MATLAB GRAFİK. Matlab, 2D ve 3D başta olmak üzere çok gelişmiş grafik araçları sunar:

Transkript

1 Matlab Grafikler-2

2 MATLAB GRAFİK Matlab, 2D ve 3D başta olmak üzere çok gelişmiş grafik araçları sunar: Çizgi (line) grafikler (plot, plot3, polar) Çubuk (bar), pasta (pie) vb özel grafikler (bar, bar3, hist, rose, pie, pie3) Yüzey (surface) grafikler (surf, surfc) Ağ (mesh) grafikler (mesh, meshc, meshgrid) Contour grafikler (contour, contourc, contourf) Animasyonlar (moviein, movie vb komutlar) 2

3 MATLAB/Grafik Matlab da bazı durumlarda değişkenin ve fonksiyonun sadece ilgilenilen aralıklarda değişiminin çizilmesi istenebilir. Fonksiyon axis([xmin xmax ymin ymax]) axis equal axis square axis normal axis off axis on Tanımı Eksen takımını verilere göre yeniden yapılandırır. Eksen takımlarını eşit ölçekli ve artımlı yapılandırır. Eksen takımlarını eşit uzunlukta kare olarak yapılandırır. axis equal ve axis square fonksiyonlarının etkilerini kaldırır. Eksen takımlarını, etiketlerini ve eksen üzerindeki sayıları kaldırır. Eksen takımlarını ve diğer özellikleri geri getirir. 3

4 MATLAB/Grafik-Histogram Ölçülerin hangi istatistiksel dağılıma uyduğunu görebilmek için, frekans (sıklık) değerleri hesaplanır ve histogram grafikleri çizilir. Elimizde, aynı dağılımda olduğu bilinen bir x ölçü vektörü varsa, hist(x) fonksiyonu otomatik olarak bir histogram grafiği çizer. Örneğin, x=randn(1,1)*3 biçiminde normal dağılmış bir ölçü grubu üretelim. hist(x) ile aşağıdaki histogram grafiği oluşturulur (Her bir barın üst noktası birleştirildiğinde oluşan eğrinin bir normal dağılım eğrisi veya diğer adıyla çan eğrisi biçiminde olduğu görülecektir.) Sıklık x 4

5 MATLAB/Grafik-Vektör çizimi x ve y koordinat değerlerine sahip bir noktanın dx ve dy kadar yer değiştirdiği düşünülsün. Bu noktadaki (dx,dy) vektörünü çizdirmek istediğimizde, quiver fonksiyonu kullanılır. Örneğin, bir jeodezik dik koordinat sisteminde iki noktanın koordinatları x=[1;2], y=[5;1] vektörleri, bu noktadaki değişimler ise dx=[1;2] ve dy=[-.5;.8] ile tanımlansın. quiver(y,x,dy,dx) (Not: Bir jeodezik dik koordinat sisteminde x ve y nin yer değiştirdiğini hatırlayınız!) komutu ile bir jeodezik dik koordinat sisteminde vektör çizimi gerçekleştirilir. Vektörleri ölçeklendirmek için, s ölçek faktörü quiver fonksiyonuna beşinci bir değişken olarak eklenmelidir; quiver(y,x,dy,dx,s) 5

6 MATLAB/Grafik-Kanava Çizimi Bir jeodezik dik koordinat sistemindeki x ve y koordinatları verilen jeodezik noktaları, nokta sembolleri üçgen olacak biçimde çizdiriniz. plot(y,x,'^') axis([ ]) axis equal Nokta P1 P2 P3 P4 x (m) y (m) axis([xmin Xmax Ymin Ymax]) fonksiyonu, eksenlerin en küçük ve en büyük değerlerini ayarlar, axis equal ise x ve y eksenlerindeki ölçek faktörünü (büyüme ve küçülme oranlarını) eşitler. 6

7 MATLAB/Grafik-Line Fonksiyonu Koordinatları belirli iki noktayı doğrusal olarak birleştirmek için line([x1 x2],[y1 y2]) şeklinde kullanılır. clear clc 14 ad=[ ]; x=[ ]; y=[ ]; 12 4 hold on 3 1 plot(y,x,'^') axis([ ]) axis equal 8 for i=2:length(x) line([y(i-1) y(i)],[x(i-1) x(i)]); end for i=1:length(ad) 4 text(y(i),(x(i)+5),num2str(ad(i))) end 2 hold off text(x,y,'string') 7

8 MATLAB/Grafik-Patch Fonksiyonu Koordinatları belirli alanı doldurmaya yarar. Kullanımı patch(x,y,c) şeklindedir. Burada C taranacak rengi belirler. 12 clear clc x=[ ]; y=[ ]; patch(y,x,'r')

9 MATLAB/Grafik-fplot Fonksiyonu Belirtilen x ve y aralıklarında karakter dizisi kullanılarak ifade edilen fonksiyonun grafiğini çizdirir. fplot( fonksiyon,[xmin xmax ymin ymax]) şeklinde kullanılır. fplot('x^3+x^2-x+1',[ 1]) Sınır değer olarak sadece x ekseninin belirtilmesi yeterli olacaktır

10 MATLAB/3B Grafik- contour fonksiyonu Yüzeylere ait eşyükselti eğrilerinin x-y düzleminde çizdirilebilmesi için contour fonksiyonundan yararlanılır. [C,H]=contour(x,y,z) şeklinde kullanıldığı durumda eş yükselti değerlerini [C,H] vektörüne atayacaktır. Ayrıca, clabel(c,h) komutu ile eşyükselti değerleri grafik üzerinde gösterilebilir [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); Z = X.* exp(-x.^2 - Y.^2); [C,H]=contour(X,Y,Z); clabel(c,h) colorbar

11 MATLAB/Grafik-İnterpolasyon Örnek: Nokta koordinatları, x=[1;12;4;1], y=[15; 2;3;35] ile ve bu noktaların yükseklikleri, H=[1.;95.985;5.5;14.12] ile tanımlansın. Bölgeyi 1 m lik gridlere bölerek, bölgenin yükseklik değerlerini gösteren bir renk haritası hazırlayınız. 45 clear,clc x=[1;12;4;1]; y=[15;2;3;35]; H=[1.;95.985;5.5;14.12]; x1=1:1:45; y1=15:1:4; [XI,YI]=meshgrid(x1,y1); HI=griddata(y,x,H,YI,XI,'v4'); hold on, pcolor(yi,xi,hi), shading interp colorbar('southoutside') plot(y,x,'o','markerfacecolor','k') hold off Not: v4 interpolasyonu yerine, diğer interpolasyon yöntemlerini kullanarak aradaki farkları irdeleyiniz

12 MATLAB 3D-GRAFİK Üç boyutlu (3D) grafikler, temel olarak iki boyutlu (2D) grafiklere üçüncü boyutun yani z-ekseninin eklenmesi ile elde edilir. 3D çizgi grafikler - Üç boyutlu uzayda çizgi grafikleri çizer. (plot3) 3D ağ grafikler - Üç boyutlu uzayda tel çerçeveli yüzeyler çizer. (mesh, meshc, meshz, waterfall) 3D yüzey grafikler - Üç boyutlu uzayda mesh gibi renkle doldurulmuş patch çizer. (surf, shading, surfc, surfl, surfnorm) 3D halka grafikler - contour3, contourf, shading, clabel. 3D hacim grafikler - Üç boyutlu veri setlerinin gösteriminde kullanılır. Komut: slice, isosurface, smooth3, isocaps, isonormals. 3D özelleştirilmiş grafikler - Üç boyutlu veri setlerinin gösteriminde kullanılır. Komut: ribbon, quiver, quiver3, fill3, stem3, sphere, cylinder. 12

13 MATLAB/3B Grafik-plot3 fonksiyonu Aynı uzunluktaki üç vektörün birbirlerine göre değişimlerini çizgisel grafiklerle ifade etmemizi sağlar. plot3(x,y,z) şeklinde kullanılır. 4 t = :pi/5:1*pi; plot3(sin(t),cos(t),t); xlabel('x ekseni'); ylabel('y ekseni'); zlabel('z ekseni'); z ekseni y ekseni x ekseni

14 MATLAB/3B Grafik- meshgrid ve mesh fonksiyonları meshgrid fonksiyonu x ve y vektörleri ile belirtilen alanı, X ve Y matrislerine dönüştürür. [X,Y]=meshgrid(x,y) şeklinde kullanılır. mesh fonksiyonu ise Z=f(X,Y) ile belirli iki değişkenli fonksiyonun belirttiği yüzeyi renkli ağ örgüsü şeklinde çizer. mesh(x,y,z) şeklinde kullanılır. -2 < x < 2, -2 < y < 2, aralığı için.5 [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); Z = X.* exp(-x.^2 - Y.^2); mesh(x,y,z) meshc ve meshz fonksiyonlarını da inceleyelim

15 MATLAB/3B Grafik- surf fonksiyonu surf fonksiyonu ise Z=f(X,Y) ile belirli iki değişkenli fonksiyonun belirttiği yüzeyi çizer. surf(x,y,z) veya surf(z) şeklinde kullanılır. -2 < x < 2, -2 < y < 2, aralığı için.5 [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); Z = X.* exp(-x.^2 - Y.^2); surf(x,y,z) surfl ve surfc fonksiyonlarını da inceleyelim

16 MATLAB/3B Grafik- örnekler Örnek: Üç boyutlu bir doğru grafiği X = [ ]; Y = [ ]; Z = [ ]; plot3(x,y,z); grid on; xlabel('x-ekseni'); ylabel('y- ekseni'); zlabel('z- ekseni'); title('üc boyutlu bir doğru'); Örnek: z=x 2 +y 2 ile tanımlı 3D parabol grafiği x = [-1 : 1 : 1]; y = [-1 : 5 : 1]; [X, Y] = meshgrid(x,y); Z = X.^2 + Y.^2; %üç boyutlu parabol mesh(x,y,z); xlabel('x-ekseni'); ylabel('y- ekseni'); zlabel('z- ekseni'); 16

17 MATLAB/3B Grafik- örnekler Örnek: t dizisinin cosinus fonksiyon grafiği t = -2*pi:pi/1:2*pi; [x,y,z] = cylinder(cos(t),2); mesh(x,y,z) axis off Örnek: t dizisinin cosinus fonksiyonu grafiği t = :pi/1:2*pi; [X,Y,Z] = cylinder(2+cos(t)); surf(x,y,z) Matlab Semineri-25 17

18 MATLAB/3B Grafik- örnekler x = -2.9:.2:2.9; bar(x,exp(-x.*x)); x=:.5:5;y=sin(x.^2); plot(x,y); x=:.1:4; y=sin(x.^2).*exp(-x); stem(x,y) z=peaks(25);, surf(z);, colormap(jet); Contour plot: z=peaks(25); contour(z,16); 18

19 MATLAB/Grafik-Grafik yoluyla bilgi üretme Mühendislik uygulamalarında en çok karşılaşılan problemlerden biri de F(x)= biçimindeki bir denklemin ilgili aralıktaki kökünü (fonksiyonu sıfır yapan x değerini) bulmaktır. Sayısal analizde kullanılan Newton-Raphson gibi yöntemlerde kökün yaklaşık değerine ihtiyaç vardır. Bu yaklaşık değeri bulmak için grafik çizimi oldukça kullanışlı olmaktadır. Örneğin, F(x)=x 3 +x 2-5= gibi bir denklemin -2 ile 2 arasındaki yaklaşık kökünü bulmak için, x=-2:.1:2 biçiminde x değerleri ve y=x.^3+x.^2-5 ile de bu x lere karşılık y değerleri üretilir. plot(x,y),grid on komutlarıyla aşağıdaki grafik çizdirilir.(grid on komutu şekildeki grid ağını çizer) y=x 3 +x 2-5 eğrisi y= doğrusunun eğriyi kestiği noktadan, x eksenine hayali bir dik inilirse, bu dikin gösterdiği x değeri, F(x) denklemini sağlayan kök olacaktır. Buradan kökün yaklaşık değerinin 1.4 olduğu sonucuna kolaylıkla ulaşılır. Not: Figure penceresindeki büyütme özelliği ile, ilgili kesişim noktasına zoom yapılarak, yaklaşık kök daha hassas biçimde belirlenir. 19

20 MATLAB/Grafik-Basic Fitting Tool Figure penceresinde yer alan Tools menüsü içindeki Basic Fitting seçeneği grafik üzerindeki x ve bunlara karşılık gelen y değerlerini kullanarak, bunlara en iyi uyan y=f(x) polinomunu tanımlar. Böylece oldukça pratik bir biçimde model oluşturulur. Burada hatırlatılması gereken iki nokta vardır: 1) Eğer nokta çifti (x,y) sayısı uydurulan polinomun bilinmeyen sayısına eşitse, bulunan fonksiyon bir enterpolasyon polinomudur. (Not: n. dereceden bir polinomun n+1 adet bilinmeyeni olduğunu hatırlayınız: Örneğin 4. dereceden bir polinom; y=ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e dir ve bilinmeyen sayısı 5 dir) 2) Eğer nokta çifti sayısı, uydurulan polinomun bilinmeyen sayısından fazlaysa en uygun polinom bir en küçük kareler kestirim yöntemi sonucudur. y değerleri hatalı büyüklüklerse (yani ölçü ise), basic fitting ile uydurulacak polinomun bilinmeyen sayısı her zaman ölçü sayısından küçük olmalıdır! 2

21 MATLAB/Grafik-Basic Fitting Tool Örnek: Aşağıdaki tabloda f= 5, 1, 15 ve 2 değerlerine karşılık t-dağılımının =%5 güven sınırları (t, değerleri) verilmektedir. t=af 3 +bf 2 +cf+d polinomunu basic fitting özelliğini kullanarak belirleyiniz. f=9 için t=2.26 olduğuna göre elde edilen enterpolasyon polinomun doğruluğunu test ediniz. f t Çözüm: x=[5;1;15;2] ve y=[2.57;2.23;2.13;2.9] olsun. plot(x,y) ile ilgili eğri çizilir. Figure penceresindeki Tools menüsünden, Basic Fitting seçeneği seçilir. Açılan, Basic Fitting penceresinden ilgili polinom (burada, cubic, yani 3.derece) ve ardından, show equations seçeneği işaretlenir. Şekil üzerinde gösterilen f(x) eşitliği, bize enterpolasyon polinomunu vermektedir. Bu denklemde, x=9 girilirse, y=2.24 değeri elde edilir. f=9 için t=2.26 olduğu bilindiğine göre, enterpolasyon polinomumuzun doğruluğu-bu aralık için-%2 dir. 21

22 MATLAB/Grafik-Basic Fitting Tool Örnek: Aşağıdaki tabloda, x zamanlarına karşılık y ölçüleri elde edilmiştir. Ölçülere en iyi uyan y=a+bx doğrusunu belirleyiniz (En küçük kareler kestirim yöntemi) x y Çözüm: Tablodaki değerler x ve y vektörlerine atanır. plot(x,y,'o')ile ilgili eğri çizilir. Basic Fitting penceresinde, linear, show equation, plot residuals seçenekleri işaretlendiğinde, aşağıdaki grafik oluşturulur. En küçük kareler yöntemine göre belirlenen en uygun doğru denklemi (model) * Ölçülerin, belirlenen doğru denkleminden sapmasını (düzeltmeleri-residuals) gösterir. * Demirel H (25), Dengeleme Hesabı Ders Notları, YTÜ, İstanbul 22