TÜBİTAK-BİDEB. Lise Öğretmenleri(Fizik, Kimya, Biyoloji, Matematik) Proje Danışmanlığı Eğitimi Çalıştayı Lise-1(Çalıştay 2011) GRUBU PROJENİN ADI

Transkript

1 TÜBİTAK-BİDEB Lise Öğretmenleri(Fizik, Kimya, Biyoloji, Matematik) Proje Danışmanlığı Eğitimi Çalıştayı Lise-1(Çalıştay 2011) GRUBU PROJENİN ADI PERMÜTASYON FONKSİYONLARDA GÜÇ KAVRAMI ve HESAPLANMASI PROJE DANIŞMANLARI Doç. Dr. Erdal EKİCİ Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Doç. Dr. Necla TURANLI Hacettepe Üniversitesi-ANKARA PROJE EKİBİ Özcan TEKÇE Süleyman DEMİREL Fen Lisesi / EDİRNE Çiğdem EKİCİ H.Avni İNCEKARA Fen Lisesi / NEVŞEHİR İlhami DOĞAN Haydar ALİYEV Fen Lisesi / IĞDIR Kepez/ÇANAKKALE TEMMUZ 2011

2 1. 4 elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların bulunması. 2. Permütasyon fonksiyonlarda güç kavramının tanımlanması elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların güçlerinin hesaplanması. 4. Güçleri farklı iki permütasyon fonksiyonun bileşkesinin gücü ile bileşkeyi oluşturan fonksiyonların güçleri arasındaki ilişkinin incelenmesi.

3 Bu proje daha önce ulusal matematik olimpiyatlarında (UMO) çıkmış bir problemden esinlenerek hazırlanmıştır. Bu problem aşağıda verilmiştir. Problem (UMO,1993): A={1,2,3,4} kümesinin her a elemanı için koşulunu sağlayan kaç tane fonksiyonu vardır (Alizade, 2006).

4 Verilen problemde istenilen, bileşkesi birim fonksiyonu veren permütasyon fonksiyonların sayısıdır. Bu durum genellenerek 4 elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların kendileri ile kaçıncı bileşkesinde birim permütasyon fonksiyonu verebileceği düşünülmüş ve bu kavram permütasyon fonksiyonunun gücü olarak tanımlanmıştır. Aşağıda, projede kullanılan tanımlar ve lemma verilmiştir. Tanım 1:Asaymasayılar kümesinin bir alt kümesi olmak üzere A dan A ya tanımlı birebir ve örten fonksiyonlara permütasyon fonksiyon denir (MEB ders kitabı, Kisacanin, 2002). Tanım 2: bir permütasyon fonksiyon olmak üzere, için şartını sağlayan fonksiyonuna birim permütasyon fonksiyon denir. Birim permütasyon fonksiyon I ile gösterilir (MEB ders kitabı, Kisacanin, 2002).

5 Lemma 1: s(a)=n olmak üzere A dan A ya tanımlı permütasyon fonksiyonların sayısı n! dir (Alizade, Ufuktepe, 2006). Tanım 3: bir permütasyon fonksiyon olmak üzere; şartını sağlayan en küçük n sayısına f permütasyon fonksiyonunun gücü denir ve ile gösterilir.

6 Permütasyon fonksiyonunun gücü tanımlandıktan sonra, 4 elemanlı bir kümenin bütün permütasyon fonksiyonları bulunarak güçleri hesaplanmıştır.

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18 Yapılan hesaplamalara göre aşağıdaki gruplar oluşturulmuş, gruplar içinde ve gruplar arası ilişkiler incelenerek genellemeler elde edilmiştir. gücü 1 olan permütasyon fonksiyonlar : 10 tane

19 gücü 2 olan permütasyon fonksiyonlar : 8 tane

20 gücü 3 olan permütasyon fonksiyonlar : 6 tane

21 Sonuç olarak; 1. Gücü 1 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: 4 elemandan tümünü kendisi ile eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 1 olup, sayısal olarak şeklinde hesaplanabilir. 4 elemandan 2 sini kendisi ile diğerlerini birbiri ile eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 6 olup, sayısal olarak şeklinde hesaplanabilir. 4 elemandan herhangi iki elemanını kendi aralarında eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı, 4 elemandan birinin kendisi hariç 3 elemandan biri ile eşleşmesi halinde diğer ikisi de kendi aralarında eşleşeceğinden 3 tanedir. Böylece gücü 1 e eşit olan toplam 10 tane permütasyon fonksiyon vardır.

22 2. Gücü 2 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: 4 elemandan 1 ini kendisi ile diğer 3 elemanı, herhangi ikisi çapraz eşleşmeyecek şekilde bir elemana eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 8 olup, bu da sayısal olarak şeklinde hesaplanabilir. Böylece gücü 2 ye eşit olan 8 tane permütasyon fonksiyon vardır.

23 3. Gücü 3 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: 4elemanının tümünü herhangi ikisi çapraz eşleşmeyecek şekilde kendisinden farklı bir elemana eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 6 olup, bu da 4 elemandan biri alındığında bu eleman diğer 3 ünden biri ile eşleşeceğinden ve çapraz eşleşme olamayacağından bu elemanıneşleştiği eleman için 2 seçenek vardır. Yani çarpmanın temel ilkesine göre (3.2) şeklinde hesaplanabilir. Böylece gücü 3 e eşit olan 6 tane permütasyon fonksiyon vardır.

24 Sonraki aşamada gruplar içinde ve gruplar arasında bileşkeler alınarak güçleri hesaplanmış ve ilişkiler incelenerek genellemeler elde edilmiştir. (1b) grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 2 olduğu görülmüştür.

25 (1c) grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 1 olduğu görülmüştür.

26 2. gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 1veya 2 olduğu görülmüştür.

27 3. gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 2 olduğu görülmüştür.

28 1a grubunda sadece birim permütasyon fonksiyon olduğundan bileşkenin gücü, bu fonksiyon ile bileşkeye giren fonksiyonun gücüne eşittir. 1b ile 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü,

29 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün1 veya 3 olduğu görülmüştür.

30 1b ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür.

31 1b ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 2 olduğu görülmüştür.

32 1c ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 2 olduğu görülmüştür.

33 1c ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür.

34 2 ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü,

35

36 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür.

37 Bu çalışmadan elde edilen sonuçlar aşağıda liste halinde verilmiştir. 1. 1a grubunda sadece birim permütasyon olduğundan kendisi ile bileşkesinin gücü de daima 1 dir. 2. 1b grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir. 3. 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 1 dir gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 2 dir gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir. 6. 1b ile 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. 7. 1b ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. 8. 1b ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 2 dir. 9. 1c ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir c ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür.

38 Bu problemde kullanılan yöntem temel alınarak aynı güce sahip bileşke permütasyon fonksiyonların sayıları ile ilgili genellemeler tespit edilerek verilebilir. Ayrıca kümenin eleman sayısı 4 den fazla olması durumu benzer yöntem kullanılarak incelenebilir.

39 Çalıştay Koordinatörü Prof. Dr. Mehmet AY a, tüm destekleri için TÜBİTAK/BİDEB e, sunuları ve çalışmalarıyla bizi aydınlatan ve yönlendiren danışmanlarımız Doç.Dr. Erdal EKİCİ ve Doç.Dr. Necla TURANLI ya, matematik alanı sorumlu teknisyeni Gözde GÜLŞİN e, tüm çalıştay ekibine, AOTML çalışanlarına ve tüm katılımcı arkadaşlara teşekkür ederiz.

40 1. B. Kisacanin, Combinatorics, Number teory and geometry, Kluwer Academic Publisher, R. Alizade,Ü. Ufuktepe,Sonlu Matematik,TÜBİTAK, MEB ders kitabı, 9. sınıf matematik MEB ders kitabı.

41