göe mkansızdı. Femyonla bu özellklen düşük sıcaklıklada da koumaktadıla. Dolayısıyla Femyon gazlaı le BEY elde edlemez. 6

19 a Yüksek T >> Tc sıcaklığında deal gaz atomlaı b Düşük h T < Tc sıcaklığında λ = T db mv c T <<, BEY λ d T c db = Şekl. Bose-Ensten yoğuşmasının şematk olaak tasv. a Yüksek sıcaklıklada zayıf etkleşml b gaz blado toplaı ndan oluşan b sstem gb davanı. b Düşük sıcaklıklada, atomla λ db genşlğnde dalga paketle olaak göz önüne alınıla. BEY geçş sıcaklığında, λ db atomla aasındak uzaklıkla kaşılaştıılabl büyüklükted. c Sıcaklık sıfıa yaklaştığında, temal bulut otadan kaybolması ve saf bozon yoğuşması Şekl., deal gaz atomlaının Bose Ensten Yoğuşmasını nasıl oluştuduğunu açıklamaktadı. Şekl. a, yüksek sıcaklıklada atomla blado toplaı 7

20 göüntüsünded ve deal gaz atomlaı sebestçe haeket ede. Şekl. b, atomun De Bogle dalga boyu le sıcaklık tes oantılı olduğundan sıcaklık azaldıkca atomlaın dalga kaakte öne çıka ve De Bogle dalga boyu le temsl edlmeye başlala. Şekl..c de se atomla aası uzaklık d le atomlaın De Bogle dalga boyu λ db nın kaşılaştıılabl hale geldğ duumdu. T c ktk sıcaklığın altında BEY n otaya çıktığı gözlen. Yoğunluk pofllenn sıcaklığa bağlı değşm Şekl. de göstelmşt. T>T c T<T c T<<T c Şekl. Yoğunluk pofllenn sıcaklığa bağlı değşmne göe BEY 8

21 .. Bose-Ensten Yoğuşmasın (BEY Tahsel Gelşm Ymnc yüzyılın başında, ışığın dalga mı yoksa taneck m olduğu blm adamlaı taafından tatışılmıştı. Planck bazı deneylende ışığın taneckmş gb davandığını fak ett. Işık sank devamlı dalgala değl de, enej paketckle gb gelyodu. Isıtılan csmleden yayılan adyasyonun spektal dağılımının enejnn keskl düzeylee sahp olması le bellenmşt. Bu keşf 98 Nobel Fzk ödülünü aldı. Planck ın sonuçlaını teka üeten Ensten, daha sona Raman spektumu le lşklendlecek olan fekans değşm, atomlaın ışık le yonze edlmesn ve üzene ışık düşüülen metal yüzeyleden elekton yayınlanmasını sonadan foton adı velecek enej paketle le açıklandı. Fotoelektk etk olaak blnen son açıklama Ensten e 9 yılı Nobel ödülü getd. 94 yılında Hntl fzkç S.N. Bose, ısığın kuanta ya da fotonla olaak adlandıılan keskl enej paketle olaak davanableceğn gösted (Bose, 94. Ensten, Bose nn fotonla çn yaptığı bu çalışmayı ayıt edlemez paçacıkla çn genelleştd ve etkleşmeyen bozonk paçacıklaın toplam sayısının kounması şatı le tek b kuantum duumuna yoğuşableceklen gösted. Böylece Bose-Ensten statstğ doğmuş oldu ve bu faz geçş de Bose-Ensten yoğuşması olaak adlandııldı. Düşük sıcaklık fzğnn tah 98 yılında Onnes kaynama sıcaklığı 4.K olan helyumu sıvılaştımayı başamıştı. Üç yıl sona, Onnes ve akadaşlaı metallen düşük sıcaklıkta dençlen nceleken süpeletkenlk olayını keşfett. Bu nedenle Onnes 93 yılında Nobel fzk ödülünü kazanmıştı. Ancak 938 yılında London bu süpe akışkanlığın helyum atomlaının bozonk kaaktenden kaynaklanması geektğn le südü. Bu tez bozonk kaakte taşımayan ve şu an bldğmz şeklyle Fem-Dac 3 statstğne uyan ( He zotopunun süpe akışkan özellğ le desteklend. Landau, süpe akışkanlaın hçb denç kuvvet le kaşılaşmadan akan b sıvı gb davanışını açıklayan teoy lk defa 94 yılında oluştuuldu. Teoye göe, glebl enej duumlaı yetence azaltıldığında ancak uzun dalga boyuna sahp fotonlaın uyaılacağını ve böylece süpe akışkan b duum oluşacağı fkne dayanıyodu (Landau, 94. 9

22 Süpeletkenlğn moden teos Badon, Coope ve Scheffe (BCS taafından 957 yılında açıklanmıştı. Bu mkoskobk teo, metallen elektonlaı aasındak etkleşmenn fononla le geçekleştğn vasaymaktadı. İletm elektonlaının Fem küesnn oluştuduğu b metal düşünelm. Bu elektonla bblen Coulomb kuvvet le tecekled. Fem küesnn çndek dğe elektonlaın pedelemes sonucu bu kuvvet azalacaktı. Pedelemey de dkkate aldıktan sona k elekton aasındak kuvvet tc küçük b kuvvett. BCS teosne göe, spnle ve momentumlaı eşt fakat bbne zıt k elekton fonon etkleşmele sonucu b bozon oluştuula. İk elektondan oluşan böyle b ssteme Coope çft den. Nomalde elektonla Fem- Dac statstğne uyala fakat süpe letken geçş sıcaklığının altında oluşan Coope çftle, olaak da blnen elekton çftle bozon gazı gb davanaak Bose-Ensten yoğuşmasına benze b duumun otaya çıkmasına yol açala. Bu letm elektonlaı Fem yüzeynn k B θ D enejsne eşt enej aalığı çndedle. Deneysel gözlemlen yapılablmes çn geekl olan çok düşük sıcaklıklaa ulaşmak, atomlaın laze le soğutma teknklenden sona mümkün olmuştu (Letokhov,979 ve Phllps, 979. Bölüm.3 de bu konuya ayıntılı değnlecekt. Bunun hemen adından Phllps, Chu ve Cohen-Tannoudj öncek teolen öngödüğü lmtle altında soğutma yöntem gelştdle (Nobel Ödülü, 997. Optk tuzak BEY olayının gözlenmes çn son yıllada sıkça kullanılan b yöntemd. Optk tuzakla çok zayıf olduğundan fzksel açıdan yetel sayıda atom toplamak çn sabılı b tuzaklama süec geek. Phllps n gubu tuzaklama çn daha etkl olan manyetk alan kullandıla. Atomk soğumanın Zeeman yavaşlatıcılığı le manyetk alan gadyentnn b bleşm olan bu yöntem yaalı b tuzaklama önesyd. Yne de optk tuzakla düşük boyutlu BEY olaylaının ncelenmesnde yaygın olaak kullanılmaktadı. Daha güçlü tuzaklama yapablmek çn alkal atomlada yapılan deneylede Magneto-Optk Tuzaklama (MOT kullanmak çok yaygındı (Dalbad, 986. Çünkü bu yöntemle atomlaın hem soğutulması hem de tuzaklanmasının etkl b şeklde geçekleştleblmekted (Aydıne, 5.

23 .. Alkal Atomlala Bose-Ensten Yoğuşması Atomk gazladak lk olaak hdojen kullanaak BEY elde edlmes çn tüm paçacık yoğunluklaı denenmesne ağmen başaılı olunamadı. Bu nedenle hdojen atomunda BEY gözlemek çn laze soğutma yöntem kullanıldı. Ancak, hdojen atomunun dalga boyu hehang b laze kaynağı le ezonansa getlemyodu. Bu nedenle çalışmala alkal atomlaa yönlendld. Alkal atomlaın enej sevyelenn yapısı lazee dayalı teknklee oldukça y uyala. Çünkü optk geçşle mevcut lazelele uyaılabl ve ç enej sevyele çok düşük sıcaklıklaa kada soğutmaya elveşld (Moedjk, 994. İlk başlada Weman ın temel düşünces atomlaı MOT çnde laze kullanaak soğutmaktı. Bu düşüncesn geçekleştmek çn Conell le blkte Rubdyum atomunda BEY geçekleştmeye çalıştıla. Atomlaı soğutma şlem bkaç aşamada geçekleştld. İlk olaak laze le soğutulan atomlaın sıcaklığını, mutlak sıfıa μk e kada yaklaştııldı. Lazele soğutma yöntem le eşlen sıcaklık BEY olayını gözlemlemek çn yetel değld. Çünkü tuzağın çnde mekezdek manyetk alan sıfı oluyo ve bu duumda atomlaın spn doğultulaının değşmesne neden oluyodu. Manyetk tuzağın mekeznde bulunan alan otadan kalktığında spn duumlaı kontolsüz b şeklde değşyodu. Conell atomlaın kaybını önlemek çn mekeznde manyetk moment sıfı olmayan yonca yapağı şeklnde b tuzak önemşt. Böylece tuzak potansyel otalama olaak dağılıyo ve paçacık kaybı gözlenmyodu. Ayıca manyetk tuzak paçacıklaın mekezde toplanmasını sağlıyodu (Şekl.3. Fakat BEY gözleyeblmek çn sıcaklığı daha da düşümek geekyodu. Sstem soğutmanın b başka yolu da sstemdek enejtk atomlaın magnetk alandan kaynaklanan dönüşle sıasında çapışmalaına sebep olacağından sıcak atomlaın magnetk tuzağın dışına çıkmalaını, dolayısıyla soğuk atomlaın tuzakta kalmasını sağla. Enejtk paçacıklaın buhalaştıma yoluyla dışaı atılması sonucunda sıcaklık, mutlak sıfıa 87 nk e kada yaklaştıılmış ve Rb da BEY Weman, Conell ve Kettele taafından lazele soğutmaya lave olaak buhalaştıaak soğutma yöntemnn ssteme eklenmes le deneysel olaak gözlenmşt (Şekl..

24 .3. Laboatua Otamında Soğutma ve Tuzaklama Bose-Ensten yoğuşması deneylenn yapılablmes çok düşük sıcaklıklaa ulaşmak geek. Atom ve molekülle üzende spektoskopk gözlemle yapmak, yüksek hızla haeket ettkle süece, çok kesn sonuçla vemeyecekt. B sstemde paçacıklaın knetk enejlen kaybetmes hızlaının azalacağı anlamına gelmekted. B enej bçm olan sıcaklık, b paçacık sstem çn b anlama sahpt ve böylece b sstemn knetk enejs sıcaklığın paametk b ölçüsüdü. Dolayısıyla, sstemdek paçacıklaın knetk enejlen azaltmak fzksel olaak sstemn sıcaklığını düşümeye yan soğutmaya kaşılık gel. Dğe yandan tuzaklama se atomun tüm sebestlk deecele doğultusunda haeketlen kısıtlama olaak bln (Andeson vd., 995. Laze le soğutma kavamı lk olaak 968 yılında Letokhov, 97 yılında A. Ashkn taafından öne süüldü. Bu konuda faklı çalışmala yüütüldüğü yıllada lk defa laze ışığının sebest atomlaı soğutmada kullanılableceğn göstedle (Hansch ve Schawlov, 975. Laze le soğutmadak amaç, foton-atom saçılmasında Dopple etksn kullanaak atomlaın otalama hızlaını düşümek ve bu yolla onlaın sıcaklığını düşümekt (Şekl.3. Atomlaın yavaşlaması atomlaın dışadan foton soğuması le geçekleş. Çünkü foton soğuma le atomun momentumunu değşt. Dopple kayması olaak blnen, atomun enejsn azaltma yöntem sayesnde, atom süekl olaak haeket yönü doğultusunda momentum soğuu. Laze le soğutma düzeneğnde atomla hapsedlemez sadece otalama hızlaı düşüülü. Eğe üç boyutlu b laze düzeneğ sağlanısa atomla tüm sebestlk deecele doğultusunda soğutulabl (Şekl.3. Laze ve uzaysal olaak değşen manyetk alanın blkte kullanılması le oluştuulan Manyetk Optk Tuzak (MOT, atomla üzene konuma bağlı b kuvvet uygulayaak uzayın bell b kısmında bu soğuk atom bulutunu b aada tutabl. Manyetk alan le etkleşen atomla, Zeeman yaılmasına mauz kalı. Atomla, manyetk alanın sıfı olduğu tuzak mekezne doğu ge çağııcı b kuvvet algılala.

25 Şekl.3 Lazele yadımıyla paçacıklaın yavaşlatılması Lazele soğutma le ulaşılan sıcaklıkla, oldukça düşük olmasına ağmen Bose- Ensten yoğunlaşmasının gözlenmesne yetel olmadığından BEY elde etmek çn geeken yol gelştlen soğutma yöntemlenn bleştlmesnden geçmekted. İlk olaak lazele soğutulan paçacıkla buhalaştıma yöntem le knc b soğutmaya tab tutulu. Buhalaştıaak soğutmadak amaç, yüksek enejl atomlaın tuzaktan kaçmasına zn vemekt. Böylece tuzak çesnde düşük enejl paçacıkla kalı (Sekl.4. Şekl.4 Buhalaştıaak Soğutma konfgüasyonu (www.physcs.lsa.umch.edu. 3

26 Manyetk optk tuzaklaın boyutu ve ölçüsü çok önemld. Bunun yanı sıa, potansyel tuzak çndek soğuk atomlaı düzgün olaak dönmelene neden olablmekted (Şekl.5. En y gözlem yapılan deneyle, düşük boyutlu yapıla ve atomla aası kuvvetl etkleşme deneyled. Bu sstemle optk ögü çnde Bose-Ensten yoğuşmasının oluşmasını sağla. Optk ögü kaşılıklı olaak yeleştlmş bbne dk üç boyutlu olaak yeleştlmş lazeden oluşan b yapıdı. Optk tuzağın denlğ uygulanan laze ışınının yoğunluğu le oantılıdı. Eğe üç boyutlu olaak yeleştlmş lazelen k tanesnn yoğunluğu dğenden fazla se atomla yoğunluğun düşük olduğu doğultuda haeket edele. Böylece k boyutlu b yapı oluştuulu ve paçacıkla b boyutta haeket edele. Yetence yüksek ışın yoğunluğu göndelse oluştuulan k boyutlu tüp benze yapıla aasında geçş mkansız hale gel ve sstem etkn olaak b boyutlu olu. Tüp eksen boyundak paçacığın haeket 3. lazen yoğunluğu değştleek modüle edlebl. Böyle yapıla deneysel olaak (Knoshta vd., 4 taafından çalışıldı ve kuvvetl etkleşme gösteen Bose gazının özellkle anlaşılmak çn kullanıldı. Şekl.5. Şeklde optk kstal ögü göstelmşt. a optk kstal ögünün üç boyutta kaşılıklı konmuş lazele oluştuulması. b deneysel olaak optk ögü oluşumu c laze ışınlaından oluşan kae ögü kuyunun etkn potansyel 4

27 Dğe b duum se b boyuttak ışın yoğunluğunun dğe k boyuttan daha yüksek olduğu duumdu. Bu duumda atomk bulut küçük dsk şeklnde küçük guplaa bölünü. Laze ışının yoğunluğu değştleek he potansyel kuyusunda bkaç paçacık tuzaklanabl ve dğe potansyel tuzağından bağımsız olaak paçacıkla bulunduklaı potansyel kuyusu çnde haeket ettlebl. He b potansyel kuyusu aynı yöntem kullanılaak bağımsız olaak döndüülebl. Bunla bnlece paçacıktan oluşan Bose- Ensten yoğuşmasının oluştuulması çn kullanılı. Paçacıkla aası etkleşme genş b aalığa taşınabl ve yüksek b hassasyetle kontol edlebl. Buada paçacıkla aası etkleşmey değştmenn bkaç yolu vadı. En yaygın olanı saçılma uzunluğunun değştlmesd. Bu geçşlede dışadan uygulanan manyetk alanla sağlanabl. Atomlaım saçılma uzunluğu manyetk alana bağlıdı..4 Paçacıkla Aası Güçlü İtclğ Olan Bkaç Bozonlu Sstem Bu kısımda, b tuzak çnde dönen güçlü tclğ olan bozonla ncelenecekt. Aalaında güçlü tclk bulunan bozonlaın Bose-Ensten Yoğuşmasından faklı olaak yen b duum göstedğ anlaşılmıştı. Çeştl potansyelle kullanılaak zayıf etkleşmel soğuk atom poblem ym yılı aşkın süed aaştıılmıştı. Bu çalışmada aalaında güçlü tclğ olan bkaç bozondan oluşan b sstemn taban duum özellkle ncelenmşt. Çalışmalaımızı leletmek ve bkaç atomdan oluşan sstemn taban duum özellklen anlamak çn Bose-Ensten yoğuşmasının tanımının düzenlenmesne ve değştmeye geeksnm duyulmuştu. Yoğuşmanın temodnamk tanımı açıkça az sayıdak paçacık çn kullanılamayacağını göstemekted. Bu yüzden az sayıda paçacıktan oluşan Bose- Ensten yoğuşmasından şunu anlıyouz k sstemn bütün paçacıklaı aynı tek paçacık kuantum sevyesnde bulunmaktadı. Bunun anlamı sstemn dalga fonksyonunun tek paçacık dalga fonksyonlaının çapımı olaak kaakteze edlmesd. 5

28 .5 Pseudo Potansyel Yaklaşıklığı Aalaında güçlü tc etkleşme olan bozonlaı tanımlamaya başlaken önce paçacıkla aası etkleşme potansyeln bellemelyz. Soğuk gazın yüksüz atomladan oluştuğunu faz edelm. Etkleşme potansyelnn emnn de De Bogle dalga boyundan çok küçük olduğunu faz edelm. Bu duumda paçacıkla aası potansyeln şekl öneml değld, çünkü bütün paçacıkla uzaya dağılacak ve sadece dğe paçacıklaın otalama potansyeln hssedecekt. Paçacıkla aası etkleşme sadece b paamete le saçılma uzunluğu a le kaakteze edlebl k, bu da potansyeln etkn çapıdı. Bu lmtte kısa eml potansyelden saçılma, çapı a olan b katı küeden saçılma olaak göülebl. Mekez koodnatlada katı küenn Schödnge denklem ( + k ψ ( = ψ ( = ( > a ( a (.7 olaak tanımlanı. Sını koşullaından etkleşme potansyeln tanımlamak çok zodu. Poblem kolaylaştımak çn katı küe potansyel yene b pseudo potansyel tanımlanı. Ancak bu potansyel hçb sını koşulu geektmeden doğu genlk ve küe dışında doğu faz değşm vemeld. Üç boyutta, pseudo potansyel U v = W Bδ ( ( (.8 ( 3B ( 3 yaklaşımıyla tanımlanı. Buada W 3B çftlenme sabtd. Eğe çftlenme paametes poztf se bu bozonla aası tc etkleşme, negatf se çekc etkleşme vadı. Üç boyutlu sstemn çftlenme paametes saçılma uzaklığına bağlı olaak, 4πh a = (.9 m W3 B 6

29 le tanımlanı. Buada a a3b = atomk saçılma uzunluğu, m se ndgenmş kütled. Üç boyutlu çftlenme paametes atomun paametelene bağlıdı ve tuzaklama potansyelnn paametelenden bağımsızdı. B boyutta ve k boyutta sstemn pseudo potansyel tanımı üç boyuta göe daha kolaydı. Kısa eml etkleşmele Dac delta fonksyonu le şöyle tanımlanı. U ( ( = Wδ ( (. Tuzaklama potansyeln hesaba kataak saçılma genlğ hesaplandıktan sona k boyutlu çftlenm sabt W B = π h m l / a + ln π πq l (. d. Buada l = h tuzaklama potansyelnn dsk düzlemne dk uzunluğu mw kaakteze ede, q se çapışan paçacıklaın momentumunu göstemekted. l>>a lmtnde logatmk tem önemsz olu ve W enejden bağımsız hale gel. Dğe yandan, eğe l yaklaşık a se, logatmk tem baskın hale gel. Bu duumda çftlenme paametes yaklaşık W π h (. m ln( a / l olaak tanımlanı. Tuzaklama potansyel defome edleek çekc atomla çn, önce atomlaın bbn ttğ bölgeye ulaşılabl. B boyutta çftlenme sabt l a a B = C ve C =.36 olmak üzee a l W B h = (.3 ma B 7

30 le fade edl. D D 3D K n n 3 h m h n m h m I nw nw nw W h a ml h π ln m ( ka 4πh a m Tablo. Knetk ve Etkleşme enejlen ve çftlenme sabtnn (W faklı boyutlada yaklaşık fadelenn göstelmes.6 İtc Potansyel Şddet ve Bozon Molekülünün Oluşumu (Tonks Bölges Atomla aası tclğ kaakteze etmek çn boyutsuz b tem olan etkleşme I enejs le knetk enej aasındak oanı veen γ = paametes le başlayablz. γ K gösteyo k etkleşme şddet sadece W ya bağlı değl aynı zamanda atom gazının yoğunluğuna da bağlıdı. Tablo. den de göüldüğü gb kuvvetl etkleşme ( γ >> he b duum çn faklıdı. 8

31 Şekl.6 da göüldüğü gb, sıfı sıcaklıkta ve γ = duumunda bütün paçacıkla en düşük enejle le aynı kuantum sevyesne düşele. Böylece Bose- Ensten yoğuşması oluşu. Zayıf tclk olduğu duumda ( γ ~ etkleşmeden dolayı he ne kada yöüngele bozulsa da bozonla hala kend yöüngelende bulunula. Yüksek tclk şddetnde ( γ > bozonla otak yöüngelen bozaak tc enejlen mnmze edele. Bu duumda Bose-Ensten yoğuşması bozulu ve bozonla çne glmez küele gb davanıla. Başka b deyşle, uzayda aynı noktada bulunmayı engellele. Bu davanış femyonlaın Paul dışlama lkesnden kaynaklanan davanışlaına benzedğnden femyonk özellkle göstemesne neden olu. Tuzaklanmış aşıı soğuk atomlaın deneysel olaak gözlenmesnden çok önce bu davanış teok olaak göstelmşt (Gadeau, 96. Daha sona aynı sstem ele alaak, bozonla aası etkleşme potansyel U ( x δ x' olaak tespt edlmşt (Leb ve Lnge, 963. Bu sonuca taban duum ve uyaılmış duumla nceleneek ulaşılmıştı. Ayıca b boyutta kuvvetl etkleşme lmtnde U bozonlaın geçekten femyonla gb davandığını spatlandı. Klask olaak katı küe paçacıklaından oluşan b gaz poblem Tonks taafından çözüldü. Bozonla aasında şddetl tclğn olduğu bölgede bozonla femyon gb davanıla, bu duum genelde Tonks-Gadeau bölges olaak tanımlanmaktadı. Son zamanlada yapılan deneyle (Knoshta vd., 4 ve Paedes vd., 4 Gadeau nun yapmış olduğu öngöüyü doğulamaktadı. 9

32 a b c Şekl.6. Bozon gazının faklı etkleşme şddetle çn davanışının göstelmes. Şekl a ve b de se zayıf etkleşme olduğunda Bose-Ensten Yoğuşması gözlenmekte, c Şddetl tmenn olduğu lmtte paçacıkla faklı obtallee lokalzasyonunun ncelenmes

33 BÖLÜM : ETKİLEŞEN SİSTEMLERDE ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ Bu bölümde, BEY ve kstal faza geçş nceleyen yöntemle özetlenecekt. İlk öncele sıfı sıcaklıkta paçacıkla aasında zayıf etkleşmele tanımlamak çn Bogolubov yaklaşımı kullanılmıştı. Yoğuşma duumunda kullanılan dalga fonksyonu Goss-Ptaevsk denklemle le vel. Yoğuşmayan paçacıklaın etks se Hatee- Fock-Bogolubov (HFB denklemle kullanılaak ncelen. Çok paçacıklı sstemlen ncelenmesnde benmsenen dğe b çözüm yolu se Kuantum Monte Calo smulasyon yöntemd. Yöntem enej, yoğunluk dağılımı gb bçok fzksel özellklen hesaplanmasında kullanılmış ve deneylele uyumlu sonuçla vemşt (Cepeley, 995 ve Gogn vd., 999. Ancak anzotopk tuzak çn aynı şeyle söylenemez. Bölüm 5 de, Monte Calo yöntem le elde edlmş sonuçlala Vayasyon yöntem le elde ettğmz sonuçla kaşılaştıılacaktı. Bose Ensten yoğuşmasının ncelenmesnde kullanılan b dğe yöntem de Yoğunluk Fonksyonel Teoem (YFT d. Yoğunluk Fonksyonel Teoem paçacıkla aasındak etkleşme ve koelasyon etklen de çedğnden metalle, yaıletkenle ve yalıtkanlaın temel duum özellklen bellemek çn oldukça başaılı b yaklaşımdı. Bu özellkle nedenyle YFT fk etkleşen b elektonla sstemn çok-csm dalga fonksyonlaı yoluyla değl elekton yoğunluğu le tanımlayan b teo olmasına ağmen son zamanlada bozon sstemlende kullanılmaya başlanmıştı (Km ve Zubaev, 3. Yukaıda beltlen çözüm yöntemlene benze sstemn dalga fonksyonun bellenmesne dayanan ve lteatüde kullanımı daha fazla tech edlen yöntem se vayasyon yaklaşımıdı. Aşağıda bu yöntemle özetlenecekt.

34 . Çok Paçacık Poblem Elektonlaın ve çekdeğn oluştuduğu b sstem çn Schödnge denklem, H ˆ ψ = Eψ (. fomunda vel. Hamlton opeatöü atomk bm sstemnde, Hˆ Ne N Ne NI Z I = I I M v I R Ne N + = j> + = = I = = I j I = j> I RI Ne N Z I Z j R j (. gb fade edl. Buada M I çekdek kütles, Z I atom sayısı, ve R I se sıasıyla elekton ve çekdeğn koodnatlaıdı. Denklem (. de lk tem elektonun knc tem se çekdeğn knetk enejsn, üçüncü tem çekdek ve elektonla aasındak coulomb çekm alanı temn, dödüncü tem elektonla aasındak coulomb tme potansyeln ve beşnc tem se çekdekle aasında meydana gelen coulomb tme potansyeln fade etmekted. Böyle b sstemn taban duumu özellkle zamandan bağımsız, v Hˆ ψ = (, R Eψ (, R I v I (.3 Schödnge denklemnn çözümlenden elde edl. Buada (, v ψ çok paçacık dalga fonksyonu ve E sstemn toplam enejsd. Denklem (. de tanımlanan sstemn hamlton fadesnn çözümünü kolaylaştımak çn bazı yaklaşımla yapılmaktadı. Bu yaklaşımladan en önemls Bon-Oppenheme yaklaşımıdı. R I

35 . Bon-Oppenheme Yaklaşımı Çok elektonlu sstemlen elektonk yapısını anlamada temel öneme sahp Bon-Oppenheme yaklaşımında elekton ve çekdeklen haeketle ayı ayı ncelen (Bon, 97. Elekton ve çekdeğn kütlelen kaşılaştııldığında elektonun kütles çekdeğn kütlesne göe çok daha hafft M = 836,. Bu nedenle m çekdeğn sabt olduğu ve sadece elektonlaın haeket halnde olduğu düşünülebl. Dolayısıyla da çedeğn knetk enejs, elektonlaınkne göe hmal edlebl deecede küçüktü. Aynı zamanda çekdek-çekdek etkleşmesne de b sabt gb bakılabl. Bu duumda (Denklem. dek knc tem velen çekdeğn knetk enej tem hmal edlebl. Bu duumda hamltonyen, Hˆ = Z (.4 N e N e N N e N I + = = I = RI = j> j bçmnde elde edl. Denklem.4, N e tane elektonun N tane çekdeğn alanında haeketn tanımlayan hamltonyen fadesd. Çekdeklen kütlele elektonlaa göe oldukça ağı olduğu çn, elektonlaın koodnatlaını çekdeğn koodnatlaı belle. Yan dalga fonksyonu, elektonlaın koodnatlaına bağlıyken, çekdeğn koodnatlaına paametk olaak bağlıdı. Elektonlaın haeketn tanımlayan dalga fonksyonu, ( R ψ = (.5 e ψ e, ve, enejs se, ε e = ε e (R (.6 3

36 şeklnde vel. Çekdekle aası etkleşme le blkte toplam enej, N N Zα Z β ε tot ( R = ε e ( R + (.7 R α= β > α Rα β fomunda fade edl. Çekdek, Bon-Oppenheme yaklaşımında b potansyel enej yüzeynde haeket ede. Bu potansyel se elektonk poblemn çözülmes le bulunu. Bon-Oppenheme yaklaşımı yaygın b şeklde kullanılmasına ağmen, elekton le çekdeğn haeket bbnden ayılmadığı duumlada geçeszd..3 Dalga Fonksyonu Yaklaşıklıklaı.3. Bogolubov Yaklaşımı Bogolubov 947 yılında, sıfı sıcaklıkta aalaında zayıf etkleşme olan çok paçacıklı Bose gazlaı çn b yaklaşım tanımlamıştı. Taban duumdak paçacıklaın düzenl olduğunu vasayımı onun en öneml sonucudu. Bogolubov, seyeltk b bozon gazında çn paçacıkla aasında tc etkleşme olduğunu ve peyodk sını koşullaı le çözüm yapılableceğn vasaymıştı. Bu vasayım çok paçacık poblemn kolaylaştımış ve bldğmz yollala etkleşmele hesaba katmamıza yadımcı olmuştu. Bose-Ensten yoğuşmasının özellklenn ncelenmesnde halen kullanılmaktadı ve üst sevyeledek paçacıklaın ( N (DuBos vd., 3. ex hmal edldğ duumda y sonuçla vemekted 4

37 Etkleşen bozon gazının standat hamltonyen, Hˆ + ˆ ' + + ' ' ' = dψˆ ( H ψˆ( + dd ψˆ ( ψˆ ( U ( ψˆ( ψˆ ( (.8 le vel. Buada Ĥ tek paçacık hamltonyen, Hˆ p = + Vext ( (.9 m + olaak tanımlanı. Denklem (.8 de, ψ ˆ ( ve ψˆ (, sıasıyla b bozon yok edlmesne ve yaatılmasına kaşılık gelen alan opeatöle ve U ( ' paçacıkla aası etkleşme potansyeld. Eğe paçacıkla aası etkleşme yok se N paçacığın heps enejs ve momentumu sıfı olan taban duumunda bulunu. Böylece yoğuşan paçacık sayısı toplam paçacık sayısına eşt olu. Eğe paçacıkla aası etkleşme göz önüne alınısa paçacıkla bbnden uzaklaşmaya ve faklı konumlada lokalze olmaya başlayacakladı..3. Goss-Ptaevsk Denklem Ktk sıcaklık değenn altında bütün bozonla en düşük enej sevyesnde yan taban duumda bulunma eğlm göstemektedle. Sıcaklık azaltılmaya devam edlse bell b değede tüm paçacıkla aynı enej duumuna geçecek ve sstem tek b dalga fonksyonu le tanımlanablecekt. Bununla blkte poblemn çok paçacık poblem olduğu ve paçacıkla aası etkleşmelen hesaba katılması halen geekld. 5

38 Goss-Ptaevsk denklem, seyeltk atomk gazlada göülen Bose-Ensten yoğuşması olayını açıklamakta başaılıdı. Çünkü sstem tek b dalga fonksyonu le temsl edlmekte ve paçacıkla aası etkleşme s-dalga saçılması le tanımlanablmekted. BEY olayının gözlemlendğ duum k koşula bağlıdı. Bunlaın lk T c ktk sıcaklık olmak üzee / 3 T << Tk, kncs se n yoğuşma yoğunluğu, a s-dalga boyu olmak üzee n a << koşullaıdı Böylelkle BEY olayı tek b denklemle tanımlanablmekted. Tuzak potansyel çndek yoğuşmayı veen enej fonksyonu, E h 4 ( ψ ( = d ψ ( + V ( ψ ( + ψ ( m g (. le tanımlanı. İntegal çesndek temle sıasıyla knetk, tuzaklama ve etkleşme 4πh a potansyel enejlen göstemekted. Buada g = ve m tuzaklanmış bozonlaın m ' atomk kütlesd. Buada temas potansyel V (, ' ' V ( = U δ ( (. olaak vel (Romanovsky, 4.Bu denklem tüm atomlaın taban duumda bulunduğu kabul edleek yazılmıştı. Geçekte se yoğuşmaya katılmayan atomlaın bulunması veya taban duumda bulunan atomla aasındak atomk etkleşm nedenyle tüm atomla taban duumda bulunmayabl. Bose-Ensten yoğuşması duumunda, bütün bozonla aynı kuantum duumunda bulunduklaına göe N paçacıklı b sstemn dalga fonksyonu tek paçacık dalga fonksyonlaının çapımı olaak, 6

39 7 ( (,...,, N N ψ ψ = Π = (. yazılabl. Bütün atomlaın taban duumda bulunduğu veya uyaılmış atomlala taban duumdak yoğuşan atomlaın hç etkleşmedğ vasayıldığında Goss-Ptaevsk denklemle geçeld. Goss-Ptaevsk denklem yukaıda tanımlanan enej denklemnn dalga fonksyonu le mnmze edleek enejy elde ede. Zamandan bağımsız Goss-Ptaevsk denklem, ( ( ( ( ( ( g V m μψ ψ ψ ψ ψ = + + h (.3 şeklnde tanımlanı. Zamana bağlı Goss-Ptaevsk Denklem se nomalze edlmş dalga fonksyonu kullanılaak,, (, (, (, ( t t NU t V m t t φ φ φ + + = h h (.4 le vel. Zamana bağlı dalga fonksyonu, (, ( e t t φ φ μ = (.5 le tanımlanı. İndgenmş koodnatlada zamana bağlı GP denklem, [ ], (, (, (, ( t t g t V t t φ φ φ + + = (.6 şeklne dönüşü. Buada g boyutsuz sabt, üç boyutlu sstemle çn,

40 4πh m g = (.7 a d. Denklem (.4 ün uygulanablmes çn toplam atom sayısının yete kada fazla olması; seyeltk olma koşulunun sağlanablmes çn de sıcaklığın yete kada düşük olması geekmekted. Ancak bu şeklde yoğuşmanın hem kuantumsal hem de temal olaak bozunmasının hmal edlmesne olanak sağlanı. Paçacık başına düşen enejnn beklenen değe * 4 E = φ (, t φ(, t + V φ(, t + g φ(, t d (.8 le tanımlanı. Küesel b tuzaklayıcı potansyel kullanıldığında kmyasal potansyel çn zamandan bağımsız Goss-Ptaevsk denklem μφ [ ] φ( ( + V ( + g φ( = (.9 fades le göstel. Denklem(.9, bblenden bağımsız b şeklde Goss ve Ptaevsk taafından 96 yılında tüetlmşt ve düşük sıcaklıkladak unfom olmayan seyeltk Bose gazlaının aaştıılmasında temel aaçtı. Bu denklem, paçacıkla üzene etkyen potansyeln, V dış potansyellenn toplamı ve ( g φ dğe bozonla taafından oluştuulan otalama alan olmak üzee, lnee olmayan Schödnge denklem fomundadı. Buada öz değen, lnee Schödnge denklemnde olduğu gb paçacık başına düşen enej olmayıp, kmyasal potansyeld. Aynı sevyede bulunan tüm paçacıkla çn kmyasal potansyel, paçacık başına düşen enejd; ancak etkleşen paçacıkla çn bu duum söz konusu değld. Zamana bağlı ve zamandan bağımsız Goss Ptaevsk (GP denklemle oldukça düşük sıcaklıklada etkleşmn zayıf olduğu sstemlede ve uyaılmış atomlaın hmal edldğ duumla çn y b yaklaşımdı (Blake, 4. 8

41 .3.3 Hatee Yaklaşımı Hatee yaklaşımında çok elektonlu sstemn dalga fonksyonunu tek elekton dalga fonksyonlaının çapımı olaak yazma lkesne dayanı (Hatee, 98. Hatee yaklaşımında sstemn dalga fonksyonu, ψ N (,,..., N = Πψ ( = (. le fade edl. Denklemde. elektona etk eden potansyel (, yon ve Hatee potansyelnn toplamı olaak, V V ( = V ( + V ( (. yon H le tanımlanı. V yon ve V Hatee potansyelle sıasıyla, V yon Zα ρ( ( =, VH ( = d (. ' α α ' denklemle le vel. Hatee potansyelndek yoğunluk tem, ( ' = ' ρ ψ ( (.3 j j şeklnded. Bu duumda hamltonyen, H = N = + V ( (.4 9

42 fomunda olup, Denklem (. le blkte alınaak toplam enejy mnmum yapan tek elekton dalga fonksyonlaı, Hatee denklem le vel. Toplam enejy en küçük yapan tek elekton dalga fonksyonlaı Hatee denklemle le vel. Bu denklem, + V yon ' ( ψ ' ( ψ ( + d ψ = ' j ( ε ψ ( (.5 le göstelmekted. Denklem (.5, yöüngele çn öz uyumlu çözüldüğünde denklem (. le sstemn dalga fonksyonu elde edlmş olunu. Hatee yaklaşımı atomla çn güzel sonuçla ve. Tek elekton fonksyonlaında oldukça yd. Fakat paçacık ndslenn değş tokuşu olduğunda tam b smetye sahp değld. Halbuk çok elekton dalga fonksyonu komşu ndslen değş tokuşuna göe antsmetk olmalıdı. Bu yüzden, Hatee yaklaşımı yene Hatee-Fock yaklaşımı daha yaygın kullanılı..3.4 Hatee-Fock Yaklaşımı Genel olaak çok paçacık poblem tam olaak çözülemedğnden tek yol yaklaşık çözüm yapmaktı. En y yaklaşımladan bs uygun dalga fonksyonu seçm le çözümle bastleştmekt. Paçacıkla aası etkleşme kuvvetl se ve bu etkleşmeleden dolayı paçacıkla yoğuşma duumundan başka b faza geçş yapmaya eğlml se Bogolubov yaklaşımının kullanılması uygun olmaz. Bu değşm açıklayacak yöntemleden en sık kullanılanı otalama alan teoemlenden bs olan Hatee-Fock yaklaşıklığıdı. Paçacıkla bbnden ayıt edlemeyen bozonla olduğu çn sstem tanımlayan dalga fonksyonu k paçacığın konumlaı değştğnde smetk kalmalıdı. Hatee-Fock yaklaşımında dalga fonksyonu bu smet özellğn sağlayacak şeklde seçl. Dalga fonksyonu, 3

43 (,...,... ψ (...,...,... ψ... j = j (.6 fomuna sahpt. Taban duum enejsnn beklenen değe, E = TD H TD = n H V (.7 + nn j ( Vjj + Vjj n ( n + j olaak yazılı (Chstophe, 4. Buada n = d d.obtal de bulunma olasılığını + fade ede. Bu yaklaşımın ayıntılaı b sonak bölümde tatışılacaktı. Hatee-Fock yaklaşımı kullanılaak hamonk b tuzakta tuzaklanmış T> sıcaklığındak 7 L atomlaının özellkle (Begaman, 997 ve k faklı spn yönelmne sahp b sstemn özellkle hesaplanmışladı (Esy vd., Rb çn se yoğuşmanın yeçekmnden ve atomla aasındak etkleşmeleden etklendğn göstelmşt (Rege vd., 7. Bu yaklaşımın avantajlı yönü tek paçacık dalga fonksyonunu çeen b Slate detemnantı kullanılması, vayasyonel olması ve toplam enejy mnmze eden b deneme dalga fonksyonunu kullanmasıdı. Ancak Hatee-Fock metodu paçacıkla aasındak koelasyonu göz önüne almaz. Ayıca değş-tokuş tem yeel olmadığından Hatee Fock denklemnn çözümü oldukça zodu ve hesaplanması da yoğunluk fonksyonel teosne göe oldukça uzundu Vayasyon Yöntem Vayasyon yöntemnde, sstemn geçek mnmum enej değen bulmak çn b deneme dalga fonksyonu tanımlanı. Bu fonksyon, a ve λ gb bazı değşm 3

44 paametele çeen b deneme dalga fonksyonudu. Bu deneme dalga fonksyonu le sstemn zamandan bağımsız Hamlton opeatöünün otalama değe, ψ Hˆ ψ E( ψ = (.8 ψ ψ gb tanımlanı. Bu otalama değe mnmum yapacak paamete değele hesaplanı. Taban duum enejsn bulmak çn bu a değelen a E ( a, a,... a n = (.9 koşulundan bellemek geek. Böylece, bellenen bu a ve λ vayasyon paametele deneme dalga fonksyonunda yene konulaak, bulunan taban duum enejsne kaşılık gelen özfonksyonla da bulunmuş olu (Levne,. Bçok duumda, deneme dalga fonksyonu bellemek ayı b poblem oluştumaktadı. Çünkü seçlen deneme dalga fonksyonu, vayasyon paametesne bağlı olaak bell b analtk fomla sınılı kalsada vayasyon paametele ölçüsünde değşklkle olabl. (Safak vd., 3. Sstem daha y tanımlayablmek çn bçok vayasyon paametes çeen deneme dalga fonksyonlaı kullanıldığında şlem zamanı çok uzayablmekte ancak genellkle çok y sonuç vemekted. B sonak bölümde bu yöntemle çok sayıda vayasyon paametes kullanılaak sstem nasıl daha y modellenebleceğ göstelecekt. 3

45 .3.6 Monte Calo Yöntem N csm poblemnn analtk çözümünün olmayışı Moleküle Dnamk adlı sayısal çözümleme yöntemnn otaya çıkmasına neden olmuştu (Rapapot, 995. Ancak, Moleküle Dnamk yüksek sayıda matematksel hesaplama çeen b yöntem olduğundan bazı poblemlen çözümü mümkün olsa ble sonuç almak çok uzun blgsaya zamanı geektebl. Rastgele sayıla üzene kuulmuş çok csm sstemlen smüle etmek çn kullanılan metotladan bs de Monte Calo yöntemd. Faz uzayında sadece konum blnmekte fakat momentum hakkında b blg bulunmamaktadı. Haeketn yönü astgele sayıla sayesnde bellen. Bu yönteme göe bellenen kualla çeçevesnde bu sayıla kabul veya eddedl. Moleküle olaylaın açıklanmasında Moleküle Monte Calo olaak adlandıılan yöntem kullanılı. Bu yöntem, taban duum enejlenn hesaplanmasında Boltzman Dağılımının kullanıldığı Klask Monte Calo ve dalga fonksyonlaın ve enej düzeylenn hesaplanmasında kullanılan Kuantum Monte Calo yöntemle olaak kye ayılı. McMllan 964 ve Kalos 974, Vayasyonel Monte Calo yöntem ve Geen fonksyonu Monte Calo yöntemn lk olaak bast bozon sstemlene uygulanmıştı. Buadak sstemde, etkleşm potansyelnn sadece paçacıkla aasındak mesafeye bağlı olduğu düşünülmüştü. 33

46 .4 Yoğunluk Fonksyonel Yaklaşımlaı Yoğunluk fonksyonel Teos(YFT; temelde kuantum mekank yasalaından sstemn özellklen anlamaya amaçlayan atom, molekül ve katılaın elektonk yapılaını hesaplayablen başaılı b teod. Bu teonn kapsamı çok genş olmakla blkte, temeln çok paçacık sstemnn temel duum özellklen tahmn edeblme düşünces oluştumaktadı. YFT nn kullandığı yaklaşımda temel değşken olaak, çokcsm dalga fonksyonu yene, paçacık yoğunluğu kullanılı. N paçacıklı sstem çn Schödnge denklem, N h m + V ( + N U (, < j j ψ ( = Eψ ( (.3 şeklnded. Buada U,, paçacıkla aası etkleşmey tanımlamaktadı. n( ( j yoğunluğu sadece üç tane uzaysal koodnatın (dalga fonksyonunun ya da N tane koodnatının değl fonksyonu olduğundan, bu teoem çok büyük sstemle ble hesaplama kolaylığı get. Yoğunluk fonksyonel teos, sstemdek tüm dğe paçacıklala etkleşm halnde olan beysel paçacıklaın etkleşmelen ele alaak başlayan Hatee-Fock teonn tesne bütün paçacıklı sstem göz önüne alınaak başlanı (Capelle, 3. Hohenbeg ve Kohn homojen olmayan elekton gazının taban duumunu bulmak çn YFT y gelştmşled (Hohenbeg P. and Kohn W 964. Böyle b sstem çn, bulunan dalga fonksyonu kullanılaak sstemdek paçacık yoğunluğu n( şöyle hesaplanı. n = (.3 ( N Ψ (,,..., N d... N 34

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-II 25.02.2015 Ankara. Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu 2014-2015 Bahar Yarıyılı Bölüm-II 25.02.2015 Ankara. Aysuhan OZANSOY FİZ10 FİZİK-II Ankaa Ünvestes Fen Fakültes Kmya Bölümü B-Gubu 014-015 Baha Yaıyılı Bölüm-II 5.0.015 Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm : Elektk Alan 1. Elektk Alan. Elektk Alan Çzgle 3. Süekl Yük Dağılımlaı 4.

Detaylı

SİLİNDİRİK DEPOLARININ SİSMİK YALITIM YÖNTEMİYLE DEPREMDEN KORUNMASI. Gökhan YAZICI 1,.Feridun ÇILI 2

SİLİNDİRİK DEPOLARININ SİSMİK YALITIM YÖNTEMİYLE DEPREMDEN KORUNMASI. Gökhan YAZICI 1,.Feridun ÇILI 2 SİLİNDİRİK DEPOLARININ SİSMİK YALITIM YÖNTEMİYLE DEPREMDEN KORUNMASI Gökhan YAZICI 1,.Fedun ÇILI 2 Öz: Bu çalışmada, sıvı deposuna gelen yanal depem kuvvetlen azaltmak amacıyla ssmk yalıtım teknğ kullanılmıştı.

Detaylı

θ A **pozitif dönüş yönü

θ A **pozitif dönüş yönü ENT B Kuvvetn B Noktaa Göe oment o o d θ θ d.snθ o..snθ d. **poztf dönüş önü noktasına etk eden hehang b kuvvetnn noktasında medana geteceğ moment o ; ı tanımlaan e vektöü le kuvvet vektöünün vektöel çapımıdı.

Detaylı

Theoretical Investigation of Water-Gas Shift Reaction with Four Components Using Fick System

Theoretical Investigation of Water-Gas Shift Reaction with Four Components Using Fick System Süleyman emel Ünestes, Fen Blmle Ensttüsü egs, - (00),- Fck Sstemn Kullanaak öt Bleşenl Su-Gaz eğşm Reaksyonunun füzyon Katsayılaının eoksel İncelenmes MURA ÖZÜRK, İBRAHİM ÜÇGÜ, NURİ ÖZEK Süleyman emel

Detaylı

Bir Otomobil Fabrikasının Şanzuman Üretim Bölümü İçin Hücresel Üretim Sistemi Önerisi

Bir Otomobil Fabrikasının Şanzuman Üretim Bölümü İçin Hücresel Üretim Sistemi Önerisi Anadolu Ünvestes Sosyal Blmle Degs Anadolu Unvesty Jounal of Socal Scences B Otomobl Fabkasının Şanzuman Üetm Bölümü İçn Hücesel Üetm Sstem Önes A Cellula Manufactung System Poposal Fo the Geabox Poducton

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ OSE-EINSTEIN YOĞUŞMASINA İR YOĞUNLUK ONKSİYONELLERİ KURAMI YAKLAŞIMI Cahit DEDE İZİK ANAİLİM DALI ANKARA 8 He hakkı saklıdı TEZ ONAYI Cahit

Detaylı

Stokastik envanter model kullanılarak iş makinelerinin onarımında kullanılan kritik yedek parçalar için envanter yönetim sistemi oluşturulması

Stokastik envanter model kullanılarak iş makinelerinin onarımında kullanılan kritik yedek parçalar için envanter yönetim sistemi oluşturulması Stokastk envante model kullanılaak ş maknelenn onaımında kullanılan ktk yedek paçala çn envante yönetm sstem oluştuulması İlke Bçe 2 Jandama Genel Komutanlığı, Beştepe, Ankaa Nhat Kasap Sabancı Ünvestes,

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

2.9.1 Parametrik Denklemler Yansıma katsayısı Γ genellikle sanal bir büyüklük olup Γ büyüklüğü ile θr faz açısından oluşur. (1) Yukarıdaki denklemde

2.9.1 Parametrik Denklemler Yansıma katsayısı Γ genellikle sanal bir büyüklük olup Γ büyüklüğü ile θr faz açısından oluşur. (1) Yukarıdaki denklemde .9. Smth Katı Blgsayala gelştlmeden önce letm hattı poblemlen çömek çn bçok abak gelştlmşt. Smth katı veya abağı gelştlen en yaygın patk hesaplama yöntemne sahp olup hala letm hatlılaının gafk olaak analnde

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı

Detaylı

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ SENKRON REÜKTANS MAKİNASNN ANAİZİ Esoy BEŞER 1 H.Taık DURU 2 Sai ÇAMUR 3 Biol ARİFOĞU 4 Esa KANDEMİR 5 Elektik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakültesi Koeli Ünivesitesi, Vezioğlu Kampusü, 411, Koeli

Detaylı

FIRÇASIZ DOĞRU AKIM MOTORUN SAYISAL İŞARET İŞLEMCİ TABANLI KONUM DENETİMİ

FIRÇASIZ DOĞRU AKIM MOTORUN SAYISAL İŞARET İŞLEMCİ TABANLI KONUM DENETİMİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 2006 : 12 : 1 : 37-41

Detaylı

BÖLÜM 1 ELEKTRİK ALANLARI

BÖLÜM 1 ELEKTRİK ALANLARI BÖLÜM 1 ELEKTRİK ALANLARI 1.1. ELEKTRİK YÜKLERİNİN ÖZELLİKLERİ Elektk yükü aşağıdak özellklee sahpt: 1. Doğada atı ve eks olmak üzee k tü yük bulunmaktadı. Aynı yükle bblen tele, faklı yükle se bblen çekele.

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ 4 Manyetzma 1.. Ünte 4. Konu (Manyetzma) A nın Çözümle P 1 1 3. Üzenen akımı geen yaıçaplı b halkanın

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim. SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm.

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

Basit Makineler Çözümlü Sorular

Basit Makineler Çözümlü Sorular Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x

Detaylı

Sonlu Elemanlar Yöntemini Kullanarak Asenkron Motorun Hız-Moment Karakteristiğinin Elde Edilmesi

Sonlu Elemanlar Yöntemini Kullanarak Asenkron Motorun Hız-Moment Karakteristiğinin Elde Edilmesi Fıat Ünv. Fen ve üh. Bl. De. Scence and Eng. J. of Fıat Unv. 7 (4), 699-707, 005 7 (4), 699-707, 005 Sonlu Elemanla Yöntemn Kullanaak Aenkon otoun Hız-oment Kaaktetğnn Elde Edlme A. Gökhan YETGİN ve A.

Detaylı

Matris Konverter Uygulaması. Matrix Converter Application

Matris Konverter Uygulaması. Matrix Converter Application Polteknk Degs Jounal of Polytechnc Clt:11 Sayı: s.19-198, 008 Vol: 11 No: pp.19-198, 008 Mats Konvete Uygulaması İsmal COŞKUN, Al SAYGIN, Mah DURSUN ÖZET Mats konvetele anahtalama topolojsndek gelşmelee

Detaylı

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei

Detaylı

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ OTEKON 4 7 Otomotiv Teknolojilei Kongesi 6 7 Mayıs 04, BURSA ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ Basi ÇALIŞKAN *, İan KAMAŞ *, Tane KARSLIOĞLU

Detaylı

Elektrik Alan Çizgileri. ρ (C/m 3 ) Sürekli bir Yük Dağılımının Elektrik Alanı. Elektrik Alanı, devam. Elektrik Alanı, devam. Elektrik Alanı, devam

Elektrik Alan Çizgileri. ρ (C/m 3 ) Sürekli bir Yük Dağılımının Elektrik Alanı. Elektrik Alanı, devam. Elektrik Alanı, devam. Elektrik Alanı, devam Süekl b Yük Dağılıının Elektk Alanı Yükle topluluğunun yükle aasındak uzaklıkla, lglenlen b noktanın topluluktan olan uzaklığından çok daha küçükse, yükle sste süekld. Süekl b Yük Dağılıının Elektk Alanı,

Detaylı

Dumlupınar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi Sayı 36 Nisan 2013

Dumlupınar Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi Sayı 36 Nisan 2013 Dumlupına Ünvestes Sosyal Blmle Degs Sayı 36 Nsan 23 VERİ ZARFLAMA ANALİZİ İLE TÜRKİYE DE GIDA İMALATI YAPAN FİRMALARIN ETKİNLİKLERİNİN ÖLÇÜLMESİ Selahattn YAVUZ Yd.Doç.D., Ezncan Ünvestes İktsad ve İda

Detaylı

BTZ Kara Deliği ve Grafen

BTZ Kara Deliği ve Grafen BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei

Detaylı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı

Deney No: 2. Sıvı Seviye Kontrol Deneyi. SAKARYA ÜNİVERSİTESİ Dijital Kontrol Laboratuvar Deney Föyü Deneyin Amacı SRY ÜNİVERSİESİ Djtal ontrol Laboratuvar Deney Föyü Deney No: 2 Sıvı Sevye ontrol Deney 2.. Deneyn macı Bu deneyn amacı, doğrusal olmayan sıvı sevye sstemnn belrlenen br çalışma noktası cvarında doğrusallaştırılmış

Detaylı

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim

Detaylı

Bölüm 6: Dairesel Hareket

Bölüm 6: Dairesel Hareket Bölüm 6: Daiesel Haeket Kaama Soulaı 1- Bi cismin süati değişmiyo ise hızındaki değişmeden bahsedilebili mi? - Hızı değişen bi cismin süati değişi mi? 3- Düzgün daiesel haekette cismin hızı değişi mi?

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edton VECTOR ECHNICS OR ENGINEERS: STTICS ednand. ee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Ha CR İstanbul Ten Ünvestes Tel: 285 31 46 / 116 E-mal: acah@tu.edu.t Web: http://atlas.cc.tu.edu.t/~acah

Detaylı

Fizik 101: Ders 15 Ajanda

Fizik 101: Ders 15 Ajanda zk 101: Ders 15 Ajanda İk boyutta elastk çarpışma Örnekler (nükleer saçılma, blardo) Impulse ve ortalama kuvvet İk boyutta csmn elastk çarpışması Önces Sonrası m 1 v 1, m 1 v 1, KM KM V KM V KM m v, m

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Optoelektronik Ara Sınav-Çözümler

Optoelektronik Ara Sınav-Çözümler Optelektk Aa Sıav-Çöümle s (.57 ) Su : Dğusal laak kutuplamış ışık ç elektk ala 5 π + t + ( + ) 5 velmekted. uada ala gelğ ˆ ˆ se bu ışık dalgasıı, a) aetk alaı (vektöel) ç b fade tüet ( pua) b) Otamı

Detaylı

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa

Detaylı

BEL RL ZAMAN PER YOTLU ÇOK ROTALI DÖNGÜSEL SEFERLER YAPAN ARAÇLARDAN KURULU Ç LOJ ST K S STEM NE L K N MATEMAT KSEL MODEL ÖNER S

BEL RL ZAMAN PER YOTLU ÇOK ROTALI DÖNGÜSEL SEFERLER YAPAN ARAÇLARDAN KURULU Ç LOJ ST K S STEM NE L K N MATEMAT KSEL MODEL ÖNER S BEL RL ZAMAN PER YOTLU ÇOK ROTALI DÖNGÜSEL SEFERLER YAPAN ARAÇLARDAN KURULU Ç LOJ ST K S STEM NE L K N MATEMAT KSEL MODEL ÖNER S Hüseyn Selçuk KILIÇ M. Bülent DURMU O LU Muat BASKAK Mamaa Ünestes stanbul

Detaylı

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D.

5. Açısal momentum korunduğu için eşit zaman aralıklarında. 6. Uydular eşit periyotta dönüyor ise yörünge yarıçapları CEVAP: D. KOU 5 VSL ÇK SS Çözüle. S 5- ÇÖÜL 5. çısal oentu kounduğu için eşit zaan aalıklaında eşit açı taala. L v CVP: C liptik öüngede dönen udua etki eden çeki kuvveti h z vektöüne dik de ildi. Bundan dola çeki

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SORU ANKASI. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 4. Konu MANYETİZMA TEST ÇÖZÜMLERİ 4 Manyetzma Test 1 n Çözümle 3. y 1. T R P x S P + tel 1 S ve T noktalaınak bleşke manyetk alanlaın eşt olablmes çn

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Mekez Eğlm Ölçüle 4... Atmetk Otalama 4... Ağılıklı Atmetk Otalama 4... Geometk Otalama 4..4. Hamok Otalama 4..5 Kuadatk Otalama 4..6. Medya 4..7. Katlle 4..8. Decle ve

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

Maliyet Performansının Ölçümü İçin Göreli Etkinlik Analizi: BIST Çimento Sektöründe Veri Zarflama Analizi Uygulaması

Maliyet Performansının Ölçümü İçin Göreli Etkinlik Analizi: BIST Çimento Sektöründe Veri Zarflama Analizi Uygulaması The PDF veson of an unedted manuscpt has been pee evewed and accepted fo publcaton. Based upon the publcaton ules of the jounal, the manuscpt has been fomatted, but not fnalzed yet. Befoe fnal publcaton,

Detaylı

SABİT MIKNATISLI SENKRON MOTORUN MOMENT DALGALANMALARININ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE OLUŞTURULAN AKI MODELİNİN KULLANILMASIYLA AZALTILMASI

SABİT MIKNATISLI SENKRON MOTORUN MOMENT DALGALANMALARININ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE OLUŞTURULAN AKI MODELİNİN KULLANILMASIYLA AZALTILMASI Ecyes Ünvestes Fen Blmle Ensttüsü Degs 5 (-) - (9) http://fbe.ecyes.edu.t/ ISSN -54 SABİT MIKNATISLI SENKRON MOTORUN MOMENT DALGALANMALARININ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ İLE OLUŞTURULAN AKI MODELİNİN KULLANILMASIYLA

Detaylı

ÖLÇÜLMÜ AKUST K VE T TRE M VER LER ÜZER NDEK PARAZ TLER N AYIKLANMASI

ÖLÇÜLMÜ AKUST K VE T TRE M VER LER ÜZER NDEK PARAZ TLER N AYIKLANMASI ÖLÇÜLMÜ AKUST K VE T TRE M VER LER ÜZER NDEK PARAZ TLER N AYIKLANMASI Ohan ÇAKAR* ve Kenan Yüce ANLITÜRK** *Aa. Gö. Y.Müh..T.Ü. Makna Fakültes ** Doç.D..T.Ü. Makna Fakültes ÖZET Patkte ölçülen velen tümünde

Detaylı

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü

Üç Boyutlu Yapı-Zemin Etkileşimi Problemlerinin Kuadratik Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak Çözümü ECAS Uluslararası Yapı ve Deprem Mühendslğ Sempozyumu, Ekm, Orta Doğu Teknk Ünverstes, Ankara, Türkye Üç Boyutlu Yapı-Zemn Etkleşm Problemlernn Kuadratk Sonlu Elemanlar ve Sonsuz Elemanlar Kullanılarak

Detaylı

Fizik 101: Ders 19 Gündem

Fizik 101: Ders 19 Gündem Fzk 101: Ders 19 Gündem Açısal Momentum: Tanım & Türetmeler Anlamı nedr? Sabt br eksen etrafında dönme L = I Örnek: 2 dsk Dönen skemlede br öğrenc Serbest hareket eden br csmn açısal momentumu Değneğe

Detaylı

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS

VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Seventh Edition VECTOR MECHANICS OR ENGINEERS: STATICS edinand P. Bee E. Russell Johnston, J. Des Notu: Hai ACAR İstanbul Teknik Üniveistesi Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: acah@itu.edu.t Web: http://atlas.cc.itu.edu.t/~acah

Detaylı

KIZILCAHAMAM ĐZ TESTĐ ANALĐZĐ

KIZILCAHAMAM ĐZ TESTĐ ANALĐZĐ 75 KIZILCAHAMAM ĐZ TESTĐ ANALĐZĐ Sehat AKIN Tevfk KAYA Mahmut PARLAKTUNA ÖZET Kızılcahamam Jeotemal Sahası Ankaa ya 7 km uzaklıkta olup, jeotemal saha 994 yılından bu yana şletlmekte, jeotemal kaynakla

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTİ ĞLK MEKEZİ VE LN TLET MMENTİ 1 1. ĞLK MEKEZİ (CENTD) ğılık meke paalel kuvvetleen otaa çıkan geometk kavamı. Yalnıca paalel kuvvetle ağılık meke vaı. ğılık meke fksel csmn vea paçacıkla sstemnn tüm ağılığının

Detaylı

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI Bi elektonik elemanın özelliğini, bu elemanın üetiminde kullanılan malzemenin paametelei ve ısı, geilim ışık gibi dış etkenleden dolayı elemanın içinde geçekleşen fiziksel

Detaylı

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei

Detaylı

EKSENEL ÇEKMEYE MARUZ DELİKLİ SONSUZ PLAĞA SİLİNDİRİK PARÇANIN ÇAKILMASI PROBLEMİ

EKSENEL ÇEKMEYE MARUZ DELİKLİ SONSUZ PLAĞA SİLİNDİRİK PARÇANIN ÇAKILMASI PROBLEMİ PAMUKKAL ÜNİVRSİTSİ MÜHNDİ SLİK FAKÜLTSİ PAMUKKAL UNIVRSITY NGINRING COLLG MÜHNDİSLİK BİLİMLRİ DRGİSİ JOURNAL OF NGINRING SCINCS YIL CİLT SAYI SAYFA : 00 : 8 : 3 : 83-9 KSNL ÇKMY MARUZ DLİKLİ SONSUZ PLAĞA

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum 6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.

Detaylı

TEST - 1 ÜRETEÇLER. ε 3 =6V. ε 2. ε i=3a. ε 3 =12V. ε 2 =36V. ε ε. Devrenin eflde er direnci = = 6Ω olur. Devrenin eflde er direnci

TEST - 1 ÜRETEÇLER. ε 3 =6V. ε 2. ε i=3a. ε 3 =12V. ε 2 =36V. ε ε. Devrenin eflde er direnci = = 6Ω olur. Devrenin eflde er direnci ÜETEÇE TEST - 1 1. 3 10Ω 3. =5 2 15Ω = 1 1 =36 2 =12 1 = 2 = 3 =6 3 = Devenn eflde e denc efl = 6 3 1 = 10Ω Devenn eflde e denc efl = 3 1 1 1 = / 36 12 6 30 = = = = 5 / 6 6 na koldan geçen ak m, / 25 25

Detaylı

UÇAK EYLEYİCİ ARIZASININ TESPİTİ, YALITIMI VE SİSTEMİN YENİDEN YAPILANDIRILMASI

UÇAK EYLEYİCİ ARIZASININ TESPİTİ, YALITIMI VE SİSTEMİN YENİDEN YAPILANDIRILMASI Uludağ Ünvestes Mühendslk-Mmalık Fakültes Degs Clt 15 Sayı 1 21 UÇAK EYEYİCİ AIZASII TESPİTİ YAITIMI VE SİSTEMİ YEİDE YAPIADIIMASI Eme KIYAK * Ayşe KAHVECİOĞU * Gülay İYİBAKAA * Özet: Uçak eyleyclende

Detaylı

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ Sevgi GÜRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Tez Yöneticisi: Yd. Doç. D. Fiket İŞIK EDİRNE-0

Detaylı

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri

Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları. Test 1 in Çözümleri 7 Kütle Çekii e Keple Kanunlaı est in Çözülei. Uydu Dünya nın ekezinden kada uzaklıktaki yöüngesinde peiyodu ile dolanıken iki kütle aasındaki çeki kueti, ekezcil kuet göei göü. F çeki F ekezcil G Bağıntıya

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1

Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Genelleştirilmiş Koordinatlar... 2 1.3. Koordinat Dönüşüm Denklemleri... 3 1.4. Mekanik Dizgelerin Bağ Koşulları... 4 1.5. Mekanik Dizgelerin

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır. 9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.

Detaylı

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ

ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ ENDÜSTRİYEL BİR ATIK SUYUN BİYOLOJİK ARITIMI VE ARITIM KİNETİĞİNİN İNCELENMESİ Emel KOCADAYI EGE ÜNİVERSİTESİ MÜH. FAK., KİMYA MÜH. BÖLÜMÜ, 35100-BORNOVA-İZMİR ÖZET Bu projede, Afyon Alkalot Fabrkasından

Detaylı

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ ÖZET Egün ALKAN Elk.Y.Müh. Buga Otis Asansö Sanayi ve Ticaet A.Ş. Tel:0212 323 44 11 Fax:0212 323 44 66 Balabandee Cad. No:3 34460 İstinye-İstanbul

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri

Çembersel Hareket. Test 1 in Çözümleri 5 Çebesel Haeket est in Çözülei.. düşey eksen tabla He üç cisi aynı ipe bağlı olduğundan peiyotlaı eşitti. Açısal hız bağıntısı; ~ di. Bağıntısındaki sabit bi değedi. Ayıca cisilein peiyotlaı eşitti. hâlde

Detaylı

ELEKTRİK POTANSİYELİ

ELEKTRİK POTANSİYELİ 38 III.3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l., POTANSİYEL FARKI VE EŞPOTANSİYELLİ YÜZEYLER. Potansiyel eneji kavamı, yeçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi kounumlu kuvvetle inceleniken ele alınmıştı. Çeşitli

Detaylı

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü. FİZK 14- Des 6 Gauss Kanunu D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynakla: -Fizik. Cilt (SWAY) -Fiziğin Temellei.Kitap (HALLIDAY & SNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt ) (SAS ve ZMANSKY) http://fizk14.aovgun.com www.aovgun.com

Detaylı

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b

ATOM MODELLER THOMSON ATOM MODEL. -parçacığının sapma açısı, ( ) ; tan θ = k. q α.q ç 1. 2 2.E k b ATOM MODLLR THOMSON ATOM MODL TOR ; Bu modele göe atom yaklaşık 10 10 mete çaplı bi küe şeklidedi. Pozitif yükle bu küe içie düzgü olaak Dağıtılmıştı. Negatif yüklü elektola ise küe içide atomu leyecek

Detaylı

İstatistiksel Mekanik I

İstatistiksel Mekanik I MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

Nesrin ALPTEKĐN 1, Emel ŞIKLAR 2

Nesrin ALPTEKĐN 1, Emel ŞIKLAR 2 Tük Hsse Seed Emekllk Yatıım Folaıı Çok Ktel Pefomas Değeledmes: Topsıs Metodu N.Alptek, E.Şıkla Tük Hsse Seed Emekllk Yatıım Folaıı Çok Ktel Pefomas Değeledmes: Topsıs Metodu Nes ALPTEKĐN 1, Emel ŞIKLAR

Detaylı

SÜREKLİ PARAMETRELİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMI İLE GENİŞ BANTLI VE ÇOK KATMANLI RADAR SOĞURUCU MALZEME TASARIMI

SÜREKLİ PARAMETRELİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMI İLE GENİŞ BANTLI VE ÇOK KATMANLI RADAR SOĞURUCU MALZEME TASARIMI HAVACILIK VE UAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 005 CİLT SAYI (7-75) Süekl Paaetel Genetk Algota Yadıı İle Genş Bantlı ve Çok Katanlı Rada Soğuucu Malzee Tasaıı SÜREKLİ PARAMETRELİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMI

Detaylı

ÜÇ BOYUTLU BOUGUER ANOMALİSİNİN TÜREV KULLANILMADAN YENİ BİR YÖNTEMLE HESAPLANIŞI. Hasan CAVŞAK 1 cavsak@ktu.edu.tr

ÜÇ BOYUTLU BOUGUER ANOMALİSİNİN TÜREV KULLANILMADAN YENİ BİR YÖNTEMLE HESAPLANIŞI. Hasan CAVŞAK 1 cavsak@ktu.edu.tr ÜÇ OTL OER NOMLİSİNİN TÜREV KLLNILMDN ENİ İR ÖNTEMLE HESPLNIŞI Hasan VŞK cavsa@tu.eu.t Ö: lm Dünyasına genel anlama b büyülüğün stenen b yöne gaent yan eğşm o yöne alınan tüevle saptanı. u yöntem aman

Detaylı

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur SIT MKINR Günlük yaşantımızda iş yapmamızı kolaylaştıan alet ve makineledi asit makinelele büyük bi yükü, küçük bi kuvvetle dengelemek ve kaldımak mümkündü asit makinalada yük, dengeleyici kuvvet ile gösteili

Detaylı

OPTİMUM RADAR PARAMETRELERİNİN SÜREKLİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMIYLA KARIŞTIRMA ORTAMINDA RADAR MENZİLİNİN MAKSİMİZE EDİLMESİ İÇİN BELİRLENMESİ

OPTİMUM RADAR PARAMETRELERİNİN SÜREKLİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMIYLA KARIŞTIRMA ORTAMINDA RADAR MENZİLİNİN MAKSİMİZE EDİLMESİ İÇİN BELİRLENMESİ Optimum ada Paameteleinin Süekli Genetik Algoitma Yadımıyla Kaıştıma Otamında ada Menzilinin Maksimize Edilmesi İçin Belilenmesi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLEİ DEGİSİ TEMMUZ 2004 CİLT 1 SAYI 4 (41-46)

Detaylı

ATOMİK YAPI. Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0

ATOMİK YAPI. Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0 ATOMİK YAPI Elektron Yükü=-1,60x10-19 C Proton Yükü=+1,60x10-19 C Nötron Yükü=0 Elektron Kütlesi 9,11x10-31 kg Proton Kütlesi Nötron Kütlesi 1,67x10-27 kg Bir kimyasal elementin atom numarası (Z) çekirdeğindeki

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü

Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KÜBİK GaN (001) YÜZEYİNİN ELEKTRONİK YAPISI Hakan GÜRÜNLÜ FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 005 He hakkı saklıdı Pof. D. Boa ALKAN danışmanlığında,

Detaylı

Bugün için Okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3), Bölüm 1.6 (3. Baskıda 1.4 )

Bugün için Okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3), Bölüm 1.6 (3. Baskıda 1.4 ) 5.111 Ders Özeti #4 Bugün için Okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3), Bölüm 1.6 (3. Baskıda 1.4 ) Ders #5 için Okuma: Bölüm 1.3 (3. Baskıda 1.6 ) Atomik Spektrumlar, Bölüm 1.7 de eģitlik 9b ye kadar (3. Baskıda

Detaylı

BETONARME YAPI TASARIMI

BETONARME YAPI TASARIMI BETONARME YAPI TASARIMI DEPREM HESABI Doç. Dr. Mustafa ZORBOZAN Mart 008 GENEL BİLGİ 18 Mart 007 ve 18 Mart 008 tarhler arasında ülkemzde kaydedlen deprem etknlkler Kaynak: http://www.koer.boun.edu.tr/ssmo/map/tr/oneyear.html

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Eylül Deneme Sınavı (Prof.Dr.Ventsslav Dmtrov) Konu: Elektrk Devrelernde İndüktans Soru. Şekldek gösterlen devrede lk anda K ve K anahtarları açıktır. K anahtarı kapatılıyor ve kondansatörün gerlm U ε/

Detaylı

GEÇİŞLİ HAL ISI İLETİMİ PROBLEMİNİN SONLU ELEMANLAR METODU İLE ÇÖZÜMÜ

GEÇİŞLİ HAL ISI İLETİMİ PROBLEMİNİN SONLU ELEMANLAR METODU İLE ÇÖZÜMÜ P A M U K K A L E Ü N İ V E R İ T E İ M Ü H E N D İ L İ K F A K Ü L T E İ P A M U K K A L E U N I V E R I T Y E N G I N E E R I N G C O L L E G E M Ü H E N D İ L İ K B İ L İ M L E R İ D E R G İ İ J O U

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE

YAYILI YÜK İLE YÜKLENMİŞ YAPI KİRİŞLERİNDE GÖÇME YÜKÜ HESABI. Perihan (Karakulak) EFE BAÜ Fen Bl. Enst. Dergs (6).8. YAYII YÜK İE YÜKENİŞ YAPI KİRİŞERİNDE GÖÇE YÜKÜ HESABI Perhan (Karakulak) EFE Balıkesr Ünverstes ühendslk marlık Fakültes İnşaat üh. Bölümü Balıkesr, TÜRKİYE ÖZET Yapılar

Detaylı

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER 1 2.1 Tanımlar Skaler büyüklük: Sadece şddet bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacm, enerj, yoğunluk) Br harf le sembolze edleblr. (örn: kütle: m) Şddet :

Detaylı

T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER 1 ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ

T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER 1 ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ T. C. GÜMÜŞHANE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ DENEYLER ÇOKLU ISI DEĞİŞTİRİCİSİ DENEYİ ÖĞRENCİ NO: ADI SOYADI: DENEY SORUMLUSU: YRD. DOÇ. DR. BİROL ŞAHİN

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com

Detaylı

50 40 ----------30 20 10

50 40 ----------30 20 10 HACİM Maddenin uzayda kaplamış olduğu yedi.bi cismin kapladığı yei aynı anda başka bi cisim kaplayamaz.hacim biimlei m3 veya cm3 tü.ayıca sıvıla için Lite kullanılı. 1 Lite=1 dm3 1 ml=1cm3=1cc A)Katılaın

Detaylı

Akım sel derinlik azalacak, nehir ise artarak devam eder. Dolayısıyla bu durum hidrolik bir problem olarak karşımıza çıkar.

Akım sel derinlik azalacak, nehir ise artarak devam eder. Dolayısıyla bu durum hidrolik bir problem olarak karşımıza çıkar. Akı sel denlk azalacak, ne se ataak deva ede. Dolayısıyla bu duu dolk b poble olaak kaşııza çıka. 5.3.3 Kanal En kestnn Daalası Duuu E E B k B k Akı en kestn daalası duuunda; gakten göüldüğü gb: Akı sel

Detaylı

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI

BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki

Detaylı