MATHEMATICAL MODELLING OF PORE WATER PRESSURE VARIATION OF SATURATED NORMALLY CONSOLIDATED CLAYEY SOILS

Transkript

1 MATHEMATICAL MODELLING OF PORE WATER PRESSURE VARIATION OF SATURATED NORMALLY CONSOLIDATED CLAYEY SOILS Uur DADEVREN Res. Ass. Sakarya University Sakarya, TURKEY Mustafa TUNCAN Prof. Dr. Anadolu University Eskiehir, TURKEY Mehmet. ONUR Res. Ass. Anadolu University Eskiehir, TURKEY Ahmet TUNCAN Prof. Dr. Anadolu University Eskiehir, TURKEY ABSTRACT One of the most important problems in saturated cohesive soils is the effect of excess pore water pressure to the soil behavior. In order to determine the consolidation parameters, tests is conducting on remolded samples. In this study, mathematical model is developed for the test system without disturbance is made. Four different initial conditions and constant boundary conditions were nominated and pore water pressure conduction equation was recommended. Explicit analytical and numerical solutions of this equation were made. In addition, relationship between consolidation theory and pressure conduction approach was discussed. 37

2 SUYA DOYGUN NORMAL KONSOLDE KLL ZEMNLERN BOLUK SUYU BASINCI DEMNN MATEMATKSEL MODELLENMES Uur DADEVREN Ar. Gör. Sakarya Üniversitesi Sakarya, TÜRKYE Mustafa TUNCAN Prof. Dr. Anadolu Üniversitesi Eskiehir, TÜRKYE Mehmet. ONUR Ar. Gör. Anadolu Üniversitesi Eskiehir, TÜRKYE Ahmet TUNCAN Prof. Dr. Anadolu Üniversitesi Eskiehir, TÜRKYE ÖZET Suya doygun kohezyonlu zeminlerde karılaılan en önemli problemlerden birisi aırı boluk suyu basıncının zemin davranıına etkisidir. Zeminlerin konsolidasyon parametrelerinin doru olarak belirlenebilmesi ancak deneylerin örselenmemi numuneler üzerine uygulanması ile mümkündür. Bu çalımada, örselenmenin beklenmedii deney sistemi için matematiksel model gelitirilmitir. Deneysel modele uygun olacak ekilde, dört farklı balangıç artı ve deimeyen sınır artları tayin edilerek boluk suyu iletim denklemi önerilmitir. Denklemin tam analitik ve nümerik çözümü yapılarak, konsolidasyon teorisiyle basınç iletimi arasındaki iliki incelenmitir. 38

3 GR Suya doygun kohezyonlu zeminlerdeki en önemli sorun aırı boluk suyu basıncının zemin davranıına etkisidir. Aırı boluk suyu basıncının sönümlenmesi kil zeminlerde zamana balı olarak gerçeklemektedir. Bu ise yapılardaki oturmanın zamana balı olacaı anlamına gelmektedir. Oluacak oturmalara önceden önlem alınmaması, ileride yapıda istenmeyen problemler dourabilecektir. Bu nedenle temel zemininin konsolidasyon parametrelerinin ve buna balı olarak aırı boluk suyu basıncının deiiminin tam olarak bilinmesi gerekmektedir. Konsolidasyon parametrelerinin doru olarak belirlenebilmesi için, deneyler örselenmemi numuneler üzerinde yapılmaktadır. Fakat numunenin araziden alınıı ve deney için hazırlanıı örselenmelere yol açmaktadır. Buna ek olarak, mevcut konsolidasyon deneylerinde uygulanan gerilmeler altında numunelerin yapısı kısa süre içinde deimektedir. Deney sırasında örselenmenin olmadıı bir sistem sonuçların daha güvenilir olmasını salayacaktır. Bu çalımada, örselenmenin olmadıı bir deney sisteminin matematiksel modeli gelitirilmitir. Deney sistemi temel olarak, drenaja kapalı yüzeylerden olumaktadır. Bu nedenle uygulanan su basıncı altında, suya doygun zemin numunesinde hacim deiiklii ve yapısal bozulmalar olumayacaktır. PROBLEMN TANIMI ve AMAÇ Konsolidasyon kavramı geoteknik mühendisliindeki en önemli kavramlardan biridir. Suya doygun yumuak ve sıkıabilir kil zeminler gerilme artıına maruz kaldıında, zamana balı olarak oturmalar meydana gelecektir. Oturmaların bir boyutlu olduu kabulü yapılmakta ve konsolidasyon parametreleri genellikle bir boyutlu konsolidasyon deneyi sonuçlarıyla belirlenmektedir. Bu deney sırasında, numunenin her an yapısı deimektedir. Deney sırasında örselenmenin olmadıı bir sistemde sonuçların daha güvenilir olacaı düünülmektedir. Bununla ilgili bir deney sistemi Tuncan vd. (998) tarafından gelitirilmitir. Hazırlanan deney sisteminde yan yüzler kapalıdır ve suyun drenajına izin verilememektedir. Bu nedenle, suya doygun olarak hazırlanan numunelerde yükleme durumunda hacimsel deiiklik olumayacaktır. Çalımanın esas prensibi numunenin üst balıından su basıncının uygulanması ve numunenin alt balıından basınç deiiminin gözlenmesidir. Deneylerde, ön konsolide edilmi kaolinit kil numunesi yeni gelitirilen deney aletine yerletirdikten sonra, 39

4 0.5 kg/cm, 0.50 kg/cm,.00 kg/cm,.00 kg/cm ve 4.00 kg/cm lik su basınçlarını numunenin üst balıından uygulamılar ve drenaja kapalı alt balıktan boluk suyu basıncı ölçümlerini almılardır. Çalıma sonucunda, alt balıktan okunan boluk suyu basıncı deerinin zamanla arttıı gözlenmi ve bu artı geleneksel konsolidasyon deneyindeki zamana balı deformasyonla ilikilendirilmitir (ekil ). (a) (b) ekil. 4 kg/cm lik yükleme kademesi için a) Boluk suyu basıncı logaritma zaman grafii, b) Saat okuması logaritma zaman grafii (Tuncan vd., 998) Problemin mekanik olduunu düünecek olursak, numunenin üst yüzeyinden uygulanan su basıncı, aynı anda tepki olarak alt yüzeyde de okunmalıydı. Fakat deneylerde bu gözlenmemitir. Ortam drenaja kapalı ve numune tamamen suya doygun olduu için numunede su akıı olacaı da düünülemez. Deneysel gözlemler mevcut bilgilerle açıklanamamaktadır. Bu nedenle, boluk suyu basıncının zamanla numunenin alt noktalarına ulamasını açıklayabilmek için bazı tanımlamaların yapılması gereklilii ortaya çıkmaktadır. MATEMATKSEL MODEL Tabiattaki olayların tümünde bir enerji akıı gözlenmektedir. Yani bir ortamda enerji farkı nedeniyle atomik veya moleküler hareketlilik olmaktadır. Ortamdaki enerji akıı, denge anına kadar devam edecektir. Enerji iletimiyle ilgili en çok bilinen problemler, su akıı (Darcy Kanunu), ısı akıı (Fourier Kanunu), elektriksel akı (Ohm Kanunu) ve kimyasal akı (Fick 40

5 Kanunu) dur[4]. Bu yasalar tamamen doada gözlenen olaylardan gelitirilmitir. Olaylara daha çok deneysel verilere dayanan bir genelletirme olarak bakılmaktadır. Deneysel çalımalarda, enerji akıının balı olduu parametreler belirlenmekte ve malzeme yapısına balı olarak katsayılar tanımlanmaktadır. Tuncan vd. kurdukları deney sisteminde, alt balıktan ölçülen boluk suyu basıncının zamanla arttıını gözlemilerdir. Bu sonuç, matematiksel olarak dier difüzyon problemlerine benzemektedir (ekil ). Konsolidasyon probleminde aırı boluk suyunun sönümlenmesi, ısı transferi problemlerinde ısıtılan bir çubuun ucundaki sıcaklıın zamanla artıı gibi, buradaki problemde de boluk suyu basıncının zamanla artması söz konusudur. Modeldeki anlık iletim denklemi, Darcy ve Fourier yasalarından yararlanılarak çıkarılırsa, u q = k p. A. z () eklinde olacaktır. Burada, q, numunede birim zamanda aktarılan basınç miktarı, k p, zeminin basınç iletim katsayısı, A, numunenin kesit alanı, u, numune üzerindeki basınç farklılıı nedeniyle oluacak basınç gradyanı olarak x tanımlanmaktadır. Sabit su basıncı, u 0 u 0 z t=0 t t A u0 ekil. Boluk suyu basıncı iletimi 4

6 Boluk suyu basıncının iletim denklemi, numunenin uzunluuna ve zamana balı parabolik kısmi diferansiyel denklem olacaktır. u u = K. () t z K, yayılım katsayısıdır. Boyutu ise cm /s dir. Yayılım katsayısının içeriiyle ilgili çalımalar halen devam etmektedir. Ön bilgi olarak, bu katsayının çok büyük bir olasılıkla basınç iletim katsayısıyla orantılı olacaktır. Basınç iletim katsayısı büyük olan zeminlerde yayılım katsayısı da büyük olacaktır ve basıncın alt noktalara iletimi kısa sürede gerçekleecektir. Basınç iletim katsayısı küçük zeminlerde ise iletim zamana balı olacaktır. MODELN ANALTK ve NÜMERK ÇÖZÜMÜ BOLUK SUYU BASINCI LETM DENKLEMNN ANALTK ÇÖZÜMÜ Boluk suyu basıncı iletim denkleminin (Denklem ) çözümü için gerekli olan iki sınır artı ve bir balangıç artı deneysel modelden belirlenmektedir. Numunenin üst yüzeyinden (z=0) sabit bir su basıncı uygulanmaktadır. Alt yüzey (z=l) ise drenaja kapalıdır. Balangıç anında ise numunenin her noktasındaki boluk suyu basıncı farklı deerdedir. Balangıç artını fonksiyonel olarak tanımlamak için, numune üzerinde ara noktalarda da boluk suyu basınç deerlerinin ölçülmesi gerekmektedir. Önceki deney sisteminde bu olmadıı için denklemin çözümü için, dört tip balangıç artı durumu incelenmitir. I. sınır artı : z = 0 da u(0,t) = u 0 u II. sınır artı : z = L de ( L, t) = 0 z Balangıç artı, a) Birinci üstel yaklaım; u z,0) = f ( z) = u. e ( 0 z z b) Lineer yaklaım; u( z,0) = f ( z) = u0 L 4

7 c) Parabolik yaklaım; (,0) = ( ) = z u z f z u0 L d) kinci üstel yaklaım; u( z,0) = f ( z) = u0. e 4. z Her dört yaklaım için de, denklemin çözümü aaıda sunulmutur. u( z, t) = u - Birinci üstel yaklaım için çözüm; L L { 4e [ 4e. L + L.(n )..cos( n. )]} (n ).. [ 4L + (n ). ] 0 + u0.. n= (3) (n ).. z (n ). sin.exp L 4L - Lineer yaklaım için çözüm;. K. t = + 8. u0 (n ). (n ).. z (n ). u( z, t) u0.sin.sin.exp n=.(n ) L 4L - Parabolik yaklaım için çözüm; u ( z, t) = + 6. u u0 n= 0 ( +.(n ).cos[ n] ). 3 (n ). 3 (n ).. z (n )..sin.exp L 4L. K. t. K. t (4) (5) - kinci üstel yaklaım için çözüm; u ( z, t) (8.. + (. ).cos[ ] ( ).. = L L e L e L n n n z u u.sin. ( )..(64. ( ). ) n= n L + n L (6) exp (n ). 4L. K. t Yukarıdaki çözümler sonucunda, modelde herhangi bir noktada, herhangi bir zamandaki boluk suyu basıncı deeri teorik olarak bulunabilecektir. BOLUK SUYU BASINCI LETM DENKLEMNN NÜMERK ÇÖZÜMÜ Analitik metotla incelenen dört balangıç yaklaımından görülecei gibi, balangıç artının deimesi durumunda boluk suyu basıncı daılımı u ( z, t) için yeni bir denklem oluacaktır. Olayı deneysel çalımalarla birlikte düünecek olursak, t = 0 anında numune üzerindeki farklı noktalardan boluk suyu basıncını ölçtüümüzde, daılımın her zaman tarif 43

8 ettiimiz balangıç artlarına uymaması söz konusu olabilir. Analitik çözüm için, balangıçtaki daılımın eri denklemi bulunup, yeni bir seri çözümü elde etmek gerekecektir. Fakat nümerik metot olarak kullandıımız sonlu farklar metodunda, numune üzerinde ölçülen boluk suyu basıncı deerleri, hazırlanan bilgisayar programında data olarak girilebilir ve daılım elde edilebilir. Böylece eri tanımlama, seri çözümü gibi zaman alıcı ilemlere gerek almayacaktır. u u = K. tipindeki denklemler parabolik sınıfına girmektedir. Parabolik kısmi t z diferansiyel denklemlerin tam çözümüne göre; i = 0,,,..., I ve m =,,3,..., M olmak üzere, kinci dereceden türev için, orta fark denklemi, u z u u i i i m m m + ( z) + u Birinci dereceden türev için, ileri fark denklemi, i+ i u um um t t olduu bilinmektedir []. Bu ifadeleri boluk suyu basıncı iletim denkleminde yerlerine yazarsak, u i+ i i i i m um um u m + um + = t olmak üzere, K. t ( z) = K. ( z) i i ( u ) ( ) i m + um + um u. i+ m =. + (7) ifadesi yazılabilir. Denklem 7 sonlu farklar metoduyla, boluk suyu basıncı iletim denkleminin çözümdür. Balangıç anından itibaren, sınır artları belirlenmi problemde, istenilen noktalardaki boluk suyu basını deerleri hesaplanabilmektedir. Bu ifadenin stabilitesini salayan parametre dır. Çözümün doru olabilmesi için olmalıdır. Matematiksel olarak problemin gerçek çözümünün analitik yöntemle elde edilen sonuçlar olduu kabul edilmektedir. Nümerik çözümle bulunan sonuçlardaki hatanın 44

9 azaltılabilmesi için modelin mümkün olduunca çok parçaya bölünmesi gerekmektedir. 80 parçalık bir çözüm için herhangi bir zamandaki hata % lere kadar dümektedir. DEERLENDRMELER Uygulanan basınç altında, numunede oluacak boluk suyu basıncı artıının zamanla ve derinlikle deiimi incelendiinde, ilk zamanlarda basınç gradyanının büyük olduu, zamanla aktarılan enerjinin azaldıı görülmektedir. Bununla ilgili olarak ekil 3 de K=0.00 cm /s, L=3 cm. olan bir numunenin u 0 = kg/cm lik su basıncı altındaki, balangıç artının e -z olması durumunda analitik çözümle bulunan boluk suyu basıncı daılımı gösterilmitir. Aynı artlar altında, numunenin alt yüzeyindeki boluk suyu basıncının zamanla deiimi ekil 4 de gösterilmitir. Görüldüü gibi, Tuncan vd. tarafından yapılan deneysel çalımalar sonrasında elde edilen boluk suyu basıncı artıını gösteren grafikler elde edilmitir. Boflluk Suyu Bas nc n n Zamanla ve Derinli Derinlik (cm) Boflluk Suyu Bas nc (kg ) t=9800 t=940 t=8680 t=80 t=7560 t=7000 t=6440 t=5880 t=530 t=4760 t=400 t=3640 t=3080 t=50 t=960 t=400 t=840 t=80 t=0 ekil 3. Farklı zamanlarda boluk suyu basıncının derinlikle deiimi 45

10 z = 3 cm'deki Bo?luk Suyu Bas?nc?n?n Zama Zaman, t(sn) Bo?luk Suyu Bas?nc?, u(kg/cm ) ekil 4. Alt yüzeyde boluk suyu basıncının zamanla deiimi Konsolidasyon teorisinde, uygulanan ilave gerilme sonunda, tabakanın her noktasında, boluk suyu basıncı deerinin uygulanan gerilmeye eit olduu kabulü yapılmaktadır. Eer tek yönlü drenaj söz konusu ise, tabakanın alt yüzeyindeki boluk suyu basıncı zamanla sönümlenecek ve bir süre sonra sıfır olacaktır. Modelimizde ise uygulanan su basıncının zamanla alt yüzeyde basınç artıına neden olacaı düünülmektedir. Konsolidasyon teorisinde, alt yüzeydeki boluk suyu basıncının %50, %67, %90 ının sönümlenmesi için geçen süre ile modelimizdeki dört farklı balangıç artı için basınç iletiminin %50, %67, %90 ının tamamlanması için geçen süreler incelenmitir. Tablo. L=3 cm lik bir numunede z=3 de (alt yüzey) iletimin %50 ının tamamlanması için geçen süre, u 0 = n kg/cm c v, K KONS.TEO.. ÜSTEL LNEER PARABOLK. ÜSTEL

11 Tablo. L=3 cm lik bir numunede z=3 de (alt yüzey) iletimin %67 ının tamamlanması için geçen süre, u 0 = n kg/cm c v, K KONS.TEO.. ÜSTEL LNEER PARABOLK. ÜSTEL Tablo 3. L=3 cm lik bir numunede z=3 de (alt yüzey) iletimin %90 ının tamamlanması için geçen süre, u 0 = n kg/cm c v, K KONS.TEO.. ÜSTEL LNEER PARABOLK. ÜSTEL kinci üstel yaklaım (e -4z ) ile konsolidasyon teorisindeki deerlerin birbirine çok yakın olduu görülmektedir. Bu iki durum özel olarak ele alınırsa aralarındaki ilikiyle ilgili daha doru bir yorum yapılabilir. Her iki yaklaımda da, söz konusu olan iletim, iletimin tamamlanma yüzdesine göre normalize edilir ve iletimin tamamlanması için geçen süreler ele alınırsa, konsolidasyon teorisindeki boluk suyu basıncının sönümlenme yüzdesi ile basınç iletimi yaklaımındaki basınç deiimi yüzdesine yaklaık olarak eit olduu görülmütür (ekil 5). ekil 5. Konsolidasyonda ve boluk suyu basıncı iletiminde, iletimin ilerleyi erisi 47

12 SONUÇ ve ÖNERLER Yaptıımız çalımada, konsolidasyon parametrelerini belirlemek için numune yapısında deimenin çok az düzeyde olduu deney sisteminin matematiksel bir modeli gelitirilmitir. Model, suya doygun zemin numunelerinin drenaja kapalı bir ortamda uygulanan gerilmeler altında hacim deiikliine uramayıı mantıından yola çıkarak hazırlanmıtır. Burada boluk suyu basıncının deiimi ile ısı transferi arasında büyük benzerliklerin olduu fark edilmitir ve boluk suyu basıncının iletimini formülüze eden bir denklem önerilmitir. Bu denklemde zeminler için basınç iletim katsayısının tanımlanması gerektii düünülmektedir. Basınç iletim katsayısının permeabilite veya boluk oranıyla ilikili olabilecei tahmin edilmektedir. Deney sisteminde yüklemenin yapıldıı anda numune üzerinde oluacaı tahmin edilen 4 tip balangıç fonksiyonu tanımlanmıtır. Boluk suyu basıncı yayılımını belirleyen kısmi diferansiyel denklemin, 4 tip balangıç fonksiyonu için de tam analitik çözümleri yapılmıtır. Elde edilen seri çözümlerinde, tarif edilen balangıç ve sınır artlarının doruluu kontrol edilmitir. Bu çalımadan sonra, boluk suyu basıncının iletimini saladıı düünülen basınç iletim katsayısı ile ilgili bir seri deney yapılmalıdır. Bu deneylerin yapımı öncesi, numunelerin gerçek konsolidasyon modeline uygun bir sistemle hazırlanması ve örselenmeye yol açmadan, boluk suyu basıncı deerlerinin ölçülecei deney sistemine yerletirmesi gerekmektedir. Boluk suyu basınçlarının ölçümünde, numune üzerinde sadece alt ve üst yüzeylerde deil, ara noktalarda da boluk suyu basıncı ölçülerek balangıç fonksiyonunun deneysel olarak tespit edilmesi uygun olacaktır. Deneysel gözlemler ve enerji korunumu prensibinden, yayılım katsayısının içeriini tam olarak tespit edilmelidir. Yayılım katsayısı ile konsolidasyon katsayısı ve önerilen basınç iletim katsayısı ile permeabilite katsayısı arasındaki ilikinin incelenmesi çalımanın en önemli sonucunu oluturacaktır. 48

13 KAYNAKLAR [] Chapra, S.C. and Canale, R.P., 003, Mühendisler çin Sayısal Yöntemler, McGraw-Hill Book Com., New York, 004 p. [] Dadeviren, U., 005, Suya Doygun Normal Konsolide Killi Zeminlerin Boluk Suyu Basıncı Deiimi, Yüksek Lisans Tezi, Dumlupınar Üniversitesi, 78 s. [3] Güney, Y., 998, Suya Doygun Killerin, Hasarsız Deney Yöntemiyle Konsolidasyon Karakteristiklerinin Belirlenmesi, Doktora Tezi, Osmangazi Üniversitesi, 304 s. [4] Mitchell, J.K., 976, Fundamentals of Soil Behavior, John Wiley & Sons, Inc., New York, 4 p. [5] Tuncan, M., Güney, Y. ve Tuncan, A., 998, Konsolidasyon Katsayısı c v ve Permeabilite Katsayısı k Belirlenmesi çin Yeni Bir Yöntem, Zemin Mekanii ve Temel Mühendislii VII. Ulusal Kongresi, stanbul,