ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER. Ali ŞENOL ANKARA Her hakkı saklıdır

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER. Ali ŞENOL ANKARA Her hakkı saklıdır"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER Ali ŞENOL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi UZAY FORMLARINDA GENEL HELİSLER Ali ŞENOL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof.Dr. Yusuf YAYLI Bu doktora tezi beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, temel tanım ve kavramlar kaynaklarıyla verilmiştir. Üçüncü bölümde, uzay formlarında helisler tanımlanmış ve çeşitli karakterizasyonlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, uzay formlarında Bertrand çiftleri incelenmiştir. Son bölümde, uzay formlarında LC helisler tanıtılmış ve bu helislerin özelikleri incelenmiştir. Mayıs 2008, 67 sayfa Anahtar Kelimeler : Genel helis, uzay formları, killing vektör alanları, yatık (slant) helis i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis GENERAL HELICES İN SPACE FORMS Ali ŞENOL Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Yusuf YAYLI This thesis consists of five chapters. The first chapter is the introduction. In the second chapter, some basic and fundamental definitions and theorems have been presented. The third chapter has been devoted to the presentation of uzay forms and fundamental definitions. The fourth chapter has been investigated Bertrand couple in space form. Inthelastchapter,LChelicesinspaceformhavebeenexaminedandsomeresults have been founded. May2008,67pages Key Words: General helix, Space forms, Killing vector fields, Slant helix ii

4 TEŞEKKÜR Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmamın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Prof.Dr. Yusuf YAYLI(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya, fikirleriyle ve sorularıyla yardımlarını benden esirgemeyen değerli hocalarım Sayın Prof.Dr. H.Hilmi HACISALİHOĞLU(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) na, Sayın Prof.Dr. H.Hüseyin UĞURLU (Gazi Üniversitesi Eğitim Fakültesi) ya, her zaman yardım ve desteğini gördüğüm Araş.Gör.Dr.Çetin CAMCI (Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi) ya teşekkürlerimi bir borç bilirim. Çalışmam sırasında ellerinden gelen her türlü desteği bana veren eşim Sebil ŞENOL a, kızım S.Rabia ŞENOL a ve ailemin fertlerine minnet ve şükranlarımı sunarım. Ali ŞENOL Ankara, Mayıs 2008 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELERDİZİNİ... v ŞEKİLLERDİZİNİ... vi 1. GİRİŞ TEMELTANIMVEKAVRAMLAR E n deeğilimçizgileri RiemannianManifoldu KovaryantTürev(Konneksiyon) GaussDenklemi RiemannianEğrilikTensörü HiperyüzeylerÜzerindekiLevi-CivitaAnlamındaParalellik Hiperyüzeyler Üzerindeki Bir Eğri İçin Frenet Türev Formülleri UZAYFORMLARINDAHELİSLER ÜçBoyutluUzaydaHelisTanımı Uzay Formlarında Helis Eğrileri İçin Yeni Karakterizasyonlar UzayFormlarındaFarklıHelisTanımları DarbouxHelislerininKüreselGöstergeleri UZAYFORMLARINDABERTRANDÇİFTLERİ BerdrandÇifti UzayFormlarındaBertrandEğriÇiftleriileİlgiliİkiTeorem UZAYFORMLARINDAL.CHELİSLER UzayFormundaL.CHelislerveKarakterizasyonları n Boyutlu Uzay Formlarında Eğilim Çizgileri(L.C Helisler) vekarakterizasyonları KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ M(c) k i H Uzay formu i yincieğrilikfonksiyonu Harmonik eğrilik D E n deriemanniankonneksiyon D, M de Riemannian konneksiyon R K K (M, g) E n Riemannian eğrilik tensörü Riemannian Christoffel eğrilik tensörü Kesitsel eğrilik Riemannian manifold Ökliduzayı v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil2.1 Kovaryanttürevoperatörü Şekil2.2 Kovaryanttürevoperatörü Şekil2.3 Kovaryanttürevoperatörü vi

8 1. GİRİŞ Uzay eğrilerinin en ilginç eğrilerinden biri genel helislerdir. Biliyoruz ki, helisler, günlük hayatımızda sıkça karşılaştığımız eğrilerdir. Örnek olarak; ani küresel ve uzay hareketlerinde, D.N.A nın yapısında, fasulyenin çubuğa sarılırken çizdiği eğri olarak helis eğrisini görebiliriz. İlk olarak, dairesel helisler adı verilen bir dik daireselsilindirüzerindekieğrilerelealınmıştır. Bunlarınk 1 vek 2 eğriliklerininayrıayrı birer sabit oldukları ilk tespit edilebilen bir karakterizasyon olmuştur. Daha sonra, genel helis adı verilen daha genel bir helis eğrisinin var olduğu keşfedildi. Bu cins eğriler için, k 1 ve k 2 sabit olmadığı halde k 1 k 2 oranının sabit olduğu tesbit edildi. Bu orana harmonik eğrilik adı verildi. Bu cins helislerin, artık bir dik dairesel silindir üzerine çizilmiş olma zorunluluğunun olmadığı görüldü. Bir koni veya bir küre yüzeyi üzerine çizilebilen helislerin olup olmadığı fikri, helislerin tanımını daha da genelleştirmek gerektiğine sevketmiş ve Alman matematikçi E. Müller helisleri Her noktasında sabit bir doğrultu ile sabit açı yapan eğriler olarak tanımlamış ve bunlara Eğilim çizgileri adını vermiştir(blaschke 1950). Ertuğrul Özdamar(1975) ın çalışmaları ile silindirden farklı yüzeyler üzerindeki eğilim çizgileri ve Remzi Öztürk (1980)ündoktoraçalışmasıilehelisleriçinn>3halindeE n dekiengenelkarakterizasyonlar verilmiştir. E n yerine, bir M hiperyüzeyi veya Uzay Formu alınırsa helis tanımı çeşitli şekillerde verilmektedir. Bunlardan ilki, M. Barros tarafından E 4 debirm UzayFormuiçinverilmişveçeşitlikarakterizasyonlareldeedilmiştir. Tamura,M3boyutluUzayFormundaκve τ nunherikisidesabitolmasıhalinde helis tanımını vermiştir. Bu tezde, Uzay Formunda yeni bir helis tanımını verdik. Bu helisleri, LC helisler olarak tanımladık. Bu helisler için çeşitli karakterizasyonlar verdik. 1

9 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR 2.1E n deeğilimçizgileri Tanım α E n eğrisi (I,α) komşuluğu ile verilsin. s I ya karşılık gelenα(s)noktasındakifrenetayaklısı{,v 2,...v n }olsun. Bunagöre, k i : I R s k i (s)= v i(s),v i+1 (s) şeklinde tanımlı k i fonksiyonuna αeğrisinin i yinci eğrilik fonksiyonu denir. s I içink i (s)reelsayısınadaα(s)noktasındakim nini yinci eğriliğidenir (Hacısalihoğlu 1983). Tanım α E n eğrisi(i,α)komşuluğuileverilsin. s I yakarşılıkgelenα(s)noktasındakifrenetayaklısı{,v 2,...v n }vei yinci eğriliğik i (s)ise v 1 (s)= k 1(s).v 2 (s) v i (s)= k i 1(s).v i 1 (s)+k i (s).v i+1 (s) 1 i p v p (s)= k p 1(s).v p 1 (s) dır(hacısalihoğlu 1983). Tanım α E n eğrisi(i,α)komşuluğuileverilsin. s I yakarşılıkgelenα(s) αnoktasındaαnın1. ve2. eğrilikleriκ 1 (s),κ 2 (s) olmak üzere H 1 :I R H 1 (s)= κ 1(s) κ 2 (s) 2

10 şeklindetanımlıh 1 fonksiyonuna,m nin1 inciharmonikeğriliğidenir (Hacısalihoğlu 1983). Teorem α E 3 eğrisi(i,α)komşuluğuileverilsin.budurumda, αbireğilimçizgisidir s I için H 1 (s)=sbt (Hacısalihoğlu 1983). Tanım α E n eğrisinin birim teğet vektör alanı ve X χ(e n ) sabit birimvektöralanıolsun. p αiçin,ϕ π 2 olmaküzere,,x =cosϕ=sbt iseαeğrisine E n de bir eğilim çizgisi ϕ açısına α nın eğilim açısı ve S p {X} uzayına da α nın eğilim ekseni denir(hacısalihoğlu 1983). Tanım (Yüksek mertebeden harmonik eğrilikler) α E n eğrisi(i,α) komşuluğuile verilsin. s I yakarşılıkgelenα(s) noktasındaki yüksek mertebeden eğrilik fonksiyonları, sırasıyla k 1,k 2,...k n 1 olsun.α eğrisininbirimteğetvektöralanı olmaküzere, H i :I R 0 i=0 H i = κ 1 κ 2 i=1 1 { [H i 1 ]+H i 2 κ i }. κ i+1 1<i n 2 şeklinde tanımlı H i fonksiyonuna α nın i-yinci mertebeden harmonik eğrilik fonksiyonudenir(hacısalihoğlu1983). ButanımdakiH i fonksiyonlarınınv 1 yönün- 3

11 deki kovaryant türevlerini matrisel formda yazmak gerekirse V 1 [H 1 ] V 1 [H 2 ] V 1 [H 3 ]... V 1 [H n 4 ] V 1 [H n 3 ] V 1 [H n 2 ] = 0 k k 3 0 k k 4 0 k k n k n 2 0 k n k n 1 0 H 1 H 2 H 3 H n 4 H n 3 H n 2 dir. Teorem α E n debireğilimçizgisives p {X}uzayıdaαnıneğilimekseni olsun. αnınfrenetn-ayaklısı{,v 2,...v n },harmonikeğriliklerideh 1,H 2,...H n 2 olmak üzere, v i+2,x =H i.,x, 1 <i n 2 dir(hacısalihoğlu 1983). Sonuç Helis eğrisinin eğilim ekseni X ise X=λ 1 +λ 2 v λ n v n şeklinde yazabiliriz. Buradan, λ i = v i,x =H i 2,X olur. Ayrıca,,X =cosϕ 0 X=cosϕ( +H 1 v H n 2 v n ) 4

12 elde edilir. diyelim(camcı 2007). Ozaman W = +H 1 v H n 2 v n X=cosϕW olur. Teorem α:i E n n-mertebedenregülereğri,{,v 2,...v n }Frenetvektörleri,vek 1,k 2,...k n 1 deeğrinineğrilikleriolsun. Budurumda, αbireğilimçizgisidir W = +H 1 v H n 2 v n vektörüsabittir (Camcı 2007). Teorem α E n bir eğilim çizgisi ve S p {X} uzayı da αnın eğilim ekseni olsun. αnınfrenetn-ayaklısı{,v 2,...v n },harmonikeğriliklerideh 1,H 2,...H n 2 olmak üzere, α,e n debireğilimçizgisidir. n 2 Hi 2 =sbt i=1 dir(hacısalihoğlu 1983). Teorem α:i E n n-mertebedenregülereğrisiolsun. Budurumda, αeğilimçizgisidir. V 1 [H n 2 ]+k n 1 H n 3 =0 dır(camcı2007). 5

13 2.2 Riemannian Manifold Tanım ( Riemann manifold) M birc manifoldolsun. M üstündevektöralanlarınınuzayıχ(m)vereeldeğerli C fonksiyonlarınınhalkasıc (M,R)olmaküzere, :χ(m) χ(m) C (M,R) şeklinde bir iç-çarpım tanımlı ise M ye bir Riemanian manifold denir. Burada,, işleminem üzerindeiççarpımveyariemannmetriğidenirvegilegösterilir (Hacısalihoğlu 2004). Tanım ( Yarı-Riemann manifoldu) M birc manifoldolsun. M üstündevektöralanlarınınuzayıχ(m)vereeldeğerli C fonksiyonlarınınhalkasıc (M,R)olmaküzere, :χ(m) χ(m) C (M,R) fonksiyonu, i) 2-Lineer ii) Simetri iii) X χ(m) için X,Y =0 Y =0 özeliklerini sağlıyorsa, M ye Yarı-Riemann manifoldu denir(hacısalihoğlu 2004). 2.3 Kovaryant türev(koneksiyon) Tanım (Koneksiyon) Diferensiyellenebilir bir M manifoldu üzerinde, D: χ(m) χ(m) χ(m) (X,Y) D(X,Y)=D X Y 6

14 şeklindetanımlanandönüşüm, f,g C (M,R)için 1)D X (Y +Z)=D X Y +D X Z 2)D( X+Y )Z=D X Z+D Y Z 3)D fx Y =f.d X Y 4)D X (fy)=x[f].y +f.d X Y şartlarını sağlıyorsa D ye(m, g) üzerinde bir Lineer-konneksiyon(Afin konneksiyonu) denir. D X edex görekovaryanttürevoperatörüdenir. 5)D X [ Y,Z ]= D X Y,Z + Y,D X Z (konneksiyonunmetriklebağdaşmaşartı) 6)Tor D (X,Y)=D X Y D Y X [X,Y](sıfırtorsionözeliği) olmak üzere [X,Y]=D X Y D Y X yukarıdaki 6 şarta Levi-civita konneksiyonu şartı denir(hacısalihoğlu 2004). 2.4 Gauss Denklemi Bukısımda,E n inriemannkoneksiyonuilee n dekihiperyüzeylerinriemannkoneksiyonu arasındaki ilgiyi vermeye çalışacağız. Bunun için Gauss anlamında kovaryant türevi ve Gauss denklemini tanımlayacağız. Tanım (Gauss anlamında kovaryant türev ve Gauss denklemi): E n in bir hiperyüzeyi M olsun. E n in Riemann konneksiyonu D ile gösterilmek üzere, X,Y χ(m)içind X Y =D X Y + D X N,Y N (2.4.1) (2.4.1) şeklinde tanımlı D operatörüne M üzerinde Gauss anlamında kovaryant türev operatörü(2.4.1) denklemine de M üzerinde Gauss denklemi denir(hacısalihoğlu 2004). Teorem E n in bir hiperyüzeyi M olsun. (1) Gauss denklemi ile tanımlı D fonksiyonuna M üzerinde bir Riemann konneksiyonu (Riemann anlamında kovaryant türev) dur(hacısalihoğlu 2004). 7

15 2.5 Riemannian Eğrilik Tensörü Tanım (Riemannian eğrilik tensörü)(m, g) Riemanian manifoldu olsun, Levi-Civita konneksiyonu D = olmak üzere, R:χ(M) χ(m) χ(m) χ(m) (X,Y,Z) R(X,Y).Z R(X,Y,Z)=R(X,Y).Z= X Y Z Y X Z [X,Y] Z fonksiyonu (1,3) tipinde tensör alanıdır. Bu tensör alanına M üzerindeki Riemannian eğrilik tensör alanı denir(hacısalihoğlu 2004). Tanım (Riemannian Christoffel eğrilik tensörü) M bir n-boyutlu (n 4)Riemannmanifolduve, dem ningmetriğiolsun. K:χ(M) χ(m) χ(m) χ(m) C (M,R) (X,Y,Z,W) K(X,Y,Z,W) K(X,Y,Z,W)= R(Z,W)Y,X olarak tanımlanan 4 mertebeden kovaryant tensöre, M üzerinde Riemannian Christoffel eğrilik tensörü denir(hacısalihoğlu 2004). Tanım Kesitsel eğrilik(sectional Curvature) (M,, ) bir yarı-riemannian manifoldu boym 2 olsun. Bir p M noktasındaki T M (p) tanjant uzayının iki boyutlu alt uzayı F olsun. F nin bir bazı {X,Y} ise X,Y F tanjantvektörleriiçinalalanfonksiyonu Al(X,Y)= ( X,X. Y,Y X,Y 2) 1 2 8

16 biçiminde tanımlansın K:χ(M) χ(m) χ(m) (X,Y) K(X,Y)= K(X,Y,X,Y) Al 2 K(X,Y,X,Y)= R(X,Y).Y,X olarak tanımlanan K(F)reel sayısına F nin Kesitsel eğriliği denir ve K(X, Y) ile de gösterilir(hacısalihoğlu 2004). Tanım Uzay Formları(Sabit eğrilikli Uzay) X,Y χ(m)için(m,g)riemannianmanifoldunda K(X,Y)=c(sbt) ise bu uzaya sabit eğrilikli uzay formu denir ve M(c) ile gösterilir. c nin özel değerleri için aşağıdaki örnekler verilebilir. i)c=0isem n (c)=e n,ökliduzayıdır. ii)c= 1 r 2 isem n (c)=s n (r) E n+1 hiperküredir. iii)c= 1 r 2 isem n (c)=h n (r) E n+1 hiperbolikküredir(hacısalihoğlu2004). 2.6 Hiperyüzeyler Üzerinde Levi-Civita Anlamında Paralellik M birhiperyüzeyveα:i M birparametrikeğriolsun. BirX vektöralanına αboyuncam yeteğettirdenir,eğerx vektöralanıαeğrisinekısıtlanmışve t I içinx(t) T M (α(t))ise,x in dx dt türevini. X (t) ile gösterelim.. X (t)genelolarak M yeteğetdeğildir. FakatẊ (t)nint M (α(t))üzerineortogonalizdüşümünüalmak 9

17 suretiyle t Iiçinyenibirvektöralanıeldeederiz. Önce diferensiyel almak ve sonra M nin tanjant uzayına izdüşürmekten ibaret olan bu yöntem diferensiyel ile aynı özeliklere sahip olan bir operatör tanımlar. Sadece birfarkvardır; odam yeteğetolanvektöralanlarınındiferensiyellerigenem ye teğet kalan vektör alanları verir. Bu yeni operasyona M üzerinde Kovaryant diferensiyel operatörü denir. E n+1 de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde parametrik bir eğri α : I M ve αboyuncam yeteğetvediferensiyellenebilenbirvektöralanıx olsun. X inkovaryanttürevix,αboyuncam yeteğetolanbirvektöralanıdırve. X=X +λn herikitarafın ileiççarparsak Ẋ,N = X,N +λ N,N 10

18 λ= Ẋ,N ifadesi tekrar yerine yazılırsa X =Ẋ Ẋ,N.N olarak tanımlanır. Burada N ile M nin birim normal vektör alanı gösterilmektedir. Kovaryant diferensiyel operatörünün aşağıdaki özeliklerini göstermek kolaydır. Birα:I M eğrisiboyuncam yeteğetolanx vey diferensiyellenebilirvektör alanları ve α boyunca diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu için, i)(x+y) =X +Y ii)(fx) =f.x+f.x iii) X,Y = X,Y + X,Y (Hacısalihoğlu 2004). Kovaryant türev bir hiperyüzey üzerinde paralelizm kavramı ile ilgilidir. E n+1 de V p = (p,v) T E n+1(p) Wq = (q,w) T E n+1(q) tanjantvektörleriiçin V = W isebuikitanjantvektöreöklidanlamındaparaleldirler denir. Birα:I E n+1 parametrikeğrisiboyuncabirx vektöralanıiçin X(t 1 )=X(t 2 ), t 1,t 2 isex vektöralnınaöklidanlamındaparaleldirdenir. Burada α(t) α noktasındaki bir tanjant vektörü(α(t), X(t))dir. O halde X vektör alanı için. X= dx dt =0 ise X vektör alanına α eğrisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir. 11

19 E n+1 debirhiperyüzeym üzerindekibirparametrikeğriα:i Molsun. αeğrisi boyuncamyeteğetolanbirxdiferensiyellenebilirvektöralanıiçinx =0isebuX vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir. Eğer α boyunca X bir sabit vektör alanı ise, M den bakıldığına göre, X vektör alanı α boyunca paraleldir. Teorem Levi-Civita(L.C) anlamında paralelizmin aşağıdaki özelikleri vardır. i) Eğer α boyunca X vektör alanı Levi-Civita anlamında paralel ise X in uzunluğu sabittir. ii)αboyuncax vey vektöralanıl.cparalelise X,Y sabittir. iii)αboyuncax iley L.CparaleliseX iley arasındakiaçıαboyuncasabittir. iv)αboyuncaxvey vektöralanılevi-civitaanlamındaparalelisex+y ve c R için cx de α boyunca Levi-civita anlamında paraleldir. v) M hiperyüzeyi üzerinde bir parametrik α eğrisi boyunca hız vektör alanı LC anlamında paraleldir α bir hiperyüzeyi üzerinde geodeziktir(hacısalihoğlu 2004). Teorem E 3 debiryüzeymolsun. Müzerindeα:I Meğrisibirgeodezik ve α 0iseαboyuncaM. yeteğetolanbirxvektöralanınınαboyuncalevi-civita anlamındaparalelolabilmesiiçingerekveyeterşartαboyunca X =sbtvex ile α arasındaki açının sabit olmasıdır(hacısalihoğlu 2004). 12

20 2.7 Hiperyüzeyler Üzerindeki Bir Eğri İçin Frenet Türev Formülleri M,E n debirhiperyüzeyvebuhiperyüzeyüzerindeα:i M eğrisiverilsin. E n nin konneksiyonu D ve Riemannian metriği g olsun.m hiperyüzeyinin Riemannian konneksiyonu D ve Riemannian metriği g olsun. D: χ(m) χ(m) χ(m) (X,Y) D X Y D X Y = D X Y g(d X Y,N)N Gauss denklemi ile belli olan D operatörüne M üzerinde bir Riemann anlamında Kovaryant türev operatörü denir. D X Y +λn =D X Y (2.8.1) (2.8.1) denkleminin her iki taraf N ile iç çarpılırsa g(d X Y,N)+λg(N,N)=g(D X Y,N) (2.8.2) D X Y teğetuzaydaolduğundang(d X Y,N)=0dır. 13

21 λ=g(d X Y,N)(2.8.2)deyerineyazılırsa D X Y =D X Y g(d X Y,N).N (2.8.3) elde edilir. D, M üzerinde Riemann konneksiyondur. α eğrisinin D türev yardımıyla, M üzerinde Frenet vektörlerini hesaplayabiliriz. α: I M birim hızlı eğri olsun =α (s) eğrinin teğet vektörü olsun. D = α (t)nın teğet uzayı üzerine dik izdüşümünü D ile gösterelim. D χ(m)olduğundantekrartürevalırsakd v1 (D )vektörünüeldeederiz. Buvektörün teğetuzayaizdüşümünü D v1 (D )=D 2 ilegösterelim. D v1 (D ) χ(m)olduğu görülür. Buşekildedevamedersek,,D,D 2,...,D p 1 elde ederiz. S= {,D,D 2,...,D p 1 } χ(m) vektörlerini cümlesi χ(m) uzayında lineer bağımsız olsun. S cümlesine Gram-Schmidt ortonormalleştirme metodu uygulanabilir. E 1 =α = ve E i =.D i 1 p 1 j=1 g(d i 1v i,e j ) g(e j,e j ) E j olmaküzere{e 1,...,E p }ortogonalvektörsistemidir. Busistemnormlanırsa, = E 1 E 1. v p = E p E p.. 14

22 {,...,v p } ortonormal sistemi elde edilir. Bu, p-vektör sistemine M yüzeyi üzerindeki α eğrisinin Frenet p-ayaklısı denir. Tanım (Eğrilik fonksiyonu)m E n yüzeyiüzerinde{,...,v p }ortonormal sistemi verilsin. k i =g(d v i,v i+1 ), 1 i p 1,p n 1 şeklinde tanımlı k i fonksiyonuna M deki α eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonu denir. E 4 dekibirm uzayformundabireğrininfrenettürevformüllerinieldeedelim. M 3 (c) E 4 uzay formunda α : I M 3 (c) E 4 (birim hızlı),e 4 ün konneksiyonudveriemannianmetrikgolsun. M 3 (c)uzayformundakikonneksiyonudve Riemannianmetrikg=g M olsun. αnıne 4 dekifrenetvektörleri,v 2,v 3,v 4 eğriliklerik 1,k 2,k 3 veαnınm 3 (c)dekifrenetvektörleri,v 2,v 3 eğrilikleriκ,τolsun. = =α (s) D = α (t)nin teğet uzaya dik izdüşümü D dir.tekrar türev alırsak D v1 (D ) vektörünüeldeederiz. Buvektörünteğetuzayatekrardikizdüşümünüalırsak,D v1 (D ) 15

23 eldeedilir. D v1 (D ) χ(m)olduğugörülür. { },D,D 2 cümlesi lineer bağımsızdır. { } D 3 S p,d,d 2 dir. Gramm-Schmidth metodu uygulanırsa, E 1 = E 2 =D g(dv1,e 1 ) g(e 1,E 1 ) E 1 2 v1 E 3 =D 2 g(d2v1,e 1 ) g(e 1,E 1 ) E 1 g(d,e 2 ) g(e 2,E 2 ) E 2 {E 1,E 2,E 3 }ortogonalvektörlerieldeedilir. =E 1 = v 2 = v 3 = E 2 g(e2,e 2 ) = E 2 E 2 E 3 g(e3,e 3 ) = E 3 E 3 {,v 2,v 3 }ortonormaldir. κ=g(d,v 2 ) τ =g(d v 2,v 3 ) olarak tanımlayalım. Şimdi aşağıdaki teoremi verebiliriz. Teorem M E 4 Uzayformundaα:I M 3 birimhızlıeğrisininα(s)noktasındakieğrilikleriκ,τolmaküzerefrenetayaklısı{v 1,v 2,v 3 }olsun. Budurumda, 16

24 D = κ.v 2 D v 2 = κ. +τ.v 3 D v 3 = τ.v 2 dir. İspat: α:i M 3 birimhızlıeğriolmaküzere, = =α (s) dir. g(, )=1 (2.8.3) (2.8.3) ün M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(d, )+g(,d )=0 dır.(2.8.4),(2.8.5) de yerine yazılırsa g(d, )=0 (2.8.4) E 2 =D g(dv1,e 1 ) g(e 1,E 1 ) E 1 (2.8.5) E 2 =D (2.8.6) elde edilir. ifadesi düzenlenirse, v 2 = E 2 E 2 D = E 2.v 2 (2.8.7) eldeedilir,(2.8.7)ninherikitarafınıv 2 ileiççarparsak, g(d,v 2 )= E 2 =κ (2.8.8) 17

25 olduğundan(2.8.8),(2.8.7) de yerine yazılırsa, D =κ.v 2 (2.8.9) elde edilir. D v 2 =λ 1. +λ 2.v 2 +λ 3.v 3 (2.8.10) (2.8.11) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(v 2,v 2 )=1 (2.8.11) g(d v 2,v 2 )+g(v 2,D v 2 )=0 (2.8.12) eldeedilir.(2.8.10)v 2 ileiççarparsak g(d v 2,v 2 )=0 (2.8.13) g(d v 2,v 2 )=λ 1.g(,v 2 )+λ 2.g(v 2,v 2 )+λ 3.g(v 3,v 2 ) elde edilir.buradan, dır. λ 2 =0 λ 3 =g(d v 2,v 3 )=τ λ 1 =g(d v 2, )=? olduğundan, Ayrıca g(v 2, )=0 (2.8.14) (2.8.14) ifadesinin M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(d v 2, )+g(v 2,D )=0 (2.8.15) 18

26 (2.815) denklemi elde edilir. g(d v 2, )= κ=λ 1 (2.8.10) da yerine yazılırsa, D v 2 = κ. +τ.v 3 elde edilir. D v 3 =µ 1. +µ 2.v 2 +µ 3.v 3 (2.8.16) (2.8.17) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(v 3,v 3 )=1 (2.8.17) g(d v 3,v 3 )+g(v 3,D v 3 )=0 g(d v 3,v 3 )=0 eldeedilir. (2.8.16)denkleminiv 3 ileiççarparsak λ 3 =0 bulunur. g(v 3, )=1 (2.8.18) (2.8.18) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(d v 3, )+g(v 3,D )=0 g(d v 3, )= g(v 3,D ) eldeedilir.(2.8.16)denklemini ileiççarparsak, µ 1 = g(v 3,D ) (2.8.19) 19

27 elde edilir. (2.8.9),(2.8.19) de yerine yazılırsa, µ 1 = g(v 3,κv 2 ) µ 1 = κg(v 3,v 2 ) µ 1 =0 dır. g(v 2,v 3 )=0 (2.8.20) (2.8.20) nin M ye göre kovaryant türevini alırsak, g(d v 2,v 3 )+g(v 2,D v 3 )=0 (2.8.21),(2.8.16) da yerine yazılırsa g(d v 3,v 2 )= g(d v 2,v 3 )=0 µ 2 = g(d v 2,v 3 )= τ (2.8.21) D v 3 = τ.v 2 elde edilir ve ispat biter. Buradan, aşağıdaki ifade yazılabilir. D D v 2 D v 3 = 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 v 2 v 3 Bundan sonra gösterim kolaylığı olması açısından D konneksiyonu, D = ile gösterilecektir. 20

28 3. UZAY FORMLARINDA HELİSLER 3.1 Üç Boyutlu Uzayda Helis Tanımı Literatürde çeşitli helis tanımları verilmiştir. Bu bölümde Uzay formları için Barros tarafından verilen helis tanımını ele aldık, çeşitli teoremler verdik. Bu bölümde son olarak diğer helis tanımlarını tanıtarak bunlar arasındaki ilişkiyi verelim. Tanım M kesitseleğriliğisabitolanuzayformundaγ=γ(t):i R M eğrisinigözönünealalım. γnınteğetvektöralanınıγ (t),birimteğetvektöralanını T = T(t) ve hızını da v(t) = γ (t) = γ (t),γ (t) 1 2 olarak alalım. M deki Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere γ nın Frenet formülleri T T = κn T N = κt+τb T B = τn olur. Buradaκ>0veτ sırasıylaαnınm deeğrilikveburulması(torsiyon)olur. M deγnınvaryasyonunu Γ : I ( ε,ε) M (t,z) Γ(t,z) Γ(t,0)= γ(t) olarak tanımlarız. Γ z =V (t) z=0 şeklinde tanımlı vektör alanı da varyasyon vektör alanıdır. Bundan sonra v = V (t,z), T = T(t,z), V = V (t,z) notasyonlarını kullanacağız. Burada t keyfi, s de γ nın yay parametresi olarak kullanılacaktır. 21

29 Eğer, v z = κ2 z=0 z = τ2 z=0 z =0 z=0 şartı sağlanıyorsa γ(s) boyunca V (s) vektör alanına Killing vektör alanı denir.şayet değerlerini hesaplarsak v z, κ2 z, τ2 z v z κ 2 z τ 2 z = T V,T v = 2κ 2 TV,N 4κ 2 T V,T +2cκ V,N = 2τ τ κ 3 T V,B 2κ κ 2 2 T V ) +cv,b +2τ(c+κ2 T V,B 2τ 2 T V,T κ elde ederiz(barros 1997). Tanım Bir γ(s) eğrisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla eğrinin teğeti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya eşitse γ eğrisine genel helis denir(barros 1997). 3.2 Uzay Formlarında Helis Eğrileri İçin Yeni Karakterizasyonlar Teorem avebsabitreelsayılarveκveτ daeğriliklerolmaküzere α M degenelhelistir τ =bκ+a (Barros 1997). Teorem M biruzayformu,γeğrisidem üzerinderegülerbireğriolsun.bu durumda aşağıdaki denklem sağlanır. ( 3 T T 2 ) [ κ 2T κ +τ τ T+ κ τ κ +κ κ τ ( ) 2 ] κ ( κ +κ 2 +τ 2 T T+κτ T =0 κ τ) (3.1)

30 İspat: T T = κn T N = κt+τb T B = τn Frenet denklemlerinden yararlanarak 2 TT = k 2 T+k N+kτB 3 TT = 2kk T k 2 T T+k N+k N T +(kτ) B+kτ B T bulunur. B ve N çekilip türevler alınırsa B= 1 τ N T +k τ T N T = N = 1 k T T ( ) 1 T k T+ 1 k 2 TT B= 1 τ ( k k 2 ) T T+ 1 kτ 2 TT+ k τ T ( ( ) k B k T = ) TT 1 τk 2 τk TT kτ TT+ 1 kτ 3 TT+ ( ) k T+ k τ τ T T bulunur. Frenet denkleminden B T = τ k T T ifadesi çekilip eşitlenirse ve ifade düzenlenirse { } { 1 1 kτ 3 TT+ k ( k 2 (kτ) τk TT+ 2 τk 2 ) + k τ +τ k } T T+ ( ) k T =0 τ 3 TT+kτ [ ( ] 1 ) k 2 kτ τk TT+kτ 2 }{{} I { ( } ) k + k ( k τk 2 τ +τ T k T+ τ }{{} II ) T+ k τ T T =0 23

31 bulunur,i ve II nin katsayıları sadeleştirilirse. kτ [ ( k kτ τk 2 [ ( ] ) ] 1 kτ ) k =kτ [( (kτ) kτ τk 2 (kτ) 2 k τk 2 }{{}}{{} I II ( ) kτ k τ kτ k τ 2 k2 τ 2 k2 τk 2 ) ) ( k = (2 k k τ τ k k k +τ τ [ ( ] ) k + k ( ) k τk 2 τ +τ = kτ +k 2 +τ 2 k τk 2 ) + k τ +τ k elde edilir ve denklemde yerine yazılırsa, ( 3 T T 2 ) [ κ 2T κ +τ τ T+ κ τ κ +κ κ τ +2 ] = k τ k +k k τ +2 ( ) 2 k +k 2 +τ 2 k ( ) 2 ] κ ( κ +κ 2 +τ 2 T T+κτ T =0 κ τ) diferensiyel denklemi elde edilir. Teorem M bir uzay formu, γ da M üzerinde regüler bir eğri olsun. Bu durumda γ eğrisi genel helis eğrisidir ancak ve ancak 3 TT κ κ denklemi sağlanır. ( ) [ 3bκ+2a 2 bκ+a TT+ κ κ + ( κ κ ) 2 ( 3bκ+2a )+κ 2 +τ ] 2 T T+ aκκ bκ+a bκ+a T =0 (3.2) İspat. ( ) γ eğrisi genel helis eğrisi olsun. γ regüler bir eğri olduğundan (3.1) denkleminisağlar. Ayrıcaτ =bκ+adır. (3.1)denkleminiaçalım. κ τ κ +κ κ τ +2 ( κ (2 κ κ ) = κ κ κ +τ τ ) 2 +κ 2 +τ 2 = κ κ + ( ) 3bκ+2a bκ+a ( κ κ ) 2 ( 3bκ+2a bκ+a ) +κ 2 +τ 2 24

32 ( κ κτ τ) = aκκ bκ+a olduğundan yukarıdaki eşitlikleri(3.1) da yerlerine yazarsak(3.2) elde edilir. ( ) Kabul edelim ki γ regüler eğrisi(3.2) eşitliğini sağlasın. γ eğrisi regüler olduğundan(3.1) eşitliği de sağlanır. (3.1) den(3.2) yi çıkarırsak olmak üzere X = κ κ Y = κ τ κ Z = κτ ( ) ) 3bκ+2a (2 κ bκ+a κ +τ τ ( ) 2 κ κ ( τ +2 κ κ ( κ τ) aκκ bκ+a ) 2 ( 3bκ+2a bκ+a X 3 T T+Y TT+ZT = 0 ) dır. Burada T T = κn 2 T T = κ2 T+κ N+κτB ifadeleri yerlerine yazılır ve düzenlenirse ( Z κ 2 X ) ) T+( κ X+κY N+XκτB=0 elde edilir. {T, N, B} lineer bağımsız olup katsayılar sıfıra eşitlenir. X=0 denklemini çözersek 2 κ κ τ τ +κ κ 2 κ κ τ τ +κ κ τ τ = κ κ κ κ ( ) 3bκ+2a =0 bκ+a ( 3 a ) =0 bκ+a ( ) a bκ+a 25

33 τ =bκ+a elde edilir ve ispat tamamlanır. 3.3 Uzay Formlarında Farklı Helis Tanımları Tanım α:i E n eğrisiiçinntekiken, k 2 k 1, k 4 k 3, k 6 k 5,..., oranları sabit ise α ya helis denir(hayden 1931). k n 1 k n 2 Örnek n=3, k 2 k 1 oranısabitolmalı, n=5, k 2, k 4 oranlarısabitolmalı. k 1 k 3 Tek boyutlu uzayda, tüm Frenet vektörleriyle sabit açı yapan bir W vektörü bulabiliriz, W = +H 1 v 3 +H 3 v H 2n 1 v 2n+1 şeklindeki W vektörüne helisin ekseni denir. H 1 = k 1 k 2 H 2 = 0 H 3 = H 1. k 3 = k 1. k 3 =sbt k 4 k 2 k 4 ) H 4 = (H 3 +k 4.H 2. 1 =0 k 5 H 5 = (H 4+k ) 5.H 3. 1 = k 5. k 3. k 1 =sbt k 6 k 6 k 4 k 2 H 2i = 0 H 2i+1 = k 1 k 2. k 3 k 4... k 2i+1 k 2i+2 =sbt 26

34 W = +H 1 v 3 +H 3 v H 2n 1 v 2n+1 Çift boyutta bütün Frenet vektörleriyle sabit açı yapan eğri yoktur. Çift boyutta eğrilikleri oranını vererek yeni bir tanım vereceğiz. Tanım ( C.C.R Anlamında helis) α : I E n regüler eğrisi üzerinde {V 1,V 2,...,V n }Frenetçatısıvek i = V i,v i+1 olmaküzere, i {1,2,...,n 2}için k i+1 k i oranlarısabitiseαyac.c.rcurve(sabiteğrilikoranları)tipindehelis denir (Monterde 2004). E 4 de k 2 k 1, k 3 k 2 oranlarısabitolmalı E 5 de k 2 k 1, k 3 k 2, k 4 k 3 oranlarısabitolmalı E n de deaynıhelis tanımıverilebilirfakatburadaçokeğriliklerolduğuiçinfarklı tanımlar karşımıza çıkar. Tanım (Yüksek mertebeden harmonik eğrilikler) α eğrisi{(i, α)} atlası ile verilsin. s I, αnın eğrilik fonksiyonları, sırasıyla, κ 1,κ 2,...κ n 1 olsun.α nınbirimteğetvektöralanı olmaküzere, H i :I R H i = 0 i=0 κ 1 κ 2 i=1 {V 1 [H i 1 ]+H i 2 κ i }. 1 κ i+1 1<i n 2 şeklindetanımlıh i fonksiyonunaαnıni-yincimertebedenharmonikeğrilikfonksi yonu denir. Tanım αeğrisininbirimteğetvektöralanı olmaküzere,x χ(e n ) de sabit bir birim vektör alanı olsun.,x =cosϕ=sbt, ϕ π 2 27

35 ise α eğrisine eğilim çizgisi, ϕ açısına da eğilim açısı ve S p {X} uzayına da α nın eğilim ekseni denir. Eğilim çizgilerinin harmonik eğrilik fonksiyonları için aşağıdaki teorem geçerlidir(hacısalihoğlu 1983). Bu helisleri H-helisler olarak adlandıralım. Teorem n 2 α, E n de H-helistir. Hi 2 =sbttir. i=1 (Hacısalihoğlu 1983). Teorem E 3 de α,c.c.rhelistir α, H-helistir. İspat. E 3 deαeğrisic.c.rhelis k 2 k 1 =sbtdir. BuiseαnınH-helisolduğunu söyler. Teorem α,e n dec.c.rtipindehelistir αhaydentipi helistir(monterde 2004). C.C.Rtipindekihelislerinuzayformundaverilenhelislerleilgisini S 3 küresiiçinbir teoremle verelim. Teorem α, S 3 de Barros anlamında helistir αnın k 1,k 2,k 3 eğrilikleri sabittir(monterde 2004). 28

36 3.4 Darboux Helislerinin Küresel Göstergeleri Tanım (Öklid anlamında genel helisler) E 3 uzayında αbirim hızlı eğri olsun. α eğrisinin teğet doğrultuları sabit bir doğrultu ile sabit açı yapıyorsa α eğrisine genel helis denir. Sabit doğrultuya genel helisin ekseni denir. Teorem E 3 deαeğrisiöklidanlamındahelistir σ(s)= τ fonksiyonu κ her noktada sabittir. İspat: αnınküreselteğetlergöstergesi(t)ninparametresis T vebirimteğetvetörü T T olsun. (T)ninE 3 dekigeodezikeğriliğiκ T olsun. Her iki tarafın normunu alalım, α(s T )=T dα = dt ds T ds ds ds T dα =κn ds ds T ds T T T = dα ds T =κn ds ds T T T =κn ds ds T T T = ds κn ds T 1=κ ds ds T ds ds T = 1 κ T T =N T T (s T )=N(s) 29

37 dir. D T T T T = dt T = dt T ds T ds D T T T T = dn ds ds ds T ds ds T D T T T T =( κt+τb). 1 κ D T T T T = T+ τ κ B Buradannormageçersek,(T)ninE 3 dekigeodezikeğriliği, κ T = D T T ( = τ 2 T T 1+ κ) olarak hesaplanır. κ 2 T =1+ ( τ κ ) 2 (T)ninS 3 dekigeodezikeğriliğiκgolmaküzere,κg= T T T T dır.gaussdönüşümünden, D T T T T = T T T T s(t T ),T T T dir. s(t T )=T T, s(t T ),T T =1 ves 2 içinbirimnormalvektöralanıt olacağından D T T T T = T T T T T D T T T T = T T T T +1 κ 2 T =κ 2 g+1 ve idi yerine yazılırsa ( τ 2 κ 2 T =1+ κ) ( τ ) 2=κ 2 1+ g κ +1 30

38 dir. (T)ninS 2 dekigeodezikeğriliği κ g = τ κ dir.(t) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. eğriliği sabitolduğundanκ T =sbtburadandaκ g =sbteldeedilir. κ g = τ κ =σ(s) dersek σ(s)= τ κ sabit fonksiyonu elde edilir tersi de doğrudur ve ispat tamamlanır. Tanım (Yatık(Slant)helisler)E 3 uzayındaαbirimhızlıeğriolsun.αeğrisinin asli normal doğrultuları sabit bir doğrultu ile sabit açı yapıyorsa α eğrisine yatık (slant) helis denir. Sabit doğrultuya da yatık(slant) helisin ekseni denir. Teorem E 3 uzayındaαbirimhızlıeğriolsun. Budurumda,αeğrisiyatık (slant) helistir ( τ κ) κ σ(s)= 2 sabit bir fonksiyondur(yaylı 2005). (κ 2 +τ 2 ) 3 2 İspat: αnınküreselaslinormallergöstergesi(n)ninparametresis N vebirimteğet vetörüt N olsun. (N)ninE 3 dekigeodezikeğriliğineκ N dersek, Her iki tarafın normunu alalım. α(s N )=N(s) dα = dn ds N ds ds ds N T N = dα ds N =( κt+τb) ds ds N T N = ds ( κt+τb) ds N 31

39 1= W ds ds N ds = 1 ds N W T N = κ W T+ τ W B T N = cosφt+sinφb D T N TN = dt N = dt N ds ds N ds ds N ( ) D T N 1 TN = Φ sinφt+φ cosφb κcosφn τsinφn W D T N TN = 1 ( ) Φ sinφt W N+Φ cosφb W D T N TN = 1 W Buradanda(c)ninE 3 dekigeodezikeğriliği, Φ 2 + w 2 ( Φ κ N = 1+ w olarak hesaplanır. Gauss dönüşümünden, ) 2 idi D T N TN = T N Tn s(t N ),T N N N (s) D T N TN 2 = T N TN 2 +1 κ 2 N =κ2 g +1 ( w κ 2 c=1+ Φ ) 2 ( ) Φ =κ 2 w g+1 κ g = Φ w 32

40 dir. tanφ= τ κ idi, ( Φ 1+tan 2 Φ ) ( τ = κ) ( ) κ Φ. 2 (τ ) = κ 2 +τ 2 κ ( κ g = κ 2 ve w = κ 2 +τ 2 κ 2 +τ 2 ) (τ κ κ2 +τ 2 ) κ g = κ 2 (κ 2 +τ 2 ) 3 2 ( τ κ) =σ(s) elde edilir. O halde, S 2 deki α N nin geodezik eğriliği σ(s)ile verilebilir. Böylece aslinormallerinin(n)nins 2 dekiküreselgösterimiçemberveyaçemberparçasıdır. Çemberin1. eğriliğisabitolduğundanκ N =sbtburadandaκ g =sbteldeedilir. κ g = κ 2 (κ 2 +τ 2 ) 3 2 ( τ κ) =σ(s)=sbt dersek σ(s)= κ 2 (κ 2 +τ 2 ) 3 2 ( τ κ) sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır. Teorem α Yatık helis, α nın teğetlerinin küresel göstergesi (T), küresel helistir(yaylı 2005). Teorem α Yatık helis, α nın binormallerinin küresel göstergesi(b), küresel helistir(yaylı 2005). Tanım (SabitDalgalanmalı(precessionlu)eğriler)E 3 uzayındaαbirim hızlıeğriolsun.αnınw=τt+κb Darbouxvektörüuzaydasabitbirdoğruetrafında sabit açı ve sabit hız ile dönerek hareket ediyorsa bu eğriye Sabit Dalgalanmalı (precessionlu) eğri denir. Burada, κ ve τ α eğrisinin eğrilik ve burulmasıdır. 33

41 {T, N, B} α eğrisinin Frenet vektör alanlarının bir bazıdır. Sabit precessionlu bir eğri, κ(s) = ϖsinµs τ(s) = ϖcosµs ile karakterize edilir. Burada, ϖ 0 ve ϖ, µ sabitlerdir(scofield 1995). Teorem α sabit dalgalanmalı eğridir. α yatık helistir(yaylı 2005). Tanım (Darboux helisleri) αeğrisi Öklid anlamında ( τ κ 0) helis olmayan regüler bir eğri olsun. c(s)= τt+κb τ2 +κ 2 Darboux vektörünü tanımlayalım. Her noktada c(s) ile sabit açı yapan sabit bir doğrultu var ise bu tür α eğrilerine Darboux helisi denir. Teorem αeğrisidarbouxhelistir σ (s)= (τ2 +κ 2 ) 3 2 her noktada sabittir. 1 κ 2 ( τ κ ) fonksiyonu İspat: (c)ninparametresis c vebirimteğetvetörüt c olsun. (c)nine 3 dekigeodezikeğriliğiκ c olsun. α(s c )=c(s)= τ κ τ2 +κ 2T+ τ2 +κ 2B α(s c )=sinφt+cosφb dα = dc ds ds c ds ds c dα ( ) ds = Φ cosφt Φ sinφb+κsinφn τcosφn ds c ds c T c = dα ds c =(Φ cosφt Φ sinφb) ds ds c 34

42 ( ) T c = ds Φ cosφt Φ sinφb ds c 1=Φ ds ds c ds ds c = 1 Φ T c =cosφt sinφb D Tc T c = dt c ds ds c ds c ( 1 D Tc T c = Φ sinφt Φ cosφb+κcosφn+τsinφn) Φ ( D Tc T c = sinφt cosφb+ w ) N Φ. D T c = T c sinφt cosφb+ w N Φ ( ) D T c 2 = w T c 1+. Buradanda(c)ninE 3 dekigeodezikeğriliği, Φ ( w κ c = 1+ olarak hesaplanır. Gauss dönüşümünden, Φ ) 2 D Tc T c = Tc T c s(t c ),T c c(s) D Tc T c = Tc T c c(s) κ 2 c=κ 2 g+1 ( w κ 2 c=1+ Φ ) 2 idi ( ) w 2 1+ =κ 2 g+1 Φ κ g = w Φ 35

43 dir. tanφ= τ κ idi, Φ. ( 1+tan 2 Φ ) ( τ = κ) ( ) κ 2 (τ Φ = κ 2 +τ 2 κ ) κ g = κ2 +τ 2 ( κ 2 )( ) τ κ 2 +τ 2 κ κ g = (κ2 +τ 2 ) 3 2 κ 2 1 ( τ κ) (c) nin küresel gösterimi çember veya çember parçasıdır. Çemberin 1. eğriliği sabit olduğundanκ c =sbtburadandaκ g =sbteldeedilir. κ g = (κ2 +τ 2 ) 3 2 κ 2 1 ( τ κ) =σ (s) dersek σ (s)= (τ2 +κ 2 ) 3 2 κ 2 1 ( τ κ) sabit fonksiyonu elde edilir ve ispat tamamlanır. Teorem Öklid anlamındaki helislerin Darboux vektörlerinin küresel göstergeleri noktadır. İspat: α Öklid anlamında bir helis olsun, c(s)= τt+κb τ2 +κ 2Darbouxvektörünüdüzenlersek, τ κ =λ=sbt(helis) c(s)= κ( τ κ T+B) κ (τ κ)

44 c(s)= c (s)= 1 1+λ 2 (λt+b) 1 1+λ 2 (λκn τn) λ= τ κ yerineyazılırsa c (s)=0 c(s)=sbt noktanın küresel göstergesi de yine noktadır. 1. ve 2. eğriliklerden bahsedemeyiz geodezik eğriliği yoktur. κ g = (κ2 +τ 2 ) 3 2 κ 2 1 ( τ κ) =σ (s) formulünden açıktır ki helis olmayan eğriler için daima mevcuttur bu da yukarıdaki yaptığımız işlemlerle çakışır. Lemma α:i E 3 eğrisiiçin κ τ sbtolsun α yatık helistir. α Darboux helisidir. İspat:αyatıkhelisiseσ(s)= κ 2 (κ 2 +τ 2 ) 3 2 ( τ κ) αdarbouxhelisσ (s)= (τ2 +κ 2 ) κ 2 ( τ κ ) olduğundan σ(s)σ (s)=sbt ispat tamamlanır. σ(s)=sbt σ (s)=sbt 37

45 4. UZAY FORMLARINDA BERTRAND ÇİFTLERİ 4.1 Bertrand Çifti Tanım M(c), 3-boyutlu uzay formu olsun. (I, α),(i, β) koordinat komşuluğu ileverileneğrilerins IdakiFrenetvektörleri,sırasıyla,{T,N,B}ve{T,N,B } olsun. Şayet{N,N }lineerbağımlıise(α,β)eğriikilisinebirbertrandçifti denir. Teorem (I, α),(i, β) koordinat komşuluğu ile verilen(α, β) eğri çifti Bertrand çiftidir s I içind(α(s),β(s))= β(s) α(s) =sbt dir. İspat. β(s) = α(s)+λn yazabiliriz. T β(s) = T α(s)+λ T N(s), T α(s) = α (s) = T, T N(s)=N diyelim, αnınyayparametresis βnınyayparametresis olsun. d ds β(s)ds T ds ds = T+λN +λ N = T+λ( κt+τb)+λ N {N,N }lineerbağımlıiseλ =0 λsbtolur. Teorem α,β eğrileri(i,α),(i,β) koordinat komşuluğu ile verilsin. α nın eğrilikveburulmasıκveτ olmaküzere, (α,β)eğriçiftibertrandçiftidir λ,µ Riçinλκ+µτ =1 İspat. ( ) α(s) ve β(s) noktalarında α ve β nın Frenet vektörleri, sırasıyla, {T,N,B}ve{T,N,B }olsun. BunagöreT ilet arasındakiaçıθolmaküzere, T (s) = cosθt(s)+sinθb(s) 38

46 T = at+bn+cb HerikitarafN ileiççarpılırsa T,N =beldeedilir. N = λn (lineerbağımlıolduğundan) N = 1 λ N T,N = b T, 1λ N = b 1 λ T,N = b T,N = λb=0 b = 0 T =at+cb,t birimvektör,a=cosθ,b=sinθalınırsa T,T = a=cosθ T,B = c=sinθ T (s) = cosθt(s)+sinθb(s) yazılabilir. Türev almak suretiyle, d ds T (s) = d ds T ds =κ N ds ds = ds ds κ N =cosθt (s)+sinθb (s) (4.1.1) ds ds κ N = cosθκn+sinθ( κn)+ d ds cosθt(s)+ d ds sinθb(s) eldeedilir. {N,N}lineerbağımlıolduğundanN =λn yazılabilir. (1)eşitliğiniT ile çarparsak 0 = d ds cosθ 0 = sinθ.θ 39

47 olur. Benzer şekilde(1) ifadesi B ile çarpılırsa 0 = cosθ.θ θ = 0 θ = sbt bulunur. Buna göre, T = cosθt+sinθb β(s) = α(s)+λn T β(s) = T α(s)+λ T N(s) β (s) = T+λ( κt+τb) T ds ds = (1 λκ)t+λτb T = ds ds ds (1 λκ)t+ ds λτb T = cosθt+sinθb cosθ = ds ds (1 λκ) sinθ = ds ds λc 1 λκ = λτ cosθ sinθ 1 λκ = cotθ λτ 1 λκ = λcotθτ λcotθτ+λκ = 1 µ=λcotθyazarsak λκ+µτ =1 sonucu elde edilir. ( ) Şartın yeterliliği, gerek şartın ispatındaki işlemlerin tersi takip edilerek yapılabilir. 40

48 4.2 Uzay Formlarında Bertrand Eğri Çiftleri İle İlgili İki Teorem Teorem M, kesitsel eğriliği c olan 3-boyutlu uzay form olsun. γ, M üzerinde regüler eğri olsun. γ, Bertrand çiftine sahip olan ve Bertrand çiftinin teğet vektörü ile ekseni ortonormal olmayan genel bir helistir γ nın eğrilik ve burulması sabittir. İspat. ( )Kabul edelim ki(i, α) koordinat komşuluğu ile verilen eğrimizin Bertrand çifti (I, β) koordinat komşuluğu ile verilsin. Eğrimizin teğeti ile Bertrand çiftinin teğetiyleyaptığıaçıθvehelisekseniileyaptığıaçıϕolsun. T (s)vez(s)sırasıyla, β nınbirimteğetiveαnınekseniise T (s) = cosθt+sinθb Z(s) = cosϕt+sinϕb olduğunu biliyoruz. Eğrimiz helis eğrisi ise τ =bκ+a (b=cotϕ,a 2 =c) (4.1.2) dir. Ayrıca eğrimizin Bertrand çifti var ise λκ+µτ =1 (4.1.3) olacakşekildeλ,µ Rvardır. Buradaµ=λcotθdır. Böylece(2)ve(3)den, κ= 1 µa λ+µb, τ = λa+b λ+µb eldeedilir. Buradaµ=λcotθveb=cotϕolduğundan κ = τ = 1 λacotθ λ(1+cotϕcotθ) λa+cotϕ λ(1+cotϕcotθ) 41

49 eldeedilir. BuradaT ilez ortonormalolmadığından 1+cotϕcotθ 0 dır. Ayrıcaλ,a,ϕ,θdeğerlerisabitolduğundanκveτ değerlerisabittir. ( ) Kabul edelim ki (I, γ) koordinat komşuluğu ile verilmiş olan eğrimizin κ ve τ eğrilikleri sabit olsun. Bu durumda Z(s)= κt+τb κ2 +τ 2 olarak tanımladığımız vektör alanı eğrimizin Killing vektör alanıdır. Gerçekten, T Z = κ 2 +τ 2 N 2 T Z = κ 2 +τ 2 ( κt+τb) 3 T Z = ( κ 2 +τ 2) 3/2 N olur. M. Barros da Killing vektör alanı olmak şartlarında bu eşitsizlikleri yerine yazarsak ϕ z = T Z,T ϕ=0 z=0 κ 2 z = 2κ z=0 τ 2 z = 2τ z=0 κ = 0 2 TZ,N 4κ 2 T Z,T +2cκ Z,N =0 3 TZ,B 2κ τ 2 κ TZ+cZ,B + 2τ(c+κ2 ) T Z,B 2 κ 2τ 2 T Z,T elde edilir ki bu da Z nin Killing vektör alanı olduğunu gösterir. Burada κ Z,T = κ2 +τ 2 olduğundan κ cosθ= κ2 +τ 2 42

50 olur. κveτ sabitolduğundanθdasabittir. Böyleceγbirhelistir. Ayrıcaβeğrisini β(s)=γ(s)+ 1 κ N(s) olarak tanımlayalım. Kabul edelim ki β nın yay parametresi s olsun. Burada γ yönünde türev alırsak β (s)=t ds ds =T+ 1 κ ( κt+τb) ve olur. Burada, T ds ds = τ κ B ds ds = τ κ vet =Bolduğugörülür. (T,Bbirimvektörkatsayılarıaynıolur.) T =Bden tekrar türev alırsak, κ N ds ds = τn olur. Böylece,{N,N}ninlineerbağımlıolduğugörülür. ({N,N}lineerbağımlı Bertrand çiftidir). Dolayısıyla γ ile β eğrileri Bertrand çiftleridir. Teorem M, kesitsel eğriliği c olan 3-boyutlu uzay formu olsun. γ Bertrand çiftine sahip ve γ nın Bertrand çiftinin teğet vektörü ile ekseni ortonormal olan genel bir helistir Aşağıdaki eşitlik sağlanır. λκ+ τ =1. c Buradaλ,γnınBertrandçiftiileγarasındakiuzaklıktırveλsabittir. ( ) ϕ θ= π 2 İspat. Kabul edelim ki γ genel helis, Bertrand çifti var ve helis ekseniyle Bertrand çiftininteğetidikolsun. γnınfrenetvektörlerit,n,bveγnınbertrandçiftiolanβ nınfrenetvektörlerit,n,b olsun. Ayrıcaγnınveβnıneğrilikleride,sırasıyla, κ,τ ileκ,τ olsun. T ilet arasındakiaçıyaθ,eğrininekseniz(s)olmaküzeret 43

51 ile Z arasındaki açıya ϕ diyelim.dolayısıyla, T =cosθt+sinθb (4.1.4) olur. Buradaϕ= π 2 +θolduğundan Z= sinθt+cosθb (4.1.5) olur. Burada θ sabit bir açıdır. (4.1.5) den T Z= (κsinθ+τcosθ)n olur. AyrıcaeğrimizinBertrandçiftiolduğundaλ=d(α,β)veµ=λcotθiçin 1 λκ cosθ = λτ sinθ ve κsinθ+τcosθ= sinθ λ (sbt) olur. Böylece, T Z= sinθ λ N (4.1.6) olur. Tekrar türev alırsak 2 TZ = sinθ λ ( κt+τb) 3 T Z = sinθ λ [ ( κ 2 +τ 2) N κ T+τ B olur. Killing vektör alanı olma şartlarını sağlatırsak ϕ z = T Z,T ϕ=0 z=0 κ 2 z = 2κ 2 TZ,N 4κ 2 T Z,T +2cκ Z,N =0 z=0 ] 44

52 olduğu görülür. Ayrıca τ 2 z = 2ττ sinθ z=0 λ + 2κ τ 2 sinθ κ 2 λ olur. Bu eşitliği düzenlersek τ 2 z = 2τsinθ ( τ +2cτcosθ z=0 λ κ) ( ) 1 κ (4.1.7) elde edilir. Ayrıca γ nın Bertrand çifti olmasından λκ+µτ =1 dir. Buradaµ=λcotθdır. Böylece ( τ λ+µ = κ) 1 κ ve ( τ κ) = 1 ( ) 1 λcotθ κ (4.1.8) elde edilir. (8) ifadesini(7) de yerine yazarsak τ 2 z =2τ z=0 ( )( ) ccosθ sin2 θ 1 λ 2 cosθ κ elde edilir. κ sabit değilse 1 κ da sabit değildir. Dolayısıyla 1 κ vektör alanı Killing vektör alanı ise τ 2 z =0 z=0 0 dır. Ayrıca Z dır. Böylece, ve ccosθ sin2 θ λ 2 cosθ =0 cosθ= 1 1+cλ 2 45

53 olur. Buradan cotθ= 1 λ c elde edilir. Eğrimiz Bertrand çifti olduğundan λκ+λcotθτ =1 eşitliğinisağlar. cotθ= 1 λ c olduğundan λκ+ τ c =1 eşitliği sağlanır. ( )Kabuledelimkiγeğrisiiçin λκ+ τ c =1 eşitliği sağlansın. Teorem(*) dan eğrimizin Bertrand çifti olduğu görülür. Bu eğri helis eğrisi midir? vektör alanını tanımlayalım Böylece, Z(s)= λ c 1+cλ 2 T+ 1 1+cλ 2 B ( ) T Z = λ cκ τ N 1+cλ 2 1+cλ 2 c = (λκ+ τ ) c N 1+cλ 2 c = N 1+cλ 2 olur. Tekrar türev alırsak 2 T Z = c 1+cλ 2 ( κt+τb) 3 c [ T Z = ( κ 2 +τ 2) ] N κ T+τ B 1+cλ 2 elde ederiz. Bu eşitlikleri Killing vektör alanı olma şartlarıyla ilgili denklemlerde 46

54 yerlerine yazarsak olduğu kolayca görülür. τ 2 z ϕ z = κ2 z=0 z =0 z=0 eşitliğinebakarsak z=0 ( τ 2 z = 2τ ) cτ z=0 κ 1+cλ 2 2κ τ κ 2 ( ) cτ 1+cλ 2 c = 2ττ κ 2κτ c 1+cλ 2+ κ 2κτc 2 1+cλ 2 κ 2 1+cλ 2 = 2τ ( ) c κτ κ τ 2κ τc 1+cλ 2 κ 2 κ 2 1+cλ 2 = 2τ c ( τ 2κ 1+cλ 2 κ) τc κ 2 1+cλ 2 2κ τ κ 2 ( ) c 1+cλ 2 olur. Ayrıca eşitliğinden λκ+ τ =1 c λ+ 1 ( τ ) = 1 c κ κ olur. Her iki tarafın türevini alırsak ( τ κ) = c ( ) 1 κ = κ c κ 2 elde edilir. Böylece, τ 2 z = 2τ c z=0 1+cλ 2 = 0 ( ) c κ κ 2 2κ τc κ 2 1+cλ 2 elde edilir. Dolayısıyla γ eğrisi ekseni Z olan bir helistir. 47

55 5. UZAY FORMLARINDA LC HELİSLER Bu bölümde LC-helisleri tanıtacağız (LC helisler Prof. Dr. H.H. Hacısalihoğlu tarafından isimlendirilmiştir). Bu helislerin özeliklerini inceleyeceğiz. 5.1 Uzay Formunda LC Helisler ve Karakterizasyonları Tanım Bir γ(s) eğrisi boyunca tanımlanan V Killing vektör alanıyla eğrinin teğeti arasındaki açı her noktada sıfırdan farklı sabit bir açıya eşitse γ eğrisine genel helis denir(barros 1997). Tanım E n deα:i E n parametreeğrisiboyuncabirx vektöralanıiçin. X= dx dt =0 ise X vektör alanına α eğrisi boyunca Öklid anlamında paraleldir denir (Hacısalihoğlu 2004). Tanım E n+1 debirhiperyüzeym vem üzerindebirparametreeğrisi α:i Molsun. αeğrisiboyuncamyeteğetolanbirxdiferensiyellenebilirvektör alanı için X =0 ise bu X vektör alanına Levi-Civita anlamında paraleldir denir (Hacısalihoğlu 2004). Tanım M(c)3boyutlukesitseleğriliğicolansabituzayformuveα:I M eğrisi verilsin. V, M de Levi-Civita anlamında birim paralel vektör alanı olsun. s I için, T,V =cosθ oluyorsa,αyam debirlc helis denir.eğer,m uzayformundac=0,alırsak 48

56 uzayformumuzm(c)=e 3 E 4 olur. E 3 deαeğrisinigözönünealalım. V sabit olduğundan. V=0olur. V = V.. V,N N eşitliğinden V = 0 olur.bu ise, V nin α eğrisi boyunca Levi-Civita anlamında paralel vektör alanı olduğunu gösterir. Öklid anlamındaki helisler ile LC-helisler özel durumda çakışır. Şimdi Lancert teoremini LC helisler için genelleştirelim. Teorem M(c),E 4 debiruzayformu(veyahiperyüzey)olsun. α, M(c)üzerindeLChelistir κ τ =sbt dir. İspat: α,m(c)delchelisisev Levi-Civitaparalelbirimvektöralanıvardır. T,V =cosθ türev alırsak, T T,V + T, V T =0 T T,V =0 κ N,V =0 κ 0 olduğundan, N,V =0 tekrar türev alırsak N T,V + N, V T = 0 κt+τb,v = 0 κ T,V +τ B,V = 0 V,{T, B} nin gerdiği düzlemde olduğundan, κcosθ+τsinθ=0 49

57 κ τ = sinθ cosθ =(sbt) ( ) κ τ =sbt ( sinθ cosθ) olsun V =cosθt+sinθb Levi-Civita paralel birim vektör alanıdır. Gerçekten, V = V T =cosθ T T+sinθ B T V =(κcosθ τsinθ)n V =0 dır. V Levi-Civitaparalelbirimvektöralanıdır. Buyüzden,α,M(c)de Helistir. LC helis ile M.Barros anlamında helis arasındaki ilişkiyi verelim. Lemma α, M uzay formu(veya hiper yüzey) üzerinde bulunan bir eğri olsun. α,m.barrosanlamındahelisveκ=sabit(veyaτ =sabit)ise α,m(c)delchelistir. İspat: α,m.barrosanlamındahelisiseτ =bκ+a olacakşekildea,b R,sabitleri vardır.κ = sbt olduğundan τ = sbt olurburadan, κ τ 5.1.1den,M(c)deLChelistir. = sbt olacağındanα Teorem Lemma α, M uzay formu(veya hiper yüzey) üzerinde bulunan bir eğri olsun. α,m.barrosanlamındahelisvea=0 ise α,m(c)delchelistir. İspat: α,m.barrosanlamındahelisiseτ =bκ+a olacakşekildea,b Rsabitleri vardır.a=0 iseτ =bκ dır. Buradanda, κ τ =b=sbtolacağındanα,m(c)delc anlamında helistir. Sonuç5.1.1:M(c)3-boyutlukesitseleğriliğicolansabituzayformundac=0 alırsak 50

58 M nine 3 Ökliduzayıolmasıdemektir. M(c)=E 3 E 4 M(c) dekibarrosanlamında helis tanımı ile LC helis aynıdır. Teorem M(c) n- boyutlu kesitsel eğriliği c olan sabit uzay formunda α geodezik eğriiseα,mdelchelistir. İspat: V =T alalım, V,T =1=cosθ θ=0olupθsabittir. Ayrıca, T V = V = V. = d2 α ds 2 yazılabilir.α geodezikise d2 α =λn dir. ds2 V,N N N. d 2 α ds 2,N T V = V = d2 α d 2 ds α 2 ds 2,N = λn λn,n N = λn λn =0 N V = 0 olduğundanv Levi-Civitaanlamındabirimparalel vektöralanıdır. Buna göre α LC helistir. Teoremintersi,α daireselhelisisedoğrudur.α daireselhelisiseτ =0dır. B T = τn =0olur. α,lchelisise T V = T (cosθ.t+sinθ.b)=0 cosθ T T+sinθ B T =0 B T =0,olduğundan T T =0 eldeedilir. Buiseα nıngeodezikolmasıdemektir. Teorem M(c), kesitsel eğriliği c olan 3 boyutlu sabit uzay formu α:i M(c)LCheliseğrisidir det( T B, T T B, T T T B)=0dır. 51

59 İspat.( ) α:i M(c) eğrisinde T B = τn T T B = ( τ) N+τκT τ 2 B ( 2τ κ+τκ ) T+ T T T B = ( τ +τκ 2 +τ 3 ) N+ ( 3ττ ) B 0 τ 0 det( T B, T T B, T T T B) = τκ τ τ 2 2τ κ+τκ τ +τκ +τ 3 3ττ = τ 5 ( κ τ ),τ 0 dır. α:i M(c) LC helis olsun. Bu durumda Teorem den κ τ =sabit dir. Buradan, ( κ τ) =0 olacağından det( T B, T T B, T T T B)=0 elde edilir. ( ) ve det( T B, T T B, T T T B)=0 τ 0 52

60 olduğundan dır. ( κ τ) =0 κ τ =sbt ise α:i M(c) L.C helis olur. Teorem M(c), kesitsel eğriliği c olan 3 boyutlu sabit uzay formu dır. X:I M(c) LCheliseğrisidir det ( T T X, 3 T X, 4 T X) =0 İspat: eğrisinde, X:I M(c) X=1.X T X=T T T X= T T =κn T T T X= κ 2 T+κ. N+κτB T T T T X= 3κκ. T+ ( κ 3 κτ 2 +κ..) N+(2κ. τ+κτ. )B {T, N, B} baz vektörlerinin karma çarpımı determinantla verilebilir. det ( 2 T X, 3 T X, 4 T X) = 0 κ 0 κ 2 κ κτ 3κκ κ 3 κτ 2 +κ.. 2κ. τ+κτ. 53

61 determinant açılıp gerekli düzenlemeler yapılırsa, det ( 2 TX, 3 TX, 4 TX ) =κ 5 ( κ τ ) eldeedilir.x:i M(c)LChelisolduğundan, κ τ =sbt ( κ τ) =0 det ( 2 TX, 3 TX, 4 TX ) =0 ( ) Eğer, det ( 2 TX, 3 TX, 4 TX ) =0 ( τ κ 0, =0 burdanda κ) τ κ helis olduğu görülür. =sbteldeedilir.buradandax :I M(c)LC 54

62 5.2 n-boyutlu Uzay Formlarında Eğilim Çizgileri(LC helisler) ve Karakterizasyonları M(c) E n kesitsel eğriliği c olan uzay formu(veya hiper yüzey) olsun. α : I M(c)eğrisininbirimteğetvektöralanı vex χ(m)levi-civitaanlamındabirim paralel vektör alanı olsun. Eğer, p α M(c),X =sbt=cosϕ ise α eğrisine M(c) sabit uzay formunda eğilim çizgisi, ϕ açısına eğilim açısı ve S p {X} uzayına da α nın eğilim ekseni denir. M(c) uzay formunda bir eğriyi eğilim çizgisi olarak karakterize etmek için n=3 halinde H 1 = κ τ olarak bilinen harmonik eğrilik kavramını, M(c) deki bir eğri için yüksek mertebeden harmonik eğrilik kavramına genelleştireceğiz. Tanım (Yüksek mertebeden harmonik eğrilikler) α M(c) eğrisi {(I,α)} atlası ile verilsin. s I, αnın eğrilik fonksiyonları, sırasıyla,κ 1,κ 2,...κ n 1 olsun.αbirimteğetvektöralanı olmaküzere, H i = H i :I R κ 1 κ 2, i=1 { H i 1 +H i 2 κ i }. 1 κ i+1,...1 i n 2 şeklindetanımlıh i fonksiyonunaαnıni-yincimertebedenharmonikeğrilikfonksiyonu denir. Eğilim çizgilerinin harmonik eğrilik fonksiyonları için aşağıdaki teoremi verebiliriz. 55

63 Teorem M(c) E n+1 kesitseleğriğicolanuzayformuolsun. α:i M(c) eğrisinin birim teğet vektör alanı ve X χ(m) Levi-Civita anlamında birim paralelvektöralanıolsun. αnınmdekin-ayaklısı{,v 2,...v n },harmonikeğrilikleri deh 1,H 2,...H n 2 olmaküzere, v i+2,x =H i.,x, 1 <i n 2 dir. İspat: X=λ 1 +λ 2 v λ n v n X, =λ 1 =cosθ v1 X, + X, =0 X =0olduğundan, burdanκ 0olduğundan X,κv 2 =0 X,v 2 =0 elde edilir. Tekrar türev alınırsa X,v 2 + X, v 2 =0 X =0olduğundan, ve ifadesi düzenlenirse, X, κ 1 +κ 2 v 3 =0 κ 1 X, +κ 2 X,v 3 =0 λ 3 = κ 1 κ 2.cosθ H 1 = κ 1 κ 2 v 3,X =H 1 cosθ 56

64 v 3,X =H 1,X i=1 için ispat tamamlanmış olur. Tümevarımla i-için ispat edelim i-1 için teorem doğru olduğundan kovaryant türev alınırsa, v i+1,x =H i 1,X v i+1,x + X,v i+1 = H i 1.,X ifade açılıp düzenlenirse, κ i v i +κ i+1 v i+2,x = H i 1.,X κ i v i,x +κ i+1 v i+2,x = H i 1.,X v i+2,x = Burada tümevarım hipotezindeki { κ i v i,x + H i 1.,X 1 κ i+1 }. v i,x =H i 2,X yerine yazılırsa, v i+2,x = { κ i H i 2 + H i 1. } 1 κ i+1,x v i+2,x =H i,x ispat tamamlanmış olur. Teorem M(c) E n+1 α M(c)eğrisininFrenetn-ayaklısı{,v 2,...v n }, harmonikeğriliklerideh 1,H 2,...H n 2 olmaküzere, α M(c) debireğilimçizgisidir n 2 Hi 2 =sbt dir. i=1 57

65 İspat: α bir eğilim çizgisi olsun,x =cosϕ=sbt teorem gereğince Ayrıca, v i+2,x =H i,x.,x =sbt,x + X, =0 κv 2,X =0 v 2,X =0 {,v 2,...v n }ortonormalsistemiχ(m)inbirortonormalbazıolacağından χ S p {,v 2,...v n } veya X= n i=1 v i,x v i yazılabilir. Yukarıdaki v i,x değerleriyerine,x =cosϕ, v 2,X =0, v 3,X =H 1 cosϕalınırsa n 2 X=cosϕ. + H j.cosϕ.v j+2 j=1 eldeedilir. X X(M)Levi-Civitaanlamındabirimparalelvektöralanıve X =1 olduğundan n 2 cos 2 ϕ.+ Hj.cos 2 2 ϕ=1 j=1 n 2 Hj 2 =tgϕ=sbt j=1 n 2 Hj 2 =sbt j=1 58

66 n 2 Hi 2 =sbt j=1 ispat tamamlanmış olur. Sonuç Bir LC helis eğrisinin eğilim ekseni X ise X=λ 1 +λ 2 v λ n v n şeklinde yazabiliriz. Burada, λ i = X,v i =H i 2,X burada,,x =sbt 0=cosϕ X=cosϕ( +H 1 v H n 2 v n ) olur. W = +H 1 v H n 2 v n dersek. Böylece α eğrisinin eğilim eksenini, olarak bulabiliriz. Burada, X= W W = +H 1 v H n 2 v n +H 1 v H n 2 v n X LC paralel vektör alanıdır W LC paralel vektör alanıdır önermesini kolayca ispatlayabiliriz. Teorem M(c) E n+1 kesitseleğriliğicolanuzayformuolsun. α:i M(c)eğrisin-mertebedenregülereğri{,v 2,...v n }Frenetvektörlerik 1,k 2,...k n 1 de eğrinin eğrilikleri olsun. Bu durumda, αbirlchelistir W = +H 1 v H n 2 v n olmaküzerew,lcparalel vektör alanıdır. 59

67 İspat:( ) W = +H 1 v H n 2 v n LC paralel vektör alanı olduğundan W =sbt X= W W = 1 W.W LCparalelvektöralanıolur. (W,LColupW nınkatıdalcdir) αbirlchelistir. X, = 1 W =sbt, X =1 ( )αbirl.chelisolsun. αnınekseni X=λ 1 +λ 2 v λ n v n olsun, λ 1 =,X =sbt X =0olacakolacakşekildeX LCvektöralanıvardır.,X + X, =0 κ 1 v 2,X =0 λ 2 = v 2,X =0 X,v 2 =0 tekrar türev alırsak, X,v 2 + X, v 2 =0 X, κ 1 +κ 2 v 3 =0 λ 3 = v 3,X =H 1,X =H 1 cosϕ λ i = v i,x =H i 2,X ve X=cosϕ( +H 1 v H n 2 v n ) 60

68 elde edilir. X=cosϕ.W X LCparalelvektöralanıolduğundanX =0vecosϕ=sbtolduğundan X =cosϕ.w W LC paralel vektör alanıdır. W =0 W, =1=sbtveW =0 Teorem M(c) E n kesitseleğriliğicolanuzayformuolsun. α:i M(c) eğrisi n-mertebeden regüler eğri olmak üzere. n 2 αeğrisilchelistir Hi 2 =sbt tir. Bu teoremin ispatı verildi. Böylece M(c) deki eğilim çizgileri için yeni bir karakterizasyon verebiliriz. i=1 Teorem M(c) E n kesitseleğriliğicolanuzayformuolsun. α:i M(c) eğrisi n-mertebeden regüler eğri olsun. Bu durumda, αeğrisilchelistir V 1 [H n 2 ]+k n 1 H n 3 =0 dır. İspat: W = +H 1 v H n 2 v n V 1 [H i 1 ]= k i H i 2 +k i+1 H i buradan da D v1 W =... 61

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI.

BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E 3-BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME TEZİ E -BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA HELİSLER VE UYGULAMALARI Hasibe ŞENOL 16104210046 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Murat BABAARSLAN YOZGAT 201 ÖZET

Detaylı

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014

Name: Diferensiyel Geometri Spring 2014 Çalışma soruları Tanim [Basit egri] α : (a, b) R 3 egrisi verilsin. Farkli t 1, t 2 (a, b) noktalari icin α(t 1 ) α(t 2 ) oluyorsa α egrisine basit egri adi verilir (kendisini kesmeyen egriye basit egri

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006

Darboux Ani Dönme Vektörleri ile. SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ. Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 Darboux Ani Dönme Vektörleri ile SPACELIKE ve TIMELIKE YÜZEYLER GEOMETRİSİ Prof. Dr. H. Hüseyin UĞURLU Prof. Dr. Ali ÇALIŞKAN Celal Bayar Üniversitesi Yayınları Yayın No: 0006 0 Celal Bayar Üniversitesi

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER

III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER Bölüm 1 III. DERS DİFERENSİYELLENEBİLİR YÜZEYLER 1.1 YÜZEYLER:TANIM VE ÖRNEKLER Bu kesimin amacı R 3 de yüzeyler teorisini incelemek ve bunun içinde manifoldlar teorisinin gerekli kısmını aktarmaktır.

Detaylı

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1

SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT BİR UYGULAMA. Süleyman ŞENYURT 1* Selin SİVAS 1 Ordu Üniv. il. Tek. Derg. Cilt: Sayı: 046-60/Ordu Univ. J. Sci. Tech. Vol: No:046-60 SMARANDACHE EĞRİLERİNE AİT İR UYGULAMA Süleyman ŞENYURT * Selin SİVAS Ordu Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Kesirli Türevde Son Gelişmeler

Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER Naser MASROURİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi FRENET HAREKETLERİ VE YÜZEYLER

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER

T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER YÜKSEK LİSANS TEZİ V.ÇİÇEK,05 T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA YÜZEYLER NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ VEYSİ

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon K Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 16 (2016) 021304(256 264) AKU J. Sci. Eng. 16 (2016) 021304(256

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI

Özet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI Özet: Açısal momentumun türetimi Açısal momentum değiştirme bağıntıları Levi- Civita simgesi Genel olarak, L x, L y, L z, nin eşzamanlı özdurumları yoktur L 2 ve bir bileşeni (L z ) nin eşzamanlı özdurumlarıdır.

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ,

A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z (1) A A. Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate alalım: A = Axˆx + A y ŷ + A z ẑ, Vektör Analizi(Özet) Bir vektörün büyüklüğü(boyu) Birim vektör A A = A 2 + A 2 y + A 2 z (1) A â A (2) İki vektörün skaler(nokta) çarpımı Üç-boyutlu uzayda, iki tane vektörü kartezyen koordinatlarda dikkate

Detaylı

ENİNE DEMET DİNAMİĞİ. Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi. Ankara Üniversitesi

ENİNE DEMET DİNAMİĞİ. Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi. Ankara Üniversitesi ENİNE DEMET DİNAMİĞİ Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi 1 Dairesel Hızlandırıcılar Yönlendirme: mağnetik alan Odaklama: mağnetik alan Alan indisi zayıf odaklama: 0

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.

Rastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble. 1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

EMAT ÇALIŞMA SORULARI

EMAT ÇALIŞMA SORULARI EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)

Detaylı

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar

Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Gravite alanı belirlemede modern yaklaşımlar Lisansüstü Ders Notları Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Harita Mühendisliği austun@selcuk.edu.tr Konya, 2016 A. Üstün (Selçuk Üniversitesi) Gravite alanı belirleme

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ DOÇ.DR. AYŞE FUNDA YALINIZ Adres : Dumlupınar Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Evliya Çelebi Yerleşkesi Tavşanlı Yolu 10.km. KÜTAHYA Telefon : 2742652031-3058

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir.

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 9. Tanım 2. Kompleks düzlemin tamamında analitik olan bir fonksiyona tam fonksiyon denir. .7. Analitik ve Harmonik Fonksiyonlar Tanım 1. f(z) nin z 0 da f (z 0 ) türevi mevcut ve z 0 ın bir D ε (z 0 ) = {z : z z 0 < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f ye z 0 da analitiktir

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları

Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları 2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

T.C. LIGHTLIKE EINSTEIN HİPERYÜZEYLER. Esra KARATAŞ

T.C. LIGHTLIKE EINSTEIN HİPERYÜZEYLER. Esra KARATAŞ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LIGHTLIKE EINSTEIN HİPERYÜZEYLER Esra KARATAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA Haziran 2015 Tezin Başlığı : LIGHTLIKE EINSTEIN HİPERYÜZEYLER

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Mohr Dairesi Düzlem Gerilme

Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Mohr Dairesi Düzlem Gerilme Bu bölümde düzlem gerilme dönüşüm denklemlerinin grafiksel bir yöntem ile nasıl uygulanabildiğini göstereceğiz. Böylece dönüşüm denklemlerinin kullanılması daha kolay olacak.

Detaylı

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER. Serpil KARAGÖZ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER. Serpil KARAGÖZ ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ YÜZEYLERE DAİR BAZI DİFERENSİYEL GEOETRİK EŞİTSİZLİKLER Serpil KARAGÖZ ATEATİK ANABİLİ DALI ANKARA 7 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi YÜZEYLERE

Detaylı

T.C. SEMI-RIEMANNIAN UZAYLARINDA BAZI ÖZEL EĞRİLERİN GEOMETRİSİ DOKTORA TEZİ

T.C. SEMI-RIEMANNIAN UZAYLARINDA BAZI ÖZEL EĞRİLERİN GEOMETRİSİ DOKTORA TEZİ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SEMI-RIEMANNIAN UZAYLARINDA BAZI ÖZEL EĞRİLERİN GEOMETRİSİ Mehmet GÖÇMEN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA Haziran 2012 Tezin Başlığı : Semi-Riemannian

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi

TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar

3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar 3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme eniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar Bir Deney Tasarımı Modeli, X matrisi (veya bir kısmı) özel yapılandırılmış, = X β + biçiminde

Detaylı

KENMOTSU F.PK-MANİFOLDLAR. Ramazan SARI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2010 ANKARA

KENMOTSU F.PK-MANİFOLDLAR. Ramazan SARI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2010 ANKARA KENMOTSU F.PK-MANİFOLDLAR Ramazan SARI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2010 ANKARA Ramazan SARI tarafından hazırlanan KENMOTSU F.PK-MANİFOLDLAR adlı bu tezin

Detaylı

Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi

Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt Manifoldlarının Varlık Problemi Erciyes Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Derisi Cilt 33, Sayı, 07 0 Erciyes Unirsity Journal of atural and Applied Sciences Volume 33, Issue, 07 Para-Kenmotsu Manifoldların Warped Çarpım Hemislant Alt

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek

Detaylı

3-Boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğriler ve Bishop Çatısı. Bertrand Curves and Bishop Frame in the 3-Dimensional Euclidean Space

3-Boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğriler ve Bishop Çatısı. Bertrand Curves and Bishop Frame in the 3-Dimensional Euclidean Space Sakarya Ünirsitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, Vol(o): pp, year SAKARYA ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ DERGİSİ SAKARYA UIVERSITY JOURAL OF SCIECE e-iss: 47-85X Dergi sayfası: http://dergipark.gov.tr/saufenbilder

Detaylı

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL

ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

Statik Manyetik Alan

Statik Manyetik Alan Statik Manyetik Alan Amper Kanunu Manyetik Vektör Potansiyeli Maxwell in diverjans eşitliği Endüktans 1 Amper Kanununun İntegral Formu 2 Amper Kanununun İntegral Formu z- ekseni boyunca uzanan çok uzun

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.

Manyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır. Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız:

10. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 20, Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: 10. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 20, 2016 1 Yarıbasit Bir Lie Cebirinin Yapısı Hakkında Yarıbasit bir Lie cebirinin yapısını analiz etmeye devam ediyoruz. hatırlayınız: Kök uzay ayrışımını g = h χ Φ g χ.

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı