DÜZENLİ DİZAYNLI GENETİK ALGORİTMALAR İLE ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING VIA UNIFORM DESIGNED GENETIC ALGORITHMS

Transkript

1 5. Uluslararası İler Teknolojler Sempozyumu (İATS 9), 3-5 Mayıs 9, Karabük, Türkye DÜZENLİ DİZAYNLI GENETİK ALGORİTMALAR İLE ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA MULTIOBJECTIVE PROGRAMMING VIA UNIFORM DESIGNED GENETIC ALGORITHMS Barış GÜRSU a, * ve Melh Cevdet İNCE b a, * TEİAŞ 3.İletm Tess Ve İşletme Grup Müdürlüğü, Elazığ, Türkye, E-posta: gursubars@hotmal.com b Fırat Ünverstes Elektrk-Elektronk Mühendslğ Bölümü, Elazığ, Türkye, E-posta: mcnce@frat.edu.tr Özet Pareto optmaltes, çok amaçlı programlamanın başlıca yaklaşımlarından brdr. Daha çok Pareto-optmal çözümler bulmak stenldğnde, karar vercye çeştl uzlaşılmış çözümler sunmak amacıyla Pareto sınırları üzernde düzgün olarak dağılmışları bulmak ta stenlr. Bu çalışmada bu amaç çn dzayn edlen Genetk Algortma(GA) da düzenl dzlern referansında çözüm uzayına düzgün dağılmış başlangıç populasyonu üretlmştr. Ayrıca Pareto optmal çözümler aramak çn GA da kullanılan yen br çaprazlama operatörü de tanıtılmıştır. Pareto sınırları üzernde düzgün dağılmış çözümler bulmak çn, çoklu uygunluk fonksyonları da tanımlanmış, her br uygunluk fonksyonu ağırlıklar verlerek normalze edlmştr. Böylece amaç uzayında yönlendrme yapılmıştır. Düzenl dzaynın rehberlğnde oluşturulan GA nın çok amaçlı programlama problemlerne uygulama örnekler verlmş, standart rassal GA le karşılaştırılarak lteratürde sunulan yöntemn başarısı gösterlmştr. Anahtar kelmeler: Genetk Algortmalar, Çok Amaçlı Programlama, Pareto-Optmal Çözümü, Unform Dz, Düzenl Dzayn. Abstract Pareto-optmalty s one of the major approaches to multobjectve programmng. Whle t s desrable to fnd more Pareto-optmal solutons, t s also desrable to fnd the ones scattered unformly over the Pareto fronter n order to provde a varety of compromse solutons to the decson maker. In order to realze ths am, an ntal populaton that s unformly scattered n soluton space wth the referaton of unform arrays s produced va GA. A new crossover operator that s used n GA s also presented to search Pareto-optmal solutons. To fnd the solutons scattered unformly over the Pareto fronter, multple ftness functons are defned and each of ftness functons are normalzed by usng weghts. Thus, drectng s made n the objectve space. We gve the applcaton examples of multple programmng problems of GA by gudng of unform desgn and show the success of the method n lterature by comparng standard random GA. Keywords: Genetc Algorthms, Multobjectve Programmng, Pareto-Optmal Soluton, Unform Array, Unform Desgn.. Grş Çok amaçlı matematksel programlama, çoklu amaçların aynı zamanda gerçekleşmesnn düşünüldüğü br yoldur. Gerçek hayattak problemler çoğunlukla brden çok amaç çerr[]. Günümüz koşullarında tek br amacı optmze etmek yetmemekte, aynı anda brçok amacın optmzasyonu gerekmektedr. Çelşen amaçları optmum kılan tek br çözüm bulmak olanaksız olablr. Bunun yerne her amacın önem derecesn temel alan uzlaşık çözümler bulunmaktadır[]. Tek amaçlı optmzasyon problemlernde amaç fonksyonunun optmum değer tektr. Dğer yandan, çok amaçlı optmzasyon problemler çok sayıda maksmzasyon ve mnmzasyon karmaşık yönlü amaçların her ksne de sahp olablrler. Çok amaçlı programlamada en y çözümlerden oluşan Pareto-optmal çözümlerden bahsedlr. Pareto optmaltes, çok amaçlı programlamanın başlıca yaklaşımlarından brdr[3-7]. Çok amaçlı problemlerde amaçlar brbrleryle zıt ya da çok farklı, amaçların sınırları da brbrnden çok farklı olması sebebyle optmal çözüme genellkle ulaşılmaz. Çünkü, bütün amaç fonksyonlarının eşzamanlı olarak optmum durumu hemen hemen mkansızdır[8]. Çok amaçlı programlama problemlernde, Pareto sınırları üzerndek her çözüm, uzlaşık br çözümdür. Karar verc, Pareto sınırları üzerndek, gereksnmler yerne getrecek kabul edleblr uygun çözümü seçer[9].. Düzenl Dzayn Düzenl dzaynın temel amacı, verlen noktalar kümesnden küçük br noktalar kümes örneklemektr. Elektrksel br olayın, 4 ncelğe bağlı olduğunu farz edelm. Bu 4 ncelk, deneyn faktörler olarak adlandırılır. Eğer her faktör olası değere sahpse, her faktörün sevyes var demektr. Bu durumda, 4 =6 tane sevyelern kombnasyonu vardır. Burada en y kombnasyonu bulablmek çn 6 tane deney yapmak gerekecektr. Tüm bu deneyler yapmak mümkün olmadığından ya da çok pahalı olacağından, deneylern küçük fakat temsl br örneğ seçmek stenlr. Düzenl dzayn bu amaç çn gelştrlmştr. U(n,q)=[U,j ] qxn, U,j,.kombnasyonda j.faktörün sevyesdr[]... Düzenl Dzler Düzenl dz, n sütun sayılı, q satır sayılıdır. U,j aşağıdak denklem () dek gb kurulur. n faktör, q sevyey temsl eder.her faktörde q sevyeler vardır. j U = ( σ ) + (),j mod(q) IATS 9, Karabük Ünverstes, Karabük, Türkye

2 Tablo. Farklı Faktör ve Sevye Sayıları İçn σ Parametres Her Faktörün Sevyelernn Faktör Sayısı σ Sayısı , 3-4, , , , 5-, , 3-9 Örnek. 3 faktörlü ve 5 sevyel düzenl br dz aşağıdak gb kurulur. σ = dr. U, =( - ) mod(5) += U, =( - ) mod(5) +=3 U, =( - ) mod(5) +=3 U, =( - ) mod(5) +=5 U,3 =( 3- ) mod(5) +=5 U,3 =( 3- ) mod(5) +=4 U 3, =(3 - ) mod(5) +=4 U 4, =(4 - ) mod(5) +=5 U 3, =(3 - ) mod(5) += U 4, =(4 - ) mod(5) +=4 U 3,3 =(3 3- ) mod(5) +=3 U 4,3 =(4 3- ) mod(5) += U 5, =(5 - ) mod(5) += U 5, =(5 - ) mod(5) += U 5,3 =(5 3- ) mod(5) += U (3,5) = () Çok Amaçlı Programlama İçn Düzenl Dzaynlı Genetk Algortma Mn f (x), f (x), f 3 (x), f M (x) çok amaçlı programlama problemn ele alalım. Burada x=(x, x, x 3,..x N ) çözümler br kromozom olarak alınır. x, [l,u ] çözüm uzayında aranır. l=(l, l,.l N ) ve u=(u, u,.u N ) dr. M amaç fonksyonu sayısı, N problemn boyutudur. Çok amaçlı programlamada, amaç uzayında, Pareto sınırları üzernde düzgün olarak dağılmış kromozomlar kümesn GA yardımıyla bulmak hedefmzdr. 3.. Düzenl Dz İle Ağırlıklandırılmış Çoklu Uygunluk Fonksyonları Amaç uzayında Pareto sınırları üzernde düzgün dağılımlı çözüm kümesn bulablmek çn, çoklu uygunluk fonksyonları tanımlanmış ve bu uygunluk fonksyonlarına düzenl dzayn uygulanmıştır. Öncelkle, her br amaç fonksyonu aşağıdak gb normalze edlr. f (x) h (x) = (3) max {f (y)} yεψ Ψ,o ank populasyondak noktalar kümesdr ve h (x) normalze edlmş amaç fonksyonudur. Bu çalışmada çoklu uygunluk fonksyonları kullanılmıştır ve her br uygunluk fonksyonunda ağırlıklandırılma yapılır. Ağırlıklar düzenl dzlerden elde edlr.w=(w, w, w M ) olmak üzere w + w + w M = dr. w, ağırlık vektörüdür. U, j w, j = U + U +... U (4),,,M uygunluk = w h (x) + w h (x) w h (x) (5),,,M M Örnek. M(faktör)=3 ve D(sevye)=5 alınarak U(3,5); () de hesaplanmıştır. Ağırlıklar ve 5 adet uygunluk fonksyonu (4) ve (5) denklemlerne göre aşağıdak gb bulunur. 3 5 uygunluk = h (x) + h (x) + h (x) uygunluk = h (x) + h (x) + h (x) uygunluk 3 = h (x) + h (x) + h (x) uygunluk 4 = h (x) + h (x) + h (x) 3 uygunluk 5 = h (x) + h (x) + h (x) Düzenl Dz İle Başlangıç Populasyonu Üretm Sevye sayısı arttıkça düzenl dzy hesaplamak fazla zaman almaktadır. Ayrıca lteratürde en fazla 37 sevyel düzenl dz hesaplanablmektedr. Hem bu sebepten hem de zamandan kazanmak çn, çözüm uzayı küçük alt uzaylara bölünür ve her alt uzayda düzenl dz uygulanır. S alt uzay sayısı olmak üzere,,, 3, gb seçlr. [l,u] çözüm uzayı, [l(),u()], [l(),u()], [l(s),u(s)] alt uzaylarına bölünür. Algortma. Çözüm Uzayının Bölünmes Adım. a=l ve z= u alalım. log S adet en büyük çözüm uzayı sınırları, zs=(a s +z s )/ şlemne tab tutulur. Adım. Δ = z a ve n = (u l ) / Δ tüm =,,.N çn hesaplanır. N, problemn boyutudur. j n olmak üzere; l(k) = l + ((j ) Δ,(j ) Δ,...(j ) Δ ) N N u(k) = l + (j Δ, j Δ,...j Δ ) N N (6) alt uzayları hesaplanır. Her br alt uzay Q sevyeler çnde kuantalanır. l (k) j = u (k) l (k) α ( k) = l (k) + (j ) j Q, j Q u (k) j = Q (7) Kuantalamadan sonra tekrar düzenl dz formu uygulanır. (j=, Q ) Her br uygunluk fonksyonunda S Q adet

3 nokta değerlendrlr ve en y / D G veya G / D noktaları seçlr. Toplamda G sayıda nokta seçlmş olur. Algortma. Başlangıç Populasyonu Üretlmes Adım.Algortma e göre [l,u] çözüm uzayı, [l(),u()], [l(),u()], [l(s),u(s)] S alt uzaylarına bölünür. Adım.(7) denklemne dayanarak her br alt uzay kuantalanır ve sonra Q noktalarını örneklemek çn U(N,Q ) düzenl dzs uygulanır. Adım 3.Her br uygunluk fonksyonuna dayanarak Adım de üretlen S Q noktalarının her brnn kaltes değerlendrlerek en y G / D veya G / D noktaları seçlr. Başlangıç populasyonunu oluşturmak çn S Q noktaları arasından toplam G sayıda nokta seçlmş olunur. Örnek 3. 3 boyutlu br problem düşünelm. x 4, x 8, 3 x 3 olsun. Çözüm uzayı, [l,u]=[(,,3),(4,8,)] olur. S=4, Q =5, D =5, G=6 seçelm. Algortma uygulanarak çözüm uzayı aşağıdak gb 4 alt uzaya bölünür. Adım. log 4 = dr. z=(8+)/=5 ve z 3 =(+3)/=65 olarak hesaplanır. a=l=(,,3) ve z=(4,5,65) olur. Adım. Δ = (4 ) = 3, Δ = (5 ) = 3, Δ = (65 3) = 35 3 n = (4 ) / 3 =, n = (8 ) / 3 = n 3 = ( 3) / 35 = j = j =, j 3 =, l()=(,,3)+((-) 3,(-) 3,(-) 35)=(,,3); u()=(,,3)+( 3, 3, 35)=(4,5,65) l()=(,,3)+((-) 3,(-) 3,(-) 35)=(,,65); u()=(,,3)+( 3, 3, 35)=(4,5,) l(3)=(,,3)+((-) 3,(-) 3,(-) 35)=(,5,3); u(3)=(,,3)+( 3, 3, 35)=(4,8,65) l(4)=(,,3)+((-) 3,(-) 3,(-) 35)=(,5,65); u(4)=(,,3)+( 3, 3, 35)=(4,8,) Her br alt uzay denklem (7) ye göre kuantalanır. Burada [l(),u()] n kuantalamasını örnekleyelm. Dğer alt uzayların da kuantalaması benzer şeklde yapılır. α, =l ()= α, =+(-)(4-)/(5-)=7.5 α,3 =+(3-)(4-)/(5-)=5 α,4 =+(4-)(4-)/(5-)=3.5 α,5 =4 α, =l ()= α, =+(-)(5-)/(5-)=7.5 α,3 =+(3-)(5-)/(5-)=35 α,4 =+(4-)(5-)/(5-)=4.5 α,5 =5 α 3, =l 3 ()=3 α 3, =3+(-)(65-3)/(5-)=38.75 α 3,3 =3+(3-)(65-3)/(5-)=47.5 α 3,4 =3+(4-)(65-3)/(5-)=56.5 α 3,5 =65 Problem, 3 boyutlu(faktör) ve seçlen Q =5 olduğundan 5 sevyeldr. Kuantalamadan sonra () de elde edlen düzenl dz formu uygulanır. Her br alt uzayın kuantalamasından sonra 3 (N) boyutlu 5 (Q ) adet kromozom elde edlr..alt uzayın kuantalamasından elde edlen kromozomlar aşağıdak gbdr:.kromozom kromozom kromozom = kromozom kromozom 3 Her br alt uzaydan Q kadar kromozom elde edlr. Başlangıçtak toplam kromozom sayısı=s Q =4 5= dr. Adım 3. Örnek de elde edlen uygunluk fonksyonlarının brncsnden G / D =, dğer 4 uygunluk fonksyonundan G / D = er olmak üzere toplam G=6 nokta başlangıç populasyonunu oluşturmak çn seçlr. Her br uygunluk fonksyonunda, tüm kromozomlar(bu örnek çn ) arasından en y noktalar( G /D ya da G / D adet) seçlr Düzenl Dz İle Çaprazlama Herhang k ebeveyn p =(p,, p,,.p,n ) ve p =(p,, p,, p,n ) olarak alalım. [l ebeveyn, u ebeveyn ] denklem (8) dek gb tanımlanır. l = [mn(p,p ),mn(p,p )...mn(p,p )] ebeveyn,,,,,n,n (8) u = [max(p,p ),max(p,p )...max(p,p )] ebeveyn,,,,,n,n [l ebeveyn, u ebeveyn ], Q sevyeler çnde denklem (9) dak gb kuantalanır. mn(p, p ) j =,, p p,, β = mn(p, p ) + (j ) j Q (9),j,, Q max(p, p ) j = Q,, Kuantalamadan sonra problem boyutuna eşt ya da ondan küçük br F faktör sayısı seçlr. <k <k <.<k F- olacak şeklde k, k, k F- sayıları seçlr. f = (x,...x ) k f = (x,...x ) k + k ()... f = (x,..., x ) F k + N F Kuantalanan noktalar, f, f,.f F e göre, U(F,Q ) düzenl dzs formuna uygulanır. Algortma 3. Çaprazlama Adım. [l ebeveyn, u ebeveyn ] denklem (8) e göre oluşturulur ve denklem (9) a göre kuantalanır. Adım. <k <k <.<k F- olacak şeklde k, k, k F- sayıları seçlr ve denklem () a göre F faktörler oluşturulur. Adım 3.Muhtemel Q yavruları oluşturmak çn U(F,Q ) düzenl dzs uygulanır. Örnek 4. 5 boyutlu çok amaçlı programlama problemn ele alalım. ebeveyn brey; p =(7.5, 4.7,.3,.5, ) ve p =(.7,., -., 7.5, 6.7) olsun. Bu ebeveylern çözüm uzayı (8) denklemne dayanarak;[l ebeveyn, u ebeveyn ]=[(.7,., -.,.5, ), (7.5, 4.7,.3, 7.5, 6.7)] şeklnde bulunur. Denklem (9) a dayanarak; β =(.7, 3.9, 5., 6.3, 7.5);

4 β =(.,.35,.45, 3.575, 4.7); β 3 =(-., -.35,.55,.45,.3); β 4 =(.5, 3.75, 5, 6.5, 7.5); β 5 =(,.45, 3.85, 5.75, 6.7) bulunur.k =, k =3, k 3 =5 alırsak, f =(x ), f =(x, x 3 ), f 3 =(x 4, x 5 ) şeklnde 3 faktör elde edlr. () de elde edlen U(3,5) dzs β lara uygulanarak çaprazlama netcesnde yen yavrular elde edlr..yavru yavru yavru = yavru yavru Düzenl Dzaynlı Genetk Algortma Çalışma Adımları Adım.Başlangıç Populasyonu Üretm Adım. () denklemne dayanarak U(M,D ) ve U(N,Q ) düzenl dzlern kur. Adım. (4) ve (5) denklemlerne ve U(M,D ) a dayanarak D uygunluk fonksyonlarını oluştur. Adım.3 Başlangıç Populasyonunu üretmek çn Algortma y uygula. Adım.Populasyon Evrm Durdurma şartı sağlanmıyorsa alttak adıma geç, durdurma şartı sağlanıyorsa dur. Adım. Çaprazlama:.uygulamada,.uygunluk fonksyonuna dayananarak seçlen en y br ebeveyn le rasgele seçlen başka br ebeveyne Algortma 3 ü uygulayarak çaprazlama yap. Çaprazlama şlem D kez yapılır. Adım. Mutasyon: P gen de her br kromozom p m olasılığı le mutasyona uğratılır. Br kromozoma mutasyon uygulamak çn, rasgele, br j [, N] tamsayısı ve r [lj,u j] reel sayısı üretlr. Sonra yen br kromozom elde etmek çn, seçlen kromozomun j.bleşen r le yer değştrr. Adım.3 Seçme: P gen dek kromozomları ve çaprazlama ve mutasyonla üretlen kromozomlar arasından br sonrak generasyon çn en y G/ D ya da G / D kromozomlarını seçmek çn D uygunluk fonksyonlarının her br ele alınır. Seçlen kromozomların toplam sayısı G dr. Adım 3.4. Generasyon sayısını artır. Adım 3.5 Adım ye gt[]. 4. Uygulamalar Burada test problem çn hem düzenl dzaynlı GA, hem de standart rassal GA nın pareto optmal çözümlern bulma başarıları gösterlecektr. Rassal GA da populasyon, maksmum generasyon ve mutasyon olasılığı düzenl dzaynlı GA le aynıdır. 4 ar kez çalıştırılan programlarda 3 er sonuç gösterlmştr. Test Problem. Tablo. Düzenl Dzaynlı GA Grş Parametreler Grş Parametre Değerler Populasyon sayısı Maks. Generasyon say. 5 M, F S 8 D, Q, Q 5 D 7 Mutasyon Olasılığı. Program cra sayısı (a) f(x) (b) Mnmze Mnmze aralk aralk f (x) = f (x) = x ( x x 4 x x ) f(x) (c) Şekl.Brnc Test Problem İçn Düzenl Dzaynlı GA le Pareto-Optmal Çözümler(a-b-c)

5 Mnmze Test Problem. Mnmze aralk aralk f(x) = x f (x) = x 3 x 5 x x + 3x + + (d) (a) (e) (b) Şekl.Brnc Test Problem İçn Rassal GA le Pareto- Optmal Çözümler(d-e-f) (f) Brnc test problem çn, Şekl. düzenl dzaynlı GA le, Şekl. de rassal GA le bulunan Pareto optmal çözümlern göstermektedr. Standart rassal GA le karşılaştırıldığında, lteratürde önerlen düzenl dzaynlı GA nın daha anlamlı Pareto-optmal çözümler bulduğu ve bu çözümlern Pareto sınırlarında daha düzgün dağıldığı görülmektedr. Önerlen ağırlıklandırılmış çoklu uygunluk fonksyonları tüm Pareto sınırlarına doğru arama rehberlğ yapmıştır. Düzenl dzaynlı GA le ortalama 4 ( ) Pareto-optmal çözüm bulunmuşken, Standart rassal GA le ortalama 3 (35-3-3) Pareto-optmal çözüm bulunmuştur. Hem Pareto optmal çözüm sayısının fazla olması hem de bu çözümlern Pareto sınırlarında daha düzgün dağılması düzenl dzaynlı GA yı üstün kılmaktadır. (c) Şekl 3.İknc Test Problem İçn Düzenl Dzaynlı GA le Pareto-Optmal Çözümler(a-b-c) Şekl 3. knc test problem çn düzenl dzaynlı GA le, amaç uzayında bulunan Pareto optmal çözümlern göstermektedr. Ortalama 98 ( ) Pareto optmal çözüm bulunmuştur. Bu çözümler, Pareto sınırları üzernde düzgün dağılımlıdır. Görüldüğü gb, çok amaçlı programlamada, amaçların sınırları da brbrnden farklı olablmektedr. Tüm amaçları, kend sınırları çersnde ve

6 brlkte sağlayan tek br çözüm yerne, uzlaşık çözüm denlen Pareto-optmal çözümler, düzgün dağılımlı olarak ve sayıca daha çok olarak bulablmek stenendr. Amaç, karar vercye en y ve en çok alternatf çözümler sunmaktır. (d) 5. Sonuçlar Bu çalışmada, çok amaçlı programlamada Pareto sınırları üzernde düzgün dağılmış Pareto-optmal çözümlern bulmak çn dzayn edlen br GA tanıtılmıştır. Düzenl dzlerden faydalanılarak şleyş mantığı oluşturulan bu GA da çoklu uygunluk fonksyonları kullanılmıştır. Böylece Pareto sınırları üzernde düzgün dağılımlı çözümler bulablmek çn yönlendrme yapılmıştır. Ayrıca Paretooptmal çözümlern aramak çn y br başlangıç populasyonu ve yen br çaprazlama operatörü de düzenl dzayn mantığıyla tanımlanmıştır. Düzenl dzaynlı GA ve standart rassal GA, k test problemnn çözümü çn sınanmıştır. Düzenl dzaynlı GA le hem çok daha fazla sayıda hem de Pareto sınırları üzernde çok daha düzgün dağılımlı çözümler bulunduğu sonuçlardan görülmüştür. Böylece karar vercye, hem daha fazla sayıda hem de daha çeştl uzlaşılmış çözümler sunulmuştur. Çeştllğn artmasıyla karar vercnn terchn belrlemes kolaylaşacaktır. Yöntemn, her alandak çok amaçlı programlama problemlerne uygulanableceğ ve y br performans sergleyeceğ dkkatlere sunulmuştur. Kaynaklar (e) (f) Şekl 4.İknc Test Problem İçn Rassal GA le Pareto- Optmal Çözümler(d-e-f) Şekl 4 knc test problem çn standart rassal GA le, amaç uzayında bulunan Pareto optmal çözümlern göstermektedr. Standart rassal GA le ortalama 3 (6-3- ) Pareto optmal çözüm bulunmuştur. Şekl 3 ve Şekl 4 karşılaştırıldığında düzenl dzaynlı GA le Pareto sınırları üzernde daha düzgün dağılımlı ve sayıca da yaklaşık 5 kat daha fazla Pareto-optmal çözümler elde edlmştr. Böylece karar vercye, daha fazla sayıda ve daha düzgün dağılımlı alternatf çözümler sunulmuştur. [] Kuşbeyz,İ.,Çok Amaçlı Lneer Programlamada Dualte Teors, Y.T.Ü.,Fen Blmler Ensttüsü,49 syf., 6. [] Uğur, B.G., Çok Amaçlı Bulanık Transport Problemnn Genşleme Prensbyle Çözülmes, Y.T.Ü.,Fen Blmler Ensttüsü, 4 syf., 6. [3] Chan, T.M., Man, K.F., Kwong, S., Tang, K.S., A Jumpng Gene Paradgm for Evolutonary Multobjectve Optmzaton, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, Vol.,No.,43-59, 8. [4] Grosan, C., Abraham, A., Exploraton of Pareto Fronter Usng a Fuzzy Controlled Hybrd Lne Search, IEEE Seventh Internatonal Conference on Hybrd Intellgent Systems, , 7. [5] Ho, S.L., Yang, S., N, G., Incorporatng A Pror Preferences n a Vector PSD Algorthm to fnd Arbtrary Fractons of the Pareto Front of Multobjectve Desgn Problems, IEEE Transactons on Magnetcs, Vol.44, No.6, 38-4, 8. [6] Yong, Y., Yong-Quan, L., Mult-Issue Negotaton Research Based on Nched Co-Evolutonary Genetc Algorthm, Eght ACIS Internatonal Conference on Software Engneerng, Artfcal Intellgence, Networkng, and Parallel/Dstrbuted Computng, , 7. [7] Zhang, L.B., Zhou, C.G., Xu, X.L., Sun, C.T., Lu, M., Mult-Objectve Evolutonary Algorthm Based on Max- Mn Dstance Densty, IEEE, 3-35, 6. [8] Umarusman, N., Çok Amaçlı Karar Problemlernde Duyarlılık Analz ve Bulanık Mantık İlşks:De Novo Programlama Uygulaması, Dokuz Eylül Ünverstes, 7. [9] Köksoy, O., Hocaoğlu, G.,Mult-Objectve Optmzaton Solutons to the Taguch s Problem, G.U., Journal of Scence, 8/(4):63-66, 5. [] Gürsu, B., İnce, M.C.,Başlangıç Populasyonu Düzgün Dağılımlı Br Genetk Algortma,Galatasaray Ünverstes,8.YA/EM Ulusal Kongres,İstanbul, 8. [] Leung, Y.W., Wang, Y., Multobjectve Programmng Usng Unform Desgn and Genetc Algorthm, IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcs-Part- C:Applcatons and Revews, Vol.3, No:3,.