ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI -2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI -2014"

Transkript

1 ÖZEL DÜŞŞFK LİSESİ SLİH ZEKİ V. MTEMTİK ŞTIM PJELEİ YIŞMSI -0 PJENİN DI PTLEMY TEEMİ VE UYGULMLI PJEYİ HZILYNL HLİL İHİM YZII MUHMMED ENİS ŞEN PJE DNIŞMNI DULGFU TŞKIN ÖZEL MÜÜVVET EVYP KLEJİ VE FEN LİSESİ İSTNUL 0

2 İçindekiler GİİŞ:... MÇ:... YÖNTEM:... Ptolemy (atlamyus) Teoremi :... Ptolemy Teoreminin Karşıtı:... Teorem :... 5 Teorem :... 6 Teorem :... 8 Teorem :... 0 Varignon Teoremi:... Teorem 5:... 5 Teorem 6:... 0 Teorem 7:... Teorem 8:... 7 Teorem 9:... 9 Teorem 0:... İLGİSY UYGULMLI::... SNUÇL:... 5 KYNKL:... 66

3 GİİŞ: ladius Ptolemaeus İskenderiyeli Yunan gökbilimci, matematikçi ve coğrafyacıdır. Yaklaşık olarak 85 ile 65 yılları arasında yaşadığı kabul edilir. İki önemli yapıtın yazarıdır: lmagest ve oğrafya. u yapıtlar vrupa nın orta çağın karanlığını rapça çevirileri ile aşabilmişlerdir. lmagest adlı yapıtında Dünya merkezli bir Güneş Sistemi modeli önerilir. u model Kopernik in Güneş merkezli modeline dek atı ve İslam dünyalarında geçerli model olarak kabul edilmiştir. Geç İskenderiye Dönemi nde yaşamış ünlü bilim adamlarından biridir. u bilim adamının bilime önemli katkılarından biri de geometride sık kullanılan Ptolemy teoremidir. u projede bu teoremi ve uygulamalarını ele aldık. MÇ: u projede amacımız Ptolemy Teoreminden yola çıkarak kirişler dörtgeninde orijinal bağıntılar elde etmektir. yrıca Ptolemy Teoreminden hareketle bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu göstermek ve bunu ispat etmek, bulduğumuz formüllerin uygulamasını The Geometer s Sketchpad 5 programında göstermektir. YÖNTEM: Ptolemy teoremi ile ilgili çalışma yaparken bilgisayar ortamını matematiksel ispat için bir laboratuvar gibi kullandık. ulduğumuz 0 teoremin her birini ispat etmeden önce The Geometer s Sketchpad 5 programında çizimini yapıp formülün çalışıp çalışmadığını deneysel olarak ortaya koyduk. aşarılı olduğumuz ifadeleri bir teorem kabul ederek ispatımızı gerçekleştirdik. unun yanında kendimizden emin yola çıktığımız halde yaptığımız programda başarısız olan iddialarımızdan vazgeçtik. [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında öngördüğümüz eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. İspatlarımızı yaparken lise düzeyinde gördüğümüz bilinen Kosinüs, Pisagor ve Ptolemy teoremlerini kullandık. u teoremlere ek olarak Varignon Teoremini de kullandık. aporumuzdaki tüm çizim ve grafikleri Microsoft Visio 00 programıyla çizdik.

4 Ptolemy (atlamyus) Teoremi : ir D dörtgeni ancak ve ancak D D D olduğunda kirişler dörtgenidir. D İspat: [D] üzerinde m( D) m( E) olacak şekilde bir E noktası alırsak m( D) m( D) ( yay eşitliği olduğundan ) Şekil D E olur. D D E D E = = E = () yrıca DE D DE D DE = D = E = () () ve () eşitlikleri kullanılarak E DE = D D D = D D bulunur. E Ptolemy Teoreminin Karşıtı: Şekil ir dışbükey (konveks) dörtgende, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamı, köşegenlerin çarpımına eşit ise, bu dörtgen bir kirişler dörtgenidir. İspat: D dörtgeninde, D D D u bağıntıyı sağlayan bir dörtgenin kirişler dörtgeni olmadığını kabul edelim. u durumda m( DE) m( D) ve m( DE) m( D) eşitliklerini sağlayacak biçimde alınan E noktası için, (.) benzerlik D E teoremi gereğince, DE D olur ve buradan, Şekil

5 D E DE = = () ; diğer taraftan D D D DE = ve m( D) m( ED) olduğundan D D (K..K) benzerlik teoremi gereğince, D D uradan da D = () elde edilir. E ED dir. () ve () ten D D D dir. Dolayısıyla, E E olur. Yani E noktası üzerindedir. u nedenle; m( D) m( D) olur. D doğru parçasını gören eş açıların köşeleri oldukları için de, noktaları D ve den geçen bir çember yayı üzerinde bulunur. Öyleyse, D D D bağıntısını sağlayan bir dışbükey dörtgen, kirişler dörtgenidir. Teorem : D kirişler dörtgeni ve çemberin merkezi; P,Q, ve S sırasıyla merkezden,, D ve D kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. noktası D dörtgeninin iç kısmında kalsın. una göre ; D D ( P Q S ) olur. İspat: D kirişler dörtgeni olduğundan D D D olur. P, Q, ve S, D dörtgeninin dikme ayakları ( [], [], [D] ve [D] kirişlerinin orta noktaları) olduğundan PQS bir paralelkenardır. D u durumda PS Q ve QP S (Varignon teoreminin ispatı Teorem ten sonra verilmiştir. Sayfa e bakınız.) S P D m( P) m( S) 80 ve m( Q) m( ) 80 olduğundan PS ve Q dörtgenleri kirişler dörtgenidir. PS ve Q dörtgenleri kirişler dörtgeni olduğundan; Q Şekil 5

6 m( Q) m( PS ) 80 dir. [PS] kenarının diğer tarafından Q KPS olacak şekilde bir K noktası alalım. m( QP) m( QPS ) = m( QP) m( QPK ) 80 öyleyse QKP paralelkenardır. enzer şekilde KS paralelkenardır. çıkça görülüyor ki QP K S dir. m( PKS) m( PS ) = 80 olduğundan PSK dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. PSK kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak PK S SK P K PS Q S P PQ PS D, ( Q S P ) D P K S D D kirişler dörtgenine Ptolemy teoremini tekrar uygularsak, ( Q S P ) ( D D ) Q Şekil 5 u ifade teoremin ispatının bittiğini gösterir. Teorem : D kirişler dörtgeni, çemberin merkezi P,Q, ve S sırasıyla merkezden,, D ve D kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. a, b, D c, D d, P p, Q q, r, S s ise, a c p r b d s q ve c a p r b d s q olur. İspat: Çemberin merkezi, D dörtgeninin içinde olsun PQS nin paralelkenar olduğunu biliyoruz. D PQ S m Q PS n olsun. P n p m q s r S D Q Şekil 6 6

7 yrıca P ve S D dir. Dolayısıyla PS dörtgeni kirişler dörtgenidir. merkezli çemberin yarıçapı olsun. Ptolemy teoreminden a d s p n () enzer şekilde SD, Q, QP kirişler dörtgenlerinde Ptolemy teoremini uygularsak c d s r m () c b q r n () a b q p m () eşitliklerini elde ederiz. () ve (), () ve () eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, a d c d c b a b s p s r n m q r q p a c d a c b s ( ) ( p r) q( ) ( r p) a c b d ( s q) ( ) ( p r) ( ) ( a c) ( s q) ( p r) ( b d) a c p r b d s q elde edilir. ynı şekilde () ve (), () ve () eşitliklerini taraf tarafa toplarsak, a d a b c d c b s p q p n m s r q r b d a b d c p ( ) ( s q) r ( ) ( p s) b d c a ( p r) ( ) ( s q) ( ) ( p r) ( d b) ( s q) ( c a) c a p r b d s q elde edilir ve ispat biter. 7

8 Teorem : D kirişler dörtgeni çemberin merkezi; P, Q,, S sırasıyla merkezden,, D ve İspat: D kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. a, b, D c, D d, P p, Q q, r, S s dir. a) merkezi kirişler dörtgeninin iç bölgesinde kalıyorsa b) merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde ise a) merkezi kirişler dörtgenin iç bölgesinde kalıyorsa; Şekilde de görüldüğü gibi P ves D q r s p p q r s a d bc a b cd qr s p pq r s a d bc a b cd olduğundan PS dörtgeni kirişler.. dörtgenidir. ynı şekilde PQ, Q, SD dörtgenleri kirişler dörtgenidir. sin m ( ) sin( D ) sin( S ) sin( QP ) sin sin m ( D ) sin( D ) sin( PS ) sin( Q ) sin P S D Diğer taraftan ( D) ( ) ( D) ( D) ( D) Q Şekil 7 absin cd sin D ad sin bcsin sin ( ab cd) sin ( ad bc) sin a d bc () bulunur. sin a b c d D dörtgenindeki ve D üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak D olduğu açıktır. sin sin u iki eşitlikten ; D sin () elde edilir. sin sin sin D 8

9 () ve () eşitlikleri kullanılarak ; sin a d bc sin a b cd D elde edilir. yrıca; ( D) ( PQS ) ( PQ) ( Q) ( S) ( SP) sin ab c d sin pq sin qr sin Dr s sin s p sin pq sin qr sin r s sin s p sin pq r s qr s p sin a b cd sin pq r s qr s p sin sin q r s p a d bc sin a b cd p q r s a b cd q r s p a b c d a d b c a b c d p q r s a d b c qr s p ab cd pq r s ad bc ad bc ab cd q r s p p q r s a d bc a b c d b) merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde kalıyorsa; P m n p Q q S s r D Şekil 8 9

10 D ( ) ( D) ( D) ( D), D, D ve D üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak sin a d bc absin cd sin D ad sin bcsin sin a b c d D ( ) ( ) ( ) ( ) PQS PQ Q SP S sin ab cd sin pq sin qr sin( PS ) p s sin( S) sr sin ab cd sin pq sin qr sin p s sin D sr sin ab cd sin pq sin qr sin p s sin s r a b cd sin pq s r q r s p q r s p sin sin a d cb sin a b cd p q r s a b c d q r s p a b c d a d b c a b c d p q r s a d b c qr s p ab cd pq r s ad bc ad bc ab cd qr s p pq r s a d bc a b c d bulunur. Teorem : D kirişler dörtgeni ve çemberin merkezi olmak üzere ve D nin kesim noktası P olsun.,, ve sırasıyla P, P,DP ve DP üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezi,, ve sırasıyla bu çemberlerin yarıçapları olsun. dan ye ; ye ; D ye ; olsun. a) D ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla K,L,M ve N b) 0

11 İspat: P D Şekil 9 a) Dve D olduğundan // ve ve olduğundan // ün bir paralel kenar olduğunu gördük. 80 m( ) m( D) m( P) m( ) ve D ve D böylece olduğundan KL bir kirişler dörtgenindir. olduğundan MDN bir kirişler dörtgenindir. D bir kirişler dörtgeni olduğundan m( ) m( D) 80 m( ) m( ) 80 P üçgeninde m( P) m( P ) P üçgeninde m( P) m( P) m( ) 80 m( P) m( P) 80 m( P) m( P) m( P ) enzer şekilde m( D) m( P )

12 m( D) m( P ) m( D) m( P ) olduğunu buluruz.. sin( ) sin( ) sin( D) noktası paralelkenarının içindedir. Dolayısıyla ( P ) ( P ) ( ) ( ) ( ) sin( ) P P P P sin( D) P P P P bulunur. b) İspatın a kısmında m( D) m( P ) ve m( D) m( P ) olarak bulmuştuk. uradan m( D) m( D) m( P ) m( P ) 80 ün diğer tarafında bir P noktası alalım. P P olacak şekilde, m( ) m( ) m( P ) m( P) 80 olduğundan P P bir paralelkenardır. m( ) m( ) m( P ) m( P) 80 olduğundan P P bir paralelkenardır. P P, P P ve PP m( P ) m( P ) 80 olduğundan P P kirişler dörtgenidir. P P dörtgenine Ptolemy teoremi uygularsak, P P P P () ün diğer tarafından noktası alalım. olacak şekilde aynı yöntemi kullanarak ()

13 () ve () yi kullanarak bulunur. Varignon Teoremi: S P D Q Şekil 0 ir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenar belirtir ve bu paralelkenarın kenarları köşegenlere paraleldir. İspat: D dörtgenimizin [],[],[D] ve [D] kenarlarının orta noktaları sırasıyla P, Q, ve S olsun. P ve S orta noktalar olduğundan D üçgeninde [PS] orta tabandır. enzer şekilde [PQ],[Q] ve [S] nin de orta taban olduğunu buluruz. rta tabanlar ilgili tabanlara paralel olacağından PQS dörtgeni bir paralel kenardır. Varignon Teoremi sadece dışbükey dörtgenler için değil, tüm dörtgenler için geçerlidir. Dörtgenin içbükey, çapraz ya da aykırı olması önermenin doğruluğunu bozmaz. Dışbükeye yapılan kanıtın işlemleri aynen uygulanırsa bu görülür. şağıdaki şekilleri inceleyeniz.

14 P Q S D Şekil D K N M L Şekil

15 [5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. ltı farklı durum için elde ettiğimiz teoremlerimiz aşağıdadır. 5

16 Teorem 5: merkezli çemberin içine,,, merkezli çemberler içten teğet olsun. ve merkezli çemberlerinin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6 Q t P t K H D N t6 t t5 E M G t L F S Şekil 6

17 İspat : Q a P r-r T t r -r -r r t Şekil çemberinin yarıçapı,,, ve çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r, r, r ver ;,, ve çemberlerinin merkezli çembere teğet olduğu noktalar sırasıyla P,Q, ve S; PQ, Q, S ve SP sırasıyla a, d, c ve b ; ' den ' ye indirilen dikmenin ayağı T ; ' den M' e indirilen dikmenin ayağı V ;,, ve çemberlerinin arasındaki teğet noktaları sırasıyla,,,d,e,f,g ve H ; ve çemberlerinin arasındaki teğet noktaları N ve M; ve çemberlerinin arasındaki teğet noktaları K ve L;, D, EF, GH, NM ve KL sırasıyla,,,, 5 6 t t t t t ve t ; mpq ve mp ; P ve QS sırasıyla e ve f olsun. Şekilde görüldüğü gibi PQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; PQ a cos a cos a ( cos ) () cos ' yı çekersek ; a cos () T üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; ( ) t r r () üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) cos 7

18 () de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; a ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) a r r r r r r r r ( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, a ( r r ) ( r ) ( r ) () ifadesinde yerine yazarsak, a t ( r ) ( r ) uradan, a t ( r ) ( r ) () olarak bulunur. enzer biçimde, b t ( r ) ( r ) (5) c d t ( r ) ( r ) (6) t ( r ) ( r ) (7) olarak bulunur. ynı yöntemi kullanarak, V üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak, P üçgenine kosinüs teoremi uygularsak, P e cos e cos e ( cos ) (9) 5 ( ) t r r (8) cos ' yı çekersek; e cos (0) üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) cos (0) da bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; 8

19 e ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) e r r r r r r r r ( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, e ( r r ) ( r ) ( r ) (8) ifadesinde yerine yazarsak, e t5 ( r ) ( r ) uradan, e t ( r ) ( r ) () 5 olarak bulunur. enzer şekilde aynı yöntemi t 6 için de uygularsak, f t ( r ) ( r ) () 6 PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak, ac bd e f ise, a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) 9

20 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 6: merkezli çemberin içine,,, merkezli çemberler dıştan teğet olsun. ve çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6 t K N Q H P t t5 t6 t M D S L E G t Şekil 5 F 0

21 İspat : t r T r-r t r Q a P +r +r Şekil 6 Şekil 6 Şekil 5 te olduğu gibi,, ve merkezli çemberleri dış teğet olarak alalım. Şekilde görüldüğü gibi PQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; PQ a cos a cos a ( cos ) () cos ' yı çekersek ; a cos () T üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; ( ) t r r () üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) cos

22 () de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; a ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) a r r r r r r r r ( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, a ( r r ) ( r ) ( r ) () ifadesinde yerine yazarsak, a t ( r ) ( r ) uradan, a t ( r ) ( r ) enzer biçimde, () olarak bulunur. b c d t ( r ) ( r ) (5) t ( r ) ( r ) (6) t ( r ) ( r ) (7) olarak bulunur. enzer yöntemler kullanılarak; e t ( r ) ( r ) 5 (8) f t ( r ) ( r ) 6 (9) olarak bulunur. PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; ac bd e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,

23 t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 7: merkezli çemberin içine çizilen,, merkezli çemberler içten teğet ve merkezli çember dıştan teğet olsun. ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6

24 D E F G H K L M N Şekil 7 P Q S t5 t6 t t t t İspat : S P t H G b t r. r+r r +r -r T Şekil 8 Şekil 7 Şekil 8

25 ,, ve merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 7 de olduğu gibi çizelim. Şekilde görüldüğü gibi SP üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak; SP b cos b cos b ( cos ) () cos ' yı çekersek ; b cos () T üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; ( ) t r r () üçgenine kosinüs teoremi uygularsak; ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) cos () de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak; b ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) b r r r r r r r r ( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, b ( r r ) ( r ) ( r ) () ifadesinde yerine yazarsak, b t ( r ) ( r ) uradan, b t ( r ) ( r ) () olarak bulunur. Şekil 5 in ispatında kullandığımız ve uygularsak; b yi bulmak için kullandığımız yöntemleri a t ( r ) ( r ) (5) 5

26 c d t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) enzer biçimde, e t ( r ) ( r ) 5 f t ( r ) ( r ) 6 (6) (7) olarak bulunur. (8) (9) olarak bulunur. PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; ac bd e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. 6

27 Teorem 8: merkezli çemberin içine çizilen, merkezli çemberler dıştan teğet ve, merkezli çemberler içten teğet olsun. ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6 Q t H P N K t t5 t D t6 F t G E M L S Şekil 9 İspat :,, ve merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 9 da olduğu gibi çizelim. Şekil 5 ve şekil 7 nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; a t ( r ) ( r ) enzer biçimde; b t ( r ) ( r ) () olarak bulunur. () 7

28 c t ( r ) ( r ) () d t ( r ) ( r ) enzer yöntemleri kullanarak; () olarak bulunur. e t ( r ) ( r ) 5 (5) f t ( r ) ( r ) 6 (6) olarak bulunur. PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; ac bd e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. 8

29 Teorem 9: merkezli çemberin içine çizilen, merkezli çemberler dıştan teğet ve, merkezli çemberler içten teğet olsun. ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6 t K Q N H t t6 P t5 t D E M L G t F S Şekil 0 9

30 İspat :,, ve merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 0 de olduğu gibi çizelim. Şekil 5 ve şekil 7 nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak; a b c d t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) () () () () olarak bulunur. enzer biçimde, e t ( r ) ( r ) 5 (5) f t ( r ) ( r ) 6 (6) olarak bulunur. PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; ac bd e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) 0

31 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. Teorem 0: merkezli çemberin içine çizilen,, merkezli çemberler dıştan teğet ve merkezli çember içten teğet olsun. ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t, ve merkezli çemberlerin teğetleri t 5, ve merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t 6 olsun. u durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır. t. t + t. t = t 5. t 6 t N K Q t5 H P t t6 t F L M G D t S E Şekil

32 İspat :,, ve merkezli çemberlerin teğetlerini şekil de olduğu gibi çizelim. Önceki ispatlarda kullandığımız yöntemlerden faydalanarak; b c a d t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) t ( r ) ( r ) enzer biçimde, e t ( r ) ( r ) 5 () () () () olarak bulunur. (5) f t ( r ) ( r ) 6 (6) olarak bulunur. PQS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak; ac bd e f ise; a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak, t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t5 t6 ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) t t t t ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r ) t t 5 6 ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( t t t t) ( t5 t6) ( r ) ( r )( r ) ( r ) ( r ) ( r )( r ) ( r )

33 Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında, t t t t t5 t6 Sonucu elde edilir. u da ispatın bittiğini gösterir. İLGİSY UYGULMLI: Teorem Sketchpad Uygulaması Teorem Sketchpad Uygulaması

34 Teorem Sketchpad Uygulaması Teorem a Sketchpad Uygulaması

35 Teorem b Sketchpad Uygulaması Teorem 5 Sketchpad Uygulaması SNUÇL: Projemizde Ptolemy Teoreminden faydalanarak herhangi bir D kirişler dörtgeni üzerinde orijinal bağıntılar elde ettik. unun yanında bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu gösterdik ve bunu ispat ettik. 5

36 KYNKL:. Komisyon, 0.sınıf Geometri Ders Kitabı, ME yayınları, nkara,0.. Küpeli, S. 00 Yılın limpiyat Sorularıyla Geometri, ltın Nokta Yayınları, İzmir, 00.. oxeter H.S.M. and S.L. Greitzer, Geometry evisited, New York encze, Mihaly, Journal of Science and rts, National ollege prily Lajos, 50006, rasov, omania, No. (), 0, pp Gueron, Shay, Two pplications of the Generalized Ptolemy Theorem, The merican Mathematical Monthly,09. sayı,00,sf Shirali, S. n The Generalized Ptolemy Theorem ishi Valley School INDI. 7. Gonzales L. asey s Theorem and its pplications Maracaibo, Venezuella Kin Y. Li, lympiad orner, asey's Theorem, Mathematical Excalibur, Volume 6, Number 5, March-pril 0. 6

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ MATEMATİK YARIŞMASI PROJENİN ADI: EULERİN PEDAL ÜÇGEN FORMÜLÜNÜ KULLANARAK PEDAL DÖRTGENLER İÇİN YENİ BİR FORMÜL GELİŞTİRME MEVKOLEJİ ÖZEL BASINKÖY ANADOLU LİSESİ DANIŞMAN:ELİF

Detaylı

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz.

olmak üzere C noktasının A noktasına uzaklığı ile AB nin orta dikmesine olan uzaklığının oranının α değerinden bağımsız olduğunu gösteriniz. GOMTRİ 05/0/0. bir üçgen m() =, m() = 90 +, = 5 br, = 7 br, olduğuna göre = x kaç br dir? 5 m 9 0 m 9 0 5 90+ 7 x Çözüm: den ye çıkılan dikmenin doğrusunu kestiği nokta olsun. bir dik üçgen ve bir ikizkenar

Detaylı

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1

ESKİŞEHİR FATİH FEN LİSESİ GEOMETRİ OLİMPİYAT NOTLARI. Çemberler 1 SKİŞHİR FTİH FN LİSSİ GTRİ LİİYT NTLRI Çemberler 1 erleyen sman KİZ FFL atematik Öğretmeni Yazım hataları mevcut olup. Tashihi yapılmamıştır. ÇR GİRİŞ roblem. merkezli çemberin kirişi üzerinde bir noktası

Detaylı

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende

Detaylı

İç bükey Dış bükey çokgen

İç bükey Dış bükey çokgen Çokgen Çokgensel bölge İç bükey Dış bükey çokgen Köşeleri: Kenarları: İç açıları: Dış açıları: Köşegenleri: Çokgenin temel elemanları Kenar Köşegen ilişkisi Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

İÇİNDEKİLER 1. TEMEL KAVRAMLAR

İÇİNDEKİLER 1. TEMEL KAVRAMLAR OİMPİYTR İÇİN ÜZM GOMTRİ İÇİNKİR 1. TM KVRMR çıortay Özellikleri 6 lanchet Teoremi 44 Yükseklikler ve Çevrel Çember 48 uler oğrusu 61 eibnitz Teoremi 78 okuz Nokta Çemberi (uler Çemberi) 85 uler ağıntıları

Detaylı

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm:

Çözüm: Yanıt:E. Çözüm: ., -< 0 önermesinin olumsuzu, aşağıdakilerden, - 0 B), -> 0, -> 0, - 0 E ), - 0, -< 0 önermesinin olumsuzu, +- 0 dir.. a A önermesi p, b B önermesi q ve c C önermesi de r ile gösterildiğine göre A = B

Detaylı

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 TEST: 1 1. 4. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 2. 5. A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 96 B) 112 C) 121 D) 128 E) 134 3. 6. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 40 B) 50

Detaylı

noktaları alınıyor. ABC üçgeninin alanı S ise, A1 B1C 1 5) Dışbükey ABCD dörtgeninde [DA], [AB], [BC], [CD] kenarlarının uzantıları üzerinden

noktaları alınıyor. ABC üçgeninin alanı S ise, A1 B1C 1 5) Dışbükey ABCD dörtgeninde [DA], [AB], [BC], [CD] kenarlarının uzantıları üzerinden ALAN PROBLEMLERĐ Viktor Prasolov un büyük eseri Plane Geometry kitabının alan bölümünün özgün bir tercümesini matematik severlerin hizmetine sunuyoruz. Geomania organizasyonu olarak çalışmalarınızda kolaylıklar

Detaylı

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK

PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156

Detaylı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

DEVREK ANADOLU LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı ELÜL TRİH/SÜRE HFT Eylül 0Eylül Eylül 7 Eylül STİ LNI 0-0 DEVREK NDOLU LİSESİ 9. SINIF MTEMTİK İ ILLIK PLNI lt de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de Temel Kavramlar de de de de. Küme

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi

Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak

Detaylı

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış

Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:

Detaylı

GEOMETRİ. 1.1 Benzer Üçgenler. Gösterimler:

GEOMETRİ. 1.1 Benzer Üçgenler. Gösterimler: GEOMETRİ 1 Üçgenler Gösterimler: Bir ABC üçgeni için aşağıdaki gösterimleri kullanacağız: Kenar uzunlukları: BC = a, CA = b, AB = c Açılar: Â, ˆB, Ĉ (Trigonometrik ifadelerde açı işareti kullanılmayacak.)

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Bir sayının inin fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) Çözüm Sayı olsun.. + +. Bir sınıftaki toplam öğrenci

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

Zor Soru Nasıl Hazırlanır?

Zor Soru Nasıl Hazırlanır? Zor Soru Nasıl azırlanır? u süreci gayet uzun bir örnekle göstermeye çalışacağım. Soru 1: irbirine içten teğet ve merkezli iki çemberden küçük olanı diğerinin çapına da teğettir. = = 4 ise küçük çemberin

Detaylı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı

E.Ö.Y TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Alt Öğrenme Alanı A ELÜL 9 Eylül Eylül Eylül 0 Eylül 0-07 E.Ö. TEKİRDAĞ S.B LİSESİ 9. SINIF MATEMATİK İ ILLIK PLANI Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar Temel Kavramlar. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri

Detaylı

ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI GEOMETRİDE ÖZEL DURUMDAN YARARLANARAK PROBLEM ÇÖZME METODU

ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI GEOMETRİDE ÖZEL DURUMDAN YARARLANARAK PROBLEM ÇÖZME METODU ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI GEOMETRİDE ÖZEL DURUMDAN YARARLANARAK PROBLEM ÇÖZME METODU ENES KOCABEY HALİL İBRAHİM GÜLLÜK 2014 DANIŞMAN ÖĞRETMEN : YÜKSEL

Detaylı

PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ

PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım,34156 Bakırköy-İstanbul DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ

TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ............. YÖNEM.... 4. ÖN BİLGİLER..... 4

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar 1. Kazanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği.

Detaylı

29 Nisan 2007 Pazar,

29 Nisan 2007 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: 15. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2007 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR

OYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA -

Detaylı

1. Kenarları 1, 4, 7 ve 8 olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? (18)

1. Kenarları 1, 4, 7 ve 8 olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? (18) 1. Kenarları 1, 4, 7 ve 8 olan dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? (18) 4 ile 7 ardışık iki kenar olsun. Değilse 4 ile 7 arasında 1 var demektir. Şekildeki gibi A A ' DB ikizkenar yamuğunu kurarsak 4

Detaylı

6. ABCD dikdörtgeninde

6. ABCD dikdörtgeninde Çokgenler ve örtgenler Test uharrem Şahin. enar sayısı ile köşegen sayısı toplamı olan düzgün çokgenin bir dış açısı kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ). Şekilde dikdörtgeninin içindeki P noktasının üç köşeye

Detaylı

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI LİSE ÖĞRENCİLERİNİN ÜNİVERSİTE SINAVLARINA HAZIRLANMALARI İÇİN GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI HAZIRLAYAN Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni SUNUŞ Sevgili öğrenciler! Bu kitap; hazırlandığınız üniversite sınavlarında,

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba,

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 2017 LİSE MATEMATİK SINAVI. 10 Mayıs 2017 Çarşamba, İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ İSTANBUL BİLİM OLİMPİYATLARI 07 LİSE MATEMATİK SINAVI 0 Mayıs 07 Çarşamba, 09.30 -.30 Öğrencinin, Adı Soyadı : T.C. Kimlik No : Okulu / Sınıfı : Sınav Merkezi : . Bir

Detaylı

. K. AÇI I ve UZUNLUK 5. C. e k s TR e m. m(cab)= 5x, m(acd)= 3x, m(abe)= 2x. O merkezli çemberde m(bac)= 75º . O ? F 75º

. K. AÇI I ve UZUNLUK 5. C. e k s TR e m. m(cab)= 5x, m(acd)= 3x, m(abe)= 2x. O merkezli çemberde m(bac)= 75º . O ? F 75º Geometri Çözmek ir yrıcal calıkt ktır ÇI I ve UZUNLUK 1? m()=, m()=, m()= 7º merkezli çemberde m()= 7º Verilenlere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 10 ) 1 ) 17 Verilenlere göre açısının ölçüsü

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR

ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR ÜÇGEN VE KENARLARI ARASINDA BAĞINTILAR 1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür. ABC üçgeninde m(a) >

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ

Teknik Resim TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU. 3. Geometrik Çizimler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Teknik resimde bir şekli çizmek için çizim takımlarından faydalanılır. Çizilecek şekil üzerinde eşit bölüntüler, paralel doğrular, teğet birleşmeler,

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti

Detaylı

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER

KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER ORTAÖĞRETİM ÖĞRENCİLERİ ARASI ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI (01 013) KENAR UZUNLUKLARI GEOMETRİK DİZİ OLUŞTURAN TAM SAYI KENARLI ÜÇGENLER Fatih KORKUSUZ Şehit Fazıl Yıldırım Anadolu Lisesi Eskişehir Kadir

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

ÇEMBERDE AÇILAR. 5. O merkez. 9. AB çap, AE = ED = DC. 6. O merkez. 10. AB çap, DC//AB. 2. O merkez. 7. AB çap. 11. O merkez 3. O merkez 8.

ÇEMBERDE AÇILAR. 5. O merkez. 9. AB çap, AE = ED = DC. 6. O merkez. 10. AB çap, DC//AB. 2. O merkez. 7. AB çap. 11. O merkez 3. O merkez 8. ÇMR ÇILR. merkez. çap, = =. 0 0. merkez 0. çap, //. merkez 0 0. çap K. merkez. merkez 0 0 T 0 0. =. çap 00 0. P teğet, = 0 P . merkez. merkez, =. = = 0 0 0. çap, =. merkezli çeyrek çember. merkez, = 0.

Detaylı

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri

Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04 Projenin Adı: Öklid

Detaylı

TRİGONOMETRİ Test -1

TRİGONOMETRİ Test -1 TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen

Detaylı

GEOMETRİPROBLEMLERİNE HARMONİK YAKLAŞIM

GEOMETRİPROBLEMLERİNE HARMONİK YAKLAŞIM ORTÖĞRETİM ÖĞRENİLERİRSI RŞTIRM ROJELERİYRIŞMSI (007 008) GEOMETRİROLEMLERİNE HRMONİK YKLŞIM rojeyi Hazırlayan Öğrencilerin dısoyadı : Semih YĞI Sınıf ve Şubesi : 10- dısoyadı : Uğur KRĞ Sınıf ve Şubesi

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

2016 UOMO 1. Aşama. A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm. Denklemi düzenleyelim:

2016 UOMO 1. Aşama. A) 15 B) 17 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm. Denklemi düzenleyelim: 016 UOMO 1. Aşama 1. Bir ABC üçgeninde BE ve CD kenarortayları birbirine dik ve BE = 18, CD = 7 ise AF kenarortayının uzunluğu kaçtır? A) 43 B) C) 45 D) 3 E) 4 Çözüm. Üçgenin ağırlık merkezi G olmak üzere,

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

ÇEMBER KARMA / TEST-1

ÇEMBER KARMA / TEST-1 ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran 008 Matematik I Soruları ve Çözümleri 1. ( ).( 4 1 + ) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 4 C) 1 D) 4 E) 7 Çözüm 1 ( ).( 4 1 + ) 1 = 7 ( 1).( ) = 1 7 1 = 7 ( ).

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 008 MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1. ( ).( 4 1 + ) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 4 C) 1 D) 4 E) 7 Çözüm 1 ( ).( 4 1 + ) 1 7 ( 1).( ) 1 7 1 7 ( ). -7 1. 4,9 0,49 0,1 + işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI

10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Programın öğrencilerde geliştirmeyi hedeflediği becerilerle 10. sınıf matematik öğretim programı ilişkisi; Modelleme/Problem çözme Matematiksel Süreç Becerileri

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK

ÖZEL EGE LİSESİ SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK ÖZEL EGE LİSESİ SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Barış BALKAN Meryem Nilsu ÇETİN DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ İZMİR 2016 İçindekiler Sayfa 1. Giriş... 2 1.1 Projenin Amacı....

Detaylı

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm I. Yol basamaklı

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNİLR 8. ÜNİT ÇMR V İR Çemberin Temel lemanları... Çemberin iriş, Çap ve esen... Çemberde Yay... Çemberde Teğet... Çemberde iriş Özellikleri... 5 7 onu Testi - 1... 8 9 Çemberde çılar...

Detaylı

MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ EĞTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI TEZLİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI

MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ EĞTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI TEZLİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI I.YARIYIL MATEMATİK VE FEN BİLİMLERİ EĞTİMİ ANABİLİM DALI MATEMATİK EĞİTİMİ BİLİM DALI TEZLİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI 3715055832012 Z Uzmanlık Alan Dersi 3715055702017 Z Bilimsel Araştırma Yöntemleri ve

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Ö.S.S. 1994. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 43. olduğuna göre a kaçtır? Ö.S.S. 1994 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 4.10 1. 4 10 +.10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 4 4 (40+ ).10 10 4 4 4 (98² 98²) 00.9.

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı

5.2. 5.2.1. Üçgenin Alanı. Neler Öğreneceğiz? Başlarken

5.2. 5.2.1. Üçgenin Alanı. Neler Öğreneceğiz? Başlarken ölüm 5. Üçgende lan Neler Öğreneceğiz? Üçgenin alanını veren bağıntılar ve üçgenin alanıyla ilgili uygulamaları nahtar Terimler 5... Üçgenin lanı aşlarken İnşaat sektöründe ustalar, çatı, duvar ya da zemini

Detaylı

2 Nisan 2011 Cumartesi,

2 Nisan 2011 Cumartesi, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 16. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2011 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 2 Nisan 2011 Cumartesi,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI. :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-I ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu :Kesikkapı Mah. Atatürk Cad.No.79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık

Detaylı

IX. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı

IX. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı IX. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı B 1. Bir su tankerinin tam doluyken toplam ağırlığı x ton; yarı yarıya doluyken toplam ağırlığı y ton ise, boş tankerin ağırlığı kaç tondur? a) 2x 2y b) 2y x

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik

Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik Viyana İmam Hatip Lisesi Öğrenci Seçme Sınavı - Matematik 1. Ünite: Geometriden Olasılığa 1. Bölüm: Yansıyan ve Dönen Şekiller, Fraktallar Yansıma, Öteleme, Dönme Fraktallar 2. Bölüm: Üslü Sayılar Tam

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması. PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJE ADI Düzensizlikten Düzene: Çeşitkenar Üçgen Üzerinde Eşkenar Üçgen Eslem Nur KELEŞOĞLU Muhammet Enes ÖRCÜN ÖZEL BAŞAKŞEHİR ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL,

Detaylı

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÜZLEM GEOMETRİDE TEMEL ELEMANLAR VE İSPAT BİÇİMLERI Temel Postulatlar İspatlanamayan ve ispatına gerek duyulmayan ancak doğru

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11 98 ÖSS. >0 olmak koşulu ile 2+, 3+, 4+ sayıları bir dik üçgenin kenar uzunluklarını göstermektedir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? A) 2 B) 2 9 C) 0 D) 5 E) 2a c 6. 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS NA) HAZIRLIK İÇİN Konu Anlatımlı Örnek Çözümlü Test Çözümlü Test Sorulu Karma Testli GEOMETRİ 1 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

TEMEL MATEMATİK TESTİ

TEMEL MATEMATİK TESTİ TEMEL MTEMTİK TESTİ 1. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 010 YGS / MT 1. 0, 0,0 0,. + 1 ) 1 7 0 ) 1 + 1 1.. ( a+ 1) ( a )

Detaylı

1. TEMEL ÇİZİMLER. Pergel Yardımıyla Dik Doğru Çizmek. 1. Doğru üzerindeki P noktası merkez olmak üzere çizilen yaylarla D ve G noktaları işaretlenir.

1. TEMEL ÇİZİMLER. Pergel Yardımıyla Dik Doğru Çizmek. 1. Doğru üzerindeki P noktası merkez olmak üzere çizilen yaylarla D ve G noktaları işaretlenir. 1. TEMEL ÇİZİMLER Pergel Yardımıyla ik oğru Çizmek 1. oğru üzerindeki P noktası merkez olmak üzere çizilen yaylarla ve G noktaları işaretlenir. 2. ve G merkez olmak üzere doğru dışında kesişecek şekilde

Detaylı

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Ünite 4 ÜÇNLR ŞLİ V NZRLİ ölüm 4.3. u ölümde Neler Öğreneceğiz? çıortay ve üçgenin açıortaylarının özelliklerini Üçgenin kenarortaylarının özelliklerini Orta dikme ve üçgenin kenar orta dikmelerinin özelliklerini

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

25 Nisan 2010 Pazar,

25 Nisan 2010 Pazar, TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 18. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2010 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 25 Nisan 2010 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK V BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK V BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI T.C. MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK V BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1 1. KURUMUN ADI : Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Yavruturna mah. Kavukçu sok.

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti.

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI. 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM Danışmanlık Turizm Hizmetleri Ticaret İth. İhr. Ltd. Şti. ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-V ÇERÇEVE PROGRAMI 1. KURUMUN ADI : Tercih Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA 3. KURUCUNUN ADI :ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106 1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı