MERKEZCİL KUVVETLER VE SAÇILMA

Transkript

1 3 MRKZCİ KUVVTR V SAÇIMA A) MRKZCİ KUVVTR B) HARKT DNKMRİ C) YÖRÜNGR D) BAĞI V ASİMTOTİK SRBST DURUMAR ) KPR YÖRÜNGRİ F) BAĞI DURUMARDA NRJİ BÖÜŞÜMÜ G) SAÇIMA İKRİ H) TSİR KSİTİ HSAPARI I) ÖRNKR J) SAÇIMA AÇIARININ GAİO DÖNÜŞÜMÜ A) MRKZCİ KUVVTR İki paçacık aasındaki etkileşmenin kütle mekezi ve elatif kdinatla kullanılaak tek paçacık pblemine indigenebildiği göülmüştü. Bu paçacıklaın etkileşmesinin sadece aalaındaki uzaklığa bağlı lduğu, yani eşdeğe tek paçacık pbleminin U U ptansiyeli ile belilendiği duumla 'Mekezcil Kuvvet' pblemi laak adlandıılı. Bunun lmasıdı. sebebi F U F U ˆ F ancak dp denkleminin ile vektö çapımı v d ve p paalel lduklaı için dp F vei, d p dp

2 4 sağlanı. F ve p tanımlaıyla da Mekezcil kuvvetle için F 0 d elde edili. lduğu için 'Açısal Mmentum' sabit kalacaktı. Bu da tanım geeği ve p 'nin vektöüne dik bi düzlemde ye alması demekti. Dlayısıyla mekezcil kuvvet pblemleini Byutta, mesela xy - düzleminde incelemek yeteli lu. B) HARKT DNKMRİ xy - düzleminde, pla kdinatla kullanılaak luştuulan m m U ifadesinden m m U ve d m İlk denklemde 0 m : sabit agange denklemlei elde edili. yeleştiileek m bunun da 'ye göe integalinden du m 0 3 m d, m U Sabit aa snucu m bulunu. Teimlein adyal ve dönme kinetik enejilei ile ptansiyel eneji laak teşhis edilmesi, Sabit 'in tplam eneji lduğunu belile. Bu da d U demekti. Çözümün genel yl haitası m m m d U m m m t t t t t

3 5 m t ile veili. Ancak t d integalini bulmak müün lsa bile çözüm t t U m m m biçiminde lacak, bunun t haline getiilmesi ek bi zahmet geektiecekti. C) YÖRÜNGR Geçek hayatta bu çetin yl, bilgisaya destekli sayısal hesaplaa bıakılıp d U m m m d ve ifadeleini böleek, m zamandan bağımsız d m mu d denkleminden 'Yöünge' ifadesini bulmak yluna gidili. Bu denklemin bile çk az sayıda U için, temel fnksiynlala ifade edilebilen çözümü vadı. Teknik bi nkta: u değişken dönüşümü yapılaak bulunan m du mu u u d denklemi çözüme daha elveişlidi. D) BAĞI V ASİMTOTİK SRBST DURUMAR Geçekçi ptansiyelleden () U 0 davanışı bekleni. Bu kuala uymayan U lula. m benzei ifadele, ancak kısıtlı bölgelede ve yaklaşık laak geçeli 'deki davanışı belileyen mv ancak 0 için anlamlı lu; 0 hali ise paçacığın 'a ulaşamayacağına işaet ede.

4 6 Dlayısıyla 0 hali 'Bağlı Duum' laak adlandıılı ve yöünge uzayın snlu bi bölgesine kısıtlanı. 0 duumlaı ise iki ucu da 'da biten açık yöüngelee yl aça; bunla da 'Saçılma Duumu' laak adlandıılı. ) KPR YÖRÜNGRİ k 0 için çekici, 0 k k için itici U k u ptansiyeli, Keple pblemi laak bilini. Hem kütle çekimi, hem de Culmb etkileşmeleini kapsayan bu pblemin çıkış nktası du integalidi. m u u seçimi ve lips'in 'Yassı'lığını belileyen paametesi tanımıyla Bu ifadenin katezyen kdinatlada cs yöünge ifadesi elde edili. x x y biçimini alan knik eğilei lduğu klayca gösteili. ve k belilenen bu yöüngelein tek tek incelenmesi geeki. m k 4 paametelei ile a) 0 : Bağlı ve Saçılma duumlaının tak sınıında ye alan, ancak temelde bi saçılma pblemi lan 0 özel duumunun yöüngesi cs asimttun x 'dan gelip, x ile veili. Bu paablik yöüngede ilişkisi,, yani negatif x -ekseni lduğunu belile. Böylece paçacık mekeze en yakın nkta, 0 'dan geçip, teka yönüne gide. Mekeze en yakın nktanın itici ptansiyelle için negatif, çekici

5 7 ptansiyelle için ise pzitif lduğu, yani itici duumda yöüngenin mekezin önünden, çekici duumda akasından geçtiği göülü. b) 0 : Bu saçılma pbleminde, diğei 3 cs ile belilenen, bii 3 3 sağlayan iki asimtt bulunu. lduğu klayca göülü. Asimtt açılaının ve 3 laak etiketlenmesi, söz knusu açılaın katezyen kdinatta sl üst ve sl alt çeyeklede ye aldıklaına işaet ede. Yöünge 0 lduğu için hipeblikti. ile belilenen mekeze en yakın nktanın gene itici ptansiyelle için negatif, çekici ptansiyelle için ise pzitif lduğu, yani itici duumda yöüngenin mekezin önünden, çekici duumda akasından geçtiği göülü. : Bu şatın sağlanabilmesi için k 0 lmak zundadı. c) 0 lduğu için de eliptik bi yöünge luşu ve asimtt söz knusu değildi. Yöüngenin mekeze en yakın nktası min, en uzak nktası da max ile veili ve ikisi de x -ekseni üzeinde ye alıla. F) BAĞI DURUMARDA NRJİ BÖÜŞÜMÜ d biçimindeki bi fiziksel değişkenin 0 t zaman aalığındaki talama değei d d laak tanımlanı. ğe 0 d t sadece snlu değele alan bi fnksiynsa limitinde 0 elde edili. Bu snuç, kapalı bi yöünge için p ifadesine uygulanısa d d p v p F K U 0

6 8 bulunu; bu da K U snucuna götüü. 'Viial' teemi laak bilinen bu snuç çk paçacık pblemleinde ve hatta kuantum mekaniğinde geçeliliğini ku. Keple pblemi özel duumu için ise U ; K ; U K özdeşlikleini vei. G) SAÇIMA İKRİ Saçılma deneyi: 'daki sebest bi paçacığı mekezdeki bi hedefe yönlendimek, hedefdeki ptansiyelle etkileşme snucu saçılan paçacığı gene 'de, ancak başka bi yönde gözlemekti. Bu işlem hedefdeki sistemin iç yapısını incelemek için kullanılı. Makskpik sistemle dğal laak 'gözle' inceleni ki bu da bi saçılma işlemidi: uzak bi ışık kaynağından çıkan ftnla inceleme knusu yapıya çapıp, yön değiştieek gözümüze yönelile. İç yapısı labatuada incelenen sistemle genelde çk küçük, en iisi atm byutunda lula. Mikskpik yapılaı incelemenin dğal ylu, bambaşka bi yaklaşım kullanan kuantum fiziğidi. Ancak saçılma pblemine klasik mekanik yaklaşımı da eğitici ve kuantum hesaplaı için yl gösteicidi. Çk küçük byutlada yöüngelei tek tek tasalama ve kntl ianı lamayacağı için sabit 'Akı' lı bi paçacık huzmesi kullanıp, gözlemi de akı'la üzeinden yapmak geeki. Şimdiye kada Byutta yüütülen hesaplaın bu huzme yaklaşımı ile 3 Byuta tefi ettiilmesi geeki. Paçacığın eğe etkileşme lmasaydı gideceği yön ile, geçekte gittiği yön aasındaki açı 'Saçılma Açısı' laak adlandıılı ve ile gösteili. Saçılma açısı 0 sağlayacak şekilde laak tanımlanı. Paçacığın ilk yönüne paalel lan ve mekezden geçen dğuya ise 'Saçılma kseni' deni. Paçacığın Paametesi' laak adlandıılıp s ile gösteili. 'da bu eksenden uzaklığı ise 'Vuuş m v s ve ms ilişkilei ileide yaalı lacaktı. tkileşmeye gien paçacık huzmesinin akı'sı etkileşmeden çıkan saçılmış paçacıklaın, mekezden uzaklıktaki akı'sı ise dn s ds, dn sin d ile veili. tkileşmenin akılcı bi ölçüsü bu iki akı'nın anı labilidi,

7 9 ancak saçılmış paçacıklaın akı'sındaki Kesiti' laak adlandıılan s sin davanışı ölçekleneek, alan byutunda, 'Tesi ds d tanımlanı (*). Tanımdaki mutlak değe 0 lmasını gaantile. 'Tplam Tesi Kesiti' : ise TOP 'nın tüm katı açıla üzeinden integali alınaak max sin d TOP veya s s biçiminde tanımlanı. İleide 'Set Küe' pblemi TOP max min 'tplam' ve 'tesi kesiti' kavamlaına açıklık getiecekti. min H) TSİR KSİTİ HSAPARI Tesi kesiti hesaplaının temelinde gene veya s du U u su d du m mu u u d denklemi ye alı ve yöüngenin, mekeze en yakın nktası etafında simetik luşundan yaalanılı. Tplam sapma, yani saçılma açısı, mekeze en yakın nktadaki sapmanın iki katı lacaktı. n yakın nktanın açısının, ptansiyelin itici veya çekici luşuna göe, 0 veya lması, saçılma açısını değiştimeyeceği için, daha klay lan 0 kullanılacaktı. Tesi kesiti hesabı yl haitası : i) Yöüngenin mekeze en yakın nktasında geçeli du U umax 0 su 0 max d denkleminden max ii) iii) 0 max d 0 bulunu, u s du U u su saçılma açısı elde edili, u hesaplanı,

8 30 iv) s, s s, tesinmesi yapılı, v) s ds sin d hesaplanı(), vi) max sin d TOP elde edili. min I) ÖRNKR a) R Yaıçaplı Katı Küe U 0, U U dış iç u i) Dğudan max ii) iii) iv) R yazılı, R s du s su R sin 0 sin s R s R cs v) vi) TOP R 4 R : Set Küe'nin kesiti! b) Keple Ptansiyeli ve Ruthefd Saçılması U ku i) ii) iii) u k k 4 s s max, k sin k 4 s k tan s,,

9 3 iv) s v) k ctn k 6 4 csc vi) = TOP ( Uzun menzilli ptansiyel! ),, J) SAÇIMA AÇIARININ GAİO DÖNÜŞÜMÜ AB ve Çeçevelei : abatuada yapılan saçılma deneyleinde M kütleli, haeketsiz bi hedef ve buna v hıziyla göndeilen m kütleli paçacık söz knusudu. Dlayısıyla xy - düzleminde mmentumla : AB (önce): m v 0 & M 0 0 Tüm hızladan Kütle Mekezi hızı V ile veili. PTplam mv M M m Tplam çıkataak, tplam mmentumun sıfı lduğu 'Kütle Mekezi Çeçevesi'ne bi Galile dönüşümü ile geçili : (önce) : m Mv v m M m & M M m 0 0 Paçacıkla etkileşip, saçılma geçekleşince paçacığın x- ekseniyle açısı yapaak saçıldığı, hedefin de tplam mmentumu sıfı bıakacak şekilde gei teptiği göülü : (sna) : Mv v m cs cs M m M m m & M Mv mv sin sin M m M m Teka AB çeçevesine dönmek için, ilk adımda çıkatılan ekleni : V bu defa tüm hızlaa

10 3 AB (sna) : Mv mv v v m m cs cs M m M m M m M m m & M Mv mv sin sin M m M m paçacığın AB çeçevesindeki sn hızının y ve x bileşenleinin anı Mv sin CM sin CM tan = M m = AB Mv mv m cs cs CM CM M m M m M laak yazılıp, saçılma açısının AB ve çeçevelei aasında nasıl dönüştüğü anlaşılı. PROBMR B. ) Keple pblemi için t t t laak tesinemeyeceğini göün. çözümünü elde edin ve bu fnksiynun C. ) cs yöüngesine kaşılık gelen knik denkleminin 4 x x y lduğunu göstein. m k U k C. ) Çekici mekez, daiesel bi yöüngenin üstünde ye alıysa 4 lduğunu göstein. 4

11 33 U k k ptansiyeline kaşılık gelen yöüngenin C.3) a cs lduğunu göstein. Bu ifade 'kayan eksenli' ve genelde kapanmayan bi 'elips' di. duumu için yaklaşık bi 'eksen kayma hızı'nı k k a ifadesi cinsinden elde edin. C.4 ) Relativistik Keple yöüngesinin de ekseni kayan bi elips lduğunu göstein, bi evvelki pblemle ilişkilendiin. C.5 ) Daima çekici lan 'Hamnik Osilatö' ptansiyeli U m ile veili. seçimi yapaak ve c, 4 tanımlaını kullanaak c c cs ifadenin c x c y c m c yöünge ifadesini elde edin. Bu elips denklemine eşdeğe lduğunu, 'Yassılma' paametesinin c c ile veildiğini göstein. F. ) Hamnik silatölede K U eş bölüşüm ilkesini ispat edin. ve ifadeleini luştuun, snuçlaı 'Set Daie' H. ) Byutta TOP pblemine uygulayın.

12 34 U k H. ) k ptansiyelinin tesi kesitinin sin lduğunu göstein. (Gldstein) H.3 ) U 0, U U ile tanımlanan R yaıçaplı 'Çekici' Küe'nin tesi dış iç U kesitinin n lmak üzee n cs ncs n n nr 4 cs cs ifadesini hesaplayın. (Gldstein) lduğunu göstein ve TOP H.4 ) Saçılma kavamını genelleyeek R yaıçaplı ve f dak uzaklığına sahip bi yakınsak mecek için TOP ve ifadeleini bulun. J.) Hedef paçacığın gei tepme açısının lduğunu göstein. (Gldstein) NOTAR () Knu elektdinamik lsaydı byutlaı, dlayısıyla biimlei değişik lan 'Ptansiyel' ve 'Ptansiyel neji' kavamlaını ayımaya özen göstemek geekidi. Klasik mekaniğin bu bölümdeki uygulamalaında 'Ptansiyel' aslında 'Ptansiyel neji' anlamına kullanılacaktı.

13 35 () Veilen bi U ptansiyeli için tesi kesitini bulmak aslında güzel bi matematik pblemidi. Ancak geçek hayatta önemli lan, labatuada ölçülen 'dan U U ptansiyelini, ndan da hedefin yapısını elde etmekti. işlemi için en sağlam kaynak : 'Mechanics', andau-ifshitz, #8