JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER

Transkript

1 JEOLOJİDE MATEMATİK VE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER Prof. Dr. Hüseyi Çelebi Ders Notları İstabul 014

2 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 1 Ösöz Jeolojide matematik ve istatistiksel yötemler ders otları kapsamıda 00/003 öğretim yılıda jeoloji öğrecileri içi hazırlamıştır. Sıırlı yarıyıl süresi içide mümkü olduğu kadar uygulamaya yer vermek içi deri teorik işlemlere yer verilmemiştir. Bu kouya ilgi duyulduğuda kayakçadaki özel kayaklara başvurulabilir. Bu ders otları yaklaşık 5 yıllık deeyimde ve jeoistatistikte mevcut çok sayıdaki eseri icelemeside sora hazırlamıştır. Bularda David (1978), Akı ve Siemes (1988), Wellmer (1989), Schöwiese (199) ve Arıcı (001) e öemlileridir. Örekler, çoğulukla Türkiye deki özgü çalışmalarda ve yerbilimleride başka dallara da örek oluşturacak şekilde seçilmiştir. Bu çalışmaı amacı istatistikteki gücel durumu ve yötemleri taıtmak, ileride yapılacak çalışmalar içi temel kayak yaratmak, özgü verilerle uygulama öreklerii oluşturarak matematiği çeşitli yötemlerii yerbilimlerie uygulamaktır. Bir jeoistatistiksel işlemde çok sayıda değişke ve parametre işleme katılır. Acak buları doğru taımı ve hesaplaması souda doğru jeoistatistiksel çözüm buluur ve yorumlaabilir. Burada bu amaçla kullaılacak temel kavram ve bulara bağlı değişkeler taıtılacaktır. Bu otları yazılmasıı sağlaya asıl ede öğrecileri derslerde gösterdikleri yakı ilgi ve eleştirileri olmuştur. Kedilerie çok teşekkür ederim. H. Çelebi İstabul, Kasım 014

3 Prof. Dr. H. Çelebi Birkaç ülü sözü İstatistik! Matematiği yardımı olmada doğa bilimlerii icelemek demek, gerçekleştirilmiyecek işe girişmek demektir. Galileo Galilei Her bilimi matematiğe gereksiimi vardır, acak matematiği hiçbirie. Jakob Beroulli Matematik bilimleri, her şeyde öce, berraklığı edeiyle hoşuma gider. Reé Descartes Hiçbir şey iyi bir teori kadar pratik olamaz. Herma vo Helmholtz

4 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 3 İçidekiler 1 GİRİŞ Sayfa 1.1 Geel bakış 5 1. Tarihsel gelişim Temel kavramlar ve taımlar Sıklık dağılımı Olasılık 8 Kayakça 1 TEK BOYUTLU DAĞILIMLARIN TANIMLANMASI.1 Giriş 13. Merkezi değerler Ortalama değerler 13...Ortaca (x o, medya,) 0..3 Tepe değer (x t, mod).3 Değişkelik ölçüleri.3.1 Değişim aralığı (R) 3.3. Stadart sapma (s) Değişkelik katsayısı (v) Değişke (s, σ, varyas) 6.4 Mometler Kayma (g, çarpıklık, asimetri, ig. skewess) 7.4. Basıklık (e, yassılık veya sivrilik, ig. exess, kurtosis) 8 Kayakça 33 3 KURAMSAL DAĞILIMLAR 3.1 Temel esaslar Normal dağılım (ND) Stadart ormal dağılım (ça eğrisi, SND) Birikimli ormal dağılım (BND) Logaritmik ormal dağılım (lognd) 41 Kayakça 45 Ekler 46 4 VARYANS ANALİZİ 4.1 Taımlar 49

5 Prof. Dr. H. Çelebi 4 4. Tek değişkeli varyas aalizi Sapmaları hesaplaması Çok değişkeli varyas aalizi 54 Kayakça 55 Ekler 56 5 BAĞINTI (KORELASYON) ANALİZİ 5.1 Geel bakış Bağıtı aalizi (BA) ve çeşitleri Bağıtı katsayısı (r, BK) Alamlılık katsayısı (r ) Bağıım (regresyo) aalizi (BaA) Bağıım doğrusu (BD) Kalıtı değerler (e i ) Bağıım doğrusuu parametrelerii hesaplaması Souçları sağlaması Çok değişkeli bağıtılar 73 Kayakça 74 Ekler JEOİSTATİSTİĞE GİRİŞ 6.1 Başlagıç Jeoistatistik yötemleri ve uygulama alaları Bölgesel değişkeler Varyogram Varyogram çeşitleri (tipleri) Varyogram modelleri Küresel modeli uyarlaması Varyogramları uygulama alaları Yapısal aaliz Aizotropi Ardalama (boşluk etkei, hole effect) Arta eğilim veya yöelim (tred, drift) Diğer özellikler Değişkeleri hesaplaması Saçıım (dağılım veya blok örekler) değişkesi σ (O/v) Yayılım (kestirim veya blok) değişkesi σ (v/v) Krigig değişkesi İleri jeoistatistik yötemleri 103 Kayakça 104 Ekler 105 4

6 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 5 1 GİRİŞ 1.1 Geel bakış İstatistik, belirsizlik durumuda e iyi soucu çıkarmaya veya kararı vermeye yaraya yötemleri özetidir. Amaç, yaıltıcı yorumlarda kaçımak ve ileriyi doğru kestirmektir. İstatistik, gözlemler soucu elde edile sayısal verileri iceler ve bular arasıdaki bağıtıları ortaya çıkararak souçları grafik veya çizelgeler halide suulmasıı sağlaya bir iceleme yötemidir. Özet olarak istatistik, rasgele/tesadüfi ve tesadüf şeklideki olayları iceleye bir yötemsel (metodik) bilimdir ve birçok bilim dalıda uygulaabilmektedir. Elde edile souçlarda çeşitli yorumları yapılması ile sorulara çözüm araır. Souca varmak içi baze kısıtlı bilgi ile yetimek gerekebilir. İstatistiği çalışma yötemleri, a) Taımlamak veya öreklemek (deskriptiv), b) Dağılım şekillerii icelemek (aakütle/popülasyo veya küme özelliklerii icelemek), c) Tahmi etmek ve kestirmek (olasılıkları araştırmak), d) Teste tabi tutmak (hipotezler, karar teorileri uygulamak), e) Aaliz etmek (bağıtıları ortaya çıkarmak) ve f) Özel yötemler uygulamaktır. İstatistikte veri, 1. Saymak,. Ölçmek, 3. Gözlemek, 4. Aket yapmak, 5. Haritalamak ve 6. Tahmi etmek yötemleri ile derleir. Bularda gözlemler, istatistiği temelii oluşturur. Plalama ve karşılaştırma istatistiği e yaygı kullaıldığı alalardır. 1. Tarihsel gelişim Eski çağlarda beri isalar geleceği bilmek isterler. Gelecekte e olacağıı şimdide bilmek başarı ve üstülük sağlamaı ökoşulu olarak kabul edilmiştir. Acak geleceği bilmek mümkü değildir. Çükü gelecek bilidiği zama, gelecek şimdi olur ve geleceği kedisi ortada kalkar. Bu da doğa yasalarıa, öcelikle zama kavramıa, ters düşer. Bu egeli aşmak içi isalar büyü ve fal gibi dayaaksız yötemlere yöelerek geleceği kestirme yollarıı aramışlardır. Bu uygulamalar, güvesizlikleride dolayı, zamala iadırıcılıklarıı kaybetmiştir. Buları yerii gözlem ve ölçümlere dayaa basit istatistiksel hesaplamalar almıştır. Öreği İ.Ö. Mısır da ve Çi de plalama, üfus sayımı, asker ve vergi toplama işlemleride temel istatistiksel işlemlerde yararlaılmıştır. Güümüz istatistiğii kökleri acak 15. yy a kadar uzamaktadır. Metafiziğe karşı pozitif düşücei üstülük sağlaması, moder istatistiği gelişmesie de ivme kazadırmıştır. Buu da esas kayağı sohbet matematiği, şas oyuları (kumar), yai isaı yie ileriyi kestirme

7 Prof. Dr. H. Çelebi 6 veya öcede bilme merakı, olmuştur. Bugü de istatistik bu alaları temel dayaağı olmaya devam etmektedir (loto ve toto gibi). Tarihte istatistiği bilimsel olarak ilk irdeleye ve kuramlara bağlamaya çalışa matematikçi İtalya Pacioli ( ) ve Cardao dur ( ). Bular zar atma üzerie çalışmışlardır. Acak bugükü istatistiği kuramlarıı temelleri İsviçreli Beroulli ( ) tarafıda atılmıştır. Geliştirdiği yötemler, olasılık, şas ve risk oralarıı hesaplamasıı kolaylaştırmıştır. Beroulli yi Frasız Laplace ( , Laplace teoremi), Poisso ( , Poisso dağılımı) ve Alma Gauss ( , Ça eğrisi) tarafıda daha ileriye götürülmüştür. 0. yy istatistikçileri arasıda Galto ( , log dağılımı), Pearso ( ) ve Fisher ( , çeşitli testler) öemli yer tutmaktadırlar. İstatistik sürekli geliştirilmekte ve yaygı kullaım alaı bulmaktadır. Öreği, istatistiği yerbilimlerdeki adı jeoistatistiktir. 0. yy ı ikici yarısıda itibare bu alada kullaılmaya başlamıştır. Jeoloji, madecilik, coğrafya, çevre, tarım ve ormacılık bu alaları sadece birkaçıdır. Jeoistatistik bugü güveile ve kedie özgü bölgesel veya yere bağlı değişkeler teorisie dayamakta ve Varyogram gibi araçlara sahip bulumaktadır. 1.3 Temel kavramlar ve taımlar Bir araştırmada iceleecek bireyler veya malzemei tümüü icelemesi mümkü değil. Bu hem ekoomik değil, hem de yeterli örekle elde edile soucu değiştirmez (bak. büyük sayı teorisi). Bu edele iceleecek aakütlei acak bir kısmı temsile iceleir. Aakütleye popülasyo veya örek evrei (sample space), temsile iceleecek kısmıa da öreklem deir. Bir aakütlede verileri tüm özellikleri ortaktır. Buludukları yeri, aa maddeyi veya kayağı tüm özellikleri ile temsil eder. Dolayısı ile bir örek evreii acak bir temsili parçası veya öreklemi olabilir. Ayı şekilde bir öreklemi de sadece 1 ortalama değeri buluur. Bu değer, tüm gözlemleri ayı orada temsil eder. Aşağıdaki şekil örek evrei, öreklem ve ortalama değeri açıklamaktadır: Örek evrei Öreklem x i Ortalama değer x o ooo ooooo o oooooo ooo o İstatistiksel değerledirmei ilk adımı, seçilmiş az sayıdaki örekleri dağılımı ve buları bir öreklem (bir bütülük) oluşturup oluşturmadığı özelliğii araştırılmasıdır. Aaliz aygıtlarıı so yılda güveilebilir geiş kapsamlı veri üretebilmesi ve bilgi-sayarı uzu matematiksel işlemleri kolaylaştırması ile jeoistatistik, yerbilimlrii vazgeçilmez usuru halie gelmiştir. Jeolojik veya bölgesel değişimler, matematiksel olarak taımlamakta, örek 6

8 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 7 ve sodajlardı optimal aralıkları, rezerv hesaplarıı kesilik dereceleri ile teör dağılımları, izotropi, aizotropi ve tabakalama gibi özellikler ayrıtılı iceleebilmektedir. Mühedislikte kullaıla bu yötemler yaıda, sıkça bağıtı (korelasyo), bağıım (regresyo), cluster, faktör ve diskrimiat aaliz yötemleri de kullaılmaktadır. Tüm yötemleri temeli aalizlere dayamaktadır. Bir öreklemi güveirliği içerdiği gözlem veya veri sayısıa bağlıdır. Acak çok farklı yötemleri bulua örek alma başlı başıa bir koudur (sistematik ve rastlatısal örek alma gibi). E az veya e iyi örek sayısı ve miktarı hakkıda da objektif ilkeler ve yötemler bulumamaktadır. E az gözlem sayısı amaca göre değişir (ormalde > 0). Bu edele ilgili özel kayaklara başvurmakta yarar vardır. Aalizler soucu elde edile verileri amaca uygu ve doğru olarak değerledirilmeleri şarttır. Buu içi, a) Veri çeşidii seçile değerledirme yötemie uygu olması, b) Bağıtıları ortaya çıkarılabilmesi içi yeterli ve uygu öreği alıması, c) Eksik veya gereksiz verii toplamaması ve d) İstatistiksel homojeliği koruması esastır. Çoğu kez ayı maddede birçok özellik araştırılır. Buları mümkü olduğu kadar azaltmak gerekir. Buu yaparke özellikler arası bağıtıları bozulmamasıa veya oa göre iceleme yötemi seçilmesie dikkat edilmelidir. Bu amaçla oralar, taımlayıcı katsayılar v.s. alımalıdır. Veriler matematiksel işlemlere tabi tutulabilmeleri içi listelerde derleir. Bulara şema, grafik ve diyagramlarla yei veriler ekleebilir. 1.4 Sıklık dağılımı Sıklık dağılımı bir öreklemi dağılım şeklidir ve sadece bir veri grubuu veya öreklemi özelliklerii iceleye yötemdir. Varıla souçlar teorik esaslara göre yorumlaarak çözümler araır. Sıklık dağılımıı başlıca araştırma souçları ormal, logaritmik ve biom dağılımı ile buları ortalama değer, stadart sapma v.s. parametreleridir. Ayı koşullar altıda kez yielee bir deeyde meydaa gele A olay sayısıa A ı H (A) H ( A) mutlak sıklık dağılımı, buu oraıa da A ı h (A) göreceli sıklık dağılımı deir. Görüldüğü gibi sıklık dağılımı klasik olasılık taımıa bezemektedir: Çükü h (A) arta ile P (A) olasılığıa yaklaşmaktadır. Büyük sapmaları meydaa gelme olasılığı giderek azalır (büyük sayı teorisi). Bir zar atmada atıla göz sayısı rastlatısal x 1 büyüklüğüü ifade ederke para atmada olası yazı (y) veya tura (t) sayılarıı rastlatısal büyüklüğü x dir. Öreği,1 kez zar atmada elde edile sayılar {1,, 6,, 5, 4, 5, 4,, 3,, 5} ise, buları dağılımıa sıklık dağılımı deir. Bua ilişki dağılım foksiyoua da olasılık veya dağılım foksiyou deir. Uygulamada her zar yüzüü gele rastlatısal değeri bir dikdörtge ile birbirii örtmeyecek şekilde apsis üzeride gösterilir. Sııf sayısıı buluması içi birçok yötem bulumaktadır. Acak burada her zar yüzü doğruda 1 de 6 ya kadar gelebilecek sayıları bir sııfıı temsil etmektedir. Bu edele zar atma iyi bir örektir. Sıklık dağılımları ayı zamada bir suum

9 Gele zar yüzüü oraı, % Gele zar yüzüü oraı, % Prof. Dr. H. Çelebi 8 veya gösterim şeklidir. Çizelge 1.1 ile Şekil 1.1 buradaki zar atmaı sıklık dağılımıı göstermektedir. Çizelge kez atıla bir zarı gele yüzlerii sıklık dağılımı (her zar yüzü bir sııftır [= x i ]). Zar yüzü Listeler H (A) Sıklık dağılımı (h (A) /). x i Çizgi Sayısal Göreceli Göreceli birikimli Mutlak birikimli % Birikimli 1 / 1 0,0833 0, ,33 //// 4 0,3333 0, ,67 3 / 1 0,0833 0, ,00 4 // 0,1667 0, ,67 5 /// 3 0,500 0, ,67 6 / 1 0,0833 1, ,00 = 1 1 1,0000 1, ,00 Sıklık dağılımı Birkimli soklık dağılım a Zarı gele yüzü b Zarı gele yüzü Şekil 1.1: Atıla bir zarı gele yüzlerii sıklık dağılımı (sütu diyagram, histogram). 1.5 Olasılık Yukarıda verile zar atma öreği para atma (yazı/tura) öreği ile değiştirilebilir. İki oyu arasıdaki fark sadece olasılıkları azalmasıdır. Para atmada iki seçeek varke, zar atmada bu seçeekler zarı 6 yüzüde dolayı altıya çıkmaktadır. Bu edele zarda bir yüzü gelme olasılığı 1:6, para atmada ise 1: dir. Bu iki oyula olasılık kavramı kısme açıklamaktadır. Burada olasılık taımıda amaç, olasılığı bir orma bağlamaktır. 8

10 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 9 Doğa yasalarıa uya olaylara determiist (belirleimci), hiçbir kurala uymaya olaylara da kaotik olaylar deir. İstatistikte rastlatısal (stokastik) olaylar iceleir. Rastlatısal olaylar içi her zama, lim P(O) = c = sabit 1.1 eşitliği geçerlidir. Yielee bir deeyde, öreği para atmada, atış sayısı arttıkça souç sabit bir c değerie yaklaşır. Buula ilgili teoriye büyük sayı teorisi deir. Yazı y ve tura t ise, yaklaştığıda, H (y) = H (t) = 0,5 1. olduğu görülür. Öreği, 1. atışta yazı geldiğide, y=1/,. atışta tura geldiğide, t=1/, 3. atışta yazı veya tura geldiğide, y veya t=1/.1/=1/4 v. s. olur. Bu, uygulamada lim P(O) = c 1.3 olarak sıırlaabilir demektir. Olasılık, P(O) = O/Ω 1.4 Gözlee olaylar = Olası olaylari toplamı olarak taımlaır (O, olay; Ω, olay evrei). Bir değeri [α, β] aralığıa düşme olasılığı (Şekil 1.a, beklee sıklık dağılımı = ala ), β P{O α} = P(α x β) 1.5 β = f(x)dx α = F(β) F(α) şeklide ifade edilir. Bua, yukarıda da belirtildiği gibi, ormal dağılım deir ve etegrali alıdığıda, + f(x)dx = olduğu görülür. Buu gibi, F(g) max = 1 1.7

11 Prof. Dr. H. Çelebi 10 de bir ormal dağılımdır. Acak bu öceki dağılımı bir birikimli (kümülatif) dağılımıdır ve f(x) = F (g) şekli ile ormlamıştır (Şekil 1.b). Normal dağılım, solu, eşit olasılıklara sahip özellikleri içere ve istatistiksel dağılım koşullarıı sağlıya bir dağılımdır. E sık rastlaır. f(x) a F(g) b f(x) = olasılık foksiyou 50 F(g) = dağılım foksiyou x g f(x) = F (g) Şekil 1.. Olasılık taımı. a, sıklık dağılımı, b, birikimli sıklık dağılımı. x ve g argümaları farklıdır. x, sürekli özellik koordiatlarıı (sııf ortalarıı), g ise, sııf üst sıırlarıı (özellik üst sıır değerlerii) gösterir (bak Şekil 1.1; a da olasılık ala şeklide gösterilmiştir). Olasılık, P(O) = % 100 veya 1/1 olabilir ve mümkü veya olasıdır. Acak P(O) = 0, yai 0/1, olması mümkü değildir. Çükü olasılık, 0<P(O)<1 arasıda yer alır (istatistiksel olasılık). Bua hafif bir yağmuru taşta birie 1 damlasıı zamala düşmesi (bireysel olay) örek verilebilir. Bua karşı yoğu yağmur damlası kesilikle heme çarpar (kolektif olay). Örek 1.1: 1 zarla 1 defada, a) 6, b) 5 veya 6 atma olasılığıı hesaplaması: Çözüm: a) P(O 1 ) = 1:6 % 17 ve b) P(O ) = (1:6)+(1:6) = /6 = 0,33 = % 33 buluur (bağımsız olaylar, acak biri diğerii dışlar). 10

12 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 11 Örek 1.: zarla 1 atışta düşeş atma olasılığıı hesaplaması: Çözüm: P(x 1 )=1/6 ve P(x ) = (1/6) da, P(x 1, x ) = (1/6).(1/6) (çarpım yasası) = (1/6) =1/36 = 0,0778 = %,78 elde edilir. Deey, zarları arka arkaya atılması ile, kısma ayrılır. Örek 1.3: zarla 1 atışta her biride 4 veya atma olasılığıı hesaplaması: Çözüm: P(O 1 ): 1. zar P(O ):. zar. P(O)=0 olaaksız. P(O 1 )=1, P(O )=1 1 1 P(O)= P(O 1 )=1, P(O )= ve davamı soucu, P(O)= = = 36 = 18 1 =0,0555

13 Prof. Dr. H. Çelebi 1 = % 5,55 soucua varılır. Örek 1.4: Bir zarla 1 defada 3 e bölüebile bir çift sayıyı atma olasılığı. Çözüm: P(O) = 3/6./6 = 6/36 = 1/6 = % 17 buluur. Bu durumda olayları bağımsızlığı verildiğide, birbirlerii dışlamıyor ve 3/6 ile /6 da olasılık teorisie uygudur e bölüebile sayılar Alıştırma 1.1: zarla 5, 6 veya 7 atma olasılığıı hesaplayıız. Yaıt: P(O) = 15/36 % 4. 1 i asıl 1/36 ettiğii düşüü. Alıştırma 1.: Bir iş yeride çalışa 5 kişii doğum güleri aşağıdaki şekilde aylara dağılmış bulumaktadır. Sıklık dağılımıı çizerek irdeleyiiz. Aylar Doğum güü s Kayakça 1. Barsch, H. ve Billwitz, K., 1990: Geowisseschaftliche Arbeitsmethode. Verl. Harri Deutsch, 56 s., Thu ve Frakfurt am Mai.. Reihardt, F. ve Heirich, S., 1994: dtv-atlas zur Mathematik. Cilt 1 ve., dtv Verlag, 498 s., Müche. 3. Wessel, P., 001: Geological data aalysis s. 1

14 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 13 TEK BOYUTLU DAĞILIMLARIN TANIMLANMASI. 1 Giriş Bir örek dizisi acak yeteri kadar kapsamlı ve kesilikle taımladıkta sora istatistiksel verileri ait olduğu öreklem özellikleri ve gelecekte beklee olasılıklar hakkıda bir düşüce yürütülebilir. Tek boyutlu dağılım demek, tek bir değişkele taımlaa aa kitle/ popülasyo demektir. Bu aa kitledeki parametreleri kesilik derecesi ve birimlerii ayı olması isteir. Örek çeşidi olaylara bağlıdır. Geelde f(x, y) ve f(t) şeklide ifade edilirler. Alımış ve alıacak örekleri ayırmak lazım. Alıacak örekler açıklık kazaacak, bezeştirilebilir (simüle edilebilir) ve hazırlaabilir olmalıdır. Örek taımlaması, verileri değişke ve etke şeklide özetlemesi demektir. Buu içi: 1. Ortalama ve e sık değer,. Saçıım, sapma değerleri (değişkeler), 3. Sıklık oraları (kısımları, yüzdelikler), 4. Dağılım şekillerii göstere değişkeler (simetri, yassılık) 5. Eğilim/eğim yö, göstere değişkeler ve 6. Dağılım foksiyoları, uyum ve sııfladırma bakımıda örekler karşılaştırılmalı ve icelemelidir.. Merkezi değerler Bir veri diziside bulua parametreleri bazıları bu dizii orta kısımlarıda yer alırlar ve merkezi değer* olarak aılırlar. Bir öreklemi merkezi değerleri, ortalama değer, tepe değeri (modal değer) ve ortacadır (medya). 1. kouda taımlaa kavramlar bu ve buda soraki kouda veri kümelerii parametrelerii ve sıklık dağılımlarıı taımlamasıda kullaılacaklar. Veriler çizelge, şema ve diyagram şeklide düzeleerek çeşitli ölçü sayıları buluur (bak. Çizelge.1)...1 Ortalama değerler Bir rastlatısal veri hem dağılım foksiyou, hem de sıklık dağılımı ile kesilikle taımlaır. Acak istatistikte rastlatısal bir büyüklüğü yeteri kesilikle taımlaya bazı parametrelerle de yetiilir. Bu değerleri e öemlisi istatistikte e çok kullaıla bekleti değeri veya ortalama değerdir. Ortalama değer, rastlatısal saklı x değerlerii, * Merkezi değer demek, ortalama değeri x 0 ola değer demektir. Bir trasformasyo yoluyla, öreği, x 1,...,x değerleri, y i = x i - x (i = 1,..,) şeklide merkezileştirilirler. Bu arada değişke σ değişmez. Merkezileştirilmiş ve stadart sapması s = 1 ola veriler stadardize edilmiş demektir. Stadardizasyo u i = x i x (i = 1,...,) gibi bir trasformasyola mümküdür (Stadardize veriler birimlere bağlı değil. Dolayısı s ile değişik birimli verileri matematiksel işlemesi mümkü olur.

15 Prof. Dr. H. Çelebi 14 solu veya sosuz i üzeride toplamı veya, xi P( x i ).1 i xf ( x) dx. foksiyouu değeridir ( f, sıklık foksiyoudur). Çok çeşitli ola ortalama değerleri e yaygı kullaılaları aşağıya çıkarılmıştır. A) Aritmetik ortalama ( x ) Aritmetik ortalama verileri, ça eğrisii altıda kala alaı ağırlık merkezii oluşturur. Gauss ça eğrisi içi öemli ola aritmetik ortalama değeridir. Bu, bir örekleme ait değerleri toplamıı örek sayısıa bölümü ile elde ediilir. Çizelge. 1: Isı ölçümleri ( C, Atalya, Temmuz/004). Ölçüm Ölçüm değerleri Ortalama sapma Sapmaı karesi Sabit değer farkı umarası x i x i - x (x i - x ) (x i -D, D=33) ,49 0, ,571, ,571 31, ,571 0, ,49, ,49 5, ,49 11,758 - Σ = ,49 53, a) Sııfladırılmamış verileri aritmetik ortalama değeri x, x = 1 xi i1.3 = 1 (x1 +x +...+x ).4 şeklide taımlamaktadır. x i, veri veya özelliktir (i =1,,..., ). Toplam i üzeride ye kadar sürer. Bua göre Çizelge.1 deki ölçümleri aritmetik ortalaması x, x =

16 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 15 buluur. = 34,49 C b) Sııfladırılmış verileri aritmetik ortalama değeri içi, x = i1 i1 f i f x i i.5 formülü kullaılır. Burada, sııf (frekas, aralık) sayısı, f i, i sııfıa düşe veri sayısı ve x i, sııf orta oktasıdır (Çizelge.). Çizelge.. Çizelge.1 deki verileri sııfladırılması (bak..3.1 d, Sturge Kuralı). Sııf aralığı, Sııf ortası Örek sayısı Sııf ort. x örek s. Birikimli toplam, % frekas f ( C) x i f i x i.f i f i (x i.f i.100/ x i.f i ) Örek.1: 31,00-33,39 3,0 3 96, ,88 33,40-35,79 34,60 69,0 5 68,45 35,80-38,19 37, , ,73 38,0-40,59 39, , ,00 Σ = 5 7 4,0 Çizelge. deki sııfladırılmış değerleri ortalaması x, 1 x = 7 i 1 ( x i. f i ) 1 =.4,0 7 = 34,600 C buluur (değerleri kısaltılması edeiyle souç az yüksek çıkmıştır). c) Sabit bir değer yardımı ile hesaplama. Burada x, 1 x = D + ( D).6 xi i1 şeklide ifade edilir. (D, gelişigüzel bir değerdir). D = 33 C alıdığıda, yukarıdaki çizelgeye göre x,

17 Prof. Dr. H. Çelebi 16 buluur (Çizelge.1). 10 x = = 33+1,49 = 34,49 C Aritmetik ortalama çok kullaışlıdır, aaliz değerlerii irdelemeside e sık kullaıla parametredir. İrdelemede kabul etmek doğru değildir. Öreği, uç değerlerde çok etkileir. E öemli üstülükleri, 1. Kolay hesaplaması,. Tüm değerleri kapsaması ve 3. Başka değerlere, öreği, ağırlıklı ortalamaya, çevrilmesii kolay olmasıdır. Aritmetik ortalamaı sakıcaları, 1. E büyük ve e küçük değerleri çok etkilemesi,. Gerçek bir değeri bulumadığı bir oktada bir değer verebilmesi ve 3. Metrik sistemi şart olması. Diğer ortalama değer çeşitleri aşağıda kısaca taıtılmıştır: B) Ağırlıklı ortalama değeri (x a ) Çeşitli hesaplamalarda süre ve mesafe gibi etkeleri öemii de hesaplamalara katmak içi ağırlıklı ortalama değeri hesaplaır. Öreği, yer ve çevre bilimleride örek değerleri, öreği derişimler, örekleri arasıdaki mesafe ile çarpılır, toplaır ve toplam mesafeye bölüür. Bu ortalama değerle, uç değerleri, öreği kalılıkları da hesaplamada etki olması ile, aritmetik ortalamaya orala etkisi azaltılmış oluyor ve daha gerçekçi bir değer elde edilmiş olur. Ağırlıklı ortalama x a = m i i1 formülü ile hesaplaır. i1 i1 m x i m i i = 1 durumuda sadece geel formül geçerlidir. Burada i, örek sayısı (i=1,,...,), m i, örekler arasıdaki mesafe, teör veya zama gibi bir faktördür ve x i ye veya mesafeye göre değişe değerler alır. x i, ölçüm değerlerii gösterir. Ağırlıklı ortalamaya e iyi örek, ara ve bitirme sıavı otlarıı farklı ağırlıkla (öreği, % 40 ve % 60) geçme otua katılmasıdır. Örek.:.7 16

18 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 17 Bir sodajdaki ağırlıklı P O 5 değerii hesaplaması (SP-9, Pıarbaşı/Adıyama). Çizelge.3: Verileri düzelemesi (Örek.) Derilik, m Ölçüm x i, % Mesafe, m i Faktör, f i x i. m i x i.f i 9,35-33,60 1,78 4,5 0,55 (4,5/7,70) 7,57 0,98 33,60-35,35,35 1,75 0,3 4,11 0,54 35,35-37,05 1,6 1,70 0,,75 0,36 Σ =3 5,75 7,70 1,00 14,43 1,88 Bua göre, 1,78.4,5,35.1,75 1,6.1,70 x a = 4,5 1,75 1,70 = 14,43 7,70 ( 1,88 ) 1,00 = % 1,87 P O 5 buluur. Bu değerleri aritmetik ortalaması esasıda, x = 5,75/3 = % 1,9 P O 5 çıkmaktadır. Aradaki % 0,05 lik fark burada öemli değildir. Acak altı veya gümüş gibi değerleri hammaddeler içi çok öemlidir ((1,9-1,87).100/1,9= %,60 lık bir fark eder). C) Geometrik ortalama (x g ) Bularda başka mühedislik bilimleride yaygı bir şekilde kullaıla geometrik ortalama bulumaktadır. Bu ortalama değer öcelikle log dağılımlarıda kullaılır. Burada değer çarpımıı çarpıla tüm değerleri sayısıa eşit derecede kökü alıır. Yai, x g =.x.8 i x 1. x... x şeklide buluur (, örek sayısı; Π, büyük pi = çarpım). x g, aritmetik ortalamada küçüktür. Geometrik ortalamaı üstülükleri, a) Tüm değerleri kullaılması, b) Çok açıktır ve

19 Prof. Dr. H. Çelebi 18 c) Uç değerleri etkisii azaltır. Bua karşı sakıcaları, a) Bir değeri dizide sıfır olması durumuda kullaılamaması ve b) Elde edile değeri dizide bulumaya bir yere karşılık gelmesidir. Örek.3: Ölçüle çeşitli deeylerdeki yoğuluk ortalaması. verileri verilmiş ise, geometrik ortalama, Ölçüm umarası Yoğuluk (g/cm 3 ) 5,41 5,63 5,35 5,70 5,58 g/cm 3 soucua varılır. x g = x x... x 1. = 5 5,41.5,63.5,35.5,70.5, 58 = 518,85 1/ 5 = 5,53 Geometrik ortalama hesaplamada kök yerie logaritma alıması, çok veri çarpımıı köküü alma işlemideki zorlukta kayaklaır. Bu edele kök alma yerie logaritma alıır. Öreği, 1 log x g = log( x1 x... x ).9 1 = (log x1 log x... log x ) logaritma kuralıa göre logaritmaları alıa değer toplamıı ati logaritması alıarak geometrik ortalama buluur. Örek.3 teki değerleri log toplamı 3,69, örek sayısı da 5 olduğua göre, x g = atilog (3,715/5) = atilog 0,743 =10 0,743 buluur. D) Harmoik ortalama (x h ) = 5,53 18

20 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 19 Özellikle doğa bilimleride, öreği fizikte, kullaıla bir ortalama değer de harmoik değerdir. Ölçüm değerlerii tersi (1/a) aritmetik ortalamasıı tersi olarak hesaplaır ve 1 x h 1 i 1 1 x i.10 şeklide formüle edilir. Burada da geometrik ortalamada olduğu gibi değerleri hepsii sıfırda büyük olması gerekir. Harmoik ortalama öcelikle zama oralarıı (hız, yol ve zama) ortalamasıı hesaplamasıda kullaılır. Örek..4: 80 soruluk test sıavıda 60 soruya 50, 0 soruya da 30 dakikada yaıt vere bir öğrecii yaıt başıa ortalama yaıt süresii buluması. Sıav başıda ortalama olarak her soruya 1 dakika süre verilmiştir. Acak öğreci sıavı ilk 50 dakikasıda soru başıa 50/60 = 5/6 dakika, geri kala 0 dakikasıda da 30/0 = 3/ dakika kullamıştır. Bua göre harmoik ortalama, 1 1 1/x h = i1 xi =1/(5/6+3/) =1/(5/6+9/6) =1/.14/6 =14/1 =7/6 =1,17 mi. elde edilir (1/, soruu etapta oluşmasıda gelir). Alıştırma.1: Verile { }dizisii harmoik ortalamasıı buluuz. Yaıt: x h =5,03 E) Değişim aralığı ortası (R o, uç değer ortası): Bu ortalama değerlere ek olara değişim aralığı ortası da bir ortalama değer olarak görülürler. Yayılım aralığı R (rage), R = x max -x mi.11 formülü ile taımlaır. Buu ortalaması veya ortası R o, R o = xmax x mi.1

21 Prof. Dr. H. Çelebi 0 formülü ile buluur ve yayılım alaı ortasıı verir. Bu aralık frekas veya sııf sayısıı bulumasıda kullaılır (Sturge Kuralı* ve Örek.6).... Ortaca (x o, medya,) Ortaca, bir diziyi ortalıya veya ça eğrisii altıdaki alaı eşit iki kısma ayıra değerdir. Öreklemdeki değerleri yarısı ortacada küçük, yarısı da büyüktür. Matematiksel olarak ortaca x o, veya xo x o = F( x) f ( x) dx.13 F o xo ( x ) F( ) x o 0 = 0,5 x o = xo xo f ( x) dx = f ( x i ).14 i1 = 0,5 olarak taımlamaktadır (Schöwiese, 199 ve Arıcı, 001). Bu değer toplam içi ortaca = F(0,5) = % 50 alamıa gelir. Bu da tek sayılı dizilerde orta değere, çift sayılı dizilerde ise, x o = x / şeklide belirlemektedir (x /, ilk yarıı so değeridir). Dolayısı ile çift sayılarda ortaca, ikici yarıı ilk değeri olur. Örek.5: Bir akarsuyu debi değerleri (m 3 /s, Peri Suyu, Tuceli): Sıra o Ölçümler: 3,0 39,10 47,40 103,0 157,30 07,90 70,40 Büyüklük sırasıa göre dizile Örek.5 teki değerleri 4. değeri, yai 103,0, veri dizisii tam ortasıa düşmektedir. Burada ortaca 103,0 dir. Ortaca çarpık dağılımlar içi ortalama değere göre daha uygudur ve az örek sayısı içi de öemlidir. Metrik ve sıralama ölçü birimleri de kullaılabilir ve aşırı değerlerde çok etkileir. 0

22 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 1 Ortacaı üstülükleri, a) Hesap yapmada buluabilmesi b) Gerçek bir değeri temsil etmesi, c) Uc değerleri dışlaması ve d) Başka bezer büyüklükler yerie kullaılmamasıdır. Bua karşı, a) Baze zor saptaabilmesi ve b) Çevirmelere uygu olmayışı gibi sakıcaları bulumaktadır. f(x) = Frekas f (örek/aralık) a F 1 = b F F F 1 x x o x t x Aralık, % x t c d α α x t <x o < x x <x o <x t Şekil.1. Ça eğrisi ve merkezi parametrelerii dağılıma göre koumları: a, Ça eğrisi ve ortalama değer x, ortaca x o ve tepe değeri x t i bir ormal dağılımda çakışması. F 1 ve F ortaca tarafıda ye bölüe alaı eşit parçalarıdır. b, Histogram, eğrii yerleşimi ve ortaca x o. c, Sağa çarpık (sağ asimetrik) dağılımda tepe değeriortaca-ortalama değeri koumu ve d, Sola çarpık (sağ asimetrik) dağılımda tepe değeri-ortaca-ortalama değeri koumu. α, teğet-absis açısı. tg α > 0: düşük değer dağılım tipi (c) ve tg α < 0, yüksek değer dağılım tipi (d) dağılım grafikleri...3 Tepe değer (x t, mod)

23 Prof. Dr. H. Çelebi Tepe değeri veya modal değer, dağılım foksiyouu sahip olduğu e yüksek frekas değeridir. Yai e çok öreği buluduğu, başka hiçbir sııf tarafıda aşılamaya sııftır. Teorik olarak x t, x t (mod) = f(x) max.16 olarak taımlamaktadır. Bir ormal dağılımda, simetride dolayı, tepe değeri (x t ) = ortalama değer ( x ) = Ortacadır (x o ).17 bağıtısı mevcuttur. Bu durumda eğri altıdaki ala ortaca tarafıda eşit parçaya yarılır (F 1 = F, Şekil.1.). Sağa kaya (kuyruk sağda) veya pozitif eğimli (tg α >0) dağılımlarda ortalama değer, ortaca ve tepe değeride büyüktür (x t < x o < x ), sola kaya (kuyruk solda) veya egatif eğimli (tg α < 0) dağılımlarda ise, ortaca ve tepe değer de küçüktür ( x < x o <x t ). 1. durumu zayıf değerleri dağılıma hakim olduğu alamıa gelir. Bua bir toplumdaki geç üfusu çoğulukta olması örek verilebilir.. durumda ise, yaşlı üfusu etki olduğu alaşılır. Bu özellik, yerbilimleride öreği, made yataklarıı oluşmasıı sağlar ve yüksek değerleri hakim olduğu bir dağılımı yasıtır (zegi cevher tipi). Çevre bilimleride bu, öreği, aşırı kirliliği veya bir etkei ortalamaı üstüde artışıı gösterir. Şekil.1 c-d çarpıklık ve eğri-teğet ilişkisii göstermektedir. Birçok tepelikli dağılımlarda, 1.,. ve 3. tepe değeri diye sıralaır. Çok tepelikli dağılıma Şekil 1 örek verilebilir. Çizelge. deki e yüksek frekas değeri, yai tepe değeri, 3 tür ve 3.100:7= % 45,86 ya karşılık gelir. Dağılımda bu değerde daha yüksek değer bulumamaktadır. Bu aralıklara düşe değerler gibi bir dizide yielee değer tepe değerii oluşturur. Bu değerleri hepsi de gözlem sayısıa bağlıdır. Ne kadar çok gözlem kapsama alıırsa, o kadar güveilir ve gözlem kümesi içi o kadar taımlayıcı olurlar. Tepe değerii Üstülükleri, a) veya daha çok tepelikli dağılım içi de öemlidir, b) Uç değerlerde etkilemez, c) Her ölçü birimi içi kullaılabilir. Sakıcası ise, her zama kesi ölçülememesidir..3 Değişkelik ölçüleri Verileri istatistiksel taımlamasıda sadece ortalama değerler yeterli olmamaktadır. Ortalama değerlerle elde edile souçları yaılma oraları yüksek olur. Öreği, bir kiracı ev sahibii verdiği 1,40 m lik çocuklarıı yüzdüğü havuzu ortalama deriliğie e kadar iaır? Bu gibi durumlar içi ortalama değerler tarafıda kapsamaya parametreleri de icelemek gerekir. Yai bir veri kümesi veya aakütle, çeşitli dağılım parametreleriyle de taımlaabilir. Bu parametreler öcelikle aşağıda taıtıla değişim aralığı, stadart sapma, değişke (varyas) ve mometlerdir.

24 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler Değişim aralığı (R) Bir veri kümesideki veya popülasyodaki e yüksek ve e düşük değerlerii arasıdaki fark, değişim veya yayılım aralığı R, R = x max - x mi.18 ile taımlaarak belirtilir. Burada sadece değer, e düşük ve e yüksek değer, hesaba katılmak-tadır. Dolayısı ile uç değerleri buluması durumuda souç yaıltıcı olabilmektedir. Öreği, bir kayaç veya bir mieral çeşidii içerdiği bir elemeti, bu uç değerleri arasıdaki farkı değişik olabilir. Aa elemetlerde bu fark ispete küçüktür (homoje dağılım). İz elemetlerde ise, büyük olabilmektedir (heteroje dağılım). Uc değerlere göre ça eğrisii değişimii Şekil. göstermektedir. Öreği, yukarıdaki debi ölçümleri içi değişim aralığı, R = 70,40-3,0 = 38,0 m 3 /s dir. Sadece metrik ölçü birimleride yararlaıla değişim aralığıı hesaplaması kolaydır ve verileri dağııklığı hakkıda bilgi verir. Sadece değerde hesapladığıda, içerikle ilgili yorum yapılamaz. Acak değişim aralığı R, sıklık dağılımıı oluşturulması ve icelemesi içi çok öemlidir. Çükü dağılım R tarafıda sıırlaır. Bu ede burada R üzeride durmakta yarar vardır: Sıklık dağılımlarıda bir öreklemi bir özelliği iceleir. Buu içi özelliklerde oluşa verileri düzeleip sıkıştırılması gerekir. Böylece dağılımı gözlemesi ve başka verilerle karşılaştırılması içi iyi bir temel sağlamış olur. Souç grafik olarak gösterilir (Bak. Şekil.5) Bir sıklık dağılımıda sııflama, sıralama ve metrik sayılar kullaılabilmektedir. Eşit koşullar altıda kez yielee bir deeyde rastlaa i olay sayısıa i i mutlak sıklığı deir ve burada f i ile gösterilir. f i / = h i de i ı göreceli sıklığıdır. Bu, P(O) olasılık taımı ile uyumludur. arttıkça, göreceli sıklıktaki büyük sapmalar olaaksızlaşmaktadır (büyük sayı teorisi). Sıklık dağılımıı oluşturmak içi: a) Sayılar büyüklük sırasıa göre dizilir (x 1 < x...< x k ). b) Dizi her eşit i aralığı içi f i özellik değer sııflarıa ayrılır (f i, mutlak sıklık). c) Burada h i = f i : ile göreceli sıklık dağılımı değerleri hesaplaır (, toplam örek sayısı). d) Souçlar bir x-y koordiat sistemii absiside özellikleri aralıkları (x i = eşit aralıklar), ordiatıda da buları göreceli sıklıkları (h i =f=h i :i) gösterilerek çizim tamamlaır (bak. aşağıdaki Örek.6 ve Şekil.5). Ça eğrisii veya sıklık dağılımıı uygulaması ve çizimi içi çeşitli yötemler bulumaktadır. Yötemleri hepsii ortak özelliği, verileri bilgi kaybı yaratmada, kolay çizim içi sııflara ayrılmasıdır. Buu içi öreği, sııf sayısıı örek sayısıa göre değişmesi ve örek sayısıı

25 Prof. Dr. H. Çelebi 4 kare köküde az olması isteir. Bu sııfları 10 da fazla olmaması tavsiye edilir. Acak 8 ve 19 sııfı e iyi olduğu da belirtilmektedir (Perillo ve Maroe, 1986). Aralık (sııf üst sıır aralıkları) veya frekaslar eşit aralıklar olabileceği gibi, öreği, s, veya gibi, arta veya azala aralık olarak da alıabilmektedir. Frekas hesaplamada e sık uygulaa Sturge Kuralı log esasıa dayamaktadır (bak. Örek.6). Bua göre sııf sayısı k, k = 1+log /log.19 =1+3,3.log eşitliği ile buluur. Aralıklar da R değişim aralığıı k ya bölümesi ile, R= (x max -x mi )/k.0 elde edilir. Bua göre sııf üst sıırları sıralaır (x 1 < x...< x k gibi). Sııf sıırları kesi olmalı ve sııfa ait tüm verileri kapsamalıdır (x i-1 < x <x i gibi). Eformasyo kaybı olmaksızı sııflar birleştirilebilir veya bölüebilir (h i /3 yerie h i /5 gibi). Sııf sıırları rasgele seçilemezler. Buları özelliklerie ve dağılım şekillerie uymaları ve bir hesaplama ilkesie dayaması gerekir. Buu içi birkaç yötem deeebilir ve e uyguu seçilir. Sııf aralıkları tamamlamış tam sayı olarak alıır. Dağılımı başlagıç oktası değişim aralığıı başlagıç oktasıdır. Böylece e küçük değeri buluduğu sııf, grafiği başlagıç oktası olur. Daha sade bir şekilde Stem-ad-Leaf (sap ve yaprak) yötemi ile de sıklık dağılımı yapılabilir. Burada sadece bir örekle yetiilecektir. Bu amaçla Çizelge.4 teki Fe değerlerii bu yötemle sııfladırılması ve sıklık dağılım grafiği aşağıda verilmiştir. Bu yötemi e iyi yöü, hem ham verileri, hem de veri sııflarıı bir histogram şeklide göstermesidir..3. Stadart sapma (s) % Fe Örek sayısı/aralık Verileri ortalama değer etrafıda e kadar yoğulaştıklarıı gösterir. geometrik olarak, stadart sapma, aritmetik ortalama değerii üstüde ve altıda kala veri sapmalarıı ortalamasıdır. Bu edele bir (+), bir de (-) değeri buluur. Şekil:.b stadart sapmayı geometrik olarak göstermektedir. 4

26 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 5 %db a db b + s x -s Ses şiddeti, db Ölçümler Şekil.: Verileri değişim aralıkları a ve stadart sapmaı geometrik alamı b. Ortalama mutlak sapmaya ayı zamada stadart sapma da deir. s ile gösterilir ve geel olarak, s = = = 1 1 x i i1 1 ( x i x) 1 i1 i1 x i ( i1 ( 1) x ) i.1..3 formülleri ile hesaplaır ( x x x dir). Ortalama değerle ola farkları toplamı 0 i i ettiğide, kareleri alıır, toplaır ve kareköküü pozitif değeri stadart sapma olarak kullaılır. Ortalama değer hesaplamada da stadart sapma buluabilir (bak. formül.1)..1 daki yerie alıa -1 terimii sadece geel bir teorik alamı vardır. Değeri aakütleye değil, öreklem e ait olduğuu ifade eder ve serbestlik derecesi sayısıı veriyor. Bu terim aslıda Sııfladırılmış verileri stadart sapması.1 eşitliğii.5 eşitliği şeklie bezetilmesi ile hesaplaabilir (bak..5, x i = f i.x i ve (-1)=Σf i ). Örek sayısı arttıkça,, -1 e yaklaşır. Stadart sapma s, >1 ve s >0 durumları içi bir alam taşır.1 örek içi s = + dur (belirsiz). Sadece metrik ölçü birimleride kullaıla stadart sapmada, souçları yorumlamasıda adire yararlaılır..3.3 Değişkelik katsayısı (v) Stadart sapmaı aritmetik ortalamaı yüzdesi olarak ifade edilmesie değişkelik katsayısı deir. Göreceli stadart sapma olarak da bilie bu parametre, s v = x

27 Prof. Dr. H. Çelebi 6 olarak biliir (%). Bu oraa göre veriler, - düzeli (v < % 40), - düzesiz (% 40 < v < % 80) ve - çok düzesiz (v > % 80) olarak sııfladırılırlar (Wilke, 1975). Özellikle yerbilimleride yaklaşık örek sayısıı, öreği, milyo t rezerv başıa, saptamasıda bu parametre öemli bir ölçüt olarak kabul edilir. Ayrıca dağılımları saçıım farkıı saptamada, ortalama değere bağlı değişimide (oratı etkei=orasallık) ormal ve log dağılımlarıı ayırt edilmeside yararlaılır..3.4 Değişke (s, σ, varyas) Stadart sapmaı karesie değişke (varyas) deir. s veya sıkça σ (sigma) ile gösterilir. Bir istatistiksel dağılımı esas parametresi değişkedir ve σ = ( x x) f ( x) dx.5 olarak taımlaır (σ, aakütlei değişkesidir). Burada bir öreklemi değişkesi, s 1 = ( x 1 i1 i x).6 formülü ile hesaplaır. Verileri ortalama değerde sapma derecesii, değişkeliğii, gösterir. Değişke, a = x içi miimum değer alır (a, ortalama değerde farklı bir değerdir). Bu, saçıımları ortalama değer yakııda e az olduğuu gösterir. Değişke ile stadart sapmaı istatistikte çok büyük öemi vardır. İstatistiksel hipotezleri doğruluğuda ve testlerde kullaılırlar. Varyas, korelasyo ve regresyo aalizi ile bulara dayaa yüksek derecedeki istatistiksel değerledirmelerde (öreği, varyogram hesaplamalarıda) vazgeçilmez bir ölçüttür. Ayrıca stadart program yapımıda temel teşkil ederler. Uygulamada varyasla stadart sapmayı birbiride ayırt etmek gerekir. Aralarıdaki fark, değişkei gözlemleri tüm, stadart sapmaı ise, tek tek göstermesidir. Bu yüzde değişkede baze Σx i toplam değerleri tüm örek sayısıa bölüürke, stadart sapmada örek sayısıı 1 eksiğie bölüür. Bu edele σ ı karekökü, stadart sapmada daima küçüktür. σ ve s değerleri bir güveirlik derecesi içerirler. Bu da öreği, t-studet testi ile kotrol edilebilir. Değişke, kısımlarıa ayrılabilir. Çükü bir öreklemi varyası, öreklemdeki grupları varyaslarıı toplamıa eşittir. Öreği, 1 I J K xk 1 i1 j1 kk s = ( xi x j... ).7 6

28 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 7 gibi. Bu özellikte, varyas aalizide ve jeoistatistikte yayılım değişkesi gibi çeşitli değişkeleri hesaplamasıda yararlaılır..4 Mometler İstatistikte dağılımları çoğu simetrik değildir. Baze değerler ortacaı sağıda veya soluda yoğulaşır (Şekil.1 c ve d). Bu dağılım özellikleri yukarıda açıklaa teğet açısı ve parametre sıralaması gibi yötemler yaıda 3. mometle, dağılımı stadart ça eğriside yüksek veya basık (yassı) olduğu da 4. mometle saptaabilmektedir. 1 Bir momet geel olarak m k = ( x i ) 1 i k.8 deklemiyle ifade edilmektedir. Bir dağılımda 4 büyüklüğü, merkezi mometleri*, yai ortalama değer ( x ), stadart sapma (s), kayma (m 3, kayma, çarpıklık) ve basıklığı (yassılık, m 4 ) icelemesi yararlı olur..4.1 Kayma (g, çarpıklık, asimetri, ig. skewess) Bir ormal dağılımda ortalama değer, ortaca ve tepe değeri eşit oldukları yukarıda belirtilmişti. Bu değerleri karşılaştırılması ile ortalama değere göre kayma saptaabilir. Acak kayma durumuda buları oraı değişir. Kesi bir kayma değeri acak 3. momet m 3 ü hesaplaması ile elde edilebilir. Bu, m 3 = 1 3 ( x i x).9 olarak taımlamaktadır. Burada kayma, stadart sapmaya bölüerek stadartlaştırılır. Yai, i1 m 3 g = 3 s 1 xi x = ( ) s i 1 ( x i i1 = 3. s x) eşitliği ile birimsiz hale getirilir. g = 0 içi ormal dağılım, g > 0 içi pozitif ve g < 0 içi de egatif eğimli bir dağılım mevcut demektir (Şekil.3). Kayma, esasıda bir logaritmik dağılımı belirtisidir.

29 Prof. Dr. H. Çelebi 8 g=0 g > 0 g < 0 Şekil:.3. Farklı kaymalara örek dağılım çeşitleri..4. Basıklık (e, yassılık veya sivrilik, ig. exess, kurtosis) Basıklık veya sivrilik taımı içi de 4. momet m 4 (exess, kurtosis) kullaılır. Bu momet tepelik durumuu belirtmeye yarar ve m 4 = 1 i 1 şeklide taımlamaktadır. m Burada basıklık, e = s i 1 ( x i x) 1 xi x = ( ) s ( xi x) = i1 4. s 3 formülüde çıkarılır. Bir ormal dağılımda e = 3 tür (eşitlikte 0 alımıştır). Bu durumda ormal ça eğriside basık ola dağılımlarda e < 0, sivri olalarda ise, e > 0 dır (Şekil.4). Bu dağılımları ortalama değeri eşit, acak stadart sapmaları farklıdır e > 0 e = 0 e < 0 Şekil.4: Farklı basıklığa örek dağılım çeşitleri. Stadart sapmaları ayı ola bu dağılımları e < 0 olalarıa platokurtik, e > 0 olalarıa da leptokurtik deir. 8

30 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 9 Basık dağılım, deelde grait gibi çeşitli mierallerde oluşa ve değişik derişimde öreği elemet içere kayaçları elemet dağılımıda görülür. Sivri dağılım tiplerie ise, buu tersie, öreği, krom gibi sadece kromitte (FeO.Cr O 3 ), yai bir tek mieralde, derişe elemet dağılımlarıda rastlaır. Logaritmik dağılımları icelemesi, metrik değerleri logaritması alıarak ayı yötemlerle gerçekleştirilir. Örek.6. Bir sodajdaki demir teörüü (% Fe) sıklık dağılımı parametrelerii hesapla-ması ve dağılım grafiğii çizilmesi (SP-5, Pıarbaşı/Adıyama, Şekil.5). Çizelge.4: Verileri düzelemesi (Örek.6). Sıra No. Derilik, m Mesafe, m i x i (% Fe) m i.x i x i - x (x i - x ) (x i - x ) 3 (x i - x ) ,60 6,0,0 137,64-9,34 87,4-814, ,05. 46,80 1,5 40,0 50,5 8,65 75,00 649, , ,05 1,80 43,45 78,1 11,91 141, , , ,85 1,15 40,95 47,09 9,41 88,55 833, , ,0 0,90 1,87 19,68-9,67 93,51-904, , ,10 1,0 35,35 4,4 3,81 14,5 55,31 10,7 7. 5,30 4,90 9,81 146,07-1,73,99-5,18 8, ,0 4,40 37,70 165,88 6,16 37,95 33, , ,60 0,65 3,95 1,4 1,41 1,99,80 3, ,5 0,0 11,5,5-0,8 411, , , ,45,15 31,17 67,0 0,37 0,14-0,05 0,0 Σ = 11 4,80 346,90 777,93 0,00 955, , , 1. Parametreleri buluması 11 örekte oluşa ve Çizelge.4 te düzelee öreklemi e küçük değeri % 11,5, e yüksek değeri de % 43,45 Fe dir. Yielee değer bulumadığıda, tepe değeri saptaamamaktadır. Acak % 3,95 Fe değeri ortacayı göstermektedir. Bu değer aritmetik ortalama yerie de kullaılabilir. x i - x ı mutlak değerlerii ortalamasıa mutlak sapma deir. Aritmetik ortalama, x 11 i1 x i / =346,90/11 = % 31,54 Fe

31 Prof. Dr. H. Çelebi 30 Ağırlıklı ortalama, x a = = i1 i1 m x i m i 777,93 4,80 = % 31,37 Fe Geometrik ortalama, x g = 11,0.40,0...31, 17 i = , 3 = 8,7 Hem ağırlıklı, hem de geometrik ortalama değerleri aritmetik ortalamaı altıda çıkmıştır. Dolayısı ile daha gerçekçi veya güveli kabul edilecekler. Stadart sapma, s = = i1 ( x i x) 1 955, = 95, 54 = ± % 9,77 Fe Bua göre aritmetik ortalama değeri x x s = 31,54 ± 9,77 aralığı içi geçerlidir. Bu aralık, % 1,77<x<41,31 Fe şeklide ifade edilir. ( xi x) Değişke, σ i1 = 1 955,40 = 11 1 = % 95,54 Fe m3 Kayma, g = 3 s ( x i i1 = 3. s x) 3 30

32 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler ,35 = ,77 = = 6613, , , ,3 = - 0,64 Dağılım egatif eğimlidir (sola kaya, zegi cevher tipi). m Basıklık, e = s = i1 4 ( xi x) 4. s ,7 = ,77 861, = ,6 861, = ,8 =,8-3 = - 0,7 buluur. Bua göre egatif eğimli (sola kaya), stadart ça eğriside basık bir eğri veya dağılım bulumaktadır. Değişkelik katsayısı, v = s.100 / x = 9,77.100/31,54 = 977/31,54 = % 30,97 buluur. Bu orala veriler çok düzeli bir dağılıma sahiptir.. Dağılım grafiğii çizimi: 1. Adım: Değişim aralığıı buluması: Değişim aralığı R = x max -x mi = 43,45-11,5 = % 3,0 Fe

33 Prof. Dr. H. Çelebi 3. Adım: Sııf sayısıı hesaplaması (Sturge Kutralı, bak..3.1): k = 1+3,3 log = 1+3,3.log 11 = 1+3,3.1,04 = 1+3,46 = 4,46 4,50 sııf veya grup buluur. Burada çıka sayı tama tamlaabilir, öreği, 4,46 4,50 alıacağı gibi, 4,0 de alıabilir. 3. Adım: Frekas veya sııf sıır değerlerii buluması: Frekas f = R/k = 3,0/4,50 = 7,16 % 7,0 Fe elde edilir (7,00 da alıabilir). 4.Adım: Sıklık dağılım çizelgesi: Açıklama: Frekas f = x mi = 11,5 ile başlar. Acak sürekliliği sağlamak içi 11,5+7,0=18,45 yerie 18,44 ile bitirilir ve. aralık ile başlatılır. Çizelge.5. Örek.6 ı sıklık dağılım verileri Frekas (% Fe) Mutlak sıklık Göreceli sıklık (%) Birikimli sıklık f f i h i Σ f i Σ h i (%) 11,5-18,44 1 9,10 1 9,10 18,45-5,64 18,18 3 7,8 5,65-3,84 18, ,46 3,85-40,04 3 7,7 8 7,73 > 40,04 3 7, ,00 Σ = ,00 3

34 Sıklık, % Birikimli sıklık, % Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler Sıklık dağılımı, Fe 100 Birikimli sıklık, % Fe ,5 18,45 5,65 3,85 40,04 Sıır değerleri, % Fe 0 11,5 18,45 5,65 3,85 40,04 Sıır değerleri, % Fe Şekil.5: Örek.6 daki değerleri sıklık dağılımı Alıştırma.. Ça eğrisii uygulaması. Kou: Bir aa caddede ölçüle gürültüü gülük dağılım ölçüleri (db, = 15): Ölçümler: { } (= 957 db). Soru: Dağılım özelliklerii buluması ve irdelemesi Yaıtlar: x = 63,80 db, s= ±9,3 db, s = 854,31dB, g= -0,15, e= 1,4 ve f= 0 db. Kayakça 1. Arıcı, H., 001. İstatistik. Metaksa basımevi, 13. baskı, 69 s., İstabul.. Barsch, H. ve Billwitz, K., 1990: Geowisseschaftliche Arbeitsmethode. Verl. Harri Deutsch, 56 s., Thu ve Frakfurt am Mai. 3. David, M., Geostatistical Ore Reserve Estimatio II,Elsevier Sc. Publ. Comp., 3. Baskı, 364 s., Amsterdam. 4. Reihardt, F. ve Heirich, S., 1994: dtv-atlas zur Mathematik. Cilt 1 ve., dtv Verlag, 498 s., Müche. 5. Schöwiese, Ch.-D., 199: Praktische Statistik für Meteorologe ud Geowisseschaftler. Bortraeger,. basım, 31 s., Berli, Stuttgart. 6. Schroll, E., 1976: Aalytische Geochemie. Ferdiad Eke Verl, 374 S., Stuttgart. 7. Şeiş, F., 1996: İstatistik. Aadolu Üiversitesi yayıı No.: 175, 31 s., Eskişehir. 8. Tüysüz, N. ve Yaylalı, G., 005: Jeoistatistik. KTÜ yayıı 0, Trabzo, 38 s. 9. Wellmer, f.-w., 1989: Reche für Lagerstaettekudler ud Rohstoffwirtschaftler. Elle Pilger, 46 S., Clausthal-Zellerfeld. 10. Wessel, P., 001: Geological data aalysis. http// 35 s. 11. Wilke, A., 1975: Verfahre zur Probeahme vo Erze (Kozetrate) ud ähliche Rohstoffe. I Aalyse der Metalle. 3, 3. Aufl., Berli-Heidelberg.

35 Prof. Dr. H. Çelebi KURAMSAL DAĞILIMLAR 3.1 Temel esaslar İlk kouda işlee örek taımlamaları souçları bakımıda rastlatılar (belirsizlikler) taşımaktadır. Çükü bu öreklemler solu bir veri dizisii kapsıyor. Bu edele icelee olaylar (işlev veya mekaizma) sadece kısme işlemlere tabi tutulabilmektedir. Dolayısı ile deeysel sıklık dağılımlarıı görüümleri örek kapsamıı geişlemesi ile değişir. Sözkousu olay geel olarak, yai öreklem rastlatılarıı etkisi dışıda, istatistiksel olarak icelemek isteirse, öreklemi geldiği aakütlei özelliklerii icelemesi gerekir. Acak bular geelde bilimedikleri içi istatistikte çeşitli kuramsal aakütle dağılımlarıı buluması içi değişik yollar buluarak deeysel dağılımlara uyarlaırlar. Uygulamda birçok teorik dağılım şekli bulumaktadır. Burada buları acak öemli olaları üzeride durulacaktır. Herhagi bir veriyi iceliyebilmek maksadiyle teorik dağılımları sadece ormlu şekli, yai olasılık sıklık dağılımı f(x) yardımıyla, taımlaacaktır. Bir görsel dağılımı bir kuramsal dağılıma uyarlaması demek, görsel dağılıma e yakı kuramsal dağılımı buluması demektir. Görsel dağılımı kuramsal dağılıma uyumu içi çevirme işlemlerii yapılması, uyum derecesii (alamlılığıı) saptaması ve sıaması şarttır. İşleecek kuramsal yötemler ilk öce sadece tek boyutlu durumlar içi uygulaır. Buları çok boyutlu durumlar içi uygulaması sıkça sorular doğurur. Hesaplaacak parametreleri öreklem ve aakütle (popülasyo) ilişkisii ayırdedilmesi içi kullaıla değişik karakterler aşağıya çıkarılmıştır: Parametre Öreklem Aakütle Ortalama değer x µ Ortaca x o µ o Tepe değeri x t µ t Stadart sapma s σ Değişke s σ Kayma g γ Basıklık e η Kapsam ν 3. Normal dağılım (ND) Doğadaki dağılımları büyük çoğuluğu ormal dağılım (ND)göstermektedir. Buradaki ormal dağılımı alamı sadece çok sayıdaki işleve uygulaabilirliğii ifade eder. Tüm dağılım çeşitleri oluştukları yeri mevcut koşullarıa göre gelişirler. Öreği, bakkal ve maavları bir şehri her tarafıa yaklaşık ayı sıklıkta dağılmalarıa karşı, fotoğraf dükkalarıı sadece şehir merkezide 34

36 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 35 yoğulaştıkları görülür. Bu gözlem soucuu, yai hipotezi, geelleşmesi içi açıklaması ve teorik bir toplu sistemde ya doğrulaması, ya da reddilmesi gerekir. Normal dağılımı e öemli özelliği, verileri ortalama değer etrafıda yoğulaşmasıdır. Uclara, yai ortalama değerede uzaklaştıkça veriler seyrelir. Öreği, düyaı yaklaşık 7,3 milyar (014) üfusuu acak yaklaşık 4,1 milyarı ormal kilolu, 1,1 milyarı kötü beslemede dolayı zayıf ve 1,1 milyarı da şişmadır. Bu durum, azalarak sosuza yaklaşır. Ayı şey çalışaları aylıkları ve yumurta ağırlığı içi de geçerlidir. Böyle bir dağılımda örekleri tek tek icelemesi oldukça zordur. Dağılım üzeride deetimi sağlamak amacıyla ve bilgi kaybıa ede olmada, yukarıda da alatıldığı gibi, veriler veya ölçümler gruplara (sııflara) ayrılır (bak. Örek..6.). Bu sııflarda bir dağılımı eğilimii göstere sütu diyagramlar elde edilir. Elde edile sütu dağılımıa uyarlaa bir eğri dağılım foksiyouu meydaa getirir (Şekil.1b ve.6). Bu dağılım foksiyou sürekli ve simetrik ormal sıklık dağılımıı* gösterir ve 1 x 1 ( ) f(x) = e 3.1 eşitliği ile taımlamaktadır (- <x<+ ; - <µ<+ ; σ>0). Eşitlikte birbirie beziye (maksimum µ, simetrik döü oktaları µ-σ ve µ+σ) çok sayıda sıklık dağılımı foksiyouu buluduğu alaşılmaktadır. Şekil 3.1. Stadart sapma ile eğrii ala içeriği arasıdaki ilişki (Wellmer, 1989). Normal dağılım, ortalama değerleri e sık ve e olası oldukları her yerde dağılım modeli olarak bekleebilir. Ortalama değeri üstüdeki ve altıdaki sapmalar eşit olasılığa sahiptir. Arta sapma değeri ile azalarak daha az olası duruma giderler. Bu özelliği ile ormal dağılım istatistiği temelii oluştura bir öeme sahiptir. Hata hesaplamaları, stadart sapma gibi formüller ve yötemler ormal dağılımı esaslarıa dayamaktadır. Bu edele icelee her dağılımı ormal dağılımı

37 Prof. Dr. H. Çelebi 36 gerektirip gerektirmediği araştırılır (parametrik, dağılıma bağlı veya o parametrik, dağılıma bağlı olmıya, yötemler). Bütü istatistiksel aalizlerdeki ilk aa kural, öreklemdeki ormal dağılımı gerekliliğidir. Bu kural iyi ve güveilir souçlar içi kaçıılmaz bir zorululuktur. Bir veri kümesideki ormal dağılımı varlığı ise, histogramlarda görülebilir. Bu durumda dağılım eğrisi bir ça şeklidedir. Normal dağılım foksiyo değerleri Ek-3.1 de verilmiştir. Bir ormal dağılıma sahip f(x) eğrisii döü oktaları absise yasıtıldığıda bu ekse üzeride aakütlei µ ortalama değeride itibare öreklemi tam σ değerie karşılık gele değerleri elde edilir. Bir öreklemi stadart sapması bu oluşuma bağlıdır (dağılıma bağlı formül, Şekil 3.1). Bua karşı diğer değişkeler ve yüzdelikler dağılıma bağlı değildir. f(x) foksiyouu döü oktalarıdaki teğetler x ekseii μ de itibare σ da keserler. Bir öreği dağılım foksiyouu μ±σ aralığıa (1. döü oktaları) düşme olasılığı % 68,7, μ±σ aralığıa (. döü oktaları) % 95,45 ve μ±3σ aralığıa (3. döü oktaları) da % 99,73 tür. Bu oralar ayı zamada verile sıırlar arasıdaki alaı eğri altıda kala toplam alaa oraıa karşılık gelir (Şekil 3.1) Stadart ormal dağılım (ça eğrisi, SND) μ = 0 ve σ =1 durumu içi f(x) dağılım foksiyou, f(x) = 1 1 x e şeklii alır. Böylece dağılım foksiyou parametrelerde bağımsız hale gelir ve z = trasformasyou ile f(z) = 1 1 z e x şeklie döüştürülmüş olur. Bu durumdaki bir dağılım foksiyoua stadardize ormal dağılım deir. Bu şekildeki foksiyolar (z dağılımı) birimsiz hale geldikleri içi değişik yötemlerle daha kolay hesaplaırlar. İstatistikteki sıama (test) ve tahmi içi oldukça öemlidir. Yüzdelikleri hesaplaması etegral gerektirdiğide, zordur. Acak bu, çizelgelerde yararlaarak, aşılabilir. z dağılımı değerleri Ek 3.1 de verilmiştir. z ye stadart değer deir. Bir dağılımda her X i değerie karşılık bir x i sapma değeri belirlediği gibi, bir z i değeri de belirleebilir. Stadart değer, z i = x i /s 3.4 eşitliği ile taımlaır ve buula sapma değerleri stadart değerlere çevrilir. Öreği, x i = X i - x değeri içi z i = x i /s stadart değeri buluur. * Gauss dağılımı veya çaa bezediği içi ça eğrisi de deir. Carl-Friedrich Gauss ( ), sıklık dağılımıı Göttige Üiversitesi de çalışırke ilk formüle ede alma matematikç, fizikçi ve astroomdur. 36

38 Jeolojide matematik ve statistiksel yötemler 37 Örek 3.1. Ortalama değeri x = 5 ve staadart sapması s = ± ola bir dağılımdaki X i =7 ölçümü hagi stadart değere karşılık gelir? Çözüm: z i = x i /s = (X i - x ) / = (7 5) / = / = +1 buluur. Burada x i = x +s değerie karşılık geldiği içi +1 değeri, toleras ölçüsü, elde edilmiştir. Yai ortalama değerde bir stadart sapma kadar büyük değerleri stadart değeri 1 dir. Buu gibi s kadar büyük ola değerleri stadart değerleri, 3s kadar büyük olaları da 3 tür. Ayı souçlar stadart sapmada küçük değerler içi de geçerlidir ve -1, -, ile -3 buluur. Ortalama değere eşit (X i = x ) bir değeri stadart değeri ise, 0 dır (z i = x i /s = [ x - x i ]/s = [ x - x ]/s = 0/s = 0). Bu edele stadart ça eğrisi 0 a (y eksei) göre simetrik verilir (bak Şekil 3.). Örek 3.. Bir çakıl öreklemii tae boyu ortalaması x = 14,, stadart sapması s=4,3 mm dir. 3 mm de küçük çaplı bir kum taesii bulma olasılığı % kaçtır? Çözüm: Araa 3 mm lik değeri çizelgede okuyacak değere çevrilmesi ve z değerii buluması lazım. z değeri, 3,00 14, z= 4,7 = -,4 formülüde -,4 buluur. z Çizelgeside (Ek-3.) bu değere karşılık gele stadart değer 0,008 gibi çok küçük bir sayı olduğuda, zayıf bir olasılıktir. Görüldüğü gibi stadart ça eğrisii parametreleri ormal ça eğrisii parametreleride farklı olmaktadır. Stadardize edilmemiş ça eğrisii döü oktaları μ±σ, μ±σ ve μ±3σ ike, stadart ça eğriside ±1, ± ve ±3 olmaktadır. Ortalama değeri stadart değeri 0 dır. Bu edele stadart ça eğrisi ölçümler yerie bu değerlerle taımlaır ve bu sayede ormal ça eğriside ayırt edilir (Ek ). x 1 y 1 ( ) Sıklık dağılımı foksiyou, F(x)= e dy şekliyle doğrusal ve etegrale beziye dağılım toplamıı verir (birikimli toplam, Şekil 3.). Bu dağılım olasılık kağıdıda özel bir dağılımla bir doğruya çevrilir ve hesaplamaları deetimide kullaılır. Olasılık kağıdıı absisi doğrusal, ordiatı ise, 3.5 eşitliğie göre düzelemiştir. Bu yaklaşık doğruu başka özellikleride biri de F(-1) = 0,84 ve F(+1) = 0,16 olmasıdır. Burada 0,84-0,16 = 0,68 elde edilir. Bu, eğrii altıdaki alaı µ-σ ve µ+σ sıırları arasıda kala alaıdır. 3.5

39 Prof. Dr. H. Çelebi 38 Şekil 3.. Stadart ormal dağılım (ça eğrisi, μ=0, s=1) ve olasılık kağıdıa döüştürülmesi (Wellmer, 1989). Yukarıda da belirtildiği gibi ormal dağılım simetrik olduğuda, birçok özel duruma sahiptir. Öreği, Ortalama değer = ortaca = tepe değeri = μ dür (1. momet). Değişke = σ/ (. momet) ve Kayma (g) ile basıklık (e) = 0 y z x Şekil 3.3. İdeal simetrik boyutlu sıklık dağılım yüzeyi perspektifi. (Sachs, 1984, değiştirilmiştir). 38