Küresel Harmoniklerin Tekrarlama Bağıntıları İle Hesaplanması. Recursive Relations Of The Spherical Harmonics And Their Calculations

Transkript

1 S.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi Sayı (00) -6, KONA Küresel Haroniklerin Tekrarlaa Bağıntıları İle Hesaplanası Erhan AKIN, Atilla GÜLEÇ, Hüseyin ÜKSEL ÖZET: Bu çalışada atoik ve oleküler hesaplaalarda yaygın olarak kullanılan küresel haroniklerin istenilen bir ax değerine kadar ükün olan tü ve kuantu sayı çiftleri için sayısal değerlerini veren bir tekrarlaa bağıntısı elde ediliştir. Elde edilen bu tekrarlaa bağıntısının, çok büyük kuantu sayıları ve tü açı değerlerinde duyarlı sonuçlar verdiği bilgisayar hesaplaaları ile doğrulanıştır. Anahtar Kelieler: Küresel Haronikler, Gaunt Katsayıları. Recursive Relations Of The Spherical Haronics And Their Calculations ABSTRACT: In this study a recursive relation was obtained for the spherical haronics which is widely used in atoic and olecular calculations. The recursive relation gives the values of spherical haronics for all possible cobinations of quantu nubers and up to an arbitrary ax value. It was also verified that this recursive relation gives accurate results for very large quantu nuber cobinations and for all angles. Key Words: Spherical Haronics, Gaunt Coefficients. Bu ifadedeki. GİRİŞ Kopleks küresel haronikler, Condon-Shortley fazında biçiinde yazılır []. ( ) ( θ, ) ), ( =, ϕ (+ )( )! = i + P (cosθ ) e 4π ( + )! P ler ilgili noralize Legendre polinoları olup x cosθ olak üzere iϕ () Selçuk Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölüü, 4049 KONA.

2 Küresel Haroniklerin Tekrarlaa Bağıntıları ile Hesaplanası + d = ( x ) + P ( x) ( x ) ()! dx şeklinde tanılanır []. Küresel haroniklerin belli bir θ ve ϕ açısı altında belli kuantu sayıları için sayısal değerleri, atoik ve oleküler hesaplaalarda öne taşır. Örneğin Hartree-Fock-Roothaan denkleinin çözüünde [] ve bir çekirdekte erkezleniş Slater-tipi ato orbitalinin başka bir çekirdekte erkezleniş Slater-tipi ato orbitalleri cinsinden seri açılıını kullanan ρ oleküler hesaplaa yöntelerinde [4,5] S n (, ; R ) ile gösterilen overlap ζ ζ, n ab integrallerinin hesaplanası gerekir. Bu overlap integrallerinin hesaplanasında ise küresel haroniklerin sayısal değerlerini kullanan D, döne katsayılarının hesaplanası gerekir [6]. [4] ve [5] kaynaklarında bulunan analitik ifadelerde özellikle büyük kuantu sayılarına ve kritik θ ve ϕ açılarına sahip çok sayıda küresel haroniğin duyarlı bir şekilde hesaplanası gerekir. Ayrıca Slater-tipi orbitaller üzerinden spin-spin çekirdek etkileşi integrallerinin analitik olarak hesaplanasında da küresel haroniklerin sayısal değerleri gereklidir [7]. Bu hesaplaalar genellikle her bir kuantu sayı çifti için ayrı hesaplaa yapan analitik bağıntılarla gerçekleştirilektedir [8]. Weniger ve Steinborn tarafından önerilen küresel haroniklerin tekrarlaa bağıntısı yalnızca kuantu sayısına göre tekrarlaa şeklindedir [9]. Bu çalışada ise he he de kuantu sayılarına göre tekrarlaa bağıntıları türetilerek daha genel bir hesaplaa yöntei ortaya konuluştur. ve. TEORİ () eşitliği ile verilen küresel haronik, A + i (+ )( )! iϕ = ( x ) e ()! 4π ( + )! + d = ( x ) + B (4) dx tanıları kullanılarak (, ϕ) = θ A B (5) şeklinde yazılabilir. Bu duruda + (, ϕ) = A + B+ θ (6) ve + (, ϕ) = A + B+ θ (7)

3 Erhan AKIN, Atilla GÜLEÇ, Hüseyin ÜKSEL şeklini alır. Bu çalışada (6) ve (7) ifadelerindeki A ve B fonksiyonları için tekrarlaa bağıntıları, + ( ) ( + ) A = A ve pozitif değerleri için A ( )( + ) iϕ = ( x ) e A ν = F ( ) B ν + xb ν + ( x ) Bν (8), (9) B (0) olarak elde ediliştir. Burada ( n) = n!!( n )! şeklinde tanılanan bino katsayıları F olup A 4π ve B =, < 0 için B 0 dır. (0) ifadesinde =+ ve 0 0 = 0 0 ν = ν = yi gösterektedir ve keyfi bir değerine kadar hesaplanacak küresel haronikler için ν = 0,,, Λ, = 0,,, Λ, ν ax ax = iϕ değerlerini alır. Aynı zaanda B B ve A = ( ) e A ifadeleri (5) eşitliğinde dikkate alınırsa = ( ) e iϕ () ifadesini kullanak hesaplaalarda öneli ölçüde zaan tasarrufu sağlar.. BİLGİSAAR HESAPLAMALARI Bu çalışada küresel haroniklerin sayısal değerlerini hesaplaak için Fortran 77 progralaa dili kullanılıştır. Bilgisayar prograında istenilen bir değerine kadar ükün ve pozitif değerleri için (8)-() ifadelerindeki ve değerleri iki ayrı dizi şeklinde bilgisayar hafızasına kaydediliştir. Böylece (6) ve (7) eşitliği kullanılarak nin pozitif değerleri için ükün tü ax lerin sayısal değerleri, Weniger ve Steinborn un çalışalarında [9] yapıldığı şekilde kopleks aritetiği kullanaak için ϕ = 0 alınarak üç θ değerinde hesaplanıştır. Ayrıca bu hesaplaa sonuçları kullanılarak () eşitliği yardııyla negatif değerlerine sahip ler de hesaplanıştır. A B () eşitliğinden görüldüğü gibi küresel haroniklerin sayısal değerlerinin hesaplanasında ilgili noralize Legendre polinolarının sayısal değerlerinin duyarlı bir şekilde hesaplanası gerekir. [0] nolu çalışada böyle bir hesaplaa ancak 0 ve 45 < θ < 90 için iki ayrı analitik ifade kullanılarak yapılış olup çok büyük kuantu < θ < 45

4 Küresel Haroniklerin Tekrarlaa Bağıntıları ile Hesaplanası sayıları için bu hesaplaaların çok duyarlı oladığı bildiriliştir. Bu çalışada ax = 60 için θ nın 45 ile 0 ve 90 ye çok yakın olduğu üç kritik açı değerinde hesaplaalar yapılıştır. Bu hesaplaa sonuçlarının bazıları Tablo de görülektedir. Bu tablonun son sütununda θ = 45 için Weniger ve Steinborn un sonuçları veriliştir. Ayrıca hesaplaa sonuçlarının doğruluğunu test etek için * l () ( θ ) (θ = < > l, ϕ),ϕ + = () in ile verilen aynı erkezli iki küresel haroniğin çarpı ifadesi kullanılıştır [9]. Bu son eşitlikte topla içindeki katsayılar Gaunt katsayılarıdır ve Tablo : Seçilen bazı küresel haroniklerin sayısal değerleri (=9). θ [9] D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D+000 in ax( = ax(,, ) ) + ax( ax( ) + çift sayı için tek sayı için şeklinde tanılanıştır. () eşitliğinde = 5, 7 =, = 5, = alınırsa topla içerisindeki küresel haronikler için 9 ve = 0,,4, Λ, 60,, = ) + değerlerini alabilir. Bu ve değerleri için () eşitliğindeki topla içerisindeki küresel haroniklerin sayısal değerleri Tablo de üç faklı θ değerinde veriliştir. Son sütunda verilen değerler ise Weniger ve Steinborn un sonuçlarını gösterektedir

5 Erhan AKIN, Atilla GÜLEÇ, Hüseyin ÜKSEL 4. SONUÇLAR ve TARTIŞMA Bu çalışada elde edilen tekrarlaa şeklindeki (6) ve (7) ifadeleri kullanılarak kritik üç θ değeri için ( 0.07,45,89.9 ) hesaplanan küresel haroniklerin sayısal değerleri Tablo de veriliştir. Bu tablodan görüldüğü gibi θ = 45 için bulunan sonuçlar literatür ile [9] uyu içindedir. θ = 0.07 ve θ = açılarında yapılan hesaplaaların doğruluğu ise () eşitliği kullanılarak test ediliştir. () eşitliğinden elde edilen sonuçlar Tablo de veriliştir. Bu tablodan görüldüğü gibi küresel haroniklerin sayısal değerleri () eşitliğini sağlaaktadır. Weniger ve Steinborn un çalışalarında [9] da küresel haronikler duyarlı bir şekilde hesaplanabilektedir. Ancak Weniger ve Steinborn un yönteinde tekrarlaa yalnızca kuantu sayısına göre yapılaktadır. Ayrıca sözü edilen çalışada θ nın kritik değerleri için bir hesaplaa yapılaıştır. Bu çalışada ise (6) ve (7) tekrarlaa bağıntısı he he de kuantu sayılarına göre elde edildiği için küresel haroniklerin sayısal değerlerini hesaplaak için bu çalışada önerilen yönte daha kullanışlıdır. Tablo : Küresel haroniklerin sayısal değerlerinin () eşitliği kullanılarak doğrulanası. θ () Eşitliğinin Sol Tarafı () Eşitliğinin Sağ tarafı D D D D D D-00 KANAKLAR [] Condon, E.U. and Odabaşı, H., Atoic Structure, Cabridge Univ.Press., Cabridge, 988. [] Messiah, A., Quantu Mechanics, North-Holland, Asterda, Appendix BIV, 96. [] Guseinov, I.I., Restricted Open Shell Hartree-Fock Theory, J.Mol.Struct. (THEOCHEM), 4, 998. [4] Guseinov, I.I., Expansion of Slater-Type Orbitals About a Displaced Center and the Evaluation of Multicenter Electrıon-Repulsion Integrals, Phys.Rev.A,,985. [5] Guseinov, I.I., Evaluation of Multielectron Molecular Integrals over Slater-Type Orbitals Using Binoial Coefficients, J.Mol.Struct. (THEOCHEM), 47, 997. [6] Guseinov, I.I., Evaluation of Two-Center Overlap and Nuclear Attraction Integrals for Slater-Type Orbitals, Phys.Rev.A,,985. [7] Guseinov, I.I. and Iaov, E.M., Analytical evaluation of One- and Two-Center Spin-Spin Nuclear Attraction Integrals Over Slater-Type Orbitals, J.Phys.B,,

6 Küresel Haroniklerin Tekrarlaa Bağıntıları ile Hesaplanası [8] Guseinov, I.I., On the Evaluation of Multielectron Molecular Integrals Over Slater-Type Orbitals Using Binoial Coefficients, J.Mol.Struct. (THEOCHEM), 5, 995. [9] Weniger, E.J. and Steinborn, E.O., Progras for Coupling of Spherical Haronics, Coputer Physics Counications, 5, 98. [0] Guseinov, I.I., Atav, Ü., Özen, A., üksel, H. and Aliyeva, T.H., Calculation of Rotation Coefficients for Overlap Integrals Over Arbitrary Atoic Orbitals, Turkish J.Phys.(DOĞA), /0,