PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2016 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 06 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

2 Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya başladı. Şu ada ekkler oldukça fazla olmaıa rağme yayılamaı daha uygu olacağı kaaatdeym. Şmdlk brçok ekkler bulumaktadır. İşaallah gelecek yıllarda daha düzgü hâle getrlecektr. Alıda İglzce kayaklarda Otomatk Kotrol le lgl çok daha geş ve ayrıtılı açıklamalar bulumaıa rağme, Türkçe kayaklarda fazla olmadığıda dolayı bu kıma ağırlık verlecektr. Çözümler yer geldğde Smülayo programları le de göterlecektr. Der otlarıda Türkçe ble tüm öğrecler paraız olarak faydalaablme ç PDF formatı terch edld. Böylece öğrecler derte ayı şeyler yazmak yere, zamalarıı alamaya ayırmaı ve daha başarılı olmaı arzu edld. Der otları lk defa yazılmaya başladığı ç hataları olacaktır. Fakat der eaıda ve zamala bu hatalar e az hale getrlecektr. Bu zamaa kadar öğreclere hçbr şey vermemektee hatalı da ola yayılamaı daha faydalı olacağı kaaatdeym. Notları geşletlmee mümkü olduğuca devam edlecektr. Ya zama geçtkçe daha düzgü ve hataız hale getrlecektr. Ayrıca ye bölümler de ekleecektr (Modelca kökel (MapleSm, Dymola, Matlab\Smulk ) gb program örekler ). Der otlarıda görüle hataları tarafıma bldrlme be daha da memu eder. Böylece daha düzgü hale gelecektr. İşâallah laveler yapıldıkça ye hâlyle tekrar web ayfaıda tekrar yayılamaya devam edecektr. Doç.Dr. Zekerya Grg Ekm 06 Pamukkale Üverte Mühedlk Fakülte Make Mühedlğ Bölümü Kııklı Kampüü 0070 Dezl, Türkye Web page: İa, p boğazıa arılıp, tedğ yerde otlamak ç başıboş bırakılmamıştır; belk bütü ameller ûretler alııp yazılır ve bütü fller etceler muhaebe ç zabtedlr. Ahrette e kurtaracak br eer olmadığı takdrde, fâ düyada bıraktığı eerlere de kıymet verme

3 İçdekler Ööz... GİRİŞ Kotrol Stemler:... 5 Blok Dyagramı:... 5 Toplama Noktaı (Summg Pot):... 6 Dağılma Noktaı (Takeoff Pot): Uygulama : Uygulama : Uygulama : Uygulama : Uygulama : Uygulama : Uygulama : Uygulama :.... Laplace Döüşümler... A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu..... Laplace Döüşüm Tablou Laplace Döüşüm Özellkler... 4 A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar... 6 İşaret Akış Grafğ Cebr... 7 Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm... 8 İşaret Akış Deklem Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama... 48

4 5. Kararlılık Krterler Routh Krter Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Hurwtz Krter Uygulama Uygulama Uygulama Uygulama Sürekl Bölme Krter Uygulama Uygulama Uygulama Kotrol Elemaları... 6 İk koumlu veya Açık-Kapalı Kotrol Elemaı (Two-poto or o-off Cotroller) Oratı Kotrol Elemaı (Proportoal Cotroller) İtegral Kotrol Elemaı (Itegral Cotroller) Oratı + İtegral Elemaı (PI) (Proportoal+Itegral Cotroller) Oratı+Dferayel Kotrol Elemaı (PD) (Proportoal + Dfferetal Cotroller) Oratı+Itegral+Dferayel Kotrol Elemaı ( PID = Proportoal+Itegral Dfferetal Coroller) Ked Kede Kotrol Ede Stemler Hdrolk Kotrol Elemaları Hdrolk İtegral Elemaı Hdrolk Oratı Elemaı Amortörler Hdrolk Oratı + İtegral Elemaı Hdrolk Oratı + Dferayel Elemaı... 7 Hdrolk Oratı + Itegral + Dferayel Elemaı

5 Uygulamalar: Uygulama : Uygulama : Uygulama : Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme Mal Mal Mal Zama Cevabı (Tme Repoe)... 8 Brc Mertebede Stemler (Frt Order Sytem) Mal : İkc Mertebede Stemler (Secod Order Sytem) Root Locu Metodu (The Root-Locu Method) Negatf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Mal: Poztf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mal:... 3 Kutup lave (Addto of Pole to G() H())... 5 Sıfır lave (Addto of Zero to G() H())... 5 Root-Locu le Dzay (Steme kutup ve ıfır ekleme etkler) Root-Locu le Lead Kompazayo (Lead Compeato wth Root-Locu method) Root-Locu le Lag Kompazayo (Lag Compeato wth Root-Locu method) Root-Locu le PD(Oratı+Itegral) Kotrol (PD Cotroller ug Root-Locu method) 36. Durum Uzay Metotları (State-Space Method) Durum Deklem Traformayou (Traformg the State Equato) Drekt Programlama... 4 Paralel Programlama

6 Ser Programlama Geel Programlama Uygulama Uygulama Uygulama Freka Tepk Aalz (Frequecy Repoe Aaly) Bode Grafğ (Bode Dagram) Matlab Cotrol Sytem Toolbox Model bağlatıları (Model Itercoecto) feedback parallel ere GİRİŞ Otomatk kotrol uygulamaı gülük hayatımızda ıkça kullaılmaktadır. Temel olarak kapalı devre (ger belemel) ve açık olmak üzere k kıma ayrılablr. Burada yalızca ger belemel kotrol temler celeecektr. Ayrıca kotrol elemalarıı malzemee bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür. Hdrolk, mekak, pömatk, elektrok veya bleşeler şeklde olablr. Ayrıca kotrol elemalarıı göterdkler davraışa bağlı olarak da ııfladırmak mümküdür ( Oratı(P), Itegral(I), v. şeklde). Br Kotrol devre aalz veya etez edleblme ç;. Fzkel tem matematkel model elde edlr.. Gerekl bağıtılar yazılır. 3. Stem Blok dyagramı çzlr. 4. Daha bat göterm ç, blok dyagramıda şaret akış grafğ çzlr. 5. Elde edle şaret akış grafğde tem trafer fokyoları veya kararlı olup olmadığı veya kararlı olmaı ç hag aralıklarda olmaı gerektğ gb heaplamalar elde edlr. İlerde bular detaylarıyla celeecektr. Kotrol Stemler: Kotrol tem alaşılablme açııda aşağıdak temel taımlamaları blme gerekldr. Blok Dyagramı: Fzkel br tem grş ve çıkışları araıdak, ebep ouç lşkler remle (çzm) alatılış şekle der. Blok dyagramıı oluştura parçalara e, elema der. Blok dyagramıı e bat şekl; tek blok ve br grş çıkışta oluşur (bakıız şekl:.). Grş Blok Çıkış x d y = dx dt dt GrşBlok Çıkış (.) Dkdörtge ç, bloğu taımlar ve geellkle elemaı tp veya matematkel br şlem taımı çe yazılır. Blokta kullaıla oklar şlem akış yöüü belrler. 5

7 Toplama Noktaı (Summg Pot): Blok küçük br dare şeklde olduğuda bua toplama oktaı der. Toplama oktaıa gele oklarda artı(+) veya ek(-) şaret bulumalıdır. Toplama oktaıa gele grş ayıı br veya daha fazla olduğu halde çıkış adece br taedr ve çıkışa şaret koulmaz. z x x + y x x - y x x - y - z y y y Dağılma Noktaı (Takeoff Pot): Gele br yal, brde fazla kola çıkışıı götermek ç dağılma oktaı kullaılır ve okta () le göterlr. Grş br tae olduğu halde çıkış k veya daha fazladır. Bütü çıkış kollarıdak değerler grş le ayıdır. Öreğ br a e ştlmede br le b brdr veya evlerdek elektrk 0V le eve gelr. Ba çerde brçok dala (kola) ayrıldığı halde bütü dallardak (kollardak) voltaj ye 0V tur. x Dağılma oktaı x x x x x Dağılma oktaı Gerçek hayatta karşılaşıla problemler kotrol temlerde aıl fade edldğ aşağıdak uygulamalarda göterlmştr. Uygulama : Aşağıdak şeklde egatf ger belemel kotrol tem verlmektedr. Taktak u evye yükeldğde, yüzer top yükelmekte ve dolayııyla palagaya bağlı ola halat ayede u grş egelleye kapak aşağı mektedr. Su evye azaldığı takdrde kapak ger açılmakta ve u grş erbet bırakmaktadır. x kapak makara halat u Şamadıra kap u vaa 6

8 Bu teme at blok dyagramı aşağıda verlmştr. Uygulama : Aşağıda verle deklemler blok dyagramlarıı çzz. a) x dx a dt Çözüm: a ) d x dx b) x x dt dt 3 c) x x dt 4 3 veya veya b ) 7

9 Kotrol elemaları er olarak bağladığı takdrde brleştrleblr. Ayı örek; şeklde de olablr. c ) Uygulama : Aşağıda verle ervo mekazmaı fokyou uyu açmak ve kapamaktır. Stem grşdek döer tpl voltmetre, karşııdak Batarya voltaj kayağıa bağlıdır. Voltmetre hareket edeble üçücü ucu, açıal koumla kalbre edlmştr. Çıkış ucu e, hız yükeltc (ervo amplfer) dye adladırıla termale elektrkle bağlamıştır.hız yükeltc, hızı değşeble elektrk motoruu (ervomotor)çalışmaı ç gerekl ola voltajı deteklemektedr. Servomotor e mekak br kolla u valfıa bağlıdır. Ya motoru dömeyle, u valfı açılmakta veya kapamaktadır.valfı yük etk hmal edlmektedr. Motor ml 360 dömeyle, valf tamame açılmaktadır. Ayrıca, kc voltmetre (ger beleme voltmetre) hareket edeble kc ucu paralel olarak ve abt şeklde grş voltmetree bağlıdır. Bell br açı mktarı kadar grş dödürüldüğüde,aradak fark ervo amplfer le yükeltlerek motora letlr. Motor dömeye başlar. Fakat motorda alıa dğer br uç ger beleme voltmetree verldğde buda aradak farkı düşürür. Ya motor tele kouma geldğde voltaj farkı ıfır olduğu ç motor durur. Verle açı ter yöe alııra motor ter yöde dömeye başlar ve ye belrlee kouma gelce durur. Bu tem Blok dyagramı şematk olarak aşağıdak gb çzleblr. Şeklde görüldüğü gb grş (put) ve ger beleme (feedback) voltmetre voltajları ayı olduğuda tem hareketzdr. Buradak kütleler etkde dolayı gerçekte tem heme durmaz, alıım yaparak durur. 8

10 Uygulama : Aşağıda şematk olarak verle, bat br hız kotrol tem (velocty ervomecham) blok dyagramıı çzz. Döer tpl voltmetre vardır ve rad/ cde kalbre edlmştr. (Motor mlde herhag br dış yük yok.) batarya voltaj kayağı, hem grş voltmetre hem de motoru dödürmektedr. Bataryada alıa voltaj grş voltmetree bağlı olduğuda rad/ cde verle büyüklüğü br ucu drek olarak yükeltcye, dğer ucu e takometreye bağlıdır. Uygulama : Fotoell ışık açma-kapama düğmeyle çalışa br lambaı odaı karalığıa bağlı olarak çalışmaı ç, bu tem blok dyagramıı çzz. Çözüm : Odadak ışık yoğuluğu fotoel çalışmaı ç gerekl yoğulukta daha fazla veya oa eşt olmalıdır. Fotoel ve lamba kotrol elemalarıdır. Kotrol yal odayı aydılata ışık 9

11 yoğuluğudur. Bu da güeş ve lambada gele ışıkla oluşmaktadır. E az mktardak ışık yoğuluğu r, lamba tek başıa açıkke (güeş ışığı yok) elde edle ışık yoğuluğua eşttr. Uygulama : Br aı elyle br eeye ulaşmaı ç yaptığı davraışı blok dyagramıı şematk olarak çzz. Çözüm: Bu kotrol tem temel elemaları; bey(bra), kol(arm),el(had) ve gözlerdr(eye). Grş(Iput);ee koumudur. Çıkış(Output); el koumudur. Aşağıdak şeklde verle kek çzgler ve oklar; blg akışıı yöüü götermektedr. Gözler a el le ee araıdak farkı fark eder ve beye letr. Bey bua göre koldak rler uyararak harekete geçrr. El bua göre hareket ederke, göz ürekl olarak ee le el araıdak farkı algılar ve el eeye gerektğ kadar yaklaştığıda bey, el parmaklarıı uyararak cm tutmaıı ağlar. Cm tutulurke parmak uçları eor(algılayıcı) vazfe görür. Uygulama : İa yürüme tem blok dyagramıı çzz. Çözüm: İtele hareket yöü (dered walk drecto) grştr. Gerçekleşe hareket yöü (Actual work drecto) çıkıştır. Gözler(eye) aradak farkı görür ve beye bldrr. Bey de bu farka bağlı olarak bacaklara ve ayaklara uyarı gödererek oları yöledrr.bu arada göz hep ölçmeye devam eder. Hata payı olmadığı takdrde bacaklar ve ayaklar ayı şeklde devam eder. Eğer a alkollü olduğu takdrde toplama oktaıdak fark ölçülemeyeceğ ç (gerçekleşe yö le tele hareket yöü araıdak fark ), büyük hatalar meydaa gelr. 0

12 Uygulama : Sıcaklığıı otomatk olarak ayarlayıp belrl evyede tuta elektrkl fırıı çalışmaıyla lgl blok dyagramıı çzz. Çözüm : Bzm ayarladığımız ıcak değer grştr. Fırıı(Ove) gerçek ıcaklığı e çıkıştır. Fırıı ıcaklığı, ayarlaa(refera) değerde küçük olduğu takdrde, termotat elektrk düğme(wtch) açar ve ııtıcı(heater), (rezta) çalışmaya başlar. Iıtıcı çalışıca, fırıı ıcaklığı artar ve tele değer aşıca, termotat elektrk düğme kapar ve fırıı ıcaklık yükelme durdurulmuş olur. Stemdek çıkış herhag br şeklde grş etklemyora açık devrel kotrol tem, etklyora kapalı devrel (ger belemel) kotrol tem olarak adladırılır. Ger belemel kotrol devreler, ked araıda, poztf veya egatf ger belemel olmak üzere k kıma ayrılır. Stemde meydaa gele hata mktarı düzeltlmeye çalışılıyora egatf ger belemel, artırılmaya çalışılıyora poztf ger belemel olarak adladırılır. Yukarıdak elektrkl fırı veya u takıı çalışma preb, egatf ger belemeye örektr. Grşte başlayıp çıkışa doğru gde yol üzerde bulua elemalara, ler yol kotrol elemaı, çıkışta başlayıp grşe doğru bağlaa yol üzerde bulua elemalara da ger yol elemaı der. Laplace Döüşümler Başlagıç şartları ble dferayel deklemlere Laplace Döüşümler uygulaablr. Buu ç dferayel deklem kım açılımı le lgl aşağıdak blgler kullamak yararlıdır. TF B (.) A şeklde br eştlk verlmş olu ve B () polomuu derece, A () polomuda küçük olu. Bu durumda F(); TF F F F (.) olur. A () polomuda kökler gerçel ve brbrde farklı veya tekrarlamalı kök olmaı durumuda katayıları heabı değşr. Verle dferayel deklem mümkü olduğuca açık hale getrlme şarttır. Buu ç aşağıdak yötemler uygulaablr. şeklde verle dferayel deklemde; a0, a,..., am be b0, b,..., b- abtlerdr. a D a D a D a y(t) m m m m 0 D b D bd b0 f(t) tem zorlaya fokyou götermektedr. y(t) e çıkış fokyoudur. Deklem (.3) aşağıdak bçmde kıa olarak göterleblr. y t L D D f t (.3) m f t (.4) L

13 Deklem (.4) de L(D) çarpalarıa ayrıldığıda; olur. r,r,,r paydaı köklerdr. r r r olduğu takdrde; elde edlr. Burada; olduğu görülmektedr. Veya, y( t) y ( t) y ( t) c homoje çözüm L D D r D r D r (.5) Lm D a a a a L D Dr Dr Dr D r Lm D Dr Dr Dr Dr K K K K L D Dr Dr Dr p kım çözüm D Lm a lm D r Dr L D a a K y(t) f t f t f t Dr Dr Dr a y(t) f(t) Ky t Dr y t f(t) D r r t r t r t (.6) (.7) (.8) (.9) (.0) (.) y (t) c e e f(t) e dt (.) rt rt rt y(t) k e Ke f(t)e dt (.3) olduğuda; rt y c(t) ke (.4) k c K dr. rt rt y p(t) Ke f(t)e dt (.5) A () de Farklı Kökler Olmaı Durumu m B K z z z TF, m A p p p (.6)

14 Deklemde geçe p, p,... p ve z, z,... zm gerçek veya karmaşık büyüklüklerdr. Aşağıda gerçek büyüklük ç celemştr. a : F abt değerlerdr. ( =,,..., ) B a a a A p p p B a p A p Deklem (.8) le verle a değerler daha geel olarak; Laplace Döüşüm Tablou F() f(t) t>0 B a lm p p A (Brm mpule (çarpma)) t veya u t,,3,... ( a) (Brm baamak) (Brm rampa) t at e 0!!! a a a a t co t e e at at t at t e t co t at a a e veya ut,,3,... (.7) (.8) (.9) 3

15 a a Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg a at e at at at e ate a b e e a at bt ba a b ae be ab at bt a b c b ac a c ba b a cb c z a b c ab b ab b e e e at bt ct at bt ct z a e z b e z c e b a c a c b a b a c b c F f(0) f (0) ft abt e t b a abt e t b a co a b b Laplace Döüşüm Özellkler Af ( t) AF( ) x x f ( t) f ( t) F ( ) F ( ) d 3 x f ( t ) F ( ) f dt (0 ) d 4 x f ( t ) F ( ) f (0 ) f (0 ) dt 5 x ( k) ( k ) k k d ( ) ( ) (0 ) f t F f dt k d f( t) f( t) olmak üzere k dt 6 x F ( ) f( t) dt f( t) dt t0 F ( ) k k k t0 7 x... f( t) dt... f( t) dt 4

16 8 x F () f() t dt 0 t 9 f( t) dt lm F( ) ; eğer f( t) dt mevcut e at 0 x e f( t) F( a ) f( t a)( t a) e a F( ) a 0 x t f () t x df() d 3 d x t f( t) F( ) d 4 d x t f( t) ( ) F( ) d,,3,... 5 x f( t) F( ) d eğer lm f( t) mevcute; t t 6 x t f af( a) a 7 x 8 x f ( t ) f d F ( ) F ( ) t 0 c j f( t) g( t) F( p) G( p) dp j c j t0 Uygulama.: F 5 8 deklem ter laplace ıı heaplayıız a a F() 3 (8) umaralı deklem uygulamaıyla; a a olur. Dğer katayı ç, a 3 olur. Deklem (.0) de yere yazıldığıda; 3 F() elde edlr. Bu değerler, Laplace tablou yardımıyla döüştürüldüğüde; (.0) (.) 5

17 deklem elde edlr. Uygulama.: Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 F( ), f( t)? 3 a a F () a 3 3 a lm a bulua değerler Deklem () de yere yazıldığıda; F () f t e e t olur t t ( ), 0. Maple dldek çözümü; elde edlr ve burada; vlaplace((+3)/((+)*(+)),,t); Cevap: exp(-t) - exp(- t) şekldedr. Uygulama.3: t t f(t) e 3e (0 t) (.) 6 veya F() f(t)? 5 Paydaı kökler aaldır ve aşağıdak bçmde ayrılır. 5 j j (.3) (.4) (.5) Kökler aal olduğuda ü ve coü döüşümler uygulaır. Döüşümler aşağıdak deklemler yardımıyla yapılır. veya; at x e t x e cot a a at a 0 F() 5 0 F() (.6) (.7) (.8) (.9)

18 olarak elde edlr. Deklem (.6) ve (.7) dek döüşümler yardımıyla; F( ) 5L ( ) 5 t t f t e t e cot t 0 oucu elde edlr. Maple dldek çözümü; vlaplace((*+)/(**+*+5),,t); Cevap: exp(-t) co( t) + 5 exp(-t) ( t) şekldedr. A () de Kökler Tekrarlamaı Durumu Kökler Tekrarlamaı Durumuda; LD m y( t) f( t) LD bq lm Dr Dr q ve ( )... q q L D D r D r D r D r le taımlı olu L m (D) L (D), b D lm Dr q d q L m (D) Dr! dd L (D), b D lm Dr cf(t) y (t), y (t) c0 ct... c t e ce... f(t)e (dt),,3,,q D r rt rt rt qk k d q L m (D) k Drk! dd L (D) şekldedr. Uygulama.4: B( ) 3 b3 b b F () A( ) B( ) 3 3 ( ) 3 b3 3 0! A ( ) d 3 3 d b 3 0 3! d! d d 3 B( ) b! d A( ) ( ) t t f t t e 0 e t 0 F () 3 f ( t) t e, t 0 oucu elde edlr. Uygulama.5: Aşağıda verle dferayel deklem Laplace metoduyla çözüüz. t D D y t f t, f ( t) e ve y(0) y(0) y (0) 0 olarak verlyor. D 3 4D 5D y t f ( t ) Y y y y Y y y Y y Y F Y F Y F 7

19 F() Y Y x f t Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg t x e 3 b b b a b3 lm 3 d b lm d d b lm 3! d Y 3 a 3 Laplace tabloudak; x -! at te ( a ) fade kullaılarak;!! t t t t y t t e te e e elde edlr. Maple dldek çözümü: dolve({(d@@3)(y)(t)+4*(d@@)(y)(t)+5*d(y)(t)+*y(t)=exp(- t),y(0)=0,(d@@)(y)(0)=0,(d@@)(y)(0)=0},y(t)); Cevap: y(t) = exp(-t) + / t exp(-t) - exp(-t) t - exp(- t) şekldedr. Uygulama.6: Aşağıda verle dfeayel deklemde, bütü başlagıç şartları ıfırdır ve f( t ) = 4t olduğua göre, çıkış fokyouu heaplayıız. D 3D yt f t y t f ( t ) f ( t ) D 3D DD a a y( t) f( t) D D a lm D lm D D D D D 8

20 a lm D lm D D D D D Deklem (4) de yere yazıldığıda; y a e a e a e a e olur. rt rt t t c a = ve a = - ç kım çözüm elde edlr. y K e 4t e dt K e 4t e dt t t t t p t t t t t t t t y p e t e dt e t e dt e e t e e t y 4 t t t 3 elde edlr. p y t y ( t) y ( t ) olduğuda; c y( t) k e k e t 3 dy t t t t dt p t ke k e y 0 y 0 0 olduğuda; y(0) k k 3 0 y(0) k k 0 k 4 k olur. Deklem yere yazıldığıda; ( ) 4 t t y t e e t 3 elde edlr. Maple dlde ayı problem çözümü aşağıdak gbdr. dolve({dff(y(t),t$)+3*dff(y(t),t)+*y(t)=4*t,y(0)=0,(d@@)(y)(0)=0},y(t)); veya dolve({(d@@)(y)(t)+3*d(y)(t)+*y(t)=4*t,y(0)=0,d(y)(0)=0},y(t)); çözümü: y(t) = -3+*t-exp(-*t)+4*exp(-t) şekldedr. D 4 Uygulama.7: y( t) f( t) deklemde, ( D)( D3) f ( t) e t, y(0) 0, y (0) 0 ve 0 f(0) e olarak verldğe göre, y(t) =? ( D 5D 6) y( t) ( D 4) f ( t ) ( Y( ) y(0) y(0)) 5( Y( ) y(0)) 6 Y( ) ( F( ) f(0)) 4 F( ) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) f (0) ( 5 6) Y( ) ( 4) F( ) ( 4) F( ) Y () ( 56) Y () 4 ( ) ( )( 3) 6 Y () ( )( )( 3) a a a3 Y () 3 9

21 6 6 6 a lm ( ) 3 ( )( )( 3) ( )( 3) a lm ( ) 6 ( )( )( 3) ( )( 3) ( )( ) a3 lm ( 3) 3 3 ( )( )( 3) ( )( ) ( )( ) Y () 3 t t 3t y( t) 3e 6e 3e olduğu görülür. elde edlr. Laplace tablouda yararlaarak y(t) fokyouu; dy Uygulama.8: 4y 0 deklemde, y(0) = 3 olduğua göre y(t) =? dt ( D 4) y( t ) 0 Y( ) y(0) 4 Y( ) 0 ( 4) Y( ) y (0) 0 3 Y () 4 olarak elde edlr. Tablo yardımıyla; 4t y( t) 3e t 0 olarak heaplaır. Maple dldek çözümü; dolve({dff(y(t),t)+y(t)=0,y(0)=0},y(t)); Cevap: Uygulama.9: y(t) = 3*exp(-t) şekldedr. 33 F () ( )( )( 3) 3 3 a a a3 F () ( )( )( 3) 3 deklem verldğe göre, f(t) =? ( )( 3 3) a lm ( )( )( 3) ( )( 3) ()() a lm 5 ( )( 3) ( )() a3 lm 6 3 ( )( ) ( )( ) 5 6 F () olur F() ter laplace döüşümüyle; 3 t t 3t f ( t) e 5e 6e elde edlr. Ayrıca deklemde, çıkışı kararlıdır. Maple dldek çözümü; vlaplace((***+3*+3)/((+)*(+)*(+3)),,t); 0 t, ft ( ) 0 olduğuda fokyou

22 Cevap: Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg exp(-t) - 5 exp(- t) + 6 exp(-3 t) şekldedr. ( D 3D ) y( t) f ( t) Uygulama.0: edldğe göre y(t) =? Y( ) y(0) y(0) 3 Y( ) y(0) Y( ) F( ) 4t 4 alıdığıda (laplace tablouda); F ( ) 4 Y () ( )( ) ( )( ) b b a a Y () 4 lm ( )( ) b 0 deklemde, d 4 4(3) b lm lm 0 0 3! d ( )( ) ( 3 ) 4 a lm ( ) 4 ( )( ) f ( t) 4t 4 a lm ( ) olur. Elde edle katayılar yere yazıldığıda; ( )( ) 3 4 Y () ( ) 4 t t y t e e t 3 olduğu görülür. şekle gelr. Laplace tablouda faydalaarak; Blok dyagramı cebr ve blokları drgeme ve bütü başlagıç şartları ıfır kabul Trafer Fokyou(TF): Br kotrol temde bütü değerler, t uzayıda uzayıa döüştürüldüğüde, Çıkış/Grş oraıa tem trafer fokyou der. TF Output() Iput() Blok dyagramları çok karışık olduğu takdrde buları drgeme gerekr. İlk şlem t uzayıda uzayıa geçlr. İkc olarak tem br grş, br çıkış ve br elema hale getrlr. Bu durumda tem çıkış değer; Grş() x Kotrol elemaı()=çıkış(), elde edlr. Grş ve çıkışı ayı cte olmaı şart değldr. İdrgeme şlem 3 farklı şeklde yapılablr.. Tabloda yararlaarak drgeme,. Cebrel eştlklerde faydalaarak drgeme, 3. Kazaç Formülüü kullaarak drgeme. E pratk yol üçücüüdür. Bütü metotlar ıraıyla verlecektr. İlk metodu kullaılablme ç aşağıda verle tabloda yararlaılır. Aşağıda verle tabloda P harfler trafer fokyouu; W,X,Y, Z e uzayıdak yaller götermektedr. Cebrel eştlklerde yararlaarak yapıla çözümlerde, dağılma oktaı başlagıç (3.)

23 kabul edlr. Burada tbare döerek tekrar ayı yere varıldığıda deklem yazılmış olur. Stemde çok fazla dağılma oktaı ve dögü buluduğu zama, değşk harfler kullaılır. Bular ora temde yok edlr. Tablo 3.: Blok dyagramı le lgl eştlkler Traformayo Deklem Blok Dyagramı Eşdeğer Dyagramı Blok Ser haldek blokları toplamaı Paralel blokları toplamaı veya ler yolu yok edlme Y. P P X Y P. X P. X 3 İler yol üzerdek bloğu kaldırılmaı Y P. X P. X 4 Ger beleme dögüüü yok edlme Y P X P. Y 5 Ger beleme dögüüde bloğu kaldırılmaı Y P X P. Y 6a Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 6b Toplama oktaıı tekrar düzeleme Z W X Y 7 Br bloğu gerdek toplama oktaıı öe alımaı Z P. X Y

24 8 Br bloğu öüdek toplama oktaıı gerye alımaı Z P X Y 9 Br bloğu gerdek dağılma oktaıı öe alımaı Y P. X 0 Br bloğu öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Y P. X Toplama oktaıı gerdek dağılma oktaıı alımaı öe Z X Y Toplama oktaıı öüdek dağılma oktaıı gerye alımaı Z X Y Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metoduu kullaarak drgeyz. G4 X() G G G3 + - Y() H H Çözüm: Tablo 3. dek ve umaralı eştlkler kullaıldığıda; 3

25 X() G*G G3-G4 Y() H H olur. 4 o lu eştlkte faydalaıldığıda; X() + G G - G3 G4 G G H Y() H X() + G G G G G G H Y() H X() G G G G 3 4 G G H G G G G 3 4 H G G H Y() Uygulama 3.: Aşağıda verle blok dyagramıı tablo metodua göre drgeyz. 4

26 5

27 Uygulama 3.3: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. Uygulama 3.4: Aşağıda verle tem çıkışıı heaplayıız. İşaret Akış Grafkler: Taımlamalar Blok dyagramları, kotrol temler grafk götermde oldukça ık kullaılır. Kotrol tem damğ grafkel göterm dğer br metodu da şaret akış grafğdr. Bu grafğe S.J.Mao u adıa zafete Mao kazaç Formülü de der. 6

28 Karışık düğümler, hem gele hem gde kollar le bağlatılıdır. Kol: İk düğümü brbre bağlaya çzgye der. Kol Kazacı: Kol üzerde okla göterle değere der ve artı veya ek olablr. İler Yol: Ter yöe grmemek ve ayı düğümde k defa geçmemek kaydıyla, grşte başlayıp çıkışa gde yollara ler yol der İler Yol Kazacı: İler yol üzerdek geçşler çarpımıa eşttr. Dögü: br düğümde harekete başlayıp ayı düğüme, ter yöde gtmemek ve ayı yerde k defa geçmemek kaydıyla elde edle dögülere der. Dögü Kazacı: Br dögüü kollarıdak kazaçları çarpımıdır. Temaız Dögü: Brbr le ortak düğümü olmaya dögülere der. İşaret Akış Grafğ Cebr - Br dögüü değer, kede gele kolu geçş le doğruu çarpımıa eşttr. x ax (4.) - Ser bağlı kollarda toplam geçş, kollardak geçşler çarpımıa eşttr. 3- Paralel bağlı kollarda, geçşler toplaarak toplam geçş buluur. 7

29 4- Karışık düğümler, aşağıdak şeklde görüldüğü gb yok edleblrler. 5- Bezer bçmde br dögüde aşağıdak bçmde yok edleblr. x a b x bc x olur, veya 3 3 X ab X bc 3 elde edlr. Leer Stemler İşaret Akış Grafğ İle Göterm Aşağıda br leer tem öreğ verlmektedr. x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x b u 3 3 x a x a x a x (4.) Burada; u ve u grş değşkeler; x, x ve x3 çıkış değşkelerdr. İlk olarak ıra le x, x, x3 ç düğüm koulur. Daha ora deklemler bu düğümlere uygulaır. Her üç deklem ç ayrı ayrı bu şlem tamamlaır. Daha ora üper pozyo le brleştrlr. Aşağıdak şekllerde bu uygulama göterlmştr. 8

30 İşaret Akış Deklem İşaret Akış Deklem, blok dyagramlarıı trafer fokyolarıı çözümüde kullaıla br formüldür ve aşağıdak bçmde fade edlr. P =. ler yolu kazacı = Grafğ determatı P L L L L L L L L L L L L L j 3 TF (4.3) =. yolu devrede çıkarılmaıyla elde edle değer. L:. Dögüü kazacı. L Lj = Brbre tema etmeye dögüler kl çarpımları. ( L dögüü ortak oktaı bulumamalıdır.) j L çarpımıı olablme ç bu k L Lj Lk = Brbre tema etmeye dögüler üçlü çarpımlarıdır. Bu çarpımı yapılablme ç ortak düğümler olmamaı şarttır. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. 9

31 Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada üç adet dögü kazacı vardır. L GGH L G G3 H G G3H L3 GG G3 G G G 3 Stem determatı; L L L 3 GG H G G3H GGG 3 Stemde adece br adet ler yol mevcuttur. İler yol kazacı P; P GG G3 G G G 3 Formül teme uyguladığıda; C R P P TF 0 GG G3 TF GG H G G3H GG G3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. 30

32 Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Burada dört adet dögü kazacı vardır. L GG H3 G G3H 3 L G H G H L3 G H G H L4 G G3 H3 G G3H 3 Stemdek ler yolları kazaçları e; P G G G G P G G3 G G 3 P3 G G4 G G 4 Stem determatı; L L L L 3 4 G G3H3 GH GH GG3H 3 Formül teme uyguladığıda; P C P P P TF R

33 GG GG3 G G4 TF olarak elde edlr. G G3H3 G H G H G G3H3 Uygulama Aşağıdak lk üç şıkta verle deklemler şaret akış grafğ le elde edz. d ) şıkkıı verle ayılar ç çözüüz. a =, a = 4, a = -, a = 3, u = ç x ve x y buluuz. d d x x x x dt dt a) 3 b) x4 x3dt d x3 x x x dt dt c) d) x a x a x 4u x a x a x 4u d ) x x 4x 4u x x 3x 4u Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 3

34 p Dögü kazaçları; L =, L = 3, L3 = 4 (-) = -4 Determatı; L L L L L L 3 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF x TF. u u x 6 6 Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 p 4 4 Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. L 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 x 3u u x olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. x x 4x 4u x 4x 4 4=4 x x 3x 4u x x 4 4=4 II. Yol : Ayı deklemler daha ade halde yazarak bezer ouçları bulablrz. x 4x 4u ve x 0,5x u olarak yazılablr. Bu durumda şaret akış grafğ aşağıdak bçmde olur. Stem çözüm fokyou buluablme ç lk olarak x çıkışı ptal edlr. P P P TF... Steme at ler yol kazaçları; P 4 4 P 4 () 8 Dögü kazaçları; 33

35 L = 0.5 (-4) = - Determatı; Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg L olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr TF 3 3 x TF. u u x Buda ora x çıkışı ptal edlr. Steme at ler yol kazaçları; P p Dögü kazaçları ve determat değer yukarıda bulumuştur. 0 0 olarak yazılır ve bua göre çözüm fokyou aşağıdak bçmde elde edlr. 7 9 TF x 3u u x 3 olarak elde edlr. Elde edle ouçlar, verle deklemlerde yerleştrldğde eştlğ ağladığı görülür. Eştlğ ağlamaı, elde edle ouçları doğru olduğuu göterr. x x 4x 4u x 4x 4 4=4 x x 3x 4u x x 4 4=4 Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. 34

36 Stem üç adet dögü kazacı vardır. L G H G H L GH L3 H H3 H H 3 Stemdek ler yolları kazaçları; P GG G 3 P GG G4 G G G 4 Stem determatı; L L L L L 3 3 G HG H H H3 G HH H 3 Formül teme uyguladığıda; P C P P TF R L3 H H 3 L3 H H 3 TF GG G3 HH3 G GG4 HH3 G HG HHH3GHH H3 olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. 35

37 R + + H G5 H4 + + G G G L L L3 L4 H G4 H L5 L6 H5 C Çözüm: Stem dögü kazaçları; L G H G H, L G H, L H G4 G4 H L G4 H3 G4 H3, 4 Stemdek ler yolları kazaçları; L G3 H4, P G G G3, Stem determatı; 5 3 L G3 H5 G3H5 6 P G H G4 G3 G G3 G4H P G G5 G3 G G3 G5, L L3 L L4 L L5 L L6 L L4 L L5 L L L3 L4 L5 L6 L L6 L3 L5 L3 L6 L4 L5 L4 L6 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L3L4, L3 L4, 3 İşaret akış deklem teme uyguladığıda; TF 3 P C P P P R Olur. Yukarıda elde edle değerler, yere yazıldığıda, tem trafer fokyou heaplamış olur. Uygulama Verle kotrol tem çıkış değerler İşaret Akış Deklem metodua göre buluuz. C=? ; C=? 36

38 Bu tp brde fazla grş ve çıkış değerler ola temler çözümü yapılırke öce tem tek grş ve tek çıkışlı hale getrlp çözüm yapılır. Daha ora çıkış değerler toplaarak ouca ulaşılır. Çözümde zleme gerekl yol aşağıdak şekldedr. C C C C C C a ) R = R R = 0 C = C C = 0 C / R b ) R = 0 R = R C = C C = 0 C / R c ) R = R R = 0 C = 0 C = C C / R d ) R = 0 R = R C = 0 C = C C / R Yukarıdak şlem ıraları ıraıyla uyguladığıda; a ) İlk durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 37

39 Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) ( ) = G P = ( ) G ( ) ( - H ) ( ) = - G H Steme at dögüler; L = G ( G G3 G4 ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; L L = G G G3 G4 G H 0 0 Steme Mao Kazaç Formülü uyguladığıda; C P P TF R C G GH TF R G G G3G4 GH GG H C R GG G3G4 G H olarak elde edlr. b ) İkc durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. 38

40 Steme at ler yollar; P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = - G G3 G4 P = ( ) ( ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = G G3 G4 H P3 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( ) = A G G3 G4 P4 = ( ) ( -A ) ( -G4 G3 ) G ( ) ( -H ) ( ) = -A G G3 G4 H Steme at dögüler; L = ( -G4 G3 ) ( G ) ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P TF R C G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H TF R GG G3G4 GH G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H C R G G G3G4 G H olarak elde edlr. c ) Üçücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 39

41 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( -G G4 ) ( ) = -G G G4 Steme at dögüler; L = G ( ) H = G H L = G ( -G G4 ) ( -G3 ) = G G G3 G4 Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = 0 = Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P TF R C G GG4 TF R G G G3G4 GH GG G4 C R GG G3G4 GH olarak elde edlr. d ) Dördücü durum teme uyguladığıda blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 40

42 Elde edle blok dyagramıı, şaret akış grafğ e aşağıdak bçmdedr. Steme at ler yollar; P = ( ) G4 ( ) = G4 P = ( -A ) G4 ( ) = -A G4 Steme at dögüler; L = G4 ( -G3 ) G ( -G ) = G G G3 G4 L = G ( ) H = G H Stem determatı; = ( L + L ) = G G G3 G4 G H = L = - G H = L = - G H Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P TF R C G4 G H AG4 GH TF R GG G3G4 GH G4 GG4 H A G4 A GG4 H C R G G G3G4 GH olarak elde edlr. Elde edle ouçlar aşağıdak bçmde brleştrllerek çıkış değerler buluablr. 4

43 C = C + C C = C + C C C Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg G G H R G G3 G4 G G3 G4 H A G G3 G4 A G G3 G4 H R GG G3G4 GH GG G4 R G4 GG4 H AG4 AGG4 H R G GG3G4 GH Uygulama Şeklde verle blok dyagramıı trafer fokyouu şaret akış grafğ le heaplayıız. Verle tem şaret akış grafğ aşağıdak bçmde çzlr. Steme at ler yollar; P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( ) = G G G3 G4 P = ( ) G ( ) G G3 G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G G3 G4 P3 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( ) = - G G G4 H P4 = ( ) G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( ) ( - ) ( ) = G G G4 H P5 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( ) = G G4 P6 = ( ) G ( ) G4 ( ) ( - ) ( ) = - G G4 Steme at dögüler; L = G ( - ) = - G L = G ( ) ( - H3 ) = - G H3 L3 = G4 ( ) ( ) ( - ) = - G4 L4 = G ( ) G G3 G4 ( - H ) = - G G G3 G4 H L5 = G ( ) G ( ) H ( - ) G4 ( - H ) = G G G4 H H L6 = G ( ) G4 ( - H ) = - G G4 H 4

44 Stem determatı; Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg = ( L + L + L3 + L4 +L5 + L6 ) + ( L L + L L3 +L L3 +L L6 ) - ( L L L3 ) = + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 = 0 = = 0 = 3 = 0 = 4 = 0 = 5 = L = + G H3 6 = L = + G H3 Steme İşaret Akış Grafğ Deklem uyguladığıda; C P P P P P P TF R TF = { ( G G G3 G4 ) + ( - G G G3 G4 ) + ( - G G G4 H ) + ( G G G4 H ) + [ ( G G4 ) ( + G H3 ) ] + [ ( - G G4 ) ( + G H3 ) ] } / { + G + G H3 + G4 + G G G3 G4 H - G G G4 H H + G G4 H + G G H3 + G G4 + G H3 G4 + G H3 G G4 H + G G H3 G4 } olarak elde edlr. Uygulama Şeklde verle tem trafer fokyouu şaret akış dyagramı deklem kullaarak heaplayıız. R + H G4 L + + G G5 - L6 G G6 L H3 L4 G7 L5 H4 C G3 H + L3 Stem dögü kazaçları; L G H L G3 H 3 L G3H4 5 L G H, 3 L G H L G H Stemdek ler yol kazaçları; 43 L G3 H, 5 L G7 H3 L G7 H3 L G3 H4, L G H 4 6 4

45 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg P G G4 G7 P G G4 G7 P G G5G7 P G G4 G7 P G G4 G7 3 P4 G G5G7 P G G6 G7 P G G6 G7 5 P G G7 6 P G3 G7 7 Stem determatı; 3 5 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L , 0, 3 0, 4 0 İşaret akış deklem teme uyguladığıda;, 5 0, 6 0, 7 0 TF C R 7 P TF P P P P P P P TF TF Olur. Yukarıda elde edle heaplamış olur. P P P P P P P P P P P P P P ve P değerler yere yazıldığıda, tem trafer fokyou Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı trafer fokyouu elde edz. ( başlagıç şartları x(0),x(0) 0 dr.) x t u t ve K, x(t) K D 4D 3 y(t) K K y( t) D 4D 3 D 4D 3 K x( t) K D 4D 3 K D 4D 3 K D 4D 4 D 4D3 D 4D 3 (4.4) Y y(0) y(0) 4 Y y 0 4 Y X 44

46 Y 4 Y() 4 4 Y() X() Y X() Y() b lm Y() 0! 3 5 b b 4 4 Uygulama 5 Y 4 Y 4 Y 4 X() Y() Y() d 5 b lm! d, y t 3 t e e! t t t t y t 3 t e e Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfır ve grş değer verlmştr. Bu durumda, r t e t olarak a) K= ç c(t) =? b) Stem kararlı olmaı ç, K aralığıı heaplayıız. c) b şıkkıda elde edle ouca göre, tem kararız kıla br K değer ç tem kararız olduğuu patlayıız. a) 4K c(t) (D ) (D 5) 4K veya adeleştrldğde; r(t) 4K D 6D 5 4K (D ) (D 5) ( D 6D 5 4 K). c( t) 4. K. r( t) Başlagıç şartları ıfır olduğuda D yere yazılır. ( 6 9) C( ) 4 4 a b b C () ( 3) ( ) ( 3) ( 3) a ( ) ( )( 3) ( 3) , b 3 3 d 4 d b 3! ( 3) ( ) ( ) 4 d d

47 C () elde edlr. Laplace döüşüm tablouda yararlaarak; ( 3) ( 3) c(t) e te e t 3t 3t b) ( D 6D 5 4 K) c( t) 4 Kr( t ) C( ) c(0) c(0) 6 C( ) c(0) 5 C( ) 4 K C( ) 4 K R( ) K C( ) 4 K R( ) r( t) e R( ) t döüşümü yapılablr. 4K 4K C () ( K) ( ) ( 3 7 ( 4 K) 5 4 K) olarak elde edlr. Kararlılığı celeeblme ç trafer fokyouu determatı ıfıra eştlemeldr. 3 7 ( 4 K) 5 4K 0 Routh krtere göre; 3 ( 4K) 0 7 (5 4K) 0 7 4K K 0 5 4K 0 4K 5 K 5 olmalıdır K 0 7 K 4 K 3 olmalıdır. İk şart brleştrldğde; K 5 4 olmalıdır. c) b şıkkıda bulua ouca göre, K = - ç tem kararız çıkmalıdır. ct ( ) 8 r( t) D 6D 3 8 C () şeklde elde edlr. Deklem kökler; ( 6 3)( ) a a a3 C () ( ( 3 3)) ( ( 3 3)), 3 3 tür. Bua göre; ( 3 3)( 8) ( 8) 3 a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) ( 3 3)( 8) ( 8) a lm 3 3 ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( ) 3 3 3( 3) 46

48 3 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg ( )( 8) ( 8) a lm ( 3 3)( 3 3)( ) ( 3 3)( 3 3) ( 3)( 3) c() t a e a e a e t t t 3 c() t a e a e a e olarak buluur. Elde edle deklemde, c ( ) olduğuda 0,464t 6,464t t 3 kararız olduğu görülür. Uygulama Aşağıda verle blok dyagramıda tüm başlagıç şartları ıfırdır. a) r(t) = u (t) ke t 4t c(t) Ce Ce olmaı ç, K=? ve a =? b) r(t) = e -t t t 3t ke c() t Ce Ce C3e olmaı ç, K =? ve a =? c) a şıkkı ç tem kararlı olmaı ç K =? ve a =? d) c şıkkıda elde edle koşula göre, kararız K ve a değer ç tem kararızlığıı patlayıız. R() K (+a) C() Cevaplar: a) K C() ( a) K R() K a K ( a) t 4t c() t Ce Ce olduğuda; C() C C ( )( 4) a 5 ; K 4 olmalıdır. a K olur. (4.5) C() K b) R() a K K C () a K C C C3 C () 3 ( )( 3) 5 6 a 5 ; K 6 c) a K 0 Routh krtere göre; 0 K 0 a 0 K a 0 ve K 0 olmalıdır. e) Kararız durum ç; K = ve a = -3 olu, a a C () 3 ( ) ( ) 47

49 a lm ( )( ) a lm ( )( ) C () elde edlr. Tabloda yararlaarak; ( ) ( ) t t c(t) e e buluur. t, c(t) olduğuda kararız olduğu görülür. Uygulama 4.0: Aşağıdak verle gerçek tem trafer fokyouu heaplayıız. (k:= yay katayıı, m:= kütle, x:= x doğrultuudak yer değştrme, x := x doğrultuudak hız, := x doğrultuudak vme, f:= amortör katayıı, F:= dış kuvvet ), ( Steme at başlagıç şartları ıfırdır.), (X > X dr.) x Steme at grş değer F kuvvet ve çıkış değer e x yerdeğştrme değerdr. Steme at dış kuvvetler ve ç kuvvetler dege yazıldığıda; kx F ma kx ma F 0 ma kx F mx kx F m X x 0 x 0 kx F X m k F X F m k m X kx F olarak elde edlr. Yukarıda verle tem ele alıdığıda, olu kütle ç kuvvet dege; Şeklde de görüldüğü gb, yayı kütleye yaptığı etk F = k x, amortörü yaptığı etk e F = f x le ölçülmektedr. Bua göre dege deklem; k ( x x ) f ( x x ) f ( t) m x 48 ()

50 olarak elde edlr. olu kütle ç kuvvet dege e; olu kütle ç dege deklem e; k x f x k x x f x x m x Elde edle k dege deklem yede yazıldığıda; m x f ( x x ) k ( x x ) f ( t) mx f x x fx k x x kx 0 Deklem (3) ve (4) matr formuda yazıldığıda; m 0 x f f x k k x f ( x) 0 m x f ( f f) x k ( k k) x 0 olarak elde edlr. İk deklem uzayıda aşağıdak bçmde yazılablr. ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x ( ) ( ) k X X F ( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) m X x x f X x X x f X ( ) x (0) k X ( ) X ( ) k X ( ) 0 Başlagıç şartları ıfır kabul edldğde, deklem (6) aşağıdak bçmde elde edlr; m X ( ) f X ( ) k X ( ) f X ( ) k X ( ) F( ) m f k X ( ) ( f k ) X ( ) F( ) B A (8) deklem (.7) e; m f f k k X ( ) f k X ( ) B C (9) olarak elde edlr. Deklem (8) ve deklem (9) aşağıdak bçmde kıa olarak tekrar yazıldığıda; B AX( ) BX( ) F( ) X( ) X( ) F( ) A A (0) B CX( ) BX( ) X( ) X( ) C () Deklem (0) ve deklem () de, teme at şaret akış dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. 49 () (3) (7) (4) (5) (6)

51 Bua göre trafer fokyou; X() P F () () Determat değer; B AC 0 İler yol değer; B P AC olarak yazılır. Elde edle değerler, deklem () de yere koulduğuda; B X() AC B F() AC B AC B AC olarak elde edlr. Kararlılık Krterler Br temde t ke mpulf cevap ıfıra yaklaşıyora, tem kararlıdır der. Uygulama 5.: y 5t fokyou ele alıı. Deklemdek t gderke; y gtmektedr. Bu durumda tem kararızdır. Uygulama 5.: y 4(5 t) fokyou ele alıı. Ele alıa deklem grafğ çzldğde, y değer ıfıra gtmedğ görülür. Stem kararızdır. Uygulama 5.3: y 0 t fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. Uygulama 5.4: t y 5 e fokyou ele alıı. t gderke; y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. t y 5t Uygulama 5.5: e fokyou ele alıı. Bu orada payda paya göre daha hızlı lerlemektedr. Buda dolayı y 0 gtmektedr. Stem kararlıdır. 50

52 Uygulama 5.6: Aşağıdak şeklde üç durum verlmştr. İlk durumda ç bükey br yüzeyde, kc durumda düz br yüzeyde, üçücü durumda e dış bükey br yüzeyde göterle pozyoda ked hale bırakıla toplarda lk belrl br alıım hareketde ora e alt oktada durur. Bu durum tem kararlı olduğuu göterr. Çükü zama çde tem kararlılık oktaıa gelmştr. İkc durumda topu hareketde herhag br değşklk olmaz. Bu hal Marjal Kararlılık olarak adladırılır. Üçücü durumda e top aşağı düşer. Stem kararızdır. Uygulama 5.7: Aşağıda ter yölü olarak k mafal bağlatıı göterlmştr. Brc pozyoda çubuk erbet bırakıldığıda çubuk aşağı doğru düşecektr. Ya br kararızlık öz kouudur. Acak kc durumda çubuk erbet bırakıldığıda bell br zama ora tem kararlı hale gelecektr. Uygulama 5.8: Aşağıda şekldek gb br mafal bağlatııda, açıı büyüdükçe yayı çubuğu tutmaı zorlaşır. Eğer açıı bell br değer geçere, yay çubuğu tutamaz hale gelr. Böyle br tem kararlılık kouua örek olalarak düşüüleblr. Ya tem e uygu bçmde çalışmaı ç yay katayııı heaplamaı veya yay katayıı bell br temdek e uygu çalışma açılarıı belrleme orularıı cevaplarıı kararlılığıı celeyerek elde edeblrz. Bütü bu öreklerde de alaşılacağı üzere kararlılık hal br tem bell br zama dlm çde düzel duruma gelme haldr. Kararlılık durumu yukarıda alatıldığı gb tebt edleceğ gb tem ç elde edle trafer fokyoudak determat değer celemeylede yapılablr. Öcelkle determat değer ıfıra eştler. = 0 polomua tem karaktertk deklem der. Karaktertk deklem aşağıdak bçmlerde celeerek tem kararlı veya kararız olduğu alaşılır. Ayı zamada kararlılık ç gerekl ıır değerler heaplaır. Bu celeme üç değşk bçmde yapılablr.. Routh Krter 5

53 . Hurwtz Krter 3. Sürekl Bölme Krter Routh Krter a a... a a 0 polomu verlmş olu. 0 a a a 4 a a 3 a5 3 c c c b b b a a a a 3 b a a a a a 4 5, b a (5.) c b a a b 3 b b a a b, 5 c 3 b Tablou brc ve kc atırları karaktertk deklemde doğruda yazılır. Dğer katayılar ( b, b,..., c, c,... ) bell kurallara göre heaplaarak elde edlr. Bu şlem 0 polomuu katayıı heaplaaa kadar devam eder. Tablo oluşturuldukta ora celeme ç lk ütu göz öüe alıır. İlk ütudak katayılar ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. Sütuda ıfır bulumaı durumda tem marjal kararlıdır. Küçük olmaı durumuda e tem kararızdır. Eğer heaplama oucuda lk ütudak elemalarda br ıfır çıkara, ıfır yere ε değer alıır ve şleme devam edlr. ε değer ıfıra çok yakı br değer olarak kabul edlr. Heaplaa atırı tüm elemaları ıfır çıkara; bu durumda heaplaa atırı, üzerdek atırdak katayıları oluşturduğu polomu türev alıır ve elde edle ye polomu katayıları heaplaa atıra yerleştrlr. Bu şeklde şleme devam edlr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. (5.) / İlk ütudak elemaları hep poztf şaretl olduğuda kararlıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K 0 8 K 3 0 K 0 Routh tablouu 3. atırıda, 8 K K K 0 8 K şartı ve 4. atırıda, 5

54 K 0 K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 8 olmalıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K K 60 6K 0 0 K Routh tablouu 4. atırıda, 60 6K 60 6K K K K şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte K 0 0 K 0 şartı ve 5. atırıda, olmalıdır. Routh krterde karşılaşıla k ta durum vardır. Bularda brc; Routh tablouu atırıdak lk ütu değer ıfıra eşt ve dğer atır değerler ıfırda farklı e, bu ıfır ola değer ıfıra çok yakı poztf br ε değer le değştrlr. Aşağıda bua at br mal verlmştr. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz ütu, 3.atırdak lk elema 0 ve dğer elemalar ıfırda farklı çıktığı ç, lk ütudak ıfır yere, ıfıra çok yakı ola poztf br ( ) değer le değştrlerek şleme devam edlr. Sütudak o k değer, ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. İkc ta durum aşağıda verlmştr. Ya atırdak bütü elema değerler ıfıra eşt çıkmaı durumudur. Uygulama Karaktertk deklem kararlılığıı Routh Krtere göre celeyz. 53

55 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 4 P dp 3 8 d Not: üçücü atırı tüm elemaları ıfır çıktığı ç kc atırı katayılarıda oluşa polomda türev alma şlem uygulaır ve elde edle polomu katayıları yazılır. Eğer adece. ütudak elema ıfır olup dğerler ıfırda farklı olura, ıfır ola elema yere poztf ve ıfırıra çok yakı ɛ alıarak şleme devam edlr. Br atırda tek elema var ve bu da ıfıra eşt e buu yere de ɛ kullaılır Brc ütuu bütü elemaları ıfırda büyük olduğuda, Stem kararlıdır. Uygulama K le verle karaktertk deklemde, tem kararlı olmaı ç K e olmalıdır? 4 4 K K K K K 9 K K 0.5 K K K 0.5 K K 0 K 9K K K olmalıdır. Uygulama le verle karaktertk deklemde, kaç adet gerçek kımı poztf ola a bj veya a 0j gb kök olduğuu, Routh tablou le heaplayıız. Çözüm: Not: Routh tablou oluşturulduğuda, lk ütua bakılır. Burada kaç adet şaret değşklğ var e, karaktertk polomuda da o kadar poztf gerçek ayıya ahp kök vardır. Ya köklerde o kadarı gerçek de ola aal da ola poztf gerçek kıma ahptr. Alaşılmaı ç, yukarıda verle 3 5 şekldedr. Bu karaktertk polomda br adet kök değer, polom komplek düzlemde aal eke ağ tarafıda olacak şekldedr. Routh tabloua 4 3 yerleştrldğde,

56 Uygulama Aşağıdak şeklde verle temde, X() 5 K Y() Stem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? 5 K Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF 5 K TF 4 K 4 K TF 4K 4 K TF 4K K 4K Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, 4K 0 K K 0 0 K 0 4K 0 K K olmalıdır. K Uygulama Aşağıdak şeklde verle tem kararlı olmaı ç K aralığı e olmalıdır? X() K Y() Çözüm: Stem Trafer Fokyou; TF K K TF K K TF K K K TF K K K 55

57 Burada tem Routh tablou oluşturulduğuda, K 0 K K 0 0 K 0 K 0 K K K olmalıdır. Uygulama Aşağıda verle tem karalı olmaı ç K değer e olmalıdır. X() K Y() TF Y() X() K K K 7 0 K K K 30 0 K TF K K K 7 6 K K 0 K 0 0 K İk şartı brleştrlmeyle brlkte; 0 K 540 olduğu görülür. 56

58 Root-Locu grafğde 540 değer görülmektedr. Uygulama Aşağıdak verle blok dyagramıı R() grş değer, brm mpulf br etk e; tem trafer fokyouu elde edp, tem kararlı olmaı ç gerekl ola K aralığıı Routh kararlılık krtere göre heaplayıız. X() K Y() K Y( ) ( ) ( ) K K 4 3 X( ) K ( ) ( ) 3 3 K K ( ) ( ) (5.3) Kararlılık krter celeeblme ç determat değer ıfıra eştleme gerekr. Elde edle karaktertk dekleme göre Routh tablou aşağıdak bçmde oluşur K K / 3 K 0 4 9K 7 0 K 0 Elde edle tablou lk ütuudak bütü elemalar ıfırda büyük olmalıdır. 4 9K K 0 K 9 57

59 So atırı lk ütuuda K 0 olmalıdır. İk şartı brleştrlmeyle, 0 K 4 olur. 9 Root-Locu Grafğ çzldğde k<.55 (Ga) olduğu görülmektedr. Ayı ouçlar Bode dyagramı çzldğde de görülmektedr. Bode dyagramı aşağıda verlmştr. 0log a 0log0x log0x 0 x l x 3. l lx l l x e e x 0 K.55 58

60 Gerçekte okua değer dr. Ve tam uyum ağlamaktadır. Açı değer 80 olduğua dkkat edz. Dğer verle değerler adece tet amaçlıdır. Root-Locu grafğ le karşılaştırma yapılablr. Hurwtz Krter 0 a a... a a 0 polomuda, -,..., değerler hep poztf olduğu takdrde tem kararlıdır der. Herhag br ıfırda küçük olura tem kararız olur. Sıfıra eşt olmaı durumua marjal kararlılık der. a a a 3 5 a a a a a a a a 0 (5.4) Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz (5.5) , , Bütü determat değerler ıfırda büyük olduğuda dolayı tem kararlıdır. Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? 3 3 K K 3 K 3, 3 Hurwtz şartıa göre bütü Determat değerler ıfırda büyük olmalıdır. Burada, 3 K 3 0 şart ağlamaktadır. 9 K 8 K 0 K 8 olmalıdır, 3 3 K 0 0 olmaı gerektğde dolayı brleştrlmeyle brlkte K 8 oucu çıkarılır. K 0 K olmalıdır. Bu k şartı 59

61 Uygulama K 0 karaktertk deklem kararlı olmaı ç K değer hag aralıkta olmalıdır? K K, K, , 6 Bütü determat değerler ıfırda büyük olmaı gerekl olduğuda dolayı, şartı ağlamaktadır. = 66 6 = 60 > K K 3 K K K K K 0 0 K 0 K K 0 4 3K K K 0 olmalıdır. Souçta; 0 K 0 elde edlr. Uygulama 3 0 karaktertk deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz , 3, 0, 0 0, 0 olduğuda dolayı tem marjal kararlıdır. 0 Sürekl Bölme Krter Bu krterde polom aşağıdak bçmde kye ayrılır ve brc polom kc poloma bölüür. Daha ora elde edle böle değer kala değere bölüerek, şleme, kala değer ıfır buluucaya kadar devam edlr. Bölme ş le mlerde e lde edle bölü m değerle r d e k, () katayı la rı ıfırda büyüke tem kararlı dır der. Kalala rı br tae dah ıfırda kü çük olu r a tem k ararı z o lu r. Sıfıra e şt o l maı duru mu ma r j al ka ra r lı lık duru mudur Q a a Polom 60

62 . Polom Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg Q a a h, h, h3,..., h değerler hep de ıfırda büyük olduğu takdrde tem kararlıdır der. h lerde br tae ıfır veya egatf olura tem kararızdır der. Uygulama karaktertk deklem kararlılığıı Sürekl Bölme Krtere göre celeyz. Çözüm: Verle karaktertk deklemde Q 3 ve Q 6 8 polomları buluur Q 3,, ve Q tem kararlıdır. Bütü değerler ıfırda büyük çıktığı ç tem kararlıdır. h 6 0 h h olduğuda Uygulama deklem kararlılığıı Hurwtz Krtere göre celeyz Bua göre; (6.5.) () (6.5.) 4(6.4.)

63 ( 30) Elde edle determat değerlerde 3, 4 ve 5 değerler ıfırda küçük olduğu ç tem kararızdır. Uygulama K 0 deklem kararlı olablme ç gerekl ola K aralığıı Sürekl Bölem Krtere göre celeyz. Q ( ) 3 3 ve Q ( ) 3 K şekldedr. İkc polomdak bakımıda A term kullaılı. Bua göre; +K term yere, şlem kolaylığı A 3 3 A 3 3 A A B 9 A 3 3 B B B 0 A B A A Elde edle bölümlerdek ler katayılarıı ıfırda büyük olmaı gerekr. Bua göre; 3 0 B B 0 A A 9 A 3 9 A 3 9 A 0 0 A 3A ( K ) 9 ( K) 0 3( K ) K K 8 8 K 0 3 3K 8K 0 8 K Elde edle şartlara göre 8 de küçük K değerler ç tem kararlıdır. Kotrol temler aalzde ve etezde kullaıla bütü teorler doğrual (leer) temler ç geçerl olduğu ç, fokyolar ble aralıklarda doğrual hale getrlr. Böylece çözümler elde edlr. Kotrol Elemaları Edütrde kullaıla kotrol elemaları; hdrolk, pömatk, mekak, elektrok, ııl veya mekatrok olarak kullaıldığı malzemeye göre ııfladırıldığı gb temel özellklere bağlı olarak da ııfladırılırlar. Özellklere göre toplam altı (6) gruba ayrılırlar. Buları temel özellkler aşağıda verlmştr. 6

64 İk koumlu veya Açık-Kapalı Kotrol Elemaı (Two-poto or o-off Cotroller) Kotrol elemaı adece k abt koumda buluablr ve bat br elemadır. Dolayııyla pahalı da değldr. Davraışı parçalı fokyo le aşağıdak gb zah(fade) edleblr. Çıkış yal u(t) olduğuda etk ede hata yal veya değer e(t) olu Bu durum aşağıda blok dyagramıda göterlmştr. Etk yal ıfırda büyük veya küçük olmaıa bağlı olarak kotrol elemaı adece k değer alablmektedr. ( veya ) Baze bu geçşler olablme ç dferayel boşluk kullaılır. Aşağıda şekl b de göterlmştr. U U ut U e t 0 U e t 0 Oratı Kotrol Elemaı (Proportoal Cotroller) Oratı kotrol elemaıı mekak karşılığı yaydır. uyguladığıda, R() E() K p U() T C() u t K e t Laplace döüşümü p U K E p Kp U E Burada K p oratı katayııdır ve ayarlaablr br katayıdır. du t dt İtegral Kotrol Elemaı (Itegral Cotroller) K e t t 0 ut K etdt ut K etdt U t 0 E K K U E Blok dyagramı aşağıda verlmştr. İtegral kotrol elemaıı mekak karşılığı kütle atalet, ketk eerj verleblr. Meela Volaları aldığı eerjy daha ora teme verme gb. 63

65 R() Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg E() K U() T C() C K R T K E R C T R R T K Oratı + İtegral Elemaı (PI) (Proportoal+Itegral Cotroller) PI kotrol elemaıı cevabı, t Kp u(t) Kpe(t) e(t) dt şekldedr. Laplace döüşümü uyguladığıda, T 0 U() Kp E() T olur. Burada K p alaşılacağı üzere U() Kp E() T oratı ayar katayıı dyagramı aşağıdak şeklde verlmştr. R() K p T e tegral zamaıdır. Trafer fokyouda kazacıı ayarlamaı tegral kımı da etkler. PI kotrol elemaıı blok K p K T C() 64

66 Oratı+Dferayel Kotrol Elemaı (PD) (Proportoal + Dfferetal Cotroller) mekak karşılığı yay ve amortör bleşedr. R() K K p d T C() de(t) PD Kotrol elemaıı cevabı u(t) Kpe(t) KpTp dt U() E() şekldedr. Trafer fokyou K T p d olur. Burada Kp oratı kazacı ve Td e dferayel zamadır. Kotrol elemaı üzerde K kazacıı ayarlamaıda dferayel kıım da etklemektedr. Blok dyagramı aşağıdak şeklde verlmştr. PD tp kotrolde,d etkde dolayı hızlı br çalışma ağlar. Mekak olarak arabalardak yay le amortör bua uygu br maldr. Oratı+Itegral+Dferayel Kotrol Elemaı ( PID = Proportoal+Itegral Dfferetal Coroller) Edütrde kullaıla e kullaışlı kotrol elemaıdır. R() K Kp Kd T C() Buradak katayıları ayarlamaı ç Zegler-Nchol tablouda faydalaılır. Kotrol Tp Kp T Td 65

67 P Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 0.5K cr 0 PI PID Burada cr 0.45K cr 0.6 K cr Pcr. 0.5P cr 0 0.5P cr K krtk kazaç (Ga) katayııdır. P de aye cde, cr K krtk katayıı kullaıldığıda temdek alıımı peryot değerdr. Bu heaplamaları aıl yapıldığı lerde verlecektr. Ked Kede Kotrol Ede Stemler Yadak şeklde ked ked kotrol ede br tem görülmektedr. Ayar vdaı, yayı uyguladığı kuvvet kotrol etmektedr. Baıç kotrolü e dyaframla ağlamaktadır. Çıkış baıcıı refera baıcıda küçük olduğu durumda yay kuvvet baıç kuvvetde büyüktür ve dyafram aşağı doğru hareket eder. Buu oucu olarakta akış artar ve çıkış baıcı büyür. Eğer baıç kuvvet yay kuvvete eşt olura, dyafram ve kapak abt kalır. Souçta akışta abttr. Çıkış baıcı refera baıcıda büyük olura, kapak çok az açık kalır ve akış bua bağlı olarak az olur. Ked ked kotrol tem geellkle u ve gaz baıcı kotrolüde kullaılır. Buları harcde elektrokte kullaıla lead, lag ve lead-lag kotrol elemaları ler de verlecektr. Hdrolk Kotrol Elemaları. Hdrolk Oratı Elemaı ( P = Proportoal ). Hdrolk Itegral Elemaı ( I = Itegral ) 3. Hdrolk Oratı + Itegral Elemaı ( PI = Proportoal + Itegral ) 4. Hdrolk Oratı + Dferayel Elemaı ( PD = Proportoal + Dfferetal ) 5. Hdrolk Oratı + Itegral + Dferayel Elemaı ( PID=Proportoal+Itegral Dfferetal ) 6. İkl (o/off ) Elema Yukarıdak ıralamada da alaşılacağı üzere dferayel elemalar tek başlarıa kullaılamazlar. Dferayel elemalar oratı elemalar le brlkte kullaılırlar. Verle kotrol elemaları aşağıda celemştr. Hdrolk İtegral Elemaı Yukarıdak şeklde br hdrolk tegral elema öreğ görülmektedr. Stemdek x kolu, ağa doğru hareket ettğde baıçlı yağ II umaralı grşte ldre grerek alttak ptou ola doğru ter. X Y kolu ola doğru tldğde e bu şlem ter gerçekleşr. Souçta elde edlmek tee, X değerdr ve bu ora aşağıdak bçmde elde edlmştr. cr 66

68 Alttak ptoda dt ürede yer değştre ıvıı kütleel mktarı, II olu grşte geçe kütleel debye eşttr. q brm zamada geçe kütleel deby ve yoğuluğu götermek üzere; A dy q dt yazılablr. Daha başka br fade le; dy A q K x dt A Y y K x olur. veya 0 Başlagıç şartları ıfır kabul edldğde; AY KX (6.) Y K X A K K A abt göterlmştr.) alıdığıda Y X K elde edlr. ( K, A ve abt olduğuda, K tegral çıkış baıçlı yağ grş çıkış çıkış yağ grş çıkış x x I II I II y y yük ptou A yük ptou Steme at blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. A Hdrolk Oratı Elemaı Aşağıdak şeklde br hdrolk oratı elema öreğ görülmektedr. AC kolu, A oktaıda tldğde, B oktaı da kol uzuluklarıa bağlı olarak ağa doğru tlr ve pto ağa doğru hareket eder. Baıçlı yağ II umaralı kolda ldre grerek ptou ola doğru ter. Böylece C oktaı da ola doğru hareket eder. C çıkış değer, B grş değer etkledğ ç bu durum blok dyagramıda ger beleme olarak göterlr. C oktaıdak y etk, B oktaıa etk e aşağıdak şeklde yazılablr. y x y de x e gele ger beleme egatftr. Buu ede, y hareket x hareket ab a egellemeye çalışmaktadır. A oktaıdak e etk, B oktaıa etk ç aşağıdak bağıtı yazılablr. 67

69 e x a b b Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg çıkış yağ grş çıkış e A a x B b I II y C yük ptou A Steme at blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Bua göre trafer fokyou aşağıdak bçmde heaplaır. b K bk Y a b bk b E a K a b a a b a b a b Kp K a a b K a d dt Deklemde a b a b dr ve çok küçük br değşm olduğuda hmal edleblr. (6.) Amortörler Aşağıda br amortörü teml göterm le pto ve ldr hareketler zamala değşm göterlmştr. 68

70 Amortörü öüdek yayda oluşa kuvvet degede; A P P ky yazılablr. q deb ç q P P R ( R = Amortör drec ) dr. Brm zamada kuvvet geçe kütleel deb mktarı, yük ptouda yer değştre yer değştre ıvıı mktarı kadar olduğuda; qdt Adx dy (6.3) q dx dy A dt dt dx dy P P dt dt R A dx dy ky dt dt A R Başlagıç Şartları ıfır kabul edlre; k X Y Y AR Y T X d Y Y X k AR Y X T Y T X T k T d d A R T Steme at blok dyagramları aşağıdak bçmde elde edlr. Veya olarak elde edlr. veya 69

71 Hdrolk Oratı + İtegral Elemaı Stem hdrolk oratı elemaıa bezer şeklde çalışmaktadır. Acak tem C oktaıda amortör tem etkmektedr. Steme at deklemler ve blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlmştr. Y() le Z() araıda amortör elemaı vardır ve k okta araıdak bağıtı amortörler bölümüde verlmştr. A oktaıdak e etk, B oktaıa etk ç aşağıdak bağıtı yazılablr. e x C oktaıdak y etk, B oktaıa etk e aşağıdak şeklde yazılablr. a b b b K bk z x a b a Y () ( ) a b a b bk ( T ) E () K a T ( a b) ( T ) T K a ( a b) ( T ) T K a a b T ( a b) ( T ) 0 ( a b) d ( a b) 0 dt bk( T ) b ( T ) bt b b Kp Ka Kp Kp KT a T at a T T oratı tegral E() b a b X() K Y() a a b Z() T T Steme at blok dyagramı yukarıdak bçmde elde edlr. 70

72 Hdrolk Oratı + Dferayel Elemaı Stem hdrolk oratı elemaıa bezer şeklde çalışmaktadır. Acak tem C oktaıda dferayel tem etkmektedr. Dferayel ora aşağıdak bçmde elde edlr. k yay abt, P baıç, A yüzey alaı, yoğuluk, t zama olmak üzere; k ( y z ) = A ( P P ) q. dt = A. dz. q P P R A R dz ( yz) K dt q A dz dt P P dz A R dt dz k( y z) A R dt A R dz yz k dt Başlagıç şartları ıfır kabul edlerek laplace döüşümü uygulaıra; AR Y Z Z K AR Y Z K olarak elde edlr. Steme at deklemler aşağıdak bçmde elde edlr. b K bk Y () ( ) a b a b b K T E() K a T a bt K a ( a b) ( T ) K at a b T ( a b) ( T) bk ( T ) b b b T T Kp Kd ak a a a Burada; K d Z ( ) Y T bt şeklde br abttr. Steme at blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. a 7

73 Hdrolk Oratı + Itegral + Dferayel Elemaı Steme at deklemler aşağıdak bçmde elde edlr. b K bk Y() a b (a b) b K T E() K a T abt K a T (a b) (T ) K a T ab T T (a b) (T ) bk T bk T bk T T K.a.T K.a.T K.a.T (a b)(t ) (T ) (T ) T. T K K K KT K.T..K Kd Kp T T T. Steme at blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. Uygulamalar: Uygulama : Aşağıdak şeklde br hdrolk ervo tem göz öüe alımıştır. e(t), grş değer ve yük ptouu yerdeğştrme y(t), çıkış değer kabul edldğe göre, trafer fokyou Y() / E() y heaplayıız. 7

74 Stem blok dyagramıı oluşturulablme ç, bağlatı oktalarıı, brbrlere ola etkler, bağıtıları yazılmaı gerekr. Bua göre; A oktaı le B oktaı araıdak bağıtı; e x a a a a e x a a B oktaı le C oktaı araıdak bağıtı; z x a a a a z x a a A oktaı le D oktaı araıdak bağıtı; 73

75 e w 3, e a w a a a3 a a C oktaı le D oktaı araıdak bağıtı; z 3 w z a a a w a a a a a3 a a F oktaı le G oktaı ararıdak bağıtı; y w b y w b b b b b Şeklde elde edlr. Bua göre teme at blok dyagramı aşağıdak bçmdedr. Elde edle blok dyagramıı trafer fokyou; a K Z() a a a a a a E() K a a a a a a a 74

76 W( ) a a a Z( ) a a a E( ) a a E( ) a a a K Y() b b W() b K b b b a a b b Y() Y() W() E() W() E() a b 3 Bulua ouç, ele alıa ervo tem oratı kotrol elemaı olduğuu göterr. Uygulama : Aşağıdak şeklde br hız kotrol tem göz öüe alımıştır. Trafer fokyou Y() / E() y heaplayıız. Cevap: Şeklde verle temde, motor hızı arttığıda, kola bağlı küreler merkezkaç kuvvet etkyle, döme merkez dışıa doğru kuvvet uygular ve kol yukarı doğru kalkar. Bu hareket hdrolk PI elemaı grş değerdr. Kolu yukarı hareket, yük ptouu aşağı hareket etme ağlar ve yakıt grş kıar. Bua bağlı olarak motor hızı azalır. (6.4) Steme at blok dyagramı ve trafer fokyou aşağıdak gbdr. 75

77 Şekl 7.:Hız kotrol tem a K Ka Y () a a a a K a b k E() a b K a a b k a bk a a b k a bk a a b k a a b k a Y() K a b k b k a k şeklde elde edlr. Burada tem kotrolüü PI E() a b K a b a b olduğu görülür. Uygulama : Aşağıdak şeklde verle ıvı evye kotrol temde, qd deb, grş ve h yükeklğ, çıkış değerler olduğua göre; a) Stem blok dyagramıı çzz ve trafer fokyouu heaplayıız. ( Başlagıç şartları ıfırdır.) b) C = m, R = 0,5 / m, Kv = m /, a = 0,5 m, b = 0,75 m, K = 4 - Qd ( ) = / olduğuda çıkış fokyouu ( h(t) ) heaplayıız ve tem kararlı olup olmadığıı kotrol edz. 76

78 a ) q q q dt c dh () q o d o h R a x h a b Y() X() K q K y v Yukarıda yazıla bağıtılar blok dyagramıa aşağıdak bçmde döüştürülür. () (3) (4) olarak yazılablr. Ayrıca Deklem () de; dh c q q q dt d o C( ) H( ) Q ( ) Q ( ) Q ( ) d o H( ) Q ( ) Qd ( ) Qo( ) C H ( ) H( ) KvY ( ) Qd( ) R C olur. Burada blok dyagramı aşağıdak bçmde elde edlr. H() P () Qd P C, 0 77

79 K a a KKv L Kv, L a b C C a b R C RC L L H () C C Qd() akkv C akkv C ( a b) RC C C( a b) CR R( a b) ( a b) RC akkvr ( a b) arkkv ( a b) RC R( a b) ( a b) H ( ) Q () akkv C R a b akkv H( ) C Qd ( ) R a b Elde edle ouç; d H() K Td Kp şeklde olduğuda, PID kotrol elemaı davraışı götermektedr. Q () akk b ) H( ) C v Qd( ) deklemde verle değerler yere yazıldığıda; R a b H ( ) Q d() 0, ,5 0,5 0,75 0 Karaktertk deklemdr. b 4 a c Deklem determatı ıfırda küçük olduğuda dolayı kökler aaldır ve Laplace döüşüm tablouda aşağıdak kural uygulaarak döüşüm yapılır. w a w e at ( wt) 0,5 0,5 H () 0,5 ( 0,5) 0,5 h t e t 0.5 ( ) t (0.5 ) olarak elde edlr. Elde edle deklem kararlı olmaı ç t değerler artarke h (t) değer ıfıra yaklaşmaı gerekr. Ya h (t) değer ouzda ıfırlamalıdır. Eğer tem deklem bu şartı gerçeklyora kararlıdır der. Bu şarta göre ele alıa tem kararlıdır. Leer Olmaya Fokyoları Leerleştrlme Stem aalz brçok güçlü metotları, leer kotrol temler ç gelştrlmştr. Br leer kotrol tem ç, değşkeler araı bütü bağıtılar geellkle abt katayılı leer dferayel deklemlerdr. Bu edele ger belemel kotrol temdek değşkeler, cebrel değşkelerde zyade zamaa bağlı dferayel deklemlerdr. Öreğ ıcaklık kotrolüde gerçek yal şaret akışıda değşklğe ede olur. Fakat ıcaklığı tele değere getrmek ç, lave edlecek ıı 78

80 mktarıda dolayı zama gerekldr. Ye hız kotrol temde gerçek yal, yakıt grşdek aıl hareket değşme ede olur ( Temel kotrol değşme ede olur. ). Ama arzu edle hıza erşmek ç motoru hızladırmak veya yavaşlatmak amacıyla zamaa htyaç vardır. Bezer şeklde baıç kotrol temlerde arzu edle baıç değerlere ulaşmak ç zamaa htyaç vardır. Kotrol temler, geellkle bazı leer olmaya elemalarda oluşur. Bu elemalarda dolayı teme at dferayel deklemde oleer olur. Buları leer hale aıl döüştürüleceğ aşağıda göterlmştr. değşkel br leer deklem; f f cx cx cx (6.5) Burada, f, c, c,..., c abt değerlerdr. f : f fokyouu ble oktalardak başlagıç (tal) değerdr. Örek olarak; y x (6.6) fokyou göz öüe alalım. Grafkte görüleceğ gb; y y y y y (6.7) Grafkte x,y oktaıdak eğm; c dy dx (6.8) Burada y değer ç; dy y dx 79 (6.9)

81 olduğu görülür. (6.7) olu deklemde yere yazıldığıda; dy y y x dy elde edlr. (6.0) y 3 x Mal deklemde ferera değer ç y dr. ç, deklem doğrual hale getrp yaklaşık y değerler heaplayıız. x 0 x ve x 9 değerler y y cx x 0 y 000 x 9 0 dy c 3x dx y y cx dek değerdr. y x y y y x Mal y 300 fokyou x= y x=9 ç yaklaşık değerdr. Aşağıdak şeklde verle üçge alaı x 0, y 6 ve 30 başalagıç değerler ç blmektedr. Bu değerlere bağlı olarak ala formülüü doğrual hale getrp (leerleştrp), x 9, y 6.5 ve 33 ç yaklaşık oucuu heaplayıız. Ala formülü a; a a x,y, (6.) Şeklde olup üç farklı değşkee bağlıdır. Ve değer; a xh a xy (6.) a a a a a x y x y Veya; (6.3) 80

82 a a c x c y c 3 0 a xy (6.4) a 0 c y x a 0 c x y a 0 c3 xyco 06co Bu değerler aap 40 4x.5y olarak heaplaır. Gerçek değer; a (6.5) olduğu görülür. İk ouç karşılaştırıldığıda, aralarıdak fark çok azdır. Leerleştrmede boyutuz parametreler kullamak daha uygu olablr. Buu ç (6.3) olu deklemdek her br term, () deklemdek gb A hale getrlr. x y a x y x y x y co x y co ta (6.6) x y a a x y ta (6.7) x y a 40 ap a a 0 6 ta 30 (6.8) Mal F xy y fokyouu x 0, y y 9. ve 33 ç yaklaşık değer heaplayıız. 9 ve x 9.9, 30 cvarıda leerleştrp F F 89 Çözüm: fokyou başlagıçtak değer; xy y 09 y30 c c 3 F x c y c 9 c 8 F y F c x y c c yco 3 c c 8 c 9 co 30 c

83 F F c x c y c ap 3 Fap F olarak yaklaşık değer heaplaır. Gerçek değer; F dr. ap Görüldüğü gb yaklaşık değer, gerçek değere yakı br değerdr. Zama Cevabı (Tme Repoe) Br tem çıkış cevabı; zorlamalı cevap le doğal cevabı toplamıdır. Ya br dferayel deklem göz öüe alıdığıda deklem ağ tarafı ıfıra eştleerek elde edle çözüm homoje kımı (doğal cevabı) zorlama etk de heaba katıldığıda kımî çözüm (zorlamalı cevap) olarak adladırılmaktadır. Br tem Çıkış Fokyou elde edldğde (laplace döüşümü uyguladığı zama), tem ıfırlaya değerler ıfırları (zero) ouza götüre değerler de kutupları (pole) oluşturmaktadır. real Brc Mertebede Stemler (Frt Order Sytem) Brc mertebede br tem çıkış fokyou göz öüe alıdığıda, C 3 a b olarak heaplaır. Buradak a ve b katayıları Deklem (.9) kullaılarak elde edlmştr. B a lm p p A a lm a lm a 5 (7.) b lm b b 5 Elde edle laplace deklem ter Laplace ı alıdığıda, 3 C c t dyagramı aşağıdak gbdr. R G() 3 e t şeklde çıkış fokyou heaplaır. Stem Blok C() Brc mertebede C RG tem göz öüe alıdığıda, grş değer R fokyouu C R() G() a a a a olduğu görülür. Fokyou ter Laplace ıda, C() / ç, çıkış 8

84 C a Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg a a a a a, lm 0 a a a a 0 a Heaplaa değerler yerlere yazıldığıda, a C a, a lm t a c t e at olarak heaplaır. a a ct e e ct ct a a a a a a a olduğuda çıkış fokyou, 0.63 olduğu görülür. a Tc t değere brc mertebede temler ç Zama abt ( Tc=Tme cotat) der. a Dğer br fadeyle, t zama ouza doğru gderke c(t) fokyou alacak olduğu değer %63 üe varmaı ç gerekl zamadır. Yükelme Zamaı (Re Tme) (Tr): Çıkış fokyouu t ouza gderke alacak olduğu değer f ct 0. c değerde başlayıp ct 0.9 c olucaya kadar geçe üreye der. Tr t t f ct at c e c 0 e a f c c f c c le fade edldğde, 0. e at t a t e a, at Tr t t Tr a a Ayarlama Süre (Settlg Tme) (T): Tr a.97 Tr a Tr. a 83

85 Çıkış fokyouu t ouza gderke alacak olduğu değer değerde başlayıp c t at T e a f c c f le fade edldğde, c t 0.98 c olucaya kadar geçe üreye der. 3.9 T a T 4 a Olarak heaplaır. Bu matık ve düşücede gdlerek kc mertebede fokyolar ç de bezer heaplamalar yapılacaktır. Mal : Trafer fokyou Tc zama abt G 50 50, yükelme zamaı le verle temde grş değer brm baamak olduğuda, Tr T ve ayarlama üre heaplayıız Çözüm: G 50 C R G a 50 Tr Tc a Tc 50 Tc 0.0, C t c t e T 4 a T 4 50 Tr Tr olarak heaplaır. T 0.08, Tr.97 a Tr.97 a İkc Mertebede Stemler (Secod Order Sytem) İkc mertebede br temde ler yol elemaı G() ç,, c k m m c m c m 4 c ccr m c cr k m c m c 4 ccr 4m m c ccr m,,, d, (7.), d j G (7.3) deklem geçerldr. Burada bulua ζ ve değerler komplek (aal) düzlemdek göterm aşağıda Şekl 9- de verlmştr. Bu grafğe bakarak, aal düzlemde br ab oktaı ç, 84

86 d a b deklem geçerldr ve öümleme oraı ç yı heaplamak ç, lk öce ta b bağıtııda açıı heaplaır. Burada dkkat edlme gereke açııı a heaplarke bu açıı trgoometrk çember üzerde hag bölgede olduğua dkkat edlmedr. Daha ora co bağıtııda, öümleme katayıı heaplaır. Şekl 9- de görüldüğü gb, aal eke üzerde, 0 b olduğuda 0 olmaktadır. Bezer şeklde gerçek eke üzerde a 0 ke öümleme katayıı olmaktadır. Deklem (7.) le kökler aal düzlemde yerleştrldğde aşağıdak şekl olur. j.ω θ σ d Şekl 9-: doğal freka, öümleme katayıı ve öümlemel frekaı komplek düzlemde göterm Komplek düzlemde br ayı büyüklük (Magtude, M) ve açı (Agle, Şekl 9- de buu, M ya, ) le fade edlmektedr. (7.4) le göterlmektedr. Komplek düzlemde aal eke her zama, öümlemel doğal frekaı götermektedr. Doğal Freka (Natural Frequecy), ω : Stemde öümleme etk yok ke, ayede yapmış olduğu alıım mktarıa der. Brm, radya/aye (rad/) dr. Söümlü Freka (Damped Frequecy), ω d : Stem öümleme etkde ke, ayede yapmış olduğu alıım mktarıa der. Brm, radya/aye (rad/) dr.ve doğal freka le öümlemel freka araıda, bağıtıı vardır. d (7.5) 85

87 Söümleme Oraı (Dampg Rato), ζ: Söümleme etk altıda ola br tem alıım yaparke yavaş yavaş öümlemeye gder. Bu öümleme etk, deklem le veya Deklem (7.3) le heaplaır. co (7.6) Şekl 9-: İkc mertebede br temde, Ayarlama zamaı, Yükelme zamaı ve tepe zamaı değerler göterlş Tepe Zamaı (Peak Tme), Tp: Stem lk hareketde e yükek oktaya çıkmaı ç geçe üreye Tepe zamaı (Peak Tme) der ve aşağıdak formülle heaplaır. Tp d (7.7) Ayarlama Süre (Settlg Tme), T: t zamaı ouza gderke fokyou değer olmaktadır. şte bu durumda, tem değer, 0.0 ürüye ayarlama zamaı, T, der ve aşağıdak deklem le heaplaır. f 86 c fal c c ıırları çere grceye kadar geçe l T (7.8) Yükelme Zamaı (Re Tme), Tr: Stem o değer ola f c değer %0 uda başlayıp, %90 değere varıcaya kadar geçe üreye der. Bu ebeple heaplamaı braz zama alıcıdır. f

88 Çükü tem kararlı hale varıca alacak olduğu değer c t 0. c f deklemde Burada da Tr ç, deklemde yararlaılır. t zamaı ve c c f öce heaplaır. daha ora c t 0.9 c f deklemde de t zamaı heaplaır. T t t (7.9) r Makmum Aşma Değer (% Over Shoot), OS: t zamaı ouza gderke fokyou değer c 0.0 ıırları çere grceye c c olmaktadır. şte bu durumda, tem değer, fal f kadar geçe ürüye ayarlama zamaı, T, der ve aşağıdak deklem le heaplaır. veya cmax cf %OS 00 c f f (7.0) %OS e 00 (7.) deklemde yararlaılarak heaplaır. Söümleme katayıı le Makmum aşma değer araıda aşağıdak bağıtı da kullaılır. %OS l 00 %OS l 00 (7.) Kotrol temler aalz ve taarımıda dört farklı uul, tarz, yötem kullaılmaktadır. Bular, Root-Locu grafk metodu Bode dyagramı 3 Nyqut krter 4 Nchola-chart dyagramı olarak karşımıza çıkmaktadır Bularda lk olarak, Root-Locu metodu celeecektr. Root Locu Metodu (The Root-Locu Method) Bu celeme tarzı, Calfora Üvertede la öğrec ke Walter Eva (9-999) tarafıda 948 yılıda ortaya atılmış ve grafk çzme dayaa br uuldür. Faydaları aşağıdak şeklde ıralaablr. a.) Kotrol temler aalzde veya taarımıda kullaıla güçlü br grafk metottur. b.) Kutupları yer değştrdğde kotrol teme aıl ter ettğ kolaylıkla alaşılmaktadır. c.) Açık dögü trafer fokyoua lave edlecek kutup ve ıfırları (kompazayo) kotrol teme etk kolayca göreblmey ağlar. d.) Steme ter ede k veya daha fazla parametre (PID gb) değştğde, Root locu oucu heme dzay edlme (etez) ağlar. Brm egatf ger belemel br tem kararlılığı celerke, bua bağlı olarak aşağıdak deklem yazılablr. 87

89 R() K.G() C() Şekl 0-: Brm egatf ger belemel tem Yukarıda Şekl 0- de verle egatf ger belemel tem Trafer fokyou (TF), C KG TF (8.) R KG şeklde yazılablr. Stem kararlılığı celerke, paydayı ıfır yapa değer tem kararız hale getreceğde dolayı burada, yazılablr. Komplek düzlemde bu deklem celedğde, j.ω KG 0 (8.) KG 0 j (8.3) - Şekl 0-: Saal Düzlemde Root-Locu'u göterm olduğu görülür. Burada egatf ger belemel temler götermde, açı değer her zama, 80 k360, k 0,,,3, şartıı ağlamaı gerektğ görülmektedr. Poztf ger belemel temlerde açı değer, KG 0 olduğuda dolayı, her zama, KG 0 açı değer belemeler celeecektr. k 360, k 0,,,3, olmalıdır. Şmdlk adece egatf ger Root-Locu metodu br grafk uuldür ve bu grafk üzerde brçok değer K,,,,%OS,,gb okuablmektedr. Ayrıca, Root-Locu grafğ çzlrke, Deklem (8.) değer aşağıdak gb ıfırlar (zero) ve kutuplar (pole), grafk üzerde ıraıyla o ve x şeklde göterlr. Yöler her zama kutuplarda, ıfırlara doğrudur. o Başlagıçta, ya kutuplarda Kazaç değer (Ga) K, her zama ıfıra eşttr. Sıfırlarda (zero) e K değer ouza gtmektedr. Komplek düzlemde aal eke ağ tarafı, her zama kararız ve ol tarafı e tamame kararlıdır. Negatf ger belemel temlerde, K kazaç katayıı (Ga), aralığı 0K le taımlıdır. Poztf ger belemel temlerde e K değer (Ga faktör), K 0 aralığıda taımlıdır. Negatf ger belemel temlerde, σ 88 d

90 Kol ayıı (Brache) : Kol ayıı kutup ayıı (pole) ayıı kadardır. Sıfır ayıı (zero) m le fade edldğde ouza gde kol ayıı (brache), (-m) kadardır. Amtotlar (Aymphtot): Kutup ayıı (pole), ıfırlar (zero) da büyük olduğuda m, kollar ouza gder ve bu kollar amtotlara paralel olur. Bu amtotları gerçek eke üzerdek yer a ve gerçek eke le yapmış olduğu açı, a değer ıraıyla aşağıda verle deklemler le heaplaır. a p j 89 m m k 80 a, k 0,,,, m m Ayrılma (break-away pot) ve brleşme (break- pot) oktaları: k kutup gerçek eke üzerde olduğuda, root-locu değer bu k kutup araıda br değere ulaştığıda brbrde ayrılır. Bua ayrılma (break-away) oktaı der. Ye Bezer şeklde k ıfır (zero) değer gerçek eke üzerde olduğuda root-loc kolları bu k zero araıda br değerde brleşr. Bu oktaya da brleşme (break-) oktaı der. Bu oktaları heaplamak ç, z j (8.4) (8.5) d G 0 d (8.6) deklemde yararlaılır. Bu deklem köklere dkkat edlerek hag oktaı ayrılma veya brleşme oktaı olduğu pole ve zero değerlere bakılarak alaşılır. İkc br uul e, deklemde yararlaılarak heaplaır. m p zj j Ayrılma ve Brleşme açıları (Agle of Departure ad Arrval) : Kutuplar (pole) veya zerolar gerçek tamame eke üzerde olmayıp, komplek bleşe de olduğu takdrde ayrılma açıları veya p ayrılma açııı (agle of departure) heaplamak 80 değldr. Bu amaçla k. kutuptak k ç, lk öce ıfırlarda (zero) bu oktaya(k. kutuba doğru vektörler çzlr. Bu vektörler yapmış olduğu açılar toplamı m j j (8.7) z olu. Bezer şeklde kutuplarda (pole) tele k. kutba (kth pole) doğru vektörler çzlr. Bu vektörler yapmış olduğu açılar toplamı Burada, m j k j, k, k 0 p fade edl. ZeroAgle PoleAgle p k 80 olacağıda dolayı, m bağıtıı kullaılarak heaplaır. z p p k 80 (8.8) j k j, k

91 Uutulmamalıdır k, Root-locu kolları her zama gerçek ekee göre metrktr. Ayrıca, egatf ger belemel temlerde, komplek düzlem gerçek eke üzerde, tek kutup (pole) ve/veya ıfırları (zero) oluda her zama root-loc mevcuttur. Vektörü başlagıç oktaı ayrılma ç, kutup oktaı yöü e ıfıra doğrudur. Verle br v a j b oktaıı root-loc olup olmadığıı araştırmak ç k uul vardır. Brc: bu oktaya lk öce ıfırlarda (zero) başlayıp bu oktada bte vektörler çzlr ve bütü vektörler yapmış olduğu açılar toplamıda, kutuplarda (pole) bu oktaya çzle vektörler yapmış olduğu açılar çıkartılır. Elde edle açı değer 80 olduğu takdrde bu okta root-loc oktaıdır. Farklıya, verle okta root-loc oktaı değldr. İkc: Verle fokyoda yere v a j b fade elde edlr. Bu fade trgoometrk çemberde yaptığı açı oktaıdır. Değle, değldr. değer grlr ve ouçta 80 F c j d gb br e verle okta root-loc Root-locuu aal eke ketğ değerler bulmak ç, kararlılık krterler ola Routh veya Hurwtz krter kullaılır. Bulua K kazaç değer (Ga factor) dkrmat 0 polomuda yere yazılarak kökler buluur. Bulua komplek köklerde aal eke ketğ yer tay edlmş olur. Br oktadak K kazaç değer (Ga Factor) e, Bu oktadak büyüklüğü (Magtude) le lgldr. deklem le heaplaır. K zerolegth M M polelegth Kotrol devreler aalz ve taarımıda kullaıla br yötemdr. Verle Kotrol devrede tele ayarları bulumaıda kullaılır ve grafk çözümlü br uuldür. Metodu alaşılablme ç bazı temel kavramları blme gerekldr. Laplace uzayıda verle br değşke, karmaşık ayılarla F fokyou, a j b dek da fade edleblmektedr. Buu ç Laplace uzayıda verle br değer heaplamak ç, (8.9) F F m j z p j z z zm p p p fokyouu, herhag br a jb oktaıdak şddet ya büyüklüğü, (8.0) M m j z p j z z zm p p p deklem le heaplaır. Ayı fokyou o oktadak, (+x) gerçek eke le yapmış olduğu açı, veya, zero agel pole agel m j j deklem le heaplaablr. Dğer farklı br şeklde de büyüklük ve açı heaplaablmektedr. 90 (8.) z p (8.)

92 Negatf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mühedlkte karşımıza çıka brçok mühedlk problem Negatf Ger Belemel dr. Çzm ç aşağıdak adımlar takp edlre, kotrol tem daha rahat br şeklde aalz edleblr.. Adım: Root Locu formuda karaktertk deklem elde edlme: ya getrlme. K G 0 formua. Adım: açık dögü halde kutup (pole: x) ve ıfırları (zero: o) bulumaı: Payı ıfır yapa değerler ıfırları, paydayı ıfır yapa değerlerde kutupları belrler. Bu şlem aşağıdak gb deklemler le göterleblr. Trafer fokyou faktöryel tarzda yazılmalıdır. KG 0 K 0 m z K 0 p j olduğuda, aktf term olmaktadır. j j p j m p K z 0 j j olmakta ve K x o K0 K olduğuda, aktf term 3. Adım: gerçek eke üzerdek Locu yerler belrleme: Brçok root-loc yer gerçek eke üzerde bulumaktadır. Root-locu u gerçek eke üzerdek yer şu şeklde belrler: Gerçek eke üzerde, açık dögü kutupları ve ıfırları tek ayılı olalarıı oluda br okta alıdığıda ( bu da gerçek eke üzerde olmak şartıyla), bu okta Root locu oktaıdır. Gerçek eke üzerde poztf ouzda başla ve ola doğru orje yaklaşacak şeklde br kutup veya ıfırla karşılaşıcaya kadar hareket et. Karşılaştıkta ora kalemle gerçek eke üzerde çzmeye başla ve devam et, ta k gerçek eke üzerde br kutup veya ıfıra varıcaya kadar. Eğer karşılaşmaza ouza kadar çzlmş kabul et (ya çz). Eğer gerçek eke üzerde kutup veya ıfır yok e, o takdrde gerçek eke üzerde root-locu yer olmayacak demektr. Bazı temlerde gerçek eke üzerde ayı oktada brde fazla kutup ve ıfır olablmektedr. Bu koumda k farklı durum karşımıza çıkar. Brc: karşılaşıla oktada tek ayılı kutup veya ıfırlar var e, yapıla çzm bu oktada tbare ola doğru devam eder. İkc: karşılaşıla oktada çft ayılı kutup veya ıfırlar var e, yapıla çzm bu okta durur ve bu oktada tbare ola doğru devam etmez. Gerçek eke üzerde br yer şaretledğde bu oktaı ağıda tek ayılı br kök var e, bu okta locu kımıda br yerdr, oktadır. Eğer bu oktaı ağıda brde fazla kök var e, buları tek veya çft ayı olmaıa göre durum değşr. 4. Adım: (var e) amtotları yerler ve açılarıı belrleme: amtotlar kutupları ouza hag doğrultu boyuca paralel gdeceğ belrler. Kutup ayıı (), ıfır ayııda (m), fazla ola temler ç, (-m) kadar kutup ouza doğru gder. Bu ayı amtotları ayııı belrler. Kutup ayıı, ıfır ayııa eşt olduğu takdrde, amtot bulumaz. Locu çzgler kutupta (x) başlar ve ouza gtmede ıfırda (o) bter. Amtotlar gerçek ekee göre metrktr. İlk öce amtotları yer belrler, daha ora (+x) gerçek eke le yaptıkları açı heaplaarak çzm yapılır. Buu le lgl deklemler, deklem (8.4) ve (8.5) dr. 5. Adım: (var e ) gerçek eke üzerdek ayrılma ve brleşme oktalarıı belrleme: k veya daha fazla loc br oktada brleştğde, bu oktada ayrılma meydaa gelr. Geellkle bu okta gerçek eke (x eke) üzerde olduğu gb, bazı durumlarda aal düzlemde herhag br okta m z 9

93 da olablr. Her br ayrılma oktaıda K ı (Ga) bazı değerler ç çft veya daha fazla kök (root) değer mevcuttur. KG 0 KG K G da db b a dk d d d b 0 K b a 9 K a b K gerçek ve poztf br ayı olduğuda bu şart ağladığı takdrde, bu okta ayrılma veya brleşme oktaıdır. Heaplaa okta kutuplar araıda e ayrılma, ıfırlar araıda br değer e brleşme oktaı olduğu alaşılır. 6. Adım: (var e) ayrılma ve brleşme açılarıı belrleme: Kutup oktaı adece gerçek eke üzerde olup aal bleşe yok e, ayrılma açıı ya dr veya dr. Fakat gerçek eke üzerde herhag br okta olduğu takdrde (ya aal bleşe de mevcut), ayrılma açıı dep p aşağıdak şeklde heaplaır. m 80 z p dep j j, k Burada; :. kutupta eçle kutba doğru br vektör çzldğde, bu vektörü (+x) eke le yapmış olduğu açıdır. z j : j. ıfır (zero) oktaı le eçle kutup araıdak açıdır. Bu da ayı şeklde ıfır oktaıda tee kutba doğru br vektör çzlr. Bu vektörü (+x) eke le yapmış olduğu açıdır. Bezer şeklde, ıfır oktaları gerçek eke üzerde olmayıp, aal düzlemde herhag br oktada olduğu takdrde, ıfır oktaıa gele brleşme açıı arr aşağıdak şeklde heaplaır. 80 p z arr j, k j p le yapmış olduğu açıdır. z j m :. kutupta tee ıfır oktaıa doğru br vektör çzldğde, bu vektörü (+x) eke : j. ıfır oktaıda tee ıfır oktaıa doğru br vektör çzldğde, bu vektörü (+x) eke le yapmış olduğu açıdır. Gerçek eke üzerdek tek kutup ve tek ıfırlar metrde dolayı, her zama 0 veya 80 derecelk ayrılma veya brleşme açııa ahptr. 7. Adım: (var e) aal eke kee oktaı belrleme: Root-locu u aal eke ketğ yerde kapalı dögü trafer fokyouda K değer uçta o değer olarak (marjal) karalıdır. Bu değer geçtğde Root-locu grafğ aal düzlemde, aal eke ağ tarafıa geçtğ takdrde kapalı dögü tarfer fokyou kararızdır. Buu ç K değer her zama aal eke ol

94 tarafıda buluacak şeklde değer almalıdır. Root-Locu u aal eke ketğ oktayı tebt etmek ç, üç farklı uülde faydalaılır. a) Deeme yaılma le [tral ad error], ayıal aalzde öğretle kye bölme metodu gb: Çözüme komplek düzlemde orjde başlaır ve aal eke üzerde yukarı doğru aralıklı baamaklarla (dcrete tep) ler dögü trafer fokyouu faz açıı (phae agle) heaplaır. İk okta araıda e zama faz açıı brde derece az ve dğer oktada fazla e veya ter olura, bu k okta araıda root-locu mevcuttur. Faz açııı derece dereceye G a b eşt olduğu okta root-locu oktaıdır. Burada da K değer heaplamış olur. fokyouda yere y j yazılır ve y j yazılır ve açı heaplaır. Tekrar yere açı heaplaır. Elde edle açı değerlerde br 80 derecede büyük e dğer küçük olmalıdır. Böylece aralık küçültüldüğüde Root-locu u aal eke ketğ yer heaplamış olur. b) Routh-Hurwtz krterde faydalaılır: Stem kararız yapa K değer heaplaır ve bu değer kapalı trafer fokyouda yere yazılır. Burada determat değer ıfır yapa değerde elde edle aal kök tee değerdr. Deklem mertebe arttığıda bu uul le çözüm yapmak oldukça ıkıcıdır. d c) Söümlemel doğal freka j deklemde, d le K kazaç (ga) katayııı heaplayarak: Karaktertk alıarak heaba başlaır. Gerçek ve aal eke bleşeler ayrı eştlkler j halde yazılıp ıfıra eştler. Burada k tae deklem elde edlmş olur. deklemde faydalaarak, değer heaplamış olur. d heaplaır. Bu değer aal eke ketğ oktadır. Burada da K 8. Adım: kala locu çzgler belrleme: Çözüme açık dögü kutupları çzlerek başlaır. Uutulmamalıdır k Root locu grafğ gerçek ekee göre her zama metrktr. Ve bu grafğ aal ekee göre ol kımı kararlıdır, ağ kımı e kararızdır. Mal: Aşağıda verle egatf ger belemel tem, a) Root-Locu grafğ çzz. b) Stem kararlı olmaı ç K kazaç değer e olmalıdır? Çözüm: tem trafer fokyou; R() K TF K C R K (+) TF C() K K G d 93

95 TF Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg K K G Burada kutupları p, 0, Bu k kutup araıda ayrılma oktaı olacaktır. Bu da k şeklde heaplaablr. dk d 0 dk d d d oktaı, ayrılma oktaıdır. Ayrılma oktaıda K değer; M G 0 ve olduğu görülür. 0 oktaıda kazaç değer K M4 M 4 4 K 0 Root-Locu oktaı aal düzlem tamame ol tarafıda olduğuda, Grafğ aşağıda verlmştr. K 0 dır. ç tem kararlıdır. K=0.5 F Mal: düzlemde heaplayıız. Çözüm : F le verle fokyou 3 4 j dek şddet (büyüklüğüü) ve açııı, karmaşık 3 4 j değer, 3 4 j F 3 4 j3 4 j F fokyouda yere yazıldığıda, F 94 4 j 3 6 j Karmaşık ayılarla bölme yapablmek ç paydaı eşleğ le her k taraf çarpılır. Böylece, F 4 j 3 6 j36 j 3 6 j Elde le bu ayı, F j j F j

96 F ta, tarzıda da fade edlebleceğde, 85 F ta 4, 9 85 (8.3) F olarak heaplaır. Ayı şlemler aşağıdak şeklde de yapılablr. m z p j, z,p 0,p j j j p bezer şeklde büyüklüğü de, M m j z p j z z zm p p p deklem yardımıyla heaplaablr. M z p j j z 3 4 p p M M şeklde büyüklüğü elde edleblr. Çözüm : Ayı ouçlar vektör çzerek de heaplaablr. 3 4 j 95

97 -3 m z p j j 3 4 j z p p z ata(y,x) ata(4, ) 6.57, p ata(y,x) ata(4, 3) 6.87 p ata(y,x) ata(4, ) 04.04, Bu değerler yere yazıldığıda; z p p Büyüklüğü de bezer şeklde heaplaablr. Sıfır ve kutup oktalarıda tele oktaya vektör çzlr ve bu vektörler boyu heaplaarak ayı ouçlar elde edlr. M j z p j z p p M M M Mal: Aşağıda verle temde,. Ayrılma (Break-away) ve/veya brleşme (break-) oktaları var e heaplayıız.. Ayrılma (Break-away) ola yerde Kazaç değer (K) ve doğal freka değer le verle fokyou 3 4 dek şddet (büyüklüğüü) ve açııı, karmaşık düzlemde heaplayıız. R() K 3 C() Çözüm: Ayrılma ve brleşme oktaları k farklı şeklde heaplaablr. 96

98 3 d d G d d Burada deklem kökler olarak,, d 6 7 G d , olduğu görülür Köklerde değer ayrılma oktaıdır ve değer e brleşme oktaıdır. 3 Ayrılma ola yerde kazaç değer K yı bulmak ç, G deklemde görüle yere, = değer yazılarak heaplaır. M olarak buluur. kazaç değer ç, K M M K olduğu görülür. Doğal frekaı değer büyüklüğü olduğuda dolayı, ab, a b rad/ dr Stem root-locu grafğ yukarıda verlmştr. Mal: Yukarıdak verle Mal 0..4 de değerlerde, ve doğru olaı ç öümleme katayııı ve öümlemel doğal frekaı j ve j ç hag root-locu oktaı olup olmadığıı öce ayrı ayrı tet edz d heaplayıız

99 G() fokyouda görüle yere j değer yazılır ouçta çıka açı değer 80 olduğu takdrde bu okta root-locu oktaıdır. Buu ç, j, G G j j j Çıka ouçta dolayı verle okta root-locu oktaıdır. Ayı şlemler j değer ç yapıldığıda, j, G G j j j j j Görüldüğü gb çıka ayı trgoometrk çember 3. bölgededr. root-locu oktaı değldr. Doğru olaı ç öümleme katayıı aşağıdak şeklde heaplaır. ata y,x ata , rad 0 co co a jb, a b rad / d d rad / olduğu görülür. Matlab le elde edle ouçlar da yukarıdak grafkte verlmştr. d 98

100 F Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg Mal: karmaşık düzlemde heaplayıız. Çözüm: 7 9 j değer, 4 F 3 6 F F F le verle fokyou F 5 9 j3 9 j F 7 9 j 4 9 j 9 j 66 7 j j F j 7 9 j dek şddet (büyüklüğüü) ve açııı, fokyouda yere yazıldığıda, 7 9 j7 9 j j 7 9 j j j Elde edle bu ayıda büyüklük ve açı kolaylıkla heaplaablr., F M ta, F Ayı ouçlar vektör çzerek de elde edleblr j j j j 08,435 9, j j z p z z p p p z ata(y,x) ata(9, 5) 9.055, 3 z ata(y,x) ata(9, 8)

101 p ata(y,x) ata(9, 7) 7.875, p ata(y,x) ata(9, 4) 3.96 p ata(y,x) ata(9, ) , Bu değerler yere yazıldığıda; Büyüklüğü de bezer şeklde heaplaablr. Sıfır ve kutup oktalarıda tele oktaya vektör çzlr ve bu vektörler boyu heaplaarak ayı ouçlar elde edlr. M M 3 j z p j z z p p p 3 M M olarak ayı ouçlar elde edlr. Mal: Aşağıda verle kotrol devrede var e ayrılma ve/veya brleşme açılarıı, R() K C() ayrılma ve/veya brleşme oktalarıı ve tem kararlı olmaı ç K e olmalıdır, heaplayıız. 00

102 Çözüm: verle.5.5 joktaı ve dğer ıfır ve pole değerler komplek düzlemde yere.5 yerleştrlr. ta C A P Z O 35 B -. Root-Locu açı özellğ kullaıldığıda, m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c z p z p p z p 5 80 z p z p z p z p 5.55 z p 5.55 PAZ 5.55 BAO PAB C A.63 P B.5 Z O -

103 Yukarıdak şeklde de alaşılacağı gb PAO üçge göz öüe alıdığıda; POA PAO PA O 8.46 Br üçge ç açıları toplamı 80 olduğuda dolayı, heaplamaı gereke p açıı bu özellkte dolayı kolaylıkla buluur. PAO üçge ç açıları toplamı; 80 p p PAO 80 p 80 PAO p p Burada pole değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce heaplamalıdır. Buu ç; p PA b b b.5 p p p p PA p p pc p co p a pc olduğu görülür. PAZ üçge dkkate alıdığıda; z p z z olarak heaplaır. uzuluğu Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce z ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b z ZA z b z z.5 z zc zco z a zc olduğu görülür. z Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K kolaylıkla heaplaır. 3 pole K C K zero K C C ppp zz C KC kazaç değerdr. 0

104 Mal: Aşağıda verle egatf ger belemel temde ayrılma açılarıı (Departure Agle) heaplayıız. R() K 4 3 C() Çözüm: j olduğu görülür. Ayrıca, G, 4 3 Trafer fokyou; KG TF K G şekldedr. de zero vardır. m p p z k 80 deklem Ayrılma açılarıı heaplaablme ç, veya m dep j j, k k j, k j 80 z p deklem kullaılablr. 80 z p 80 z p dep j j dep p 90 z ata(y,x) ata(3,4) dep dep

105 80 z p 80 z p dep j j dep p 90 z ata(y,x) ata( 3,4) dep dep dep 6.87 olarak heaplaır. Açılar yazılırke, her zama (+x) ekede tbare açı değerler yazılmalıdır. 04

106 Mal: Aşağıda verle egatf ger belemel temde,. Ayrılma ve brleşme oktalarıı heaplayıız.. Amtotları yer ve açılarıı heaplayıız j le verle okta Root-locu oktaı mıdır? Heaplayıız Eğer Root-locu oktaı e bu oktadak, kazaç değer, doğal frekaı, öümleme katayııı, öümlemel frekaı, yükelme zamaıı, ayarlama üre ve makmum aşma değer heaplayıız. R() K 3 C() Çözüm: pole=[0,-,-] olduğuda ayrılma oktaı vardır. fakat zero adece tek br okta olduğuda brleşme yoktur. d dg 3 d d ,, , , olduğu görülür ve = oktaı, ayrılma oktaıdır.. Amtotları yer, m 3 a p m j m z j deklem le buluur. p z p z 0 ( 3) m 3 j j j j a Ya =0 oktaıda amtotlar vardır ve gerçek eke le yapmış oldukları açılar, k 80 a, k 0,,,, m m a k 80, k 0, 3 a 80 k 80 a, k 0,,,, , k 0 ve 70, k j le verle okta, root-locu oktaıdır. Çükü bu oktadak açı değer yaklaşık 80 derecedr. Bu değer, a

107 F f Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 deklemde görüle yere j yazıldığıda, j j j j j j f j 80 olduğu görülür. Ayı değerler vektör çzm le de heaplaablr. ve dolayııyla, verle oktaı root-locu Şekl 0-3: Ayrılma oktaı değer matlab le göterm M Bu oktadak kazaç değer K (ga factor) aşağıdak gb heaplaır. K M Doğal freka değer, 06

108 rad / Söümleme katayıı ζ, ata(y,x) ata(.85, 0.77) co co olarak buluur. Söümleme frekaı d e, d d d rad / Yükelme zamaı, Tp d Tp olarak buluur Şekl 0-4: K=.85 değere karşılık gele değerler Matlab le göterm Ayarlama üre e, 07

109 l0.0 4 l0.0 T Makmum aşma değer e, T alarak heaplaır. %OS e 00 %OS e olarak heaplaır. Bu değerler doğruluğu Matlab le elde edle ouçlarla göterlmştr. Mal: Aşağıda verle temde a) Ayrılma (break-away pot) ve brleşme (break- pot) oktalarıı heaplayıız. b) Aal eke ketğ yerde kazaç değer ve doğal frekaı heaplayıız R() K 3 C() Çözüm: Ayrılma ve Brleşme oktaları k farklı şeklde heaplaablr ,,3, , , , Ayrılma oktaıdır. (break-away pot) Brleşme oktaıdır (break- pot) 3 K 4 3K 3 K 08

110 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg 3 33K 0 K 4 K 0 3K K K 4 0 K 0 Routh tablouu 3. atırıda, 0 3K K 0 K 4 3K K 0 K 65 K K 0 K 0 şartı elde edlr. Bu k şartı brleştrlmeyle brlkte 0 K olmalıdır. Stemde K görüle yere değer grlr. K 3 TF K 3 K 3 3 TF 3 K K 3 TF 3 K 3 3 K TF 3 K 3 K , , ,,3 4 0 değer gerçek kımı ıfıra eşt olmalıdır. Dolayııyla doğal freka değer heme belldr rad / Kazaç değer; K Elde edle değerler, Matlab ouçları le, tamame uyumlu olduğu görülmektedr. Mal: Aşağıda verle temde; a) Ayrılma açılarıı (Departure Agle), b) K=.4 ç öümleme frekaıı d, öümleme katayııı, ve makmum aşma değer %OS heaplayıız. R() K 5 C() 09

111 Çözüm: Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg m p p z k 80 zero 0, pole j k j, k j veya olarak buluur. Dğer açı gerçek ekee göre metrk olmalıdır. Ya Burada dkkat edlme gereke, açılar her zama (+x) ekede tbare ölçülmeldr. Not: Ayrılma (Break-away) ve Brleşme (Break- Agle) açıları heaplaırke, ala yere koordat değer yazarak heaplamayıız. Soucuuz yalış olur. Sadece vektör çzerek heaplayıız.unutmayiniz!!! 0

112 b) K=.4 değer temde grlr. K 5 TF 5K 5 K K TF 5 K 5 K , Doğal freka değer, K TF 5 5 K TF rad / Söümleme katayıı ζ, ata(y,x) ata(.700, ) co co olarak buluur. d Söümleme frekaı e,

113 d d rad / Makmum aşma yüzde; d %OS M 00 e 00 p p %OS M 00 e 00 %OS elde edle değerler matlab le kotrol edleblr. Görüldüğü gb ouçlar, tamame uyumludur. Poztf ger belemel temlerde Root Locu Metodu le Çzm Mühedlkte karşımıza baze Poztf Ger Belemel temler çıkmaktadır. Negatf ger belemede farklı olarak aşağıdak şlemler uygulaır.. Adım: Root Locu formuda karaktertk deklem elde edlme: ya getrlme. KG 0 formua. Adım: açık dögü halde kutup (pole: x) ve ıfırları (zero: o) bulumaı: Payı ıfır yapa değerler ıfırları, paydayı ıfır yapa değerlerde kutupları belrler. Bu şlem aşağıdak gb deklemler le göterleblr. Trafer fokyou faktöryel tarzda yazılmalıdır. KG H 0 m z K 0 pj j j m p K z 0 j pj olduğuda, aktf term j olmakta ve K olduğuda, aktf term Poztf ger belemede heaplaa oktada açı değer; KG H k 360, k 0,,, 3, şartıı ağlamalıdır. x K0 m o K z K 0 olmaktadır. Ya 3. Adım: gerçek eke üzerdek Locu yerler belrleme: Brçok root-loc yer gerçek eke üzerde bulumaktadır. Root-locu u gerçek eke üzerdek yer şu şeklde belrler: Gerçek eke üzerde, açık dögü kutupları ve ıfırları çft ayılı olalarıı oluda br okta alıdığıda ( bu da gerçek eke üzerde olmak şartıyla), bu okta Root locu oktaıdır. Gerçek eke üzerde poztf ouzda başla ve ola doğru orje yaklaşacak şeklde br kutup veya ıfırla karşılaşıcaya kadar hareket et. Karşılaştıkta ora kalemle gerçek eke üzerde çzmeye başla ve devam et, ta k gerçek eke üzerde br kutup veya ıfıra varıcaya kadar. Eğer karşılaşmaza ouza kadar çzlmş kabul et (ya çz). Eğer gerçek eke üzerde kutup veya ıfır yok e, o takdrde gerçek eke üzerde root-locu yer olmayacak demektr. Bazı temlerde gerçek eke üzerde ayı oktada brde fazla kutup ve ıfır olablmektedr. Bu koumda k farklı durum karşımıza çıkar. Brc: karşılaşıla oktada çft ayılı kutup veya ıfırlar var e, yapıla çzm bu oktada tbare ola doğru devam eder. İkc: karşılaşıla oktada tek ayılı kutup veya ıfırlar var e, yapıla çzm bu okta durur ve bu oktada tbare ola doğru devam etmez.

114 Gerçek eke üzerde br yer şaretledğde, bu oktaı ağıda çft ayılı br kök var e, bu okta locu kımıda br yerdr, oktadır. Eğer bu oktaı ağıda brde fazla kök var e, buları tek veya çft ayı olmaıa göre durum değşr. 4. Adım: Ayrılma ve brleşme açıları 0 veya 360 ı katları olacağıda dolayı; m m dep z p k 360, k 0,,, j j, k z p 0 z p j j, k deklemler le heaplaır. m dep j j, k Mal: Aşağıda verle poztf ger belemel temde, p z arr j j,jk m m j arr j,j k. Ayrılma ve brleşme oktalarıı heaplayıız.. Amtotları yer ve açılarıı heaplayıız j le verle okta Root-locu oktaı mıdır? Heaplayıız. 3. z p 0 4. Eğer Root-locu oktaı e bu oktadak, kazaç değer, doğal frekaı, öümleme katayııı, öümlemel frekaı, yükelme zamaıı, ayarlama üre ve makmum aşma değer heaplayıız. R() K 3 4 C() Çözüm: pole=[0,-,-,-4] olduğuda ayrılma oktaı vardır. Fakat ıfırlar (zero) adece tek br okta olduğuda brleşme yoktur. d dg 3 d d ,, , olduğu görülür ve oktaı, ayrılma oktaıdır.. Amtotları gerçek eke ketğ yer, a p m j m z j deklem le buluur. 3

115 m 3 p z p z 0 4 ( 3) 7 3 j j j j a Ya m a 3 oktaıda amtotlar vardır ve bu oktada gerçek eke le yapmış oldukları açılar, 80 k a, k 0,,,, m m 80 k a, k 0,,,,4 4 a 0 k, k 0,, a 0, k 0 ve a 0, k a 40, k derecedr j le verle okta, root-locu oktaıdır. Çükü bu oktadak açı değer yaklaşık ıfır (0) derecedr. Bu değer, F F 3 deklemde görüle yere j yazıldığıda, j j j j j j F j 0 ve dolayııyla, verle oktaı root-locu olduğu görülür. Ayı değerler vektör çzm le de heaplaablr. Bu oktadak kazaç değer;

116 M K M K Bu oktadak kazaç değer K (ga factor) aşağıdak şeklde de heaplaır. M 4 j z p j z p p p p 3 4 K M Kutup lave (Addto of Pole to G() H()) G H terme, kutup(pole) lave edldğ takdrde, Root-Locu eğr ağa doğru tlmş olur. Sıfır lave (Addto of Zero to G() H()) G H terme, zero(ıfır) lave edldğ takdrde, Root-Locu eğr ola doğru tlmş olur. Root-Locu le Dzay (Steme kutup ve ıfır ekleme etkler) Burada yapıla şlemler geel m olarak Kompazayo (Compeato) dye adladırılır. Geçc cevabı daha y hale getrlme ve alıcı etklerdek hataı azaltılmaı bu ııfa grer. Kotrolde kullaıla brçok kompazayo türler aşağıda verlmştr. - Lead Kompazayo - Lag Kompazayo - Lead-Lag Kompazayo - Notch Fltre - P (Oratı) Kotrol edcler - I (Itegral) Kotrol edcler - PI (Oratı+Itegral) Kotrol edcler - PD (Oratı+Dferayel) Kotrol edcler - PID (Oratı+Itegral+Dferayel) Kotrol edcler Buları temel özellkler bldğ takdrde, kotrol elemalarıı katayıları, tee şartlara uygu olarak belrleeblr. Ayı zamada blok dyagramıa bağlaış şekller de katayılarda değşklğe yol açar. Root-Locu le Lead Kompazayo (Lead Compeato wth Root-Locu method) Burada yapıla şlemler geel m olarak Kompazayo (Compeato) dye adladırılır. Geçc cevabı daha y hale getrlme ve alıcı etklerdek hataı azaltılmaı bu ııfa grer. Kotrolde kullaıla brçok kompazayo türler aşağıda verlmştr. Lead kompazayo mde de alaşılacağı gb teme lder br elema lave etmektr. Ya komplek düzlemde gerçek eke üzere br tae kutup(pole) ve bu kutup değerde daha büyük olacak br ıfır (zero) lave edlr. Dğer br fade le kutup ağ tarafıda ıfır vardır ve koumları o şekldedr. Steme bular lave edldğde yerler tam olarak bell değldr ve heaplama le buluur. Lead Kompazayo ; z c K c, zc pc (8.4) pc 5

117 Şeklde fade edleblr. Bazı kayaklarda Deklem (8.4) dek göterm yere, T z c Kc,, T, (8.5) T p c z c Deklem le göterlmştr. Buu patı oldukça battr. z c zc zc K c K p c pc pc Burada da, R() z z c c c pc c pc c z p K c zc pc T z c K c T zc p z T K c olduğu görülür. Kotrol devrede kullaılışı aşağıdak gbdr. T K C z c p c 4 5 Lead Kompazayo Kotrol Edle=Plat C() c c Şekl 5: Lead Kompazayolu Kutup ve Sıfır htva ede (çere, buludura) Kotrol Devre Lead Kompazayo şlem baamakları aşağıdak gb ıraıyla heaplaablr.. İlk şlem olarak, yukarıda verle kotrol elemaı üzerdek ble kutuplar ve ıfırlar (Pole ad zero) komplek düzlemde yerleştrlr. Kutuplar ve ıfırları mutlaka gerçek eke üzerde olmaı şart değldr. Ya aal bleşeler de olablr Şekl 6: Kutup ve ıfırları komplek düzlem üzerde yerleştrlme. Zamaa bağlı olarak ayarlamaı tee değerlerde a jb oktaı belrler. Bu bzde tee krterlere bağlıdır. Makmum aşma değer (%OS) şu olu, ayarlama üre (T) bu olu gb...burada tee Root-Locu oktaıı yer belrler. açıı le bldğ takdrde oktaıa at a ve bleşeler heaplaablmektedr. l0.0 l0.0 Hatırlatma: T 6 T, %OS l 00 %OS l 00 Bu deklemler. Mertebede temler ç geçerldr. Fakat yükek mertebede deklemler ç de yaklaşık olarak kullaılmaktadır.

118 a b j açıı le açııı toplamı olduğuda dolayı, 3. Yerler blmeye ve ayı komplek düzlemde yerleştrlr. z c p c o 80 yazılablr. olacak şeklde aşağıdak gb =a+b j a b P Z - Şekl 7: Kompazayo değerler kutup olda ve ıfır ağda olacak şeklde yerleştrlme Bu okta Root-Locu oktaı olduğua göre tee şartları ağlamalıdır. 4. Daha ora kutup ve ıfır oktalarıda tee A oktaıa ab j doğru vektörler çzlr. A P Z - O Root-Locu metoduu temel özellğ ola açı bağıtıı, m j j,jc, c Zero Agle z Pole Agle p 80 kullaılarak, zp açıı heaplaır. 7

119 5. Dğer ağlamaı gereke br şart da Kazaç değer le büyüklük araıdak, K zero legth C M M pole legth bağıtııdır. 6. Ayrıca e y kazaç değer yer, CAO açııı açıortayı ola ağladığıda dolayı, C AB doğrultuu çzlr. =a+b j A AB doğruu le P B Z - O CAO, CAB BAO 7. Ayrıca yukarıdak şeklde PAB BAZ olduğu takdrde e y kazaç değer heaplamış olur. PAO üçge göz öüe alıdığıda, bu üçge ç açıları toplamı 80 olacağıda dolayı, p 80 yazılablr. Burada tek blmeye açı p olduğuda kolaylıkla heaplaır. Daha ora PAZ üçge göz öüe alıdığıda, bu üçge k ç açııı toplamı kede komşu olmaya dış açıı toplamıa eşt olacağıda dolayı, p z yazılablr. Burada da blmeye açıı kolaylıkla heaplamış olur. Böylece bu üç şartı brleştrlmeyle brlkte tee değerler elde edlr. Şayet çözüm oucuda şartları ağlamadığı görülüre bu da Lead Kompazayo le bu tem kotrol edlemeyeceğ alamıa gelr, ya başka kotrol elemaları deemeldr. Aşağıda buula lgl maller verlmştr. Mal Aşağıda verle kotrol devrede makmum aşma değer (%OS)= ve ayarlama üre T olmaı ç teme lave edlecek Lead Kompazayo le lgl K değerler heaplayıız. R() c z, p ve c c K C z c p c Lead Kompazayo z 3 Kotrol Edle=Plat C() 8

120 Çözüm: makmum aşma değer verldğ ç burada öümleme oraı heaplaablr. %OS l l %OS l l co co CAO Ayrıca ayarlama ürede faydalaarak, doğal freka heaplaır. l0.0 l0.0 l T T rad/, a co değerler yere yazıldığıda, 3 j olduğu görülür b olduğuda, ble a3 ve C A P B -3 Z - O Root-Locu açı özellğ kullaıldığıda, m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c z z p p p p zp45 z p z p 45 zp 45 PAZ 45 BAO PAB.5 Yukarıdak şeklde de alaşılacağı gb PAO üçge göz öüe alıdığıda; 9

121 POA PAO Br üçge ç açıları toplamı özellkte dolayı kolaylıkla buluur. PAO üçge ç açıları toplamı; PAO olduğuda dolayı, heaplamaı gereke p p PAO 80 p 80 PAO p p açıı bu p Burada pole değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce p PA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b b p p p p PA p p p p cop a C pc co pc olduğu görülür. PAZ üçge dkkate alıdığıda; z p z z olarak heaplaır. Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce z ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b z ZA z b z z z zc zco z a zc olduğu görülür. z Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K kolaylıkla heaplaır. 4 pole K C K zero K C C ppp z KC C 0

122 Aşağıda verle grafkte matlab le elde edle ouçlar bulumaktadır ve heaplaa değerlerle ayı uyumlu olduğu görülmektedr. Mal Aşağıda verle kotrol devrede makmum aşma değer (%OS)= ve ayarlama üre T olmaı ç teme lave edlecek Lead Kompazayo le lgl z, p, ve K değerler heaplayıız. R() c c c K C z c p c Lead Kompazayo 7 3 Kotrol Edle=Plat C() Çözüm: makmum aşma değer verldğ ç burada öümleme oraı heaplaablr. %OS l 00 %OS l l l

123 co Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg co CAO Ayrıca ayarlama ürede faydalaarak, doğal freka heaplaır. l0.0 l0.0 l T T rad/, a co a.6 değerler yere yazıldığıda,.6 j olduğu görülür ve b olduğuda, ble C A P -3 B - Z - O Root-Locu açı özellğ kullaıldığıda, m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c z z p p p p z p z p z p z p z p z p PAZ BAO PAB

124 C A P -3 B Z O PAO Yukarıdak şeklde de alaşılacağı gb üçge göz öüe alıdığıda; POA PAO Br üçge ç açıları toplamı özellkte dolayı kolaylıkla buluur. PAO üçge ç açıları toplamı; 80 3 PAO olduğuda dolayı, heaplamaı gereke p p PAO 80 p 80 PAO p p p açıı bu Burada pole değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce p PA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b b p p p p PA p p pc p co p a pc olduğu görülür. PAZ üçge dkkate alıdığıda; z p z z olarak heaplaır. Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce z ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç;

125 b b z ZA z Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg b z z z zc zco z a zc z olduğu görülür. Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K C kolaylıkla heaplaır. 4 pole K C K zero K C C ppp3p zz KC Aşağıda verle grafkte matlab le elde edle ouçlar bulumaktadır ve heaplaa değerlerle ayı uyumlu olduğu görülmektedr. 4

126 Mal Aşağıda verle kotrol devrede makmum aşma değer (%OS)= ve ayarlama üre T olmaı ç teme lave edlecek Lead Kompazayo le lgl z, p, ve K değerler heaplayıız. c c c R() K C z c p c Lead Kompazayo 5 Kotrol Edle=Plat C() Şekl 8: Lead kompazayolu kotrol devre Çözüm: makmum aşma değer verldğ ç burada öümleme oraı heaplaablr. %OS l 00 %OS l 00 co l l 00 co Ayrıca ayarlama ürede faydalaarak, doğal freka heaplaır. T l0.0 l0.0 l T rad/, a co a b olduğuda, ble değerler yere yazıldığıda, co ve j olduğu görülür C 4.47 A P B Z O Şekl 9: Plat üzerdek kutup ve ıfırları hem boylarıı ve hem de açılarıı göterlme Çözümü yapılmaı kolay hale getrlmş olur. Root-Locu açı özellğ kullaıldığıda, 5

127 m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c p p p3 p 80 z z p 80 z p z p z p z p z p PAZ CAO BAO PAB C A P D 4.36 Z.8 O B Şekl 0: Kompazayoda kullaıla kutup ve ıfır değerler gerçek göterm Yukarıdak şeklde de alaşılacağı gb PAO üçge göz öüe alıdığıda; POA PAO 6 PAO Br üçge ç açıları toplamı 80 olduğuda dolayı, heaplamaı gereke p açıı bu özellkte dolayı kolaylıkla buluur. PAO üçge ç açıları toplamı; p 80 p p p

128 53.30 C A P B D Z O Şekl : alfa açıı AB açıortayı le eşt bölüme göterm Burada pole değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce heaplamalıdır. Buu ç; b b b p p p p PA p p pc p co p a pc pc p PA uzuluğu Olduğu görülür. PAZ üçge dkkate alıdığıda; z p z z olarak heaplaır. Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce z ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b z ZA z b z z z z zc zco z a zc zc olduğu görülür. Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K kolaylıkla heaplaır. 4 pole K C K zero K C C ppp3p z C

129 KC Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg Kazaç değer(=ga) böylece heaplamış olur. Stem ouçları gerçek Root-Locu grafğde aşağıda verlmştr. Elde edle ouçları, Matlab programıyla elde grafkle tamame uyumlu olduğu görülmüştür. Şekl : matlab le elde edle ouçları ayı olduğuu patı Kompazayo yapılmamış hal Root-Locu grafğ karşılaştırma amaçlı aşağıda verlmştr. Şekl 3: Kompazayo yapılmada öcek hal Görüldüğü gb Lead kompazayo yapılmadığıda ayarlama üre artmaktadır. Dğer kotrol elemaları ç de taarım yapıldığıda e y hag olduğu daha rahat görülür. 8

130 Mal Aşağıda verle kotrol devrede.5.5 j oktaıı root-locu olmaı ç, teme lave edlecek Lead Kompazayo le lgl z, p, ve K değerler heaplayıız. R() K C z c p c Lead Kompazayo c c c Kotrol Edle=Plat C() Çözüm: verle.5.5 j oktaı ve dğer ıfır ve pole değerler komplek düzlemde yere.5 yerleştrlr. ta C A P Z O 35 B -. Root-Locu açı özellğ kullaıldığıda, m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c z p z p p z p 5 80 z p z p z p z p 5.55 z p 5.55 PAZ 5.55 BAO PAB

131 C A.63 P B.5 Z O - PAO Yukarıdak şeklde de alaşılacağı gb üçge göz öüe alıdığıda; POA PAO PA O 8.46 Br üçge ç açıları toplamı özellkte dolayı kolaylıkla buluur. PAO üçge ç açıları toplamı; olduğuda dolayı, heaplamaı gereke p p PAO 80 p 80 PAO p p açıı bu p Burada pole değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce p PA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; b b b.5 p p p p PA p p pc p co p a pc olduğu görülür. PAZ üçge dkkate alıdığıda; z p z z olarak heaplaır. Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce z ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; 30

132 b b z ZA z Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg b z z.5 z zc zco z a zc z olduğu görülür. Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K C kolaylıkla heaplaır. 3 pole K C K zero K C C ppp zz KC Aşağıda verle grafkte matlab le elde edle ouçlar bulumaktadır ve heaplaa değerlerle ayı uyumlu olduğu görülmektedr. Root-Locu le Lag Kompazayo (Lag Compeato wth Root-Locu method) Lag (egelleyc, gerletc) kompazayo mde de alaşılacağı gb tem yavaşlata ter yöde br elema lave etmektr. Ya karmaşık düzlemde gerçek eke üzere br tae kutup(pole) ve bu kutup değerde daha küçük olacak br ıfır (zero) lave edlr. Dğer br fade le ıfırı(zero) 3

133 ağ tarafıda kutup(pole) vardır ve koumları o şekldedr. Steme bular lave edldğde yerler tam olarak bell değldr ve heaplama le buluur. Lag Kompazayo ; K z, z p C C C C pc Şeklde fade edleblr. Kotrol devrede kullaılışı aşağıdak gbdr. (8.6) R() K C z c p c Lag Kompazayo 5 Kotrol Edle=Plat C() Lag Kompazayo şlem baamakları aşağıdak gb ıraıyla heaplaablr.. İlk şlem olarak, kotrol edle elema üzerde bulua kutuplar ve ıfırlar (Pole ad zero) komplek düzlemde yerleştrlr Zamaa bağlı olarak ayarlamaı tee değerlerde a jb oktaı belrler. Bu bzde tee krterlere bağlıdır. Makmum aşma değer (%OS) şu olu, ayarlama üre (T) bu olu gb...burada tee Root-Locu oktaıı yer belrler. a jb -5 - Bu okta Root-Locu oktaı olduğua göre tee şartları ağlamalıdır. 3

134 3. Yerler blmeye z C ve p C ayı komplek düzlemde gb yerleştrlr. Ve tee o olacak şeklde aşağıdak a j b oktaıa pole ve zero oktalarıda doğrular çzlr Root-Locu metoduu temel özellğ ola açı bağıtıı, m Zero Agle Pole Agle p 80 j j,jc, c zp açıı heaplaır. z kullaılarak, 4. Dğer ağlamaı gereke br şart da Kazaç değer le büyüklük araıdak, K zero legth C M M pole legth bağıtııdır. 5. Ayrıca e y kazaç değer yer, AB Açı ortayı le ağladığı ç, bu açı aşağıdak gb C fade edleblr. A j. P -5 Z - O CAO CAB BAO PAZ B Yukarıdak şeklde PAB BAZ olduğu takdrde e y kazaç değer heaplamış olur. Böylece bu üç şartı brleştrlmeyle brlkte tee değerler elde edlr. Şayet çözüm oucuda şartları ağlamadığı görülüre bu da Lag(egelleyc, gerletc) Kompazayo le bu tem kotrol edlemeyeceğ alamıa gelr, ya başka kotrol elemaları deemeldr. Aşağıda buula lgl maller verlmştr. 33

135 Mal Aşağıda verle kotrol devrede makmum aşma değer (%OS)= 4.0 ve ayarlama üre olmaı ç teme lave edlecek Lag Kompazayo le lgl z, p, ve K değerler T.4 heaplayıız. c c c R() K C z c p c Lag Kompazayo 5 Kotrol Edle=Plat C() Çözüm: makmum aşma değer verldğ ç burada öümleme oraı heaplaablr. %OS l 00 %OS l 00 co l l 00 co Ayrıca ayarlama ürede faydalaarak, doğal freka heaplaır. T l0.0 l0.0 l T rad/ a co ve ab j oktaıı, yazıldığıda, düzlemde göterldğde; b olduğuda, ble değerler yere j olduğu görülür. Ble değerler karmaşık(aal) C 4.47 A Z B P O 34

136 m Zero Agle z Pole Agle p 80 j j,jc, c p p p3 p 80 z z p 80 z p z p z p z p z p ZAP CAO BAO PAB ZOA ZAO Br üçge ç açıları toplamı 80 olduğuda dolayı, z heaplamaı gereke ZAO ZAO açıı bu özellkte dolayı kolaylıkla buluur. üçge göz öüe alıdığıda, C A -5 Z P - O ZAO üçge ç açıları toplamı; z z B z 80

137 z Root-Locu le PD(Oratı+Itegral) Kotrol (PD Cotroller ug Root-Locu method) PD kotrol elemaı mde de alaşılacağı gb teme (Oratı+Dferayel) elema lave etmek alamıa gelr. Ya karmaşık düzlemde gerçek eke üzere adece br tae ıfır (zero) lave edlr. Steme bular lave edldğde yerler tam olarak bell değldr ve heaplama le buluur. Lag Kompazayo ; Şeklde fade edleblr. Kotrol devrede kullaılışı aşağıdak gbdr. zc K C (8.7) R() K C z c 5 C() PD Kotrol Kotrol Edle=Plat PD kotrol elemaı taarımı oldukça kolaydır. Çükü teme adece br adet ıfır (zero) lave edlr ve buu yer blmemektedr. İşlem baamakları aşağıdak gb ıraıyla heaplaablr. Mal Aşağıda verle kotrol devrede makmum aşma değer (%OS)=4.0 ve ayarlama üre T.4 olmaı ç temde ler yola lave edlecek PD Kotrol elemaı le lgl ve K C değerler heaplayıız. z C R() K C z c 5 C() PD Kotrol Kotrol Edle=Plat Çözüm: makmum aşma değer verldğ ç burada öümleme oraı heaplaablr. %OS l 00 %OS l 00 co 4.0 l l 00 co Ayrıca ayarlama ürede faydalaarak, doğal freka heaplaır. 36

138 Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg l0.0 l0.0 l T rad/ T Böylece j olduğu görülür. Ble değerler karmaşık(aal) düzlemde göterldğde; a b j oktaı belrlemş olur. Ya m Zero Agle z Pole Agle 80 j j,jc z p p p3 80 z A Z O z z z z Burada zero değer gerçek eke üzerdek yer belrlemek ç lk öce zl ZA uzuluğu heaplamalıdır. Buu ç; 37

139 A Z.96 O b b z ZA zl b zl z z zlco z a z C C zl zl olduğu görülür. Tüm uzuluklar bldğde dolayı, Kazaç değer K kolaylıkla heaplaır. C 3 pole K C K zero K C C pp p3 zl KC Kazaç değer(=ga) böylece heaplamış olur. Stem ouçları gerçek Root-Locu grafğde aşağıda verlmştr. Elde edle ouçları, Matlab programıyla elde grafkle tamame uyumlu olduğu görülmüştür. 38

140 Durum Uzay Metotları (State-Space Method) Kotrol temlerde tek grş tek çıkış yere (SISO=Sgle Iput Sgle Output) brde fazla grş ve brde fazla çıkış olduğu takdrde (MIMO=Multple Iput Multple Output) çözümler Root-locu veya Freka Cevabı le yapılamamaktadır. Fakat Durum Uzay metodu le gerekl aalz veya taarım yapılablmektedr. Root Locu metodu le kotrolü temel kavramları alaşılmakta burada e daha ler evyede br kotrol yapılablmektedr. Durum Uzay yötemde Geel Çözüm olarak aşağıda verle matr eştlkler kurulmaı gerekr. u grş değşke ve y çıkış değşke, x e durum değşkedr (tate varable). Geel olarak durum uzay deklem aşağıdak gb fade edlr. x A x B u y C x D u Burada A : ( x ) boyutuda tem matr, B : ( x m) boyutuda kotrol matr, boyutuda tem matr, 39 (9.) C : ( x ) Bu deklemler çözümüde çıkış değer heaplaablr. Durum uzay değşkeler brçok farklı şeklde yazılabldğ halde, ya göterm farklı olduğu halde, trafer fokyou değşmez. Bularda dört farklı göterm şekl aşağıda verlmştr.

141 Durum Deklem Traformayou (Traformg the State Equato) Durum değşke x vektörüü z vektörüe döüştürülme aşağıdak gb yapılır. x P z (9.) olu. Burada x durum değşke vektörüü zamaa göre türev alıdığıda, Olur. Bu değerler Deklem (9.) de yere yazıldığıda, Deklem (9.4) olda P x P z (9.3) P z A P z B u y C P z D u le çarpıldığıda, y CPz D u P P z P A P z P B u 40 y CPz D u z P A P z P B u Böylece farklı br durum uzay deklem elde edlmş olur. u grş ve y çıkış olduğua göre tem trafer fokyouu bulmak ç lk öce t uzayıda uzayıa geçlmeldr. Kolaylık olmaı bakımıda başlagıç şartları ıfır kabul edldğde Deklem (9.), x A x B u y C x D u X A X B U Y C X D U IAX B U Y CX D U Deklem (9.6) ı lkde X() değer çeklp kcde yere yazıldığıda, I A BU X X Y C D U Burada tem Trafer fokyou IA BU U Y C D (9.4) (9.5) (9.6) Y C I A B D U (9.7) TF Y U değer, Y TF C I A B D U Olarak heaplaır. Bu özellk lerde öz değerler (ege value) heaplaır ke kullaılacaktır. Ayı trafer fokyouu heaplamak ç, Deklem (9.) yere Deklem (9.4) kullaıldığı takdrde lk öce t uzayıda uzayıa geçlmeldr. PZ APZ B u Y CPZ D u Y CPZ D u P Z A P Z B u (9.8)

142 Burada trafer fokyou, P PZ P APZ P BU Y CPZ D U IP AP P B U CPZ D U Z Y Y CP I P AP P B D U Y TF CP IP AP P B D U Şeklde elde edlr. Görüldüğü gb k farklı trafer fokyou olduğu halde buları k brbre eşttr. Buu patlamak ç, matrler temel özellklerde, alıarak Deklem (9.9) tekrar yazıldığıda, Drekt Programlama TF CP P IP AP B D Aşağıdak dferayel deklem göz öüe alıı. y t D 3 f t D D Ele alıa dferayel deklem payı olarak alııp x f t D D veya x x f t D 3D elde edlr. Deklem (9.0) yede yazıldığıda; (9.9) N M M N özellğ dkkate e eştledğde; (9.0) y t D 3 x x 3x (9.) elde edlr. Verle tem kc mertebede olduğu ç, x term taımlamaı gerekr ve; x x alıdığıda; y t x 3x (9.) elde edlr. Elde edle deklemler; x a a x b f t x a a x b x y t c c x bçmde matr formuda fade edlmek tedğde Deklem (9.0); (9.3) (9.4) x 3x x f t (9.5) 4

143 şeklde de fade edleblr. Elde edle deklem, Deklem (8.5) dek bçmde matr formuda fade edeblmek ç term kaldırılmaı gerekr. Ya alımalıdır. Ayrıca term ç de x x x alımalıdır. Böylece deklem; x 3x x f t veya x x x x 3x f t (9.6) x hal alır. Buda başka x x d. Bua göre Deklem (8.3) de; şeklde yazılmıştı. Bu deklemler matr formuda; y t 3x x (9.7) x 0 x 0 f t x 3x (9.8) x y t 3x x 3 (9.9) x olarak elde edlr. Stem blok dyagramı e aşağıdak bçmde göterleblr. x f(t) x x =x x 3 y(t) 3 x Paralel Programlama Bu metotta dferayel deklem parçalara ayrılır. Ayı dferayel deklem göz öüe alıdığıda; D 3 y t f t f t D D D D elde edlr. Burada; x f t D ve alıdığıda deklem; x f t D hal alır. Deklem (9.0), ayı zamada; x x ft ve x x f t veya (9.0) y t x x (9.) 4

144 x x f t ve x x f t (9.) olarak da fade edleblr. Deklem (8.3) ve Deklem (8.4); x 0 x f t x 0 x yt x x şeklde matr formuda da yazılablr. Deklem (9.0) geel hale getrldğde; f t x D a olur. Ayrıca; x ax ft veya blok dyagramı; (9.3) (9.4) x a x f t şeklde de fade edleblr. Bu dekleme at şekldedr. Steme at blok dyagramı e; f(t) x x f(t) y(t) f(t) x x - şeklde fade edleblr. Ser Programlama. mertebede br dferayel deklem göz öüe alıı. ve x D a D... a D a y t b D b D... b D b f t (9.5) y t olu. Bua göre drekt olarak matr formu; 43

145 x a x b x a x b f t x a x b (9.6) şeklde fade edleblr. Bua göre daha öce celee dferayel deklem göz öüe alıdığıda; dr. Burada gerekl ola katayılar; D 3D y t D 3 f t (9.7) a 3, a, b ve b 3 tür. Deklem (8.9), Deklem (8.8) şeklde yazılmak tere; x 3 x f t x 0x 3 (9.8) x y 0 (9.9) x olur. Deklem (8.0) ve Deklem (8.), Deklem (8.9) u ağlamaktadır. Ayrıca Deklem (8.0) de aşağıdak fade yazılablr. x 3x x f t (8.) x x 3f t (8.3) Deklem (8.) türev alııp Deklem (8.3) de yazılıra; x 3x x f t x x 3x f t x 3f t x 3x x f t 3f t olarak elde edlr. Burada x y dr. Acak x x dr. Steme at blok dyagramı e aşağıda göterlmştr. f(t) 3 x x x x = y(t) 3 Geel Programlama Aşağıdak dferayel deklem göz öüe alıı. 44

146 0 0 D a D a D a D a y t D b D b D b D b f t (9.30) Bu metotta, göz öüe alıa dferayel deklem aşağıdak bçmde fade edlr. Deklem (9.3) dek h katayıları; h b a b 0 h b a b0 a h h3 b3 a3 b0 a h a h h b a b a h a h... a h 0 x x h x x h f t x x h x a0 a a a x h x x y b 0 b b b x x Ayrıca y = x olarak taımlıdır. Ye ayı dferayel deklem göz öüe alıdığıda; y t D3ft D 3D D 3D yt D 3ft D a D a0 yt b D b0 ft elde edlr. Deklem katayıları e; (9.3) (9.3) a0 =, a =3, b0 = 0, b = ve b = 3 olarak elde edlr. Bua bağlı olarak göz öüe alıa deklem, Deklem (8.5) formuda aşağıdak bçmde yazılır. Deklem (9.33) açılımı yapıldığıda; x x h f t x x3 h f t x3 a3 x a x a x3 h3 f t x 0 x f t x 3x (9.33) x y 0 (9.34) x deklemler elde edlr. Geel deklem ç blok dyagramı aşağıdak gbdr. 45

147 f(t) h 3 h h x 3 x 3 x x x = y a a a 3 Ayrıca göz öüe alıa örek ç aşağıdak deklemler elde edlr. x x f t x x 3x ve göz öüe alıa dferayel deklem ç blok dyagramı e aşağıdak bçmdedr. x x f(t) x x = y(t) 3 Bu şeklde ayı dferayel deklem dört değşk metotla uygulaarak çözülmüştür. Her metot ç elde edle blok dyagramları farklı görüe de trafer fokyoları brbr ayıdır. Uygulama Aşağıda verle ve kütle hmal edle br el arabaı üzerdek kütle-yay-öümleyc tem durum uzay deklem geel programlama metodua göre oluşturuuz. Grş değşke u ve çıkış değşke x dr. 46

148 u,u,u x,x,x k b m Çözüm: Newto prebe göre hareket deklem yazılablme ç( ) kabul edld. x yöüde kuvvetler dege yazıldığıda, teme at dege deklem; F ma olmalıdır. k x u dx b dt du dt k (x u) b(x u) m x m m x b x k x bu k u dx m dt b k b k x x x u u m m m m xu d x b dx k b du k x u dt m dt m m dt m () Geel programlama şartıa göre katayılar; x x x x Bze 3 tae deklem lazımdır. Bular, Deklem (3) de, x x veya katayıları alaşılmaı ç, x, x, y şeklde lgl olmalıdır. () (3) x 0 x x 0u yazılablr. x x değer, deklem () de yere yazıldığıda, (4) 47

149 b k b k x x x u u m m m m, b k b k x x x u u m m m m x x x x hale gelr. Deklem (4) ve (5) matr şeklde yazıldığıda, b 0 x x m k b u x x k b m m m m b k ao, a, a m m b k bo 0, b, b m m b k b k x x x u u m m m m (5) olarak elde edleblr. Deklemdek x brc ve kc mertebede türevler Laplace ları aşağıdak bçmde elde edlr. dx L X( ) x(0) x(0) dt, dx L X( ) x(0) dt Başlagıç şartları ıfır olarak alıdığıda, geel deklem aşağıdak bçmde yazılablr. X( ) x (0) b x(0) X( ) x(0) m k b X( ) U( ) u(0) m m k U () m b k b k X() U m m m Geel programlama şartıa göre katayılar; b k ao, a, a m m b k bo 0, b, b m m şekldedr. Geel deklem, x 0 x h u x a a x h ve Bua göre; b h b ab0 m k b b k b h b ab0 ah m m m mm y 0 x x dr. şekldedr. Elde edle katayılara göre tem deklem; 48

150 b 0 x x m k b u x x k b m m m m olarak elde edlr. Uygulama Aşağıda verle ter arkaç (pedulum) tem matematkel model çıkarıız ve trafer fokyouu elde edz. y L C m L ( ) C D IG m a t x,x,x mg u(t) L B m a H,, V V mx A y = L co( ) M H F c x x L IG m a t m L ( ) mg L B m a mx,, V A y = L co( ) H u H M A V Mx F cx x Sarkaç çubuğuu ağırlık merkez fade ede x ve y bleşeler; rb ra rba x L Lco j ve x x L B, yb Lco şekldedr. Sarkaç çubuğuu taşıya arabaı yatay yöde kuvvet dege ç Newto preb kullaıldığıda, aşağıdak eştlk yazılablr. F Ma uhf M x Mx cx H u () Arabaı düşey yöde kuvvet degede şe yarar br eştlk yoktur. Bu yüzde yazılmadı. Ter arkaç çubuğuu yatay yödek kuvvet degede aşağıdak dege şartı yazılablr. FX mab X F m x L L X x FX maa aba X x F m a a a X A BA BA X t t H m x a BA aba co t F m x abax abax 49

151 Hm x L Lco Küçük açı değerler ç; Hmx L L alıableceğde; co, ve 0 H mx ml Deklem () de elde edle H kuvvet, Deklem () de yere yazıldığıda; Mx cx H u Mx cx mx ml u Mmx cx ml u olur. Sarkacı A oktaıa göre momet dege ç; MA IA mgl m x L co m at L IG mgl m xlma L I mgl ml x ml I G t G mgl m xl mll I G ml I G mgl mlx yazılablr. Deklem (3) ve (4) Ter arkaç tem hareket deklemdr. Ya Mm x cx ml u ml IG mgl ml x deklemler tem ç yeterldr. (4) (3) () açııdır. Başlagıç şartları ıfır kabul edlerek Deklem (3) ve (4) e ıraıyla Laplace döüşümü uyguladığıda; Grş değer arabaya uygulaa u(t) kuvvet ve çıkış değer Mmx cx ml u MmX x0 x0 c X x0 ml 0 0 U MmX cxml U MmX cx ml U Mm cx U U ml Grş değer ve çıkış değer olu deklem laplace ı alıdığıda; ml I mgl mlx G G t Mm cx ml U U Mm c X ml ml olduğu ç, X m L I 0 0 mgl ml X x0 x0 ml I G m g L m L X (5) yere değer yazılmaı gerekldr. (4) ml X m L IG m g L 50

152 X Otomatk Kotrol Der Notları, Pamukkale Üverte, Z.Grg m L IG m g L ml Elde edlr. Deklem (6) dak X() değer, Deklem (5) de yere yazılıp adeleştrldğde; U m L I m g L ml ml ml TF U Mm c G ml 3 U m L M I G M m L m IG c Mm mgl mgcl Mm 3 IG L MIG L c M mg gc ml ml Sayıal değerler kullaıldığıda; M=0.5kg, m=0.kg, c=0., IG=0.006, g=9.8m/, L=0.3m U TF X U mgl ml IG 4 3 m L M IG M IG m m L c IG c L M g m L g m g c m L Bu temde Açıyı degelemek oldukça kolaydır. Fakat X() meafe degelemek o kadar kolay değldr. Trafer fokyouda, üç kutup ve br ıfır bulumaktadır. Root-Locu grafğ aşağıdak gbdr. (6) 5

153 Bu problem çözümüe br PID kotrol elemaları uygulaabldğ gb ler ve ger kazaç ağlayıcılar (lead ad lag compeator) uygulayarak da degeleme yapılablr. Root-Locu çözümü burada etk olarak kullaılablmektedr. Uygulama Aşağıda verle Otobü-üpayo temde adece br tekerleğ matematkel model tekerlek w 0cm lk br yükeklkte geçtğde 5 aye (ettlg tme=ayarlama üre) çerde x x çıkış değer (output) e fazla (overhoot) 5 %5 0cm 0.5cm 5mm olmaı ç PID 00 kotrol le K Kp Kd oratı, tegral ve dferayel katayılarıı heaplayıız.kurup hareket deklem çıkarıız ve burada durum uzay deklem elde edz. Buu ç aşağıdak ayıal değerler kullaıız. N N ( m 500 kg, m 30kg, k= 80000, k m m, N N b350, b 500 m m ) Çözümü Newto prebe göre yazılablme ç, araba teker w yükelte vurduğu ada w x x kabul edlerek otobü hareket deklem; k x x b x x u m x veya 5