Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir.

Transkript

1 BRNOULLİ DAĞILIMI Broulli dağılımı bir rassal dy yaıldığıda yalızca iyi öü olumlu-olumsuz başarılı-başarısız gibi sadc ii souç ld dildiğid ullaılır. Taım : Bir rassal dy yaıldığıda bir dyi soucu sadc ii souç içriyorsa bu dy Broulli dyi dir. Broulli dyid ii souç olduğua gör ilgilil souç ld dildiğid bu souca başarı dsi v = il gösrilsi. Diğr souç ld dildiğid d o souca başarısız dsi v = şlid iad dilsi. Bu durumda rassal dğişi Broulli dğişi dir. Bir dyi başarılı souçlama olasılığa is rasal dğişii olasılı osiyou şöyldir. içi digr durumlarda Bu dağılıma Broulli dağılımıv d Broulli dğişi adı vrilir. Broulli dağılımıı bir aramrsi vardır; o da dir. M() = ( ) = = olara buluur. Broulli Dağılımıı Arimi Oralama v Varyası Birici mom = dğri oursa () buluur. M'() = M'() = () = buluur. İici mom = oursa ( ) dğri buluur v V() ld dilir.

2 ' M' M" V buluur. () v V() bl dğr aımıda gidilr d.. buluabilirdi. Ör : Bir oomobil sürücüsüü yarışı azama olasılığı 7 v azamama olasılığa ür. bu oomobil yarışmacısı içi olasılı osiyou yazı () v V() i buluuz. ÇÖZÜM : rassal dğişi sürücüü yarışı azadığı zama dğrii azamadığı zama dğrii ala bir Broulli dğişidir. O zama olasılı osiyou 7 is is digr durumlarda V

3 BİNOM DAĞILIMI (İKİ TRİMLİ DAĞILIM) Broulli dağılımıda dy bir z yaılıyor v olumlu vya başarılı souçla ilgiliyordu. ğr dy bir da dğil da ş ş birbirid bağımsız olma üzr rarladığıda yi olumlu vya başarılı souçla ilgiliyorsa Broulli dağılımıı özl bir gl hali oraya çıar v bu dağılıma Biom dağılımı dir. Biom dağılımıı ullaım alaı olduça gişir. Biom dağılımıda yararlama isiyorsa aşağıdai oşulları sağlaması grir. a. Rassal dy ayı oşullar alıda da rarlamalıdır. b. Hr dyi olumlu-olumsuz v hayır byaz byaz dğil iyi öü gibi ii olaalı soucu olmalıdır. c. Bir dyd arzu dil souç ld m olasılığı v arzu dilmy souç ld m olasılığı ola = bir dyd öi dğişmmlidir. Bir başa iad il v dy içi sabi olmalıdır. d. Hr dy birbirid bağımsız olmalıdır. Yai bir dyi soucu diğr dylri souçları üzrid ili olmamalıdır. Bu dör oşulu sağladığı a Broulli dyid rassal dğiş i alacağı dğrlr arşılaşıla olumlu souç sayısıa bağlı olara (...)oraya çıacaır. İi olaalı soucu ola bir dy ayrı oşullar alıda da rarlası. Dylrd hrhagi birid is soucu ld m olasılığı ismy soucu ld m olasılığı da = olsu. Dylr birbirlrid bağımsız oldularıda = is v = da ismy soucu gösrm üzr {il dy = ala = } =... ( ). ( )... ( ) a - a = olur. dyd z is souç ld m olasılığa araıyorsa buda blli bir sıraı gözilmdiği alaşılmalıdır. Bu is ombiasyo avramı il buluabilir. Hr bir

4 is soucu oraya çıma olasılığa soucu ld dilmsi... ;..... olduğua gör dyd is şlid yazılabilir. Taım : rassal dğişlrii olasılı osiyou aşağıdai gibi olsu.... digr durumlarda Olasılıları biom açılımıdai rimlrd oluşması diyl yuarıdai dağılıma biom dağılımı olasılıları vr osiyoa biom olasılı osiyou sayılarıa biom a sayıları v böyl bir dağılıma sahi dğiş d biom rassal dğişi dir. Biom dağılımı B(; ) vya B( ) şlid d gösrilir. T bir dyd is souç s dy z rarladığıda z is soucu ld m olasılığıı osiyou vriyorsa başarı sayısıı gösr rassal dğişi bir biom dağılıma sahiir dir. Aslıda v i alabilcği dğrlr gör sayısız biom dağılımı vardır. Bu dl biom dağılımıı blirly v dğrlri ayı zamada bu dağılımı aramrlrdir. = durumuda biom dağılımı simri olu içi simrid uzalaşırılır sabi aldığıda 5 içi v sabi aldığıda içi dağılır simriy yalaşır. Biom dağılımıda yr ala biom asayıları i dy sayısı arıça hsalaması zorlaşır. Bu dl v i dğişi dğrlr gör hazırlamış abloları vardır v olarda yararlaılır.

5 Biom Dağılımıı Mom Çıara Fosiyou M Biom Dağılımıı Arimi Oralama v Varyası Biom dağılımıı arimi oralaması v varyası dğişi yalaşımlarla buluabilir. a. Mom Çıara Fosiyoda Gidilr Biom dağılımıı mom çıara osiyou M olara bulumuşu. M() i birici v iici ürvlri şöyldir. M' M" Bu ürvlrd yri sıır dğri oulursa ( = ) M' μ v M" olacağıda μ.... olur. V() olduğuda V ld dilir.

6 b. Broulli Dylri Bağlı Olara y bir Broulli dğişi olsu. (y) = olduğu biliiyor. is soucu gösrdiği gör düzydi is souçları sayısı Y Y Y... Y i Y olacaır. O zama μ i Yi i Y Y... Y a dy bağımsız olduğuda bl dğri özllilrid yararlaara μ Y Y... ld dilir. Ayı şild V V V Y Y i i Y...Y... (Y y i lr bağımsız olduğuda VY Y VY V V VY VY... VY... oldugu görülür. ) özlliği gör Y Uygulamada i ahmiid başa bir şy olmaya / is souç oraı il daha ço ilgilir. Bu oraı bl dğri v varyası bl dğr v varyas özllilrid gidilr olaylıla buluabilir.

7 V V Ör : Bir ara z aılsı. Bulua uraları sayısıı oralaması v sadar samasıı buluuz. Çözüm : rasgl dğişi bir araı z aılışıdai uraları sayısı olsu. o hald biom dağılımıa sahiir. Bu d sırasıyla 8.. σ. μ Ör : Bir basbol oyucusuu ou bas yamasıı oralaması 5 ir. Hr aışı bir diğrid bağımsız olduğu varsayımı alıda yaıla bir maça bu oyucu dör da aış yaarsa a. Bir asid başarılı olma b. az bir asid başarılı olma olasılılarıı buluuz. Çözüm : ou oaya girm olayıı gösrsi = ¼ v = olduğua gör a. 7 b

8 Ör : Üivrsiy gir öğrcilri % ıı ğiimlrii amamlayamadıları bilimdir. Rassal olara öğrci sçildiğid buları yarısıda azlasıı ğiimlrii amamlamasıı olasılığı dir? Çözüm : ğiimlrii amamlaya öğrcilri gösrsi. = = dır Ör : rassal dğişlrii mom çıara osiyou M olara vrildiği gör a. v olasılılarıı buluuz. b. i bl dğri v varyasıı buluuz. Çözüm : M() bir biom dağılımı mom çıara osiyoudur. Bu durumda = / = / v = ür. a

9 : 5 8 b. V 9 8 buluur GNLLŞTİRİLMİŞ BİNOM DAĞILIMI (Ço Trimli Dağılım) Biom dağılımı yalızca ii olaalı souca dayalı birbirid bağımsız a dy içi gçrli idi. Bu z bir dyd il gösril ayrı souçları ld... dildiğii düşülim. Dy a z rarladığıda hr bir i i (i =...) ld diliş sayısıı ora dağılımı ço rimli dağılımdır. Ço rimli dağılım biom dağılımıı gllşirilmsidir. olsular. Taım : (Ço rimli rasgl dğiş)... dyi ayrı souçları... rasgl dğişi bağımsız dmd hr bir i i ld diliş sayısı v bir dmd i i (... (... olasılığı i (i=...) olsu. Bu adird ) rasgl dğişi ço rimli rasgl dğiş dir. Ör : Bir zar aılsı. i i... ı ld diliş sayısı olsu. ) ço rimli dğişdir. Torm : (Ço Trimli Dağılım) Bir dmd i olasılılarıı (i =...) il bağımsız... dmd oluşa bir dy içi ço rimli rasgl dğiş is olasılı dağılımı aşağıdai osiyou il vrilir. F... i!!!...! v i... olma üzr... i ora i i i i dir. Bu dağılıma ço rimli dağılım dir.

10 İsa : bağımsız dmd blli bir sırada i z i z... ı z ld dilm olasılığı... dır. yolları sayısı Olayları hrhagi bir sırada ld dilmsi il ilgildiğimizd buradai ayrı! dir.!!...! Bu yüzd v i ora olasılı osiyou i i i olma üzr (... ) rasgl dğişii F i...!!!...! v i... olma üzr Tormdi olasılı osiyou... i ço rimli açılımıdai gl rim olduğuda bu olasılı dağılımıa ço rimli dağılım dir. = içi osiyo biom dağılımıa idirgir. Ör : Bir zar oii z aılsı. İi z bir üç z ii bir z üç ii z dör üç z bş bir z alı glm olasılığı dir? Çözüm :... rasgl dğiş il bir zar o ii z aıldığıda bir ii üç... alıı aç z ld dildiğii bulalım. Bua gör... ço rimli dağılımıa sahiir. Bua gör i... i / 5 v = Torm grği : 5 5!!!!!!!!

11 Torm : (... ) rasgl dğişi ço rimli dağılıma sahi olsu. Bu adird i.i v V.i i i... M Ör : Bir bölgsii işilr çalışmayalar iş vrlr ücrli çalışalar v di hsalarıa çalışalar olma üzr dör gruba ayrılmışlardır. Bu bölgd yaşaya işi l alımış v bularda işii işvr işii ücrli çalışa işii di hsabıa çalışa olduğu v işii d çalışmadığı oraya çımışır. a. Dağılımı olasılı osiyouu buluuz. b. Bu bölgd 8 işi l alıdığıda işii işvr işii ücrli çalışa olmasıı v işii d çalışmamasıı olasılığıım buluuz. c. Bu ço rimli dağılımı arimi oralamasıı varyasıı v mom çıara osiyouu buluuz. Çözüm : = Sçil işvr sayısı = Sçil ücrli sayısı = Sçil çalışmayaları sayısı = Sçil di hsabıa çalışaları sayısı olsu a. Dağılım osiyou i v i olma üzr! şlid yazılır.!!!! b. = 8 v v sırası il ü mydaa glm olasılılarıı gösrsi. O zama 5 v = = = = olur.

12 İs olasılı şlid ld dilir. c. i i olduğuda !!!!! buluur. Bulara ilişi varyaslar da şöyldir V V V V Mom çıara osiyo is M 8 GOMTRİK DAĞILIM olara ld dilir. Ara araya z rarlaa bir Broulli dyi l alısı v il is soucu ld dilmsi içi yaıla dy sayısı olsu. gomri rassal dğiş dir. Biom dağılımıda dy sayısı sabi is souçları sayısı bir rassal dğiş i; gomri dağılımda is soucu sayısı bir şi olma üzr bir sayı dylri sayısı is bir rassal dğişdir.

13 Örği hd aış yaa bir işacıı hdi il z vurması içi gr aış sayısı bir ara yazı glicy adar aıldığıda il yazı gl adar yaıla dmlri sayısı vb. birr gomri rassal dğişdir. Taım : İl ( ) dyi is soucu vrmmsi v ici dyi is soucu vrmsi durumuda gomri dağılım şöyl aımlaır :... içi digr durumlarda İsa : İl başarıı ld dilmsi içi grli dmlri sayısı =... v il başarıda öci başarısızlıları sayısı (- ) olsu. Örği il yazı gl adar yaıla dmlrd TTTY şlidi gösrimd TTT ( ) y olur.o hald başarıı ai iği dizii olasılığı.... olur. Burada;... = ( ) Ör : ld dicy adar bir zarı aalım. a. Bağımsız aışlar dizisid il ü ld dilmsi içi gr aışları sayısıı olasılı osiyou b.. dmd bulma olasılığıı buluuz. Çözüm : İl ü ld dilmsi içi gr aışları sayısı rasgl dğişi olsu. bu adird olma üzr gomri dağılıma sahiir. a. i olasılı osiyou b.. Aışa ld m olasılığı

14 5 5 5 Rasgl Dğişii Dağılım Fosiyou. F... ld dilir. Bua gör... içi F Gomri Dağılımı Mom Çıara Fosiyou Mom çıara osiyou aımıda har dilirs... M... il rimi ola bir gomri srii olamıdır. olduğu içi bu gomri srii olamı da

15 . iadsi şiir. Bulua bu dğr yri oulursa M ld dilir. Gomri Dağılımı Bl Dğr v Varyası a. Bl dğr aımıda. μ d d. d d. ld dilir. Varyası; V() şiliğid yararlaara bulabiliriz... d d. d d.. d d..

16 buluur. Böylc V ld dilir. b. Mom çıara osiyo yardımı il d () v V() ld dilbilir. M' M" olur. V buluur. Ör : Bir avla zarıı ld dicy adar aalım. a. İl ı ld dilmsi içi gr aış sayısıı olasılı v dağılım osiyolarıı b.. Aışa bulma olasılığıı c. ld m içi grli aış sayısıı bl dğrii v varyasıı buluuz. Çözüm : 5 a.... F... b

17 c. 5 V Ör : Bir aıcıı hr aışa hdi vurma olasılığı ür. Ara araya yaıla aışlar soucuda hdi il z vurması içi gr aış sayısı olduğua gör; a. Hdi il z üçücü aışa b. Hdi il z ço dördücü aışa vurma olasılılarıı hsalayıız. c. Hd il vuruşu ld dicy adar aıcı oralama olara aç aış yamalıdır? Çözüm : a. b c. NGATİF BİNOM DAĞILIM (ASCAL BİNOM DAĞILIMI) Gomri dağılımda is şy bağımsız Broulli dylrid il başarıı ld dilmsi içi grli dy sayısıı blirlmi. ğr il başarı dğil d a başarı ld dilmsi söz ousu is gomri dağılımı gllşirilmiş hali ola ascal dağılımıı ullama grir.

18 Bir dyd sayıda başarı ld dicy adar dvam dilsi. başarıı ld dilmsi içi grli dylri sayısı rassal dğişi il gösrildiğid rassal dğişi ascal rassal dğişi dir. Örği bir arayı ura ld dicy adar ar arda aığımızda ura bulma içi grli aış sayısı ascal dağılımıı gösrir. Olasılı Fosiyou : Bir dyd is soucu mydaa glmsi olasılığıa is soucu mydaa glmmsi olasılığıa v is soucu ld dilm sayısıa da dsi. ı mydaa glmsi içi grli dy sayısıı gösr bir rassal dğiş olduğuda olasılı osiyou şöyldir. :... digr durumlarda Bu olasılı osiyou v dğrlri gr dğişiğid dolayı v ascal dağılımıı aramrlridir. İsa : başarıı grçlşmsi içi gr dmlri sayısı olsu ( ) başarı vr dmlri sayısıı ( ) alalım. v içi A v B sayılarıı düşülim. A = {il - dmd - başarı} B= { ici dmd başarı} Dmlr birbirid bağımsız A v B olayları bağımsızca (B) = dir. () = (A).(B) olur. burada ici dy... ( ).ici dy Souç olara. = +... ld dilir.

19 Ör : Bir zar aılası.. Aışa.. z glm olasılığı dir_ Çözüm : = = v olma üzr (. aışa. z ld m) = 5. 5 olur. ascal Dağılımıı Mom Çıara Fosiyou ascal dağılımıı mom çıara osiyou şu şild buluur.!!!!!! M...!...!.!...! olduğuda = M mom çıara osiyoda yaralaara bl dğr v varyası ld driz. ascal Dağılımıı Bl Dğr v Varyası ascal dağılımıı bl dğri gomri dağılımları mom çıara osiyo bl dğr v varyas aımlarıda da buluabilir. Biz bl dğr aımıda gidr bulalım.

20 sridir. bir gomri !!!.!!!. Varyas da V() olduğuda!!!. - Grli işlmlr yaıldığıda V V

21 Mom çıara osiyoda yararlaara bl dğri v varyası bulalım.. M' M" V V Biom Dağılımı v Ngai Biom Dağılımı Arasıdai İlişi rassal dğişi bir Biom dağılımıa v Y rassal dğişi d bir Ngai Biom dağılıma sahi olsu. a. Y şiliği alamı şudur. İl dydi başarı sayısı ya şi vya daha büyüs il başarıyı ld m içi grli ola dy sayısı şi vya daha üçüür. b. Y şiliği d; il dydi başarı sayısı da üçüs başarıyı ld m içi d ço dy grir alamıa glir. Ör : Bir aıcıı hr aışa hdi vurma olasılığı sabi olu ¾ şiir. a. r hdi vurabilm içi grli ola aış sayısı rassal dğişi gösrdiği gör i olasılı osiyouu yazıız. b. 7 r hdi vurabilm içi 9 aış yama v ço aış yama olasılılarıı buluuz. Çözüm : a. = olduğuda

22 digr durumlarda... 9 b Ör : Bir v adııı rçl yama içi a sağlam şaliy ihiyacı vardır. lid bulua bir sadı şalii ü çürüür. a. sağlam şalilri ld m içi grli dy sayısıı gösrdiği gör i olasılı osiyouu buluuz. b. İhiyacıı arşılama içi sadıa şali sçrs asii sağlam olma olasılığı dir? Çözüm : a. sağlam şali sçm olasılığı çürü şali sçm olasılığı içi dgrlri digr... b. 9 9

23 HİRGOMTRİK DAĞILIM İçid ii çşi s bulua solu sayıda öğd oluşa bir il düşülim. Trar yri oymasızı ardışı olara sabi büyülü bir örlm çimi yaığımız adird hirgomri dağılımı ullaırız. Hirgomri dağılımı aşağıdai üç oşul sağladığı adird ullaırız.. Bir dy ii olaalı souca sahis. Dyi rarlama sayısı sabis. Dylr bağımlı is Hirgomri Rasgl Dğiş : Solu sayıda N öğd oluşa bir ild N ilgildiğimiz N ilgilmdiğimiz souçları sayılarıı gösrsi. Rasgl a öğ sçlim. bu a içidi ilgilil souç sayısıı gösrsi. rasgl hirgomri dğiş dir. Sçil öğli gru N birimd oluşa örlm Ör :. Bir czad 5 uu Asiri uuda vrmido haı vardır. Karışı olilmiş ola uularda olii üsüd yri oymasızı uu ha sçiyoruz. rasgl dğişi sçil asiri sayısıdır.. Bir yarışma rogramı içi milyo a lo umarası blirliyor. Bularda milyou v milyou işyri loudur. 5 a umara sçiliyor. Araa umaralar içid v lou sayısı?

24 Hirgomri Olasılı Fosiyou N birimli calı bir örlm uzayı alalım; N asii soucu il ilgillim. N asiyl ilgilmylim. N = N + N. Bu örlm uzayıda birimli bir gru iadsiz olara çilsi. uzayı ilgilil souçlar olsu. N N N =... içi Ör : Bir uuda usurlu 7 usursuz arça vardır. Trar yri oymasızı arça çiliyor. Çil usurlu arçaları sayısıı olasılı osiyouu buluuz. Çözüm : rasgl dğişi çil usurlu arçaları sayısı olsu. O hald N = = v = dir. Bu dl dlmd yararlaara 7 v usurlu arça sayısıa arşılı gl olasılılar sırasıyla 5 7 7

25 7 7 (=) 5 i hirgomri dağılım ablosu Ör : İçid ü siyah si ırmızı olma üzr o bulua bir orbada a o iadsiz olara çilmişir. rassal dğişi çil siyah o sayısıı gösrdiği gör; a. i olasılı osiyouu yazıız b. Çil olarda hiçbirisii siyah o olmama olasılığı c. az bir asii siyah o olma olasılığıı buluuz. Çözüm : a. Torbada siyah o buluduğua v orbada da olam a o çilbilcği gör i alabilcği dğrlr v olacaır. O zama olasılı osiyou durumlarda digr içi b. 5

26 c. 9 Ör : İş içi başvura hr adayda sıı üivrsi mzuu olduğu bilimdir. Rassal olara sçil aday arasıda a. Üçüü b. ço üçüü üivrsi mzuu olma olasılığıı buluuz. Çözüm: rassal dğişi üivrsi mzularıı gösrm üzr v sçillr iadsiz olduğua gör olasılı osiyou şöyldir. durumlarda digr a. 89 buluur. b. buluur

27 Ör : Vrgi byaıda bulualarda 5 işii dosyası sçilr Maliy Baalığı ı orol mmurları araıda icliyor. Bu dosyalarda asid yalışlı buluuyor. Rassal olara alıaca dosyaı a. Yalızca bir asii b. Hsii yalış byalı dosya olma olasılığıı buluuz. Çözüm : Sçim iadsiz yaılacağıda bu roblmi olasılı osiyouu rassal dğişi olma üzr aşağıdai gibi olacaır. 5 5 digr durumlarda a buluur. b. 5 GNLLŞTİRİLMİŞ HİRGOMTRİK DAĞILIM Hirgomri dağılımda aa üldi birimlr N v N olma üzr (N +N = N) ii gruba ayrılıyor v iadsiz olara birim sçm yolua gidiliyordu. ğr aa üldi birimlrii ii dğil d a gruba ayrıldığı düşüülürs gllşirilmiş hirgomri dağılıma gçilir. Bir dyi birbiri il bağdaşmaya olaalı soucu varsa dy z rarladığıda oşullar dğişiyorsa z s ; z s ; z s souçlarıı alma olasılıları gllşirilmiş hirgomri dağılım araıda buluabilir v şu şild aımlaır.

28 Taım : Gllşirilmiş Hirgomri Olasılı Fosiyou N N...N... N olma üzr N N N şlid aımlaır. N ÖRNK : o sçiliyor. İçid ırmızı siyah v a d yşil o bulua bir orbada iadsiz yöml a) İi asii yşil o olması b) Birii yşil birii siyah olması v birii d ırmızı olması c) Birii siyah iisii d ırmızı o olma olasılılarıı buluuz. ÇÖZÜM : a) sçilc yşil oları sayısıı gösr rassal dğiş olsu. O zama orbadai oları yşil olalar v olmayalar diy ayırara hirgomri dağılımda yararlaılabilir. 7 ( ) buluur. 8 b) Bu durumda gllşirilmiş hirgomri dağılımı ullaılır. ( ) 8 5

29 c) ( ) 5 buluur. 8 OISSON DAĞILIMI ço ullaıla dağılımlarda birisidir. Küçü olasılılar dağılımı da dir. Blli v ço dar bir zama aralığıda az raslaa olaylar bu ür dağılım gösrirlr. Ör : Boğaziçi örüsüd mydaa gl gülü azaları sayısı vril blirli bir zamada bir şir yaıla sigora isği sayısı bir havaalaıda hr saa ala v i uçaları sayısı Bu dağılımda zama ço üçü arçalara bölüdüğüd bu zama içid yalızca bir olay ya grçlşir yada grçlşmz. Biom dağılımı a dydi başarı sayısı il ilgilir bu dağılım blirli bir aralıai ilgilil soucu sayısı il uğraşır. oisso dağılımıı ullaılması içi şu oşullar grçlşmlidir.. İi ayrı zama aralığıda (yada uzayda) oraya çıa olaylar birbirid bağımsızdır.. Taımlaa aralıa (yada uzayda) ilgilil olayı oraya çıma olasılığı sabi olu dğişmmdir. oisso Dağılımı : rassal dğişi yuarıdai özllilri aşıyorsa oisso rassal dğişi v i osiyoua da oisso dağılımı dir. > olma üzr!... digr durumlarda olamı : oisso dağılımıı bir olasılı osiyou olduğuu olayca görbiliriz. Olasılılar! * 788!.

30 Ör : Türiy d mad ocalarıca oluşa azalar soucuda hr yıl oralama olara işçid bir asi hayaıı aybmdir. mad işçisii çalışığı bir mad ocağıda bir yıl içid a. Hiçbir işçii b. işçii c. d azla işçii hayaıı aybm olasılılarıı buluuz. Çözüm : = v = olduğuda = = a.!! 5 ld dilir.! b. 8 c.!! 8! Ör : Bir milimr sıvıdai bari sayısı oralama olara olduğu bilimdir. Barilri sayısıı oisso dağılımı gösrdiği abul dilr milimrd a. Hiç bari olmaması b. bari olması c. d az bari olması olasılılarıı buluuz. Çözüm :! a. 8! b. 95

31 c. 8! oisso Dağılımıı Mom Çıara Fosiyou!! M oisso Dağılımıı Bl Dğr v Varyası Mom çıara osiyo yardımıyla M".. M' Burada da V() = + - = * Bl dğr aımıda.!!. Burada da...!!!!.

32 !!!!..!... V() Biom Dağılımıa Yalaşı Olara oisso Dağılımı Biom dağılımıı olasılı osiyouu göz öü alalım abul dlim i yr drcd büyü ama üçüür. Öyl i büyü dğildir. () = olduğuu daha öc görmüşü. O hald ı μ. μ.!!! Yazılabilir. Kısalmalarda sora bu olasılı μ μ.μ! Olara yazılır. üçüs büyüs büyü dğils aşağıdai yalaşı şililr ld dilir.

33 - lim μ lim μ lim O hald.. μ.μ! buluur. Bu so şili görüldüğü gibi biom dağılımıdai () olasılıları = = oralamalı oisso dağılımıı olasılıları yalaşı olara şiir. v 5 i dmdi başarı olasılığı oisso dağılımı il yalaşı olara hsalayabiliriz. v olduğuda bu yalaşım ço iyidir. oisso ormülüü ullama biom ormülüü ullamaa daha olaydır. = v = 5 ola biom dağılımıı düşülim. Biom dağılımı içi = =.(5) = dir. Biom dağılımıa oisso yalaşımı ullaılırsa μ.μ!.! ld dilcir. Vril dğrlr içi biom v oisso olasılılarıı arşılaşırma üzr aşağıdai abloyu vrcğiz. BAŞARI SAYISI () BİNOM OLASILIKLARI OİSSON OLASILIKLARI

34 NOT : da ço başarı ld dilbilir aa başarı olasılıları 5 üçüür. olsu. Ör : sadüi dğişii olasılı osiyou aşağıdai biçimd vrilmiş 5 5! digr... a. Mom çıara osiyou dgrlri içi b. Mom çıara osiyo yardımıyla varyasıı c. (=) (<) ( ) ( < / <) olasılılarıı buluuz. Çözüm : 5. a. 5 M 5. 5!! 5. 5 M 5 5 b. M' M V() =55-5=5 c !!

35 = 5 5! / Ör : Bir abriada dolaa ürülri yüzd birii bozulduğu bilimdir. Bu abriada rassal olara sçil 5 birimd bir asii azla bir asii az dör asii olasılılarıı a. Biom dağılımı il b. oisso dağılımı il buluuz. Çözüm : İs olasılılar rassal dğişi sçil birimi bozu olmasıı gösrm üzr şöyldir. ( =) ( ) ( ) a. Biom dağılımı il = v = 5 olduğuda olara yazılır. Kabul m grir i bu olasılıları hsalaması olduça armaşı v zordur. Buda dolayı ayı hsalamalar oisso dağılımı il daha olay bir şild buluabilir. b. = v = 5 is = = 5 dir.

36 -.! 5 5! ! 7 9! DÜZGÜN DAĞILIM (UNIFORM) Kabul dlim i bir dy ümü şi olasılılı N ayrı souç vrsi. Bu i dylri bşici bölümd düşümüşü.(ara aılması zar yuvarlaması ar çimi gibi) Taım (Ksili düzgü rasgl dğiş) : rasgl dğişi ümü şi olasılıla N souca sahis sili düzgü rasgl dğiş dir. Ör : Aşağıdai dylr rasgl dğişlrl ilgilidir.. Bir arayı bir z aalım = yazı glmsi soucuu = ura glmsi soucuu gösrsi. Burada sili düzgü rasgl dğişdir.. Bir zar aılsı. Bu adird üs gl sayı sili düzgü rasgl dğişdir.. 5 li bir dsd bir ar çlim. O hald çil hrhagi bir ar sili düzgü rasgl dğişdir. Taım (Ksili düzgü dağılım) : rasgl dğişi... olsu. i olasılı osiyou alabilcği dğrlr dir. N... N dir. Bu dağılıma sili düzgü dağılım

37 Ör : Bir ara bir z aılıyor. Turaları sayısıı dağılımı dir? Çözüm : Bir ara bir z aıldığıda uraları sayısı olsu. Bu adird sili düzgü dağılıma sahiir.... Ör : Bir zar aılsı. Üs yüzd gösrilr sayıı olasılı dağılımı dir? Çözüm : rasgl dğişi zar aıldığıda üs görülc sayı olsu. O hald sili düzgü dağılıma sahiir. 5 Torm : rasgl dğişi sili düzgü dağılıma sahi olsu. N... N Ksili düzgü dağılımı oralaması v varyası N μ v σ N dır. Ör : Bir oomobil sürücüsüü yarışı azama olasılığı 7 v azamama olasılığa ür. bu oomobil yarışmacısı içi olasılı osiyou yazı () v V() i buluuz. ÇÖZÜM : rassal dğişi sürücüü yarışı azadığı zama dğrii azamadığı zama dğrii ala bir Broulli dğişidir. O zama olasılı osiyou 7 is is digr durumlarda

38 V Ör : Bir madi ara z aılıyor. a. a yazı a ura glmsi olasılığı b. az z yazı glmsi olasılığı c. Yazı sayısıı bl dğr v varyasıı buluuz. Çözüm : a. 5 b = = 7 c. 5.. V 5. Ör : İsaisi drsii sıavıda s yömi il yama üzr soru sorulmuşur. Hr bir soru içi içlrid sadc biri doğru ola bş şı vrilmişir. Sıavda cvaları rassal olara işarly bir öğrcii a. Büü soruları doğru işarlm b. Büü soruları yalış işarlm c. Tam bş a soruyu doğru işarlm olasılılarıı buluuz.

39 Çözüm : Doğru işarlm olasılığı = 5 Yalış işarlm olasılığı = 5 v soru sayısı da = dur. a. rassal dğişi doğru işarl soru sayısı olsu b... c = Ör : Bir garsou bir güd yr düşürdüğü abaları sayısı oralama olara ür. Bu garsou bir güd a. azla aba düşüm b. az dör aba düşürm olasılılarıı buluuz. Çözüm : () = olduğua gör oisso dağılımıda da () = bilidiğid = olara buluur. rassal dğişi yr düşürül abaları gösrsi. a..!.!.!.!.! 85 b. = 5

40 Ör : Büyü bir şiri lo sarali sabah 9: : çalışıyor. Blli bir daialı sür içid saral gl loları sayısıı oisso dağılımıa uyduğu gözlmdir. Bu durumda hrhagi bir daiada saral gl lo sayısıı a. Sıır olma b. az ii olma c. ii azla bş olma olasılığıı buluuz. Çözüm : bir daialı sür içid saral gl loları sayısıı gösrsi. Bir daialı sür içid saral gl loları sayısıı bl dğri 8 7..! a. 8 b. = = c. ( 5 5 = = 97 Ör : Bir orbada 7 sarı 5 mavi mor v 8 a d ırmızı bily bulusu. Bu orbada yri oymasızı ar arda a o çiliyor. a. Çil oları üü sarı i mavi sii mor üü ırmızı olma olasılığı dir? b. Bu ço rimli dağılımı arimi oralamasıı varyasıı v mom çıara osiyouu buluuz.

41 Çözüm : a. : sçil sarı o sayısı : sçil mavi o sayısı : sçil mor o sayısı : sçil ırmızı o sayısı olsu. ( ) sadü dğişi ço rimli dağılım gösrir. = v sırasıyla ü mydaa glm olasılıları olsu v olduğuda! olara buluur.!!!! b. olduğua gör 7 aışa bl sarı o sayısı :. 5 aışa bl mavi o sayısı :. 7 aışa bl mor o sayısı :. 8 aışa bl ırmızı o sayısı :. 7 Varyaslar is; 7 V V 7.. 7

42 V V.. olara buluur. 7 Mom çıara osiyo; M sçm şarıyla; olara buluur. 8 Ör : Bir uuda ii usurlu a d usursuz arça vardır. Yri oyara a. il usurlu arçaı ld dilmsi içi gr çiş sayısıı olasılı osiyou dir? b. 7. Çiliş il usurlu arçayı ld m olasılığı dir? Çözüm : a. = il usurlu arça içi grli dy sayısı usurlu oraı usursuz oraı olu....dir. b Ör : Bir sadıa 7 si sarı 5 i mor a o vardır. Bu sadıa a o yri omada sçilmdir. sadüi dğişi örğ çıa sarı o sayısıı gösrsi. a. i olasılı osiyouu yazıız. b. () c. V()

43 d. Bu ör oları yri oara sçildiğii varsayara ayı sorulara cva vriiz v souçları arşılaşırıız. Çözüm : a. i olasılı osiyou hirgomri bir dağılıma gör C 7 7.C C 7 7 digr dgrlri içi 7 b.. 75 N N 8 5 c. V d. Ayı roblmi çilişlrii yri oyara yaıldığıı varsayara çözlim. Bu adird Biom dağılım söz ousu olur. Örği çıa sarı o sayısı y sadüi il gösrlim. Y i olasılı osiyou y y.. y y y digr y dgrlri içi Dağılım oralaması y 7.. olu ii dağılım oralaması şiir. Dağılım varyası; V 7 5 y dır. Burada da görüldüğü gibi Biom dağılımı varyası Hirgomri dağılım varyasıda büyüür. N Sıırlı çarma dğri; 8 N da üçü dğildir. v olu örlm oraı N