ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ. Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SIRA SÜREKLİ OPERATÖRLERİN LİMİTLERİ Ercan KARADAŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2007 Her Hakkı Saklıdır

2 Anne ve Babam a

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi SIRA SÜREKL I OPERATÖRLER IN L IM ITLER I Ercan KARADAŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN Tezin ilk bölümünde s ra sürekli operatörler dizilerinin limitleri konusunda bugüne kadar elde edilen sonuçlardan k saca bahsedilmiştir. Ikinci bölüm Riesz uzaylar ve bu uzaylar üzerinde tan ml lineer operatörler hakk ndaki temel kavramlara ayr lm şt r. Üçüncü bölümde kuvvetli ve zay f s ra yak nsakl k kavramlar tan mland ktan sonra s ra sürekli operatör kavram verilmiştir. Daha sonra, s ra sürekli operatör dizilerinin s n rl ve regüler norm alt ndaki limitlerinin de s ra sürekli oldu¼gu gösterilmiştir. Son k s mda ise, oldukça zay f iki koşulun sa¼glanmas durumunda operatör normu alt nda s ra sürekli operatör dizilerinin limitlerinin de s ra sürekli oldu¼gu sonucu elde edilmiştir. 2007, 49 sayfa Anahtar Kelimeler: Banach örgüleri, s ra yak nsakl k, s ra sürekli operatör, operatör normu, s ra s n rl norm. i

4 ABSTRACT Master Thesis LIMITS OF ORDER CONTINUOUS OPERATORS Ercan KARADAS Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Asst.Prof. Cafer COSKUN The rst chapter is devoted to the some results that have been reached in operator norm limits of order continuous operators. In the second chapter, Riesz spaces and linear operators de ned on these spaces are given, and some well-known results are presented. In chapter three, after introducing notions of weak and strong order convergence, order continuous operators are de ned. The chapter continues with proving operator norm limits of order continuous operators are preserved under regular and order-bounded norms. In the last part of the chapter, some weak conditions that range space should ful ll in order to preserve order continuity under operator norm limits are established. 2007, 49 pages Key Words: : Banach lattices, order convergence, order continuous operators, operator norm, order-bounded norm. ii

5 ÖNSÖZ Öncelikle dersine kabul ederek Riesz uzalar konusuyla tan şmam sa¼glad ¼g ve tezde inceledi¼gim temel makaleyi önerdi¼gi için Say n Prof. Dr. Zafer ERCAN a (Orta Do¼gu Teknik Üniversitesi, Matematik bölümü) ve bu konuda çal şmama izin veren dan şman hocam Say n Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN a (Ankara Üniversitesi, Matematik bölümü) teşekkür ederim. Prof. Dr. Edwardo EMELYANOV un (Orta Do¼gu Teknik Üniversitesi, Matematik bölümü) yard mlar olmasayd tezdeki baz önemli noktalar tam olarak anlamam mümkün olmayacakt. Hiç şüphesiz ki bu tez çal şmas n n en keyi i yan kendisiyle çal şma olana¼g bulmam oldu. Kendisine alçak gönüllülü¼gü ve vaktini cömertçe bana ay rd ¼g için çok teşekkür ederim. Ayr ca, yüksek lisans süresince derslerini ald ¼g m de¼gerli hocalar m Say n Prof. Dr. Öner Çakar a (Ankara Üniversitesi, Matematik bölümü), Say n Prof. Dr. Elgiz Bairamov a (Ankara Üniversitesi, Matematik bölümü) ve Say n Prof. Dr. Mustafa Çiçek e (Ankara Üniversitesi, Matematik bölümü) emekleri için teşekkürlerimi sunar m. Ercan KARADAŞ Ankara, Temmuz 2007 iii

6 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii IÇ INDEK ILER iv S IMGELER D IZ IN I v 1. G IR IŞ 1 2. R IESZ UZAYLARINDAK I TEMEL KAVRAMLAR Riesz Uzaylar 2.2 Riesz Uzaylar Üzerinde Tan ml Lineer Operatörler 2.3 Banach Örgüleri OPERATÖR D IZ ILER IN IN L IM ITLER I Kuvvetli ve Zay f Yak nsakl k Kuvvetli ve Zay f S ra Süreklilik S n rl ve Regüler Norm Alt nda Operatör Dizilerinin Limitleri Operatör Normu Alt nda Operatör Dizilerinin Limitleri 42 KAYNAKLAR 48 ÖZGEÇM IŞ 49 iv

7 S IMGELER D IZ IN I N Do¼gal Say lar Kümesi R Reel Say lar Kümesi R + Pozitif Reel Say lar Kümesi x?y Dik Elemanlar D " Yukar Yönlendirilmiş Küme D # Aşa¼g Yönlendirilmiş Küme L(X; Y ) Sürekli Operatörler Uzay L(X; Y ) Lineer Operatörler Uzay L b (X; Y ) S ra S n rl Operatörler Uzay L r (X; Y ) Regüler Operatörler Uzay L n (X; Y ) S ra Sürekli Operatörler Uzay X + X Kümesinin Pozitif K sm x + x Eleman n n Pozitif K sm x x Eleman n n Negatif K sm jxj x Eleman n n Mutlak De¼geri x _ y x ve y Elemanlar n n Supremumu x ^ y x ve y Elemanlar n n In mumu [x; y] x ve y S ra Aral ¼g x " Yukar Yönlendirilmiş A¼g x # Aşa¼g Yönlendirilmiş A¼g! Zay f S ra Yak nsakl k! Kuvvetli S ra Yak nsakl k jjjj Operatör Normu jjjj b S ra S n rl Norm jjjj r Regüler Norm k:s:y v

8 1. G IR IŞ Riesz uzaylar konusunda yap lan ilk sistematik çal şma F. Riesz in 1928 y l nda Bologna da düzenlenen uluslararas matematik kongresinde lineer fonksiyonellerin ayr ş m üzerine sundu¼gu makale olarak kabul edilir. Daha sonra Riesz uzaylar n n kuramsal temelleri 1930 l y llar n ortalar nda birbirinden ba¼g ms z olarak H. Freundenthal ve L.V.Kantoroviµc taraf ndan geliştirilmiştir. Bu tarihten sonra bu alandaki gelişme oldukça h zl olmuş; Japon okuluna mensup H. Nakano, T. Ogasawara ve K. Yosida ile L.V.Kantoroviµc, A.I. Judin ve B.Z. Vulikh gibi Rus okuluna mensup matematikçiler 1950 li y llar n ortalar na kadar olan sürede bu alana önemli katk lar yapm şlard r lere gelindi¼ginde pozitif operatörler teorisinin oldukça olgun bir hal ald ¼g görülmektedir. Bu tarihten sonra Riesz uzaylar teorisi, de¼gişik yönleriyle incelenmeye devam edilmesinin yan nda oyun teorisi, nans, genel denge teorisi, nükleer reaktör teorisi ve istatistiki karar alma alanlar nda yararl uygulamalara sahip olmuştur. Banach uzaylar n n fonksiyonel analizde oynad ¼g role benzer olarak Banach örgüleri de pozitif operatörler teorisi içinde önemli bir yere sahiptir. Fakat, Banach örgüleri üzerinde tan ml regüler operatörler uzay nda operatör normuyla uzay n s ra yap s aras ndaki ilişkinin iyi anlaş lm ş oldu¼gu söylenemez. Bu regüler normla olan durumla tam bir karş tl k gösterir. Örne¼gin Y kümesi Dedekind tam ise X kümesinden Y kümesine tan ml tüm regüler operatörlerin oluşturdu¼gu L r (X; Y ) uzay regüler norm alt nda Banach örgüsüdür, fakat operatör normu alt nda bu geçerli de¼gildir. S ra sürekli operatör dizilerinin operatör normu alt ndaki limitleri hakk nda bilinenler ise oldukça azd r. Bu konuda bilinen tek sonuç, artan s ra sürekli pozitif o- peratör dizilerinin limitlerinin de s ra sürekli oldu¼gudur (Abromovich and Aliprantis 2002). Wickstead ve Kitover taraf ndan 2005 y l nda yay nlanan "Operator norm limits of order continuous operators" adl makalede operatör normu alt nda yak nsak ve monoton olmayan operatör dizilerinin norm limitlerinin, görüntü uzay ndaki 1

9 normun oldukça zay f bir koşulu sa¼glamas ve norm limitinin pozitif olmas k s tlar alt nda s ra sürekli oldu¼gu gösterilmiştir. Bu tezde bu makale detayl olarak incelenmiştir. Ayr ca, Abromovich ve Sirotkin taraf ndan 2005 y l nda yay nlanan "On order convergence of nets" adl makaledeki, iki Riesz uzay aras nda tan ml zay f s ra sürekli her operatörün s ra s n rl oldu¼gu sonucu kullan larak, Wickstead ve Kitover (2005) daki baz teoremlerin hipotezindeki s ra s n rl l k koşulu kald r lm şt r. 2

10 2. RIESZ UZAYLARINDAK I TEMEL KAVRAMLAR 2.1 Riesz Uzaylar Tan m , boş olmayan X kümesi üzerinde tan ml bir k smi s ralama ba¼g nt s ve? 6= Y X olsun. E¼ger, her y 2 Y için y 4 x 0 olacak biçimde bir x 0 2 X varsa, Y, X içinde ustten s{n{rl{ ve bu x 0 eleman na Y kümesinin bir ust s{n{r{ denir. x 0 ; Y kümesinin bir üst s n r olmak üzere, Y kümesinin herhangi başka bir x üst s n r için x 0 4 x oluyorsa x 0 eleman na Y kümesinin en küçük üst s n r veya supremumu denir. Alttan s{n{rl{ kume, alt s{n{r ve en buyuk alt s{n{r tan mlar da benzer şekilde yap l r. x ve y elemanlar n n supremum ve in mumu s ras yla x _ y ve x ^ y şeklinde gösterilir. Tan m X k smi s ral bir küme olsun. Bu durumda, i) X kümesinin boş olmayan her alt kümesinin supremumu ve in mumu varsa X kümesine s{ra tam veya k saca tamd r denir. ii) X kümesinin boş olmayan ve üstten s n rl (alttan s n rl ) her alt kümesinin supremumu (in mumu) varsa X kümesine Dedekind tam kume denir. E¼ger, X kümesinin boş olmayan, sonlu veya say labilir alt kümelerinden üstten s n rl (alttan s n rl ) olanlar n n supremumu (in mumu) varsa, X kümesine Dedekind tam denir. iii) X kümesinin iki elemanl her alt kümesinin supremum ve in mumu varsa X kümesine bir orgu (latis) denir. 3

11 Bir kümenin Dedekind tam olmas için gerekli koşullar aşa¼g daki teoremin gösterdi¼gi gibi daha sade bir şekilde ifade edilebilir. Teorem K smi s ral bir X kümesinin Dedekind tam olmas için gerek ve yeter koşul bu kümenin boş olmayan ve üstten s n rl her alt kümesinin supremumunun var olmas d r. Ispat. X kümesi Dedekind tam oldu¼gunda, X kümesinin boş kümeden farkl ve üstten s n rl her alt kümesinin supremumunun mevcut oldu¼gu T an{m 2:1:2: gere¼gince aç kt r. Karş t olarak X kümesinin boş olmayan ve üstten s n rl her alt kümesinin supremumu mevcut olsun. Ispat için? 6= Y X ve alttan s n rl herhangi Y kümesi için inf Y 2 X oldu¼gu gösterilmelidir. A(Y ), Y kümesinin tüm alt s n rlar n n kümesi olsun. Kabulümüz gere¼gi A(Y ) 6=? ve ayr ca? 6= Y oldu¼gundan A(Y ) üstten s n rl d r. Bu durumda hipotez gere¼gi p = sup A(Y ) mevcuttur. Her y 2 Y; A(Y ) kümesinin bir üst s n r oldu¼gundan p 4 y yaz labilir. Bu ise p 2 A(Y ) oldu¼gunu gösterir. K sacas p eleman Y kümesinin bir alt s n r ve di¼ger tüm alt s n rlardan daha büyük oldu¼gundan p = inf Y bulunmuş olur. Örnek ) R al ş lm ş s ralama ba¼g nt s na göre Dedekind tam ve orgudür, fakat s{ra tam de¼gildir. 2) X = f(x; y) : x 2 + y 2 = 1g R 2 kümesi, x = (x 1 ; x 2 ); y = (y 1 ; y 2 ) 2 X olmak üzere x 4 y () x 1 6 y 1 ve x 2 6 y 2 şeklinde tan mlanan düzlemsel s ralama ba¼g nt s na göre Dedekind tamd r, fakat s{ra tam veya orgu de¼gildir. 4

12 3) S; boş kümeden farkl ve X = P(S) olsun. X üzerindeki s ralama ba¼g nt s, A; B 2 X olmak üzere A 4 B, A B biçiminde tan mlans n. Bu s ralama ba¼g nt s na göre X; k smi s ral bir kümedir ve, X kümesinin en küçük, S ise en büyük eleman d r. Ayr ca, A _ B = A [ B ve A ^ B = A \ B oldu¼gundan X kümesi bir örgüdür. Benzer şekilde, I bir indis kümesi olmak üzere, sup fa ; 2 Ig = [ A ve inf fa ; 2 Ig = \ A oldu¼gundan X örgüsü s ra tamd r. Tan m X bir reel vektör uzay ve 4; X üzerinde tan ml k smi s ralama ba¼g nt s olsun. E¼ger, X kümesinin vektör uzay yap s yla s ralama yap s uyumlu ise, yani; i) x 4 y iken her z 2 X için x + z 4 y + z ii) x 4 y iken her 2 R + için x 4 y özellikleri geçekleniyorsa, X kümesine s{ral{ vektor uzay denir. Tan m X s ral vektör uzay ayn zamanda bir örgü ise X kümesine Riesz uzay{ veya vektor orgusu denir. Bir X Riesz uzay nda her 0 u 2 X eleman için inf 1 u : n = 1; 2; ::: = n kümesine Archimedean Riesz uzay{ ad verilir. 0 ise X Örnek ) R n bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre bir vektör uzay oluşturur. R n üzerindeki k smi s ralama düzlemsel s ralama olarak al n rsa, R n bir Riesz uzay olur. 2) E, bir X kümesi üzerinde tan ml reel de¼gerli fonksiyonlar n kümesi olsun. E üzerindeki toplama ve skalerle çarpma işlemleri noktasal olarak, yani (f 1 + f 2 ) (x) = f 1 (x) + f 2 (x) ve (f) (x) = f(x) şekinde tan mlan rsa E bir vektör uzay olur. Ayr ca, E üzerinde tan mlanan, f 4 g () her x 2 X için f(x) 6 g(x) noktasal k smi s ralamas E kümesini bir Riesz uzay yapar. 5

13 3) C(X), X kümesi üzerinde tan ml reel de¼gerli sürekli fonksiyonlar n oluşturdu¼gu vektör uzay olsun. C(X) üzerindeki k smi s ralama ba¼g nt s, f 4 g () her x 2 X için f(x) 6 g(x) şeklinde tan mlan rsa C(X) bir Riesz uzay olur. Gerçekten de burada, her f; g 2 C(X) için f ve g elemanlar n n supremum ve in mumlar s ras yla f _ g = 1(f + g) + 1 jf gj ve f ^ g = 1(f + g) 1 jf gj şeklinde olup C(X) kümesinin elemanlar d r. Tan m X bir Riesz uzay olmak üzere, X + = fx : 0 4 x 2 Xg altkümesine X kümesinin pozitif k sm, X + kümesinin elemanlar na da X kümesinin pozitif elemanlar denir. X + kümesi aşa¼g daki özelliklere sahiptir. i) Her x; y 2 X + için x + y 2 X + sa¼glan r. ii) Her x 2 X + ve > 0 için x 2 X + sa¼glan r. iii) x 2 X + ve x 2 X + ise x = 0 olur. Ayr ca X Riesz uzay aşa¼g daki di¼ger özelliklere de sahiptir. a) x 3 y, x y 2 X +, y 3 x b) x 3 y, x = (x _ y) ve y = (x ^ y) c) x 3 y, x 3 y ( > 0) ve y 3 x ( < 0) d) x ^ y = f( x) _ ( y)g ve x _ y = f( x) ^ ( y)g e) (x _ y) + z = (x + z) _ (y + z) ve (x ^ y) + z = (x + z) ^ (y + z) f) > 0 ise (x) _ (y) = (x _ y) ve (x) ^ (z) = (x ^ y) 6 0 ise (x) _ (y) = (x ^ y) ve (x) ^ (y) = (x _ y) g) f(x _ y) _ zg = fx _ (y _ z)g ve f(x ^ y) ^ zg = fx ^ (y ^ z)g Tan m X bir Riesz uzay olmak üzere, x 2 X eleman n n pozitif k sm, negatif k sm ve mutlak de¼geri s ras yla, x + = x _ 0 x = ( x) _ 0 jxj = x _ ( x) şeklinde tan mlan r. 6

14 Teorem X bir Riesz uzay olsun. Bu durumda aşa¼g daki ifadeler gerçeklenir. i) x + ; x 2 X + ; ( x) + = x ; ( x) = x + ; j xj = jxj ii) x = x + x ; jxj = x + + x iii) 0 2 x + 2 jxj ve 0 2 x 2 jxj ; x 2 x 2 x + ; jxj = 0, x = 0 iv) x 2 y, x + 2 y + ve y 2 x v) (x + y) + 2 x + + y + ve (x + y) 2 x + y Ispat. i) Tan m den aç k olarak görülmektedir. ii) Tan m yard m yla x + x = (x _ 0) x = (x x) _ ( x) = 0 _ ( x) = x yani x = x + x ve jxj = x _ ( x) = [(2x) _ 0] + ( x) = 2x + x = 2x + (x + x ) = 2x + x + x = x + + x elde edilir. iii) 0 2 x + oldu¼gundan x 2 x + + x = jxj bulunur. Benzer şekilde x + 2 jxj oldu¼gu da gösterilebilir. jxj = 0 olmas x 2 0 ve ( x) 2 0 demek oldu¼gundan x 2 X + ve ( x) 2 X + olur. Bu da, X + kümesinin özellikleri gere¼gince, x = 0 olmas yla mümkündür. iv) x 2 y oldu¼gunda y 2 y + oldu¼gu kullan larak x 2 y + elde edilir. Ayr ca, 0 2 y + her zaman do¼gru oldu¼gundan x + 2 y + elde edilir. Benzer şekilde y 2 x oldu¼gu da gösterilebilir. Önermenin karş t ise ii) den aç k olarak görülmektedir. v) x + y 2 x + + y + ve 0 2 x + + y + oldu¼gundan supremum tan m ndan (x + y) _ 0 2 x + + y + olur. Bu ise, (x + y) + 2 x + + y + eşitsizli¼ginin sa¼glanmas demektir. Bu sonuç kullan larak ikinci eşitsizlik de x + y = ( x) + + ( y) + 3 ( x y) + = ( (x + y)) + = (x + y) şeklinde elde 7

15 edilebilir. Aşa¼g daki teorem, Riesz uzay ndaki iki eleman için uzay n s ralama yap s yla vektörel yap s aras ndaki ilişkileri ve s k kullan lacak iki eşitsizli¼gi ifade etmektedir. Teorem gerçeklenir. X bir Riesz uzay ve x; y 2 X olmak üzere, aşa¼g daki ifadeler i) x _ y = 1(x + y) + 1 jx yj ve x ^ y = 1(x + y) 1 jx yj ii) jx yj = x _ y x ^ y iii) jxj _ jyj = 1 jx + yj + 1 jx yj ve jxj ^ jyj = 1 jx + yj 1 jx yj iv) jjxj jyjj 2 jx + yj 2 jxj + jyj (Üçgen Eşitsizli¼gi) v) jx _ z y _ zj 2 jx yj ve jx ^ z y ^ zj 2 jx yj (Birko Eşitsizlikleri) Ispat. i) Do¼grudan işlemlerle, (x + y) + jx yj = (x + y) + [(x y) _ (y x)] = [(x + y) + (x y)] _ [(y x) + (x + y)] = (2x) _ (2y) = 2(x _ y) olup ilk eşitlik elde edilir. Benzer şekilde ikinci eşitlik de elde edilebilir. ii) jx yj = x _ y x ^ y eşitli¼ginin elde edilmesi için i) deki ifadelerin taraf tarafa ç kar lmas yeterlidir. iii) i) kullan larak, jx + yj + jx yj = (x + y) _ ( x y) + jx yj = [(x + y) + jx yj] _ [( x y) + jx yj] = 2 f[x _ y] _ [( x) _ ( y)]g = 2 f[x _ ( x)] _ [(y) _ ( y)]g = 2 fjxj _ jyjg olup ilk eşitlik elde edilir. Benzer şekilde ikinci eşitlik de elde edilebilir. iv) Eşitsizli¼gin sa¼g taraf Teorem yard m yla, 8

16 jx + yj = (x + y) + + (x + y) 2 (x + + y + ) + (x + y ) = (x + + x ) + (y + + y ) = jxj + jyj şeklinde elde edilir. Eşitsizli¼gin di¼ger taraf için öncelikle, jxj = jx y + yj 2 jx yj + jyj eşitsizli¼ginden yararlanarak jxj jyj 2 jx yj elde edilir. Benzer şekilde jyj jxj 2 jx yj yaz labilece¼ginden, jx yj 3 sup fjxj jyj ; jyj jxjg = jjxj jyjj elde edilir. Burada y yerine y al n rsa, jjxj jyjj 2 jx + yj olup eşitsizli¼gin sol taraf da elde edmiş olur. v) Öncelikle, x _ z y _ z = [(x z) _ 0 + z] [(y z) _ 0 + z] = (x z) + (y z) + = [(x y) + (y z)] + (y z) + 4 [(x y) + + (y z) + ] (y z) + = (x y) + 4 jx yj elde edilebilir. Benzer şekilde y _ z x _ z 4 jx yj oldu¼gu da gösterilebilece¼ginden bu iki sonuçtan istenen eşitsizlik elde edilir. Birko eşitsizliklerinde özel olarak z = 0 al n rsa s kça kullan lan jx + y + j 4 jx yj ve jx y j 4 jx yj eşitsizlikleri elde edilebilir. Tan m X k smi s ral bir vektör uzay ve 6= D X olsun. E¼ger her x; y 2 D için z 2 x ve z 2 y olacak biçimde en az bir z 2 D varsa D kümesine aşa¼g yönlendirilmiş küme denir ve D # şeklinde gösterilir. E¼ger, D # ve x = inf D mevcut ise bu durum D # x şeklinde gösterilir. Benzer şekilde her x; y 2 D için x 2 z ve y 2 z olacak biçimde en az bir z 2 D varsa D kümesine yukar yönlendirilmiş küme denir ve D " şeklinde gösterilir. E¼ger, D " ve x = sup D mevcut ise bu durum D " x şeklinde gösterilir. 9

17 Yukar yönlendirilmiş kümelerden yararlanarak Dedekind taml k için başka bir tan m verilebilir. Buna göre, bir X Riesz uzay n n Dedekind tam olmas için gerek ve yeter koşul X + kümesinden al nan yukar yönlendirilmiş ve üstten s n rl her alt kümenin supremumunun mevcut olmas d r (Zaanen 1997). Tan m Bir X Riesz uzay nda x 4 y olacak biçimdeki herhangi bir x ve y eleman için fz 2 X : x 4 z 4 yg kümesine [x; y] s{ra aral{g{ denir. A X kümesinin en az bir alt ve üst s n r varsa A kümesine s{ra s{n{rl{ kume denir. Buna denk olarak A [x; y] olacak biçimde bir [x; y] s ra aral ¼g bulunabiliyor ise A kümesi s ra s n rl d r. 2.2 Riesz Uzaylar Üzerinde Tan ml Lineer Operatörler Tan m X ve Y birer vektör uzay olmak üzere e¼ger T : X! Y operatörü her x; y 2 X ve her ; 2 R için T (x + y) = T x + T y özelli¼gini sa¼gl yor ise T operatörü lineerdir denir. Buradan itibaren göz önüne al nan bütün operatörlerin lineer oldu¼gu kabul edilecektir. Tan m X ve Y k smi s ral birer vektör uzay olmak üzere, x 2 X + olmas T x 2 Y + olmas n gerektiriyorsa T : X! Y operatörüne pozitif operator denir ve T < 0 ile gösterilir. Pozitif iki operatörün fark olarak yaz labilen operatörlere ise reguler operator ad verilir. Ayr ca, s ra s n rl kümeleri, s ra s n rl kümelere dönüştüren operatörlere de s{ra s{n{rl{ operator denir. X ve Y Riesz uzaylar aras nda tan ml bütün operatörlerin oluşturdu¼gu L(X; Y ) 10

18 kümesi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemleri al ş lm ş şekilde tan mlan r ve T < S () T S < 0 s ralamas göz önüne al n rsa L(X; Y ) bir s ral vektör uzay olur. L(X; Y ) uzay ndaki tüm s ra s n rl operatörlerin oluşturdu¼gu uzay L b (X; Y ) ile, tüm regüler operatörlerin oluşturdu¼gu uzay ise L r (X; Y ) ile gösterece¼giz. L(X; Y ) üzerindeki s ralama ba¼g nt s L b (X; Y ) ve L r (X; Y ) uzaylar nda da korunursa bu uzaylar da s ral vektör uzay olur. E¼ger T operatörü regüler ise yukar daki tan m gere¼gince T = T 1 T 2 olacak biçimde T 1 < 0; T 2 < 0 operatörleri vard r ve dolay s yla T 1 < T gerçeklenir. Karş t olarak, e¼ger T 4 S olacak şekilde en az bir S < 0 operatörü varsa T = S (S T ) yaz labilece¼ginden T operatörü regülerdir. O halde bir operatörün regülerli¼gi için, T regülerdir () T 4 S olacak şekilde en az bir S < 0 operatörü vard r önermesi elde edilir. Bu önermeden görüldü¼gü gibi T 2 L r (X; Y ) ise herhangi bir [x; y] s ra aral ¼g için T ([x; y]) [T x; Sy] sa¼gland ¼g ndan T 2 L b (X; Y ) gerçeklenir. Dolay s yla, L r (X; Y ) L b (X; Y ) L (X; Y ) elde edilir. Di¼ger yandan L r (X; Y ), L b (X; Y ) kümesinin kesin bir altkümesi olabilir (bkz. örnek 1.11, Aliprantis and Burkinshaw 1985, sf.10). Aşa¼g daki teorem bir T : X + 7! Y + operatörünün, L(X; Y ) uzay ndaki bir eleman n hangi durumda bir k s tlamas olaca¼g n göstermektedir. 11

19 Teorem (Kantoroviµc) X, Y iki Riesz uzay ve Y Archimedean olsun. E¼ger T : X + 7! Y + toplamsal (yani her x; y 2 X + için T (x + y) = T x + T y ) ise her x 2 X + için Sx = T x olacak biçimde bir tek pozitif S 2 L(X; Y ) vard r ve her x 2 X için Sx = Sx + Sx sa¼glan r (Aliprantis and Burkinshaw 2003). Ispat. T : X + 7! Y + toplamsal olmak üzere Sx = T (x + ) T (x ) operatörünü göz önüne alal m. Her x 2 X + için Sx = T x sa¼gland ¼g ndan, S operatörü T operatörünün pozitif bir genişlemesidir. Ayr ca, her x 2 X + için x = x + x oldu¼gundan S mümkün olan tek genişlemedir. Ispat tamamlamak için S operatörünün lineer oldu¼gunu göstermek yeterlidir. Bunun için öncelikle S nin toplamsal oldu¼gu gösterilecektir. E¼ger x 2 X, iki pozitif eleman n fark şeklinde yaz labiliyorsa, yani v 1 ; v 2 2 X + olmak üzere x = v 1 v 2 yaz labiliyorsa Sx = T v 1 T v 2 gerçeklenir. Bunu görmek için x 2 X alal m ve v 1 ; v 2 2 X + olmak üzere x = x + x = v 1 v 2 oldu¼gunu varsayal m. Bu durumda x + + v 2 = v 1 + x olur ve T operatörünün toplamsall ¼g ndan, T x + + T v 2 = T (x + + v 2 ) = T (v 1 + x ) = T v 1 + T x ; yani Sx = T x + T x = T v 1 T v 2 elde edilir. Bu özellik kullan larak her x; y 2 X için, S(x + y) = S [(x + + y + ) (x + y )] = T (x + + y + ) T (x + y ) = T x + + T y + T x T y = [T x + T x ] + [T y + T y ] = Sx + Sy olup, S toplamsald r. S operatörünün toplamsall ¼g ndan dolay, her x 2 X ve r rasyonel say s için S(rx) = rs(x) sa¼glan r. Şimdi de S operatörünün homojen oldu¼gunu gösterelim. nin monotonlu¼guna ihtiyac m z olacak. E¼ger x < y ise x Bunun için öncelikle S y 2 X + olaca¼g ndan S operatörünün toplamsall ¼g ndan, 12

20 Sx = S((x y) + y) = S(x y) + Sy = T (x y) + T y < Sy olup S nin monotonlu¼gu gösterilmiş olur. Herhangi bir x 2 X alal m ve 2 R olsun. Bu durumda r n " ve t n # olacak biçimde iki (r n ) ve (t n ) rasyonel dizisi vard r. Her n 2 N için r n x 4 x 4 t n x oldu¼gundan ve S operatörünün monotonlu¼gundan, r n Sx = S(r n x) 4 S(x) 4 S(t n x) = t n Sx elde edilir. Y nin Archimedean li¼gi kullan larak S(x) = S(x) elde edilir. Son olarak, x 2 X ve 2 R olmak üzere, S(x) = S(x + + ( )x ) = S(x + ) + S(( )x ) = S(x + ) S(x ) = [T (x + ) T (x )] = Sx sa¼glan r. Bu ise S operatörünün homojenli¼gini gösterdi¼ginden ispat tamamlan r. Tan m X, Y iki Riesz uzay ve T 2 L(X; Y ) olmak üzere, e¼ger jt j = T _( T ) mevcut ise bu operatöre T operatorunun modulu denir. E¼ger bir T : X 7! Y operatörünün modülü varsa, her x 2 X için jt xj 4 jt j (jxj) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Gerçekten de, T x 4 jt j x ve jt j x 4 jt j (jxj) olmas ndan yararlanarak istenen sonuç elde edilebilir. Tan m gere¼gince her operatörün modülünün var olmas n n gerekmedi¼gine dikkat edilmelidir. Aşa¼g daki teorem bir operatörün modülünün varl ¼g n garantileyen önemli bir durumu vermektedir. Teorem X ve Y iki Riesz uzay ve T 2 L(X; Y ) olsun. Bu durumda, her x 2 X + için sup fjt yj : jyj 4 xg mevcutsa jt j modülü vard r ve her x 2 X + için jt j x = sup fjt yj : jyj 4 xg sa¼glan r (Aliprantis and Burkinshaw 1985). Ispat. x 2 X + olmak üzere Sx = sup fjt yj : jyj 4 xg şeklinde bir S : X + 7! Y + operatörü tan mlayal m. Her x 2 X + için jyj 4 x olmas jyj 4 x olmas n gerek- 13

21 tirece¼ginden Sx = sup ft y : jyj 4 xg yaz labilir. Öncelikle S operatörünün toplamsal oldu¼gunu gösterelim. Bunun için u; v 2 X + alal m. E¼ger, jyj 4 u ve jzj 4 v ise jy + zj 4 jyj + jzj 4 u + v yaz labilir. Ayr ca, T y + T z = T (y + z) 4 S(u + v) oldu¼gundan Su + Sv 4 S(u + v) elde edilir. Di¼ger taraftan, jyj 4 u + v ise jy 1 j 4 u, jy 2 j 4 v ve y = y 1 + y 2 olacak biçimde y 1 ; y 2 2 X elemanlar n n varl ¼g söylenebilir. Bu kullan larak, T y = T y 1 + T y 2 4 Su + Sv yaz labilir. Bu ise jyj 4 u + v olarak al nd ¼g ndan S(u + v) 4 Su + Sv oldu¼gunu gösterir. Böylece S operatörünün toplamsall ¼g sa¼gland ¼g ndan Teorem gere¼gince S operatörünün bir pozitif genişlemesi vard r. Şimdi de S nin ft; T g kümesinin supremumu oldu¼gunu gösterelim. L (X; Y ) uzay nda T 4 S ve T 4 S oldu¼gundan S; ft; T g kümesinin bir üst s n r d r. T 4 R olacak biçimde R 2 L (X; Y ) oldu¼gunu varsayal m. R operatörünün pozitif oldu¼gu aç kt r. x 2 X + olmak üzere jyj 4 x ise T y = T y + T y 4 Ry + Ry = R(y + y ) = R jyj 4 Rx olur. Yani sabit bir x 2 X + ve jyj 4 x koşulunu sa¼glayan her y 2 X için T y 4 Rx elde edilir. jyj 4 x koşulunu sa¼glayan her y 2 X elemanlar üzerinden supremum al n rsa Sx 4 Rx elde edilir. Bu her x 2 X + için do¼gru oldu¼gundan S 4 R elde edilir ve ispat tamamlan r. Yukar daki teorem kullan larak, Y nin Dedekind tam olmas durumunda L b (X; Y ) uzay n n bir Dedekind tam Riesz uzay oldu¼gunu gösteren aşa¼g daki teorem verilebilir. Teorem (Riesz-Kantoroviµc) X ve Y iki Riesz uzay ve Y Dedekind tam olsun. Bu durumda L b (X; Y ) ; bir Dedekind tam Riesz uzay d r. Ayr ca, her S; T 2 L b (X; Y ) ve her x 2 X + için, (S _ T ) (x) = sup fs (y) + T (z) : y; z 2 X + ve y + z = xg (S ^ T ) (x) = inf fs (y) + T (z) : y; z 2 X + ve y + z = xg eşitlikleri gerçeklenir. (Aliprantis and Burkinshaw 1985). 14

22 Ispat. T 2 L b (X; Y ) olsun. T s ra s n rl ve Y Dedekind tam oldu¼gundan her x 2 X + için sup fjt yj : jyj 4 xg = sup ft y : jyj 4 xg = sup ft [ x; x]g 2 Y dir. Buradan, Teorem gere¼gince T operatörünün modülünün mevcut oldu¼gu ve jt j (x) = sup ft y : jyj 4 xg eşitli¼ginin sa¼gland ¼g söylenebilir. Ayr ca, herhangi iki T; S 2 L b (X; Y ) için Teorem kullan larak T _ S ve T ^ S nin varl ¼g n, dolay s yla L b (X; Y ) nin Riesz uzay oldu¼gu da elde edilebilir. S; T 2 L b (X; Y ) ve x 2 X + olsun. y; z 2 X + olmak üzere y + z = x olmas için gerek ve yeter koşulun y = 1=2 (x + u) ve z = 1=2 (x olmas ndan ve Teorem den yararlanarak, (S _ T ) (x) = 1 (Sx + T x + js T j x) 2 = 1 2 = 1 2 (Sx + T x + sup f(s T ) u : juj 4 xg) sup fsx + Su + T x T u : juj 4 xg = sup S 1 2 (x + u) + T 1 2 (x u) : juj 4 x = sup fs (y) + T z : y; z 2 X + ve y + z = xg bulunur. (S ^ T ) (x) için de ispat benzer şekilde yap labilir. u) olacak biçimde juj 4 x Şimdi L b (X; Y ) uzay n n Dedekind tam oldu¼gunu gösterelim. Bunun için L b (X; Y ) uzay nda 0 4 T "4 T olacak biçimde bir ft g a¼g alal m. Her x 2 X + için Sx = sup ft (x)g şeklinde tan mland ¼g nda T (x) " S (x) olur. T (x + y) = T (x) + T (y) oldu¼gundan limit alarak S : X +! Y + operatörünün toplamsal oldu¼gunu ve Teorem gere¼gince S operatörünün X uzay ndan Y uzay na pozitif bir operatör tan mlad ¼g n söyleyebiliriz. Böylece T (x) " S 2 L b (X; Y ) elde edilip X uzay n n Dedekind taml ¼g gösterilmiş olur. Yukar daki teoremden şu sonuç elde edilir. 15

23 Sonuç X; Y Riesz uzaylar, Y Dedekind tam ve T 2 L b (X; Y ) oldu¼gunda, her x 2 X + için, jt j (x) = sup fjt yj : jyj 4 xg T + (x) = sup ft y : 0 4 y 4 xg T (x) = sup f T y : 0 4 y 4 xg gerçeklenir. Sonuç gere¼gince Y Dedekind tam ve T 2 L b (X; Y ) ise T + ve T operatörleri mevcuttur. Ayr ca T = T + T oldu¼gundan L b (X; Y ) uzay ndaki her operatör, iki pozitif operatörün fark olarak yaz labilmekte ve dolay s yla L b (X; Y ) L r (X; Y ) gerçeklenmektedir. Di¼ger taraftan her zaman L r (X; Y ) L b (X; Y ) var oldu¼gundan, eşitli¼gi elde edilir. L r (X; Y ) = L b (X; Y ) Bu k sm n son bölümünde gerekli haz rl klar yap ld ktan sonra çal şmalar m zda önemli bir role sahip olacak olan Riesz izomor zmi ve Dedekind tamlan ş kavramlar tan t lacakt r. Tan m X bir Riesz uzay ve? 6= G X olsun. E¼ger, her bir x 2 X + için x 4 y olacak biçimde en az bir y 2 G varsa G kümesi X kümesini majorluyor denir. Tan m X bir Riesz uzay ve? 6= G bir Riesz alt uzay olsun. E¼ger, her bir 0 x 2 X için 0 y 4 x olacak biçimde en az bir y 2 G varsa, G, X içinde s{ra yogundur denir. 16

24 Tan m X, Y iki Riesz uzay olmak üzere T (x _ y) = T (x) _ T (y) eşitli¼gi her x; y 2 X için sa¼glayan yorsa T : X! Y operatörüne bir Riesz Homomorfizmi denir. T Riesz Homomor zmi ayn zamanda bire bir ise T operatörü Riesz izomorf izmi ad n al r. Ayr ca, X uzay ndan Y uzay na örten bir Riesz izomor zmi varsa X ve Y Riesz izomorf iktir denir. Her Riesz homomor zminin bir pozitif operatör oldu¼gu aç kt r. Gerçekten de her x 2 X + için, T (x) = T (x _ 0) = T (x) _ T (0) = [T (x)] + < 0 sa¼glan r. Aşa¼g daki teorem, Riesz homomor zminin kullan şl bir karakterizasyonunu vermektedir. Teorem Iki Riesz uzay aras nda tan ml pozitif bir operatör için aşa¼g dakiler denktir. a) T : X! Y bir Riesz homomor zmidir. b) Her x 2 X için T (x + ) = [T (x)] + c) Her x; y 2 X için T (x ^ y) = T x ^ T y d) Her x 2 X için jt xj = T jxj e) x ^ y = 0 ise T x ^ T y = 0 Ispat. a) ) b) T (x + ) = T (x _ 0) = T (x) _ T (0) = T (x) _ 0 = [T (x)] + b) ) c) x ^ y = y (y x) + eşitli¼gi kullan larak, 17

25 T (x ^ y) = T (y) T (y x) + = T (y) T [(y x)] + elde edilir. = T (y) T [(y) T (x)] + = T (x) ^ T (y) c) ) d) jx yj = x + y 2(x ^ y) eşitli¼gi kullan larak, T (jx yj) = T (x) + T (y) 2T (x ^ y) = T (x) + T (y) 2 [T (x) ^ T (y)] = jt (x) T (y)j elde edilir. Özel olarak y = 0 al n rsa jt (x)j = T jxj elde edilir. d) ) e) x ^ y = 0 olsun. x ^ y = 1 ((x + y) 2 jx yj) eşitli¼gi kullan larak, T (x) ^ T (y) = 1 [T (x) + T (y) 2 jt (x) T (y)j] = 1 2 [T (x) + T (y) T jx yj] elde edilir. = T 1 2 (x + y jx yj) = T (x ^ y) = T (0) = 0 e) ) a) (x x ^ y) ^ (y x ^ y) = 0 oldu¼gundan T (x ^ y) = T (x) ^ T (y) bulunur. Ayr ca x _ y = x + y x ^ y eşitli¼gi kullan larak T (x _ y) = T (x) + T (y) T (x ^ y) = T (x) + T (y) [T (x) ^ T (y)] = T (x) _ T (y) elde edilir. Tan m X ve Y iki Riesz uzay ve Y Dedekind tam olsun. E¼ger X kümesi ile Y kümesinin s ra yo¼gun ve majörleyen bir altuzay Riesz izomor k ise Y uzay na, X uzay n n Dedekind tamlan ş ad verilir. Aşa¼g daki teorem her Archimedean Riesz uzay n n bir Dedekind tamlan ş n n mev- 18

26 cut oldu¼gunu ifade etmektedir. Teorem Her X Arcihemedean Riesz uzay için aşa¼g daki özellikleri sa¼glayan bir X b Dedekind tam Riesz uzay vard r. a) X; X b kümesinin en az bir Y alt kümesi ile Riesz izomor ktir. b) X uzay ndan Y uzay na tan ml izomor zm in mum ve supremumu korur. c) Her bx 2 X b eleman için, bx = sup y = inf z olacak biçimde Y uzay nda fy g 2A ve fz g 2 a¼glar vard r (Vulik 1967). Teorem teki b X uzay n n, X uzay n n Dedekind tamlan ş oldu¼gu aç kt r. Tan m X, Y iki Riesz uzay ve T 2 L(X; Y ) olsun. E¼ger, x? y olacak biçimdeki her x; y 2 X için T x? T y oluyorsa T operatörü dikligi koruyor denir. Dikli¼gi koruyan operatörler aşa¼g daki teoremin gösterdi¼gi gibi önemli baz özelliklere sahiptir. Teorem X, Y iki Archimedean Riesz uzay olmak üzere T 2 L b (X; Y ) operatörü dikli¼gi koruyorsa, i) Her x; y 2 X + için (T x) + ^ (T y) = 0; ii) jt j mevcuttur ve her x 2 X için, jt j (jxj) = jt (jxj)j = jt (x)j özellikleri sa¼glan r (Aliprantis and Burkinshaw 1985). Son olarak, her Riesz homomor zmi dikli¼gi korur. Gerçekten de x? y ise, Teorem gere¼gince, jt xj ^ jt yj = T (jxj) ^ T (jyj) = T (jxj ^ jyj) = T 0 = 0 19

27 elde edilir. 2.3 Banach Örgüleri Bu k s m Banach örgülerinin tan mlanmas na ve uzay n Banach örgüsü olmas n n sa¼glad ¼g temel özelliklerin incelenmesine ayr lm şt r. Tan m kk, X Riesz uzay üzerinde tan ml bir norm olsun. E¼ger jxj 4 jyj olmas kxk 6 kykolmas n gerektiriyorsa kk normuna orgu normu denir. Örgü normlu Riesz uzay na ise normlu Riesz uzay{ denir. Ayr ca, normlu Riesz uzay, norma göre tamsa bu uzaya Banach orgusu denir. Normlu bir Riesz uzay nda kxk = kjxjk oldu¼gu aç kt r. Gerçekten de jxj 4 j: jxj :j ve j jxj j 4 jxj yaz labilece¼ginden ve norm s ralamay korudu¼gundan kxk = kjxjk elde edilebilir. Ayr ca, Teorem gere¼gince jx + y + j 4 jx yj ve j jxj jyj j 4 jx yj yaz labilece¼ginden jjx + y + jj 6 jjx yjj ve jjjxj jyjjj 4 jjx yjj eşitsizlikleri elde edilir. Aşa¼g daki önemli teorem Banach örgüleri üzerinde tan ml pozitif operatörlerin sürekli oldu¼gunu göstermektedir. Teorem X Banach örgüsü ve Y normlu Riesz uzay ise pozitif her T 2 L(X; Y ) operatörü süreklidir (Aliprantis and Burkinshaw 1985). Ispat. X ve Y normlu uzaylar oldu¼gundan T operatörünün süreklili¼giyle s n rl l ¼g çak ş r. Varsayal m ki T s n rl olmas n. Bu durumda her n 2 N için kx n k = 1 ve kt x n k > n 3 olacak biçimde X uzay nda bir (x n ) dizisi vard r. T pozitif oldu¼gundan T jx n j < jt x n j olup, normun monotonlu¼gundan kt jx n jk < k jt x n j k = kt x n k > n 3 20

28 yaz labilir, ayr ca kxk = kjx n jk oldu¼gu göz önüne bulundurulursa, y n = jx n j al narak X uzay nda her n 2 N için ky n k = 1; y n < 0 ve kt y n k > n 3 olacak biçimde bir (y n ) dizisinin bulunabilece¼gi söylenebilir. 1P n=1 ky nk n 2 < 1 ve X Banach uzay oldu¼gundan 1 P y n n 2 n=1 serisi norma göre yak nsakt r. y = 1 P olsun. Her n 2 N için 0 4 yn n 2 y n n 2 n=1 4 y oldu¼gu aç kt r. Buradan her n için n 6 T ( yn ) 6 kt yk < 1 eşitsizli¼gi elde edilir ki bu mümkün olmad ¼g ndan T n 2 s n rl, yani süreklidir. X Banach uzay ndan Y Banach uzay na tan ml tüm sürekli (s n rl ) operatörlerin vektör uzay n L(X; Y ) ile gösterelim. L(X; Y ) uzay, kt k = sup fkt xk : kxk 6 1g normu ile bir Banach uzay d r. Teorem uyar nca iki Banach örgüsü aras nda tan ml her pozitif operatör sürekli ve her regüler operatör iki pozitif operatörün fark olarak yaz labilece¼ginden L r (X; Y ) L(X; Y ) gerçeklenir. Şimdi ise bir sonraki bölümde kullanaca¼g m z reguler normun tan m n ve buna ilişkin bir kaç özelli¼gi verelim. Tan m X ve Y iki Banach örgüsü, Y Dedekind tam ve T 2 L r (X; Y ) olsun. Bu durumda, kt k r = kjt jk = sup fkjt j xk : kxk 6 1g reel say s na T operatörünün reguler normu (k saca r normu) denir. T operatörünün r normu, kt k r = inf fksk : T 4 Sg şeklinde de verilebilir Lemma Regüler norm, L r (X; Y ) üzerinde bir örgü normudur ve her T 2 L r (X; Y ) için kt k 6 kt k r gerçeklenir. 21

29 Ispat. r normunun tan m gere¼gince T pozitif ise kt k r = kjt jk = kt k oldu¼gu aç kt r. T; S 2 L r (X; Y ) operatörleri 0 4 S 4 T olacak biçimde al n rsa, kxk = kjxjk 6 1 şart n sa¼glayan her x 2 X için jsxj 4 S jxj 4 T jxj gerçeklenir ve 0 4 Sx oldu¼gundan, ksxk = kjsxjk 6 ks jxjk 6 kt jxjk 6 kt k kjxjk 6 kt k elde edilir. Buradan ise, ksk = sup fksxk : kxk 6 1g 6 kt k oldu¼gu görülür. Şimdi de herhangi iki T; S 2 L r (X; Y ) için jsj 4 jt j koşulu sa¼glans n. jsj ve jt j pozitif operatörler oldu¼gundan yukar da elde edilen sonuçlar kullan larak, ksk r = kjsjk 6 kjt jk = kt k r oldu¼gu görülür. Bu da r normunun bir örgü normu oldu¼gunu gösterir. Ayr ca, her T 2 L r (X; Y ) için, kt k = sup fkt xk : kxk 6 1g = sup fkjt xjk : kxk 6 1g 6 sup fkjt j (jxj)k : kxk 6 1g = sup fkjt j yk : kyk 6 1g = kt k r oldu¼gundan kt k 6 kt k r gerçeklenir. Teorem X ve Y iki Banach örgüsü ve Y Dedekind tam ise L b (X; Y ) uzay r nomuna göre Dedekind tam Banach örgüsüdür (Aliprantis and Burkinshaw 1985). Ispat. Teorem gere¼gince L b (X; Y ) uzay Dedekind tamd r. Ispat için bu uzay n r nomuna göre tam oldu¼gunu göstermek yeterlidir. 22

30 ft n g, L b (X; Y ) uzay nda r normuna göre bir Cauchy dizisi olsun. Bu durumda, köşegenleştirme yöntemini kullanarak her n için, kt n+1 T n k r = kjt n+1 T n jk < 2 n olacak biçimde bir alt dizi elde edebiliriz. Lemma gere¼gince kt n+1 T n k 6 kt n+1 T n k r oldu¼gundan ft n g dizisi L(X; Y ) uzay nda da bir Cauchy dizisidir. Bu durumda T n! T (lim kt n+1 T n k = 0) olacak biçimde bir T 2 L(X; Y ) vard r. Şimdi x 2 X + alal m. Bu durumda, jyj 4 x P koşulunu sa¼glayan her y 2 X için (T T n )y = 1 P (T i+1 T i )y 4 1 T i j x i=n jt i+1 i=n yazabiliriz. Dolay s yla, T T n operatörünün jt T n j modülü vard r ve her x 2 X + için, jt T n j x = sup f(t P T n )y : jyj 4 xg 4 1 eşitsizli¼gi sa¼glan r. jt i+1 i=n T i j x T = (T T 1 )+T 1 yaz labilece¼ginden T operatörünün regüler oldu¼gunu söyleyebiliriz, P yani T 2 L b (X; Y ) dir. Di¼ger taraftan, elde etti¼gimiz jt T n j x 4 1 T i j x jt i+1 i=n eşitsizli¼ginden yararlanarak, P kt T n k r 6 1 kt i+1 T i k r n yaz labilece¼ginden lim kt n+1 T n k r = 0 olur. i=n Yani, L b (X; Y ) uzay r normuna göre bir Banach örgüsüdür. 23

31 3. OPERATÖR D IZ ILER IN IN L IM ITLER I 3.1 Kuvvetli ve Zay f Yak nsakl k Tan m Bir X Riesz uzay ndaki (x ) 2A a¼g için, i) y " x ve z # x ii) her 2 A için y 4 x 4 z özelliklerini sa¼glayacak biçimde (y ) 2A ve (z ) 2A a¼glar varsa (x ) 2A a¼g x 2 X eleman na kuvvetli s{ra yak{nsakt r denir ve bu durum x k:s:y! x ile gösterilir. A¼glar için verdi¼gimiz kuvvetli s ra yak nsakl k kavram ndan sonra zay f s ra yak nsakl k kavram n verelim. Tan m X Riesz uzay ndaki bir (x ) 2A a¼g için, x = inf fy 2 X : her < 0 için x 4 y olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg = sup fz 2 X : her < 0 için z 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg oluyorsa (x ) 2A a¼g x 2 X eleman na zay{f s{ra yak{nsakt r denir ve bu durum x! x şeklinde gösterilir. Aşa¼g da gösterildi¼gi gibi kuvvetli s ra yak nsakl ¼g n zay f s ra yak nsakl ¼g gerektirdi¼gi aç kt r. Dedekind tam olmayan Riesz uzaylar nda ise yukar da tan mlad ¼g m z iki yak nsakl k kavram birbirinden farkl olabilir. Lemma X Riesz uzay ndaki bir (x ) 2A a¼g için, x gerçeklenir. k:s:y! x ise x! x Ispat. x k:s:y! x gerçeklensin ve herhangi bir 0 2 A indisi ele al ns n. Ayr ca gösterim kolayl ¼g aç s ndan Tan m de in mumu al nan kümeye Y, supremumu al nan kümeye Z denilsin. Bu durumda, x = inf Y = sup Z oldu¼gu gösterilmelidir. 24

32 (z ) 2A Tan m deki koşullar sa¼glayan a¼g olmak üzere z 0 2 Y oldu¼gu gösterilebilir. Gerçekten de x 0 4 z 0 ve z # oldu¼gundan her < 0 için x 4 z 4 z 0 sa¼glan r ve istenen gösterilmiş olur. Bu ise (z ) 2A Y oldu¼gunu gösterdi¼ginden x = inf fz : 2 Ag < inf Y elde edilir. Benzer şekilde (y ) 2A Z ve x = sup fy : 2 Ag 4 sup Z yaz labilece¼ginden x < inf Y < sup Z < x oldu¼gu göz önüne al narak x = inf Y = sup Z eşitli¼gi elde edilir. Aşa¼g daki örnek Lemma ün tersinin do¼gru olmad ¼g n göstermektedir. Örnek I say lamayan bir küme ve X kümesi de, >; R deki do¼gal s ralama olmak üzere fi 2 I : jf(i) j > "g kümesi her " > 0 için sonlu olacak biçimde bir 2 R vard r özelli¼gini sa¼glayan reel de¼gerli fonksiyonlar n oluşturdu¼gu bir uzay olsun. I kümesinin elemanlar ndan oluşan ve her bir terimi farkl olan bir fi n g n2n dizisini göz önüne al p fi n g tek nokta kümesinin karakteristik fonksiyonunu " n ile gösterelim. Bu durumda " n! 0 oldu¼gu aç kt r. Varsayal m ki " n k:s:y! 0 olsun. Bu durumda, y n # 0, z n " 0 ve her n 2 N için z n 4 " n 4 y n olacak biçimde (y n ) ve (z n ) dizileri mevcut olurdu. (y n ) azalan bir dizi oldu¼gundan her m > n için y n < y m < " m yaz labilir. Bu ise sonsuz çokluktaki i 2 N eleman için y n (i) > 1 olmas n gerektirir. Gerçekten de y m < " m oldu¼gundan en az ndan i m 2 N için y m (i m ) > 1 olmal d r. Ayr ca, y n < y m oldu¼gundan y n (i m ) > 1 yaz labilir. Benzer şekilde y m+1 < " m+1 oldu¼gundan en az ndan i m+1 2 N için y m+1 (i m+1 ) > 1 ve y n (i m+1 ) > 1 olmal d r. Yani en az ndan her m > n için y n (i m ) > 1 olmal d r ki bu da sonsuz çokluktaki i 2 N eleman için y n (i) > 1 oldu¼gunu gösterir. Buradan ise her " > 0 için fi 2 I : y n (i) 6 1 g kümesinin sonlu elemanl oldu¼gu ç kar. Dolay s yla, C = fi 2 I : en az bir n 2 N için y n (i) 6 1 "g kümesi say labilir oldu¼gundan bu kümenin tümleyeni say lamaz ve boş kümeden farkl d r. i0 herhangi bir i 0 =2 C noktas n n karakteristik fonksiyonu olsun. Bu durumda (1 ") i0 fonksiyonu (y n ) dizisinin bir alt s n r d r. Bunun için her i 2 I 25

33 eleman n n (1 ") i0 (i) 4 y n (i) eşitsizli¼gini sa¼glad ¼g n göstermeliyiz. E¼ger i 6= i 0 ise i0 (i) = 0 oldu¼gundan ifade sa¼glan r. i = i 0 ise i 0 =2 C oldu¼gundan her n 2 N için y n (i 0 ) > 1 " olmal d r. Bu ise (1 ") i0 (i 0 ) = (1 ") 4 y n (i 0 ) eşitsizli¼ginin her n 2 N için sa¼gland ¼g n gösterir. " 2 (0; 1) al rsak inf y n 6= 0 elde ederiz ki bu y # 0 oldu¼gu kabulümüzle çelişir. Aşa¼g daki teorem zay f s ra yak nsakl k kavram n oldukça kullan şl bir şekilde ifade etmektedir. Teorem Bir X Riesz uzay ndaki (x ) 2A a¼g için aşa¼g daki ifadeler denktir. i) x! x ii) X Riesz uzay nda a) y " xvez # x b) Her 2 B ve 2 eleman na karş l k her 0 için y 4 x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard r. özelliklerini sa¼glayacak biçimde (y ) 2B ve (z ) 2 a¼glar vard r (Wickstead and Kitover 2005). Ispat. i) gerçeklensin ve D = fy 2 X : her < 0 için x 4 y olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg diyelim. x! x oldu¼gundan D kümesi aşa¼g do¼gru yönlendirilmiştir. Gerçekten de y 1 ; y 2 2 D ise her < 1 için x 4 y 1 ve her < 2 için x 4 y 2 olacak biçimde 1 ; 2 2 A vard r. Di¼ger yandan, A yukar yönlendirilmiş bir küme oldu¼gundan ve olacak biçimde bir 3 2 A eleman vard r. O halde her < 3 için x 4 y 1 ve x 4 y 2 oldu¼gundan x 4 y 1 ^ y 2 sa¼glan r ve X Riesz uzay oldu¼gundan y 3 = y 1 ^ y 2 2 X (y 3 2 D) eleman mevcuttur. Bu ise D # oldu¼gunu gösterir. Ayr ca, zay f yak nsakl ¼g n tan m ndan D # x bulunur. Benzer şekilde E = fz 2 X : her < 0 için z 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg kümesi için E " x oldu¼gu gösterilebilece¼ginden D = (z ) 2 istenen elde edilmiş olur. ve E = (y ) 2B al n rsa 26

34 Karş t olarak varsayal m ki ii) deki özellikleri sa¼glayacak şekilde (y ) 2B ve (z ) 2 a¼glar mevcut olsun. Bu durumda b) den yararlanarak, her 2 B için y 2 fy 2 X : her < 0 için y 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg yazabiliriz. Bu ise, (y ) 2B fy 2 X : her < 0 için y 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg demektir. Bu kapsamadan yararlanarak, x = supy 4 2B sup fy 2 X : her < 0 için y 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg yazabiliriz. Benzer şekilde, her 2 için z 2 fz 2 X : her < 0 için x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg yazabiliriz. Bu ise, (z ) 2 fz 2 X : her < 0 için x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg demektir. Yine kapsamadan yararlanarak, x = inf z < 2 inf fz 2 X : her < 0 için x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg yazabiliriz. Elde etti¼gimiz bu iki eşitsizlikten, x 4 sup fy 2 X : her < 0 için y 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg 4 inf fz 2 X : her < 0 için x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg 4 x elde ederiz. Bu ise, x = sup fy 2 X : her < 0 için y 4 x olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg = inf fz 2 X : her < 0 için x 4 z olacak biçimde en az bir 0 2 A vard rg oldu¼gunu gösterir. O halde x! x gerçeklenir. Tan m ve Tan m deki uzaylar Riesz uzay olarak al nmas na ra¼gmen, kuvvetli ve zay f s ra yak nsakl k kavramlar herhangi bir k smi s ral küme için de ayn şekilde tan mlanabilir. Aşa¼g daki Lemma herhangi k smi s ral bir kümede zay f s ra yak nsakl ¼ga ilişkin 27

35 yararl özellikleri içermektedir. Lemma X k smi s ral kümesindeki herhangi bir (x ) 2A a¼g için aşa¼g daki özellikler gerçeklenir. i) K smi s ral bir kümedeki bir a¼g n en fazla bir tane zay f s ra limiti vard r. ii) x " x (ya da x # x) olmas x! x olmas n gerektirir. iii) x " (ya da x #) ve x! x olmas x " x (ya da x # x) olmas n gerektirir (Abromovich and Aliprantis 2002). Ispat. i) (x ) 2A için k smi s ral bir X kümesinde x! x ve x! t gerçeklensin. x! x oldu¼gundan zay f s ra yak nsakl ¼g n tan m ndan y " x, z # x olacak biçimde (y ) 2B ve (z ) 2 2 a¼glar vard r. Ayr ca bu a¼glar için her 2 B ve her elemanlar na karş l k < (; ) koşulunu sa¼glayan her 2 A indisi için t 4 x 4 z olacak biçimde (; ) 2 A bulunabilir. Di¼ger taraftan, x! y oldu¼gundan benzer şekilde (u ) 2 ve (v ) 2 a¼glar n n ve (; ) 2 A indisinin varl ¼g elde edilir. Şimdi 2 B; 2 ; 2 ve 2 indisleri sabitlensin ve 2 A indisi < (; ) ve < (; ) olacak biçimde seçilsin. Bu durumda, t 4 x 4 v ve u 4 x 4 z sa¼glan r. Bu ise 2 B; 2 ; 2 ve 2 indisi için t 4 v ve u 4 z eşitsizliklerinin sa¼gland ¼g n gösterir. Bu ikisinden x 4 y ve y 4 x elde edilir ki bu da x = y oldu¼gunu gösterir. ii) x " x olsun. Bu durumda her 2 A için y = x ve z = x olarak al n rsa y " x, z # x ve y 4 x 4 z sa¼glanaca¼g ndan x! x olur. iii) K smi s ral bir kümedeki herhangi bir (x ) 2A a¼g için x " ve x! x oldu¼gunu varsayal m. x! x oldu¼gundan, y " x, z # x olacak biçimde iki (y ) 2B ve (z ) 2 a¼g vard r. Ayr ca bu a¼glar için, her 2 B ve 2 elemanlar na 28

36 karş l k < (; ) koşulunu sa¼glayan her 2 A indisi için y 4 x 4 z koşulunu sa¼glayan bir (; ) 2 A vard r. Herhangi bir 2 A için 0 < ve 0 < (; ) olacak biçimde 0 2 A bulabiliriz. Bu ise 2 A ve her 2 için x 4 x 0 4 z ; yani x 4 z oldu¼gunu gösterir.ayr ca, z # x oldu¼gundan 2 A için x 4 x sa¼glan r ve bu x eleman n n (x ) 2A a¼g n n bir üst s n r oldu¼gunu gösterir. t bu a¼g n bir başka üst s n r olsun. Bu durumda, 2 A için x 4 t ve buradan yukardakine benzer olarak her 2 B için y 4 x 0 4 t; yani y 4 t elde edilir. y " x oldu¼gu gözönüne al n rsa x 4 t bulunur ki bu da x " x oldu¼gunu gösterir. Aşa¼g daki Lemma Riesz uzaylar ndaki zay f s ra yak nsakl k kavram na ilişkin üç önemli özelli¼gi vermektedir. Lemma X Riesz uzay ndaki herhangi bir (x ) 2A a¼g için aşa¼g daki ifadeler do¼grudur. i) u # 0 ve her 2 A için jx xj 4 u olacak biçimde bir (u ) 2A a¼g varsa x! x dir. ii) x! x olmas için gerek ve yeter koşul u # 0 ve her 2 eleman na karş l k her < 0 için jx bir (u ) 2 a¼g n n bulunmas d r. xj 4 u olacak biçimde en az bir 0 () eleman n n var oldu¼gu iii) X Dedekind tam Riesz uzay ve (x ) 2A a¼g s ra s n rl olsun. Bu durumda, x! x olmas için gerek ve yeter koşul u # 0 ve her 2 A için jx xj 4 u olacak biçimde bir (u ) 2A a¼g n n var olmas d r (Abromovich and Aliprantis 2002). Ispat. i) u # 0 ve her 2 A için jx xj 4 u olacak biçimde bir (u ) 2A a¼g n n var oldu¼gunu kabul edelim. y = x u ve z = x + u olarak al n rsa y " x ve z # x oldu¼gu ve 2 A için y 4 x 4 z eşitsizli¼ginin sa¼gland ¼g görüldü¼günden x! x bulunur. ii) x! x olsun. (y ) 2B ve (z ) 2 a¼glar n y " x, z # x ve her 2 B ve 2 29

37 elemanlar na karş l k < (; ) koşulunu sa¼glayan her 2 A indisi için y 4 x 4 z koşulunu sa¼glayan bir (; ) 2 A var olacak biçimde seçelim. Bu durumda, < (; ) için x x 4 z x 4 z y ve (x x) = x x 4 x y 4 z y eşitsizlikleri sa¼gland ¼g ndan jx xj 4 z y yaz labilir. Dolay s yla, = B olarak tan mlan r ve her = (; ) için (u ) 2 a¼g n u = z her < (; ) = () için jx xj 4 u elde edilir. y olarak al rsak u # 0 ve her 2 eleman na karş l k her < 0 için jx xj 4 u olacak biçimde en az bir 0 () eleman n n var oldu¼gu bir (u ) 2 a¼g n n bulundu¼gunu varsayal m. jx xj 4 u eşitsizli¼gi her < 0 için x u 4 x 4 x + u sa¼gland ¼g n söyler. Bundan yararlanarak y = x u ve z = x + u al n rsa x! x oldu¼gu görülür. iii) X Dedekind tam Riesz uzay, (x ) 2A a¼g s ra s n rl ve x durumda y " x, z # x olacak biçimde iki (y ) 2B ve (z ) 2 a¼glar için, her 2 B ve 2! x olsun. Bu a¼g vard r. Ayr ca bu elemanlar na karş l k < (; ) koşulunu sa¼glayan her 2 A indisi için y 4 x 4 z koşulunu sa¼glayan bir (; ) 2 A vard r. Her 2 A için v = inf x 0 0 ve w = supx 0 a¼glar n tan mlayal m. (x ) 2A s ra s n rl < 0 < ve X Dedekind tam oldu¼gundan, her 2 A için v ve w mevcuttur ve tan mlar gere¼gince v " ve w # gerçeklenir. Ayr ca, her 2 B ve 2 için 0 < (; ) oldu¼gunda y 4 x 0 v " v ise her 2 B ve 2 4 z oldu¼gundan her < (; ) için y 4 v 4 z olur. E¼ger için y 4 v 4 z sa¼glan r. y " x ve z # x oldu¼gundan v = x elde edilir. Benzer şekilde w # x oldu¼gu görülür. Di¼ger taraftan, her 2 A için jx xj 4 w v ve (w v ) # 0 gerçeklendi¼ginden u = w v al n rsa ispat tamamlan r. Lemma X Dedekind tam Riesz uzay olsun. Bu durumda s ra s n rl bir (x ) 2A a¼g n n x! x olmas için gerek ve yeter koşul x k:s:y! x olmas d r (Wickstead and Kitover 2005). 30

38 Ispat. X Dedekind tam ve s ra s n rl (x ) 2A a¼g için x! x olsun. Teorem ii. deki özelliklerin sa¼gland ¼g (y ) 2B ve (z ) 2 Lemma iii. gere¼gince jx a¼glar n alal m. xj 4 u ve u # 0 olacak biçimde bir (u ) 2A a¼g vard r. Bu a¼g için, (x x) 4 jx xj 4 u ve (x x ) 4 jx xj 4 u olmas ndan yararlanarak, x u 4 x 4 x + u yaz labilir. y = x u ve z = x + u al narak kuvvetli s ra yak nsakl k tan m ndaki koşullar sa¼glayan (y ) 2B ve (z ) 2 a¼glar bulunmuş olur. Önermenin karş t ise Lemma gere¼gince her zaman do¼grudur. Monoton artan (veya azalan) a¼glar için kuvvetli s ra yak nsakl k ve zay f s ra yak nsakl k kavramlar denktir. Bunu göstermek için x " olmak üzere x! x alal m. Bu durumda Lemma gere¼gince x " x elde edilir. Her 2 A için y = x ve z = x olarak al n rsa y " x, z # x ve y 4 x 4 z sa¼glanaca¼g ndan x k:s:y! x elde edilir. 31

39 3.2 Kuvvetli ve Zay f S ra Süreklilik Dedekind tam olmayan Riesz uzaylar nda kuvvetli ve zay f s ra yak nsakl k ay r m na gösterilen özeni s ra sürekli operatörleri tan mlarken de göstermek için aşa¼g daki tan m verilmektedir. Tan m X ve Y k smi s ral kümeler ve T 2 L b (X; Y ) olsun. Bu durumda, herhangi bir s ra s n rl (x ) 2A a¼g için, i) x k:s:y! x iken T x k:s:y! T x oluyorsa, T operatörüne kuvvetli s{ra surekli, ii) x! x iken T x! T x oluyorsa, T operatörüne zay{f s{ra surekli operatör denir. Tan mda (x ) 2A a¼g yerine (x n ) n2n dizisi al n rsa, kuvvetli ve zay{f dizisel s{ra sureklilik tan mlar elde edilir. Genel olarak kuvvetli ve zay f s ra sürekli operatör kavramlar aras nda aç k bir ilişki yoktur (Wickstead and Kitover 2005). Fakat Y Riesz uzay Dedekind tamsa zay f s ra süreklilik, kuvvetli s ra süreklili¼gi gerektirir. Bunu göstermek için x k:s:y! x olacak biçimde (x ) 2A a¼g alal m. Bu durumda x! x ve T zay f s ra sürekli oldu¼gundan T x! T x elde edilir. T 2 L b (X; Y ) oldu¼gundan (T x ) 2A a¼g s n rl d r ve Lemma kullan larak T x k:s:y! T x gösterilmiş olur. Aşa¼g daki lemma Riesz uzay olmas gerekmeyen herhangi iki k smi s ral vektör uzay aras nda tan ml pozitif operatörler için zay f s ra süreklili¼gi karakterize etmektedir. Lemma K smi s ral X ve Y vektör uzaylar aras nda tan ml pozitif T : X 7! Y operatörünün zay f s ra sürekli olmas için gerek ve yeter koşul x # 0 iken T x # 0 olmas d r (Abromovich and Aliprantis 2002). 32

40 Ispat. T opetatörü zay f s ra sürekli ve x # 0 olsun. T pozitif oldu¼gundan T x # oldu¼gu aç kt r. x # 0 oldu¼gundan Lemma ii. gere¼gince x zay f s ra sürekli oldu¼gundan T x T x # ve T x! 0 olmas kullan larak T x # 0 bulunur.! 0; ayr ca T! 0 olur. Yine Lemma ii. yard m yla Karş t olarak x # 0 olmas T x # 0 olmas n gerektirsin ve x! 0 verilsin. x! 0 oldu¼gundan y " 0, z # 0 olacak biçimde iki (y ) 2B ve (z ) 2 a¼g vard r. Ayr ca bu a¼glar için, her 2 B ve 2 elemanlar na karş l k < (; ) koşulunu sa¼glayan her 2 A indisi için y 4 x 4 z koşulunu sa¼glayan bir (; ) 2 A bulunabilir. T operatörünün pozitif olmas her < (; ) için T y 4 T x 4 T z olmas n gerektirir. Ayr ca hipotezimiz T y " 0 ve T z # 0 olmas n gerektirir ki bu da T x! 0 oldu¼gunu gösterir. S ra s n rl operatörlerin süreklili¼gi aşa¼g daki teoremle karakterize edilmiştir. Teorem X ve Y iki Riesz uzay, Y Dedekind tam ve T 2 L b (X; Y ) olsun. Bu durumda aşa¼g daki ifadeler denktir. 1) T s ra süreklidir 2) x # 0 ise T x! 0 3) x # 0 ise inf jt x j = 0 4) T + ve T s ra süreklidir. 5) jt j s ra süreklidir. (Abromovich and Aliprantis 2002) Ispat. 1) =) 2) x # 0 olmas Lemma ii. gere¼gince x! 0 olmas n gerektirir. Ayr ca, T s ra sürekli oldu¼gundan T x! 0 bulunur. 2) =) 3) x # 0 olsun. her 2 A için jt x j < 0 oldu¼gundan 0; fjt x jg 2A kümesinin bir alt s n r d r. Varsayal m ki y 2 X olmak üzere her 2 A için jt x j < y sa¼glans n. 33