Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu."

Transkript

1

2 Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı yılında İ.Ü. Orman Fakültesi, Orman Mühendisliği Bölümünden mezun oldu. 1998'de Süleyman Demirel Üniversitesi Orman Fakültesi Orman Ekonomisi Anabilim Dalında "Araştırma Görevlisi" olarak göreve başladı. İ.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Orman Mühendisliği Anabilim Dalı Ormancılık Ekonomisi Programında "Orman Kaynaklarında Doğa Turizmi ve Av Turizmi Etkinliklerinin Ekonomik Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

3 Özgeçmişi (Devam) 2006 yılında SDÜ Sosyal Bilimler Enstitüsü, İşletme Anabilim Dalı Sayısal Yöntemler Bilim Dalında "Orman İşletmelerinde Üretim Planlarının Optimizasyon Olanakları ve Bir Uygulama" adlı doktora tezini tamamlayarak mezun oldu yılında SDÜ Orman Fakültesi Orman Mühendisliği Bölümü Orman Ekonomisi Anabilim Dalı'na "Yardımcı Doçent Doktor" olarak atandı ve halen bu görevini sürdürmektedir yılında başladığı Anadolu Üniversitesi İktisat Fakültesi İktisat Bölümü eğitimini 2011 de tamamladı yılında Doçent oldu. Evli ve iki çocuk babası olan Mehmet KORKMAZ ın yabancı dili ingilizcedir.

4 Ders ile konulardaki iletişim bilgileri; Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Tel : E-posta : mehmetkorkmaz@sdu.edu.tr Web : Adres : SDÜ Orman Fakültesi Orman Mühendisliği Bölümü Orman Ekonomisi Anabilim Dalı Doğu Kampüsü ISPARTA

5 KARAR VERME

6

7 Son yıllarda yönetsel karar vermede görülen köklü değişim, sayısal tekniklerin başarıyla uygulanışı ile bilgisayarların geniş kullanımına bağlanmaktadır. Karar verme sürecinin aşamaları şu şekildedir (Öztürk, 2001: 7-9): Amacın/amaçların belirlenmesi (sorunun tanımlanması), Kontrol edilebilen değişkenlerin belirlenmesi, Kontrol edilemeyen değişkenlerin belirlenmesi, Amaca bağlı olarak her bir mümkün kararın etkisinin belirlenmesi, Kararın verilmesi, Sonuçların yorumlanması, Sonraki çalışma zamanı için karar sürecinin yinelenmesi.

8

9

10 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI HAREKAT ARAŞTIRMASI İşletmelerin karşılaştığı karar problemlerinin çözümü için, kararlara etki eden tüm koşulları ele almak ve tüm elverişli karar seçeneklerinden beklenen sonuçları belirlemek kolay değildir. Bu nedenle, iyi kararlara ulaşabilmek için problemlerinin sağlıklı analizi ve araştırılmasına yönelik olarak yöneylem araştırması yöntemleri geliştirilmiştir

11 Yöneylem araştırmasının tanımı, birçok kaynak tarafından farklı şekillerde yapılmış ve yöneylem araştırması için bugüne kadar ortak bir tanımda karar kılınamamıştır. Yaygın olan tanımlar aşağıda belirtilmiştir (Öztürk, 2001: 2): Yöneylem Araştırması, rakama dökülmüş sağduyudur, Yöneylem araştırması, işletme için araştırmadır, Yöneylem Araştırması, yönetim bilimidir, Yöneylem Araştırması, bir karar analizidir, Yöneylem Araştırması, bir tasarım analizidir, Yöneylem Araştırması, eldeki olanaklardan en çok yararlanmayı sağlamak için bilimsel tekniklerin problemlere uygulanışıdır, Yöneylem Araştırması, problemlerin çözümüne daha iyi yanıt verme sanatıdır, Yöneylem Araştırması, kıt kaynakların dağıtımını gerektiren koşullar altında, bir sistemin en iyi nasıl tasarlanması ve işletimini araştıran bilimsel yaklaşımdır.

12

13 KARAR PROBLEMLERİNİN YAPISI 1. Kararın Amacı 2. Karar Faaliyetleri-Karar Değişkenleri 3. Kontrol Edilemeyen Faaliyetler 4. Belirlilik, Belirsizlik ve Risk 5. Kısıtlayıcılar 6. Karar Süreci

14 MODELLER Problem belirlendikten yani tanımlandıktan sonra yapılacak iş, problemi en iyi şekilde temsil edecek bir modelin kurulmasıdır. NEDEN MODEL KURULUR?

15 Kontrol edilemeyen girdiler Kontrol edilebilen girdiler Matematiksel İlişkiler Sonuç Değişkenleri GİRDİ (INPUT) ÇIKTI (OUTPUT)

16 DOĞRUSAL PROGRAMLAMAYA GİRİŞ

17 Günümüzde, işletme, ekonomik ve muhasebe dallarını en yakından ilgilendiren konulardan birisi olan doğrusal programlama, yöneylem araştırmasında en yaygın kullanılan araçlardan birisidir. Doğrusal programlama, değişkenlere ve kısıtlayıcılara bağlı kalarak amaç fonksiyonunu en uygun (maksimum veya minimum) kılmaya çalışır. Buna göre doğrusal programlama değişkenlere ve kısıtlayıcı koşullara bağlı kalarak amaca en iyi ulaşma tekniğidir. Temel olarak, doğrusal programlama verilen optimallik ölçütüne bağlı kalarak kıt kaynakların optimal şekilde dağıtımını içeren matematiksel bir tekniktir.

18 Doğrusal programlamanın Varsayımları Doğrusallık varsayımı Toplanabilirlik varsayımı Sınırlılık varsayımı Negatif olmama varsayımı

19 Doğrusal Programlama Probleminin Özellikleri Doğrusal programlama problemi üç bileşenden oluşur; Değişkenler (Karar değişkenleri) Amaç Kısıtlayıcı koşullar

20 Değişkenler Değişkenler sürekli kontrol edilebilir olduğu gibi negatif değerler alamazlar. 1 birinci değişkeni, 2 ikinci değişkeni 3 üçüncü değişkeni ve n n. değişkeni ifade ederse, problemin sürekli ve negatif olmama yönünü aşağıdaki gibi gösterebiliriz; n

21 Amaç Doğrusal programlama modelinden beklenen sonucun alınabilmesi için amacın açık olarak bilinmesi ve sayısal olarak ifade edilmesi gerekmektedir. Genellikle amaç, kar maksimizasyonu veya maliyetlerin minimizasyonu yönündedir. Doğrusal amaç fonksiyonunda karar değişkenleri, 1, 2,.n ve kar veya maliyet katsayıları C1, C2, Zmax (min)= C11+C22+ +Cnn şeklinde yazılır.

22 Kısıtlayıcı Koşullar Eğer herhangi bir koşul yoksa bir önceki verilen amaç fonksiyonu maksimizasyon amaçları için +, minimizasyon amaçları için ise - da çözüme ulaşacaktır. Kaynaklar kıt olduğu için belirlenen amaca ulaşma yolundaki kıt kaynakların da belirlenmesi gerekmektedir. İşletmenin elindeki kaynakların miktarını b1, b2,..bm ve ürünlerin alternatif üretim tekniğini de aij ile gösterirsek (aij bir birim j ürünü üretmek için kaynak (bm)den gerekli olan miktarı gösterir. Üretim kapasiteleri ve üretim faktörleri sınırlı olduğundan modelin kısıtlayıcı denklemleri bir sonraki yansıda görüldüğü gibi oluşur;

23 b a a a a n n j j b a a a a n n j j.. i n in j ij i i b a a a a m n mn j mj m m b a a a a

24 Doğrusal programlama modelinin matematiksel gösterimi; Amaç Fonksiyonu c n n c c Z max Kısıtlayıcılar b a a a a n n j j b a a a a n n j j i n in j ij i i b a a a a m n mn j mj m m b a a a a ve 0 n (n=1,2,..n)

25 Örnek 1: Bir kimya firması A ve B gibi iki tip kimyasal ürün üretmektedir. 1 litre A ürününün maliyeti 160 TL, 1 litre B ürününün maliyeti ise 240 TL dir. Müşteri talebine göre firma gelecek hafta için en az 6 litre A ve en az 2 litre B ürünü üretmelidir. A ve B kimyasal ürünlerinde kullanılan hammaddelerden birisinin arzı düşüktür ve sadece 30 gr sağlanmaktadır. A ürününün her bir litresinde bu maddeden 3 gram ve B nin litresinden de 5 gram gerekli olmaktadır. Firma toplam maliyetini minimum kılmak için A ve B ürünlerinden kaç litre üreteceğini bulabilmek için doğrusal programlama modelini formüle ediniz.

26 Örnek 2: Bir reklam şirketi cari reklam bütçesine göre en etkin reklamı belirlemek istemektedir. Şirketin reklam için televizyon, radyo, dergi ve gazete olmak üzere dört iletişim aracı kullanmaktadır. Aşağıda verilen tablodaki bilgiler pazarlama araştırma grubunca elde edilmiştir. Televizyon Radyo Gazete Dergi Reklam Sayısı başına maliyet (TL) Reklam sayısı başına ulaşılan erkek müşterilerin sayısı Reklam sayısı başına ulaşılan kadın müşterilerin sayısı

27 Şirketin reklamlar için ayırdığı bütçesi TL dir. Ayrıca diğer istenenler şunlardır; a) Reklam en az erkek müşteriye ulaşmalıdır. b) Reklam en az kadın müşteriye ulaşmalıdır. c) Reklam en az 4 birim televizyonda verilmelidir. d) 10 birimden daha fazla dergide reklam verilmemelidir. e) Reklam birim sayıları radyo ve gazetede her biri 6 ve 20 arasında olmalıdır. Şirketin ulaşılan toplam müşteri sayısını en yüksek kılmak için doğrusal programlama modelini kurunuz.

28 ÖDEV Özdemir A.Ş. Kereste üretimi ile uğraşmaktadır. Şirkete ait biçki makinesi haftada 3000 metre kereste üretmektedir. Üretilen keresteler 1., 2., ve 3. sınıf olarak ayrılmaktadır. Şirket I. sınıf kerestenin metresinden 850 TL, 2. sınıf kerestenin metresinden 500 TL ve 3. sınıf kerestenin metresinden ise 350 TL kar sağlamaktadır. Şirket haftada en az 2. sınıf keresteden 400 metre, 3. sınıf keresteden 900 metre üretmektedir. Hammadde güçlüğü nedeniyle 1. sınıf keresteden haftada en fazla 1500 metre üretebilmektedir. Şirket yönetimini kararına göre haftalık 1. sınıf kereste üretim miktarı 2. sınıf kereste üretiminin iki katı olmalıdır. Verilere göre problemi doğrusal programlama modeli olarak gösteriniz.

29 Örnek-1 Bir şirketin A, B ve C projelerinde yatırım yapabilmesi için TL si bulunmaktadır. Proje A, 1 TL yatırıldığında bir yılın sonunda 50 krş kazandıracaktır. Proje B ye yatırılan her bir TL iki yılın sonunda 2,3 TL, Proje C ise yatırılan her bir TL için üç yılın sonunda 3,50 TL kazandıracaktır. Yatırımların her bir yılın başında yapıldığı ve eldeki tüm paranın yatırıldığı varsayımı ile şirket 4 yılın sonunda elde edeceği parayı maksimum kılmak istemektedir. Problemi doğrusal programlama olarak formüle ediniz.

30 Örnek-2 Bir işletme x, y, z şeklinde üç ürün üretmektedir. Bir birim x üretiminde 1 birim A malı girdisi ile 1 birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Bir birim y üretiminde ise 1 birim A malı 2 birim B malı girdisi kullanılmaktadır. Bir birim z üretiminde ise sadece 1 birim A malı kullanılmaktadır. İşletmenin elinde 40 birim A girdisi ile 20 birim B malı girdisi bulunmaktadır. Öte yandan x malının satış fiyatı 10 TL, y malının satış fiyatı 15 TL ve z malının satış fiyatı 12 TL dir. x, y ve z mallarının maliyetleri sırasıyla 8, 9 ve 7 TL dir. İşletme karını maksimize etmek istemektedir. Problemi doğrusal programlama olarak formüle ediniz.

31 Örnek-3 Bir çiftçinin buğday, mısır ve arpa ürünlerinin ekimi için 300 da lık arazisi vardır. Çiftçi dekar başına buğdaydan 150 TL, mısırdan 220 TL ve arpadan da 180 TL kar beklemektedir. İşgücü yönünden durum ele alındığında çiftçi buğday için 150 da ve arpa için 120 da dan daha fazla yer ayırmamalıdır. Verimlilik yönünden ise en az 80 da buğday için yer ayırmalı ve mısır ekimi için de toplam arazinin % 30 undan fazlası ayrılmamalıdır. Çiftçi karını maksimize etmek istemektedir. Problemi doğrusal programlama olarak formüle ediniz.

32 Örnek-4 Bir şirkette bilgisayar eğitimi kursu verilmek istenmektedir. Söz konusu şirkette eğitim verilecek 3 departman ve toplam 6 tane bilgisayar vardır. İşletmenin A departmanında 13 kişi, B departmanında 9 kişi ve C departmanında 14 kişinin bilgisayar eğitimi alması gerekmektedir. Her departman kurs verilecek 6 günün her bir günü için maksimum 3 kişiyi eğitime gönderebilmektedir. Bu kurs döneminde, hangi günlerde hangi ölümden kaç kişinin eğitim alması gerektiğini belirten modeli kurunuz.

33 ORMANCILIKTA YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI UYGULAMALARI

34 Yöneylem araştırması başta ormancılık olmak üzere, doğal kaynakların yönetiminde uzun zamandan beri sıkça kullanılmaktadır. Günümüzde çevre planlaması, arazi kullanım planlaması, orman işletmeciliği ve planlaması, ağaçlandırma vb. çok geniş alanlarda doğrusal programlama tekniği rahatlıkla kullanılabilmektedir. Bu derste ormancılık problemlerinde doğrusal programlamanın kullanımı örneklerle gösterilmektedir.

35 Örnek-1. Arazi Kullanım Planlaması Ayancık Orman İşletme Müdürlüğünün 100 ha lık Sarıçam ormanı; karaca, su üretimi ve rekreasyon amaçlı olarak işletilecektir. Bir çift karaca için 4 ha ve 100 ton su üretimi için de 3 ha alana ihtiyaç vardır. İşletme yılda en az 10 çift karaca ve 800 ton su üretimi yapmak zorundadır. İşletmenin bu alan için toplam bütçesi TL dir. Karaca üretimi için hektarda 50 TL, su üretimi için hektarda 10 TL ve rekreasyon için hektarda100 TL ye ihtiyaç vardır. Bir adet karaca satışından elde edilecek net gelir 80 TL, 100 ton su satışından elde edilecek net gelir 90 TL ve 1 ha rekreasyon alanından elde edilecek net gelir 50 TL dir. Buna göre net karı maksimize etmek için doğrusal programlama modelini kurunuz.

36 Örnek-2. Bölmeden Çıkarma Problemi Artvin-Şavşat orman işletme müdürlüğünde üretim işlerinde çeşitli hava hatları kullanılmaktadır. Bu bölgede, gelecek yılın üretiminde yine hava hatları kullanılacağından işletme hava hatlarında kullanılacak malzeme ve işgücünü şimdiden planlamaktadır. Üretimde çift yönlü hava hattı, tek yönlü hava hattı ve kısa mesafeli çekici kullanılabilmektedir. İşletme bunların en verimli kullanımını planlamak istemektedir. Hava hatları ile ilgili veriler şu şekildedir. Bölmeden Çıkarma Sistemi Maliyet TL/saat Üretim Oranı m 3 /gün Günlük Verim Saat/gün Yıllık Verim Gün/yıl Çift yönlü hava hattı ,5 200 Tek yönlü hava hattı ,2 200 Kısa mesafeli çekici Yıllık odun hammaddesi üretim miktarı en az m3 ve en fazla m3 dür. Buna göre yıllık maliyeti minimize edecek doğrusal programlama modelini kurunuz.

37 Doğrusal Programlama Çözüm Yöntemleri

38 Grafik Yöntemi Grafik yöntem iki ya da üç karar değişkenli problemlerin çözümünde kullanılmaktadır. Bu yöntem, karar değişkenlerinin belirlediği iki veya üç boyutlu bir düzlemde, çevresi kısıtlarla çevrili alan olarak tanımlanan çözüm bölgesinin bir grafikte gösterilmesidir. Grafik yöntemin kullanılmasının amacı; bir doğrusal programlama modelinin basit ve görsel olarak anlaşılmasının sağlanmasıdır.

39 Grafik Yönteminin Çözüm Aşamaları Kısıtlarda bulunan >= ve <= eşitsizlikleri = şeklinde yazılır. Her kısıt denkleminin doğrusu grafik üzerinde çizilir. Çözüm bölgeleri kısıt denklemlerinde eşitsizliğin yönü dikkate alınarak gösterilir. Tüm kısıtları sağlayan ortak bölge (çözüm bölgesi) belirlenir ve taranır. Bu bölge uygun çözüm alanı olarak da bilinmektedir. Amaç fonksiyonu denklemi grafik üzerinde çizilir. Optimum çözüm, uygun çözüm alanını çevreleyen kısıtların kesiştikleri köşe noktalarında meydana gelir.

40 Örnek 1. : Hesmak adında bir firma, A ve B markalarında iki tip hesap makinesi üretmektedir. Her bir A marka hesap makinesinin üretimi için 4 entegre ve iki dijital ekran ve B marka hesap makinesi için de 2 entegre ve 4 dijital ekran kullanılmaktadır. Kullanılabilir entegre miktarı 600 ve dijital ekran ise 480 dir. Üretilecek olan her bir A hesap makinesinin net karı 8 TL ve her bir B hesap makinesinin net karı 6 TL dir. a) Firmanın karını eniyileyecek (maksimize edecek ) şekilde doğrusal programlama modelini kurunuz. b) Modeli grafik yöntemle çözünüz.

41 a) x= üretilecek A marka hesap makinesi adedi y= üretilecek B marka hesap makinesi adedi Z max = 8x + 6y 4x + 2y <= 600 2x + 4y <= 480 x >= 0 y >= 0

42 b) Modelin grafik yöntemle çözümü 4x + 2y <= 600 4x + 2y = 600 2x + 4y <= 480 2x + 4y = 480

43 4x+2y<= 600

44 4x+2y<= 600 2x+4y<= 480

45 Çözüm Bölgesi 4x+2y<= 600 B Amaç Fonksiyonu C 2x+4y<= 480 D

46 Köşe Noktası x y Amaç Fonksiyonu (Z) A B C D x+4y= 480 4x+2y= 600 Denklemleri çözümlenerek yukarıdaki tabloda görülen çözüm değerlerine ulaşılmaktadır. Böylece A hesap makinesinden 120 ve B hesap makinesinden 60 adet üretildiğinde kar maksimum olmaktadır (kar: 1320 TL)

47 Örnek 2. : GÜBRECİ adında bir firma, nitrat ve fosfat maddelerinden oluşan karışık bir ürün üretmek istemektedir. Elde edilecek karışık ürün 50 kg lik paketler halinde satılacaktır. Araştırmalara göre, bir pakette en az 20 kg nitrat ve en fazla 40 kg fosfat olması gerekmektedir. Bir kg nitratın maliyeti 10 TL ve 1 kg fosfatın maliyeti ise 25 TL dir. Firmanın amacı maliyeti en düşük olacak şekilde bir karışım ürün üretmektir. a) Firmanın maliyetini minimum yapacak şekilde doğrusal programlama modelini kurunuz. b) Modeli grafik yöntemle çözünüz.

48 a) x= karışımda kullanılacak nitrat miktarı y= karışımda kullanılacak fosfat miktarı Z min = 10x + 25y x + y = 50 x >= 20 y <= 40 x >= 0 y >= 0

49

50 SİMPLEKS YÖNTEMİ

51

52

53 Anahtar sütun Anahtar sayı (pivot) Anahtar satır

54 Anahtar satırın yeni değerlerinin bulunması

55 Diğer satırların yeni değerlerinin bulunması

56

57

58

59

60

61

62

63

64 Bu sununun hazırlanmasında aşağıda belirtilen kaynaklardan yararlanılmıştır. BAŞKENT, E.Z., Yöneylem Araştırması: Modelleme ve Doğal Kaynak Uygulamaları, K.T.Ü. Genel Yayın No: 218, Orman Fakültesi Yayın No: 36, ISBN , Trabzon, HALAÇ O., Kantitatif Karar Verme Teknikleri (Yöneylem Araştırması), 4. Baskı, Alfa Basım Yayım Dağıtım, Yayın No: 222, İşletme Dizisi: 23, KARA İ., Yöneylem Araştırmasının Yöntem Bilimi, A.Ü. Yayın No: 96, Müh-Mim Fak Yayın No: 23, Eskişehir, KARA İ., Doğrusal Programlama, Bilim Teknik Yayınevi, ISBN , Eskişehir, ÖZTÜRK A., Yöneylem Araştırması, 12. Baskı, Ekin Kitabevi Yayınları, Bursa, TAHA, H.A., Yöneylem Araştırması, 6. Basımdan Çeviri, (Çev: Ş. Alp Baray ve Şakir Esnaf) Literatür Yayıncılık, İstanbul, 2000, Bazı şekil ve resimler için bknz.

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli)

Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS 2 NOTLAR Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) X, karar değişkenlerinin bir vektörü olsun. z, g 1, g 2,...,g m fonksiyonlardır.

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

28 C j -Z j /2 0

28 C j -Z j /2 0 3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0

Detaylı

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I

KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu

Detaylı

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm

Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm doğrusal programlama PROBLEMİN ÇÖZÜLMESİ (OPTİMUM ÇÖZÜM) Farklı yöntemlerle çözülebilir Grafik çözüm (değişken sayısı 2 veya 3 olabilir) Simpleks çözüm Bilgisayar yazılımlarıyla

Detaylı

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):

Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre): DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir

Detaylı

Yöneylem Araştırması II

Yöneylem Araştırması II Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.

Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,

Detaylı

KISITLI OPTİMİZASYON

KISITLI OPTİMİZASYON KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.

Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir. LİNEER PROGRAMLAMA Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI

Detaylı

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.

İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli

Detaylı

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or

Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3

Detaylı

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ

SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2

Detaylı

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1

Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İşletme Bölümü Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması BWL315 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta)

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

ÜRETİM VE MALİYETLER

ÜRETİM VE MALİYETLER ÜRETİM VE MALİYETLER FİRMALARIN TEMEL AMACI Mal ve hizmet üretimi firmalar tarafından gerçekleştirilir. Ekonomi teorisine göre, firmaların mal ve hizmet üretimindeki temel amacı kar maksimizasyonu (en

Detaylı

ATAMA (TAHSİS) MODELİ

ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ ATAMA (TAHSİS) MODELİ Doğrusal programlamada kullanılan bir başka hesaplama yöntemidir. Atama problemleri, doğrusal programlama (simpleks yöntem) veya transport probleminin çözüm

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

II DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

II DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1. Bir ayakkabı üretim firması 2 tür (kadın ve erkek) ayakkabı üretmektedir. Her bir ayakkabının üretim maliyeti sırasıyla 10 pb. ve 7 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; toplam olarak haftada

Detaylı

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10

Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10 Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,

Detaylı

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER

KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I İST205U KISA ÖZET DİKKAT Burada ilk 4 sahife gösterilmektedir. Özetin tamamı için sipariş veriniz www.kolayaof.com 1 1.ÜNİTE Yöneylem Araştırmasına Giriş GİRİŞ Yöneylem Araştırması

Detaylı

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/

Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/ Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her

Detaylı

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri

Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri 3.2.4. Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri Duyarlılık analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir

Detaylı

Yöneylem Araştırması III

Yöneylem Araştırması III Yöneylem Araştırması III Doç. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III 1 BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması WNG301 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta) (saat/hafta) (saat/hafta) 6 2 2 0 Ön Koşullar

Detaylı

Yöneylem Araştırması

Yöneylem Araştırması Yöneylem Araştırması Çok sayıda teknik ve bilimsel yaklaşımı içeren Yöneylem Araştırması, genellikle kıt kaynakların paylaşımının söz konusu olduğu sistemlerin en iyi şekilde tasarlanması ve işletilmesine

Detaylı

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Sistem Aralarında ilişki veya bağımlılık bulunan elemanlardan oluşan bir yapı veya organik bütündür. Bir sistem alt sistemlerden oluşmuştur.

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 7 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ

BÖLÜM I: Hedef Programlama. Prof.Dr. Bilal TOKLU. HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ HEDEF PROGRAMLAMA MODELLERİNİN ÇÖZÜMÜ Yöneylem Araştırması III Prof.Dr. Bilal TOKLU btoklu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA HEDEF

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

Stok Kontrol. Ders 6. Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu. Önceki Derslerin Hatırlatması

Stok Kontrol. Ders 6. Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu. Önceki Derslerin Hatırlatması Stok Kontrol Ders 6 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Önceki Derslerin Hatırlatması Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 5 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit oranlı, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Altın Oran (Golden Section Search) Arama Metodu Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XX, S.1, 2007 Eng&Arch.Fac. Eskişehir Osmangazi University, Vol..XX, No:1, 2007 Makalenin Geliş Tarihi : 17.02.2006 Makalenin Kabul Tarihi : 16.11.2006

Detaylı

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi

Detaylı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı

4.1. Gölge Fiyat Kavramı 4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35 I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/71 İçerik n Bulunması Kuzey-Batı Köşe Yöntemi En Küçük Maliyetli Göze Yöntemi Sıra / Sütun En Küçüğü Yöntemi Vogel Yaklaşım Metodu (VAM) Optimum Çözümün Bulunması Atlama Taşı

Detaylı

TAMSAYILI PROGRAMLAMA

TAMSAYILI PROGRAMLAMA TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/36 İçerik Optimalliği etkileyen değişimler 2/36 (Optimallik Sonrası Analiz): Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.

Detaylı

Tarım Ekonomisi ve İşletmeciliği

Tarım Ekonomisi ve İşletmeciliği Tarım Ekonomisi ve İşletmeciliği Doç.Dr.Tufan BAL GİRİŞ Not: Bu sunuların hazırlanmasında büyük oranda Prof.Dr.İ.Hakkı İnan ın Tarım Ekonomisi ve İşletmeciliği Kitabından Faydalanılmıştır. 2 Ekonominin

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI HEDEFLER İÇİNDEKİLER LOGARİTMİK VE ÜSTEL FONKSİYONLARIN İKTİSADİ UYGULAMALARI Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların İktisadi Uygulamaları Bileşik Faiz Problemleri Nüfus Problemleri MATEMATİK-1 ProfDrAbdullah

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin

Detaylı

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması İNŞAAT PROJELERİNİN PROGRAMLAMA, TASARIM VE YAPIM SÜRECİNDE OPTİMİZASYON Doğrusal Optimizasyon Optimizasyon Kuramı (Eniyileme Süreci) Doğrusal Olmayan Optimizasyon Optimizasyon en iyi çözümü bulma sürecidir.

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Ekonometri. yöneylem araştırması ile ilgili temel kavramları öğrenebilecekler. bazı yöneylem araştırması tekniklerini uygulamayı öğrenebilecekler.

Ekonometri. yöneylem araştırması ile ilgili temel kavramları öğrenebilecekler. bazı yöneylem araştırması tekniklerini uygulamayı öğrenebilecekler. Ekonometri Amaç: Öğrencilere gerçek yaşam problemlerini modelleme ve rasyonel ve optimal çözüm metotları sunmaktır. Dersin sonunda öğrenciler problemleri anlama, modelleme, temel algoritmalarla çözme ve

Detaylı

İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İTÜ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-I DERS NOTLARI Doç. Dr. Demet BAYRAKTAR Yard. Doç. Dr. Ferhan ÇEBİ Eylül 2003-Istanbul 1. KARAR VERMEDE YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI 1.1.

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

Öğr. Gör. Barış Alpaslan

Öğr. Gör. Barış Alpaslan Dersin Adı DERS ÖĞRETİM PLANI Matematik I Dersin Kodu ECO 05/04 Dersin Türü (Zorunlu, Seçmeli) Dersin Seviyesi (Ön Lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Dersin AKTS Kredisi 5 Haftalık Ders Saati 3 Haftalık

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ. Kısıtsız Optimizasyon OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ Kısıtsız Optimizasyon Giriş Klasik optimizasyon yöntemleri minimum veya maksimum değerlerini bulmak için türev gerektiren ve gerektirmeyen teknikler olarak bilinirler. Bu yöntemler

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ İŞ ETÜDÜ & ERGONOMİ Yrd.Doç.Dr.Tarık Küçükdeniz Bölüm 2: Verimlilik Verimlilik 1 Bölüme Giriş İş etüdü ile ilgili tekniklere

Detaylı

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama 97 Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama Bahman Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmanın amacı, günümüzde rekabet ortamında karar verme durumunda olan sistemlerin araştırılmasıdır. Bu amaçla verileri

Detaylı

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez

Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen

Detaylı

TARIM EKONOMİSİ. Prof. Dr. Göksel Armağan 2017

TARIM EKONOMİSİ. Prof. Dr. Göksel Armağan  2017 TARIM EKONOMİSİ Prof. Dr. Göksel Armağan garmagan@adu.edu.tr www.gokselarmagan.com 2017 İçindekiler 1. Tarım Ekonomisinin ve Tarımın Tanımı 2. Tarımın Türkiye Ekonomisine Katkısı 3. Tarımsal Üretim Ekonomisi

Detaylı

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006

ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006 ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X

Detaylı

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI

İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI 2014 İŞLETME VE ORGANİZASYON STAJI UYGULAMA ESASLARI Açıklama Staj yapılan işletmelerde

Detaylı

Endüstri Mühendisliğine Giriş

Endüstri Mühendisliğine Giriş Endüstri Mühendisliğine Giriş 5 ve 19 Aralık 2012, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye. Yard. Doç. Dr. Kamil Erkan Kabak Endüstri Mühendisliği Bölümü,, Şişli-Ayazağa, İstanbul, Türkiye erkankabak@beykent.edu.tr

Detaylı

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1...

Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1... 114 Bölüm 12 Ders 12 Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri 12.1 Alıştırmalar 12 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1.... 1. Aşağıdaki problemlerde; (i) Aylak, artık ve yapay değişkenleri

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah MADEN İÇİNDEKİLER HEDEFLER DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah MADEN İÇİNDEKİLER HEDEFLER DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI HEDEFLER İÇİNDEKİLER DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİK UYGULAMALARI Denklem Uygulamaları Sayı Problemleri Kar-Zarar ve Yüzde Hesapları Eşitsizlik Uygulamaları Mutlak Değerli Eşitsizlikler MATEMATİK-1 Prof.Dr.Abdullah

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ. Dr. Osman Orkan Özer

TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ. Dr. Osman Orkan Özer TARIM EKONOMİSİ ve İŞLETMECİLİĞİ Dr. Osman Orkan Özer osman.ozer@adu.edu.tr Ders İçeriği 1. Tarım Ekonomisinin Kapsamı 2. Tarımın Türkiye Ekonomisine Katkısı 3. Tarımsal Üretim Ekonomisi (3. ve 4. hafta)

Detaylı

Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making

Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet Analysis, and Communication for Decision Making YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (Ders Akış Programı) Ders Sorumlusu : Y.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ, İletişim Bilgileri : 595 13 37, e-posta: fgokgoz@politics.ankara.edu.tr tr Applied Management Science: Modeling, Spreadsheet

Detaylı

BÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok

BÖLÜM III: Şebeke Modelleri. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Şebeke Kavramları. Yönlü Şebeke (Directed Network) Dal / ok 8.0.0 Şebeke Kavramları BÖLÜM III: Şebeke Modelleri Şebeke (Network) Sonlu sayıdaki düğümler kümesiyle, bunlarla bağlantılı oklar (veya dallar) kümesinin oluşturduğu yapı şeklinde tanımlanabilir ve (N,A)

Detaylı

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I ENM-11 /1 +0 Dersin Dili Dersin Seviyesi

Detaylı

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir.

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir. MODELLEME MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi

Detaylı

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder.

B: Bu şekildeki her bir nokta dikdörtgenin noktalarını temsil eder. 2. ÇOK KATLI İNTEGRALLER, DİFERENSİYEL DENKLEMLERE GİRİŞ 2.1. Çok Katlı İntegraller 2.1.1. İki Katlı İntegraller Fonksiyonu bir B bölgesinde sınırlı yani için olsun. B bölgesi alt bölgelere ayrılırsa;

Detaylı