ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU İÇİNDEKİLER HEDEFLER SAYI KÜMELERİ. Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer
|
|
- Aysun Akın
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 HEDEFLER İÇİNDEKİLER SAYI KÜMELERİ Sayılar Üslü Sayılar Köklü Sayılar Aralıklar Mutlak Değer MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ekrem KADIOĞLU Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Üslü ve köklü ifadenin, mutlak değerin ne olduğunu tanımlayabilecek, Aralıkları sayı doğrusu üzerinde gösterebilecek Üslü ve köklü ifadeler ile işlem yapabilecek, Yaptığınız işlemlerin gerekçelerini açıklayabileceksiniz. ÜNİTE 2
2 GİRİŞ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri rakam olarak adlandırılır ve sayılar bu rakamlar kullanılarak yazılır. Matematik denildiği zaman insanın aklına ilk önce sayılar ve bunlarla yapılan işlemler gelmektedir. Sayıların günlük hayatımızda kullanım alanları oldukça geniş olduğundan bu şekilde düşünmek oldukça doğaldır. Ama hemen belirtelim ki matematik sadece sayılarla ilgilenen bir bilim değildir. Tarihi yönden bakıldığında ise sayıların insanlık tarihi kadar eski olduğu görülür. Kavram aynı olmasına karşın sayıları ifade etmek için kullanılan sembollerin değişik şekillerde ifade edildiği görülmüştür. Günümüzde sayıları ifade etmek için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinin kullanıldığını ve bunlara kısaca rakam denildiğini biliyoruz. SAYILAR Kullandığımız sayıları; doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar ve reel sayılar diye sınıflara ayırırız. Doğal sayılar: şeklindeki sayılara doğal sayı adını veririz ve bu sayıların kümesini ile gösteririz. Yani, doğal sayılar kümesi { } şeklinde yazılır. Buradaki üç nokta kümenin diğer elemanlarının da bu kurala göre yazılabileceğini vurgular. Buna göre vs yazarız. Yine buradan görüleceği gibi vs yazılır. Not: Şu önemli hatırlatmayı da yapalım: Matematik kaynaklarına bakıldığında bir kısmının sıfırı doğal sayılar kümesine dahil ettiğini, bir kısmının ise dahil etmediğini görmekteyiz. Biz bazı nedenlerden dolayı ikincisini yani sıfırı doğal sayılar kümesine dahil etmemeyi tercih ediyoruz. Tam sayılar: veririz ve bu sayıların kümesini olur. şeklindeki sayılara tam sayı adını ile gösteririz. Yani, { } Rasyonel sayılar: Aslında bizim bayağı kesir diye bildiğimiz sayılara rasyonel sayı diyoruz ve bu sayıların oluşturduğu kümeyi ile gösteriyoruz. Bu kümesini açık şekilde yani listeleme yöntemi ile yazamıyoruz. Bunun için kümelerin kapalı gösterimini kullanacağız. O zaman { } Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 2
3 şeklinde yazılır. Buna göre rasyonel sayıdır ancak sayılarının her biri bir gibi sayılar rasyonel sayı değildir. Burada da şu önemli hatırlatmayı yapalım: Rasyonel sayıları tanımlarken ve olmak üzere şeklindeki sayılar olarak söyledik. Paydadaki nin sıfırdan farklı olarak alındığına dikkat ediniz. Bunun hakkında iki şey söyleriz: Sıfırdan farklı bir sayıyı sıfır ile bölmek tanımsızdır. Sıfır ile sıfırı bölmek yani İrrasyonel sayılar: Rasyonel sayı olmayan belirsizliktir. 5 2, 5, 2, 3, 7,... şeklindeki sayılara irrasyonel sayı adı verilir. Bu sayıların kümesini göstermek için matematikçilerin kullandığı ortak bir harf yoktur. İrrasyonel sayıların kümesini daha önce verdiğimiz küme gösterim metotlarından hiç birisi ile açık şekilde ifade edemiyoruz. Reel sayılar: Hem rasyonel hem de irrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye reel sayılar kümesi adı verilir ve bu küme ile gösterilir. Reel sayılar kümesini de daha önce verdiğimiz küme gösterim metotları ile gösteremiyoruz. Verilen bu bilgilerden sonra söylenir. kümesinin irrasyonel sayılar kümesi olduğu Bu sayı kümeleri arasında Reel sayılar, çalıştığımız bütün sayıları içerdiğinden bizim için sayıların evrensel kümesidir. ve şeklinde bağıntılar vardır. Doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin her biri ile irrasyonel sayılar kümesinin arakesiti boştur. Yani kümelerinin her biri ile irrasyonel sayılar kümesi ayrıktır. Bundan sonra reel sayılar kümesinde çalışacağız. Sayı dediğimiz zaman reel sayıdan bahsedildiği anlaşılacaktır. Reel Sayıların Geometrik Gösterimi: Reel sayılar geometrik olarak bir doğru ile gösterilir. Reel sayıların gösterildiği doğruya sayı doğrusu adı verilir. Bunun anlamı şudur: Sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir reel sayı, tersine her bir reel sayıya da sayı doğrusu üzerinde bir nokta karşılık gelir. Reel sayılar sayı doğrusuna yerleştirilmesi şu şekilde olmaktadır: Önce başlangıç noktası seçilir ve bu nokta 0 ile gösterilir. Daha sonra birer birim sağa kayarak 1, 2, 3, sayıları; birer birim sola kayılarak da -1, -2, -3, sayıları yerleştirilir. Diğer sayılar da karşılık geldiği noktalara yerleştiriliyor. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 3
4 Şekil 2.1. Reel sayıların gösterildiği sayı doğrusu İki reel sayı verildiğinde bunların sayı doğrusu üzerindeki konumlarına bakılarak sağdaki sayının soldakinden büyük olduğu söylenir. Eğer sayısı sayısından küçükse bunu veya şeklinde yazarız. şeklindeki yazılış küçüktür ; büyüktür olarak okunur. şeklindeki yazılış da 2.1. ile sayılarını karşılaştırdığımızda yazılır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde nin karşılık geldiği nokta in karşılık geldiği noktanın solundadır. ilgili Reel sayılarla ilgili bazı özellikler: reel sayıları verildiğinde bu sayılarla ifadelerinden sadece bir tanesi doğrudur. Bunlardan birincisi ve üçüncüsü eşitsizlik olarak anılır. Bu ifadelerle ilgili şu özellikler vardır: 1. ise olmak üzere dir. Yani, bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik değişmez. 2. ise ve olmak üzere ve olur. Yani, bir eşitsizlik pozitif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik değişmez. Burada çarpan veya bölen sayının pozitif olduğuna dikkat ediniz. 3. ise ve olmak üzere ve olur. Yani, bir eşitsizlik negatif bir reel sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir. Burada çarpan veya bölen sayının negatif olduğuna dikkat ediniz. 4. ise olmak üzere ve olmak üzere dir. Bir eşitliğe aynı sayıyı ekleyip veya çıkarmak, aynı sayı ile çarpmak veya bölmek eşitliği değiştirmez. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 4
5 5. veya olması halinde dır çarpılmış hallerini yazınız. eşitsizliği veriliyor. Bu eşitsizliğin, sırasıyla, ve ile 2. iken olur. Bu yukarıda verilen 5.özellik ile bir çelişki oluşturur mu? Çözüm: 1. Önce ile çarpalım. un ile çarpımı ; nin ile çarpımı dir. ile karşılaştırıldığında olduğu görülür. Dolayısıyla eşitsizliği ile çarpıldığında ( ) ( ) yani dir. Yukarıdaki özelliklerde de söylendiği gibi, bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir. Benzer şekilde ile çarpıldığında da olduğu görülür. Şimdi de 3 ile çarpma yapalım. 3 ile 9 çarpılırsa 27; 3 ile 12 çarpılırsa 36 olur. Bulunan bu iki sayı için dır. Dolayısıyla yani, dır. Yukarıdaki özelliklerde söylendiği gibi, bir eşitsizlik pozitif bir sayı ile çarpılırsa eşitsizlik değişmez., pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla eşitsizliği bu sayı ile çarptığımızda eşitsizlik değişmeyecektir. Gerçekten, dir özellikte eşitsizliğinde ve aynı işaretli olursa olur denmektedir. Buradaki eşitsizliğimizde 4 ve 8 aynı işaretli olmadığından 5.özelliğin geçerli olması beklenemez. Yani 5.özellikteki şartlar sağlanmamakta olduğundan orada verilen sonucun çıkması beklenmeyecektir. O yüzden her hangi bir çelişki söz konusu değildir. Not: Bu örnekten anlaşılacağı gibi iken yazarken çok dikkatli olmamız gerekmektedir. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 5
6 Bireysel Etkinlik Sayı Kümeleri yerine veya bir karışıklık olmayacaksa şeklindeki yazılışları kullanacağız. Kazandığınız parayı + ile, harcayacağınız parayı da ile işaretleyerek bir aylık gelir-gider hesabınızı oluşturunuz. Bunları toplayarak kârzarar durumunuzu gözden geçiriniz. (Örneğin, 100 TL haftalık alıyorsanız bunu +100 ile; 50 TL borç verdiğiniz bir arkadaşınız borcunu getirirse onu da +50 ile; 30 TL taksit ödeyecekseniz bunu 30 ile gösteriniz. Daha sonra bu şekilde oluşturduğunuz sayıları toplayınız. Sonucun + veya olduğunu kontrol ediniz) ÜSLÜ SAYILAR Sayılarla çalışırken şeklindeki sayılarla karşılaşırız. Bunların her biri üslü sayı olarak adlandırılır. Konumuz bu sayılarla ilgili özellikleri sunmaktır. Tanım 2.1 ve pozitif bir tam sayı olmak üzere nın kendisi ile defa çarpımı ile gösterilir ve buna nın kuvveti denir. ifadesinde sayısına taban ve sayısına da üs adı verilir. Tanıma göre şeklinde yazılır. Buna göre , olur. Bu sayılar çalışılırken yapılan en yaygın hata şeklindeki bir 3 algılamadır. Tekrar vurgulayalım ki bu doğru değildir. Gerçekte olduğunu hatırlatalım. Üslü sayılarla ilgili bazı özellikler: ifadesinin verilişi göz önüne alındığında yazılır. Bundan başka ve olmak üzere üslü ifadeler ile ilgili şu özellikler vardır: Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 6
7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bu özellikleri yazarken ve nin pozitif tam sayı olduğunun göz önüne alındığını unutmayalım. negatif bir tam sayı olduğu zaman den söz edebilmek için olduğunu kabul etmeliyiz. olmak üzere şeklinde tanımlanır. ve ( ) Buna göre olur. Yukarıda verdiğimiz özelliklerin { } ve negatif tam sayılar olmak üzere aynen geçerli olduğunu söyleriz. olmak üzere olarak tanımlanır ( 2) ve ( 2) 3 sayılarını bulunuz. 2. ( ) ifadesini 3 ün kuvveti olarak yazınız. 3. ( ) ifadesini şeklinde yazınız. Çözüm: 1. Tanımlandığı üzere 3 ( 2) ( 2)( 2)( 2) 8 dir. Benzer şekilde Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 7
8 ( ) ( ) olduğu görülür. 2. Öncelikle olduğu bilinmektedir. Buna göre şeklinde yazılır. 3. Verilen kurallar kullanılarak ( ) ( ) elde edilir. ( ) ( ) KÖKLÜ SAYILAR şeklindeki sayılara köklü sayılar veya köklü ifadeler denir. Bu ifadelerin nasıl anlamlandırıldığını inceleyeceğiz. Tanım 2.2. reel sayı ve pozitif bir tam sayı olsun. eşitliğini sağlayan reel sayısına nın dereceden kökü denir ve bu sayı veya ile gösterilir. için yerine özel olarak yazılır. yazılışı dereceden kök diye okunur. ve özel durumları için ifadesi 2. dereceden kök veya daha yaygın kullanımı ile karekök, ifadesi 3. dereceden kök veya daha yaygın kullanımı ile küpkök şeklinde okunur. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 8
9 negatif reel sayısı verildiğinde dereceden kökü tanımlayabilmemiz için nin pozitif tek tam sayı olması gerekir. Bu durumda. eşitliğini sağlayan reel sayısına nın dereceden kökü adını veririz. Üslü sayılarla ilgili verilen özellikler, köklü ifadelerin tanımlı olmaları şartıyla, köklü ifadeler için de aynen geçerlidir. Çok kullanılmasından dolayı karekök ile ilgili ve sayıları için olduğunu hatırlatmakta fayda vardır sayısının karekökünü bulunuz. 2. sayısının karekökü hakkında ne söylersiz? 3. sayısının küpkökünü bulunuz. Çözüm: 1. olup sıfırdan büyüktür. eşitliğini sağlayan iki tane sayı vardır. Bunlar ve sayılarıdır., pozitif olduğundan un karekökü olur. Yani, yazılır. 2. negatif bir sayıdır. eşitliğini sağlayan hiç bir reel sayı yoktur. O halde sayısının reel sayılarda karekökü tanımlı değildir. Örnekten hemen önce negatif reel sayılarda kökün derecesi tek tam sayı olması durumunda köklerinin alınabileceğini vurgulamıştık. 3. negatif bir sayıdır. Kökün derecesi yani tek tam sayı olup in 3. dereceden kökü istenmektedir. Bunun tanımlı olduğunu örnekten hemen önce açıkladık. eşitliğini sağlayan bir tek reel sayısı vardır. Dolayısıyla 2.4. dir. ARALIKLAR Aralıklar, aslında, reel sayıların özel altkümeleridir. İlerideki konularımızda sıkça karşılaşacağımız bu özel altkümeleri tanıtacağız. Kapalı aralık: ve olmak üzere uçları ve olan kapalı aralık [ ] ile gösterilir ve bu aralık [ ] { } Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 9
10 olarak tanımlanır. Bunun sayı doğrusu üzerindeki gösterilişi Şekil 2.2. de verilmiştir: Şekil 2.2. [ ] kapalı aralığının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Not: şeklindeki yazılışta in ile değerleri dahil bunlar arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Açık aralık: ve olmak üzere uçları ve olan açık aralık ( ) ile gösterilir ve bu aralık olarak tanımlanır. ( ) { } Bunun sayı doğrusu üzerindeki gösterilişi Şekil 2.3. de verilmiştir: Şekil 2.3. ( ) açık aralığının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Not: şeklindeki yazılışta in ile değerleri hariç bunlar arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Yarı açık yarı kapalı aralık: Birisi soldan açık sağdan kapalı, diğeri soldan kapalı sağdan açık olmak üzere bu gruba giren iki tane aralık vardır. ve olmak üzere uçları ve olan soldan açık sağdan kapalı aralık ( ]; soldan kapalı sağdan açık aralık [ ) ile gösterilir. Bu aralıklar ( ] { } ve [ ) { } şeklinde tanımlanırlar. Bunların sayı doğrusu üzerindeki gösterilişleri Şekil 2.4. de verilmiştir: Şekil 2.4. [ ) ve ( ] aralıklarının sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 10
11 Not: şeklindeki yazılışta in hariç dahil olmak üzere ile arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. şeklindeki yazılışta in dahil hariç olmak üzere ile arasındaki değerleri alabileceğini ifade eder. Bunların dışında, biçiminde aralıklar vardır. olmak üzere ( ) { } [ ) { } ( ) { } ( ] { } reel sayılar kümesini de aralık olarak ( ) şeklinde gösteririz. Not:, sonsuz sembolü olarak bilinir. her negatif sayıdan daha küçük olan bir büyüklüğü; da her pozitif sayıdan daha büyük olan bir büyüklüğü gösteren birer semboldür. Bunlar bir sayı değildir [ ] ( ] [ ) kümeleri veriliyor. Buna göre, ve kümelerini yazınız. 2. { } ve { } kümelerini aralık olarak yazınız. ve kümelerini bulunuz. Çözüm: 1. İki kümenin birleşiminin tanımı hatırlanırsa ( [ ] ) ( ( ] [ ) ) ( ) yani, olduğu görülür. İki kümenin arakesiti tanımına göre de ( [ ] ) ( ( ] [ ) ) [ ] [ ] yazılır. 2. kümesinin [ ) Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 11
12 kümesinin de ( ] olduğunu görürüz. Diğer yandan ( ] ve [ ) olur. MUTLAK DEĞER Verilen bir reel sayının mutlak değerini tanıtacağız. Bir mutlak değeri ile gösterilir ve sayısının { olarak tanımlanır. Anlaşılacağı gibi mutlak değer, verilen sayıları negatiflikten kurtarma işlemini yürütür. Bu anlamda mutlak değer alırken pozitif bir sayının ve sıfırın negatiflikle ilgileri olmadığından aynı bırakılırlarken, negatif sayıları pozitif yapmak için de o sayı veya ile çarpılır. şeklindeki yazılış mutlak değer diye okunur. sayıları veriliyor. Bunların mutlak değerlerini bulunuz. Çözüm: Önce sayısını göz önüne alalım. Bunun mutlak değerini iki düşünce uygulayarak bulacağız: 1. Yol: İşlem olarak şunu yapacağız: Bu sayı negatif olduğundan onu ile çarparak pozitif yapacağız ve bulunan bu sayı nin mutlak değeri olacaktır. Buna göre olur ( ) 2. Yol: Tanımı uygulayarak yapalım: ve dır. Buna göre olacağından burada alındığında ( ) ( ) bulunur. Şimdi 0 ın mutlak değerine bakalım. Bunun negatiflikle ilgisi olmadığından mutlak değeri kendisidir. Yani, dır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 12
13 113 sayısı da pozitif olduğundan mutlak değeri kendisi olacağından yazılır. Mutlak değerle ilgili bazı özellikler: Mutlak değerin tanımı göz önüne alınarak yazılır. Ayrıca, olduğu da tanımdan görülebilir. Bunları mutlak değerle ilgili eşitsizlikleri ve denklemleri çözerken kullanırız. Mutlak değerle işlem yaparken de aşağıdaki özellikler kullanılır: ( ) Bir reel sayısının mutlak değeri, sayı doğrusu üzerinde bu sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını verir. ve noktaları arasındaki uzaklık da dir. Burada hemen belirtelim ki dir Aşağıda verilen mutlak değerli ifadeleri mutlak değer kullanmadan yazınız. Çözüm: Bilindiği gibi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 13
14 şeklindedir. Burada ve olduğu düşünülürse olarak yazılır. 2. Biliyoruz ki şeklindedir. Burada ve olduğu göz önüne alındığında yazılır. 3. Mutlak değerle ilgili özelliklerden olduğu bilinmektedir. ve olduğu göz önüne alındığında yazılır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 14
15 Özet Sayı Kümeleri Sayıları; doğal, tam, rasyonel, irrasyonel ve reel sayılar şeklinde kümelere ayırarak inceleriz. Bunlar sırasıyla ={1, 2, 3, 4, } doğal sayılar kümesi, ={, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } tam sayılar kümesi, ={a/b:a, b, b 0} rasyonel sayılar kümesi, reel sayılar kümesi olarak yazılır. \ ile de irrasyonel sayıları gösteririz. Bu kümeler arasındaki ilişki ve \ şeklinde verilir. Gördüğümüz sayı kümelerinin her biri reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Yani, reel sayılar gördüğümüz bütün sayıları kapsamaktadır. a ve n pozitif bir tam sayı olmak üzere a nın kendisi ile n defa çarpımı a n ile gösterilir ve buna a nın n. kuvveti denir. Yani a n = (a a a a)(n tane) olarak yazılır. Burada n negatif olduğunda da a n tanımlanabilir. a 0 olmak üzere a 0 =1, a 1 =1/a k>0 olmak üzere k negatif bir sayıdır ve a k =1/a k olarak tanımlanır. Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 15
16 DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdakilerden hangisi bir reel sayı değildir? a), Değerlendirme sorularını sistemde ilgili ünite başlığı altında yer alan bölüm sonu testi bölümünde etkileşimli olarak cevaplayabilirsiniz. b) c) d) e) ( ) 2. ( ) aralığının küme olarak gösterilmesi aşağıdakilerden hangisidir? a) { } b) { } c) { } d) { } e) { } 3. { } kümesinin aralık olarak karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? a) ( ) b) ( ) c) [ ] d) [ ] e) ( ) 4. ifadesinin karşılığı aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 5. Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) b) c) d) e) Cevap Anahtarı 1.B, 2.E, 3.C, 4.B, 5.E Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 16
17 YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER KAYNAKLAR Kadıoğlu, E., Kamali, M., (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı Yayıncılık. Bayraktar, M., (2000). Analiz I. Bursa: Uludağ Üniversitesi Güçlendirme Vakfı Yayını. Dönmez, A., Çözümlü, (2000). Alıştırmalı Genel Matematik. İstanbul: Betaş Yayınevi Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi 17
ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun
Detaylı2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR
2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün
Detaylı12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki
DetaylıÜNİTE: TAM SAYILAR KONU: Tam Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNE: AM AYIAR N: am ayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE RAR VE ÇÖZÜMER 1. [(+17) (+25)] + [( 12) (+21)] işleminin sonucu A) 41 B) 25 C) 25 D) 41 Çıkarma işlemi yapılırken çıkanın işareti değişir ve eksilen
DetaylıRakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
DetaylıAtatürk Anadolu. Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Bölme, Bölünebilme, Asal Sayılar, Obeb, Okek, Rasyonel Sayılar, Basit Eşitsizlikler ve Mutlak Değer Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 07 Bölme, Bölünebilme,
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıÜNİTE: RASYONEL SAYILAR KONU: Rasyonel Sayılar Kümesinde Çıkarma İşlemi
ÜNTE: RASYONEL SAYILAR ONU: Rasyonel Sayılar ümesinde Çıkarma şlemi ÖRNE SORULAR VE ÇÖZÜMLER. işleminin sonucu B) D) ki rasyonel sayının farkını bulmak için çıkan terimin toplama işlemine göre tersi alınarak
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI
DetaylıÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF
ÜSLÜ SAYILAR SİBEL BAŞ 20120907010 AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAK. İLKÖĞRT. MAT. ÖĞRT. 2. SINIF 1 ANLATIMI ÜSLÜ SAYILAR KONU Üslü sayılar konu anlatımı içeriği; Üslü sayıların gösterimi, Negatif üslü
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıSAYILAR SAYI KÜMELERİ
SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar
DetaylıSAYILAR SAYI KÜMELERİ
1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Detaylı2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. g) ( ) 3) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 4) Aşağıda verilen işlemleri yazınız.
8.2. ÜSLÜ SAYILARDA İŞLEM 8.2..A ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ 2) Aşağıda verilen işlemleri yazınız. 2 ( + 2) + ( ) 3 ( 2) + ( 2) Üslü sayılarda toplama veya çıkarma işleminde her üslü niceliğin
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ. o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR
ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar,
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıMATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
Detaylı8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR
0 8. SINIF MATEMATiK KAREKÖKLÜ SAYILAR KAREKÖKLÜ SAYI KAVRAMI Karekök ile gösterilir. karekökünün içi negatif bir sayıya eşit olamaz. ÖR: Aşağıda verilen eşitliklere göre x lerin alabileceği değerleri
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıKPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA
KPSS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Matematiğe Giriş... Temel Kavramlar... Bölme - Bölünebilme Kuralları... 85 EBOB - EKOK... Rasyonel Sayılar... Basit Eşitsizlikler... 65 Mutlak
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II
HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin
DetaylıKöklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
DetaylıRasyonel Sayılarla İşlemler. takip edilir.
Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Rasyonel Sayılarla İşlemler Özet bilgi alanları... RASYONEL SAYILARLA ÇOK ADIMLI İŞLEMLER Çok adımlı işlemlerde şu sıra takip edilir : Parantez içindeki
DetaylıİÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...
İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma...
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıAKILLI. sınıf. Musa BOR
AKILLI sınıf. Musa BOR AFG Matbaa Yayıncılık Kağ. İnş. Ltd. Şti. Buca OSB, BEGOS. Bölge / Sk. No: Buca-İZMİR Tel:.. - Faks: 6 6 Bu kitabın tüm hakları AFG Matbaa Yay. Kağ. İnş. Teks. Paz. İm. San. ve Tic.
DetaylıÜSLÜ SAYILAR. AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama
AMAÇ 1: 6 ve 7. Sınıflarda görmüş olduğumuz üslü ifadelerdeki temel kavramları hatırlama KURAL: Bir sayının belli bir sayıda yan yana çarpımının kolay yoldan gösterimine üslü sayılar denir. Örneğin 5 sayısının
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.
DetaylıKC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4
Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)
DetaylıDÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıKILAVUZ SORU ÇÖZÜMLERİ Matematik
9. Çarpanlar ve Katlar b Dikdörtgenin alanı 4 cm olduğuna göre, kısa ve uzun kenarının çarpımı 4 cm 'dir. a. b = 4 a 6. Asal Çarpanlar A B C D E Yukarıda verilen asal çarpanlara ayırma işleminin son satırında
DetaylıÇözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri
Bölüm 5 Çözümlü Limit Süreklilik Problemleri. 2 fonksiyonunun tanım bölgesini = noktasındaki itini bulunuz. Paydanın 0 değerini aldığı = noktasında fonksiyon tanımlı değldir. Tanım bölgesini T (f ) ile
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıSINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1
II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,
Detaylı1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1
1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıTaşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
Detaylıa = b ifadesine kareköklü ifade denir.
KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
Detaylı3 7 üs(kuvvet) 5 2 ( 4 3 ( 7 5 (
Bu konuda üslü sayılarla ilgili kazanımları maddeler halide işleyeceğiz Normalde 8 sınıf matematik kazanımları üslü sayılar konusunda negatif üs kavramı ile başlamasına rağmen bu çalışma kağıdında 6sınıf
Detaylı16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 16. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATLARI BİRİNCİ AŞAMA SORULARI A A A A A A A SINAV TARİHİ VESAATİ:16 NİSAN 2011 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıÇARPANLAR VE KATLAR. Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1
ÇARPANLAR VE KATLAR Başarı Başaracağım Diye Başlayanındır. 1 ÖRNEK 1 48 sayısının çarpanlarını bulalım. 1.Gökkuşağı yöntemi 48 sayısının çarpanlarını küçükten büyüğe sıralayarak eşleştiriniz. 48 çarpanlarını
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıKonu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular
Maths@bi 8 3.BÖLÜM Kareköklü Sayılar Konu Anlatımı Açık Uçlu Sorular Çoktan Seçmeli Sorular Doğru Yanlış Soruları Boşluk Doldurmalı Sorular Çıkmış Sorular Kerime ASKER-Abdullah ASKER Matematik Öğretmeni
DetaylıDeğişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
DetaylıCebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
Detaylıd) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ
YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın
DetaylıKPSS 2019 VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI SORU
KPSS 09 0 soruda 86 SORU VİDEO DESTEKLİ GENEL YETENEK - GENEL KÜLTÜR MATEMATİK KONU ANLATIMLI PRATİK BİLGİLER SINAVLARA EN YAKIN ÖZGÜN SORULAR VE AÇIKLAMALARI Komisyon KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
DetaylıMATEMATİK Kazanım =Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME
.SINIF MATEMATİK Kazanım Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. RASYONEL SAYILAR VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME RASYONEL SAYILAR 0,,,,... gibi a şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıÖrnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3
Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıÖrnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
DetaylıMATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
ATU MATEMATİK Fasikül 1 KONU ANLATIMLI FASİKÜL SET ZENGİN İÇERİKLİ ÖZGÜN KONU ANLATIMI ÖLÇEN SIRA SENDE UYGULAMALARI ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR BİLGİ KONTROLÜ ODAKLI KARMA SORULAR PEKİŞTİREN BÖLÜMLERİ AKILLI
DetaylıSIRA SENDE DÖRT İŞLEM, İŞLEM ÖNCELİĞİ BİLGİ. = 1 2 ile 3 zıt işaretli olduğundan 3 ten 2 yi çıkarıp 1 bulduk ve büyük olan 3 ün işaretini ( ) 1 in
ÖRT ŞLM, ŞLM ÖCLĞ SORU 0 3 04 + 0 ) B) 0 C) ) ) = ile 3 zıt işaretli olduğundan 3 ten yi çıkarıp bulduk ve büyük olan 3 ün işaretini ( ) in önüne koyduk. SR S C BLG Tam sayılarda aynı işaretli sayılar
DetaylıMATEMATİK 29. KPSS KPSS. Genel Yetenek Genel Kültür. yıl. Eğitimde. konu anlatımlı
KPSS Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. konu
Detaylıa) x +3 = 8 b) x -4 = -2 c) x -7 = 4 d) x +5 = 6 e) x +8 = 2 f) x -1= -8 x +3 = 5 denkleminin çözümünü bulunuz.
Denklemler bilinmeyen - cebirsel ifade - 7 denklem Bir cebirsel ifade bir sonuca eşit oluyorsa buna denklem denir. Bazı denklemlerin çözümü yoktur, bazı denklemlerin sonsuz, bazı denklemlerin bir, iki,
Detaylı9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler
9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile
DetaylıBir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. b Payda
Matematik6 Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Kesirlerle İşlemler KESİR ve KESİRLERDE SIRALAMA Bir bütünün eş parçalarının bütüne olan oranı kesir olarak adlandırılır. Bir kesirde
DetaylıÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıTEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.
TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıTAM SAYILAR. Tam Sayılarda Dört İşlem
TAM SAYILAR Tam Sayılarda Dört İşlem Pozitif ve negatif tam sayılar konu anlatımı ve örnekler içermektedir. Tam sayılarda dört işlem ve bu konuyla ilgili örnek soru çözümleri bulunmaktadır. Grup_09 29.11.2011
Detaylı1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon
İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıViyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik
Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam
Detaylıkpss MATEMATİK SORU Önce biz sorduk Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür 120 Soruda 83
Önce biz sorduk kpss 2 0 1 8 120 Soruda 83 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı Genel Yetenek Genel Kültür MATEMATİK Konu Anlatımı Pratik Bilgiler Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları Çıkmış Sorular
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistematik. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın
DetaylıYGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından
Detaylıİl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.
Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince
Detaylı: Yetmiş yedi milyon altı yüz doksan beş bin dokuz yüz dört
Matematik Bir Bakışta Matematik Kazanım Defteri Özet bilgi alanları... Doğal Sayılar DOĞAL SAYILARI OKUMA ve YAZMA Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK), adrese dayalı nüfus kayıt sistemi sonuçlarına göre Türkiye
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
DetaylıÇARPANLAR VE KATLAR ÖĞRENİYORUM
ÖĞRENİYORUM Bir pozitif tam sayıyı birden fazla pozitif tam sayının çarpımı şeklinde yazarken kullandığımız her bir sayıya o sayının çarpanı denir. Örnek: nin çarpanları,, 3, 4, 6 ve dir. UYGULUYORUM Verilmeyen
DetaylıUYGUN MATEMATİK 5 SORU BANKASI. HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER. : Sad k Uygun E itim Yay nlar. : Yaz n Matbaas / stanbul
UYGUN MATEMATİK SORU BANKASI HAZIRLAYANLAR Fatih KOCAMAN Meryem ER AR-GE Editör : Ş. Yunus MUSLULAR : Dr. Özgür AYDIN Prg. Gel. Uzm. : Özden TAŞAR Pedagog Dan şman Dizgi Bask : Hilâl GENÇAY : Psikiyatr
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI LİDER ŞİŞLİ İLKOKULU/ORTAOKULU
4. SINIF MATEMATİK KAZANIMLARI 4, 5 ve 6 basamaklı doğal sayıları okur ve yazar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 10 000 e kadar (10 000 dahil) yüzer ve biner sayar. 4, 5 ve 6 basamaklı
Detaylı1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır.
FİNANSAL MATEMATİK ALTYAPI. Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır. i-) Toplama: Eşit üslü benzer ifadelerin katsayıları toplanır. 3a 5 +,5a 5 =,5a 5 a 3-7a
Detaylı