0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)

Transkript

1 230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa, bu kesimde tanmlayaca mz metrik uzay kavram için X kümesinin, a³a da söyleyece imiz metrik aksiyomlarndan ba³ka bir özelli e ya da yapya sahip olmas gerekmez. Bir metrik uzay, ö eleri arasndaki yaknlk belirlenmi³ bir kümedir. Ba³ka bir deyi³le, üzerinde bir uzaklk fonksiyonu tanmlanm³ bir kümedir. Gerçekten, adna metrik diyece imiz bu kavram, herkesin sezgisel olarak bildi i uzaklk kavramnn genellemesinden ba³ka bir³ey de ildir. Tanm Bir X kümesi ile bir ρ : X X R fonksiyonu verilmi³ olsun. A³a daki aksiyomlar sralyalm: Her x,y,z X için [M1] ρ(x,y) 0 [M2] ρ(x,y) ρ(x,z)+ρ(z,y) (üçgen e³itsizli i) [M3] ρ(x,y) = ρ(y,x) (simetrik) [M4] x = y ρ(x,y) = 0 (yaniρ(x,x) = 0) [M5] x y ρ(x,y) 0 Bu aksiyomlardan [M 1] ve [M2] özelikleri sa lanyorsa ρ fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir yar metriksi (quasi-semi-metric), [M 1], [M2] ve [M3] özelikleri sa lanyorsa ρ fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir yar metrik (semi-metric), [M 1], [M2] ve [M4] özelikleri sa lanyorsa ρ fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir sözde metriksi (quasi-pseudometric), [M 1], [M2], [M3] ve [M4] özelikleri sa lanyorsa ρ fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir sözde metrik (pseudometric),

2 17.2. METR K 231 [M1], [M2], [M3], [M4] ve [M5] özelikleri sa lanyorsa ρ fonksiyonuna X kümesi üzerinde bir metrik (metric), denilir. Hemen belirtelim ki bu aksiyomlar birbirlerinden ba msz de ildir. Örne in [M4],[M2] ve [M3] aksiyomlar srasyla kullanlrsa 0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) çkar, ki bu, [M1] aksiyomunu verir. Üzerinde bir metrik tanmlanm³ bir kümeye bir metrik uzay diyece iz. E er ρ fonksiyonu, X kümesi üzerinde bir metrik ise, bu metrik uzay (X,ρ) ile gösterece iz. Yar-metrik uzay ve metrikimsi uzay kavramlar da benzer olarak tanmlanr. (X, ρ) bir metrik uzay ve x, y X ise, negatif olmayan ρ(x, y) gerçel saysna x ile y ö eleri arasndaki uzaklk diyece iz. Örnek Bo³ olmayan her hangi bir X kümesi verilsin. X X den R ye tanmlanan { 0, x = y δ(x,y) = 1, x y dönü³ümü bir metriktir. Örnek simgesi gerçel eksende salt de er fonksiyonunu göstermek üzere, R R den R ye tanmlanan µ(x,y) = x y, (x,y R) (17.26) fonksiyonu bir metriktir. Adna, gerçel eksen üzerindeki salt de er metri i ya da ksaca salt metrik, diyece imiz bu metrik, iki gerçel say arasndaki uzakl vermektedir. µ nun metrik aksiyomlarn sa lad kolayca görülür. Örnek simgesi karma³k düzlemde salt de er fonksiyonunu göstermek üzere, C C den R ye tanmlanan κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27) fonksiyonu bir metriktir. Adna, karma³k düzlem üzerindeki salt de er metri i ya da, ksaca salt metrik diyece imiz bu metrik, iki karma³k say arasndaki uzakl vermektedir. κ nn metrik aksiyomlarn sa lad kolayca görülür.

3 232 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR Önerme x = (x 1,x 2,...,x n R n ) ve y = (y 1,y 2,...,y n R n ) (n 1) olmak üzere R n R n den R ye tanmlanan p : (x,y) p(x,y) = dönü³ümü R n üzerinde bir metriktir. x i y i (17.28) spat: [M1] ile [M2] aksiyomlarnn sa land apaçktr. [M3] aksiyomu x i y i = (x i z i )+(z i y i ) x i z i + z i y i e³itsizli inden çkar. Son olarak, [M4] ve [M5] aksiyomlar x i y i = 0 x i = y i (1 i n) ba ntsndan çkar. x = y Önerme x = (x 1,x 2,...,x n R n ) ve y = (y 1,y 2,...,y n R n ) (n 1) olmak üzere R n R n den R ye tanmlanan m : (x,y) m(x,y) = max{ x i y i : 1 i n} (17.29) dönü³ümü R n üzerinde bir metriktir. spat: [M1] ile [M2] aksiyomlarnn sa land apaçktr. [M3] aksiyomu max x i y i max{ x i z i + z i y i } (1 i n) max x i z i +max z i y i e³itsizli inden çkar. Son olarak, [M4] ve [M5] aksiyomlar ba ntsndan çkar. m(x,y) = 0 max x i y i = 0 (1 i n) x i y i = 0 x i = y i x = y

4 17.2. METR K 233 Önerme R n ya da C n (n 1) vektör uzaylar üzerinde s n (x,y) = ( x i y i 2 )1 2 (17.30) diye tanmlanan dönü³üm bir metriktir. Buna Öklit metri i diyece iz. spat: [M1], [M2], [M4] ve [M5] aksiyomlarnn sa land apaçktr. [M3] aksiyomunun sa land n görmek için, x = (x 1,x 2,...,x n ) yerine x y = (x 1 y 1,x 2 y 2,...,x n y n ) koyarak Minkowski e³itsizli ini uygulamak yetecektir. n = 1 için s n metri inin µ salt metri ine indirgendi i açktr. Önerme (X,ρ) bir metrikimsi uzay ise, her x,y,z X için olur. spat: [M2] ve [M3] den ρ(x,z) ρ(y,z) ρ(x,y) (17.31) ρ(x,z) ρ(y,z)+ρ(x,y) ve ρ(y,z) ρ(y,x)+ρ(x,z) = ρ(x,y)+ρ(x,z) yazlabilir. Buradan ρ(x,y) ρ(x,z) ρ(y,z) ρ(x,y) çkar. Bu, isteneni verir. Önerme (X,ρ) bir metrikimsi uzay ise, her x,y X için q : (x,y) q(x,y) = min{1,ρ(x,y)} (17.32) diye tanmlanan dönü³üm de X üzerinde bir metrikimsi olur.

5 234 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR spat: [M1], [M2] ve [M4] aksiyomlarnn sa land apaçktr. [M3] aksiyomunun sa land ise min{1,ρ(x,y)} min{1,ρ(x,z)+ρ(z,y)} min{1,ρ(x,z)}+min{1,ρ(z,y)} e³itsizli inden çkar. imdi bu e³itsizli in varl n gösterelim. ki hal vardr. E er ρ(x,z)+ρ(z,y) 1 ise sol yan 1'den büyük olmayaca na göre, e³itsizlik vardr. E er ρ(x,z) + ρ(z,y) < 1 ise, istenen ³ey ρ(x,y) ρ(x,z) + ρ(z,y) den çkar. Demek ki q dönü³ümü X üzerinde bir metrikimsidir. Önerme Metrikimsilerden olu³an her hangi bir ailenin toplam da bir metrikimsidir. Özel olarak, sonlu tane metri in toplam da bir metriktir. spat: X üzerinde tanml bir {η i : i I} metrikimsiler ailesi verilsin. Bu durumda η = i I η i toplamnn da X üzerinde bir metrikimsi oldu unu gösterece iz. Gerçekten, her x,y X için (x,y) η(x,y) = i I η i (x,y) (17.33) diye tanmlanan fonksiyonun [M1]-[M4] aksiyomlarn sa layaca n görmek için, her i I için η i nin bu aksiyomlar sa lad n dü³ünmek yetecektir. Özel olarak I indis kümesi sonlu ve η i ler birer metrik ise toplamlarnn sonlu kalaca ve [M5] aksiyomunun da sa lanaca apaçktr. Önerme Metrikimsilerden olu³an her hangi bir ailenin en küçük üst snr (sup) da bir metrikimsidir. Özel olarak, sonlu tane metri in maksimumu da bir metriktir. spat: X üzerinde tanml bir {η i : i I} metrikimsiler ailesi verilsin. Bu durumda χ = sup{η i : i I} dönü³ümünün de X üzerinde bir metrikimsi oldu unu gösterece iz. χ nin tanm uyarnca, her x,y X için χ : (x,y) χ(x,y) = sup{η i (x,y) : i I} (17.34) olur. χ nin dönü³ümünün [M1]-[M4] aksiyomlarn sa layaca n görmek için, yine her i I için η i nin bu aksiyomlar sa lad n dü³ünmek yetecektir.

6 17.2. METR K 235 Özel olarak, I sonlu ve η i ler birer metrik ise, bunlarn en küçük üst snr (x,y) χ(x,y) = max{η i (x,y) : i I, I sonlu} (17.35) maksimumuna e³ittir. Çünkü sonlu sayda η i (x,y) gerçel say kümesinin sup de eri max de erine e³ittir. Dolaysyla, χ nin [M5] aksiyomunu sa layaca hemen görülür. Önerme Her hangi bir X kümesi ile her hangi bir (E,η) metrikimsi uzay verilsin ve bir f : X E fonksiyonu tanmlanm³ olsun. Bu durumda, her x,y X için ϑ : (x,y) ϑ(x,y) = η(f(x),f(y)) (17.36) diye tanmlanan ϑ dönü³ümü X üzerinde bir metrikimsi olur. spat: Bunun [M1]-[M4] aksiyomlarn sa layaca kolayca görülebilir. Ancak η bir metrik olsa bile, ϑ bir metrik olmayabilir. Bunu a³a daki örnekten görebiliriz. Örnek BirX kümesi ile her hangi bir f : X R fonksiyonu verilsin. ϑ : (x,y) ϑ(x,y) = f(x) f(y) dönü³ümü X üzerinde bir metrikimsidir, ama bir metrik olmayabilir. Gerçekten f bire-bir de ilse ϑ nn [M5] aksiyomunu sa lamayaca apaçktr. imdi de, bu dönü³ümün metrik oldu u duruma bir örnek verelim. Örnek ν(x,y) = x 1+ x y 1+ y (17.37) diye tanmlanan ν fonksiyonu R üzerinde bir metriktir. Gerçekten ν nün metrikimsi oldu u yukardaki örnekten bellidir. x x (1+ x ) fonksiyonunun R den ( 1, +1) üzerine sürekli ve bire-bir oldu unu biliyoruz. Öyleyse [M5] aksiyomu da sa lanacaktr.

7 236 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR Önerme (X, ) normlanm³ bir uzay ise her x,y X için ρ : (x,y) ρ(x,y) = x y (17.38) diye tanmlanan ρ dönü³ümü X kümesi üzerinde bir metrik olur. spat: Norm fonksiyonu negatif de er almad ndan, (17.38) ile tanmlanan ρ dönü³ümü [M1] aksiyomunu sa lar. [M2] aksiyomu, α yerine 1 konulursa [N2] den çkar. [M3] aksiyomu ρ(x,y) = x y = x z +z y x z + z y = d(x,z)+d(z,y) den görülür. [M4] ve [M5] aksiyomlar ise den çkar. ρ(x,y) = x y = 0 x = y Uyar Yukarda tanmlanm³ olan s,p,m ve s n metriklerinin ilgili Öklid normlarndan elde edilebildi ini görünüz. Örnek C[a,b] kümesine ait her f,g için (f,g) ρ(f,g) = f g 1 = b diye tanmlanan ρ dönü³ümü bir metriktir. a f(x) g(x) dx (17.39) Örnek (17.24) ile tanmlanan B(X) kümesine ait her f, g için (f,g) ρ(f,g) = f g (17.40) diye tanmlanan ρ dönü³ümü bir metriktir. Neden? = sup f(x) g(x) (17.41) x X Önerme Metrikimsi uzaylardan olu³an bir {(X n,η n ) : n N} ailesi verilsin. X = Π n N X n kartezyen çarpmn tanmlayalm. Her n için x n,y n X n olmak üzere, her x = (x n ),y = (y n ) X ρ : (x,y) ρ(x,y) = 2 n η n (x n,y n ) (17.42) dönü³ümü X üzerinde bir metrikimsidir. Bunun ispat kolayca yapabilecektir. n=1

8 17.2. METR K Problemler 1. Bu kesimde ispat yaplmayan örnekleri ispatlaynz. 2. x = (x 1,x 2 ) ve y = (y 1,y 2 ) ö eleri R 2 kümesinden alnmak üzere, a³a dakilerden hangileri R 2 üzerinde bir metrik de ildir? ρ(x,y) = min{ x 1 y 1, x 2 y 2 } δ(x,y) = (x 1 y 1 ) 2 +(x 2 y 2 ) 2 ψ(x,y) = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 3. Sonlu sayda (X i,η i ), 1 i n, n N, metrik uzaylar veriliyor. X = Π n X i olsun ve x,y X ise x = (x 1,x 2,...,x n ),y = (y 1,y 2,...,y n ) olmak üzere, ( )1 2 α(x,y) = [η i (x i,y i )] 2 β(x,y) = η i (x i,y i ) γ(x,y) = max{η i (x i,y i ) : 1 i n} fonksiyonlar tanmlanyor. Bunlar X üzerinde birer metrik midir? 4. C C den R'ye tanmlanan ρ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2 fonksiyonunun bir metrik oldu unu gösteriniz. Buna, karma³k saylar üzerindeki salt de er metri i diyece iz. 5. (X,ρ) bir metrik uzay olsun. Her x,y X için δ(x,y) = ρ(x,y) 1+ρ(x,y) diye tanmlanan δ fonksiyonunun da X üzerinde bir metrik oldu unu gösteriniz.

9 238 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 6. (X, ρ) bir metrik uzay olsun. X X den R'ye tanmlanan a³a daki fonksiyonlardan hangileri X üzerinde bir metriktir? δ(x,y) = kρ(x,y), (k R + ) γ(x,y) = kρ(x,y), (k R) µ(x,y) = [ρ(x,y)] n, (n N) ν(x,y) = [ρ(x,y)] r, (0 < r < 1) 7. X kümesine ait sabit bir a noktas seçelim. Her f,g C X için ρ : (f,g) ρ(f,g) = f(a) g(a) diye tanmlanan ρ dönü³ümü C x üzerinde bir metrikimsidir. Neden? 8. Bütün karma³k dizilerin olu³turdu u kümeye C diyelim; yani C = {x x = (x n ),x n C, n N} olsun. Gösteriniz ki ρ(x,y) = 1 2 x n y n n 1+ x n y n (17.43) diye tanmlanan ρ fonksiyonu C kümesi üzerinde bir metriktir. 9. Bir [a, b] aral üzerinde snrl de i³imli bütün fonksiyonlarn olu³turdu u kümeyi B[a, b] ile gösterece iz. Bunun bir vektör uzay oldu unu gösteriniz. Her f fonksiyonunun tam de i³imini δ(f) ile temsil edersek, f δ(f) dönü³ümünün bu uzay üzerinde bir yar norm oldu u, ama bir norm olmad kolayca görülebilir. Dolaysyla, (f,g) ρ(f,g) = δ(f g) dönü³ümü bu uzay üzerinde bir metrikimsi olur. Gösteriniz.