İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK

Transkript

1 Kostadi Teçevski Aeta Gatsovska Naditsa İvaovska Yovaka Teçeva Smileski İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK DÖRT YILLIK MESLEKİ OKULLARA AİT SINIF IV İKTİSAT - HUKUK MESLEĞİ EKONOMİ TEKNİSYENİ

2 Deetleyele: D. Bilyaa Kısteska, UKİM, PMF öğetim göevlisi, Üskü- başka, Lidiya Kuzmaovska, ofesö - ÜBOO,,Laza Taev, Üskü, üye ve Lyubitsa Dimitova, ofesö - SOU,,Gyoşo Viketiev, Koçaa, üye Yayıcı: Makedoya Cumhuiyeti Eğitim ve Bilim Bakalığı Basımevi: Gafiçki Ceta Ltd., Üskü Tiaz: 50 Makedoya Cumhuiyeti Eğitim Bakalığı N / ve taihli kaaıyla işbu kitabı kullaılmasıa izi veilmişti. CIP - Каталогизација во публикација Национална и универзитетска библиотека Св.Климент Охридски, Скопје 5. (075.3) МАТЕМАТИКА за економисти за lv година на четиригодишното стручно образование: економско-правна струка економски техничар / Костадин Тренчевски... [ и др.]. - Скопје: Министерство за образование и наука на Република Македонија, 0, - 68 стр.: граф. прикази; 9 см Автори: Костадин Тренчевски, Анета Гацовска, Надица Иванова, Јованка Тренчева Смилески ISBN Тренчевски, Костадин [автор] COBISS.MK-ID

3 Ö s ö z İKTİSATÇILAR İÇİN MATEMATİK kitabı, döt yıllık mesleki eğitimi dödücü sııfıa ait zoulu des olaak matematik desii la ve ogamı üzee hazılamıştı. İktisat hukuku ve ticaet mesleki desi la ve ogamıa göe eğitim göe öğecile içi ögöülmüştü. Amaç, okuyucuyu bi yada iktisatta geekli bazı matematiksel yötemlele taıştımak, öte yada da matematiksel düşümeye alıştıaak doğuda matematik kitalaıda yaalaabili duuma gelmesie yadım etmekti. Kita, döt bölümde ibaetti. Ele alıa koulaı daha iyi ve kolay beimsemek içi he bölümü souda çeşitli düzeylede çözülmüş öekle, alıştımala ve çizimle veilmişti. He des biimii souda, des esasıda ya da evde öğecilei kedi başıa çalışmalaı içi alıştımala veilmişti. Kitabı souda, alıştımalaı çözümlei, bazılaıı ise çözümü içi tavsiyele veilmişti. Biici bölümde Dizile kousu icelemişti. Bu koudaki malzemeyi öğemekle, eel sayılı dizile hakkıda daha kasamlı bilgile edieceksiiz. Buada özellikle aitmetik ve geometik dizileie, olaı geel teimie ve ilk -teimii tolamıa ait fomüllee daha fazla öem veilmişti. Bileşik faiz hesabı adıda veilmiş ola ikici bölüm,ilede buu i/i kısaltmasıyla işaetleyeceğiz, öğecii basit faiz hesabı hakkıda bilgileii yoklamasıa ve bileşik faiz kavamıı öğemesie olaak sağlamaktadı. Döem başı (Atisiatif) ve döem sou (dekuzif) faizleme kavamlaı icelei ve buula öğeci faiz oaıı, faiz miktaıı ve faiz süesii asıl hesaladığıı öğeecekti. İkici bölüm Kıymetli metalle aala ve dövizle başlığı altıda veilmişti. Bu kouu içeiğii öğemekle, kıymetli metalle hakkıda bilgilei geişletilmesii, olaı aılık deecesii asıl hesaladığıı ve hesalama tekikleii öğemeye olaak sağlamaktadı. Buda başka aa ve dövizle hakkıda geiş bilgile veilmiş, özellikle dövizlei satı ve alımı vugulamıştı. Üçücü bölümde Vadeli yatıımla ve vadeli gelile kavamı icelemişti. Amaç, döem başı ve döem sou yatıımlaı taımak ve bu gibi yatıımlaı soudaki değeleii hesalamaktı. Bu bölümde kia, kia yatıımı, iskoto ve iskoto değei kavamlaıı da öğeeceksiiz. Souda, bileşik faiz, yatıımla ve kia ile ilgili daha bileşik oblemle çözebileceksiiz. So ola dödücü bölümde Boçla kavamı icelei, boç, amotizasyo vadesi, taksitle, ödeme gibi kavamla icelemişti. Eşit taksitli boçla, eşit aüiteli ödemele, yuvalak aüiteli ve faklı tüde boçla hakkıda amotizasyo lalaı yaılmaktadı.

4 Bu kitataki des malzemesii geçekleştiike, öğetme, öğecileide kedi başlaıa çalışmalaıı teşvik etmelidi. Bu kitabı kalitesii iyileşmesi yöüde, deetleyelede aldığımız iyi maksatlı eleştiile içi de özellikle miettaımız. İlede de, kitabı içeiğii zegileşmesi yöüde iyi maksatlı he eleştii içi öcede teşekküleimizi suaız. Böylece bu kita, iktisat hukuk bölümüde öğeim göe öğecilee, iledeki meslekleide yaalı olacak bilgilei öğemeleii sağlayacaktı. Mayıs, 00 Yazala

5 İ Ç İ N D E K İ L E R. DİZİLER Dizi Kavamı Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizile Aitmetik Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizilei İlk Teimii Tolamı Geometik Dizile Geometik Dizilei Özelliklei Aitmetik Dizilei ilk Teimii Tolamı Kou Pekiştime Ödevlei... 3 Kou Özetlei BİLEŞİK FAİZ HESABI Bileşik Faiz Kavamı ve Hesalaması Temel Değei Gelecekteki Değeii Hesalamak Kofom Faiz Hesabı Yatııla Paaı Başlagıç Değei ve Faiz.. Miktaıı Hesalaması Faiz Döem Sayısıı ve Faiz Oaıı Hesalaması Kou Pekiştime Alıştımalaı Kou Özetlei PERİYODİK YATIRIMLAR (MEVDUATLAR) VE PERİYODİK KİRALAR Peiyodik Yatıımla Mevduatlaı Gelecekteki Değeii Hesalamak Bieysel Mevduatı Değeii Hesalamak Mevduat Sayısıı ve So Mevduatı Hesalaması Yatıımlada Faiz Oaıı Hesalaması Peiyodik Alacakla (Kiala) Kia Semayesii Hesalaması Kia Tutaıı Hesalaması Kia Sayısı ve Kia Kalaıı Hesalaması Peiyodik Kialada Faiz Oaıı Hesalaması Kama Ödevle Alıştımala... 0 Kou Özetlei... 04

6 4. BORÇLAR Boç Kavamı ve Çeşitlei Eşit Aüiteli Boçlada, Bocu ve Aüitei Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlaı Ödemeleii Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlada Bocu Ödemiş Kısmıı ve Kala kısmıı Hesalaması Eşit Aüiteli Boçlaı Amotismaıda Faiz Oaı ve Deve Sayısıı Hesalaması Eşit Aüiteli Bocu Amotisma Plaı Yuvalak Tutalı Aüiteli Boçla Yuvalak Aüiteli Boçlaı Amotisma Plaı Boçlaı Döüştüülmesi Tahvillee Ayıla Bocu Amotismaı Kou Pekiştime Alıştımalaı Kou Özetlei... 5 Alıştımalaı Çözümlei ve Cevalaı... 57

7 . DİZİLER.. Dizi Kavamı Gülük hayatta, dizi biçimide sıalamalaa çok astlıyouz, öek beze veya faklı eselei dizisi. Halbuki, matematikte dizilei özel alamı vadı. Özellikle solu ve sosuz dizilei bibiide ayıt etmeliyiz. Solu dizilede, belli bi düzee göe sıalamış solu sayıda esele ve bu duumda, hagisi biici, hagisi ikici vb. olduğuu tam olaak belli ola diziledi. Bi kümei beş elemaı olduğuu faz edelim. Biici elemaı a, ikici elemaı a, üçücüsüü a 3, dödücüsüü a 4 ve beşicisii a 5 ile işaet edeceğiz. Bu şekilde dizi a, a, a 3, a 4, a 5 şeklide yazılı ya da daha kısa a a a 3 a 4 a 5 biçimide yazılabili. Şuu da kaydedelim, a, a, a 3, a 4, a 5 elemalaı, hehagi bi kümei elemalaı olabili. Matematikte, bu elemala daha fazla duumlada sayıladı (doğal, tam, asyoel ya da eel), fakat sayı olması mecbui değildi. Öek, he söz, bi hafle dizisi sayılabili. Bu duumda a, a, a 3, a 4, a 5 elemalaı, bi alfabeye aitti. 5 sayısı, icelee solu dizii uzuluğudu ve uzuluk daima ayı değildi. Öek olaak EKONOMİ sözcüğüü alalım. Buu yedi elemalı solu bi dizi olaak sayabiliiz. Uzuluğu 7 di. He solu dizi, doğal sayıla kümeside {,, 3,. } icelee kümeye bi eşleme olaak algılayabiliiz. Öeği ekoomi sözcüğüü bi eşleme olaak alıyosak e, k, 3 o, 4, 5 o, 6 m, 7 i veya f () = e, f () = k, f (3) = o, f (4) =, f (5) = o, f (6) = m, f (7) = i şeklide yazabiliiz. Bua göe şu souca vaabiliiz: He solu dizi a, a, a 3, a 4,., a, doğal sayıla {,, 3,, } de icelee diziye bi eşlemedi ve bu duumda i ( < i < ) elemaıa kaşılık gele elema i idisiyle işaet edili, a i, b i, x i gibi. Daha da a, a, a 3, a 4,., a solu bi dizi, kısa olaak (a i ) biçimide işaet edili. Biçok duumlada sosuz dizilele de işimiz olabili. Olaı a, a, a 3, a 4,. ile ya da daha kısa (a i ) biçimide işaet ediyouz. a i elemaı i. yede ola elemadı i {,,3, }. Bula geellikle bazı sayıla olduğuda, ilede eel sayıla olduğuu sayacağız. 5

8 Taım. Dizi, doğal sayıla kümeside, eel sayıla kümesie bi eşlemedi. Demek ki, dizi deilice sosuz diziyi kastedeceğiz, aksi halde solu dizi söz kousu oluca, solu dizi diye ifade edeceğiz.., 3, 5, 7, 9,, 3,.. dizisii iceleyelim. Bu duumda eşleme f () =, f () = 3, f (3) = 5, f (4) = 7, f (5) = 9, f (6) =,... biçimide taımlamıştı, buu daha kısa olaak f() =, ya da a = şeklide yazabiliiz.. f ( ) dizisii ilk bikaç teimi: a,5, a 3 3 3,333..., a 4 4 4, 5, a 5 5 5,, vb a = + - dizisii ilk bikaç teimi: a = + - =, a = + - = 5, a 3 = =, a 4 = = 9, a 5 = = 9 vb. () 4. a dizisii ilk bikaç teimi: a 4 4, a 5, di. 5 a, a, a 3, 3 5. a = 8 dizisii bikaç teimi 8, 8, 8, 8, 8, 8,.di. Demek ki, idisie bağlı olmada a teimii değei 8 di. a teimii değei daima sabit ola bu gibi dizilee sabit dizile dei. Noktalaı koodiatlaıı (,а ), (,а ), (3,а 3 ), (4,а 4 ),... yai (,а п ), =,,3,... ekleyeek dizilei çoğu kez koodiat düzlemde belitiyouz. 6. Geel teimi a = 3 + (-) dizisii iceleyelim. içi,,3, değele vemekle, 4,, 4,, 4,, 4, dizisi elde edili. Alıştımala. Dizi edi? Solu ve sosuz dizi içi bie öek yazıız.. (a ) dizisii ilk 5 teimii yazıız: а) a, b ) a, c) a, d) a (). 6

9 3. (a ) dizisii. ci teimii belitiiz. а) a içi = 4, b) a = içi = 3, c) a = 3 içi = Geel teimi a = (-) ola dizii, i hagi değei içi değei 00 du? 5. i hagi değei içi, geel teimi a = 4 5 dizisii teimi 999 olu? 6. Geel teimi veilmiş ola dizii dödücü teimii belitiiz: a) a, b) a, c) a (), d) a = İlk beş teimi veilmiş ola dizilei, geel teimii ifade edecek fomül belitiiz: а) 3, 5, 7, 9,,... b), 4, 9, 6, 5,... c), 3,, 3,,... d),,,,, e) 4,,,,, Dizilei Özelliklei Dizilei bazı özelliklei vadı. Bu özellikle geellikle dizilei atma ve eksilme koşullaıdı. Taım. (a ) dizisi içi: he k doğal sayısı içi, a k+ > a k, () özelliği vasa, dizi kesi alamda atadı (ya da kesi alamda mooto atadı); he k doğal sayısı içi, a k+ < a k, () özelliği vasa, dizi kesi alamda eksiledi (ya da kesi alamda mooto eksiledi); he k doğal sayısı içi, a k+ a k, (3) özelliği vasa, atadı (ya da eksilmeyedi); he k doğal sayısı içi, a k+ a k. (4) özelliği vasa, dizi eksiledi (ya da atmayadı); 7

10 Bi dizii kesi alamda ata olması içi koşul () geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde büyük olmalıdı.. Geel teimi a = 3 ile veilmiş ola diziyi iceleyelim. a < a < a 3 < a 4 <..., yai, < 4 < 7 < 0 <. olduğua göe, bu dizi kesi alamda atadı. Buu doğuda doğuya gösteelim: a + - a = 3( +) - - [3 - ] = = 3 > 0, demek ki, he doğal sayı içi a+ > a geçelidi. Bi dizii kesi alamda eksile olması içi koşul () geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde küçük olduğuu ifade etmektedi.. Geel teimi a. ola diziyi iceleyelim. a < a < a 3 < a 4 <..., yai olduğua göe dizi kesi alamda eksiledi. Buu doğuda doğuya gösteelim: ( ) a a 0, ( ) ( ) demek ki, he doğal sayı içi a +, < a geçelidi. Bi dizii ata ya da eksilmeye olması içi koşul (3) geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde büyük ya da eşit olduğuu yai kedide öceki teimde küçük olmadığıı ifade etmektedi. 3. Şu diziyi iceleyelim:,,,, 3, 3, 4, 4,.. Bu dizii teimlei içi geçeli olduğua göe, dizi eksilmeyedi. Dizi kesi alamda ata değildi, çükü ikici teimi biiciside büyük değildi, o halde daha fazla iceleme içi geek yoktu. Bi dizii eksile ya da atmaya olması içi koşul (4) geeğice, dizii he teimi, kedide öce gele teimde küçük ya da eşit olduğuu yai kedide öceki teimde büyük olmadığıı ifade etmektedi. 4.,,,,,,,,... dizisii iceleyelim.... olduğua göe, dizi eksiledi ya da atmayadı, çükü ikici teimi biiciside küçük değildi, o halde daha fazla iceleme içi geek yoktu. Şuu da ifade etmeliyiz ki, he dizi (), (), (3) ve (4) özellikleide biii sağlaması mecbui değildi. Öek, böyle bi dizi,,,,,,,,.. di. Halbuki bazı dizilede, bu özelliklede hiçbii sağlamadığıa ağme, belli bi k 0 da soa dizii teimlei (), (), (3) ve (4) özellikleide biii sağlayabili. Böyle duumda, dizi kesi alamda ata, eksile, atmaya ya de eksilmeye olduğuu daha geiş alamda alaşmaya göe ifade edebiliiz. 8

11 ,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım geeğice ata değildi, çükü 3 > doğu değildi. Bu dizi daha geiş alamda atadı diyebiliiz. Çükü üçü cü teimde başlayaak dizi atadı < < < < <.... Bu alaşma geeklidi, çükü bize daha çok, idisii büyük değelei içi dizii asıl olduğu ilgiledii. 6.,,,,,,,,,,... dizisii iceleyelim. Bu dizi taım geeğice eksile değildi, fakat geiş alamda eksile olduğuu sayabiliiz, çükü altıcı teimde başlayaak dizi eksiledi, > > > > > Öek 6. daki diziyi iceleyelim. Dizii he teimi de küçük ya da eşit olduğuu göüyouz, yai a di. Bu edele bu gibi dizilee üstte sıılı olduklaıı diyeceğiz, yai daha kesi ifadeyle dizi sayısıyla sıılıdı. Bu özellik bizi şu taımı çağıştııyo: Taım. Bi dizide he doğal sayısı içi a M. (5) olmak üzee bi M eel sayısı vasa diziye üstte sıılıdı dei. Beze taım altta sıılı ola dizile içi ifade edebiliiz: Taım 3. Bi dizide he doğal sayısı içi a M. (6) olmak üzee bi M eel sayısı vasa diziye altta sıılıdı dei. 7. Öek deki a dizisii iceleyelim. Bu dizi eksiledi, çükü a a a3 a4... Bu duumda ilk teim a = di ve dizii e büyük teimidi. O halde bu dizi sayısı ile üstte sıılıdı. Bu öeğe beze olaak, şu özellik geçelidi: o. He eksile ve he atmaya dizi üstte sıılıdı. 8. Öek de veilmiş ola a = 3 geel teimli diziyi iceleyelim. Bu dizi aftadı, çükü a < a < a 3 < a 4 < di. Bu dizide ilk teim a = di ve dizii e küçük teimidi. O halde bu dizi altta sayısıyla sıılıdı. 9

12 Bu öeğe beze olaak, şu özellik geçelidi: o. He ata ve he eksilmeye dizi altta sıılıdı. Hem üstte, hem de altta sıılı ola dizilee sıılı dizile dei. Olaı şu şekilde taımlayabiliiz. Taım 4. Bi dizide he doğal sayı içi a M (7) olacak şekilde ozitif bi M eel sayısı vasa diziye sıılıdı dei. Öek deki dizi ( sayısıyla) sıılı,, öek 4 teki dizi de sayısıyla sıılıdı, Öek 5 teki dizi 3 sayısıyla sıılıdı, öek 6 daki dizi sayısıyla sıılıdı. Öek ve 3 teki dizile sıılı değildi. Alıştımala. Hagi dizile kesi alamda ata, eksile, atmaya, eksilmeyedi?. Kesi alamda ata, eksile, atmaya, eksilmeye dizile içi öekle yazıız. 3. a dizisi ata yoksa eksile midi? 4. Şu dizilede hagisi kesi alamda ata, hagisi ise eksiledi: a) a, b) a, c) 3 a, d) ( ) a 5, e) a 5, 5. a) Bi dizi ayı zamada hem ata, hem de eksile olabili mi? b) Sabit dizi, ata yoksa eksile midi? 6.* a ozitif sayısıı hagi değei içi a = а dizisi: a) ata; b) eksile; c) sabitti; d) üstte sıılı; e) altta sıılı; f) sıılıdı? 0

13 .3. Aitmetik Dizile Bazı dizile, geek matematikte, geek gülük hayatta olsu daha fazla astladığıa göe, uygulamalaı da fazladı. Bu edele olaa özel adla da veili. Bu başlıkta, iki özel dizide bahsedeceğiz: Aitmetik dizile ve geometik dizile. Doğal sayılada oluşa,, 3, 4, 5, 6, 7, diziyi iceleyelim. Bu dizide = 3 = 4 3 =.ya da geel olaak iki adışık teimi fakı daima eşitti. Bu özellikte yaalaaak şu taımı kabul edeceğiz. Taım. Bi (a ) diziside iki adışık teimi fakı a + - a daima sabit kalıyosa, yai doğal sayısıa bağlı değilse, ya da a + - a = d olacak şekilde bi d eel sayısı vasa (a) dizisie aitmetik dizisi dei. d sayısıa otak fak dei. Aitmetik dizileide daha bikaç öek iceleyelim.. -4, -,, 5, 8,, 4, dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime 3 katmakla elde edili, yai = -, =, + 3 = 5, = 8, =,... Bu duumda d = 3 tü.. 5, 3,, -, -3, -5, -7, dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime - katmakla elde edili, yai 5 - = 3, 3 - =, - = -, - - = -3, = -5,... Bu duumda d = - di. 3. 6, 6, 6, 6, 6, 6. dizisi aitmetik dizidi. Çükü he teim kedide öceki teime 0 katmakla elde edili. Bu duumda d = 0 dı. Aslıda he sabit dizi aitmetik dizidi. Şuu fak edebiliiz, bi aitmetik dizisii ilk teimi ve otak fakı veildiğide, dizii tüm teimleii bulabiliiz. Buu aşağıdaki şekilde yaacağız: a = a a = a + d a 3 = a + d = a + d + d = a + d a 4 = a 3 + d = a + d + d = a + 3d a 5 = a 4 + d = a + 3d + d = a + 4d... Bu yötemi devam edeek a k. teimi içi a k = a + (k - )d. () elde edili.

14 Bu aslıda dizii geel teimi içi isteile fomüldü. Geçekte k = içi a = a di, a k+ içi yie ayısı elde edili: a k = a k + d = a +(k) d + d = a + kd. Bua göe şu souca vaılı: He doğal sayı k içi şu fomül geçelidi: a ( k ). a k d 4. Bi ayakkabı fabikasıda ilk yıl çift ayakkabı üetilmiş ve he gele yılda 3000 çift ayakkabı içi üetim atmıştı. Fabika kuuluşuda sekizici yıl souda kaç çift ayakkabı üetmişti? a k ile, fabikaı kuuluşuda k. cı yılı üetimii işaet edelim. Yıllaa göe üetim miktalaı bi aitmetik dizisii oluştuduklaı açıktı. Dizii ilk teimi a = ve otak fak d = di. k = 8 içi () fomülüde yaalaaak a 8 = a + (8 - )d = = 7000 elde edili. Demek ki, fabikaı kuuluşuda sekizici yılıda çift ayakkabı üetilmişti. 5. Bi aitmetik dizisii ilk teimi 8, 5. teimi ise 50 di. Otak fak d e kadadı? () deklemii d ye göe çözesek: a a d k k elde edili. Veile değelei fomülde yeie koyasak a a d k 3 k 5 4 elde edili. 6. Bi aitmetik dizisii ilk teimi 3, otak fakı d = - di. Dizii hagi teimi -9 olduğuu buluuz. () deklemii k ya göe çözesek: a a k k d elde edili. Veile değelei fomülde yeie koyasak a a 9 ( 3) k k 9. d elde edili. Demek ki, dizii dokuzucu teimi 9 olu. k içi çözüm, acak doğal sayı olduğu duumda kabul edilebili.

15 Alıştımala. 50-ci tek sayı hagi sayıdı?. 75. çift sayıyı hesalayıız. 3. Otak fakı,3 ve 85. teimi 70,8 ola aitmetik dizisii ilk teimi belitilsi. 4. Veile dizilede hagilei aitmetik dizisidi: а), 8, 4, 0, 6,...,6-4,... b), 8, 7, 8, 3,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d),, 4, 8, 6,..., -,...? 5. Bi iş ögütüü ocak 000 yılıda bocu EUR olmakla, he gele yılda boç 3500 EUR azalmıştı. Kaç yıl soa boç 000 EUR kalmıştı? 6. -3,, 5, 9, 3, 7, aitmetik diziside, çift idisli yeledeki teimlei silesek, asıl dizi elde edilecekti? 7*. Bi aitmetik dizisii beşici teimi, o ikici teimi ise 33 tü. Aitmetik dizisii ilk teimi ve otak fakı e kadadı? 8*. Baka hesabıda bi mikta aası ola Yusuf, he ay ayı mikta aa hesabıa yatııyo. Tasauf yamaya başladıkta 6 ay soa, Yusuf u deaı, 7 ay soa ise 8500 deaı olmuştu. Tasaufa başlamada öce Yusuf u baka hesabıda kaç aası vamış ve he ay baka hesabıa e kada aa yatımıştı?.4. Aitmetik Dizilei Özelliklei A. Şu öeği iceleyelim.., 4, 7, 0, 3, 6 solu aitmetik dizisi içi: + 9 = = = = = = 9 + (= 0) geçelidi. Geel olaak, a, a, a3,..., am,..., a, a, a. solu aitmetik dizisi veilmiş olsu: Şu çiftlei iceleyelim: ( a ; a ), ( a ; a ), ( a 3; a ),..., ( a m; a m ),..., ( a ; a), buada idislei tolamı + di ( + = +, + ( -) = +, 3 + ( - ) = +,..., m + ( - m +) = +,...). Bu çiftlee a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta ola teimle dei. a m a ( m ) d ve a m a ( m) d olduğua göe, olaı tolam. am am a ( m ) d a ( m) d a a ( ) d a a. Bu tolam, m sayısıa bağlı olmadığıı göüyouz. Yai, m =,,3,. içi, a m + a -(m-) = a + a, di. Buula şu özelliği isatlamış oluyouz: 3

16 0. He aitmetik diziside, uç teimle a ve a de eşit uzaklıkta ola teimlei tolamı uç teimlei a + a tolamıa eşitti.. 5, 7, 9,, 3, 5, 7, aitmetik dizisii iceleyelim. = 5 içi ( 0 ) özelliği 5 +3 = 7 + = = + 7 = (= 8), = 6 içi ise bu özellik 5 +5 = 7 +3 = 9 + = + 9 = = (= 0). 3. Öek deki diziyi iceleyelim. Dizii ikici teimi (7), ilk (5) ve üçücü (9) teimi aitmetik otası olduğuu; Üçücü teimi (9), ikici teim (7) ve dödücü teim () aitmetik otası olduğuu fak edebilisiiz. Bu özellik geel olaak da geçelidi. < m içi 0. He aitmetik diziside a m teimi a m- ve a m+ teimleii aitmetik otasıdı, yai a m a a m m di. 4. Hehagi bi aitmetik diziside a00 a00 a55 geçeli olabili mi? Souu cevabı ozitifti, çükü idislei tolamı eşitti: = di. Bua göe (a 00 ; a 00 ) ve (a 55 ; a 55 ) teimle çifti a ve a 309 uç teimlede eşit uzaklıktadı. öek 4 te isatladığı gibi, aitmetik dizileie ait şu özellik de isatla- ı. a 55 a 00 a 00 a 3 0. Hehagi aitmetik diziside k < m olmak üzee m k a am Diğe sözlele a m teimi, a m-k ve a m+k teimleii aitmetik otasıdı. mk, geçelidi. 4

17 Alıştımala. Veile sayılaı aitmetik otalamasıı belitiiz: a) 5 ve 3; b) x + y ve x y.. Hehagi (solu) bi aitmetik dizisii seçiiz ve, ve 3 özellikleii yoklayıız. a 3. Hehagi bi aitmetik dizisi veilmiş olsu. Değei a ye eşit ola bi teimi va olduğuu gösteiiz. 4*. Hehagi bi aitmetik dizisii seçiiz. İdisle aası + q + = s + t + u eşitliği vasa a + a q + a = a s + a t + a u eşitliği de geçeli olacağıı gösteii. Oda soa buu geel duum içi isatlamaya çalışıız. 5*. a 7 + a = a 5 + a 0 geçeli ola bi aitmetik dizisi içi e diyebilisiiz?.5. Bi Aitmetik Dizisii İlk Teimii Tolamı Çok kez, ilk teimi a ve otak fakı d ile veilmiş ola bi aitmetik dizisii ilk teimii tolamıı belitmek geeki. Aaıla tolamı S ile işaet edeceğiz. S a a a... 3 a. Bu tolamı tes yöde yazasak S a a a... a geçeli olduğuu fak edebiliiz Bu iki deklemi taaf taafa tolamakla: S ( a a... a) ( a a... a) ( a a) ( a a)... ( a a) elde edili. a a a a a3 a a4 a3... olduğua göe, S = (a + a ) elde edili. Oada da S ( a a ). () elde edili. Bu fomülde a = a + ( - )d değiştimekle S [a ( ) d]. () fomülü elde edili. 5

18 Bu fomül, bi aitmetik dizisii aaıla ilk teimii tolamıdı. Fomül a, d, ve S büyüklüklei aasıdaki bağıtıyı göstemektedi ve bu büyüklüklede hehagi bii bilimediğide diğe üç bilie büyüklükle belitilebili.. İlk tek sayıı tolamıı hesalayıız. () fomülüde a = ve d = ile değiştiiyouz: S [a ( ) d] ( ( )) ().. Bi ayakkabı fabikasıda ilk yıl çift ayakkabı üetilmiş ve he gele yılda 3000 çift ayakkabı içi üetim atmıştı. Fabika kuuluşuda sekizici yıl soua kada tolam kaç çift ayakkabı üetmişti? () fomülüde = 8, a = ve d = ile değiştiiyouz: 8 S 8 [ ] Demek ki, ilk sekiz yılda tolam çift ayakkabı üetilmişti. 3. a = 7, d = 5 ve S = 43 içi so aitmetik dizisii e kada üyesi vadı? Değelei değiştieek () şu souca ulaşıız: (4 5( )), yai Bu deklemi çözülmesiyle iki souç elde edili: = 9 ve = -0,8. Göülüyo ki ikici çözüm alamsızdı. Demek ki = 9, böylelikle aitmetik dizisi şöyledi: 7,, 7,, 7, 3, 37, 4, 47. Alıştımala. İlk çift sayıı tolamıı hesalayıız.. İlk 000 doğal sayıı tolamıı hesalayıız. 3. Bi aitmetik dizisii 78 teimii tolamı e kadadı: a) a = 5 ve d = 3; b) a = - ve d =? 4. İlk teimi 7, yüzücü teimi 53 ola aitmetik dizisii ilk 00 teimii tolamıı beşitiiz. 5. İlk doğal sayıı tolamı 75 ti. e kadadı? 6*. a = 6 ve a 45 = 74 ola bi aitmetik dizisii ilk 46 teimii tolamıı belitiiz. 6

19 .6. Geometik Dizile Aitmetik dizilede iki adışık teimi fakı daima ayı sayı olduğuu gödük. Bu des biimide, iki adışık teimi bölümü daima sabit ola dizilede söz edilecekti. Öek, böyle bi dizi, 0, 00, 000, 0 000, di., çükü özelliği vadı. Göüldüğü gibi he gele teim kedide öceki teimde 0 kat büyüktü. Daha soa, bu dizilei tasauf yatıımlada, faizi hesalaması içi uygulamalaı olduğuu gösteeceğiz.. Taım. q 0 olmak üzee, a, aq, aq, aq 3, aq 4,... () biçimide (a ) dizisie geometik dizi dei. Göüldüğü gibi, dizii he gele teimi, kedide öce ola teimi q 0 sayısıyla çaılaak elde edili. a elemaı dizii ilk teimidi, q sayısıa ise otak böle ya da otak çaadı dei, çükü 3 aq aq aq q... a aq di. aq. 3, 6,, 4, 48, 96, dizisi, ilk teimi 3 ve otak bölei ola bi geometik dizidi (...) İlk teimi ve otak çaaı -3 ola geometik dizisii oluştuuuz. Aaıla dizi:, (-3), (-3), (-3) 3 ya da, -6, 8, -54, İlk teimi 8 otak bölei ola dizi: 8, 6,,,,, q > ise, geometik dizi a > 0 içi atadı, a < 0 içi ise eksiledi. 4.,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, diziside a = > 0 ve q = olduğua göe dizi atadı. 5. -, -, -4, -8, -6, -3, -64, -8, diziside a = - > 0 ve q = > olduğua göe dizi eksiledi. q = ise, dizi sabitti, öek: -5, -5, -5, -5, -5,.. 7

20 0 < q < olduğu duumda, geometik dizi a > 0 içi eksiledi, a < 0 içi ise atadı. 6.,,,,,,,... diziside a = > 0 ve q olduğua göe dizi eksiledi. 7.,,,,,,,... diziside a = - < 0 ve q olduğua göe dizi atadı. q < 0 ise, dizii teimleii işaeti değişke olduğuda dizi e ata e de eksiledi. Buu Öek de göebilisiiz. () fomülüde şulaı yazabiliiz: a aq, a a q, a 3 q 4 3 a3q q 5 4 a4q q, a,... a q. () Dizii ilk teimi ve otak çaaı bilidiğide, () fomülüde yaalaaak dizii hehagi teimii belitebiliiz. 8. a = - 6 ve q ola bi geometik dizisii altıcı teimi () fomülü geeğice: a 6 ( 6) ( ) Bi geometik dizisii dödücü teimi 6, altıcı teimi ise 458 di. Dizii ilk teimii ve otak böleii belitiiz. () fomülüde = 4 ve = 6 içi 6 = a q 3 ve 458 = a q 5 deklemlei elde edili. İkici deklemi biici deklemle bölmekle, 9 = q ve oada q = ± 3 elde edili. q = 3 içi biici deklemde a 6, elde edili. q = -3 içi, biici deklemde a 6 3 elde 3 edili. ( 3) 8

21 Alıştımala. Bi geometik dizisii ilk iki teimi 48 ve 4 tü. Dizii beşici teimii belitiiz.. Veile dizilede hagilei geometik diziledi: а), - 8,3, -8,5... (-4) -,... b),8,7,8,..., 3,... c) 9,4, -, - 6, -,...,4-5,... d ),,4,8,6... -,...? Geometik dizisi olalaı ilk teimii ve otak böleii belitiiz. 3. a) İlk teimi ve otak bölei,5 ola geometik dizii beşici teimii buluuz. b) İlk teimi,5 ve otak bölei - ola geometik dizii yedici teimii buluuz. 4. Sütte baktei sayısı he 3 saatte iki katıa ata. 4 saatte baktei sayısı kaç defa atacaktı? 5. Ali ve Beki bi bakaya ayı mikta aa yatımışla. Ali, %3 faiz oaıyla 4 yıl içi, Beki ise %4 faiz oaıyla 3 yıl içi yatımıştı. Hagisi bakada daha çok aa almıştı? 6*. Ediç, yıllık %6 faiz oaıyla bakaya bi mikta aa yatımıştı. a) Yedi yıl soa yatıdığı aa yüzde kaç atacaktı? b) Kaç yıl soa baka hesabıdaki aa aa aaı e az iki katıa çıkacaktı?.7. Geometik Dizisii Özelliklei.,,8,3,8. solu geometik dizisii iceleyelim olduğuu fak ediyouz. Bu özellik, geel duumda da geçeli olduğuu gösteeceğiz. a, a, a 3,..., a solu geometik dizisi veilmiş olsu. a = a ve a a olduğuu göz öüde buluduaak q 9

22 a q a a aq a a elde edili. Oda soa a olduğuda a3a aq aa. elde edili. q Bu şekilde devam etmekle a k = aq k- ve a a ( ) k k q a 3 aq q, buada da a a ve a q : q k a ka ( k ) aq a a k. () q a İdislei tolamı + ola (a ; a - ), (a 3 ; a - ), (a 4 ; a -3 ),... (a k ; a -k+ ),... (a - ; a ) çiftlee, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta ola teimle dei. Bua göe () eşitliği şu özelliği ifade etmektedi: 0. He geometik dizide, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta bulua teimlei çaımı, uç teimlei çaımıa eşitti.. Şu geometik dizisii iceleyelim:, 6, 8, 54, 6, 486, = 5 ve = 6 içi bu özelliği yoklayalım: = 5 içi, 6 = 6 54 = 8 8 = 54 6 = 6 (= 34) = 6 içi, 486 = 6 6 = 8 54 = 54 8 = 6 6 = 486 (= 97). 3. Öek deki diziyi iceleyelim. İkici teim (6), biici () ve üçücü (8) teimleii geometik otası; üçücü teim (8), ikici teim (6) ve dödücü teim (54) sayılaıı geomet- ik otası; dödücü teim (54), üçücü teim (8) ve beşici teim (6) i geometik otası olduğuu vb. fak edebiliiz. m Geel olaak, am ve am am q, olduğua göe q ( a m) amam, a m amam. Bua göe şu özellik geçelidi: 0. He geometik diziside < m içi, a m amam, di, yai a m teimi a m- ve a m+ teimleii geometik otasıdı. 0

23 Beze şekilde, 0 özelliğii daha geelii ifade ede şu özelliği de isatlayabiliiz He geometik diziside k < m içi, a m+ teimleii geometik otasıdı. a m a mk a mk, di, yai a m teimi a m-k ve 4. 3 ve 9 sayılaı aasıda veilelele beabe geometik dizisi oluştuacak 5 sayı yeleştiiiz. Öce, a = 3 ve a 7 = a q 6 de q otak böleii belitiyouz. a = 3 değeii değiştimekle 3 q 6 = 9 eşitliğide q 6 = 64 ve q = ± elde edili. q = ise, şu dizi elde edili: 3, 6,, 4, 48, 96, 9,, q = - ise 3, - 6,, -4, 48, -96, 9. Alıştımala. a) 30 ve 0; b) xy ve y x sayılaıı geometik otasıı belitiiz.. Hehagi bi geometik dizisii seçiiz ve, ve 3 özellikleii yoklayıız. a a ola teimi- 3. Hehagi bi geometik dizisi veilmiş olsu. Veile dizide değei i va olduğuu isatlayıız. 4. 3, b, 75 sayılaı bi geometik dizisi olacak şekilde b sayısıı belitiiz. 5*. Bi geometik diziside a a 3 = a a 7 sağladığı duumda, dizi içi e diyebiliiz?.8. Geometik Dizisii İlk - Teimii Tolamı Bi geometik dizisii ilk teimii tolamıı S ile işaet edelim. Ѕ = a + aq + aq aq - + a. () Bu deklemi he iki taafıı q ile çamakla S = aq + aq + aq aq - + aq. () () eşitliğide () eşitliği çıkaılısa: q a S q S a, oada

24 S ( q ) a( q ), S a (. q ) q (3) elde edili. Bu ise, bi geometik dizisii ilk teimii tolamıı ifade ede fomüldü. Fomülde a, q, ve S büyüklüklei buluu ve bu büyüklüklede he bii, bilie diğe üç büyüklükle hesalaabili. (3) fomülü, geellikle q > içi uygulaı, q < olduğu duumda ayı fomül şu şekilde yazılaak kullaılı: S a q ( ). (4) q q = ise, bu fomülle kullaılamaz, çükü kesi hem ayı, hem de aydası sıfı olu. Halbuki bu duumda S = a olduğu açıktı.. İlk teimi a = 3 ve q = veilmiş ola geometik dizisii ilk 6 teimii tolamıı belitiiz. a = 3 ve q = değeleii fomülde değiştimekle 3( 6 ) S6 3 (64 ) elde edili.. Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı içi kullaıla fomülde yaalaaak şu özdeşliği geçeli olduğuu isatlayıız: 3 a b ( a b)( a a b a b... b ). (3) deklemide a = koyasak q q... q q, q q ( q )( q q... q ). elde edili. Oada q yeie a b a b a b a q koymakla b a b a... b elde edili. Bu deklemi b ile çamakla: elde edili.. 3 a b ( a b)( b ab a b... a ),

25 3 a b ( a b)( a a b a b... b ). 3. Bi geometik dizisii so teimi, teimleii tolamı 7 ve otak çaaı di. Dizii ilk teimi belitilsi. İlk teimii tolamı fomülüde, a a, ( ) 7, ya da a a 7. elde edili. Biici deklemi ile çaaak ikiciside çıkaısak a 7 7, oada da a = 7 elde edili. Buu biici deklemde değiştimekle - = 4 ve oada = 5 elde edili. Alıştımala. Veile geometik dizisii ilk 8 teimii tolamıı belitiiz: а), 3, 9,... b) 5, 5, 5,..., c),,,..., d) 5, 56, 8, Veilelee göe geometik dizisii ilk teimii belitiiz: а) = 8, q =, Ѕ 6 = 765, b) 4, q, S Bi geometik dizisii beşici teimi, ve otak çaaı. di. İlk teimii ve ilk beş 9 3 teimii tolamıı belitiiz. Geometik dizisii yazıız. 4. Ahmet, ocak ayıda dea maaş almıştı. Yıl soua kada maaşı he ay % 3 atmıştı. Ahmet yıl boyuca tolam e kada maaş almıştı? 5*. Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı içi kullaıla fomülde yaalaaak şu özdeşliği geçeli olduğuu isatlayıız:.9. Kou Pekiştime Ödevlei. Ne ata e de eksile ola bi diziyi yazıız.. (a ) dizisii tek idisli teimlei ozitif, çift idisli teimlei ise egatifti. Bu dizi ata ya da eksile olabili mi? 3

26 3. ve 4 sayılaı aasıda öyle üç sayı a, b ve c koyuuz ki,, a, b, c, 4 bi geometik dizisi olsu. 4. Hehagi bi aitmetik dizisi içi a = a k + ( - k)d. geçeli olduğuu gösteiiz. 5. Bi tücca sataç tablosuu şu koşullaa göe satıyomuş: Tablou biici kaeside dea, ikici kaeside dea, üçücüsüde 3 dea vb. Tücca sataç tablosuu kaç deaa satıyomuş? 6*. a) a, a, a 3, dizisi, ayı ada hem aitmetik, hem de geometik dizisi ise a = a = a 3 olduğuu isatlayıız. b) a, a, a 3,...,a dizisi ayı ada hem aitmetik, hem de geometik dizisi ise a = a = a 3 =... = a olduğuu isatlayıız. 7. He geometik dizide a = a k q -k geçeli olduğuu isatlayıız 8. He baktei bi saatte ikiye katlaısa, başlagıçta 7 baktei ola bi bitkide 8 saat soa e kada baktei olacaktı? 9. Bi çocuk ocak ayıda kumbaasıa 5 dea koyaak aa biiktimeye başlamıştı. Oda soa he ay bi öceki ayı iki katı kada kumbaasıa aa koymuştu. Yıl souda çocuğu kumbaasıda e kada aa biikmişti? a a a a olduğuu is- 0*. He geometik diziside, ilk teimii çaımı atlayıız. /... ( a ) 4

27 Kou Özetlei Dizi, N doğal sayıla kümeside, R eel sayıla kümesie bi eşlemedi. a k+ > a k ise, dizi he doğal sayı içi kesi alamda atadı; a k+ < a k ise, dizi he doğal sayı içi kesi alamda eksiledi; a k+ a k ise, dizi he doğal sayı içi atmayadı; a k+ a k ise, dizi he doğal sayı içi eksilmeyedi; He doğal sayı içi a M olacak şekilde M eel sayısı vasa dizi üstte sıılıdı dei. He doğal sayı içi a M olacak şekilde M eel sayısı vasa dizi altta sıılıdı dei. Hem üstte hem de altta sıılı ola dizilee sıılı dizile dei. He eksile ve he atmaya dizi üstte sıılıdı; he ata ve he eksilmeye dizi altta sıılıdı. Bi (a ) diziside iki adışık teimi fakı a + - a daima sabit kalıyosa, yai doğal sayısıa bağlı değilse ya da a + - a = d olacak şekilde bi d eel sayısı vasa (a ) dizisie aitmetik dizisi dei. d sayısıa otak fak dei. Bi aitmetik dizisii geel teimi: a m a a ( ) d. He aitmetik diziside a m teimi a m- ve a m+ teimleii aitmetik otasıdı, yai < m içi amk amk di. Bi aitmetik dizisii ilk teimii tolamı S ( a a ), di. ya da S [a ( ) d]. q 0 olmak üzee a, aq, aq, aq 3, aq 4,... biçimide (a ) dizisie geometik dizi dei. Bu dizii geel teimi q a a di. 5

28 He geometik dizide, a ve a uç teimlede eşit uzaklıkta bulua teimlei çaımı, a a uç teimlei çaımıa eşitti. a m a mk a mk Bi geometik dizisii ilk teimii tolamı a ( q ) S di. q 6

29 . BİLEŞİK FAİZ HESABI.. Bileşik Faiz Kavamı ve Hesalaması Bi mikta aaı faizii hesalaması basit ve bileşik faiz hesalamasıyla yaılabili. Basit faiz, bi yatıımı, yatıım vadesi süesice sadece aaaasıı kazadığı faiz oaıdı. Bileşik faizde, yatııla mikta aa he döemde değişi, yai he döem souda elde edile faiz miktaı aaaaya eklemekle yatıım miktaı büyü ve gelecek döemde ayısı aaaa oluyo. Bua göe bileşik faiz içi şu taımı kabul edebiliiz: Bi yatıımı yatıım vadesi boyuca kazadığı faizi de yei yatıım vadeside yatııma tabi tutulması soucu elde edile getiiyi göstee faizdi. Diğe bi deyişle faizi de faiz kazamasıdı. Kt Basit faiz i, fomülüyle hesalaı ( t yıl sayısıdı). Zama ayla ile veildiğide 00 Km i, fomülüyle hesalaı. Bu duumda m ay sayısıdı ve zama gülele ifade edilise 00 Kd i fomülü kullaılı (d gü sayısı) dea temel kaital içi 8 ayda %6 faiz oaıyla e kada faiz ödeecekti? Veilelee göe, K = 4 000, t = 8 ay, = % 6 dı i Kt 9600 dea dea aaaa, hagi faiz oaıyla 60 güde 304 dea faiz getiecekti? Zama takvime göe ölçülüyo. Kd Veilelee göe, K = , i = 304 dea ve t = 60 gü. O halde i olduğua göe: i % elde edili. Kt mayısta 6 temmuza kada yatııla bi mikta aa %4 faiz oaıyla 4576 dea faiz getidiğie göe, yatııla aaaa e kadadı? Zama takvime göe hesalaı (k, 365). 7

30 Öce, yatııla aaı bakada kaldığı zamaı hesalamamız geeki, yai gü sayısıı saymalıyız. Bu duumda ilk güü sayasak so güü hesaba katmıyouz ya da ilk güü saymazsak so güü sayacağız, yai ilk ve so güde sadece biii hesaba katıyouz. Bu duumda faiz hesalamaı ilk güüü 4 mayıs olaak alısak, mayıs ayıda 8 gü, 30 gü hazia, 3 gü temmuz ve ağustos, eylül ayıda ise so güü hesaba kataak 6 gü vadı. Bua göe tolam gü sayısı t = = 6 gü. O halde K içi fomülü kullaaak i K dea olduğuu buluyouz. Demek ki, 3 mayısta t dea aa yatıılmıştı. 4. Bi masa teisi yaışmasıda tuuvayı kazaa yaışmacı kazadığı aa ödülüü iki bakaya yatııyo. Biici baka %7, ikicisi ise %5 faiz oaıyla hesalama yaıyo. Bi yıl soa he iki bakada tolam 7850 dea faiz elde edildiğie göe, yaışmacı he iki bakaya ayı ayı e kada aa yatımıştı? Yatııla aaaa K = 5000 dea biliiyo. Bu aa miktaı K = x ve K = 5000 x olmak üzee iki bakaya yatıılmıştı. Faiz oaı = %7, = %5 ti ve tolam faiz miktaı i = i + i = 7850 di. O halde veile koşullaa göe şu deklemi kuabiliiz: K t K t i, buada t = t = yıl. Bua göe, 7x x 7850, deklemi elde edili. Deklemi sadeleştieek: x, elde edili. Bu deklemi çözümüde K = x = dea ve K = dea olduğuu buluyouz. Basit ve bileşik faiz hesalama yoluyla elde edile faiz miktalaıı fakıı gömek içi, bi öekle kaşılaştıma yaacağız. Oda soa, bileşik faizi hesalaması içi bi fomül beliteceğiz dea kaital bi bakaya %8 faiz ile döt yıl yatıılmış ola aa basit ve bileşik faiz ile e kada faiz getii? Bi yılda dea aaaa basit faiz fomülü ile dea faiz getii. 00 8

31 Faiz daima aaaaya hesaladığıa göe bu mikta he ayıdı ve döt yılda 760 deaı döt katı kada faiz elde edili. Bua göe tolam faiz miktaı: 8 I deadı. 00 Bileşik faiz hesabıda ise he yıl souda elde edile faiz miktaı aaaaya eklemekle aaaa miktaı büyü ve gelecek yıl ayısı aaaa oluyo. Bua göe, biici yılı faiz miktaı 8 i deadı. Halbuki atık ikici yıl aaaası, biici yılı aaaası ve biici yılı faiz miktaıyla tolamıa eşitti, = deadı İkici yıl faiz miktaı i , 8 dea olu. 00 Üçücü faiz miktaıı hesalamak içi, aaaa yie büyü ve ,8 = 4040,8 8 dea olu. O halde i ,8 39, 64 dea olu. Souda faizi hesalaacak aaaa 4040,8 + 39,64 = 43460,064 olu. Bua göe i , , 8 elde edili Döt yıl içi elde edile faiz miktaı 436,86 deadı. Göüldüğü gibi, bileşik faiz hesabıyla hesalaa faiz miktaı, basit faiz hesabıyla elde edile miktada büyüktü. Bileşik faiz,yılda bi defa, iki defa ya da biçok defa hesalaabili. Faizi hesaladığı zama aalığıa faiz hesalama vadesi dei. Faiz yılda bi hesalaaak yıl souda elde edile faiz aaaaya ekleise, o halde yıllık faiz söz kousu olu. Faiz yılda iki defa hesalaaak aa aaya ekleise, faiz hesalama vadesi 6 aydı ve yaım yıllık faiz hesalaması söz kousu olu. Beze şekilde faiz hesalama yılda döt defa yaılısa faiz hesalama vadesi 3 aydı dei. Basit faiz hesalamasıda döt temel büyüklük: K - aaaa (temel kaital başlagıç mikta) i - faiz miktaı faiz oaı (yüzde olaak), 00 dea aaı zama biimide getidiği faiz. t - aaı faizde kaldığı süe yıl olaak, ya da daha küçük zama ölçü biimide de olabili. Bu büyüklükle, bileşik faiz hesabıı da temel usulaıdı, halbuki buada ek olaak bileşik faizi temel usuu: 9

32 bi yıl esasıda faizi hesalama sayısı m, yai yıllık döem sayısı da katılmaktadı. Patikte, faiz döemleiyle ilgili olaak faiz hesalaı çeşitli işaetlele işaetleiyola. Öeği, faizi yıllık hesalaması (a) ile, yaım yıllık hesalaması (sömesteli) (s) ile, üç ayda bi hesalamayı (kvatal) (q) ile, ayda bi vadeyi (m) ile ve adı geçe he vadelik hesalamalada faiz oaı yıl bazıda sayılmaktadı. Faiz oaı, yıllık faiz oaı gibi veildiğide.a. biçimide işaet yazılı, yaım yıllık faiz oaı olaak alıısa.s. işaeti yazılı. Üç aylık bazıda da faiz oaı veilebili ve bu duumda.q. biçimide ya da aylık bazıda olusa.m. işaeti yazılı. Bu şekilde veilmiş ola faiz oaıa omial faiz oaı dei. Nomial faiz oaı, aslıda baz kabul edile faiz vadeside yüz aa biimii büyüme miktaıdı. Acak fiasma ya da yatıımlala ilgili kaalada vade uzuluğu yıl olduğu kada yılda daha kısa süeli olabili. Öeği tahvil faizleii he altı ayda bi ya da üç ayda bi ödemesi; ya da aylık, üç aylık, altı aylık vadeli hesa açtıılmasıda olduğu gibi. Bu gibi duumlada yıllık olaak veile faiz oaıda etki faiz oaı (ölatif faiz oaı) buluaak işlem yaılmalıdı. Etki faiz oaıı, yıllık omial faiz oaıı (cai faiz ya da iyasa faiz oaı da deile) yıl içideki döem sayısıa bölümesiyle buluu. Etki faiz oaı, omial faiz oaıı bi kısmı gibi belitili. Öek, omial yıllık faiz oaı yıl bazıda veilmiş ike altı ay vadeli bi hesa açtıılısa, altı ay yılı yaısı olduğuu göz öüde buluduaak etki faiz oaı da omial faiz oaıı yaısı olacaktı. Nomial faiz oaı yıl bazıda, faiz hesalama vadesi aylık ise, etki faiz oaı, omial faiz oaıı o ikide bii olacaktı. Beze şekilde, omial faiz oaı sömesteli (yaım yıllık) olduğuda, üç aylık faiz vadesi içi etki faiz oaı omial faiz oaıı yaısıa eşitti, çükü üç aylık döem altı aylık faiz vadesii yaısıdı. Nomial faiz oaı üç aylık, faiz hesalama vadesi yıllık olduğu duumda, bi yıla kaşılık gele etki faiz oaı veilede döt kat büyüktü, çükü yıl, üç ayı döt katıdı. Kaşılaştıma yamak içi aşağıdaki tabloyu iceleyebilisiiz. Oada m =, m =, m = 4, m = ve beze. Faiz vadesi Nomial faiz oaı Etki (ölatif) faiz oaı Yaım yıllık (sömestal) % 8.a. % 4.s. Yıllık % 8.a. % 6.a. Üç aylı % 8.a. %.q. Aylık % 8.a. % 0,667.a. İki yıllık % 8.a. % 3 İki aylık % 8.a. %,

33 He döem souda faiz hesalaaak aaaaya katılısa döem sou (dekuzif) faizleme söz kousu olu; böyle duumda faiz oaı.a.(d) ile işaet edili. Döem sou faizlemei faiz hesalaması başlagıçta yatııla aaaaya göe uygulamaktadı. Faizleme he döem başlagıcıda yaılısa, döem başı faizi hesalaması içi temel değe, döem souda elde edile aaaadı; bu işleme döem başı (atisiatif) faizleme dei ve.a.(a) ile işaet edili. İki şekilde veilmiş ola (döem sou ve döem başı ) faiz oalaıda hagisi daha kâlı olduğuu alamak içi, he ikisii ayı şekilde ifade etmemiz geeki. Bu duumda, ayı aaaada bi yılda ayı faiz miktaı, yai ayı biikim K elde edilmesi öemlidi. Faizii belitilmesi isteile temel değe (aaaa) K veilmiş ve faiz oalaı π%.a.(a) ve %.a.(d) veilmiş olsu. Faiz hesalama şeklii taımlaıa göe döem sou u faizlemede hesalaa aaaaya katılı ve yıl souda K K K. değei elde edili. döem başı faizlemede, boçlu faiz miktaıı π faiz oaıyla öcede ödemelidi. Bu demekti ki biici döem başlagıcıda, hesalaa faiz temel değede çıkaıldığıa göe K değeii değil K K K K değeii çekebili. Bu duumda aaaaı başlagıç değei K K K di. Oada K K olu. K i so değeleii eşitleyeek K K, eşitliği, ya da. deklemi elde edili. π.a.(a) faiz oaı belli olduğu duumda, döem sou faiz oaıı, fomülüyle hesalayabiliiz. %.a.(d) belli olduğu duumda ise döem başı faiz oaı fomülüyle he salaabili. 6. Bi baka %6.a.(d) faiz oaıyla, diğe bi aki baka ise %5,7.a.(a) faiz oaıyla boç veiyola. Hagi bakaı faiz oaı daha uygudu? He iki faiz oaıı kaşılaştıacağız. Halbuki öce döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa ve tesie döüştümemiz geeki. 3

34 Döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa döüştüüyouz %5,66.a.(a) elde edili. Bua göe % 5,7.a.(a) faiz oaı vee baka daha hesalıdı Bua iamak içi, tes döüşümü de yaacağız. Döem başı faizi döem sou faize döüştüüyouz %6,04.a.(d). Buada da göüldüğü gibi göe % 5, , ,7.a.(a) faiz oaı daha hesalıdı. Alıştımala dea aada % 5 faiz oaıyla basit faizde a) 5 yılda b) 3 ayda c) 5 güde (30,360) ve (k, 365) zama matisleie göe e kada faiz getii?. Faiz oaı %5 basit faiz ile yatııla bi temel kaital K, kaç yıl bakada yatıılmalıdı ki elde edile faiz miktaı temel değee eşit olsu? (Not. K = I) dea boç içi basit faiz hesabıa göe 4 yılda tolam 6900 dea faiz ödemişti. Faiz oaı e kadadı? 4. Yatııla hagi aaaaya %6 faiz oaıyla 3540 dea faiz miktaı ödemişti: a) 4 yılda; b) 8 ayda? 5*. Bi bakaya, aalaıdaki fak 000 dea ola iki faklı kaital yatıılmıştı. Büyük ola aa miktaı %4 faiz oaıyla bi yıl içi küçük ola aa miktaı ise %6 faiz oaıyla 0 ay vadeyle yatıılmıştı. He iki kaitali getidiği faiz miktaı eşit olduğua göe iki faklı kaitali tolamıı hesalayıız. 6. Veile %.a. omial yıllık faiz oaı içi şulaı belitiiz: a) yaım yıllık vadeli etki (ölatif) faiz oaıı; b) üç aylık vadeli etki faiz oaıı; c) aylık vadeli etki faiz oaıı; 7. Üç aylık omial faiz oaı %.q. veilmiş olduğu halde şulaı belitiiz: a) yaım yıllık etki faiz oaıı; b) yıllık etki faiz oaıı; c) aylık etki faiz oaıı. 3

35 8. %0 döem sou faiz oaıı, döem başı faiz oaıa döüştüüüz. 9. %0 döem başı faiz oaıı, döem sou faiz oaıa döüştüüüz. 0*. Hagi faiz oaı daha kazaçlıdı %6.a.(a) yoksa %6,5.a.(d)... Temel Değei Gelecekteki Değeii Hesalamak Bileşik faiz hesalamalaıı yaake, faiz oaıda başka, temel aaı faiz vadesi souda faiz miktaı kada büyümüş değeii de bilmek geeki, yai faizlee değe ya da i / i. Bu duumda, tüm faiz vadeside elde edile faiz miktaıı temel değee katmakla, elde edile aa miktaıa, temel aaı gelecekteki değei dei. Faizlemesi yaıla temel değei başlagıç miktaıa şimdiki değe de dei. Başlagıçta döem sou faiz oaıyla işlem göe K aa miktaıı iceleyelim. K, K,.. K, sıasıyla biici yıl souda, ikici yıl souda,. yıl souda elde edile kaital olsu. Bu değele bi geometik dizii oluştuduğuu gösteeceğiz. Bu temel değei yıllık %.a.(d) faiz oaıyla yılda asıl değiştiğii iceleyeceğiz. Hesalaa he faiz miktaı döem souda aaaaya katıldığıı ve iledeki döemde büyüye aaaa temel kaital olaak alıdığıı hatılatalım. Döem souda kaitali değei biici yıl souda K K K K 00 00, olu. K ikici yıl souda K K K K, Ayı şekilde devam edesek. yıl souda K K K K K, elde edili Buada iki adışık değei K s- ve K s ayıısak, s yıl souda temel kaitali tolam değei, oda öce gele K s- değeie hesalaa faizi katılmasıyla K s miktaı elde edili, yai 33

36 K s K s K s K s olu Bua göe, hehagi iki adışık temel miktaı oaı, yai iki adışık döem soudaki miktalaı oaı: K s olu. K s 00 Açıktı ki, K, K, K,... K değelei otak çaaı ola bi geometik dizi oluştuuyola. Bu duumda veile koşullaa göe kaitali so değei içi: 00 K K( ). 00 fomülü elde edili. Bu fomülü yukaıda adı geçe aametelele geişleteceğiz. Bula bi yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oaı daha doğusu, buada döem sou faiz oaıdı ve faizleme dev- m eleii tümü m di. Faiz vadeleii tümü, aslıda faizi hesaladığı yıl sayısı ve faiz vade sayısıı çaımıdı. Bu koşullala, yai bi yılda faiz döem sayısı m olduğuda aaaaı gelecekteki değei içi m K K( ). 00m fomülü elde edili., çaaıa döem sou faiz katsayısı dei. Bu katsayıyı aaaaı gelecekteki değe fomülüde f değiştiisek 00m m K K fomülü elde edili. Not. Aaaaı gelecekteki değeii daha kolay biçimde hesalamak içi, i / i şeklide işaet ettiğimiz faizi faizie ait özel tablola geliştiilmişti. Oada, veile faiz oaı içi e çok kullaıla aametele öcede hesalamış olduğua göe hazı değele gibi kullaılabiliyola. Öek, ilk i / i tablolada faiz katsayısıı değeleii, yai bi aa biimii so değeii döem sou faiz katsayısıyla çaımıı göstemektedi. Oada değei I ile işaet edilmişti ve aaaaı gelecekteki değeii, yılda bi faizi hesalamasıyla, yılda faiz oaı %.a.(d) olduğuda 34

37 K K, fomülü elde edili. Faizleme yılda biçok defa yaılısa, fomül u m K K, m şeklii alı. Buada yıl sayısı faiz vadesi sayısıyla çaılı, faiz oaı ise vade sayısıyla bölüü. Vade sayısı m ile işaetlemişti, yai yılda kaç defa faizleme yaıldığıı göstee sayı olaak gösteili dea aa 0 yılda %8.a.(d) faiz oaıyla, faiz hesalaması yıllık vadeli, yaım yıllık vadeli ve üç aylık vadeli olduğua göe aaı gelecekteki değeii hesalayıız. Veilele: K = 5 000, = 0, = 8%.a.(d). a) Faiz hesalaması yıllık vadeli olduğua göe m = di. Döem sou faiz katsayısı 8,08 di. 00 Açıktı ki, K 0 = K 0 = ,08 0 = 653,93 dea olacaktı. b) m = olsu, yai faiz hesalaması yaım yıllık vadeli olsu. Döem sou katsayı 8,04, aaaa ise K 00 0 = K 40 = ,04 40 = 005,5 dea olu. Bu ise yıllık faiz hesalamasıda fazla olduğu göülüyo. c) m = 4 olsu, yai faiz hesalaması üç ayda bi vadeli yaılmış olsu. Döem sou katsayı, 0, aaaa ise K 0 = K 80 = 5000,0 80 = 885,98 dea olu Döem sou faiz hesalamasıda faiz develeii atmasıyla aaaaı (yatıımı) da gelecekteki değei ata. Yai, faizi hesalaması e kada daha sık yaılısa m değei de o kada ata, buula yatıımı gelecekteki değei de ata. Nomial faiz oaı bi yılda az vade içi veildiğide, yıllık faiz oaıyla e olduğuu icelesek, bu duumda yıllık faiz oaı etki faiz oaı olüü alacaktı. = %8.s.(d) ise, bu faiz oaı sadece yaım yıl içi geçeli olduğuu göz öüde buluduaak yıllık etki faiz oaı %6 olu. =% 8.q.(d) üç aylık vadeli faiz oaı ise, etki yıllık faiz oaı % 3 olu. 35

38 . Başlagıç değei dea ola bi kaitali, = %8.m.(d) faiz oaıyla, faiz vadesi yılda döt defa yai üç aylık faizi hesalamasıyla 5 yıl soa gelecekteki değei belitilsi. Öce yıllık etki faiz oaıı belitmek geeki, bu ise yıllık 8 = %96 dı. Halbuki, faiz 96 vadesi yılı dötte bii olduğuda üç aylık vadeli faiz oaı %4 olu. Bi aylık vade, üç 4 ayda kaç defa geldiğii düşüüsek ayı souca vaabiliiz. Bi çeyek yıl üç ay olduğuda 3 8 = 4% elde edili. faizleme işlemii tolam vade sayısı m = 5. 4 = 0 di. Aaaaı gelecekteki değei: K , , olduğua göe, K 5 = ,74 dea olduğuu buluyouz. Sıadaki öekte, bi aaaaı gelecekteki değeii hesalake, bileşik faiz hesabıı uygulaması ya da basit ve bileşik faiz kaması kullaılmakla elde edile fakı göeceğiz güü dea yatıılmıştı. Faiz oaı = %6.s.(d), faiz hesalaması üç aylık vadelele yılı 30.09, 30., ve güleide yaıldığıda zama matisi (30, 360) koşuluyla, oucu yılı 8.07 güü (ilk güü dahil) yatıımı değei e kada olacaktı? Yatıımı şimdiki değei K = 8 000, faiz vadesi çeyek yıl, yai m = 4, faiz oaı = %6.s.(d), yıllık ölatif faiz oaı %.a.(d) aametelei veilmişti. 6 Kaşılık gele faiz katsayısıı değei,03 tü. 00m 00 4 Yatıımı faizde kalma zamaıı belitmemiz geeki. Yatıımı yaıldığı gü 5.09 de faizi ilk hesalama güüe kada sadece 5 gü vadı. Bu gülei veile zama matisie göe 5 yıl olaak ifade edesek t ' yıl olu. Oda soa 30. taihie kada, yai yılı soua kada bi faiz devesi vadı. İkici yılı başlagıcıda dokuzucu yılı soua kada tolam 8 yıl 360 olduğua göe tolam 3 faiz vadesi vadı. Oucu yıl boyuca taihie kada tam vade ve yatıımı kaldıılacağı güe kada daha 8 gü vadı. Demek ki tolam 35 tam faiz vadesi ve 5 8 ilk yılı t' ve oucu yılı t = 8 gü yıl faiz zamaı elde edili

39 Yatıımı gelecekteki değeii sadece bileşik faiz hesabıı kullaaak hesalıyosak, zamaı tam vade sayısıa, kala gülei ise yıl olaak ifade edeceğiz. Bua göe: K K 35 t' m t" m 8000,03 35, , ,9 dea elde edili. Zamaı tamamıı yıllala ifade edesek, tam vadele 3 aylık yai 90 gü olduğuu göz öüe buluduaak yıl olu. O halde K 8000, , 9 dea olduğuu buluyouz. 360 Faizde kalma zamaıı sadece tam vadeleie basit faiz hesabıı uygulayaak, bileşik ve basit faiz hesalama kombiasyou kullaalım: K 35 K( t') ( t"), fomülüde, sıasıyla öce ilk yılı 5 güü, oda soa 35 tam faiz vadesi ve souda so yılı 8 güü yazılaak ),03 ( ) 5377,86 K 8000 ( dea elde edili. Demek ki, basit ve bileşik faiz kombiasyouu uygulayaak yatıımı gelecekteki değei, sadece bileşik faiz hesabı kullaaak elde edile miktada biaz faklaşıyola ve kombiasyo uygulayaak elde edile gelecek değe biaz büyüktü. Döem sou (soa) ve döem başı (eşi) faizleme aasıdaki temel fak, kouu başlagıcıda ifade edildiği gibi, döem sou faizlemede faiz miktaı döem souda aaaaya eklei, döem başı faizlemede ise faiz miktaı aaaaya eşi eklei. Döem başı faizde boçlu, faiz oaıyla K kaitalie geeke faiz miktaıı eşi ödeme yükümlülüğüü kabul etmişti. K, K,...,K biici, ikici ve beze şekilde - yıl souda kaitali değelei olsu. Biici vadesi başlagıcıda boçlu K değeii değil K K K K K değeii alabilecekti. O halde biici yıl souda boçluu yıllık (m = ) faizleme ile ödeyeceği 00 mikta elde edili. K 00 K K

40 İkici yıl souda, bileşik faiz hesaladığıa göe, faiz tabaı biici yıl souda elde edile miktadı, yai şimdi K di. Demek ki, ikici yıl souda K K K mikta ödemelidi. Bu şekilde devam edeek faizlemei so ci yılıa geliyouz ve aaaaı gelecekteki değei K K K olu. döem başı faizlemede kaitali so değelei K, K, K,.otak bölei ola 00 bi geometik dizi oluştuuyola. - ci döem souda kaitali değei K ise, K = K -, geçe- lidi, yai döem başı faizlemede yıl soa kaitali değei K K. olu. 00 katsayısıa döem başı faiz katsayısı dei Elde edile fomüllei, bi yılda faiz döem sayısı m, etki faiz oaı (ölatif faiz oaı) m π ; buada yıllık döem başı faiz oaıdı ve faiz süesii tolam sayısı m aameteleiyle geişlettiisek, kaitali gelecekteki değei içi şu fomülü elde edeceğiz: K m m K K 00m 00 m m. 00m Fomülde döem başı faiz oaıı katsayısı. koyasak, kaitali gelecekteki değeie ait 00m u m K K, fomülü elde edili. Not. i / i tablolaıda döem sou hesalamada olduğu gibi ρ değei I π ile işaet edili ve yıllık faizlemeyle şimdiki değei (aaaaı) gelecekteki değeii hesalamak içi şu fomül elde edili: 38