Değer Frekans

Transkript

1 Veri Rasgelelik içeren olgulardan elde edilen ölçüm (gözlem) değerlerine istatistiksel veri veya kısaca veri (data) diyelim. Verilerin deneyler sonucu veya doğal şartlarda olguları gözlemekle elde edildiğini belirtelim. Veriler, niceliksel veri (quantitative data, sayısal veri) ve niteliksel veri (qualitative, categorical data) olarak ikiye ayrılabilir. Aralık veya oranlama düzeyinde yapılan ölçümlerden elde edilen veriler birer niceliktir (sayıdır). Bazen sınıflama düzeyinde yapılan ölçümlerden elde edilen veri de sayılardan oluşabilir. Örneğin para atışında, yazı gelişi 0, tura gelişi olarak kodlanırsa elimizdeki veri sayısal bir veri olacaktır. Tersi de olabilir. Sayısal olarak yapılan ölçümlerden niteliksel veri elde edilebilir. Tavla zarı üzerindeki noktalar sayıldıktan sonra ölçümler tek-çift olarak nitelendirilebilir. Aklımız ile gerçek dünyadaki olguları (nesne, olay, süreç, zaman, sıcaklık,...) anlamak isteriz. Olgunun ilgilendiğimiz bir veya birden çok özelliği ile ilgili ölçümler yaparız. Örneğin bir yaşındaki çocuklarda ağırlık, boy, hareket gibi özellikler bizi ilgilendiriyor olabilir. Ağırlığı kg, boyu cm ve hareketi de emekleme-ayakta durabilme- yürüme gibi bir ölçekte ölçtüğümüzü düşünelim. Ağırlık ve boy özelliklerinin ölçümünde elde edilen veri sayısal, hareket özelliğinin ölçümünde elde edilen ise bir kategorik (niteliksel) veri olacaktır. Emekleme, ayakta durma 2 ve yürüme 3 ile kodlanırsa elimizde hareket özelliği için de sayısal bir veri olmuş olur. Hareket, doğrudan sayısal veri verebilecek bir ölçek ile de ölçülmüş olabilir. Olgu-özellik-ölçme sonucunda sayısal bir veri elde edilsin. Rasgelelik de söz konusu olduğunda, ölçme sonucu çıkan sayılar da rasgele (gelişigüzel) olacaktır. Bir yaşındaki bir çocuğun ağırlığı ve boy uzunluğu ayrı olarak ele alındıklarında birer rasgele değişken, beraber ele alındıklarında bir rasgele vektör olarak isimlendirilmektedir. Rasgele değişken ve Rasgele vektör kavramları Đstatistiğin en önemli kavramlarıdır. Kavram olarak, bunlar birer fonksiyondur. Şimdilik tanımını bilmeksizin (Ortaöğretimden biliyor da olabiliriz), bu iki kavramı sezgisel olarak kullanalım. Bir tavla zarının atılışında gelen nokta sayısı, yıllık olarak milli gelir, evden okula geliş zamanı, bir futbol karşılaşmasında atılan gol sayısı, belli bir atletin 0 metreyi koşma zamanı, belli bir saatte odamızın hava sıcaklığı, belli bir mağazaya bir günde gelen müşteri sayısı,... birer rasgele değişkendir. Bir özellik sayısal bir ölçme neticesinde rasgele değişken ismini almaktadır denebilir. Rasgele değişkenler, ölçülen özelliğin doğasına bağlı olarak sürekli ve kesikli olarak iki sınıfa ayrılmaktadırlar. Örneğin: boy uzunluğu sürekli, bir mağazaya bir günde gelen müşteri sayısı kesikli, gol sayısı kesikli, bir hastanın nabzı kesikli ve tansiyonu sürekli birer rasgele değişkendir. Doğası sürekli olmasına rağmen, ölçümler tam sayılara yuvarlatıldığı zaman tansiyon kesikli bir rasgele değişken olmaktadır. Sıcaklık da öyle. Kesikli rasgele değişkenler ile ilgili yapılan ölçmelerde elde edilen verinin kendisine de kısaca kesikli veri denir. Bir tavla zarı atılışında, zar atıldıktan sonra üst yüzeydeki noktaları sayma işlemi bir ölçmedir. Düzgün bir tavla zarının kez atılışında, sayıları ölçülmüş (gözlenmiş) olsun. Bu veri kesikli bir veridir. Rasgele değişkenin alabileceği değerler, yani ölçme sonucunda çıkabilecek değerler,2,3,4,5,6 dır. Bu değerlerin gözlenme sayılarına sıklık (frekans) denir. Bu veri için sıklıklar (frekanslar) aşağıdaki gibidir.

2 Değer Frekans Böyle bir tabloya Frekans Tablosu denir. Yatay eksende değerler, düşey eksende frekanslar olmak üzere aşağıdaki gibi bir grafiğe Çubuk Diyagramı denir. Çubukların yükseklikleri frekanslara eşittir. frekans değer Bu gözlemlerin ortalaması x =3,35 ve standart sapması s=,645 (gözlenen sayılar 2 xi ( xi x) i= 2 i= x, x2,..., x ile gösterilirse x = = 3,35 ve s = = ) dır. Aynı zar yeniden defa atılırsa yeni gelecek gözlemlerin çubuk diyagramı, ortalaması ve standart sapması ne olur? Zar atışında gelen nokta sayısı bir rasgele değişken olduğu gibi atışta gelen sayıların ortalaması da bir rasgele değişkendir.,2,3,4,5,6 sayılarının gözlenme olasılıkları eşit olan zarlara düzgün zar diyelim. Olasılık sözcüğünü mutlaka işitmişsinizdir. Yukarıdaki zarın düzgün olmadığı söylenebilir mi? Sürekli rasgele değişkenler ile ilgili verilerin betimlenmesinde de Frekans Tablosu kullanılır. Rasgele seçilen bir yaşındaki tane çocuğun kg cinsinden ağırlıkları aşağıdaki gibi gözlenmiş olsun.

3 ,70,23,7,7,70,78 8,8,57 8,76,66 3,,70,07,2,5,0,28,42,03 2,54,85,,84,5,4,,87,74,5,24,4 2,28,62 8,23,24,7,65,56,76,52,20,8,77,87 7,8,35 2,6,06,56,,08,2,6,,76,7,3, 8,38,55 Bu gözlemler içinde en büyüğü 3, en küçüğü 7,8 dır. Gözlemleri, sınıf genişliği kğ olan 7 sınıfta aşağıdaki gibi sınıflandırabiliriz (Veri betimlemesi ile ilgili bilgileri ilerde göreceksiniz). Sınıflar Sınıf Ortası Frekans Eklemeli Frekans 7,00-8,00 8,00-,00,00-,00.00-,00,00-2,00 2,00-3,00 3,00-4, n Ortalama Ortanca Standart sapma Minimum Maximum,26,,05 7,8 3, Yatay eksende sınıf sınırları, düşey eksende frekanslar olmak üzere her sınıfın üstüne tabanı sınıf aralığı ve yüksekliği sınıf frekansı olan dikdörtgenler çizilmesiyle aşağıdaki gibi bir grafiğe Histogram denir. Histogram lar, verilerin hangi aralıklarda hangi sıklıklarla gözlendiğini göstermektedir ve ölçüm yapılan özelliğe karşılık gelen rasgele değişkenin alabileceği değerler ile bunların yoğunlukları hakkında bilgi vermektedir. Đleride, Histogramlar rasgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının biçimleri hakkında bilgi vermektedir diyebileceksiniz ve Histogram lar yardımıyla birçok sonuç çıkarımı yapacaksınız. Histogram

4 20 Frequency 0 7,5 8,5,5,5,5 2,5 3,5 Nokta Diyagramı Dal-Yaprak Diyagramı Kutu Çiziti 8 2 3

5 Şimdilik bir veri üzerinde yapılan işlemlere betimleme diyelim. Görüldüğü gibi, bir yaşındaki çocukların ağırlığı ile ilgili bir veri üzerinde birçok betimleme yapılabilir. Đstatistiksel paket programlar sayesinde bunu yapmanın çok kolaylaştığını da biliyorsunuz. Bir yaşındaki çocukların ağırlıkları kimi, niçin ve hangi yönleri ile ilgilendirmektedir? Đstatistikçileri pek ilgilendirmez. Hele çocuğu yoksa. Yine de biraz fikir yürütelim. Çocuk doktorları, hemşireler, diyetisyenler meslek gereği bir yaşındaki çocukların ağırlıkları ile ilgilenir. Ağırlığın nesi ile ilgilenir? Belki, hangi değerler arasında olması gerektiği, dağılışı, çocukların % unun ağırlığı hangi değerin altında, bir yaşında bir çocuğun ortalama ağırlığı nedir gibi şeylerle ilgileniyor olabilirler. Gidip kendilerine sorup öğrenilebilir. Đstatistik diliyle ifade edersek, bir yaşındaki çocukların ağırlığının dağılımı, ortalaması, varyansı, yüzdelikleri, çarpıklığı, basıklığı, değişim katsayısı gibi şeyler onları ilgilendiriyor olabilir. Đlgilenilen (bir yaşındaki) çocukların kümesine kitle ve çocuklara da birim diyelim. Genellikle araştırmalardaki gözlemler, kitlelerden rasgele çekilen birimlerin oluşturduğu örnekler üzerinde yapılır. Bazen de kitledeki tüm birimler üzerinde gözlem yapılır, buna sayım denir. Üçüncü sınıfta Örnekleme dersinde göreceğiniz Kitle ve Birim kavramları sanıldığı kadar kolay kavramlar değildir. Bir yaşında bir çocuk demek doğduktan sonra doğum gününe ulaşmış bir çocuk olmak üzere, böyle çocukların (Birimlerin) Kitlesi her gün değişen bir kümedir. Kitleyi, 2007 yılı (bu dersin anlatıldığı yıl) Ankara doğumlu çocuklar olarak belirlesek ve Merkezi Nüfus Đdare Sisteminden (MERNĐS) çocukların listesini alıp, aralarından rasgele bir örnek seçip, doğum günlerinde bu çocukların ağırlıklarını ölçmeyi düşünsek (ağırlık ölçen alet yanında doğum günü pastasını unutmayın) verilerin toplanması ne zaman başlar ne zaman biter? Liste MERNĐS den ne zaman alınacaktır? Örnek hacmi ne olacak? Örnek ne zaman çekilecek? Böyle bir araştırmanın maliyeti ne olacak? Kim yapar? Kimler yaptırır? Kim destekler? Neye yarar? (Sizin için hazırlanan Ödev-Araştırma-Proje yazısını okuyun). Anneler çocuklarını ilk aylarda daha sık olmak üzere, belli aralıklarla muayeneye götürürler. Gözlenen birçok özelliğin içinde bir tanesi de çocuğun ağırlığıdır. Belli bir yaştaki, örneğin bir yaşındaki bir çocuğun ağırlığının normal olup olmadığı, yani kilolu olup olmadığı nasıl söylenmektedir? Araştırmalar sonucunda hazırlanan ve hemşirelerin elinde bulunan çizelgelere bakarak mı? Yoksa göz kararı mı? Bir yaşındaki bir çocuğun ağırlığı, boyu, zekâsı, yürümesi, konuşması normal midir? Nasıl karar verilmektedir? Bu soruların muhatabının Đstatistikçiler olmadığı apaçık ortadadır. Đstatistik bilimi açısından ağırlık verisi ile zekâ verisi arasında bir fark yoktur. Farklı yöntemlerle elde edilen bu iki veri aynı istatistik yöntemle analiz edilebilir. Đstatistiğin kendi kavramları ve yöntemleri vardır. Dört yıl boyunca bunların büyükçe bir kısmını işiteceksiniz ve bazılarını öğrenmiş olacaksınız. Bir kısmını da Lisansüstü eğitimde öğrenirsiniz. Đstatistik bilgisinin temelini Olasılık bilgisi oluşturmaktadır. Önümüzdeki bir iki hafta içinde bir miktar Olasılık bilgisi elde etmeye çalışacağız. Olasılık bilgileriniz daha sonraki yıllarda gittikçe artacak ve biraz Olasılık Teorisi biliyorum diyecek düzeye geleceksiniz. Benzer bir gelişme Đstatistik için de söz konusu olacak ve biraz Đstatistik Teorisi ile Uygulamalı Đstatistik biliyorum diyebileceksiniz. Bunları kavrama düzeyiniz ve öğrenme hızınız Matematik bilginizin düzeyine bağlı olacaktır. Birinci sınıfta öncelikle Matematik bilginizi arttırmaya çalışın. Đlk üç derste, okyanusa dalar gibi yaptığımız bir girişle değişik konulara daldık. Önümüzdeki derslerde kendimizi toparlayıp, temelden başlamak üzere, dikkatli bir şekilde Olasılık ve Đstatistik konularına geçeceğiz.