Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve Öğretim Yılından
|
|
- Iskander Çavdarlı
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır.
2 u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0) 5 5 elgeç : (0) t k l r n dn do l TMZ (Tür ki e M te m tik Ö ret men le ri Züm re si) ö ret men lerine teflekkür ederiz. Grfik Tsr m izgi kstrem Y nc l k SI Özkn Mtbc l k Gzetecilik Sn. ve Tic. Ltd. fiti. Gülerüz Sni Sitesi 0. d. 58 Sk. No: 0-- vedik / NR Tel: (1)
3 i bir bfllng ç r r bflr demektir. ndre Gide ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Üniversite sınvlrınd bşrılı olmk, dilediğiniz fkültei kznmk; bilinçli hzırlnmnız, düzenli bir çlışm progrmı ugulmnız, ii bir ın seçmenize ve bu ınlr ışığınd derste öğretmeninizi ii dinlemenize bğlıdır eğitim - öğretim ılındn itibren ugulnm bşlnn YGS ve LYS ile üniversite sınvını kznmk, istenilen bir bölüme girmek oldukç zorlştı. "liteli eğitim, kliteli dokümn" felsefesile ol çıkn "kstrem Yınlrı" tüm brnşlrdki kitplrınd hücreleme sistemi ile konu lt bşlıklrınd fzl sıd er vererek öğrencinin konuu kvrmsını kollştırck nitelikte ınlr hzırldı. linizdeki "11. Sınıf Geometri" konu nlt ml kitb m z 11. sınıflrı kpsck şekilde hz rlnm flt r. u kitpt konulr görsel olrk kvrbilmeniz için fzl s d çözümlü örnek ve etkinliklere er verilmiştir. Pisdki di er kitplrdn bu önüle frkl l k rz eden konu nlt ml kitb m zl geometri sizler için s k c nitelik tfl n zor bir ders olmktn ç kckt r. Geometri konu nlt ml kitb m z n bşrılrınız ktkısının büük olcğı kntile tüm üniversite dlrın YGS ve LYS'de bşrılr diliorum. tk lr ndn dol değerli üstdım Murt Çelikk ve zümre öğretmenlerim; Zenep Çiğdem l, emet Peçetek, Selin orkmzlr, Gökhn Y lmz, öğrencilerim; Hsn emir, ez rdem, kstrem Y nlr dizgi biriminden irgül rslntfl ve vktinden çld m eflim tm flbilir'e teflekkür ediorum. Geometrinin eflif olu üns nd eif olu ir Gezinti iliorum. ell fi L R cell.isbilir@gmil.com
4 Ç N LR 1. ÖLÜM : ÖRTGNLR örtgenin Temel lemnlr ir örtgenin rt Tbn fl üke örtgen, ç üke örtgen örtgensel ölgenin ln Hesb ir örtgensel ölgenin ln n n Vektörel fdesi PI Teoremi. ÖLÜM : ÖZL ÖRTGNLR Ymuk Prlelkenr ikdörtgen flkenr örtgen re eltoid. ÖLÜM : ÇGNLR üzgün eflgen üzgün lt gen. ÖLÜM : ÇMR Çemberin Temel lemnlr Çemberin Vektörel enklemi Çemberin Genel enklemi Çemberin Prmetrik enklemi ir Çember le o runun irbirine Göre urumlr Çemberde ç enklemi Verilen ki Çemberin irbirine Göre onumlr Çemberde irifl ve esenler le lgili Özellikler ir Çemberin uvvet onksionu uvvet kseni Te etler örtgeni tlmüs Teoremi Çemberin Çevre Uzunlu u ve irenin ln nt lr 5. ÖLÜM : N LR ir oni in enklemi oni in kseni ve Tepe Noktlr oniklerin S n flnd r lms lips lipsin ksen Uzunluklr lipsin Prmetrik enklemi Merkezcil lmn lipsler Hiperbol Hiperbolün ksen Uzunluklr Hiperbolün fl Merkezli i ve o rultmnlr Hiperbolün simptotlr Prbol Prbolün o rultmn ve enklemi. T NL LR N VP NHTRLRI :... -
5 ÖRTGNLR ÜN T 1 ü ü ü ü ü ü örtgenin Temel lemnlr ir örtgenin rt Tbn fl üke örtgen, ç üke örtgen örtgensel ölgenin ln Hesb ir örtgensel ölgenin ln n n Vektörel fdesi PI Teoremi
6 ilinmeeni simgelemek için kulln ln hrfi nereden gelior? u hrfin kökeni rpç "fle" kelimesine dn or. h sonr spnolc çevrilen cebir knklr nd e olrk gözüken ifde olrk k slt ld ve cebirin bilinmeeni simgelemede kulln ln en popüler hrf hline geldi.
7 ÖRTGNLR Tn m : Herhngi üçü do rusl olmn dört nokt birlefltiren, dört do ru prçs ile oluflturuln kpl flekillere dörtgen denir. ÖRN 1 (, ) (1, 5) [] [] [] [] = dörtgeni (, ) (7, ) örtgenin Temel ve Yrdımcı lemnlr ir dörtgenin temel elemnlr ç lr, köfleler ve kenrlrd r. Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgeninin ort tbn uzunluklr n n toplm n bull m. iç ç d fl ç [] n n ort nokts d, n= d, n örtgenin rdımcı elemnlrı köşegen ve ort tbndır. ir örtgenin rt Tbn ir dörtgenin komflu olmn iki kenr n n ort noktlr n birlefltiren do ru prçs n ort tbn denir. [] n n ort nokts d, n= (, 0) + 7 [] n n ort nokts d, n= d, n [] n n ort nokts Ld, n= (,1) 1 = d n + ( + ) & = 5 br L = ( ) + (0 1) & L = 5 br dir. ol s l sonuç, ( ) birim dir. [] ort tbn 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7
8 ÖRTGNLR ÖRN flbüke örtgen (, 7) Tüm iç ç lr nın ölçüleri 180 den küçük oln dörtgene d flbüke dörtgen denir. (5, ) ( 5, ) (, ) Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgeninin ort tbnlr n n kesim nokts n n koordintlr n bull m. çbüke örtgen Herhngi bir iç ç s n n ölçüsü 180 den büük oln dörtgene iç büke dörtgen denir. ir dörtgende ort tbnlrın kesim noktsı, bir ort tbnın ort noktsıdır. hlde, [] n n ort nokts d, n= d1, n [] n n ort nokts d, n= d 1, n J 1 1 [] n n ort nokts, L ölece, _ 0, 1i bulunur. 9 5 N P NT : örtgen denilince d flbüke oldu u nlfl lckt r. HTIRLTM ir dörtgenin iç çılrının ölçüleri toplmı 0, dış çılrının ölçüleri toplmı 0 dir. dörtgeninde + α + β + θ = 0 ı + α ı + β ı + θ ı = 0 dir. α ı + θ ı = + β β ı + ı = α + θ 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8
9 ÖRTGNLR Teorem : UYRI ir dörtgeninde komşu iki çının çıort doğrulrının kesişmesi ile oluşn çının ölçüsü diğer iki çının ölçüleri toplmının rısın eşittir. Verilen teorem şğıdki şekildede ifde edilebilir. = / / m( ) + m() dir. Yukr dki teoremi prgrf ispt biçimini kullnrk isptll m. o = 180 / / m() + m() spt : ÖRN 1 dörtgen [] ç ort m() = ve m() = dielim. 80º [] ç ort m() = 1 m() = 80 üçgeninde, 1º + + α = À dörtgeninde, / / + + m() + m() = 0... Á un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. À. denklemde α = 180 zılbilir. u ifde Á. denklemde erine zılırs, m() = / / m() + m( ) olup, = / / m( ) + m() bulunur. o = o = 10 bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9
10 ÖRTGNLR ÖRN Teorem : dörtgen [] ç ort [] ç ort [] ç ort [] ç ort un göre, m() + m() toplm n bull m. ir dörtgeninde krşılıklı iki iç çının çıortlrı rsındki dr çının ölçüsü diğer iki çının ölçüleri frkının mutlk değerinin rısın eşittir. dörtgen [] çıort [] çıort / / m() m() = dir. m() = m() = / / m( + ) m() / / m( ) + m( ) Yukr dki teoremi prgrf ispt biçimini kullnrk isptll m. eflitlikleri trf trf topln rs, m() + m() = = 0 o = 180 bulunur. / / / / m() + m() + m() + m() spt : SNUÇ : + = 180º 180º dörtgeninde, / / + + m( ) + m( ) = 0... À dörtgeninde, + + m( / ) α = 0... Á + = 180º olup, À. ve Á. denklemlerden = / / m( ) m( ) bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 10
11 ÖRTGNLR ÖRN 1 108º 70º dörtgen [] ç ort [] ç ort m() = 108 m() = 70 15º T 70º 100º un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. dörtgeninde krfl l kl ve köflelerinin iç ç ortlr çizilirse, m(t) = o ölece, m() = 15 olup, o = 15 bulunur. m() = m() = 90 oldu undn, dörtgeninde iç ç lr toplm ndn, o m() = o o eflitli inden m() = 15 bulunur. m() = 19 olup İT! : ölece, m() = = 11 bulunur. = / / m() m( ) ÖRN 70º 100º = / / m() m( ) dörtgen, [] ç ort, [] ç ort m() = 100 ve m() = 70 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. RSTIRM flbüke dörtgenlerde kulln ln teoremlerin iç büke dörtgenlerde de kulln l p kulln lmc n rkdfllr n zl trt fl p, ö retmeninizle de erlendirin. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 11
12 ÖRTGNLR Teorem : Teorem : d b üçgen [H] [] + b = c + d c b dörtgen [] [] + c = b + d dir. H c d Yukr dki teoremi pisgor teoremini kullnrk isptll m. Yukr dki teoremi pisgor teoremini kullnrk isptll m. spt : spt : d H c b c b d Pisgor teoremi ile, + b = + c d + = + H nde H + = d H nde H + c = b b = + c d + = + + b = c + d elde edilir. b + d = + c bulunur. u teoremi "irbirine en uzk prçlrın uzunluklr n n kreleri toplmı eşittir." şeklinde klımızd tutbiliriz. Yukr dki teoremi : "irbirine en uzk prçlrın uzunluklr n n kreleri toplmı eşittir." şeklinde klımızd tutbiliriz. Şimdi bu özelliği köşegenleri dik kesişen dörtgen- lere (dikgen dörtgen) ugullım. ÿ 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
13 ÖRTGNLR şğıdki formüllerin birbirinden elde edildiklerini nlm çlışınız. d c b UYRI + b = c + d + b = c + d d c b ÖRN 1 5 H üçgen [H] [] = birim = 5 birim = birim un göre, = uzunluğunu bull m. f d c b + b = c + d e b + c + e = b + d + f d c d b c + b = c + d c b d + b = c + d nin [] n göre t nsımsı lınırs, H 5 ı dörtgeninde, + 5 = = 5 = 7 = birim bulunur. ebreleme cebr ile ilim köprüsünden geçemezsin, cebirsiz bir bkışl koc tşı bile seçemezsin. İhsn IR R d P c b Q PQ // RT + b = c + d T e b c d f + b + c + d = e + f ÖRN dik üçgen c d c c d 10 [] [] = {} = 10 birim = birim b + d = c + ( + b) b + d = c + ( + b) un göre, + toplmını bull m. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
14 ÖRTGNLR nin [] n göre dike nsımsını çizelim. Şimdide ı üçgenin [ ı ] n göre t nsımsını çizelim ÖRN nlitik düzlemde l 1 ve l doğrulrı üzerine kurulmuş dörtgeninde, un göre, uzunluğunu bull m. 1 = birim = 7 birim = 5 birim 10 l 1 doğrusu eksenleri ( 1, 0) ve (0, ) noktlrınd kestiğinden eğimi m l 1 = Ynsım dönüflümü uzunluklrı koruduğundn, =, = ı olur. l doğrusu eksenleri (1, 0) ve (0, ) noktlrınd kestiğinden eğimi m 1 = l bulunur. olısıl m l 1. m l = 1 olduğundn doğrulr dik kesişmektedir. hlde dörtgeni köşegenleri dik kesişen bir dörtgendir. Son durumd köşegenleri dik kesişen bir dörtgen elde edilir. ölece, "irbirine en uzk prçlrın uzunluklr - n n kreleri toplmı eşit olduğundn" + = = 11 br bulunur. 5 ölece, "irbirine en uzk prçlrın uzunluklr n n kreleri toplmı eşit olduğundn" + = eşitliği ile = 5 birim bulunur S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
15 ÖRTGNLR ÖRN c) 10. sınıftn = 1, olduğunu htırllım. öşe noktlrının koordintlrı, ü (, 1) ü ü (1, 9) (5, 1) ü (1, 5) olduğundn, dörtgeninin çevre uzunlu u : Ç() = olup, = = 1, Yukr d köşe koordintlr verilen dörtgen için, ) örtgenin özellikleri için ne söleebiliriz. b) enrlr it herbir doğru prçsının eğimini bullım. c) örtgensel bölgenin çevresini bullım. = = 1, = = 1, = = 1, = = (8, 8) & = + = 8 birim = = ( 7,) & = 9+ 9 = 58birim ) örtgeninin herbir iç çıs 180 den küçük olduğu için dışbüke dörtgendir. b) öşe noktlrının koordintlrı, ü ü ü ü (, 1) (1, 9) (5, 1) (1, 5) olduğundn, = = (, 7) & = = 5 birim = = (, ) & = = 5 birim hlde, Ç() = birim bulunur. 9 1 [] nın eğimi m = 1 = 1 RSTIRM 1 9 [] nın eğimi m = = [] nın eğimi m = = 5 1 [] nın eğimi m = = 1 çılrı birbirinden ve 90 den frklı oln bir dörtgenin kenrlrın it herbir doğru prçsının eğimleri çrpımı her zmn pozitif bir reel sı eşit midir cb? rkdşlrınızl trtışıp öğretmeninizle krr bğlınız. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 15
16 ÖRTGNLR ÖRN 5 ÖRN Yukr dki koordintlr verilen dörtgenin hngi köşesindeki çının ölçüsünün 90 olduğunu bullım. Yukr dki koordint sistemindeki dörtgenin kenr uzunluklr rs ndki b nt bullım. ğer bir köşedeki çı 90 ise dörtgenin köşesindeki doğru prçlrının dik olmsı ve dolısıld bu doğru prçlrını tşın vektörlerin skler çrpımlrının sıfır olmsı gerekir. dörtgeninin köşe koordintlrı, ü ü ü ü (, ) (, 0) (, ) (5, ) olup, = = ( 8, ) = = ( 9, ) = = (, ) = = (, ) _ b b b b b ` bulunur. b b b b b 1, = ( ). ( 8) +. ( ) = = 0 olduğundn, = olur. ölece dörtgenin köşesindeki çının ölçüsü 90 dir. dörtgeninin köşe koordintlrı, ü ü ü ü (, ) ( 5, ) (, 5) (8, 7) olup, ve köflegen vektörlerini bull m. _ = = ( 8, 8) b b ` bulunur. b = = ( 1, 1) b ölece, ve köflegen vektörleri rs ndki ç bull m. 1, = ( 8).( 1) = 0 olduğundn, = olur. hlde dörtgeni köflegenleri dik kesiflen dörtgendir. ölece, "irbirine en uzk prçlrın uzunluklr - n n kreleri toplmı eşit olduğundn" + = + b nt s vrd r. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
17 ÖRTGNLR tkinlik Zmn 1 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz º 100º 10º 10º m() =... m() = m() < 90º = + 10º 0º 0º = + 9 m() =... m() = = = 0 10º 10º 10º m() =... m() = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 17
18 ÖRTGNLR tkinlik Zmn fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz = {} = 19 br = br = 1 br = + m = + n =... = H [] [] = {H} = 10 br H = br H = br H [] // [] = 8 br H = br H = br =... = b + c = H b + d = 0 =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 18
19 ÖRTGNLR ÖRTGNSL ÖLGNİN LN HSI spt : Teorem : ışbüke bir dörtgensel bölgenin lnı köşegen uzunluklrı ile köşegenler rsındki çının sinüsünün çrpımının rısın eşittir. m m. sin H n. sin n H e e f dörtgen = e = f f = m + n dielim. () = 1. e. f. sinα [H] [] dikmesi ile H üçgeninde, H = n. sinα ve [H ı ] [] dikmesi ile H ı üçgeninde, spt 1 : H ı = m. sinα bulunur. hlde, m p n e = p + r f = m + n dielim. r () = () + () + () + () = 1. n. r. sinα + = 1. r. sinα(m + n) p. n. sinα +. p. m. sinα +. m. r. sinα 1. p. sinα(n + m) m. sin H e e n. sin H = 1 (p + r). (n + m). sinα 1 e. f. sinα bulunur. HTIRLTM () = () + () = m.sin.e n.sin.e + 1 =.e.sin.(m+ n) 1 c b () =. b. c. sinα f = m + n oldu undn, 1 =.e.f.sin bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 19
20 ÖRTGNLR ÖRN 1 10º dörtgen [] köşegen [] köşegen = 1 birim = 8 birim m() = 10 un göre, dörtgensel bölgesinin lnını bullım. () = 1... sin10 ÖRN dörtgen [] köşegen [] köşegen = 10 birim = 10 birim = 1 birim = birim = 8 birim un göre, dörtgensel bölgesinin lnını bullım. 1 = = br bulunur. H ÖRN 8 dörtgen eşkenr üçgen [] köşegen [] köşegen dörtgeninde [H] [] ile 8 10 dik üçgeni elde edilir. 8 hlde, sinα = = olup, 10 5 () = = 11 br bulunur. un göre, dörtgensel bölgesinin lnını bullım. Teorem : 0º 0º 0º eşkenr üçgen olduğundn, = birim = birim ve m() = 0 olur. 1 ölece, () = = 5 br bulunur. H G dörtgen,, G, H ort noktlr ise () (GH) = dir. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0
21 ÖRTGNLR spt : u durumd tüm flekiller gözönünde bulundurulurs, H G H G S S S S 1 [] köşegeni ile benzerlik orn oln HG ve üçgenleri elde edilir. hlde, (HG) 1 = olur. () () = + S = + + S = + olur. ölece, (GH) = () bulunur. n flekilde, ile benzerlik orn 1 oln benzer iki üçgendir. hlde, () () = 1 olur. 1. SNUÇ : fiimdi n ifllemleri nlrdn pl m. H S 1 G H G S S 5 S S [] köşegeni ile benzerlik orn 1 oln G ve üçgenleri elde edilir. hlde, (G) 1 = olur. () n flekilde, H ile benzerlik orn 1 oln benzer iki üçgendir. hlde, (H) 1 = olur. () pple pple pple dörtgeninde,, G, H ort noktlr ise S 1 + S = S + S olup, S 5 = S 1 + S + S + S ve ( ) (GH) = dir.. G dörtgeninde,, G, H ort noktlr ise ( ) (GH) = dir. H 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
22 ÖRTGNLR ÖRN 1 ir örtgensel ölgenin ln n n Vektörel fdesi G dörtgen,, G, H ort noktlr Teorem : H (HG) = br (G) = br () = br öflegen vektörleri e ve f oln bir dörtgensel bölgenin ln ; f un göre, GH beflgensel bölgesinin lnını bullım. e G = e, = f ise H () = e. f 1 e, f ile hespln r.,, G, H ort noktlr ise, spt : (H) + (G) = () + (HG) olup, (H) + = + (H) = 8 br bulunur. (GH) = = 0 br olur. ölece, (GH) = 8 br bulunur. e ve f bir dörtgenin köflegen vektörleri ve bu vektörler rs ndki ç α olsun. f e flbüke bir dörtgensel bölgenin ln, köflegen uzunluklr ile köflegenler rs ndki ç n n sinüsünün çrp m n n r s n eflit oldu undn, S = () = e. f.sin dir. Her iki n n kresi l n rs, (Mtemtik üns ergisi pple pple pple 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
23 ÖRTGNLR S = S = e. f.sin e. f.(1 cos ) ÖRN 1 S = e. f e. f.cos 1 e, f = e. f. cos oldu undn, 1 e, f = e. f. cos olup, S = e. f 1 e, f S = e. f 1 e, f bulunur. Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgenin köflegen uzunluklr n bullım. NT : Yukrdki teorem konkv bir dörtgen içinde geçerlidir. f e SNUÇ : ir dörtgensel bölgenin ln, köflegenleri üzerine kuruln prlelkenrsl bölgenin ln n n r s n eflittir. fiöleki; dörtgeninin köşe koordintlrı, ü ü (1, 5) (, 1) f e f S ü ü (, 5) (, ) olup, e = = = (1, ) e = 1 e, e = = 15 birim e f = = = (,10) f = 1 f, f = = 109 birim () = S = 1. e. f.sin bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
24 ÖRTGNLR ÖRN HTIRLTM 10. sınıftn = (, b) ve = (c, d) vektörleri üzerine kuruln üçgensel bölgenin lnının, () = bc d oldu unu htırllım. = (, b) = (c, d) Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgensel bölgenin lnını bullım. Prtik ilgi öşegen vektörleri, dörtgeninin köşe koordintlrı, ü (, ) ü (, 1) ü (, 5) e f e = (, b) f = (c,d) oln dörtgensel bölgesinin lnı ü ( 5, ) olup, köşegen vektörleri () = 1. bc d e = = = (5, 9) ile bulunbilir. f = = = ( 8, ) olur. dörtgensel bölgesinin lnı köşegenleri üzerine kuruln üçgensel bölgenin lnın eşit idi. ÖRN hlde, e = (5, 9) f = ( 8, ) Yukrıdki trlı ln dörtgensel bölgesinin lnın eşittir. Yni, () = 1. ( 8) = br bulunur. Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgensel bölgesinin lnını bullım. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
25 ÖRTGNLR dörtgeninin köşe koordintlrı, ü ü ü ü (1, ) (, 1) (, 5) (, ) olup, dörtgeninin köşegen vektörleri, e = = = (1,9) ir dörtgenin kenr ort noktlrının birleştirilme- si ile elde edilen dörtgen prlelkenrdır. H G ÿ f = = = ( 10,1) olup, () = 1. 9( 10) 1. 1 = 91 br bulunur.,, G, H ort noktlr ise GH prlelkenrdır. ÖRN ir dörtgenin kenr ort noktlrının birleştirilme- si ile elde edilen prlelkenrsl bölgenin çevresi dörtgenin köşegen uzunluklrı toplmın eşittir. ÿ H G Yukr d köflelerinin koordintlr verilen dörtgensel bölgenin lnını bullım.,, G, H ort noktlr ise, Ç(GH) = + dir. ÖRN 5 dörtgeninin köşe koordintlrı, ü ü ü ü (1, ) (, 1) (, ) (, 1) olup, dörtgeninin köşegen vektörleri, e = = = (1,8) H G dörtgen,, G, H ort noktlr HG = birim G = birim f = = = ( 10, ) olup, () = 1. 8( 10) 1. = 1 br bulunur. un göre, dörtgeninin köşegen uzunluklrı toplmını bullım. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
26 ÖRTGNLR ÖRN 7 Ç(GH) = + olduğundn, + = ( + ) = 1 birim bulunur. 8 9 dörtgen [] köfleen [] köflegen [] [] = {} () = br () = 9 br () = 8 br ÖRN G H 1 dörtgen,, G, H ort noktlr [H] çıort G = birim = 1 birim un göre, üçgensel bölgesinin ln n bullım. nde = ve 8 un göre, dörtgeninin köşegen uzunluklrı toplmını bullım. nde = 9 z lbilir. () 9 ölece, = eflitli inden 8 (). () = 8. 9 () = 1 br bulunur.,, G, H ort noktlr olduğundn, GH bir prlelkenrdır. G 1 H Prtik ilgi [H] // [G] olup, m(gh) = m(h) (iç ters çılr) olduğundn, HG = G = birim dir. S S S 1 S S S S 1 S ölece, dörtgeninde köşegen uzunluklrının toplmı, Ç(GH) = + = 1 birim bulunur. S 1. S = S. S S 1. S = S. S 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
27 ÖRTGNLR PI TRM ÖRN irim krelerden olufln bir düzlem düflünelim. u düzlem üzerinde krelerin köflelerini kullnrk herhngi bir çokgen oluflturdu umuzd bu çokgenin ln n bulmk uzun zmn lbilir. George Pick 1899 d bu hesb n kol bir olunu keflfetmifl ve d n "Pick Teoremi" demifl. Teorem flöle, S : Çokgenin s n rlr ndki nokt s s : Çokgenin içindeki nokt s s olmk üzere; S Çokgenin ln = + 1 fleklindedir. Yukr d birim kreler üzerinde kurulmufl çokgensel bölgenin ln n bull m. SNUÇ : S n rdki nokt s s ln = + ç bölgedeki nokt s s 1 S : Çokgenin s n rlr ndki nokt s s = 10 : Çokgenin içindeki nokt s s = 17 olup, Pick teoremine göre, Çokgensel bölgenin ln = = 1 br bulunur. ÖRN 1 ÖRN Yukr d birim kreler üzerinde kurulmufl çokgensel bölgenin ln n bull m. S : Çokgenin s n rlr ndki nokt s s = : Çokgenin içindeki nokt s s = 1 olup, Pick teoremine göre, Çokgensel bölgenin ln = = 15 br bulunur. Yukr d birim kreler üzerinde kurulmufl çokgensel bölgenin ln n bull m. S : Çokgenin s n rlr ndki nokt s s = 8 : Çokgenin içindeki nokt s s = olup, Pick teoremine göre, 8 Çokgensel bölgenin ln = + 1 = 7 br bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7
28 ÖRTGNLR tkinlik Zmn fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1.. H,, G, H ort noktlr = 1 birim = 1 birim 9br H,, G, H ort noktlr (H) = 9 br (G) = br G br G Ç(GH) =... (GH) =.... = 1 G = H,, G, H ort noktlr = 1 birim = 1 birim 1 : = : = 5. G H,, G, H ort noktlr Ç(GH) = 18 br G =... + =.....,, G, H ort noktlr H = 5 birim,, G, H ort noktlr (GH) = 15 br G GH = birim G 15 br H H + =... () = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8
29 ÖRTGNLR tkinlik Zmn fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. H G,, G, H ort noktlr = 10 birim Ç(GH) = br. 5br G 7br H 1br,, G, H ort noktlr (H) = 7 br () = 5 br (GH) = 1 br =... (G) = = 5. br 1 br br dörtgen () = br () = 1 br () = br () =... () = H,, G, H ort noktlr, = 0 G = 8 br GH = 7 br. 0º, ort noktlr = birim = 1 birim m() = 0º G () =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9
30 ÖRTGNLR tkinlik Zmn 5 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1.. H,, G, H ort noktlr () = 0 br (GH) = 9 br 9 br 1 br () = 9 br () = 1 br () = () G 9 br () =... () = G = = 0 H,, G, H ort noktlr = 1 birim = birim 1 : = : = 0 8 G 0º H 5,, G, H ort noktlr G = 8 br GH = 5 br m(hg) = 0º G =... () = br H,, G, H ort noktlr (H) = 9 br (G) = 8 br. 1 br 1 br () = 1 br () = 1 br () = br 8 br G br () =... () = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0
31 ÖRTGNLR tkinlik Zmn fl d köşelerinin koordintlrı verilen dörtgensel bölgelerin lnlrını hespllım. 1.. () =... br () =... br. 5. () =... br () =... br.. () =... br () =... br 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
32 ÖRTGNLR tkinlik Zmn 7 fl d verilen dörtgenlerin kenr ort noktlrının (,, G, H) birleştirilmesi ile elde edilen dörtgenin çevre uzunluğunu bullım. 1.. Ç(GH) =... birim Ç(GH) =... birim. 5. Ç(GH) =... birim Ç(GH) =... birim.. Ç(GH) =... birim Ç(GH) =... birim 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
33 ÖRTGNLR TST º dörtgen [] çıort [] çıort m() = m() = 10 un göre, çısının ölçüsü kç derecedir?. 5 5 G dörtgen [] köşegen [] köşegen [] [] = 5 birim = 5 birim G = birim G = birim = 5 5 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 ) 10 ) 11 ) ) 1 ) dörtgen [] köşegen [] köşegen = 5 birim = birim = 7 birim 5. G H dörtgen,, G, H ort noktlr () = 8 br (GH) = br Yukrıdki şekilde (). () = br olduğun göre, () kç br dir? ) ) ) ) ) un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 8 ) 5 ) 5 ) 5 ) 5. 0º bir dörtgen [] köşegen [] [] = birim = birim. 150º dörtgen [] köşegen [] köşegen = 10 birim = 1 birim m() = 150. = 10 br olduğun göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç birim kredir? un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 1 ) 5 ) 1 ) 7 ) 15 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
34 ÖRTGNLR TST 1 7. dörtgen [] köşegen 10. dörtgen [] köşegen [] köşegen [] [] = birim = birim = = G H [] köşegen,, G, H ort noktlr = 1 birim = 18 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 5 ) 10 ) 17 un göre, HG dörtgeninin çevresi kç birimdir? ) ) ) 8 ) 0 ) 8. dörtgen [] köşegen 11. dörtgen [] köşegen [] köşegen = = (, ) = (8, k) 8 [] köşegen [] [] = birim = 8 birim = birim un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 5 ) 0 ) 18 ) 17 ) 1 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 51 ) 5 ) 55 ) 57 ) dörtgen m() = m() m() = m() = 8 birim = birim un göre, () kç birim kredir? 1. S 1 S S dörtgen [] köşegen [] köşegen [] [] = {} S 1 = br S = 8 br S = 1 br un göre, üçgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 ) 11 ) 10 ) 9 ) 8 ) 7 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
35 ÖRTGNLR TST 1. üçgen. dörtgen dikdörtgen,, G ort noktlr,, doğrusl = 8 birim = birim = birim G (, ) (, 1) G(5, ) un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 5 ) 1 ) 10 ) ) 10 un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 18 ) 0 ) 1 ) ). 5 dörtgen [] ve [] köşegen H = G G = G H = H = 10 = 10 birim = 5 birim un göre, Ç(GH) kç birimdir? 5. dörtgen [] köşegen [] köşegen = = birim Şekildeki dörtgensel bölgesinin lnı en büük değerini ldığınd, uzunluğu kç birim olur? ) 15 ) 1 ) 1 ) 1 ) 11 ) 10 ) 9 ) 8 ) 7 ). öflegen vektörleri e = (1, ) ve f = (10, ) oln bir dörtgensel bölgenin ln kç br dir? ) 10 ) 1 ) 1 ) 1 ) 18. dörtgen = birim = birim = birim m() = m() m() = m() m() = m() un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 1 5 ) 1 5 ) 11 5 ) 11 7 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
36 ÖRTGNLR TST 7. ir dörtgenin rdışık üç kenrının ort noktlrı sırsıl, ( 1, 5), (, ), G(, ) tür. un göre, dördüncü kenrın ort noktsının koordintlrı nedir? ) (, ) ) (, ) ) ( 1, ) ) (1, ) ) (1, ) 10. öşegen vektörleri dik kesişen ve köşegenleri toplmı 1 birim oln bir dörtgeninin kenr ort noktlrı birleştirilerek LMN dörtgeni elde edilior. un göre, LMN dörtgeni için, I. LMN bir prlelkenrdır. II. Ç(LMN) = 1 birimdir. III. (LMN) = 8 birim kredir. IV. LMN bir dikdörtgendir. rgılrındn hngileri sölenemez? ) Ylnız III ) I, II ve V ) I, III ve IV ) III, IV ve V ) III ve IV R de dörtgen (0, 5) (1, 0) = 1 birim = 15 birim " " [] // [] = birim = birim = 5 birim un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 1 ) 11 ) 10 ) 9 ) 8 un göre, dörtgensel bölgenin lnı kç br dir? ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 ) 9. 70º dörtgen [] ve [] çıort m() = 70 m() m() = 0 1. N M dörtgen, M ve N noktlrı bulunduklrı kenrlrın ort noktlrı N = (, ) NM = ( 1,5) un göre, çısının ölçüsü kç derecedir? ) 70 ) 75 ) 80 ) 90 ) 95 un göre, dörtgensel bölgesinin lnı kç br dir? ) 8 ) ) ) ) 0 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
37 ÖZL ÖRTGNLR ÜN T ü ü ü ü ü ü Ymuk Prlelkenr ikdörtgen flkenr örtgen re eltoid
38 "ündki en msum u rfl mtemtiktir." (G.H. HRY)
39 YMU YMU enrlr ndn ln z ikisi prlel oln dörtgene muk denir. Ymu un Tbnlr Ymu un prlel kenrlr n tbnlr denir. [] ve [] mu un tbnlr Ymu un Yn enrlrı (klr ) Ymu un prlel olmn kenrlr n n kenrlr (klr) denir. [] ve [] mu un n kenrlrı Ymu un rt Tbn ir mukt prlel olmn kenrlr n ort noktlr n birlefltiren do ru prçs n ort tbn denir. [] ort tbn = + ile bulunur. ÿ rt tbn muğun tbnlrın prleldir. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9
40 YMU ÖRN = = 1 birim = birim = 8 birim un göre, uzunlu unu bull m. 70º 70º 10º 0º 10º [] e prlel olck flekilde [] çizilir ve prlelkenr oluflturulur. ol s l m() = 10 ve = olur ikizkenr üçgeninde m() = 70 bulunur. 1 [] ort tbn çizilirse, = 1 + = 10 birim olur dik üçgeninden = birim dir. ol s l = 1 birim bulunur. Ymukt ç ir mukt bir n kenrl tbnlr n oluflturdu- u iç ç lr n ölçüleri toplm 180 dir. ÖRN 55º muk [] [] = = m() = 55 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. α + β = = º 70º 55º 0º 5º 5º 55º [] çizilirse, ikizkenr üçgeni elde edilir. ÖRN 1 10º muk = + ol s l, m() = 70 ve [] // [] m() = 10 oldu undn m() = 70 bulunur. un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. ikizkenr üçgen oldu undn, m() = 0 olur ve m() = 75 bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0
41 YMU Teorem : ir mukt ort tbn n köflegenler rs nd kln prçs n n uzunlu u tbn uzunluklrı frkının r s n eflittir. À. ve Á. eflitliklerden = L olur. L = ( + ) L muk L = ile bulunur. Yukr dki teoremi tles teoremini kullnrk isptll m. L = L = L = + + bulunur. ÖRN spt : muk L L 8 [] köşegen [] köşegen [] ort tbn = 8 birim = birim un göre, L uzunluğunu bull m. üçgeninde tles teoremi ile 1 L = eflitli inden, L = & = L... À üçgeninde tles teoremi ile, 1 = eflitli inden, = & =... Á pple pple pple 1. Yol : L = L =. Yol : 8 eşitliğinden, L = 1 birim bulunur. L 8,, üçgenlerinde Tles teoremi z l rs L = 1 birim bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
42 YMU ÿ ir mukt bir n kenrın tbnlrl ptığı çılrın çıort doğrulrı ort tbn üzerinde d uznt s n dik olrk kesişir. ÖRN 5 muk [] // [] [] ç ort [] ç ort = 1 birim un göre, uzunluğunu bull m. ÖRN 1 muk [], [], [], [] ç ort = 1 birim = birim = birim = birim [] ve [] ç ortlr n n kesim nokts ort tbn üzerindedir. un göre, uzunluğunu bull m. 1 L hlde, [] ort tbn çizilirse, = ve = olur. u durumd, = 1 = 8 birim bulunur. do rusu mu un ort tbn üzerinde olup, 1 + L = = 9 birim bulunur. ölece, = 9 ( + ) = birim olur. Prtik ilgi c d b muk + c b d = Prtik ilgi c muk ise = + c ve = dır. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
43 YMU ÖRN 10 muk [] ç ort [] ç ort = = 10 birim = birim = birim un göre, uzunluğunu bull m. kizkenr Ymuk Prlel olmn kenrlr eflit uzunlukt oln mu ikizkenr muk denir. = ise ikizkenr muktur. [] ve [] çıortlrı ort tbn üzerinde dik olrk kesiflir. ir ikizkenr mukt tbn ç lr n ölçüleri eflit- tir. ÿ 10 [] ort tbn olup, = = = birim olur. ort tbn uzunluğu, 10 + = = 8 birim olduğundn, = 8 = birim bulunur. ÿ ir ikizkenr mukt köflegen uzunluklr eflittir. ikizkenr muk = ir ikizkenr mukt köflegenler mu un si- metri ekseni üzerinde kesiflir. ÿ Simetri (ns m) ekseni (Mtemtik üns ergisi 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
44 YMU ÖRN 1 5º ikizkenr muk,,, do rusl m() = 5 1. Yol : köflesinden [] tbn n dikme inilirse, 15º m() = 15 = = un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 80º 5º 15º 0º 0º H ve H üçgenlerinin efl oldu u görülür. hlde, = H = dielim. u durumd, H = = olsun. ölece muksl bölgenin ln, () = + + d n = br bulunur. 15º 15º ikizkenr muk oldu undn,. Yol : = = dir. Yni, ikizkenr üçgen olur. m() = m() = 15 ve H m() = 80 bulunur. [] // [] oldu undn, m() = m() = 5 ve m() = 0 bulunur. [] olck flekilde seçelim. ölece, ile H üçgenleri efl olup, () = (H) diebiliriz. hlde, () = (H) dir. Yni mu un ln H dikdörtgeninin ln n eflittir. ÖRN Prtik ilgi H ikizkenr muk H = birim H = birim [H] [] ir ikizkenr muğund, [H] [] H = H = ise () =. un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. H 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
45 YMU ÖRN ÖRN 15º 8 ikizkenr muk = 8 birim m() = 15 8 ikizkenr muk [] [] = birim = 8 birim un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. kizkenr mukt köflegen uzunluklr eflittir. hlde, [] köflegeni çizilirse, 0º kizkenr mukt köflegenler flekli simetrik olrk böler. hlde, = ve = diebiliriz. 15º 15º = = 8 birim ve m() = m() = 15 olup, m() = 0 dir. ölece, dörtgeni köflegen uzunluklr ve köflegenler rs ndki ç s bilinen bir dörtgen olup, nokts ndn mu un prlel kenrlrın dikmeler indirilirse, = birim bulunur. ölece, () = 8 + d n. = br bulunur. () = sin0 = 1 br bulunur. Prtik ilgi Prtik ilgi ir ikizkenr mukt köflegenler dik kesiflirse ükseklik, ort tbn uzunlu un eflit olup, mu un ln üksekli in kresine eflittir. c e h () = 1. e. sinα dir. h = + c ve () = h 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
46 YMU ÖRN 5 ÖRN ikizkenr muk = 5 birim = 5 birim = 7 birim = birim ikizkenr muk [] [] = birim = 8 birim = birim 8 un göre, uzunlu unu bull m. un göre, uzunluğunu bull m. ve köflelerinden [] tbn n dikmeler indirilirse, ve köşelerinden [] tbnın dikmeler indirilirse, ve üçgenlerinin efl oldu u görülür. H hlde, nde pisgor b nt s ile = 5 = 1 birim olup, nde pisgor b nt s ile H ve üçgenlerinin eş olduğu görülür. hlde, = H = birim olup, = + = birim bulunur. = 5 + ( 1) = birim bulunur. Prtik ilgi ir ikizkenr mukt krfl l kl kenrlr n çrp m n n toplm bir köflegen uzunlu unun kresine eflittir. Yni, b e c e = c + b b Prtik ilgi ir ikizkenr muğund, d c b [] [] = = b = c = d ise + c = b + d 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
47 YMU Ö Z T ÖRN 7 h h H H H H 9 muk = 9 birim = birim = 8 birim = 7 birim Yukr d tslk çizimi p ln mu un çizilip çizilemeece ini inceleelim. c h h = c [] // [] olck flekilde seçelim. H 9 H = birim H = birim () =. ölece, = = 7 birim olup, H () = ( + z). h nde kenr uzunluklr üçgen eflitsizli ini s lmd ndn böle bir muk çizilemez. h () = (t + ). h + z = + t Prtik ilgi z H t öflegen uzunluklr e ve f, prlel oln kenr uzunluklr ve c oln bir mu un çizilebilmesi için, c c h = + c ve f e h () = h H e f < + c < e + f olml d r. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7
48 YMU tkinlik Zmn 8 Tslk çizimleri p ln muklr n çizilip çizilemeece ini belirtiniz muk 5. muk = birim = birim = 5 birim 10 8 Çizilebilir Çizilemez Çizilebilir Çizilemez. muk. muk 8 7 = 9 9 Çizilebilir Çizilemez Çizilebilir Çizilemez. muk 7. 5 muk = 8 birim = 15 birim 10 1 Çizilebilir Çizilemez Çizilebilir Çizilemez. muk 8. muk [] [] 7 H 9 7 Çizilebilir Çizilemez Çizilebilir Çizilemez 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8
49 YMU ik Ymuk ÖRN Yn kenrlrındn biri tbnlrın dik oln muğ dik muk denir. 5 7 dik muk [] çıort = birim = 7 birim = 5 birim un göre, uzunluğunu bull m. 5 7 ÖRN 1 H 7 Şekilde H dikdörtgeni oluşturulurs, 5 dik muk = 7 birim = 5 birim = birim H = birim ve H = birim olup. H dik üçgeninde, pisgor teoremi ile, H + = 7 H = birim bulunur. ölece, H dik üçgeninde pisgor teoremi ile 7 = ( ) + = birim bulunur. un göre, çısının ölçüsünü bull m. 5º 5 5 5º H 5 muğund, [H] [] dikmesi ile H dikdörtgeni ve H dik üçgeni elde edilir. ölece, H = H olduğundn, m() = 5 bulunur. ÖRN 9 dik muk = 9 birim = birim = birim un göre, mu un köflegenleri rs ndki ç n n ölçüsünü bull m. = (9, ) = (, ) olur. 1, = 9( ) +. = 0 oldu undn, = olup, rnn ç 90 dir. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9
50 YMU Teorem : spt : öşegenleri dik kesişen bir dik mukt ükseklik (h) ile tbn uzunluklrı ( ve c) rsınd h =. c bğıntısı vrdır. c h c c h [] [] ise h =. c Yukr dki teoremi prgrf ispt biçimini kullnrk isptll m. [] // [] olck şekilde llım. hlde, prlelkenrınd, [] // [] olduğundn, [] [] olup, dik üçgeninde öklid bğıntısı ile, h =. c bulunur. h spt 1 : c c spt : h c h üçgeni ile üçgenlerinde çılr nı olduğundn bu üçgenler benzerdir. Yni, ~ olup. (..) dik muğund, vektörü ile vektörü dik iki vektör olup, = eflitli inden 1, = 0 d r. = (c, h) ( noktsı koordint bşlngıcı olsun.) h c = & h =.c bulunur. h = (, h) ( noktsı koordint bşlngıcı olsun.) 1, = c h = 0 olup. h =. c bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 50
51 YMU ÖRN ÖRN 5 = dik muk [] [] = 8 birim = birim = 0 8 un göre, uzunluğunu bull m. Yukr d l 1, l ve eksenler üzerine kuruln mu unun köflesinin koordintlr toplm n bull m. ml 1 =, ml = 1 ve m l 1. ml = 1 oldu undn, l 1 l dir. + 8 = 0 do rusund = 0 için = ve 8 dik muğund köşegenler dik olduğundn, = 8. = birim bulunur. = 0 için = 8 olup, = birim ve = 8 birim bulunur. 8 ik mukt köflegenler dik kesiflti inden, = 8. = birim bulunur. ÖRN 9 dikdörtgen [] [] = 9 birim = birim un göre, uzunluğunu bull m. ol s l köflesinin koordintlr, 9 (, ) bulunur. ölece, köflesinin koordintlr toplm + = d r. köflegenleri dik kesiflen, dik muk oldu- undn, = 9. = birim bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 51
52 YMU Teorem : ÖRN 7 ir mukt prlel oln kenr uzunluklrı ve c olmk üzere, köşelerin kesim noktsındn tbnlr prlel olrk çizilen doğru prçsının uzunluğu c + c ile bulunur. c muk [] // [] ise = ve = c dir. + c 1 muk [] köşegen [] köşegen [] // [] = 1 birim = birim un göre, uzunluğunu bull m. Yukr dki teoremi tles teoremini kullnrk isptll m. = = birim bulunur. spt : c Teorem : ve benzer üçgenlerinde, c = = ck k ir muğunu prlel oln kenr uzunluklrı, c ve = h ise üçgeninde tles teoremi ile, = eşitliğinden, c.k = zılbilir. ck + k c = c.h + c.h = + c.c = + c.c ve nı mntıkl = + c olup, = + =. c + c bulunur. Yukr dki teoremi tles teoremini kullnrk isptll m. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
53 YMU spt : Teorem : ck Pozitif iki reel s n n ritmetik ortlms hrmonik ortlms ndn büük d eflittir. k Yni;, c pozitif reel s ise, + c $. c + c dir. ile üçgenleri benzer olup benzer iki üçgende ükseklikler orn benzerlik orn n eflit oldu undn, c ck = = zılbilir. k h = ck + k = h oldu undn, k = olup. + c = ck = c.h = k =.h bulunur. + c + c spt : < olck flekilde mu u çizelim. c L ÖRN 8 muk = 5 birim = birim = 1 birim [] ort tbn olup, = + c ve c L = + c dir. > L oldu undn, un göre, uzunluğunu bull m. 5 = 5 olup, + 5 = 1 birim + c c > bulunur. + c flitlik durumu ise = c olms ile mümkündür. Yni, dörtgeninin, ü prlelkenr ü dikdörtgen ü kre ü eflkenr dörtgen olms ile mümkündür. Çünkü bu durumd, L ile çk fl k (n ) iki do ru olur. = birim ve = 5 = 10birimbulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
54 YMU Ymuksl ölgenin ln ÖRN 1 Teorem : ir muksl bölgenin ln prlel oln kenrlr n uzunluklr toplm n n r s ile üksekli in çrp m n eflittir º muk m() = 0 = 10 birim = 8 birim = 5 birim c un göre, muksl bölgesinin lnını bull m. h 5 + c () = d n.h = (ort tbn). h H 0º 8 0º H 10 [H] [] dikmesi çizilirse, spt : H, 0, 0, 90 üçgeninde, H = birim olup, c Ymuksl bölgenin lnı, h h () = d n. 0 br bulunur. H muğund [] köşegeni çizilirse, ükseklikleri eşit ve üçgenleri elde edilir. () = () + () zılbilir. = h. h.c + + c = d n.h bulunur. (Mtemtik üns ergisi 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
55 YMU ÖRN ÖRN ir hız zmn grfiğnde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln bölgenin lnı cismin erdeğiştirmesini verir. İvme zmn grfiklerinde grfik prçlrı ile zmn ekseni rsınd kln bölge cismin hız değişimini verir. H z (m/s) 1 vme (m/s) 0 8 Zmn (s) 0 1 Zmn (s) un göre, ukrıd grfiği verilen hreketlinin er değiştirmesinin kç metre oldu unu bull m. un göre, 0 snie zmn rlığınd cismin hızın n kç m/s oldu unu bull m. vme (m/s) H z (m/s) Zmn (s) 0 bölgesinin ln = 8 Zmn (s) =. = br bölgesinin ln = (1 + ).1 1 = = br 1 bölgesinin ln = =. 1 = br bölgesinin ln = = 1 bölgesinin ln = ( + ).1 = br =. = 1 br bölgesinin ln = 1 1 =.1 = 1 br Toplm ln, + + = = 5 br bulunur. ol s l, hreketli 5 m ol lm flt r. Toplm ln, + + = = 9 br bulunur. ol s l, cismin h z 9 m/s dir 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 55
56 YMU ir Ymuksl ölgenin lnının Prçlnmsı ÖRN S S 8 H muk [H] [] H = 8 birim = 5 birim ÿ muk ise, () = () (,,, ükseklikleri eşit oln üçgenler) un göre, muksl bölgesinin lnını bull m. nokts ve noktlr ile birlefltirilirse, Teorem : H S L M S muk [] köflegen [] köflegen () = M () = L () = S 8 lufln üçgensel bölgesinin ln muksl bölgesinin ln n n r s n eflit olup, ÿ muk ise; S = L. M dir. () = S () = ölece, 8.5 = 0 br () = 0. = 0 br bulunur. spt : üçgeninde, = S M ve üçgeninde, = L S olup. u iki eflitlik birlikte düflünülürse, S M L = eflitli inden S = L. M bulunur. S 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
57 YMU Teorem : ÖRN 5 1 l 1 l = {} (0, ) (, 0) (5,0) () = () ÿ muk, = ise () = spt : () un göre, nokts n n ordint n bull m. [] ile [] çizildi inde, () = () oldu undn, dörtgeni bir muk olup, [] // [] dir. 1 hlde, prlel doğrulrın eğimi eşit olduğundn, m = m z lbilir. (0, k) dielim. 0 k 0 m =, m = ise [] // [] olck flkilde,,, do rusl n çizelim. k = eflitli inden, k = 5 10 bulunur. ölece, ve nin efl oldu u görülür. ölece, Prtik ilgi () = () z lbilir. hlde, () = () olup, () () () = = bulunur. b S S c d () = () ise b c = dir. d 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 57
58 YMU ÖRN ÖRN 7 5 muk [] // [] = 5 birim = birim = birim muk = 5 () = 15 br un göre, dörtgensel bölgesinin ln n bull m. un göre, muksl bölgesinin ln - n bull m. mu und, [] köflegenini çizelim. 5 9 k k 5 ölece, [] // [] oldu undn, () = () = diebiliriz. hlde, () = () oldu u görülür..7 u durumd, () = () = () = 1 br bulunur. [] // [] oldu undn, () = d n ise () 9 = 5 5 () () () = 9, () = 5 bulunur. Teorem : () () = 5 oldu undn, H () = 15 bulunur. G () = () oldu undn, () = bulunur. () = 15 ni, 15 = 15 ise, ÿ muk, (GH) = () = 1 ve () = br bulunur. spt : örtgenler bölümünde pıldı. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 58
59 YMU ÖRN 8 ÖRN 9 muk = = = birim = 10 birim muk = birim = 8 birim + = 10 birim 10 () un göre, () orn n bull m. un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. h h [] ort tbn oldu undn üksekli i ortlr. = 10 + = 8 birim bulunur. hlde, () = () Prtik ilgi (8 + ). h (10 + ). h = 7 1 dir. 10 [] e prlel olck flekilde [] çizilirse, prlelkenr bulunur. _ = birim b b b = 8 birim ` bulunur. b b = 10 birim b () = () oldu undn, c S 1 b S [] // [] // [] ise S 1 b c = S b () = () dir. ol s l, () =.8 = br bulunur. S 1 = S ise b = c + olur ki un d " ile c nin kresel ortlmsı b dir" denir. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 59
60 YMU ÖRN 10 ÖRN muk = 1 birim = 10 birim = 5 birim = 15 birim H 7 muk [H] [] [] // [] = = 7 birim H = birim un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. un göre, muksl bölgesinin ln n bull m H [] n [] n prlel olck şekilde çizersek prlelkenr ve ikizkenr üçgeni elde edilir nde [H] üksekli i çizilirse, H = H = birim 8 H H = oldu undn, mu unun üksekli i, = 8 birim bulunur. () = rt tbn. h oldu undn, () = 7. 8 = 5 br bulunur. H = 8 birim () = 1. 8 Yni, () = 8 br bulunur. () () = oldu undn, () = br ve () = br bulunur. ol s l, () = 9 br bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 0
61 YMU ÖRN 1 Prtik ilgi muk = = () = br b d c S 1 S S muk S 1 = c. ds S =. bs S 1 + S + S = ( + d). (b + c)s Örnek 1: un göre, muksl bölgesinin ln n bull m. S k m S 1 S S m S 5S muk S 1 = m. k = S S = m. 8k = S S 1 + S + S = 11k. 5m = 55S 8k k t t Örnek : S n S 1 n 15S S n S S muk S 1 =. n = S S = n. 5 = 15S S 1 + S + S = 7. n = S () = () = _ + k. t k (k + k). t i.. Yni, () = 11 br bulunur. () 1 = 5 ir örtgensel ölgenin ğırlık Merkezi ir dörtgensel bölgenin köşegenlerinin medn getirdiği dört üçgenin ğırlık merkezlerinin oluşturduğu dörtgenin köşegenlerinin kesiştiği nokt dörtgensel bölgenin ğırlık merkezi denir. Prtik ilgi G G S d S 1 c G G G 1 S b muk S 1 = c. d. S S =. b. S S 1 + S + S = ( + d). (b + c). S G 1 : () nin ğırlık merkezi G : () nin ğırlık merkezi G : () nin ğırlık merkezi G : () nin ğırlık merkezi ise G : dörtgensel bölgesinin ğırlık merkezidir. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 1
62 YMU tkinlik Zmn 9 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz º muk 5. m muk n m() =... m n =.... muk. 1º muk 7º m() =... m() = muk = 1 birim 7. 10º muk, = 0 =... m() = º muk [] // [] 8. 10º muk =... m() = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
63 YMU tkinlik Zmn 10 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. muk 5. dik muk = (, 7) = ( 8, 7) =... m() = muk. 8 muk 5 [] // [] // [] 15 =... =.... H 10º muk 7. 1 H muk H =... H = dik muk 8. 1 H 1 muk =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
64 YMU tkinlik Zmn 11 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. muk 5. muk =... = muk. muk [] [] = {} L 1 10 =... L = muk [] // [] // [] 7. L muk [] ort tbn + =... + = muk [] // [] // [] 8. muk =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
65 YMU tkinlik Zmn 1 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. muk [] // [] // [] = 5. 9 muk [] // [] // [] = (, n) n =... d... =.... muk [] // []. 5 muk [] // [] // [L] // [] 1 = L = L = L 1 1 =... L = muk ile lineer b ml = muk [] // [] // [] 15 =... = muk [] // [] // [] + = 1 br muk [] // [] // [] = 1 =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 5
66 YMU tkinlik Zmn 1 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. muk [] [] = {} [] // [] // [] 5. S S 1 muk [] [] = {} [] // [] // [] 1 7 =... S 1 S =.... muk [] [] = {} = birim. c muk [] [] = {} [] // [] // [] 8 =.... c =... + c. muk [] [] = {} = 9 birim 7. muk [] [] = {} [] // [] // [] = = 8 birim =... + =.... muk [] // [] // [] = 8. b muk [] [] = {} [] // [] // [] b = 1 8 =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
67 YMU tkinlik Zmn 1 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. ikizkenr muk 5. ikizkenr muk =... =.... ikizkenr muk. ikizkenr muk nün üzerindeki izdüflüm uzunlu u birimdir. 9 8 H =... =.... ikizkenr muk 7. ikizkenr muk H = 7 birim 8 H 7 H 7 () =... () =.... ikizkenr muk = 8. 8 ikizkenr muk 15º =... () = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7
68 YMU tkinlik Zmn 15 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. ikizkenr muk = (, ) 5. 5º ikizkenr muk = birim = birim,5º () =... () =.... ikizkenr muk = birim. ikizkenr muk = 10 birim 5 () =... =.... ikizkenr muk 7. 10º ikizkenr muk 5 H = 7 birim H 7 =... =.... ikizkenr muk 8. ikizkenr muk = 15 9 m() =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8
69 YMU tkinlik Zmn 1 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz ikizkenr muk 5. ikizkenr muk 0º 1 () =... =.... ikizkenr muk. ikizkenr muk, = 0 + = 1 br 5º () =... Ymu un üksekli i =.... 1º ikizkenr muk m() = m() 7. 70º ikizkenr muk 5º m() =... m() =.... ikizkenr muk 8. ikizkenr muk = = 8 =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 9
70 YMU tkinlik Zmn 17 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. dik muk 5. dik muk, = 0 =... =.... dik muk. dik muk = =... =.... dik muk 7. dik muk 8 =... =.... dik muk = 8. dik muk =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 70
71 YMU tkinlik Zmn 18 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz dik muk 5. dik muk H 9 m() =... () =.... dik muk. 1 dik muk 8 5 H 7 =... =.... dik muk 7. 8 dik muk = 8 birim = birim 75º + =... () =.... dik muk,, do rusl = = dik muk [] ç ort = 8 m() =... = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 71
72 YMU tkinlik Zmn 19 fl d flekiller lt nd istenen ölçümleri bulunuz. 1. S 1 muk = = 5. S S 1 muk = = = 5 S S S 1 S =... S 1 + S S =.... S 1 S muk = = 5. S 1 S muk 8 = = = S 1 S =... S 1 S =.... S 1 S muk = = = 7. S 1 S muk = T = 5 T = T S T S 1 S =... S 1 + S S =.... S 1 muk = 8. S muk = T = T = T S S 1 T S 1 S =... S 1 S = S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 7
73 YMU TST º 1 muk = birim = 1 birim = 8 birim m() = 10. H 8 dik muk [H] [] H = H = 8 birim = birim un göre, () kç birim kredir? ) 99 ) 98 ) 88 ) 77 ) un göre, () kç birim kredir? ) ) ) 0 ) 5 ) 5. 5 muk m() = m() = birim = 5 birim = 11 birim dik muk 1, = 0 = birim = 10 birim 11 un göre, Ç() kç birimdir? ) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 un göre, () kç birim kredir? ) 1 ) 18 ) 0 ) ). (, ) muk [] [] = (, ). 0º 5º muk = birim m() = 0 m() = 5 un göre, () kç br dir? ) 0 ) 19 ) 18 ) 17 ) 1 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 7 ) ) 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
74 YMU TST 1 7. muk [] köşegen [] köşegen = 5 () = 15 br 10. muk [] köşegen L G [] köşegen [G] ort tbn = birim 7 = 7 birim un göre, () kç birim kredir? ) 5 ) ) 7 ) 80 ) 18 un göre, L uzunluğu kç birimdir? ) 1 ) ) ) ) 5 8. muk [] köşegen [] köşegen = () = 5 br () = 10 br muk [] // [] // [] = = = 1 birim un göre, () kç birim kredir? ) 5 ) 0 ) 5 ) 0 ) 5 un göre, uzunluğu kç birimdir? 1 ) ) 11 ) 11 7 ) 11 8 ) º 5 10º 9 muk = 5 birim = 9 birim m() = 5 m() = muk [] [] 5 = = birim m() = m() un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 18 ) 17 ) 1 ) 15 ) 1 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) ) 5 ) ) 7 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
75 YMU TST muk [] // [] [] ve [] ç ort = 10 birim = 5 birim = 7 birim. 9 muk [] // [] = = birim = 9 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 1 ) ) ) 5 ) un göre, uzunluğu kç birimdir? 1 ) 8 ) 7 ) ) ) muk = 1 birim 10 = 5 birim = 10 birim = 15 birim muk [] köşegen [] köşegen [] // [] = birim = birim un göre, () kç birim kredir? ) ) 7 ) 78 ) 8 ) 9 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 15 ) 1. muğund köşegenler birbirine diktir = 1 birim = 0 birim. muk üçgen 5 = () = 9 br un göre, + toplmı kç birimdir? ) 1 ) 1 5 ) 1 ) 9 ) 17 un göre, () kç birim kredir? ) 1 ) 15 ) 18 ) ) 5 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
76 YMU TST muk [] köşegen [] köşegen [] // [] = 5 birim = 9 birim muk [] ç ort = = 9 birim = 5 birim + toplmının en küçük tmsı değeri kçtır? ) 0 ) 18 ) 1 ) 15 ) 1 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 8 ) 9 ) 1 ) º 75º muk = 5 birim = 5 birim m() = 10 m() = ikizkenr muk [] [] = = 1 birim = 7 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 5 ) ) ) 1 un göre, () kç birim kredir? ) ) 8 ) ) 7 ) muk [] [] 10 = = 18 birim = 10 birim 18 = 8 birim un göre, uzunluğu kç birimdir? ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) muk = = = birim = 10 birim un göre, () ornı kç eşittir? () ) 1 ) 1 ) 1 5 ) 1 7 ) S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
77 YMU TST 1. muk [] köşegen [] // [] = () = 7 br. muk [] [] = {} [] ort tbn = 8 birim = 10 birim un göre, () kç birim kredir? ) 7 ) 70 ) ) ) 0 un göre, nin en büük tmsı değeri kçtır? ) 8 ) 7 ) ) 5 ). 5 1 muk = 5 birim = birim = 1 birim 5. (0, ) muk [] [] l : = 0 m() + m() = 90 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 19 ) 17 ) 15 ) 11 un göre, uzunluğu kç birimdir? ) ) 7 ) 10 ) 1 ) 1. ikizkenr muk = : + =. 7 muk = birim = birim = birim = 7 birim un göre, () kç br dir? ) ) 0 ) ) ) 8 un göre, mu un üksekli i kç birimdir? ) 1, ), ), ),8 ) 5, 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
78 YMU TST 7. muk 10. ikizkenr muk H 7 [H] [] [] // [] = = 7 birim H = birim [] ç ort = 5 birim = 5 birim = 11 birim un göre, () kç birim kredir? ) ) 9 ) 5 ) ) 70 un göre, mu un üksekli i kç birimdir? ) ) 5 ) ) 7 ) 8 8. [] [] [] // [] = birim = birim muk = 7 birim = birim = 1 birim un göre, () kç birim kredir? ) 1 ) 1 ) 1 ) 18 ) 0 m() + m() = 180 oldu un göre, Ç() kç birimdir? ) ) ) 0 ) 8 ) 9. 7 dik muk = = birim = 7 birim 1. muk = = = (, ) = (, ) un göre, Ç() kç birimdir? un göre, () kç birim kredir? ) 88 ) 88 5 ) 88 7 ) ) 1 ) 8 ) 50 ) 5 ) 5 ) 5 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı
79 PRLLNR Prlelkenr spt : ir dörtgeninde // ve // ise bir prlelkenrdır. prlelkenr [] // [] [] // [] H [H] ve [] olck flekilde H ve noktlr seçelim, // oldu undn H = ve // oldu undn m() = m() olup, ölece, H ve efl üçgenleri elde edilir. ölece, = dir. (Prlelkenr modelinden esinlenerek pılmış bir eser) ÿ ir prlelkenrd köflegenler birbirini ortlr. ir prlelkenrd krşılıklı kenrlrın uzunlukl- rı eşittir. ÿ = = prlelkenr = = spt : RSTIRM ir prlelkenr n ikizkenr muk olup olmc n rkdfllr n zl trt fl p, ö retmeninizle de erlendirin. = ve // oldu undn ve efl üçgenler olup. ölece, = ve = bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 79
80 PRLLNR ÖRN 1 0º prlelkenr = m() = 0 9 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. prlelkenr nd köflegenler birbirini ortld ndn = dir. nde [] ve [] kenrort oldu undn nokts üçgeninin rl k merkezi olur. 0º 80º 80º ol s l, = birim ve = 18 birim bulunur. 0º 80º prlelkenr oldu undn, = = dir. ikizkenr üçgeninde, m() = m() = 80 olur. ol s l m() = 80 bulunur. ÿ ir prlelkenrd komflu iki ç n n ç ort do rulr dik kesiflir. spt : ÖRN prlelkenr [] köflegen [] köflegen = = birim m() + m() = 180 (krşı durumlu çılr.) m() + m() =180 m() + m() = 90 üçgeninde, m() + m() + m() = 180 olup, m() = 90 bulunur. un göre, uzunlu unu bull m. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 80
81 PRLLNR ir prlelkenrd komflu iki ç n n ç ortlr n n kesiflti i noktdn prlelkenr n ort tbn geçer. UYRI Prlelkenrsl ölgenin ln 1. ir prlelkenrsl bölgenin ln prlel oln herhngi iki kenr rs dki uzkl k ile bu kenrlrındn birinin çrp m n eflittir. h b h b ÿ Herhngi bir dörtgende kenr ort noktlr n n birlefltirilmesi ile elde edilen dörtgen prlelkenrd r. H () =. h = b. h b L. ir prlelkenrsl bölgenin ln prlelkenr n rd fl k iki kenr uzunlu unun çrp m ile bu iki kenr rs nd kln ç n n sinüs de erinin çrp m n eflittir.,,, L ort noktlr ise L prlelkenrd r. b spt : b L () =. b. sinα Yukr dki eşitliği fl dki gibi vektörel olrk d ifde edebiliriz. [] ve [] köşegenleri çizilirse, // ve // L L // ve // olup ölece L dörtgeninin kenrlr n n krşılıklı prlel olduğu görülür. hlde, L bir prlelkenrdır. () =. 1, =..sini 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 81
82 PRLLNR Prtik ilgi = (, b) ve = (c, d) vektörleri üzerine kuruln prlelkenrsl bölgenin ln n n (, b) (c, d) S = b. c. d oldu unu dh önceki derslerimizden bilioruz. ÖRN 1 ÖRN prlelkenr [] ç ort = birim = birim un göre, uzunlu unu bull m. H 50º prlelkenr [] köflegen [H] [] = H m(h) = 50 un göre, ç s n n ölçüsünü bull m. 7 H = k birim, = k birim dielim. // oldu undn, m() = m() olur. (iç ters ç lr.) u durumd, ikizkenr üçgen olup, = = birim dir. ölece, = 7 birim bulunur. 110º H k k k 0º 50º ölece, = = k birim olup, H üçgeni bulunur. prlelkenr nd, m() = m() oldu undn, m() = 110 bulunur. 11.S n f Geometri onu nltımlı Soru nksı 8
SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise
GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy
Detaylı11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
Detaylı11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK
G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
DetaylıG E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90
G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ
ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,
DetaylıSunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi
DetaylıLYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMTRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. m ( ) + m( ) > 0 m ( ) + m ( ) > 90 + m ( ) + m ( ) + m( ) + m ( ) > 0 m ( ) > 40 4444444444 0 O hlde, çısının çısının ölçüsünün lbileceği en küçük tmsı değeri 4 evp.
DetaylıÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)
ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin
Detaylı1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,
Detaylı9. SINIF GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
9. SINI GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 7 0 steme
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
DetaylıYGS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI SORU BANKASI
YGS GMTRİ NU NLTIMLI SRU NSI u kitb n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. itb it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. itb n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN : 978 0 0 7 0 steme
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıUzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme
MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr
DetaylıÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI
ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,
Detaylısteme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k
u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)
Detaylısteme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k
u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)
DetaylıÖrnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...
YU ( YU TNII ORT TN YU NI İİZNR YU İ YU ) YU TNII Ylnız iki kenrı birbirine prlel oln dörtgene YU denir. [] // [] ise ymuktur. rlel oln kenrlr ymuğun tbnlrıdır. [] ve [] tbn. iğer iki kenr yn kenrlrdır.
DetaylıGeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit
www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz
DetaylıHİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün
ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge
Detaylı1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
Detaylıek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
DetaylıYGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri
Detaylı1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
DetaylıÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
Detaylı(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC
ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde
Detaylı1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
Detaylı7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
Detaylı( x y ) 2 = 3 2, x. y = 5 tir. x 2 + y 2 2xy = 9. x 2 + y 2 = 19 bulunur. Cevap D / 24 / 0 ( mod 8 ) Pikaçu.
eneme - / YT / MT MTMTİK NMSİ. I. KK (, ) = : Z II. KK (, ) = : Z III. KK ( 8, ) = 7 7 : Z. - - = = ( ) ile. rlrınd sl ise ( ) =,. = tir. + = + = bulunur. evp evp. + / / ( mod 8 ) Pikçu. M n + n n + 8
Detaylıİntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
Detaylı1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
DetaylıUZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1
UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U
DetaylıYAYINA HAZIRLAYANLAR
rif ŞYKKUYN Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör
DetaylıYÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...
Detaylı2009 Soruları. c
Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı
DetaylıT 35 ZAMBAK MERAKLISINA TESTLERİ(GEO): ÇÖZÜM: ŞekildeIBCI=8, IACI=4,m(B)= a,m(c)= q ve = 180 olduğuna göre IABI kaç br dir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10
1) Z RII Rİ(GO): 0 0 ŞekildeII=, II=,m()=,m()= ve + = 10 olduğun göre II kç br dir? ) )5 ) ) )10 ÇÖZÜ-1: 0 5 5 5 0 105 ile yi birleştirelim. @ (.. eşliği) olur. ikizkenr olur.unlr göre çılrı simgelendirirsek
DetaylıÇevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf
Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk
DetaylıMobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?
Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks
Detaylı1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
DetaylıDOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu
OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı
DetaylıTrigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DetaylıMatematik Olimpiyatları İçin
ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı
Detaylı4. BÖLÜM: ÖZEL ÜÇGENLER VE TRİGONOMETRİ KONU ÖZETİ
. ÖLÜM: ÖZL ÜÇGNLR V TRİGONOMTRİ KONU ÖZTİ. ÖZL ÜÇGNLR c. Kenrlrın Göre Özel ik Üçgenler. ik Üçgen. Pisgor ğıntısı k k k k k k c b b b k k k k c c c c b b k k k 7k k 7k k k ir çısı 90 oln üçgene dik üçgen
Detaylı1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?
98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
Detaylı1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
DetaylıKesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi
Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı
DetaylıKONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2
Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................
DetaylıÖğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)
DetaylıDiğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25
EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 5 5 DÜZLEMDE ÇILR Prlel Ġki Doğrunun Bir Kesenle Yptığı çılr: Tnım: Bşlngıç noktsı ortk iki ışının irleşim kümesine çı denir. d 6 5 d 7 8 O OB OB = BO ÇI ÇEġĠTLERĠ. Dr çı: Ölçüsü
Detaylı1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
DetaylıÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler
5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇOGNLR 51 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 53 : Çokgenler 50 50 0 ünymız yklşık olrk küre biçimindedir Onun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı
DetaylıTEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,
TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,
DetaylıTİK TESTİ TEMA - 5 ÇÖZÜMLER
TYT / Temel Mtemtik TML MTMTİ TSTİ eneme - ÇÖZÜMLR.. < < 9 9 < b < 6 < c < 6 c = 6 = verilen rlıkt değildir. oylı olmyn üçgen syısı = = Tüm üçgenlerin syısı 6. - = - - - = - - = - = 0 sonuç yyınlrı 6..
DetaylıÜNITE. Dörtgenler ve Çokgenler. Dörtgenler Test Dikdörtgen Kare Test Dörtgenler Test Dikdörtgen Kare Test
ÜNIT örtgenler ve Çogenler örtgenler Test -... örtgenler Test -... örtgenler Test -... Ymu Test -... Ymu Test -... Ymu Test -... Ymu Test -... Ymu Test -... Ymu Test -...0 Prlelenr şenr örtgen Test -...
DetaylıÖ.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
DetaylıLİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
Detaylı6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.
TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,
Detaylı2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN
1)KESĐK PĐRAMĐT: Bir pirmit, tbn prlel bir düzlem ile kesildiğinde, tbn düzlemi ile kesit üzei rsınd kln kısım kesik pirmit denir. KESĐK PĐRAMĐDĐN YANAL YÜZ ALANI: Bir düzgün kesik pirmidin nl lnı, lt
DetaylıA C İ L Y A Y I N L A R I
ünite ÇM = 1 Çemberde çılr Çemberde Uzunluk Çemberin Çevresi irenin lnı 1 0 1 ÇM ÇM Ç 1.. 70 8 60 ukrıd merkezli çember verilmiştir. m( ) =, m( ) = 8 olduğun göre, m( ) = kç derecedir? Şekilde merkezli
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..
DetaylıÖ rendiklerimizi Nerelerde Kullanabiliriz? Alan tahmin etmede kullanabiliriz.
4.1 Aln Neler Ö renece iz? Geometrik flekillerin lnlr n hesplyc z. Ö rendiklerimizi Nerelerde Kullnbiliriz? Aln thmin etmede kullnbiliriz. Söz Vrl Prlelkenrsl bölge Bir y içinde yklfl k lt metre krelik
Detaylı1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce
DetaylıÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı
ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki
Detaylı1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160
8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre
DetaylıVektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,
Detaylıa 4 b a Cevap : A Cevap : E Cevap : C
TYT / TETİK Deneme - 8., 8 - - - - 8-8 - & - - $ c- m + 5 5 0 0 -. 5 5 $ 75. 5 75 89 5 75 5-9 ^5-9h$ ^5 + 9h 5 ^5-9h$ ^5+ 9h $ 7 evp : 5.. 00 + 0 + 00 + 0 + + 00 + 0 + ( + + ) 55 - - 0 & - 0 & olmlıdır.
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Detaylı7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI
7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel
DetaylıG E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br
G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r
DetaylıÖrnek...1 : İNTEGRAL İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI 2 UYARI 3 ALAN HESABI UYARI 1 A 2 A 1. f (x )dx. = a. w w w. m a t b a z.
İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI =f() =f() =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır =f() Şekilde =f() eğrisile ekseni ltınd kln lnı ulmk için eğrinin ltınd kln ölgei dikdörtgenlere
DetaylıLimit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c
DetaylıÇOKGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR
ÇONLR IN NL TIRLTMLR nr sısı (n) 3 d d zl oln kplı gomtrik şkillr çokgn dnir n NRLI İR ONV ÇON; 1) İç çılr toplmı (n )180 ) ış çılr toplmı 360 3) öşgn sısı n ( n 3) onvks çokgn (ışük) onkv çokgn (İçük)
Detaylıege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16
Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un
DetaylıYGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. ʹ. y 1 1 1ʹ y < + 1 y dir. m ^ h olsun. + 1. 1 + 1 1 17 0 17 0 1 1 olur. + + y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri + 17 7 bulunur.
DetaylıÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN
ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.
Detaylı01 DÖRTGENLER. homoteti dönüflümü d fl bükey dörtgen iç bükey dörtgen orta taban dörtgen
01 ÖRTGNLR homoteti dönüflümü d fl büke dörtgen iç büke dörtgen orta taban dörtgen 9 dörtgeni ve temel elemanlar n aç klama, ugulamalar apma, dörtgenlerle ilgili teoremleri ispatlama ve ugulamalar apma,
DetaylıÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım
DetaylıFONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı 8. sısının pozitif tek tmsı bölenlerinin sısı kçtır? 8. olmk üzere; kesrinin değeri şğıdkilerden hngisi olmz?. (8!) sısının sondn kç bsmğı sıfırdır? 8. ifdesinin sonucu kçtır? (
DetaylıMATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
Detaylı1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4
98 ÖYS. işleminin sonucu kçtır. 6. Bir stıcı ir mlı üzde 0 krl strken, stış fitı üzerinden üzde 0 indirim prk 8 lir stıor. Bu mlın mlieti kç lirdır? A) 0 B) 00 C) 80 D) 70 E) 60 7.,, c irer pozitif tm
DetaylıDOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:
ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı., b olduğun göre, b. b ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisidir?,,,9 8... b b ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir?.. Bun göre, verilior. ifdesinin değeri kçtır? 8. b b c 8 c d
DetaylıÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER
ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen
DetaylıParabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler
Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
DetaylıTek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER
ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler...... 3. Yöntem....
DetaylıLisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?
Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
Detaylı(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin
4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?
Detaylı