İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK

Transkript

1 ÖAT 015 Soruları yakalayan komisyon tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK GEOMETRİ-İSTATİSTİK VE OLASILIK

2 Geometri: Doç. Dr. Hakan Efe İstatistik ve Olasılık: Prof. Dr. Yaşar aykul ÖAT İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı ISN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi u kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. u kitap T.C. Kültür akanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. askı: Mart 015, Ankara Proje-Yayın Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Türkçe Redaksiyon: Elif Külah Dizgi-Grafik Tasarım: Selda Tunç Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı askı: Ayrıntı asım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No:13987 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi elgeç: Dağıtım: Dağıtım elgeç: Hazırlık Kursları: İnternet:

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "İlköğretim Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Olasılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) İlköğretim Matematik Öğretmenliği Alan ilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖAT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kitabımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu ve Dizgicimiz Selda Tunç'a teşekkürü bir borç biliriz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... aşarılar...

4 MATEMATİK ÖAT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ İLGİLER MATEMATİK ÖAT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan ilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan ilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan ilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 8 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim ilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan ilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖAT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 İÇİNDEKİLER 1. ÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER UZAYDA VEKTÖRLER...5 İki Vektörün Paralelliği...5 Vektörlerin Lineer ileşimi...6 Lineer ağımlılık Lineer ağımsızlık...6 Standart irim Vektörleri...6 Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı...6 İki Vektör Arasındaki Açı...6 Dik İzdüşüm Vektörü...7 Vektörel (Çapraz) Çarpım...8 Paralelkenarın Alanı...8 Paralelyüzün Hacmi...9 lü Test...10 ler...1 UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ...17 İki Noktası elli Olan Doğru Denklemi...17 Düzlem...18 lü Sorular - I...0 ir Noktanın Düzleme Uzaklığı... lü Sorular - II...3 Uzayda İki Doğrunun irbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının ulunması...6 ir Noktanın ir Doğruya Olan Uzaklığı...6 lü Sorular...8 İki Düzlemin irbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı...31 ir Düzlem ile ir Doğru Arasındaki Açı...31 İki Düzlemin Açıortay Düzlemi...3 lü Sorular...3 ir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti...34 Uzayda Simetri...34 lü Sorular...36 lü Test ler...41 lü Test ler...45

6 vi YÜZEYLER E 3 DE YÜZEY...51 KÜRE...51 Küre Olma Koşulları...5 Kürenin Parametrik Denklemi...5 Kürenin Teğet Düzlemi...53 SİLİNDİR...53 KONİ...55 azı Kuadratik Yüzeyler...58 lü Sorular...59 Silindirin İsimlendirilmesi...60 Dönel Yüzeyler...61 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR...63 KÜRESEL KOORDİNATLAR...63 lü Test...64 ler...66 KONİKLER TANIM...71 Genel Konik Denkleminde x.y li Terimi Yok Etme...7 ELİPS - HİPEROL - PARAOL ELİPS...75 Elipsin Denklemi...75 Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri...76 Elipsin Parametrik Denklemi...77 HİPEROL...79 Hiperbolün Denklemi...79 PARAOL...8 Parabolün Denklemi...8 lü Test...85 ler...87 Karma Test ler...91 Karma Test ler...95

7 vii. ÖLÜM İSTATİSTİK VE OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR Sayısal ilgi, Veri, Ölçüm Değişken ve Türleri Fonksiyon Evren ve lem İstatistik ve Parametre lü Test ler VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ VERİNİN DÜZENLENMESİ Grafik Çizme Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri Mod (Tepedeğer) Medyan (Ortanca) Aritmetik Ortalama Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması...11 Ağırlıklı Ortalama DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ Ranj (Açıklık) Mutlak Kayma Varyans ve Standart Kayma ağıl Değişkenlik Katsayısı STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) z Puanı T Puanı lü Test ler...10

8 viii OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR...15 Olasılık...16 irleşik Olayların Olasılığı...16 Ayrık İki Olayın irleşiminin Olasılığı...17 Olaylar Arasındaki ağıntılar...17 ağımsız Olaylar...18 TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE EKLENEN DEĞER...19 Tesadüfî Değişkenin eklenen Değeri Varyansın eklenen Değeri...13 Momentler lü Test ler OLASILIK DAĞILIMLARI OLASILIK inom Olasılık Dağılımı Poisson Olasılık Dağılımı Hipergometrik Olasılık Dağılımı Normal Olasılık Dağılım Standart Normal Olasılık Dağılımı lü Test ler İSTATİSTİKSEL KESTİRME İSTATİSTİKSEL KESTİRME İstatistiksel Kestirme (İstatistiksel Tahmin) Nokta Kestirme Evren Ortalamasının Nokta Kestiricisi Varyansın Nokta Kestiricisi Aralık Kestirici (Güven Aralığı) üyük lemlerden Kestirme Evren Ortalamasının Aralık Kestiricisi İki Evren Ortalaması Farkının (μ 1 - μ ) Güven Aralığı inom Parametresinin Aralık Kestiricisi İki inom Parametresi Farkının Kestirilmesi (İki Oran Farkı İçin Güven Aralığı) lü Test ler...166

9 ix t OLASILIK DAĞILIMI, EVREN VARYANSLARININ İLİNMEMESİ VE ÖRNEKLEMLERİN KÜÇÜK OLMASI DURUMLARINDA ARALIK KESTİRME (GÜVEN ARALIĞI) t OLASILIK DAĞILIMI t Olasılık Dağılımının Özellikleri t Olasılık Dağılımı Tablosu t OLASILIK DAĞILIMI YARDIMIYLA ARALIK KESTİRMELER (GÜVEN ARALIKLARI)...17 lü Test ler HİPOTEZ TESTİ TEMEL KAVRAMLAR Hipotez Testinin Elemanları HIPOTEZ TEST ETMEDE ADIMLAR Evren Dağılımının elirlenmesi Hipotezlerin Kurulması Manidarlık Düzeyinin Seçilmesi Karar Kuralının elirlenmesi ve Kararın Verilmesi İSTATİSTİKSEL HATA EVREN VARYANSININ İLİNİP İLİNMEMESİ VE ÖRNEKLEMİN YETERİ KADAR ÜYÜK OLUP OLMAMASINA GÖRE HİPOTEZ TESTLERİ Ortalamanın Test Edilmesi lemler üyük ve Evren Varyanslarının ilinmesi Hali lemler üyük ve Evren Varyanslarının ilinmemesi Hali Ortalama Farkının Test Edilmesi lemler üyük ve Evren Varyanslarının iliniyor Olması ve Eşit Olmaması Hali lemlerin ağımsız, Evren Varyanslarının ilinmemesi ve Eşit Olması Hali lemlerin ağımsız ve üyük Olması, Evren Varyanslarının ilinmemesi ve Eşit Olmaması Hali lemlerin ağımsız ve Küçük Olması Hali lemlerin ağımlı Olması Hali...19 inom Parametresinin (p Oranının) Test Edilmesi...19 İki inom Parametresi (İki Oran) Arasındaki Farkın Test Edilmesi lü Test ler...199

10 x χ, F DAĞILIMLARI VE KULLANILMALARI χ, F DAĞILIMLARI VE KULLANILMALARI...03 χ Dağılımının Yapısı...03 χ Olasılık Dağılımı Tablosu...03 UYUM TESTİ...04 VARYANSIN KESTİRİLMESİ VE TEST EDİLMESİ...05 Varyansın Aralık Kestiricisi (Güven Aralığı)...05 Varyansın Test Edilmesi...05 F OLASILIK DAĞILIMI VE VARYANSLARIN KARŞILAŞTIRILMASI...06 F Dağılımı ve Yapısı...06 F Dağılımı Olasılık Tablosu...07 İKİ VARYANSIN KARŞILAŞTIRILMASI...07 İki Varyans Oranının Güven Aralığı...07 İki Varyans Oranının Hipotez Testi...07 lü Test...09 ler...1

11 1. ÖLÜM

12

13 UZAYDA VEKTÖRLER

14

15 5 UZAYDA VEKTÖRLER R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} kümesine 3 boyutlu vektör uzayı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R 3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir. z A = `1, a + 1, 4j A = 6 & 1 + `a + 1j + ` 4j = 6 & `a + 1j + 17 = 6 & `a + 1j = 9 P(a, b, c) & a+ 1 = 3 & a = veya a = 4 0 y x OP = `abc,, j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gösterilir. OP = `abc,, j& OP = P = a + b + c dir. İki Vektörün Paralelliği 3 a, bd R, k! 0, a! 0, b! 0 olmak üzere, a = k. b + a// b dir. a = `x, y, z j ve b = `x, y, z j olmaküzere a// b x1 y1 z1 + = = dir. x y z A vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne, A vektörünün yer vektörü denir. A(x 1, y 1, z 1 ) ve (x, y, z ) ise; A = `x x1, y y1, z z1j OP = A = `x x1j + `y y1j + `z z1j Normu 1 olan vektöre birim vektör denir. z A(x 1, y 1,z 1 ) (x, y,z ) A(, 4, ) ve (6,, 4) noktaları ile v = `x yx, + y, 1j vektörü veriliyor. A // v olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz. P(x x 1, y y 1, z z 1 ) 0 y A = `4,, j x v = `x y, x+ y, 1j x y x+ y 1 A// v & = = 4 x y = 4 & `xy, j = `1, 1j olur. x+ y = 1 A(1, 1, 1) ve (, a, 3) noktaları veriliyor. A = 6 br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz.

16 6 Vektörlerin Lineer ileşimi 3 V 1, V, V 3,..., V n dr vek1, k, k3,..., k n dr olmak üzere, u = k1. V1 + k. V+ k3. V kn. Vn vektörüne, V 1, V, V 3,..., V n vektörlerinin lineer bileşimi denir. Lineer ağımlılık Lineer ağımsızlık 3 IR de V1, V, V3,... V n vektörleri verilsin. c1. V1+ c. V+ c3. V cn. Vn = 0 denklemi yalnız c 1 = c = c 3... = c n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımsız; c 1 = c = c 3... = c n = 0 değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir. Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı 3 Her A,! R için; A = `x1, y1, z1j ve = `x, y, zj olmak üzere, A$ = < A, > = x1$ x+ y1$ y+ z1$ z şeklinde tanımlanan işleme, "R 3 de Öklid iç çarpım işlemi" denir. Özellikleri 1. A = A$ A, A = A$ A. A$ = $ A (değişme özelliği) 3. A$ `+ Cj = A$ + A$ C (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği) A = `3, a, j ve = `a, 10, j vektörleri veriliyor. V = & V1, V,... Vn0, IR 3 uzayının bir alt kümesi olmak üzere detbv 1, V,... V n l = A olsun. I. A = 0 V kümesi lineer bağımlı, II. A 0 V kümesi lineer bağımsızdır denir. Uyarı A$ = 5 olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bulunuz. A. = 5 3a+ a. 10 = 5 5a = 5 a = 5 Standart irim Vektörleri z e 3 = `0,0,1j İki Vektör Arasındaki Açı 3 A,! R verilsin. A ve vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere, A$ = A $ $ cos a olur. A = ise α = 90 için cosα = 0 olduğundan A = + A. = 0 olur. x 0 e 1 = `1,0,0j e = `0,1,0j R 3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir. e1 = i = `100,, j e = j = `010,, j e3 = k = `001,, j y A = ` 13,, jve = `1, 1, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. A. = A.. cos i = ` 1j ` 1j +. cos i 3 cos i = =

17 7 A = `11,, j ve = ` 3 1, 3 14, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Dik İzdüşüm Vektörü A 0 H u cos i = A. A. A. = = 6 A = ( 1) + ( 1) + ( ) = 16 = ` 3 1j + ` 3 1j + 4 = = 4 = 6 6 cos i = cos i = olur. A = `x1, y1, z1j, = `x, y, zj vektörleri verilsin. A vektörünün vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OH = u olsun. A ile arasındaki açı α olmak üzere; cosa = A. dir. cos a = u yazılırsa A. A u = A. & u A. = dik izdüşüm vektörünün A A. uzunluğudur. u = u. olacağından A. u =. dik izdüşüm vektörünü verir. A ile vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45, A = ve = 3 olduğuna göre, `A+ j. `3A j iç çarpımının sonucunu bulunuz. A = `14,, j ve = `, 13, j vektörleri veriliyor. Ann ı üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunun ve dik izdüşüm vektörünü bulunuz. `A+ j. `3A j= 3. AA A. A... = 3. A + A.. u A. = = ` j = 8 14 = cos = = 1 olur. Dik izdüşüm vektörü; A. 8 4 u =. =. ` 13,, j= ` 13,, j olur. 14 7

18 8 Vektörel (Çapraz) Çarpım R 3 te A = `x1, y1, z1jve = `x, y, zj vektörleri verilsin. A ve vektörlerinin vektörel çarpımı bir C vektörünü verir. C = Ax şeklinde gösterilir. a :A vektörü ile vektörü arasındaki açı P; A vektörü ile vektörünün yönünü gösteren birim vektör olmak üzere; A ile nin vektörel çarpımı : Özellikleri: 6 A,, C R 3 ve k R olmak üzere; I. A x A = 0 II. A x = xa III. A x` + Cj = `A x j+ `A x Cj IV. `k. Ajx = Axk `. j= k. `Ax j, k! R V. A x = A.. sin ii, : A ve vektörleri arasındaki açıdır. VI. A x, A = 0 4 & A = A x ve = A x dr ı. A x, = 0 C = Ax = P. A..sin a dır. Elde edilen C vektörü, A ve vektörlerinin ait olduğu düzleme dik olan bir vektördür. Paralelkenarın Alanı C = Ax = e1 x1 x e y1 y e3 z1 z A h determinantının değeri, vektörel çarpımı verir. A ve vektörleri üzerine kurulu paralelkenarın alanı S olsun, S = A x A = `310,, jve = `01,, j olduğuna göre Ax kaçtır? i j k Ax = = i 6j+ 3k 0 1 ile hesaplanır. Köşelerinin koordinaları A,, C olan üçgenin alanı; Alan = ile hesaplanır. 1 A x AC NOT Ax = `, 6, 3j = + ` 6j + 3 = = 7 olur. Karma Çarpım 3 6 AC,,! R için A x, C reel değerine A, ve C nin karma çarpımı denir ve ba,, C l ile gösterilir. Özellikleri 6 A,, C! R için 3 1. A x, C = A, x C. ba,, Cl= detba, C, l dir.

19 9 Paralelyüzün Hacmi Köşelerinin koordinatları A(1,, 3), (, 1, 0) ve C( 1, 0, 3) olan üçgenin alanını bulunuz. C θ A A C 3 A,, C! R vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün hacmi V olsun. V = ba, C, l dir. A,, C vektörleri üzerine kurulu dörtyüzlünün hacmi; A = `13,, 3j 1 V = ba, C, l dir. 6 AC = ` 0,, j i j k A x AC = = `+ 668,, j 1 AAC ` & j = ` 6j = 34 br olur. A = `101,, j, = ` 1, 0, j ve C = `013,, j vektörleri üzerine kurulu paralelyüzün hacmini bulunuz cac,, m = 1 0 = = V = cac,, m = br olur. 5 3 Köşelerinin koordinatları A(1, ) ve (, 3) ve C( 1, 5) olan üçgenin alanını bulunuz. A(1,, 0), (, 3, 0) ve C( 1, 5, 0) olarak düşünelim. i j k A = ` 310,, j, A x AC = AC = ` 30,, j 3 0 = `00,, 7j 1 7 AAC ` & j = A xac = br olur. A = ` 10,, j, = `0, 13, jve C = `11,, j vektörleri üzerine kurulu dörtyüzlünün hacmini bulunuz. cac,, m = = ` 1j. ` 3j `0 3j 1 1 = 5+ 6 = V = cac,, m = br olur. 6 6

20 10 ÇÖZÜMLÜ TEST 1. A(1,, 3), (4, 5, 6), C(7, 8, 9) ve D(a, b, c) noktaları veriliyor. CD =. A olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? A) 40 ) 4 C) 46 D) 5 E) Köşelerinin koordinatları A(1, 4, 3), (, 0, ) ve C(,, 0) olan üçgenin alanı kaç birim karedir? A) 3 ) 6 C) 10 D) 3 11 E) 4 13 VEKTÖRLER. u = (1, 1, 1) ve v = (0,, ) vektörlerine dik olan birim vektör aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) f,, p ) f,, p 6. u = (1,, 1), v = ( 1,, ) ve w = (, 0, 1) vektörleri üzerine kurulan paralel yüzün hacmi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 ) 6 C) 9 D) 1 E) C) f,, p D) f,, p E) f,, p u = ( 1,, 4) ve v = (3, 1, ) vektörleri veriliyor. 3. a = `10,, 1j, b = `01,, 1j ve c = `111,, j vektörleri veriliyor. una göre, ` a bj. c nin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) ) 1 C) 0 D) 3 E) 4 u vektörüne paralel ve wv. = 1şartını sağlayan w vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 4, 8) ) (1,, 4) C) (, 4, 8) D) ( 3, 6, 1) E) ( 4, 8, 16) 4. a = (0,1, ), b = (6, 3, 1) ve c = (4,, 5) olduğuna göre, a. ` bx cj nin değeri kaçtır? A) 34 ) 0 C) 0 D) 16 E) 8 8. a = (1, +, -1), b = ( 1, 1, 3) ve c = (, x, 1) vektörlerinin aynı düzlemde olması için x kaç olmalıdır? A) 5 ) C) 6 D) E) 7