T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ"

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dalı Daışma: Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN, 6 Sayfa Jüri Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Bu tezde öcelile oves, oav, matris oves, matris mooto fosiyolar ve majorizasyo içi temel taım ve teoremler verildi. Daha sora majorizasyo ve oves fosiyolarla ilgili bilie souçlarda bahsedildi ve bilie bazı Hermite-Hadamard tipi eşitsizliler ele alıdı. So olara, operatör (matris) oves fosiyolar içi elde edile Hermite-Hadamard tipi eşitsizliler ve itegral eşitsizlileri verildi. Aahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Hermitye matris, oav fosiyolar, oves fosiyolar, majorizasyo, matris oves fosiyolar, matris mooto fosiyolar, öz değer. iv

5 ABSTRACT MS THESIS CONVEX FUNCTIONS AND MATRIX INEQUALITIES Vilda BACAK THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Assoc. Prof. Dr. Ramaza TÜRKMEN, 6 Pages Jury Assoc. Prof. Dr. Ramaza TÜRKMEN Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT I this thesis firstly, the defiitios ad theorems for cove, cocave, matri cove, matri cocave fuctios ad majorizatio were give. Later, we metioed about the well ow results of majorizatio ad cove fuctios ad we eamied ow Hermite-Hadamard iequalities for cove fuctios. Fially, Hermite-Hadamard s type iequalities ad itegral iequalities for operator (matri) cove fuctios were give. Keywords: Cocave fuctios, cove fuctios, eigevalue, Hermite - Hadamard iequality, Hermitia matri, majorizatio, matri cove fuctios, matri mooto fuctios. v

6 ÖNSÖZ Bu tez çalışması, Selçu Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Ramaza Türme daışmalığıda hazırlaara, Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü e yüse lisas tezi olara suulmuştur. Bu çalışma 8 bölümde oluşmatadır. Tezi. bölümü Giriş ve Kaya Araştırması a ayrılmıştır.. bölümde tez içeriside ullaılaca geel bilgilere yer verilmiştir. 3. bölümde oves fosiyolar ve oves ümeler taıtılmıştır. 4. bölümde majorizasyo avramı üzeride durulmuştur. Majorizasyo ve oves fosiyolar arasıdai ilişi ele alımıştır. 5. bölümde matris mooto ve matris oves fosiyoları geel taım ve teoremlerie ve bazı örelere yer verilmiştir. 6. bölümde oves fosiyolar içi bilie Hermite-Hadamard ve itegral eşitsizlileri verilmiştir. 7. bölümde araştırma souçlarıa yer verilmiştir. Bu bölümde operatör oves fosiyolar içi elde edile Hermite-Hadamard eşitsizlileri ve itegral eşitsizlileri verilmiştir. Daha öcei çalışmalarla aralarıdai far açılamıştır. 8. bölüm souçlar ve öerilerde oluşmatadır. Yüse lisas eğitimim boyuca bilgileriyle ve tecrübesiyle baa yol göstere daışmaım Sayı Doç. Dr. Ramaza Türme e, Selçu Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü ü saygıdeğer öğretim elemalarıa ve bede desteğii hiç esirgemeye, her zama iyi iyetiyle yaımda ola sevgili aradaşım Ayşegül Özca a ve aileme teşeürlerimi suarım. Vilda BACAK KONYA- vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET...iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ...vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... viii. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI.... GENEL KAVRAMLAR KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER Koves Kümeler Koves Fosiyolar MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR Temel Gösterimler Koves ve Mooto Fosiyolar İçi Majorizasyo Log-Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR Taımlar ve Basit Öreler Temel Teoremler HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA Operatör Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler Tartışma SONUÇLAR VE ÖNERİLER Souçlar Öeriler... 3 KAYNAKLAR... 4 ÖZGEÇMİŞ... 6 vii

8 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler A : A pozitif yarı taımlı A : A pozitif taımlı A B : A B pozitif yarı taımlı A A A * A : / : Komples sayılar ümesi : Komples sayılar üzeride bileşeli vetörleri ümesi ( A) : A matrisii spetrumu H : Hilbert uzay I : Reel sayılar ümesii bir aralığı I : Reel sayılar ümesii içermeye bir aralığı : Hermitye matrisler ümesi M : omples matrisleri ümesi : pozitif taımlı matrisleri ümesi : Reel sayılar ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeli vetörleri ümesi : Negatif olmaya reel sayılar ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeleri egatif olmaya bileşeli vetörleri ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeleri pozitif ola bileşeli vetörleri ümesi m : Elemaları reel sayılar ola m matrisleri ümesi : pozitif yarı taımlı matrisleri ümesi : Negatif oordiatları ile yer değiştirmesiyle te elde edile vetör : Tüm oordiatları mutla değeri alıara elde edile vetör y :, y tarafıda majorize edilmiştir y :, y tarafıda zayıf majorize edilmiştir w w y :, y tarafıda süper majorize edilmiştir y : y ( y,..., y) Kısaltmalar det ep öş log : Determiat : Espoasiyel (üstel) fosiyo : Köşege matris : Logaritma fosiyou viii

9 . GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI Kovesli; öei i değerii tahmi etmesi dolayısıyla, Arşimed e dayaa basit ve doğal bir avramdır. Arşimed, oves bir şeli çevre uzuluğuu ou çevreleye diğer bir oves şeli çevre uzuluğuda daha üçü olduğuu far etmiştir. Kovesli, hayatımızı birço evreside arşımıza çımatadır. Buu e basit öreği ayata di duruş pozisyoumuzdur. Ayalarımızı apladığı oves alaı içide, ağırlı merezimizi di izdüşümü boyuca degemizi orumatayız. Koves fosiyolar teorisi, matematiği heme heme tüm dallarıda öemlidir. Ayrıca edüstri, ticaret, tıp ve saat gibi dalları ümeri uygulamalarıda ve şas oyularıı degesii sağlamasıda da ullaılmatadır. Koves fosiyoları başlagıcı, Joha Ludwig William Valdemar Jese e (859-95) dayamatadır. Faat oves fosiyolarla il uğraşa işi Jese değildir. Jese de öce çalışalar arasıda Ch. Hermite, O. Hölder ve O. Stolz vardır.. yüzyıl boyuca geometri fosiyoel aalizde, matematisel eoomide, oves aalizde ve lieer olmaya optimizasyoda yoğu araştırma faaliyetleri ve öemli souçlar gerçeleştirilmiştir. G.H. Hardy, J.E. Littlewood ve G. Polya ı 934 yılıda basıla Iequalities, Cambridge Uiversity Press, Great Britai adlı itabı oves fosiyolar ousuu popüler olmasıda öemli rol oyamıştır. Eşitsizliler, matematiği tüm dallarıda geiş çalışma alaıa sahip, süreli gelişmete ola bir oudur. Bu ou, so yıllarda ço sayıda araştırmacıı diatii çemetedir. Jese, Hadamard, Hilbert, Hardy, Opial, Poicaré, Sobolev, Levi ve Lyapuov isimleriyle özdeşleşmiş birço eşitsizli tipi arasıda deri öler vardır ve bu eşitsizli tipleri matematiği farlı dallarıda ullaılmatadır. Eşitsizliler teorisii gelişmeside yuarıda bahsettiğimiz isimleriyle özdeşleşmiş eşitsizliler üzerie çalışmalar yapa araştırmacıları artmasıyla; çalışma alalarıı yeilemesi ve mevcut çalışma alalarıı geişlemesi bu teorii cazibesii de arttırmatadır. So yıllarda Hermite-Hadamard tipi eşitsizlilere ve itegral eşitsizlilerie ilgi artmıştır. S.S. Dragomir, B.G. Pachpatte, G. Zabada gibi araştırmacıları bu alada yapılmış çalışmaları mevcuttur. B.G. Pachpatte 3 te O some iequalities for cove fuctios, RGMIA Res. Rep. Coll., 6(E) maaleside elemater işlemler ullaara oves fosiyolar içi eşitsizliler vermiştir. M. Tuç de O some ew iequalities for cove fuctios, Tur J Math, 35,-7 maaleside Pachpatte i souçlarıa bezer eşitsizliler vermiştir. S.S. Dragomir de

10 Hermite Hadamard s type iequalities for operator cove fuctios, Applied Mathematics ad Computatio, 8, maaleside oves fosiyolar içi var ola bir eşitsizliği operatör oves fosiyolar içi de sağladığı göstermiştir. G. Zabada 9 da A ew refiemet of the Hermite-Hadamard iequality for cove fuctios, JIPAM, vol., iss., art.45 maaleside Dragomir i oves fosiyolar içi ulladığı eşitsizliği bir geellemesii yapmıştır. Bu tezde yuarıda belirtile araştırmacıları eşitsizlileride daha geel eşitsizliler elde edilmiştir. Matris mooto fosiyolar, il olara K. Löwer (C. Loewer) tarafıda 934 yılıda Über mootoe Matrifutioe, Math. Z. 38, 77-6 maaleside icelemiştir. Daha sora 95 de Heiz, Beitrage zur Strörugstheorie der Spetralzerlegug, Math. A., 3, maaleside matris mootoluğu ullamıştır. Matris oves fosiyolar, il olara F. Kraus tarafıda 936 da Über ovee Matrifutioe, Math. Z.,4, 8-4 maaleside icelemiştir. J.Bedat ve S.Sherma 955 te Mootoe ad cove operator fuctios, Tras. Amer. Math. Soc., 79, 58-7 maaleside Löwer ve Kraus u teoremleri üzerie yei bir perspetif sağlamışlardır. F. Zhag de Matri theory: Basic results ad techiques, secod ed., Spriger, New Yor itabıda matris teori üzerie bir ço taım ve teorem vermiştir. Ayrıca majorizasyo ve oves fosiyolar içi eşitsizliler vermiştir. J.S. Aujla ve F.C. Silva3 te Wea majorizatio iequalities ad cove fuctios, Liear Algebra ad its Appl., 369, 7-33 maaleleride oves fosiyolar içi majorizasyo eşitsizlileri vermişlerdir. R.Bhatia 997 de Matri aalysis, Spriger-Verlag, New Yor itabıda matris teori üzerie taımlar, teoremler, problemler vermiştir. Ayrıca, operatör oves fosiyolar avramıa yer vermiş, taım ve teoremler vermiştir. Pecaric ve aradaşları 99 de Cove fuctios, partial orderigs ad statistichal applicatios, Mathematics i Sciece ad Egieerig, vol 87, Academic Press Ic, USA itabıda oves fosiyolara, oves fosiyolarla ilişili birço taım ve teoremlere yer vermiştir.

11 3. GENEL KAVRAMLAR Taım.. A M olma üzere A ı arateristi poliomu P( ) det( I A) ile verilir. det( I A) delemie A ı arateristi delemi ve arateristi delemi ölerie de A ı öz değerleri deir. ( I A) delemide i ( i ) içi arşılı gele i vetörüe A ı öz vetörü deir. Taım.. A ı tüm öz değerlerii ümesie A ı spetrumu deir ve ( A) ile gösterilir. Taım.3. A a ij M olma üzere A ı öşege elemalarıı toplamıa A ı izi deir ve iz( A) a ile gösterilir. i ii Teorem.4. A, B M, olma üzere aşağıdai ifadeler vardır: i) iz( A) iz( A) ii) iz( A B) iz( A) iz( B) iii) iz( AB) iz( BA) iv) S, M de tersiir matris olma üzere v) iz(), iz( I) iz S AS iz A ( ) ( ) dır. vi) iz( A), ( A),..., i i Taım.5. A a ij M olma üzere A ı traspozu T A a ji ve A ı adjoiti * A a ji dir. Adjoit aşağıdai özellilere sahiptir: Teorem.6. A, B M, olma üzere aşağıdai ifadeler vardır: * i) A * A ii) * * * A B A B A A iii) * * iv) * * * AB B A * v) A det det( A) vi) * iza iza

12 4 vii) ı A ı bir öz değeri olması içi gere ve yeter şart ı * değeri olmasıdır. Yai, A A : ( A) dır. * A ı bir öz viii) A ı tersiir olması içi gere ve yeter şart * A A * dır. * A ı tersiir olmasıdır. Yai, * Taım.7. A A A / matrisii öz değerlerie A ı sigüler değerleri deir ve sigüler değerler, s( A) s ( A), s ( A),..., s ( A) ile gösterilir ve azala sırada sıralaırlar: s( A) s( A)... s ( A). Taım.8. A a ij M olma üzere i) i j olma üzere a ise A öşege matris, ij ii) i j olma üzere a ise A üst üçge matris, ij iii) iv) v) vi) vii) T A * A A ise A simetri matris, A ise A Hermitye matris, * * A A AA ise A ormal matris, * * A A AA I ise A üiter matris, T T A A AA I ise A ortogoal matristir. Not.9. i) A aij M olma üzere A ı Hermitye olması içi gere ve yeter şart i, j,,..., içi aij a ji olmasıdır. Eğer A Hermitye ise A ı öşege elemaları reeldir. ii) Hermitye ii matrisi toplamı Hermityedir. iii) Hermitye ii matrisi çarpımıı Hermitye olması içi gere ve yeter şart matrisleri değişmeli olmasıdır. iv) A M Hermitye ise * * * AA, A A, A A Hermityedir. v) A Hermitye ise,,... içi A Hermityedir. Eğer A tersiir ise A Hermityedir. vi) Hermitye bir matrisi bütü öz değerleri reeldir.

13 5 Teorem. (Weyl Mootolu Teoremi). A, B olma üzere i ( A), i ( B) ve i ( A B) öz değerleri azala sırada dizilsiler. Yai, ( A) ( A) ( A), ( B) ( B) ( B) ve ( A B) ( A B) ( A B) dir. Bu durumda her bir,,..., içi ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) (.) eşitsizliği vardır. (Bhatia,997) Taım.. Her satır ve sütuuda bir tae elemaı içere ve diğer elemaları ola matrise permütasyo matris deir. Taım.. A M matrisii determiatı sıfırda farlı ise matrise düzgü (regüler) matris, determiatı sıfır ise matrise teil (sigüler) matris deir. Taım.3. V, K cismi üzeride bir vetör uzayı ve f : V V K ( u, v) f ( u, v) u, v fosiyou; i) a, b K ve u, v, w V içi au bv, w a u, w b v, w, ii) u, v v, u, iii) u, u ( u, u u ) özellilerii sağlıyorsa f fosiyoua, V vetör uzayı üzeride bir iç çarpım ve V uzayıa da iç çarpım uzayı deir. V üzeride taımlaa bir iç çarpım, V üzeride u u, u (.) ile verile bir orm ve d( u, v) u v u v, u v (.3) ile verile bir metri taımlar.

14 6 Taım.4. Üzeridei iç çarpımla taımlı metriğe göre tam ola iç çarpım uzayıa Hilbert uzayı deir. Taım.5. A Hermitye bir matris olma üzere her içi A, T A ise A matrisie pozitif yarı taımlı matris deir. Her içi A, ise A matrisie pozitif taımlı matris deir. A ve B Hermitye matrisler olma üzere A B pozitif yarı taımlı ise A B ve pozitif taımlı ise A B yazılır. Burada, Hermitye matrisler ümesi üzeride ısmi bir sıralamadır ve ısmi Löwer sıralaması olara biliir ve aşağıdai özellileri sağlar: i) A içi A A dır. ii) A B ve B A ise A B dir. iii) A B ve B C ise A C dir. Pozitif taımlı ve pozitif yarı taımlı matrisleri araterize ede birço durum vardır. Bularda biraçı aşağıda listelemiştir: i) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm öz değerlerii egatif olmamasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm öz değerlerii pozitif olmasıdır. ii) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart Hermitye olması ve tüm esas miörlerii egatif olmamasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm esas miörlerii pozitif olmasıdır. iii) A A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart bazı B matrisleri içi * B B olmasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve B i regüler olmasıdır. iv) içi A A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart üst üçge T matrisleri * T T olmasıdır. v) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart bazı B matrisleri içi A B olmasıdır. Burada B bir taedir. B / A yazılır ve A ı pozitif are öü deir. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart B i pozitif taımlı olmasıdır. (Bhatia,7)

15 7 Teorem.6. A M olsu. Bu tadirde U, V M üiter matrisleri ve D öş( s ( A),..., s ( A)) içi ayrışımı deir. A * UDV yazılabilir i, bu ifadeye sigüler değer Teorem.7 (Spetral Ayrışım). A M ve A ı öz değerleri,..., olsu. Bu tadirde A ı ormal olması içi gere ve yeter şart A ı üiter olara öşegeleştirilmesi, yai * U AU öş,..., (.4) olaca şeilde bir U üiter matrisii olmasıdır. f, değerli bir fosiyo olsu. Bu durumda I aralığıda taımlı reel f A U öş f f f U * ( ) ( ( ), ( ),..., ( )) şelide taımlaır. Özel olara A ı Hermitye olması içi gere ve yeter şart i öz değerlerii reel olması ve A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart i öz değerlerii egatif olmamasıdır. Taım.8. A, B M içi : M fosiyou aşağıdai asiyomları sağlıyorsa matris orm deir: i) A ve A A ii) Komples c salerleri içi ca c A dır. iii) A B A B iv) AB A B Taım.9. U, V üiter matrisleri içi A UAV (.5) ise. ormua üiter ivaryat orm deir.

16 8 Not... üiter ivaryat bir orm içi A değeri A ı sigüler değerlerii bir fosiyoudur: U, V üiter matrisleri ve A matrisi içi s( UAV ) s( A) dır. Sigüler değer eşitsizlileri, ısmi Löwer sıralama eşitsizlileride daha zayıf ve üiter ivaryat orm eşitsizlileride daha güçlüdür. Yai, A B s ( A) s ( B) A B (.6) j j dır. Bazı özel matris orm türleri aşağıdadır: i) Frobeius orm (veya Hilbert- Schmidt orm) : / / j (.7) j A F A s ( A) iz A ii) Spetral orm (veya operatör orm): A s ( A) (.8) iii) p içi Schatte p orm : / p / p p p A p s j ( A) iz A (.9) j iv),,..., içi Ky- Fa orm : A s ( A) (.) ( ) j j

17 9 3. KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER 3.. Koves Kümeler Taım 3... C ümesi üzeridei herhagi ii otayı birleştire doğru parçası üzeridei otalar, ayı ümede alıyorsa C ye oves üme ya da afi deir. Yai, olma üzere, C içi ( ) C (3.) ise C ümesi oves bir ümedir. Aşağıda oves ümelere ve oves olmaya ümelere öreler verilmiştir: Şeil 3.. (a) Koves ümeler, (b) Koves olmaya ümeler Teorem 3... C, C oves ii üme olsu. Bu durumda i) C C C C {, } oves ümedir. ii) içi C ovestir. iii) C C ovestir. iv) Boş üme, oves üme olara düşüülür. v) Herhagi sayıda (solu, sayılabilir ya da sayılamaz) oves ümeleri esişimi yie oves bir ümedir. (Rocafellar,97)

18 3.. Koves Fosiyolar Taım 3..., y I ve içi f y f f ( y) (3.) ise f : I fosiyoua oves fosiyo deir. durumuda y f ( ) f ( y) f (3.3) olur. Şeil 3.. Koves fosiyo Öre 3.. ( Üzeridei Koves Fosiyo Öreleri). Afi: Herhagi a, b içi fosiyodur. f a b fosiyou üzeride oves bir Espoasiyel: Herhagi a içi f e a fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Kuvvet: t veya t içi t (, ) üzeride oves bir fosiyodur. f fosiyou pozitif reel sayılar ümesi

19 Mutla değer uvveti: p içi p fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Negatif etropi: f ( ) log fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Taım 3..3., y I ve içi f y f f ( y) (3.4) ise f : I fosiyoua esi oves fosiyo deir. Taım f deir. Taım f fosiyo deir. fosiyou oves ise f : I fosiyoua oav fosiyo fosiyou esi oves ise f : I fosiyoua esi oav Şeil 3.3. Koav Fosiyo Şeil 3.4. (a) grafiği oves bir foiyo, (b) grafiği oav bir fosiyo ve (c) grafiği e oves e de oav bir fosiyodur

20 Öre ( Üzeridei Koav Fosiyo Öreleri) Afi: Herhagi a, b fosiyodur. içi üzeride f a b oav bir Kuvvet: t içi pozitif reel sayılar ümesi üzeride t f oav bir fosiyodur. Logaritma: üzeride log oav bir fosiyodur. Teorem i) f : I ve g : I fosiyoları oves ve ise f g ve f fosiyoları da I aralığıda ovestir. ii) f : I ve g : I fosiyoları oves ve g arta ise g f bileşesi ovestir. iii) f : I ve g : I fosiyoları oves, egatif olmaya, azala (veya arta) ise h( ) f ( ) g( ) fosiyou da bu özellileri sağlar. iv) Eğer f : I, solu bir f limit fosiyoua yaısaya oves fosiyoları bir dizisi ise f de ovestir.(roberts ve Varberg, 973) İspat: i) Koves fosiyo taımıda olayca görülebilir. ii), y I ve, olsu. ( ) ( ) ( ) ( ) g f ( ) ( ) g f ( y) ( g f )( ) ( ) ( g f )( y) g f y g f f y (3.5) dir. iii), y I ve, olsu. y f ( ) f ( y) g( y) g( ) (3.6) dır ve (3.6) da

21 3 f ( ) g( y) f ( y) g( ) f ( ) g( ) f ( y) g( y) (3.7) elde edilir. Eğer ise ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( y) g( ) ( ) g( y) f y g y f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( y) f ( y) g( ) ( ) f ( y) g( y) f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) f ( y) g( y) ( ) f ( y) g( y) f ( ) g( ) ( ) f ( y) g( y) ( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) f ( y) g( y) (3.8) eşitsizliği elde edilir. iv), y I ve, olsu. ( ) lim ( ) f y f y lim f ( ) ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.9) dir. Öre 3..8 ( Üzeridei Öreler). Afi fosiyolar, hem de oav fosiyolardır. Tüm ormlar Afi: Herhagi,, oav bir fosiyodur. T a b içi üzeride ovestir. üzeride hem oves f a b fosiyou, hem oves hem p / p Normlar: l p orm: p içi p p i, l i orm: ma i gibi i ormlar oves fosiyolardır. m Öre 3..9 ( Üzeridei Öreler). Afi fosiyolar, m üzeride hem oves hem de oav fosiyolardır. Normlar, fosiyolardır. m üzeride oves

22 4 m Afi: A, X ve b içi fosiyou hem oves hem de oav fosiyodur. T f ( X ) iz( A X ) b a b m i i Spetral (e büyü sigüler değer) orm: ma, bir matrisi e büyü öz değerii belirtsi. Bu tadirde f ( X ) X ( ( X X )) Taım 3... f : T / ma fosiyou oves fosiyodur. bir fosiyo olma üzere f i grafiği X m olma üzere ij ij {(, f ( )) } (3.) şelide taımlaır. Taım 3... i) dom f { : f ( ) } ümesie f i taım ümesi deir. ii) f : bir fosiyo olma üzere f i epigrafiği (esi epigrafiği) (, ) ( ), epis ( f ) (, t) f ( ) epi f t f t t (3.) şelidedir. f bir oves fosiyodur epi f bir oves ümedir. Şeil 3.5. Koves ve oves olmaya fosiyolarda epigrafi

23 5 iii) S ( f ) { : f ( ) t} ile taımlaa ümeye f i bir alt düzey ümesi deir. t (, t) epi f S ( f ) olduğu açıtır. t Şeil 3.6. Bir fosiyou epigrafiği ve esi epigrafiği Şeil 3.7. f ( ) fosiyouu S f ( ) { : 5} 5 alt düzey ümesi Not 3... i), y I, p, q, p q içi (3.) ifadesi

24 6 f p qy pf ( ) qf ( y) p q p q (3.) ifadesie detir. ii) (3.) i basit geometri yorumu,, f ve, doğruu grafiği üzeride olmasıdır. doğruu delemi, f ve, y f y otaları arasıdai y f y otalarıı birleştire f ( y) f ( ) f ( s) f ( ) y s f ( y) f ( ) f ( s) f ( ) ( s ) y (3.3) şelide belirtilir. s ty ( t) otasıda hesaplaırsa, f ( y) f ( ) f ( ty ( t) ) f ( ) t( y ) f ( ) t f ( y) f ( ) y tf ( y) ( t) f ( ) elde edilir. iii) 3 olaca şeilde,, 3 I de üç ota ise (3.) ifadesi f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) (3.4) f ( ) 3 3 ifadesie detir. Bu da f ( ) f ( ) f ( ) (3.5) ifadesie veya daha simetri olara ve,, 3 üzeride mootolu şartı olmasızı

25 7 f ( ) f ( ) f ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (3.6) ifadesie detir. iv) Köşeleri (, f ( )),(, f ( )),( 3, f ( 3 )) ola üçgei alaı f ( ) P f ( ) (3.7) f ( ) 3 3 ile verilir. v) (3.5) i diğer bir yazılışı f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),(, ) 3 3 ve 3 3 (3.8) şelidedir. Böylece aşağıdai souç geçerlidir: f ( ) f ( c) Her c I otası içi c fosiyou ovestir. ( c) fosiyou I aralığıda arta ise f vi) (3.8) i ullaara aşağıdai soucu olayca ispatalayabiliriz: f, I aralığıda oves bir fosiyo ve y, y,, y y ise aşağıdai eşitsizli geçerlidir: f f f y f y y y ( ) ( ) ( ) ( ). (3.9) (Pecaric ve ar.99) Taım Her, y a, b otaları içi

26 8 y f ( ) f ( y) f (3.) eşitsizliği geçerliyse f : a, b fosiyoua, a b üzeride Jese alamda oves veya J -oves deir. J -oves bir f fosiyoua her (, y), y ota çiftleri içi (3.) de daha sıı eşitsizli sağlaırsa esi J -oves deir. Koves fosiyolar içi Jese eşitsizliği, matemati ve istatistite ço öemli eşitsizlilerde biridir. Diğer birço eşitsizli bu eşitsizlite elde edilebilir. Teorem 3..4 (Jese Eşitsizliği). I, de bir aralı, f : I oves fosiyo,,..., I ve... olma üzere,,..., olsu. Bu durumda f ii i f ( i ) (3.) i i eşitsizliği geçerlidir. Eğer f esi oves ise (3.) ifadesi... olmasızı esidir. (Roberts ve Varberg, 973) İspat: (3.) i ispatı tümevarımda yapılır. içi eşitsizli doğrudur. Farz edelim i içi doğru olsu. Bu durumda içi doğruluğuu göstermemiz gereir.,...,, I ve... olma üzere,,...,, olsu.,,..., i e az bir taesi de üçü olmalıdır. Asi halde eşitsizli aşiardır. ve u... (3.) olsu.... (3.3) ve

27 9... ( ) u (3.4) olur. f oves foiyo olduğuda, f ( ) u ( ) f ( u) f ( ) (3.5) buluur ve tümevarım hipotezide f ( u) f ( ) f ( )... f ( ) (3.6) eşitsizliği vardır. (3.5) ve (3.6) eşitsizlileride f... f ( ) f ( )... f ( ) (3.7) elde edilir. Böylece eşitsizli içi urulmuştur ve böylelile eşitsizli herhagi pozitif tamsayısı içi geçerlidir. Teorem 3..5 (Aritmeti-Geometri Ortalama Eşitsizliği). Eğer, ve i ise i i i (3.8) dir. (Roberts ve Varberg, 973) İspat: i içi ispatlama yeterlidir. yi log i olsu. Bu durumda i log e i i e i y i i (3.9) t dir. f ( t) e fosiyou (, ) aralığıda oves olduğuda Jese eşitsizliği ullaılara,

28 i i yi i i i e i i i f y yi i f ( yi) i e ii i i i (3.3) elde edilir. Teorem I açı bir aralı olma üzere reel değerli bir f fosiyouu I da oves olması içi gere ve yeter şart, f i süreli ve f ( ) olmasıdır. (Niculescu ve Persso, 6) Taım I bir aralı olma üzere eğer log f oves ise veya her, y I,, içi f ( ( ) y) f ( ) f ( y) (3.3) ise f : I fosiyoua log-oves deir. I (, ) ve f pozitif ie, y I ve içi f ( y ) f ( ) f ( y) (3.3) ise çarpımsal oves deir. Eğer f çarpımsal oves ise f ( e ) döüşümü (, ) aralığıda logovestir. Buu görme içi alıırsa y y f ( y ) f ( ) f ( y) e ( e ) ( e ) y e ( e ) ( e ) e e e / y / y y y y y e e e e e y y y y l e l e y y y (3.33)

29 olur i, elde edile so eşitsizli aritmeti geometri ortalama eşitsizliğidir ve böylece f ( e ) döüşümüü (, ) aralığıda log-oves olduğu görülür. ep, sih, cosh fosiyoları çarpımsal ovestir. (3.3) i tersi durumua da log oav deir. Not f ve g oves ve g arta ise g f oves olduğu içi f ep log f olara yazılabileceğide log-oves bir fosiyo ovestir. Tersi her zama doğru değildir. Bu doğruda (3.8) de ve (3.3) de f ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.34) elde edilir. Böylece, f ( ) y f ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.35) eşitsizliği yazılabilir.

30 4. MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR Majorizasyo; öz değer, sigüler değer ve matris ormlarıı matris eşitsizlilerii oluşturmada öemli bir araçtır., ve y y, y egatif olmaya reel vetörler olsu. Geelliği bozmasızı, vetörleri bileşeleri azala sırada sıralası. Eğer y ise vetörü y de büyütür. Öreği,.8,..6,.4 tür. Faat bu yalaşım 3 ya da daha ço bileşe durumua geişletilemez. Bu bölümde bileşe sayısı iide fazla ola vetörler üzeridei ısmi sıralama ele alıacatır. 4..Temel Gösterimler,..., olsu. ve, sırasıyla azala ve arta sırada i oordiatlarıı düzelemesiyle elde edile vetörler olsu. Böylece, eğer,..., ise dir. Not edelim i, dir. Bezer şeilde eğer,..., ise, i i i (4.) dir. Taım 4..., y olsu. Eğer i i i yi,,,..., (4.) ve i yi (4.3) i i ise, y tarafıda majorize edilmiştir deir ve y şelide gösterilir.

31 3 Bezer şeilde ve y y y azala sıralı bileşeli, y vetörleri içi vetörü y vetörüü majorize eder deir ve eğer i i i yi,,,..., ve i yi ise y i i yazılır. Eğer y,,,..., y,,,..., i i i i i i i i ve y y eşitsizlileri varsa, i i i i i i i i (süper majorize) edilir deir. Sembolle w w y y y y dir. w y tarafıda zayıf majorize şelide gösterilir. Açıtır i, Öre 4... Şeil 4.. dei durum göz öüe alısı. İi farlı vetör görülmetedir. A B A B A ve B şemalarıda e büyü ii bileşe eşittir ( ve ). B şemasıdai e B B B üçü üç bileşe eşittir ( ), faat A şemasıdai e üçü üç bileşe eşit A A A değildir.( ). Bua e olara, A ve B şemalarıdai tüm bileşeleri toplamı eşittir. Taım 4... de verile sıralama uygulaara A şemasıdai vetör, B şemasıdai vetörü majorize eder( A B ).(Jorswiec ve Boche,6) Şeil 4..Öre vetörler: A B Öre Aşağıdai vetörler majorizasyo ullaılara arşılaştırılabilir:,,...,,,...,,...,,,...,,,..., Teorem 4..4., y, z olsu.

32 4 y y ve y y i y dir. i) w ii) Aşağıdai ifadeler majorizasyo ve zayıf majorizasyou geçişli olduğuu gösterir: y, y z z; y, y z z w w w iii) z, y z p qy z; p, q, p q. iv) z, y z p qy z; p, q, p q. w w w v) y y ve y 'dir. w w vi) P permütasyo matris olma üzere y, y yp dir. vii) P permütasyo matris olma üzere y, y yp dir. (Zhag,) Teorem Aşağıdai ifadeler eşdeğerdir: i), y ie w y dir. w w ii) iii) z içi u içi z ve z y dir. u ve u y dir. (Zhag,), y içi y, bileşe toplamıı ve y, ve y i Hadamard çarpımıı belirtir., egatif oordiatları sıfır ile yer değiştirilmesiyle te elde edile bir vetör ve, tüm oordiatları mutla değeri alıara elde edile bir vetördür. Teorem 4..6., y olsu. Bu durumda i) w y t içi i t yi t (4.4) i i dır. ii) w y t içi t i t yi (4.5) i i dır.

33 5 iii) y t içi t yi t (4.6) i i i dir. (Bhatia,997) Teorem (,..., ), y ( y,..., y ) olma üzere i) w ii) y y w iii) y y y w iv) i y i i yi i y i i i i dir. (Zhag,) Bileşeleri egatif olmaya üzeridei tüm vetörleri ümesi ile gösterilir. Yai, u i içi u ( u,..., u) dir. Teorem (,..., ), y ( y,..., y ) olsu. Bu durumda (,..., ) içi u u u i i i i i i y u y u ve u ( u,..., u ) içi w i i i i i i y u y u dir. (Zhag,) Teorem 4..9., y, u, v olma üzere y u y u i) w w ii) u, y v y u v w w w dir. (Zhag,) Taım 4... Satırları ve sütuları toplamı ola, egatif olmaya bir are matrise iili stoasti matris deir. Yai eğer, i, j içi a (4.7) j içi i ij aij (4.8)

34 6 i içi aij (4.9) j ise bir A a ij matrisie iili stoasti matris deir. Teorem 4... y olması içi gere ve yeter şart Py olaca şeilde iili stoasti bir P matrisii olmasıdır. (Bhatia,997) Öre ,.4.8,. y olsu. İlgili stoasti matris P ile verilir. Teorem Bir A matrisii iili stoasti olması içi gere ve yeter şart her vetörü içi A olmasıdır. (Bhatia,997) Taım ve y olma üzere ve y y y,...,,..., vetörleri düşüülsü. Eğer,..., içi i yi ve i i i yi ise, y tarafıda i i log-majorize edilmiştir deir. Yai, y dir. Eğer,..., içi log i yi ise i i, y tarafıda zayıf log-majorize edilmiştir deir ve y ile gösterilir. wlog Teorem 4..5., y olsu. Bu durumda y y (4.) wlog w dir. Yai, i i i i i i i i y,,,..., y,,,..., (4.) dir. (Zhag, )

35 7 4.. Koves ve Mooto Fosiyolar İçi Majorizasyo Taım 4... üzeride taımlı reel değerli bir fosiyoua y ( ) ( y) (4.) ise Schur- oves veya s-oves deir. Öreği, (,..., ) olma üzere ( )... fosiyou üzeride Schur-ovestir. Eğer y ise A ( a ij ), iili stoasti bir matris olma üzere Ay olara yazılabilir. Bu durumda ( ) a y i ji j i i j a ji y j a ji y j i j i j i y ( y) j (4.3) dir. Diat edelim i, olma üzere f ( ) yazıldığı zama, f fosiyouu i tüm bileşelerii içere bir aralıta taımlı olduğu ve f fosiyouu i tüm bileşelerie uygulaabileceği alaşılmalıdır. Yai, ise ( ) ( ),..., ( ),..., f f f Teorem 4..., y olsu. Bu tadirde i) f oves ise dir. y f ( ) f ( y), (4.4) w ii) f arta ve oves ise y f ( ) f ( y) (4.5) w w

36 8 dir. (Zhag,) Souç 4..3., y olsu. Bu durumda, yai,..., y,..., y i) y y ii) w y y w w, yai,...,,..., w y y dir. dir. iii), y pozitif olma üzere l l y y dir. (Zhag,) i i w w İspat: t ve t oves oldularıda (i) ve (ii) açıtır. t e arta ve oves olduğuda l l y e w e w y buluur i, (iii) elde edilmiş olur. Teorem 4..4., y olsu. Bu durumda i) ii) iii) y tüm f oves fosiyoları içi f ( ) f ( y )'dir. i i i y tüm f arta ve oves fosiyoları içi f ( ) f ( y )'dir. w i i i i Eğer y, i bir permütasyou değilse ve y i tüm bileşelerii içere i herhagi esi arta ve esi oves f fosiyou içi y f ( ) f ( y ) dir. (Zhag,) w i i i i Teorem 4..5., y olsu. Bu durumda y y y (4.6) w ve i y i i yi i y i (4.7) i i i dir. (Zhag,) Teorem 4..6 (Weyl Majorat Teoremi). A, sigüler değerleri s... s ve öz değerleri... şelide dizilmiş bir matris olsu. Bu durumda her t

37 9 değeri içi ( e t ) fosiyou oves ve mooto arta olaca şeildei her : fosiyou içi... w ( s ),..., ( s ) (4.8) dir. Özel olara her p içi p,..., p p,..., p w s s (4.9) dir. (Bhatia,997) Teorem 4..7., y olsu. Aşağıdai ii ifade eşdeğerdir: i) y ii) : oves fosiyoları içi iz ( ) iz ( y) dir. (Bhatia,997) Teorem 4..8., y olsu. Aşağıdai ii ifade eşdeğerdir: i) w y ii) : (Bhatia,997) mooto arta, oves fosiyoları içi iz ( ) iz ( y) dir Koves Fosiyolar ve Zayıf Majorizasyo Eşitsizlileri A, B içi aşağıdai 3 sıralama tipi düşüülebilir: i) B A A B pozitif yarı taımlıdır. ii) (Öz değer eşitsizlileri) ( B) ( A) ( B) ( A) ( j,,..., ) (4.) j j iii) (Zayıf majorizasyo)

38 3 ( B) ( A) ( B) ( A) (,,..., ) (4.) w j j j j Burada B A ( B) ( A) ( B) ( A) olduğu görülebilir. w Spetrumları I aralığıda bulua üzeridei tüm Hermitye matrisleri ümesi ( I ) ile belirtilsi. I üzeride taımlı, arta bir f fosiyou içi A, B ( I ) olma üzere ( B) ( A) f ( B) f ( A) (4.) dır. I üzeride taımlı, arta, oves bir f fosiyou içi A, B ( I ) olma üzere ( B) ( A) f ( B) f ( A) (4.3) w w dır. Lemma A ( I) ve f, I üzeride oves bir fosiyo olsu. birim vetörü içi f A, f ( A), (4.4) dir.(bhatia,997) Lemma A ( I) olsu. Masimum, u, u,..., u ortoormal vetörlerii tüm seçimleride geçerli olma üzere ( A) ma Au, u (,,..., ) (4.5) j j j j j dir. Bu ifade Ky Fa Masimum Presibi olara biliir. (Bhatia,997) Taım A ise A matrisie otrasiyo deir.

39 3 Teorem f, A, B ( I ) ve içi I üzeride oves bir fosiyo olsu. Bu durumda f A ( ) B w f ( A) ( ) f ( B) (4.6) dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi * * f ( X AX ) w X f ( A) X (4.7) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat:,,...,, A ( ) B i öz değerleri ve u, u,..., u, f ( ) f ( )... f ( ) olaca şeilde sıralamış ilgili ortoormal öz vetörler olsu.,,..., olma üzere sırasıyla f i ovesliği, Lemma 4.3. ve Lemma 4.3. ullaılara f A ( ) B f A ( ) Bu, u j j j j j j j j j j f Au, u ( ) Bu, u j j j j j, j ( ) j, j f Au u f Bu u f ( A) u, u ( ) f ( B) u, u j j j j f ( A) ( ) f ( B) u, u f ( A) ( ) f ( B) j j j (4.8) elde edilir. Böylece il gösterim ispatlamış olur. İici gösterimi ispatlama içi,,...,, * X AX i öz değerleri ve u, u,..., u, f ( ) f ( )... f ( ) olaca şeilde sıralamış ilgili ortoormal öz vetörler olsu. f () olduğuda istee eşitsizliği ispatlama içi Xu, j,,..., olduğu düşüülsü. Bu durumda j

40 3 sırasıyla f () oşuluyla f i ovesliği, Lemma 4.3. ve Lemma 4.3. ullaılara * * f ( X AX ) f X AXu, u j j j j j Xu Xu j j f Xu j A, Xu j. j Xu j Xu j Xu Xu j j Xu j f A, Xu j f () j Xu j Xu j j Xu j Xu j f ( A), Xu j * * X f A Xu j u j j j j Xu Xu ( ), X f ( A) X j j (4.9) elde edilir ve böylece ispat tamamlamış olur. edilir. Teorem te r ve I (, ) ie f ( t) Souç A, B olsu. Bu durumda r içi r t alıara aşağıdai souç elde r ( A B) r ( r r w A B ) (4.3) dir.(aujla,) [, ) aralığıdai egatif olmaya, azala her f fosiyou t [, ) olma üzere f ( t) f ( t) eşitsizliğii sağlar. Aşağıdai souç, operatör mooto fosiyolar içi Ado ve Zha (999) tarafıda ispatlaa eşitsizlilere bezer bir eşitsizlitir. Souç f, t [, ) içi f ( t) f ( t) olaca şeilde [, ) aralığıda bir oves fosiyo olsu. A, B içi f ( A B) f ( A) f ( B) (4.3) w

41 33 dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: Teorem te A B f ( A ) f ( B ) f w (4.3) elde edilir. A yerie A ve B yerie B oyulursa f ( A) f ( B) f ( A B) w (4.33) buluur. f ( t) f ( t) olduğuda f ( A) f ( A) ve f ( B) f ( B) dir. Böylece f ( A) f ( B) w f ( A) f ( B) (4.34) dir. (4.33) ve (4.34) te istee souç elde edilir. Teorem (Fa Basılı Teoremi). A ve B matrisler olsu. Eğer,,..., içi A B (4.35) ( ) ( ) ise tüm üiter ivaryat ormlar içi A B (4.36) dir. Aşağıdai souç Fa Basılı Teoremide elde edilir. Souç f, I üzeride egatif olmaya, oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B f ( A) ( ) f ( B) (4.37)

42 34 dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi * * f X AX X f ( A) X (4.38) dir. (Aujla ve Silva,3) Teorem e e olara f arta (veya azala) hipotezi yüleirse aşağıdai daha güçlü souç elde edilir. Teorem f, I üzeride arta (veya azala), oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B f ( A) ( ) f ( B) (4.39) dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi f ( X * AX ) X * f ( A) X (4.4) dir. (Aujla ve Silva,3) 4.4. Log-Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler Lemma A, B ve r olsu. Bu durumda log r/ r r / / / A B A w log A BA r (4.4) dir.(ado,998) Lemma A, B olma üzere A B A A B r r/ r r / lim log log log r (4.4)

43 35 dir. (Ado,998) Lemma 4.4. ve Lemma 4.4. de aşağıdai lemma elde edilir. Lemma A, B olma üzere / / log A log B w log A BA (4.43) dir. Teorem f, I üzeride log-oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B w f ( A) f ( B) (4.44) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: log f ( t ) fosiyou I üzeride oves bir fosiyo olsu. Böylece Teorem ve Lemma te log f A ( ) B w log f ( A) ( )log f ( B) log f ( A) log f ( B) w log f ( A) f ( B) f ( A) / / (4.45) elde edilir. t t e fosiyou arta ve oves olduğuda / / f A ( ) B w f ( A) f ( B) f ( A) f ( A) f ( B) (4.46) buluur ve ispat tamamlaır. Herhagi X içi ( ) w yardımıyla aşağıdai soucu bir ispatı elde edilir. olduğuda Fa Basılı Teoremi

44 36 Souç f, I üzeride bir log-oves fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi ( ) ( ) ( ) f A B f A f B (4.47) dir. (Aujla ve Silva,3) Souç a ve A, B ( I ) olsu. AB A B w (4.48) dir. (Aujla ve Silva,3) olsu. Bu durumda pi A, B pi dır. f ( t) a İspat: p ma A, B fosiyou [ p, p] üzeride log-ovestir. Böylece Teorem te içi t ( ) ( ) a A B A B w a a (4.49) dir. alııp A yerie A ve B yerie B yazılara istee eşitsizli elde edilir. Not a e durumuda Souç ı özel bir durumu olara ülü Golde- Thompso eşitsizliği olara bilie A B iz e A e B iz e (4.5) eşitsizliği elde edilir. Aşağıdai souç Golde-Thompso eşitsizliğii başa bir geelleştirilmesi olara düşüülebilir. (Aujla ve Silva,3) Souç f, (, ) aralığıda çarpımsal oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi A ( ) B A f e B w f e f e (4.5)

45 37 dir. (Aujla ve Silva,3) Teorem ü diğer bir uygulaması olara geelleştirilmiş bir harmoigeometri ortalama (Youg) eşitsizliği elde edilir. Souç A, B olsu. olma üzere r içi ( ) r r ( ) r A B w A B (4.5) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: p ma A, A, B, B olsu. pi A, A, B, B pi ve t t r fosiyou (, p ] üzeride log-ovestir. Böylece Teorem yardımıyla r r ( ) r A ( ) B w A B (4.53) olur. A, A ile ve B, B ile yer değiştirirse ( ) r r ( ) r A B w A B (4.54) elde edilir ve ispat tamamlaır. Not Arta log-oves bir f fosiyou içi ( ) f A ( ) B f ( A) f ( B) (4.55) t eşitsizliği geçerli değildir. A, B ve f ( t) e olsu. Bhatia (997) da iyi biliir i A( ) B A ( ) B j e j e e (,,..., ) j j (4.56) eşitsizliği vardır. Faat

46 38 j A( ) B A( ) B j e det e A ( ) B det e e (4.57) j j e A e ( ) B dir. Böylece A, B ve i olma üzere e e e A ( ) B A ( ) B i i (4.58) olaca şeilde bir i buluabilir. (Aujla ve Silva,3) Not Teorem te w yerie w ullaıldığıda ve Teorem dai eşitsizliler tersi sıralamada alıdığıda oves fosiyo uygu oav fosiyo ile yer değiştirilirse Teorem ve Teorem sağlaır. Bu durumda I üzeridei bir log-oav fosiyo içi A, B ( I ) ve olma üzere f A ( ) B w f ( A) ( ) f ( B) (4.59) tahmii yapılabilir. Faat bu tahmi yalıştır. Buu görme içi f ( t) t, I (, ),, A, B 5 7 (4.6) alıabilir. (Aujla ve Silva,3)

47 39 5. MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR Bu bölümde matris mooto fosiyolar ele alıacatır. Bu fosiyolar sıralama oruara Hermitye matrislere geişletilebile reel fosiyolardır. Matris mooto fosiyolar öemli özellilere sahiptir. Bularda bazıları bu bölümde ele alımıştır ve matris oves fosiyo avramıyla da ilişilidir. Bu bölümde bu ii fosiyo tipi iceleecetir. 5..Taımlar ve Basit Öreler f, I aralığıda taımlaa reel değerli bir fosiyo olsu. D öş (,..., ), I aralığıda öşege elemaları j ler ola öşege bir matris ise f ( D) öş( f ( ),..., f ( )) şelide taımlaır. A, I aralığıda öz değerleri j ler ola Hermitye bir matris ise A * UDU olaca şeilde D öşege matrisi ve U üiter matrisi vardır. Bu durumda f ( A) ( ) * Uf D U şelide yazılabilir. Bu şeilde öz değerleri I da ola herhagi mertebede tüm Hermitye matrisler içi f ( A ) taımlaabilir. Matris mootolu avramı, il olara 934 yılıda K. T. Löwer tarafıda ele alımıştır. Matrisleri matris değerli fosiyolarıı mootoluğuu taımlama içi tüm pozitif yarı taımlı matrisleri ümeside bir ısmi sıralamaya ihtiyaç vardır. pozitif yarı taımlı matrisleri ümesi ile gösterilsi. Buradai sıralama, Löwer sıralaması olara bilie A B ise B A pozitif yarı taımlıdır ve A B ise B A pozitif taımlıdır şelide taımlaa sıralama olara düşüülebilir. Taım 5.. (Matris Mooto). f fosiyou Hermitye matrisler ümesi de Löwer sıralamasıa göre mooto, yai A B ie f ( A) f ( B) ise f fosiyoua.mertebede matris mooto fosiyo deir. Fosiyo tüm mertebeleri içi sağlaırsa fosiyoa matris mooto veya operatör mooto deir. Öre 5... içi f ( t) t fosiyou matris mootodur. Buu görme içi A B alalım. içi A B ve A I B I dır. Böylece f ( A) f ( B) olur. Taım 5..3 (Matris Koves). Matris ovesli avramı, il olara F. Kraus tarafıda 936 da ele alımıştır. ve A, B içi

48 4 f ( A ( ) B) f ( A) ( ) f ( B) (5.) ise f fosiyoua.mertebede matris oves deir. Fosiyo tüm mertebeleri içi sağlaırsa fosiyoa matris oves veya operatör oves deir. f fosiyou [,] ve A, B içi f ( A ( ) B) f ( A) ( ) f ( B) (5.) ise f fosiyoua.mertebede esi matris oves deir. Not edelim i A ve B i öz değerleri bir I aralığıda ise A ve B i herhagi ombiasyolarıı öz değerleri de yie I aralığıdadır. Sadece süreli fosiyoları düşüelim. Bu durumda, (5.) ifadesi daha özel ola A B f ( A) f ( B) f (5.3) ifadesiyle yer değiştirilebilir. (5.3) ifadesii sağlaya fosiyolara orta ota matris oves deir ve eğer bu fosiyolar süreli ise ovestirler. Not Matris mooto fosiyolar ümesi ve matris oves fosiyolar ümesii her iisi de pozitif lieer döüşümler ve limit işlemleri altıda apalıdır. Diğer bir ifadeyle f ve g matris mooto, ve pozitif reel sayılar ise f g de matris mootodur. f matris mooto ve f ( ) f ( ) ise f de matris mootodur. Bu işlemler matris oves fosiyolar içi de geçerlidir. Öre 5..5.,, içi f ( t) t t fosiyou matris ovestir. Buu görme içi A, B Hermitye matrislerii ele alalım. Bu tadirde,

49 4 f ( A) f ( B) A B f A A I B B I A B A B I A A I B B I ( A AB BA B ) A B I 4 ( A B AB BA) ( A B) 4 4 (5.4) olur. Bu fosiyo matris ovestir faat matris mooto değildir. Diğer bir ifadeyle A, B pozitif matrisler olma üzere B A pozitif yarı taımlı ie B taımlı değildir. Buu görme içi, ve A pozitif yarı A, B (5.5) matrislerii ele alalım. A, B ve B A (5.6) olduğu açıtır. Faat 3 B A (5.7) pozitif yarı taımlı değildir. Öre (, ) aralığıda f ( t) Herhagi A, B Hermitye matrisleri içi t fosiyou matris oves fosiyodur. ( A B ) A B ( )( ) ( A B A B A B ) (5.8)

50 4 dır. Öre p ie ovestir. Öre (, ) aralığıda görme içi f ( t) f ( t) / p t fosiyou (, ) aralığıda matris 3 t fosiyou matris oves değildir. Buu 3 A, B (5.9) olsu A B A B (5.) dır ve bu da pozitif yarı taımlı değildir. Not i) Her matris mooto fosiyo mootodur; faat her mooto fosiyo, matris mooto değildir. f :[, ) fosiyouu matris mooto olması içi gere ve yeter şart t f ( t) t d( ) (5.) t olaca şeilde olma üzere, reel sabitleri ve [, ) üzeride pozitif solu bir ölçüsüü var olmasıdır. ii) Her matris oves fosiyo ovestir; faat her oves fosiyo, matris oves değildir. Öreği, f ( ) e ovestir, faat matris oves değildir. f :[, ) fosiyouu matris oves olması içi gere ve yeter şart t ( ) ( ) f t t t d (5.) t

51 43 olaca şeilde olma üzere,, reel sabitleri ve [, ) üzeride pozitif solu bir ölçüsüü var olmasıdır. iii) Öreği, Her matris oves fosiyou matris mooto olmasıa gere yotur. f ( A) A Taım 5.. (Matris Koav). matris oavdır. fosiyou matris ovestir faat matris mooto değildir. f fosiyou matris oves ise f fosiyou 5..Temel Teoremler Lemma 5... B İspat: Her u vetörü içi A ise her X matrisi içi * * X BX X AX elde edilir. (Bhatia,997) * * u, X BXu Xu, BXu Xu, AXu u, X AXu (5.3) elde edilir ve ispat tamamlaır. Ayrıca C pozitif matrisi, B A ı pozitif areöü olma üzere * * * X B A X X CCX CX CX ( ) ( ) (5.4) şelide de ispatlaabilir. Teorem 5... (Bhatia,997) f ( t) t fosiyou İspat: B A olsu. Lemma 5.. de, üzeride matris mootodur. I B AB / / değişe pozitif matrisler üzeride sırayı oruduğuda Terar Lemma 5.. ullaılara B A elde edilir. dir. I B A B T T eşlemesi / / elde edilir. Lemma B A ve B tersiir ise / / A B dir. (Bhatia,997) İspat: B A ise I B AB A B A B / / / / * / / ( ) dir ve burada / / A B dir. Teorem f ( t) / t fosiyou [, ) üzeride matris mootodur. (Bhatia,997)

52 44 Öre f ( t) değildir. Buu görme içi, t fosiyou içere herhagi bir aralıta matris oves A, B (5.5) matrislerii alalım. * / 3 A ( A A), A B (5.6) dir. Faat A B I dır. Burada A B A B ifadesi pozitif değildir. Teorem 5..6.(Löwer-Heiz Teoremi) p içi f ( t) p içi f ( t) p içi f ( t) p t fosiyou matris mooto ve matris oavdır. p t fosiyou matris mooto ve matris oavdır. p t fosiyou matris ovestir. Ayrıca f ( t) t log( t) matris oves ie f ( t) log( t) matris oav ve matris mootodur. (Carle, 9) Teorem : f süreli bir fosiyo olsu. f i matris mooto olması içi gere ve yeter şart f i matris oav olmasıdır. (Bhatia, 997) Teorem : f içi gere ve yeter şart 997) süreli bir fosiyo olsu. f i matris mooto olması g( t) f ( t) fosiyouu matris oves olmasıdır. (Bhatia, Teorem f,, aralığıda süreli reel bir fosiyo olsu. Bu durumda aşağıdai ii oşul eşdeğerdir: i) f matris ovestir ve f () dır. ii) eder: g( t) f ( t) t fosiyou, üzeride matris mootodur. (Bhatia, 997) Aşağıdai teorem matris mooto fosiyolar içi bir matris eşitsizliğii ifade

53 45 Teorem 5... A, B ve herhagi f matris mooto fosiyou içi / / A B A B Af ( A) Bf ( B) f ( A) f ( B) (5.7) eşitsizliği vardır. (Audeaert,7) İspat: A, B pozitif yarı taımlı olsu. t t fosiyou matris ovestir. Böylece A B A B (5.8) dir. A yerie A I ve B yerie B I yazılara A ( A I) ( B I ) I B (5.9) buluur. C A B A I B I (5.) ve M A B (5.) olsu. Bu gösterimlerle (5.9) eşitsizliği C ( I M ) (5.) şelie döüşür. Burada C M C M I M M I M M I (5.3) ( ) ( )

54 46 ifadeside tüm çarpalar değişmeli olduğuda so eşitli olayca elde edilir. C C A B dir ve özel olara C C I dır. Burada (5.3) ifadesi M ( I C ) M C (5.4) şelie döüşür. Dahası C C M olduğuda C M C M (5.5) veya / / A B A B A B A B A I B I A I B I (5.6) olur. içi A yerie A ve B yerie B yazılırsa ve ile her ii taraf çarpılırsa / / A B A B A B A B A I B I A I B I (5.7) buluur. Bu eşitsizli pozitif bir d( ) ölçümü ullaılara [, ) üzeride itegralleirse A B d( ) d( ) A I B I A B A B A B d( ) A I B I / / (5.8) elde edilir. Burada da

55 47 A B A d( ) B d( ) A I B I A B A B A B d( ) A I B I / / (5.9) ve A( f ( A) I A) B( f ( B) I B) / / A B A B ( f ( A) I A f ( B) I B) (5.3) buluur. Kare fosiyou matris ovesliğide içi A B A B yardımıyla / / A B A B A( I A) B( I B) I ( A B) (5.3) buluur.(5.3) ve (5.3) ifadeleri toplaara istee eşitsizli elde edilir. edilir: Weyl mootolu ve ( AB) ( BA) eşitliği ullaılara aşağıdai souç elde j Souç 5... A, B ve herhagi matris mooto f fosiyou içi j j A B Af ( A) Bf ( B) j ( f ( A) f ( B)) (5.3) eşitsizliği vardır. (Audeaert,7)

56 48 6. HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER üzeride taımlı herhagi bir f oves fosiyou içi b a b f ( a) f ( b) ( b a) f f ( ) d ( b a), a, b (6.) a eşitsizliği tüm f :, a b oves fosiyoları içi literatürde Hermite-Hadamard eşitsizliği olara biliir. Bu eşitsizli il olara 88 de Hermite tarafıda bulumuştur. Faat bu souçta matemati literatürüde hiçbir yerde bahsedilmemiştir ve Hermite i soucu olara bilimemiştir. Koves fosiyoları tarihi ve teorisi üzerie uzma Becebach, bu eşitsizliği 893 te Hadamard tarafıda ispatladığıı yazmıştır. Böylece (6.) eşitsizliği Hermite- Hadamard eşitsizliği olara bilimetedir. Teorem 6.. I, de bir aralı, a, b I ve a b olma üzere f : I bir fosiyo olsu. Bu durumda oves b a b f ( a) f ( b) f f ( ) d b a (6.) a olur. (Hadamard, 893) İspat: f, I üzeride oves olduğuda a, b aralığıda süreli ve a, b aralığıda sıırlıdır. Dolayısıyla f bu aralıta itegralleebilirdir. t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.3) dir. Bu eşitsizli, aralığıda t ye göre itegralleirse ( ) ( ) ( ) ( ) f ta t b dt tf a t f b dt (6.4) f ( a) tdt f ( b) ( t) dt f ( a) f ( b)

57 49 elde edilir i bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğii sağ tarafıdır. Diğer yada, f, I üzeride oves olduğuda t, içi a b ta ( t) b ( t) a tb f f f ta ( t) b f ( t) a tb (6.5) buluur. Bu ifadei her ii tarafı, üzeride t ye göre itegralleirse a b f f ta ( t) b f ( t) a tb dt f ta ( t) b dt f ( t) a tbdt (6.6) elde edilir. Bu ifadede sağ taraftai iici itegralde t s yazılırsa a b f f ta ( t) bdt f sa ( s) b ds f ta ( t) b dt (6.7) elde edilir i bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğii sol tarafıdır. (6.4) ve (6.7) ifadeleride b a b f ( a) f ( b) f f ta ( t) b dt (6.8) a elde edilir. (6.8) ifadeside ta ( t) b değişe döüşümü yapılırsa f ta ( t) b dt f ( ) d b a b (6.9) a

58 5 buluur ve böylece ispat tamamlamış olur. Lemma 6.. f, g :[ a, b] fosiyoları içi aşağıdai durumlar detir: i) f, g fosiyoları [ a, b ] aralığıda ovestir. ii), y [ a, b] içi f ( t) f ( t ( t) y) veya f (( t ) ty ), g ( t) g( t ( t) y) veya g (( t ) ty ) şelide taımlaa, :, fosiyoları, üzeride ovestir. (Pecaric ve Dragomir,99) f g Koves fosiyolar içi Hermite- Hadamard tipi eşitsizliler birço yazar tarafıda ele alımıştır. Bu eşitsizlilerde bazıları verilmiştir: Teorem 6.3. f ve g reel değerli, egatif olmaya ve [ a, b ] üzeride oves fosiyolar olsu. M ( a, b) f ( a) g( a) f ( b) g( b) ve N( a, b) f ( a) g( b) f ( b) g( a) olma üzere (i) b f ( ) g( ) d M ( a, b) N( a, b) b a (6.) 3 6 a (ii) b a b a b f g f ( ) g( ) d M ( a, b) N( a, b) b a (6.) 6 3 a dir. (Pachpatte, 3) Not 6.4. a ve b seçilirse c, d pozitif sabitler olma üzere f ( ) c ve g( ) d( ) olur. Bu da (6.) ve (6.) eşitsizlilerii geçerli olduğuu gösterir. İspat: f ve g oves fosiyolar olduğuda t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.) g( ta ( t) b) tg( a) ( t) g( b) (6.3) dir.(6.) ve (6.3) te

59 5 f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) t f ( a) g( a) ( t) f ( b) g( b) t( t)[ f ( a) g( b) f ( b) g( a)] (6.4) elde edilir. Lemma 6.. de f ( ta ( t) b) ve g( ta ( t) b), [,] üzeride oves olduğuda [,] aralığıda itegralleebilirdir ve souç olara f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) çarpımı da [,] aralığıda itegralleebilirdir. Bezer şeilde f ve g, [ a, b ] aralığıda oves olduğuda [ a, b ] aralığıda itegralleebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığıda fg de itegralleebilirdir. (6.4) eşitsizliğii her ii tarafı [,] üzeride itegralleirse f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt M ( a, b) N( a, b) (6.5) 3 6 buluur. ta ( t) b alıırsa f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt f ( ) g( ) d b a b (6.6) a elde edilir. (6.6) eşitliği (6.5) te yerie yazılara (6.) eşitsizliği elde edilir. f ve g oves fosiyolar olduğuda t a, b içi

60 5 a b a b f g ta ( t) b ( t) a tb ta ( t) b ( t) a tb f g 4 f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) 4 tf ( a) ( t) f ( 4 b) ( t) g( a) tg( b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 t f a tf b tg a t g b f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) 4 t ( t ) f ( a ) g ( a ) f ( b ) g ( b ) 4 t ( t) f ( a) g( b) f ( b) g( a) 4 f ( ta ( t) b) f (( t) a tb) g( ta ( t) b) g(( t) a tb) (6.7) elde edilir. Bezer şeilde (6.) eşitsizliğii ispatıda olduğu gibi (6.7) eşitsizliğii her ii tarafı, üzeride itegralleirse a b a b f g f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) dt 4 (6.8) M ( a, b) N( a, b) 6 eşitsizliği oluşur ve (6.8) de a b a b f g f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt (6.9) M ( a, b) N( a, b) 6

61 53 olduğu görülür. (6.9) eşitsizliğii her ii tarafı ile çarpılara ve (6.6) eşitliği ullaılara (6.) eşitsizliği elde edilmiş olur. Teorem 6.5. f, g : a, b oves fosiyolar olsu. M ( a, b) f ( a) g( a) f ( b) g( b) ve N( a, b) f ( a) g( b) f ( b) g( a) olma üzere b f ( a) f ( b) ( b ) g( ) d ( a) g( ) d ( b a) ( b a) a a b g( a) g( b) ( b ) f ( ) d ( a) f ( ) d ( b a) ( b a) a a M ( a, b) N( a, b) 3 6 b a b a b b f ( ) g( ) d (6.) eşitsizliği vardır. (Tuç,) İspat: f ve g oves fosiyolar olduğuda t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.) g( ta ( t) b) tg( a) ( t) g( b) (6.) dir. e, f, p, r içi e f ve p r ise er fp ep fr eşitsizliği ullaılara ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f ta t b tg a t g b g ta t b tf a t f b tf ( a) ( t) f ( b) tg( a) ( t) g( b) f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) (6.3) elde edilir. Burada g( a) tf ( ta ( t) b) g( b)( t) f ( ta ( t) b) f ( a) tg( ta ( t) b) f ( b)( t) g( ta ( t) b) t f ( a) g( a) ( t) f ( b) g( b) t( t) f ( a) g( b) t( t) f ( b) g( a) f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) (6.4) eşitsizliği oluşur.

62 54 Lemma 6.. de f ( ta ( t) b) ve g( ta ( t) b), [,] üzeride oves olduğuda [,] aralığıda itegralleebilirdir ve souç olara f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) çarpımı da [,] aralığıda itegralleebilirdir. Bezer şeilde f ve g, [ a, b ] aralığıda oves olduğuda [ a, b ] aralığıda itegralleebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığıda fg de itegralleebilirdir. (6.4) eşitsizliğii her ii tarafıı [,] üzeride itegralleirse g( a) tf ( ta ( t) b) dt g( b) ( t) f ( ta ( t) b) dt f ( a) tg( ta ( t) b) dt f ( b) ( t) g( ta ( t) b) dt f ( a) g( a) t dt f ( b) g( b) ( t) dt f ( a) g( b) t( t) dt f ( b) g( a) t( t) dt f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt (6.5) elde edilir. ta ( t) b,( a b) dt d alıırsa b tg( ta ( t) b) dt g( ) d b a a b b a ( b a) b a ( b ) g( ) d (6.6) ve ( a t) g( ta ( t) b) dt g( ) d b a a b b a ( b a) b a ( a) g( ) d (6.7) ve bezer şeilde

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine *

Matrislerin Hadamard Çarpımı Üzerine * S Ü Fe Fa Fe Derg Sayı 37 (011) 9-14, KONYA Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie * İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA Selçu Üiversitesi, Fe Faültesi, Mateati Bölüü, Koya Özet: Bu çalışada lieer cebirde öeli bir

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI Neşe İŞLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAJORİZASYON VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE İre KÜÇÜKOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ Mateati Aabili Dalı Teuz-014 KONYA Her Haı Salıdır ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM. Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ CHLODOWSKY-TAYLOR POLİNOMLARIYLA YAKLAŞIM Seyide ATAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi CHLODOWSKY-TAYLOR

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ

Detaylı

D( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2

D( 4 6 % ) 5 2 ( 0* % 09 ) 5 2 3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI. Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLİRLİK ALANLARININ ÇARPAN UZAYLARI Mehmet ÜNVER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi TOPLANAB

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI.

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI. ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI Bayram ÇEKİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her haı salıdır TEZ ONAYI Bayram

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators

On invariant subspaces of collectively compact sets of linear operators itüdergisi/c fe bilimleri Cilt:4, Sayı:, 85-94 Kasım 26 Birlite ompat operatör ailelerii değişmez altuzayları üzerie uç MISIRLIOĞLU *, Şafa ALPAY İÜ Fe Bilimleri Estitüsü, Matemati Mühedisliği Programı,

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet

Hiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖZÜMLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖZÜMLERİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖÜMLERİ Fahriye ehra BABACAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2 Her Haı Salıdır

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Özge (ÖZER) DALMANOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her haı salıdır

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI

ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI Oa GERÇEK FBE Matemati Aabilimdalı Matemati Programıda

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Our GENÇ Aabilim Dalı : Matemati Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN KASIM/013

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE AMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI ÜÇGENSEL MATRİS METODLARININ MUTLAK YAKINSAKLIK ALANLARI VE TAUBERIAN TEOREMLERİ ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ Güllü Caa HAZAR Aabilim Dalı : Matematik Tez

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+

Sisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+ 4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu

Detaylı

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C

BLAST A C G T T A A A C T C G G C I I I I I I I I I A C T T T A A G C C A A G C BLS Öcei erste; DN izilerie,,g, bazlarıı izilişi, RN izilerie,,g,u bazlarıı izilişi ve protei izilerie amio asitleri izilişi baımıa, orta bir alfabe ile yazılmış izileri hizalaması üzerie urulu. Hizalamış

Detaylı

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır. . OLASILIK TEORİSİ İstatistisel araştırmaları temel oularıda biri soucu öcede esi olara bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümü souçlarıı hagi sılıla ortaya çıtığıı belirleyebilmetir.

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi. SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM. Nurhayat ispir 1

ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi. SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM. Nurhayat ispir 1 ...\) O"'''t" ~.Q~Cıo;>~';. ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi cl o ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY \ L Cilt/Vol.: 3 - Sayı/No: 3 : 41-45 (00) ı ṯ rri('ho~o)\ Q~ XLV.

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Modellemesi

Sistem Dinamiği ve Modellemesi Sistem Diamiği ve Modellemesi Sistem Nedir? Belli bir görevi yerie getire te bir elemaa veya biribirleri ile fizisel olara ilişiledirilmiş elemalara sistem deir. Sistem Taımı ve Temel Kavramlar Sistem

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54 Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: 0.5578/fmbd.66855 54

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE KULLANIMI Ahmet ÖTELEġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Aabilim Dalıı Ağustos-0 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

ÖZET Dotora Tezi UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN BAŞARIM VE KARARLILIK ANALİZİ Ceer BİÇER Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatisti Aabilim Dalı Daış

ÖZET Dotora Tezi UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN BAŞARIM VE KARARLILIK ANALİZİ Ceer BİÇER Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatisti Aabilim Dalı Daış ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UYARLI KALMAN FİLTRESİNİN BAŞARIM VE KARARLILIK ANALİZİ Ceer BİÇER İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her haı salıdır ÖZET Dotora Tezi UYARLI KALMAN

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUANTUM UZAYLAR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERANSİYEL HESAP MUTTALİP ÖZAVŞAR

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUANTUM UZAYLAR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERANSİYEL HESAP MUTTALİP ÖZAVŞAR T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUNTUM UZYLR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERNSİYEL HESP MUTTLİP ÖZVŞR DOKTOR TEZİ MTEMTİK NBİLİM DLI DNIŞMN DOÇ. DR. GÜRSEL YEŞİLOT İSTNBUL, 2012

Detaylı

SEZGİSEL BULANIK CHOQUET İNTEGRAL OPERATÖRÜ YARDIMI İLE OPTİMAL ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ

SEZGİSEL BULANIK CHOQUET İNTEGRAL OPERATÖRÜ YARDIMI İLE OPTİMAL ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ SEZGİSE BUANIK CHOQUET İNTEGRA OPERATÖRÜ YARDIMI İE OPTİMA ÜRETİM FAKTÖR SEÇİMİ Murat BEŞER muratbeser @ yahoo.com ÖZET Bu çalışmada il olara -bulaı ümeler ümesi F X i bir alt ümesi ola sezgisel bulaı

Detaylı

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2

Elektrik&Elektronik Müh. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deney 2 Ayrı Sistemler Eletri&Eletroi Mü. Böl. İşaret İşleme Uygulamaları Deey 2 Prof. Dr. Aydı Aa Dr. Erol Öe Baatti Karaaya Koray Sistemleri Özellileri 1. Doğrusallı Liearity: y a ay Ölçeleme scalig, a armaşı

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir. 9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,

Detaylı

6. Uygulama. dx < olduğunda ( )

6. Uygulama. dx < olduğunda ( ) . Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal

Detaylı

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı,

BÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı, BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi

Detaylı

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları

İspatlarıyla Türev Alma Kuralları İspalarıyla Türev Ala Kuralları Muarre Şai dy f( ) f() y f() y f () li d 0. f() a (a R) ise f ()? f( ) f() a a f () li li 0 0 f () 0 5. f() ise f ()? f () li 0 ( ) ( ) f () li 0 ( ) f () li li 0 ( ) 0.

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI AĞIRLIKLI LORENTZ UZAYLARINDA TRİGONOMETRİK YAKLAŞIM YÜKSEK LİSANS TEZİ AHMET HAMDİ AVŞAR BALIKESİR, HAZİRAN - 2016 T.C. BALIKESİR

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. q-osilatörleri VE q-deforme FONONLAR. Emine AYDIN FİZİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. q-osilatörleri VE q-deforme FONONLAR. Emine AYDIN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ -OSİLATÖRLERİ VE -DEFORME FONONLAR Emie AYDIN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 6 Her haı salıdır Prof. Dr. Beir Sıtı KANDEMİR daışmalığıda, Emie

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I

T.C. SÜLEYMAN DEM REL ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ ÇOKLU D Z LER VE ONLARIN STAT ST KSEL YAKINSAKLI I T.C. SÜLEYMAN DEMREL ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ ÇOKLU DZLER VE ONLARN STATSTKSEL YAKNSAKL Fatma Kadriye ÖRGEN Dama: Doç. Dr. Ahmet AHNER YÜKSEK LSANS TEZ MATEMATK ANABLM DAL SPARTA- 009 ÇNDEKLER Sayfa

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı