GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET"

Serhat Kızılırmak
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1

GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları ve enine yüklü bağlantılarla sınırlıydı.

2 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları ve enine yüklü bağlantılarla sınırlıydı. Fakat gerçekte birçok yapı elemanı ve makine parçası daha karmaşık yükleme koşulları etkisi altındadır.genel yükleme durumundaki eleman üzerinde bir Q noktasını üc boyutlu olarak temsil eden kübik gerilme elemanı üzerinde 6 gerilme bileşeni gösterilebilir: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx. 2

GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Söz konusu kübik eleman koordinat eksenleri do ndürüldüğünde, aynı gerilme hali farklı bir bileşen takımıyla temsil edilecektir.

3 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Söz konusu kübik eleman koordinat eksenleri do ndürüldüğünde, aynı gerilme hali farklı bir bileşen takımıyla temsil edilecektir. x-y-z eksenleri yerine do ndürülmüs x -y -z eksenlerine paralel alınırsa gerilme bileşenleri; σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx olacaktır. Gerilme do nüşüm bağıntıları kullanılarak x-y-z eksen takımındaki 6 gerilme bileşeninin do ndürülmüs başka bir eksen takımındaki karşılıkları bulunur.

4 DÜZLEM GERİLME En genel gerilme durumu birbirinden bağımsız altı gerilme ile ifade edilmektedir. Fakat mühendisler birçok durumda basitleştirme ve kabuller yaparak, bir noktada oluşan gerilme durumunun iki boyutlu bir eleman ile tarif edilebileceğini kabul eder. Bu durumda, malzemenin düzlem-gerilme durumuna maruz kaldığı kabul edilir a. Genel Gerilme Hali b. Düzlem Gerilme (3 boyutlu görünüm) b. Düzlem Gerilme (2 boyutlu görünüm)

5 DÜZLEM GERİLME Düzlem gerilme durumunda, birbirinden bağımsız iki normal gerilme ve bir de kesme gerilmesi vardır. Dikkat edilirse kesme gerilmesi do rt kenara da etkimektedir. Bir noktadaki gerilme durumu birbirinden bağımsız üc gerilme ile tanımlanabiliyorsa, aynı noktada fakat farklı doğrultudaki gerilme durumu yine birbirinden bağımsız üc farklı bileşenle tanımlanabilir. Buradaki amac, bir koordinat sistemindeki gerilme durumunu, bir başka koordinat sistemindeki eşdeğer gerileme durumuna do nüştürebilmektir.

6 POZİTİF İŞARET KABULLERİ Normal ve kesme kuvveti gerilmelerini x-y koordinat sisteminden, x - y koordinat sistemine do nüşüm formülleri çıkarılmadan önce, kuvvetler için pozitif yönler belirlenmelidir. Normal gerilme için elemanın tüm yüzeylerinden dışarı doğru yönlenen gerilme pozitif normal gerilmedir. Kesme gerilmesi için ise elemanın sag yüzünde yukarı doğru yönlenmis gerilme pozitif kesme gerilmesidir. Pozitif gerilme yönleri Dört yüzdeki kesme gerilmesinden sadece birinin yo nünu bilmek, diğer üçünün yo nünu bilmek için yeterlidir (denge şartından dolayı).

POZİTİF İŞARET KABULLERİ Gerilme durumunu bildiğimiz bir elemanın gerilme durumunu farklı bir doğrultuya do nüştürmek için pozitif θ açısını bilmek gerekmektedir, pozitif bu açı ve

7 POZİTİF İŞARET KABULLERİ Gerilme durumunu bildiğimiz bir elemanın gerilme durumunu farklı bir doğrultuya do nüştürmek için pozitif θ açısını bilmek gerekmektedir, pozitif bu açı ve pozitif x - y eksenleri aşağıda go sterilmiştir. Burada pozitif z ekseninin yo nu sag el kuralına göre belirlenir. Pozitif θ açısı pozitif x ekseninden pozitif x eksenine doğru ölçülür.

8 NORMAL-KAYMA GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Pozitif yön kabulleri dikkate alınarak, aşağıdaki eleman şekildeki gibi kesilmis ve pozitif eksenler go sterilmiştir: Kesilen alan A ise diğer yüzlerin en kesit alanları şekildeki gibi olmaktadır.

9 NORMAL-KAYMA GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Ortaya çıkan serbest cisim diyagramından, kesilen elemanın dengesi incelenerek bilinmeyen σ x ve τ x y değerleri bulunur:

10 NORMAL-KAYMA GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Bu iki denklem aşağıdaki trigonometrik eşdeğerlikler kullanılarak basitleştirilebilir: Bu durumda, şu ifadeleri yazmak mümkündür:

11 NORMAL-KAYMA GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ σy denklemi ise,(1) nolu denklemde θ=θ+90 konarak bulunur: Bu denklemde trigonometrik bağıntılar yerine konursa:

12 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ (1) ve (2) denklemlerinden, gerilmelerin θ açısına bağlı olduğu görülmektedir. Mühendislikte, genellikle maksimum ve minimum normal gerilmelerin oluştuğu ve yine maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemlerin bilinmesi önemlidir. Maksimum ve minimum normal gerilmeleri bulmak için denklem (1) θ ya göre bir kez türevi alınıp sıfıra eşitlenirse: Bu denklem çözülürse, θ = θp nin, yani maksimum ve minimum normal gerilmelerin olduğu düzlemlerin açısı bulunacaktır:

13 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ Bu denklemin (4) iki ko ku vardır, bunlar θp1 ve θp2 dir. 2θp1 ve 2θp2 arasındaki açı 180 derecedir, bu durumda θp1 ve θp2 arasındaki açı ise 90 derecedir. Bu açılar, normal gerilme formülünde (1) de yerine konursa gerekli ifadeler elde edilir. Aşağıdaki grafiğe referansla, θp1 için:

14 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ Aşağıdaki grafiğe referansla, θp2 için ise:

15 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ (5) ve (6) nolu denklem setinden herhangi biri, denklem (1) de yerine konursa, asal normal gerilmeleri bulmak için kullanılan basitleştirilmis ifadeler elde edilir: Asal normal gerilmelerin bulunduğu düzleme asal düzlemler denir.

16 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ Dikkat edilirse, θp1 ve θp2 ifadeleri denklem (2) de yerine konursa, kesme gerilmelerinin asal du zlemlerde sıfır oldug u göru lu r. Yani bir başka deyişle, asal düzlemlerde kesme gerilmesioluşmamaktadır.

17 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ Maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemse, denklem (2) nin θ ya türevi alınıp bu ifade 0 a eşitlenerek aşağıdaki gibi bulunur: Bu denklemin iki ko ku, aşağıdaki şekle referansla bulunabilir:

18 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ Dikkat edilirse, asal normal gerilmelerin olduğu düzlem ve maksimumkesme gerilmesinin olduğu düzlem birbirinden 90 derece açıyla ayrılmıştır, bu durumda θs ve θp birbirinden 45 derece ile ayrılır. Yani, maksimum kesme gerilmelerinin olduğu düzlem, asal düzlemleritanımlayan düzlemleri45 derece do ndürerek bulunabilir.

19 ASAL GERİLMELER-MAKSİMUM KAYMA GERİLMESİ θs lerden herhangi birini denklem (2) de yerine koyarak, maksimum kesme gerilmesi değerini aşağıdaki gibi buluruz θs lerden herhangi biri denklem (1) de yerine konulursa da bu düzlemde oluşan normal gerilmeler bulunur. Dikkat edilirse, maksimum kesme gerilmelerinin oluştuğu düzlemde, ortalama normal gerilme de oluşmaktadır.

20 MOHR DAİRESİ Denklem (1) ve (2) aşağıdaki gibi yazılabilir: Her iki denklemin karesini alıp birbirine eklersek θ değerinden kurtuluruz, sonuc aşağıdaki gibi olur:

21 MOHR DAİRESİ Spesifik bir problem için σ x,σ y ve τ xy bilinen sabitler ise, bu durumda yukarıdaki denklem daha kompakt formda yazılabilir: Burada:

22 MOHR DAİRESİ Eğer σ ve τ için pozitif eksenler aşağıdaki gibi olacak şekilde düşünürsek denklem (13) ün R yarıçaplı, merkezi C (σ a v e, 0) da olan bir daire denklemi olduğunu görürüz. Alman mühendis Otto Mohr tarafından geliştirilen bu daireye Mohr Dairesi denilmektedir. Mohr dairesi üzerindeki her bir nokta bir gerilme durumunu ifade etmektedir. Mohr dairesi çizildikten sonra asal düzlemler ve bunlara karşılık gelen asal gerilmeler veya herhangi bir düzlemdeki gerilmeler hesaplanabilir.

23 MOHR DAİRESİ Aşağıda Mohr dairesinin çizimi go sterilmiştir.

24 MOHR DAİRESİ

25 MOHR DAİRESİ NASIL ÇİZİLİR? Koordinat düzleminde yatay eksen çekme / basma gerilimleri (σ) için, dikey eksen ise kesme gerilimleri (ζ) için kullanılır. σ ekseninde çekme gerilimleri (+) değerli olarak, basma gerilimleri ise (-) değerli olarak işaretlenir. ζ ekseninde ise kesme gerilimi aynı büyüklükte fakat ters işaretli ( ζ y, +ζ y )olacak şekilde işaretlenir. Aynı yüzey üzerinde etkin olan gerilimler bir koordinat oluşturacak şekilde düzlem üzerinde işaretlenir Örnek : A(σ x,-ζ xy ),B(σ y, ζ yx )

26 SORU 1 60 MPa a-) Şekildeki düzlem saat ibresinin tersi yo nünde 40 o çevrilince, b-) Saat ibresi yo nünde 15 o çevrilince düzlemde oluşan gerilmeleri formüller yardımıyla bulunuz.

27 a) 27

28 b) 28

29 SORU 2 Düzlemsel gerilme hali verilen elemanın; a-) Normal (σ) ve Kayma gerilmelerini (τ), b-) Asal gerilmelerini, c-) Asal doğrultularını bulunuz.

31 31

Benzer belgeler

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek