ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Oğz ŞİMŞEK EĞRİSEL GENİŞ BAŞLIKLI SAVAK ÜZERİNDEN GEÇEN AÇIK KANAL AKIMININ DENEYSEL VE TEORİK ANALİZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 011 1

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EĞRİSEL GENİŞ BAŞLIKLI SAVAK ÜZERİNDEN GEÇEN AÇIK KANAL AKIMININ DENEYSEL VE TEORİK ANALİZİ Oğz ŞİMŞEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI B tez.../.../011 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçoklğ İle Kabl Edilmiştir Doç. Dr. M. Sami AKÖZ Prof. Dr. M. Salih KIRKGÖZ Doç.Dr.Galip SEÇKİN DANIŞMAN ÜYE ÜYE B Tez Enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü B Çalışma Ç. Ü. Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No: MMF010YL41 Not: B tezde kllanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kllanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kannndaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ EĞRİSEL GENİŞ BAŞLIKLI SAVAK ÜZERİNDEN GEÇEN AÇIK KANAL AKIMININ DENEYSEL VE TEORİK ANALİZİ Oğz ŞİMŞEK ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Danışman :Doç. Dr. M. Sami AKÖZ Yıl: 011, Sayfa: 109 Jüri : Doç. Dr. M. Sami AKÖZ : Prof. Dr. M. Salih KIRKGÖZ : Doç. Dr. Galip SEÇKİN B çalışmada, eğrisel geniş başlıklı savak üzerinden geçen akımın hız alanı, iki farklı akım koşlları altında, bir boytl Lazer Doppler Anemometresi (LDA) kllanılarak ölçülmüştür. Deney ile aynı akım koşllarında, temel denklemler Standart k-ε, RNG k-ε, Realizable k-ε, SST ve RSM türbülans modelleri kllanılarak, sonl hacimler yöntemine dayalı ANSYS-Flent paket programı yardımıyla çözülmüştür. S yüzü profilinin hesabı için Akışkan hacimleri yöntemi (Volme of Flid-VOF) yöntemi kllanılmıştır. Sayısal sonçlar üzerinde seçilen ağ yapısının etkisini incelemek için GCI (Grid Convergence Inde) yöntemi kllanılmıştır. Sayısal hesaplamalardan elde edilen akım hızları ve s yüzü profilleri, sayısal sonçların doğrlanması bağlamında deneysel ölçümlerle karşılaştırılmıştır. Sayısal ve deneysel blgların karşılaştırması, RNG k-ε türbülans modelinin, hız alanı ve s yüzünün hesaplamasında, b çalışmada kllanılan diğer türbülans modellerine göre daha başarılı oldğn göstermiştir. Anahtar Kelimeler: Eğrisel Geniş başlıklı savak, LDA, Sayısal model, VOF, Hız profili I

4 ABSTRACT MSc THESIS EXPERIMENTAL AND THEORETICAL ANALYSIS OF OPEN CHANNEL FLOW OVER A CURVILINEAR BROAD-CRESTED WEIR Oğz ŞİMŞEK UNIVERSITY OF ÇUKUROVA INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING Spervisor : Assoc. Prof. Dr. M. Sami AKÖZ Year: 011, Pages: 109 Jry : Assoc. Prof. Dr. M. Sami AKÖZ : Prof. Dr. M. Salih KIRKGÖZ : Assoc. Prof. Dr. Galip SEÇKİN In this stdy, the velocity field of the overflow a crvilinear broad crested weir is measred sing a one-dimensional Laser Doppler Anemometry (LDA) for two different flow conditions. Using standard k-ε, RNG k-ε, Realizable k-ε, SST and RSM trblence closre models, the basic eqations are solved by ANSYS-Flent package program based on finite volme method for the same eperimental conditions. The volme of flid (VOF) method is sed to compte the free srface of the flow. GCI (Grid Convergence Inde) is performed to eamine the effect of the selected grid strctre on the nmerical reslts. The nmerical reslts for the velocity field and flow profiles are compared with the eperimental reslts for validation prposes. The comparisons of the nmerical and eperimental reslts show that the nmerical simlation sing the RNG k ε trblence closre model predicts the velocity field and free srface profile more accrately compared to those of the other trblence models sed in the present stdy. Keywords: Crvilinear Broad-crested weir, LDA, Nmerical model, VOF, Velocity profile II

5 TEŞEKKÜR Yüksek lisans eğitimim süresince, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve tecrübesini paylaşan, zamanını ve güler yüzünü benden esirgemeyen Sayın Hocam, Doç Dr. M. Sami AKÖZ e en başta teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Değerli katkılarından dolayı Sayın Prof. Dr. M. Salih KIRKGÖZ e teşekkür ederim. Desteklerinden dolayı Arş. Görevlileri, M. Eyyüp KAVŞUT ve Baki BAĞRIAÇIK a teşekkür ederim. Yüksek lisans eğitimim boynca çalışmamda her an yanımda olan tecrübesini, bilgisini ve yardımlarını benden esirgemeyen Sayın Arş. Gör. Veysel GÜMÜŞ e ayrıca teşekkür ederim Laboratvar çalışmalarımda, bana yardımcı olan Mühendislik Mimarlık Fakültesi yüksek lisans öğrencisi Harn BAL a teşekkür ederim. Yüksek lisans çalışmalarım esnasında tüm bölüm olanaklarından yararlanmamı sağlayan Ç.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölüm Başkanlığı na, maddi destek veren Ç.Ü. Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi ne (Proje no: MMF010YL41) içten teşekkürlerimi snarım. Son olarak, hayatımın her aşamasında yanımda olan ve benden desteklerini esirgemeyen değerli aileme teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ... VI ŞEKİLLER DİZİNİ... VIII SİMGELER VE KISALTMALAR... X 1. GİRİŞ ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR DENEY DÜZENEĞİ DENEY DÜZENEĞİ Lazer Doppler Anemometresi (LDA) Tekniği İle Akım Hızının Ölçülmesi TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ TEMEL DENKLEMLER Sıkışmayan Türbülanslı Akımda Süreklilik Denklemi Sıkışmayan Akımlar İçin Hareket Denklemi Sıkışmayan Türbülanslı, Newtonien Akışkan Akımında Hareket Denklemleri (Reynolds Denklemleri) TÜRBÜLANS MODELLERİ Hız Dağılımı İçin Logaritmik Dvar Kann (law of the wall) Sonl Hacimler Yöntemi Akışkan Hacimleri Yöntemi Ağ Yakınsama İndeksi (GCI- Grid Convergence Inde) SAVAK AKIMININ HAD İLE MODELLENMESİ IV

7 5.1. ÇÖZÜM BÖLGESİ VE SINIR ŞARTLARI CİDAR BÖLGESİNİN MODELLENMESİ SONLU HACİMLER HESAP AĞI GCI (AĞ YAKINSAMA İNDEKSİ) UYGULAMASI BULGULAR VE TARTIŞMALAR HESAPLANAN HIZ PROFİLLERİ HESAPLANAN AKIM ÇİZGİLERİ DENEYSEL VE HESAPLANAN SU YÜZÜ PROFİLLERİ DENEYSEL HIZ PROFİLLERİ LOGARİTMİK HIZ DAĞILIMI SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ V

8 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 5.1. Üç farklı yoğnlktaki ağlar için bölgelerdeki eleman sayıları Çizelge 5.. =0.60 m için GCI yglaması Çizelge 5.3. =1.06 m için GCI yglaması Çizelge 5.4. =1.70 m için GCI yglaması Çizelge 6.1. Drm 1 için farklı türbülans modellerine göre OKH değerleri Çizelge 6.. Drm için farklı türbülans modellerine göre OKH değerleri Çizelge 6.3. Tüm kanal boynca türbülans modellerinin başarı sırası Çizelge 6.4. Farklı türbülans modelleriyle hesaplanan s yüzü profili için OKH değerleri VI

9 VII

10 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 3.1. Deney kanalının genel görünümü... 9 Şekil 3.. Deney düzeninin şematik gösterimi ve LDA yerleşimi Şekil 3.3. BSA Flow Software yazılımının ekran görüntüsü... 1 Şekil 3.4. Türbülanslı akımda ortalama hızın tespiti... 1 Şekil 4.1. Diferansiyel eleman yüzeyine gelen gerilmeler Şekil 4..X ekseni doğrltsndaki gerilmeler Şekil 4.3. Hesaplamalı kontrol hacmi Şekil 4.4. Akışkan hacminin ağ üzerindeki dağılımı Şekil 5.1. Sayısal hesaplama bölgesi ve sınır şartları Şekil 5.. RNG türbülans modeli ile elde edilen y değerinin kanal boynca değişimi..55 Şekil 5.3. Sayısal modelin hesaplama ağında kllanılan alt bölgeler Şekil 6.1 Drm 1 için kanalın farklı kesitlerinde deneysel ve hesaplanan hız profilleri..66 Şekil 6.. Drm için kanalın farklı kesitlerinde deneysel ve hesaplanan hız profilleri..7 Şekil 6.3. Drm 1 için farklı türbülans modelleri ile hesaplanan akım çizgileri..79 Şekil 6.4.Drm için farklı türbülans modelleri ile hesaplanan akım çizgileri...80 Şekil 6.5. Drm 1 için deneysel ve hesaplanan s yüzü profilleri 81 Şekil 6.6. Drm için deneysel ve hesaplanan s yüzü profilleri....8 Şekil 6.7. Drm 1 için kanalın farklı kesitlerindeki deneysel hız profilleri ile anlık hız değerlerinin zamansal değişimleri...84 Şekil 6.8. Drm için kanalın farklı kesitlerindeki deneysel hız profilleri ile anlık hız değerlerinin zamansal değişimleri 91 Şekil 6.9. Drm 1 için logaritmik dvar kann dağılımı 98 Şekil Drm için logaritmik dvar kann dağılımı..99 VIII

11 IX

12 SİMGELER VE KISALTMALAR a : İvme A : 1/ҡ C CFD D d e F Fr f r f r k f r y : Türbülans modeli sabiti : Hesaplamalı akışkanlar dinamiği : Difüzyon terimi : Mesh yüksekliği : Hız farkı : Kvvet : Frode sayısı : Birim hacme gelen dış kvvet : Birim hacme gelen bileşke kütlesel kvvet : Birim hacme gelen bileşke yüzeysel kvvet g G GCI I h 0 HAD k K LDA. l m m N OKH P p : Yer çekimi ivmesi : Türbülans kinetik enerji üretim miktarı : Grid Convergence Inde : Türbülans şiddeti : S yüksekliği : Hesaplamalı akışkanlar dinamiği : Türbülans kinetik enerjisi : Kütlesel kvvetlerin bileşkesi : Lazer doppler anemometresi : Uznlk ölçeği : Kütle : Değer adeti : Ortalama karesel hata : Basınç : Basınç ortalaması X

13 p' PIV Q r R Re RKE RNG RSM SKE SST S ij t T Τ ' * v V v v' VOF w w w' ω X Y : Basınç sapıncı : Particle image velocimetry : Debi : Mesh yükseklikleri oranı : Hidrolik yarıçap : Reynolds sayısı : Realizable k-ɛ türbülans modeli : Renormalization Grop k-ɛ türbülans modeli : Reynolds Stress türbülans modeli : Standart k-ɛ türbülans modeli : Shear Stress Transport k-w türbülans modeli : Şekil değiştirme hızı tansörü : Zaman : Periyod : Gerilme vektörü : yönündeki akım hızı : yönündeki ortalama akım hızı : yönündeki hız sapıncı : Kayma hızı : y yönündeki akım hızı : Bileşke hız : y yönündeki ortalama akım hızı : y yönündeki hız sapıncı : Akışkan hacimleri yöntemi : z yönündeki akım hızı : z yönündeki ortalama akım hızı : z yönündeki hız sapıncı : açısal hız : doğrltsnda etkiyen kütlesel kvvet : y doğrltsnda etkiyen kütlesel kvvet XI

14 Z τ ρ υ Δt σ σ μ μ t : z doğrltsnda etkiyen kütlesel kvvet : Kayma gerilmesi : Syn özgül kütlesi : Syn kinematik viskozitesi : Zamandaki değişim miktarı : Basınç gerilmesi : Ortalama basınç gerilmesi : Dinamik viskozite : Türbülans viskozitesi µ t,layer : Viskoziteden etkilenen bölgedeki türbülans viskozitesi δ ij ε ç τ Γ η β α Ω ~ ij κ φ δ λ ε : Kronecker delta : Kinetik enerji kayıp oranı : Çalkantı gerilme tansörü : Difüzivite terimi : Türbülans kinetik enerjisinin üretimi ve kayıp oranının fonksiyon : Türbülans modeli sabiti : Efektif Prandtl sayılarının tersi : Dönme miktarı : von-karman sabiti : Basınç zatma terimi : Sınır tabakası yüksekiği : Geçiş fonksiyon XII

15 XIII

16 1. GİRİŞ Oğz ŞİMŞEK 1. GİRİŞ Geniş başlıklı savaklar, açık kanallarda veya akarslarda s akımını kontrol etmek, s seviyesini düzenlemek ve debi ölçümü amaçlarıyla kllanılan s yapılarındandır. Akars yatağını yada kanal kesitini kapatacak şekilde tasarlanan geniş başlıklı savakların dikdörtgen, üçgen, trapez ve eğrisel kesite sahip tipleri mevcttr. Geniş başlıklı bir savak, akım ortamına yerleştirildiğinde, kritik-altı rejimden kritik-üstü rejime geçiş süreci ile birlikte, hızlı değişen akım koşllarının olştğ karmaşık akım yapısı ortaya çıkacaktır. Bna bağlı olarak, özellikle kısa ve yvarlatılmış kret yapısına sahip olan savaklarda, akım çizgilerinin eğriselliğinden dolayı geçiş bölgesi civarında, hidrostatik olmayan basınç dağılımları meydana gelecektir. Akım ile etkileşime giren b tür yapıların tasarımını gerçekleştirebilmek için akım profilinin, hız ve basınç alanlarının doğr bir şekilde tahmin edilmesinin önemi büyüktür. Geniş başlıklı savaklar gibi kontrol yapıları ile etkileşim içinde olan akımların analizleri, fiziksel model deneyleri ile gerçekleştirilebilmektedir. Laboratvar ortamında gerçekleştirilen yapı-akım etkileşimi ile ilgili model çalışmaları, öngörülen performans ölçütlerinin sağlanıp sağlanmadığı hakkında önemli bilgilerin edinilmesine yardımcı olmakla birlikte, ölçek etkilerinden kaynaklanan bazı kaçınılmaz hataların sonçlara yansıdığı da bilinen bir gerçektir. Diğer taraftan, syn hareketini idare eden denklemlerin analitik çözümlerini elde etmek, b denklemlerin viskozite ve türbülans ifadeleri içermesinden dolayı bazı basit ve sınırları geometrik olan akım problemleri dışında oldkça zordr. Bnnla birlikte, b tür problemlerin teorik analizleri, çeşitli sayısal metotlar kllanılmak sretiyle yaklaşık olarak yapılabilmektedir. Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği (Comptational Flid Dynamics-CFD) yöntemlerinde kaydedilen gelişmeler, geniş başlıklı savak üzerinden geçen akımda oldğ gibi, s-yapı etkileşiminin söz kons oldğ açık kanal akımlarının analizinde önemli kolaylıklar ve hızlı çözümlere olanak sağlamaktadır. B şekilde, birçok s yapısı tasarımının CFD ile gerçekleştirilmesi günümüzde mümkün hale gelmiştir. Bna ilave olarak, sayısal modelleme ile akım probleminin çok daha kısa sürede ve ekonomik olarak çözülerek 1

17 1. GİRİŞ Oğz ŞİMŞEK akım hakkında her türlü bilginin elde edilebilir olması, analiz ve tasarım işlemlerinin farklı koşllar altında hızlı biçimde tekrarlanmasına ve sonçlandırılmasına da imkân tanımaktadır. B çalışmada, laboratvar kanalına yerleştirilmiş eğrisel geniş başlıklı savak ile etkileşim halindeki serbest yüzeyli akımın hız alanı, iki farklı debi drm için, Laser Doppler Anemometry (LDA) tekniği ile ölçülmüştür. Sonl hacimler yöntemine dayalı olarak geliştirilen ANSYS-Flent paket programı yardımıyla akımı idare eden temel denklemler, beş farklı türbülans modeli kllanılarak çözülmüştür. S yüzünün teorik olarak belirlenmesinde Akışkan Hacimleri (Volme of Flid- VOF) yöntemi kllanılmıştır. Sayısal modellerden elde edilen akım hızları ve s yüzü profilleri, deneysel olarak ölçülen hız ve s yüzü profilleri ile karşılaştırılmıştır.

18 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Eğrisel geniş başlıklı savak üzerinden geçen akımda oldğ gibi, s-yapı etkileşimin söz kons oldğ açık kanal akımların analizi ile ilgili birçok deneysel ve teorik çalışma yapılmıştır. Botros ve ark. (1987), tabanı düzgün olmayan bir kanalda serbest akım yüzeyini incelemek amacıyla teorik çalışma yapmışlar, Schwarz-Chridtoffel transformasyon ve karışık sınır değer problemi için kllanılan Hilbert çözümünden yararlanarak serbest yüzey profillerini hesap etmişlerdir. Ramamrthy ve ark. (1987), keskin kenarlı savak üzerinden geçen iki boytl akımın özelliklerini irdelemek amacıyla deneysel çalışma yapmışlar, krete yakın bölgedeki hız ve basınç dağılımlarını incelemişlerdir. Elde ettikleri deneysel blglardan, C d debi katsayısının H/P boytsz büyüklüğüne bağlı olarak değiştiğini göstermişlerdir. Brada H savak membasındaki s derinliği, P savak yüksekliğidir. Faltas ve ark. (1989), trapez kesitli geniş başlıklı savak üzerinden geçen akımın özelliklerini teorik olarak incelemişlerdir. Elde ettikleri blgları, farklı Frode sayıları ve taban şekilleri için yapılmış deneysel çalışmadan elde edilen ölçümlerle karşılaştırmışlar, Frode sayısı ile memba s derinliğinin akım karakteristikleri üzerindeki etkilerini araştırmışlardır. Hager ve Schwalt (1994), yaptıkları çalışmada, geniş başlıklı savak üzerinden geçen akımın özelliklerini deneysel olarak incelemişlerdir. Farklı debilerde gerçekleştirdikleri çalışmaların neticesinde, savak üzerindeki akım yapılarının basınç ve hız dağılımları açısından birbirlerine benzer özellikler gösterdiğini tespit etmişlerdir. Aköz (1996), potansiyel akımların analizi ile ilgili teorik ve deneysel çalışma yapmıştır. B amaçla, laboratvarda modellediği kapak arkasındaki hız alanını mline ile ölçmüş; deneysel ölçümleri sonl farklar ve sonl elemanlar yöntemlerinden elde ettiği sayısal blglarla karşılaştırmıştır. Wen ve ark. (1997), geometrisi karmaşık olan iki boytl düzenli ve sıkışmayan serbest yüzeyli akımlar ile ilgili deneysel ve teorik çalışmalar gerçekleştirmişlerdir. Karmaşık geometriye sahip akım bölgesi için geliştirdikleri 3

19 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK sınır integral yönteminden bldkları sonçları, deneysel olarak ölçtükleri blglarla karşılaştırarak serbest akım yüzeyinin profilini yaklaşık olarak belirlemeye çalışmışlardır. Montes (1997), sürtünmesiz akım kablü ile düzlemsel kapak altından geçen akım için sayısal bir çözüm yöntemi geliştirmiş, deneysel ve sayısal daralma katsayıları arasındaki farklılıkları incelemiştir. Sayısal s yüzü profili ile akım alanının farklı kesitlerinde hesap edilen hız ve basınç dağılımlarının, deneysel ölçümlerle büyük ölçüde ym içinde oldğn belirtmiştir. Chanson ve Montes (1998), laboratvarda modelledikleri dairesel savak üzerinden geçen akım ile ilgili yapmış oldkları deneysel çalışmada, savak yarıçapı ve yüksekliği gibi yapısal özellikler ile memba s derinliğinin akım karakteristikleri üzerindeki etkilerini araştırmışlardır. Elde ettikleri blglardan, savak üzerinden geçen akım profilinin büyük ölçüde memba koşllarından etkilendiği soncna laşmışlardır. Johnson (1998), farklı savak tipleri için debi katsayılarını belirlemeye yönelik deneysel çalışma yapmıştır. Savak yükü ve yapı geometrisine bağlı olarak yapılacak savak sınıflandırılmasının daha doğr olacağını rapor etmiştir. Ayrıca, H t /W oranının, yapı üzerinden geçen akımın debisini idare eden önemli parametre oldğn göstermiştir. Brada H t toplam enerji yüksekliğini, W kret kalınlığını temsil etmektedir. Roth ve Hager (1999), kapak altından geçen akım ile ilgili yapmış oldkları deneysel ve teorik çalışmada, viskozite ve yüzeysel gerilmenin akım karakteristikleri üzerindeki etkilerini incelemişlerdir. Kapak üzerinde olşan basınç dağılımı ile akım alanının farklı kesitlerindeki hız dağılımlarını, sürtünmesiz akım koşlları için elde etmişler; enerji kayıplarının ihmal edilmesinden dolayı, sayısal daralma katsayılarının deneysel değerlerden daha büyük çıktığını belirtmişlerdir. Ayrıca kapağın hemen membasında görülen drma noktasındaki köşe çevrintisi olşmn da irdelemişlerdir. Choi ve Kim (000), yapmış oldkları çalışmada, Ogee profilli savak üzerinden geçen akımın debisini, savak üzerindeki hız ve basınç dağılımlarını ve bna ilave olarak akım profillerini sonl elemanlar yöntemi kllanarak sayısal olarak 4

20 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK hesap etmişlerdir. Çevrintisiz ve sıkışmayan akım kablü ile yapmış oldkları hesaplamalardan elde ettikleri blgları, USACE ( U.S Army Corps of Engineers) test sonçları ile karşılaştırmışlar, deneysel ve sayısal blgların birbirleriyle oldkça yml oldklarını gözlemlemişlerdir. Assy (001), savak üzerine yerleştirilen bir kapak vasıtasıyla olştrlan kontrollü ve kontrolsüz savak akımının sayısal analizi için sonl farklar yöntemine dayalı bir çözüm yöntemi snmştr. Çevrintisiz akım kablü ile geliştirmiş oldğ sayısal yöntemde, akım alanın tüm hesap noktalarında akım fonksiyonn hesap etmiş ve bna bağlı olarak da hız alanını belirlemiştir. Ayrıca s yüzü profili, debi katsayısı ve basınç alanlarını da sayısal olarak elde etmiştir. Behr (001), şüt kanalının sonndaki enerji kırıcı yapının tasarımı için dol savak üzerinden geçen akımın özelliklerini sayısal olarak irdelemiştir. Navier-Stokes denklemlerini, sonl elemanlar yöntemine dayalı bir CFD yazılımı kllanarak çözmüş, s yüzü profilini ve hız alanını teorik olarak belirlemiştir. Chen ve ark. (00), basamaklı dol savak üzerinden geçen akım profilini sayısal olarak modellemişler ve elde ettikleri blgları deneysel ölçümlerle karşılaştırmışlardır. Akımı idare eden temel denklemler standart k-ε türbülans modeli kllanılarak çözülmüş, s yüzünün teorik olarak belirlenmesinde VOF yöntemi kllanılmıştır. Düşüm bölgesinde görülen çok az farklılıkların dışında deneysel ve sayısal akım profillerinin oldkça yml oldğ rapor edilmiştir. Sarker ve Rhodes (003), laboratvar kanalına yerleştirilmiş dikdörtgen kesitli geniş başlıklı bir savak ile etkileşim halindeki serbest yüzeyli akımın özelliklerini deneysel ve teorik olarak irdelemişlerdir. Bir CFD yazılımı olan, sonl hacimler yöntemine dayalı Flent paket programı ile akımı idare eden temel denklemler sayısal olarak çözülmüştür. Türbülans viskozitesinin hesabında standart k-ε türbülans kapama modeli kllanılmıştır. Sayısal s yüzü profilleri deneysel blglar ile karşılaştırılmış ve birbirleriyle yml oldğ görülmüştür. Ghodsian (003), yan kapak akımlarının hidrolik karakteristiklerini belirlemek amacıyla deneysel çalışma yapmıştır. Enerji yüksekliğinin yan kapak boynca sabit kaldığı kablüyle, yan kapaklar için debi katsayısının, Frode sayısı ve memba derinliğinin kapak açıklığına oranı ile olan ilişkisini tespit etmeye çalışmıştır. 5

21 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK Ashgriz ve ark. (004), açık kanal içine yerleştirilen yarım silindirik bir yapı üzerinden geçen akımı sayısal olarak modellemişler; temel denklemlerin sayısal çözümlerini, sonl elemanlar yöntemine dayalı ANSYS programını kllanarak elde etmişlerdir. S yüzü profillerinin hesabı için VOF metodn kllanmışlardır. Akım alanındaki teorik basınç ve hız dağılımlarını elde ederek grafiksel olarak snmşlardır. Ngyen ve Nestmann (004), Avrpa nın önemli akarslarından olan ve 130 km znlğndaki Rhine akarsynn profilini, VOF yöntemi kllanarak sayısal olarak hesap etmişlerdir. Türbülanslı akımın hareketini idare eden denklemleri standart k-ε modeli kllanarak sayısal olarak çözmüşler, farklı kesitlerdeki akım hızlarının derinlikle değişimlerini teorik olarak irdelemişlerdir. Chatila ve Tabbara (004), Ogee profilli savakların hidrolik özelliklerini farklı akım koşlları altında deneysel ve teorik olarak incelemişlerdir. Sonl elemanlar yöntemine dayalı çözüm yapan ADINA paket programı kllanılarak elde edilen sayısal s yüzü profilleri, laboratarda ölçülen s yüzü profilleri ile karşılaştırılmış, deneysel ve teorik profillerin ym içinde oldğ görülmüştür. Şeker (006), modellemiş oldğ üçgen bir savak arkasındaki akımın hızlarını deneysel ve teorik olarak karşılaştırmıştır. Hız alanı, parçacık görüntülemeli hız ölçümü (PIV) tekniği ile ölçülmüş ve elde edilen deneysel blglar, sonl elemanlar yöntemine dayalı ANSYS paket programından elde edilen sayısal blglarla karşılaştırılmıştır. Serbest s yüzünün hesabında VOF yöntemi kllanılmıştır. Yapılan karşılaştırmalar neticesinde, deneysel ve sayısal akım hızları ile s yüzü profillerinin birbirleri ile yml oldkları görülmüştür. Kırkgöz ve ark.(006), dikdörtgen ve üçgen kesite sahip geniş başlıklı savaklar ile etkileşim halindeki iki-boytl açık kanal akımını deneysel ve sayısal olarak analiz etmişlerdir. Temel denklemleri, standart k-ε ve k-ω türbülans modelleri kllanarak sonl elemanlar yöntemine dayalı ANSYS-Flotran ile çözmüşlerdir. S yüzü profilinin hesabında VOF yöntemini kllanmışlardır. Sayısal olarak hesap edilen hız profillerini, PIV tekniği ile ölçülen hız profilleri ile karşılaştırmışlar, k-ω türbülans modelinin deneysel sonçlara daha yakın oldğ soncna laşmışlardır. 6

22 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK Ayrıca, farklı yoğnlklara sahip ağ yapıları kllanarak ağ yapısının sayısal sonçlar üzerindeki etkisini de incelemişlerdir. Öner ve ark. (007), açık kanal içerisine yerleştirdikleri dikdörtgen geniş başlıklı bir savak üzerinden geçen iki-boytl açık kanal akımını teorik ve deneysel olarak irdelemişlerdir. Hız alanını deneysel olarak PIV hız ölçme tekniği ile ölçmüşlerdir. Hareket denklemlerinin sayısal çözümlerini, sonl elemanlar yöntemine dayalı ANSYS-Flotran ile elde etmişler, serbest s yüzünün hesabını VOF yöntemi ile gerçekleştirmişlerdir. Sayısal modellemede türbülans viskozitesinin hesabı için üç farklı türbülans kapama modeli kllanmışlardır: Standart k-ε, standart k-ω ve SST. Hesap edilen akım hızları ve s yüzü profillerini deneysel ölçümlerle karşılaştırmışlar ve standart k-ω türbülans modeli kllanılarak elde edilen blgların, deneysel blglarla son derece yml oldklarını tespit etmişlerdir. Aköz ve ark. (009), düşey bir kapak altından geçen iki-boytl açık kanal akımında hız alanını, standart k-ε ve standart k-ω türbülans modellerini kllanarak ANSYS-Flotran ile sayısal olarak elde etmişlerdir. S yüzü profilini hesap etmek için VOF yöntemini kllanmışlardır. Sekiz farklı mesh yapısını test etmek sretiyle, hesaplama ağ yoğnlğnn sayısal çözümler üzerindeki etkisini araştırmışlardır. Sayısal blglarla karşılaştırmak amacıyla kapak arkasındaki akımın hız alanını, PIV yöntemi ile deneysel olarak ölçmüşlerdir. Elde ettikleri sayısal ve deneysel sonçlar, standart k-ε türbülans modelinin deney sonçlarıyla daha yml oldğn ortaya koymştr. Kırkgöz ve ark. (009), açık kanal içerisinde katı sınıra yakın dairesel silindir ile etkileşim halindeki iki-boytl türbülanslı akımın özelliklerini deneysel ve teorik olarak irdelemişlerdir. Silindir etrafındaki akımın hız alanı PIV tekniği ile deneysel olarak ölçülmüştür. Standart k-ε, standart k-ω ve SST türbülans modelleri kllanılarak üç farklı ağ yapısı için sayısal çözümler elde edilmiştir. Deneysel ve sayısal blgların karşılaştırmalarından, standart k-ω ve SST türbülans modelleri kllanılarak elde edilen sayısal blgların, deney blglarına daha yakın oldğ soncna laşılmıştır. 7

23 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Oğz ŞİMŞEK 8

24 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK 3. DENEY DÜZENEĞİ 3.1. Deney Düzeneği Deneyler Çkrova Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü hidrolik laboratvarındaki kapalı çevrim olarak çalışan Şekil 3.1. deki açık kanal düzeneğinde gerçekleştirilmiştir. Şekil 3.. de şematik olarak da verilmiş olan kanal düzeneği 0. m genişlik, 0.0 m derinlik ve.4 m znlğndaki açık s kanalından olşmaktadır. Kanal tabanı ve yan yüzeyler 5mm kalınlığındaki saydam cam malzemeden yapılmış, böylece ölçümler için pürüzsüz ve saydam bir yüzey elde edilmiştir. Syn girişteki hazneden üniform olarak çıkmasını sağlamak için, syn giriş bölgesine akışı düzenlemek için filtreler yerleştirilmiştir. Böylece kanal girişinde syn mümkün oldğ kadar çalkantısız ve düzenli olarak girmesi sağlanmıştır. Şekil 3.1. Deney kanalının genel görünümü 9

25 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK Eğrisel geniş başlıklı savak, Şekil 3.. de de görüldüğü gibi, kanal başlangıçından 0.7 m zaklığa, kanal kesitini kapatacak şekilde yerleştirilmiştir. Savak yapısının kret yüksekliği m dir. Şekil 3.. Deney düzeninin şematik gösterimi ve LDA yerleşimi Şekil 3.. de şematik görünümü verilen test alanındaki deneyler iki farklı debi, Q 1 = m 3 /s ve Q = m 3 /s drmları için gerçekleştirilmiştir. Akım debisi Q 1 = m 3 /s (Drm 1) için memba s derinliği h o =0.16 m olarak ölçülmüştür. Kesit ortalama hızı V o =0.096 m/s, memba akımında Frode sayısı Fr o (=V o /(gh o ) 1/ )= ve Reynolds sayısı Re o (=4V o R o /ν)=18000 dür (R o hidrolik yarıçap ve ν kinematik viskozitedir). Q = (Drm ) için s derinliği h o =0.146 m, kesit ortalama hızı V o =0.881 m/s, Frode sayısı Fr o = ve Reynolds sayısı Re o =4000 dir. Hız ölçümleri Laser Doppler Anenometry (LDA) tekniği kllanan bir ölçüm sistemi (DANTEC LDA) ile gerçekleştirilmiştir Şekil

26 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK Lazer Doppler Anemometresi (LDA) Tekniği İle Akım Hızının Ölçülmesi Akımın yapısını belirlemek için yapılan deneylerde kızgın-tel (hot-wire), kızgın-film (hot-film), PIV ve LDA anlık hızların ölçülmesinde yaygın olarak kllanılan cihazlardır. B cihazlardan kızgın tel ve kızgın film, kllanımları sırasında akışkan içerisine bir ölçüm c soklarak akım rahatsız edilmektedir. PIV yöntemi, akımı rahatsız etmeden, hassas bir şekilde, aynı anda düzlemsel bir bölgedeki anlık hızları ölçerek akım karakteristiklerini belirlemektedir. LDA ise aynı anda sadece tek bir noktada ölçüm yapabilmektedir. Deney alanında farklı zamanlarda tek bir noktada yapılan ölçümlerle akım alanının özelliklerinin belirlenmesi ise özellikle ayrılmış akım bölgeleri ve karmaşık yapıya sahip akımların yapısını tanımlamada yetersiz kalabilmektedir. Bnnla birlikte LDA, katı sınıra yakın bölgedeki noktasal hızların belirlenmesinde, bir başka ifade ile sınır tabakası bölgesindeki hız profilinin daha hassas bir şekilde elde edilmesi hssnda PIV ölçüm tekniğine göre üstünlük göstermektedir. Lazer doppler anemometre, lazer ısığını kllanarak tek bir noktadaki hızı belirler. O noktadaki hız bileşenlerini kısa sürede birbirini takip eden yüzlerce ölçüm soncnda belirler. LDA, akışkan içerisinde hareket eden küçük parçacıklar ile yayılan lazer ışınının doppler frekansındaki değişimini tespit ederek hız ölçümünü gerçekleştirir. Lazer anemometresi bir mercek tarafından kırılan ışınların ölçüm yapılan noktada odaklanması prensibi ile çalışır. Işın üreticiden çıkan ve mercek vasıtasıyla kırılan ışınlar hızın ölçüleceği noktaya odaklanır. Foto detektör tarafından toplanan ölçümsel bilgiler, akım işlemcisi tarafından anlık olarak BSA Flow Software yazılımına aktarılır Şekil Laser Doppler Anemometresinin çalışma prensiplerine ait daha geniş bilgi Drst ve ark (1981), Goldstein (1983), Ardıçlıoğl (1994), tarafından verilmiştir. Laser Doppler Anemometresi, Şekil 3.1. de görüldüğü gibi, üç doğrltda hareket kabiliyetine sahip bir çerçeve sistemine yerleştirilmiştir. B sistemin üzerinde yer alan hareket kolları vasıtasıyla, akım alanın istenilen mesafe ve derinliğindeki bir noktadan, anlık hızların doğr bir şekilde elde edilmesi mümkün hale gelmiştir. 11

27 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK Şekil 3.3. BSA Flow Software yazılımının ekran görüntüsü B çalışmada eğrisel geniş başlıklı savak akımında anlık akım hızları, kanal ekseni boynca Dantec LDA 6N04 bir boytl akımölçer kllanılarak elde edilmiştir. Lazer dalga znlğ 660nm, lazer demetleri arasındaki mesafe 60 mm ve ölçülebilen hız sapınçları 0.7 μm/s den 4.6 mm/s ye kadar değişebilmektedir. LDA sisteminde, foto detektör ile birlikte BSA F30 (6N60) tipi akım işlemcisi kllanılmıştır. Ayrıca anlık ölçülen hızların prosesi, analizi ve grafiksel olarak işlenmesi Dantec LDA sistemi içinde yer alan BSA-Flow yazılımı ile gerçekleştirilmiştir Şekil T ' Şekil 3.4. Türbülanslı akımda ortalama hızın tespiti 1

28 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK Ölçüm noktasında, hızın bir T periyod içerisinde anlık hız değerleri alınmaktadır. T integrasyon zamanı olp b çalışmada 60 sn olarak seçilmiştir Şekil Zaman ortalamalı hız büyüklükleri, anlık hız ölçümlerinin prosesi sonrasında elde edilmektedir. Ayrıca anlık hız değerleri ölçüldüğünden ' ve bna bağlı türbülans şiddeti değerleri de elde edilebilmektedir. Anlık akım hızı, ortalama akım hızı ve hız sapıncı arasındaki ilişki aşağıdaki gibi ifade edilmektedir: = (3.1.) N 1 = (3..) N i= 1 1 N N = ( ) RSM (3.3.) i= 1 Brada N hız nmnesi sayısıdır. 13

29 3. DENEY DÜZENEĞİ Oğz ŞİMŞEK 14

30 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ 4.1. TEMEL DENKLEMLER Sıkışmayan Türbülanslı Akımda Süreklilik Denklemi Sıkışmayan, türbülanslı akımda =, v = v v ve w = w w anlık hız i bileşenlerini = 0 denkleminde yerine yazalım: i ( ) (v v ) (w w ) = 0 y z i i veya = 0 i i (4.1.) Bir Δt zaman aralığı için (4.1.) denkleminin zamansal ortalamasını alalım. Örnek olarak birinci terimin zamansal ortalaması alınırsa: t Δt t Δt 1 1 ( ) = ( ) dt = ( ) Δt t dt = Δt t (4.) elde edilir. Benzer şekilde, diğer terimlerin de zamansal ortalamaları alınırsa (4.1) süreklilik denkleminin zamansal ortalaması aşağıdaki gibi olr: v w y z = 0 i veya div V = = 0 (4.3.) i (4.1.) denkleminden (4.3.) denklemi çıkarılırsa: v w = 0 y z i veya = 0 i (4.4.) 15

31 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK elde edilir ki (4.3.) ve (4.4.) denklemlerinden, ortalama hız bileşenleri ve türbülans hız sapınçlarının aynı süreklilik denklemini sağladığı görülmektedir Sıkışmayan Akımlar İçin Hareket Denklemi Kartezyen koordinatlarda bir akım alanı içinde d, dy, dz boytl bir elemanter bir kontrol hacmi içindeki sistem için Newton n kann; r r dms d r Fs = = Vdm dt dt = s s r dv dm dt (4.5.) veya elemanter bir dm sistem kütlesi için b ifadeyi aşağıdaki gibi yazabiliriz; r r dv r Fs = dm = adm (4.6.) dt Eşitliğin sağ tarafında ki ivmeyi hesaplamak üzere, t anında (,y,z) noktasında blnan bir akışkan parçasının hızı r V t r = V(, y, z, t) (4.7.) dt zamanı sonnda akışkanın yeni hızı r r r r Vt dt = V( d, y dy,z dz, t dt) = Vt dv (4.8.) olacaktır. (, y, z) ve (d, ydy, zdz) noktaları arasında hızdaki değişme r dv r r r r V V V V = d dy dz dt y z t (4.9.) 16

32 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK t ye göre türev alınırsa; r r dv a = dt r r r r V d V dy V dz V = dt y dt z dt t (4.10.) d dy dz =, = v, = w kllanılırsa toplam ivme; dt dt dt r r dv a = dt r r r r V V V V = v w y z t (4.11.) r r dv r Fs = dm = a.dm ifadesinin tamamlanabilmesi için eşitliğin sol dt tarafının yani sisteme etkiyen dış kvvetlerin belirlenmesi gerekir. Bnlar kütlesel ve yüzeysel kvvetlerdir. Akıma etkiyen kvvetler, kütlesel, yüzeysel, basınç ve kayma kvvetleri olarak sıralanır, bna göre; Kütlesel Kvvetler: Birim kütleye, y, z doğrltlarında etkiyen kütlesel kvvetler X, Y, Z ise bnların bileşkesi r r r r K = Xi Yj Zk (4.1.) şeklindedir. dm = ρ. ddydz kütlesine etkiyen kütlesel kvvet bileşenleri; Xρ.ddydz (4.13.) Yρ.ddydz (4.14.) Zρ.ddydz (4.15.) 17

33 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK Yüzeysel Kvvetler: Kartezyen koordinatlara göre akımın bir noktasındaki gerilme drm Şekil 4.1. deki skaler bileşenlerle belirlenir. Şekil 4.1. Diferansiyel eleman yüzeyine gelen gerilmeler σ τ y τ z eksenine dik düzlemde τ σ y y τ yz y eksenine dik düzlemde τ z τ σ zy z z eksenine dik düzlemde doğ. y doğ. z doğ. bir noktadaki ortalama normal gerilme; σ σ y σz σ = (4.16.) 3 18

34 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK oldğna göre akışkanlardaki basınç gerilmesi pozitif olarak alınırsa bir noktadaki ortalama basınç ş şekilde olr: p p y p z p = (4.17.) 3 Bna göre akışkan elemanının merkezindeki gerilmeler, gerilme tansörü ile belirli ise, eksenine dik eleman yüz üzerindeki gerilmeler ile ekseni doğrltsndaki diğer yüzeylerdeki gerilmeler. Şekil4.. de görülmektedir. Kayma gerilmelerinin pozitif yönü koordinat merkezine zak yüzde, negatif yönü ise yakın yüzdedir. Şekil 4..X ekseni doğrltsndaki gerilmeler 19

35 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK Basınç Kvvetleri için Şekil 4.. ele alınırsa; doğrltsnda; σ σ d σ d σ σ dydz = ddydz (4.18.) y doğrltsnda; σ y σ y dy σ y dy σ y σ y dzd = dydzd y y (4.19.) y z doğrltsnda; σ z σ z dz σz dz σz σ z ddy = dzddy z z (4.0.) z olr. Kayma kvvetleri ise; doğrltsnda: τ y τ τ y z y τ z dy z τ y dy τ y ddz y τ dz τ z τz ddy = z y dz y τ dyddz z z dzddy (4.1.) y doğrltsnda: τzy τ y = dzdyd ddydz (4..) z z 0

36 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK z doğrltsnda: τ τ z yz = ddzdy dydzd (4.3.) y Newton n. Kann yazılırsa; F r = dm. a (4.4.) dm = ρddydz (4.5.) dv a r r = (4.6.) dt Birim hacme gelen bileşke dış kvvet: r F r = f (4.7.) dm f r = kütlesel kvvet ( f r k )yüzeysel kvvet ( f r y ) f k r r r ( Xi Yj Zk) = ρk = ρ (4.8.) eksenine dik yüzeylere gelen bileşke kvvet: r T r T d r dydz T T r d T dydz = ddydz (4.9.) y ekseni için = r T y y dydzd (4.30.) 1

37 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK z ekseni için r T = z z dzddy (4.31.) Birim hacme gelen bileşke yüzeysel kvvet: f y r T = r T y y T r z z = r [ T ~ ] (4.3.) Brada T normal ve kayma kvvetlerini tanımlamaktadır. r r r Yüzeyler için T, T, T gerilme vektörleri aşağıdaki gibi yazılabilir. y z r T r r r = iσ jτ kτ (4.33.) y z r T y r r r = iτ jσ kτ (4.34.) y y yz r T z r r r = iτ jτ kσ (4.35.) z zy z brada τ y : e dik düzlemde y doğrltsndaki kayma gerilmesi Sıkışmayan viskoz akımlar için vektör tansör-notasyon ile hareketin diferansiyel denklemi: [ T ~ ] dv ρ = ρk (4.36.) dt Ykarıda elde edilen hareket denklemleri gerilme bileşenlerini içermektedir. Akışkanların hareketi incelenirken b ifadelerin hız gradyanı cinsinden yazılması daha kllanışlı olmaktadır. B ilişki Stokes kannları ile sağlanmaktadır. Stokes kannları elastik ortamlardaki Hooke kannlarında yapılan bazı değişikliklerle elde

38 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK edilmektedir. B değişikliklerin neticesinde hız gradyanları cinsinden hareketin diferansiyel denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir: doğrlts için; d ρ dt p = ρx - y y 3 z [ μ( - divv) ] v w z [ μ( )] [ μ( )] r (4.37.) y doğrlts için; dv ρ dt p = ρy - y z v z [ μ( - divv) ] w y v y 3 y v [ μ( )] [ μ( )] r (4.38.) z doğrlts için; dw ρ dt p = ρz - z z w w z 3 z y [ μ( - divv) ] v z w y [ μ( )] [ μ( )] r (4.39.) Ykarıda görülen ifadelere Newtonien olmayan akışkanların hareket denklemleri denmektedir ve b denklemler 7 bilinmeyen içermektedir. Bnlar:, v, w, p, ρ, μ, T. Hareket denklemleri lineer olmadığından b şekilleriyle çözümü çok zordr. B yüzden denklemlerde bazı sadeleştirmeler yapmak gereklidir. yazarsak; Newtonien akışkanlar için μ =sabit alarak doğrlts için denklemi 3

39 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK 4 ) z z w μ( ) y y v μ( ) z w y v μ( 3 - μ p ρx - dt d ρ = (4.40.) ) z w 3 z 3 y 3 y v 3 z w - y v - - (6 3 μ p ρx - dt d ρ = (4.41.) ) z 3 y 3 z w y v (4 3 μ p ρx - dt d ρ = (4.4.) ) z 3 y 3 3 z w y v ( 3 μ p ρx - dt d ρ = (4.43.) = z y z w y v 3 μ p ρx - dt d ρ µ (4.44) μ divv 3 μ p ρx - dt d ρ = r r (4.45.) y ve z yönü için de aynı şekilde yazılırsa; v μ divv y 3 μ y p ρy - dt dv ρ = r r (4.46.) w μ divv z 3 μ z p ρz - dt dw ρ = r r (4.47.) Vektörel notasyon ile yazılacak olrsa;

40 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK r dv ρ dt μ = ρk r - r p r ( r.v) r μ r V r (4.48.) 3 r Sıkışmayan akımlarda ρ = sabit ve div V = 0 dır. Bna göre hareket denklemleri; d ρ dt p r = ρx - μ (4.49.) d ρ dt p r = ρy - μ y v (4.50.) d ρ dt p r = ρz - μ z w (4.51.) Şeklinde elde edilir. B denklemlere sıkışmayan akımlar için hareket denklemleri denmektedir. Vektörel notasyon ile yazılacak olrsa; r dv ρ = ρk r - r p μ r V r (4.5.) dt 3 doğrltdaki bileşenleri: d ρ dt p = ρx μ veya p ρ v w = ρx μ (4.53.a.) y z t y z dv p ρ = ρy μ v veya dt y 5

41 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK 6 = z v y v v μ y p ρy t v z v w y v v v ρ (4.53.b.) w μ z p ρz dt dw ρ = veya = z w y w w μ z p ρz t w z w w y w v w ρ (4.53.c.) Navier-Stokes denklemleri olarak bilinen b denklemler, bağımsız olarak, Fransa da Navier (183), Poisson (1831) ve Saint- Venant (1843) ile İngiltere de Stokes (1845) tarafından elde edilmiştir Sıkışmayan Türbülanslı, Newtonien Akışkan Akımında Hareket Denklemleri (Reynolds Denklemleri) Brada, Navier-Stokes denklemlerinin zamansal ortalamaları alınarak, sıkışmayan, türbülanslı, Newtonien akışkan akımına yarlaması yapılacaktır. Örnek olarak Navier-Stokes denkleminin bileşenini ele alalım: μ p ρx t z w y v ρ i = (4.54.) Denklemde =, v v v =, w w w = ve p p p = yazılırsa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) μ p p ρx t ρ z w w w w ρ y v v v v ρ ρ = (4.55.)

42 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK B denklemin zamansal ortalamasını alalım. Örneğin, birinci terimin zamansal ortalaması ρ ( ) ( ) = ' ' ρ ρ ρ' ρ' (4.56.) şeklinde yazılır. (4.56.) denkleminin ikinci ve üçüncü terimlerinin zamansal ortalamaları '/ ve nün zamansal ortalaması sıfır oldğndan, sıfırdır. Böylece (4.55.) denklemindeki terimlerin zamansal ortalamaları aşağıdaki gibi blnr: ρ ( ) ( ) = ' ρ ρ' (4.57.a.) ρ ( ) ( v v' ) = y ' ρv ρv' y y (4.57.b.) ρ ( ) ( w w ) = ( p p ) p = ' ρw ρw' z z (4.57.c.) (4.58.) ( ) = μ μ (4.59.) B değerler (4.55.) denkleminde yerine yazılırsa, sıkışmayan, türbülanslı, Newtonien akışkan akımında Reynolds hareket denkleminin bileşeni elde edilir: 7

43 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK 8 = z ρw y v v ρ μ p ρx t z w y v ρ ρ (4.60.) böylece, Reynolds denkleminin üç doğrlt için bileşenleri aşağıdaki gibi yazılır: w') ρ' ( z v') ρ' ( y ) ρ' ( μ p ρx t z w y v ρ = (4.61.a.) ρv'w') ( z ) ρv' ( y ρ'v') ( μ y p ρy t z w y v ρ = (4.61.b.) ) ρw' ( z w') ρv' ( y ρ'w') ( μ z p ρz t z w y v ρ = (4.61.c.) veya vektör-tansör notasyon ile: [ ] ç.τ V μ P ρk dt dv ρ = (4.6.) veya indis notasyon ile: ) ρ ( μ i p ρk t ρ ρ j i j j j i i i j i j = (4.63.)

44 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK B denklemler, türbülanslı akım için Reynolds (1895) hareket denklemleri olarak anılır. B ifadeler Navier Stokes denklemlerine ilave olarak Reynolds (veya çalkantı) gerilmelerini içermektedir. Çalkantı gerilmeleri tansörü (Reynolds, trblence or eddy stresses) aşağıdaki gibidir: σ τ y τ z ρ ρ v ρ w ç τ = τ = y σ y τ yz ρ v ρv ρv w (4.64.) τ z τ zy σ z ρ w ρv w ρw Reynolds denklemleri, lineer olmamaları yanında, v, w, p ve 6 çalkantı gerilmesiyle birlikte 10 bilinmeyen içermektedir. Halbki süreklilik denklemi ile birlikte 4 adet denklem vardır. Bazı varsayımlar ile Reynolds ifadeleri sadeleştirilerek bazı pratik akım problemleri için yaklaşık çözümler elde edilebilir. Reynolds denklemlerinin sağ tarafında blnan çalkantı gerilmeleri tansörü aslında d/dt, dv/dt, ve dw/dt lerin zamansal ortalamalarının alınmasıyla ortaya çıkmış momentm terimleridir. Ancak (d Alembert dinamik denge prensibine göre) denklemin sağ tarafına geçe b terimlere, gerilme tansörünün ilave terimleri şeklinde bakılabilir. Türbülanslı, Newtonien akışkan akımında Bossinesq yaklaşımına göre gerilme tansörü, τ ij r = pδij με& ij μdivvδ ij (4.65.) 3 (4.65.) bünye denklemine (4.64.) türbülans gerilme tansörünün eklenmesi ile aşağıdaki gibi yazılabilir. r τ ij = pδij με& ij μdivvδij 3 ç τ veya, 9

45 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK r gerilmeleri çalkantı ortalama ij gerilmeler viskoz hıızlar ortalama ij w v w w v w v v w v ρ μdivvδ 3 z w y w z v 1 w z 1 z v y w 1 y v v y 1 z w 1 y v 1 μ p p p τ = (4.66.) (4.66.) bünye denkleminin (4.53.) hareket denkleminde kllanılması ile, örnek olarak, sıkışan türbülanslı, Newtonien akışkan akımında Reynolds denkleminin bileşeni aşağıdaki gibi düzenlenebilir: = ρ w w z μ z ρ v v y μ y ρ μdivv 3 μ p ρx dt d ρ r (4.67.) veya, ( ) ( ) ( ) ( ) ρ w z ρ v y ρ μdivv 3 w z μ z v y μ y μ p ρx dt d ρ = r (4.68.)

46 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK d ρ dt p = ρx μ r μ divv ( ρ ) ( ρ v ) ( ρ w ) y z μ 3 r divv (4.69.) ve sonç olarak, sıkışan Newtonien akışkan akımında Reynolds denkleminin bileşeni: d ρ d p = ρx μ μ r divv 3 y z ( ρ ) ( ρ v ) ( ρ w ) (4.70.) şeklinde blnr. (4.70.) denkleminde div V = 0 yazılırsa sıkışmayan, Newtonien akışkan akımında Reynolds denkleminin bileşeni elde edilir: d ρ d ( ρ ) ( ρ v ) ( ρ w ) p = ρx μ (4.71.) y z 4.. TÜRBÜLANS MODELLERİ Kütlenin ve momentmn kornmn idare eden hareket denklemleri kartezyen tansör notasyannda aşağıdaki gibi yazılabilir: i = i 0 (4.7.) ρ t i j i j = ρ g i p i i μ j j (τ ij ) (4.73.) 31

47 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK Denklem (4.73.) ve (4.74.) de i hız bileşenlerini, p basıncı, µ akışkanın dinamik viskozitesini, ρ akışkanın yoğnlğn, ρg i yerçekiminin sebep oldğ kütlesel kvveti, t zamanı, τ ij ise türbülans kayma (Reynolds) gerilmelerini ifade etmektedir. Reynolds gerilmeleri Bossinesq yaklaşımına göre aşağıdaki gibi ifade edilir: τ ij j ρ μ i = i j = t δijρ k (4.74.) j i 3 denklemdeki i ve j ise türbülans hız sapınçlarını, µ t, türbülans viskozitesi, δ ij ise Kronecker delta olarak adlandırılır. Denklemin sağ tarafında blnan ikinci terim, sıkışmayan akışlar için normal gerilmenin toplamının her zaman türbülans kinetik enerjisine eşit olabilmesini sağlama amacıyla blnmaktadır (Eğer i=j ise δ ij =1). Reynolds denklemlerinde üç boytl akışta bir basınç, üç hız bileşeni blnr. Türbülans kayma gerilmelerinin işleme katılmasıyla birlikte üç boytl akışta 6 adet bilinmeyen bileşen de değişkenler arasına eklenmiş olmaktadır. Toplam 10 bilinmeyen terime karşılık 4 denklem blndğndan denklem sisteminin çözümü mümkün olamayacaktır. Bir başka ifadeyle sistem kapatılamayacaktır. Reynolds gerilmelerinin neden oldğ b drma kapanma problemi (Closre Problem) adı verilmektedir. Türbülans modelleri, Denklem (4.71.) teki τ ij nin hesaplanması ve böylelikle de denklem sisteminin kapatılması görevini üstlenmektedirler. k-e Türbülans Modelleri: İsminden de anlaşılacağı üzere k - ε modellerinde, türbülans kinetik enerjisi (k) ve onn kayıp oranı disipasyon (ε) için olmak üzere iki adet transport denklemi Navier-Stokes denklemlerine ek olarak çözülmektedir. ε n gerçek transport denkleminin eldesi Navier-Stokes denklemlerinden mümkündür (Davidson, 005). Ancak b denklem son derece karmaşıktır ve pek çok bilinmeyeni içermektedir. Araştırmacılar b denklem yerine çok daha sadeleştirilmiş bir hali olan modellenmiş ε denklemini türbülans modellerinde kllanılmak üzere adapte etmişlerdir. Elbette her modelde oldğ gibi b modelde de pek çok yaklaşım, varsayım ve ihmal söz konsdr. Sonç olarak, modellenmiş ε transport denklemi, 3

48 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK 33 k transport denklemine çok benzer bir formda ve basitleştirilmiş biçimde kllanılmaktadır. k-ε modellerinde türbülans viskozitesi, ε k ρc μ μ t = (4.75.) formn almaktadır. μ C türbülans modeli sabitidir. Standart k-ε Türbülans Modeli (SKE): İki denklemli türbülans modelleri arasında ekonomikliği ve pek çok akış olayında kabl edilebilir doğrlkta sonç vermesi açısından yaygın olarak kllanılan yarı ampirik bir modeldir. Türbülans kinetik enerjisi (k) ve kayıp oranı (ε) için yazılan iki adet transport denkleminin çözümü ve türbülans viskozitesinin hesabını içerir. Kaldırma kvvetleri etkisi ihmal edildiğinde, b transport denklemleri k ve ε için sırası ile ε G k Γ ) k ( k) ( t k j k j i i ρ = ρ ρ (4.76.) R k ε C G k ε C ε Γ ) ε ( ε) ( t ε k 1ε j ε j i i ρ = ρ ρ (4.77.) şeklinde yazılabilir. Difüzivite terimleri, = ε t ε σ μ μ Γ ve = k t k σ μ μ Γ (4.78.)

49 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK Hız gradyanından kaynaklanan türbülans kinetik enerjisini üretimini ifade eden terim G k j = ρ' i ' j (4.79.) i olp brada türbülans viskozitesi, türbülans kinetik enerjisi ve onn kayıp oranı cinsinden k μ t = ρc μ (4.80.) ε yazılabilir. B modelde R=0 olp, deneysel sabitleri C 1ε = 1.44, C ε = 1.9, C μ = 0.09,k ve ε için türbülans Prandtl sayıları σ = 1.0, σ 1.3 tür (Lander ve Spalding, 197). Denklem (4.76.) ve denklem k ε = (3.80.) aşağıdaki gibi ifade edilebilir; RNG k-ε Türbülans Modeli (RNG): RNG k-ε türbülans modeli Yakhot ve Orszag (1986) tarafından düşünülmüş ve geliştirilmiş (Yakhot ve ark. 199) yine iki denklemli bir model olp esas itibariyle Navier-Stokes denklemlerinden renormalization grop teorisi kllanılarak elde edilmiştir. B modelde k ve ε için transport denklemleri denklem (4.76.) ve denklem (4.77.) deki gibi yazılabilir. Temel farkı sabitlerin farklı olması ve ilave terimlerin gelmesidir. RNG k-ε türbülans modelinde (4.76.) ve (4.77.) eşitliklerinde blnan difüzivite terimleri aşağıdaki gibi olr: Γ ε = α μ ε e, Γ = α μ (4.81.) k k e Brada akışkanın viskozitesi ile türbülans viskozitenin toplamı olan efektif viskozite μ = μ (4.8.) e μ t 34

50 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK olp aşağıdaki adi diferansiyel denklemin çözümünden elde edilir. ρ k d = 1.7 εμ μ (μ / µ ) e e 3 /μ 1 C ν d(μ e /μ) (4.83.) B denklem düşük Re sayısı etkilerini hesaba katmayı sağlamaktadır. RNG k-ɛ modelinin, standart k-ɛ modeline göre en büyük farkı, ɛ denklemine ilave olarak gelen R terimidir. B terim, 3 Cμρη (1 η/η0 ) ε R = (4.84.) 3 1 βη k ifadesiyle hesaplanır. B ifade denklem (3.77.) de yerine konrsa denklemin sağındaki 3. terim ile birleştirildiğinde transport denklemi, (ρε) t i ( ρε i ) = j Γ ε ε j C 1ε ε k G k C * ε ε ρ k (4.85.) şekline dönüştürülür, b drmda C * 3 Cμη (1 η/η0) = Cε (4.86.) 3 1 βη olr. B denklemde η türbülans kinetik enerjisinin üretimi ve kayıp oranının fonksiyon olp, k η = S (4.87.) ε 35

51 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK brada S = S ij Sij (4.88.) 1 j i S = ij (4.89.) i j şeklinde ifade edilir. B ilave terim, standart k-ɛ modelinde olmayan, yüksek kayma oranları ve akım çizgisi eğriliklerini göz önüne alması açısından önemlidir. Kayma oranının kvvetli oldğ (yüksek η) drmlarda kayıp artmakta, b da türbülans viskozitesini ve k değerini azaltmakta yani akıştan daha az enerji çekilmesine yol açmaktadır. Böylece sirkülasyon olan bölgelerde büyüklüğü deneysel verilere daha yakın çıkmaktadır. B modelde kllanılan sabitler C 1ε =1.4, C ε =1.68, C v =100, η 0 =4.38, β=0.01, C µ = dir. Denklem (4.78.) de α ve α parametreleri k ve ε için efektif Prandtl k ε sayılarının tersini göstermekte olp, RNG teorisinden analitik olarak türetilen α α α α0.399 μ ε = μ (4.90.) ifadesinden hesaplanmaktadır. Brada α 0 =1 dir. Yüksek Reynolds sayılarında (μμ/ 1) α = α olmaktadır. ε k ε Realizable k-ε Türbülans Modeli (RKE): Standart türbülans viskozitesi modelinde blnan C µ sabitinin değeri ataletli sınır tabaka altı bölgede elde edilmiştir. Gerçekte b sabit farklı akış bölgelerinde değişim göstermektedir. Üstelik türbülans viskozitesinin hesabında kllanılan modelin yüksek şekil değiştirme miktarlarında anlamsız (non-realizable) oldğ zn zamandır bilinen bir gerçektir. Bna göre, Sk/ε 3,7 oldğnda, normal gerilme negatif olabilmekte ve hatta Reynolds gerilmelerinde Scwartz eşitsizliği ihlal edilmektedir (Shin ve ark., 1995). RKE 36

52 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK modelinde b problemlerin önüne geçebilmek için standart k-ε ve RNG k-ε modellerinde sabit olan C µ katsayısı dinamik bir form almaktadır. Bna göre 1 = (4.91.) ku A o As ε C μ * şeklinde tanımlanmıştır. Denklem (4.88.) de blnan terimler, U = S ijsij Ω ~ ijω ~ ij (4.9.) Ω ~ ij = Ωij εijkωk, Ωij Ωij εijkωk = (4.93.) 1 A s = 6cosφ, φ = arccos( 6W) (4.94.) 3 ij jk ki W = S S ~ S (4.95.) 3 S ~ S = S ij S ij (4.96.) şeklinde ifade edilir. Brada Ω ~ ij, sistemine göre ortalama dönme miktarı ve S ~ ω k açısal hızıyla dönmekte olan bir referans ise gerime tansörünün ortalama modülüdür. RKE modelinde standart k-ε modelinden farklı olarak yeni bir kayıp miktarı denklemi de geliştirilmiştir; ( ρε) t (ρρε j) = μ μ σ ε j ρc1s t ε ρc j j ε k ε νε (4.97.) 37

53 4. TEMEL DENKLEMLER VE TÜRBÜLANS MODELLERİ Oğz ŞİMŞEK Brada, k S C = ε 1 maks 0.43; (4.98.) k S 5 ε C = 1. 9 şeklinde verilmektedir. Görüldüğü gibi ε n olşm ve kayıbı tamamen farklı bir formda ele alınmış ve olşm bir fonksiyona bağlanmıştır. RKE modeli geliştirilmiş biçimi ile yüksek Reynolds sayısına sahip ve tamamen türbülanslı akışlar için ygndr. SST k-ω Türbülans Modeli (SST): Standart k-ω modeli (Wilco, 1988) sınır tabaka akışlarında yüksek başarı sağlıyor olsa da, Menter (199) in ters basınç gradyanı içeren sınır tabaka akışları için yaptığı popüler türbülans modelleri karşılaştırmasında, standart k-ω modeliyle gerçekçi hız profillerinin yanı sıra, haddinden fazla kayma gerilmesi hesaplandığı belirtilmektedir. Söz kons çalışmada Menter bnn nedeninin modelin kayma gerilmesinin taşınımının hesabını içermediği belirtilmekte ve türbülans viskozitesinin hesabında yaptığı küçük bir değişiklik ile sonçların iyileştirilmesini sağlamıştır. Çalışmada türbülans viskozitesinin standart tanımının ters basınç gradyanın içeren akışlarda hatalı sonçların kaynağı oldğ belirtilmektedir. B düşünce yarınca Menter (1993) türbülans viskozitesinin hesabında pratik bir değişiklik yaparak kayma gerilmesinin 0.3 (Bradshaw sabiti) k den daha büyük çıkmamasını sağlamıştır. Ayrıca türbülans viskozitesinin hesabına akıllı bir fonksiyon ekleyerek b değişikliğin yalnızca sınır tabaka bölgesinde kalmasını sağlamıştır. Bna göre türbülans viskozitesinin hesabı, a1k μ t = ρ (4.99.) ma(a ω;ωf ) 1 38