ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer

Transkript

1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER SAYI KÜMELERİ Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Üslü ve köklü ifadenin, mutlak değerin ne olduğunu tanımlayabilecek, Aralıkları sayı doğrusu üzerinde gösterebilecek Üslü ve köklü ifadeler ile işlem yapabilecek, Yaptığınız işlemlerin gerekçelerini açıklayabileceksiniz. ÜNİTE 2

2 GİRİŞ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri rakam olarak adlandırılır ve sayılar bu rakamlar kullanılarak yazılır. Matematik denildiği zaman insanın aklına ilk önce sayılar ve bunlarla yapılan işlemler gelmektedir. Sayıların günlük hayatımızda kullanım alanları oldukça geniş olduğundan bu şekilde düşünmek oldukça doğaldır. Ama hemen belirtelim ki matematik sadece sayılarla ilgilenen bir bilim değildir. Tarihi yönden bakıldığında ise sayıların insanlık tarihi kadar eski olduğu görülür. Kavram aynı olmasına karşın sayıları ifade etmek için kullanılan sembollerin değişik şekillerde ifade edildiği görülmüştür. Günümüzde sayıları ifade etmek için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinin kullanıldığını ve bunlara kısaca rakam denildiğini biliyoruz. SAYILAR Kullandığımız sayıları; doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve reel sayılar diye sınıflara ayırırız. Doğal sayılar: şeklindeki sayılara doğal sayı adını veririz ve bu sayıların kümesini ile gösteririz. Yani, doğal sayılar kümesi { } şeklinde yazılır. Buradaki üç nokta kümenin diğer elemanlarının da bu kurala göre yazılabileceğini vurgular. Buna göre vs yazarız. Yine buradan görüleceği gibi vs yazılır. Not: Şu önemli hatırlatmayı da yapalım: Matematik kaynaklarına bakıldığında bir kısmının sıfırı doğal sayılar kümesine dahil ettiğini, bir kısmının ise dahil etmediğini görmekteyiz. Biz bazı nedenlerden dolayı ikincisini yani sıfırı doğal sayılar kümesine dahil etmemeyi tercih ediyoruz. Tam sayılar: veririz ve bu sayıların kümesini olur. şeklindeki sayılara tam sayı adını ile gösteririz. Yani, { } Rasyonel sayılar: Aslında bizim bayağı kesir diye bildiğimiz sayılara rasyonel sayı diyoruz ve bu sayıların oluşturduğu kümeyi ile gösteriyoruz. Bu kümesini açık şekilde yani listeleme yöntemi ile yazamıyoruz. Bunun için kümelerin kapalı gösterimini kullanacağız. O zaman { } Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2

3 şeklinde yazılır. Buna göre rasyonel sayıdır ancak sayılarının her biri bir gibi sayılar rasyonel sayı değildir. Burada da şu önemli hatırlatmayı yapalım: Rasyonel sayıları tanımlarken ve olmak üzere şeklindeki sayılar olarak söyledik. Paydadaki nin sıfırdan farklı olarak alındığına dikkat ediniz. Bunun hakkında iki şey söyleriz: Sıfırdan farklı bir sayıyı sıfır ile bölmek tanımsızdır. Sıfır ile sıfırı bölmek yani İrrasyonel sayılar: Rasyonel sayı olmayan belirsizliktir. 5 2, 5, 2, 3, 7,... şeklindeki sayılara irrasyonel sayı adı verilir. Bu sayıların kümesini göstermek için matematikçilerin kullandığı ortak bir harf yoktur. İrrasyonel sayıların kümesini daha önce verdiğimiz küme gösterim metotlarından hiç birisi ile açık şekilde ifade edemiyoruz. Reel sayılar: Hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye reel sayılar kümesi adı verilir ve bu küme ile gösterilir. Reel sayılar kümesini de daha önce verdiğimiz küme gösterim metotları ile gösteremiyoruz. Verilen bu bilgilerden sonra söylenir. kümesinin irrasyonel sayılar kümesi olduğu Bu sayı kümeleri arasında Reel sayılar, çalıştığımız bütün sayıları içerdiğinden bizim için sayıların evrensel kümesidir. ve şeklinde bağıntılar vardır. Doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin her biri ile irrasyonel sayılar kümesinin arakesiti boştur. Yani kümelerinin her biri ile irrasyonel sayılar kümesi ayrıktır. Bundan sonra reel sayılar kümesinde çalışacağız. Sayı dediğimiz zaman reel sayıdan bahsedildiği anlaşılacaktır. Reel Sayıların Geometrik Gösterimi: Reel sayılar geometrik olarak bir doğru ile gösterilir. Reel sayıların gösterildiği doğruya sayı doğrusu adı verilir. Bunun anlamı şudur: Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir reel sayı, tersine her bir reel sayıya da sayı doğrusu üzerinde bir nokta karşılık gelir. Reel sayılar sayı doğrusuna yerleştirilmesi şu şekilde olmaktadır: Önce başlangıç noktası seçilir ve bu nokta 0 ile gösterilir. Daha sonra birer birim sağa kayarak 1, 2, 3, sayıları; birer birim sola kayılarak da -1, -2, -3, sayıları yerleştirilir. Diğer sayılar da karşılık geldiği noktalara yerleştiriliyor. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3

4 Şekil 2.1. Reel sayıların gösterildiği sayı doğrusu İki reel sayı verildiğinde bunların sayı doğrusu üzerindeki konumlarına bakılarak sağdaki sayının soldakinden büyük olduğu söylenir. Eğer sayısı sayısından küçükse bunu veya şeklinde yazarız. şeklindeki yazılış küçüktür ; büyüktür olarak okunur. şeklindeki yazılış da 2.1. ile sayılarını karşılaştırdığımızda yazılır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde nin karşılık geldiği nokta in karşılık geldiği noktanın solundadır. ilgili Reel sayılarla ilgili bazı özellikler: reel sayıları verildiğinde bu sayılarla ifadelerinden sadece bir tanesi doğrudur. Bunlardan birincisi ve üçüncüsü eşitsizlik olarak anılır. Bu ifadelerle ilgili şu özellikler vardır: 1. ise olmak üzere dir. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik değişmez. 2. ise ve olmak üzere ve olur. Yani, bir eşitsizlik pozitif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik değişmez. Burada çarpan veya bölen sayının pozitif olduğuna dikkat ediniz. 3. ise ve olmak üzere ve olur. Yani, bir eşitsizlik negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Burada çarpan veya bölen sayının negatif olduğuna dikkat ediniz. 4. ise olmak üzere ve olmak üzere dir. Bir eşitliğe aynı sayıyı ekleyip veya çıkarmak, aynı sayı ile çarpmak veya bölmek eşitliği değiştirmez. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4

5 5. veya olması halinde dır çarpılmış hallerini yazınız. eşitsizliği veriliyor. Bu eşitsizliğin, sırasıyla, ve ile 2. iken olur. Bu yukarıda verilen 5.özellik ile bir çelişki oluşturur mu? Çözüm: 1. Önce ile çarpalım. un ile çarpımı ; nin ile çarpımı dir. ile karşılaştırıldığında olduğu görülür. Dolayısıyla eşitsizliği ile çarpıldığında ( ) ( ) yani dir. Yukarıdaki özelliklerde de söylendiği gibi, bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir. Benzer şekilde ile çarpıldığında da olduğu görülür. Şimdi de 3 ile çarpma yapalım. 3 ile 9 çarpılırsa 27; 3 ile 12 çarpılırsa 36 olur. Bulunan bu iki sayı için dır. Dolayısıyla yani, dır. Yukarıdaki özelliklerde söylendiği gibi, bir eşitsizlik pozitif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik değişmez., pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla eşitsizliği bu sayı ile çarptığımızda eşitsizlik değişmeyecektir. Gerçekten, dir özellikte eşitsizliğinde ve aynı işaretli olursa olur denmektedir. Buradaki eşitsizliğimizde 4 ve 8 aynı işaretli olmadığından 5.özelliğin geçerli olması beklenemez. Yani 5.özellikteki şartlar sağlanmamakta olduğundan orada verilen sonucun çıkması beklenmeyecektir. O yüzden her hangi bir çelişki söz konusu değildir. Not: Bu örnekten anlaşılacağı gibi iken yazarken çok dikkatli olmamız gerekmektedir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5

6 Bireysel Etkinlik Sayı Kümeleri yerine veya bir karışıklık olmayacaksa şeklindeki yazılışları kullanacağız. Kazandığınız parayı + ile, harcayacağınız parayı da ile işaretleyerek bir aylık gelir-gider hesabınızı oluşturunuz. Bunları toplayarak kârzarar durumunuzu gözden geçiriniz. (Örneğin, 100 TL haftalık alıyorsanız bunu +100 ile; 50 TL borç verdiğiniz bir arkadaşınız borcunu getirirse onu da +50 ile; 30 TL taksit ödeyecekseniz bunu 30 ile gösteriniz. Daha sonra bu şekilde oluşturduğunuz sayıları toplayınız. Sonucun + veya olduğunu kontrol ediniz) ÜSLÜ SAYILAR Sayılarla çalışırken şeklindeki sayılarla karşılaşırız. Bunların her biri üslü sayı olarak adlandırılır. Konumuz bu sayılarla ilgili özellikleri sunmaktır. Tanım 2.1 ve pozitif bir tam sayı olmak üzere nın kendisi ile defa çarpımı ile gösterilir ve buna nın kuvveti denir. ifadesinde sayısına taban ve sayısına da üs adı verilir. Tanıma göre şeklinde yazılır. Buna göre , olur. Bu sayılar çalışılırken yapılan en yaygın hata şeklindeki bir 3 algılamadır. Tekrar vurgulayalım ki bu doğru değildir. Gerçekte olduğunu hatırlatalım. Üslü sayılarla ilgili bazı özellikler: ifadesinin verilişi göz önüne alındığında yazılır. Bundan başka ve olmak üzere üslü ifadeler ile ilgili şu özellikler vardır: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu özellikleri yazarken ve nin pozitif tam sayı olduğunun göz önüne alındığını unutmayalım. negatif bir tam sayı olduğu zaman den söz edebilmek için olduğunu kabul etmeliyiz. olmak üzere şeklinde tanımlanır. ve ( ) Buna göre olur. Yukarıda verdiğimiz özelliklerin { } ve negatif tam sayılar olmak üzere aynen geçerli olduğunu söyleriz. olmak üzere olarak tanımlanır ( 2) ve ( 2) 3 sayılarını bulunuz. 2. ( ) ifadesini 3 ün kuvveti olarak yazınız. 3. ( ) ifadesini şeklinde yazınız. Çözüm: 1. Tanımlandığı üzere 3 ( 2) ( 2)( 2)( 2) 8 dir. Benzer şekilde Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7

8 ( ) ( ) olduğu görülür. 2. Öncelikle olduğu bilinmektedir. Buna göre şeklinde yazılır. 3. Verilen kurallar kullanılarak ( ) ( ) elde edilir. ( ) ( ) KÖKLÜ SAYILAR şeklindeki sayılara köklü sayılar veya köklü ifadeler denir. Bu ifadelerin nasıl anlamlandırıldığını inceleyeceğiz. Tanım 2.2. reel sayı ve pozitif bir tam sayı olsun. eşitliğini sağlayan reel sayısına nın dereceden kökü denir ve bu sayı veya ile gösterilir. için yerine özel olarak yazılır. yazılışı dereceden kök diye okunur. ve özel durumları için ifadesi 2. dereceden kök veya daha yaygın kullanımı ile karekök, ifadesi 3. dereceden kök veya daha yaygın kullanımı ile küpkök şeklinde okunur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8

9 negatif reel sayısı verildiğinde dereceden kökü tanımlayabilmemiz için nin pozitif tek tam sayı olması gerekir. Bu durumda. eşitliğini sağlayan reel sayısına nın dereceden kökü adını veririz. Üslü sayılarla ilgili verilen özellikler, köklü ifadelerin tanımlı olmaları şartıyla, köklü ifadeler için de aynen geçerlidir. Çok kullanılmasından dolayı karekök ile ilgili ve sayıları için olduğunu hatırlatmakta fayda vardır sayısının karekökünü bulunuz. 2. sayısının karekökü hakkında ne söylersiz? 3. sayısının küpkökünü bulunuz. Çözüm: 1. olup sıfırdan büyüktür. eşitliğini sağlayan iki tane sayı vardır. Bunlar ve sayılarıdır., pozitif olduğundan un karekökü olur. Yani, yazılır. 2. negatif bir sayıdır. eşitliğini sağlayan hiç bir reel sayı yoktur. O halde sayısının reel sayılarda karekökü tanımlı değildir. Örnekten hemen önce negatif reel sayılarda kökün derecesi tek tam sayı olması durumunda köklerinin alınabileceğini vurgulamıştık. 3. negatif bir sayıdır. Kökün derecesi yani tek tam sayı olup in 3. dereceden kökü istenmektedir. Bunun tanımlı olduğunu örnekten hemen önce açıkladık. eşitliğini sağlayan bir tek reel sayısı vardır. Dolayısıyla 2.4. dir. ARALIKLAR Aralıklar, aslında, reel sayıların özel altkümeleridir. İlerideki konularımızda sıkça karşılaşacağımız bu özel altkümeleri tanıtacağız. Kapalı aralık: ve olmak üzere uçları ve olan kapalı aralık [ ] ile gösterilir ve bu aralık [ ] { } Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9

10 olarak tanımlanır. Bunun sayı doğrusu üzerindeki gösterilişi Şekil 2.2. de verilmiştir: Şekil 2.2. [ ] kapalı aralığının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Not: şeklindeki yazılışta in ile değerleri dahil bunlar arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Açık aralık: ve olmak üzere uçları ve olan açık aralık ( ) ile gösterilir ve bu aralık olarak tanımlanır. ( ) { } Bunun sayı doğrusu üzerindeki gösterilişi Şekil 2.3. de verilmiştir: Şekil 2.3. ( ) açık aralığının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Not: şeklindeki yazılışta in ile değerleri hariç bunlar arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Yarı açık yarı kapalı aralık: Birisi soldan açık sağdan kapalı, diğeri soldan kapalı sağdan açık olmak üzere bu gruba giren iki tane aralık vardır. ve olmak üzere uçları ve olan soldan açık sağdan kapalı aralık ( ]; soldan kapalı sağdan açık aralık [ ) ile gösterilir. Bu aralıklar ( ] { } ve [ ) { } şeklinde tanımlanırlar. Bunların sayı doğrusu üzerindeki gösterilişleri Şekil 2.4. de verilmiştir: Şekil 2.4. [ ) ve ( ] aralıklarının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10

11 Not: şeklindeki yazılışta in hariç dahil olmak üzere ile arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. şeklindeki yazılışta in dahil hariç olmak üzere ile arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Bunların dışında, biçiminde aralıklar vardır. olmak üzere ( ) { } [ ) { } ( ) { } ( ] { } reel sayılar kümesini de aralık olarak ( ) şeklinde gösteririz. Not:, sonsuz sembolü olarak bilinir. her negatif sayıdan daha küçük olan bir büyüklüğü; da her pozitif sayıdan daha büyük olan bir büyüklüğü gösteren birer semboldür. Bunlar bir sayı değildir [ ] ( ] [ ) kümeleri veriliyor. Buna göre, ve kümelerini yazınız. 2. { } ve { } kümelerini aralık olarak yazınız. ve kümelerini bulunuz. Çözüm: 1. İki kümenin birleşiminin tanımı hatırlanırsa ( [ ] ) ( ( ] [ ) ) ( ) yani, olduğu görülür. İki kümenin arakesiti tanımına göre de ( [ ] ) ( ( ] [ ) ) [ ] [ ] yazılır. 2. kümesinin [ ) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11

12 kümesinin de ( ] olduğunu görürüz. Diğer yandan ( ] ve [ ) olur. MUTLAK DEĞER Verilen bir reel sayının mutlak değerini tanıtacağız. Bir mutlak değeri ile gösterilir ve sayısının { olarak tanımlanır. Anlaşılacağı gibi mutlak değer, verilen sayıları negatiflikten kurtarma işlemini yürütür. Bu anlamda mutlak değer alırken pozitif bir sayının ve sıfırın negatiflikle ilgileri olmadığından aynı bırakılırlarken, negatif sayıları pozitif yapmak için de o sayı veya ile çarpılır. şeklindeki yazılış mutlak değer diye okunur. sayıları veriliyor. Bunların mutlak değerlerini bulunuz. Çözüm: Önce sayısını göz önüne alalım. Bunun mutlak değerini iki düşünce uygulayarak bulacağız: 1. Yol: İşlem olarak şunu yapacağız: Bu sayı negatif olduğundan onu ile çarparak pozitif yapacağız ve bulunan bu sayı nin mutlak değeri olacaktır. Buna göre olur ( ) 2. Yol: Tanımı uygulayarak yapalım: ve dır. Buna göre olacağından burada alındığında ( ) ( ) bulunur. Şimdi 0 ın mutlak değerine bakalım. Bunun negatiflikle ilgisi olmadığından mutlak değeri kendisidir. Yani, dır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12

13 113 sayısı da pozitif olduğundan mutlak değeri kendisi olacağından yazılır. Mutlak değerle ilgili bazı özellikler: Mutlak değerin tanımı göz önüne alınarak yazılır. Ayrıca, olduğu da tanımdan görülebilir. Bunları mutlak değerle ilgili eşitsizlikleri ve denklemleri çözerken kullanırız. Mutlak değerle işlem yaparken de aşağıdaki özellikler kullanılır: ( ) Bir reel sayısının mutlak değeri, sayı doğrusu üzerinde bu sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını verir. ve noktaları arasındaki uzaklık da dir. Burada hemen belirtelim ki dir Aşağıda verilen mutlak değerli ifadeleri mutlak değer kullanmadan yazınız. Çözüm: Bilindiği gibi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13

14 şeklindedir. Burada ve olduğu düşünülürse olarak yazılır. 2. Biliyoruz ki şeklindedir. Burada ve olduğu göz önüne alındığında yazılır. 3. Mutlak değerle ilgili özelliklerden olduğu bilinmektedir. ve olduğu göz önüne alındığında yazılır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14

15 Özet Sayı Kümeleri Sayıları; doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve reel sayılar şeklinde kümelere ayırarak inceleriz. Bunlar sırasıyla ={1, 2, 3, 4, } doğal sayılar kümesi, ={, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } tam sayılar kümesi, ={a/b:a, b, b 0} rasyonel sayılar kümesi, reel sayılar kümesi olarak yazılır. \ ile de irrasyonel sayıları gösteririz. Bu kümeler arasındaki ilişki ve \ şeklinde verilir. Gördüğümüz sayı kümelerinin her biri reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Yani, reel sayılar gördüğümüz bütün sayıları kapsamaktadır. a ve n pozitif bir tam sayı olmak üzere a nın kendisi ile n defa çarpımı a n ile gösterilir ve buna a nın n. kuvveti denir. Yani a n = (a a a a)(n tane) olarak yazılır. Burada n negatif olduğunda da a n tanımlanabilir. a 0 olmak üzere a 0 =1, a 1 =1/a k>0 olmak üzere k negatif bir sayıdır ve a k =1/a k olarak tanımlanır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15

16 DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdakilerden hangisi bir reel sayı değildir? a), Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. b) c) d) e) ( ) 2. ( ) aralığının küme olarak gösterilmesi aşağıdakilerden hangisidir? a) { } b) { } c) { } d) { } e) { } 3. { } kümesinin aralık olarak karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? a) ( ) b) ( ) c) [ ] d) [ ] e) ( ) 4. ifadesinin karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 5. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.B, 2.E, 3.C, 4.B, 5.E Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16

17 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Kadıoğlu, E., Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayıncılık. Bayraktar, M., (2000). Analiz I. Bursa: Uludağ Üniversitesi Güçlendirme Vakfı Yayını. Dönmez, A., Çözümlü, (2000). Alıştırmalı Genel Matematik. İstanbul: Betaş Yayınevi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17