EN KISA YOL PROBLEMİNDE ÇİZGE PARÇALAMA YÖNTEMİ KULLANILARAK YENİ BİR YAKLAŞIM 1

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "EN KISA YOL PROBLEMİNDE ÇİZGE PARÇALAMA YÖNTEMİ KULLANILARAK YENİ BİR YAKLAŞIM 1"

Transkript

1 EN KISA YOL PROBLEMİNDE ÇİZGE PARÇALAMA YÖNTEMİ KULLANILARAK YENİ BİR YAKLAŞIM Eskişehir Osmagazi Üiversitesi, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Özet Bu çalışmada ilk olarak çizge kuramıı temel kavramları verilmiş, e kısa yol problemi taıtılmış ve ayrıca çizge parçalama içi Kerigha Li algoritması ele alımıştır Asıl amaç olarak, e kısa yol problemi içi çizgeyi Kerigha Li algoritması kurallarıa göre işlemcilere ayıra ve böylelikle problem içi çizgeyi başlagıç ve bitiş oktalarıı ele ala bir zicir çizge formua döüştürerek e kısa yolu bula bir yaklaşım ortaya koulmuştur Her parça içide amaç düğümler arasıdaki e kısa rotayı bula parça içi e kısa yollar hesaplamaktadır ANAHTAR KELİMELER Çizge, Çizge Parçalama, E Kısa Yol Problemi Bu çalışma yazarı DEÜ SBE Ekoometri BD da tamamlamış yüksek lisas tezide alımıştır Ayrıca bir bölümü YA/EM-2000 de suulmuştur 99

2 AN APPROACH FOR THE SHORTEST PATH PROBLEM: DEALING WITH GRAPH PARTITIONING Eskişehir Osmagazi Uiversity, Faculty of Ecoomic ad Admiistrative Scieces Abstract As a startig poit of this study, basic cocepts of graph theory, shortest path problem, ad Kerigha Li algorithm are preseted for graph partitioig problem Mai aim is to preset a approach which solves the shortest path problem by usig the graph partitioig techique i regard with the rules of Kerigha-Li algorithm; therefore it becomes to a chai graph dealig with the startig ad the target odes of the problem The shortest paths are calculated i order to provide the shortest route betwee the objective odes i all the processors KEY WORDS Graph, Graph Partitioig, Shortest Path Problem 00

3 GİRİŞ Geometride (x,y) ikilileri ile belirlee oktalar bir koordiat sistemide işaretleebilir (x,y) oktalarıı değişmesi soucu ortaya çıka ya bir doğru ya da bir eğridir Kısaca çizge (graph) adı verile bu doğru ya da eğriler, çizge teorisii temel öğeleridir Bir doğrusal programlama problemide, problemi amaç foksiyouu e elverişli kıla çözüm kümesii buluması ile modeli kayaklarıda e iyi bir düzeyde yararlamaı sağlaması birbirie eşdeğerdir Bu yöüyle problemi çözümüde ve geliştirile kriterlerde çizgeler kuramı, ağ akışları, doğrusal programlama, dağıtım problemi ve matrisler iç içe görülmektedir Uygulama alaı, sayılamayacak kadar çok ola çizgeler kuramı, bugü, kedie özgü taım ve teoremleriyle ayrı bir matematik dalı olarak uygulamacıları hizmetidedir Ekoomi, işletme, istatistik, kimya, bilgisayar bilimleri, mühedislik, biyoloji gibi pek çok bilim alaıdaki çeşitli problemlerde; problemi elemaları ve buları birbirleriyle ola ilişkileri bir çizgeyle ifade edildiğide; çözüm çizge teorisi yardımıyla çoğu kez daha kolay buluabilmektedir Bir çizge parçalama problemide parçalarıa ayrılmış gruplar arasıdaki, yai işlemciler arasıdaki iletişim zamaıı az olmasıı yaıda hesaplama yüküü de degelemesi gerekir Algoritmalar, bir komşu düğümü diğer bir işlemciye aktarılmasıyla çalışır "Kesim büyüklüğü" işlemciler arasıdaki atlama ayrıtlarıı ağırlıkları toplamıdır Bu işlem komşu düğümü diğer işlemciye geçmesi ile kesim büyüklüğüü e kadar değişeceğii tespiti içidir Bu tür ardışık algoritmalarda düğümler işlemciler arasıda devamlı yer değiştirdikleri içi, çizge, bir hesaplamada diğerie geçerke arta bir ivme ile değişir Bu hesaplamalar sırasıda işlemcilere düğümler ve dolayısıyla kirişler ekleir ya da çıkarılır Bu tekrarlı bir işlem izleye algoritmalara literatürde diamik algoritmalar deir Bütü bu ardışık algoritmalar istedikleri girdi tipie göre farklılık gösterirler (Fjalström, 998) Kou ile ilgili yazıda pek çok öcü çalışma vardır Öreği, Fiduccia ve Mattheyses (982), bir iterasyou O(E) operasyo zamaı aldığı, Kerigha ve Li i (KL) algoritmasıda esilemiş, Fiduccia ve Mattheyses (FM) algoritmasıı hazırlamışlardır KL metodu çizge parçalama bölümüde tam olarak ele alıacaktır FM metodu da KL metoduda olduğu gibi bir iterasyo sırasıda kesim büyüklüğüdeki kazacı pozitif olduğu e iyi ikiye parçalama işlemii gerçekleştirir Acak, düğüm çiftleri seçmektese FM metodu düğümleri tek olarak seçer Bu, iterasyou her adımıda, kesim büyüklüğüü e fazla azalta işaretlememiş bir düğümü N ve N 2 de sırayla seçilmesi içidir FM 0

4 metodu, keyfi parça sayısı ve de ağırlıklı düğümlerle çalışmak üzere geliştirilmiştir Rollad, Pirkul, ve Glover (996), çizgeyi ikiye parçalamada bu metodu başarılı bir şekilde kullamışlardır İlk olarak degelemiş bir şekilde belirlemiş iki işlemcide başlaır ve daha iyileri iterasyolu bir şekilde araştırılır Her bir iterasyo esasıda bir düğüm seçilir ve diğer işlemciye geçirilir Geçişte sora, düğüm tabu listesi e alıır Geçiş souda kesim kirişleri ağırlığı azalıyorsa, bu parçalama o esadaki e iyisi olarak kayda alıır Belli sayılardaki geçişlerde sora daha iyi bir kesim kirişleri ağırlığı toplamı buluamazsa bu parçalama o esadaki e iyisi olarak kayda alıır Belli sayıdaki geçişlerde sora daha iyi parçalama buluamaz ise algoritma degesizlik faktörü ü arttırır Bu faktör iki parça arasıdaki esas farkı limitler Başlagıç olarak bu faktör sıfır olarak kurulur Düğümleri tabu listesie soka geçişler o aki e iyi parçalamada bir gelişme sağlarsa, geçişie izi verilir Algoritma bütü izi verilmiş geçişler içi, kesim büyüklüğüde e büyük azalışı sağlaya bu yer değiştirmeleri sağlar Rollad, Pirkul, ve Glover deeysel olarak kedi algoritmalarıı Kerigha-Li ile karşılaştırmış ve de zama ve çözüm kalitesi açısıda daha iyi souç verdiğii bulmuştur Bui ve Moo (996), geetik bir algoritma geliştirmişlerdir Bir geetik algoritma (GA) popülasyo adı verile bir kromozomlar (çözümler) kümesi ile başlar Bu popülasyo bir durma şartı sağlaaa kadar birçok jeerasyolar meydaa getirir Yei bir jeerasyo mevcut popülasyoda bir ya da daha çok kromozom çiftii seçilmesiyle elde edilir Bu seçim olasılıksal seçim şeması tabalıdır Çaprazlama operasyou herbir çifti evlat meydaa getirmesi yai soyuu devam ettirmesi içi birleştirilmesidir Souç olarak bir yerleştirme şeması kullaılır Bu, hagi popülasyo üyeleriyle hagi evlatları yer değiştirdiğii göstere şemadır Buu yaıda pek çok araştırmacı çizge parçalama içi geetik algoritmalar geliştirmişlerdir Bular arasıda Berger ve Bokhari (987), bir geometrik algoritmaı e temel örekleride biri ola recursive coordiate bisectio (RSB) algoritmasıı tasarlamışlardır Miller, Teg, Thursto ve Vavasis (993), d-boyutlu bir çizgeyi (düğümleri d-boyutlu bir uzaya yerleştirilmiş bir çizgeyi) ikiye parçalaya bir algoritma tasarlamışlardır Pothe, Simo, ve Liu u (990), geliştirdikleri Recursive Spectral Bisectio (RSB) metodu, çizgedeki Laplace matrisii ikici e küçük özdeğerie uya özvektörü kullaır (Laplace matrisi L=D-A, D düğüm 02

5 derecelerii göstere diagoal matris, A ise bitişiklik matrisidir) Fiedler vektörü adı verile bu özvektör çizge hakkıda öemli bilgileri barıdırır Fiedler vektörüü koordiatları arasıdaki fark, ilgili düğümler arasıdaki mesafe hakkıda bilgi sağlar Böylece RSB metodu düğümleri Fiedler vektörü koordiatlarıı sıırları bakımıda çizgeyi ikiye böler RSB çizgeyi dörde ya da sekize parçalamayı ve de düğüm ve kiriş ağırlıklarıı da gözöüe alarak çözüm verebilecek şekilde tasarlamıştır Araştırmacılar çizge parçalama içi paralel algoritmalar da geliştirmeye başlamışlardır Buu sebebi bazı ardışık algoritmalar yüksek kaliteli parçalar verirler fakat yavaştırlar Böyle bir algoritmayı paralelize etmek hesaplama hızıı arttırabilir Acak, çizge çok büyükse veya bir paralel algoritma tarafıda meydaa getirilmişse ardışık parçalama algoritması etkisiz olacak ve uygulamak mümkü olmayacaktır (Fjallström, 998) Gilbert ve Zmijevski (987), bir çizgeyi ikiye parçalamak içi e eski paralel algoritmalarda birii hazırlamışlardır Bu algoritma KL algoritması temellidir ve de herbir iterasyoua {N,N 2 } parçaları girdi teşkil ede birtakım iterasyolarda oluşur Bu ikiye parçalama işlemcileri {P,P 2 } şeklide degelemiş bir parçalamadır Eğer vn 2 ise v düğümüü bütü komşu düğümleri P i dâhil olduğu işlemcide depolaır Walshaw, Cross ve Everett (997), çizgede tekrarlı parçalama yapabile iterasyolu bir algoritma vermişlerdir (JOSTLE-D yazılımı) Bu algoritma ilk olarak komşu parçalar arasıda e kadar ağırlığı trasfer yapılacağıı belirler Daha sora işlemciler arasıda iterasyolu bir düğüm alış-veriş safhasıa geçer Schloegel, Karypis ve Kumar (997), çokaşama yaklaşımı temelli ardışık ve paralel tekrarlı parçalamalı algoritmalar sumuşlardır Bu çalışmada öce çizge parçalaması ile ilgili literatür gözde geçirilmiş, ardıda çizgeler kuramıı uygulama alalarıda biri ola e kısa yol problemi ele alımıştır Sorasıda souca çizge parçalama metodu kullaarak ulaşa bir e kısa yol problemi algoritması suulmuştur Bu algoritmada, zicir çizge yapısı elde edilebildiği durumlarda, bu yapıı parçalamış gruplar arasıda geçiş yapılırke sadece ardışık gruplar arası geçişe izi vermesi sayeside, sadece atlama düğümleri işleme tabi tutulacaktır Bu algoritma işleme tabi tutula daha az düğüm sayısıda ötürü zama ve işlem sayısıda büyük orada tasarruf sağlamaktadır 03

6 2 ÇİZGE TEORİSİ N ile E ayrık iki küme (N ) olmak üzere, bir G çizgesi (N,E) ikiliside oluşur ve G=(N,E) yazılır N i v i, (i=,2,3,,) elemalarıa da G i düğümleri ve E i a k, (k=,2,3,,m) elemalarıa da G i kirişleri deir Herbir a k kirişii iki v i ve v j düğümlerie eşleye bir g bağıtısı vardır ve bu g(a k )=(v i,v j ) biçimide gösterilir Buradaki (v i,v j ) bir sıralı ikili ise a k bir yölü kiriş, sıralı ikili değil ise a k bir yösüz kiriş adıı alır Tüm kirişleri yölü ola bir çizgeye yöledirilmiş çizge ve tüm kirişleri yösüz ola bir çizgeye yöledirilmemiş çizge deir Bir G çizgesii bir a k kirişi içi g(a k )=(v i,v j ) ise v i ve v j düğümlerie a k kirişii uç düğümleri ya da so oktaları deir Bir kirişi uç düğümleri durumuda ola iki düğüme bağlatılı düğümler, birer uç düğümleri ortak ola kirişlere bağlatılı kirişler adı verilir İki uç düğümleri çakışık ola bir kirişe bukle deir E kısa yol problemi aslıda bir doğrusal programlama problemidir Bu şöyle ispat edilebilir; v de v e gide e kısa yol belirlemek isteiyorsa ve eğer v i ve v j oktaları bir kirişle birleştirilmiş ise q ij uzuluklu yollar takımı oluşturulur Eğer v i ve v j oktaları bir kirişle birleştirilmemiş ise q ij =+ yazılabilir Buklesiz herhagi bir ağda v de v ye gide yollarda herbiri ( v, v,, i v, i v k ) biçimide ifade edilebilir Eğer (v i,v j ), ye ait ise, 2 sayıda ola ve 0x ij (i,j=,2,,) ile taımlaa x ij sayılarıı birleştirile takımı bire eşitleir ve aksi halde yai (v i,v j ) ye ait değilse sıfıra eşitleir Bu halde v ve v arasıdaki e kısa yolu bulma problemi; a) 0x ij (i,j=,2,,), b) ( x ) 0 ;(i, i), j ij x ji c)( x j x j ) = j d) ( x j x j ) = - j 04

7 koşulları altıda, v de v ye gide yolu uzuluğu ola, z= q x ij ij i j doğrusal ifadesii miimum yapa tam sayılı çözümüü bulmaktır Yai x ij yi belirtmektir v ve v arasıdaki herhagi bir ( v, v,, i v, i v k ) yoluu x ij ye (i,j=,2,,) karşı gele belirli kümesi yukarıdaki koşullarıı sağlar Buu ispatı şöyledir: (v i,v j ) düğümleri yolua ait ise x ij = ve ait değilse x ij =0 alıması gereke bir büyüklük olarak taımladığıda 0x ij (i,j=,2,,) olup a koşulu sağlamaktadır b koşulu, ( x ) 0 (i, i) idi Bu koşul, j ij x ji ( x i x i ) ( xi2 x2i ) ( xi xi ) 0 biçimide (i=2,3,,-) içi ayrı ayrı yazılarak (-2) tae deklem oluşturur Bu deklemlerde herbiri yoluu ilk ve so oktaları hariç v,v 2,,v -,v takımıı sabit bir v i düğümü içi yazılmış ve yie bu deklemlerde herbiri x ij ve x ji leri kapsaya, birii başlagıcı ve diğerii sou v i de bulua iki kirişe karşılık gelmektedir Eğer v i oktası yolua ait değil ise, burada (v i,v j ) ve (v j,v i ) kirişleride hiçbirisi ye ait olamaz ve bu edele x ij =x ji =0 (j=,2,,) olur Burada da ( x ij x ji ) =0 yazılır j c ve d koşulları, yolu v uç oktalı tüm kirişleride sadece birii kapsadığı (yai ilk kiriş yolua ait) ve ayı biçimde yie yolu v uç oktalı tüm kirişleride sadece birii kapsadığı (yai so kiriş yolua ait olduğu) dikkate alıırsa b koşulua bezer düşüceleri bir soucu olduğu görülür Burada doğrusal programlama problemii her bir tamsayılı çözümüü belirlediği x = x == = biçimideki bir sayı kümesii bir j j j 2 x j yolua karşılık olduğuu göstermek gerekir j x =+ j x j j deklemide de alaşılacağı gibi e az bir tae x = vardır (Bu ise ilk j 05

8 kirişi yolua ait buluduğuu bir ifadesidir) Bezer olarak, x j j x jj ifadeside de alaşılacağı gibi hiç olmazsa x j j 2 j = j = ola e az bir elema vardır Bu şekilde ilerleyerek bir dizi oluşturulur Bu dizi ise acak v uç oktasıda souçladırılır Ayrıca herhagi bir v s düğümüde ( x sj x js ) 0 eşitliği elde edilir j Görüldüğü gibi e kısa yol problemi, bir doğrusal programlama problemie döüştürülebilmektedir Acak bu problemi simpleks yötemle çözümü, koşulları özelliklerie bağlı olarak, çok uzu işlem zamaı alabilir Pratikte bir çizgede istee bir başka çözüm de, e kısa ikici, üçücü yollardır Buu sebebi, probleme başka kriterler de katıldığıda, bu e kısa yollar arasıdaki, bu kriter çerçeveside e elverişli yolu bulumak istemesidir E kısa yol problemlerii çöze, Ford, Floyd, Bellma- Kalaba, Dijkstra gibi algoritmalar bilimektedir Başlagıç "s" ile "t" düğümleri olarak taımlaa düğümler arasıdaki e kısa yol problemi içi e etkili algoritmalarda biri Djkstra algoritmasıdır Metot düğümlere geçici etiketler vererek çalışır Bir düğümdeki etiket, s de o düğüme ola yolu üst sıırıdır Bu etiketler sürekli olarak iterasyolu bir prosedür izleyerek üretilirler Her iterasyoda bir geçici etiket sabit etikete döüşür ve bu etiket artık üst sıırı değil, s de o düğüme ola e kısa yolu verir Sabitlee etikete "+" üst idisi verilir 3 ÇİZGE PARÇALAMA İÇİN ALGORİTMALAR Verile bir G=(N,E) çizgeside (N ağırlıklı düğümleri kümesi, ve E de ağırlıkladırılmış kiriş kümesi olmak üzere) N i p alt kümesi N, N 2,,N p içi p U i Ni N ve N i N j ij ise Bu bir düğümü birde fazla grup (işlemci) içerside yer almadığı alamıa gelir W(i) W/p i=,2,,p W i ve W sırasıyla N i ve N i düğüm ağırlıkları toplamıdır Bu, sistemi yüküü işlemciler arasıda yaymak ve degelemek alamıa gelir 06

9 Bu alt kümeler arasıdaki geçişi sağlaya kirişleri (kesim kirişlerii büyüklüğü) ağırlıkları toplamı miimum olmalıdır Bu, işlemciler arasıdaki iletişimi miimum tutmak alamıa gelir Herhagi bir {N i N : i p} kümesi, birici şartı sağlarsa, bu p-yollu parçalama olarak adladırılır Her bir N i çizgei bir parçasıdır Bir bisectio (ikiye parçalama) 2-yollu parçalamadır İkici durumu sağlaya parçalamaya da degelemiş parçalama deir Şekil- de 4-yollu degelemiş parçalama çizge üzeride gösterilmiştir Şekil- (4-yollu Degelemiş Parçalama) G=(N,E) çizgesii ikiye parçalamak iki yolla yapılabilir Biricisi E i e küçük altkümesi ola E s yi E de ayırarak, G çizgesii, N N 2 =N olmak üzere her biri N ve N 2 düğümlerie sahip G ve G 2 alt çizgesie bölmektir N ve N 2 eşit büyüklüktedir E s içideki kirişler N içideki düğümleri N 2 içideki düğümlere bağlarlar E s kaldırılırsa çizge ikiye parçalaır N ve N 2 arasıdaki tüm bağlatılar kopar E s kiriş ayrıştırıcısıdır Bir çizgeyi parçalamaı diğer bir yolu da N s kümesii yai düğüm ayrıştırıcılarıı bulmaktır N i bir altkümesi ola N s i ve tüm bağlı kirişlerii çizgede kaldırılması çizgeyi birbirie bağlatısız iki G ve G 2 alt çizgesie böler Diğer bir deyişle N=N NsN 2 dir N ve N 2 yie eşit büyüklüktedir ve buları hiçbir kiriş birbirie bağlamaz Kısaca çizge parçalamak içi çizgede, çizgeyi parçalamak içi düğüm grupları ya da kirişler çıkartılır Eğer kiriş çıkartılarak çizge parçalarıa bölüüyorsa bu kirişler kesim büyüklüğü olarak adladırılır (Berkeley(996)) 4 KERNIGHAN-LIN ALGORİTMASI Kerigha-Li ilk çizge parçalama metotlarıda birii tasarlamışlardır ve birçok bölgesel gelişim metodu Kerigha-Li metoduu bir varyasyoudur Öcelikle çizge rastsal olarak eşit iki parçaya bölüür Bu iki parça algoritmaı girdileridir Kerigha-Li kesim büyüklüğüü azaltmaya yöelik, farklı parçalarda bulua düğüm çiftlerii ardışık olarak yer değiştirir 07

10 {N,N 2 } G=(N,E) çizgesii iki parçası olsu (burada düğüm ağırlıklara olarak varsayılmıştır) Her bir vn içi şu taımlamalar yapılır; it(v)= w ( v, u) ; ext(v) = w ( v, u) ( v, u) E, P( v) P( u) ( v, u) E, P( v) P( u) it(v), v düğümüü kedi işlemcisi içideki düğümlere bağlaya kirişleri ağırlıkları toplamıdır ext(v) ise, v düğümüü diğer işlemcilere bağlaya kirişleri ağırlıkları toplamıdır P(v), v düğümüü buluduğu parçadır w(v,u) ise(v,u) kirişii ağırlığıdır Çizgede toplam kesim ext ( v) dir v düğümüü buluduğu parçada diğer büyüklüğü vn parçaya taşımasıyla elde edile kazaç g(v)=ext(v) it(v) formülüyle hesaplaır Böylece g(v)>0 olduğuda, v i yer değiştirilmesiyle kesim büyüklüğü g(v) kadar azalır v N ve v 2 N 2 içi g(v,v 2 ) v ve v 2 düğümlerii N ve N 2 arasıda yer değiştirilmeside elde edile kazaç olsu Bu kazaç; g ( v) g( v2 ) 2w( v, v ) eger 2 ( v, v2 ) E g(v, v2) = g( v) g( v2 ) dd ile formülleştirilir Bu, v ve v 2 düğümleri yer değiştirilirse, kesim büyüklüğüde elde edilecek azalışı (kazacı) verir Herhagi bir iterasyoda, bu kazaç değerii yai kesim büyüklüğüdeki azalışı e büyükleye düğüm çifti yer değiştirilir Kerigha-Li algoritmasıı bir iterasyou şöyledir İterasyoa girdi degelemiş (düğüm ağırlıkları eşit) ola {N,N 2 }parçalarıdır İlk olarak, düğümleri tekrar adladırılabilmesi içi bütü düğümleri işaretleri kaldırılır Sora aşağıdaki prosedür kere tekrarlaır (= mi( N, N 2 ) ) g(v,v 2 ) yi pozitif yapa (fakat ister istemez pozitif olmayabilir) v N ve v 2 N 2 işaretsiz düğüm çifti buluur v ve v 2 işaretleir ve geriye kala bütü işaretsiz düğümleri g değerlerii v ve v 2 yi yer değiştirilmiş gibi gücelleir Sadece v ve v 2 i komşularıı g değerlerii gücellemesi yeterlidir Bu işlemlerde sora sıraya sokulmuş düğüm çiftleri listesi oluşur j i i ( v, v2 ), i=,2,, i i g( v, v2 ) yi maksimum yapa j ideksi i buluur Eğer toplam pozitif ise ilk j adet düğüm çifti yer değiştirilir ve KL algoritmasıı başka bir iterasyouyla devam edilir Aksi halde algoritma durdurulur Kerigha-Li metoduu tek bir iterasyou e 3 O N kadar zamaa ihtiyaç duyar fazla 08

11 5 EN KISA YOL PROBLEMİNİN ÇİZGE PARÇALANIŞI İLE ÇÖZÜMÜ Taım-: G=(N,E) birleştirilmiş, katlı kirişsiz, buklesiz ve yöledirilmiş bir çizge olsu Böyle bir G çizgesii bitişiklik matrisi ola A matrisi aşağıdaki biçimde taımlaır (Buckley, Harary (990)) a ij 0 i tepesi j tepesi e bir kirisle bitisik i tepesi j tepesi e bir kirisle bitisik deg il Taım-2: G bir basit yöledirilmiş çizge olsu G i A bitişiklik matrisi aşağıdaki biçimde yazılabiliyorsa G çizgesie zicir çizge deir Burada A,A 2,,A m boyutlu kare alt matrisler olup sırasıyla G i G =(N,E ), G 2 =(N 2,E 2 ),,G m =(N m,e m ) alt çizgelerii bitişiklik matrisleridir Eğer G çizgesii kirişleri üzeride ağırlıklar (maliyetler) işaretlemişse G i C maliyetler matrisi ve A matrisi: A 0 A 0 0 B A B B m Am C D biçimide gösterilebilir (Düdar, Beşer, Düdar (2000)) Burada D, D 2,,D m sırasıyla G, G 2,,G m alt çizgelerii ağırlıklar matrislerii ve E, E 2,,E m- bu alt çizgeleri geçiş kirişlerii ağırlıklarıı içerir Verile ağ ı modeli ola çizge; KL algoritması ile k adet parçaya ayrılarak bir zicir çizge halie getirildikte sora; G çizgesideki bir v düğümüde başlayarak sırasıyla G 2, G 3,,G k- alt çizgeleride geçip G k çizgesii bir v 2 tepeside bite e kısa yolu bulma bu çalışmaı temelidir E D 2 E 2 E m D m Adım-: G çizgesii verile bir v düğümü ile başlaya ve G ile G 2 çizgesii (y i,z i ) kesim kirişlerii (y i ) düğümleri ile bite işlemci içi tüm (v,y i ) e kısa yolları Dijkstra algoritması ile hesapladıkta sora bütü bu yolları G 2 işlemcisie bağlaya (y i,z i ) kesim kirişleri her bir bulua (v,y i ) yolua ekleerek tüm (v,z i ) e kısa yolları buluur Adım-2: G 2 çizgeside z i düğümleri ile başlayıp G 2 ile G 3 çizgesii (t i,p i ) kesim kirişleride t i düğümleri ile bite işlemci içi tüm (z i,t i ) e kısa yolları Dijkstra algoritması ile hesapladıkta sora bütü bu yolları G 3 işlemcisie bağlaya (t i,p i ) kesim kirişleri her bir bulua (z i,t i ) yolua ekleerek (z i,p i ) e kısa yolları buluur Adım-k: G k- ile G k işlemcilerii kesim ayrıtlarıı so düğümleri ola q i düğümleri ile v 2 arasıdaki tüm (q i,v 2 ) yolları buluur 09

12 Adım-k+: v de v 2 e tüm bağlatılı yollar arasıdaki mi[(v,y i )+(y i,z i )+(z i,t i )+(t i,p i )+(p i,)+(,q i )+(q i,v 2 )] ( i /k) yolu hesaplaır Bu yol bütü işlemcilerde sırasıyla geçmek şartı ile e kısa yolu verir Geliştirile algoritma içi bir örek olarak aşağıdaki çizge ele alıırsa, çizge parçalama yötemi ile e kısa yol bu algoritma ile şu şekilde hesaplaabilecektir Bu hesaplamalar Borlad Delphi yardımıyla yazıla program ile elde edilmiştir v v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v0 v v2 v3 v x v2 0 X 8 v3 8 X v4 25 X 5 6 v5 5 X v X v X 24 3 v8 6 5 X v X v0 3 X 2 v 2 X 5 v X 0 v3 8 0 X Verile bu çizgede v 2 düğümü ile v 3 düğümü arasıdaki e kısa yolu bulma problemii ele alalım Bu çizge öce Kerigha-Li algoritmasıyla 4 parçaya bölümüş, ardıda geliştirdiğimiz algoritma bu çizgeye uygulamıştır Çizge 4 parçaya bölüdükte sora ağırlıklı bitişiklik matrisi aşağıdaki şekilde oluşur 0

13 v4 v2 v3 v8 v0 v6 v7 v v9 v5 v v2 v3 v4 X v2 X 8 0 v X 25 v8 X 5 6 v0 X 3 2 v X v7 3 4 X v X 3 v X v X 8 v 2 X 5 v X 0 v3 8 0 X 6 SONUÇ Çizge Kuramı kedie özgü taımları kullaarak fe bilimleri ve sosyal bilimleri pek çok problemlerii çözmede yaygı olarak kullaılmaktadır Problemleri çizgelerle sembolize edilmeleri ile problem daha sade bir görüüme kavuşur, böylece çözüme daha kolay ulaşılabilir Öceki çalışmalarda; diferasiyel deklemleri solu farklarla çözümleri gibi bazı, kare matrislerle çözüle problemleri çözümleride sparse matrislerle karşılaşılmakta; bu matrislerle yapılacak işlemleri süresii kısaltmak amacıyla matris yoğu alt matrislerie parçalamaktadır Bu çalışmada, e kısa yol problemii bağlatı matrisii sparse olduğu durumda - ki bu zicir çizgelerde karşımıza çıkmaktadır, matris, yoğu alt matrislerie parçalamış ve e kısa yol problemii çözümü içi bir algoritma üretilmiştir Bir problemi çözümüde kullaıla algoritmaı karmaşıklığı, ou, uygulaması mümkü ola maksimum adım sayısıdır Bu, işlem süresi ile doğru oratılıdır Çizgedeki düğüm sayısıı büyük olduğu durumlarda (N>000), çizgeye Djkstra Algoritması uyguladığıda, e kısa yol problemii çözümü içi yapılabilecek maksimum işlem sayısı N(N-)/2 olup, karmaşıklığı N 2 mertebesidedir Kerigha-Li Algoritmasıı karmaşıklığıı N 3 olduğu kayaklarda bilimektedir Bu çalışmada öerile algoritma N 5 karmaşıklıkta poliomsal bir algoritmadır Düğüm ve parça sayısıı büyük olduğu durumlarda çizge kolaylıkla zicir çizge formua getirilebilmekte ve işlem sayısı öerile algoritma yardımıyla azalmaktadır

14 KAYNAKLAR Berger, MJ, Bokhari, SH (987), A Partitioig Strategy for No- Uiform Problems across Multiprocessors, IEEE Trasactios o Computers, C-36: Berkeley, CS (996), Lectures Graph Partitioig I,II, HTTP, CS267, Ders Notları Buckley, F, Harary, F (990), Distace i Graphs, Califoria: Addiso-Wesley Pub Bui, TN, Moo, BR (996), Geetic algorithm ad graph partitioig, IEEE Trasactios o Computers, 45(7): Düdar, S, Beşer, MK, Düdar, P (2000), E Kısa Yol Problemii Çizge Parçalaışı ile Çözümü, Yöeylem Araştırması ve Edüstri Mühedisliği XXI Ulusal Kogresi Bildiriler Kitabı, 8 2 Fjalström, P (998), Algorithms for Graph Partitioig, Liköpig Uiversity Electroic Press Fiduccia, C, Mattheyses, R A (982), Liear time heuristic for improvig etwork partitios, 9 th IEEE Desig Automatio Coferece Gilbert, JR, Zmijewski, E (987), A parallel graph partitioig algorithm for a message-passig multiprocessor Iteratioal J of Parallel Programmig 6(), Miller, GL, Teg, SH, Thursto, W, Vavasis, SA (993), Automatic mesh partitioig, I A George, R Gilbert, ad JWH Liu, editors, Graph Theory ad Sparse Matrix Computatio, volume 56 of The IMA Volumes i Mathematics ad its Applicatios, SprigerVerlag Pothe, A Simo, HD, Liu, KP (990), Partitioig sparse matrices with eigevectors of graphs, SIAM J o Matrix Aalysis ad Applicatios (3), Rollad, H Pirkul, Glover, F (996), Tabu search for graph partitioig, A Oper Res, 63,

15 Schloegel, K, Karypis, G, Kumar, V (997), Parallel multilevel difusio schemes for repartitioig of adaptive meshes Techical Report 97-04, Uiversity of Miesota, Departmet of Computer Sciece Walshaw, C, Cross, M, Everett, MG (997), Parallel dyamic graph-partitioig for ustructured meshes Techical Report 97/IM/20, Uiversity of Greewich, Cetre for Numerical Modellig ad Process Aalysis 3

16 4

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

köşe (vertex) kenar (edg d e)

köşe (vertex) kenar (edg d e) BÖLÜM 7 köşe (vertex) kenar (edge) Esk den Ank ya bir yol (path) Tanım 7.1.1: Bir G çizgesi (ya da yönsüz çizgesi) köşelerden oluşan bir V kümesinden ve kenarlardan oluşan bir E kümesinden oluşur. Herbir

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Diferansiyel Gelişim Algoritmasının Termik Birimlerden Oluşan Çevresel Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması

Diferansiyel Gelişim Algoritmasının Termik Birimlerden Oluşan Çevresel Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması Diferasiyel Gelişim Algoritmasıı Termik Birimlerde Oluşa Çevresel Ekoomik Güç Dağıtım Problemlerie Uygulaması Differetial evolutio algorithm applied to evirometal ecoomic power dispatch problems cosistig

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Diferansiyel Gelişim Algoritmasının Valf Nokta Etkili Konveks Olmayan Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması

Diferansiyel Gelişim Algoritmasının Valf Nokta Etkili Konveks Olmayan Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması 6 th Iteratioal Advaced Techologies Symposium (IATS ), 6-8 May 0, Elazığ, Turkey Diferasiyel Gelişim Algoritmasıı Valf Nokta Etkili Koveks Olmaya Ekoomik Güç Dağıtım Problemlerie Uygulaması S. Özyö, C.

Detaylı

SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME. Tamer EREN a,*, Ertan GÜNER b ÖZET

SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME. Tamer EREN a,*, Ertan GÜNER b ÖZET Erciyes Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Dergisi 23 (1-2) 95-105 (2007) http://fbe.erciyes.edu.tr/ ISSN 1012-2354 SIRA-BAĞIMLI HAZIRLIK ZAMANLI İKİ ÖLÇÜTLÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: TOPLAM TAMAMLANMA ZAMANI

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME

İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME V. Ulusal Üretim Araştırmaları Sempozyumu, İstabul Ticaret Üversitesi, 25-27 Kasım 2005 İKİ ÖLÇÜTLÜ PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ: MAKSİMUM TAMAMLANMA ZAMANI VE MAKSİMUM ERKEN BİTİRME Tamer EREN

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences

Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 19, Sayı 2, 2013, Sayfalar 76-80 Pamukkale Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi Pamukkale Uiversity Joural of Egieerig Scieces TEK MAKİNELİ

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ

MATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi

Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması Güz Dönemi Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM4 Tesis Plalaması 6-7 Güz Döemi 3 Sisteme ekleecek tesis sayısı birde fazladır. Yei tesisler birbirleri ile etkileşim halide olabilirler

Detaylı

Robot Navigasyonunda Potansiyel Alan Metodlarının Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulanması

Robot Navigasyonunda Potansiyel Alan Metodlarının Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulanması Robot Navigasyouda Potasiyel Ala Metodlarıı Karşılaştırılması ve Đç Ortamlarda Uygulaması Eyüp Çıar 1 Osma Parlaktua Ahmet Yazıcı 3 1, Elektrik-Elektroik Mühedisliği Bölümü, Eskişehir Osmagazi Üiversesi,

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Termik Üretim Birimlerinden Oluşan Çevresel-Ekonomik Güç Dağıtım Probleminin Genetik Algoritma Yöntemiyle Çözümü

Termik Üretim Birimlerinden Oluşan Çevresel-Ekonomik Güç Dağıtım Probleminin Genetik Algoritma Yöntemiyle Çözümü ermik Üretim Birimleride Oluşa Çevresel-Ekoomik üç Dağıtım Problemii eetik Algoritma Yötemiyle Çözümü Celal YAŞAR, Serdar ÖZYÖN, Hasa EMURAŞ 3, Mühedislik Fakültesi, Elektrik-Elektroik Müh. Bölümü, Dumlupıar

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

Obje Tabanlı Sınıflandırma Yöntemi ile Tokat İli Uydu Görüntüleri Üzerinde Yapısal Gelişimin İzlenmesi

Obje Tabanlı Sınıflandırma Yöntemi ile Tokat İli Uydu Görüntüleri Üzerinde Yapısal Gelişimin İzlenmesi Obje Tabalı Sııfladırma Yötemi ile Tokat İli Uydu Görütüleri Üzeride Yapısal Gelişimi İzlemesi İlker GÜNAY 1 Ahmet DELEN 2 Mahmut HEKİM 3 1 Gaziosmapaşa Üiversitesi, Mühedislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi,

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

Sigma 31, 128-140, 2013

Sigma 31, 128-140, 2013 Joural of Egieerig ad Natural Scieces Mühedislik ve Fe Bilimleri Dergisi Research Article / Araştırma Makalesi FUZZY CRITICAL PATH ANALYSIS Sigma 31, 128-140, 2013 Ömer ATLI 1, Cegiz KAHRAMAN 2 1 Hava

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 5. ÜNİTE: DALGALAR ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

10. SINIF KONU ANLATIMLI. 5. ÜNİTE: DALGALAR ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 10. SINI ONU ANATII 5. ÜNİTE: DAGAAR ETİNİ e TEST ÇÖZÜERİ 31 5. Üite 1. ou Etkilik C i Çözümleri c. 1. Soruda e dalgalarıı hızı eşit erilmiş. Ayrıca şekil icelediğide m = 4 birim, m = 2 birimdir. Burada;

Detaylı

ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ İLE İLKOKUL SEÇİMİ

ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ İLE İLKOKUL SEÇİMİ Marmara Üiversitesi İ.İ.B.F. Dergisi YIL 2008, CİLT XXIV, SAYI 1 ANALİTİK HİYERARŞİ YÖNTEMİ İLE İLKOKUL SEÇİMİ Yrd.Doç.Dr. Üal H. ÖZDEN * ÖZET Aalitik hiyerarşi yötemi (AHY) karar almada, bir kişii veya

Detaylı

Harmoni Arama Algoritmasının Çevresel Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması

Harmoni Arama Algoritmasının Çevresel Ekonomik Güç Dağıtım Problemlerine Uygulanması Çukurova Üiversitesi Mühedislik Mimarlık Fakültesi Dergisi, 26(2), ss. 65-76, Aralık 2011 Çukurova Uiversity Joural of the Faculty of Egieerig ad Architecture, 26(2), pp.65-76, December 2011 Özet Harmoi

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI

FREKANS CEVABI YÖNTEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI FREKANS CEVABI YÖNEMLERİ FREKANS ALANI CEVABI VEYA SİNUSOİDAL GİRİŞ CEVABI G(s (r(t ı Laplace döüşümü; A(s B(s A(s (s p (s p L(s p C(s G(sR(s R(s R s A(s B(s R(s A(s R a C(s L B(s s s j s j s p a b b s

Detaylı

Çizgeler (Graphs) Doç. Dr. Aybars UĞUR

Çizgeler (Graphs) Doç. Dr. Aybars UĞUR Çizgeler (Graphs) ve Uygulamaları Doç. Dr. Aybars UĞUR Giriş Şekil 12.1 : Çizge (Graph) Çizge (Graph) : Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan bağlantılardan

Detaylı

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 10 Graf Veri Modeli Graf, matematiksel anlamda, düğümler ve bu düğümler arasındaki ilişkiyi gösteren kenarlardan oluşan bir kümedir; mantıksal ilişki düğüm ile düğüm

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ

ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KM 482 Kimya Mühedisliği Laboratuarı III eey No : 2-a eeyi adı : Kesikli istilasyo eeyi amacı : a) Kolodaki basıç kaybıı belirlemek,

Detaylı

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)

Hanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir) Haoi Kuleleri Aşağıdaki gibi, e büyük çaplı disk e altta ve e küçük çaplı disk e üstte olmak üzere, üst üste çapları küçüle 3 tae disk bir çubuğa geçirilmiş olsu. Diskleri birer birer alarak, bir diski

Detaylı

HARMONİK VE SIÇRAMA İÇEREN ELEKTRİK GÜÇ ŞEBEKESİ GERİLİM İŞARETİNE KİLİTLENMENİN YİNELENEN EN KÜÇÜK KARELER METODUYLA İNCELENMESİ

HARMONİK VE SIÇRAMA İÇEREN ELEKTRİK GÜÇ ŞEBEKESİ GERİLİM İŞARETİNE KİLİTLENMENİN YİNELENEN EN KÜÇÜK KARELER METODUYLA İNCELENMESİ P AM U K K A L E Ü N İ V E R S İ E S İ M Ü H E N D İ S L İ K F A K Ü L E S İ P A M U K K A L E U N I V E R S I Y E N G I N E E R I N G F A C U L Y M Ü H E N D İ S L İK B İ L İM L E R İ D E R G İS İ J O

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ON THE TRANSFORMATION OF THE GPS RESULTS

ON THE TRANSFORMATION OF THE GPS RESULTS Niğde Üiversitesi Mühedislik Bilimleri Dergisi, Cilt 6 Sayı -, (00), 7- GPS SONUÇLARININ DÖNÜŞÜMÜ ÜZERİNE BİR İNCELEME Meti SOYCAN* Yıldız Tekik Üiversitesi, İşaat Fakültesi, Jeodezi Ve Fotogrametri Mühedisliği

Detaylı

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI 2. Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI ÖZET: O. Soydaş 1 ve A. Sarıtaş 2 1 Doktora Öğrecisi, İşaat

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR

YZM ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR YZM 3207- ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIM DERS#9: AÇGÖZLÜ ALGORİTMALAR Aç Gözlü (Hırslı) Algoritmalar (Greedy ) Bozuk para verme problemi Bir kasiyer 48 kuruş para üstünü nasıl verir? 25 kuruş, 10 kuruş,

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE UYGULANMASI

TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE UYGULANMASI Uludağ Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Cilt XXIV, Sayı 1, 2005, s. 101-114 TAMSAYILI PROGRAMLAMADA DAL KESME YÖNTEMİ VE BİR EKMEK FABRİKASINDA OLUŞTURULAN ARAÇ ROTALAMA PROBLEMİNE

Detaylı

BAġKENT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ ÇOK GEZGĠNLĠ EN KÜÇÜK GECĠKME PROBLEMĠ ĠÇĠN YENĠ KARAR MODELLERĠ GÖZDE ÖNDER

BAġKENT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ ÇOK GEZGĠNLĠ EN KÜÇÜK GECĠKME PROBLEMĠ ĠÇĠN YENĠ KARAR MODELLERĠ GÖZDE ÖNDER BAġKENT ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ ÇOK GEZGĠNLĠ EN KÜÇÜK GECĠKME PROBLEMĠ ĠÇĠN YENĠ KARAR MODELLERĠ GÖZDE ÖNDER YÜKSEK LİSANS TEZİ 2015 ÇOK GEZGĠNLĠ EN KÜÇÜK GECĠKME PROBLEMĠ ĠÇĠN YENĠ KARAR

Detaylı

HARMONİK DİSTORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKTASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ

HARMONİK DİSTORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKTASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ HARMONİK DİSORSİYONUNUN ÖLÇÜM NOKASI VE GÜÇ KOMPANZASYONU BAKIMINDAN İNCELENMESİ Celal KOCAEPE Oktay ARIKAN Ömer Çağlar ONAR Mehmet UZUNOĞLU Yıldız ekik Üiversitesi Elektrik-Elektroik Fakültesi Elektrik

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda,

Detaylı

HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU DURUMDA BİR AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU DURUMDA BİR AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Gazi Üiv. Müh. Mim. Fak. Der. J. Fac. Eg. Arch. Gazi Uiv. Cilt 22, No 2, 353-36, 2007 Vol 22, No 2, 353-36, 2007 HAZIRLIK ZAMANLARININ ÖĞRENME ETKİLİ OLDUĞU DURUMDA BİR AKIŞ TİPİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Tamer

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

Vektör bileşenleri için dikey eksende denge denklemi yazılırak, aşağıdaki eşitlik elde edilir. olarak elde edilir. 2

Vektör bileşenleri için dikey eksende denge denklemi yazılırak, aşağıdaki eşitlik elde edilir. olarak elde edilir. 2 Açıklama Sorusu : V kayışlar, ayı mekaizma büyüklükleride düz kayışlara göre daha yüksek dödürme mometlerii taşıyabildikleri bilimektedir. V kayışları düz kayışlara göre gözlee bu üstülüğü sebebi "kama

Detaylı

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ

ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR GÜZ ÇİZGE KURAMI KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 GÜZ Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak Modelleme Çizge Olarak Modelleme Yönlü Çizge Kenar - Köşe 2 / 90 Çizgeler Yollar ve Çevrimler Çizge Olarak

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Graph (Çizge) Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Graph (Çizge) Köşe (vertex) adı verilen düğümlerden ve kenar (edge) adı verilip köşeleri birbirine bağlayan

Detaylı