MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları"

Transkript

1 MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007

2 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ yardımı olmada doğa blmler celemek demek, gerçekleştrlmyecek şe grşmek demektr. Galleo Galle Her blm matematğe gereksm vardır, acak matematğ hçbre. Matematk blmler, her şeyde öce, berraklığı edeyle hoşuma gder. Jakob Beroull Reé Descartes Hçbr şey y br teor kadar pratk olamaz. Herma vo Helmholtz

3 Mühedsler ç statstk ders otları Ösöz Jeolojde matematksel ve statstk yötemler ders otları kapsamıda 005/006 öğretm yılıda jeoloj, çevre, ve blgsayar öğrecler ç hazırlamıştır. Sıırlı yarıyıl süres çde mümkü olduğu kadar uygulamaya yer vermek ç der teork şlemlere yer verlmemştr. Bu kouya lg duyulduğuda kayakçadak özel kayaklara başvurulablr. Bu ders otları yaklaşık 5 yıllık deeymde, jeostatstk ve statstkte mevcut çok sayıdak eser celemesde sora hazırlamıştır. Bularda Davd (1978), Akı ve Semes (1988), Wellmer (1989), Schöwese (199), Aadolu Üverstes (001), Arıcı (001) le Tüysüz ve Yaylalı (005) e öemllerdr. Örekler, çoğulukla Türkye dek özgü çalışmalarda ve yerblmlerde başka dallara da örek oluşturacak şeklde seçlmştr. Bu otları yazılmasıı sağlaya asıl ede öğrecler derslerde gösterdkler yakı lg ve eleştrler olmuştur. Kedlere, sm amada, çok teşekkür ederm. Mers, Kasım 006 H. Çeleb

4 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 3 1 GİRİŞ Sayfa 1.1 Geel bakış 1 1. Tarhsel gelşm 1.3 Temel kavramlar ve taımlar Sayı, büyüklük ve ölçü brmler (skala) Sayıları grafklerle suum tarzları Zama dzler Sıklık dağılımı Sayı dzlmler Permütasyo Varyasyo Kombasyo Determatlar Olasılık We dyagramı 3 TEK DEĞİŞKENLİ DAĞILIMLARIN TANIMLANMASI.1 Grş 6. Merkez değerler 6..1 Ortalama değerler 7.. Ortaca (x o, medya) Tepe değer (x t, mod) 36.3 Yüzdelkler 37.4 Değşkelk ölçüler Değşm aralığı (R) Ortalama mutlak sapma (d) Stadart sapma (s) Değşkelk katsayısı (v) Değşke (s, σ, varyas) Katışık değşke (s xy, kovaryas) Mometler Kayma (g, çarpıklık, asmetr) Basıklık (g, svrlk) 44 3 TEORİK DAĞILIMLAR 3.1 Grş Normal dağılım (ND) Brkml ormal dağılım Logartmk ormal dağılım (lognd) Bom dağılımı (BD) Posso dağılımı (PD) 63

5 Mühedsler ç statstk ders otları Dğer dağılım şekller Studet-t dağılımı (td) Fsher (F) dağılım ı (FD) K kare (χ ) dağılımı 73 Ekler 78 4 İSATATİSTİKSEL KESTİRİM (TAHMİN) YÖNTEMLERİ 4.1 Geel Nokta kestrm Aralık kestrm 80 Ekler 85 5 HATA HESAPLAMALARI 5.1 Geel bakış Hata kestrm 87 6 SINAMA (TEST) YÖNTEMLERİ 6.1 Sıama yötemler lkeler Sıama yötemler lkeler belrlemes Sıama çalışmaları şemaları Sıama yötemler geel soruları Öeml sıama yötemler uygulaması Ortalama değerler karşılaştırılması Stadart sapmaları karşılaştırılması Dağılımları karşılaştırılması VARYANS ANALİZİ 7.1 Temel lkeler Tek değşkel varyas aalz Sapmaları hesaplaması Çok değşkel varyas aalz 110 Ekler ÇOK DEĞİŞKENLİ İSTATİSTİK YÖNTEMLERİ 8.1 Geel bakış Bağıtı aalz (BA) ve çeştler Bağıtı katsayısı (r, BK) Alamlılık katsayısı (r ) Bağıım (regresyo) aalz (BaA) 11

6 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb Bağıım doğrusu (BD) Kalıtı değerler (e ) Bağıım doğrusu değşkeler hesaplaması Souçları sağlaması Çok değşkel bağıtılar 131 Ekler ZAMAN DİZİLERİ 9.1 Geel blgler Fltreleme Mevsmsel arıdırma Yöelm saptama Zama dzler korelasyou (otokorelasyo) Harmok aalz 145 Kayakça 151

7 Mühedsler ç statstk ders otları 6 1 GİRİŞ 1.1 Geel bakış İstatstk, belrszlk durumuda e y soucu çıkarmaya veya kararı vermeye yaraya yötemler özetdr. Amaç, yaıltıcı yorumlarda kaçımak ve lery doğru kestrmektr. İstatstk, gözlemler soucu elde edle sayısal verler celer ve bular arasıdak bağıtıları ortaya çıkararak souçları grafk veya çzelgeler halde suulmasıı sağlaya br celeme yötemdr. Özet olarak statstk, rastgele/tesadüf ve tesadüf şekldek olayları celeye br metodk blmdr ve brçok blm dalıda uygulaablmektedr. Elde edle souçlarda çeştl yorumları yapılması le sorulara çözüm araır. Souca varmak ç baze kısıtlı blg le yetmek gerekeblr. İstatstk, olaylarla başlar. Her olayı br etks veya grş, buu da br mekazması, ya br bağıtısı veya br foksyou buluur. Buları soucu doğal olarak br ş veya br hzmettr. Öreğ, br otomatta br çecek almak şöyle gösterleblr: Para Para otomatı Seçme düğmes 1.Grş. Etk mekazması 3. Souç ( olay) Burada para ve seçme düğmeler grş büyüklükler, verle çecek de etk büyüklüğüdür. Etk büyüklüğü x ve y (stokastk), etk mekazması f(x,y) kombasyou ve w soucu taımlı brkaç etkdr. Burada olay, taımlamış veya taımlamamış olablr. Teorler ve modeller kestrle olayları taımlamaya yararlar. İstatstksel (kestrlemeye) yötemler de buları kapsamıı oluşturur. Öreğ, br uyduu hareket uzayda taımlamış br olaya veya gelşmeye dayaıyor. Buu etkeler yerçekm, yer-uydu ağırlıkları, mesafe ve hızlarıdır. Mekazma da çekm ve merkezkaç kuvvet yasasıdır. Bu mekazmaı büyüklükler se, hesaplaable br yörüge eğrsdr. Ay tutulması da buu gb taımlaa br olaydır. Acak bulutları hareket ve yağışlar kestrlemeye veya hesaplaamaya, statstksel olaylardır. Zar ve yazı-tura atma da

8 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 7 kestrlemeye olaylardır. 1 atış temel br tahm, ya taımlamamış 1/6 ve 1/ olasılık demektr. zarı ard arda veya brde atılması 1/6.1/6 = 1/36 olasılığı fade eder. İstatstğ çalışma yötemler, a) Taımlamak veya öreklemek (taıtımsal), b) Dağılım şekller celemek (aa kütle veya öreklem özellkler celemek), c) Tahm etmek ve kestrmek (olasılıkları araştırmak), d) Teste tab tutmak (hpotezler, karar kuramlarıı uygulamak), e) Aalz etmek (bağıtıları ortaya çıkarmak) ve f) Özel yötemler uygulamasıdır. İstatstkte ver, 1. Saymak,. Ölçmek, 3. Gözlemek, 4. Aket yapmak, 5. Hartalamak ve 6. Tahm etmek yötemler le sağlaır. Bularda gözlemler, statstğ temel oluşturur. Plalama ve karşılaştırma statstğ e yaygı kullaıldığı alalardır. 1. Tarhsel gelşm Esk çağlarda ber salar geleceğ kestrmek sterler. Gelecekte e olacağıı şmdde blmek, başarı ve üstülük sağlamaı ökoşulu blr. Acak geleceğ blmek mümkü değldr. Çükü gelecek bldğ zama, gelecek şmd olur ve geleceğ keds ortada kalkar. Bu da doğa yasalarıa, öcelkle zama kavramıa, ters düşer.

9 Mühedsler ç statstk ders otları 8 Bu egel aşmak ç salar büyü ve fal gb dayaaksız yötemlere yöelerek geleceğ kestrme yollarıı aramışlardır. Bu uygulamalar, güveszlklerde dolayı, zamala adırıcılıklarıı kaybetmştr. Buları yer gözlem ve ölçümlere dayaa bast statstksel hesaplamalar almıştır. Öreğ İ.Ö. Mısır da ve Ç de plalama, üfus sayımı, asker ve verg toplama şlemlerde temel statstksel şlemlerde yararlar sağlamıştır. Güümüz statstğ kökler acak 15. yy a kadar uzamaktadır. Metafzğe karşı poztf düşüce üstülük sağlaması moder statstğ gelşmese de vme kazadırmıştır. Buu da esas kayağı sohbet matematğ, şas oyuları (kumar), ya saı ye lery kestrme veya öcede blme merakı, olmuştur. Bugü de statstk bu alaları temel dayaağı olmaya devam etmektedr (loto ve toto gb). Tarhte statstğ blmsel olarak lk rdeleye ve kuramlara bağlamaya çalışa matematkç İtalya Pacol ( ) ve Cardao dur ( ). Bular zar atma üzere çalışmışlardır. Acak bugükü statstğ kuramlarıı temeller Pascal ( ) ve Beroull ( , Beroul dağılımı) tarafıda atılmıştır. Gelştrdkler yötemler, olasılık, şas ve rsk oralarıı hesaplamasıı kolaylaştırmıştır. Beroull y olasılıkları hpotez modellere dayadıra Bayes ( , Bayes teorem) ve Laplace ( , Laplace teorem), Posso ( , Posso dağılımı) ve Alma Gauss ( , ça eğrs) tarafıda daha lerye götürülmüştür. 0. yy statstkçler arasıda Galto ( , logartmk dağılım), Pearso ( , Pearso bağıtısı) ve Fsher ( , varyas aalz) öeml yer tutmaktadırlar. İstatstğ geleceğ le lgl olarak Tukey, Kedall, Watts ve Bradley açıklamalarda bulu-maktadırlar. İstatstk sürekl gelştrlmekte ve yaygı kullaım alaı bulmaktadır. Öreğ, statstğ yerblmlerdek adı jeostatstktr. 0. yy ı kc yarısıda tbare bu alada kullaılmaya başlamıştır. Jeoloj, madeclk, zem etütler, coğrafya, çevre, tarım, ormacılık ve hdroloj bu alaları sadece brkaçıdır. Jeostatstk bugü güvele ve kede özgü bölgesel veya yere bağlı değşkeler gb teork esasa ve varyogram gb araçlara sahp bulumaktadır. 1.3 Temel kavramlar ve taımlar Br araştırmada celeecek breyler veya malzeme tümüü celemes gerekmez ve mümkü olmaz. Bu hem ekoomk değl, hem de yeterl örekle elde edle soucu değş-

10 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 9 trmez (bk. büyük sayı teors). Bu edele celeecek aa kütle acak br kısmı temsle celer. Aa kütleye popülasyo veya örek uzayı (sample space), temsle celeecek kısmıa da öreklem der. Br popülasyoda verler tüm özellkler ortaktır. Buludukları yer, aa maddey veya kayağı tüm özellkler le temsl eder. Dolayısı le br örek uzayıı acak br temsl parçası veya öreklem olablr. Ayı şeklde br öreklem de sadece 1 ortalama değer buluur. Bu değer, tüm gözlemler ayı orada temsl eder. Aşağıdak şekl örek uzayı, öreklem ve ortalama değer açıklamaktadır: Örek uzayı Öreklem x Ortalama değer x o ooo ooooo o oooooo ooo o Aalz aygıtlarıı so yılda güveleblr geş kapsamlı ver üreteblmes ve blgsayarı uzu matematksel şlemler kolaylaştırması le, öreğ yerblmlerde statstk mühedslk, sosyal ve doğa blmlerde gderek öem kazamakta ve keslk dereces aratmaktadır. So yıllarda statstk, madeclğ vazgeçlmez usuru hale gelmştr. Jeolojk veya bölgesel değşmler, matematksel olarak taımlamakta, örek ve sodajları e uygu aralıkları, rezerv hesaplarıı keslk dereceler le teör dağılımları, İzotrop, Azotrop ve tabakalama gb özellkler ayrıtılı celeeblmektedr. İstatstksel değerledrme lk adımı, seçlmş az sayıdak örekler dağılımı ve buları br öreklem (br bütülük) oluşturup oluşturmadığı özellğ araştırılmasıdır. Bu özelkler lk aşamada sıklık dağılımı ve test yötemler le ortaya çıkarılablr. Burada öreklem dağılım foksyou, ortalama değer, tepe, ortaca, değşke, stadart sapma, eğlm, tepelk gb değşkeler elde edleblr. Bu değşkeler güverlk sıırları le taımlaırlar. Öreğ, ortalama değer doğruluğu studet-t sıaması yötemyle deetleeblmektedr. Mühedslkte kullaıla bu yötemler yaıda, sıkça bağıtı (korelasyo), bağıım (regresyo), kümeleme (cluster), etke (faktör) ve dskrmat aalz yötemler de kullaılmaktadır. Tüm yötemler temel aalz, gözlem ve ölçüm gb değşkelere dayamaktadır. Br öreklem güverlğ çerdğ gözlem veya ver sayısıa bağlıdır. Acak çok farklı yötemler bulua örek alma başlı başıa br koudur (sstematk ve rastlatısal örek alma gb). E az veya e uygu örek sayısı ve mktarı hak-kıda objektf lke ve yötemler bulumamaktadır.

11 Mühedsler ç statstk ders otları 10 E az gözlem sayısı amaca göre değşr (ormalde > 0). Bu edele lgl özel kayaklara başvurmakta yarar vardır. Aalzler soucu elde edle verler amaca uygu ve doğru olarak değerledrlmeler şarttır. Buu ç, a) Ver çeşd seçle değerledrme yöteme uygu olması, b) Bağıtıları ortaya çıkarılablmes ç yeterl ve uygu öreğ alıması, c) Eksk veya gereksz ver toplamaması ve d) İstatstksel homojelğ koruması esastır. Çoğu kez ayı maddede brçok özellk araştırılır. Buları mümkü olduğu kadar azaltmak gerekr. Buu yaparke özellkler arası bağıtıları bozulmamasıa veya oa göre celeme yötem seçlmese dkkat edlmeldr. Bu amaçla oralar, taımlayıcı katsayılar v.s. alımalıdır. Verler matematksel şlemlere tab tutulablmeler ç lstelerde derler. Buları sııflara veya gruplara ayrılmaları, çalışmaları ve gözlemler kolaylaştırır. Ortalama değer gb bazı değşkeler hesaplaması le ö blgler edleblr, öeml etkeler saptaablr ve celeme yötemler seçleblr. Bu ö blglere şema, grafk ve dyagramlarla ye verler ekleeblr. Bu çalışmaı amacı statstktek gücel durumu ve yötemler taıtmak, lerde yapılacak çalışmalar ç temel kayak yaratmak ve özgü verlerle uygulama örekler yaymaktır. Br statstksel şlemde çok sayıda değşke ve değşke şleme katılır. Acak buları doğru taımı ve hesaplaması souda doğru statstksel çözüm buluur ve yorumlaablr. Burada bu amaçla kullaılacak temel kavram ve bulara bağlı değşkeler taıtılacaktır. Çzelge 1.1. Temel kavramları otlarda fade şekller. Kavram İşaret Örek 1 Örek Değşke x, y Zar Isı Özellk X j, Y j (j=1,...,) Göz (1,...,6) 1 C Olay O 1 oktaı gelmes Her ölçümde br ısı dereces Ver x, y (=1,...,) Öreğ, 1,4,,..,6 Öreğ 15 C, 18 C v. s. x, x değşke versdr.

12 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb Sayı, büyüklük ve ölçü brm (skala) İstatstkte kullaıla verlerde çoğu kez celee bütülüğü (küme) brde fazla özellğ celemes bekler. Bu edele celee özellkler maddeler bell karakter farklarıdır. Bu amaçla öce celee maddede ölçüm, gözlem, tahm ve hesaplamalarla elde edle bell sayısal verler elde edlr. Bu brbrde farklı verler toplamı, celee bütülüğü özellkler kapsar. Verler, kullaım amaçlarıa göre aa hatları le süreksz ve sürekl ver gruplarıa ayrılır. Bular da ked aralarıda aşağıdak alt kısımlara ayrılır (Schöwese, 199, Wessel, 000 ve Arıcı, 001): 1. Süreksz verler (sayılar), öreğ blgsayarda şlee verler ve br aledek çocuk sayısı ve yağış süreksz verlerdr. Bular aşağıdak kısımlara ayrılır: a) Sııflama verler (omal ölçü brm veya skalası), dereceledrme çeştler çermezler. Sadece kodlamaya ve maddeler celk bakımıda kısımlara ayırmaya yararlar. Ntelk bakımda maddeler brbrde ayırmak veya sııfladırmak mümkü değl. Acak ma 1 = ma veya ma 1 ma gb souçlar çıkarılablr. Örek olarak l plaka ve csyet umaraları (erkek=1, kadı=0 gb) verleblr. Sayılar Süreksz Sürekl Sııflama Sıralama Metrk Orasal Aralık Kapalı Yölü omal ordal metrc rato terval closed tred b) Sıralama verler (ordal ölçü brm), özellkler büyüklüğü bakımıda kümeler arasıda br farklılık gözlemek mümküdür. Acak verler farkları büyüklüğü hakkıda blg vermezler. Yukarıdak

13 Mühedsler ç statstk ders otları 1 ma 1 = ma veya ma 1 ma özellk fadese ek olarak burada, ma 1 < ma veya ma 1 > ma gb souçlar da çıkarılablr. Mercall-Seberg deprem ölçeğ ve mohs meral sertlğ bua örek verleblr. Mohs öreğde meraller sertlklere göre sadece sıralamıştır (talk-elmas gb). Farklar, eşt sertlkler yasıtmazlar. Öreğ, sertlğ 8 ola topazı, 4 sertlğe sahp flüortte kat daha sert olduğu alamıa gelmez. c) Metrk verler (metrk ölçü brm), eşt aralıklara ayrıla sabt br ölçü brm oluştura ve doğal br sıfırı bulua br ölçü brme dayamaktadır. Büyük öeme sahptr. Yukarıdak k ver çeşd mühedslk ve yerblmlerde öeml rol oyamazlar. Acak metrk verler hesaplamaları temel oluşturur. Bu verlerle her türlü matematksel şlem yapılablr ve özellkler arasıdak farklar saptaablr. Öreğ, br belrt dğer kaç katı olduğu bell br keslkle buluablr: ma 1 = a*ma gb veya 1a ve b dek özellklere ek larak, gb souçlar da çıkarılablr ma 1 = ma + b. Sürekl sayılar (verler), bell sıırlarda kestye uğramada kullaıma açıla verlerdr. Sürekl sayılara ısı örek verleblr. Şöyle sııfladırılırlar: a) Orasal verler (ölçü brm), br ver dğer br ver kaç katı olduğuu göstere verlerdr. Öreğ, K dereces le verle ısı dereceler, mutlak sıfır le başladıkları ç, orasal verlerdr. Acak C le verle ısı dereceler aralık verlerdr. b) Aralık veya fark verler, doğal sıfırı bulumadığı ölçü brmde elde edle verlerdr. Bulara örek olarak ısı dereceler C ve K (-73,15 C) verleblr. C le yapıla ölçümler aralık, K le yapıla ölçümler se, orasal verlerdr. Çükü C dek 0 doğal değldr. Dolayısı le 100 C, 10 C te 10 kat daha sıcak değldr. Acak bu K ç geçerldr.

14 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 13 c) Kapalı verlere yüzdelkler gb br sabt toplam vere verler örek verleblr. d) Yölü verler, vektör ve fay gb eğlm göstere verler bu sayılardadır. Yerçekm ölçümler de, yerküre merkeze yöelmler edeyle, yölü sayılardır. Bu temel sayıları tab tutuldukları öeml şlemler Çzelge 1. dek hesaplamalarla açıklamaktadır. Değşkeler tel (özellk/kaltatf) veya cel (sayısal/cel) değşke olarak da sııfladırılablmektedr. Çzelge 1.. Sayıları brbre çevrlmese lşk örekler. z d v p 15, C -0,14 K 0,99 0,14 14,1 1,4 -,99 0,81 0,1 11,6 13,5-1,84 0,88 0,13 1,6 Toplam, z =107,4 17, 1,86 1,1 0,16 16,0 16, 0,86 1,06 0,15 15,1 Ortalama değer c, 15,8 0,46 1,03 0,15 14,7 c= 107,4/7=15,34 17,1 1,30 1,11 0,15 15,9 Açıklamalar: Fark sayıları : d = z -c, Örek: 15,-15,34 = - 0,14 Orasal sayılar: v = z /c, 15,/15,34 = 0,99 Norm sayıları: = z /z, 15,/107,4 = 14,15 Yüzdeler: p = (z /c).100, (z /c).100:(z /c) = 0,99.100/7 = 4,1 ((z /c) = 7,00 = 1) İç çe/katlı sayılar: t = 1 yıl =1 ay =365 gü = 8760 saat gb sayılar. Verlerde keslk dereces çok öemldr ve her aşamada araır. Yelee br deeyde ölçümler brbre yakılığı keslk dereces verr. Dolayısı le kes verler, ölçümler yelemesde çok az sapma gösterrler (Şekl 1.1 a). Br keslk dereces, T = 1 ± 0,5 ºC (ayı brmle oda sıcaklığı) şeklde gösterlr. Ayı şeklde verler br de gerçek değere e yakı ola doğruluk dereces vardır. Br ver kes olablr, acak doğruluğu şüphel olablmektedr. Öreğ, saat veya yalış ayarlamış br ölçü aygıtı gb.

15 Mühedsler ç statstk ders otları 14 o P o o o o o o o o o o o o o o o a Keslk b Doğruluk Şekl 1.1: Keslk a ve doğruluk b kavramlarıı alamı Sayıları grafklerle suum tarzları Verler değşk şeklde suulurlar. Çzelgeler, şemalar ve grafkler halde gösterle verler suulduğu lk şekl çzelgelerdr. Acak bular göze htap etmezler ve celemeler zordur. Bu edele çzelgeler öcelkle verler derlemese ve şlemese yararlar (bak. Çzelge 1..). Verler sade suum şekl saçıım ve şemalarla sağlaır (Şekl 1..). Verler e y görütüledğ suum şekl grafklerdr. Çok çeştl ola grafkler, gözlem ve akış bakımıda e uygu suum araçlarıdır (Şekl 1.3.). y a o o o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o o o o x b İ. Ö. 4000: Au Cu, Ag, Pb, S 000: + Fe, S, Hg 0: + C, Sb, P ele. İ. S. 1800: 67 elemet 000: +U, Th 9 elemet Şekl 1.. Verler saçıım (scatter) a ve şematk çzg-kutu dyagramda suumu b. Tarhte elemetler keşf. a dak dağılım (1 ve ) k aa kütleye şaret etmektedr.

16 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 15 Grafklerle suumda her değşke değer, karşılaştırmaları ve k veya daha çok değşke arasıdak lşky göstermek ç yapıla suumları ayırdetmek gerekr. Bular da ölçütlere bağlıdır. Acak hçbr zama e y çözüm ç hazır br suum tarzı yoktur. Grafkler acak statstksel verler değer arttırdığıda kullaılmalıdır. Çok grafk br met okumasıı zorlaştırablr. Yukarıda suula öeml grafkle suum şekller yaıda lgç görüle sap ve yaprak (stem-ad-leaf) grafk yötem burada belrtlmesde yarar vardır (Çzelge 1.3). Bu yötemle belrlee aralıklara düşe ölçümler, büyüklük sırasıa göre sıraladıklarıda, br hstogram görütüsü verr ve hem ham ver, hem de dağılım sııflarıı gösterdğde, daha blgledrcdr. Bu özellk hstogramda kaybolur. Çzelge 1.3. Steme-ad-leaf grafk yöteme br örek Verler: { } Zama dzler (tme sere) Özellkle yerblmlerde çok sayıdak ver zamaı br foksyou olduğu görülür. Öreğ, Çzelge 1. dek açıklamaı so satırıdak verler zama dzsdr. Bu sayı çeştler zamaı br foksyoudur. Tamamlamamış br olayı koşulları uzay ve zamaa bağlı olarak değştğ ç x verler artık sabt x*, y* ve z* koordatlarıa bağlı olmazlar. Dolayısı le t zamaı da sabt olamaz ve x (x, y, z, t) şeklde fade edlrler. Coğrafyada elem, boylam ve açısı bua örek verleblr. Öreğ uzaydak hareket x (t ), (=1,..., ) ve t +1 -t = t = c = sabt, t ye bağlı değşm, gb. Saat başı ısı ölçümler ve şehr yıllık üfus değşm e açık zama dzlerdr. Buları ortalamaları da t dr. Br caddedek trafğ güü saatlere göre değşm de br zama dzsdr (x(t) foksyou).

17 Mühedsler ç statstk ders otları Sıklık dağılımı Sıklık dağılımı br öreklem dağılım şekldr ve sadece br ver grubuu veya öreklem özellkler celeye yötemdr. Varıla souçlar teork esaslara göre yorumlaarak çözümler araır. Sıklık dağılımıı başlıca araştırma souçları ormal, Logartmk ve bomal dağılım le buları ortalama değer, stadart sapma v.s. değşkelerdr. Ayı koşullar altıda kez yelee br deeyde meydaa gele A olay sayısıa A ı H A mutlak sıklık dağılımı, buu H A oraıa da A ı ha görecel sıklık dağılımı der. Görüldüğü gb sıklık dağılımı klask olasılık taımıa bezemektedr: Çükü h A arta le P A olasılığıa yaklaşmaktadır. Büyük sapmaları meydaa gelme olasılığı gderek azalır (büyük sayı teors). Br zar atmada atıla göz sayısı rastlatısal x 1 büyüklüğüü fade ederke para atmada rastlatısal sayı büyüklüğü olası yazı (y) veya tura (t) x dr. Öreğ,16 kez zar atmada elde edle sayılar {, 6, 3,, 5, 6, 4, 4,, 5, 4, 5, 3, 1, 6 ve } se, buları dağılımları gele zar yüzüe karşılık geldğde, her zar yüzü bell sıklıkta yelemştr. Öreğ, Zarı 1. yüzü 1 defa gelmese karşı, 4 ve 5 de 3 kez atılmıştır. Bua sıklık dağılımı der. Bu dağılımı taımlıya kuramsal foksyoua da olasılık veya dağılım foksyou der. Uygulamada her zar yüzüü gele rastlatısal değer br dkdörtge le brbr örtmeyecek şeklde apss üzerde gösterlr. Çzelge 1.4 le Şekl 1.3 buradak zar atmaı sıklık dağılımıı göstermektedr. Sııf sayısıı buluması ç brçok yötem bulumaktadır (bak. Örek.6). Burada her zar yüzü doğruda br sııfı temsl etmektedr. Bu edele zar atma y br örektr. Sıklık dağılımları ayı zamada br suum veya gösterm şekldr. Çzelge kez atıla br zarı gele yüzler sıklık dağılımı (Schöwese, 199). Zar yüzü Lsteler Görecel Sıklıklar x Çzg Sayısal H A Görecel h A brkml Brkml Brkml [%] 1 / 1 0,065 0, ,5 //// 4 0,500 0, ,5 3 // 0,150 0, ,75 4 /// 3 0,1875 0, ,50 5 /// 3 0,1875 0, ,5 6 /// 3 0,1875 1, , ,0000

18 Gele zar yüzüü oraı, % Gele zar yüzüü oraı, % Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 17 5 Sıklık dağılımı Brkml sıklık dağılım Zarı gele yüzü Gele zar yüzü Şekl 1.3: Atıla br zarı gele yüzler sıklık dağılımı (sütu dyagram, hstogram). Yukarıdak çzelge, çzg, kutu ve sütu dyagramlar şekldek suum tarzları yaıda değşk suum şekller bulumaktadır. Buları heps burada vermek mümkü değl. Acak burada bazı öreklerle yetlecektr (bak. Tüysüz ve Yaylalı, 005). Br rastlatısal x büyüklüğüü sürekllğ acak dağılım foksyouu sürekl olması, ya aralıksız olması le mümküdür. Çok sayıdak sürekl F dağılım foksyou yaıda sıklık dağılım foksyoları da sürekl foksyolardır ve x F(x)= P ( x) f ( t) dt 1.1 ax özellğe sahptr. lm F(x)=1 olduğuda, her zama, x f ( t) dt 1 1. değere sahp olur. Dolayısıyla popülasyodak herhag br aalz değer uç değerler arasıdak br aralığa düşme olasılığı % 100 dür. Böyle br aalz değer buluduğu yer koordatları, olasılıkları şleyş taımlıya Gauss ça foksyou le taımlaablr. Sıklık dağılımı, ortalama değer ve dğer statstksel değerledrmeler ç ö şarttır.

19 Mühedsler ç statstk ders otları Sayı dzlmler İstatstk ç çok öeml olmaya permütasyo (dzlm), kombasyo (devşrm) ve varyasyoları (çeştleme) kullaım alaları çok yölüdür. Solu mktarlarla hesaplamak ve uygu koşullarda olası düze sayısıı hem omal, hem de metrk bulmak bu hesaplamalar sayesde kolaylaşmaktadır. Buları çok öreğ sohbet veya oyu matematğde ve olasılık esaslarıda gelmektedr. Sayı teors le yakıda lgldr (4 sayı düzelemes gb, bak. aşağıya). Harf-oyu kağıdı, çobaı tek başıa kurt, kuzu ve lahaayı ehrde geçrmes gb hesaplamalar eskde ber blmekte ve uygulamaktadır. Bua toto oyuu da ekleeblr. Oyu kağıtlarıda beklee kağıdı gelmes de bua bezer. Dolayısı le beklee bulumasıı e kadar zor olduğu (zayıf br olasılık olduğu), oyularda ve hatta yaşamda, kazamaı değl, kaybetme ve yalış yapmaı kural olduğu ortaya çıkmaktadır. Eskde çözümler özel ödevlere göre hazırlaırdı. Güümüzde soruları temel öreklere drgeyerek geel çözüm ve yötemler bulumasıa çalışılır Permütasyo (P, dzlm) Permütasyo, sıraı çok öeml olduğu br dzdr. Br küme farklı elemaı arasıda kaç çeşt düzeleme mümkü olduğu araştırılır. Öreğ, 10 kşde hçbr yer korumada 10 sadalyeye oturma düze, P (10) = 10! = = dzlm, bu türde br hesaplamadır. 3 harfle yelemede yazılacak kelme sayısıı buluması da bua bezyor: 1. sıraya her harf geleblr.. sıraya ger kala harfte br acak geleblr. 3. sıra ç se, seçme olaağı kalmamaktadır. Bu edele yazılacak kelme sayısı, 3..1=3! olur (=3 faktöryel, 0! = 1). Permütasyou geel formülü, P () =! 1.3

20 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 19 şekldedr. Hesaplaacak abc elemalarıı permütasyou ç, P (3) = 1..3 = 6 geçerldr. Ya, {abc-acb-bac-bca-cab-cba} şeklde br dzlm ortaya çıkar. elemaa sahp, k kadar farklı (k ) ve 1,,..., k sıklığıda yelee elemaı bulua kümeler ç, P ( 1,,..., k ) =!!.!... 1 k! 1.4 formülü geçerldr. Öreğ, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6 sayıları le kaç tae 7 rakamlı sayı üretleblr? Yaıt: P(7;, 3, 1, 1) = = 7!!.3!.1!.1! (1.).(1..3).1.1 = 5040:1 = 40 buluur. Ayrıtılı temel esaslar ç stadart kayaklar salık verlr Varyasyo (V, çeştleme) Varyasyo, k seçeeğ le yapıla br özel dzdr. elemada çeştleme yere k çeştleme de (k ) celeeblr. Böyle br çeştlemeye k derecede yelemye varyasyo der. Geel formülü, V(, k) =! ( k)! 1.5

21 Mühedsler ç statstk ders otları 0 şekldedr. İspatı permütasyo lkelerdek gb, elema arasıda seçm, -1, -,..., -(k- 1), le sağlaır. Bu varyasyo çeşde permütasyodak 10 kş 10 sadalyeye oturması yere 6 sadalyeye oturması örek verleblr: V(10,6) = 10! (10 6)! olaak buluur. = 10! 4! = Yelee br varyasyo ç, V t (, k) = k 1.6 geçerldr. Yelee varyasyoa sportoto örek verleblr: Oyaacak 1 maçta beraberlk = 0, kazama = 1 ve kaybetme = le gösterldğde, oyuu gerektğ görülür. V(3,1) = 3 1 = Kombasyo (C, devşrm) Kombasyoda permütasyoa karşı sıra hç öeml değl. Burada olası tüm devşrmler yere k elemalı kısm mktarlar öemldr. Bua k derecede yelemye kombasyo der. Kombasyo temelde tüm varyasyoları kapsıya varyasyou eşdeğer sııfları olarak görülür. Kombasyo, C(, k) = k =! k!( k)! le taımlaır. ( k ) fadese bom katsayıları der ve k faktöryel dye okuur. k yere verle elemalı kısımlar öemldr. Uygulamalarda, 1.7 Yelee ve sıra dkkate alımaya kombasyolar ç de,

22 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 formülü kullaılır. C(, k) = k 1 k 1.8 Örek 1.1 = 3 (abc) elemaı k (= şer) kombasyou. c = 3 c S = 6 c t = 6 c st = 9 ab, ac, bc ab, ac, bc ab, ac, bc ab, ac, bc, ba, ca ve cb aa, bb ve cc ba, ca, cb, aa, bb ve cc! a) C(, k) = = k k!( k)! 3 3! = =!(3 )! = = (1) k 1 b) C t (, k) = = k k = = = 4 = seçeek buluur. s, sıra; t, tekrar demektr. = 3 = 1 Örek 1. Sayısal lotoda oyuda ( kerede) 6 bulma olasılığı. Ökoşullar: Yeleme yok (çekle br sayı br daha çeklmez) ve sıra öeml değl. Br oyu ç, 49 C(, k) = 6 = 49! 6!(49 6)!

23 Mühedsler ç statstk ders otları = 49! 6!.43! = Seçeek vardır. oyuda se, P(O) = / = 1, gerçekleşme olasılığı demek-tr. Haftada br çeklş halde bu, yılda 1 gerçekleşme olasılığıa karşılık gelr. Ayı 6 43 zamada 6 doğru ç sadece 1 seçeek varke, 5 doğru ç. 5 = 58; 4 doğru ç ve 3 doğru ç de seçeek bulumaktadır Determatlar Yukarıda açıklaa sayı dzlmler yaıda determatlara da değmek gerekr. Determatlar permütasyoları türevlerdr (p = 1,...,, 1,..., ; sıralı determat). Vektör uzaylarıı hesaplamasıda ve deklem kökler bulumasıda yararlaılır (bak mat. kayakları). Burada br örekle yetlecektr: Br determat geel olarak, gb taımlaır. Bu determat = 3 ç, a 11 Det M = a 1 a 1... a 1.. a 1.. a 1.9 a 11 a 1 a 13 a a 3 a 1 a 13 a 1 a 13 Det M = a 1 a a 3 = a 11 a 3 a 33 - a 1 a 3 a 33 + a 31 a a a 31 a 3 a 33 şeklde elemaları csde yazılablr ve eştlğe göre de çözülür. A = a 11 (a a 33 -a 3 a 3 )-a 1 (a 1 a 33 -a 13 a 3 )+a 31 (a 1 a 3 -a 13 a ) 1.11 Böyle br determat 3 x 3 matrs l ( = A 3,3 ), 3 (satır) x 3 (sütu; m, ) veya 3 (sütu) x 3 (satır;, m) düze l ve a j elema lıdır ( = satır, j = sütu umarası). Sütular geelde x 1, x veya bell yükseklklerde alıa ölçümler gb değşkeler; satırlar da 1.,... deklemler,

24 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 3 yükseklkle değşe hava basıcı le ısı gb örekler çerr. Buları sayısıa göre determatı şekl değşr (ee veya boyua dkdörtge gb). Br determatta satır ve sütuları yerler değştrleblr (a j = a j ), dört şlem ve üs alma gb cebrsel şlemlere tab tutulablrler. Örek 1.3 a) Yukarıdak 3 basamaklı determatı gösterdğ eştlkler katsayıları: değerlere sahpse, A = A = 1[1(-4) 0(-3)]-6[(-4)-0(5)]+4[(-3)-1(5)] = = 0 elde edlr. Bu, determatta vektör veya doğrusal bağıtıı bulumadığıı gösterr. Çükü 0, yö ve eğlm göstermez. b) Determaat yardımı le blmeyel deklem çözümü Verleler: deklemler kökler buluması. 5x + 7y = 19 3x - y = x y = -1 det A = - 31 buluur. Buu çözümü ç 1/A determatıa gereksm vardır. Cramer Kuralıa göre A.x = b dr (b, br köktür). Bua göre, - -7 /31 7/31 det A -1 = A -1 1 = -3 5 = 3/31-5/ x = A -1.b de, x = /31 7/ /31-7/31 1 3/31-5/31-1 = 57/31 +5/31 = elde edlr. Deklemler kökler: x = 1 ve y = dr.

25 Mühedsler ç statstk ders otları Olasılık Olasılık, gözlee olayları olası tüm olaylara oraı demektr (bak. 1.14). Yukarıda verle zar atma öreğ (1.3.4) para atma (yazı/tura) öreğ le değştrleblr (1.1). İk oyu arasıdak fark sadece olasılıkları azalmasıdır. Para atmada k seçeek varke, zar atmada seçeekler, zarı 6 yüzüde dolayı, altıya çıkmaktadır. Bu edele zarda br yüzü gelme olasılığı 1:6, para atmada se 1: dr. Bu k oyula olasılık kavramı kısme açıklamaktadır. Burada olasılık taımıda amaç, olasılığı br orma bağlamaktır. Doğa yasalarıa uya olaylara determst (belrlemc), hçbr kurala uymaya olaylara da kaotk olaylar der. İstatstkte rastlatısal (stokastk) olaylar celer. Rastlatısal (brbrde bağımsız) olaylar ç her zama, lm P(O) = c = sabt 1.1 eştlğ geçerldr. Yelee br deeyde, öreğ para atmada, atış sayısı arttıkça souç sabt br c değere yaklaşır*. Buula lgl teorye büyük sayılar teors der. Yazı y ve tura t se, a yaklaştığıda, değer alır. Bu, uygulamada, olarak sıırlaablr demektr. H (y) = H (t) = 0, lm P(O) = c Olasılık, P(O) = O/Ω 1.14 = Gözlee olaylar.says Olası olaylar toplamı olarak taımlaır (O, olay; Ω, olay evredr). Bua göre br olay, olay evre Ω ı br parçasıdır veya kısmıdır. Tek elemetl olaylara temel olay der. Buları, zar atışıda olduğu gb, ayı olasılığa sahp olması durumuda acak solu Ω ç br alam taşır. Burada, O/Ω oraı * Burada gözlee olayları, olası tüm olaylar çdek oraı gderek küçülür. Bell br yelemede sora gözlee olayları öem kalmıyor. Öreğ, yazı veya tura olasılığı 1. atışta, 1:=0,50;. atışta, (1:)(1:)=0,5 ve 3. atışta, (1:)(1:)(1:) = 0,15 v. s gb küçülür (bak. ayrıca örek 6.3).

26 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 5 olasılıktır ve olası tüm olaylar (örek uzayı) çde gözlee tüm olayları fade eder. Öreğ, 3 oyu kağıdıı 10 ar dağıtıldığı br oyuda (skat, 10-4=6) oyucuu bre 4 ası da gelme olasılığı, P(A 6 )= 0,00584 %0, 58 oraı gb eder br olaydır. Bu örekte sayısı gözlee, sayısı da beklee veya olası tüm olaylardır (=örek uzayı). Br değşke [α, β] aralığıda buluması olasılığı (Şekl 1.4a, beklee sıklık dağılımı = ala), β P{O α } = P(α x β) 1.15 = f ( x) dx 1.16 = F(β) F(α) 1.17 şeklde fade edlr. Bua ormal dağılım der. Normal dağılım, solu, eşt olasılıklara sahp özellkler çere ve statstksel dağılım koşullarıı sağlıya br dağılımdır (bak. 3.). Doğada e sık rastlaır. Bu dağılımı etegral alıdığıda, f ( x) dx olduğu görülür (eğr altıda kala ala). Buu brkml (kümülatf) dağılımı, f(g) max = da br ormal dağılımdır. Acak bu öcek dağılımı f(x) = f(g) şekl le br ormlamış haldr (Şekl 1.4b). Aşağıdak grafkte gele zarı yüzler eşt olasılıklarıı, α, β da olasılık sıırlarıı göstermektedr (solda; b, brkml dağılımdır): f(a) f(g) 6/6 f(β) 1/6 1 α, 3 4 β 5 6 a 4/6 f(α) / g

27 Mühedsler ç statstk ders otları 6 f(x) a f(g) b f(x) = yoğuluk foksyou 50 f(g) = dağılım foksyou x g f(x) = f(g) Şekl 1.4. Olasılık taımı. a, sıklık dağılımı, b, brkml sıklık dağılımı. x ve g argümaları farklıdır. x, sürekl özellk koordatlarıı (sııf ortalarıı), g se, sııf üst sıırlarıı (özellk üst sıır değerler) gösterr (a dak taralı ala olasılığı gösterr). Olasılık, P(O) = % 100 veya 1/1 olablr ve mümkü veya olasıdır. Acak P(O) = 0, ya 0/1 olması mümkü değldr (0 olasılığa boş der). Çükü olasılık, 0<P(O)<1 arasıda yer alır (statstksel olasılık). Bua haff br yağmuru taşta bre 1 damlasıı zamala düşmes (breysel olay) örek verleblr. Bua karşı yoğu yağmur damlası büyük olasılıkla taşa heme çarpar (kolektf olay). Örek zarla 1 defada: a) 6, b) 5 veya 6 ve c) Zarı para le brlkte atılmasıda ve tura gelme olasılıklarıı hesaplaması: a) P(O) = 1:6 % 17, b) P(O) = (1:6)+(1:6) = /6 = % 33 ve c) P(O)= buluur = % 8,33 1 Açıklama: Ortak elemaları bulumuya (ayrık veya bağdaşmıya) olayları olasılıkları P(AB)=P(A)+P(B) olarak hesaplaır (bak. b şıkkı).

28 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 7 Örek 1.5 a) zarla 1 atışta altı atma olasılığı: P(O) = (1/6) (1/6) = (1/6) = 1/36 = 0,0778 = %,78 elde edlr. b) 1 zarla 4 atışta 6 atmama olasılığı: P(O)=(5/6) 4 buluur. = % 48,5 Deey, zarları arka arkaya atılması le aşağıdak dyagramları gösterdğ gb kısma ayrılır (Şekl 1.5): Gelme ve gelmeme olasılığı. a) b) o 6 o 6 1/6 1/6 6 o 5/6 o 6* 6 o o 6* 1/6 1/6 o 6 1/6 5/6 o o o o o 6* 5/6 6* 5/6 6* 5/6 P(O ) = (1/6) = 1/36 6: 6 gelme, 6 *: 6 gelmeme olasılığı = 5/6. Şekl 1.5: kısma ayrıla zar atmaı ağaç dyagramı. Sıırlı br örek sayısı da rastlatısal olayları dağılım hakkıda yeterl blg sağlayablr. Rastlatısal olaylarda bağımsızlık esası bulumaktadır. Rastlatısal A ve B olayları, P(A B) = P(A) P(B) 1.0 se, bağımsızdır. Burada, P(A/B) = P(A) ve P(B/A) = P(B)

29 Mühedsler ç statstk ders otları 8 şekldedr. P(A/B), B koşullarıda A ı gerçekleşmes olasılığı demektr. Öreğ, deprem rsk ve malzeme dayaıklığı gb. Bulara ek olarak hem o 1 hem de o olayları ve o 1 veya o olayları gb olaylar brbr le lşkledrleblr. Olasılıklar çarpma ve toplama gb şlemlere de tab tutulablr. Öreğ, P{A, B} = P(A).P(B/A) 1.1 veya P(A).P(B) = 0, mümkü olmaya olasılık gb. Özet olarak toplam olasılıkları oraı, P(B /A)= j P( B ) P( A / B ) ( P( B j ) P( A / B j ) 1. şekldedr (Bayes teorem, bak dpot s. 5). Olasılığı geel toplam eştlğ se, P(A B ) = P(A) + P(B) P(A B) 1.3 le fade edlmektedr ( : ve, : veya okuur). 1.6 Ve Dyageamı Mühedslkte olasılığı rolü büyüktür. Öreğ, Ve dyagramı, olablrlk (possbltes) ve olasılığı (probabltes) göstermek ç kullaıla e y araçtır (Şekl 1.6, geel olasılık toplamı dyagramı). Doğada petrol ve gazı beraber oluştukları blmektedr. Bular karışım veya katı-sıvı-gaz fazları halde degede buluurlar. Şeklle petrol ve doğal gazı hag olasılıkla degede buluablecekler açıklamaktadır. Petrol 0,0 0,15 Gaz 0,5 P(petrol) = 0,0 + 0,15 = 0,35 P(gaz) = 0,5 + 0,15 = 0,40 P(petrol gaz) = 0,0 + 0,15 + 0,5 = 0,60 = Petrol +Petrol Gaz+gaz Şekl 1.6.: Petrol ve gazı buluma olasılığıı göstere ve dyagramı.

30 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 9 Sadece br toplama şlem uyguladığıda, P(petrol gaz) = P(petrol) + P(gaz) = 0,35 + 0,40 = 0,75 buluur. Acak bu değer toplam değer üstüde olduğuda, soucu düzeltlmes lazım ve P(petrol gaz) = P(petrol) + P(gaz) - P(petrol gaz) = 0,35 + 0,40-0,15 = 0,60 gerçek soucu elde edlr. Geel olasılığa. örek: Altı çere br prt bloku (FeS ) 5 ve 8 km büyüklüğüdek k bakır yatağıı yer aldığı br vadde bulumuştur (bak. Şekl 1.7). Bloğu hag yatakta gelme olasılığı daha büyüktür? I II F I = 5 km F II = 8 km Dere Prt bloku Şekl 1.7: Bayes teoreme br örek. Geel olasılık formülü, P(B /A)= j P( B ) P( A / B ) ( P( B j ) P( A / B j ) şekldedr (1.1; A, gerçekleşme olasılığı). Burada B 1 = 1., B =. yatakta gelyor tezler se, P(B 1 ) = 5/13 = 0,38 ve P(B ) = 8/13 = 0,6

31 Mühedsler ç statstk ders otları 30 buluur. Acak B 1 alaıı % 60, B alaı se, % 80 dezaltı magmatzması ürüü olduğu saptamıştır. Bu, P(A/B 1 ) = 0,60 olasılıkla blok B 1 de, P(A/B ) = 0,80 olasılıkla da blok B de gelmes ve dezaltı magmatzması ürüü olması demektr (Bayes* Teorem). Bu olasılıklarla B 1 ç koşullu olasılık, P( A/ B1 ) P( B1 ) P(B 1 /A)= P( A/ B ) P( B ) P( A/ B = 1 0,60.0,38 0,60.0,38 0,80.0,6 = 0,8/0,74 = 0,31 1 ) P( B ) buluur. Ayı şeklde. ala ç 0,69 buluur. Bu souçlarla bloğu % 69 olasılıkla., ya büyük alada geldğ, tahm edlr. Alıştırma 1.1 Yelemye 1,, 3 ve 4 sayılarıı kombasyo sayısıı buluuz ve ağaç dyagramıı çzz. Yaıt: 7 seçeek Alıştırma kız ve 0 erkek öğrec buluduğu br sııfı yarısı yatılıdır. Rastlatısal seçlecek 1 öğrec erkek veya yatılı olma olasılığı % kaçtır? Yaıt: % 83,33 Alıştırma 1.3 Br aygıt ç alıa 3 W lık ampüller % 50 s L, % 30 u M ve ger kala da N markasıa attr. 300 saatlk kullaımda sora bozula ampüller % 15 L, % 10 u M ve % 5 de N markasııdır. 1. Rastlatısal seçle L markasıa at br ampülü 300 saatlk kullaımda sora bozulma olasılığıı buluuz. Yaıt: % 7,50. Rastlatısal seçle br ampülü 00 saat çde bozulma olasılığıı hesaplayıız. Yaıt: % 11,50 *Thomas Bayes ( ), glz d ve blm adamı. Bayes Ağı ıda kearlar edede souca doğru yölemştr. Bayes Teorem le br souç, edede soucua doğru ve terse hesaplaablmektedr.

32 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 31. TEK BOYUTLU DAĞILIMLARIN TANIMLANMASI. 1 Grş Br örek dzs (öreklem) acak yeter kadar kapsamlı oldukta ve keslkle taımladıkta sora statstksel br alam fade eder ve verler at olduğu öreklem özellkler le gelecekte beklee olasılıklar hakkıda br düşüce yürütüleblr. Tek boyutlu dağılım demek, tek br değşkele taımlaa aa ktledr (popülasyo). Bu aa ktledek değşkeler keslk dereces (olasılığı) ve brmler ayı olması ster. Örek çeşd olaylara, ya celemelere, bağlıdır. Geelde f(x, y) ve f(t) şeklde fade edlrler. Alımış ve alıacak örekler ayırmak lazım. Alıacak örekler açıklık kazaacak. Smüle edleblr ve hazırlaablr olmalıdır. Örek taımlaması, verler değşke ve faktör şeklde özetlemes demektr. Buu ç: 1. Ortalama ve e sık değer,. Saçıım, sapma değerler (değşkeler), 3. Sıklık oraları (kısımları, yüzdelkler), 4. Dağılım şekller göstere değşkeler (smetr, yassılık) 5. Eğlm/eğm ve yö, göstere değşkeler ve 6. Dağılım foksyoları, uyum ve sııfladırma bakımıda örekler karşılaştırılmalı ve celemeldr.. Merkez değerler Br ver dzsde bulua değşkeler bazıları bu dz orta kısımlarıda yer alırlar ve merkez değer olarak aılırlar. Br öreklem merkez değerler, ortalama değer, tepe değer (mod) ve ortacadır (medya). 1. kouda taımlaa kavramlar, bu ve buda sorak kouda ver kümeler değşkeler ve sıklık dağılımlarıı taımlamasıda kullaılacaklar. Verler çzelge, şema ve dyagram şeklde düzeleerek çeştl ölçü sayıları buluacaktır.

33 Mühedsler ç statstk ders otları 3..1 Ortalama değerler Br rastlatısal ver hem dağılım foksyou, hem de sıklık dağılımı le keslkle taımlaır. Acak statstkte rastlatısal br büyüklüğü yeter keslkle taımlaya bazı değşkelerle de yetlr. Bu değerler e öemls statstkte e çok kullaıla beklet değer veya ortalama değerdr. Ortalama değer, rastlatısal x değerler üzerde solu veya sosuz toplamı veya x P( x ).1 t. f ( t) dt. foksyouu değerdr ( f, sıklık foksyoudur). Ortalama değer, verler ça eğrs altıda kala alaı ağırlık merkez oluşturur. Çok çeştl ola ortalama değerler e yaygı kullaılaları aşağıya çıkarılmıştır. a) Artmetk ortalama ( x ) Artmetk ortalama verler, ça eğrs altıda kala alaı ağırlık merkez oluşturur. Gauss ça eğrs ç öeml ola artmetk ortalama değerdr. Bu, br örekleme at değerler toplamıı toplam örek sayısıa bölümü le elde edlr. 1. Sııfladırılmamış verler artmetk ortalama değer x, x = 1 x = (x1 +x +...+x ).4 şeklde taımlamaktadır. x, ver veya özellktr ( =1,,..., ). Toplam üzerde ye kadar alıır. Bua göre Çzelge.1 dek ölçümler artmetk ortalaması x, 1 x = buluur. = 6,35 C

34 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 33 Çzelge. 1: Isı ölçümler ( C, Schöwese, 199). Ölçüm Ölçüm değerler x -D Ortalama sapma* Sapmaı kares umarası x C (D = 6 C) x - x (x - x ) 1 5,6-0,4 0,635 0,403 5,8-0, 0,435 0, ,9-1,1 1,335 1,78 4 6,8 0,8 0,563 0, ,4 0,4 0,165 0,07 6 7,4 1,4 1,165 1, ,5 0,5 0,65 0, ,7 1,7 1,465, ,5-0,5 0,735 0, ,7-0,3 0,535 0, ,5 0,5 0,65 0, ,5-0,5 0,735 0, ,7 0,7 0,465 0, ,9 0,9 0,665 0, , 0, 0,035 0, ,0 0,0 0,35 0, ,9-0,1 0,335 0,11 Σ 106,00 4,0 10,035 8, 555. Sııfladırılmış verler ortalama değer ç x, x = k 1 k 1 f f x.5 formülü kullaılır. Burada, k, sııf (aralık) sayısı, f, sııfıa düşe ver sayısı ve x, sııf orta oktasıdır. Örek.1 Çzelge. dek sııfladırılmış değerler ortalaması x, *Bak. yrıca.4. 5 x = 1 17 (106,75) 1 = 6,79 = 6,8 C

35 Mühedsler ç statstk ders otları 34 buluur (değerler kısaltılması edeyle souç az yüksek çıkmıştır). Çzelge.: Çzelge.1 dek verler sııfladırılması (bak. ayrıca örek.6 ve kou 3). Sııf aralığı, Sııf ortası Örek sayısı Örek oraı Brkml frekas, C x f x.f [%] toplam, % 4,9-5,4 5,15 1 5,15 (4,8) 4,8 5,5-6,0 5, ,5 (37,70) 4,5 6,1-6,6 6,35 4 5,40 (3,79) 66,31 6,7-7, 6,95 3 0,85 (19,53) 85,84 7,3-7,8 7,55 15,10 (14,16) 100,00 Σ ,75 (% 100) 3. Sabt br değer yardımı le hesaplama. Burada x, 1 x = D + k k 1 ( D).6 x şeklde fade edlr. (D, gelşgüzel br değerdr). D = 6 C alıdığıda, yukarıdak çzelgeye göre x, buluur (Çzelge.). 4, 0 x = ,35 C Artmetk ortalama çok kullaışlıdır, aalz değerler rdelemesde e sık kullaıla merkez eğlm ölçüsüdür. İrdelemede kabul etmek doğru değldr. Öreğ, uç değerlerde çok etkler. E öeml üstülükler, a) Kolay hesaplaması, b) Tüm değerler kapsaması ve c) Başka değerlere, öreğ ağırlıklı ortalamaya, çevrlmes kolay olmasıdır. Artmetk ortalamaı sakıcaları, a) E büyük ve e küçük değerler çok etklemes,

36 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 35 b) Gerçek br değer bulumadığı br oktada br değer vereblmes ve c) Metrk sstem şart olması. Dğer ortalama değer çeştler aşağıda kısaca taıtılmıştır (bak. ayrıca Tüysüz ve Yaylalı, 005). b) Ağırlıklı ortalama (x a ) Çeştl hesaplamalarda süre ve mesafe gb etkeler öem de hesaplamalara katmak ç ağırlıklı ortalama hesaplaır. Öreğ yer ve çevre blmlerde örek değerler, öreğ derşmler, örekler arasıdak mesafe le çarpılır, toplaır ve toplam mesafeye bölüür. Bu ortalama değerle, uç değerler, öreğ kalılıkları da hesaplamada etk olması le, artmetk ortalamaya orala etks azaltılmış oluyor ve daha gerçekç br değer elde edlmş olur. Ağırlıklı ortalama x a = 1 1 m x m.7 m 1 formülü le hesaplaır. = 1 durumuda sadece geel formül geçerldr. Burada, örek sayısı (=1,,...,), m, örekler arasıdak mesafe veya süredr ve x ye göre değşe değerler alır. x, ölçüm değerler gösterr. Ağırlıklı ortalamaya e y örek, ara ve btrme sıavı otlarıı farklı ağırlıkla (öreğ, % 40 ve % 60) geçme otua katılmasıdır. Örek. Br bölgeye düşe yağış mktarıı hesaplaması (Schöwese, 199). Tarh Ölçüm x Süre (yıl) Faktör m x.m Bua göre, x a = 3 1 = = 683,66 mm

37 Mühedsler ç statstk ders otları 36 yağış buluur. Bu değerler artmetk ortalaması, x = 044/3 = 681,33 mm dr. mm lk yağış farkı öeml değldr. c) Geometrk ortalama (x g ) Bularda başka mühedslk blmlerde yaygı br şeklde kullaıla geometrk ortalama bulumaktadır. Bu ortalama değer öcelkle log dağılımlarıda kullaılır. Burada değer çarpımıı çarpıla tüm değerler sayısıa eşt derecede kökü alıır. Ya, x g = x.8 1. x x x şeklde buluur (, örek sayısı; Π, büyük p = çarpım). x g, artmetk ortalamada küçüktür. Geometrk ortalamaı üstülükler, a) Tüm değerler kullaılması, b) Çok açıktır ve c) uç değerler etks azaltır. Bua karşı sakıcaları, a) Br değer dzde sıfır olması durumuda kullaılmaması ve b) Elde edle değer dzde bulumaya br yere karşılık gelmesdr. Örek.3 Ölçüle çeştl deeylerdek yoğuluk ortalaması. Ölçüm Yoğuluk [g/cm 3 ] 5,4 5,6 5,3 5,7 5,5

38 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 37 verler verlmş se, geometrk ortalama, x g = x 1. x... x = 5 5,4.5,6.5,3.5,7.5, 5 g/cm 3 soucua varılır. = 5.04,53 1/ 5 = 5,50 Geometrk ortalama hesaplamada kök yere logartma alıması, çok ver çarpımıı köküü alma şlemdek zorlukta kayaklaır. Bu edele kök alma yere logartma alıır. Öreğ, 1 log x g = log( x1 x... x ).9 1 = (log x1 log x... log x ) logartma kuralıa göre logartmaları alıa değer toplamıı at logartması alıarak geometrk ortalama buluur. Örek.3 tek değerler log toplamı 3,69 ve örek sayısı da 5 olduğua göre, x g = atlog (3,69/5) = atlog 0,74 =10 0,74 = 5,50 [g/cm 3 ] buluur. d) Harmok ortalama (x h ) Özellkle doğa blmlerde, öreğ fzkte, kullaıla br ortalama değer de harmok değerdr. Ölçüm değerler ters (1/a) artmetk ortalamasıı ters olarak hesaplaır ve 1 x h x.10

39 Mühedsler ç statstk ders otları 38 şeklde formüle edlr. Burada da geometrk ortalamada olduğu gb değerler heps sıfırda büyük olması gerekr. Harmok ortalama öcelkle zama oralarıı (hız, yol ve zama) ortalamasıı hesaplamasıda kullaılır. Örek soruluk br test sıavıda 60 soruya 50, 0 soruya da 30 dakkada yaıt vere br öğrec yaıt başıa ortalama yaıt süres. Sıav başıda ortalama olarak her soruya 1 dakka süre verlmştr. Acak öğrec sıavı lk 50 dakkasıda soru başıa 50/60 = 5/6 dakka, ger kala 0 dakkasıda da 30/0 = 3/ dakka kullamıştır. Bua göre harmok ortalama, elde edlr. 1/x h = x =1/(5/6+3/) =1/(5/6+9/6) =1/.14/6 =14/1 =7/6 =1,17 dak. e) Değşm aralığı ortası (R o, uç değer ortası): Bu ortalama değerlere ek olarak değşm aralığı ortası da br ortalama değer sayılmaktadır. Değşm veya yayılım aralığı R (rage), R = x max -x m.11 olarak taımlamaktadır (bak. ayrıca.4.1). Buu ortalaması veya ortası R o, xmax x R o = m formülü le buluur ve yayılım alaı ortasıı verr. Bu aralık frekas veya sııf sayısıı bulumasıda kullaılır (bak. Sturges Kuralı, Örek.6)..1

40 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb Ortaca (x o, medya) Ortaca, br dzy ortalaya veya ça eğrs altıdak alaı eşt k kısma ayıra değerdr. Öreklemdek değerler yarısı ortacada küçük, yarısı da büyük olur. Ortacaı üstülükler, a) Hesap yapmada buluablmes b) Gerçek br değer temsl etmes, c) Uc değerler dışlaması ve d) Başka bezer büyüklükler yere kullaılmamasıdır. Bua karşı, a) Baze zor saptaablmes ve b) Çevrmelere uygu olmayışı gb sakıcaları bulumaktadır. Matematksel olarak ortaca x o, or x o = F( x) = x o F o 0,5 f ( x) dx.13 x o ( x ) F( ) veya x o = or f ( x) dx or = f ( x ) ,5 olarak taımlamaktadır (Schöwese, 199 ve Arıcı, 001). Bu değer toplam ç ortaca = F(0,5) = % 50 alamıa gelr. Bu, tek sayılı dzlerde, büyüklük sırasıa göre sıralaa ölçümler ye böle, x o = (x +1 )/.15

41 Mühedsler ç statstk ders otları 40 orta değere karşılık gelr (bak. Örek.5). Çft sayılı dzlerde se, ( x 1 ) / ( 1) / x o = x.15a şeklde belrlemektedr. x -1, ortacada küçük, x +1 ortacada büyük ortadak k değerdr (bak. ayrıca Şekl.1). Örek.5 Br akarsuyu ölçüle deb değerler (m 3 /s): Sıra o Verler: 3,9-4,5-4,5-4,6-4,7-4,8-4,9-5,0-5,1-5,3-5,5-5,5-5,6-5,7-5,8 f(x)= Frekas f = örek/aralık, % a F 1 = F b F 1 F x x o x t x t c d α x t < x o < x x < x o <x t α x a, ça eğrs ve ortalama değer x, ortaca x o ve tepe değer x t değerler çakışması. F 1 ve F ortaca tarafıda ye bölüe alaı eşt parçalarıdır. b, hstogram, eğr yerleşm ve ortaca x o ; c, sağa çarpık ve d, sola çarpık dağılımda tepe değer-ortaca-ortalama değer koumu. α, teğet-abss açısı. tg α > 0: düşük değer dağılım tp (c) ve tg α < 0, yüksek değer dağılım tp (d) dağılım grafğ (bak. Wlke, 1973). Şekl.1. Ça eğrs ve merkez değşkeler dağılıma göre koumları.

42 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 41 Büyüklük sırasıa göre dzle yukarıdak değerler 8. değer, ya 5,0, ver dzs tam ortasıa düşmektedr. Burada ortaca bu değerdr. Ortaca çarpık dağılımlar ç ortalama değere göre daha uygudur ve az örek sayısı ç de öemldr. Metrk ve sıralama ölçü brmler de kullaılablr ve aşırı değerlerde çok etkler...3 Tepe değer (x t, mod) Tepe değer veya mod, dağılım foksyouu sahp olduğu e yüksek frekas değerdr. Ya e çok öreğ buluduğu, başka hçbr sııf tarafıda aşılamaya sııftır. Teork olarak td, t (mod) = f(x) max.16 olarak taımlamaktadır. Br ormal dağılımda, smetrde dolayı, tepe değer (x t ) = ortalama değer ( x ) = Ortacadır (x o ).17 bağıtısı mevcuttur. Bu durumda eğr altıdak ala ortaca tarafıda eşt parçaya yarılır (F 1 = F, Şekl.1.). Sağa kaya (kuyruk sağda) veya poztf eğml (tg α >0) dağılımlarda ortalama değer, ortaca ve tepe değerde büyüktür (x t < x o < x ), sola kaya (kuyruk solda) veya egatf eğml (tg α < 0) dağılımlarda se, ortaca ve tepe değer de küçüktür ( x < x o < x t ). 1. durumu zayıf değerler dağılıma hakm olduğu alamıa gelr (fakr tp).. durum se, öreğ yerblmlerde made yataklarıı oluşmasıı sağlarlar ve yüksek değerler hakm olduğu br dağılımı yasıtır (zeg cevher tp). Çevre blmlerde bu, öreğ aşırı krllğ veya br etke ortalamaı üstüde artışıı gösterr. Şekl.1 c-d çarpıklık ve eğr-teğet lşks göstermektedr. Brçok tepelkl dağılımlarda, 1.,. ve 3. tepe değer dye sıralaır. Örek.5 te yelee 4,5 ve 5,5 değerler dz tepe değerler oluşturmaktadır ( tepel dağılım). Dzde bu değerlerde daha çok sayıda yelee değer bulumamaktadır. Bu değerler heps de gözlem sayısıa bağlıdır. Ne kadar çok gözlem kapsama alıırsa, o kadar güvelr ve gözlem kümes ç o kadar taımlayıcı olurlar. Tepe değer Üstülükler, a) veya daha çok tepelkl dağılım ç de öemldr, b) Uç değerlerde etklemez,

43 Mühedsler ç statstk ders otları 4 c) Her ölçü brm ç kullaılır. Sakıcası, her zama kes ölçülememesdr..3 Yüzdelkler Gülük yaşamda sıkça çeyrek, yarım ve odalık gb deym ve fadelerle karşılaşılmaktadır. Bular br bütüü bell br kısmıa, ¼ üe (çeyrek) veya yarısıa (yarım) karşılık gelrler. Bu termler moder blmdek yüzdelere döüştürüldüğüde yüzdelkler meydaa gelr. Öreğ 1 Çeyrek % 5, çeyrek 1 yarıma (%50) veya 3 çeyrek ¾ e (%75) karşılık gelr. Batı dllerde bu termler katl olarak geçerler (Şekl..). Kolay hesaplaa yüzdelkler çok değerde hesapladıkları edeyle güverlkler yüksektr. Bulara karşılık yüzdeler sıraya dzlecek olursa, öreğ % 5 çeyrek olarak aıldığı gb, % 10, lk veya 1. odalık (1. desl) olarak fade edlr. Buu gb % 0,. oluk (. desl, veya 1. petl) ve 0. yüzdelk olarak da söyleeblr. Ayı şeklde % 80, 8. oluk (4. petl) ve 4. yrmlk olarak da fade edleblr. Bu değerler hesaplamak ç çeştl formüller kullaılmaktadır. Geel olarak ortacaı hesaplamasıa bezeye yötemde br temel yüzdelğe dğer yüzdelkler ekler. Öreğ, 1. çeyrek y 5 = q 1 = F(0,5), y 50 = q = F(0,50) = ortaca olduğu alaşılır. E düşük, m E yüksek, max % 5 Ortaca % 75 %80 1. çeyrek (katl) 3. çeyrek 4. beşlk (petl), 8. oluk (desl) Şekl.: Yüzdelkler şematk taımı.

44 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 43.4 Değşkelk ölçüler Verler statstksel taımlamasıda sadece ortalama değerler yeterl olmamaktadır. Ortalama değerlerle elde edle souçları yaılma oraları yüksek olur. Öreğ, br kıracı ev sahb verdğ 1,40 m lk çocuklarıı yüzdüğü havuzu ortalama derlğe e kadar aır? Bu gb durumlar ç ortalama değerler tarafıda kapsamaya değşkeler de celemek gerekr. Br ver kümes veya popülasyo çeştl dağılım değşkeleryle de taımlaablr. Bu değşkeler aşağıda taıtıla değşm aralığı, stadart sapma, değşke ve mometlerdr..4.1 Değşm aralığı (R) Br ver kümesdek veya popülasyodak e yüksek ve e düşük değerler arasıdak fark, değşm veya yayılım aralığı R, R = x max - x m.18 le taımlaarak belrtlr. Burada sadece değer, e düşük ve e yüksek değer, hesaba katılmaktadır. Dolayısı le uç değerler buluması durumuda souç yaıltıcı olablr. Öreğ, br ölçüm dzs veya br madde çeşd çerdğ br bleşe, bu uç değerler arasıdak farkı değşk olablr. Yüksek oradak değşkelerde bu fark spete küçüktür (homoje dağılım). Düşük bleşelerde se, büyük olablmektedr (heteroje dağılım). Uc değerlere göre ça eğrs değşm Şekl.3 göstermektedr.öreğ, yukarıdak deb ölçümü ç değşm aralığı, R = 5,8-3,9 = 1,9 m 3 /s dr. Sadece metrk ölçü brmlerde yararlaıla değşm aralığıı hesaplaması kolaydır ve verler dağııklığı hakkıda blg verr. Sadece değerde hesapladığıda, çerkle lgl yorum yapılamaz..4. Ortalama mutlak sapma (d) Daha gerçekç dağılım ç ortalama mutlak sapma d, 1 d = 1 x.19 1 = x x 1

45 Mühedsler ç statstk ders otları 44 hesaplaır. Bu değer, saçıımları ortalama değerdr (bak. Şekl.3b). Başka herhag br değer ç buluacak sapma değer bu değerde küçük olamaz. Bu değer hem metrk, hem de sıralama (ordal) verler ç alamlıdır. Özellkle metrk ver kümelerde aşırı eğmler veya çok tepel durumları buluması halde hesaplaması salık verlr. Acak saçıım ölçüsü olarak sadece metrk sayılar ç kullaılablr. Çükü bu ver sıra sayıları farkları hakkıda br blg vermez..4.3 Stadart sapma (s) Stadart sapma, verler ortalama değer etrafıda e kadar yoğulaştıklarıı gösterr. Geometrk olarak, stadart sapma, artmetk ortalama değer üstüde ve altıda kala ver sapmalarıı ortalamasıdır. Bu edele br (+), br de (-) değer buluur. Şekl:.3b stadart sapmayı geometrk olarak göstermektedr. db a b +s -s x Ses şddet, db Ölçümler Şekl.3: Verler değşm aralıkları a ve stadart sapmaı geometrk alamı b. +s, x da büyük ( x +s); -s se, buda küçük ( x -s) ölçüm değerler ortalamasıdır. Ortalama mutlak sapmaya ayı zamada stadart sapma da der. s le gösterlr ve geelde, s = = 1 x ( x x)

46 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 45 = 1 x ( 1 ( 1) x ). formüller le hesaplaır ( x x x dr). Ortalama değerle ola farkları toplamı 0 ettğde, kareler alıır, toplaır ve kareköküü poztf değer stadart sapma olarak kullaılır. Ortalama değer hesaplamada da stadart sapma buluablr (bak..)..0 dek yere alıa -1 term sadece geel br teork alamı vardır. Değer popülasyoa değl, öreklem e at olduğuu fade eder ve serbestlk dereces sayısıı yasıtıyor (bak. kou 4). Bu term aslıda sııfladırılmış verler stadart sapması. eştlğ.5 eştlğ şekle bezetlmes le hesaplaablr (bak..5, x = f.x ve (-1) = Σf ). Örek sayısı arttıkça,, - 1 e yaklaşır. Stadart sapma s, >1 ve s >0 durumları ç br alam taşır. 1 örek ç s = + dur (belrsz). Sadece metrk ölçü brmlerde kullaıla stadart sapmada, souçları yorumlamasıda adre yararlaılır..4.4 Değşkelk katsayısı (v) Stadart sapmaı artmetk ortalamaı yüzdes olarak fade edlmese değşkelk katsayısı der. Görecel stadart sapma olarak da ble bu değşke, s v = x olarak blr (%). Bu oraa göre verler düzel (v < % 40), düzesz (% 40 < v < % 80) ve çok düzesz (v > % 80) olarak sııfladırılırlar (Wlke, 1973). Özellkle yerblmlerde yaklaşık örek sayısıı, öreğ, mlyo t rezerv başıa, saptamasıda bu değşke öeml br ölçüt olarak kabul edlr. Ayrıca dağılımları saçıım farkıı saptamada yararlaılır..4.5 Değşke (s, σ, varyas) Stadart sapmaı karese değşke (varyas) der. s veya sıkça σ (sgma) le gösterlr. Br statstksel dağılımı esas değşke değşkedr ve σ = ( x ) f ( x) dx.4 olarak taımlaır (σ, aa kütle değşkesdr). Burada br öreklem değşkes,

47 Mühedsler ç statstk ders otları 46 s 1 = ( 1 1 x ) formülü le hesaplaır. Verler ortalama değerde sapma dereces, değşkelğ, gösterr. Değşke, a = x ç mmum değer alır (a, ortalama değerde farklı br değerdr). Bu, saçıımları ortalama değer yakııda e az olduğuu gösterr..5 Değşke le stadart sapmaı statstkte çok büyük öem vardır. İstatstksel varsayımları doğruluğuda ve testlerde kullaılırlar. Varyas, bağıım ve bağıtı (korelasyo ve regresyo) aalz le bulara dayaa yüksek derecedek statstksel değerledrmelerde (öreğ, varyogram hesaplamalarıda) vazgeçlmez br ölçüttür. Ayrıca stadart program yapımıda temel teşkl ederler. Uygulamada varyasla stadart sapmayı brbrde ayırt etmek gerekr. Aralarıdak fark, değşke gözlemler tüm, stadart sapmaı se, tek tek göstermesdr. Bu yüzde değşkede baze Σx toplam değerler tüm örek sayısıa bölüürke, stadart sapmada örek sayısıı 1 eksğe bölüür. Bu edele σ ı karekökü, stadart sapmada dama küçüktür. σ ve s değerler br güve dereces çerrler. Bu da öreğ, studet-t test le deetleeblr. Değşke, kısımlarıa ayrılablr. Çükü br öreklem varyası, öreklemdek grupları varyaslarıı toplamıa eşttr. Öreğ, 1 I J K xk 1 1 j1 kk s = ( x x j... gb. Bu özellkte, varyas aalzde ve jeostatstkte yayılım değşkes gb çeştl değşkeler hesaplamasıda yararlaılır. ) Katışık değşke (s xy, kovaryas) Öreklem değşkes s, ( x x) 1 s x ( x x)( x 1 x)

48 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 47 olduğu yukarıda gösterlmşt (.5). Ver kümes x değerler çft buluması halde, x ve y değerler bu küme özellkler olurlar (yer derlk ve basıcı veya ısı le geleşme gb). Yukarıda yazıla eştlk y ç de yazılablr ve şekl x ve y ç, s xy = ( y y) 1 s y ( y 1 1 y)( y 1 1 ( x y) x)( y y).9 hale döüştürüleblr. Bu, ver kümese at öreklem x ve y özellkler katışık değşkesdr (=kovaryas). Eştlk, x ve y değşkeler brbre göre asıl değştkler gösterr. Bağıtı ve bağıım aalzde çok kullaılır. Br öreklem katışık değşkes değşkeler çarpımıa oraı değşkeler arasıdak bağıtı katsayısıı, r = s s x xy.s verr. r = 1 ç bağıtı e y, r = 0 se, bağıtı yok demektr. -1<r<0 durumuda değşkeler uyumsuz (x ve y arasıda zıt gelşme), 0<r<1 durumuda se, uyumludur (x ve y brbre bağlı; bak. kou 8). y.30.5 Mometler İstatstkte dağılımları çoğu smetrk değldr. Baze değerler ortacaı sağıda veya soluda yoğulaşır (Şekl.1 c ve d). Bu dağılım özellkler yukarıda açıklaa çarpıklık ve değşke sıralaması gb yötemler yaıda 3. momet; dağılımı stadart ça eğrsde yüksek veya basık (yassı) olduğu da 4. momet veya merkez değerle* saptaablmektedr. 1 Br momet geel olarak m k = ( x ) 1 * Merkez değer demek, ortalama değer x 0 ola değer demektr. Br trasformasyo yoluyla, öreğ, x 1,...,x değerler, y = x - x ( = 1,.., ) şeklde merkezleştrlrler. Bu arada değşke σ değşmez. k.31

49 Mühedsler ç statstk ders otları 48 deklemyle fade edlmektedr. Br dağılımda 4 büyüklüğü, merkez mometler, ya ortalama değer ( x ), değşke (s ), kayma (m 3, çarpıklık) ve basıklığı (m 4, yassılık) celemes yararlı olur..5.1 Kayma (g, çarpıklık, asmetr; g. skewess) Br ormal dağılımda ortalama değer, ortaca ve tepe değer eşt oldukları yukarıda belrtlmşt. Bu değerler karşılaştırılması le ortalama değere göre kayma saptaablr. Acak kayma durumuda buları oraı değşr. Kes br kayma değer acak 3. momet m 3 ü hesaplaması le elde edleblr. Bu, 1 m 3 = ( x olarak taımlamaktadır. Burada kayma, stadart sapmaya bölüerek stadartlaştırılır. Ya, m3 g = s 3 1 = ( x x) 3 3 x) / s eştlğ le brmsz hale getrlr. ( x 1 = 3. s x) 3 g = 0 ç ormal dağılım, g > 0 ç poztf ve g < 0 ç de egatf eğml (sağa kayma) br dağılım mevcut demektr (Şekl.4). Kayma, esasıda br logartmk dağılımı (damk dege) belrtsdr. f(x) g=0 g>0 g<0 x Şekl:.4. Farklı kaymalara örek dağılım çeştler (bak. ayrıca Şekl.1).

50 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb Basıklık (e, svrlk; g. excess) Basıklık veya svrlk taımı ç de 4. momet m 4 (exess, kurtoss) kullaılır. Bu momet tepelk durumuu belrtmeye yarar ve 1 m 4 = şeklde taımlamaktadır. Burada basıklık, ( x x) 4.34 m4 e = s = ( x ( x 1 = 4. s 4 4 x) / s -3 formülüde çıkarılır. Br ormal dağılımda e = 3 tür (eştlkte 0 alımıştır). Bu durumda ormal ça eğrsde basık ola dağılımlarda e < 0, svr olalarda se, e > 0 dır (Şekl.5). Bu dağılımları ortalama değer eşt, acak stadart sapmaları farklıdır. x) 4-3 f(x) e>0 e=0 e<0 x Şekl.5: Farklı basıklığa örek dağılım çeştler. Stadart sapmaları ayı ola bu dağılımları e < 0 olalarıa platkurtk, e > 0 olalarıa da leptokurtk der. Logartmk dağılımları celemes, metrk değerler logartması alıarak ayı yötemlerle gerçekleştrlr.

51 Mühedsler ç statstk ders otları 50 Örek.6 Sıklık dağılım değşkeler hesaplaması ve dağılım grafğ çzlmes (Çzelge.1, = 17, ısı ölçümler, C). 1. Değşkeler buluması Artmetk ortalama 17 x x / 1 106/17 = 6,35 C Stadart sapma s = = ( x x) 1 1 8, = 0, 53 = 0,73 C Bua göre artmetk ortalama değer y x 0, 73 = aralığıı kapsıyor veya y= x 0, 73 aralığı ç geçerldr. Değşke s = 1 ( x 8,555 = 17 1 x) 1 = 0,53 C ( x x) m 3 Kayma g = 3 = 1 s 3. s 1,66 = ,73 = 0,5 C 3

52 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 51 Dağılım poztf eğmldr. m Basıklık e = s = = 4 ( x x) 1 4. s 10,86-3 4,8 =,57-3 = -0,43 C -3 buluur. Bua göre poztf eğml (sağa kayma), stadart ça eğrsde basık br eğr veya dağılım bulumaktadır. Değşkelk katsayısı v = s.100 / x = 0,73.100/6,35 = % 11,7 buluur. Bu orala verler çok düzel br dağılıma sahptr.. Dağılım grafğ çzm: 1. Adım: Değşm aralığıı buluması: Değşm aralığı R = x max -x m = 7,7-4,9 =,8 C. Adım: sııf sayısıı hesaplaması (Sturges Kuralı, bak. dp ot s. 47): sııf veya grup buluur. k = 1+3,3 log = 1+3,3.1,3 = 1+4,08 = 5,1 = 5

53 Frekas [%] Brkml dağılım [%] Mühedsler ç statstk ders otları 5 3. Adım: Frekas veya sııf sıır değerler buluması: Frekas f, f = R/k =,8/5 = 0,56 0,6 C elde edlr. 4. Adım: Sıklık dağılım çzelges: Frekas [ C] Mutlak sıklık Görecel sıklık [%] Brkml sıklık [%] f f h Σ h 4,90 5,49 1 5,88 5,88 5,50 6, ,18 47,06 6,10 6,69 4 3,53 70,59 6,70 7,9 3 17,65 88,4 7,30 7,89 11,76 100,00 Σ = ,00 45 Sıklık dağılımı 100 Brkml sıklık dağılımı ,9 5,6 6,3 7 7,7 Isı dereces [ C] 0 4,9 5,6 6,3 7 7,7 Isı dereces [ C] * Sıklık dağılımlarıda sııf sayısıı saptaması ç br geel kural bulumamaktadır. Acak bazı lkeler öerlmektedr: Öreğ sııf sayısıı örek sayısıa göre değşm gb. Ayrıca br sıklık dağılımıdak sııf sayısı örek sayısıı kare köküde az olması ster. Br dağılımdak sııf aralıkları eşt olmayablr, öreğ büyüyeblr veya küçüleblr. Sııf sayısıı bulumasıda yararlaıla e yaygı kural Sturges Kuralı dır. Bua göre br sıklık dağılımıda e y sııf sayısı k = 1+log -1.log = 1+3,3.log şekldek formüldür. Burada da frekas (sııf aralığı) f hesaplaır (f = R/k = x max - x m / (1+3,3 log )).

54 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb TEORİK DAĞILIMLAR 3.1 Grş İlk kouda şlee örek taımlamaları souçları bakımıda belrszlkler taşımaktadır. Çükü bu öreklemler solu br ver dzs kapsıyor. Bu edele celee olaylar (şlev veya mekazma) sadece kısme şlemlere tab tutulablmektedr. Dolayısı le deeysel sıklık dağılımlarıı görüümler örek kapsamıı geşlemes le değşr. Sözkousu olay geel olarak, ya öreklem rastlatılarıı etks dışıda, statstksel olarak celemek sterse, öreklem geldğ popülasyou özellkler celemes gerekr. Bular geelde blmedkler ç statstkte çeştl kuramsal popülasyo dağılımlarıı buluması ç değşk yollar buluarak deeysel dağılımlara uyarlamıştır. Uygulamada brçok kuramsal dağılım şekl bulumaktadır. Burada buları acak öeml olaları üzerde durulacaktır. Herhag br very celyeblmek maksadyle kuramsal dağılımları sadece stadart şekl, ya olasılık sıklık dağılımı f(x) yardımıyla, taımlaa-caktır. Br görsel dağı-lımı br kuramsal dağılıma uyarlaması demek, görsel dağılıma e yakı kuramsal dağılımı buluması demektr. Görsel dağılımı kuramsal dağılıma uyumu ç çevrme şlemler yapılması, uyum dereces (alamlılık) saptaması ve sıaması şarttır. İşleecek kuramsal yötemler lk öce sadece tek boyutlu durumlar ç uygulaacaktır. Buları çok boyutlu durumlar ç uygulaması sıkça sorular doğurur. Hesaplaacak değşkeler öreklem ve aa kütle (popülasyo) lşks ayırdedlmes ç kullaıla değşk karakterler aşağıya çıkarılmıştır: Değşke Öreklem Aa kütle Ortalama değer x µ Ortaca x o µ o Tepe değer x t µ t Stadart sapma s σ Değşke s σ Kayma g γ Basıklık e η Kapsam ν

55 Mühedsler ç statstk ders otları Normal dağılım (ND) Doğadak dağılımları büyük çoğuluğu ormal dağılım göstermektedr. Buradak ormal dağılımı alamı sadece çok sayıdak şleve uygulaablrlğ fade eder. Tüm dağılım çeştler oluştukları yer mevcut koşullarıa göre gelşrler. Öreğ, bakkal ve maavları br şehr her tarafıa yaklaşık ayı sıklıkta dağılmalarıa karşı, fotoğraf dükkalarıı sadece şehr merkezde yoğulaştıkları görülür. Bu gözlem soucuu, ya hpotez, geelleşmes ç açıklaması ve kuramsal br toplu sstemde ya doğrulaması, ya da reddedlmes gerekr. Normal dağılımı e öeml özellğ, yelee verler ortalama değer etrafıda yoğulaşmasıdır. Uclara, ya büyük ve küçük değerlere, doğru verler kedlğde sııflaarak seyrelr. Öreğ, br yerleşm brmdek erkekler boy ortalaması 1,70 m se, 1,68-1,64 m boylu erkekler sayısı 1,64-1,60 m boylularda; 1,7-1,76 m boyluları sayısı da 1,76-1,80 m boylularda daha çok olduğu aşağıdak çzelgede görülmektedr. Ayı şey çalışaları aylık gelr ve yumurta ağırlığı ç de geçerldr. Normal dağılımı doğadak e y örekler volka koler lavlarıı,; kumul le kum saatler kumlarıı kok dağılımı; petrol kuyuları verm zamala değşm ve uygarlıkları yükselş ve batışlarıda da görülmektedr. Normal dağılımı ede, oluşum sırasıda brbr etklye bağımsız brçok etke br araya gelmesdr. Sııf Sıklık 160,50-164, ,50-168, ,50-17, ,50-176, ,50-180,49 7 Böyle br dağılımda örekler tek tek celemes oldukça zordur. Dağılım üzerde deetm sağlamak amacıyla ve blg kaybıa ede olmada, yukarıda da alatıldığı gb, verler veya ölçümler gruplara (sııflara) ayrılır (bak.örek..6.). Bu sııflarda br dağılımı eğlm göstere sütu dyagramlar elde edlr. Elde edle sütu dağılımıa uyarlaa br eğr dağılım foksyouu meydaa getrr (Şekl.1b ve.6). Bu dağılım foksyou (probablty desty fucto) sürekl ve smetrk (γ = 0) ormal sıklık dağılımııı* gösterr ve * Gauss dağılımı veya çaa bezedğ ç ça eğrs de der. C. F. Gauss ( ) sıklık dağılımı (dstrbuto fucto) lk formüle ede alma matematkçdr.

56 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 55 1 x 1 ( ) f(x) = e 3.1 eştlğ le taımlamaktadır (- <x<+ ; - <µ<+ ; σ>0). Eştlkte brbre bezye (maksmum µ, smetrk döü oktaları µ-σ ve µ+σ) çok sayıda sıklık dağılımı foksyouu buluduğu alaşılmaktadır. Normal dağılım ortalama değerler e sık ve e olası oldukları her yerde dağılım model olarak bekleeblr. Ortalama değer soludak ve sağıdak sapmalar eşt olasılığa sahptr. Arta sapma değer le azalarak daha az olası duruma gderler. Bu özellğ le ormal dağılım statstğ temel oluştura br öeme sahptr. Hata hesaplamaları (bak. 4. kou), stadart sapma gb formüller ve yötemler ormal dağılımı esaslarıa dayamaktadır. Bu edele celee her dağılımı ormal dağılımı gerektrp gerektrmedğ araştırılır (parametrk, dağılıma bağlı veya o parametrk, dağılıma bağlı olmıya, yötemler). Bütü statstksel aalzlerdek lk aa kural öreklemdek ormal dağılımı gerekllğdr. Bu kural y ve güvelr souçlar ç kaçıılmaz br zorululuktur. Br ver kümesdek ormal dağılımı varlığı se, hstogramlarda görüleblr. Bu durumda dağılım eğrs br ça şekldedr. Şekl 3.1. Stadart sapma le eğr ala çerğ arasıdak lşk (Wellmer, 1989).

57 Mühedsler ç statstk ders otları 56 Br ormal dağılıma sahp f(x) eğrs döü oktaları absse yasıtıldığıda bu ekse üzerde µ ortalama değerde tbare tam σ ya karşılık gele değerler elde edlr. Br öreklem stadart sapması bu oluşuma bağlıdır (dağılıma bağlı formül, Şekl 3.1). Bua karşı yüzdelkler gb değşkeler dağılıma bağlı değldr. f(x) foksyouu döü oktalarıdak teğetler x ekse μ±σ da keserler. Br öreğ dağılım foksyouu μ±σ aralığıa (1. döü oktaları) düşme olasılığı % 68,7, μ±σ aralığıa % 95,45 ve μ±3σ aralığıa da % 99,73 tür. Bu oralar ayı zamada verle sıırlar arasıdak alaı eğr altıda kala toplam alaa oraıa karşılık gelr (Şekl 3.1). μ = 0 ve σ =1 durumu ç f(x) dağılım foksyou, f(x) = 1 1 x e şekl alır. Böylece foksyo değşkelerde bağımsız hale gelr ve z = x 3. trasformasyou le f(z) = 1 1 z e 3.3 şekle döüştürülmüş olur. Bu durumdak br foksyo stadardze ormal dağılım der. Bu şekldek foksyolar (z dağılımı) brmsz hale geldkler ç değşk yö-temlerle daha kolay hesaplaırlar. İstatstktek sıama (test) ve tahm ç oldukça öemldr. Yüzdelkler hesaplaması etegral gerektrdğde, zordur. Acak bu, çzelgelerde yarar-laarak, aşılablr. Bazı kayaklar z dağılımı çzelgeler de vermektedr (bak. Schöwese, 199 ve Davd, 1977). z ye stadart değer* der. Br dağılımda her X değere karşılık br x sapma değer belrledğ gb, br z değer de belrleeblr. Stadart değer, z = x /s 3.4 * Merkezleştrlmş ve stadart sapması s = 1 ola verler stadardze edlmş demektr. Stadardzasyo z = x x ( = 1,...,) gb br trasformasyola mümküdür. Stadardze verler brmlere bağlı değl. Dolayısı le s değşk brml verler matematksel şlemes mümkü olur.

58 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 57 eştlğ le taımlaır ve buula sapma değerler stadart değerlere çevrlr. Öreğ, x = X - x değer ç z = x /s stadart değer buluur. Örek 3.1 Ortalama değer x = 5 ve s= ola br dağılımdak X =7 ölçümü hag stadart değere karşılık gelr? Çözüm: z = x /s = (X - x ) / = (7 5) / = / = +1 buluur (1. döü oktası =1stadart sapma). Burada x = x +s değere karşılık geldğ ç 1 değer, toleras ölçüsü, elde edlmştr. Ya ortalama değerde br stadart sapma kadar büyük değerler stadart değer 1 dr. Buu gb s kadar büyük ola değerler stadart değerler, 3s kadar büyük olaları da 3 tür. Ayı souçlar stadart sapmada küçük -1, - ve -3 değerler ç de geçerldr. Ortalama değere eşt (x = x ) br değer stadart değer se, 0 dır. Öreğ, z = x /s = [x - x ]/s = [ x - x ]/s = 0/s = 0 Bu edele stadart ça eğrs 0 a (y ekse) göre smetrk verlr (bak. Şekl 3.). Görüldüğü gb stadart ça eğrs değşkeler ormal ça eğrs değşkelerde farklı olmaktadır. Stadardze edlmemş ça eğrs döü oktaları μ±σ, μ±σ ve μ±3σ ke, stadart ça eğrsde ±1, ± ve ±3 olmaktadır. Ortalama değer stadart değer 0 dır. Bu edele stadart ça ağrs ölçümler yere bu değerlerle taımlaır ve bu sayede ormal ça eğrsde ayırdedlr. x 1 y 1 ( ) Sıklık dağılımı foksyou, F(x )= e dy 3.5

59 Mühedsler ç statstk ders otları 58 şeklyle doğrusal ve etegrale bezye dağılım toplamıı verr (brkml toplam, Şekl 3.). Bu dağılım olasılık kağıdıda özel br dağılımla br doğruya döüştürülür ve hesaplamaları deetmde kullaılır. Olasılık kağıdıı abss doğrusal, ordatı se, 3.5 eştlğe göre düzelemştr. Bu yaklaşık doğruu başka özellklerde br de F(-1) = 0,84 ve F(+1) = 0,16 olmasıdır. Burada 0,84-0,16 = 0,68 elde edlr. Bu, eğr altıdak alaı µ-σ ve µ+σ sıırları arasıda kala kısmıdır. Yukarıda da belrtldğ gb ormal dağılım smetrk olduğuda, brçok özel duruma sahptr. Öreğ, Ortalama değer μ = ortaca = tepe değer (1. momet). Değşke σ (. momet), Kayma g = 0 (3. momet) ve Basıklık e =3 tür (4. momet) gb. Şekl 3.. Gauss ça eğrs bazı değşkeler ve olasılık kağıdıa döüştürülmes (Wellmer, 1989). Dağılım doğrusua Haza Doğrusu der.

60 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 59 μ değşke olasılık sıklık dağılımıda değerler abss üzerde sağa veya sola kayarak kaymayı (g, kayma), σ da ordat boyuca ortalama değer μ etrafıda yoğulaşıp seyrelerek basıklığı (e, svr/yassılık) meydaa getrr. y z x Şekl 3.3. İdeal smetrk, boyutlu dağılım yüzey perspektf. (Sachs, 1984, değştrlmştr). Alıştırma 3.1 { } aalz souçlarıı (=0), a) Artmetk (4,95), geometrk ve harmok ortalamalarıı, b) Stadart sapmasıı (16,40), değşke, kayma ve basıklığıı, c) Tepe değer (36) ve ortacasıı (40) hesaplayıız, d) Sıklık dağılımıı çzz ve e) Brkml dağılımıı olasılık kağıdıda değşkeler le gösterz (paratezde yaıtlar). 3.3 Brkml ormal dağılım Br dağılımı kes sağlaması acak matematksel sıamalarla (testlerle), öreğ χ (k kare, bak veya Kolmogoroff-Smrow) sıaması le, sağlaablr. Burada bu koulara geş yer ayırmak bu otları kapsamıı aşacağıda, uygulamadak yaklaşık grafk deetm le yetlecektr. Grafkle çözüm pyasada satıla olasılık kağıdı le yapılır (Şekl 3.). Olasılık ağı veya kağıdı ça eğrs veya br ormal dağılımı br doğru şekl alacağı br x-y dyagramıdır. y ekse

61 Mühedsler ç statstk ders otları 60 bua göre bölümüştür. Acak x ekse doğrusaldır. Gerektğde logartmk de yapılablr. Bu ağla ormal dağılımları doğruluğu sağlaır. Bu edele brkml sıklık dağılımı ölçüm souçlarıı düzelemesde sora hesaplaır. Buu ç bu ağı absse özellk sııfı üst sıırları x, ordatıa da buları brkml sıklığı h kaydedlr (Örek.6 ve 3.). Sııfları görecel değerler, e küçük değerde başlamak üzere, her sııf ç ayrı ayrı toplaır. Bua göre brkml sıklık, özellk sııflarıı üst sıır değerlerde küçük veya bulara eşt değerler toplamıdır. Buu dağılım foksyoua brkml sıklık dağılım foksyou der (bak. eştlk 3.5). Bu dağılımı foksyou ormal dağılım halde br doğru verr (Haza Doğrusu). Aks durumlarda foksyo kırık çzg şeklde görülür. Doğruu çzm sırasıda başlagıç ve btş kısımları büyük öem taşımaz. Acak % 50 cvarıı br doğru çıkması belrleycdr. Grafkte ayrıca şu değerler okuablr: a) % 50 değerde absse çzle paralel doğruyu kestğ oktada absse le dk, doğruu abss kestğ okta ortacayı veya artmetk ortalamayı, b) % 16 ve % 84 oktalarıda ayı şeklde absse çzle paraleller doğruyu kestğ oktada absse le dkler de abss üzerde µ±σ oktalarıı, ya stadart sapmayı veya toleras ölçüsü 1 y, verr (Şekl 3.). x sadece bu aralık ç geçerldr. Bu k sıır arasıda kala ala tüm aalz değerler % 68,6 sıa karşılık gelr. Böylece elde edle br brkml sıklık dağılım doğrusua ortaca oktasıda bakıldığıda, stadart sapmaı, veya s, brkaç kat dlmlerde oluştuğu görülür. Doğruu eğm arta stadart sapma le azalır ve uc kısımlar çoğu kez uyumda soru yaratır. Acak bu araçla gerçek dağılımları grafklerle karşılaştırılması mümkü olmakta ve öeml değşkeler doğruda okuablmektedr. Dağılımı doğru vermemes durumuda heteroje br öreklem, başka dağılımları mevcut olableceğ veya değerler bell ölçüde kaydırılması gerektğ üzerde durmak gerekr. Böyle br durumda geelde logartmk dağılım söz kousu olur. Brkml dağılım doğrusuu şeklde öreklem hakkıda öeml blgler edleblr. Öreğ, brkaç parçada oluşa br kırık haza doğrusu, saf olmıya, brkaç popülasyoa at br örekleme şarettr. Bu durumda her popülasyou ayrı ayrı çözülmes ve celemes gerekr. Bu da acak büyük örek sayısı ç br alam taşır. Br öreklemde brde fazla ve açıkça

62 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 61 farklı dağılımları buluması, bu değerler br aa kütleye at olmadığıı ve buu ç de br ortalama değer hesaplaamıyacağı alamıa gelr. Ordatı doğrusal bölümes durumuda foksyo, etegral şaret şeklde br eğr verr (Şekl 3. ve 3.4b). Bu eğr kıvrım dereces stadart sapmaı büyüklüğüe bağlıdır. Doğru, ortaca ya (% 50) göre smetrktr. 0 ve % 100 oktaları, y eksee asmtot olarak yaklaştıklarıda, sosuza yöelrler ( ). Uygulamada bu uc değerler öeml görülmez ve çok eder durumlarda, öreğ, uc değerler elme dlmes durumuda, yararlaılır. 3.4 Logartmk ormal dağılım (lognd) Asmetrk br ormal dağılım, özellkle öreklem br poztf eğme sahp olması durumuda, logartmk ormal dağılım şeklde görülür. Logartmk dağılıma Galto dağılımı da der. Bu dağılım, özellkle geş yayılım aralıklarıa sahp, brkaç o veya yüz kat değşe, dağılımlara uygulaır. Acak bu yötemle büyük ve küçük değerler görecel değşmler ayı derecede açıkça gösterleblr. Br ormal dağılımı basıklık (e<0, platkurtk) ve svrlk (e>0, leptokurtk) özellkler baze örek sayısıı arttırılması le gderleblmese karşı, kayma etklememektedr. Bu, basıklığı sıkça rastlatısal br öreklem etke olduğuu, bua karşı kaymaı alamlı br etke olduğuu gösterr. Bu durumlar uygulamada acak logartmk dağılım modeller le açıklaablmektedr. Logartmk ormal olasılık ve yoğuluk foksyoları, 1 l x 1 ( ) f(x) = e 3.6 F(x)= 1 l y) 1 x 1 ( ). e dy 3.7 y şekldedr (x>0). Logartmk dağılımı e belrg şaret, sııflara ayrılmış brkml br öreklem yüzde değerler olasılık kağıdıda ortalama değer sağıdak değerler soludaklere orala daha yatay br durum göstermesdr. Abssler logartmk bölümüş olasılık kağıtları pyasada satılmaktadır. Buradak logartmk dağılımı, doğal logartma (l) olduğu uutulmamalıdır. Baze 10 tabaıa göre logartma, doğal logartmaya göre daha y

63 Mühedsler ç statstk ders otları 6 yaklaşık değerler vereblr. Bu durumda yukarıdak deklemlerde sadece l yere log u yazılması yeterldr. Bua ek olarak µ ve σ yere z yazılarak, yukarıda olduğu gb, deklemler geelleştrleblr. Logartmk dağılım değşkeler hesaplaması daha karışıktır* (Wellmer, 1989). Uygulamada br logartmk dağılımı beklemes durumuda ölçüm veya aalz değerler logartmaları alıır. Çevrle bu değerlerde acak ortalama ve stadart sapma değerler hesaplaır, lgl çzelgeler, öreğ z dağılım çzelges, kullaır ve karşılaştırmalar gerçekleştrlr. Logartmk ormal dağılımı stadart sapması temel değerler geometrk ortalamaya oraıdır, ormal dağılımdak gb sapmaları ortalama değer değldr. Değşke Formül Ortalama değer µ L = e 3.10 Ortaca µ ol = e 3.11 Tepe değer Değşke µ tl = e σ = e ( )( e 1) Kayma γ = ( e ) e Basıklık η = Logartmk dağılımı öem blm dallarıa göre değşmektedr. Öreğ, yerblmlerde çok öemldr. Bu edele Ahres (1954) ve Rodoov a (1964) magmatk kayaçlardak logartmk ormal dağılımı jeokmyaı temel yasası olarak taımlamaktadırlar. Yukarıda da değldğ gb, düşük ver ormal dağılımları ağırlıkta olmaktadır. Jeolojde, öreğ, haff şddettek depremler, kuvvetllerde daha sık meydaa gelmektedr. Rüzgar hızı ve yağış dağılımı da bua bezer ve geellkle logartmk dağılım suarlar. Aslıda bu dağılımlar derşme de bağlıdır. Öreğ, orgaları bleşe dağılımı, vücuttak bleşe dağılımıı da belrlemektedr. Örek 3. İçme suyuda ormal ve logartmk ormal (log ormal) demr (Fe) dağılımı. * log a.l 10 = l a (l 10 =,306); l a.log e = log a (log e = 0,4343) veya log 10 x = log e x/log e 10 = lx/l10 = lx/,306 dır.

64 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 63 Verler Derşm: ppm [g/t] Fe : { } log ppm Fe: {1,04-1,08-1,15-0,30-1,15-1,3-1,70-1,54-0,78-1,38-1,08-1,40-1,6-0,48-0,78-1,60-0,95-0,60-0,70-0,60-0,00} Çözüm: Değerler dağılım sıırları R= x max -x m = 50-1 = 49 ppm Fe de sııf aralığı, f =R /, (=1+1/log.log ) =R/1+3,3.log =49/(1+3,3 log 1) =49/(1+3,3.1,3) = 49/5,39 =9,09 ppm 9 ppm buluur (bak. aşağıdak çzelge ve şekl). Ayı şeklde f log Fe = 0,3 elde edlr. Normal dağılım Logartmk dağılım Frekas [%] Sıklık Brkml sık. [%] Frekas [log %] Sıklık Brkml sık. [%] f f h h f f h h <9 9 0,43 4,86 <0,3 9,5 9, ,33 76,19 0,3-0, ,9 3, ,09 85,7 0,64-0, ,05 4, ,05 90,48 0,96-1,8 7 33,33 76, ,05 95,4 1,8-1, ,05 95,3 >45 1 0,05 100,00 >1,60 1 4,76 100,00 Toplam 1 1,00 100, ,00 100,00 Sayısal dağılım kuvvetl poztf eğmlyle sağa kaymakta ve br düşük değerl ver tp göstermektedr (Şekl 3.a). Ayı değerler brkml log dağılımları etegral ve doğru şekller le ormal dağılımı pekştrmektedr (Şekl 3.b ve d). Brbrlere çok yakı tepe değer (1,1), ortaca 1,08 ve ortalama değer (1,00) de bu savı desteklemektedr. Yassılık (kurtoss) e<3 (1,34) olduğuda, dağılım ormal dağılımda daha yassıdır. Bua göre Fe, brkaç kayakta gelmektedr (kayaç, saay v. s.).

65 Sıklık, % Brkml log sıklık, % Sıklık, % Sıklık, % Brkml sıklık, % Mühedsler ç statstk ders otları a Sıır değerler, ppm Fe b 0,3 0,64 0,96 1,8 1,60 1,9 Sıır değerler, log ppm Fe c 0 0,3 0,64 0,96 1,8 1,60 1,9 Sıır değerler, log ppm Fe d 1 0 0,4 0,8 1, 1,6,4 Sıır değerler, log ppm Fe Örek 3. değerler sıklık dağılım şekller: a, Görecel sıklık (x t =4, x o =1 ve x =15 ppm Fe dr), b, logartmk ve brkml logartmk sıklık dağılımı (bak. d), c, Sıklık dağılımıı (b) çzgsel görüümü ve d, log brkml dağılım. 3.5 Bom dağılımı (BD) Nede doğal dağılımları ormal veya logartmk ormal dağılım gösterdklere veya bu dağılım şekllere uyduklarıa lşk herhag br blmsel esas bulumamaktadır. Acak deeymler bu dağılımlarla verler celemes yararlı souçlar verdğ görülmüştür. Buları dışıdak dağılım modeller de, öreğ, bom* veya Berul dağılımı da öeml rol oyarlar. Dolayısı le burada kuramsal esasları celemyecektr. Bom ve Posso dağılımları süreksz, ormal, logartmk, studet-t, F ve k kare dağılımları se, sürekl dağılımlardır. * Latce b, k; om, sm demektr.

66 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 65 Bom dağılımı, br olayı olasılığıı bağımsız rastlatısal deemede keslkle k=x kadar olası-lıkla gerçekleşeceğ taımlar. Ya br zarla 6 atma şası her zama ç 1/6 dır. Daha öce 6 ı atılıp atılmaması hç öeml değl. Bom dağılımıda başarı, p = 1/6, ve başarısızlık, q = 5/6 dkkate alıır. Burada, p+q = 1/6+5/6 =1 elde edlr. Geel olarak bom dağılımı, P B =.p x.q -x 3.8 x şeklde formüle edlmektedr (Wellmer, 1989). Burada, x, başarı (gerçekleşme) olasılığı;, deeme sayısıdır (olası olasılık). x ve kombasyou, = x ( 1)( )...( x 1) x 3.9! = x!( x)! 3.10 demektr. Bu so terme göre bom katsayıları hesaplaır. Dağılım ve p parametrelere sahptr. q ked başıa br parametre değldr (q=1-p). Buu brkml dağılım foksyou, şekldedr. x F, p (x ) = k 1 p k.q -k 3.11 k Görüldüğü gb bom dağılımıda verler başarı ve başarısızlık olarak grup halde ele alımak-tadır. Öreğ, br malı veya hzmet kaltes y (başarı) ve kötü (başarısızlık) olarak celeeblr. Doğada bazı dağılımlar bu modele uymaktadır. Örek olarak jeolojde

67 Mühedsler ç statstk ders otları 66 latertk bokstlerle latertk olmaya bokstler (Al yatakları) verleblr. Latertk bokstlerde Hf/Zr oraı bomal dağılım modele uymaktadır. Dağılım tpde bokst latertk olup olmadığı alaşılablr (Schroll, 1976). Acak verler brbrde bağımsız olacaklar. Bom dağılımıı değşkeler hesaplamasıda kullaıla eştlkler aşağıda verlmştr (Schöwese, 199): Ortalama değer µ = p 3.1 Ortaca µ o = p, eğer p tam sayı se, yoksa oda sorak sayı 3.13 Tepe değer µ t = (+1)p ve (+1)q 3.14 Değşke σ = pq 3.15 Kayma γ = (q-p)/σ = (q-p)/ pq 3.16 Basıklık η = (1-6pq)/σ = (1-6pq)/pq 3.17 Bom dağılımı daha çok rastlatısal olayları kombasyouda kullaılır. Sıama ve kuramsal uygulaması ederdr. Yerblmlerde düzesz verler celemesde ve uygu örek büyüklüğüü tae boyua göre seçlmesde yararlaılır. p=0,5 ç smetrk br şekl ala bom dağılımı, ormal dağılıma çok y yaklaşır. Bu durumda dağılım eştlğ, P B (p=0,5) = / 3.18 x ormlamış olur (ayrıtı ç bak. öreğ, Arıcı, 001, Schöwese, 199 ve Wellmer, 1989). ve p değşkelere bağlı olarak bom dağılımıı asıl değştğ Şekl 3.4 göstermektedr. Öreğ, x=0, P B,p (x)=p B 6; 0,5 = 0 6.0,5 0.0,5 6-0 = 0,0156 dır.

68 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 67 f(x) 0,5 0,4 p=0,1 p=0,3 p=0,5 0,3 0, 0, x Şekl 3.4. p ve değşkelere göre bom dağılımıı değşm. p=0,5 ç dağılım ormale yaklaşır. Örek 3.3 Br yerdek deprem meydaa gelme yıllık olasılığı % 10 dur. Buu 10 yılda, a) 3 kez gerçekleşme olasılığı ve b) E çok 3 kez gerçekleşme olasılığı edr? Çözüm. a) x = 3, = 10 ve p = % 10 = 0,10 dur. Bua göre, P B =.p x.q -x x = ( 10 3) 0,10 3.0, = 10! 3.0,10.0,90 3!(10 3)! 7 buluur =.0,001.0, = = 10.47, = 5739, = 0,057 % 6.47,83.10

69 Mühedsler ç statstk ders otları 68 b) k=0, 1, ve 3; =10 ve p=0,10 dur. Bua göre, x P B = k 1 p k.q -k k = ( 10 0)0, , ( 10 1)0,1 1. 0,9 9 + ( 10 )0,1. 0,9 8 + ( 10 3)0,1 3. 0,9 7 = 0, , , ,057 = 0, 987 % 99 çıkar. Bu, % 99 olasılıkla gelecek 10 yılda e çok 3 deprem olablr demektr veya hç olmaz. Alıştırma 3. Br tedav yötem hastalarda % 60 ya etks görülmye olumlu soucu vermektedr. Bua karşı hastaları % 0 de ağır ya etk bırakmaktadır. Bua göre 100 hastaı tedavsde, de fazla hasta üzerde başarı olasılığı edr? (Y: % 97,9). 0 hastada ağır ya etk bırakma olasılığıı buluuz. (Y: % 55,95) de az hastada görülmye ya etk olasılığı edr? (Y: % 99,99) 3. 6 Posso dağılımı (PD) Posso* dağılımı, bom dağılımıı = ve p = 0 durumuda ortaya çıka br dağılımdır. =100 ve p=0,05 te tbare, ya gerçekleşme olsılığı oldukça düşük olaylarda, bom dağılımı yere posso dağılımı kullaılır. Çükü bom dağılımıda >10 ve küçük p değerler ç hesaplamalar oldukça zorlaşır. Posso dağılımıda blmsel araştırma, plalama *S. D. Posso ( ), frasız matematkçse atfe posso [puaso] dağılımı.

70 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 69 ve bazı eder dağılım le elektrk alaıda mpuls celemesde yaygı br şeklde yararlaılmaktadır. Yer blmlerde bu tür dağılımlara, deprem, taşkılık, fırtıa ve volka püskürmes gb, sık sık rastlaır. Posso dağılımıı e öeml üstülüğü olasılık sıklık dağılım ve dağılım foksyolarıı bast olmasıdır. Bular, e. x f(x) = (x>0) 3.19 x! k x e. ve F(x ) = 3.0 k 1 k! eştlkler le fade edlrler. Bu dağılımda hem ortalama değer, hem de değşke ola λ, tek para-metredr. Posso dağılımı değşkeler hesaplamasıda kullaıla eştlkler şulardır: Ortalama değer µ = λ = p (λ: gerçekleşe, x: beklee olasılıktır) 3.1 Ortaca µ o = µ, µ tam sayı se; yoksa eğme göre, oda sorak tam sayı 3. Tepe değer µ t = µ ve (µ-1), µ tam sayı se, yoksa z< µ koşulu le e büyük sayı 3.3 Değşke σ = µ 3.4 Kayma γ = 1/ 3.5 Basıklık η = 1/ µ 3.6 Posso dağılımı, f(x)/f(x+1) oraıı x e bağlı olarak br doğru vermes le saptaır. Şekl 3.5 te λ = 0,5, 1 ve ç sıklık dağılımları verlmştr. Büyük ortalama değerler ç dağılımlar eşdeğer duruma gelr (ormal dağılıma yaklaşır). f(x) 0,6 0,5 0,4 λ= 0,5 λ = 1 λ = 0,3 0, 0, x Şekl 3.5: Posso dağılımıda ortalama değer λ ya göre dağılımı değşm.

71 Mühedsler ç statstk ders otları 70 Örek 3.4 Br olayı, öreğ, sel baskııı, yıllık gerçekleşme olasılığı 0,03 tür (% 3). Böyle br olayı gelecek 100 yılda 5 kez gerçekleşme olasılığı edr? Çözüm: p = 0,03 ve = 100; buluur (bak. 3.1). Bua göre, elde edlr. λ = p de, = 0, = 3 X e. P p = x! 3 5 e.3 = 5! 5 3 = 3 e.5! 43 = 3,718.( ) 43 = 0, = 409,6 = 0,1008 = 0,101 % 10,1 Alıştırma 3.3 Mers dek br sgorta şrkete sgortalaa mbüsler salı gülerdek ortalama kaza sayısı 5 olduğua göre, a) 7 mbüsü kaza yapma olasılığı % kaçtır (Y: %10,44) b) Hçbr kaza yapmama olasılığı edr? (Y: % 0,7)

72 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb Dğer dağılım şekller Yukarıda celee dağılımları yaıda özel durumlar ç, sıama ve kuramsal deetm amaçlı çok sayıda dağılım şekl bulumaktadır. Studet-t, Fsher F, k kare (χ ) ve üstel dağılımlar buları bazılarıdır. Bular burada kuramsal dağılım akbul edldklerde, sık kullaılaları aşağıda sıama yötemlerde öce (bak. kou 4-6) kısaca taıtılacaktır Studet-t dağılımı (td) Normal dağılım gb sürekl br dağılımdır. Tahm ve sıama kuramlarıda öeml rol oyıya ve örek sayısıı 1 eksğ (-1) ola serbestlk dereces (F) dye adladırıla br tek değşkee sahptr. td dağılımıı eştlğ oldukça karışıktır. Acak örek sayısıı artması le, >30 da tbare, ormal dağılıma yaklaşması edeyle de çok yararlaılmaktadır (Şekl 3.6). Özellkle tez sıamalarıda vazgeçlmez kuramsal üstülükler sağlamaktadır. Studet-t dağılımıı olasılık sık-lık dağılımı, f (t) = şeklde formüle edlmektedr. Burada (gamma), sd1 (( sd 1) / ) t (1 ). sd sd / sd 3.7 = x 1! lm x( x 1)( x )...( x 1) 3.8 alıır. Buu dağılım foksyou da, t F (t) = f td ( y) dy 3.9 şekldedr. Bu dağılımı F = 4 ç, x = tepe = ortaca = 0, = F/F- ve = 0 dır,. Bu karışık eştlğ edeyle td, öcelkle az sayıda örekte oluşa ormal dağılımları celemesde, öreğ, tez sıamasıda (ortalama değerler karşılaştırılması) ve geçerllk sıır-larıı bulumasıda kullaılır (td dağılımı ek 3.1 de verlmştr).

73 Mühedsler ç statstk ders otları 7 Şekl 3.6. Serbestlk dereces F ye göre değşe studet-t dağılımı olasılık yoğuluk foksyou (z dağılımı kalı çzlmştr). Br öreklem ölçüler ola ortalama değerler, tepe değer, ortaca ve stadart sapma le değşke güve sıırları, ya değer bell br keslk dereces le geçerl olduğu aralık, l (= level; güve aralığı, bak. kou 4) arasıda bulua değerlerdr. Öreğ, az sayıdak örekler ortalama değer ç güve sıırlarıı bulumasıda td dağılımıda yararlaılır. Buu ç kullaıla geel eştlk, x t.s 3.30 le fade edlr. Ortaca x o, stadart sapma s ve değşke s ç de, keslk derecelere bağlı olarak, bezer eştlkler kullaılmaktadır. Örek 3.5 Alıştırma 3.1 de ortalama değer x, =0, x =4,95 ve s=16,40 dır. Bua göre % 95 olasılıkla güve sıırları kolaylıkla Çzelge 3.1 de F=19 a karşılık gele t=,093 yardımı le hesaplaablr: Bua göre güve aralığı l,,093 l = 4,9516,40. 0

74 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 73 = 4,95 4,69 buluur. Burada l, 4,95-4,69<l<4,95+4,69 38,6<l<47,64 güve aralığıı kapsadığı görülür. Araştırmalarda, k öreklem ayırdedlmes, buları ks ayı aa kütleye at olup olmadı-ğıı araştırılması oldukça öemldr. Ayı şeklde br temel varsayımı deeymlere dayaa A souçları ve kuramsal olasılık dağılımı B le sıaması da büyük öem taşır. Buu ç statstk çeştl sıama (test) yötemler kullaımıı hzmete sumaktadır. Studet-t sıaması da bu yötemlerde brdr. Studet-t sıaması le aa kütle ortalamaları μ 1 ve μ karşılaştırılması amacı le yapılır. Bu amaçla öreklemler ortalama değerler x 1 ve x de yararlaılarak ayı aa kütleye at olup olmadıkları sağlaır (H o : x1 x varsayımı savuulur, bak. ayrıca kou 6). Buu ç Çzelge 3.1 de yararlaılarak örekler eşt olması durumuda, eştlğde (F=-); eşt olmaması durumuda da, t= t= 1 ) ( x 1 x 3.31 s 1 s x1 x 1. sˆ 1 eştlğde t değerler hesaplaır. Acak burada öce tahm stadart sapma ŝ hesaplaması lazım: ŝ, 3.3 ŝ = ( 1 1) s 1 1 ( 1) s değere eşttr. Kuramsal dağılımlarda ŝ = σ ye eşttr (, örek sayısıı gösterr). 3.33

75 Mühedsler ç statstk ders otları 74 Örek 3.6 İk komşu semtte elektrk kestler ortalama x süreler, Semt Ölçüm sayısı x [h] s s A 166,31 0,95 0,90 B 4 1,63 0,70 0,49 şekldedr. Savlar, H o : Kestler ayı etkede kayaklaıyor, H 1 : Kestler farklı etkede kayaklaıyorlar. demektedr. Çözüm: Eştlk 3.3 ve 3.33 te, ŝ 165.0,90 3.0,49 = 0, 67, ŝ = 0,8 ve,311, t = 8, 10 0, buluur. Çzelge 3.1 de, >100 ve P = % 99 da t 99, >100 =,60 okuur. t de (8,1) > t kur (,60)* olduğuda, kestler (sapmalar) ayı etkede kayaklamıyor (H o : red). Olasılık P= % 99 alıdığıda, fark alamlı olablr. Bu edele t 95 <t<t 99 ç sapmalar muhtemele alamlıdır der. * t de : t deeysel (hesaplaa değer); t kur : t kuramsal (çzelge değer) demektr.

76 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 75 Çzelge 3.1. Studeet-t dağılımı (sıaması) değerler. P, olasılık [%], F, serbestlk dereces (bak. ayrıca Ek 9.). F P 95 P 99 F P 95 P 99 F P 95 P ,71 63,66 13,16 3,01 30,04,75 4,30 9,9 14,14,98 40,0,70 3 3,18 5,84 15,13,95 50,01,67 4,78 4,60 16,1,9 60,00,66 5,57 4,03 17,11,90 70,00,65 6,45 3,71 18,10, ,99,64 7,36 3,50 19,09, ,99,64 8,31 3,36 0,09, ,99,63 9,6 3,5,07, ,98,61 10,3 3,17 4,06, ,97,60 11,0 3,11 6,06, ,97,60 1,18 3,06 8,05, ,96,58 Alıştırma 3.4 Aşağıdak A ve B mıkatıs grupları süseptblteler [Am kg -1 ] ortalama değerler karşılaştırarak studet-t yötemyle farklı olup olmadıklarıı gösterz (P = % 95; H o : x1 x, H 1 : x1 x ). A grubu: {87,4 93,4 96,8 86,1 96,4} A =5. B grubu: {106, 10, 105,7 93,4 95,0 97,0}, B =6. (Y: t= < 5 ve farklı) Bulara ek olarak gözlem sayısıda elde edle x de değerler xkur değer le karşılaştırılır. x x1, Buu ç, t= 1 s formülü kullaılır ve ayı şeklde Çzelge 3.1 de yararlaarak değerledrlr Fsher (F) dağılımı (FD) Yukarıda alatıla yötemler yaıda F dağılımı da statstkte tahm ve sıama yötemlerde büyük öem taşıır. Bu yötem de studet-t dağılımı gb sürekl br dağılımdır ve serbestlk dereceler edeyle, 1 ve, değşkee sahptr. Şmdye kadar celee yötemler e karmaşığıdır. Bu dağılımı olasılık yoğuluk foksyou,

77 Mühedsler ç statstk ders otları 76 f(x) = sd1 sd sd / sd / 1 sd sd 1 sd1 sd x sd1 sd 1 sd 1 x sd1 sd 3.35 olarak taımlamaktadır (x>0 ç). Gamma foksyou td dak değeryle ayıdır. Buu dağılım foksyou, x F(x)= f ( y) FD dy le fade edlr. Bu dağılımı temel taımıa göre, χ (k kare) dağılımıa göre dağılmış ve bağımsız u ve v rastlatısal değşkeler (u/v).(f /F 1 ) şeklde FD a uyarlar. Yüzdelkler hesaplamasıda ve çeştl sıamalarda yararlaıla F dağılımıı ortalama değer =F /(F - ) dr. Dğer değşkeler serbestlk derecelere bağlı ve daha karmaşıktır. F değşke olasılık yoğuluk foksyou grfkler Şekl 3.7 de görülmektedr (F değerler ç bak. Çzelge 3.). Şekl 3.7. Serbestlk dereces F kombasyolarıa göre F dağılımı foksyou. Değşke veya stadart sapmaları karşılaştırılması le ver kümeler arasıdak bezerlk veya ayrıcalıkları saptamasıda F dağılımıda veya F sıamasıda (F test) yararlaılır. Buu ç dağılımları ormal dağıldıkları ve ayı değşkelere sahp oldukları tez savuulur. Bu da örek değşkes Q = büyük ŝ değer/ küçük ŝ değer le sıaır. Bu oraı büyüklüğüe göre öreklemler farklı aa kütlelerde gelme olasılığı artar. Kes br souç acak Çzelge 3. de F 1 ve F değerlere göre okua F değer Q değer le karşılaştırılmasıda elde edlr. Değşkeler arasıdak fark acak hesaplaa Q de değer çzelgede okua F kur değerde büyük çıkması halde alamlıdır (bak. Örek 3.7).

78 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 77 Örek 3.7 Örek 3,6 dak verler değşkeler farklılıklarıı % 95 olasılıkla karşılaştırılması: s ˆ A 0,90, s ˆ B 0,49 da, Q de = sˆ sˆ F A F 1 B = 0, ,49 3 0, 0055 = 0, 00 =,50 buluur. Çzelge 3. de, P=%95 olasılık derecese ve F 1 =165, F =3 e göre F kur, F 165; 3; 0,95 = 1 alıarak Q de (,50)>F kur (1,00) olduğu ve H o ı reddedldğ görülür. Bu fark alamlıdır (bak. 3.7.). Alıştırma 3.5 Alıştırma 3.4 tek değerler değşkeler F sıaması le (P=%95) karşılaştırıız. (Y: F=9,36 ve fark alamlı değl, Q < F).

79 Küçük s Değerler ç Serbestlk Dereces sayısı Mühedsler ç statstk ders otları 78 Çzelge 3.: P = 0,95 olasılığı ç F- Sedecor sıaması değerler (P = 0,99 ç bak. Ek 7. ve 7.3). Büyük s değerler ç serbestlk dereces sayısı ,5 19,0 19, 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 3 10,1 9,6 9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,3 6,1 6,0 5,8 5,7 5,6 5 6,6 5,8 5,4 5, 5,1 4,9 4,7 4,6 4,4 4,4 7 5,6 4,7 4,4 4,1 4,0 3,8 3,6 3,4 3,3 3, 10 5,0 4,1 3,7 3,5 3,3 3,1 3,0,8,6,5 14 4,6 3,7 3,3 3,1 3,0,8,6,4,,1 0 4,4 3,5 3,1,9,7,5,4,1,0 1,8 50 4,0 3,,8,6,4,,0 1,8 1,6 1, ,8 3,0,6,4,,0 1,8 1,6 1,4 1, K kare (χ ) dağılımı K kare sıama yötem aa kütle özellkler dağılımları hakkıda hçbr koşul gerektrmye br evresel sıama yötemdr (Şekl 3.8). Acak bu yötem sadece sııfladırılmamış değşkelere uygulamak-tadır. Buda farklı göstergeler olması durumuda br sııfladırma le gerekl sııfladırma tp yapılarak soru aşılır. K kare yötem, a) Br gözleme dayaa veya deeysel dağılımı br kuramsal dağılıma, öreğ, ormal dağılıma, uyumu ve b) Br öreklem özellkler arasıda br lşk buluup bulumadığıı celemes ç kullaılır.

80 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 79 Şekl 3.8. χ olasılık dağılımıı F serbestlk derecelere göre olasılık yoğuluk foksyou. Bu çok kullaışlı yötem, aşağıda br örekle açıklaacaktır: Örek 3.8 a) şıkkıa örek olarak br blgsayarcıı araba, cep telefou ve teret kullaımı celemes verleblr: 3 araç çeşd de ormal dağılmış olmasıa karşı blgsayarcı, araç çeştler ayı sıklıkla dağılmadığıı savumaktadır. Bua göre, 1. H o varsayımı: 3 araç türü de ayı sıklıkta dağılmıştır. H 1 varsayımı: 3 araç türü ayı sıklıkta dağılmamıştır.. Alamlılık düzey α = 0,05 verlmştr. Blgsayarcı rastlatısal olarak 600 aracı ele alır ve öreklem, 180 arabayı, 186 cep telefouu ve 34 teret bağlatısıı kapsadığıı görür. Öreklem araç dağılımı H o da savuulduğu gb eşt dağılmış mıdır? H o varsayımıa göre 3 araç çeşd oraları eşt olması lazımdır. Acak celee araçlar br öreklem olduğuda, aa kütley oluştura araç çeştler le ayı dağılımı göstermes olaak-

81 Mühedsler ç statstk ders otları 80 sızdır. Farkları da H o ı kabul edecek kadar büyük olmaması gerekr. H o varsayımıa göre öreklemde her araç çeşdde 00 adet buluması bekler. Bua göre araba ç, = 14 tae araba farkı H o varsayımıı reddetmeye yeter m? Çözüm ç her özellğ gözlee sıklığı g le beklee sıklığı b (frekaslar) arasıdak farkları buluması gerekr (bak. aşağıdak verler). Arta örek sayısıa bağlı olarak, H o varsayımı reddedlecek şeklde, farkları büyüme olasılıkları da artar. Bu edele farklar, b ye bölümek suretyle, stadardze edlr. Böylece sadece br değer farkı değl, tüm değerler farkları şlem ç öem kazaır. Bu arada brbr sıfırlıya ve yalış souca ede olacak poztf ve egatf farklar ortaya çıkar. Bu edele farkları kareler alıması ve toplaması gerekr. Bu şlemler souda k kare sıamasıı sıama büyüklüğü χ, χ k 1 ( g b ) b 3.37 elde edlr (bak. aşağıdak ver çzelges). Verler: g b g g /b , , ,78 k 1 k = ,76 k 1 k = -600,00 χ = 8,76 K kare büyük değer öreklem gözlem veya deeysel souçlara dayaa dağılımıı, H o le fade edle şekl, kuramsal dağılımda uzaklaştığıı br belrtsdr. Bu durumda H o varsayımı reddedlr. Buradak örek ç hesaplaa χ, χ de= 8,76 değere karşılık gelecek krtk çzelge değer okuyablmek ç serbestlk dereces F ye gereksm vardır. Bu örekte F=3-1= dr. Bua göre sıama değer χ kur, χ ;0,05 =5,99

82 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 81 olarak okuur (Çzelge 3.3). χ de = 8,76 >5,99 olduğuda, fark α =0,05 ç alamlıdır ve kest süreler ayı orada dağıldıklarıa lşk H o varsayımı reddedlr. Bua göre kestler ayı sıklıkta dağılmamıştır. Acak α = 0,01 alıdığıda χ çzelgesde F = ç, χ kur = 9,1 buluur. χ de (8,76) < χ kur (9,1) çıktığıda, H o varsayımı kabul edlr. Alamlılık düzey α = 0,01 değer, yapıla her 100 deey acak 1 de böyle br souca rastlamaı umulduğu alamıa gelr. Bu da çok düşük br olasılıktır. Bu dağılımlarla sadece yukarıda verle öreklerdek değşkeler karşılaştırılmıyor. Ortaca, tepe değer, kayma ve basıklık da sıaablr. 6. kouda da burada alatılalara ek ayrıtılı blgler verlecektr. Bu açıklaa çeştlere ek olarak Webull ve Kolmogorov-Smrov gb özel dağılımlar sayılablr. Gereksm duyaları bu koudak özel statstk kayaklarıa başvurmaları salık verlr (bak. kayakça). Çzelge 3.3. Bazı krtk k kare değerler. H o varsayımıı doğru olması halde, k kare çzelge değere eşt veya buda büyük eğer alma olasılıkları Alam düzey P (%) 0,99 0,95 0,90 0,70 0,50 0,30 0,10 0,05 0,01 0,001 Serbestlk dereces F 1 0, ,0039 0,016 0,15 0,46 1,07,71 3,84 6,64 10,83 0,0 0,10 0,1 0,71 1,39,41 4,60 5,99 9,1 13,8 3 0,1 0,35 0,58 1,4,37 3,66 6,5 7,8 11,34 16,7 4 0,30 0,71 1,06,0 3,36 4,88 7,78 9,49 13,8 18,46 Açıklama: 3 sııf buluduğuda, acak sııf ç beklee sıklıklar serbest seçleblr. 3. sııf ç sıklıklar, verle örek sayılarıda, e 3 =-e 1 -e, hesaplaablr. 3. sııf artık serbest seçlemyeceğde, serbestlk dereces bulumaktadır.

83 Mühedsler ç statstk ders otları 8 Alıştırma 3.6 Br şletmede 4 tür üretm hatasıa rastlamaktadır. Bu hataları ayı orada yapılıp yapılmadığıı saptamak ç br araştırma yapılmıştır. Hatalı üretle ürüde rastgele 10 örek alıarak celemş ve hataları 3; 9; 7 ve 3 olarak kaydedlmştr. Buu soucu olarak, H o : Hata türler ormal dağılmıştır. H 1 : Hata türler ormal dağılmamıştır. (Y.: % 90 olasılıkla H o kabul,)

84 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 83 EKLER Ek 3.1. Normal dağılımda ortalama değer x ve bell z değerler arasıda buluablecek olayları oraı ( % F*). z F* z F*(%) z F*(%) z F*(%) z F*(%) 0,0 0,00 1,0 34,13,0 47,7 3,0 49,865 4,0 49,997 0,1 3,98 1,1 36,43,1 48,1 3,1 49,903 5,0 49, , 7,93 1, 38,49, 48,61 3, 49,931 6,0 49, ,3 11,79 1,3 40,3,3 48,93 3,3 49,95 0,4 15,54 1,4 41,9,4 49,18 3,4 49,966 0,5 19,15 1,5 43,3,5 49,38 3,5 49,977 0,6,57 1,6 44,5,6 49,53 3,6 49,984 0,7 5,80 1,7 45,54,7 49,65 3,7 49,989 0,8 8,81 1,8 46,41,8 49,74 3,8 49,993 0,9 31,59 1,9 47,13,9 48,81 3,9 49,997 *z=(x- x )/. F* değer, z=0 ve z=(x- x )/ aralığıda eğr altıdak toplam alaa karşılık gelr. Bu, x ve x sıırları arasıda değşke % olarak gerçekleşme sıklığı demektr. Örek: x = 4, = 1 ve x = 1 ç z = 3 te F* = % 49,865 ve F = % 0,135 buluur. Tüm dağılım eğrs ç F* = % 99,73 ve 0 F = 0,7 geçerldr. Ek 3.. Stadart ormal dağılımı brkml olasılık değerler (z değerler, Davs, 1973). Ortalama değer Brkml Ortalama değer Brkml Ortalama değer Brkml stadart sapması (z) olasılık stadart sapması (z) olasılık stadart sapması (z) olasılık -3,0 0,0014-0,9 0, , 0,8849 -,9 0,0019-0,8 0,119 +1,3 0,903 -,8 0,006-0,7 0,40 +1,4 0,919 -,7 0,0035-0,6 0,743 +1,5 0,933 -,6 0,0047-0,5 0, ,6 0,945 -,5 0,006-0,4 0, ,7 0,9554 -,4 0,008-0,3 0,381 +1,8 0,9641 -,3 0,0107-0, 0,407 +1,9 0,9713 -, 0,0139-0,1 0,460 +,0 0,9773 -,1 0,0179 0,0 0,5000 +,1 0,981 -,0 0,08 +0,1 0,5398 +, 0,9861-1,9 0,087 +0, 0,5793 +,3 0,9893-1,8 0, ,3 0,6179 +,4 0,9416-1,7 0, ,4 0,6554 +,5 0,9938-1,6 0, ,5 0,6915 +,6 0,9953-1,5 0, ,6 0,757 +,7 0,9965-1,4 0, ,7 0,7580 +,8 0,9974-1,3 0, ,8 0,7881 +,9 0,9981-1, 0, ,9 0, ,0 0,9987-1,1 0, ,0 0,8413-1,0 0, ,1 0,8643

85 Mühedsler ç statstk ders otları 84 4 İSTATİKSEL KESTİRİM (TAHMİN) YÖNTEMLERİ 4.1 Geel İstatstksel kestrm veya tahm yötemler, öreklem ble ölçütlerde blmye aa kütle (popülasyo) ölçütler hakkıda blg edmeye yarıya yötemlerdr. Aa hatları le kısma ayrılır: 1. Aa kütle değşkeler öreklem momet gb değşkeler yardımı ve kestrm yötemler le kestrmek. Bua okta kestrm der ve sadece değşke keds hesaplaır. Öreklem veya aa kütle (örek evre) dağılım değşkeler de hesaplaableceğde, dağılım kestrm de der.. Öreklemler değşkelerde aa kütle değşkeler bell br olasılıkla kestrlmese de aralık veya güve sıırları kestrm der. 4. Nokta kestrm Nokta kestrm, öreklem ölçütlerde yararlaarak aa kütle özellkler bulma yötemdr. Değşke yötemde, öreklem değşkeler, blmye aa kütle değşkelere eşt sayılır. E y kestrm yötemde se (maxmum lkelhood), öreklem bağımsız versde çıkacak souçları olasılığıı blmye aa kütle değşkeler foksyou olarak verlr: L(θ)=f(x 1, x,...x ; θ) gb. Öreklem hesaplaa değşkelerde aa kütle ölçütler kestrleblr. Böylece br öreklem br aa kütleye uyarlaablr. Br öreklem, öreğ, aa kütlede daha az örek kapsadığıda, her zama hata çerr. Dolayısı le hçbr zama aa kütley kes temsl edemez. Öreklem büyüklüğü hata oraıı etkledğ gb ayı aa kütle bağımsız öreklemler yelemes de, öreğ, farklı x değer vereblr. Bu edele öreklemler değerler le aa kütle değerler buluması acak br kestrm foksyou le mümküdür. x, öreklem değşke ve de örek kapsamı se, bu foksyo, f(x, ) = xˆ 4.1

86 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 85 aa kütle α gerçek değer kestrmdr (estmato). Br kestrm bell matematksel koşulları yere getrmes gerekr. Bular, 1. Kestrm beklee değere (aa kütle değere) yaklaşması (ubased): Ya deey ayı örek kapsamı le yelemes halde ortalama değer aa kütle gerçek değşke değere yaklaşması,. Kestrm tutarlı olması (cosstet): Arta örek veya deey sayısı le kestrm, aa kütle değşke değerlere yaklaşması, 3. Kestrm etkl olması (effcet): Ayı örek sayısı ç olası e küçük değşkeye sahp olması ve 4. Blgledrc olması lazım (suffcet): Başka hçbr değşke kestrle değşkede daha çok blg verememel. 4.3 Aralık kestrm Aralık kestrmde, öreğ, öreklem ortalama değer ç, 1 x x 1 4. eştlğde yararlaılır. Öreklem x le aa kütle μ ortalama değerler arasıda her zama ç br hata payı (ε) buluur ve bu, x = μ+ε 4.3 şeklde fade edlr. Bu edele hata payı ε ç acak bell br olasılıkla br aralığı belrtlmes br alam taşır. Aa kütle gerçek değer bulablmek ç ya örek kapsamıı oldukça büyük seçmek veya çok sayıda ayı kapsamlı öreklem almak gerekr. Burada ayı kapsamlı brçok öreklem terch edlp ortalama değer ayrı ayrı hesapladığıda bu ortalama değerler eşt olmadığı ve tüm ortalamaları ortalama değer x etrafıda x stadart sapması

87 Mühedsler ç statstk ders otları 86 le (ortalama değer stadart hatası) ormal dağıldıkları görülür. Kestrm foksyouu aa ktle gerçek değşkee yaklaşması beklets edeyle, ve olur. Değşkes ç de, 1 x x x N 1 s ( x ) 4.5 N s ( x x) (N ) eştlğ uygulaır. Burada öreklem ble x ortalama değerde aa kütle μ ortalama değer kestrleblmektedr. Ayı şekl s değerde de σ kestrleblr. Öreklem ç rastlatısal değşke X= x =μ alıdığıda, P(aXb)=0, a b yazılablr. X=Z, z=, z= ve 0,95 = 1-α alıdığıda (stadardze edldğde), x x a b P( ) 1 x P(-zZ z)=1-α 4.9 elde edlr (Şekl 4.1). z değşke ormal eğr alaları çzelgesde okuacak z α/ değerler arasıda herhag br değer alma olasılığı, P(-z α/ Z z α/ )=1-α 4.10 şeklde güve aralığıa döüştüreleblr. Bu eştlkte z= X -μ / yazılırsa, x x 4.8 X P( z / z / ) 1 x 4.11 ve P z. X z. ) ( / x / / x / yazılablr. Bua göre aa kütle ortalamasıı güve aralığı, şekl alır. P X z. X z. ) ( / x / / x /

88 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 87 Şekl 4.1. Aralık kestrm. Br değer ormal dağılımı kearlarıda bre düşme olasılığı α/ dır. Öreğ, t çzelgesde (Çzelge 4.1) z α/ =1,96 seçldğde, a 1,96 x x 4.14 b =1, a=-1, x b=+1, x buluur. Bu souç, c öreklem ortalama değer x % 95 olasılıkla, -1,96 x x +1, x aralığıda olduğuu gösterr. Bu, aa ktle ortalama değer ü blmes halde öreklem ortalama değer xhakkıda br yargıya varılablr demektr. Acak asıl hedef x yardımı le hakkıda br yargıya varmaktır. Öreğ, -1,96 x x x +1,96 x x -1,96 x - - 1,96 x x +1,96 x -1,96 x - x x 4.1

89 Mühedsler ç statstk ders otları 88 olduğu ortaya çıkmaktadır. Burada da güve aralığıı geel eştlğ, x - z α x x + z α x 4. buluur. Böylece alamlılık dereces α ı verlmes ve x = x le x değer blmes durumuda aa kütle ortalama değer μ yü çere aralık hakkıda br yargıya varılablr. Bu aralık güve aralığıdır. x blmemes koşullarıda, x =σ/ 4.3 alıır. Geel olarak, s/ x -z α.s/ μ x + z α.s/ 4.4 eştlğ geçerldr. Çzelge 4.1 de kullaılacak bazı öeml değşkeler özetlemştr. Çzelge 4.1. P olasılığıı (keslk dereces) veya α alam düzey (yaılma olasılığı) verlmes durumuda güve sıırlarıı kestrmde kullaılacak öeml z ve t değerler le F serbestlk dereceler (-1). P [%] α (1-P) z t = F 10 F 15 F 0 F 5 F 50 F ,0 1,8 1,37 1,34 1,3 1,3 1,30 1,9 90 0,10 1,645 1,81 1,75 1,7 1,71 1,68 1, ,05 1,960,3,13,09,06,01 1, ,01,576 3,17,95,84,79,69,6 99,9 0,001 3,90 4,59 4,07 3,85 3,7 3,50 3,39 Örek 4.1 Br madde özgül ağırlık ölçümler {,0;,5;,5;,30;,30;,30;,35} g/cm 3 olarak verlmştr. Öreklem ortalama değer P = % 95 olasılıkla güve aralığı kaçtır? Çözüm: buluur. 7 x = 71 (,0.,5 3.,30,35) 1 =,8 g/cm 3

90 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 89 Keslk dereces P = 0,95 te, Yaılma payı α = 1-P = 1-0,95 = 0,05 elde edlr. Serbestlk dereces F = -1 = 7-1 = 6 dır. Bua göre, F = 6 ç t test çzelges (Çzelge 3.1) t α/ = t 0,05 =,45 değer buluur. Eştlk 4.4 ü kullaarak (t α/ = z α/ ve α = σ),,8-,45.(0,05/ 7 ) < μ <,8+,45.(0,05/ 7 ) soucua varılır.,8-0,046 < μ <,8+ 0,046,34 < μ <,36 μ =,8 ± 0,05 Alıştırma 4.1 Çzelge.1 dek verler ortalama değer % 95 olasılıkla güve aralığıı buluuz. Ayı öreklem ayı koşullarda =170 orek kapsasaydı güve aralığı e olurdu? (Y: 6,4±0,38 ve 6,4±0,13)

91 Mühedsler ç statstk ders otları 90 EKLER Ek 4.1 Öeml bazı değşkeler ç statstksel güve sıırları Örek Değşke Güve sıırı (±l) P= % 95 P= 99 Ortalama değer ( x ) 30 1,96.s/ 1,58.s/ 1 Ortaca (x o ) 30,46.s/ 1 3,3.s/ 1 Değşke (s ) 100,77.s/ 1 3,65.s/ 1 Stadart sapma (s) 100 1,39.s/ 1 1,8.s/ 1 =30 ç x ± 1,96.s/ 1 sıırları % 95 güvele/olasılıkla ortalama değer kapsar. Küçük örek sayısı ç ortalama değer güve sıırları Studet-t-değerler vasıtası le hesaplaablr: Öreğ, х ± t.s/ 1 gb.

92 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 91 5 HATA HESAPLAMALARI 5. 1 Geel bakış 4. kouda öreklem değşkeler hçbr zama gerçek değerler ola aa kütle değerlere eşt olamıyacağı ve buları acak bell olasılıklarla değşk aralıklarda buluableceğ celemşt. Br ormal dağılımda öreğ, örek sayısıı % 95 % 95 olasılıkla ±σ aralığıda buluur. Bu sıırlar (güve aralığı) dışıda kala uc kısımlar bu kouda celeecektr. Fzksel ve kmyasal ölçüm lkeler görev g ölçü büyüklüğüü cel ve tel özellkler saptamaktır. Buu ç x, y, z ve t ye göre ayı koşullarda ölçüm yapılır ve ölçü brmler (ÖB) karşılaştırılır. G = g (x, y, z, t) = z.öb dr. Burada z, özellk;, örek kapsamıı fade eder. z, sıırlı keslktedr ve zor saptaır. Buradak değşm ölçümü le hata hesaplaır. Hatalar, 1. Sstematk hata,. Rastlatısal hata olmak üzere ye ayrılır. 1. Sstematk hata, hedef değer yöüde sapmadır, kolay gderlr. Bu hatalar taımladıkta sora alamlı dağılımda sapmaları le saptaır ve gderleblrler (deeysel hata dağılım yasası). Bular, - aygıt hatası, - el ve kullaım hatası, - değerledrme hatası ve - yorum hatası gb hatalardır. Kural olarak bular yuvarlak rakama veya e yakı tama tamlaırlar.

93 Mühedsler ç statstk ders otları 9. Rastlatısal hatalar se, hedef yöüdek sapmada ayırdedlemezler. Dolayısı le zor gderlrler. Her zama ve tesadüfe meydaa geleblrler. Bular öreğ, ölçüm sırasıda gerlm düşmesde kayaklaa yalış ölçüm, kaplarda parçacıkları bulaşması gb hatalardır. Souçları esas keslğ bu tür hatalar belrler. Rastlatısal hatalar, sstematk hataları ortada kalkmasıda sora gerde kala hataları veya hata kısmıı oluşturur. Düzel dağılımlar ç belrleycdr ve ölçüm değşmler dağılımı bell br yasaya uyarlar. Bu yasaya, hata dağılım yasası der ve rastlatısal dağılımı taımlar: Bua göre, öreğ, v ölçüm büyüklükler çeştleme olaakları se, çok sayıdak x ölçümler dağılımı, = ve v< ç bom, v= ç de ormal dağılım gösterr. Bu dağılımlarda eğr altıda kala alaı toplamı 1 e eşttr. x ormal dağılım ölçümlerde sadece rastlatısal hatalar araştırılır. Bu-ları çde okuma hataları gb sstematk hatalar da olablr. Gauss hata hesaplama yötem uygulaır. Buu ç öreğ, ortalama değerler karşılaştırılır. Buradak zorluk, souçları yaklaşık değer vermesdr. Elde edle souçlar ormal ve bom dağılımları le karşılaştırılır. 5.. Hata kestrm Hata tahmler veya kestrmler acak ölçüm dzsde x (=1,,...,) ölçümler ayı koşullarda ve bell brmlerle sağlaması durumuda mümküdür. Burada x dağılım yasalarıa uygu olup olmadığı deetler. Hesaplamalar ç x e y değer olarak alıır. Bu değerde sapmalar hata olarak taımlaır. Bular aşağıdak şaklde celeemektedr (bak. ayrıca Schöwese, 199): a) Ortalama hata, br tek ölçümü hatası veya sapma değer x = x - x dr. Buları ortalama değer d, eştlğ le hesaplaır. 1 d x b) Stadart sapma s de br çeşt hatadır ve 1 1 s= 1 ' x (s>0) 5.

94 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 93 bağıtısı le hesaplaır. Stadart hata alamıa gelr. E y veya ortalama değer sapması veya hatasıdır. Burada, c) Mutlak stadart hata ( x<d) öemldr: x = 1 ' x ( 1) = 1 1 ' x / 5.4 s = 5.5 buluur ve varıla ölçüm keslğ belrler. Ölçüm soucu (e y değer) Δx tek gb kes verlmez. Buu ölçü soucua (e y değere) göre eye oraladığıı göstermek ç x. 100 x [%] 5.6 x şeklde verlr. Bu souç, e y değer, d) Görecel stadart hatasıdır (bak. ayı zamada değşkelk katsayısı v). y = f(t, x, z,...) gb br foksyou hata payıı hesaplamak oldukça karmaşıktır. Bu durumda her t, x, z değer ç ayrı ayrı hatalar hesaplaarak toplam foksyoa etks buluur. Bu şleme hata ekleme veya hata lerlemes der (ayrıtılar ç bak. Schöwese, 199). Örek 5.1 Hata türler ve hesaplaması Ölçüm hataları dkkate alıarak dkdörtge alaıı hesaplaması

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER

JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Prof. Dr. Hüseyi Çelebi Ders Notları İstabul 014 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 1 Ösöz Jeolojide matematik ve istatistiksel yötemler ders otları

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Merkez Eğlm Ölçüler 4... Artmetk Ortalama 4... Ağırlıklı Artmetk Ortalama 4..3. Keslmş artmetk ortalama 4..4. Geometrk Ortalama 4..5. Harmok Ortalama 4..6. Kuadratk Ortalama

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstler Taımlayıcı İstatstler Br veya brde azla dağılışı arşılaştırma ç ullaıla ve ayrıca öre verlerde hareet le reas dağılışlarıı sayısal olara özetleye değerlere taımlayıcı statstler der.

Detaylı

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver set taıma yada farlı ver set brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etrafıda

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2 l Ta rr ım ı Ekooms Kog rres 6-8 - Eylül l 2000 Tek rrdağ TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ (980-998) (TRANLOG MALİYET FONKİYONU UYGULAMAI) Yaşar AKÇAY Kemal EENGÜN 2. GİRİŞ Türkye tarımı

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003 ISTANBUL BİLGİ UNİVERSİTY İşletme İstatstğ [Type the documet subttle] Ege Yazga ve Yüce Zerey 1/1/3 [Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLAR İÇİN EN ÇOK OLABİLİRLİK VE FARKLI KAYIP FONKSİYONLARI ALTINDA BAYES TAHMİN EDİCİLERİNİN PERFORMANSLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Gülca GENCER

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract YKGS2008: Yazılım Kaltes ve Yazılım Gelştrme Araçları 2008 (9-0 ekm 2008, İstabul) Yazılım Ürü Gözde Geçrmeler Öem, Hazırlık Sürec ve Br Uygulama Öreğ The Importace of the Software Product Revews, Preparato

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Blmler ve Mühedslk ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY A Appled Sceces ad Egeerg Clt/Vol.: 3-Sayı/No: : 5-63 (202 ARAŞTIRMA

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar

Rasgele sayıda bağımlı aktüeryal risklerin beklenen değeri için alt ve üst sınırlar www.saskcler.org İsaskçler Dergs (8) 64-74 İsaskçler Dergs Rasgele sayıda bağımlı aküeryal rskler beklee değer ç al ve üs sıırlar Fah Tak Kırıkkale Üverses Fe-Edebya Faküles, İsask Bölümü 7-ahşha,Kırıkkale,

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,

Detaylı

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç

ÖZET Yüksek Lsas Tez NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK Akara Üverstes Fe Blmler Esttüsü İstatstk Aablm Dalı Daışma : Doç ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ NORMAL DAĞILIM VE NORMAL DAĞILIMLA İLGİLİ ÇIKARIMLAR Şeol ÇELİK İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 006 Her hakkı saklıdır ÖZET Yüksek Lsas Tez

Detaylı

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir.

Genel olarak test istatistikleri. Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri. olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 4.SUNUM Genel olarak test istatistikleri Merkezi Eğilim (Yığılma) Ölçüleri Dağılım (Yayılma) Ölçüleri olmak üzere 2 grupta incelenebilir. 2 Ranj Çeyrek Kayma Çeyrekler Arası Açıklık Standart Sapma Varyans

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI

T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI 15.09.015 T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI ISL4 İSTATİSTİK II HAZIRLAYAN PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK

Detaylı

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

WEİBULL DAĞILIMININ ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİN İSTATİSTİKSEL TAHMİN YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI İstabul Tcaret Üverstes Sosal Blmler Dergs Yıl:8 Saı:5 Bahar 2009 s.73-87 WEİBULL DAĞILIMII ÖLÇEK VE BİÇİM PARAMETRELERİ İÇİ İSTATİSTİKSEL TAHMİ YÖTEMLERİİ KARŞILAŞTIRILMASI Flz ÇAKIR ZEYTİOĞLU* ÖZET Güümüzde

Detaylı

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması

Olabilirlik Oranı Yöntemine Dayalı, Yapısal Homojen Olmayan Varyans Testlerinin Piyasa Modeli İçin Karşılaştırılması Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:6, Sayı:, Yıl:011, ss.135-144 Olablrlk Oraı Yöteme Dayalı, Yaısal Homoje Olmaya Varyas Testler Pyasa Model İç Karşılaştırılması Flz KARDİYEN

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı