SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
|
|
- İbrahi̇m Erdem Onarıcı
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 7
2 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 GRAFİK METODU 7 ORTA NOKTA METODU 7 HATALI KONUM METODU (Leer terposo ötem 9 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD 5 NEWTON-RAPHSON METODU 5 Newto-Rphso ötemde ht z 5 Newto-Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı 6 SEKANT METODU 5 7 KATLI KÖKLER 6 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ 9 GRAFİK METODU DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU ( ok edmes YÖNTEMİ GAUSS ELİMİNASYONU METODU 5 GAUSS-JOURDAN METODU 7 6 TERS MATRİS METODU 9 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı 9 7 ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU 5 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem 5 7 Crout Beşeere ırm ötem (Crout decomposto 8 8 KAREKÖK METODU (Choesk ötem 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss-Sede ötem 6 5 EĞRİYE UYDURMA 7 5 YAKLAŞTIRMA (Regressso METODU 7 5 Doğru kştırm metodu 7 5 Poom kştırm metodu 5 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek 5
3 5 İNTERPOLASYON 55 5 Leer terposo (r değer bum 55 5 Kudrtk terposo 56 5 Newto terposo poomuu gee ormu: 57 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem Lgrge terposo poomu 59 6 SAYISAL İNTEGRAL 6 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜL 6 6 Trpez (muk kurı 6 6 İtegr böges eşt prç böerek muk kurıı uguışı 6 6 Smpso u / kurı 6 6 IMPROPER İNTEGRAL (sıırrı sosuz o tegr 68 7 SAYISAL TÜREV 69 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER 7 8 ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 7 8 EULER METODU 7 8 İeştrmş Euer metodu 7 8 HEUN METODU 75 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ YÖNTEMİ 76 EK A Tor Sers 78 EK B Dh öcek seeere t sıv sorurı ve çözümer 8
4 -GİRİŞ Mühedskte doğdk orı ve ouşumrı bmse ötemere şı şeş kurrı çok öemdr Bu kurr sığı kuımı suuck et, chz, mke, pı ve sstemer ouşturumsıd, şetmesde ve geştrmesde kuımktdır Doğdk or ve ouşumr bmse ötemere ceerke değer değştkçe orı ser ve ouşumrı soucuu etkee büükükere değşkeer der İceeme soucud değşkeer rsıdk şkerde tbo değerer çeşt grker ve cebrse, derse ve tegr dekemer ve sstemer ede edr İkc derecede cebrse dekemer sısı z om cebrse dekem sstemer eer derse dekemer ve sstemer, düzgü geometre shp kısm türev eer derse dekemer ve sstemer tk ötemere çözüme gdmese krşıık dğer durumrd pek ko ommktdır Htt çoğu kere bu mksızdır Bud doı büük dekem sstemer, eer omm durumu ve krmşık geometr durumrıd sıs ötemer ve deese ötemer ugumktdır So ırd bgsr tekoosdek geşmeer sıs ötemer oğuuğuu ve etkğ rtırmıştır SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ Sıs ötemerde ouşbecek htrı kesme, uvrtm htsı ve seçe mtemtk modede kk htr ork sbrz Kesme htsı, üksek mtemtk oksorı hespırke kuı sererde ı term sısı bğıdır Yuvrtm htsı, pı şemerde ger çe sırd vrgüde sor ı rkm sısı bğıdı Mtemtk modede kk ht Gerçek durum e mtemtk mode rsıdk rk bğıdır HATA TANIMI Doğru değer = kşık değer + Ht Ht = Doğru değer - kşık değer Et = Doğru değer - kşık değer Bğı ht = ht / doğru değer Bğı gerçek üzde ht εt = (gerçek ht / doğru değer % Bğı kşık üzde ht ε = ( kşık ht / kşık değer % Ardışık metotrd uguışı ε = (( şmdk kşık değer br öcek kşık değer/ (şmdk kşık değer %
5 SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRIMASI Dekemer köker ( = dekem sğ değerer ( hesbı Leer dekem sstemer çözümü kök A + A = C A + A = C çözüm Eğr udurumsı ( ( Nümerk tegr Regreso Iterposo (kştırm (r değer bum ( b I d I = eğr tıdk ( 5
6 5 Nümerk türev Türev: ( sıs türev d ( ( ( Lm d türev Nümerk türev : d ( ( ( d 6 Ad derse dekemer d dt (t, t t e bğı çözümü: θ tg θ = (t, (t, t t t + t t 7 Kısm türev derse dekemer u u (, ve e bğı ork u hespır 6
7 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI ( = dekem sğ değerere bu dekem köker der Örek ork derecede ( = + b + c dekem köker b b c eştğ e koık buuur Herhg br ( = dekem köker her zm bu kdr ko hespmz Buu ç sıs ötemer geştrmştr GRAFİK METODU Bu ötemde ( dekem öçek br Şekde çzr Eğr ekse kestğ ( c oktr okum çışıır 5 Örek ork prşütü ş krkterze ede dekem ee ım gm v c e (c / mt Burd v hızı, g erçekm vmes, m Küte ve c de hvı drec gösteror c Vere v = m/s, m=68, kg, g=98 m/s, t = s değerer e c hv drec hespmk ç gm mt (c e (c / v şekde ukrıdk dekem düzeep buu sıır p c c değer ukrıdk grkte c =,7 değer okubrz ORTA NOKTA METODU ( r = (u + / (+ ( * (u < se ( dekem (, u rığıd e z br kökü vrdır r = ( +u / ( r u ( * (r < se u = r ( * (r > se = r ( * (r = se r köktür 7
8 Örek ( = - - çözüm = - = ( = u =5 (= - (5 = ( * (5 = -6 < r =(+5/ r =,5 (,5=,5 (* (,5 < u =,5 ( = u =,5 r =(+,5/ r =,75 (,75= -9 ( * (,75 > =,75 ( =,75, u =,5 r =,5 (,5 = 56 (,75 * (,5 < u =,5 ε = (,5-,75/,5 % ε = % ( =,75, u =,5 r =,9 (,9= -, (,75 * (,9 > =,9 ε =6, % ( =,9, u =,5 r =, (r = ( ( r < u =, ε =,97 % ( =,9, u =, r =,985 (r = -6 ( ( r > =,985 ε =,5 % ( =,985, u =, r =,75 (r = - ( ( r < u =,75 ε =,75 % ( =,985, u =,75 r =,99 (r = -99 ( ( r > =,99 ε =,59 % ( =,99, u =,75 r =,999 ε =, % 8
9 HATALI KONUM METODU ( Leer terposo ötem ( (u ( r u r ( r u (u r (u u ( ( u u Örek ( = - ( çözüm = -, = = u = 5 ç ( = - (u = (, u rığıd e z br kökü vrdır ( (u < oduğud ( dekem r = 5 ( -5 / (-- r =,6 ε = (,6 /,6 % = % =,6 ( = -, r = 5 (,6-5 / (-,- r =,86 ε = 9, % =,86 ( = -,5 r = 5 (,86-5 / (-,5- r =,95 ε =,5 % =,95 ( = -,975 r = 5 (,95-5 / (-,975- r =,98 ε =, % =,98 ( = -,68 r = 5 (,98-5 / (-,68- r =,99 ε =,7 % =,99 ( = -, r = 5 (,99-5 / (-,- r =,98 ε =, % ε = (,998,99 /,998 % =, % 9
10 BASİT TEK NOKTALI ARDIŞIK METOD Bu ötemde ( oksou ( = ( ock şekde k prç rıır Bu ırım + = g ( şekde obr ( =( + = g ( =( ε = ( + / + % εt = ( t / t % kök Örek ( = e - ( = ( = e ( = e - - kök =, ( = e - 8 ( = 6 kök 6 8
11 Yukrıdk eştkere şğıdk tbo zıbr + = e -X % % εt ε, , 7,6789,69 5, 6,9,69,57, 8,,57,66,8 7,,66,5596 6,89,,5596,5796,8 5,9,5796,565,,8,565,57,,9,57,56879,75,,56879,5688,99,6,5688,5665,6,55,5665,567557,8,,567557,5669,7,,5669,5678,,65,5678,56766,,8
12 5 NEWTON RAPHSON METODU ( ( kök eğm = ( ( + ( ( ( ( Newto- Rphso ötem rıc Tor sersde çıkrbrz ve bu o ht z de pıır Ek dek tek değşke ( oksou oktsıd Tor serse çıımıı göz öüe ım Burdk çıımd ere, ere + zrsk şğıdk eştğ ede ederz ( ( ( ( (ξ ( Burd ξ, e + rsıd br değerdr mertebede türev çere termerde sorker ımz ve (+ = ıırs ( ( ( eştğ zıır Burd Newto-Rphso ötemde ede ede şğıdk dekem ede edr ( ( 5 Newto-Rphso ötemde ht z r : kökü gerçek değer Tor sere ereştrp bud kşık dekem çıkrıırs ( ( (r (ξ (r _ ( ( ( ( (r (ξ (r E t, (öcek gerçek ht Et, r ( gerçek ht r eştker ukrıdk dekeme ereştrrsek ( Et, (ξ Et, eştğ ede ederz Çözümü kısdığı düşüüürse ve ξ, r kısr ve böece gerçek kök değere
13 E t, ( r E ( r t, dekemde htı kbc öcek htı krese ortıı oduğu görüür ( Kudrtk kıskık Örek 5 ( = ( Gerçek çözüm = -, = ( ( ( ε = (+ / + % + ε, % -,5 -,5 -,5 -,5 -,69756,9 -, ,9,6 -,9 -,9 5 Newto Rphso ötem k bme eer om dekem sstem çözümüe ugumsı Ek dek k değşke oksorı Tor sersde ere, ere, ere +, ere + ıp brc mertebede türev termerde sork termer mzsk şğıdk dekem ede ederz (, (, (, ( İk bme eer dekem sstem u(, (, v(, şekde gösterrsek ukrıdk Tor sersde ede ede eştğ bu her k dekeme rı rı ugummız gerekr u(, u(, u(, u(, ( ( v(, v(, v(, v(, ( ( ( Sstem çözümüü rdığımız ç
14 , ( u, ( v omıdır Arıc u, ( u v, ( v ıırs dekem sstem şğıdk gb düzeeebr u u u u u v v v v v Böece + ve + büüküker bme kbu ede k bme eer dekem sstem ede edr Bu sstem Krmer kurı göre çözüürse şğıdk eştker buuur v u v u u v v u v u v u u v v u Örek 5 u(, = + - = u(, = v(, = + 57= v(, u, u, v, 6 v ( 6 ( ( 57 ( 6 ( (
15 ( ( 57( ( ( 6 ( + +,767588,9767,767588,9767,98,57987,98,57987,99975, ,99975, , ,7, ,7 6 SEKANT METODU Newto-Rphso ötem ç gerek o türev m şem bzı poom ve oksord zordur Bu ötemde türev ere sou rkr türev ormüü kuıır ( ( Newto Rphso Yötem ( burdk ( ere ( ( ( kşık değer ıır Bu dekemde + şğıdk şekde ede edr ( ( ( ( k değer ve - bşgıçt vermedr Bu bşgıçt vere k değer kökü rı trrıd omk zorud değdr ( ( (- kök + - 5
16 Örek 6 ( = - ( çözüm = -, = ( (, ε = % ( ( İ - + ε, % - -,6 - -,6 -, , , ,7 -, , ,999997,75 5 -, , ,6 6 -, ,5 7 KATLI KÖKLER ( - k ktı kök ( = (- (- (- ( = Burd = k ktı köktür - - ( üç ktı kök ( = (- (- (- (- ( = Burd = ktı köktür ( dört ktı kök ( = (- (- ( - (- (- ( = Burd = ktı köktür - - 6
17 ( u( oksou e oksouu köker ıdır ( Bu durumd ( ere u( oksouu köker rştırıır Örek ork Newto- Rphso ötem uguırs şğıdk dekem ede edr u( u( Bu dekemde u ( ere ( ( ( ( u ( ( ( ( ( ( ( ( ( u( des e göre türev ııp kours ( ktı köker ç ede düzeemş Newto Rphso ötem kşım dekem ede edr Örek 7 ( = (- (- ( = - + ( = k ktı köktür Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm (, ( ( + ε %,5,5,75,,75,875,9,875,975 6,67,975,96875,6,96875,9875,587,9875,99875,787,99875,996975,9,996975, ,957, ,9995,978 7
18 Örek 7 ( = (- (- (- ( = Stdrt Newto-Rphso ötem e çözüm ç ( 7, ( 6 eştker [5 ( ]dekemde ere zrsk dekem ede ederz Bu dekem kurk şğıdk tbou düzeeebrz + ε, %,85786,85786, ,5, , ,668,88655,9989 8,8,9989, ,, ,977655,7,977655, ,7, ,99675,56,99675, ,8, , ,, ,999998,76 Geştrmş Newto-Rphso ötem ç ede ede ( ( ( ( (6 eştğ kurk şğıdk tbo ouşturuur + ε, %,5658,5658,866,868,866,9,8,9,9 8
19 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜMÜ Öcek böümde tek br ( dekem sğ değerer buuuşu tıdı Şmd se (,,,, (,,,, şekde det dekem ı d sğ,,,, değerer rştırıcktır Eğer bu (,,,, dekemer şğıdk gb ours bu dekem ssteme eer dekem sstem der + + +, + = c + + +, + = c + + +, + = c + + +, + = c Burd, c sbterdr Leer dekem sstem mtrs gösterm [ A ] { } = { C } şekdedr Burd çözüm mtrs { } = [ A ] - {C} şekde zıır Bu mtrser şğıdk gb çık şekde zıbr A,, C c c c c 9
20 Leer dekem sstem çözümüde şğıdk metodr uguır Grk metodu Determtr ve Crmer kurı Bmeer emsou (ok edmes Guss Emso metodu 5 Ters mtrs metodu (Guss Jord ötem 6 İterso ötem (Guss Sede ötem 7 At üst üçge mtrsere ırm metodu 8 Krekök metodu ( Choesk ötem, smetrk bt mtrser ç GRAFİK METODU Bu ötem kde z bme çere dekem sstemere ugumz Fkt çözümü geometr rdımı e orumu pıbr Örek X + X = 8 - X + X = X X + X = Çözüm X =, X = -X + X = X 5 6 X X -(/ X +X = -(/ X +X = -(/ X+ X =/ -X + X = X X X -(,/5 X + X =, -(/ X + X = X
21 DETERMİNANTLAR VE CRAMER KURALI Bu ötem de z bme dekem sstemer ç kuışı değdr Üç Bme dekem sstem ç bu ötem şğıdk gb uguır c c c D c c c, D c c c, D D c c c Örek,,5,5,9,,,5,,67,,,5,67,9,,5,,,5,78 D,5,9,, 9 D,,,,5,,,,5,,5,67,9,5,67,,,5,69,,,,56 9,5 9, 8 D, D,
22 BİLİNMİYENLERİN ELİMİNASYONU (ok edmes YÖNTEMİ Bu ötem k bme eer dekem sstemer üzerde gösterem ( c ( c ( dekem, ( dekem e çrpııp topırs ok edmş our ( ( ( = c c + ( = ( ( = ( c c c c Bu değer ( dekemde ere ereştrrse c Örek 8 (8 ( (8 ( (, ( ( (
23 GAUSS ELİMİNASYONU METODU Bmeer emsou ötem sstemtk he getrmş şekdrbu ötem eer dekem sstemere şğıdk şekde uguır c c c İk öce ( dekem dışıdk bütü dekemerde ok edr Buu ç ( dışıdk bütü dekemere şğıdk şem uguır,,, Bu şem ugudıkt sor dekem sstem şğıdk durum ger c c c c c Bezer şekde kc dekemde tbre sork dekemerde sır e bmeerde ok edrse şğıdk dekem sstem ede edr c c c,,, ( ( ( c Bu sstemde bmede bşrk gere doğru ere kom şem e bütü bmeer şğıdk ormüer e hespır c ( ( ( c ( (,,,
24 Örek Aşğıdk dekem sstem çözüüz (,,, 7, 7,85 ( (,, 9, 7,,, Bu dekem ssteme ( ( ve ( ( şemer pıırs,, 7,85 ( ( -, -, (,,, (, [7 (,] [, (,],,, (, [, (,] [ * (,] = 7,85, 9,, 7, ( (,, 7,,9 ( (,9, 7,85 9,567 7,65 (,9 dekem sstem ede edr Bu sstemde so stır ( ( şem pıırs 7, (,, 7,,9 ( 7,85 9,567 (, 7,8 Bu so ede ede sstemde bmeer so dekemde k dekeme doğru ere kom e ede edr 7,8 So ( dekemde 7, buuur Bu değer e (, dekeme gdp ord hespır 7, 9, 567 7,,9,5 Buu bu ve değerer ( dekemde ere ereştrerek bmede çözüür,5, 7, 7, 85, 7,85 7,85
25 Örek Vere kes sstem şekdek gb ükemştr Aşğıdk dekem sstem kurk sısı o AB, BC, AD, BD, CD, DE, CE, A, A ve E bmeer çözüüz kn 5 kn B C m A m D m E A + AD = A + AB = 5 + BC + (/5 BD = AB (/5 BD = BC + (/5 CE = CD (/5 CE = AD + DE (/5 BD = CD + (/5 BD = DE (/5 CE = E + (/5 CE = Çözüm: / 5 / 5 / 5 A / 5 / 5 / 5 / 5 / 5, C 5 5
26 A,5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5, C 5 / 5 / 5 / 5 5 / 5 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 / 5 5 / 5 / 5 5 / / 5 / 5 6 / / 5 / 5 kn E 9 8kN DE 5 / 5 5 / / 5 / 5 / Örek,, 5, 5 6
27 ,5,5,5,5 8,5,5 5,5,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 8,5,5,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5,5 5 6,5,5 7,5,5,5,5,5 5
28 ,5,5 7,5 7,5 7,5 5,5,5,5 7,5 6,5,5 6,5 7,5,5,5 7,5,5,5, 5,5 6,5 6,, 6,, 7,5,5 6,5,,5,55,5, ,,, 6,5,5, 7,5,5 6,5,5,, , 5 Ede ede çözüm değerer sğmsı 5 ( ( ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 6 ( ( GAUSS-JOURDAN METODU Bu ötemde A c dekem sstem her k trı I A c Ssteme döüştürüür A e sod çrpırk Örek
29 / / / / /,75 7,75,5,5,75 6,75,5 5,5,75,75,5,5 (,75,75,5,5,5,5,5,5 8,5,5 5,5,5,5,5,5,75,75,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 8,5,5,5,5 5,5,5,5,5,5,5,75,5,5,75,5,5,5,5,5 6,5,5 7,5,5,5,5,5,5,5,86667,6667,86667,6667,86667,5,5,6667,5,5,5,5,86667,5,5,6667,5,5,5,5
30 ,6665,5,6667,,9,666, ,,6665,665,5,5,6667,667,9,665,666,5,86667,667 5 Bu ede ede rttırımış mtrs şğıdk rttırımış mtrse eşt oduğud 5 böece,, 5, çözüm değerer buumuş our 6 TERS MATRİS METODU Ters mtrs ötemde ı ktsır mtrse shp eer dekem sstemerde rkı İkc tr vektörer ç çözümer dh ko ede edr 6 Guss-Jord ötem mtrser ters buumsı uguışı A c dekem sstem her k trı A e çrpıırs A c ede edr
31 A mtrs e şğıdk gb te dekem sstem ede edr,,, Bu te sstem A Y I Y A şekde gösterebr Burd zıck A I rttırımış mtrs K I ( I Y K Y K mtrse döüştürüürse A K ede edr Çükü I Y A oduğu göre K Y I our Arıc A Y ve brm mtrse br mtrs çrpımı kedse eşt oduğud Y Y I dır burd K Y ve souç ork A K buuur
32 k k k k k k k k k k k k k k k k Örek 6 7,85,, 9,, 7, 7,,,,, 5, 7, 5,, dekem sstemer çözüüz,,, 7,,, A,,, 7,,,,,, 7, /, /,/ /,,, 7,,,666667,
33 ,*,,666667,,,*,,*,,*,,666667,*,,,*( 7,*,,,666667,,,,9,,9 7,,,666667,,,,9 7, / 7,,/ 7,,9/ 7, 7,/,,666667,,,,9,8,79,76,,666667,,9*,,7,9*(,,7,9*,,9*,9,8,79,76,*,,,,7,*,67,*,,7,9,,8,79,76,799,75,6857 /,,7 /,,9 /,,/,,8,79,76,799,75,6857,99879,698,778,8,79,76,799,75,6857,99879,7,8,7 *,,7 *,7,,,7 *,7,7,7,68*,,68*,7,7,,68*(,,68,68,9988,6986,779,86,9,56,6798,997,89
34 A,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 Böece ktsır mtrs A c dekem e ede edr İk sstem çözümü: A o Bütü sstemer çözümü:,89,56,779,997,9,6986,6798,86,9988 7,85 9, 7, =,8,886 7,5 kc sstem çözümü:,89,997,56,9,779,6986,6798,86, = 5 6,9979 7,7,955 Örek 6 A c
35 5,5,5,75,5,5,5,75,5,5 5,5,75,5,5,5,75,5,5,5,5,5,5 5,5,5,75,5,5,5,5,75,5,5,5,5,5,5,5,5,75,5,5,5,5,,5,,5,5, 5,5,5,5,5,5,,5,5,5,5,5,5,5,5,5,,5,,,5,5 7,5,5,5,5,, 7,,,,6,,5,5,5,5 *,5,5,5,5,667,,5*,9,,5,,667,,5*,9,,5,,667,9,,667, *,9,,,5*,,5*,, *,,667,5,667,,66,5,9,68,9,9,,8,666,666,,,7,7,5,67,6,7,5,9,,9,7,6,6,7,,9,6,5,,,,67,,5,65,5,7 *,,5*,,67 *,,5 5
36 ,58,666,788,5,9,5,958,65,5,5,5,58,666,8,5 A,58,666,788,5,9,5,958,65,5,5,5,58,666,8,5,58,666,788,5,9,5,958,65,5,5,5,58,666,8, ,58*5,9 *,5* 6,58* 7,666 *5,5* * 6,666 * 7,788*5,958*,5* 6,8* 7,5*5,65*,5* 6 *,5* 7 = 5 7 LİNEER DENKLEM SİSTEMİNİN ALT ÜST ÜÇGEN MATRİSLERE AYIRMA METODU İLE ÇÖZÜMÜ: A C, A C U D, U D L U D A C LU A (Burd L t üçge mtrs, U se üst üçge mtrstr 6
37 D C L Bu so dekemde D çözüüp D U dekemde ere koup hespır bmee vektörü bu dekemde 7 Guss emso ötem e t üst üçge mtrsere ırm şem A = L, U ( LU A = ( ( ( ( Bu durumu dğer bütü er ç geeeştrrsek Burd,,, dr 7
38 8 ede ederz / ( / / ( / Bu şemer ç geeeştrebr / ( / Burd,,, dır / ( Bu eştk geeeştrrse / ( Burd,5,, dır Bezer şekde devm edrse soud ( ( ( ( mtrs ede edr Örek 7 5 A C U L A
39 L U,5,5 7,5,5,5,,75,5,5 (,5 [,5( ]/,5 (,5 [,5( ]/,5,,5 7,5 (,5,*,5/ 7,5,,6 L,75,5,5,6,, D C L, d 5,75,5,5 d 5 d,6 d 6,, d 7,75d d,75*5 d, 5 d,5d,6d d 6 d 6,5*5,6*(,5 d,5d,d,d d 7 d,5*5,*,5,* 6,5 7 d U D 6,5 6, 9
40 ,5,5 7,5,5,5, = 5,5 6,5 6, 5 7 Crout Beşeere ırm ötem : (Crout decomposto = üzerde gösterş : u u u u u u =,,,,,,, u u u u u u u,,,, u, u, u u u,,,, / u u u ( u / u u u ( u u u u ( u /,,,, u u,,,, u ( u u /,,5,, u u u,,5,, Crout t üst üçge mtrsere ırm ötem herhg br sısı ç ormüer:
41 ,,,, u,,,, ç,,, k k u k,,,,, u k k u k, k,,, k k u k Örek 7 u u u u u u = 5,,,,,,, u,,, u u u u, ç,75,5 u u,5 k k u k,,,
42 u k k u k, k, ku k k ve ç u,5, 5 ve ç u,5 u,5 ve ç, 5 u u,5,5,5 u ( u/ [( (,5]/,5 u, ve ç u u 5,5,5 7, 5 ve ç ve k ç 5 u ve k ç ( u/ [ (,75]/,5 u, 5 ve k ç u ( u u/ [ (,75 (,5]/ 7,5 u so ork,75,5,5 (,6667, u u u buuur, =,5 7,5,5,,5,5,5,75,5,6667 Bu ede ede t ve üst üçge mtrser dekem sstem çözümüe uguışı 5 = 5 6 7,5 7,5,5, d d d d = 5 6 7
43 d 5 d 5/ d,75 d d,5d *,75/,5 d, 5 d d d 7,5d 6 [6 *,75 *(,5]/ 7,5 d, 86667,5d d,d 7 (7,75,5*,5 *,86667/, d d d,5,5,5,75,5,6667 =,75,5,86667,5,5,5,5,5,75,5,5*5,5*,75,5*(,5* 5,75*,6667 *,86667,86667,6667 * 5,75 8 KAREKÖK METODU ( Choesk ötem : Bu ötem smetrk ve pozt tumı ktsır mtrs ç uguır Özeke bu durumdk bt mtrserde uguır A pozt tımı omıdır
44 Y bütü vektörer ç T A Q Q omıdır ve A, A, A,, A deta heps pozt omsı gerekr A LU A T U T L T Smetrk mtrserde A A T oduğud LL T A our =,,,, / ( / (,,,,
45 ( / / (,, k,,, ç gee ormü: kk kk k k ( /,,,, k k k k Bu şemer soucud ede ede eştker rdımı kuıır L mtrs dekem sstem çözümüde şğıdk D C L dekemde ede ede D L T dekemde ere koup D sütu mtrs stee çözüm mtrs buuur d c d ( c d /,,,, d d [ d ]/,,,, Örek = 7 9 5
46 = 6 5,5,,, (,5, 965 (,5*/,965, 9 (,5*,5/,965, (,9, 575 * ( *,5,9*,655/,575, 8,5,655 (,8, 59,5,5,965,9,655,575,8, 59 d d d d = 7 9 d d,5,5d,965d 7 d (7,5*,5/,965 d 5, 8 d,9d,575d 9 d (9,5,9* 5,8/, 575 d 7,,5d,655d,8d,59d d,,5,5,5,965,9,655 5,8 =,575,8 7,,59,,59,,575,8 7, (7,,8 * /,
47 ,965,9,655 5,8 (5,8,9* 5,655* /,965,5,5,5 (,5,5( 5,5* / 9 İTERASYON YÖNTEMİ (Guss Sede ötem : c c c c 7
48 Dekem sstemde her dekemde er çözüp şğıdk eştker ede edr ( c / ( c / ( c / ( c / ( ε, % Örek 9,,, 7,,, 7,85 9, 7, Dekem sstem terso ötem e çözümü ç şğıdk dekemer kuıır ( 7,85,, / 9,,, / 7 ( ( 7,,, / Bu dekemer rdımı e şğıdk tbo ouşturuur ε,, % ε,, % ε,, %, , ,7958, ,7958 7,5695, ,7958 7,5695,5, , ,5695,8, , ,98,8 5 EĞRİYE UYDURMA ( 5 (
49 Doğru kştırm eer regresso Leer terposo ( Eğrse terposo 5 YAKLAŞTIRMA (Regresso METODU 5 Doğru kştırm (Leer regresso ötem: Bu ötemde doğru kşımdk htrı kreer topmıı mumum pck doğru dekem rştırıır Htı çerecek şekde doğru dekem: E sekdedr Burd E htı gösterr E Htrı kreer topmı: r ( E S şekde zıır Bu ede ede htrı kreer topmıı mumum pck ve değer bur göre ıck türever sıır eşterek buuur ( S r ( S r
50 5 ( S S r / Thm stdrt spm : S S t Topm stdrt spm : Burd t ( S t r t S S S r tım ktsısı : r correto ktsısı: Örek 5 Aşğıdk tbo değerer br doğru kştırı (,5 8,5765,687,5,86,565,,8,7,,65,65 5,5,5, , 6,6, ,5,98,99,7,99 Bu tbodk vererde ve şğıdk eştkerde 7, 5 9, 7, 7, 8 7, 7 8 7, 8579, 7 ede ede bu değerer kurk doğru dekem ç gerek ktsır hespır
51 7*9,5 8* 7 * (8,89857,8579,89857 *, 7857 ve doğru dekem şğıdk gb zıır,7857,89857 Bu doğruu grğ ve tbo değerer şğıdk şekde zeebr S,7,957 ( Topm stdrt spm 7 S /,99,775 ( Stdrt thm ht 7 S S oduğud bu örek ç doğru kştırm ugu br seçmdr / 5 Poom kştırm metodu m m E Burd E ht ve resüdü m E S m m r ( m Bu htrı kreer topmı,,,, m ktsırı göre rı rı türever ıırs şğıdk dekemer ede edr 5
52 S r m ( m S r m ( m Sr m ( m S r m m ( m m Türev şem soud buu bu dekemer sıır eştep tekrr düzeerse şğıdk dekem sstem ede edr m m m m m m m m m m m m,,,, çözüür Bu dekem sstemde S / Sr Stdrt thm ht (m r S S t r koreso (şk,bğtı ktsısı S t S t ( Örek 5 5
53 Aşğıdk tbod buu, değerer derecede poom kştırı ( (, 5,, 7,7,7,86,6,,858 7,,,89,9 9,, , 7,,99 5,6 5,9,7657 m =, = 6,,5, 5,, 5 5 5, 5, , 5, 979, 585, 6, , 8 Yukrıd buduğumuz bmeer ktsırıı bu dekem sstemde ere kours şğıdk dekem sstem ede edr , , ,8 Bu dekem sstem çözümüde buu,7857,, 599,, 867 değerer e şğıd çze derece poom zıır,7857,599,
54 S /,7657, (Stdrt thm ht 6 5,9,7657 (krrıık ktsısı 5,9 r r,9995 (Bu souç uumu çok oduğuu gösterr 5 İk değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek Burd doğru dekem düzem dekem he döüşür E E htsıı kreer topmı S r ( şekde zıır Bu dekem ı şekde,, bme ktsırı göre türever ııp sıır eşterse Sr ( Sr ( Sr ( dekemer ede edr Bu dekemer sıır eştep bme te eer dekem zıır ktsırı göre düzeerse 5
55 Bu dekem sstem şğıdk gb mtrs ormud zıbr = 5 Çok değşke eer bğıtırd tbo değerer eer dekeme çekmek m m dekemdek E htsıı kreer topmı ve türever ukrıdk gb düzeerse şğıdk mtrs ormudk dekem sstem ede ederz E m m m m m m m m = m S / S r ( stdrt thm ht (m Örek 5 Aşğıdk k değşke tbo değerer k değşke eer dekeme uduru 5, 9 6,5 5,
56 6, ,5 5 8,5 = 6 6,5 6,5 76,5 8 = 8 5 Bu dekem sstem çözümüde, 5, 5,5 ede ede değerer e şğıdk dekem zıır 5 Vere tbo değerer e Buu düzem dekem uumu şğıdk grk üzerde zeebr İNTERPOLASYON 5 Leer terposo (r değer bum ( ( ( 56
57 ( ( ( ( ( ( (, ( ( ( Örek 5 6, , 869? (, 6978 Çözüm:, 6, ( ( (,5859, εt = 8, % 6 Çözüm:,,869 ( ( (,698, εt =, % (,698, Kudrtk terposo ( b b ( b ( ( (- ( b b b b b b b (- ( (- 57
58 b b b (- b b b (-5 b (-6 (- dekemde ere zıırs b ( (-7 ede edr Bu buu (-7 eştğ ve zıırs ere değşke (- dekemde ere b ( ( (-8 dekem buuur Bu (-8 ve (-7 dekem (- de ere kour ve rıc ere zıırs şğıdk dekem ede edr b ( ( (-9 ( ( Örek 5 (, (, 869, 6 (, (?,869 b b b, 698,797595, b 6 b 6 (,698(,5876( ( (,56586 εt = 8, %, Newto terposo poomuu gee ormu 58
59 mertebede poom + det ver oktrı gerektrr ( b b( b ( ( ( b ( b [, ] b [,, ] [,,,, ] b Burd [, ] ( ( [,, k ] [, ] [, k k ] [, [,,,, ],, ] [,,, ] ( ( ( [, ] ( ( [,, ] ( ( ( [,,, ] Örek ( (, 869 ( 6, ( 5,6979 derecede poom = ( b b( b ( ( b( ( ( b ( b,869 b [, ] b,797595,869 [, ] 6,698,755 59
60 ,6979, [, ],86 5 6,755,698 b [,, ] b 6,86,755 [,, ],95 5,5876,95 (,5876 b [,,, ] b 5 ( (,786555,698(,5876( (,786555( ( ( 6, t 9,% 5 İterposo poomrıı ktsırıı bumk ç dğer br ötem ( Bu poomdk oktsı gerekr,,,, te ktsıı bumk ç te ver Örek ork ç bme dekem ede edr Bu gereke ver oktrı,(,,(,,( şekdedrbur ( dekemde ere rı rı kours şğıdk dekem sstem ede edr ( ( ( Bu dekem sstemde bme,, ktsırı buuur Örek 5 (, (, 869, 6 (, ,869,7976 6
61 Bu dekem sstem çözümüde,669586,, 758,, 587 (,6696,76,587 (, 5658 (,695 ( ( 5 ( Lgrge terposo ormüü Newto terposo ormüüü dh kuış he getrmş şekdr Burd böümüş rkrı hesbı gerek kmz ( L ( ( Burd L ( Brc derecede ( = ç Lgrge terposo poomu : ( L( ( L( ( L ( L( 6
62 6 ( L ( L ( ( ( İkc derecede = ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( ( ( ( Üçücü derecede = ç Lgrge terposo poomu : ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( L ( ( ( ( (
63 Lgrge terposo poomuu Newto terposo poomud çıkrıışı ( ( ( [, ] [, ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Örek 55 (, (,, (, 7976 Brc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( * *,869 ( * *,869 (, 698 İkc derecede Lgrge poomu ç çözüm: ( ( ( ( 6 6 ( * *,869 *, ( * *,869 *, (, SAYISAL İNTEGRAL ( 6
64 I b ( d b 6 NEWTON-KOT İNTEGRAL FORMÜLÜ I b ( d b ( d ( 6 Trpez (muk kurı ( (b ( b I b ( d b ( d (b ( ( ( ( b b (b ( I [( ( ] d b (b ( (b ( I [( b b ] b 6
65 (b ( (b ( b I (b b b b (b ( (b ( ( b b ([b ( I (b ( (b [(b (] I ((b (b (b [(b (] I ((b ((b (b [(b (] I ( (b I (b b / ] (b[b ( b b / ] 6 İtegr böges eşt prç böüerek muk kurıı uguışı: I (d (d (d Burd,,,, det oktdır ( b h Prçrı geşğdr I ( h ( ( ( ( h h h I [( ( ( ] I (b E ( ( (b t (ξ ( ( (ξ 65
66 Burd kc türev bütü böge çde ortm değerdr Böece kşık ht şğıdk gb zıbr E (b Örek 6 (, I,8 ( d Bu tegr tk ork çözüürse I=,65 buuur Burd =, b =,8 dır,8 = 8 ç h, ve,,,, 8 5,5 6, 6 7, 7 8, 8 değerer şğıdk ormüde ere kours I (b ( ( ( ( [ (, (, (, (, (,5 (,6 (,7 ] (,8 I (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 [,89,88,67,56,5,6,6 ], 6 I,68 E,65,68 t E t,97 ε t,65,68,65 * ε t, % E (b 66
67 b ( d b ( ( 5 8 8,8,8 (d,8 ( 5 8 (d *,8 5 * (,8 / 8 d 8*(,8 / 8 * (,8 /,8 (d 8 6 E (b E (,8 * 8 ( 6 E, ε E,68 * ε,99 % 6 Smpso u / kurı Burdk /, h üçe böüdüğü çdr I b ( d b ( d 67
68 b Eğer ve poomu ıırs tegr şğıdk şeke ger b ( ere kc derecede Lgrge ( ( ( ( ( ( I [ ( ( ( ( ( ( ( ( ( Bu ıtegr şem soucud ede ede dede gereke kıstmr pıdıkt sor tegr ormüü şğıdk şek ır h I [( ( ( ] Eğer (, b rığı eşt prç böüürse ] d I (d (d (d I (b ormüü buuur ( ( ( (,,5,,6 Örek 6 (, I,8 ( d 68
69 Bu tegr tk ork çözüürse I=,65 buuur Burd =, b =,8 dır,8 = 8 ç h, ve 8 5,5 I (b 6,6 7,7 8,8, ( ( ( (,,5,,6,,, değerer şğıdk ormüde ere kours ( [ (, (, (,5 (,7] [(, (, (,6 ] (,8 I (,8 * 8 (, (,, 89 (,, 88 (,, 67 (,, 56 (,5,5 (,6, 6 (,7, 6 (,8, I,,8 I,68 [,89,67,5,6 ] [,88,56,6], E t,65,68 E t,6666 ε t,65,68,65 * ε t,8 % 6 IMPROPER İNTEGRAL (Sıırrı sosuz o tegr b (d / / b t (/ t dt 69
70 b A b (d (d A (d t d dt, t A t A, t b (d (d / A A b (d (d (d A B A (d B (d t d dt, t A t A, t (d (/ tdt (d / A A t B / B t (/ tdt Örek 6 N( N(? e π / d N( π ( / e d e / d d dt, A t t t, t A / e d / t e / t dt,556 e / d,5 7
71 N( (,556,5 π N(,89 7 SAYISAL TÜREV Türev tımı: ( ( ( d ( ( ( ( Lm ( d Br oksou Tor serse çıımıd dırk şğıdk bğıtı zıbr ( ( ( ( h h h Burd ( çözüebr ( ( ( h ( h O (h ( ( ( O (h h Şekde zıbr Ve ( ( ( ( h O (h bu kc türev ormüü e brkte şğıdk gb ouşturubr ( ( ( h ( ( h ( h O (h 7
72 7 O (h h ( ( ( ( 7 İLERİ DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( ( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( 5( ( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( h 5( 8( ( ( ( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( ( 5 ( h ( ( 6( ( ( ( ( 7 GERİYE DOĞRU FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( ( ( (
73 7 İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( ( 5( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( h ( ( ( 8( 5( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( ( 5 ( h ( ( ( 6( ( ( ( 7 MERKEZİ FARKLAR METODU İLE TÜREVLER Brc mertebede türev: h ( ( ( h ( 8( 8( ( ( İkc mertebede türev: h ( ( ( ( h ( 6( ( 6( ( ( Üçücü mertebede türev: h ( ( ( ( ( 8h ( 8( ( ( 8( ( ( Dördücü mertebede türev: ( h ( ( 6( ( ( (
74 ( ( ( ( 9( 56( 9( 6h ( ( Örek 7 ( (5? (5? Atk çözüm: ( Sıs çözüm: ( (5, (5, (5 ( 5, (5,6595,6979 5, 5, (5, ( 5, ( 5, (5,699 *,6595,6979 (5 (,, (5, ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER,5 8,5 Şekde vere dekem şğıdk derse dekem gösterdğ eğrerde sdece brsdr 7
75 d d 8,5 [ 8,5] d tegr soucu şğıd gb br eğr es gösterr,5 8,5 C 6 c = c = c = c= c=- c = - - Bu durumd tek br eğr ber omsı ç C tegr sbt hespbeceğ koşurı vermes gerekr Derse dekemer sıs çözümüde geştre ötemerde bzırı şğıd vermştr 8 EULER METODU d (, d (, h ht + e değer = esk değer + eğm * dım h + Örek 8 d ( =,75 (7 =? d 75
76 Atk çözüm: d C d ( =,75 koşuuu kuırsk ve böece Sıs çözüm: (, h (, ve h = ıırs ( c,75 c buuur Burd (7 = 7 c = =,857 c c (5 = ( + (- ( / * =,75 (,75/ (5 =,565 (6 = (5 + (- (5 / 5 * =,565 (,565/5 (6 =,5 (7 = (6 + (- (6 /6 * =,5 (,5/6,857,75 t %,5%,857 (7 =,75 8 İeştrmş Euer metodu / (, h (, h / / Örek 8 Yukrıdk örek eştrmş Euer ötem e çözüürse Ye ı şekde h = ıırs (,5 = ( + (- ( / *,5 =,75 (,75/ *,5 (,5 =,6565 (5 = ( + (- (,5 /,5 * =,75 (,6565/,5* (5 =, (5,5 = (5 + (- (5 / 5 *,5 =,6667 (,6667/5 *,5 (5,5 =,575 (6 = (5 + (- (5,5 / 5,5 * =,6667 (,575/5,5 * (6 =,55 (6,5 = (6 + (- (6 / 6 *,5 =,55 (,55/6 *,5 (6,5 =,69 (7 = (6 + (- (6,5 / 6,5 * =,55 (,69/6,5 * (7 =, 76
77 ,857, t % t,8 %,857 8 HEUN METODU Bu metott Euer metodudk c oktdk türev ere ve (+ c oktdk türever rtmetk ortmsı ıır (, (, (, h (, (, h Örek 8 d d ( =,75 (7 =? ( tk çözümde (7 = h = ıırs 5 ( *,565 5 ( ( 5 * h ( *, ( ( * h ( *, ( ( * h ,6,5, =,857 t % 8 RUNGE-KUTTA METODU Ruge-Kutt metodu, Tor serer e kşımdk hssset, üksek mertebede türevere htç dumd kbdğde, üksek hssset rdığı durumrd terch edr Ruge-Kutt metodu şğıdk ormd zıbr 77
78 (,, h h Burd oksou rtım oksou derbu söz kousu rıktk eğm gösterr Artım oksou gee ormd şğıdk gb zıbr (,, h k k k Burd r sbt k r se şğıdk gbdr k (, k ( p h, q k h k ( p h, q k h q k h k ( p h, q k h q k h q k h,,, Burd p ve q r sbterdr 8 İkc derecede Ruge-Kutt metodu ( k k h k (, k ( p h, q k h ç ve (, (, (, h h! termer e kc mertebede Tor sers zıırs Burd (, zcr kurı e beremedr (, (, d (, d Bu kc türev Tor ormüüde ere zıırs d h (, h d! ( İk değşke oksord Tor sers g g g( r, s g(, r s Bu ormü ukrıdk k değşke okso çere k eştğ ç uguırs k p h q k h p h q k h O h (, (, ( Bu k eştğ k (, eştğ e brkte k de ere zıırs 78
79 h (, h (, ph qh (, O( h ve termer br r topırs h p q h O h d d [ (, (, ] [ (, ] ( Bu dekem dekeme (, oduğu göz öüe ırk krşıştırıırs p q buuur Burd dekem bmee oduğud çok sıd çözüm ede edebr Tek düzetme ktsıı Heu ötem (,, p q Bu prmetreer ere kours / / ( k k h k (, k ( h, kh Ort okt metodu (,, p q kh k (, k ( h, kh Rsto ötem ( /,, p q ( k k h k (, k ( h, kh / 8 Üçücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k h 6 k (, 79
80 k ( h, kh k ( h, k h k h 8 Dördücü derecede Ruge-Kutt metodu ( k k k k h 6 k (, k ( h, kh k ( h, kh k ( h, k h Örek 8 d 8 e 5 d, 8 (, e 5 k e 8*5 (5, 5, d 5 e 8 5 (, 5 ( k e 8*5 (5, , h 5 5 k (5, k (75,8886 e k (5, k (75,56 e k (5 5, k (5,69665 e ( (5, (e *5 k (5,8 e k (5,8 6575* k (65, e 5 9 k (5 5, k (65, 58 e k (5 5, k (75, 97 e (
81 8 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMİ METODU c mertebede br derse dekem te brc mertebede derse dekemde ouş br ssteme döüştürüebr d d d d d d (,,,, (,,,, (,,,, Bu sstem çözümü ç br oktsıdk vermes gerekr,,, değerer (koşurıı Örek 8 d s s s t = d s s v v dt Atk çözüm : s ACos t BS t v A S t B Cos t A s s s Cos B v t v S t Örek 8 d s π s t = d s 8 v dt 6 t = de s? v? π 7 π Atk çözüm : s 8Cos t S t s 8, π 6 8
82 8π π π v S t Cos t v 8,97997 Euer ötem e ümerk çözüm: d s π Bu ötemde s kc mertebede derse dekem şğıdk gb k dt 6 te derse dekemde ouş br derse dekem ssteme döüştürüür ds dt v, dv dt π s 6 ds dv s s ( h, v v ( h dt dt π s s v h, v v s h 6 h =, ıırs şğıdk tbo değerer buuur t s v s v, 8 9,,786756, 9,,786756,786755,585,,786755,585,5977,96,,5977,96,65559,9785,5,65559,9785,7886,58857,6,7886,58857,8677,9,7,8677,9 5, ,7985,8 5, ,7985 6, ,675,9 6, ,675 7, ,979 7, ,979 8,678 8,
83 85 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ d d D dek ( t,,, dt dt Bşgıç koşurı: t d, ( t,,,,, Bşgıç koşurı, d D dek : (, d Sıır koşurı: d L de L ( t Sıır koşurı Sıır koşurı L (b L 8 Atış Yötem 8
84 Bu ötemde sıır değer probem bşgıç değer probeme döüştürüür Bu ötem örek üzerde gösterecektr Örek 8 Uzuuğu bouc zoe edmemş ve sürek remdek ce ve uzu br çubuktk sıckık dğıımı şğıdk dekeme verr dt h( T T d Burd h ısı trser ktsısıdır( Bu çevree gde ısı orıı krkterze eder etrtk hvı sıckığı ( T( T( L T T T Eğer, çubuğu bou Atk çözüm: T e e L m ( Sıs Çözüm: dt z d dz h( T T d, cm h, Sıs çözüme bşbmek ç Atış metodu ç z( dem T T zh z z h( T T h z( T, C T (, T ( ı bmes gerekr h m ım T T z z z ( T T 6 z ( T 6 88 z (6 T6 88 z6 (88 6 T8 6 8 z8 6 ( 8 T z( ım 8
85 T 68 z ( T z (68 56 T z6 56 ( T z (75 96 T z 96 ( Sou Frkr Yötem Bu ötemde Türever ere sou rk deer kour Bu ötem şğıdk örek üzerde çıkbr 8Örek Örek 8 dek ce uzu çubuktk ısı ımsı probem ee ıırs dt h( T T d Burd kc türev des ere d T T T T d sou rkr des kours T T T h( T T Gerek şemer pıırs T ( h T T h T eştğ ede edr T( C m m 6m 8m m T( C T ( h T T h T 85
86 T ( h T T h T T ( h T T h T T ( h T T5 h T h * T T,8 T T T 8 T T T 8 T T 8 Bu dekemer şğıdk gb düzeebrz T 8 T 8 T 8 T 8 Bu dekem sstem çözümüde T T T 58 T ede edr EK A TAYLOR SERİSİ EK A TAYLOR FORMÜLÜ ( : Ardığımız okso P ( : Ykşık okso P( C C C C C C C 5 5 d bu k oksou değerer ve türever brbre eşteerek koşu ouşturuur ( ( P( (, P( (, P( (,, P ( ( ouşturu bu koşur rdımı e C, (,, ktsırı buuur d P( C C ( P( C C C C 5C C 5 86
87 d P( C ( C P( C *C * C *5 C ( C d 5 P( C C ( P( *C ** C * *5 C ( ( C d 5 P( *C C 5 ( * ıv P ( ** C ** *5 C ( ( ( C ( ** C C d P ıv Bu şemer devm edrse kours k Ck k! ** ıv ( ( k ( buuur Bu ktsır ( k ( k P( Tor poomu ede edr k! P ( poomud ere Sıırd rkı oktrd d bezer ormüer buubrbuu ç ç Poomu ı kuvvetere göre zıır 5 P( C C ( C ( C( C ( C5( C ( Bu poomu değşkee göre türever ııp gerek düzeemeer pıırs şğıdk gb br ( oksouu cvrıd Tor poomu çıım ormüü ede edr ( P ( k k ( ( k k! ( oksou e P ( oksou rsıdk rk c k der R ( ( ( P ( ( ( P R ( R ( k k ( ( ( k k! ( Bu eştğe kı Tor ormüü der Eğer se çoğu kere bu ormüe Mcur ormüü der K ormüüü zmk ç ortm değer teorem uguır ( ( Eğm ( ( ( ( Eğm ( ( ( ( 87
88 Leer kşım ç P( ( ve rk ( P( ( ( our ( ( ( Az teme teoremde ( ( ( ( ( ( ( t dt eştğ zıbr ( P ( ( t dt bu eştğe etegr ormudk k der Yukrıdk tegre kısm tegrso şem uguırs, dv dt burd omıdır u ( t v t ( ( ( t( t ( t( t dt ( ( ( t( t dt ( [ ( ( ( ] ( t( t dt Bu eştğ so trı ( P ( rkı eşttr Aı şekde kısmı tegrso uguırs ( t, dv ( t dt burd v our ( t ( t ( [ ( ( ( ] ( t ( t dt u ( t ( t ( t ( [ ( ( ( ( t ] ( t dt ı şekde devm edrse tegr ormudk k ormüü ede edr ( ( t R ( ( t dt! Etegr ormudk k, şğıdk gb, Lgrge ormud zıbr kbu edrse şemer bsteşr t ( ( t rığıd mmum değer m, mksmum değer M e gösters ( t ( ( t ( t m ( t M!!! ( t ( ( t ( t m dt ( t dt M dt!!! sıır değerere t etegrer koc ıbr ( t ( t m ( P ( M (! (! (! Bütü termer e çrpıırs ( (! m [ ( P ( ] M ( 88
89 ede edr değer our k t ( ( m e M rsıd br değer oduğu göre, de (! ( [ ( ( ] ( P ( zıbr Böece Lgrge ormudk k ede edr ( R ( ( (! Eğer oksou [,b] rığıdk ( c türev sıırı se t b her erde M R( (! ( ( t M ede edr se e rsıd öe br TAYLOR SERİSİNİ KULLANARAK ELDE EDİLEN ÖZEL AÇILIMLAR e R!!! 5 7 ( s R! 5! 7! (! 6 ( cos R!! 6! (! ( ( R 5 7 ( t R 5 7 İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR İÇİN TAYLOR SERİSİ (, ( k k (, ( ( k k k!! (, (, (, ( (, ( [ (, (! (, ( ( (, ( ] 89
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI
DetaylıSAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN
DetaylıSAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI
SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI 7 GRAFİK METODU
Detaylı(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü
FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI (DERS NOTLARI) Hzıry: Prof.Dr. Orh ÇAKIR Akr Üverstes Fe Fkütes Fzk Böümü Akr 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER DENKLEM
DetaylıSonlu kanat Teorisi Açıklık oranıküçük kanatlar etrafındaki akımın fiziksel yapısı
Sou kt Teor çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orı küçük (R < -5 ktr çıkık orı büük (R > -5 ktr UCK5 erodmk der otrı UCK5 erodmk der otrı çıkık orıküçük ktr etrfıdk kımı fke pıı çıkık orıükek
DetaylıHATA VE HATA KAYNAKLARI...
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ... 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sayısal Analizin İlgi Alanı... 2 1.3 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ve Sayısal Analiz... 2 1.4 Sayısal Analizde Bilgisayarın Önemi... 7 1.5 Sayısal Çözümün
DetaylıDİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...
ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................
DetaylıSAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz SAYISAL ANALİZ EĞRİ UYDURMA (Curve Fttg) Doç.Dr. Cüet BAYILMIŞ Sısl Alz İÇİNDEKİLER Eğr Udurm (Curve Fttg) E Küçük Kreler Yötem Doç.Dr.
DetaylıÖnceki bölümde özetlenen Taylor metodlarında yerel kesme hata mertebesinin yüksek oluşu istenilen bir özelliktir. Diğer taraftan
III.5.RUNGE-KUTTA METODLARI Öcek bölümde özelee Talor meodlarıda erel kesme aa merebes üksek oluşu sele br özellkr. Dğer araa ürevler buluma ve esaplaması pek çok problem ç karmaşık ve zama alıcı olduğuda
DetaylıAra Değer Hesabı (İnterpolasyon)
Ar Değer Hesbı İterpolso Ardeğer hesbı mühedsl problemlerde sılıl rşılşıl br şlemdr. İterpolso Ble değerlerde blmee rdeğer d değerler bulumsı şlemdr. Geel olr se br osouu 0,,, gb rı otlrd verle 0,,, değerler
DetaylıYaklaşık Temsil Polinomları
Yklşık Tesl ololrı Teke for eğrler tesl ede ofset oktlrıd htlı oktlr bulusı duruud terpolso pololrı sıırlı kullı lı bulblektedr. Arıc terpolso pololrı le verle oktlrd geçe eğrler elde edldğde teke for
DetaylıSayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç
Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu
DetaylıGRUP TANIMLAYAN BAZI YARIGRUP VE MONOİD TAKDİMLERİ* Some Semigroup and Monoid Presentations Defining a Group*
GRU TANIMLAYAN BAZI YARIGRU VE MONOİD TAKDİMLERİ* Soe Seigroup d Mooid resettios Defiig Group* Bsri ÇALIŞKAN Ç.Ü. Fe Biieri Estitüsü Mteti Abii Dı Firet KUYUCU Ç.Ü.Fe Edebit Fütesi Mteti Böüü ÖZET Bu çışd
DetaylıCopyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS SAYISAL YÖNTEMLER FEB-311 3/ 1.YY 2+0+0 2 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
DetaylıBayesci Yapısal Eşitlik Modellerinde Parametre Tahminlemesi. Parameter estimation in Bayesian Structural Equation Modeling
üzüü ı Üverstes Fe Bmer Esttüsü Dergs/ Jour of he Isttute of Ntur & Aed Sees 8 -:33-38 3 Arştırm es/reserh Arte Bes ıs Eşt odeerde Prmetre hmemes Sem Şehroğu rett Out üzüü ı Üverstes İsttst Böümü üzüü
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd. Doç. Dr. Adnan SONDAŞ asondas@kocaeli.edu.tr 0262-303 22 58 1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözüm aşamasında kullanılan sayısal
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Syısl Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 7. Hft LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ (Devm) Syısl Çözümleme İÇİNDEKİLER Doğrusl Denklem Sstemlernn Çözümü İtertf Yöntemler Jcob Yöntem Guss-Sedel Yöntem
Detaylı) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit
Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e
DetaylıMühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN
Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın
DetaylıSAYISAL ANALİZ. Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç. Dr. Cüneyt BAYILMIŞ 1 SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 2 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu
DetaylıESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMNGZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü EPost: oguhmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk lz Ders otlrı hmet TOPÇU Ktsyılr mtrs Özdeğer Özvektör
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin
DetaylıBÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL
BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg
Detaylı1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ
SAYISAL ANALİZ 1. Hafta SAYISAL ANALİZE GİRİŞ 1 AMAÇ Mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal analiz yöntemlerinin algoritmik olarak çözümü ve bu çözümlemelerin MATLAB ile bilgisayar ortamında
DetaylıAMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ
AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:
Detaylıdenklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy
Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada
DetaylıMesleki Terminoloji. Sayısal Analiz DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK MEHMET EMRE ÖNDER DOĞAÇ CEM İŞOĞLU
Mesleki Terminoloji DERSİ VEREN: ARŞ. GRV. DR. GÖKSEL BİRİCİK Sayısal Analiz MEHMET EMRE ÖNDER - 12011061 DOĞAÇ CEM İŞOĞLU - 11011074 Sayısal Analiz Nedir? Sayısal analiz, yada diğer adıyla numerik analiz,
Detaylı2. Geriye doğru Yerine Koyma (Back Substitution): Bu adımda, son denklemden başlayarak herbir bilinmeyen bulunur.
Guss Elimisyou Lieer deklem sistemlerii çözmede kullıl e popüler tekiklerde birisi Guss Elimisyou yötemidir. Bu yötem geel bir deklemli ve bilimeyeli lieer sistemi çözümüe bir yklşım getirmektedir....
DetaylıNümerik Analizin Amacı
Doç.Dr. Nurett UMURKN Nümerk lz / 59 Nümerk lz mcı Mtemtksel prolemler çözümleelmes ç ugu ve e klşım vere ötemler ulmk, rıc ulrd lmlı ve dlı souçlr çıkrmktır. Çözümü stee prolem tımlmk ve souc vrck ötem
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
DetaylıGÜZ DÖNEMİ ARASINAV SORULARI. 1. Sayısal çözümleme ve fonksiyonu tanımlayarak kullanıldığı alanları kısaca açıklayınız?
MAK 05 SAYISAL ÇÖZÜMLEME S Ü L E Y M A N D E M Ġ R E L Ü N Ġ V E R S Ġ T E S Ġ M Ü H E N D Ġ S L Ġ K F A K Ü L T E S Ġ M A K Ġ N A M Ü H E N D Ġ S L Ġ Ğ Ġ B Ö L Ü M Ü I. öğretim II. öğretim A şubesi B
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS ENDÜSTRİ MÜH. İÇİN SAYISAL YÖNTEMLER FEB-321 3/ 2.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili
DetaylıDERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi
DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı
DetaylıSAYISAL ANALİZ. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ. Sayısal Analiz. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ
SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz SAYISAL ANALİZ İNTERPOLASYON Ar Değer Bulm Doç.Dr. Cüeyt BAYILMIŞ Syısl Alz İÇİNDEKİLER Ar Değer Hesbı İterpolsyo Doğrusl Ar Değer
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MMM 2014
Dersi Veren Birim: Metalurji ve Malzeme Mühendisliği Dersin Türkçe Adı: MÜHENDİSLİK MATEMATİĞİ Dersin Orjinal Adı: MÜHENDİSLİK MATEMATİĞİ Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Detaylı0,1,..., n p polinomu bulma işlemine interpolasyon ve px ( )
Ç.Ü Fe Blmler Esttüsü Yl:29 Clt:2-1 İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ Iterpolto d Remder Theory Fge GÜLTÜRK Mtemt Ablm Dl Yusuf KARAKUŞ Mtemt Ablm Dl ÖZET Bu çlşmd İterpolsyo tmlmş, Lgrge İterpolsyo Formülü
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
Detaylı7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ
Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
Detaylı3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklemi
3.2. Euler Yüksek Mertebeden Değişken Katsaılı Diferansiel Denklemi (n). (n) + (n-). (n-) + + 2. +. + = Q() Değişken dönüşümü apalım. Diferansiel denklemi sabit katsaılı ( erine t bağımsız değişkeni )
Detaylı3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x
DetaylıChapter 1 İçindekiler
Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan
DetaylıDijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.
Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3
DetaylıESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedisik Mimrık Fkütesi İşt Mühedisiği Böümü E-Post: oghmettopc@gmicom We: http://mmfogedtr/topc Bigisr Desteki Nümerik Aiz Ders otrı 0 Ahmet TOPÇ A m Üst üçge mtris At
DetaylıPolinom İnterpolasyonu
Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu
DetaylıTemel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar
Temel Yapılar: Kümeler, Fokyolar, Dzler ve Toplamlar CSC-9 yrık Yapılar Kotat uch - LSU Kümeler Küme, eeler düzez toparlamaıdır İglz alabedek el harler: V { a, e,, o, u} a V bv küçük pozt tek ayılar: Küme
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıYER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.
YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,
DetaylıIII.4. YÜKSEK MERTEBE TAYLOR METODLARI. ( t)
III.4. YÜKSEK MEREBE AYLOR MEODLARI Saısal tekkler amacı mmum çaba le olablğce uarlı aklaşımlar ele etmektr. Bu eele çeştl aklaşım ötemler vermllğ karşılaştıracak br krtere gereksm varır. İlk ele alıacak
DetaylıHARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME
HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr
DetaylıDoç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi
FİZİKTE SAYISAL YÖNTEMLER Doç. Dr. Metin Özdemir Çukurova Üniversitesi Fizik Bölümü 2 ÖNSÖZ Bu ders notları Fizik Bölümünde zaman zaman seçmeli olarak vermekte olduǧum sayısal analiz dersinin hazırlanması
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA TEK DEĞİŞKENLİ KISITSIZ OPTİMİZASYON:
DOĞRUSA OMAYAN PROGRAMAMA TEK DEĞİŞKENİ KISITSIZ OPTİMİZASYON: Kısıtsız optmzsyo herhg r kısıtlm olmksızı r oksyou mksmum vey mmum değerler rştırılmsı prolem le uğrşır. Y kısıtlrıı d sğlmsı gerekl ol r
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;
. Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş
DetaylıBu dersi aşarı ile ta a laya öğre iler:
GİRNE ÜNİVERSİTESİ DENİZCİLİK YÜKSEKOKULU GEMİ MAKİNELERİ İŞLETME MÜHENDİSLİĞİ DERS TANITIM KATALOĞU Dersi Adı : Mühe disler içi Sayısal A aliz Dersin Uygula ası Saat/Hafta DersinKodu Yıl Dönem Kredi AKTS
DetaylıIŞIĞIN KIRILMASI. 1. Ortamların kırılma indisleri n K. , n M. , n L. arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir. > n L. > n K. n M. > n M. n L. n K.
BÖÜ ŞĞ RAS AŞTRAAR ÇÖZÜER ŞĞ RAS Ortamları kırılma dsler,, arasıdak lşk aşağıdak gbdr 9 > > > > > > 6 0 > > > > > > 7 > > > > > > 0 7 0 0 > > > > > 76 OPTİ 7 0 0 > > > > > > 0 θ θ > > > > > > 9 0 O > >
Detaylı= (9) Salih Fadıl 1, Burak Urazel , Eskişehir, Türkiye Özet. 2. Problemin Matematiksel Modeli. 1.
YASAK İŞLETİM BÖLELİ BİRİMLER İÇERE ELEKTRİK EERJİ SİSTEMİDE ÇEVRESEL / EKOOMİK ÜÇ DAĞITIM ROBLEMİİ UYU DEĞERLER TEMELLİ EELLEŞTİRİLMİŞ SUBRADYET YÖTEMİYLE ÇÖZÜMÜ Sh Fdı, Bur Urze, Esşehr Osmgz Uverstes,
DetaylıDenklem Çözümünde Açık Yöntemler
Denklem Çözümünde Bu yöntem, n yalnızca başlangıç değer kullanılan ya da kökü kapsayan br aralık kullanılması gerekmez. Açık yöntemler hızlı sonuç vermesne karşın, başlangıç değer uygun seçlmedğnde ıraksayablr.
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
DetaylıIDDM YARDIMIYLA TERS MATRİS HESAPLAMA. Kadınhanı, KONYA, e-posta: aocdiken@selcuk.edu.tr
SDÜ FEN EDEBİT FKÜLTESİ FEN DERGİSİ E-DERGİ. 8,, 98- DDM RDML TERS MTRİS HESPLM O ÇBKDİKEN *, Ke DN ** * Seçu Üverte, Kdıhı MO, Bgyr Teooer ve Prog, Kdıhı, KON, e-pot: ocde@ecu.edu.tr ** Seçu Üverte, dd
DetaylıF= 360. L sayıdaki kapitalin t ortak faiz oranı üzerinden getirecekleri faiz tutarları toplamı gerçek faiz metoduna göre: formülü ile hesaplanır.
BİRDEN AZA KAPİTAE İİŞKİN AİZ İŞEMERİ: =,,,, >0 olmk üzere syıdk kpller, süreler ç fz orlrı üzerde fze verldğde oplu olrk bs fz urlrı: = formülü le hesplblr. ork fz orı olmk üzere, syıdk kpl ork fz orı
DetaylıDış Etki Olarak Sıcaklık Değişmesi ve/veya Mesnet Çökmelerinin Göz Önüne Alınması Durumu
Dış Etk Olrk Sıcklık Değşmes ve/vey eset Çökmeler Göz Öüe Alımsı Durumu Dış etk olrk göz öüe lı sıcklık eğşm ve meset çökmeler hpersttk sstemlere şekl eğştrme le brlkte kest zoru mey getrr. Sıcklık eğşm:
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıÖ.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci
DetaylıSayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları
Sayısal Analiz (MATH381) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Analiz MATH381 Güz 3 2 0 4 7 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 135 Matematik Analiz
DetaylıTORK VE DENGE BÖLÜM 8 MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ. 4. Kuvvetlerin O noktasına
BÖÜM 8 R VE DEE MDE SRU - 1 DEİ SRUARI ÇÖZÜMERİ 1 1 yönü (+), yönü ( ) alınırsa kuvvetlerin noktasına torkları, x = d d = d olur evha 1 yönünde, d lik torkla döner d d 1 d 4 uvvetlerin noktasına göre torkların
Detaylı1. GAZLARIN DAVRANI I
. GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak
DetaylıMATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ TÜRKİYE GENELİ ÇÖZÜMLER MATEMATİK (LİSE) ÖĞRETMENLİĞİ. D 6. D. D 7. B. B 8. A 4. D 9. B 5. B. C 6. A. A 7. B. A 8. E. B 9. D 4. E. C 5. B. D 6.
Detaylı1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln
DetaylıKISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI
KISMİ DEVAMLI FONKSİYONLAR KULLANARAK SOĞUTUCU AKIŞKANLARIN DOYMA BASINÇ EĞRİLERİNİN HASSAS OLARAK OLUŞTURULMASI M. Turh ÇOBAN Ege Üverstes, Mühedslk Fkultes, Mke Mühedslğ Bölüü, Borov, İZMİR Turh.cob@ege.edu.tr
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
Detaylıo f S C I n t e r n a t i o n a l P o d d e Eski Büyükdere Asfaltı No: 17/A Güney Plaza Kat: 5 Maslak-İstanbul / TÜRKİYE
T ULULRR DENETİ K Th: 17.05.2012 y: 2012/57 Ku: İ R K Ü L E R R O R 117 Nu Kv Tvk Ouş Tvk O, Tvk T İş v Tvk pck O Kuu v Kuuuş L Ö: Dh öc 46 Nu kü yyğ 117 Nu Kv Tvk vk v vk uuck ş y g ğşkk y ğ Kv Tvk u
DetaylıHARRAN ÜNİVERSİTESİ ZİRAAT FAKÜLTESİ BAHAR YARIYILI VİZE PROGRAMI
GÜ C C C3 C4 C5 C6 C7 C8 C C C3 EK EK ) HYV YEE K4) EYVE VE Ğ Z. ) HYV YE. EKĞ ) HYV YE. EKĞ 5 PZ E 6 - : 3:- 4:3 4:3-6: - : 3:- 4:3 4:3-6: 4) K EYVEE -... YUEVE. Y. C. C K3) ÖCEK EKOOJ 3) K GE. KY. VE
DetaylıÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR
ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16.MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF FİNAL SORULARI
10. SINIF FİNAL SORULARI 1. a,b,c,d sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere, + c + d = 0 denkleminin kökleri a ve b, + a + b = 0 denkleminin kökleri c ve d ise b + d değerini bulunuz.. sin + cos cos +
DetaylıÇözüm Kitapçığı Deneme-6
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ -5 MART Çözüm Kitapçığı Deneme-6 Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıSayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları
Sayısal Yöntemler (MFGE 301) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Sayısal Yöntemler MFGE 301 Güz 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i MATH 275 Lineer
DetaylıMAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -
MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226
Detaylı8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com
III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
DetaylıYARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması
Detaylı6. Uygulama. dx < olduğunda ( )
. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal
DetaylıS C. I n t e r n a t i. n a l. d d e. 19 Mayıs Mah.19 Mayıs Cad. Nova Baran Plaza No.4 Kat.21 Şişli-İstanbul / TÜRKİYE
T ULULRR DENETİ VE....Ş. K Th: 02.01.2013 y: 2013/03 Ku: İ R K Ü L E R R O R u Tş Vg T İşk G Tğ R G y. Ö: 31.12.2012 h v 28514 (4. ük) y R G yy 42 N.u u Tş Vg G Tğ; 1.1.2013 h, u ş vg şk, u Tş Vg Kuuu
DetaylıBÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ
BÖLÜM. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKÖR VE MRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusl regresyo tek değşkel bst model olrk ele lırk çıklmıştı. Bölüm de se çok değşkel (k değşkel) model ç grş ypılcktır. Çok değşkel
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıKARMAŞIK SAYILAR. Derse giriş için tıklayın...
KARMAŞIK SAYILAR Derse grş çn tıklayın A Tanım B nn Kuvvetler C İk Karmaşık Sayının Eştlğ D Br Karmaşık Sayının Eşlenğ E Karmaşık Sayılarda Dört İşlem Toplama - Çıkarma Çarpma Bölme F Karmaşık Dülem ve
DetaylıÇ NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...
ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon
DetaylıPr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) What if not known?
1 Mrkov ve Chebychev Eşitsizlikleri Pr [ ] = 1 Pr [ < ] = 1 f ( ) dx = 1 () x dx F Pr[ ] 1 Pr[ ] 1 ( ) 1 ( ) Wht if ot kow? bilimiyor olbilir r.d. i sdece ortlmsıı ve vrysıı bildiğimizi vrsylım. Ortlm
Detaylı