MATLAB. Içindekiler. Dr. Tolga BEKLER. Canakkale Onsekiz Mart Universitesi. Jeofizik Mühendisligi Bölümü BÖLÜM -I -
|
|
- Ilker Koçer
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 MATLAB Dr. Tolga BEKLER Canakkale Onsekiz Mart Universitesi Jeofizik Mühendisligi Bölümü 2006 BÖLÜM -I - Içindekiler Giris Baslarken Temel Matematiksel Islemler Degiskenler Karmasik Sayilar Temel Istatistiksel Islemler Polinomlar Yuvarlatma Islemleri Matriks ve Vektörler Nokta Çarpim/Bölme Temel Matris Islemleri Ters Islemler Özvektörler ve Özdegerler Hazir Matris Fonksyionlari Grafik Çizimler Yüzey Çizimleri Vektör Alanlari Sembolik Degiskenler Denkleme Sistemlerinin Çözümü Dogrusal Olmayan Denklem Takimlarinin Çözümü Integraller Türevler Örnekler Örnekler
2 Giris MATLAB, MATrix LABoratory szöcüklerinden gelir ve temelde sayisal ve analitik olarak matematiksel fonksyionlarin ifadelerinin kullanildigi basta mühendislik alaninda olmak üzere birçok sayisal analizi kullanan bilimlerde son yillarda oldukça sik kullanilan bir hazir yazilim paketidir. Özellikle yüksek performans gerektiren algoritma hazirlama ve gelistirme, sayisal analiz, simülasyon, mühendislik problemlerinin sayisal ve grafik çözüm tekniklerinde son derece etkindir. Baslarken Matlab yazilim paketinde kullanilacak olan her hazir fonksyion yaninda kullanicinin da kendi yazilimini olusturma imkani saglar. Matlab in gerek kisisel bilgisayarlarda (PC) gerekse diger isletim sistemlerinde (UNIX, LINUX) gibi bazi ufak farkliliklar disinda kullanimi, ya dogrudan kendi çalisma ve komut ekreaninda ya da m uzantili program dosyasi olusturmak suretiyle (script) olmaktadir. Program çalistrildiginda çalisma ekranina ilk olarak >> komut ekrani gelecektir. >> ans 2.3 ile 4.2 sayilarinin toplamini sonuc olarak verecektir. (answer) >> format rat >> /5 Sonuç format rat ile kesirli halde alinabilir. >> format compact >> 5*7 35 Islem sonucu arasina ekstra bosluk birakilmaz Temel Matematiksel islemler >> 5^8 40 >> format long ile istenilen sonucun duyarliligi gösterilir. >> sqrt(2)
3 Temel trigonometric operatörler (cos, sin, tan, sec, csc, cot), tersleri (acos, asin, atan, asec, acsc, acot), exponansiyel fonksyionexp, dogal logaritma log. Örnek: ln(14)+sin(π/4) asagidaki sekilde hesaplanir >> log(14)+sin(pi/4) Matlab te hazir fonksyionalrin kullanim sekillerini bilmek istenirse help komutu kullanilir >> help abs (mutlak deger icin yardim dosyasi cagirma) ABS Absolute value. ABS(X) is the absolute value of the elements of X. When X is complex, ABS(X) is the complex modulus (magnitude) of the elements of X. See also SIGN, ANGLE, UNWRAP. Overloaded methods help sym/abs.m Degiskenler Tüm yazilabilir karakterler degisken olarak atanabilir ve = olarak verilir. >> x=23 x = 23 Degislen isimleri büyük ve küçük harf ayrimina hassastir. X ve x degiskenleri ayri olarak tanimlabilir. >> x^2-3*x+2 30 >> log(x) >> sin(x) Yeni bir ifade icin bir önceki degisken kullanilabilir. Her islem ssonucu bellekte saklanir. >> y=8*x y = 56 >> x=x+5 x = 12
4 >> y y = 56 >> who komutu kullanilan degisken isimlerini verir Your variables are: ans x y >> whos komutu degiskenlerin boyut bilgisini verir. Name Size Bytes Class ans 1x1 8 double array x 1x1 8 double array y 1x1 8 double array Grand total is 3 elements using 24 bytes Bellekteki degiskenleri silmek icin clear komutu kullanilir. Bu asamadan sonra degiskenler çagrilmak istenirse; >> clear >> who >> x??? Undefined function or variable 'x'. ile karsilasilir. Karmasik Sayilar Genel formati a+ib, a-ib, a+bj, a+jb olan ifadelerdir. >>2-3i i >> 2-3*i i ayni ifadenin 2-i3 olarak yazilamayacagina dikkat edilmeli. Karmasik sayilarin taniminda complex fonksyionuda kullanilir. Bu fonksyion karmasik sayinin gerçel ve sanal kisimlarini verir. > x=3;y=4; >> complex(x,y)
5 i >> complex(2,-3) i Karmasik sayi islemleri: abs :Mutlak deger alir (Genlik bilgisi) angle : Faz açisi conj imag real : Karmasik eslenik : Karmasik sanal kisim : Karmasik gerçel kisim >> z=2+5i; >> abs(z) >> angle(z) >> conj(z) i >> imag(z) 5 >> real(z) 2 Temel Istatistiksel Islemler Özellikle saha ve gozlem verileri üzerinde yapilacak analizlerin ve degerlendirilmeler için istatistiksel yöntemleri Matlab te kullanmak mümkündür. Bilinen en temel komutlar; max : Veri kümesindeki en büyük degeri bulur. min : Veri kümesindeki en küçük degeri bulur. length : Küme içinde kaç eleman oldugunu verir. sum : Kümenin toplam sayisini verir prod : Verilerin çarpimini hesaplar median : Verilerin ortanca degerini hesaplar std : Standart sapma mean : Ortalama deger yada aritmetik ortalama
6 geomean : Geometrik ortalama harmmean : Harmonik ortalama sort : Küme elemanlarini azalan sirada hazirlar >> T=[2.1;2.5;1.9;-1.9;2.4;3.0] T = >> max(t) 3 >> min(t) >> length(t) 6 >> sum(t) 10 >> prod(x) 120 >> median(x) >> median(t) >> std(t) >> mean(t) >> geomean(t)??? Error using ==> geomean The data must all be non-negative numbers. % Negatif sayi içeren küme var >> harmmean(t) Polinomlar Matlab ta polinomlar bir vektörle temsil edilirler. Polinom olusturmak için yüksekten düsük dereceliye dogru azalan sirada polinom katsayilari yazilir. x=s 4 +3s 3-15s 2-2s+9 polinomu programa asagidaki sekilde yazilir; x=[ ] x =
7 Benzer sekilde y=s 4 +1 in gösterilimi y=[ ] seklindedir. Polinomun herhangi bir kök için degeri, örnegin s 4 +1 in s=2 için degeri; z=polyval([ ],2) veya dogrudan z=polyval(y,2) z = 17 Polinomun köklerinin bulunmasi, örnegin s4+3s3-15s2-2s+9 için; roots([ ]) ans= Iki polinomun çarpilmasi, (x+8) (x2+4x+8) = x3+6x2+16x+16 x=[1 2] y=[1 4 8] z=conv(x,y) z= Iki polinomu bölelim [xx,r]=deconv(z,y) xx= 1 2 (bölüm=x+2) R= (kalan=0) Örnek: P(x)=x 4 +3x 3-15x 2-2x+9 polinomunun x=2 için alacagi degerin bulunmasi >> P=polyval([ ],2) P = -24 Örnek: P(x)=x 4-5x x=2 ve x= 8 için fonksiyonun alacagi degerin bulunmasi >> x=[2 8]; >> p=[ ]; >> pp=polyval(p,x) pp = Polinom Köklerinin Bulunmasi Bir P(x)=0 polinomunun köklerinin bulmak için roots komutu kullanilir.
8 Örnek: y=3x 3 +4x 2-6x+1 denklemini saglayan kökler >> y=[ ]; >> roots(y) Yuvarlatma Islemleri fix floor ceil : Sifira dogru yuvarlatir : - 8 dogru yuvarlatir :+ 8 dogru yuvarlatir round : en yakin tamsayiya yuvarlatir. >> a=3.5; >> fix(a) 3 >> floor(a) 3 >> ceil(a) 4 >> round(a) 4 Matrisler ve Vektörler Matriks olusturmak için köseli, parantez kullanilir ve ; ile satirlar ayrilir >> A=[ ; ; ] A =
9 Sonuç verecek olan her komut satiri sonuna ; konulursa görülmesini istemediginiz >> B=[2 0-3; ]; will still define the variable B containing a 2 3 matrix, but MATLAB will not echo anything. >> whos Name Size Bytes Class A 3x4 96 double array B 2x3 48 double array v 3x1 24 double array Grand total is 21 elements using 168 bytes Bir B matrisinin elemanlarini gormek icin; >> B B = Vektorlerim matrislerin tek kolon halidir ve gösterimleri; >> v = [ 2; 3; -4] v = Bir satir vektorü bir satiri olan bir matrisdir. >> w=[ ] w = Örnegin iki sayi arasinda sirali satir vektörü olusturmak için a:b; örnegin >> 2: j:i:k bir satir vektörünü tanimlar ve j baslangiç, I artim ve k son elemani gösterir. >> 3:2: Matrisin transpozu >> A=[5-2 9; ] A = >> A'
10 Esit artimli bir vektörün transpozu asagidaki gibi tanimlanir; >> [1:3:10]' A is A(i,j) matrisinin istenilen I ve j elemaninin bulunmasi >> A=[ ; ; ] A = >> A(3,2) satirin 2. ve 4. sutun degerleri >> A(3,[2 4]) kolonun tum degerleri >> A(3,:) >> A(:,3) A matrsinin 1, 2 ve 4. kolon degerleri >> A(:,[1 2 4]) Ayni satir sayisina sahip iki matris asagidaki örnekte oldugu birlestirilebilir. >> A=[1 2 3; 4 5 6] A = >> B=[7 8; 9 10] B = >> [A B] >> C=[7 8 9] C =
11 7 8 9 Eger satirlar birlestirilmek istenirse; >> [A;C] Bir A matrisinden herhangi bir satirin kaldirilmasi istenirse >> A=[ ; ; ] A = >> A(2,:)=[] seklinde yazilir. A = >> A(:,[1 3])=[] 1. ve 3. sütünlar kaldirildiktan sonraki durum A = Nokta çarpim Matlab dilinde dot (nokta islemler) islemler çarpma *. Bölme./ veya.\ Üstalma.^ olarak kullanilir. Yani nokta isaretli islemler matrislerde eleman (elemanter) islem yapilacagini gösterir. N bier sakaler olmak üzere a.^n, a matrisindeki her bir elemanin n. katresinin alinacagini ifade eder( Inan, A., 2004). Vektörlerin her elemani çarpilir ve kümülatif toplam elde edilir. >> v=[7; 23; 15; 2], w=[5; -2; 1; -8] v = w = >> dot(v,w) -12 Nokta çarpim simetriktir ayni sonuç alinir. >> dot(w,v) -12 Bir vektörün boyu v = {v v}. ise >> vlength=sqrt(dot(v,v)) vlength =
12 Yada norm komutu ile de elde edilir. >> norm(v) Iki vector arasindaki açi θ ise v w= v w cosθ. θ = arccos((v w)/ v w ). çözümü >> theta=acos(dot(v,w)/(norm(v)*norm(w))) theta = >> theta*180/pi Yaklasik açi Temel matris islemleri >> A=[5-1 2; 3 4 7] A = >> B=[2 2 1; 5 0 3] B = >> A+B Ayni boyutttaki matrislerin toplami gerçeklestirilebilir. >> C=[3 1; 6 4] C = >> A+C??? Error using ==> + Matrix dimensions must agree. Seklinde hatali sonuç alinir. Bir matrisin elemanlarinin scalar bir sayi ile çarpilmasi. A=[1 2 ; 3 4] A =
13 >> 3*A * çarpim operatörü olup 2A seklinde yazilamaz. >> 2A??? 2 Missing operator, comma, or semi-colon. Ayni sekilde vektörlerin scalar çarpimlari ve ara islemleri yapilabilir. B=[2 ;3] B = 2 3 >> C=[4 ;3] C = 4 3 >> D=3*A-2*C D = -2 3 Iki matrisin A*B çarpimi A m n ve B n k oldugunda geçerlidir. Sonuç A*B matrisi m k boyutundadir. >> A=[ ; ; ] A = >> B=[1 2; 3 4; 5 6; 7 8] B = >> A*B Matlab da islem satiri devam edemeyecek durumda ise kullanilir A=[2;2;2... ;33] A = 2 2
14 2 33 Matriks rank hesaplama için Bsr matrisin tüm karesel alt matrislerinden, determinanti sifirdan farkli olan en yüksek boyutlusunun boyutuna A matrisinin ranki denir. >> A=[ ; ; ; ] A = >> rank(a) 3 Ters Islemler Bir A matrisinin tersi A^(-1) yada inv(a) ile gösterilir. Inv ters islem yapma operatörüdür. >> A=[2 1 1; 1 2 2; 2 1 2] A = >> Ainv=inv(A) Ainv = 2/3-1/3 0 2/3 2/ Sonucun saglanmasi için ters ve kendisi birim matrisi vermelidir. >> A*Ainv >> Ainv*A Eger matris tekil ise tersi alinamaz. Hatali sonuç alinir. >> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B = >> inv(b) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e e+016 *
15 B matrisinin rank degeri >> rank(b) 2 Rank degeri 3 den küçük oldugundan B matrisi tekildir, Matrisin determinantinin sifirdan farkli deger almasi gerek. >> det(b) 0 MAtlab tarafindan tekil olarak gorulen tersi alinabilen matrisler vardir. >> format long >> C=[ ; ] C = >> inv(c) Warning: Matrix is singular to working precision. Inf Inf Inf Inf >> rank(c) 1 >> det(c) 0 >> rref(c) Matlab matrisi rank=1 ve determinanti 0 oldugundan tekil kabul eder..ancak eger ε = , then det(c)=(1+ε)(1 ε) 1= ε 2 0, boylece tersi alinabilir. Format komuru ile 1+ε ve 1 ε olarak birbirinden farkli 15 digitli bir deger elde edilir. Bu durumda tanim ; (1+ε)(1 ε)=1 ε 2 = Bu klasik anlamda bir ters çözüm isleminin tekil matrisler icin çözüm asamasidir. Ax=b olarak verilen bir ifadenin çözümünü ele alalalim, Burada A is terselenebilir olsun, basit olarak x=a 1 b olacaktir. >> A=[ ; ; ; ] A =
16 >> b=[10; -23; -13; 4] b = >> format rat >> x=inv(a)*b x = Islemi saglamak için >> A*x Özvektörler ve Özdegerler Bir kare matrisin özdegerlerini bulmak için eig komutu kullanilir. >> A=[ 3 1 1; 1 3 1; 1 1 3] A = >> eig(a) >> [Q,D]=eig(A) A çarprazlanabilir ise Q = D = Q matrisinin kolonlari A matrisinin öz-temellerini olusturur. v Q -1 AQ=D. Saglamasi >> inv(q)*a*q Q gerçekçe özvektörlerin dik normalarini olusturur. >> Q'*Q
17 Bir matrisin kösegen degerleri için diag(a) kullanilir. >> a=[2 4 4;2 3 1;3-2 5] a = >> diag(a) Hazir matris fonksiyonlari Rand, ones, zeros, eye: rand veya randn fonksyionlarinin kullanilmasi; bazi durumlarda yalnizca bir özelligi veya bir seyi denemek ve durumunu gözlemek için rastgele sayilardan olusmus bir matris olusturmak için kullanilir. Rand düzenli olarak dagilmis randn ise normal olarak dagilmis rastgele sayi üretir (Inan, A., 2004). Örnegin; a=-5 ile b=5 arasinda yani -5 ile +5 arasinda rastgele sayili 2x4 (iki satur 4 sütünlu) bir matris üretmek istenirse >>a=-5+10*rand(2,4) a = >> c=rand(4) 0 ile 1 arasinda 4x4 matris olusturur. Özellikle iki boyutlu verilere rastgele gürültü eklenmesinde temel kullanima uygundur. c =
18 Ones fonksyionu elemanlari 1 olan bir matris zeros fonksiyonu elemanlari 0 olan matris olusturur. >> s=ones(3) s = >> d=zeros(4) d = eye fonksiyonu ile birim matris olusturulur. >> d=zeros(2,4) d = >> e=ones(2,5) e = >> f=eye(3,3) f = Özel Matrisler Pascal(i) fonksyionu i. siraya kadar passcal üçgeninin elemanlarindan olusan ixi boyutunda bir matris olusturulur. >> pascal(4)
19 magic(j) fonksiyonu jxj uzunlugunda 1 den j ye kadar sayilardan olusan (j=2 hariç) esit satir, sütün ve kösegen toplamina sahip bir kare matris olusturur. >> magic(3) = = = [x,y]=meshgrid(x,y) fonksiyonu x ve y vektörlerini X ve Y matrislerine dönüstürerek aslinda 3 boyutlu grafik çizimleri için bir veri ortami hazirlar. >> [X,Y]=meshgrid(-2:1:2,-2:1:2) X =
20 Y = Burada -2 ile 2 arasinda artimi 1 olan X ve Y matrisleri olusturulmustur. Grafik Çizimleri plot fonksiyonu belirli bir düzlem verisinin grafik gösterimi için kullanilir. Bir x ve y düzleminde verilen bir verinin gösterimi plot(x,y). Örnegin x ve y elemanlari (0,0), (1,1), (4,2) ve (5, 1) olan düzlem >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> plot(x,y) Bir baska örnekte y=x 3 fonksiyonu [ 2,2] olarak tanimlaniyorsa bunun matlab da çizimini yapalim. Araligini kendimizin belirleyecegi 2 den 2 x degerleri >> x=-2:.05:2; % 0.05 artim x vektörü 1x81 matrisini olusturur. Bu size(x) yazilarakta belirlenebilir. >> y=x.^3; y=x^3 yazildiginda x kare matris olmadiginda hata verecektir. >> plot(x,y) Çizilen grafige baslik yazilmasi >> title('f(x)=x^3 fonksiyonu')
21 r(t)=(2tcost/(t+1),2tsint/(t+1)) kapali egrisini t [0,4π] için çizimde t vektörü aiagidaki gibi tanimlansin. >> t=0:.1:4*pi; >> x=2*t.*cos(t)./(t+1); >> y=2*t.*sin(t)./(t+1); >> plot(x,y); >> title('(2t cos t/(t+1),2t sin t/(t+1))') Matlab grafik çizimlerini otomatik ayarlar. Uygun ölçekte görmek için axis equal >> axis equal Ayni sekil üzerinde birden fazla egriyi göstermek için hold on. Ayni sekil üzerinde birden fazla egriyi göstermek için hold on kullanilir. Örnek: x 2 +y 2 =4 ve (x 1) 2 +(y 1) 2 =1 gibi iki daire ayni sekilde gösterilmek istenirse. r 1 (t)=(2cost,2sint) ve r 2 (t)=(1+cost,1+sint) t [0,2π] olarak tanimlanirsa. >> t=0:pi/20:2*pi; >> plot(2*cos(t),2*sin(t))
22 >> hold on >> plot(1+cos(t),1+sin(t)) >> axis equal >> title('x^2+y^2=4 and (x-1)^2+(y-1)^2=1 daireleri') Yüzeylerin Çizimleri f(x,y) fonksiyonun dikdörtgensel ortamda gösterimi R=[a,b] [c,d]={(x,y) a x b and c y d}, Ilk olarak meshgrid fonksiyonunu kullanarak ortami gridleyerek tanimlayabiliriz Dikdörtgen [0,4] [0,3] parçalara bölünürse ve genisligi 1 yüksekligi 0.5 olan. Gird araligini tanimlayan x ve y vektörlerinin tanimlanmasi gerek. >> x=0:4 x = >> y=0:.5:3 y = meshgrid grid noktalarini tanimlar. >> [X,Y]=meshgrid(x,y) X =
23 Y = öylece 35 noktadan olusan 7 5 matris elde edilir. X matrisi x koordinatlarini y matrisi y kooridnatlarini içerir. f(x,y)=3x 2y fonksiyonunu çizelim. z koordinatlarini olusturan z >> Z=3*X-2*Y olarak tanimlansin Z = Sonuç olarak surf fonksyionu tanimli yüzeyin çizimi için kullanilir >> surf(x,y,z) >> title('f(x,y)=3x-2y yüzeyi') x ve y tanimlamalari dogrudan da yapilabilir. >> [X,Y]=meshgrid(0:4,0:.5:3) Örnek: f(x,y)=x 2 y 2y fonksiyonunu [ 2,2] [ 1,1] tanimli aralikta gösterelim. Kenar uzunlugu 0.1 olan karelerden olusan bir grid tanimlanmasi gerek. >> [X,Y]=meshgrid(-2:.1:2,-1:.1:1); z yüzeyinin tanimi >> Z=(X.^2).*Y-2*Y;
24 Yüzeyin çizilmesi. >> surf(x,y,z) >> title('f(x,y)=x^2y-2y Yüzeyi') Yariçapi ρ olan bir küre R 3 araligi, ile merkezlenmis olsun. Ve genellestirilmis ifadesi ve tanim r(φ,θ)=(ρsinφcosθ ρsinφsinθ,ρcosφ) 0 φ π,0 θ 2π. Bu birim küreyi çizdirelim. Ilk olarak φ ve θ mesgrid fonksyionunu parametreleri olacaktir. >> phi=0:pi/20:pi; >> theta=0:pi/10:2*pi; >> [Phi,Theta]=meshgrid(phi,theta); ρ = 1 için. >> X=sin(Phi).*cos(Theta); >> Y=sin(Phi).*sin(Theta); >> Z=cos(Phi); Finally we plot the surface, and scale the axes so that it looks like a sphere! >> surf(x,y,z) >> axis equal >> title('birim küre {\bf R}^3') %{\bf R} yazim sekli R 3 için formattir. Yada hazir fonksiyon halinde sphere(n) n tam sayisi ile ayni küre elde edilir.
25 Konturlama ( Egri Seviye Degerleri ) f(x,y)=x 2 y 2. seviye egrilerinin gösterilmesi için 'contour komutu kullanilmaktadir. >> [X,Y]=meshgrid(-1:.1:1); >> Z=X.^2-Y.^2; >> contour(x,y,z) >> title(' f(x,y)=x^2-y^2 fonksiyonunun seviye egrileri') Konturlarin degerlerini elde etmek için >> [C,h]=contour(X,Y,Z); >> clabel(c,h) >> title('f(x,y)=x^2-y^2 kontur degerleri ile.')
26 Grafik ve Konturlarin beraber çizdirilmesi için surfc komutu kullanilir >> surfc(x,y,z) >> title('f(x,y)=x^2-y^2. fonksiyonu ve kontur cizgileri') Vektör Alanlari Bir vektör alan R n ile tanimlanan bir fonksiyon olsun. F:R n R n, ve grafik olarak her x degerinin F(x) olarak yani x in R n tanimlanir. MATLAB, quiver(x,y,u,v) ile (U,V)vektörünü (X,Y)noktalarinda. Örnek:Vektör alani F(x,y)=( y,x) >> [X,Y]=meshgrid(-1:.2:1); >> quiver(x,y,-y,x) >> axis equal >> axis([ ])
27 >> quiver(x,y,-y,x,0) quiver(x,y,u,v,s) genel ifadesinde s ölçeklendirme olarak kullanilir. Yukarida sagdaki sekilde s=0 olarak alinmistir. Kullanilmassa otomatik ölçeklendirme yapilir. Sembolik Degiskenler ve Ifadeleri MATLAB simgesel islemlerde Symbolic Math Toolkit i kullanir. Kullanilacak fonksiyonlar >> help symbolic ile görülebilir. Simgesel degisken ve islemlere giris yapmak için >>symintro yazmak yeterlidir. Sayisal islemlerde ve karakter indislerinde bildirime gerek yok iken, simgesel islemlerde kullanilacak degiskenlerin önceden bildirilmesi gerekir. Örnegin a gibi bir sembolik degisken >> sym a a veya >> sym('a') a ile bildirilir. Bir fonksionda geçen degiskenler x,y ve z olsun >> syms x y z Anlami x=sym('x'), y=sym('y') ve z=sym('z'). Sembolik bir ifade yazalim. >> S=x^2-y^2 S = x^2-y^2
28 Bu ifadenin faktörü. >> factor(s) (x-y)*(x+y) S nin küpü ve açilimi. >> S^3 (x^2-y^2)^3 >> expand(ans) x^6-3*x^4*y^2+3*x^2*y^4-y^6 Bir fonksiyonu sadelestirmek icin simplify fonksyionu kullanilir. >> S=(x^3-4*x)/(x^2+2*x) S = (x^3-4*x)/(x^2+2*x) >> simplify(s) x-2 Sembolik ifadeler matris yada vektör normunda olabilir. >> syms a b >> A=[cos(a) -sin(a); sin(a) cos(a)] A = [ cos(a), -sin(a)] [ sin(a), cos(a)] >> B=[cos(b) -sin(b); sin(b) cos(b)] B = [ cos(b), -sin(b)] [ sin(b), cos(b)] >> C=A*B C = [ cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b), -cos(a)*sin(b)-sin(a)*cos(b)] [ sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)] >> simplify(c) [ cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b), -cos(a)*sin(b)-sin(a)*cos(b)] [ sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b), cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)] simplify fonksiyonu görüldügü gibi herhangi bir degisiklik yapmadi. Bu durumda baska bir seçebek olan simple fonksyionu kullanilir. Esitligin en kisa ifadesi. >> D=simple(C) D = [ cos(a+b), -sin(a+b)] [ sin(a+b), cos(a+b)] Örnek: f(x,y)=(4x 2 1)e x2 y2 fonksiyonu için f(1,2) sonucunu bulalim. >> syms x y >> f=(4*x^2-1)*exp(-x^2-y^2) f = (4*x^2-1)*exp(-x^2-y^2)
29 >> f(1,2)??? Index exceeds matrix dimensions. f bir fonksiyon olmadigindan bir degisken oldugundan MATLAB f(1,2) bir satir ve 2 kolon olarak giris yapacaktir. Ifadenin sonucunu bulmak için degisken degistirme yapilmalidir. Bunun için subs fonksiyonu kullanilir. >> subs(f,{x,y},{1,2}) Sadece y ye bagli bir ifade elde edilecekse, >> subs(f,x,3) 35*exp(-9-y^2) Fonksiyonlari tanimlamak için bir baska yol da inline komutunu kullanmaktir. Örnek: g(x,y)=x 2 3xy+2 >> g=inline('x^2-3*x*y+2') g = Inline function: g(x,y) = x^2-3*x*y+2 olarak tanimlanabilir. g(2,3) için fonksiyonu degerlendirmek için. g(2,3) -12 inline fonksyonlarin dezavantaji sembolik olarak degistirilemez. >> g^2??? Error using ==> ^ Function '^' not defined for variables of class 'inline'. Denklem Sistemlerinin Çözümü Matlab in bir diger gelismis özelligi her türlü dogrusal ve dogrusal olmayan denklem takimlarinin çözüm kümesini bulmasidir. Bu amaç için solve komutunu kullanir. >> solve('sin(x)+x=5') Eger esitlik verilmezse, >> solve('a*x^2+b*x+c','x') [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
30 Örnek: x 2 +y 2 =4 ve (x 1) 2 +(y 1) 2 =1 olarak verilen iki fonksiyonun kesisim degerlerini bulmak için. >> S=solve('x^2+y^2=4','(x-1)^2+(y-1)^2=1') S = x: [2x1 sym] y: [2x1 sym] >> [S.x S.y] [ 5/4-1/4*7^(1/2), 5/4+1/4*7^(1/2)] [ 5/4+1/4*7^(1/2), 5/4-1/4*7^(1/2)] Kesisim degerleri ((5 7)/4,(5+ 7)/4) and ((5+ 7)/4,(5 7)/4). Dogrusal Denklem Takimlarinin Çözümü n. dereceden dogrusal denklem takimi a x + a x a x = b a a x a x + a n2 x x 1n a a 2n nn n x x n n = b... n = b biçiminde verilir. Bu denklem takiminin matris biçiminde gösterimi [ A ] [ x ] =[ B ] seklinde tanimlanabilir. Burada; n A = a11 a12.. a21 a an1 an2.. a 1n a a 2n.. nn [ b b ] B = b n katsayilar matrislerini ve X = [ x x ] x3 çözümü istenen degiskenler matrisini (vektörünü) gösterir. Bu tür istenen denklem takimlarinin çözümü için, içinde yer alan özel fonksiyonlar yoktur. Bu denklemlerin çözümünde matris islemlerinden yararlanilabilir. AX=B biçiminde verilen denklem takiminin çözümünde A\B biçiminde soldan (bölen bölme isaretinin solunda yer almakta) matris bölme islemi ile yerine getirilir. XA=B biçiminde tanimlanan matris
31 denklemin çözümünde B/A seklinde sagdan matris bölme islemi kullanilir. Sagdan ve soldan matris bölme isleminde sayisal Gauss eliminasyon teknigi kullanilir. Denklem Takimlarinin Ters Matris Islemi Yolu ile Çözümü AX=B biçiminde verilen ve B nin satir matrisi olarak tanimlandigi matris denkleminin her iki tarafini A-1 ile çarparsak A-1 AX=A-1B elde edilir. Burada A-1 A, I olarak tanimlanan birim matrise denktir. Buna göre IX=A-1B veya X=A-1B elde edilir. MATLAB ortaminda bu çözüm; X=inv(A)*B komutu ile elde edilebilir. Diger taraftan B nin sütun matrisi olarak tanimlandigi, XA=B biçiminde ifade edilen denklem takiminin çözümü için, her iki taraf A-1 ile çarpilir ve gerekli düzenlemeler yapilirsa X=BA-1 elde edilir.matlab ortaminda X=B * inv(a) bildirimi ile gerekli çözüm elde edilmis olur. Örnek : Asagida verilen denklem takiminin çözümünü elde ediniz. x1 + 4x2 x3 + x4 2x1 + 7x2 + x3 2x4 x1 + 4x2 x3 + 2x4 3x1 10x2 2x3 + 5x 4 = 2 = 16 = 1 = 15 Çözüm : Çözüm ilk önce soldan ve sagdan matris bölme islemlerine göre ele alinacak ve daha sonra da ters matris islemine göre çözülecektir. AX=B biçiminde matris denklemi verildiginde çözüm soldan bölme islemine göre asagidaki bildirimlerle yerine getirilebilir. a=[ ; ; ; ] b=[ ] >> x=a\b;
32 Denklem takimlari XA=B biçiminde matris denklemi ile tanimlandiginda çözüm sagdan bölme islemi ile asagidaki sekilde saglanir. Burada A ve B matrisleri bir önceki orijinal halinin traspozesi olmaktadir. a=[ ; ; ; ] b=[ ] x=b/a Ters matris islemi ile çözümde; MATRIS denklemi AX=B biçiminde verildiginde, A ve B matrisi a=[ ; ; ; ]; b=[ ] biçiminde tanimlandiktan sonra x=inv(a)*b; bildirimi ile çözüm elde edilir: Benzer sekilde Matris denklemi XA=B biçiminde verildiginde A ve B matrisleri, a=[ ; ; ; ] b=[ ] x=b*inv(a) bildirimi ile çözüm elde edilir. Yukarida verilen bildirimler yolu ile x çözümü için x= seklinde elde edilmis olur. Burada x 1 = 2, x 2 =1, x 3 =3 x 4 =-1 dir. Dogrusal Olmayan Denklemlerin Çözümü Dogrusal olmayan denklemlerin dogrusal denklemlerde oldugu gibi tek bir standart biçimi yoktur. Gerek MATLAB içinde gerekse Otimatization Toolbox içinde, gerek tek degiskenli ve gerekse çok degiskenli denklemlerin çözümünde kullanilan çesitli çözüm fonksiyonlari vardir. Dogrusal olmayan denklemlerin çözümü, dogrusal denklem çözümü kadar basit olmayip bunlarin çözümü için ayrica bir fonksiyon dosyasi hazirlanmasi gerekir. Burada, MATLAB içinde yer alan fzero fonksiyon fonksiyonu ile Otimatization Toolbox içinde yer alan fsolve fonksiyon fonksiyonu ayrintili bir biçimde ele alinacaktir. Ayrica diger dogrusal olmayan fonksiyon fonksiyonlarinin kisaca tanimlari gözden geçirilecektir. fzero: Fonksiyon fonksiyonu; tek degiskenli bir fonksiyonun sifirini hesaplar. Genel kullanim biçimleri asagida oldugu gibidir. z=fzero( function,x0); z=fzero( function,x0,tol);
33 z=fzero( function,x0,tol, trace); fun(x) biçimindeki bir fonksiyonun, X0 ile tanimlanan degere yakin olan tek bir sifirini hesaplar. Burada, fonksiyonu sifir yapan, yani x eksenini kesen bir sifir degeri hesaplanir. Ikinci bildirimde yer alan tol isimli, seçimli argüman bagil hata toleransini belirler. Üçüncü bildirimde yer alan seçimli trace argümani her bir hesap yineleme islemindeki bilgileri görüntüler. Fonksiyon fonksiyonu olan fzero fonksiyonunu kullanmak için ayrica function ile baslayan bir fonksiyon dosyasi hazirlanmasi gerekir. Örnek: f(x)=x3-2x-5 fonksiyonunun bir sifirini bulunuz. Çözüm: Önce bir fx.m adi ile fonksiyon dosyasi hazirlanir. Function y=fx(x) y=x^3-2*x-5 Burada dosya adi fx ile fonksiyon adi fx ayni olmasi gerektigine dikkat edilmelidir. Daha sonra MATLAB ortaminda z=fzero( fx,2) bildirimi ile z= sonucu elde edilir. Burada X 0 =2 olarak tahmini bir baslangiç deger verilmistir. f (x) fonksiyonu gerçekten bir polinom olduguna göre asagida verilen roots komutu ile p=roots([ ]) Ayni fonksiyonu sifir yapan gerçek deger ile birlikte karmasik eslenik kökleri de; p= i i olarak elde edilmis olur Örnek : e 2x x 2 biçiminde verilen dogrusal olmayan fonksiyonun bir adet sifirini bulunuz. Çözüm:Burada f(x) fonksiyonu; f(x)=e 2x x 2 biçimine sokulabildigine göre fonksiyon dosyasi; function y=fex(x) y=exp(2*x)-x-2; biçiminde hazirlanir. Daha sonra MATLAB ortaminda;
34 z=fzero( fex,1) z elde edilir. Yukaridaki örneklerden de görüldügü gibi fzero fonksiyonu herhangi bir fonksiyonun tahmini bir sifirinin hesaplanmasinda ve/veya dogrusal olmayan denklemlerin çözümünde daha kullanislidir. Dogrusal denklemlerin ayni anda tüm köklerini çözmek gerektiginde roots fonksiyonunu kullanmak daha pratik olacaktir. Dogrusal Olmayan Denklem Takimlarinin Çözümü Dogrusal olmayan denklem takimlarinin çözümünde, Optimization Toolbox içinde yer alan fsolve fonksiyon fonksiyonu kullanilir. fsolve fonksiyonu dogrusal olmayan denklem takiminin çözümünü saglar. fsolve fonksiyonunun belli basli kullanim biçimleri asagida oldugu gibidir. x=fsolve( fun,x0) x=fsolve( fun,x0,options) x=fsolve( fun,x0,options, grad ) x=fsolve( fun,x0,options, grad,p1,p2,...) [x,options]=fsolve( fun,x0,...) fsolve dogrusal olmayan denklemlerin köklerini hesaplar. Çikis argümani olan X degerleri; F(x)=0 seklinde hesaplanir. Burada F(x) ve X skalar, vektör veya matrislerden ibaret olabilir. x=fsolve( dun,x0) bildirimi, fun.m isimli M-dosyasinda tanimlanan denklemleri, X0 tahmini baslangiç degerlerinden baslayarak çözer ve sonucu X degiskenine atar. Burada X0 boyutu x degisken sayisi kadar olmalidir. Ikinci bildirimde yer alan seçimli argüman options seçimli parametreler vektörünü tanimlar. options için pek çok seçenek mevcuttur. Bunlar ile ilgili bilgiler help folve yolu ile saglanabilir. Üçüncü bildirimde yer alan grad, X noktasinda fonksiyonlarin kismi türevlerini (Jacobianlarini) df/dx, df=grad(x) elde etmek için kullanilir. df in i inci sütunu f deki fonksiyonun i inci kismi türevine karsilik gelir. Örnek: Bir metal kesme islemine ait denklem takimi C= v-1f x10-8v3f0.16d v0.95 f0.78 d0.75=20 biçiminde tanimlanmaktadir. Burada c 1.27 i,le 1.28 arasinda bir degerdir. Tamamen nonlinear olan bu denklemlerin çözümü için gerekli fonksiyon dosyasi function f=nlnr(x) &x(1)=v, x(2)=f, x(3)=d, degiskenlerine.karsilik gelmektedir. F(1)= /(x(1)*x(2))+5.744e-8...
35 (x(1).^3)* (x(2).^0.16) * (x(3).^1.14); f(2)= *(x(1).^(-1.52))*(x(2).^1.004)... *( x(3). ^0.25); f(3)= *(x(1).^0.95)*(x(2).^0.78) *(x(3).^0.75); hazirlanabilir. Daha sonra MATLAB ortaminda fsolve ile asagidaki bildirimler yolu ile çözülür. Burada en önemli husus baslangiç degerinin seçimidir. Uygun bir çözüm elde edilene kadar baslangiç degerlerinin seçimi degistirilebilir. Bildirimi ile x=fsolve( nlnr,[ ]); X= Sonucu elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonlari ile test edildiginde f= 1.0e-008 *( ) sifira çok yakin degerler elde edildigi görülür. Buna karsilik X0 baslangiç degerleri asagida oldugu gibi seçilecek olursa >>x=fsolve( nlnr,[ ]); Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND= e-017 Maximum number of iterations has been exceeded Biçiminde bir uyari alinir. Buda çözümün yeterli tamlikta gerçeklenmedigini gösterir. Gerçekten de f fonksiyon degerleri asagidaki biçimde yazilarak test edildiginde >> F(1)= /(x(1)*x(2))+5.744e-8... (x(1).^3)* (x(2).^0.16) * (x(3).^1.14); >> f(2)= *(x(1).^(-1.52))*(x(2).^1.004)... *( x(3). ^0.25); >> f(3)= *(x(1).^0.95)*(x(2).^0.78) *(x(3).^0.75); f= sifirdan oldukça farkli degerler elde edildigi görülür. Bu durumda baslangiç degerlerini degistirmek sureti ile uygun çözümler arastirilmalidir. Optimization Toolbox içinde, dogrusal olmayan denklemlerin, degisik sekilde çözümünde kullanilan diger pek çok fonksiyon vardir. Bunlarin tanimlari asagida kullanilan diger pek çok fonksiyon vardir. Bunlarin tanimlari asagida oldugu gibidir. Genel kullanim biçimleri MATLAB ortaminda help komutu ile elde edilebilir.
36 attgoal constr fmin fminu, fmins Fsolve leastssq minimax seminf lp nnls qp : Çoklu-amaçli hedefe ulasma problemi çözümü : Kisitli minimizasyon çözümü : Skalar kisitsiz minimizasyon çözümü. : Kisitsiz minimizasyon çözümü. : Dogrusal olmayan denklem çözümü. : Dogrusal olmayan en küçük kareler çözümü. : Minimum-maksimum çözümü. : Yari mutlak minimizasyon : Dogrusal programlama : Negatif olmayan en küçük kareler çözümü. : Egrisel programlama. Integraller Simgesel integral alma fonksiyonu int genel kullanim sekli int(s) int(s,v) int(s,a,b) int(s,v,a,b) : findsym ile belirlenen simgesel degiskene göre S nin belirsiz integralini alir : S nin v ye göre integralini alir. : S nin varsayilan degiskene göre a dan b ye kadar belirli integralini alir. : S nin tanimli a dan b ye kadar belirli integralini alir. Örnek: 5 ( 2x 4x + 20) dx integrallinin hesaplanmasi >>int(-2*x^5-4*x+20) -1/3*x^6-2*x^2+20*x >> pretty(int(-2*x^5-4*x+20)) Örnek: /3 x - 2 x + 20 x ( at ln( t + 1) + ut) dt integralinin hesaplanmasi 0 >> syms x a u t; >> int_s=a*t*log(t+1)+u*t; >> r=int(int_s,t) r = 1/2*a*log(t+1)*t^2-1/2*a*log(t+1)-1/4*a*t^2+1/2*a*t+3/4*a+1/2*u*t^2 >> ss=int(int_s,t,0,1) ss = 1/2*u+1/4*a Eger integral sinirlari 8, +8 ise -inf ve +inf olarak sinirlar verilir.
37 Türevler Türev ifadesi diff komutu ile verilir. Örnegin f f(x)=sin(e x ) ifadesinin x e bagli türevi >> syms x >> f=sin(exp(x)) f = sin(exp(x)) >> diff(f) cos(exp(x))*exp(x) n th türev diff(f,n) olarak verilir. >> diff(f,2) -sin(exp(x))*exp(x)^2+cos(exp(x))*exp(x) Kismi türevlerin bulunmasina örnek f(x,y)=x 3 y 4 +ysinx. >> syms x y >> f=x^3*y^4+y*sin(x) f = x^3*y^4+y*sin(x) Ilk olarak f/ x hesaplanir. >> diff(f,x) 3*x^2*y^4+y*cos(x) Daha sonra f/ y hesaplanir. >> diff(f,y) 4*x^3*y^3+sin(x) 3 f/ x 3 bulmak istersek >> diff(f,x,3) 6*y^4-y*cos(x) Bir fomksiyonun bilinmeyen parametrelerine göre türevinin alinmasi için Jacobian matrisin olusturulmasi gerekir. Bunun için jacobian komutu kullanilir. Örnek: f(x,y)=(sin(xy),x 2 +y 2,3x 2y). >> f=[sin(x*y); x^2+y^2; 3*x-2*y] f = [ sin(y*x)] [ x^2+y^2] [ 3*x-2*y] >> Jf=jacobian(f) Jf = [ cos(y*x)*y, cos(y*x)*x] [ 2*x, 2*y] [ 3, -2]
38 Dogrusal bir dönüsüm durumunda Jacobian oldukça basittir. >> A=[ ; ; ] A = >> syms x1 x2 x3 x4 >> x=[x1;x2;x3;x4] x = [ x1] [ x2] [ x3] [ x4] >> T=A*x T = [ 11*x1-3*x2+14*x3+7*x4] [ 5*x1+7*x2+9*x3+2*x4] [ 8*x1+12*x2-6*x3+3*x4] T nin Jacobian i >> JT=jacobian(T) JT = [ 11, -3, 14, 7] [ 5, 7, 9, 2] [ 8, 12, -6, 3] The Jacobian of T is A matrisinivermektedir. Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü dsolve komutu kullanilmaktadir. Örnek: y/ t=-ay diferansiyel denkleminin çözümü >> y=dsolve('dy=-a*y') y= C1*exp(-a*t) Uygulamada varsayilan degisken t dir. Ancak problem y=-ay seklinde verilseydi bu durumda degiskenin ne oldugu belirtilmemistir. y(0)=1 baslangiç kosulu verildigini düsünelim. >> y=dsolve('dy=-a*y','y(0)=1') y = exp(-a*t) C1 katsayisinin kalktigi görülmektedir. Örnek: 2 d y dy y = 0 diferansiyel denklemin çözümü 2 dt dt dsolve('d2y+3*dy+y=0') C1*exp(1/2*(-3+5^(1/2))*t)+C2*exp(-1/2*(3+5^(1/2))*t) pretty(ans) 1/2 1/2 C1 exp(1/2 ( ) t) + C2 exp(- 1/2 (3 + 5 ) t)
39 Pretty komutu ile düzenli basim sekli gelir. Örnek: y(0)=0, y?(0)=1 kosullari altinda y??+4y?+12y=8sin4t ikinci derecden diferansiyel denklemin çözümü r=dsolve('d2y+4*dy+12*y=8*sin(4*t)','y(0)=0','dy(0)=1','t') r = -4/17*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)-3/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)- 2)*t)*2^(1/2)-7/34*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)- 2)*t)*2^(1/2)+3/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)+7/34*cos(2*2^(1/2)*t)*co s(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)+3/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)*2^(1/2)- 7/34*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)- 2)*t)*2^(1/2)+1/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)+7/34*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2 ^(1/2))*t)*2^(1/2)-4/17*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)- 4/17*cos(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)-2)*t)- 3/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2+2^(1/2))*t)*2^(1/2)- 1/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)+1/17*cos(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2^(1/2)-2)*t)- 4/17*sin(2*2^(1/2)*t)*sin(2*(2+2^(1/2))*t)-1/17*sin(2*2^(1/2)*t)*cos(2*(2^(1/2)- 2)*t)+8/17*exp(-2*t)*cos(2*2^(1/2)*t)+41/68*exp(-2*t)*sin(2*2^(1/2)*t)*2^(1/2) >> pretty(simple(r)) 1/2 8/17 exp(-2 t) cos(2 2 t) - 2/17 sin(4 t) - 8/17 cos(4 t) 41 1/2 1/ exp(-2 t) sin(2 2 t) 2 68 M-Dosyalari M-dosyalari olarak ele aldigimiz dosyalar aslinda matlab ortaminda kullanmis oldugumuz komutlardir ve veri analizini saglayan fonksiyonlardir.bu fonksiyonlar her amaca yeterli olsa da sonuçlara daha hizli ulasabilmek için kendimize özel fonksiyonlar yani yeni M-dosyalari olusturabiliriz.çesitli yollarla bu M-dosyalarini hazirlayabiliriz.istersek bir komutlar dizisi sayesinde sonuca ulasiriz istersek de function kelimesiyle baslayan bir fonksiyonel dosya olustururuz.önemli olan bize istedigimiz sonucu kisa zamanda verebilmesi.simdi de örnek olarak bir M-dosyasi olusturalim: Örnegin kütlesinin ve hizinin degerini girdigimde bana o cismin kinetik enerjisini veren bir M- dosyasi olusturalim.öncelikle komutlari yazacagim sayfaya girmem gerek.m-dosyasi olusturmak için öncelikle file menüsünden new dedigimizde M-file diyecektir.onu seçerek
40 alanimizi olusturmus oluruz.baska bir yol ise Command Window da edit yazarak olusturmaktir. Asagidaki gibi M-dosyamizi olusturuyoruz: % kütlesi ve hizi verilen bir cismin % kinetik enerjisinin hesabi m=input('lütfen kütle degerini giriniz(kg)= ') v=input('lütfen cismin hiz degerini giriniz(m/s)= ') Ek=m*v^2/2 (verilen degerlere göre kinetik enerji hesaplaniyor) Bu komutlari yazdiktan sonra bunu sakliyoruz.örnegin sayfadaki disket resmine tikladik ve dosya ada olarak kinetik yazdik ve dosyayi saklamis olduk.simdi de islemlerimizin dogrulugunu test edelim.command Window a geçerek kinetik yazdigimizda veya komutlari yazdigimiz sayfadan debug menüsünden Run seçtigimizde bakalim neler oluyor: >> kinetiklütfen kütle degerini giriniz(kg)=10m = 10 Lütfen cismin hiz degerini giriniz(m/s)=50 v = 50 Ek = %************************************** % Hareketli egri için bir örnek r(t)=(2tcost/(t+1),2tsint/(t+1)) % kivrim.m % hold on for T=0:.1:4*pi t=[t T+.1]; plot(2*t.*cos(t)./(t+1),2*t.*sin(t)./(t+1)) axis equal axis([ ]) axis off pause(.01) end %************************************************* % rastgele sayi üretimi ve sinus üzerine bindirme f1=50 % frekans f2=100 % frekans dt=0.001; max_sure=50; % saniye byt=40; % random sayi buyultme faktoru t = 0:0.001:.255; x = 10*sin(2*pi*f1*t) %+cos(2*pi*f2*t); yy = x + byt*randn(size(t)); subplot(2,1,1) plot((1/dt)*t(1:max_sure),yy(1:max_sure)) xlabel('zaman (milisaniye)') subplot(2,1,2) Y = fft(yy,256);
41 Pyy = Y.* conj(y) / 256; f = 1000*(0:128)/256; plot(f,pyy(1:129)) xlabel('frekans (Hz)') %************************************************ %************************************************ % K,re seklinde bir cismin gravite anomalisi ve rastgele gürültü eklenmesi clear all; G=6.6579E-8; s= ; d=300; % s=input('kütle='); % d=input('derinlik='); byt=0.008; % rastgele sayi faktoru % kure seklindeki cismin gravite anomalisinin ifadesi % anomaliye rastgele gurultu eklenir. for i=(1:40) tm=s*1e6 td=d*1e2 x(i)=(i-21)*1e4 delg(i)=((g*tm*td)*(1/((x(i)^2+td^2)^1.5)))*1e3; gur=byt*randn(size(i)); gdelg(i)=delg(i)+gur; end; plot(x,gdelg) xlabel('uzaklik km') ylabel('mgal') text(5000,0.2,'\leftarrowanomali',... 'FontSize',16) %**************************************************** KAYNAKLAR MATLAB ILE MÜHENDISLIK SISTEMLERININ ANALIZI VE ÇÖZÜMÜ Prof.Dr. Ibrahim YÜKSEL U.Ü.Makine Mühendisligi Bölümü 1996 Matlab ve Programlama Dr. Aslan Inan, Papatya DIFERANSIYEL DENKLEMLER VE UYGULAMALARI Prof. Dr. Mehmet AYDIN Gönül GÜNDÜZ Beno KURYEL Yard. Doç. Dr. Galip OTURANÇ Izmir
MATLAB PROGRAMLAMAYA GİRİŞ
MATLAB PROGRAMLAMAYA GİRİŞ MATLAB, MATrix LABoratory sözcüklerinden gelir ve temelde sayısal ve analitik olarak matematiksel fonksiyonların ifadelerinin kullanıldığı başta mühendislik alanında olmak üzere
DetaylıMATLAB. Grafikler DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB Grafikler DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Matlab yüksek seviyede grafik oluşturulabilir. Matlab ile çizilebilecek grafikler; Dikdörtgen (x-y) ve 3 boyutlu çizgi grafikleri Ağ (mesh) ve yüzey grafikleri Çubuk
Detaylı6. ÇİZİM İŞLEMLERİ 3 6.1. 2 Boyutlu Eğri Çizimi x ve y vektörleri ayni boyutta ise bu vektörleri ekrana çizdirmek için plot(x,y) komutu kullanılır.
6. ÇİZİM İŞLEMLERİ 3 6.1. 2 Boyutlu Eğri Çizimi x ve y vektörleri ayni boyutta ise bu vektörleri ekrana çizdirmek için plot(x,y) komutu kullanılır. A =[ 7 2 5 ]; B =[ 5 4 8 ]; plot(a,b); İstenildigi takdirde
DetaylıMATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
DetaylıMATLAB. Temel işlemler, Vektörler, Matrisler DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB Temel işlemler, Vektörler, Matrisler DOÇ. DR. ERSAN KABALCI İçerik Matlab Nedir? Matlab ın Kullanım Alanları Matlab Açılış Ekranı Matlab Programı İle Temel İşlemlerin Gerçekleştirilmesi Vektör İşlemleri
Detaylı2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama
2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris
Detaylı>> 5*3-4+6/2^0 ans = 17 ( Matlab da sayılar arası işlemler [ +, -, /, *, ^ ] bu şekilde ifade edilmektedir.)
7. Diferensiyel Denklemlerin Çözümünde Matlab Uygulamaları MATLAB, Matrislere dayanan ve problemlerin çözümlerinde kullanılan Matematik metotların bilgisayar ortamında kullanılmasını sağlayan yazılım paketidir.
DetaylıMATLAB a GİRİŞ. Doç. Dr. Mehmet İTİK. Karadeniz Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü
MATLAB a GİRİŞ Doç. Dr. Mehmet İTİK Karadeniz Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü İçerik: MATLAB nedir? MATLAB arayüzü ve Bileşenleri (Toolbox) Değişkenler, Matris ve Vektörler Aritmetik işlemler
DetaylıDENEY 1: Matlab de Temel Uygulamalar
DENEY 1: Matlab de Temel Uygulamalar I. AMAÇ Bu deneyde MATLAB (MATrix LABoratory) programının temel özellikleri anlatılmakta, öğrencinin sinyal işleme ve haberleşme uygulamalarında kullanabilmesi için
DetaylıMAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI
.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;
DetaylıMATLAB Semineri. EM 314 Kontrol Sistemleri 1 GÜMMF Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü. 30 Nisan / 1 Mayıs 2007
MATLAB Semineri EM 314 Kontrol Sistemleri 1 GÜMMF Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü 30 Nisan / 1 Mayıs 2007 İçerik MATLAB Ekranı Değişkenler Operatörler Akış Kontrolü.m Dosyaları Çizim Komutları Yardım Kontrol
Detaylı1. GİRİŞ 1.1. GENEL BAKIŞ 1.2. KULLANICI ARAYÜZÜ
1. GİRİŞ 1.1. GENEL BAKIŞ MATLAB (MATrix LABoratory) sayısal hesaplama ve dördüncü nesil programlama dilidir. MathWorks firması tarafından geliştiriliyor. MATLAB; - matris işlenmesine, - fonksiyonlar ve
DetaylıYrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları
DetaylıBM202 SAYISAL ÇÖZÜMLEME
BM202 SAYISAL ÇÖZÜMLEME DOÇ.DR. CİHAN KARAKUZU DERS-2 1 Ders2-Sayısal Hesaplamalarda Gerek Duyulabilecek Matlab İşlemleri MATLAB, çok paradigmalı (bir şeyin nasıl üretileceği konusunda örnek, model) sayısal
Detaylı1- Temel MATLAB Fonksiyonları ve Programlama
1- Temel MATLAB Fonksiyonları ve Programlama >> help elfun ile kategorilere ayrılmış biçimde temel MATLAB fonksiyonlarını görebilirsiniz. Bazı temel MATLAB fonksiyonları aşağıda verilmiştir. Trigonometrik
DetaylıBilgisayar Programlama MATLAB
What is a computer??? Bilgisayar Programlama MATLAB Prof. Dr. İrfan KAYMAZ What Konular is a computer??? MATLAB ortamının tanıtımı Matlab sistemi (ara yüzey tanıtımı) a) Geliştirme ortamı b) Komut penceresi
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıBilgisayar Programlama
Bilgisayar Programlama M Dosya Yapısı Kontrol Yapıları Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Matlab Ders Notları M-dosyası Genel tanıtımı : Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine getirmek için gerekli
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMatlab. Vektör ve Matris İşlemleri
Matlab Vektör ve Matris İşlemleri Konu Özeti Bir Matrisin Elemanlarının Bir Vektörün Elemanlarına Atanması Matrislerin Boyutunun Değiştirilmesi Matrislerin Genişletilmesi Matrislere Satır veya Sütun Eklenmesi
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
DetaylıMATLAB Temelleri. EEM104 - Bilgisayar Programlama. Matlab ın Açılış Ekranı. Dr. Mehmet Siraç Özerdem EEM Dicle Üniversitesi. Launch Pad.
MATLAB Temelleri EEM104 - Bilgisayar Programlama EEM Dicle Üniversitesi Matlab ın Açılış Ekranı Launch Pad Komut geçmişi penceresi Komut penceresi 1 Matlab ın Açılış Ekranı Çalışma alan penceresi Geçerli
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DetaylıBilgisayar Programlama MATLAB
Bilgisayar Programlama MATLAB Grafik İşlemleri Doç. Dr. İrfan KAYMAZ MATLAB Ders Notları MATLAB de GRAFİK İŞLEMLERİ MATLAB diğer programlama dillerine nazaran oldukça güçlü bir grafik araçkutusuna (toolbox)
DetaylıBilgisayar Programlama MATLAB
What is a computer??? Bilgisayar Programlama MATLAB ler Prof. Dr. İrfan KAYMAZ What is a computer??? MATLAB de GRAFİK İŞLEMLERİ MATLAB diğer programlama dillerine nazaran oldukça güçlü bir grafik araçkutusuna
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLAMA MATLAB
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA MATLAB Arş. Gör. Ahmet ARDAHANLI Kafkas Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bu hafta? 1. Matlab ve Programlama Ortamı 2. Matlab Komut Penceresi 3. Matlab de değişken tanımlama 4.
DetaylıİM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB. Irfan Turk Fatih Üniversitesi,
İM 205-İnşaat Mühendisleri için MATLAB Irfan Turk Fatih Üniversitesi, 2013-14 MATLAB Nedir? MATLAB ın açılımı MATrix LABoratory dir. MATLAB yüksek performanslı tekniksel bir programlama dilidir. Matematik,
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylık ise bir gerçek sayı olsun. Buna göre aşağıdaki işlemler Matlab da yapılabilir.
MATRİS TRANSPOZU: Bir matrisin satırlarını sütun, sütunlarınıda satır yaparak elde edilen matrise transpoz matris denilir. Diğer bir değişle, eğer A matrisi aşağıdaki gibi tanımlandıysa bu matrisin transpoz
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
Detaylıdiff Türev Alma Fonksiyonu. >> syms x >> A=3*x^4+x^2-3*x A = 3*x^4+x^2-3*x. >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. ans = 12*x^3+2*x-3
7.4.. diff Türev Alma Fonksiyonu >> syms x >> A=3*x^4+x^-3*x A = 3*x^4+x^-3*x >> diff(a) // A fonksiyonunun türevini alır. 1*x^3+*x-3 >> diff(a,) // A fonksiyonunun türevini kere alır. 36*x^+ ÖRNEK: >>
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıMatlab - Giriş (İleri Yapı Statiği II. Kısım)
- Giriş (İleri Yapı Statiği II. Kısım) Doç. Dr. Özgür Özçelik Dokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl. Matrisler Hakkında Alman amatör matematikçi Albrecht Dürer in (1471-1528) Rönesans Gravürü
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
DetaylıDeğişkenler. Geçerli değişken isimleri : baslamazamani, ad_soyad, x5 Geçersiz değişken isimleri : 3x, while
Değişkenler Değişkenler bir bilginin bellekteki konumunu temsil eden sembolik isimlerdir. Bilgisayarda hemen hemen tüm işlemler bellekte yapılır. Program çalıştırıldığında değişken ve bu değişkenin türüne
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
DetaylıMATLAB de GRAFİK İŞLEMLERİ
MATLAB de GRAFİK İŞLEMLERİ MATLAB güçlü bir grafik araç kutusuna (toolbox) a sahip bir programlama dilidir. Matlab da 2 boyutlu grafik çizdirmek için plot komutu kullanılır. Örnek: aşağıdaki gibi yazılır.
DetaylıDers 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları
Ders 5 : MATLAB ile Grafik Uygulamaları Kapsam Polinomlar Enterpolasyon Grafikler 5.1. Polinomlar 5.1.1. Polinom Girişi Matlab de polinomlar katsayılarının vektörü ile tanımlanır. Örnek: P(x) = -6x 5 +4x
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıNĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü. Devre Tasarımı Ders Notları MATLAB. Arş. Gör. Salim ÇINAR. salim çınar
NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Devre Tasarımı Ders Notları MATLAB Arş. Gör. Salim ÇINAR Atamalar: a=5 MATLAB ÖRNEKLERĐ a = 5 Çıkan sonucun görünmesi istenmiyorsa atamadan sonra
DetaylıT.C. KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DERSİ MATLAB UYGULAMA NOTLARI-1
T.C. KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ DERSİ MATLAB UYGULAMA NOTLARI-1 Bu uygulama notunda öğrencilerin MATLAB kullanarak; TEMEL MATEMATİK İŞLEMLERİNİ TEMEL MATRİS
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Detaylı2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLAMA VE FİZİKTE PROGRAMLAMA DERSLERİ İÇİN MATLAB ÇALIŞMA NOTLARI. Mehmet ÖZKAN
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA VE FİZİKTE PROGRAMLAMA DERSLERİ İÇİN MATLAB ÇALIŞMA NOTLARI Mehmet ÖZKAN input:bu komut kullanıcıdan veri girişi istiğinde kullanılır. Etkin ve etkileşimli bir program yazımında
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıEĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ
EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini
DetaylıMATLAB ve Simulink Kullanımına Giriş
MATLAB ve Simulink Kullanımına Giriş Marmara Üniversitesi Teknoloji Fakültesi Mekatronik Mühendisliği Bölümü Hazırlayan: Arş.Gör. Barış DOĞAN baris@marmara.edu.tr MATLAB Nedir? MATLAB, bilim ve mühendislik
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu
DetaylıŞekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıGrafik Komutları. Grafik Türleri plot: çizgisel grafikler bar: sütun bar şeklindeki grafikler stem: sütun çizgisel grafikler pie: pasta grafikleri
Matlab Grafikler Grafik Türleri Grafik Komutları Grafik Türleri plot: çizgisel grafikler bar: sütun bar şeklindeki grafikler stem: sütun çizgisel grafikler pie: pasta grafikleri Yardımcı Komutlar hold
Detaylıhttp://alikoker.name.tr MATLAB
MATLAB MATLAB; (MATrix LABoratory); ilk defa 1985'de C.B Moler tarafından matematik ve özellikle de matris esaslı matematik ortamında kullanılmak üzere geliştirilmiş etkileşimli bir paket programlama dilidir.
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıÖnsöz. İçindekiler Algoritma Algoritma Nasıl Hazırlanır? Yazılımda Algoritma Mantığı Nedir? 1.2. Algoritma Örnekleri ve Sorular
Önsöz Giriş İçindekiler V VII IX 1.1. Algoritma 1.1.1. Algoritma Nasıl Hazırlanır? 1.1.2. Yazılımda Algoritma Mantığı Nedir? 1.2. Algoritma Örnekleri ve Sorular 2.1. Programın Akış Yönü 19 2.2. Başlama
DetaylıBir fonksiyonun mutlak Maximum ve Mutlak Minimum noktalari: a)fonksiyonun bir uc noktasi olabilir. b)fonksiyonun bir donum noktasi olabilir.
Bir fonksiyonun mutlak Maximum ve Mutlak Minimum noktalari: a)fonksiyonun bir uc noktasi olabilir. b)fonksiyonun bir donum noktasi olabilir. (Donum noktasinda turev sifirdir.) c) f (x 0 )=0, f (x 0 )>0
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
DetaylıSembolik Programlama1. Gün. Sembolik Programlama. 20 Eylül 2011
Sembolik Programlama 1. Gün Şenol Pişkin 20 Eylül 2011 Sunum Kapsamı MuPAD İçerik Başlangıç 1. Bölüm: Cebirsel işlemler 2. Bölüm: Denklem çözümleri MuPAD Kısaca MuPAD Bilgisi ve Tarihçesi MuPAD Diğer Araçlar
DetaylıMATLABA GİRİŞ 1. MATLAB. Komut penceresi. MATLAB adı, MATrix LABoratory (Matrix Laboratuarı) kelimelerinden gelir.
1. MATLAB MATLAB adı, MATrix LABoratory (Matrix Laboratuarı) kelimelerinden gelir. Matlab, komut temelli bir programdır. Command Window penceresinde» işareti Matlab'ın komut prompt'unu gösterir ve bu işaret
DetaylıAlgoritma ve Akış Diyagramları
Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları
DetaylıMATLAB İLE PROGRAMLAMAYA GİRİŞ. Nedim TUTKUN Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
MATLAB İLE PROGRAMLAMAYA GİRİŞ Nedim TUTKUN Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü nedimtutkun@gmail.com 1 3. Hafta Ders İçeriği M Dosyası Oluşturma Fonksiyon Yazma Fonksiyonlar ve Alt Programlar MATLAB
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ 4. DERS NOTU Konu: M-dosya yapısı ve Kontrol Yapıları Hazırlayan: Yrd. Doç. Dr. Ahmet DUMLU 1 M-Dosya Yapısı Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine getirmek
DetaylıJeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolasyon ve Kollokasyon
Jeodezide Yöntemleri: ve Lisansüstü Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü e-posta: austun@selcuk.edu.tr Konya, 2007 A. Üstün yöntemleri 1 / 28 Bir soruyu ya
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıDersin Sorumlusu: Yrd. Doç. Dr. Birol SOYSAL. Sunumları Hazırlayan: Doç. Dr. Bülent ÇAKMAK
MATLAB de Bilgisayar Programlama Dersin Sorumlusu: Yrd. Doç. Dr. Birol SOYSAL Sunumları Hazırlayan: Doç. Dr. Bülent ÇAKMAK M-dosyası Genel tanıtımı : Bir senaryo dosyası (script file) özel bir görevi yerine
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıFONKSİYONLAR. Giriş argümanlarına karşılık gelen çözümü çıkış argümanları olarak sonuçlandırır. Fonksiyondosyalarıkendiçalışmaalanındaki
FONKSİYONLAR Giriş argümanlarına karşılık gelen çözümü çıkış argümanları olarak sonuçlandırır. Fonksiyondosyalarıkendiçalışmaalanındaki yereldeğişkenleriişletir. Fonksiyon Dosyaları function [çıktı değişkeni]
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü DERS NOTU 3 KONU: M-dosya yapısı ve Kontrol Yapıları M-Dosya Yapısı
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıM-Dosyaları. Editor: Kodların yazıldığı kısımdır. Uzantısı.m olan dosyalarla çalışır.
M-Dosyaları Editor: Kodların yazıldığı kısımdır. Uzantısı.m olan dosyalarla çalışır. 1 M-Dosyasının Kullanımı İki çeşit M-dosyası vardır Scripts, Düz metin dosyalarıdır. Giriş ve çıkış argümanları içermeyen
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylı1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)
ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin
DetaylıAyrık Fourier Dönüşümü
Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıÖRNEK: Ax+B=0 şeklinde 1. derece denklemin çözümünü veren programa ait akış diyagramını çiziniz.
ÖRNEK: Ax+B=0 şeklinde 1. derece denklemin çözümünü veren programa ait akış diyagramını çiziniz. BAŞLA ALGORĐTMA OKU A, B X=-B/A Adım1: Gir A, B Adım 2: X (-B)/A Adım 3: Yazdır X YAZ X DUR ÖRNEK: Ax2+Bx+C=0
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıMatlab da 2-boyutlu Grafik Çizimi. Arş. Gör. Mehmet Ali ÜSTÜNER
Matlab da 2-boyutlu Grafik Çizimi Arş Gör Mehmet Ali ÜSTÜNER Manisa, 03122017 Arş Gör Mehmet Ali ÜSTÜNER 2 Dikdörtgen (x-y) Ve Kutupsal Eksenlerde Çizgi Grafikleri: En basit çizim, iki değişkeni olan çizimlerdir
Detaylı