1. Universitetin adı ADAU. 3. Kafedra: Aqrar Fizika və riyaziyyat. 4. Fənn: Riyaziyyat. 5. Mühazirəçi: t.e.n. dosent. Bağırlı David Veysəl oğlu

Transkript

1 Universitetin adı ADAU Fakültə: İnformasia tenologiaları, aqromühəndislik və enerğetika 3 Kafedra: Aqrar Fizika və riaziat 4 Fənn: Riaziat 5 Mühazirəçi: ten dosent Bağırlı David Vesəl oğlu Gəncə - 00 ƏDƏBİYYAT R Məmmədov Ali riaziat kuru, I hissə, «Maarif», Bakı, 978, II hissə 98, III hissə 984 Məsimova SN Ali riaziatın əsasları Bakı, Yeni Nəsil, Piskunov NS Diferensial və inteqral hesabı Bakı Maarif, I,II c, Данго ПЕ, Попов АГ, Кожевникова ТЯ Высшая юкола, в -х частях, Кудряцев ВА, Демидович БП Краткий курс высшей математики М, Наука, Минорский ВП Сборник задач по высшей математике М, Наука, Общий курс высшей математики для экономистов Под ред Ермакова ВИМ, Инфра М, Сборник задач по высшей математике для экономистов Под ред Ермакова ВИМ, Инфра М, Шипачев ВС Высшая математика М, Высшая школа, 990 Mövzu Diferensial tənliklər Birtərtibli bircins və bircins olmaan ətti diferensial tənliklər Əsas anlaışlar Əsas anlaışlar Birtərtibli diferensial tənliklər 3 Dəişənlərinə arıla bilən diferensial tənliklər 4 Bircins diferensial tənliklər 5 Birtərtibli ətti diferensial tənlil Tərif İtiari dəişəni, onun () funksiası və bu funksi-anın həmin dəişəninə (n) nəzərən ( ), ( ),, ( ) törəmələri dail olan tənliə adi diferensial tənlik deilir Diferensial tənliə dail olan ən üksək tərtibli törəmənin tərtibinə həmin diferensial tənliin tərtibi deilir n-tərtibli adi diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi azılır ( n) F (,,,,, ) 0 ()

2 () diferensial tənliini eniliə çevirən () funksiasına həmin tənliin həlli deilir ( n) Bu, o deməkdir ki, () funksiasını və onun ( ), ( ),, ( ) törəmələrini () tənliində erinə azdıqda həmin tənlik -ə nəzərən eniliə çevrilir n-tərtibli diferensial tənliin ümumi həlli n sada itiari sabitin dail olduğu elə, C, C,, C ) () ( n həllinə deilir ki, o verilmiş tənlii eniliə çevirsin Diferensial tənliin ümumi həllinə dail olan itiari sabitlərin müəən qimətlərində alınan hər bir həlli diferensial tənliin üsusi həlli adlanır Verilmiş diferensial tənlii ödəən funksia (həll) qeri-aşkar və parametrik şəkildə də verilə bilər Bu halda həmin funksiaa bəzən diferensial tənliin inteqralı deilir Diferensial tənliin həllinin qrafiki inteqral ərisi adlanır Birtərtibli diferensial tənliklər Birtərtibli diferensial tənlik ümumi şəkildə aşağıdakı kimi azılır F (,, 0 Bu tənlii atarılan funksianın törəməsinə nəzərən həll etmək mümkün olduqda f (, () şəklində törəməə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlik alınır () tənliinin ümumi həlli şəklindədir Burada C ailəsindən ibarətdir, əni C (, С) () itiari sabitdir Həndəsi olaraq () ümumi həll inteqral əriləri sabitinin mütəlif qimətlərinə uğun olan ətlər toplusudur İnteqral əriləri belə bir assəə malikdirlər ki, onların hər bir M(, nöqtəsində tounanın mel bucağı tg f (, şərtini ödəir Əgər inteqral ərisinin keçdii M (, ) nöqtəsini versək, onda bununla sonsuz inteqral əriləri ailəsindən müəən bir inteqral ərisi seçilir və bu bizim diferensial tənliin üsusi həllinə uğundur Analitik olaraq bu tələb 0 olduqda 0 başlanğıc adlanan şərtə gətirilir Əgər () ümumi həll məlumdursa, onda alırıq ki, 0 ( 0, С) Bu şərtdən C sabitini müəən etmək olar və nəticədə, uğun üsusi həlli tapmaq olar Koşi məsələsi bundan ibarətdir K oşi məsələs i () diferensial tənliinin 0 ( 0 ) başlanğıc şərti ödəən, əni

3 arqumentin 0 qimətində verilmiş 0 qimətini alan () həllini tapın Koşi məsələsini həndəsi olaraq belə ifadə etmək olar: () diferensial tənliinin verilmiş M (, ) nöqtəsindən keçən inteqral ərisini tapın Qed edək ki, törəməə nəzərən həll olunmuş birtərtibli diferensial tənlii həmişə M (, N(, 0 (3) diferensial şəkildə azmaq olar Doğrudan da () tənliini f (,, f (, 0 kimi azıb, orada M (, f (, və N (, qəbul etsək (3) şəklində diferensial tənlik alınar Dəişənlərinə arılan tənliklər Tutaq ki, M() və N ( funksiaları uğun olaraq (a,b) və (c,d ) intervalında kəsilməzdir Bu halda M ( ) N( 0 () tənliinə dəişənlərinə arılmış diferensial tənlik deilir () tənliində -in əmsalı ancaq - dən, -in əmsalı ancaq -dən asılıdır Fərz edək ki, () funksiası () tənliinin həllidir Onda həmin funksia () tənliini eniliə çevirir: Bu enilii inteqralladıqda M ( ) N( 0 () M ( ) N( C (3) münasibəti alınar, burada S itiari sabitdir Buradan adındır ki, (3) tənlii () tənliinin bütün həllərini təin edir Buna görə də (3) münasibətinə () tənliinin ümumi inteqralı deilir Fərz edək ki, M (), M (), N (, N ( funksiaları kəsilməzdir Bu halda M ( ) N ( M ( ) N ( 0 (4) tənliinə dəişənlərinə arılan tənlik deilir Bu tənlii həll etmək üçün onun hər iki tərəfini N ( M () 0 hasilinə bölək: M ( ) N ( M ( ) N ( Dəişənlərinə arılmış bu tənliin ümumi inteqralı 0 M ( ) N ( C M ( ) N ( (5) 3

4 olar (4) tənliinin (5) ümumi inteqralından alınmaan başqa həlləri də ola bilər Belə həllər N ( M () = 0 bərabərliinin ödənildii nöqtələr içərisində olar (N ( = 0, M () = 0) tapmalı M isal = 5, = başlanğıc şərtini ödəən H əlli, ( ) + ( + ) = 0, ( ) d( ) ( ) d( ) C, ( C ) ( ) ( C C ) diferensial tənliinin həllini Mərkəzi O(, ) nöqtəsində olan çevrələr Xüsusi həlli tapaq üçün = 5, = başlanğıc şərtlərdən istifadə edək: Atarılan üsusi inteqral ( 5 C ) ( ), C 5 ( ) ( ) 5 çevrəni müəən edir Bircins diferensial tənliklər Tərif Əgər hər bir k ədədi üçün n f ( k, k k f (, () enilii doğru olarsa, onda f (, funksiasına və dəişənlərinə nəzərən n dərəcəli bircins funksia deilir İndi isə diferensial tənliinə baaq M (, N(, 0 () Tərif Əgər və dəişənlərinin diferensiallarının M (, və N (, əmsalları eni dərəcəli bircins funksialar olarsa, onda () tənlii birtərtibli bircins diferensial tənlik adlanır Bu tənlii həll etmək üçün dəişənlərinə arılan tənliə gətirmək lazımdır z, = z, = dz + z əvəzləməsi vasitəsilə onu İndi tutaq ki, bircins diferensial tənlik aşağıdakı şəkildə verilmişdir f (, (3) Əgər f (, funksiası və dəişənlərinə nəzərən sıfır dərəcəli bircins funksia olarsa, əni 4

5 f ( t, t t 0 f (, f (, şərti ödənilərsə, onda (3) tənlii birtərtibli bircins diferensial tənlik olar M isal H əlli ln diferensial tənliinin ümumi həllini tapmalı ln, ln 0 M (, ln və N(, birdərəcəli bircins funksialardır Doğrudan da, k M ( k, k k ln k ln, k N( k, k k Tənlii həll etmək üçun z, = z, = dz + z əvəzləməsini aparsaq, alarıq z lnz -(dz+z)=0 Buradan dz=z(lnz-), dz z(ln z ), dz z(ln z ) d(ln z ) ln z,, ln(ln z ) ln ln C, ln z C, ln z C, ln C, e C Nəticədə baılan tənliin ümumi həlli C e olar Birtərtibli ətti diferensial tənliklər Atarılan funksiaa və onun törəməsinə nəzərən ətti olan tənliə birtərtibli ətti diferensial tənlik deilir və aşağıdakı kimi azılır p( ) f ( ) () f () 0 olduqda alınan 5

6 p( ) 0 () tənliinə () tənliinə uğun ətti bircins tənlik deilir f ( ) 0 olduqda () tənlii ətti bircins olmaan diferensial tənlik adlanır () tənliini mütəlif üsullarla həll etmək olar Bu üsullardan biri sabitin variasiası üsuludur Bu üsula görə əvvəlcə ətti bircins tənliin ümumi həlli tapılır Alınan tənlik dəişənlərinə arılır Sonuncu tənlii inteqrallasaq p( ) 0, p( ) ln p( ) ln C, buradan isə () tənliinin ümumi həllini alarıq: p() C e (3) İndi isə ətti bircins tənliin (3) ümumi həllindəki itiari C sabitini -dən asılı C C() funksiası hesab edək: ( ) C( ) e p (4) -in bu ifadəsini () tənliində erinə azaraq sadə çevirmələrdən sonra alarıq C( ) f ( ) e p( ) Buradan isə naməlum C() funksiası tapılır C( ) f ( ) e p( ) C C()-in bu ifadəsini (4) bərabərliində erinə azdıqda () tənliinin ümumi həlli alınar: p( ) p( ) e f ( ) e C M isal diferensial tənlii həll edin H ə l l i Əvvəlcə bircins olmaan (5) tənliinin uğun 0 (6) bircins tənliini həll edək,, d( ), ln ln( ) ln C 6

7 Aırıncı bərabərlikdən verilmiş bircins diferensial tənliin ümumi həllini tapırıq: C( ) Burada C sabitini -dən asılı C() C funksiası hesab edək, onda C( )( ) (7) -in bu ifadəsini (5) tənliində erinə azsaq alarıq С ( )( ) C( ) С( )( ) Buradan C ( ), aud C( ) C Bu həlli (7) bərabərliində erinə azdıqda (5) tənliinin həllini alarıq ( С)( ) 7

8 Mövzu İkitərtibli diferensial tənliklərin intqerallanan növləri Sabit əmsallı ikitərtibli ətti bircins və bircins olmaan diferensial tənliklər Sadə ikitərtibli diferensial tənliklər Bəzi diferensial tənliklərin inteqrallanan növləri Tərtibin azaldılması halları 3 İkitərtibli sabit əmsallı ətti bircins tənliklər 4 İkitərtibli sabit əmsallı ətti bircins olmaan tənliklər Sərbəst dəişəninə, atarılan funksiaa onun birinci və ikinci tərtib törəməsinə nəzərən tənliə ikitərtibli diferensial tənlik deilir Bu tənlii ümumi şəkildə aşağıdakı kimi azmaq olar F (,,, 0 () İkitərtibli diferensial tənlii eniliə çevirən məchulundan və iki sərbəst itiari C вяc sabitlərindən asılı olan (, C, C ) funksiasına bu tənliin ümumi həlli deilir 0 0 () tənliinin ümumi həllindən C və C itiari sabitlərinin verilmiş С С, С С 0 0 qimətlərində alınan (, C, C ) həllinə () tənliinin üsusi həlli deilir Əgər F (,,, ) 0 tənlii üksək törəməə nəzərən həll ediləndirsə, onda bu tənlii şəklində göstərmək olar f (,, () Sadə inteqrallanan ikitərtibli diferensial tənliklərə elə tənliklər aiddir ki, () bərabərliinin sağ tərəfində duran funksia alnız üç arqumentin birindən asılı olsun I növ Tutaq ki, Bu tənlii inteqrallasaq alarıq Yenidən inteqrallasaq nəticədə alarıq f () (3) f ) C ( f ( ) C C, burada C вя C itiari sabitlərdir və qeri-müəən inteqrallar uğun funksiaların ibtidai funksialarıdır II növ Tutaq ki, f ( (4) 8

9 Burada p( götürsək ( p-ə -dən asılı funksia kimi basaq) alarıq Nəticədə, (4) tənlii aşağıdakı şəkilə düşər p p f ( Dəişənləri aırsaq: p f ( Sonuncu tənlii inteqrallasaq alarıq: və a p C f ( p f ( C p olduğundan əvvəlki tənlii belə azmaq olar: f ( C Buradan bir daha dəişənləri aıraraq və inteqrallaaraq sonda alarıq: f ( C ( C ) III növ Tutaq ki, Burada p() götürək Onda olar və (5) tənlii aşağıdakı şəkilə düşər Dəişənləri aıraraq inteqrallasaq: f ( (5) f ( p) f ( p) və C f ( p) Bu tənlikdən tapmaq olar p kəmiətini müəən edərək ikinci dəfə inteqrallama olu ilə -ki də 9

10 Tərtibin azaldılması halları İkitərtibli f (,, () diferensial tənliinin birtərtibli diferensial tənliinə gətirildii aşağıdakı iki hala baaq I h a l Tutaq ki, () diferensial tənliinin sağ tərəfində dəişəni aşkar şəkildə dail deildir, əni tənlik f (, () şəklindədir Burada götürərək p( və p f (, p) p birtərtibli diferensial tənlii alarıq Burada sərbəst dəişən kimi çıış edir I I h a l Tutaq ki, () diferensial tənliinin sağ tərəfində dəişəni aşkar şəkildə dail deildir, əni tənlik f (, (3) şəklindədir Burada p() və götürərək məchul p funksiasının dail olduğu birtərtibli diferensial tənlik alarıq f (, p) Qed edək ki, uarıda baılan II və III növləri ( 6) () və (3) tənliklərinin üsusi hallarıdır M isal tənliini həll edin H əlli Birinci hala görə (4) p və p götürək Onda (4) tənlii şəklinə düşər Buradan: p p 0

11 ) p = 0, əni = C ; ) p, əni və ln p ln ln C p Potensiallasaq alarıq və nəticədə, p C C İnteqralladıqdan sonra alarıq və deməli, ln C ln C C e C, burada C вя C itiari sabitlərdir M isal = olduqda və başlanğıc şərtləri ödəən (5) tənliinin həllini tapın aud H əlli (5) tənliində p və götürək Onda p, p (6) Alınan tənlik bircins tənlik olduğundan (6) tənliində erinə azsaq alarıq p u p u əvəzləməsi qəbul edək, nəticədə вя du u buradan İnteqrallasaq alarıq du u u ; du u du, və a u ln( u ) ln ln C və nəticədə,

12 u C p C və, əni C p C itiari sabitini müəən etmək üçün verilmiş başlanğıc şərtləri ( = olduqda p ) nəzərə alaq: =+ C, əni C = 0 və beləliklə, Buradan alırıq və p C (7) C sabitini başlanğıc şərtlərdən tapırıq (7) düsturunda = və götürsək alarıq C, əni C 0 Nəticədə, atarılan üsusi həll olar İkitərtibli sabit əmsallı ətti bircins tənliklər Tutaq ki, ikitərtibli ətti bircins + p + q = 0 () tənlii verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlərdir Bu tənliin həlli atarılır, burada k atarılan sabit ədəddir Onda k e şəklində k ke, k k e Törəmələrin bu qimətlərini () tənliində erinə azaq e k (k +pk+q) = 0, burada e k 0 olduğundan alırıq ki, k pk q 0 () () tənliinə () diferensial tənliinin arakteristik tənlii deilir Bu tənlikdən k-nı tapaq k p p (3) 4 q, Burada aşağıdakı hallar mümkündür Əgər () arakteristik tənliinin k və k kökləri həqiqi və mütəlifdirsə, onda k e və k e funksiaları üsusi həllərdir Deməli, () tənliinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunur: k = C e k +C e (4)

13 Əgər () arakteristik tənliinin kökləri həqiqi və bərabərdirsə (k = k ), onda () tənliinin ümumi həlli aşağıdakı düsturla ifadə olunar: k C e k C e k e C C ) (5) ( 3 Əgər () arakteristik tənliinin k və k kökləri kompleks olarsa ( k = +i, k = i), onda () tənliinin ümumi həlli e ( C cos C sin ) (6) şəklində olur İkitərtibli sabit əmsallı ətti bircins olmaan tənliklər Tutaq ki, bircins olmaan ikitərtibli p q f () () tənlii verilmişdir, burada p, q əmsalları sabit ədədlər, f () məlum funksiadır Aşağıdakı teorem doğrudur Teore m Bircins olmaan () tənliinin ümumi həlli p q 0 () bircins tənliinin ( f ( ) 0) ümumi həlli ilə verilən bircins olmaan () tənliin üsusi həllinin cəminə bərabərdir İsbatı Əgər 0 bircins () tənliinin ümumi həlli və * uğun bircins olmaan () tənliinin üsusi həllidirsə, onda p q və * + p* +q* = f () Bu iki tənlii tərəf-tərəfə toplasaq və cəmin törəməsinin törəmələrin cəminə bərabər olduğunu nəzərə alsaq Buradan adındır ki, funksiası () tənliinin ümumi həlli olacaq Teorem Tutaq ki, bircins olmaan ( 0 + *) + p( 0 + *) +q( 0 + *) = = 0 + * (3) + p + q = f () + f () (4) f () tənliinin sağ tərəfi f () və f () funksialarının cəmidir Əgər + p + q = f () tənliinin üsusi həlli və isə 3

14 + p + q = f () tənliinin üsusi həllidirsə, onda + cəmi verilmiş (4) tənliinin üsusi həllidir Biz sabit əmsallı ətti bircins tənliin ümumi həllini tapa bilirik İndi isə uğun bircins olmaan () tənliinin üsusi həllinin tapılma üsulunu göstərək Qed edək ki, f () funksiasının bəzi üsusi şəkilləri üçün üsusi həlli qeri-müəən əmsallar üsulu ilə tapmaq olar Aşağıdakı sadə hallarda tənliin sağ tərəfindəki f () funksiasının şəklinə görə () tənliinin * üsusi həllinin şəklini əvvəlcədən göstərmək olar -ci hal f () = P(), burada P() çohədlidir Bu halda, əgər arakteristik tənliinin kökü sıfra bərabər olmazsa, onda * üsusi həlli P() ilə eni tərtibə malik olan Q() çohədlisi şəklindədir; əgər sıfır ədədi arakteristik tənliin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda * = r Q() -cü hal f () = e m P() Burada P() müəən dərəcəli çohədlidir Bu halda əgər m ədədi arakteristik tənliin kökü olmazsa, onda *=e m Q() və əgər m arakteristik tənliin r dədə təkrarlanan kökü olarsa, * = r e m Q() olar Burada Q() çohədlisi P() ilə eni dərəcəli çohədlidir X üsusi hal f () = ae m (a, m sıfırdan fərqli müəən ədədlərdir) Bu halda əgər m arakteristik tənliin kökü olmazsa, onda * =Ae m və əgər m arakteristik tənliin r dəfə təkrarlanan kökü olarsa, onda * =A r e m olar Burada A atarılan əmsaldır 3-cü hal f ( ) e ( P( )cos Q( )sin) Bu halda əgər i ədədləri arakteristik tənliin kökləri olmazsa, onda və əgər * e ( A( ) cos B( )sin ) i ədədləri arakteristik tənliin kökləri olarsa, onda * e ( A( ) cos B( )sin ) Burada A () və B() çohədlilərin dərəcəsi P () və Q () çohədlilərin dərəcəsinin ən böüünə bərabərdir X üsusi hal f ( ) e ( acos bsin) ədədlərdir) Bu halda əgər (a, b,, sıfırdan fərqli müəən i ədədləri arakteristik tənliin kökləri olmazsa, onda * e ( Acos B sin ) və əgər i ədədləri arakteristik tənliin kökləri olarsa, onda * e ( Acos B sin ) Burada A və B atarılan əmsallardır 4

15 5