TERMODİNAMİĞİN TEMELLERİ

Transkript

1 ERMODİNAMİĞİN EMELLERİ Fevzi ÜYÜKKILIÇ Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik ölümü Kara Delikler: ilgi ve Hesaplama Kapasitesine Yeni ir akış Açısı Mühendislik Fakültesi ilgisayar Mühendisliği ölümü 8-9 Mart 0 Yaşar Üniversitesi

2 Konuşmanın İçeriği ermodinamik Nedir? ermodinamikte Enerji Korunur mu?. Yasa Enerjinin Korunumu Fiziksel Sistemlerde Olayların Akış Yönü Nedir?. Yasa Olayların gidiş/akış yönü İstatistiksel Yaklaşım Mutlak Sıfırda Entropi Nedir? 3. Yasa Mutlak Sıfırda Entropi ermodinamiğin Uygulamaları Isı Makineleri: Carnot Döngüsü Kara/Siyah Cisim Işıması: Stefan-oltzmann Yasası Değişken Değiştirmek Neye Yarar? ermodinamik Potansiyeller: Helmhotz Serbest Enerji Örneği İstatistiksel Mekanik: Kuantum Mekaniğinden ermodinamiğe Geçiş Katıların Isı Kapasiteleri: İstatistiksel Mekanik ir Uygulama Faz Geçişleri Kara Delik Mekaniği/ermodinamiği Hawking ekenstein Entropisi Kara Delik Mekaniği/ermodinamiği Yasaları. Yasa(Enerjinin Korunumu). Yasa Yasa (Karadelikte olayların zamanla gidiş/akış yönü) 3. Yasa (Yüzey çekimi sıfıra giderse olay ufku A da sıfıra gider) Sonuç, artışma, Öneriler Kaynaklar

3 ermodinamik Nedir? ermodinamik makroskobik sistemlerin denge özelliklerinin fenomenolojik bir anlatımıdır. Denge durumu termodinamik koordinatların fonksiyonu olan bir fonksiyon ile temsil edilir. Örnek hacminde yer alan P basıncındaki gerçek akışkan (gaz) dengede olsun. u denge durumu, ilgili denklemle ifade edilir. P a + ( b) Nk de dq + dw + dk Gerçek Gazlar için van der Waals Denklemi ermodinamikte Enerji Korunur mu? ermodinamiğin irinci yasası bir fiziksel sistemin iç enerjisindeki de değişiminin dq (ısısal) + dw (mekaniksel) + dk (kimyasal) enerji değişimlerinin toplamından meydana gelir. irinci kanun termodinamik sistemler için enerjinin korunumunun bir ifadesidir. (R. Mayer, J.P. Joule) ermodinamik sistemlerde deneysel/ölçme nasıl olur? u sistemlerde doğal alanlar S,,N ve onlara karşılık gelen parametreler sıra ile,p,µ dir. Fizikte alanlar değil değişimleri ölçülür. Değişimlerin getirdikleri ise ilgili alan parametreleri ile yapılır. 3

4 Deneysel Ölçmeler Nasıl Yapılır? Deneysel Ölçmeler Cevap Fonksiyonları ile yapılır ir sistemin fiziksel davranışları dışarıdan yapılan etkiye (ısısal, mekanik,kimyasal,...) tepkileri cevap fonksiyonları ölçülerek bulunur. Cevap fonksiyonları ısı kapasiteleri; C v, C p, izotermal sıkışabilirlik κ, manyetik duyarlılık χ sayılabilir. Fiziksel Olayların Akış Yönü Nedir? ermodinamiğin ikinci yasası olayların zamanla ne yönde ilerleyeceğini belirtir. Denge dışına itilen sistemler, zamanla dengeye yönelirler. u yönelme entropilerini arttırmak, enerjilerini ise en küçük yapmak yönündedir. Yalıtılmış bir sistem dengede ise entropi değişimi ds 0 S S en büyük tersinir olmayan prosesler için ise ds > 0 olur. (R.Clausius) Entropi miktara bağlı ekstensif bir niceliktir. dqds Clausius bağıntısı dw-pd ye benzemektedir. sıcaklıktaki bir sistemin entropisindeki değişme ısısal bir değişmeye, sebep olmaktadır 4

5 İstatistiksel Yaklaşım Mikroskobik açıdan bakıldığında termodinamik dengede, en olası makrohal, en büyük mikrohale karşılık gelir. urada şu postülat ortaya konabilir. Aynı enerjili mikrohaller aynı olasılığa sahiptir. Ω sistemin girebileceği mikro/kuantum hallerinin sayısı ise, olasılık P i /Ω olur. İstatistiksel olaylarda belirsizlik, H { i} P i ln P belirsizlik fonksiyonu ile verilir,burada {i} topluluktaki elemanların bir indisidir. Shannon entropi ise belirsizliğin boyutlandırılmış bir ifadesidir: S k i i i P ln P urada P i, i mikrohaline/kuantum haline girme olasılığıdır.entropi de olasılık yerine konursa, ( E,, N ) k lnω( E, N ) S, i olur. u denklem istatistiksel mekaniğin temel denklemidir. u denklem prensipte çok parçacıklı bir sistemin H(p,q) hamiltoniyenini kullanarak o sistemin termodinamik özelliklerini hesaplamamıza imkan verir. 5

6 opluluk teorisinden S entropisi hesaplanabilir. Kuantum mekaniğindeki belirsizlik ilkesi göz önünde tutulursa, N parçacıklı bir sistemin faz uzayında bir kuantum durumuna karşılık gelen hücresinin hacmi p 3N x 3N h 3N dir. O halde Ω sistemin girebileceği kesikli mikrohallerin sayısı olarak alınır. Gibbs düzeltmesi de yapılır, yani parçacıkların kimliksiz, özdeş oldukları da itibara alınırsa, enerjisi 0 ile E arasındaki hallerin sayısı hesaplanabilir. uradan Ω(E,,N) bulunur. ermodinamağin Üçüncü Yasası Nedir? eknolojik ilerlemeler fiziksel sistemleri düşük sıcaklıklarda inceleme imkanını vermektedir.mutlak sıfıra insek entropi ne olur? ir termodinamik sistem soğutulursa sistemin,enerjisi azalır, girebileceği hallerin sayısı azalır, sistem mutlak sıfıra yöneldiğinde, tüm termodinamik büyüklüklerden bağımsız olarak sistemin girebileceği durum sayısı, yani entropisi bir sabite yönelir. 0 sistemin girebileceği durum sayısı, sistem taban duruma oturacağından, Ω olur, entropisi de sıfır olur. 6

7 Uygulamalar. Carnot Döngüsü/Çevrimi Isı makineleri ermodinamiğin bir uygulamasını ısı makinelerine yapalım. urada yine termodinamiğim ikinci yasasından yararlanalım. ir ısı makinesi basınç hacim düzleminde Carnot döngüsü ile modellenebilir. Döngünün evreleri, bir ısı makinesinin çalışması olarak alınabilir. Şekil. Carnot Döngüsü Döngünün aşamaları şöyledir. a; izotermal genişleme (sıcaklık h,ısı girişi Q olsun) b; adyabatik genişleme (ısı girişi yok dq0) c; izotermal sıkışma (sıcaklık c, ısı çıkışı Q olsun) d; abyabatik sıkışmadır (ısı girişi yok dq0) erim işe çevrilen ısı / ısı girişi ; η W Q Q Q Q Q Q olarak tanımlanır. 7

8 İkinci yasaya göre sistemin ısı girişinde ve çıkışında toplam entropisi S Q Q + S + h c olmalıdır. urada tersinir olduğu eşitlik hali alınırsa 0 Q Q c h olur. Isı makinesinin verimi η olur. uradan verim ( c < h olduğundan) yüzde yüz olan bir makinenin yapılamayacağını gösterir. h, c 0 olursa kayıp sıfır olur, verim %00 olur. Doğa buna izin vermiyor ve kayıpsız iş yapmak mümkün olmamaktadır. uda termodinamiğin ikinci yasasını formüle etmemize imkan sağlamaktadır. Yalıtılmış sistemde dq ısı değişimi tersinir olaylarda dq0 dır. ermodinamik denge S sabit ds0 olduğundan S en büyük olur. ersinir olmayan süreçlerde/proseslerde ds>0 dır. Dengeden ayrılmış, uyarılmış sistemler bırakılınca zaman içinde dengeye yönelir. Çevresine ısı kaybediyorsa entropisi azalabilirde.sistem yalıtılırsa ısı kaybı olmaz, ds0 olur. c h 8

9 Değişken değiştirmek Neye Yarar? Değişken değiştirmek yeni termodinamik potansiyeller tanımına götürür. irinci yasadan hareketle S,,N miktara bağlı değişkenler yerine değişkenleri sıra ile,p,µ olan termodinamik potansiyellere geçilir. u geçiş Legendre dönüşümleri ile yapılır.,p,µ değişkenleri intensif parametrelerdir,dengedeki sistemlerde her yerde aynıdırlar. ir örnek olmak üzere de(s,) den, serbest enerji df(,) geçelim. irinci yasa, akışkanlar için df de ( S, ) ds pd olduğunu ifade eder. Matematiksel olarak olur. urada (, ) d( E S) Sd pd F E S ye Helmholtz serbest enerjisi denir. df nin tam diferansiyel olması koşulu S P Maxwell bağıntısına götürür. Maxwell denklemi, sol taraftaki ölçülemeyen bir nicelik yerine gerektiğinde sağ tarafta ölçülebilen bir nicelik almamıza imkan sağlar. 9

10 Siyah/Kara Cisim Işıması Nedir? Elektromanyetik teoriden bir kavite için izotropik bir radyasyon alanının basıncının U p 3 olduğunu biliyoruz. uradan sadece termodinamik nedenlerle Stefan-oltzmann yasasını elde edebiliriz.iç enerji birinci yasadan aşağıdaki formda verilir. de du S p d d Maxwell denklemi itibara alınırsa enerji de P u( ) p d U ( ) ( ) du u radyasyon yoğunluğu olmak üzere basınç ifadesinden basınç d ve basıncın sıcaklıkla değişimi dp du p u( ) ; 3 d 3 d olur. unlar enerji denkleminde yerine konursa, ( ) 4u du d Çevresi ile denge halinde ışıma/soğurma yapan bir kavitenin radyasyon enerji yoğunluğunun sıcaklığının dördüncü kuvveti ile orantılı olduğunu belirtmektedir. uraya kadar klasik termodinamiği ele aldık. Klasik termodinamik modern fiziğe 0 yani, kuantum mekaniğe nasıl bağlanır? ( ) u diferansiyel denklemin çözümü ( ) 4 u σ Stefan-oltzmann Yasasıdır.

11 İstatistiksel Mekanik :Kuantum Mekaniğinden ermodinamiğe Geçiş ermodinamik potansiyeller yardımı ile Makro (ermodinamik) mikro (kuantum mekaniği) ilişkilendirilir. ir fiziksel sistemin girebileceği mikro haller topluluk (ensemble) teorisinden bulunur. opluluk olarak kanoniksel topluluğu ele alalım. Şekil. ermodinamik sistem ve çevresi (dengede çevresi ile ısı alışverişi yapabilen sistem) Kanonik toplulukta ortalama enerji fülüktüe etmekle/dalgalanmakla birlikte ortalama enerji korunur. Matematiksel olarak, bu durum bağ koşulları altında sistemin entropisi Lagrange belirlenmemiş çarpanlar yöntemi ile en büyük yapılırsa Q ln + + Q k Pi Pi λ Pi β EiPi ; 0 { i} { i} { i} P i dan Olasılık P i βe e i bulunur. Z burada partisyon fonksiyonu Z e { i} bulunur. Görüldüğü gibi olasılık Maxwell-oltzmann dağılımıdır. P i entropisinde yerine konursa bulunur. β E i S k βe + k ln Z Shannon

12 u ifade F serbest enerjisinden elde olunan entropi S E F ile karşılaştırılırsa F k ln Z ; β olmalıdır. u denklemin sol tarafı serbest enerji olup sağ taraf kuantum mekaniğinden bulunur. O halde serbest enerji F(,) partisyon fonksiyonu ile verilir. Yani kuantum mekaniği (mikro dünya) ile termodinamik makro dünya ilişkilendirilmiş olur. ermodinamikten df Sd pd k dir. uradan entropi ve basınç; F S F p bulunur.

13 Katıların Isı Kapasiteleri: İstatistiksel Mekanik ir Uygulama İstatistiksel mekaniğin uygulamasına bir örnek olmak üzere katıların ısı kapasitelerini hesaplayalım. Klasik mekaniğine göre tek boyutlu harmonik salınıcının klasik hamiltoniyeni: p h + m mw Kuantum mekaniğinde ilgili Schrödinger denklemi: x. ħ m x + mw x ψ n n ψ ( x). n Çözümü, yani harmonik salınıcının enerji özdeğerleri n n + ħw ; n 0,,,... bulunur. urada ħw lar titreşim frekansı w olan kesikli fononların enerjisidir. 3

14 4 ir basit harmonik titreşici/osilatör için partisyon fonksiyonu w w n e e e z n ħ ħ β β β 0 bulunur. N osilatör varsa, Helmholtz serbest enerjisi Z k z Nk F ln ln veya ( ) w e N w N F ħ ħ β β + ln ermodinamiğin üçüncü yasasını doğrulamak için S yi F den bulalım. F k F S β β olur veya ( ) + w e w N k S ħ ħ β β β β ln

15 Üçüncü yasa doğru mudur? Üçüncü yasaya göre 0 veya β demektir. S Nk ln βħw βħw ( e ) + e βħw lim S 0 β bulunur. öylece termodinamiğin üçüncü yasası katıların entropileri için doğrulanmış olur. asınç p0 dır. Hesapları deneyle ilişkilendirmek için, şimdi de katıların ısı kapasitesini hesaplayalım 5

16 6 Cevap Fonksiyonlarından C v Nasıl Hesaplanır? unun için sistemin enerjisine ihtiyaç duyulur. EF-S idi. F ve S yerine konulur, gerekli kısaltmalar yapılırsa, N osilatörün titreşim iç enerjisi + w e w N E ħ ħ β elde edilir. urada bir kuantum durumundaki fonon sayısı k w e n ħ ile verilir ve Planck dağılımı olarak bilinir. Katılar için ısı kapasitesi d de d dq C Matematiksel türev işlemi yapılırsa, k w k w e e k w Nk C ħ ħ ħ ile verilir.

17 Şimdi limit/uç hallerine bakalım i) Yüksek sıcaklıkta (klasik fizikte) ħw / k << ; C Nk ; N N A ; C R olur. R genel gaz sabitidir. Elmas hariç, oda sıcaklığında metaller C R davranışı gösterir. ii) Düşük sıcaklıkta ise ħw / k >> ; C w ħw ħ k ( ) Nk e k elde edilir. Limit durumunda 0 da C 0 a gider. Görüldüğü gibi katıların ısı kapasiteleri deneyin yapıldığı sıcaklığa göre değişmektedir. ir başka deyişle C C () dir. u sonuç istatistiksel mekaniğin önemli bir başarısıdır. 7

18 Faz Geçişleri ve Kritik Olaylar Maddenin fiziksel durumunu ve kimyasal bileşiminin aynı olduğu ve homojen dağıldığı her duruma faz denir. Maddenin sıcaklık değişimi ile bir fazdan diğerine geçmesine faz geçişi denir. Madde katı, sıvı ve gaz hallerinde bulunur. Demir soğutulursa mıknatıs özelliği kazanır, civa soğutulursa üstün iletken olur süperiletken faza geçer, yani direnci sıfırdır, Helyum soğutulursa üstün akışkan olur, viskozluğu sıfırdır. ir maddenin faz geçişi fiziksel bir özelliğinin süreksizlik göstermesi ile ortaya çıkar. Doğada rastlanılan faz geçişleri katı sıvı, sıvı gaz, katı gaz, ferromanyetik paramanyetik, iletken süperiletken, akışkan süper akışkan, amorf yapı kristal yapı faz geçişleridir. Faz geçişleri birinci ve ikinci tür faz geçişleri olarak ikiye ayrılır. Faz geçişleri ve kritik olaylar ilginç olaylardır. Faz geçişlerinde atom ve moleküller kollektif/ortak davranış sergilerler. urada uzun menzil etkileşmeleri ile bellek etkileri önemli rol oynar. 8

19 Faz geçişlerinde termodinamik potansiyellerden biri olan Gibbs serbest enerjisi G(,p,N) kullanılır. irinci yasadan de(s,,n) den dg(,p,n) ye geçilirse bulunur. irinci tür faz geçişlerinde dg Sd + dp + µ dn G S p, N ; G p S, süreksizlik gösterir. Faz geçişi için bir gizli ısı L(S -S ) dir. sabit olduğundan S bir sıçrama yapar. İkinci tür faz geçişlerinde katı sıvı, katı buhar G nin birinci türevleri süreklidir. u itibarla ikinci türevlere bakmak gerekir. İletken süperiletken, ferromanyetik paramanyetik, akışkan süper akışkan, polimer cam, kristal amorf, ikinci tür faz geçişlerine örnektir.ikinci tür faz geçişinde C p () ısı kapasitesi C p ( ) G süreksizlik gösterir. p, N İkinci tür faz geçişine örnek sıvı helyumun akışkan süperakışkan faz geçişi k,7k de olur. akır çinko alaşımı olan prinç ısıtılırsa düzenli bir yapıdan düzensiz bir yapıya geçerek faz geçişi yapar., N 9

20 Kara Delik Mekaniği/ermodinamiği Kara delik termodinamiği termodinamik yasalarını karadelik olay ufku ile bağdaştırmayı esas alır. Genel rölativiteye göre kara delik çekim alanına düşen madde ve ışığı yutar. Olay ufku dış gözlemcinin uzayzamanda etkilenmediği sınır alarak tanımlanabilir. Kara deliklerin termodinamiğin ikinci yasasının sağlaması kara deliklerin entropilerinin varlığının kabul edilmesini gerektirir. Stephen Hawking, Jacob ekenstein kara delik entropisini S H k A 4l p olarak vermektedirler, burada A karadelik olay ufkunun alanı olup A4πR, k Għ oltzmann sabiti, l p 3 ise Planck uzunluğudur. c Araştırmacılar 995 den sonra sicim teorisi yardımıyla süpersimetrik kara deliklerin girebileceği mikrodurumları kullanarak S H entropisini hesapladılar. Kara delik incelemelerinde G,ħ, c v.d. nin bir alındığı geometrik birimler kullanılır. Kara deliğin doğal olarak bir çekim ufkuna sahip olduğu söylenebilir. 0

21 irinci Yasa ir kara deliğin kütlesindeki/enerjisindeki değişme olay ufuk alanı, açısal momentum ve elektrik yükündeki değişmelerin toplamından ileri gelen katkılardan dm ( A, J, Q) π κ 8 da + Ω dj + Φ dq ibarettir. irinci yasa, enerji korunumunun bir kara delik için ifadesidir urada M kara deliğin kütlesi, κ yüzey çekimi, A ufuk alanı, Ω açısal hızı, J açısal momentumu, Φ elektrostatik potansiyel ve Q ise elektrik yüküdür. urada κ,ω,φ değişkenlerine doğal değişkenler A,J,Q ise onlara karşılık gelen ilgili parametreler olarak bakılabilir. urada ilk terim alan/entropi değişimine karşılık enerjideki değişmedir, parametresi yüzey çekimidir. İkinci terim dönme, üçüncü terim ise elektromanyetizmadan dolayı enerjide meydana gelen değişmedir.

22 İkinci Yasa Ufuk alanı A zayıf enerji koşulunda, zamanın azalmayan bir fonksiyonudur: da dt 0 u yasa Hawking in alan teoreminin bir ifadesidir. Görüldüğü gibi termodinamiğin entropisi ile kara delik ufku arasında bir bağ vardır. urada entropinin/alanın toplam entropi, yani, kara delik+çevre entropisi olarak ele alınması gerekir.

23 Üçüncü Yasa ir kara deliğin κ yüzey çekimi sıcaklıkla, A olay ufuk alanı ise entropi ile eşleştirilebilir. Kara delik klasik düşünülürse, sıfır sıcaklığa/çekime sahip olur, entropi sıfır olur. Eğer kuantum mekaniksel etkiler hesaba katılırsa, kara delik H κ sıcaklıkta enerji yayar. u durumda kara deliğin entropisi (birinci yasadan), olur. S H A 4 t Hooft ve Susskind kara delik termodinamiği yasalarını, tutarlı gravitasyon ve kuantum mekaniği teorilerinin daha düşük boyutta olduğunu öne çıkaran doğanın Holografiİlkesi elde etmek için kullandılar. 3

24 Sonuç, artışma ve Öneriler u çalışmada esas itibariyle çevresi ile denge halinde olan termodinamik sistemler ele alınmaktadır. Atom veya moleküllerin dinamiğinden hareketle makro büyüklükler enerji, entropi, serbest enerji hesaplanabilir. u yaklaşımda anahtar bağıntı F k ln Z dir. Serbest enerjiyi, partisyon fonksiyonuna bağlar. Partisyon fonksiyonu ise sistem hakkındaki kuantum bilgileri içerir. uradan cevap fonksiyonları hesaplanabilir. Cevap fonksiyonları deneyle sınanır. Deneysel sonuçları, kuramsal sonuçlara uymazsa modelde değişikliğe gidilir. Çağımızda düşük sıcaklıklara inilmesi ile geniş bir sıcaklık aralığında maddenin fiziksel davranışlarını deneysel olarak inceleme imkanı doğmuştur. u bağlamda maddenin yeni fiziksel özellikleri ortaya çıkmaktadır. Örnek olarak; iletkenler düşük sıcaklıkta üstün iletken olur. Yani, gösterdikleri elektriksel direnç sıfır olur. 4 He gibi akışkanlar düşük sıcaklıkta viskoziteleri sıfıra gider, üstün akışkan olur. Demir soğutulursa, mıknatıs özelliği kazanır. Faz geçişleri gizemli, ilginç, henüz mekanizmaları/kollektif davranışları anlaşılmamış fiziksel davranışlar sergilerler. u itibarla güncel, aktif araştırma alanlarından biridir. 4

25 ir başka dikkatinize getirmek istediğim husus uzay ve zamanın fraktal yapısı ve uzun menzil etkileşmeleridir. iz incelemelerimizde Euclid uzayını kullanıyoruz ve olayları birbirinden bağımsız (Markoviyen) kabul ediyoruz.u nedenle boyutları,,3 alıyoruz. Matematiksel işlemler türev-integral (difintegral) bu uzayda tanımlanmaktadır. Oysa, doğada Euclidiyen ve Markoviyen bir olay yoktur. Fiziksel olayların geliştiği ortam fraktal/kırıklı yapıdadır. esadüfi olaylarda birbirinden bağımsız değildir. unların sonucu olarak, entropi toplanabilir değildir. una göre iki entropinin toplamı entropilerin tek tek toplamlarından büyük veya küçük olabilir. üyük ölçekte fizik yapanlar uzayzamanın eğri olduğunu kabul ederler (Minkowski uzayları). unun yanında, uzayzamanın fraktallığının da itibara alınması gerektiğini önemsiyoruz. Uzayın fraktal yapısı, fraktal boyutu ile karakterize edilir. Fraktal ortamın boyutu kesirlidir. Fraktal boyutu ile türev ve integralin mertebeleri arasında doğrudan bir ilişki söz konusudur. Difintegralin mertebesi ile fraktal boyutu ilişkilidir. Reel fiziksel tasvirler için, uzayın ve zamanın fraktal olduğunu itibara alan kesirsel matematik, kullanılarak fraktal operatörler fiziği yapılmalıdır. ir diğer husus olaylar arasında bellek etkilerinin/uzun menzil etkileşmelerinin itibara alınmasıdır. ig ang den kalan kozmik mikrodalga arka plan ışımasının davranışı buna verilecek örneklerden birisidir. EŞEKKÜRLER... 5

26 Kaynaklar. İstatistik Mekaniğe Girişi,. Karaoğlu, Seçkin Yayıncılık, Ankara 009. Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, P.. Matthews, London hermodynamics and Statistical Mechanics, W. Greiner, L. Neise, H. Stöcker, Springer-erlag, Kuantum Mekaniğine Giriş,. Karaoğlu, ilgiek Yayıncılık, İstanbul, Süperiletkenlik Fiziğine Giriş, I. Asherzade, Gazi Kitabevi, Physics of Fractal Operators,.J.West, M.ologna, P.Grigolini, Springer he Fractal Geometry of Nature,Freman Co.,San Francisco,98 6