ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE"

Transkript

1 ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE DOKTORA TEZİ Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ

2 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE Dez UÇAR DANIŞMAN Doç. Dr. Yaşar BOLAT MATEMATİK ANABİLİM DALI TEMMUZ

3 ONAY SAYFASI Doç. Dr. Yaşar BOLAT daışmalığıda, Dez UÇAR arafıda hazırlaa Zama kalaıda bazı kım damk deklemler alıımlılığı üzere başlıklı bu çalışma laüü eğm ve öğrem yöemelğ lgl maddeler uyarıca 6/7/ arhde aşağıdak jür arafıda Maemak Aablm Dalıda dokora ez olarak oy brlğ/oy çokluğu le kabul edlmşr. Üvaı, Adı, SOYADI İmza Başka Prof. Dr. Hüey Şr HÜSEYİN Üye(Daışma) Doç. Dr Yaşar BOLAT Üye Prof. Dr. Ömer AKIN Üye Prof. Dr. Ebar PENAHOV Üye Doç. Dr. Muhamme YÜRÜSOY Afyo Kocaee Üvere Fe Blmler Eüü Yöe Kurulu u.../.../... arh ve. ayılı kararıyla oaylamışır. Doç. Dr. Rıdva ÜNAL Eü Müdürü

4 ÖZET Dokora Tez ZAMAN SKALASINDA BAZI KISMİ DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIĞI ÜZERİNE Afyo Kocaee Üvere Fe Blmler Eüü So yıllarda dfereyel deklemler eor ve fark deklemler eor le lgl araşırmalar hızla armakadır. Dfereyel deklemler le lgl brçok oucu fark deklemler le bezer olmaıa rağme farklı olduğu durumlar da bulumakadır. Zama kalaıda damk deklemler çalışılmaı bu farklılıkları oraya çıkarır ve bu ayede ouçları dfereyel deklemler ve fark deklemler ç ayrı ayrı alamaıa gerek kalmaz. Zama kalaı eor, Sefa Hlger arafıda ayrık ve ürekl aalz brleşrmek amacıyla kurulmuşur. Zama kalaı aalz emel fkr, aım küme reel ayıları boş olmaya keyf kaalı br al küme olarak adladırıla br zama kalaı olduğuda br damk deklem ç ouçları alamakır. Leraürde kım dfereyel deklemler ve fark deklemler alıımlılığı le lgl olarak brçok ouç elde edlmşr. Buula brlke yaıla araşırmalarda bu ouçları kım damk deklemlerde brleşre çalışmaya ralaamamışır. Bu ez brc bölümüde zama kalaı eor aıılmışır. İkc bölümde damk deklemler ç gerekl ola zama kalaı kavramıda bahedlmşr. Üçücü bölümde bazı kım damk deklemler alıımlılığı celemşr. Dördücü ve o bölümde ıraıyla geckmel bazı kım damk deklemler ve br eural kım damk deklem ç alıımlılık şarları araşırılmışır., 55 ayfa Aahar Kelmeler: Salıımlılık, Zama Skalaı, Kım Damk Deklemler.

5 ABSTRACT Ph. D. The ON OSCILLATION OF SOME PARTIAL DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Afyo Kocaee Uvery Iue for he Naural ad Aled Scece I rece year, here ha bee much reearch acvy cocerg he heory of dffereal ad dfferece equao. Alhough may reul cocerg dffereal equao are mlar o he correodg dfferece equao, here are alo dcreace. The udy of dyamc equao o me cale reveal uch dcreace, ad hel avod rovg reul wce, oce for dffereal equao ad oce aga for dfferece equao. The heory of me cale wa roduced by Sefa Hlger order o creae a heory ha ca ufy dcree ad couou aaly. The geeral dea o rove a reul for a dyamc equao where he doma of he ukow fuco a o-called me cale, whch may be a arbrary cloed ube of he real. I he leraure, here are o may reul he ocllao heory of aral dfferece ad dffereal equao. However o he be of our kowledge, here o work doe aemg o ufy hee reul by mea of he me cale heory for aral dyamc equao. I he fr eco of he he, we roduce me cale heory. I he ecod eco, we meo he coce of me cale of whch dyamc equao are defed o. I he hrd eco, we udy he ocllao of ome aral dyamc equao. I he fourh ad he la eco, we udy he ocllao crera for ome delay aral dyamc equao ad a eural aral dyamc equao, reecvely., 55 age Keyword: Ocllao, Tme Scale, Paral Dyamc Equao.

6 TEŞEKKÜR Tez çalışmamı her aşamaıda blg ve ecrübeleryle be yöledre, yardımlarıı ergemeye ve her hafa bıkmada be dleye daışmaım Sayı Doç. Dr. Yaşar BOLAT a ve çalışmalarım ıraıda abrıyla bede lg ergemeye evgl eşme ouz eşekkürlerm uarım. Dez UÇAR

7 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ ŞEKİLLER ve ÇİZELGELER DİZİNİ v v. GİRİŞ. GENEL BİLGİLER 3. Zama Skalaıda Nokaları Sııfladırılmaı 3 3. BAZI DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI 3 3. u (, ) = au( ρ( ), ) + bu(, ) + cu( σ( ), ) Tdek Deklemler T = h Durumu T = R Durumu 3. u (, ) au( ρ( ), ρ( ) ) bu(, ) cu( σ( ), σ ( ) ) = + + Tdek Deklemler 3.. T = R ve T = kz Durumu T = hz ve T = kz Durumu T = R ve T = R Durumu T = hz ve T = R Durumu 8 4. BİR KISMİ DİNAMİK DENKLEM İÇİN SALINIMLILIK ŞARTLARI 3 4. Sıır değer roblemler 3 v

8 4. u (, ) u(, ) = Deklem Çözümler Varlığı ve Teklğ Geckmel Br Kım Damk Deklem İç Salıımlılık Şarları NEUTRAL KISMİ DİNAMİK BİR DENKLEMİN SALINIMLILIĞI 45 KAYNAKLAR 54 ÖZGEÇMİŞ v v

9 SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ T Zama Skalaı Reel Sayılar Tam Sayılar Tolam embolü Crd (, ) A B A kümede B kümee rd-ürekl fokyoları küme σ ρ İler Sıçrama Oeraörü Ger Sıçrama Oeraörü Grae Fokyou := Taımlıdır = Eşr e Log Özdeşr Elemaıdır Elemaı değldr Euler Sayıı (,78 ) Doğal Logarma Fokyou v

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Sayfa No Şekl. Nokaları ııfladırılmaı 4 Şekl 5. ( ) u x, = co x. fokyouu grafğ 53 ÇİZELGELER DİZİNİ Sayfa No Çzelge. Nokaları ııfladırılmaı 4 v

11 . GİRİŞ So yıllarda üzerde brçok çalışmalar yaıla zama kalaı eor Sefa Hlger arafıda, 988 yılıdak dokora ezde ürekl ve ayrık aalz brleşrmek amacıyla kurulmuşur (Hlger, 988). Zama kalaı üzerde damk deklemler çalışılmaı, dfereyel deklemler le fark deklemler araıdak farklılıkları oraya çıkarır ve bu ayede ouçları k defa alamaıa gerek kalmaz. Geel fkr, blmeye fokyou aım küme; reel ayıları boş olmaya keyf kaalı br al küme olarak adladırıla zama kalaı olduğuda, br damk deklem ç ouç çıkarmakır. Bu ezde amaç, ek değşkel damk deklemler alıımlılığı üzere yaıla çalışmalar celedke ora k veya daha fazla değşkel bazı kım damk deklemler alıımlılığı hakkıda ye ouçlar çıkarmakır. Uygulamalı maemak, okyaulardak dalgaları harekede, güç kayaklarıdak elekrk akımlarıa kadar gerçek düyaı alaşılmaıda maemağ kullaılmaıyla lgler. Maemak dl kullaılarak gerçek düya emlere uygu maemakel modeller aımlamaıı ağlar. Blm adamları düyadak emler, var ola maemak ekkleryle çözüleble modellerle çalışablrler. Uygulamalı maemake emel amaç ye ek maemakel modeller ç eorler gelşrmekr. Bu da daha fazla e olayları çalışılmaıı ve gerçek hayaa daha fazla uya modeller erch edlme ağlar. Üzerde çokça çalışıla maemakel modeller, ürekl değşkel olalardır. Bu modeller arkaıdak geel maemakel eor dfereyel aalzdr. Dfereyel aalz gelşmee aralel olarak ayrık değşkelere bağlı modeller de kullaılmaya başlamışır. Bu aladak çalışmalar da hızla armışır. Ayrık değşkel fokyoel deklemler ç adar erm de, fark deklemlerdr. Dfereyel deklemler ve fark deklemler eor araıdak ayrılıklar maemakel modelleme eçmde zorlukları oraya çıkmaıa ebe olmakadır. Hem ürekl hem de ayrık değşkel deklemler ola hbr damk emler alaıda çalışılmaya başlamışır. Acak bu aladak çalışmalar ayrık ve ürekl değşkeler ayı ada çere gerçek düya emler ç yeerl değldr. Bu ür emlere adar br

12 yaklaşım, bu modeller ürekl ve kekl değşkelerle lgl farklı aım bölgelere ayırmakır. Dğer br yaklaşım e model ayrık değşkeler arçalarıı yaklaşımlarla doldurarak veya ürekl değşkeler ayrık duruma gererek adece ürekl veya adece ayrık değşkelere drgemekr. Acak bu yaklaşımlar, modeller ç doğru olmayablrler. Model ürekl ve ayrık durumlarıı davraışları araıda farklılıklar olablr. Ayrık durumda ürekl duruma geçerke değşke davraışıdak değşklkler aımlamaıda roblemler oraya çıkablr. Zama kalaı aalz gelşme bu ür roblemlere çözüm oluşurmuşur. Hlger, ürekl ve ayrık değşkeler ayı ada çere modeller çalışılmaıı ağlaya br eor bulmak ç zama kalaı eor kurmuşur. Zama kalaı aalz k emel özellğ brleşrme ve geşlemedr. Bu özellklerde dolayı çok geş br uygulama alaı bulumakadır. Zama kalaı olarak, reel ayılar küme alııra, alışılmış dfereyel deklemler ç ouçlar verleblr. Dğer arafa zama kalaı olarak am ayılar küme alııra, fark deklemler ç ouçlar verleblr. Faka reel ayılar küme ve am ayılar küme dışıda brçok zama kalaı olduğuda daha fazla geel ouç buluablr. Güümüzde zama kalaı aalzdek çalışmalar ek değşkel durumda yaılmışır. Tek değşkel fokyolarda ürev ve egral kavramları verlmş ve keyf zama kalaları ç ürekllk durumlarıı brçok eor geelleşrlmşr. Brc ve daha yükek merebede ek değşkel damk deklemler üzere araşırmalar yaılmış ve alıımlılık durumları üzere ouçlar elde edlmşr. Acak k veya daha fazla değşke çere kım damk deklemler alıımlılığı le lgl herhag br çalışma yaılmamışır. Kım damk deklemler alıımlılık davraışlarıı celeme adece maemak ç değl; zama kalaıı uyguladığı dğer blm dallarıda; blgayar blm, ı blm, eomoloj (böcek blm), elekrkle lgl alalar ve ekoom ç de oldukça büyük öem aşımakadır.

13 . GENEL BİLGİLER Br zama kalaı, reel ayıları keyf boş olmaya kaalı br al küme olarak aımlaır. [ ] [ ] [ ] R, Z, N, N,,,3,, N ve Caor kümeler brer zama kalaı öreklerdr. Bu kümeler T le göerlr. Tek değşkel fokyolar ç zama kalaıda dfereyel ve fark healamalarıda kullaıla bazı emel aım ve kavramlar aşağıdak gb verleblr. Taım. T br zama kalaı olu. T ç σ: ve ρ:t T ger ıçrama oeraörü, () f { T : } σ = > () u { T : } ρ = < şeklde aımlaır (Boher ve Peero, ). T T ler ıçrama oeraörü, Taım. : T [, ) olmak üzere, ( ) = σ ( ) fokyou grae fokyou olarak aımlaır (Boher ve Peero, ).. Zama Skalaıda Nokaları Sııfladırılmaı: T okaı ç σ () > e ağ açılımlı, ( ) = adladırılır. ρ () < e ol açılımlı, ( ) = σ e ağ yoğu oka olarak ρ e ol yoğu okadır. Ayı ada hem ağ açılımlı hem de ol açılımlı ola okalara zole oka der. Hem ağ yoğu hem de ol yoğu ola okalara da yoğu oka der. 3

14 Çzelge. Nokaları ııfladırılmaı. σ () > ağ açılımlı σ () = ağ yoğu ρ () < ol açılımlı ρ () = ol yoğu () σ ( ) ρ < < zole () σ ( ) ρ = = yoğu Aşağıdak şeklde, zole, ağ yoğu ol açılımlı, 3 yoğu ve 4 ol yoğu ağ açılımlı okaları göermekedr: ρ () () σ () Şekl. Nokaları ııfladırılmaı. 3 4 Taım.3 T zama kalaıda ürelmş T κ şeklde aımlaır. T κ küme, ( ρ( u ),u, u T T T T< = T,uT= Eğer T ol açlımlı br m makmumua ah e T κ = T { m} T κ = T dr (Boher ve Peero, )., dğer durumlarda Taım.4 f : κ T R br fokyo ve T olu. O halde ε > ç, br ( δ, δ), ( δ ) U = + T > komşuluğudak her U ç [ f ( σ () ) f ( ) ] f () [ σ () ] ε σ () 4

15 olacak şeklde br f () ayıı vara bu ayıya okaıdak dela ya da Hlger ürev κ der. Buula brlke T ç f () vara f ye κ T da dela dfereyelleeblrdr der. Dela ya da Hlger ürev;. T= R e f = f alışılmış (ad) ürev,. T= Z e f = f ler farkır. Dfereyel ve fark heabıı bazı emel özellkler aşağıdak gbdr: Teorem.5 f : T R br fokyo ve. f, okaıda dfereyelleeblr e, de ürekldr.. f, de ürekl ve ağ açılımlı e f, de le dfereyelleeblr. 3., ağ yoğu ve f () = f κ T olu. O halde aşağıdakler ağlaır. ( σ ( ) ) f ( ) () () f () f lm lm olu e f, de dfereyelleeblrdr. Bu durumda olacakır. f () 4. f, okaıda dfereyelleeblr e dr (Boher ve Peero, ). f () f () f = lm ( σ () ) = f ( ) + ( ) f ( ) Taım.6 f : T R fokyouu T dek üm ağ yoğu okalarda ağda lm olu ve üm ol yoğu okalarda olda lm olu e f fokyou düzel (regulaed) fokyodur der (Boher ve Peero, ). 5

16 Taım.7 f : T R fokyouu T dek ağ yoğu okalarda ürekl ve ol yoğu okalarda lm olu e f fokyoua ağ yoğu ürekl (rd-ürekl) dr der (Boher ve Peero, ). Taım.8 f düzel br fokyo e D ç () f () F = olacak şeklde D dfereyelleme bölgee ah br F fokyou vardır. Bu F fokyoua f lkel der. Düzel br f fokyouu belrz egral, şeklde aımlaır. Cauchy egral e r, T ç ( ) = F( ) c f + f r () = F( ) F( r) şeklde aımlaır (Boher ve Peero, ). Teorem.9 Eğer κ f C ve T e dr (Boher ve Peero, ). rd σ ( ) f ( τ ) τ = () f () Teorem. ab, T ve f C olu.. T= R e rd olur. b b f () = f () a a d. Eğer [ a,b] kaalı aralığı adece zole okalar çeryora, 6

17 dr. b f a () = [ a,b) [ b,a) ( ) f ( ) () f (), a < b, a = b, a > b 3. Eğer { } T = h = hk: k, h> e dr. b a b h f ( kh) h, a < b a k= h f () =, a= b a h f ( kh) h, a > b b k= h 4. Eğer T = e b f (), a< b b = a f () =, a= b a a f (), a > b = b dr (Boher ve Peero, ). Taım. : T olu. f x y = f (,y,y σ ) dekleme brc merebede damk deklem der. Eğer y : κ T ç y () = f (,y(),y( σ () )) T fokyou, bağıııı ağlıyora yukarıdak brc merebede damk deklem br çözümüdür der. Deklem üm çözümler kümee geel çözüm der (Boher ve Peero, ). 7

18 Taım. T ve y verl. σ (,y,y ), y( ) y y = f = robleme başlagıç değer roblem (IVP) adı verlr (Boher ve Peero, ). Taım.3 h > ç π π h = z : < Im( z) < h h ve h = z : z h le aımlaır. h = ç = = komlek ayılar kümedr (Boher ve Peero, ). Taım.4 : κ T fokyou T ç ( ) ( ) + bağıııı ağlaıyora fokyoua regrefr der (Boher ve Peero, ). Taım.5 Eğer regref e, T ç üel fokyo e = le aımlaır (Boher ve Peero, ). (,) ex ξ ( )( ( τ )) τ τ Taım.6 h > ç ξ : h h ldr döüşümü ξ h ( z) = Log( zh) h + le aımlaır. Buradak Log doğal logarma fokyoudur. h = ç ( ) ξ z = z, z = dr (Boher ve Peero, ). Güümüzde zama kalaı aalzdek çalışmalar ek değşkel durumda yaılmışır. Tek değşkel fokyolarda ürev ve egral kavramları yaılmış ve keyf zama 8

19 kalaları ç ürekllk durumlarıı brçok eor geelleşrlmşr. Tek değşkel ve çok değşkel damk deklemler araıda belrl ayıda farklılıklar vardır. İk ve daha çok değşkee ah fokyoları zama kalaıdak kım dfereyel ve kım fark healamaları le bazı emel aım ve kavramlar aşağıdak gbdr: Taım.7 ç T br zama kalaı olmak üzere T =TxT x... xt karezye çarımı göz öüe alıı. T ç. σ : T T ler ıçrama oeraörü, T ve (, ) () = ( σ ( ), σ ( ),..., σ ( )) σ =,..., olmak üzere herhag. ρ : T T ger ıçrama oeraörü, () = ( ρ( ), ρ( ),..., ρ( )) ρ 3. : T grae fokyou, () = ( ( ), ( ),..., ( )) 4. T = T xt x... xt κ κ κ κ olarak aımlaır (Jacko, 6). Çok değşkel fokyolar ç verle bu aımlar br f ( ) fokyouu kım dela ürev aımıda kullaılablr. Br f ( ) fokyou ç =,,..., olduğuda şeklde aımlaı (Jacko, 6). () = f (,,...,, σ (),,..., ) σ f + () = f (,,...,,,,..., ) f + κ Taım.8 f : T br fokyo ve = (,,...,,..., ) T olu. O halde herhag ε > ç 9

20 () () () σ () ε σ () σ f f f, U olacak şeklde br U ( δ, δ) = + T komşuluğu vardır. f ye f fokyouu okaıda değşkee göre kım dela ürev der (Jacko, 6). değşkee göre kım dela ürev alıırke dğer değşkeler ab uulur ve T değşkee göre f () fokyouu dela ürev alıır. Böylece aım ürekl durumu br geelleşrlme olur. Her ç T = alııra kım dela ürev alışılmış kım ürevdr. Bezer şeklde her ç T = h alııra kım dela ürev j ler kım fark olur. O halde f () değer vara öce değşkee göre kım dela ürev alıarak f () buluur. Daha ora bu ürev fokyouu j değşkee j göre kım dela ürev alıarak f () = olur. j elde edlr. Böylece f ( f ) j Yükek merebede kım ürevler de bezer şeklde aımlaı healaablr. T değşkee göre () f fokyouu defa dela ürev ola f... () healamaı,, T zama kalaıda değşkee göre defa dela ürev göermek üzere f () healamaıyla ayıdır. Öreğ ve gb k değşkel br f fokyou verl. f fokyouu öce değşkee ora değşkee ve daha ora ekrar değşkee göre dela kım ürevler alımaı f bçmde göerlr. f fokyouu öce değşkee göre k defa dela kım ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev alııra göerm f olur. Bu göerm çok açık değldr çükü hag değşkee göre k defa dela kım ürev alıacağı bell değldr. Buu yere şu göermler kullaılablr. Öreğ değşkee göre k defa dela kım ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev alııra göerm f olur. Öce değşkee göre k defa dela kım

21 ürev daha ora değşkee göre dela kım ürev ve daha ora değşkee göre br defa dela kım ürev alııra göerm f olur. Kım ürev merebe, üm değşkelere göre fokyou alıa kım ürevler ayııdır. Öreğ f 4 f merebe alıdır. e üç defa dela kım ürev alımışır ve merebe üçür. Bu blgler ışığıda kım damk deklem aşağıdak gb aımlaablr: Taım.9 T ve T olmak üzere ve gb k değşkel br kım damk deklem σ σ F u, u, u, u, u, u σ,..., u σ, u, u = g, ( ) şekldedr. Eğer F( x,x,...,x ) leer e deklem leerdr der. (, ) = g e deklem homojedr. m kaayıı ıfırda farklı e yükek merebede kım ürev e deklem merebe m dr. (, ) ( ) f C T xt fokyou dela kım damk deklem ağlara damk deklem çözümü olarak adladırılır (Jacko, 6). Zama kalaıda kım dfereyel deklemler ç ayrıılı blg ayrıca (Ahlbrad ve Mora, ) ve (Boher ve Gueov, 4) makalelerde buluablr. Taım. Br damk deklem br u ( ) çözümü, [ ), T zama kalaıı br al yarı ouz ekede ab şarel e bu çözüme alıımızdır der. Eğer damk deklem br çözümü, [ ), T zama kalaıı her al yarı ouz ekede ab şarel değle bu çözüme alıımlıdır der. Eğer deklem çözümü her başlagıç fokyou ç alıımlı e dekleme alıımlı der.

22 Bu kavramlar başka br şeklde fade edleblr. Br çözüm alıımlı e ara ve ırakak br { } [ ), T dz vardır ve u ( ) u ( ( ) ) σ dr. Burada ç okaıa u fokyouu geelleşrlmş ıfırı der. Eğer br çözüm alıımlı değle şu k durum öz kouudur. Her [, ) T ç u () olacak şeklde yeerce büyük br buluablyora u çözümü ouda ozfr der. Her [, ) T ç u () olacak şeklde yeerce büyük br vara çözüme ouda egafr der. Taım. Br φ (, ) C rd TT fokyou yeerce büyük her T ç azalmaya, yeerce büyük her T ç φ () < ve lmφ() = e T üzerde br geckme fokyoudur. Taım. Türev oeraörü deklemdek blmeye fokyoa ve bu fokyou geckmel br erme uygulaıyora, dekleme eural deklem der.

23 3. BAZI DİNAMİK DENKLEMLERİN SALINIMLILIK DAVRANIŞI 3. u (, ) au( ρ( ), ) bu(, ) cu( σ( ), ) = + + Tdek Deklemler T ve T üe ve ala ıırız k zama kalaı olu. abc,, ve ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = ( ρ( ), ) + (, ) + ( σ( ), ), ( ) u au bu cu kım damk deklem göz öüe alalım. T = T = R ç u r (,) = e, (, ) x, r, T T (3.) dek çözüm br harekel dalga çözümü olarak adladırılır. Burada r harekel dalgaı hızıı fade emekedr. S. Che, Y. L ve G. Zhag (Che, L ve Zhag, ) T = T = Z durumu ç u r (,) = formuda harekel dalga çözümler bulmuşlardır. J. Hoffacker makalede (3.) deklem çözümler araşırmışır (Hoffacker, ). Bu bölümde T T ç uygu formlar deeyerek aralel ouçlar elde edlmeye çalışılmış ve belrl zama kalalarıda deklem çözümler ç alıımlılık şarları celemşr. Acak daha öce burada kullaılacak ola bazı eorem ve lemmalar verlmeldr. Teorem 3. : T regref ve ağ-yoğu ürekl olu. Bu durumda aşağıdakler ağlaır (Boher ve Peero, ).. e (,) ve (,) = = e. e ( σ (),) = ( + () () ) e (,). Teorem 3. Eğer f κ C ve T e rd σ( ) f ( τ) τ = ( ) () f 3

24 dr (Boher ve Peero, ). Lemma 3.3 Eğer C e her r,, T ç rd (, ) (, ) = (, ) e r e r e dr (Boher ve Peero, ). T ç + ( ) ve başlagıç okaı olmak üzere, (3.) deklem r T ç + () olduğuda, ( ) u (,) = e (, ) e r (, ) T T, o formuda çözümüü araşıralım. Verle çözüm (3.) deklemde yere yazılıra, ( e(, ) e r (, ) ) ae ( ( ), ) e r (, ) be (, ) e r (, ) = ρ + + ce ( σ( ), ) e r (, ) elde edlr. Burada Teorem 3. kullaılarak e ( σ ( ), ) = ( + ( ) ( ) ) e (, ) buluur. e ( ( ), ) ρ fade elde emek ç aşağıdak eorem verleblr. ( ) ( ()) Teorem 3.4 Her T ç + ρ () ρ olduğuu kabul edelm. O halde buluur. ( ρ(), ) = ( ρ() ) ( ρ(), ) e e ( ) ρ() İa : Öcelkle σρ() > olduğu kabul edl. Teorem 3. yardımıyla σ( ρ() ) ρ() ex ξ ( )( ( τ) ) τ ex ( )( τ ξτ ( τ) ) τ e ( ρ (), ) = ρ ex = σ( ρ() ) ρ() ( () ) ( () ) ξ ( )( ( τ) ) τ τ e, ρ ( ρ () ) 4

25 ( ξ ( ())( ( ρ () )) ( ρ() ρ )) ex = e ρ ( () ) ( ( ( ))) ( (), ) = ξ ξ ρ e ρ ( ()) ( ()) () ρ ρ ( ρ( )) ( ρ( ), ) = e ( ρ(), ) buluur. ( ( ) ) ρ( ) σρ = olduğu kabul edl. Lemma 3.3 kullaılarak, ürev aımıda ( () ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ) ( ) e ρ, e ρ, ρ e ρ, ρ ρ ( ρ(), ) ( ρ(), ρ() ) ( ρ() ) ρ() ρ( ) = e e ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() ρ() ( )( ( )) ( ()) () ( ) ( () ()) = e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() + ξ τ τ ρ ρ ρ τ ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() ρ() ( )( ( )) ( ()) () ( ) ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() + ξ τ τ ρ ρ ρ τ ρ() ( () ) ( )( ( )) ρ() τ ρ() ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() ( ) + e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ρ() ) τ elde edlr. ( ) ρ( ) ( ) δ > olu. σρ( ) = ç ρ () = olduğuda lmξ r ( ( )) ( ) = ξ ( ) ρ r 5

26 dr. Eşzlğ ağ arafı δρ() ρ( ) de küçük olacak şeklde ρ () br U komşuluğuu olduğuu var olduğuu göerelm. τ U ç ( ) ( )( ( )) ( () ) ξ τ ξ ρ < τ olacak şeklde ρ () br ρ() 3 δ ( ρ () ) e, U komşuluğu vardır. ( ) U τ ρ() ρ olu. O halde δ e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ( ρ() )) τ ρ ρ 3 buluur. L Hoal kuralıa göre komşuluğu vardır, böylece ρ( ) ρ( ) ρ() ρ( ) ( )( ( )) ρ() ρ( ) ( )( ( )) z e lm z z z ç U e ( ( ) ( )) ξ τ τ e ρ, ρ τ * ξ τ τ τ dr. ρ ( ) U : = U U olu. O halde ρ() ( () ) ( )( ( )) () ( ) = dır. Böylece ρ () br U δ < δ = m, + 3 ( ρ() ) e ( ρ(), ) ( () ()) e ρ, ξ τ τ e ρ, ρ τ ρ() ρ() * ( (), ) ( )( ( )) e ρ δ ξ τ τ τ ρ() ρ() * e ( ρ(), ) δ ξ ( )( ( τ) ) ξ( ( ρ() )) τ + ( ρ() ) ρ() ρ( τ ) ρ() ρ() ( ) e ( ρ(), ) ξ ( )( ( τ) ) ξ ( ρ() ) τ + e ρ, δ ρ ρ ρ τ ρ() δ ρ ρ + ρ δ ρ ρ ρ 3 * () ( ) e ( (), ) ( () ) () ( ) δ δ ρ ρ + ρ ρ 3 3 () ( ) () ( ) * ( () ) ( ()) () ( ) 6

27 δ = ρ 3 () ρ ( ) elde edlr. Böylece eorem alamış olur. ( ) ( ()) Lemma 3.5 Her T ç + ρ () ρ olu. O halde eşlğ ağlaır. ( ρ(), ) e ( σρ ( ()), ) ( () ) ( () ) e = + ρ ρ ( ( ) ) ( () ) ( () ) ( ()) ( () ) İa : e σρ(), e = ρ, = e ρ, + ρ e ρ, olduğu bldğde, Teorem 3.4 de buluur. ( σρ ( ()), ) = ( ρ (), ) + ρ ( ()) ( ρ() ) ( ρ(), ) e e e ( () ) ( () ) e ( () ) = + ρ ρ ρ, Elde edleler yardımıyla, çözümü (3.) deklemde yere yazılmaıyla oluşa deklem düzelere ( σρ ( ( )), ) ( ( ) ) ( ( ) ) e r e(, ) = a + be, + c + e, + ρ ρ buluur. ( ) ( ( ) ( )) ( ) (3.) Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) deklem br çözümüdür. Acak (3.) T ç ( ρ( )) = ( ) olmadıkça a, b, c abler bulumaı zor olacakır. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. T ç ( ) = h gb ab br fokyo olduğu özel durum göz öüe alıı. 7

28 3.. T = h Durumu = h T olmaı durumuda deklem ( ) ( ) T ç ρ ( ) = = h olacağıda, (3.) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) r e e(, ) = a + be, + c + e, + şekl alır. Bu fade düzelere br ab olmak üzere elde edlr. = r + r = a + b+ c + h + h ch + r + ( ) r ( bh + ch) + ( a + b + c) h Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) deklem br çözümüdür., (3.) a, b, c abler ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olarak alııra elde edlr. r + r + r = γ + α + β h (3.3) (3.3) karakerk deklem ozf olmaya kökler elde edlmee yöelk bazı şarlar elde emeye çalışalım. Buu ç, T T üzerde aımlı (, ) = (, ) (, ) ( ) h r = + r (, ) u e e h e formuda harekel br dalga çözümüü göz öüe alalım. Bu durumda karakerk deklem f şeklde olacakır. ( ) r+ r+ r : = γ + α + β h = (3.4) Teorem 3.6 T = h ve r ç α, β, γ ya göre aşağıdak şarlarda br ağlaıra (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. 8

29 . γ <, α =, β =,. γ <, α =, β <, 3. γ <, α <, β =, 4. γ =, α <, β =, 5. γ =, α =, β <, 6. γ =, α <, β <. İa : (3.4) karakerk deklemde f ( ). γ < α =, β = ve lm f ( ) = olacakır. Bu durumda,, e (3.4) karakerk deklem f ( ) r+ : = γ h olacakır = dur. Deklem üm kaayıları egaf olduğuda eşlğ ağlayacak ozf br değer buluamaz., e (3.4) karakerk deklem f ( ). γ < α =, β < olacakır. Yukarıdake bezer şeklde deklem ozf kökü yokur. γ β h r+ r : = + Bezer şeklde eorem 3, 4, 5 ve 6. şıklarıdak şarlar ç de karakerk deklem ozf kökü yokur. Dolayııyla (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3.7 T = h ve r = ç α, β, γ ya göre aşağıdak şarlarda br ağlaıra (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır.. γ<, α< h, β<,. ( α h) < γ( β ) 4, 3. ( h) ( ) ( h ) α = 4γ β, α γ<, 4. γ ( β)( α h) =, <, 5. α ( ) = h, β γ<. İa : r = ç (3.4) karakerk deklem, ( ) ( h) şekle döüşmekedr. Karakerk deklem ç f ( ) g : = γ + α + β (3.5) = dr. 9

30 . γ < α < h, β < kökü yokur., ve lm f ( ). ( α h) 4γ( β ) = olduğuda karakerk deklem ozf < olduğuda kc derecede (3.5) karakerk deklem ç ( α h) γ( β ) = 4 < olacakır. O halde karakerk deklem reel kökü yokur. 3. ( α h) γ( β ) 4 = olduğuda (3.5) karakerk deklem çakışık kökü vardır. ( h αγ ) 4. < ç arabolü ee okaı, x-eke egaf kımıdadır. γ = olmaı durumuda (3.5) karakerk deklem g ( ) ( h) : = α + β şekldedr. O halde ( β)( α h) < ç β = < α h olacakır. 5. Eğer α = h e karakerk deklem kökü β = γ olur ve ( ) β γ< ç komlek br ayı olacakır. Böylece (3.) deklem üm çözümler alıımlıdır. 3.. T = R Durumu Karakerk deklem reel olmaya kökler oluşura şarları br küme araşıralım. T T üzerde aımlı u ( ) ( ) ( ) (, = e, e, e ) r = e r (, ) formuda harekel br dalga çözümüü göz öüe alıı. Teorem 3.8 a + b + c < ve deklem üm çözümler alıımlıdır. çf r = olduğuu kabul edelm. Bu durumda (3.) ek İa : = T R durumuda ρ ( ( ) ) ( ) = = olduğuda (3.) deklem

31 (, ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) e r e(, ) = a + be, + c + e, + ρ r = a + b + c şekle döüşür. O halde karakerk deklem reel köküü olmamaı ç a + b + c < ve alıımlıdır. çf r = olmalıdır. Bu durumda (3.) deklem üm çözümler ek Örek 3.9 T = h olduğuu kabul edelm. u (, ) = u( ρ( ), ) + 3u(, ) u( σ (, ) ), ( ), T T brc merebede kım damk deklem göz öüe alalım. ( ) başlagıç okaı olmak üzere deklem, u r + r, (, ) = e (, ) e (, ) = ( h ) h e ( ) T T, o formuda br çözüme ah olacakır. Burada α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olduğuda γ <, α < ve β = olmakadır. T = h ç şekldedr. O halde karakerk deklem u u h ( ρ( ), ) = ( + h) h e (, ) + h r ( σ ( ), ) = ( + h) h e (, ) r formuda olacakır. r ( + h) + ( + h) 3( + h) + = r durumu ç, r = olarak eçl. O halde karakerk deklem şekldedr. Burada 3 ( + h ) + h = h + buluur. = ( + h ) ± + 4h, < h

32 r = durumu ç karakerk deklem h + h + = şekle döüşür ve bu deklem reel kökü yokur. O halde verle deklem üm çözümler alıımlıdır. Örek 3. T = R olduğuu kabul edelm. u (, ) = u( ρ( ), ) + u(, ) 5u( σ (, ) ), ( ), T T brc merebede kım damk deklem göz öüe alıı. ( ) başlagıç okaı olmak üzere deklem u ( ) ( ) ( ) (, = e, e, e ) r = e r (, ) T T, o formuda br çözüme ah olacakır. Burada α = bh + ch, β = a + b + c, γ = ch olduğuda a + b + c = < dır. Elde edle çözüm deklemde yere yazılıra r karakerk deklem elde edlr. Burada = + = çf buluur. Bu deklemde r = eçlre, komlek br kök olacakır. O halde verle ek deklem üm çözümler alıımlıdır. r 3. u (, ) au( ρ( ), ρ( ) ) bu(, ) cu( σ( ), σ ( ) ) = + + Tdek Deklemler T ve T üe ve ala ıırız k zama kalaı olu. abc,, ve ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = ( ρ( ), ρ( )) + (, ) + ( σ( ), σ ( )), ( ) u au bu cu T T, (3.6), kım damk deklem göz öüe alalım. (3.) deklemde olduğu gb r harekel dalgaı hızıı fade emekedr. (3.6) deklem (, ) = (, ) r (, ) u e e

33 formuda çözümüü araşıralım. Verle çözüm (3.6) deklemde yere yazılır ve düzelere, ( e (, ) e r (, ) ) ae ( ( ), ) r (, ) be (, ) e r (, ) = ρ + + ce ( σ ( ), ) e r ( σ (), ) r ( σρ ( ( )) ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) r ( σρ ( ()) ) r ( ()) ( ()) e, e, e (, ) e r (, ) = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, (3.7) elde edlr. Eğer bu deklem karakerğ br kökü e u (,) = e (, ) e r (, ) ( ρ( )) ( ) (3.6) deklem br çözümüdür. Acak T ç ( ) () = veya T ç ρ () = olmadıkça a, b, c abler bulumaı zor olacakır. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr acak buluamaz. O halde bu dekleme göre aşağıdak dör durum ç harekel dalga çözümler alıımlılığı celeeblr. ) T = R ve T = kz, ) T = hz ve T = kz, 3) T = R ve T = R, 4) T = hz ve T = R. 3.. T = R ve T = kz Durumu Bu durumda ( ρ ( ) ) = ( ) = ve ( ) ( ρ( )) ( ) T ç, T ( ) = = k olacakır. Böylece deklem r k ( ) ( ) u, = e + k formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem 3

34 r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ şekl alır ve ( ) karakerk deklem ( ) ( ) ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, = = ve ( ) ( ρ( )) = = k olduğuda, ab ç r r ( ) ( ) ( ) ( ) g : = a+ b+ c + k b+ c + k kc = şekldedr. Eğer karakerk deklem br kökü e u(,) = e (, ) e r (, ) (3.6) deklem br çözümüdür. α = a+ b+ c olarak alııra karakerk deklem ( c) ( ) β = k b+ γ = k kc ( ), r r g : = α + β + γ = (3.8) şekle döüşür. Karakerk deklem ozf olmaya kökler olablme ç aşağıdak eorem verleblr. Teorem 3. T = R ve T = kz ve r > olu. α, β, γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) α, β ve γ ayı şarel,, q brer ek amayı olmak üzere ) α, β ve γ ayı şarel, çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q r =, q 3) α =, βγ > ve, q brer ek amayı olmak üzere r =, q 4) α =, βγ > ve çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q 5) β < 4αγ. r İa :. = olu. (3.6) karakerk deklemde 4

35 ( ) g : = α + β+ γ = (3.9) buluur. (3.9) deklem kökler olamı β α < ve kökler çarımı γ α > olduğuda kökler egafr. Böylece, q brer ek amayı olmak üzere = ( ) r deklem ozf kökü yokur. r = ç q. Bu durumda (3.9) karakerk deklem kökler komlek ayılar olacakır. Dolayııyla karakerk deklem ozf kökü yokur. 3. α =, βγ > e (3.8) karakerk deklem ( ) r g : = β + γ = şekle döüşür ve deklem ağlayacak ozf kökü olmadığı açıkır. 4. Üçücü durumdake bezer olarak karakerk deklem kökler komlekr. 5. β < 4αγ olmaı koşuluda (3.9) karakerk deklem reel kökü yokur. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3. T = R ve T = kz ve r < olu. α, β, γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) α, β ve γ ayı şarel,, q brer ek amayı olmak üzere ) α, β ve γ ayı şarel, çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q r =, q 3) γ =, αβ > ve, q brer ek amayı olmak üzere r =, q 4) γ =, αβ > ve çf ve q ek amayı olmak üzere r =, q 5) β < 4αγ. İa : r < olduğuda, (3.8) karakerk deklem ( ) r r g3 : = γ + β + α = şekle döüşür. Buradak dğer alar Teorem 3. de yaıla alara bezer olduğuda hmal edlmşr. O halde (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. 5

36 3.. T = hz ve T = kz Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( )) ρ h = = k olacakır. Böylece deklem r (, ) = ( + ) h ( + ) u h k formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) k e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, r ( ρ ( )) ( ρ ( )) r r ( ( ) ) ( () ) r ( ( ))( ( ( ))) () = a+ b ρ + ρ r ( )( ( ())) + c + + ρ + + ρ karakerk deklem elde edlr. Eğer karakerk deklem br kökü e u (,) = e (, ) e r (, ), (3.6) deklem br çözümüdür. a, b, c ye bağlı olmaı durumuda karakerk deklem kullaılarak çözümü varlığı göerleblr, acak buluamaz. ( ) ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( )) ρ h ( ) ( ) ( 4 ) r ( ) ( ) ( ) r+ + h kb+ kc + k b+ c + hkc+ hk kc + k kc = = k olduğuda r+ r+ r r+ = h c+ h b+ c + a+ b+ c + h kc (3.) karakerk deklem elde edlr. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouçlar verleblr. Teorem 3.3 T = hz ve T = kz ve r olu. a, b, c ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) c<, b+ c< ve a+ b+ c<, ) c<, b= ve a+ c<. 6

37 İa :. Bu durumda (3.) karakerk deklem ( ) ( ) ( ) r+ r + h( kb+ 4kc ) + k( b+ c) + hkc+ hk( kc ) + k( kc ) r+ r+ r r+ w : = h c+ h b+ c + a+ b+ c + h kc olarak düzelere, c, b c ve a b c < + < + + < ç w ( ) < ve lm w( ) olacakır. O halde karakerk deklem ozf kökü yokur.. Bu durumda (3.) karakerk deklem r+ r+ r r+ w ( ) : = h c+ hc+ ( a+ c) + h kc r+ r + h 4kc + kc ( ) [ ] ( ) ( ) + hkc+ hk kc + k kc = olarak düzelere, öceke bezer şeklde karakerk deklem ozf köküü olmadığı kolayca görüleblr. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Teorem 3.4 T = hz ve T = kz ve r = olu. a, b, c ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) c<, b< ve a<, ) c<, b= ve a<. İa :. Eğer r = e (3.) karakerk deklem ( ): = ( + ) + ( + ) + ( )( + ) h h c k h c k b k + a+ b k+ + c k + k+ ( )( ) ( ) şeklde düzeleeblr. c, b ve a < < < ke h ( ) < ve lm w( ) = olacakır. Böylece karakerk deklem büü kaayıları egaf olduğuda, deklem ıfır yaacak ozf kök yokur.. r =, c<, b= ve a< e (3.) karakerk deklem ( ) ( ) ( ) ( ) h : = h c k+ + h k+ c k+ + a k+ + c k + k+ ( ) ( ) formuda olacakır. Br öcek şıkake bezer şeklde karakerk deklem ozf köke ah olmadığı açıkır. Böylece (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. 7

38 3..3 T = R ve T = R Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) ρ = = ve ( ) ( ρ( ) ) (, ) = = olur. Böylece deklem r ( ) ( ) u = e e formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ şekl alır ve ( ) deklem ( ) ( ) ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, = = ve ( ) ( ρ( ) ) r ( ) ( ) = = olduğuda karakerk r f : = a+ b+ c = (3.) şeklde olacakır. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouç verleblr: Teorem 3.5 T = R ve T = R olu. a b c + + < ve çf ve q ek amayı olmak üzere r = olduğuda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. q İa : (3.) deklemde r = a+ b+ c olarak buluur. Böylece a+ b+ c< ve çf ve q ek amayı olmak üzere r = ç komlek br ayı olacakır. Böylece q (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır T = hz ve T = R Durumu Bu durumda ( ) ( ) T ç, T ( ) ( ) = = ve ( ) ( ρ( ) ) ρ h = = olur. Böylece deklem 8

39 (, ) = ( + ) h u h e r ( ) formuda br çözümü vardır. O halde (3.7) deklem düzelere r (, ) r (, ) e (, ) ( ( )) ( ( )) (, ) r (, ) e r (, ) r ( ()) ( ()) e e = a + ρ ρ + ρ ρ + be e ( ) r ( ) r ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) + c + e, + e, şekl alır ve ( ρ ( ) ) = ( ) = h ve ( ) ( ρ( ) ) = = olduğuda karakerk deklem r+ r+ r r+ r ( ) : = h c+ h( b+ c) + ( a+ b+ c) h = şekldedr. olarak alııra karakerk deklem ( c) α = hb+ β = a+ b+ c γ = hc r r+ r+ r ( ) ( γ α β h ) : = + + = (3.) şekle döüşür. Bu karakerk dekleme göre aşağıdak ouçlar verleblr: Teorem 3.6 T = hz ve T = R ve r olu.,, α β γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) γ <, α = ve β =, ) γ <, α = ve β <, 3) γ <, α < ve β =, 4) γ =, α < ve β =, 5) γ =, α = ve β <, 6) γ =, α < ve β <. İa :. γ <, α = ve β = olduğuda, (3.) karakerk deklem r+ ( ) = γ h şeklde olacakır. ( ) = ve ( ) : lm öüe alııra karakerk deklem ozf köke ah değldr. = olduğu göz 9

40 . Bu durumda karakerk deklem de r+ ( ) r : = γ + β h şeklde olacağıda, brc şıkake bezer şeklde karakerk deklem ozf kökü yokur. Bu eoremde kala kıımları aları da yaıla alara bezer olduğuda hmal edlmşr. Teorem 3.7 T = hz ve T = R ve r = olu.,, α β γ ç aşağıdak şarlarda br ağladığıda (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. ) γ <, α < hveβ <, ) ( α h) 4γ ( β ) <, 3) ( h) ( ) ( h ) α = 4γ β, α γ <, 4) ( )( h) γ =, β α γ <, 5) α ( ) = h, β γ <. İa : r = olduğuda (3.) karakerk deklem formudadır.. γ, α hveβ ( ) ( h) g : = γ + α + β = < < < ç g ( ) = ve lm g ( ) deklem ozf kökü yokur. = olduğuda karakerk. Karakerk deklem kc derecede olduğuda ( α h) 4γ ( β ) dkrmaı egafr ve reel kökü yokur. 3. ( α h) 4γ ( β ) < ç = olduğuda karakerk deklem kalı köke ahr. Parabolü ee okaıı egaf x koordalı olmaı ç ( h α) γ 4. γ = ç karakerk deklem formudadır. ( )( h) ( ) ( h) g : = α + β = β α γ < ç egaf olacakır. < olmaı gerekr. 3

41 5. Eğer α = h e β = γ, ( ) β γ < ç reel değldr. O halde (3.6) deklem üm çözümler alıımlıdır. Örek 3.8 T = R ve T = kz olu. Brc merebede (, ) = ( ρ( ), ρ( )) + (, ) ( σ( ), σ ( )), ( ) T T (3.3) u u u u kım damk deklem göz öüe alalım. (, ) ( ) r k ( ) ( ) u, = e + k, T x T olmak üzere deklem şeklde br çözümü vardır. (3.3) deklem karakerk deklem r ( k k ) ( k) = r olur. r = durumu ç karakerk deklem şekl alır. Böylece alıımlıdır. ( k k ) ( k) = ( k k) + = < ( + 3k ) olduğuda deklem üm çözümler Örek 3.9 T = hz ve T = kz olu. Brc merebede kım damk deklem olarak verl. (, ) (, ) = ( ρ( ), ρ( )) ( σ( ), σ ( )), ( ) T T (3.4) u u u T x T olmak üzere (3.4) deklem r (, ) = ( + ) h ( + ) u h k k, şeklde br çözümü vardır. (3.6) geel dekleme a karakerk deklemde a =, b =, c= ve r = alııra (3.4) dekleme a karakerk deklem ( ) ( ) 4 3 = h + h k+ + h k + h + 4k + + k hk+ + k + k+ 3 ( )( ) şeklde olur. Deklem ozf kökü yokur. O halde üm çözümler alıımlıdır. 3

42 4. BİR KISMİ DİNAMİK DENKLEM İÇİN SALINIMLILIK ŞARTLARI Kım fark deklemler eor ve kım dfereyel deklemler eor, üfu harekeler ve göçler, kmyaal reakyolar, düzez hareke roblemler gb brçok kouya uygulaablmekedr. Zama kalaıda damk deklemler eor bu k eory brleşrmeke ve farklı zama kalaları ç geşlemekedr. Kım fark deklemler alıımlılığı le lgl olarak B. Zhag ve Y. Zhou adlı yazarları kabı (Zhag ve Zhou, 7) le kım dfereyel deklemler alıımlılığı le lgl olarak e N. Yohda adlı yazarı kabıda (Yohda, 8) geş blg elde edleblr. 4. Sıır değer roblemler Bu bölümde, ye bağlı dela ürev, G T de ıırlı br bölge, L T de Lalace oeraörü ve,u{ },( x, ) : G (, ) T T = Ω = T olmak üzere, deklem göz öüe alımışır. a ayrıca ( x, ) Ω ve ξ > ç c( x ) olmaı ç (, ) : (, ) T (, ) σ (, ) (,, ) (, ) u x alu x + c x u = f x (4.) +, c( x,, ) C rd (, ) = T le göerlmşr. ξ Ω, f ( x, ) C rd (, ) Ω ve ξ,, ξ olduğu kabul edl. Burada kolaylık Taım 4. Herhag br T ç u fokyou Ω bölgede br ıfıra ah e Ω üzerde alıımlıdır der. Ak halde u fokyou Ω bölgede alıımlı değldr der. Taım 4. u C ( G) C ( G) fokyou, Ω bölgede (4.6) deklem ağlıyora, rd (4.) deklem çözümüdür der. rd ( ) (, ; + ) G (, ) üzerde, ψ, ψ C ( ) T rd G, ; ve α C ( ) T rd G olmak üzere, (B) u = ψ ve T 3

43 (B) u ν + σ αu = ψ ıır koşulları göz öüe alıı. Özdeğer roblem olu. Özdeğer roblem brc özdeğer G bölgede Φ ( x) > olacak şeklde eçleblr. σ σ G bölgede Lw = w, (4.) G üzerde w =, (4.3) ozfr ve lgl öz fokyou Φ ( x) Teorem 4.3 Ψ () = ψφ ν ( x) S ve () (, ) ( ) G F = f x Φ x x olmak üzere, G ( () ()) y σ + ay ± aψ + F (4.4) eşzlğ ouda ozf çözümler yoka, (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : Tere (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgede bazı > ç ıfır olmaya br u çözümüü olduğu kabul edl. İlk olarak Ω bölgede u > olu. Hoezde Ω bölgede ( ) c x,, ξ olacakır. Burada (, ) σ (, ) (, ) u x alu x f x (4.5) elde edlr. (4.5) eşzlğ her k arafı Φ ( x) le çarılır ve G üzerde egrallere, > ç u Φ ( x) x a ( Lu σ ) Φ ( x) x f ( x, ) Φ ( x) x (4.6) G G G buluur. Zama kalaıda Gree eorem (Boher ve Gueov, 7) gereğ σ ( Lu ) ( x) x ν σ ν ( x) u u ( x) σ Φ = Φ Φ S + u LΦ( x) x G G G ν σ ψ ( x) S u ( x) x (4.7) = Φ Φ G = Ψ σ () U () G 33

44 buluur. Burada ( ) ( ) > ç U = uφ x xolarak alımışır. (4.6) ve (4.7) brleşrlre, G σ () + () Ψ () + () U au a F olacakır. Böylece U( ) fokyou ( ) T aralığıda, () () y σ + ay aψ + F eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu e hoezle çelşmekedr. Ω bölgede u < ç bezer şeklde v u V = vφ x x fokyou = olarak eçlre ( ): ( ) (, ) aralığıda T y σ + ay ( aψ () + F() ) eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu da hoezle çelşmekedr. İa ber. G Souç 4.4 Yeerce büyük her T ç lm f, T ( )( () ()) e aψ + F S = a lm u, T ( )( () ()) e aψ + F S = a e (4.) ve (B) ıır değer roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : y, () (4.4) eşzlğ ouda ozf br çözümü olu. O halde bazı T > ç [ T, ) T üzerde y> () olacakır. (4.4) eşzlğ her k arafı e (, ) çarılıra σ (, ) + (, ) ± ( Ψ ( ) + ( )) (, ) y e ae y a F e a a a le a (, ) ( () ()) (, ) ye ± aψ + F e a a buluur. (4.3) eşzlğ [ T, ] T aralığıda egrallere (4.8) e, y e T, y T ± aψ + F e, ( ) () ( ) ( ) ( () ()) ( ) (4.9) a a a T 34

45 elde edlr. Hoezde (4.9) eşzlğ ağ arafı üe ıırlı değldr. O halde a (, ) ( ) ouda ozf olamaz. Bu, e a (, ) y( ) e y fade ozf olmaı le çelşmekedr. Böylece (4.) eşzlğ ouda ozf çözümler yokur. Bu ouç Teorem 4.3 de elde edleblr. Teorem 4.5 Ψ () = ψ S G G, () (, ) F = f x x G ve G= x G olmak üzere, G ( () ()) y ± aψ + F (4.) eşzlğ ouda ozf çözümler yoka, (4.) ve (B) roblem Ω bölgedek her u çözümü alıımlıdır. İa : (4.) ve (B) roblemω bölgede bazı > ç u > olacak şeklde br u çözümüü olduğu kabul edl. Teorem 4.3 dek aa bezer şeklde, (4.5) eşzlğ ağladığı görüleblr. (4.5) eşzlğ G üzerde egrallere, > ç ν G G G G G (, ) (, ) ux a u S+ f x x a ψ S+ f x x veya dek olarak U () = ux G olmak üzere > ç G olacakır. Böylece U ( ), ( ), U a F T aralığıda () Ψ () + () y aψ + F () () eşzlğ br ozf çözümüdür. Bu hoezle çelşmekedr. Ω bölgede u < şekldek br u çözümü ç de bezer a yaılablr. İa ber. 35

46 4. u (, ) u(, ) = Deklem Çözümler Varlığı ve Teklğ Bu bölümde ye bağlı dela ürev olmak üzere, (, ) = (, ), ( ) u u T T (4.), deklem çözümüü varlık ve eklğ le lgl olarak aşağıdak eoremler elde edlmşr. Teorem 4.6 ( ) T T olmak üzere, (4.) deklem, şeklde br çözümü vardır. (, ) = (, ) (, ) u e e q İa : u (, ) = u(, ), deklem u(, ) e (, ) e (, ) çözümüü varlığıı göerelm. Burada k farklı durum vardır.. Durum: ( ) σ > olu. Bu durumda ( ) ( ) ( ) e, e, = e, = e q q q = e q (, ) ( ) olur. ( ) σ ( ) (,) = formuda q ex ξ ( r,)( ) r ex ξ ( r,)( ) r σ () ex ξ ( )( r, ) r + ξ ( r,)( ) r ex ξ ( r,)( ) r + σ () ex ξ r e, ( r, ) ( r, )( ) ( ), σ > e ağ açılımlıdır ve dr. O halde (,) ξ ( r,)( ) = log + r, ( r,) { ( ( r,) ) } (,) ( ( ) ) ex log + e (, ) e (, ) = e, e, ( ) ( ) q q 36

47 ( ) (,) +, = e, e, ( ) ( ) ( ) ( ) e, e, = e, e, q q olarak buluur. ( ) ( ) q. Durum: ( ) σ = olu. u(, ) = e (, ) e (, ) e ürev aımıda olduğu göerlmeldr. q ( ) ( ) ( ) σ ( ) ε σ () σ u, u, u,, ( σ () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] e, eq, e, eq, e, eq, () e (, ) e (, ) e (, ) e (, ) e (, ) e (, )[ ] = + q q q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] = e, e, e, e, e, e, q q q ( ) ( ) ( ) [ ] = e, e, e, q ( ) ( ) ξ ( )( ) τ τ ( ) ξτ ( )( ) τ [ ] = e, e, e, + q ( ) ( ) ξ ( )( ) τ ( ) e, e, e, q τ ( ) q( ) ξτ ( )( ) τ [ ] + e, e, ( ) ( ) ξ ( )( ) τ ( ) e, e, e, q τ ( ) ( ) ( )( ) ( ) + e, e, ξ ξ τ q τ δ > verl. σ ( ) = olduğuda lmξ r ( )( ) = ξ r ( ) dr. Eşzlğ ağ arafı ε de küçük olacak şeklde br U komşuluğuu var olduğuu göerelm. τ U ç 37

48 ξ ( )( ) ξ ( ) τ < δ ( ) ( ) 3 e, e q, olacak şeklde br U komşuluğu vardır. U olu. O zama e(, ) e (, ) δ ξ ( )( ) ξ ( ) τ < 3 q τ buluur. L Hoal kuralıa göre komşuluğu vardır k U ç z e lm z z z = dır. Böylece br U ξ ( )( ) τ e (,) τ ξ ( )( ) τ τ * δ < δ = m, + 3 e(,) eq(,) dr. U = U U olu. O halde * ( ) ( ) ( )( ) ( ) < ( ) ( ) ( )( ) e, e, ξ τ e, e, e, δ ξ τ q τ q τ * ( ) ( ) δ ξ ( )( ) τ ( ) ( ) q e, e, + τ * e(,) eq(,) δ ξ ( )( ) ξ( ) τ + τ ( ) ( ) ξ ( )( ) ξ ( ) τ ( ) ( ) e, e, + e, e, q τ q δ + e(,) eq(,) 3 δ δ δ + = elde edlr. Burada δ δ u( σ (),) u(,) u (,)[ ] + = δ 3 3 buluur ve ee ouç elde edlmş olur. 38

49 Teorem 4.7 ( ) çözümü ekr. T T olmak üzere, (4.) deklem, (, ) = (., ) (., ) u e e q İa : u (, ) = u(, ), deklem ek çözümüü e (., ) e (., ) q formuda olduğuu göerelm. u(, ), (4.) deklem br çözümü olu., T ç e (, ) ve,k T ç eq (, k) olduğu kabul edl. u(,) ( ) ( ) e., e., q u(,) ( ) ( ) oraı göz öüe alııra ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) ( σ ( ) ) u, e, e, u, e, e, = e., e q., e, eq, e, buluur. O halde ( ) ( ) q( ) ( ) ( ) q( ) e (, ) e (, ) e σ ( ), u, e, e, u, e, e, = = u(,) ( ) ( ) e., e., q ( ) ( ) ( ) ( ) q oraı abr. Böylece ( ) ( ) ( ) u, u, = = e., e., e, e, q q dr. u(, ) = e (., ) e (., ) olarak elde edlr. q 4.3 Geckmel Br Kım Damk Deklem İç Salıımlılık Şarları ve ıraıyla ve ye bağlı dela ürevler, { T } u{ T } = ve τ( ), φ( ) < < olmak üzere, ( ) ( ) ( ) ( τ( ) φ( )) u u u u u =,, +,, +, = (4.) deklem göz öüe alımışır. T ç ( ) + ve T ç q ( ) + olmak üzere, (4.) deklem (, ) = (, ) (, ), ( ) T T u e e q, 39

50 formuda br çözümüü varlığı kabul edlerek, aşağıdak eoremler elde edlmşr. Teorem 4.8 τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ olduğu kabul edl. Bu durumda eğer τ( ) φ( ) + + () ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + () ( ) () ( ). τ() (). φ( ) ( ) eşzlğ ağlaıyor e (4.) deklem üm çözümler alıımlıdır. (4.3) İa : Teorem aı ç, (4.3) eşzlğ ağlamadığıda (4.) deklem ozf br çözüme ah olduğuu göerlme yeerldr. u(, ) = e (, ) e (, ) çözümü, (4.) deklemde yere yazılıra, ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) f, q : = + q q = () ( ) q karakerk deklem elde edlr. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, ve τ ( ) ( ) + ( ) + φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) =, φ τ φ ( ) () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) q = φ τ elde edlr. Bulualar karakerk deklemde yere yazılıra, f ( q) ( ) + () + () ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ), : = φ τ τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ) ( ) + () + () ( ) τ φ τ() φ( ) τ() φ( ) + + () ( ). () (). ( ) ( ) olacakır. (4.3) eşzlğ ağlamadığıda τ ( ) + ( ) ( ) + ( ) + φ( ) φ ( ) () + () + τ() f, > ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) 4

51 ve τ ( ) ( ) ( ) φ( ) φ ( ) () () τ() f, ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) olur. f (, q) ürekl olduğuda, ( ) ve f, q = olacak şeklde τ ( ) ( ) + ( ) + φ( ) τ ( ) + ( ) ( ) + ( ) + φ( ), ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) q φ ( ) () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = φ τ buluablr. O halde (4.) deklem ozf br çözümü vardır. Şmd de (4.) deklem daha da geelleşrlerek αβ, olmak üzere ( ) ( ) α ( ) β ( τ( ) φ( )), +,, +, = (4.4) u u u u deklem göz öüe alıı. (4.4) deklem ç alıımlılık şarları celeecek oluura aşağıdak koşullar elde edleblr. Teorem 4.9 τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ, α >, β olduğu kabul edl. Bu durumda eğer τ( ) φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ) β + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ() (). φ( ) ( ) eşzlğ ağlaıyor e (4.4) deklem üm çözümler alıımlıdır. İa : Teorem aı br öcek eorem bezer şekldedr. u(, ) = e (, ) e (, ) çözümü (4.4) deklemde yere yazılıra, ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) ϕ q, : = + q α q β= () ( ) q karakerk deklem elde edlr. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, 4

52 ve τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + =, φ τ φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) q = φ τ elde edlr. Bulualar karakerk deklemde yere yazılıra, ϕ ( q) ( ) + () + α () ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ), : = φ τ τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ τ ). β ( ) + () + α () ( ) τ φ τ() φ( ) τ() φ( ) + + () ( ). () (). ( ) ( ) olacakır. (4.3) eşzlğ ağlamadığıda τ ( ) + ( ) α ( ) + ( ) + φ( ) φ( ) α () + () + τ() ϕ, > ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) ve τ( ) α ( ) ( ) φ( ) φ( ) α () () τ() ϕ + +, + + ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ), = olur. ϕ (, q) ürekl olduğuda, ( q ) ve ϕ olacak şeklde τ( ) α ( ) + ( ) + φ( ) τ ( ) + ( ) α ( ) + ( ) + φ( ), ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ ( ) ( ) ( ) + φ ( ) + ( ) τ( ) q φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = φ τ buluablr. O halde (4.) deklem ozf br çözümü vardır. Bezer şeklde αβ,, =,,..., m, m ozf br amayı olmak üzere m u u u u =, +,, +, = (4.5) ( ) ( ) α ( ) β ( τ( ) φ( )) deklem ç alıımlılık şarları celere bezer şeklde aşağıdak eoremler elde edleblr. 4

53 Teorem 4. τ () ( ( ) + ) > ( ) + φ( ) ( ) () () () veya φ + > + τ, α>, β olduğu kabul edl. Bu durumda eğer β τ( ) φ( ) + + () ( ) ( ) ( ) φ ( ) ( ) τ( ) + + > τ() φ( ) τ() φ( ) + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). ( ) ( ) φ eşzlğ ağlaıyor e (4.5) deklem üm çözümler alıımlıdır. İa : (4.5) dekleme a karakerk deklem ( ) ( ) ( ) τ( ) φ( ) ( ) φ q, : = + q α q β = () ( ) şekldedr. Eğer eşzlk ağlaıra, karakerk deklem ozf çözümüü olmadığı a edlecekr. ( + q α ) olmadığı açıkır. ( + q α ) < ç karakerk deklem ozf köküü ç karakerk deklem düzelere τ () ( ) φ () ( ) ( ) + + q ( ) φ( q, ): = ( α q) β + = ( α q) buluur. ψ ( q) τ () ( ) φ () ( ) ( ) ( ) + + q, : = ( α q) olu. Karakerk deklem ve q ya göre ürevler alıı ıfıra eşlere, () ( ( ) ) ( ) ( ) τ + > + φ q ç, veya φ ( ) () + > () + τ() τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + = >, φ τ φ( ) α ( ) + ( ) + τ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = < φ τ ç, τ( ) α ( ) ( ) φ( ) ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + + = <, φ τ 43

54 buluur. ( q), q φ( ) α () + () + τ() ( ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) = > φ τ ψ fokyou mmum değer τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ ) τ + + m ψ ( q, ) = ψ (, q) = q α () ( ) () + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). φ( ) < + < τ φ τ φ( ) ( ) değer ağlaya ( ),q okaıda alır. Böylece < + q < α ç τ() φ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( φ ) τ + + φ( q, ) ( α q) β + τ() φ( ) τ() φ( ) > + + ( ) + () + α () ( ) () ( ). τ () (). ( ) ( ) φ elde edlr. Burada karakerk deklem ozf köküü olmadığı görülür. Elde edle ouçlar kullaılarak aşağıdakler elde edleblr. T = ve T = durumları ç örekledrlre ( ) ( ) ( ) ( τ( ) φ( )) u u u u deklem göz öüe alıı. = = k, l olmak üzere () k y ble, +,, +, = T T olarak eçlre, ( ) = ( ) = τ = ve ( ) ( k l + ) olacakır. φ = l alııra kım fark deklemlerde k + l+ k l ( 3). k. l k + [ k + l + ] + > l+ alıımlılık şarı elde edlr. Burada = = olduğuda alıımlıdır. T T olmaı durumuda () = ( ) = k ve l ç lm alııra > ç deklem üm çözümler 44

55 5. NEUTRAL KISMİ DİNAMİK BİR DENKLEMİN SALINIMLILIĞI Zama kalaı eor oraya çıkmaıyla dfereyel deklemler ve fark deklemler eorler brleşrlmş ve geelleşrlmşr. Teor ayede ürekl ve kekl aalz ç ayrı ayrı ouçlar araşırmada br geelleme yamak mümkü olablmekedr. Böylece elde edle ouçlar reel ayılar küme veya am ayılar küme dışıda daha brçok zama kalaı ç geelleşrleblr. So yıllarda eural deklemler alıımlılığı ve alıımızlığı üzerde çalışmalar armakadır. Bu çalışmalar zama kalaı eor le de geşlelmşr. Acak yaıla çalışmalar ek değşkel aalzdedr. W. N. L ve B. T. Cu makalelerde eural geckmel arabolk dfereyel deklemler alıımlılığı ç gerek ve yeer şarlar elde emşlerdr (L ve Cu, ). S. H. Saker makalede ozf ve egaf kaayılı eural geckmel arabolk fark deklemler alıımlılığıı celemşr (Saker, 3). Acak yaıla araşırmalarda heüz kım eural damk deklemler alıımlılığı le lgl br çalışmaya ralamamışır. Bu bölümde, ye bağlı dela ürev, Ω, oeraörü ve,u{ },(,) [, ) T de ıırlı br bölge, L T T = x Ω G olmak üzere, T T de Lalace (, ) α (, φ( )) = () (, ) + () (, β ()) u x u x a Lu x ak Lu x k j= j k= ( j ) (), γ () q u x (5.) deklem göz öüe alımışır. Bu bölüm boyuca, (H) < α < olacak şeklde br ab, + ( T ) ( ) a, a, q C,,, k =,,..., ; j=,,...,, (H) [ ) k j rd (H3) C [ ) φ, β, γ, T, T fokyolarıı yeerce büyük değer ç (), (), () rd φ β γ şarıı ağlaya ıırız ara fokyolar olduğu kabul edlmşr. Burada kolaylık olmaı ç [, ) : [, ) ıır koşuluu = T le göerlmşr. Ayrıca T 45

56 u (, ) N x =, ( x, ) [, ) olduğu kabul edl. Burada N, Ω ıırıa dış ormal vekördür. Ω T (5.) Taım 5. u C ( G) C ( G) fokyou, G bölgede (5.) deklem ve (5.) rd rd ıır koşuluu ağlıyora, (5.) ve (5.) deklemler çözümüdür der. Taım 5. Herhag br ç u( x, ) = şarıı ağlaya br ( x, ) Ω [, ) okaı vara, (5.) ve (5.) deklemler u( x, ) çözümü, [, ) alıımlıdır der. T Ω T bölgede Temel eoremler aıda kullaılmak üzere elde edle lemmalar aşağıda verlmşr. Lemma 5.3 y> ( ) ve y ( ) <, γ ( * ) T = olmak üzere *, T ve { } q ( ) olduğuu göz öüe alıı. Ayrıca b mak φ(), T m{ γ () } ve z αzφ + q zγ T () ( ()) () ( ()), T ç = olu (5.3) egral eşzlğ T b T ç ürekl ozf br y: [ T b, ) (, ) çözümüe ah olduğu kabul edl. O halde lgl egral deklem x = αx φ + q x γ T () ( ()) () ( ()), de ürekl ozf br x [ T b, ) (, ) : T (5.4) çözümüe ahr. T İa : Λ fokyolarıı br küme ve br döüşümü + { w Crd ([ T b, ), ): w(), T b} Λ= ve T 46

57 ( w)( ) αw( φ() ) z( φ() ) q() w( γ() ) z( γ() ), T z () + = T + b T + b ( w)( T) +, T b T b b şeklde aımlaı. (5.3) eşzlğde herhag w Λ ç [ T b, T) aralığıda Λ Λ ve ( w)( ) > olduğu görüleblr. Λ fokyolar kümede T b ç w ( ) = ve k () ( k)() { } w + = w, k =,,,... olacak şeklde br wk () dz aımlaı. (5.3) eşzlğde, ümevarım meodu le w w, k =,,,..., T b k+ elde edlr. Böylece T b ( ) k() ç w () lm w() = vardır ve T ç k w () = αw( φ() ) z( φ() ) q() w( γ() ) z( γ() ) z () + ve T b T ç T + b T + = + b b b () ( w)( T) w olur. x() = w() z() olarak eçlre, ( ) [, ) T b T ç () k x fokyou (5.4) deklem ağlar ve x> dır. [ T b, T] aralığıda x( ) ürekldr. (5.4) de x( ) fokyouu [ T b, ) aralığıda da ürekl olduğu görüleblr. So olarak T b ç x> () olduğu göerlmeldr. şeklde * * T b ç () x> ve ( ) T olduğuu kabul edelm. Böylece (5.4) deklemde yazılablr. O halde her α (,), *, T * * ( ) α ( φ( )) () ( γ() ) = x = x + q x, T * * ç α = ve q ( ) x( ( ) ) ( ) ç [, ), + qj Crd ve ( ) T zama [ T b, ) aralığıda x> () dr. İa ber. x * = olacak γ = olacakır. Bu da q olmaı le çelşr. O Lemma 5.4 α ( ) [ ) + ( ) γ ([ ) ),, q C,, ve C,, T olmak üzere rd T rd T 47

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri

Sistem Modellerinin Zaman Cevabı ve Performans Kriterleri Korol Siemleri Taarımı Siem Modellerii Zama Cevabı ve Performa Krierleri Prof.Dr. Galip Caever Korol Siemleri Taarımı Prof.Dr.Galip Caever Kapalı dögü iemi oluşurulmaıda öce iem modelide geçici rejim cevabıı

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1

Fresnel Denklemleri. 2008 HSarı 1 Feel Deklemle 8 HSaı 1 De İçeğ Aa Yüzeyde Mawell Deklemle Feel şlkle Yaıma Kıılma 8 HSaı Kayak(la Oc ugee Hech, Alfed Zajac Addo-Weley,199 Kuaum leko-diamğ (KDİ, Rchad Feyma, (Çev. Ömü Akyuz, NAR Yayılaı,

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)

III.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t) III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain *

Direct Decomposition of A Finitely-Generated Module Over a Principal Ideal Domain * BİR ESAS İDEAL BÖLGESİ ÜZERİNDEKİ SONLU DOĞURULMUŞ BİR MODÜLÜN DİREK PARÇALANIŞI * Drec Decompoon of A Fnely-Generaed Module Over a Prncpal Ideal Doman * Zeynep YAPTI Fen Blmler Enüü Maemak Anablm Dalı

Detaylı

ELIN FİLTRELERİN GENEL SENTEZ TEORİSİ VE GERÇEKLENME ŞARTLARI

ELIN FİLTRELERİN GENEL SENTEZ TEORİSİ VE GERÇEKLENME ŞARTLARI PAMUKKAE ÜNİ ESİ TESİ MÜHENDİ Sİ K FAKÜTESİ PAMUKKAE UNIESITY ENGINEEING COEGE MÜHENDİ Sİ K B İ İ MEİ DEGİ S İ JOUNA OF ENGINEEING SCIENCES YI CİT SAYI SAYFA : 007 : 3 : : 47-56 EIN FİTEEİN GENE SENTEZ

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

6. NORMAL ALT GRUPLAR

6. NORMAL ALT GRUPLAR 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri

FZM450 Elektro-Optik. 7.Hafta. Fresnel Eşitlikleri FZM45 leko-ok 7.Hafa Feel şlkle 28 HSaı 1 7. Hafa De İçeğ Feel şlkle Yaıma Kıılma lekomayek dalgaı dalga özellkle kullaaak ışığı faklı kıılma de ah yüzeydek davaışı celeecek 28 HSaı 2 Feel şlkle-1 Şekldek

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices

Filbert Matrislerinin Normları İçin Alt ve Üst Sınırlar. The Upper and Lower Bounds For Norms of Filbert Matrices lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Sülema Demrel Üverstes B Türe E Sarııar e Blmler Esttüsü Dergs - (00 - lert Matrsler Normları İç lt ve Üst Sıırlar Bahr TÜREN E SRIPINR Sülema Demrel Üverstes

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ

Doç. Dr. M. Mete DOĞANAY Prof. Dr. Ramazan AKTAŞ TAHVİL DEĞERLEMESİ Doç. Dr. M. Mee DOĞANAY Prof. Dr. Ramaza AKTAŞ 1 İçerik Tahvil ve Özellikleri Faiz Oraı ve Tahvil Değeri Arasıdaki İlişki Tahvili Geiri Oraı ve Vadeye Kadar Geirisi Faiz Oraı Riski Verim

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep

GENELLEŞTİRİLMİŞ BULANIK KÜMELER. Mehmet Şahin Gaziantep Üniversitesi, Matematik Bölümü, 27310, Gaziantep GENEEŞTİRİMİŞ UANIK KÜMEER Mehme Şah Gazaep Üverses, Maemak ölümü, 27310, Gazaep ÖZET: u çalışmada öcelkle P ( br al ale olarak buludura bulaık kümeler GF ales br halka olarak yapıladırılmaka ve bu yapıı

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERE BAĞLI İNTEGRAL KARESEL FONKSİYONELİNİN MİNİMİZASYON PROBLEMİNDE EK DEĞİŞKENLER METODU

LİNEER OLMAYAN KISMİ TÜREVLİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERE BAĞLI İNTEGRAL KARESEL FONKSİYONELİNİN MİNİMİZASYON PROBLEMİNDE EK DEĞİŞKENLER METODU Fe Blmler Derg Sayı: 9 8 LİNEE OLMAYAN KISMİ ÜEVLİ DİFEANSİYEL DENKLEMLEE BAĞLI İNEGAL KAESEL FONKSİYONELİNİN MİNİMİZASYON POBLEMİNDE EK DEĞİŞKENLE MEODU amz aao Kırgıza ürkye Maa Üere Fe Blmler Eüü Bşkek

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK-MİMARLIK AKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAKİNA ELEMANLARI LABORATUARI DENEY ÖYÜ DENEY I VİDALARDA OTOBLOKAJ DENEY II SÜRTÜNME KATSAYISININ BELİRLENMESİ DERSİN

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

Okan Yurduseven 1, Ahmet Serdar Türk 2. Marmara Üniversitesi oyurduseven@marmara.edu.tr. Yıldız Teknik Üniversitesi asturk@yildiz.edu.tr.

Okan Yurduseven 1, Ahmet Serdar Türk 2. Marmara Üniversitesi oyurduseven@marmara.edu.tr. Yıldız Teknik Üniversitesi asturk@yildiz.edu.tr. Mkrodalga Radar Stemler İç Koekat-Kare Işıma Deel Dışbükey Parabolk Yaıtıcı Ate Taarımı Covex Parabolc Reflector Atea Deg Wth Coecat-Squared Radato Patter For Mcrowave Radar Sytem Oka Yurdueve, Ahmet Serdar

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ 2. HAFTA Doç. Dr. Haka GÜLER (2015-2016) 1. TRAFİK AKIM PARAMETRELERİ Üç öeml rafk akım parameres vardır: Hacm veya akım oraı, Hız, Yoğuluk. 2. KESİNTİSİZ AKIM HACİM E AKIM

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

REAKTÖRLER V Q. t o ...(1.1)

REAKTÖRLER V Q. t o ...(1.1) REAKTÖRLER İçide kimyasal veya biyljik reaksiyları gerçekleşirildiği aklara veya havuzlara reakör adı verilir Başlıa dör çeşi reakör vardır: Tam Karışımlı Kesikli Reakörler: Reakör dldurulup işlem yapılır

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ. Yunus KOCATÜRK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ. Yunus KOCATÜRK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BULANIK DEĞİŞKENLER VE BULANIK YENİLEME SÜREÇLERİ Yuus KOCATÜRK İSTATİSTİK ANABİLİMDALI ANKARA 7 Her hakkı saklıdır Yrd. Doç. Dr. Hall AYDOĞDU

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Değişim Oraı: oksiouu değişimii ile, i değişimii İle östere. Değişim oraı olur. Diğer tarata olduğuda, Değişim oraı ve 0, alalım. Örek: Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol olur. 0,

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

NOT: Deney kılavuzunun Dönme Dinamiği Aygıtının Kullanımı İle İlgili Bilgiler Başlıklı Bölümü okuyunuz.

NOT: Deney kılavuzunun Dönme Dinamiği Aygıtının Kullanımı İle İlgili Bilgiler Başlıklı Bölümü okuyunuz. 8. AÇISAL HIZ, AÇISAL İVME VE TORK Hazırlayan Arş. Grv. M. ERYÜREK NOT: Deney kılavuzunun Dönme Dnamğ Aygıının Kullanımı İle İlgl Blgler Başlıklı Bölümü okuyunuz. AMAÇ 1. Küle merkez boyunca geçen ab br

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ BĠR GRAFIN TERS WIENER ENERJĠSĠ VE TERS WIENER-ESTRADA ĠNDEKSĠ Sez ÇĠZMECĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matemat Aablm Dalı OCAK-0 KONYA Her Haı Salıdır TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ

Detaylı

Otomatik Kontrol I. Laplace Dönüşümü. Vasfi Emre Ömürlü

Otomatik Kontrol I. Laplace Dönüşümü. Vasfi Emre Ömürlü Oomaik Konrol I Laplace Dönüşümü Vafi Emre Ömürlü Laplace Dönüşümü: Özellikleri eoremleri Kımî Keirlere Ayırma By Vafi Emre Ömürlü, Ph.D., 7 Laplace ranform I i advanageou o olve By uing, we can conver

Detaylı

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA

DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMPLEKTİK GEOMETRİ E. ATA DÜ Fe Blmle Esttüsü Degs Dual Kuateyola 6. Sayı (Em l004) Üzede Smlet Geomet DUAL KUATERNİYONLAR ÜZERİNDE SİMLEKTİK GEOMETRİ E. ATA Özet Bu maalede dual uateyola üzede smlet gu, smlet etö uzayı e smlet

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

BİR BOYUTLU HAREKET FİZİK I. Bir Boyutlu Hareket? 12.10.2011. Hız ve Sürat. 1 boyut (doğru) 2 boyut (düzlem) 3 boyut (hacim) 0 boyut (nokta)

BİR BOYUTLU HAREKET FİZİK I. Bir Boyutlu Hareket? 12.10.2011. Hız ve Sürat. 1 boyut (doğru) 2 boyut (düzlem) 3 boyut (hacim) 0 boyut (nokta) .0.0 r oulu Hareke? İR OYUTLU HREKET FİZİK I bou (doğru bou (düzlem 3 bou (hacm 0 bou (noka u bölümde adece br doğru bounca harekee bakacağız (br boulu. Hareke ler olablr (pozf erdeğşrme ea ger olablr

Detaylı

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör

AES S Kutusuna Benzer S Kutuları Üreten Simulatör AES S Kutusua Bezer S Kutuları Ürete Smulatör M.Tolga SAKALLI Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ tolga@trakya.edu.tr Erca BULUŞ Trakya Üverstes Blgsayar Mühedslğ ercab@trakya.edu.tr Adaç ŞAHİN Trakya Üverstes

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için

ÖzelKredi. İsteklerinize daha kolay ulaşmanız için ÖzelKredi İstekleriize daha kolay ulaşmaız içi Yei özgürlükler keşfedi. Sizi içi öemli olaları gerçekleştiri. Hayalleriizi süsleye yei bir arabaya yei mobilyalara kavuşmak mı istiyorsuuz? Veya özel güler

Detaylı

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

SAYISAL ANALİZ. Ders Notları MART 27, 2016 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SAYISAL ANALİZ Ders Notları MART 7, 06 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ, MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ PAÜ, Müh. Fak., Make Müh. Böl., Sayısal Aalz Ders Notları, Z.Grg Ösöz Mühedslkte aaltk olarak

Detaylı

DENEY 5: FREKANS MODÜLASYONU

DENEY 5: FREKANS MODÜLASYONU DENEY 5: FREKANS MODÜLASYONU AMAÇ: Malab da rekans modülasyonunun uygulanması ve nelenmes. ÖN HAZIRLIK 1. TEMEL TANIMLAR Açı modülasyonu, az ve rekans modülasyonunu kasamakadır. Taşıyıının rekansı veya

Detaylı

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler - Güz Haberleşme Sisemleride emel Bilgiler Güz - uay ERŞ. Haa Bölüm I Siyaller ve Sisemler emel Bilgiler Siyaller ve Sııladırılması Güç ve Eerji Furier Serileri Furier rasrmu ve Özellikleri Dira Dela Fksiyu

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER

Detaylı

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455

İleri Teknoloji Bilimleri Dergisi Journal of Advanced Technology Sciences ISSN:2147-3455 İler Tekoloj Blmler Dergs Joural of Advaced Techology Sceces ISSN:47-3455 GÜÇ SİSTEMLERİNDE HARMONİKLERİN KRİTİK DEĞERLERE ETKİSİ Yusuf ALAŞAHAN İsmal ERCAN Al ÖZTÜRK 3 Salh TOSUN 4,4 Düzce Üv, Tekoloj

Detaylı

SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK

SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GEÇ KALAN ARGÜMENTLİ SÜREKLİ OLMAYAN SINIR-DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARININ ASİMPTOTİK İFADELERİ Erdoğa ŞEN Yükek Lia Tezi Matematik Aabilim Dalı

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler

Adi Diferansiyel Denklemler NÜMERİK ANALİZ. Adi Diferansiyel Denklemler. Adi Diferansiyel Denklemler 6.4.7 NÜMERİK ANALİZ Yrd. Doç. Dr. Hatce ÇITAKOĞLU 6 Müendslk sstemlernn analznde ve ugulamalı dsplnlerde türev çeren dferansel denklemlern analtk çözümü büük öneme saptr. Sınır değer ve/vea başlangıç

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı