ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1"

Transkript

1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER 8.. Grş 8.. Sürekl Verler Sııfladırılması 8.3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar.4. Keskl Verler Sııfladırılması 3.5. Sürekl Verlere At Grafkler 4.6. Keskl Verlere At Grafkler 5.7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6 3. YER ÖLÇÜLERĐ 8 3. Grş Artmetk Ortalama Artmetk Ortalamaı Özellkler Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması Medya (Ortaca Değer) 3.3. Frekas Tablosuda Medya Hesabı 3.4. Mod (Tepe Değer) Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk Tartılı Ortalama Geometrk Ortalama Geometrk Ortalamaı Özellkler Harmok Ortalama Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı Harmok Ortalamaı Özellkler Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk 3

2 3.0. Karel Ortalama 3 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ Grş Değşm Geşlğ (Rage) Ortalama Mutlak Sapma Varyas ve Stadart Sapma Varyası Özellkler Stadart Hata Varyasyo Katsayısı Eğrlk Katsayısı (Skewess) Dklk Katsayısı (Kurtoss) 46 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI Grş Bom Dağılışı Posso Dağılışı 53 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI Grş Normal Dağılış Stadart Normal Dağılış Normal Dağılış Đle Đlgl Đşlemler Bom Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı Posso Dağılışıı Normal Dağılışa Yaklaşımı 66 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ GÜVE ARALIKLARI Grş Populasyo Ortalamasıı (µ) Güve Aralığı Đk Ortalama Arasıdak Farka At Güve Aralığı Oralara At Güve Aralığı Oraları Farkıa At Güve Aralığı 77 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ HĐPOTEZ TESTLERĐ Grş Hpotez Testde Đzleecek Yollar Hata tpler ve Test Gücü Populasyo Ortalaması Đle Đlgl Hpotez Test 83

3 8.5. Ortalamalar Arası Farka At Hpotez Test Oralara At Hpotez Test Oraları Farkıa At Hpotez Test Eşl Karşılaştırma Yötem 93 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ KHĐ KARE A ALĐZĐ Grş Uyum Đylğ Test Bağımsızlık Test 0 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ REGRESYO VE KORELASYO A ALĐZĐ Grş Bast Doğrusal Regresyo Model ve Regresyo Aalz _ Regresyo Katsayısıı Öem Test ve Güve Aralığı a ı Öem Test ve Güve Aralığı 0.5. Korelasyo Katsayısı ve Korelasyo Katsayısıı Öem Test 0.6. Korelasyo Katsayısıı Güve Aralığı 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 5 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ Đ ÇÖZÜMLERĐ 6 Z Cetvel 53 t Dağılışı 54 Cetvel 55 Kayaklar 58

4

5 . TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş Gülük hayatta, ster byolojk sterse sosyal olsu tüm olaylar statstğ lgledrr. Öreğ havaı yağışlı olup olmaması htmal, pazarda yapıla bell br alışverş mktarıı buluması, yıllara göre üfus artışı, yapıla bell br aket araştırmasıı grafklerle gösterm, zraatte kullaıla k farklı lacı etklğ test edlmes brer statstktr. Bugüü blm düyasıda statstk br temele veya yöteme dayadırılmaya br araştırma rağbet görmemektedr. Bu edele; yapıla her araştırmada mutlaka statstk br yötem kullaılmalıdır. Bu bölümde statstkte temel teşkl ede kavramlar üzerde durulacaktır... Đstatstk Đstatstğ çeştl ktaplarda brçok taımı mevcuttur. Bu kısımda bu taımlarda sadece üçü üzerde durulacaktır. Đstatstğ brc taımı, belrl br araştırmada toplaa sayısal değerler le, bu sayısal değerlerde yararlaarak çzle şekl ve grafklerdr. Öreğ; üfus sayımı, seçmlerde öce yapıla aket çalışmaları, şszlk oraı, okur yazar oraı gb. Đstatstğ kc taımı, temel matematkte ala blm dalıa verle addır. Bu edele statstk, matematk le yakıda lşkldr. Yapıla araştırmalarda göstermştr k matematk temel y ola br öğrec statstk dersde de başarılı olmuştur. Đstatstğ üçücü taımı, bell br örekleme yötem kullamak suret le populasyoda seçle öreklerde hesaplaa örek değerlere der. Bzm ç öeml ola üçücü ve so taımdır. Dğer k taım klask taımdır. Üçücü taımda dkkat edlrse k kavram vardır. Populasyo ve Örek. Bu kavramlar bu bölümü dğer kısımlarıda alatılacaktır. Đstatstkler Lat harfler le gösterlrler.

6 .3. Populasyo Ayı özellğe veya ortak özellğe sahp brmler oluşturduğu topluluğa populasyo der. Öreğ btk populasyou, öğrec populasyou, hayva populasyou, ççek populasyou, memur populasyou gb (Akar ve Şahler, 993). Populasyolarda geel alamda alt populasyolarda oluşablr. Öreğ balık populasyou deldğ zama bu geel br kavramdır. Acak bu populasyou br alt populasyou olarak Alabalık populasyou veya Saza populasyou deldğde alt populasyolar da taımlamış olur..4. Örek Araştırmaya kou ola br populasyoda, bell br örekleme yötem kullaılarak populasyou temsl edeblecek büyüklükte seçle, daha az sayıda brmler oluşturduğu topluluğa örek der. Seçle öreğ mutlak surette populasyou temsl etmes ve bell br örekleme yötem le alıması gerekr..5. Brm Br topluluğu oluştura ve celemeye kou ola obje ya da breye brm der. Üverstede brm; öğretm üyes, öğrec, devlet daresde brm; memur, hayvacılık deemesde brm; hayva, tarla deemesde brm; parsel, aket çalışmasıda brm; kşlerdr..6. Parametre Populasyoda hesaplaa değerlere parametre der. Parametreler Grek harfler le gösterlr. Öreğ β (populasyoa at regresyo katsayısı), σ (populasyou stadart sapması), α, µ, δ, brer parametredr. Populasyo N Örek Parametre Đstatstk Pop. Ortalaması (µ) Örekleme Örek Ortalaması Pop. Varyası Yötem Örek Varyası

7 .7. Değşke Bell br sembolle gösterle ve sembolü değer sürekl değşe fadelere değşke der. Değşkeler, Y, Z, K, L, M gb alfabe büyük harfler le gösterlr. Buları elemaları se x, y, z, k, l, m gb küçük harfler le gösterlr. { x, x,..., x } gb..8. Ver ve Ver Tpler Đstatstkte toplaa verler güvelrlğ büyük öem arz eder. Çükü statstkç eldek verlerde yararlaarak tahmde buluur. Tahm güvelrlğ başlıca şu hususlara bağlıdır: a) Araştırıcıı dürüstlüğüe, b) Yapıla ölçümü hassasyete, c) Deeme sağlıklı yürütülmese, d) Uygulaa matematk model ve yötem doğruluğua. Eldek kullaıla ver doğruluğuu yaıda seçlecek yötem belrlemesde de ver yapısı öem taşır. Verler, kaltatf ve kattatf olmak üzere kye ayrılır. Kaltatf Verler: Rakamla fade edlmeye verlere kaltatf verler der. Öreğ saç reg, göz reg, mede durum, kş sgara çp çmemes. Bu tp verler daha zyade aket yoluyla elde edle verlerdr. Bu tp verlere daha zyade parametrk olmaya statstk yötemler kullaılır. Öreğ, Kh Kare (χ ) dağılışı bu yötemlerde br taesdr. Kattatf Verler : Rakamla fade edle verlere der. Bular ked aralarıda keskl ve sürekl ver olmak üzere kye ayrılır. a) Keskl Ver : Br sayım soucu elde edle verlere der. Bu tp verler Bom dağılışı, Posso dağılışı, Beroull dağılışı, Negatf bomyal dağılış, Hpergeometrk dağılış, Uform dağılış gb dağılışlarda bre sahptr. Öreğ aledek çocuk sayısı, br sadıktak elma sayısı, br ülke üfusu keskl telkte br verdr. Bu tp verlerde sııflar brbrde kes olarak ayrılmıştır. 3

8 b) Sürekl Ver: Br tartım veya ölçüm soucu elde edle verlere sürekl ver der. Br kş yaşı, boyu, klosu sürekl verdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda dama br geçş söz kousudur. Sürekl verler; Normal dağılış, F dağılışı, Gamma dağılışı, Beta dağılışı, Düzgü dağılış, Cauchy dağılışı, Üstel dağılışlarda brs gösterr..9. Toplama Sembolü Đstatstkte toplama sembolü Σ şaret le gösterlmekte olup, statstk formüller yazılmasıda büyük kolaylık sağlar. Öreğ; x + x x term kısaca; şeklde de fade edleblr. Toplama Sembolüü Özellkler ) ve Y değşkeler toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıa eşttr. Σ( + Y ) Σ + ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( + Y ) ( x + y ) + (x + y ) + ( x 3 + y 3 ) ( + ) + ( ) + ( + 6 ) 0 Σ x + x + x ΣY y + y + y Σ + ΣY

9 ) ve Y değşkeler farklarıı toplamı, buları ayrı ayrı toplamlarıı farklarıa eşttr. Σ( - Y ) Σ - ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ( - Y ) ( x - y ) + (x - y ) + ( x 3 - y 3 ) ( - ) + ( 3-7 ) + ( - 6 ) Σ x + x + x ΣY y + y + y Σ - ΣY ) ve Y değşkeler çarpımlar toplamı, bu değşkeler ayrı ayrı toplamlarıı çarpımıa eşt değldr. Σ Y Σ ΣY Örek : {, 3, }, Y {, 7, 6 } se, Σ Y x. y + x. y + x 3. y Σ 6 ΣY

10 4) k sabt br sayı se, sabt sayı toplama sembolüü öüde yazılablr. Σk k Σ dr. Örek : k ve {, 7, 6, 4 } se, Σ k k. x + k. x + k. x 3 + k. x k Σ k. (x + x + x 3 + x 4 ) ( ) 36 5) k sabt br sayı olmak üzere 5 k.k dır. Örek : k 3 ve 5 se, 5 k veya, dr. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak termler kısaca açıklayıız. a) Đstatstk b) Parametre c) Populasyo d) Sürekl ver e) Keskl ver 6

11 ) Aşağıdak termler taımlayıız. a) Brm b) Karakter c ) { 6, 8, 9 }, Y { 6,, 3, 5 } se, 3 + Y d) k 5 se, 8 k?? 3) {, 8, 6, 0 }, Y { 4, 5, 7, } se, Σ.Y (Σ ). (ΣY ) olduğuu gösterz. 4) Aşağıda verle toplamları termler yazıız. 5 a) b) jy j? 6 j 5) Aşağıdak fadeler toplama şaret kullaarak yazıız. a) ( x + y ) + ( x + y ) ( x 6 + y 6 ) b) a b + a b a b 6) Aşağıda salar ç verle değşkelerde hagler kaltatf veya kattatf, hagler keskl veya sürekl ver olduğuu belrtz (Bek ve ark., 996). a) Yaş b) Doğum yılı c) Csyet d) Boy e) Saç reg f) Hoşladığı sebze 7) Aşağıdak eştlkler gösterz. 4 a) 3 30 b) 3 4 r 36 c) / 3/ r 5 d) 5 e) 0 f) 7

12 . VERĐLERĐ SI IFLA DIRILMASI VE GRAFĐKLER.. Grş Đstatstkte bell br deemede veya aket çalışmasıda elde edle blerce rakama bakarak o deeme hakkıda yorum yapmak oldukça zordur. Öreğ, üverste sıavıa gre 5000 öğrecye at pualar olsa ve bze delse k Bu öğreclerde kaç taes puaı 40 u üzerdedr? bzm bu soruya aıda cevap vermemz mümkü değldr öğrec çde puaı 40 u üzerde olaları seçp, buları sayısıı tespt ettkte sora bu soruya cevap vermemz lazımdır. Verle bu örek dar kapsamlıdır. Buu kapsamıı geşlettğmzde 5000 öğrec pualarıı ortalaması, stadart sapması gb değşk statstkler de ş çe grecektr k bu kouyu daha da karmaşıklaştırır. Tab drek bu tp ham verlerle de belrtle statstkler hesaplaablr. Acak bu hem matematk şlemler zorluğu hem de rakam sayısı fazlalaştıkça hesap hatası yapma htmal yükseklğ edeyle zordur. Bell br araştırma souda elde edle ham verler tablo hale getrlmese frekas tablosu adı verlr. Frekas tablosua bakarak yukarıdak br çok soruya cevap vermek daha kolay olacaktır (Mead ve Curow, 983). Frekas tablosu, sııf lmtler ve frekaslara at sütularda oluşa br tablodur. Frekas tablosuda buu harcde başka sütularda (sııf sıırı, sııf değer, de az, de çok eklemel frekaslar v.b.) yer alır. Acak bu özellkler frekas tablosuu oluşturmazlar. Bular daha zyade çeştl statstkler hesaplamasıda kullaılır. Buları kullaımları ler k bölümlerde ayrıtılı olarak alatılacaktır... Sürekl Verler Sııfladırılması Sürekl verler taımı, brc bölümde ayrıtılı olarak alatılmıştı. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulmasıda aşağıdak yol zler. a) Verler küçükte büyüğe doğru sıralaır. Acak bu durum keyfdr, sıralama yapılmasa da olur. 8

13 b) Sııf sayısıa karar verlr. Sııf sayısı, geel br kural olmamakla brlkte 5 te az 5 te fazla tavsye edlmez. Sııf sayısıa karar verrke herhag br sııfa e az gözlem değer düşmese dkkat etmek gerekr. Eğer sııfları bre hç gözlem düşmemşse sııf sayısıı azaltmak gerekr. Ayrıca sııf sayısıa karar verrke dkkat edlecek dğer br husus ham verler tamamıı frekas tablosuu çerse dahl olması gerekr. Eğer bu şart sağlaamıyorsa, sııf sayısı arttırılır. c). sııfı alt lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e küçük değer,. sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. d) So sııfı üst lmt değer öyle seçlmeldr k ham verler çersdek e büyük değer, so sııfı alt ve üst sııf lmtler arasıda yer alsı. e) Sııf aralığı aşağıdak formülde hesaplaır: Sııf Aralığı max m Sııf Sayısı f) Sııf aralığı hesapladığıda, vrgülde sorak 5 ve daha yukarı haeler ç br üste tamamlaır, 5 altıdak değerler ç se br alt değer alıır. Öreğ, sııf aralığı.85 se sııf aralığı 3 alıır,.36 se alıır. Böyle yapılmasıı sebeb, hesaplamaları kolay olması açısıdadır. Eğer şlemler daha hassas olması steyorsa sııf aralığıı gerçek değer de alıablr. Örek : Br grup öğrec geel yeteek testde aldığı pualar aşağıdak gbdr: 5, 3, 44, 6, 3, 63, 56, 38, 47, 45, 73, 7, 74, 76, 73, 6, 34, 7, 48, 5, 57, 44, 4, 4 brc sııfı alt lmt 5 olmak üzere 9 sııflı br frekas tablosu düzeleyz Sııf Aralığı 5.67 ~ 6 9 (.) 9

14 Sııflar f Yukarıda yapıla frekas tablosua bazı eklemeler yapmak mümküdür. Acak yapıla bu eklemeler, frekas tablosu olarak adladırılamaz. Bular daha öcede de zah edldğ gb bazı statstkler hesaplamasıda ve grafkler çzlmesde yardımcı ola blglerdr. Şmd bu ek sütuları oluşturulması ayı örek üzerde zah edlecektr. Sııf Sıırı : Sııf sıırı hesaplaırke öce. sııfı alt sııf lmt le (5),. sııfı üst sııf lmt (36) ortalaması alıır, bu değer. sııfı üst sııf sıırı olarak yazılır. Bu değerde sııf aralığı (6) çıkarılarak. sııfı alt sııf sıırı buluur. E so şlem. sııfı alt ve üst sııf sıırlarıa sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf sıırları bulumuş olur. Bu söylele fadeler uygulaırsa sııf sıırları, aşağıdak şeklde oluşturulur: Sııf sıırları

15 Sııf değer( ) :. sııfı alt ve üst lmt değerler ortalaması alıarak,. sııfı sııf değer buluur. Bu değere sııf aralığı ekleerek dğer sııfları sııf değer bulumuş olur alt + üst sb frekas (N ) : Nsb frekas aşağıdak eştlkte hesaplaır: Eştlkte : k f N :. sııfı sb frekası, f :. sııfı frekası, k f f : toplam frekası gösterr. (.) Yüzde frekas (Y ): hesaplaır : Yüzde frekas aşağıdak formülde Y (%) N. 00 (.3) Bua göre ayı şeklde sb ve yüzde frekaslar aşağıdak tablodak gbdr:

16 N Y (%) Örekte görüldüğü gb sb frekaslar toplamı dama, yüzde frekaslar toplamı da dama 00 dür..3. Eklemel (Yığmalı) Frekaslar Bu tp frekaslar -de daha az ve -de daha çok şeklde frekaslar olup, bell br sııf sıırıda az veya bell br sııf sıırıda çok frekasları fade etmek ç kullaılır. Öreğ verle örekte geel yeteek puaı 30.5 de az kaç öğrec var deldğde buu cevabı 3 tür. Ayı şeklde geel yeteek puaı 4.5 ta çok kaç öğrec var deldğde se buu cevabı se 4 tür. Bua göre -de az ve -de çok eklemel frekaslar oluşturulurke -de az da üst sııf sıırları krter alıır ve frekaslar toplaarak dğerler buluur, -de çok eklemel frekaslar ç se alt sııf sıırları krter alıır,. sııfı -de çok eklemel frekası toplam frekastır; bu frekasta dğer sııfları frekasları çıkarılarak dğer sııfları -de çok eklemel frekasları buluur. Bu söylee fadeler verle öreğe uyguladığıda eklemel frekaslar aşağıdak gb olur.

17 Çzelge.. Sürekl Verlere At Frekas Tablosu Sııflar f (sııf değ) Sııf sıırları -de az -de çok N Y (%) Σ Keskl Verler Sııfladırılması Keskl verler,. Bölümde taımladığı gb saymak suret le elde edle verlerdr. Bu tp verlerde sııflar arasıda br sürekllk olmadığı ç, bu tp verlere at frekas tablosuda sııflar, sııf sayısı ve sııf değerler otomatk olarak belldr. Bu tp verlere at frekas tablosuu oluşturulması örek üzerde zah edlmştr. Örek : 30 gülük peryot çersde köyde şehre otobüsle seyahat ede saları sayısı aşağıdak gbdr. 6,3,,7,4,0,5,,3,,6,,4,4,3,0,5,,,,4,3,5,,4,6,3,0,7, Bu verlere at frekas tablosu aşağıdak şeklde oluşturulur. Verler çersde e küçük değer 0 ve e büyük değer 7 dr. O halde sııflar 0 le 7 arasıda değşecektr. 3

18 Sııflar f N Y (%) Σ Sürekl Verlere At Grafkler Sürekl verler ya hstogram grafğde yada frekas polgo grafğde gösterlrler. Hstogram grafğ, eksede sııf sıırlarıı Y eksede se frekasları yer aldığı br grafkte oluşur. Frekas polgou se eksede sııf değerler Y eksede frekasları kesştğ oktalarda oluşur. Verle örekte hstogram grafğ ve frekas polgouu çzm aşağıdak gbdr. Şekl. Hstogram ve Frekas Polgou Grafğ Sııf sıırları 4

19 Şekl.. de görüldüğü gb hstogram grafğ dkdörtgelerde oluşmaktadır. Bu dkdörtgeler orta oktaları brleştrldğde se frekas polgou elde edlmektedr. Dkdörtgeler orta oktalarıı brleştrlmes ede, k sııf sıırıı orta oktası alıdığıda sııf değer elde edlr. Ayrıca hstogram grafğde dkdörtgeler arası açık kalmaktadır. Bu da sürekl verlerde sııflar arasıda br sürekllk olduğuu göstermektedr..6. Keskl Verlere At Grafkler Keskl verler, çubuk dyagram grafğde gösterlrler..4. kısmıdak öreğe at frekas tablosu le lgl çubuk dyagram grafğ aşağıda verlmştr. Şekl..Çubuk Dyagram Grafğ Şekl.. ye bakıldığı zama çubuklar arasıda br açıklık görülmektedr. Bu da keskl verlerde sıırları brbrde kes br hat le ayrıldığıı göstermektedr..7. Eklemel (Yığmalı) Frekaslara At Grafkler Bu tp grafkler çzlrke eksede sııf sıırları, Y eksede se eklemel frekaslar yer alır. Bu oktaları kesştğ yerler brleştrlerek -de az ve -de çok eklemel frekas grafğ elde edlr. -de az eklemel frekas eğrs arta br foksyodur, dğer se azala br foksyodur. 5

20 Çzelge.. de yararlaarak eklemel frekas grafğ çzldğde Şekl.3. tek grafk elde edlr. F j Şekl.3. Eklemel (Yığmalı) Frekas Grafğ Sııf sıırları ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br üverstede rastgele seçle 0 erkek öğrec boyları (cm) aşağıdak gb bulumuştur. 5,56,6,66,70,75,80,86,57,63,67,7,76,8,88, 64,68,73,68,68 Brc sııfı alt sııf lmt 50 olmak üzere 8 sııflı br frekas tablosu düzeleyz. 6 ) Verler sııfladırılmasıı geel amacı edr, kısaca açıklayıız. 3) Aşağıda 40 kş dakkadak kalp atış sayısı verlmştr. 85,70,7,6,80,6,73,74,86,84,63,60,64,66,7,83,86,85,8,80,7, 73,66,69,78,77,84,85,83,8,8,83,7,76,7,77,80,8,80,79 a). Sııfı alt sııf lmt 6 olmak üzere 9 sııfı br frekas tablosu yapıız b) Hstogram grafğ çzz.

21 4) Đstatstk ders fal sıavıa at frekas tablosu aşağıda verlmştr. Pua Öğrec sayısı a) 69.5 de daha az ot ala, b) 9.5 de daha fazla ot ala öğrecler sayısıı buluuz. 7

22 3. YER ÖLÇÜLERĐ 3. Grş Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr..bölümdek Şekl.. e bakıldığı zama hstogram grafğde verler e fazla yığıldığı okta 4.5 le 48.5 değerler arasıda olduğu görülecektr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr, tahmdr. Bu yüzde gerçek değerler ç yer ölçüler hesaplamalıdır (Clarke ve Cooke, 983). 3.. Artmetk Ortalama E bast yer ölçüsüdür. sayıdak gözlem değer artmetk ortalaması, bu gözlem değerler toplamıı toplam gözlem sayısıa bölümes le bulua değerdr. değşke artmetk ortalaması le, Y değşke artmetk ortalaması Y le gösterlr. x + x x Örek: { 5,6,,4,3} se artmetk ortalama, tür. 5 (3.) Artmetk ortalamaı brm, gözlem değerler brm le ayıdır. Öreğ gözlem değerler kg le fade edlyor se hesaplaa artmetk ortalamaı brm de kg, cm le fade edlyor se artmetk ortalamaı brm de cm dr. Artmetk ortalama fades ayı zamada ortalama olarak da adladırılır. 8

23 9 3...Artmetk Ortalamaı Özellkler ) Gözlemler artmetk ortalamada farklarıı toplamı sıfıra eşttr. ( ) 0 Đspat: ( ) x olduğuda olur. Bu değer eştlkte yere yazılırsa; 0 olur. ) Gözlemler artmetk ortalamada sapmalarıı kareler toplamı mmumdur. ( ) mmum veya ( ) ( ) < A dr. Örek: { } 5,6,,4,3 ve A olsu. 4 olarak hesaplamıştı. Bua göre; ( ) 0 5 ( ) 30 5 A Dolayısı le 0<30 olur.

24 3) Gözlem değerlerde A gb sabt br sayı çıkartılıp ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda çıkartıla sayı kadar azalır. Y A se Y A olur. Örek: {5, 6,, 4, 3} se, değşke tüm gözlem değerlerde gb br değer çıkartıp, Y değşke elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y {3, 4, 0,, }, 4 olarak daha öcede hesaplamıştı. Y 4 olur. 4) Gözlem değerler tamamıa A gb sabt br sayı eklep ye değşkee at gözlem değerler elde edlse, ye değşke ortalaması esk değşke ortalamasıda eklee sayı kadar artar. Y A se + Y + A olur. Örek : { 5, 6,, 4, 3 } se değşke tüm gözlem değerlere gb br değer ekleyp, Y değşkee at gözlem değerler elde ettğmzde Y değşke ortalaması e olur? Y { 7, 8, 4, 6, 5 } Y + A Frekas Tablosuda Artmetk Ortalamaı Hesaplaması Frekas tablosuda artmetk ortalama aşağıdak formülde hesaplaır (Clarke ve Cooke, 983). k j j k f. j f j j (3.) Eştlkte; : değşkee at ortalamayı k: sııf sayısıı, 0

25 f j : j.sııfı frekasıı, j : j. Sııfı sııf değer gösterr. Örek:. bölümde oluşturula Çzelge.. dek frekas tablosua at artmetk ortalama hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Artmetk Ortalama Hesaplaması j f j f j j Σ 4 94 k j f. k j j f j j Medya (Ortaca Değer) Küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde tam ortada yer ala değere medya der. Örek: a), 6,, 4, 5, 7, 9 se, medyaı bulmak ç öcelkle bu sayılar küçükte büyüğe doğru sıralaır.,, 4, 5, 6, 7, 9 Ortadak değer 5 olduğu ç medya 5 tr. b), 7, 9, 3, 6, 8, 8, 3 se, 3, 3, 6, 7, 8, 8, Medya 6.5 tur.

26 O halde küçükte büyüğe doğru sıralamış verlerde, a) Tek sayıdak gözlem değer ç medya, +. gözlem değer b) Çft sayıdak gözlem değer ç medya, ( ) + (( + ) ). gözlem değerdr. Medyaı artmetk ortalamaya terch sebepler şulardır: ) Gözlem değerler çersde aşırı uç değerler varsa artmetk ortalama buda etkler. Ya aşırı uç değerler, artmetk ortalamayı yukarı veya aşağı çeker. Bu da artmetk ortalamaı matık dışı br değerde çıkmasıa ede olur. Halbuk medya, aşırı uç değerlerde etklemez. Bu yüzde gözlem değerler çersde aşırı uç değer varsa medya artmetk ortalamaya terch edlmeldr. ) Açık uçlu frekas tablolarıda sııf değerler hesaplaamaz. Sııf değer hesaplaamadığı ç f j j değer de hesaplaamaz. Bu edele bu tp tablolarda artmetk ortalama hesaplamak mkasızdır. Ye bu durumda medya hesaplamak gerekr Frekas Tablosuda Medya Hesabı Frekas tablosuda medya hesaplamak ç aşağıdak formülde yararlaılır. ( Fm ) Med b L +. c (3.3) f m b L : Medya sııfıı buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, N : Toplam frekası, F (m-) : Medya sııfıda br öcek sııfı de az eklemel frekasıı, f m : Medya sııfıı frekasıı, c : Sııf aralığıı göstermektedr.

27 Medya sııfı buluurke toplam frekası br fazlası ye bölüür, çıka değer de az eklemel frekas sütuuda ereye düşüyorsa o değer buluduğu sııf, medya sııfıdır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosuda medya hesaplaacaktır. Çzelge 3.. Frekas Tablosuda Medya Hesabı Sııf sıırları f j -de az Σ Medya Sııfı. 5. le 3. gözlem değer buluduğu sııf medya sııfıdır. Bu gözlem değerlere (. le 3.) de az eklemel sütuuda bakılır. Bu sütuda, 4 ü buluduğu sııf medya sııfıdır. Bua göre; b l 4.5 N 4 F (m-) 9 f m 5 c 6 dır. (4 9) Med

28 3.4. Mod (Tepe Değer) Br gözlem grubuda e çok tekrarlaa değere mod (tepe değer) der. Örek: a) 3,, 4,, 6,, 4,,, 3,, 7 se, Mod dr. b) 3,, 4,, 6,, 4,, 4, 7, 8 se Mod dr. Mod 4 tür. c) 4, 6,,, 5, 8, 7, 9 se Mod yoktur. Çükü tüm gözlem değerler sadece kez tekrarlamıştır Frekas Tablosuda Modu Hesaplaması Frekas tablosuda mod, aşağıdak formülde hesaplaır. d Mod bl +. c (3.4) ( d + d ) Eştlkte; b L : Modu buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, d : Mod sııfıı frekası le br öcek sııfı frekası arasıdak farkı, d : Mod sııfıı frekası le br sorak sııfı frekası arasıdak farkı, c : Sııf aralığıı göstermektedr. Mod sııfı, frekas tablosuda frekası e yüksek ola sııftır. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at mod değer aşağıdak şeklde hesaplaır. Mod sııfı, sııf sıırıı 4.5 le 48.5 değer arasıda yer aldığı sııftır. Çükü frekası e yüksek (5) ola sııf, bu sııftır. Bua göre çözüm; 4

29 b L 4.5 c 6 d 5-3 d 5-4 d Mod bl +. c ( d + d ) ( + 4) 44.5 tur Artmetk Ortalama, Medya ve Mod Arasıdak Đlşk ) Eğer Med Mod se dağılışı şekl smetrktr. Medya Mod Şekl 3.. Smetrk Dağılış ) Eğer > Med > Mod se dağılışı şekl, sağa çarpıktır. Mod Medy. Şekl 3.. Sağa Çarpık Dağılış 3) Eğer < Med < Mod se dağılışı şekl, sola çarpıktır. Medy. Mod Şekl 3.3. Sola Çarpık Dağılış 5

30 Çzelge 3..dek frekas tablosuda yararlaarak 49.75, Med 46., Mod olarak hesaplamıştı. Bua göre dağılış sağa çarpık br dağılıştır. Bu durum, Şekl 3. de de görülmektedr Tartılı Ortalama Kaltatf karakterlerdek verler, kategork olarak sııfladırılablr. Kategork sııfladırmada her sııfı ortalamaya katkısı eşt derecede olmayablr. Eğer burada drekt ortalama hesaplaırsa yaıltıcı olur. Öreğ br öğrec mezu olucaya kadar aldığı dersler düşüelm. Fzk kred, Kmya 3 kred, T.Dl kred, Hayva Islahı 4 kred, ve Đstatstk 3 kred, Tarım Ekooms 3 kred v.s. öğrec mezu olduğuda ot ortalaması (mezuyet ortalaması) hesaplamak stese tartılı ortalama hesaplamalıdır. Çükü bazı dersler haftalık kreds saat, bazı derslerk se saat, 3 saat, 4 saattr. Kreds saat ola ders ortalamaya etks le 4 saat olaık eşt değldr. Tartılı ortalamaı brm gözlem değerler brm olup, aşağıdak formülde hesaplaır. t k j j k t. j t j j (3.5) t : değşke tartılı ortalamasıı, t j : j. sııfı tartısıı, j : j. sııfı sııf değer, k : sııf sayısıı göstermektedr. 6

31 Örek: Br öğrec br döemde aldığı dersler, dersler kreds ve bu derslerde geçme otları aşağıda verlmştr. t Bua göre öğrec ot ortalamasıı buluuz? Dersler Kreds ( t j ) Notlar ( j ) t j. A 60 0 B C D E Σ 5 70 k j t. k j j t j j Eğer burada artmetk ortalama hesaplamış olsa d olacaktı k bu ortalama öğrec gerçek ortalaması olmayıp, farklı br souç elde edlmese ede olacaktı. Örek: Pazarda klosu TL de kg domates, TL de kg patlıca, TL de 3 kg şeftal ala br kş ortalama kaç TL ödemştr? j t Alıalar kg ( t j ) Fyatı ( j ) TL t j. Domates Patlıca Şeftal Σ k j t. k j j t j j j 7

32 Geometrk Ortalama Geometrk ortalama, herhag br öreğ meydaa getre gözlem değer çarpımlarıı toplam gözlem sayısıı. derecede kökü le hesaplaır. Bua göre geometrk ortalama; GO x. x... x Eştlkte, (3.6) GO: Geometrk ortalamayı, : Gözlem değerler, : Gözlem sayısıı göstermektedr. Bu formülde az sayıdak gözlemler geometrk ortalaması hesaplaablr. Acak çok fazla sayıda gözlem değer olduğuda bu formülle hesaplama yapmak zor olduğu ç aşağıdak formülde yararlaılır. log GO log x. x... x Bu formül geel olarak; log GO log şeklde de yazılablr. Örek:3, 5, 6,, 7 sayılarıı geometrk ortalamasıı buluuz. log formülüde GO log x. x... x 5 5 loggo log olur, veya log GO log formülüde de aşağıdak şeklde hesaplaablr. log GO (log log 7) / 5 log GO Bu değer atlogartması alıdığı zama geometrk ortalama hesaplaır.bua göre, GO olarak hesaplaır. Geometrk dzlerde brleşk faz formülüde yararlaarak dzdek artış hızı da aşağıdak formülde hesaplaablr.

33 P ) P0 ( + r (3.7) Eştlkte; : Yıl sayısıı, P :. yıl soudak ye kaptal, P 0 : Kaptal mktarıı, r : Artış hızıı göstermektedr. Örek: Türkye üfusu 990 yılıda 50 mlyo ke 996 yılıda 60 mlyo olmuştur. Bu yıl çde üfusu ortalama artış hızı e olmuştur? P P ( r) 0 + 6, P 0 50 mlyo, P 6 60 mlyo, r? 60 50( + r) ( + r ) / 50 ( + r ).0309 r.0309 r veya %3.09 luk br artış olmuştur Geometrk Ortalamaı Özellkler ) Gözlem değerler çersde 0 veya egatf br değer olduğu zama geometrk ortalama hesaplaamaz. Çükü sıfır ve egatf br değer karekökü ve logartması alıamaz. ) Br öreğ oluştura gözlemler geometrk ortalaması, gözlemler logartmalarıı artmetk ortalamasıı atlogartmasıdır. 3) Gözlemler arasıdak değşmler ayı oralarda veya ayı mktarda olursa buluacak ortalama geometrk ortalamadır. 4) Geometrk ortalamaı. kuvvet alıdığı zama termler çarpımıı verr. 9

34 5) Artmetk ortalamada ( ) 0 özellğe karşılık geometrk ortalamada, x / GO)( x / GO)...( x / GO) lşks vardır. ( 3.8. Harmok Ortalama d/t şekldek fadelerde d sabt t değşke se harmok ortalama hesaplaır. Yol /Zama fadesde yol sabt, zama değşkedr. Ye para/mal öreğde eğer para sabt, mal değşke se harmok ortalama hesaplaır. Harmok ortalama aşağıdak formül yardımı le hesaplaır. HO x x HO Eştlkte; (/ ) olur. veya (3.8) x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı, : değşkee at. gözlem değer göstermektedr. Örek: Patates br şehrde. yıl fyatı TL,.yıl 5.000TL, 3.yıl 3.000TL ve 4.yıl TL olmuştur. Bu şehrde patates ortalama fyatı kaç TL dr? Burada mal sabt (patates) fyat değşkedr. Dolayısıyla harmok ortalama hesaplaması gerekr. HO (/ ) 30

35 4 HO TL O halde bu şehrde patates 4 yıllık ortalama fyatı TL dr Frekas Tablosuda Harmok Ortalamaı Hesaplaışı Sııfladırılmış verlerde harmok ortalama, aşağıdak formülde hesaplaır. HO f x HO k j Eştlkte; ( f f + x / j j ) f x HO : Harmok ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası, j : j.sııfı sııf değer, k: Sııf sayısıı, f j : j. Sııfı frekasıı göstermektedr. k k veya (3.9) HO Örek: Çzelge 3. e at harmok ortalamayı hesaplayıız Harmok Ortalamaı Özellkler ) Br öreğe at gözlemlerde br sıfır olduğu zama, harmok ortalama hesaplaamaz. Çükü souç taımsızdır. ) Gözlemlerde br veya brkaçı ters şaretl se harmok ortalama alamsız souç verr. Bu gb durumlarda da harmok ortalama hesaplaamaz. 3

36 3.9. Artmetk, Geometrk ve Harmok Ortalama Arasıdak Đlşk sayıdak poztf sayıı geometrk ortalaması, artmetk ortalamada küçük veya eşt fakat harmok ortalamada büyük veya eşttr. Bua göre bu üç ortalama arasıda H. O G. O şeklde br bağıtı vardır. Örek: { 3,,6, } 4 GO log değerler 4 4 HO olup, aralarıda 4 <.449 < 3 şeklde br lşk vardır Karel Ortalama Karel ortalamayı, br öreğe at gözlemler kareler artmetk ortalamasıı karekökü şeklde taımlamak mümküdür. Bua göre karel ortalamaı formülü, KO / şeklde gösterlr. (3.0) Sııfladırılmış verlerde se karel ortalama aşağıdak formülde hesaplaır. KO f f j j f j j / (3.) Eştlkte; KO : Karel ortalamayı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, 3

37 : Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: 4,, 6, 7, değerlere at karel ortalamayı hesaplayıız? KO tür. 5 Örek: Çzelge 3. e at karel ortalamayı hesaplayıız. KO (3).(7.5) (4)(75.5) ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Aşağıdak gözlem değerlerde medyaı hesaplayıız. a), 5, 33, 4, b), 6, 6, 47, 9 c) 7, 8, 4,, 9, 3,, 5,,6 d) 34, -, 6, 0,, -, 0,, 7, ) 8 yaşıdak 0 öğrec boyları 78, 73, 75, 8, 79, 7, 69, 75, 73, 78, cm olduğua göre boy ortalamasıı hesaplayıız. 3) Aşağıdak frekas tablosuda artmetk ortalamayı hesaplayıız. Sııflar f ) 3. sorudak frekas tablosuda yararlaarak medya ve mod değer hesaplayıız. 6) Br ş yerde çalışa şçler 3 kategorde (usta, kalfa, çırak) yer almaktadır. Bu ş yerde bu kategorde yer ala şçler sayısı ve haftalık ücretler aşağıdak gbdr. Bua göre bu ş yerde bu şçlere haftada ortalama e kadar ücret ödemektedr? 33

38 Đşç Sııfı Çalışa Đşç Sayısı Haftalık Ödee Ücret(x000 TL) Usta Kalfa Çırak ) Al dü doğum güü partsdeyd. Partde bulua saları yaşları 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 33, 38, 40 olduğua göre ortalama yaşı bulmak ç, a) Hag tp yer ölçüsü kullaılır. Nç? b) Đlgl yer ölçüsüü kullaarak ortalamayı hesaplayıız. 8) Yer ölçülere ç htyaç duyulur, kısaca açıklayıız? 8) Btkler boyları (mm) le lgl frekas tablosu aşağıdak gb oluşturulmuştur. Sııflar f j a) Artmetk ortalamayı, b) Medyaı, c) Modu hesaplayıız. 9) {5,, 4, 6, 9, 3}sers, a) Artmetk ortalamasıı, b) Geometrk ortalamasıı, c) Harmok ortalamasıı buluuz ve souçları karşılaştırıız. 0) 00 adet sayıı 40 ı üç, 30 u k, 0 s br, 0 u 5 tr. Bu sayıları ortalamasıı buluuz. ) Br bölgede 7800 üfus vardır. Çoğalma hızı %.5 olduğua göre; a) 5 yıl öcek üfus e kadardır? b) Nüfus kaç yıl sora 5000 e çıkar? ) Medya hag durumlarda artmetk ortalamaya terch edlr, açıklayıız. 34

39 4. DAĞILIŞ ÖLÇÜLERĐ 4. Grş Buda öcek bölümde yer ala yer ölçüler verler merkez belrledğ belrtlmşt. Acak, yer ölçüler verler dağılışı ve şekl belrtmede yetersz kalmaktadır. A sııfıda rastgele seçle 5 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı 50 kg ve B sııfıda rastgele seçle 30 erkek öğrec ağırlık ortalamasıı da tesadüfe de olsa 50 kg olduğuu varsayalım. Burada A sııfıdak varyasyo mu (farklılık) daha fazladır, B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır,şeklde br soru yöeltlse hesaplaa ortalama (yer ölçüsü) bua cevap veremez. Halbuk bu soruu cevabıı acak dağılış ölçüler le alablrz. Dağılış ölçüler, br ver grubudak varyasyou belrlemede veya k ver set gösterdkler varyasyo bakımıda karşılaştırmada kullaıla statstklerdr (Yıldız ve Brca, 99). 4.. Değşm Geşlğ (Rage) Değşm geşlğ, br ver setde e yüksek değerle e küçük değer arasıdak farka der. D. G. (4.) maks m Örek: {, 5,, 6, 7, 3, 9, 4} se değşm geşlğ hesaplayıız. D.G 3- olur. Değşm geşlğ, e bast ve e klask br dağılış ölçüsüdür. Bua karşılık değşm geşlğ bazı dezavatajlı yöler de vardır. Bular: a) Đk grup varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stese tesadüfe de olsa ayı değşm geşlğe sahp olablrler. Bu da grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda yaıltıcı souç verr. b) Ye grupları varyasyo bakımıda karşılaştırılmasıda eğer gruplarda eşt sayıda gözlem değer yoksa hesaplaa değşm geşlkler bz yaıltablr. 35

40 c) Değşm geşlğ hesaplaırke tüm verler göz öüde tutulmamaktadır. Bu da ver kaybıa ede olur Ortalama Mutlak Sapma sayıdak gözlem değer ortalama mutlak sapması, bu gözlem değerler her br ortalama sapmalarıı mutlak değer ortalaması alıarak hesaplaır. O. M. S (4.) Eştlkte; O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, : değşkee at. gözlem değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı göstermektedr. Örek: {3, 6,, 4,, 8}değerlere at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız O. M. S 6 6 Ortalama mutlak sapmaı brm, gözlem değerler brmdr. Ya gözlem değerler brm kg se ortalama mutlak sapmaı brm de kg dır, cm se bu statstğ brm de cm dr. Frekas tablosuda ortalama mutlak sapma hesaplamak stese, aşağıdak formül kullaılır. k O. M. S f (4.3) Eştlkte; j O.M.S : Ortalama mutlak sapmayı, j j

41 k: Sııf sayısıı, f j : j. sııfı frekasıı, j : j. sııfı sııf değer, : değşkee at artmetk ortalamayı, : Toplam gözlem sayısıı veya toplam frekası göstermektedr. Örek: Çzelge 3.. dek frekas tablosua at ortalama mutlak sapmayı hesaplayıız olarak hesaplamıştı. Bua göre; O. M. S Varyas ve Stadart Sapma Gözlemler ortalamada sapmalarıı kareler ortalamasıa varyas der. Varyası brm yoktur. Öreğ gözlemler brm kg se varyası brm olarak kg dedğmzde br alam fade etmez. Populasyo varyası Bua göre; σ, örek varyası se S le gösterlr. ( µ) σ, (4.4) S ( ) dr. Uygulamada çok fazla gözlem değer olduğuda yukarıdak formülü kullamak zor olduğu ç bu formül aşağıdak şeklde kısaltılarak kullaılablr. ( ) ( + ) 37

42 ( ) ( ) + ( ) olur. O halde örek varyası kısaca aşağıdak gb yazılablr. ( ) S (4.5) Örek: { },4 6, 5, 4, se örek varyasıı hesaplayıız. Σ (3) 77 5 S Frekas tablosuda varyas hesaplamak stedğde aşağıdak formül kullaılır. j j j j j f f S ) ( veya

43 S Eştlkte; k f k j f j j S : Örek varyasıı, f j : j. sııfı frekasıı, k: sııf sayısıı, j j k j k f j j j : j. sııfı sııf değer göstermektedr. f j j (4.6) Örek: Çzelge 3. dek frekas tablosua at varyası hesaplayıız. S f j f j j f j j Σ Stadart sapma, varyası kareköküdür. Varyas, tek başıa br alam fade etmedğ ç ve brm olmadığı ç stadart sapma hesaplaır. Stadart sapmaı brm vardır. Gözlem değerler brm eyse stadart sapmaı brm de odur. Stadart sapma, populasyo ç σ le örek ç S le gösterlr. σ σ S S dr. 39

44 Örek: { 4, 5, 6,,4} hesaplayıız. değerlere at stadart sapmayı Bu öreğe at varyas ( S ) daha öcede. olarak hesaplamıştı. Bua göre stadart sapma, S olur Varyası Özellkler ) Tek br gözlem değere at varyas hesaplaamaz. ) Eğer gözlem değerler heps brbr ayı se aralarıda br varyasyo (farklılık) olmadığı ç varyas ye sıfır olur. Örek: { 4, 4, 4, 4} se S 0 dır. 3) Gözlem değerler hepse a gb sabt br sayı eklerse varyası değer değşmez, esks le ayı kalır. Y a se + S olur. y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamıa 3 gb sabt br sayı ekledğzde elde edle Y değşkee at varyas e olur? Daha öcede değşkee at varyas. olarak hesaplamıştı. O halde Y değşke varyası da. olur. Y Y Σ S ) Gözlem değerler hepsde a gb sabt br sayı çıkartılırsa, ye elde edle değşke varyası değşmez, esks le ayı kalır. 40

45 Y a se, S y S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerlerde gb sabt br sayı çıkartıldığıda elde edle Y değşkee at varyas e olur? S y S x S y. 5) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayı le çarpılırsa, ye elde edle değşke varyası esksde a değer le çarpımı kadar değşr. Y a. se S a y. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb br değerle çarpıldığıda elde edle Y değşke varyası e olur? S a y. S x S y 4x ) Gözlem değerler heps a gb sabt br sayıya bölüdüğü zama, elde edle değşke varyası esksde /a kadar değşr. Y / a. se S olur. y / a. S x Örek: { 4, 5, 6,,4} se bu değerler tamamı gb sabt br sayıya bölüdüğüde elde edle Y değşke varyası e olur? Y / a. d S y / Stadart Hata Đstatstkte hesaplaa her statstk değer mutlaka hatası da hesaplamalıdır. Çükü hesaplaa statstkler, tahm br değer olduğu ç mutlaka hataları da vardır. 4

46 Stadart hatalar, lerde 8. ve 9. bölümlerde alatılacak ola gerek güve aralıklarıı oluşturulmasıda gerekse hpotez testler yapılmasıda kullaılacaktır. Stadart hata, populasyo ve örek ç aşağıdak formüllerde hesaplaır. Eştlklerde; σ σ (4.7) x / S x S / dr. σ : Populasyoa at stadart hatayı, σ : Populasyo varyasıı, N: populasyo geşlğ, S : Öreğe at stadart hatayı, S : Öreğe at varyası, : Örek geşlğ göstermektedr. Stadart hataı brm gözlem değerler brm le ayıdır. değerler stadart hatasıı hesaplayıız. S Örek: { 3, 5, 6, 4, } ( ) S S x Varyasyo Katsayısı Şu aa kadar alatıla dağılış ölçüler farklı populasyolara at varyasyou (farklılığı) karşılaştırmada yetersz kalmaktadır. Öreğ sığırlarda ve koyularda calı ağırlık bakımıda varyasyo karşılaştırılmak stese, ayrıca dağılış ölçüsü olarak da stadart sapma kullaılsa, sığırları stadart sapması koyularıkde her zama

47 büyük çıkacaktır. Çükü sığırlarda elde edle calı ağırlık değerler dama cebrsel olarak koyularıkde büyüktür. Bu yüzde bu durumda varyasyo katsayısı kullaılmalıdır. Varyasyo katsayısı aşağıdak durumlar ç kullaılır. a) Farklı populasyolarda ayı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır (yukarıda verle örekte olduğu gb ). b) Ayı populasyoda farklı özellkler varyasyo bakımıda karşılaştırılacağı zama kullaılır. Öreğ, ayı sııfta statstk ve kmya otları varyasyo bakımıda karşılaştırılmak stedğde bu statstk kullaılır. c) Varyasyo katsayısı, br araştırmaı güvelrlğ kotrol etmek stedğde kullaılır. Geellkle varyasyo katsayısı %30 u üzerde ola araştırma etcelere güvelmez. Varyasyo katsayısı % olarak fade edlp, aşağıdak formülde hesaplaır. Eştlkte; S V. K(%).00 (4.8) V.K(%) : % Varyasyo katsayısıı, S: Stadart sapmayı, : Ortalamayı göstermektedr. değerlere at varyasyo katsayısıı hesaplayıız. Örek: {, 4, 6,,3, 5} S S S ( ) S S

48 x S 4.47 V. K(%) Örek: A sııfıda rastgele seçle 7 öğrec matematk otları 3, 7, 9, 5, 5, 8, ve B sııfıda rastgele seçle 0 öğrec matematk otları 9, 7,, 6,, 5, 8, 8, 3, 4, olarak tespt edlmştr. Bua göre matematk otları bakımıda A sııfıdak varyasyo mu B sııfıdak varyasyo mu daha fazladır, ç? S A S A A S.573 V. K(%) S B S B B S.75 V. K(%) B sııfıdak varyasyo A sııfıa göre daha fazladır. Çükü bu sııftak varyasyo katsayısı dğerde daha büyüktür. 44

49 4.7. Eğrlk Katsayısı (Skewess) Eğrlk katsayısı ormal dağılışı smetrklk ölçüsüdür. δ 3 değer olarak blr. Bu değer aşağıdak formülde hesaplaır (Yıldız ve Brca, 99). γ Eştlkte; 3 3 ( ( µ ) ) / (4.9) 3 σ γ 3: Eğrlk veya çarpıklık katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. 3 γ 3 0 se dağılış smetrk, 3 γ < 0 se dağılış sola çarpıktır. γ > 0 se dağılış sağa çarpık ve Örek: {5,, 6, 4, 3, 7, } se eğrlk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ σ S S S ( ) S γ 3 3 ) / 7 3 ( ( ) ) / ((5 4) ( 4) µ 3 3 σ (.60) γ 3 0 olduğuda bu gözlem değerler smetrk br dağılışa sahptr. 0 45

50 4.8.Dklk Katsayısı (Kurtoss) Normal dağılış eğrs svrlk veya basıklığıı belrlemede kullaıla ölçüdür. Dklk katsayısı, δ 4 olarak blmekte olup, aşağıdak formülde hesaplaır. ( ( ) ) / 4 [ µ γ ] 3 4 σ 4 (4.0) γ 4 : Dklk katsayısıı, : değşke. gözlem değer, µ : Artmetk ortalamayı, : Gözlem sayısıı, σ : Stadart sapmayı göstermektedr. γ 4 > 0 se, gözlemler svr br dağılışa, γ 4 < 0 se, gözlemler basık br dağılışa sahptr. Örek: 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar 45, 56, 73, 38, 4, 67, 89, 9, 96, 3 olarak tespt edlmştr. Bua göre dklk katsayısıı hesaplayarak yorumlayıız? µ σ S γ ( ) [((45 59.) (3 59.) ) /0]/(8.94) γ γ < 0 olduğu ç bu 0 öğrec statstk dersde almış oldukları otlar basık br dağılışa sahptr. 46

51 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) Br grup öğrec sstolk ka basıçları ölçülmüş ve şu değerler elde edlmştr. 8, 35, 8, 3, 4, 37 Bu değerlere at değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. ) A ve B gruplarıdak gözlem değerler aşağıdak gb bulumuştur. A {5, 8, 3,, 7, 4,, 6} B {0, 0, 7, 7,, 6, 7, 9} Bu k grup ç değşm geşlğ ve stadart sapmayı hesaplayıız. Hag grupta varyasyou daha fazla olduğuu bulmak stedğzde, bu k dağılış ölçüsüde hags kullaırsıız, ç? 3) Aşağıdak her br ver set ç stadart sapmayı hesaplayıız. a),, 4 b)3, 6, 9,, 5 c) 3, 0, -3, 6, -6 d),,, 8, 8, 8 e), -, -4 f) /4,/, ¾ 4) Br fabrkada A ve B tp ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo aşağıdak gb bulumuştur. A: 7,, 4, 36, 8, 0, 9 B: 3, 5, 7,, 4,, 8, 6, 3 Bua göre hag fabrkada ampuller dayaıklılık süres bakımıda varyasyo daha fazladır, ç? 5) Değşm geşlğ ç y br dağılış ölçüsü değldr? 6) Varyasyo katsayısıı kullaıldığı yerler hagsdr? 7) Değşm geşlğ ortalama mutlak sapma, stadart sapma ve varyasyo katsayısı ked çde karşılaştırılmak stese e y dağılış ölçüsü hagsdr, ç? 8) Aşağıdak frekas tablosuu tamamlayarak eğrlk ve dklk katsayılarıı hesaplayıız, bulduğuuz değerler yorumlayıız Sııflar f

52 9) 7, 3,, 5, 6,, değerlere at stadart sapma.36 olarak hesaplamıştır. Bu değerler tamamı 3 gb sabt br sayı le çarpılsa, elde edle gözlem değerler varyası ve stadart sapması e olur? 0) 400 gözlemlk br örekte stadart hata değer 0.50 olarak hesaplamıştır. Bua göre stadart sapma değer kaçtır? 48

53 5. KESĐKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 5.. Grş Keskl verler göstermş olduğu dağılışa der. Başlıca keskl olasılık dağılışları şulardır: Beroull dağılışı, bom dağılışı, egatf bomal dağılış, geometrk dağılış, hpergeometrk dağılış, posso dağılışı (Akdez, 984). Bu bölümde bu dağılışlarda sadece bom dağılışı ve posso dağılışı alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Keskl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa olasılık foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılıklar hesaplaırke Σ (sgma) şaret kullaılmaktadır. 5.. Bom Dağılışı Keskl özellk göstere br olayı, bom dağılışı göstereblmes ç şu şartları sağlamış olması gerekr. ) Deemeler brbrde bağımsız olmalıdır. ) Deemede stee ve stemeye şeklde k soucu olması gerekr. 3) Đstee olayı olması olasılığı p ve stemeye olayı olması olasılığı q se p + q olmalıdır. 4) Deemeler sayıda tekrarlaablr olmalıdır. Bom dağılışıa at olasılık foksyou (5.) eştlğdek gbdr. P(R r ). p r.q -r r 0,,..., (5.) r Foksyoda ; R : Keskl şas değşke, r : Đstee olayı tekrarlama sayısıı, : Toplam olay sayısıı, p : Đstee olayı olma olasılığıı, 49

54 q : Đstemeye olayı olma olasılığıı göstermektedr. Eştlkte,! formülüde hesaplaır. r r!( r)! 0!!!. 5! dr. r 0 P( R r) P(R 0) + P(R ) P(R) dr. Bom dağılışı k parametrel br dağılış olup, parametreler µ ve σ dr. Bom dağılışıı ortalaması ve varyası aşağıdak formülde hesaplaır. µ. p σ. p. q σ σ dr. Örek: 4 çocuklu br alede çocuklarda a) Heps erkek, b) Heps kız, c) 3 çocuğu erkek, d) E fazla 3 çocuğu erkek e) E az 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. f) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 4 P(Erkek) p P(Kız) q 50

55 a) r P(R 4).. 4 4! 0!.4! b) Heps kız olması hç erkek olmaması demektr. Dolayısıyla r0 olur.o halde, 0 4 P(R 0).. 0 4! 0!.4! c) P(R 3).. 3 4! 3!.! 3!.4 3!.! d) P(R 3) P(R 0) + P(R ) + P(R ) + P(R 3) P(R 4) e) P(R 3) P(R3) +P(R4)

56 5 f) µ. p 4. σ. p. q σ 4.. σ Örek : Br torbada 8 kırmızı, 4 beyaz blya vardır. Rastgele çekle 3 blyaı; a) Heps kırmızı b) s kırmızı c) E fazla s kırmızı blya gelme olasılığıı hesaplayıız. p P (Kırmızı) 8 3 q P (Beyaz) p a) P(R3) ! !.9! b) P(R) !!.0! 0!...0! olur , , ,

57 c) P(R ) P(R 0) + P(R ) + P(R ) P(R3) Posso Dağılışı Bom dağılışıda değer oldukça büyük ( sosuza yaklaşırke), p değer oldukça küçük (p sıfıra yaklaşırke) olasılık foksyouu kullaarak hesaplama yapmak oldukça zordur. Bu edele, bu gb durumlarda posso dağılışıı olasılık foksyouda yararlaarak olasılık hesaplaır. Posso dağılışıı olasılık foksyou, e P(R r) Eştlkte; r. µ, r0,,..., (5.) r! µ R : Posso dağılışıa at şas değşke, r : Đstee olay sayısıı göstermektedr. e : Tab logartma tabaı olup, değer.78 dr. µ : Posso dağılışıı ortalaması olup, µ. p değerde hesaplaır. Posso dağılışı tek parametrel br dağılış olup, parametres µ dür. Ayrıca ortalaması ve varyası brbre eşt br dağılıştır. Örek : üfuslu br kasabada trafk kazası olma olasılığı dr. Bua göre bu kasabada rastgele seçle sürücülerde; a) Hçbr kaza yapmama olasılığıı, b) Đks kaza yapma olasılığıı, c) E az br kaza yapma olasılığıı hesaplayıız. d) Dağılışı ortalamasıı ve stadart sapmasıı hesaplayıız p µ. p

58 a) P(R 0) e. 0 0! e b) P(R ) e.! e c) P(R ) P( R 0) d) Posso dağılışıda ortalama ve varyas brbre eşt olduğu ç dağılışı varyasıda olur. Dolayısıyla stadart sapması da olur. ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ ) 5 çocuklu br alede; a) Ale bütü çocuklarıı erkek olma olasılığıı, b) E fazla 3 çocuğu erkek olma olasılığıı hesaplayıız. ) 0 defa atıla br parada, a) E çok 3 defa yazı gelme olasılığıı, b) 3 le 5 defa arası yazı gelme olasılığıı, c) E az defa yazı gelme olasılığıı hesaplayıız, d) Dağılışı ortalamasıı ve varyasıı buluuz. 3) Bom dağılışı le posso dağılışı arasıda e gb farklar vardır? Kısaca açıklayıız. 4) Br havuzdak kurbağaları %80 syah, %0 s yeşldr. Bu havuzda tesadüfe 3 kurbağa seçlrse, a) Đks syah, br yeşl olma olasılığı edr? b) Đks yeşl, br syah olma olasılığı edr? 5) Ortalaması ola br posso populasyouda çekle 00 brmlk br örekte stee özellğ 0,,,3 ve daha fazla göstereler teork frekaslarıı hesaplayıız. 54

59 3 3 6) a. se a ı değer edr? r 0 r 7) Br karı koca kaç çocuk sahb olmalıdır k, e az br erkek çocuk olma olasılığı %95 olsu. 8) Br tohumu çmleme olasılığı 0.85 dr. Ekle 4 tohumda, a) Hç br çmlememes, b) E az k taes çmleme olasılıklarıı hesaplayıız. 55

60 6. SÜREKLĐ OLASILIK DAĞILIŞLARI 6.. Grş Sürekl verler göstermş olduğu dağılışa sürekl olasılık dağılışı der. Başlıca sürekl olasılık dağılışları şulardır: Normal dağılış, stadart ormal dağılış, F dağılışı, Beta dağılışı, Gama dağılışı, Couchy dağılışı. Bu bölümde bu dağılışlarda sadece ormal dağılış ve stadart ormal dağılış alatılacaktır. Çükü uygulamada daha zyade bu dağılışlar kullaılmaktadır. Sürekl olasılık dağılışlarıı foksyolarıa yoğuluk foksyou delmekte ve bu dağılışlarla lgl olasılık hesaplaırke " " (tegral) şaret kullaılmaktadır (Akdez, 984). 6. ormal Dağılış Normal dağılışı yoğuluk foksyou, f ( ( µ ) σ ).e (6.) σ π Eştlkte; : Sürekl şas değşke olup, ~ N ( µ,σ² ) dr. σ : Populasyoa at stadart sapmayı, π : Matematkte p sayısı olup, değer 3.46, e : Tab logartma tabaı olup, değer.78, µ : Populasyo ortalamasıı, σ² :Populasyo varyasıı göstermektedr. Normal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak bu dağılışı hstogram grafğ çzldğde Şekl 6..' dek gb eğr ortaya çıkar. 56

61 Şekl 6.. Normal Dağılış Eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs özellkler şulardır. ) Eğr ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr ça bçmdedr. Bu edele gülük hayatta bu eğrye ça eğrs der. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(x) dx Şekl 6. e bakıldığı zama µ (ortalama) eğr ekse üzerdek yer, σ se Y ekse üzerde eğr şekl belrler. Normal dağılış foksyouda yararlaarak sürekl verlerle lgl olasılıklar hesaplaablr. Acak bu olasılıkları hesaplamak ç ormal dağılış foksyouu tegral almak gerekr. Bu şlem se oldukça zordur. Bu edele bu olasılıkları hesaplamak ç stadart ormal dağılış foksyouda yararlaılır Stadart ormal Dağılış Ortalaması sıfır, varyası ola dağılışa stadart ormal dağılış adı verlr. Eğer Z değşke stadart ormal dağılış gösteryorsa bu Z ~ N z (0,) şeklde gösterlr. Eğer değşke ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa (Z) döüştürülecek se (6.) eştlğdek formül kullaılır. ( µ) Z (6.) σ 57

62 Eştlkte; : Normal dağılışa at sürekl şas değşke olup, ~ N( µ, σ² ) Z : Stadart ormal dağılışa at sürekl şas değşke olup, Z ~N(0,) µ : değşke ortalamasıdır. σ : değşke stadart sapmasıdır. Örek : {3, 5,, 6, 7} değşke N(4.4, 5.8) şeklde ormal dağılışa sahptr. Bu ormal dağılışı ortalaması 0, varyası ola stadart ormal dağılışa döüştürüüz. (3 4.4) Z Z ( ) / Z 3 ( 4.4 ) / Z 4 ( ) / Z 5 ( ) / Z Σ Z / (- 0, ) / 5 0 S. Z Z S z olur. ( Z ) Eğer Z ( - µ ) / σ ve dx σ dz y ormal dağılış foksyouda yere yazarsak stadart ormal dağılış eğrse at yoğuluk foksyou aşağıdak gb elde edlr. f ( Z ) π.e Z (6.3) Stadart ormal dağılışı yoğuluk foksyouda yararlaarak hstogram grafğ çzldğde Şekl 6.. de verle eğr elde edlr. 58

63 Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs özellkler şulardır: ) Eğr, ortalamaya göre smetrktr. ) Eğr, ça bçmdedr. 3) Eğr altıda kala toplam ala dr. + f(z).dz dr. Görüldüğü gb Şekl 6.. dek stadart ormal dağılış eğrs Şekl 6.. dek ormal dağılış eğrs le ayı özellklere sahptr. Bu edele stadart ormal dağılış eğrsde hesaplaacak br olasılık le ayı zamada ormal dağılış le lgl olasılıkta hesaplamış olur. Bu yüzde stadart ormal dağılışa at yoğuluk foksyouda yararlaarak hazır Z cetveller oluşturulmuştur. Bu cetveller ek kısmıda verlmş olup, eğr altıda kala alalar kolaylıkla hesaplamaktadır; ayrıca tegral şlem yapmaya gerek yoktur. Örek : Z ~ N z (0,) se aşağıdak olasılıkları hesaplayıız a) P(Z >.78) b) P(Z < -.78) c) P(.73 < Z <.45) d) P(Z <.6) e) P(Z > -.03) 59

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması

İki veri setinin yapısının karşılaştırılması İk ver set yapısıı karşılaştırılması Dağılım: 6,6,6 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: 6 td. apma: 0 Dağılım: 0,6,1 Ortalama: 6 Medya: 6 Mod: çoklu mod td: apma: 6 Amaç: Görüe Ötese Bakablmek Verler değşkelk durumuu

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ

Tanımlayıcı İstatistikler (Descriptive Statistics) Dr. Musa KILIÇ Taımlayıcı İstatstkler (Descrptve Statstcs) Dr. Musa KILIÇ TANIMLAYICI ÖRNEK İSTATİSTİKLERİ YER ÖLÇÜLERİ (Frekas dağılışıı abss eksedek durumuu belrtr.) DEĞİŞİM ÖLÇÜLERİ ( Frekas dağılışıı şekl belrtr.).

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Taımlayıcı İstatstkler br değerler dzs statstksel olarak geel özellkler taımlaya ölçülerdr Taımlayıcı İstatstkler Yer Göstere Ölçüler Yaygılık Ölçüler Yer Göstere Ölçüler Br dağılımı

Detaylı

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi

Regresyon ve Korelasyon Analizi. Regresyon Analizi Regresyo ve Korelasyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo Aalz Regresyo aalz, aralarıda sebep-souç lşks bulua k veya daha fazla değşke arasıdak lşky belrlemek ve bu lşky kullaarak o kou le lgl tahmler (estmato)

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS

BEKLENEN DEĞER VE VARYANS BEKLEE DEĞER VE VARYAS.1. İadel ve adesz öreklemede tüm mümkü örekler.. Beklee değer.3. Varyas.4. İk değşke ortak dağılımı.5. İstatstksel bağımsızlık.6. Tesadüf değşkeler doğrusal kombasyolarıı beklee

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde fazla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla veya ayrıca örek verlerde hareketle frekas dağılışlarıı sayısal olarak düzeleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlede

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl@deu.edu.tr Taımlayıcı İstatstkler Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler) Duyarlı Ortalamalar

Detaylı

Polinom İnterpolasyonu

Polinom İnterpolasyonu Polom İterpolasyou (Ara Değer Bulma Br foksyou solu sayıdak, K, R oktalarıda aldığı f (, f (,, f ( değerler bls (foksyou keds blmyor. Bu oktalarda geçe. derecede br tek, P a + a + a + + a (... polumu vardır

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç

Sayısal Türev Sayısal İntegrasyon İnterpolasyon Ekstrapolasyon. Bölüm Üç Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu

Detaylı

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI

Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Doç. Dr. Mehmet AKSARALI www.mehmetaksarayl İstatstksel araştırmalarda k yada daha çok değşke arasıdak lşk celemes ç e çok kullaıla yötemlerde brs regresyo aalzdr. Değşkeler arasıdak lşk matematksel br

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ

Değişkenler Arasındaki İlişkiler Regresyon ve Korelasyon. Dr. Musa KILIÇ Değşkeler Arasıdak İlşkler Regresyo ve Korelasyo Dr. Musa KILIÇ http://ks.deu.edu.tr/musa.klc 1. Grş Buda öcek bölümlerde celedğmz koular, br tek değşke ç yorumlamalar yapmaya yöelk statstk yötemler üzerde

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2

Parametrik Olmayan İstatistik Çözümlü Sorular - 2 Parametrk Olmaya İstatstk Çözümlü Sorular - Soru Böbrek hastalarıa at Kreat (KRT) değerlere lşk br araştırma yapılmak stemektedr. Buu ç rasgele seçle hastaya at Kreat değerler aşağıdak gb elde edlmştr

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstkler Br veya brde azla dağılışı karşılaştırmak ç kullaıla ve ayrıca örek verlerde hareket le rekas dağılışlarıı sayısal olarak özetleye değerlere taımlayıcı statstkler der. Aalzlerde

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

Đst201 Đstatistik Teorisi I

Đst201 Đstatistik Teorisi I Đst20 Đstatstk Teors I DERSĐN TÜRÜ Zorulu DERSĐN DÖNEMĐ Yaz DERSĐN KREDĐSĐ Ulusal Kred: (4, 0, 0 ) 4 KTS: 7 DERSĐN VERĐLDĐĞĐ Bölüm: Đstatstk 200/20 Öğretm Yılı DERSĐN MCI Đstatstğ matematksel temeller

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi İKT351 Ekonometri I, Ara Sınavı TOBB Ekoom ve Tekoloj Üverstes İKT351 Ekoometr I, Ara Sıavı Öğr.Gör.: Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ad, Soyad: Açıklamalar: Bu sıav toplam 100 pua değerde 4 soruda oluşmaktadır. Sıav süres 90 dakkadır ve

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME

TABAKALI ŞANS ÖRNEKLEME 6 TABAKAI ŞA ÖREKEME 6.. Populasyo ortalaması ve populasyo toplamıı tam 6.. Populasyo ortalamasıı ve toplamıı varyası 6... Populasyo ortalamasıı varyası 6... Populasyo toplamıı varyası 6..3. Ortalama ve

Detaylı

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24

=... 29 İÇİNDEKİLER. E(X) = k... 22. 3.5. Pascal (Negatif Binom) Dağılımı... 22 1. 3.6. Hipergeometrik Dağılım... 22. N y= ... 24 İÇİNDEKİLER SİMGE LİSTESİ... KISALTMA LİSTESİ... v ÇİZELGE LİSTESİ... v ŞEKİL LİSTESİ... v ÖNSÖZ... v ÖZET... x ABSTRACT... x GİRİŞ... BÖLÜM : OLASILIK DAĞILIMLARI VE OLASILIK YOĞUNLUKLARI... BÖLÜM : OLASILIK

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları

MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK. Prof. Dr. Hüseyin Çelebi Ders Notları MEÜ. Mühedslk Fakültes Jeoloj Mühedslğ Bölümü MÜHENDİSLER İÇİN İSTATİSTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALAR Prof. Dr. Hüsey Çeleb Ders Notları Mers 007 Prof. Dr.-Ig. Hüsey Çeleb 1 Brkaç ülü sözü İstatstk! Matematğ

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER

HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER HĐPERSTATĐK SĐSTELER Taım: Bütü kest zorları, şekldeğştrmeler ve yerdeğştrmeler belrlemes ç dege deklemler yeterl olmadığı sstemlere hperstatk sstemler der. Hperstatk sstemler hesabı ç, a) Dege deklemlere,

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi

Zaman Skalasında Box-Cox Regresyon Yöntemi Dokuz Eylül Üverstes İktsad ve İdar Blmler Fakültes Dergs, Clt:7, Sayı:, Yıl:0, ss.57-70. Zama Skalasıda Bo-Co Regresyo Yötem Atlla Özur İŞÇİ Sbel PAŞALI GÖKTAŞ ATMACA 3 M. Nyaz ÇANKAYA 4 Özet Hata term

Detaylı

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları

5.1 Olasılık Tarihi. 5.2. Temel Olasılık Kavramları 5 OLSILIK 5.. Olasılık Tarh 5.. Temel Olasılık Kavramları 5.3. Deeysel Olasılık 5.4. Temel olasılık Teoremler 5.5. Olasılığı Tolaablrlk Kuralı: 5.6. Olasılığı çarım kuralı: 5.7. Değl ağıtısı: 5.8. Koşullu

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri Yayılma (Değşel) Ölçüler Br ver set taıma yada farlı ver set brbrde ayırt etme ç her zama yalızca yer ölçüler yeterl olmayablr. Dağılımları brbrde ayırt etmede ullaıla ve geellle artmet ortalama etrafıda

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI Ki-Kare Analizleri

Kİ KARE ANALİZİ. Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI  Ki-Kare Analizleri Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr.

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER 4.. Merkez Eğlm Ölçüler 4... Artmetk Ortalama 4... Ağırlıklı Artmetk Ortalama 4..3. Keslmş artmetk ortalama 4..4. Geometrk Ortalama 4..5. Harmok Ortalama 4..6. Kuadratk Ortalama

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri

Merkezi Eğilim (Yer) Ölçüleri Merkez Eğlm (Yer) Ölçüler Ver setn tanımlamak üzere kullanılan ve genellkle tüm elemanları dkkate alarak ver setn özetlemek çn kullanılan ölçülerdr. Ver setndek tüm elemanları temsl edeblecek merkez noktasına

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE 1 ölüm maçları İSTTİSTİKSEL THMİLEME VE YORUMLM SÜRECİ ÖREKLEME VE ÖREKLEME DĞILIMLRI u bölümde öğreeceklerz. Örekleme gereksm ve yötemler celemek. Örekleme hatası kavramıı taımlamak Örekleme dağılışı

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR

EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR EMEKLİLİK YATIRIM FONLARI DEĞERLENDİRMESİ AÇIKLAMA NOTLARI VE VARSAYIMLAR 2013 yılı fo getrs 02/01/2013-02/01/2014 tarhl brm pay değerler kullaılması le hesaplamıştır. 2013 yılı karşılaştırma ölçütü getrs

Detaylı

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler

BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER İki Boyutlu Rasgele Değişkenler BÖLÜM 5 İKİ VEYA DAHA YÜKSEK BOYUTLU RASGELE DEĞİŞKENLER 5.. İk Boyutlu Rasgele Değşkenler Br deney yapıldığında, aynı deneyle lgl brçok rasgele değşkenn aynı andak durumunu düşünmek gerekeblr. Böyle durumlarda

Detaylı

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör.

KUVVET SİSTEMLERİ KUVVET. Vektörel büyüklük. - Kuvvetin büyüklüğü - Kuvvetin doğrultusu - Kuvvetin uygulama noktası - Kuvvetin yönü. Serbest vektör. İ.T.Ü. aka akültes ekak Aa Blm Dalı STATİK - Bölüm KUVVET SİSTELEİ KUVVET Vektörel büyüklük - Kuvvet büyüklüğü - Kuvvet doğrultusu - Kuvvet uygulama oktası - Kuvvet yöü S = (,,..., ) = + +... + = Serbest

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir.

değerine bu matrisin bir girdisi(elemanı,bileşeni) denir. Bir sütundan (satırdan) oluşan bir matrise bir sütun (satır) matrisi denir. Bölüm 2 Matrsler aım 2.1 F br csm, m, brer doğal sayı olsu. a F ( 1,.., m; j 1,..., ) olmak üzere, a11... a1 fadese m satır sütuda oluşa (veya m tpde) br F matrs der. am 1... a m Böyle br matrs daha sade

Detaylı

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI

KONTROL KARTLARI 1)DEĞİŞKENLER İÇİN KONTROL KARTLARI 1 KONTOL KATLAI 1)DEĞİŞKENLE İÇİN KONTOL KATLAI Ölçe,gözle veya deey yolu le elde edle verler değşke(ölçüleblr-sürekl) ve özellk (sayılablr-keskl) olak üzere başlıca k gruba ayrılır. Değşke verler belrl

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü

(DERS NOTLARI) Hazırlayan: Prof.Dr. Orhan ÇAKIR. Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi, Fizik Bölümü FİZ433 FİZİKTE BİLGİSAYAR UYGULAMALARI DERS NOTLARI Hazırlaya: Pro.Dr. Orha ÇAKIR Akara Üverstes, Fe Fakültes, Fzk Bölümü Akara, 7! İÇİNDEKİLER. LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI I/II. LİNEER

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

A t a b e y M e s l e k Y ü k s e k O k u l u İstatistik Sunum 4 Öğr.Gör. Şükrü L/O/G/O KAYA www.sukrukaya.org www.themegallery.com 1 Yer Ölçüleri Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e

Detaylı

9. Ders. Đstatistikte Monte Carlo Çalışmaları

9. Ders. Đstatistikte Monte Carlo Çalışmaları 9. Ders Đstatstkte Mote Carlo Çalışmaları Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve bu modeller geçerllğ sıamada kullaıla bazı blg ve yötemler

Detaylı

İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR

İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR SAÜ. BÖLÜM İSTATİSTİKSEL MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ DUYARLI ORTALAMALAR PROF. DR. MUSTAFA AKAL İÇİNDEKİLER 1. ORTALAMANIN TANIMI VE FAYDALARI. HASSAS ORTALAMALAR.1. Aritmetik Ortalama.. Kareli Ortalama..

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler

Tanımlayıcı İstatistikler Taımlayıcı İstatstler Taımlayıcı İstatstler Br veya brde azla dağılışı arşılaştırma ç ullaıla ve ayrıca öre verlerde hareet le reas dağılışlarıı sayısal olara özetleye değerlere taımlayıcı statstler der.

Detaylı

12.İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI

12.İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI .İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI.. DESKRİPTİF İSTATİSTİK Soru. Br ş yerde çalışaları maaşlarıa, kşler kıdem derecelere göre aşağıdak şeklde zam yapılmıştır.acaba bu şyerde çalışa şahısları tartılı ortalama

Detaylı

8. Niteliksel ( Ölçülemeyen Özellikler İçin) Kontrol Diyagramları

8. Niteliksel ( Ölçülemeyen Özellikler İçin) Kontrol Diyagramları 1 8. Ntelksel ( Ölçüleeye Özellkler İç) Kotrol Dyagraları Ürüler taşıası gereke kalte karakterstkler br ya da br kaçı belrlee sesfkasyolara uyayablr. Ntelk olarak adladırıla bu özellk edeyle ürü belrl

Detaylı

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim.

Tarihli Mühendislik ekonomisi final sınavı. Sınav süresince görevlilere soru sormayın. Başarılar dilerim. 6..27 Tarhl Mühedslk ekooms fal sıavı Süre 9 dakka Sıav Saat: Sıav süresce görevllere soru sormayı. Başarılar dlerm. D: SOYD: ÖĞRENCİ NO: İMZ: Tek ödemel akümüle değer faktörü Tek ödemel gücel değer faktörü

Detaylı

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi

Lojistik Regresyonda Meydana Gelen Aşırı Yayılımın İncelenmesi Yüzücü Yıl Üverstes, Zraat Fakültes, Tarım Blmler Dergs (J. Agrc. Sc.), 008, 18(1): 1-5 Araştırma Makales/Artcle Gelş Tarh: 10.06.007 Kabul Tarh: 7.1.007 Lojstk Regresyoda Meydaa Gele Aşırı Yayılımı İcelemes

Detaylı

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003

İşletme İstatistiği. [Type the document subtitle] Ege Yazgan ve Yüce Zerey 10/21/2003 ISTANBUL BİLGİ UNİVERSİTY İşletme İstatstğ [Type the documet subttle] Ege Yazga ve Yüce Zerey 1/1/3 [Type the abstract of the documet here. The abstract s typcally a short summary of the cotets of the

Detaylı

Ölçme Hataları ve Normal Dağılım

Ölçme Hataları ve Normal Dağılım Ölçme Hataları ve Normal Dağılım Yıl 967. Fzk ders mekak laoratuarıda rc laoratuar. Kousu: Ölçme ve çft kefel terazler hassasyet. Mesaj: ey ölçerse ölç, ölçmek stedğ şey ulamazsı, ölçü alet hassasyet sıırları

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz;

Örnek A. Benzer tipteki 40 güç kaynağının dayanma süreleri aşağıdaki gibidir. Genişletilmiş frekans tablosu oluşturunuz; Öre A. Bezer pe 40 güç ayağıı dayama süreler aşağıda gbdr. Geşlelmş reas ablosu oluşuruuz;, 4,7 3, 3,4 3,3 3, 3,9 4, 3,4 4, 3,8 3,7 3,6 3,8 3,7 3,0,,6 3, 3,,6,9 3, 3,0 3,3 4,3 3, 4, 4,6 3, 3,3 4,4 3,9,9

Detaylı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı

Dr. AKIN PALA. Damızlık Değeri, genotipik değer, allel frekansları. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı. Damızlık değeri hesabı Damızlık Değeri, geotipik değer, allel frekasları Aki Pala, aki@comu.edu.tr ttp://members.comu.edu.tr/aki/ Damızlık değeri esabı µ Ökkeş =800 gr gülük calı ağırlık Sürü A Sürü µ Döller µ 500gr 700 DD esabı

Detaylı

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

REGRESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KARELER VE EN KÜÇÜK MEDYAN KARELER YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI FEN DEGİSİ (E-DEGİ). 8, 3() 9-9 EGESYON ANALİZİNDE KULLANILAN EN KÜÇÜK KAELE VE EN KÜÇÜK MEDYAN KAELE YÖNTEMLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI Özlem GÜÜNLÜ ALMA, Özgül VUPA Dokuz Eylül Üverstes, Fe-Edebyat Fakültes,

Detaylı

X = 11433, Y = 45237,

X = 11433, Y = 45237, A.Ü. SBF, IV Malye EKONOMETRİ I ARA SINAVI 4..006 Süre 90 dakkadır..,. ve 3. sorular 0 ar, 4. ve 5. sorular 30 ar pua, ödev 0 pua değerdedr. Tüm formüller ve şlemlerz açıkça gösterz. ) Y = Xβ + u doğrusal

Detaylı

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının

X, R, p, np, c, u ve diğer kontrol diyagramları istatistiksel kalite kontrol diyagramlarının 1 DİĞER ÖZEL İSTATİSTİKSEL KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARI X, R, p, np, c, u ve dğer kontrol dyagramları statstksel kalte kontrol dyagramlarının temel teknkler olup en çok kullanılanlarıdır. Bu teknkler ell

Detaylı

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2

TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ ( ) (TRANSLOG MALİYET FONKSİYONU UYGULAMASI) Yaşar AKÇAY 1 Kemal ESENGÜN 2 l Ta rr ım ı Ekooms Kog rres 6-8 - Eylül l 2000 Tek rrdağ TÜRKİYE ŞEKERPANCARI ÜRETİMİNDE FAKTÖR TALEP ANALİZİ (980-998) (TRANLOG MALİYET FONKİYONU UYGULAMAI) Yaşar AKÇAY Kemal EENGÜN 2. GİRİŞ Türkye tarımı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ / RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ A Uygulamalı Blmler ve Mühedslk ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY A Appled Sceces ad Egeerg Clt/Vol.: 3-Sayı/No: : 5-63 (202 ARAŞTIRMA

Detaylı

T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI

T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI 15.09.015 T.C. RECEP TAYYİP ERDOĞAN ÜNİVERSİTESİ İKTİSADİ VE İDARİ BİLİMLER FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ SAYISAL YÖNTEMLER ANABİLİM DALI DERS NOTLARI ISL4 İSTATİSTİK II HAZIRLAYAN PROF. DR. ALİ SAİT ALBAYRAK

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA

ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA İstabul Tcaret Üverstes Fe Blmler Dergs Yıl: 11 Sayı: Güz 01 s. 19-35 ETKİN SINIR VE BETA KATSAYI KISITLI PORTFÖY SEÇİM MODELİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA Cası KAYA 1, Oza KOCADAĞLI Gelş: 30.05.01 Kabul: 14.1.01

Detaylı

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği

Bağıl Değerlendirme Sisteminin Simülasyon Yöntemi ile Test Edilmesi: Kilis 7 Aralık Üniversitesi Örneği Akademk Blşm 11 - III. Akademk Blşm Koferası Bldrler 2-4 Şubat 2011 İöü Üverstes, Malatya Bağıl Değerledrme Sstem Smülasyo Yötem le Test Edlmes: Kls 7 Aralık Üverstes Öreğ Kls 7 Aralık Üverstes, Blgsayar

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 07 KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ, LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİ FAİZ ESNEKLİĞİ Bugünk dersn çerğ: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 1.1 İŞLEMLER (MUAMELELER) TALEBİ... 2 1.2 ÖNLEM (İHTİYAT) TALEBİ...

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri

Operasyonel Risk İleri Ölçüm Modelleri Bakacılar Dergs, Sayı 58, 006 Grş Operasyoel Rsk İler Ölçüm Modeller Çalışma k bölümde oluşmaktadır. İlk bölümde operasyoel rskler ölçülmes kapsamıda hag ler ölçüm modeller kullaılması gerektğ, söz kousu

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ayça Hatce TÜRKAN GÜVENİLİRLİK ANALİZİNDE KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIM MODELLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı