BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL"

Transkript

1 BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg tegrsyo.. Br er set ç Romberg tegrsyo..5 Smpso krlı..6 İtegrl ormüller rklı br yold elde edlmes..7 Gss kdrtürü..8 Çok-ktlı tegrller

2 Bölüm - Syısl türe e tegrl - BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe Br () oksyo oktsıdk türe d d ( ) ( ) lm (.) şeklde tımlır. Ayı türe blgsyr yrdımıyl yklşık olrk d d ( ) ( ) (.) şeklde esplblr. Türe blgsyrl espl değer gerçeğe e kdr ykı oldğ g büyüklükte seçldğe bğlıdır. Türedek t küçüldükçe öce zlck ck br süre sor yrltm tlrı öeml olmy bşlyıc rtmy bşlycktır. Örek ( ) e s '( ) ( s cos ) olp b oktdk gerçek değer ' (. 9) oksyo.9 dk değer celeyelm. Foksyo türe e dr. Aşğıdk tblod EXCEL progrmıyl ypılmış esplm soçlrı yer lmktdır. Brd türe syısl esbıd ler rk ormülü kllılmış olp ger rk ormülü ygldığıd bezer soc elde etmek mümküdür. d ( ' () Ht Ht orı.5. ## E-.5 / ## E-...5 / ## E-..5 / 8 ## E-..5 / ## E-..5 / 8 ## E / ## E / 89 ## E / 6556 ## E-6 8. t..5 / 588 ## E / 9 ## E / 55 ## E-7.5 / ## E / 7868 ## E-7.5 / ## E-.5 / ## E-.5 / ## E- -. d.5 / ## E-.5 / ## E ###) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

3 Bölüm - Syısl türe e tegrl - Brd büyüklüğüü lk değer.5 lımış kc üçücü e dördücü değerler br öcek değerler yrısı beşc e ltıcı değerler br öcek değerler dörtte br e d sork değerler de br öcek değer 8 de br olrk lımıştır. B tbloy göre küçüldükçe bekledğ gb türedek t öce zlmkt ck bell br değerde (.5/9) sor rtmktdır. B değere kdr tdk küçülme orı yklşık olrk küçülme orı crıddır. Syısl türe b şeklde brc derecede bölümüş rklrl esplmsı sırsıd orty çık tlrı bell orlrd değşmes tesdü değldr. B d koly görmek ç yere lrk Tylor ser çılımıı ( ) ( ) ( ) ( ξ ) ' '' / şeklde yzlım. Brdk soc term t term olp <ξ < dır. B de () ç çözülürse ( ) ' ( ) ( ) ''( ξ ) (.) brdk lk term syısl türe ç kllıl ler rk ormülü oldğ kc term se syısl türe lıırke ypıl t oldğ söyleeblr. Görüldüğü gb t term le ortılıdır. Mertebe çısıd düşüülürse t O() mertebesdedr. Ykrıdk celemeler (-) Tylor sers ç tekrrlırs ( ) ' ( ) ( ) ''( ξ ) (.5) Brd - < ξ < olp b ldek t term öcekyle özdeş oldğ söyleemez. Şmd yı Tylor çılımlrı br üst mertebede terme kdr sırsıyl ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ξ ) 6 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ξ ) 6 şeklde yzılıp ye brc türe b delerde sırsıyl ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ξ 6 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ξ 6 şeklde çeklerek b k de de rtmetk ortlmsı lıırs ( ) ' ( ) ( ) ''' ( ξ ) (.6) 6 elde edlr. Brd sğdk lk term türe merkez rklrl syısl yklşımıı de etmektedr. İkc term de tyı belrtmekte olp t O( ) mertebesdedr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

4 Bölüm - Syısl türe e tegrl - B celeme soc türe merkez rk ormülsyo d y oldğ göstermektedr. Ntekm ykrıdk örek oksyo ç merkez rklrl lı türeler ç bl tlr şğıd tblolmış olp syısl türe lmk ç yı mktrd esp ypılmsı krşılık küçüle lerle brlkte tı d çbk küçüldüğü görülmektedr. Öreğ k kt küçüldüğüde t kt küçülmekte kt küçülürke t 6 kt küçülmekte sekz kt küçülürke t 6 kt küçülmektedr. d d ( ' () Ht Ht orı.5 # # # # # / # # # # # / # # # # # / 8 # # # # # / # # # # # / 8 # # # # # E / # # # # # E / 89 # # # # # E-.6.5 / 6556 # # # # # E / 588 # # # # #.658 #.7E / 9 # # # # #.658 # -.9E-8..5 / 55 # # # # #.658 # -.9E-7.5 / # # # # #.658 #.9E-6.5 / 7868 # # # # #.65 #..5 / # # # # #.65 # -..5 / # # # # #.66 # / # # # # #.699 #.5.5 / # # # # #.9688 #.9.5 / # # # # #.75 # # t d Bütü b celemeler terpolsyo yprke er oktlrıı terpolsyo oktsı blrı ort bölgesde yer lck bçmde seçlmes yg oldğ ımstmktdır. Elde edle soçlr yrıc türe ç ortlm değer teoreme de ymktdır: ( b) ( ) b ' ( ξ) < ξ < b () türe değer - ler rk yklşımı e oktlrı rsıdk - ger rk yklşımı - e oktlrı rsıdk - merkez rk yklşımı - e oktlrı rsıdk br oktd ermektedr. Foksyo oktsı crıd orml br değşm göstermedkçe türe espldığı oktlr sırsıyl / -/ e oktsı ykıdır. Ykrıdk celemeler ç seçle örekte ble br oksyo kllılmış olp b oksyo değer stele oktlrd esplblmektedr. Geel olrk türe doğr esplblmes ç oksyo brbre ykı oktlrdk değerlerde yrrlılmsı gerektğ soc orty çıkmıştır. Ack prtktek syısl problemlerde çoğ zm er oktlrı brbre b kdr ykı değldr. B bkımd brc mertebede rklrl ypıl türe esplmlrı o kdr doğr soç ermeyecektr. O lde prtktek syısl türe esplmlrıd d yüksek mertebede rk ormülsyolrıı kllılmsı gerekr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

5 Bölüm - Syısl türe e tegrl M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı -.. Bölümüş rk tblolrıyl türe Syısl türe lmı br yol terpolsyod oldğ gb er sete polomsl yklşıml ydrlmş ol br oksyo türede yrrlmktır. B er eşt rlıkl dğılmışs bst rklr ks lde bölümüş rklr yrdımıyl ypmk mümküdür. Br oksyo c derecede bölümüş rklr polomyl ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) Ht Ht P (.7) şeklde de edlebleceğ d öce gösterlmşt. Bölümüş rk polom türe lırk ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) k k k P..... ' (.8) elde edlr. P () oksyodk t term de ( )( ) ( ) ( )! ) ( ) ( ξ Ht (.9) şeklde olp türedek tyı blmk ç b so de türe lmk gerekr. Ack b de türede orty çıkck ol [ ] ) ( ) ( ξ d d term ξ büyüklüğüü e bğlı olmsı edeyle türe lımsıı mksız kılr. Bl brlkte büyüklüğü şeklde er oktlrıd br le çkışık lıırs türedek t ( ) ( ) Ht < < ξ ξ! ) ( ) ( (.) şeklde elde edleblr. Görüldüğü gb türe oktsı er oktsıyl çkışık olmsı y terpolsyo oksyo b oktd () oksyo ymsı rğme t sıır değldr. Bl brlkte er oktsıdk türe tsı r oktdkde d küçük olcktır. Örek: Br öcek örekte ele lı ( ) e s oksyo çeştl oktlrıdk değerler e bölümüş rklrı şğıdk tblod yer lmktdır. Htırlırs brc derecede bölümüş rklr [ ] şeklde ler doğr esplmkt olp tblod brc bölümüş rk sütd yer l değerler zlrıd bldklrı oktlrıdk () türeler ç ypılmış tmlerdr.

6 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5 Foksyo gerçek türe şğıdk şekllerde sürekl eğrlerle belrtlmş olp lk grkte türeler brc rklrl espl değerler de yty doğr prçlrıyl belrtlmştr. Doğr prçlrı b türeler esplmsıd kllıl değerler le sıırldırılmıştır. Y öreğ. e.5 er oktlrı rsıdk brc rkl espl ().8 türe değer belrtle k değer rsıd br yty doğr prçsıyl gösterlmştr. [ ] [... ] [... ] [... ] e ' () ' ' ' (.8) deklem lk k term kllılrk türeler kc mertebede br yklşıml ( ) [ ] [ ][( ) ( )] P ' (.) şeklde elde edleblr. B de kc derecede bölümüş rklrı esplmsıd kllıl k ç oktsıd değerler ( ) [ ] [ ][ ] P P ' ( ) [ ] [ ][( ) ( )] ' ol br doğr prçsıı deklemdr. Çeştl rlıklr ç elde edle doğr prçlrı ykrıdk kc eğrde oksyo gerçek brc türe eğrsyle brlkte gösterlmştr. (.8) deklem üç term lıdığı tktrde türe ç P ' ( ) [ ] [ ][( ) ( )] [ ][( )( ) ( )( ) ( )( )] (.) elde edlr. Dört er oktsıı kllıldığı b bğıtı kc derecede br polom olp oktlrı rsıd M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

7 Bölüm - Syısl türe e tegrl M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı -6 ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] P ' e oktlrı rsıd d ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] P ' şekl lır. B oksyolr d geçerl oldklrı rlık ç esplrk üçücü şeklde gerçek türe oksyo t eğryle krşılştırılmıştır. Üç term kllılmsı lde syısl türeler gerçek türe değerlere e kdr ykı oldğ dkkt çekcdr. Şyet ler rk kllrk br er set so oktlrı crıd türe esplmk sterse terpolsyod oldğ gb polom dereces düşürmek gerekecektr. B sor gderme yol türe oktsı e ykı (lersde ey gersde) oktlrı sırlyrk şlem ypmktır... Eşt rlıklı er oktlrı ç türe Ver oktlrıı eşt rlıklı dğılmsı lde bölümüş rklr yere bst rklr kllrk türe lmk mümküdür. Bst rklr kll br terpolsyo polom ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ht s s s s s s s Ht s P!!! (.) şeklde yzılblr. Brd s ; ( ) ( ) ( ) s Ht < < ξ ξ! (.) dır. (.) desde türe lırk () () () ( ) k k l l l s d ds ds s dp d s dp s P! ' (.5) elde edlr. Brd t term ye blmeye br büyüklük çermekte olp (.) t term türe ck er oktlrıdk ( s) türeler ç ( ) ( ) ( ) Ht < < ξ ξ (.6) şeklde esplblr.

8 Bölüm - Syısl türe e tegrl -7.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe Türe er oktlrıd esplmsı stedğ tktrde s olp bst rk ormülü d d bstleşr: '( ) ( ) (.7) B drmd t mertebes de seçle mertebeye bkrk br sork term yrdımıyl kolylıkl tespt etmek mümküdür. Öreğ ykrıdk bğıtıd sdece lk term lırk türe esplırs ' ( ) "( ξ ) olp t O() mertebesde k term lımsı lde ' ( ) '''( ξ ) olp t O(²) mertebesdedr. det term lımsı lde se tı O( ) mertebesde olcğı söyleeblr... Yüksek mertebede türeler İkc ey d yüksek mertebede türeler esplmk stedğde orml olrk (.8) ey (.5) bğıtılrıı türeler kllılblr. Ack b yoll elde edlecek türe ormüller yl krmşık e blgsyr yglmsı zor olcktır. Brd d prtk br yötem koly lşılmsı çısıd eşt rlıklı okt dğılımı l ç celeecektr. B mçl şeklde tıml eşt rlıklı üç er oktsıı ele llım e b üç okt yrdımıyl ( ) türe esplmy çlışlım. Ekse tkımı oktsı çeklerek ormülsyo d bst br le getrleblr. Böylece değerler sırsıyl e olr. () oksyo br yklşım olrk b üç oktd br P() prbolü geçrlrse prbolü P () türe de oksyo () türe yklşımı olr. Türe değer oktsıd rmkt olp b türe er oktlrıdk oksyo değerlere ( ) P '( ) A B C ' (.8) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

9 Bölüm - Syısl türe e tegrl -8 şeklde bğlblr. Brd A B e C blmeye ktsyılrdır. Ayrıc P() prbolü ç ( ) '( ) P b c P b yzılblr. Şmd P() oksyo üç rklı drm ç P () t (.8) bğıtısıı celeyelm.. Drm: P() yklşım oksyo değer bütü oktlrd yı olp P( ) '( ) b c P b büyüklükler (.8) de kllılrk A B C. Drm: P() yklşım oksyo leer br değşme göstermekte olp P( ) '( ) b c P b büyüklükler (.8) de kllılrk A ( ) B C. Drm: P()² yklşım oksyo prbolk br değşme göstermekte olp ( ) P b c '( ) P b büyüklükler (.8) de kllılrk A B C elde edle üç deklem mtrs ormd yzılırs A B C Brdk üçücü deklemde A C B blg kllılrk kc deklemde A C Ve brc deklemde B elde edlr. Bl ktsyılr kllılrk (.8) bğıtısı ' ( ) ( ) ' (.9) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

10 Bölüm - Syısl türe e tegrl -9 şekle gelr. B bğıtı bekledğ gb türe ç merkez bölümüş rklr ormülüdür. Bezer şlemler kc türe ç de ypılblr. ( ) ( ) '' P'' A B C (.) P( ) b c ''( ) Ykrıdk drmlr tekrr celeerek P P( ) P( ) ( ) b c P'' ( ) b c P'' A B C A ( ) B C ( ) P ( ) b c P'' A B C deklemler mtrs ormd yzılırs blr. Brdk kc deklemde A B C A C b blg kllılrk üçücü deklemde A C brc deklemde B e b ktsyılr kllılrk kc türe ç ' ' ( ) (.) elde edlr. B esplmdk tı O(²) mertebesde oldğ gösterleblr. Herg br oktsı ç d zl okt kllrk bezer şlemler ypılırs oldğ gösterleblr. 6 6 ' ' ( ) O( ) ' ' ' ( ) O( ) 6 ' ' ( ) O( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

11 Bölüm - Syısl türe e tegrl -. Syısl tegrl Belrl tegrl k sıır oktsı rsıd br eğr ltıd ekseyle rsıd kl l olrk blr. Syısl tegrl tekkler de geel olrk b ss üzere otrr. e b gb k sıır rsıd kl bölge küçük şertlere yrılır e b şertler llrı toplrk tegrl değer elde edlr... Trpez krlı Br () eğrs le ekse rsıd kl l küçük şert bölgelere yrıldığıd eğr şert kestğ kısımdk prçsı değşk yklşımlr ypmk mümküdür. Öreğ şert br dkdörtge şeklde kbl edlp dkdörtge üst köşelerde brs ey üst kerıı ort oktsı eğr le çkıştırılblr. - D y br yklşım eğr prçsı yere şert kerlrıı eğry kestğ k okt rsıd yer l br doğr prçsı lrk şert bölgey br dk ymk şeklde kbl etmektr. B yklşım eğr brc derecede br terpolsyo polom le temsl edlmes lmı gelr. - B drmd e oktlrı rsıdk tegrl değer şeklde esplblr. ( ) d ( ) Trpez krlıı tsıı blmk ç terpolsyo polomlrıd yrrlılblr. B mçl e oktlrı rsıd brc-derecede Newto-Gregory terpolsyo polom tırlırs ( ) P ( ) s t Brd s e t s ( s ) ' ' ( ξ) () oksyo k okt rsıdk tegrl P () tegre ederek blblrz. s ( ) d P ( ) d ( s ) d ( s ) ds s Ht term de tegre edlerek ( ) t s s s ( s ) ' ' ( ξ) d ' ' ( ξ) s ( s ) ds ' ' ( ξ) ' ' ( ξ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

12 Bölüm - Syısl türe e tegrl - blr. t ' ' ( ξ) O( ) e b gb k okt rsıd br oksyo tegrl b rlık olmk üzere det küçük rlığ yrılıp er br rlıkt trpez krlı yglrk b ( ) d ( / )( ) ( / / ) şeklde lıblr. B drmd t d lokl tlrı toplmı eşt olcktır. t ' [ ' ' ( ξ ) ' ' ( ξ ) ' ( ξ )] Brd ξ ler erbr o dsle belrtle rlığı çersdek br oktdır. Şyet () oksyo [b] rlığıd sürekl se b rlıkt öyle br ξ oktsı rdır k b oktd (ξ ) ler toplmı (ξ) ye eşttr. Ayrıc b- olp b göre t ' ' ' b ( ξ) ' ( ξ) O( ) elde edlr. Görüldüğü gb lokl tlr O( ) mertebesde ke toplm t O( ) mertebesdedr. Örek: Tblod değerler erle oksyo.8 le. oktlrı rsıd tegre edz. () () b ( ) d. ( 6. 5 / / ). 99 Tblodk değerler slıd ()e oksyod üretlmş olp tegrl gerçek değer b. ( ).. 8 d e d e e olrk blblr. B drmd trpez krlı göre ypıl tegrsyo toplm tsı.8 olmktdır. Ayı t syısl olrk tm edlrse: M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

13 Bölüm - Syısl türe e tegrl - t t ( ) ' ' ( ξ). 8 ξ. 8 e. {( e ) ( )} (. 598) (. ).. 8 { } blr... Eşt rlıklı olmy er oktlrı l Özellkle deeysel çlışmlrd elde edle er oktlrı eşt rlıklı değldr. B lde de trpez krlıı yglmk mümküdür. Örek: b ( ) d ( ) Br kt prol lıı erlmş okt koordtlrıı kllrk trpez krlı yrdımıyl esplyıız. Brd örek olrk şğıd şekl görüle SD 78 prol lımış olp b prol erlmş okt koordtlrı şğıdk tblod soldk sütlrd yer lmktdır İtegrl ç k rklı yol zlemş olp brcsde doğrd prol koordtlrı kllılrk tegrl b y y y d ( ) ( ) şeklde esplmıştır. İkcsde se prol oktlrıı koordtlrı ç c c HK ( cos θ ) c HK d sθ dθ değşke döüşümü yglrk tegrl ( θ) ( θ) ( ) c ( ) ( ) s y d y θ θdθ θ θ b b şeklde esplmıştır. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

14 Bölüm - Syısl türe e tegrl - SD78 rol cord p.5965 y Trpez tegrl cos θ sθ θ y( θ )*s θ Trpez tegrl HK İk soç rsıdk rklılık lk tegrlde ücm kerı crıd trpez yklşımıd meyd gele kyıplrd kyklmktdır. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

15 Bölüm - Syısl türe e tegrl -.. Romberg ekstrpolsyo Trpez krlı le lı tegrldek tyı Romberg ekstrpolsyo yötemyle zltmk mümküdür. Trpez yötemde t O( ) mertebesde olp br değeryle ypıl tegrl le / lırk ypıl kc br tegrl soçlrı brleştrlerek tegrl ç d y br tm ypılblr: D D D D z y doğr doğr doğr tm tegrl tegrl tegrl B yötem ble br () oksyo ç yglırke öce key br değer ç tegrl lıır. Sor değer yrısı lırk ye br tegrl esbı ypılır. B k tegrl soc ykrıdk bğıtıd kllılrk tegrl ç t mertebes O( ) ol d y br tm elde edlr. Ypıl b şlemler br tblod yerleştrlerek rdrd d y tegrl tmler ypılblr. Her br ekstrpolsyo tı O( ) O( 6 ) O( 8 )... şeklde zlmsıı sğlr. Ykısmy bkılrk tegrl ç optmm br değer blblr. Adım zlğ yrıy drldğ er br şmd oksyo bzı oktlrdk değer br öcek şmd bldğde b oktlrd tekrr esp ypmy gerek yoktr. Örek: ()e - oksyo. e b.5 oktlrı rsıdk tegrl Romberg yötem kllrk esplyıız. Bşlgıçtk dım zlğ (b-)/.65 olrk lıız. b İtegrl ç lk tm ( ) ( ) ( ) ( ) d / b / / 5 65 e e e /.66 İkc tmde dım zlğ.65/.5 lıırs ( ) d elde edlr. Ardrd ypıl b k tegrl Romberg ormülüde kllılrk b ( ) d ( ) blr. Aşğıdk tblod rdrd bölümüş dım zlklrı ç elde edle tegrl soçlrı yer lmktdır. Değşk dım zlklrı ç elde edle tegrl soçlrı e blr yrdımıyl ypıl çeştl seyedek tmler küçük tblod özetlemştr. Herbr seyede tmler br öcek seyede tm edle soçlrd reketle esplmktdır. Kllıl üsler de tblo ltıd gösterlmştr. b M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

16 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5 e ² () ² () ² () ² () Itegrl Itegrl Ye tm Itegrl Ye tm Itegrl. tm. tm. tm Itegrl Ye tm Br er set ç Romberg ekstrpolsyo Ykrıd ble br oksyo ç ygl Romberg yötem blmeye br oksyo t tblolmış er oktlrı ç de yglmk mümküdür. Ack er oktlrıı eşt rlıklı olmsı gerekr. Ayrıc oksyo blmedğde dım zlğ yrıy drerek r oktlrd er değer elde etmek mümkü olmycktır. B bkımd tmler b de değer kye ktlrk ypılcktır. Örek: Tblodk er oktlrıı kllrk.8 e. oktlrı rsıdk tegrl ç yleştrlmş br tm ypıız. B er d öce trpez krlıı yglmsı ç kllılmış olp. dım zlğyl tegrl soc.99 olrk blmştr.. e.8 dım zlklrı ç kllıl er oktlrı e elde edle tegrl soçlrı tblod erlmştr. ()...8 İtegrl. Tm. Tm İtegrl e. dım zlklrı ç bl tegrl soçlrı kllılrk d y br tm M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

17 Bölüm - Syısl türe e tegrl -6 b ( ) d ( ) şeklde e. e.8 dım zlklrı ç bl tegrl soçlrı kllılrk d y br tm b ( ) d ( ) şeklde elde edlr. B k tm değer kllılrk d y br tm b ( ) d ( ) olrk elde edleblr. Verle tblo değerler ()e oksyo t oldğ e tegrl tm değer.9 oldğ tırlırs ypıl e so tm espl tegrl değerlerde e lk tm değerlerde d doğr oldğ görülür...5 Smpso krllrı Trpez yötemde oksyo leer polomlrl temsl edlmektedr. Foksyo br kdrtk ey kübk terpolsyo polomyl yklşılmsı lde tegrsyo d sss soç ermes bekler. Smpso krllrı b ss dymktdır. Smpso krllrı / krlı e /8 krlı olrk blmektedr. Smpso / krlı kc derecede Newto-Gregory ler rk polom tegre edlerek elde edleblr. Eşt rlığıyl sırlmış e oktlrı ç Newto-Gregory ormülü ( ) s s ( ) s şeklde olp rlığıd tegre edlerek ( ) s s ( ) d s d ( ) s s s ds s s s [ ] 6 s ( ) ( ) d ( ) [ ] M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

18 Bölüm - Syısl türe e tegrl -7 elde edlr. İterpolsyo polom tsı tegre edlerek Smpso / krlı ç t d 9 ( ξ) 5 ( ) Ht < ξ < şeklde tm edleblr. Smpso / krlıd rdrd üç okt kllılmsı rdrd k şert üzerde tegrl lımsı olrk d yormlblr. B göre b yötem yglmsı ç tegrl rlığıı eşt rlıklı çt syıd lt-bölgeye yrılmış olmsı gerekldr. Smpso /8 krlı d bezer şeklde üçücü derecede Newto-Gregory ler rk polom tegre edlerek elde edleblr. B ç rdrd dört okty tyç rdır: d P d 8 ( ) ( ) ( ) Yötem tsı ç blblr. 8 ( ξ) 5 ( ) Ht < ξ < Smpso /8 krlıd rdrd dört okt kllılmsı rdrd üç şert üzerde tegrl lımsı olrk d yormlblr. B göre b yötem yglmsı ç de tegrl rlığıı eşt rlıklı üçle bölüeblr syıd lt-bölgeye yrılmış olmsı gerekldr. Görüldüğü gb /8 krlıı tsı / krlı göre d zldır. B rğme bzı llerde /8 krlıı kllmk gerekeblr. Şyet er setdek şert syısı çt değlse lk bkışt / krlıı kllılmsı mümkü değlmş gb düşüüleblr. Oys tegrl yg br kısmı /8 krlı le esplıp kl kısmıd / krlı yglblr. Örek: ()e - oksyo. e.6 oktlrı rsıd sırsıyl trpez krlı Smpso / e /8 krllrıyl tegre edz. Soçlrı krşılştırıız. Aşğıdk tblod lk üç sütd okt ç e () değerler dördücü süt el ltıd okt le trpez krlı kllılrk espl tegrl değer yer lmktdır. Dördücü e beşc sütlrd Smpso / e /8 krllrıyl esplmış lokl tegrller e sütlrı e ltlrıd d blrı toplmlrı y tegrl soçlrı yer lmktdır. D sork sütlrd sırsıyl 6 e 8 okt le ypıl bezer esplmlrı soçlrı yer erlmştr. Hesplmlrı soçlrı yrıc lttk küçük tblod özetlemştr. Verle oksyo MATLAB le esplmış gerçek değer olp b değer kllılrk elde edle t değerler de yı tblod gösterlmştr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

19 Bölüm - Syısl türe e tegrl -8 e şert. şert. 6 şert. 8 şert. () / /8 () / /8 () / /8 () / / tegrl Trpez Smpso / Smpso /8 tegrl t tegrl t tegrl t İtegrl ormüller rklı br yold elde edlmes D öce terpolsyo ç kllıl blmeye ktsyılrı ty yötem bezer tegrl ç de kllılblr. Brd yötem tıtmk ç e bst ormüller ele lırk e oktlrı rsıd () oksyo tegrl ç sdece ( ) e ( ) oksyo değerler kllıldığı ( ) d A ( ) B ( ) bçmde br ormül elde edlmeye çlışılcktır. Brd A e B ty edlecek ol ktsyılrdır. ( ) e ( ) oktlrıd geçe brc derecede br polom ( ) P( ) b şeklde tr edleblr. Ekse tkımıı bşlgıç oktsı ( - ) olck bçmde kydırılırs şlemlerde kolylık sğlblr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

20 Bölüm - Syısl türe e tegrl -9 B drmd k rklı l söz kos olblr: Brc l: P() b P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) A B İkc l: P() b B k deklem mtrs bçmde yzılırs P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) A B A B / İkc deklemde B / İlk deklemde AB A -/ / Böylece ( ) d [ ( ) ( )] elde edlr. B bğıtı bldğmz trpez krlıdır. Üç oktlı br ormül ç - - e oktlrı lıır e b üç oktd ( ) b c P şeklde br prbolü geçtğ rsyılırs r ormül ( ) d A ( ) B ( ) C ( ) şeklde olp Brc l: P() c b P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) C P( ) A B C İkc l: P() b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d d A P B P C P A B C Üçücü l: P() b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d d A P B P C P A B C M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

21 Bölüm - Syısl türe e tegrl - B deklemler mtrs bçmde yzılırs A B C / İkc deklemde A C Üçücü deklemde A C / İlk deklemde B / Böylece ( ) d [ ( ) ( ) ( )] elde edlr. B bğıtı d bldğmz Smpso / krlıdır...7 Gss kdrtürü Öcek bölümlerde geçe tegrl ormüller eşt rlıklı oktlr ç geçerl d. Üç terml üç prmetrel e so ormülde de eşt rlıklı oktlrdk oksyo değerler ğırlık ktörleryle çrpılrk tegrl elde edlebleceğ görüldü. Üç prmetrel b çözümü kc derecede br polom (dereces prmetre syısıd br eksk) tegrle eşdeğer oldğ blmektedr. Gss eşt rlıklı bell oktlrd oksyo değerler kllılmsı zorllğ ortd kldırılmsı lde prmetre syısıı üçte ltıy çıkcğı düşücesyle rklı br yötem gelştrmştr. B yötemde oksyo değerler ğırlık ktörler yıd oksyo değerler espldığı oktlrı koordtlrı d le prmetreler olmktdır. Altı prmetrel br yklşım gerçekte 5 c derecede br polom tegrle eşdeğer olp d yüksek mertebede br yklşım lmı gelmektedr. B presbe dy yötemler Gss kdrtür ormüller olrk blmektedr. B yötemler stele değerlerde () oksyo blmsı gerektğde ck () oksyo çık bçmde blmes lde kllılblr. Brd örek olrk bst lde dört blmeye prmetre çere k-terml br ormül çıkrtılcktır: () t dt ( t ) b ( t ) Yötem öcek bölümde z edle blmeye prmetreler ty yötemyle yıdır. İşlemler bstleştrmek ç bşlgıç oktsı göre smetrk br tegrl rlığı (- le rsıd) lıck e tegrl değşke t le belrtlecektr. Formülsyo. derecede erg br polom ç geçerl olcktır. () t t t dt t bt () t t t dt t bt M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

22 Bölüm - Syısl türe e tegrl - () t t t dt t bt () t dt b Üçücü eştlğ t le çrpıp brcde çıkrtrk ( t bt ) t ( t bt ) b ( t t t ) b t ( t t )( t ) t B eştlğ geçerl olblmes ç seçeekler t t ey t t b t olmkl brlkte blrd sdece socs geçerldr. B göre t t bt b t b b t bt t t. 577 Böylece () t dt (. 577) (. 577) elde edlr. B k oksyo değer erg br kübk polom t- le t rsıdk tegrlde kllılmsı lde tegrl tm (ect) değer ereceğ göstermek mümküdür. t t t t Geel br kübk polom ( ) İtegre edlerek () t dt ( t t t ) dt t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) elde edlr. Ayı tegrl ykrıd gelştrle ormülsyol esplırs ( t) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

23 Bölüm - Syısl türe e tegrl - ( t) () t dt w ( t) w ( t) şeklde ye yı soç elde edlr. Şmd tegrl sıırlrıı e değl de e b gb oldğ geel br l dkkte lıırs Gss kdrtürü prmetrelerde yrrlblmek ç e sıır değerler br değşke döüşümüyle e b sıır değerlere döüştürülmes gerekr. Şyet ( b ) t b d ( b ) dt t t b değşke döüşümü kllılırs ( ) b d ( b ) ( b ) t b dt elde edlr. Örek: π / I s d tegrl Gss kdrtürler kllrk esplyıız. İk terml Gss ormülüü kllılblmes ç tegrl değşke sıır değerler e olck bçmde döüştürülmes gerekmektedr. Ntekm ykrıdk değşke döüşümü yglırs ( b ) t b ( π / ) t Böylece erle tegrl π / π π ( t ) d dt I π / s d π π s ( t ) dt şekle gelr. Gss ormülü döüştürülmüş tegrl değer tegrdı t / e t / oktlrıdk değerler ğırlıklı br toplmı olrk err. Ntekm olp π π π π ( t ) π. 566π π π ( t ) π. 9π M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

24 Bölüm - Syısl türe e tegrl - I π / s d π [ s(. 566π) s(. 9π) ] elde edlr. Verle tegrl tm değer I π / / s d π [ cos ] [ ] olp Gss kdrtürü le ypıl tı mktrı.5 tür. Gss yötem değer tegrl ç sdece k oktd oksyo değer esplmsıı yeterl olmsıdır. Ye sdece k oktd oksyo değer esplmsıı gerekl kıl trpez krlı le tegrl esplmış olsydı I π / s d s s { π / } π π. 785 elde edlrd. Vey Smpso / krlı yglsydı I π / s d π / π [ s( ) s( π / ) s( π / ) ] (. 88 ). 8 blrd. Görüldüğü gb er k yötem tsı d Gss yötemde d zldır. Gss yötem k termde d zlsı ç de gelştrleblr. det okt ç ormül geel olrk () t dt w ( t ) şeklde yzılır. B ormül dereces - e d küçük ol polomlr ç tm (ect) dır. Ykrıd -okt ç z edle yötem okt ç geelleştrlerek w t k w t k w t k k k 5 k şeklde dekleml br deklem sstem elde edlr. B yötem çok şkr olmkl brlkte elde edle deklem sstem çözümü o kdr bst değldr. Ack Legedre polomlrı kllrk d koly br yklşım orty koymk mümküdür. Verle br değer ç t ler c derecede br Legedre polom köklerdr. Legedre polomlrı ( ) L ( ) ( ) L ( ) L ( ) ( ) L ( ) L şeklde br rekürsyo ormülüyle tımlmktdır. Brd L () ç L ( ) L ( ) L ( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

25 Bölüm - Syısl türe e tegrl - elde edlebleceğ görülmektedr. L () polom kökü ± / ±. 577 olp b kökler tm olrk k-terml ormüldek t değerlerdr. Sork polomlr ç rekürsyo bğıtısıd L L ( ) ( ) 5 5 b. elde etmek mümküdür. 8 Legedre polomlrıı kökler o-leer deklem kökler blmk ç kllıl stdrt yötemlerle elde edleblr. B kökler br kez elde edldkte sor ykrıd k-oktlı Gss kdrtürü ç yzıl deklemler bezerler yzılrk ğırlık ktörler ç kolylıkl çözüleblr. Aşğıdk tblod 5 c dereceye kdr Legedre polomlrı kökler yer lmktdır. B ktsyılrl 9 c dereceye kdr polomlrı krşılığı ol Gss kdrtürler yglmk mümküdür. Tblod lgl Gss kdrtürlere t ğırlık ktörler de slmştr. t w geçerllk dereces Brd Legedre polomlrıı bzı özellkler özetlemekte yrr rdır:. Legedre polomlrı ortogoldr. Y: L ( ) L ( ) m dt > m m B ss br çok bşk öeml oksyolrı d özellğdr. Öreğ cos( )... oksyolrı ç de cos ( m ) cos( ) dt > m m olp b drm b oksyo [π] rlığıd ortogol oldğ lmı gelmektedr.. c derecede erg br polom Legedre polomlrıı toplmı olrk yzılblr: P ( ) c L ( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

26 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5. L () polom det kökü [-] rlığıd yer lır. B özellkler yrdımıyl Gss kdrtürüü - c e d küçük derecedek polomlr ç tm (ect) oldğ göstermek mümküdür. Örek: Dört terml Gss ormülüü kllrk ()e - rsıd tegre edz. Soçlrı değerledrz. oksyo. e.6 oktlrı Hesplck tegrl I. 6 e. d olp ( b ) t b (. 6. ) t. 6.. t. b. 6. d dt dt. dt ( t.. ) değşke döüşümü le I. e dt. w ( t ) elde edlr. Gss kdrtürüü lk term t -.86 w. 785 (.. ) ( ) t ( ) t e. 87 w t. olp dğer termlere t esp soçlrı d şğıdk tblod erlmştr. t -.86 w w *. t w w *.75 t.998 w w *.8 t.86 w w *.9 Itegrl.688 İtegrl tm soc d öce olrk erlmşt. B göre terml Gss ormülü le elde edle soçtk t. olp Smpso / ormülüyle 6 rlıkt e trpez krlı le 8 rlıkt elde edle tegrl soçlrıd d z tlıdır. Örek: y R.m yrıçplı dre lıı çeştl yötemlerle esplyıız. Dre deklem olp brd y y R R d y S R R y d R R R d blr. Vey ( b ) t b ( [ ]) R R t RR Rt d Rdt M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

27 Bölüm - Syısl türe e tegrl -6 değşke döüşümü le S R R t Rdt R t dt elde edlr. B tegrl t le rsıdk eşt rlıklı 9 değer kllılrk trpez Smpso / e Smpso /8 ormülleryle yrı yrı esplmış olp soçlr şğıdk tblod slmştr. R. p.5965 S t (t) Trpez Smpso / Smpso / S Ht Değşk term syısıyl Gss kdrtürler kllrk elde edle soçlr şğıdk tblod yer lmktdır. Ayı tblod yrıc dre sdece pozt çeyreğde S R R d şeklde esplmış tegrl soçlrı d yer erlmştr. B tegrl ( b ) t b ( R ) t R R R ( t ) d dt değşke döüşümü socd S R R R ( t ) dt R ( t ) dt şekle gelmektedr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ

AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ AMORTİSMAN MALİYETİ SAPTAMA YÖNTEMLERİ Geel olrk 4 tp yötem kullılır.. Düz çzg yötem: Mlı değer zml doğrusl olrk zldığı vrsyılır. Mlı hzmet ömrü boyuc her yıl ç yı mktr mortsm olrk yrılır. V V d = S d:

Detaylı

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON

BÖLÜM 2 EĞRİ UYDURMA VE İNTERPOLASYON BÖÜ EĞRİ UYDURA VE İTERPOASYO - Grş İterpolo polomlrı Bölümüş rlr 4 Eşt rlılı ot dğılımlrı ç bt rlr 5 Küb ple eğrler Kım üb ple eğrler 7 Br üze üzerde terpolo 8 E-üçü reler lşımı Bölüm - Eğr udurm ve terpolo

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1

GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE. Abdullah AKKURT 1, Hüseyin YILDIRIM 1 IAAOJ, Scietific Sciece, 23,(2), 22-25 GENELLEŞTİRİLMİŞ FRACTİONAL İNTEGRALLER İÇİN FENG Qİ TİPLİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ ÜZERİNE Adullh AKKURT, Hüseyi YILDIRIM Khrmmrş Sütçü İmm Üirsitesi, Fe-Edeiyt Fkültesi

Detaylı

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ

ELİPSOİDAL YÜKSEKLİKLERİN ORTOMETRİK YÜKSEKLİĞE DÖNÜŞÜMÜNDE ENTERPOLASYON YÖNTEMLERİNİN KULLANILABİLİRLİĞİ SÜ ü-m Fk Derg, c9, s, 4 J FcEgArc Selcuk Uv, v9,, 4 EİPSOİDA YÜSEİERİN ORTOETRİ YÜSEİĞE DÖNÜŞÜÜNDE ENTERPOASYON YÖNTEERİNİN UANIABİİRİĞİ Cevt İNA ve Ceml Özer YİĞİT SÜü-mFkültes, Jeod ve Fot ü Bölümü,

Detaylı

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ

ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 03.05.013 ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ ve ÖRNEKLEM GENİŞLİĞİ 1 Nede Örekleme? Öreklemde çalışmak ktlede çalışmakta daha kolaydır. Ktle üzerde çalışmak çok daha masraflı olablr. Çoğu durumda tüm ktleye ulaşmak

Detaylı

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi

DERS 4. Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS Determitlr eotief Girdi - Çıktı lizi.. ir Kre Mtrisi Determitı. Determit kvrmıı tümevrıml tımlycğız. mtrisleri determitıı tımlyrk şlylım. Tım. tımlır. mtrisiidetermitı olrk Örek. mtrisii determitı

Detaylı

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME

HARİTA MÜHENDİSLERİ için SAYISAL ÇÖZÜMLEME HRİ MÜHENDİSLERİ ç SYISL ÇÖZÜMLEME Doç Dr emel BYRK GÜMÜŞHNE HRİ MÜHENDİSLERİ İÇİN SYISL ÇÖZÜMLEME Bu ktı er kkı sklıdır Yrı ılı olmksıı ktı tmmı ve erg r ölümü çr şeklde çoğltılıp ılm Yr dres: Doç Dr

Detaylı

1. GAZLARIN DAVRANI I

1. GAZLARIN DAVRANI I . GZLRIN DRNI I İdeal Gazlar ç: lm 0 RT İdeal gazlar ç: RT Hacm() basıçla() değşk sıcaklıklarda değşm ekl.. de gösterlmştr. T >T 8 T T T 3 asıç T 4 T T 5 T 7 T 8 Molar Hacm ekl.. Gerçek br gazı değşk sıcaklıklardak

Detaylı

Evolvent Dişli Üretimi Esnasında Meydana Gelen Kesme Kuvvetlerinin Teorik ve Deneysel Olarak Belirlenmesi

Evolvent Dişli Üretimi Esnasında Meydana Gelen Kesme Kuvvetlerinin Teorik ve Deneysel Olarak Belirlenmesi UluslrrsıKtılımlı 7. MkTeorsSempozyumu, İzmr, 4-7 Hzr 5 Evolvet Dşl Üretm Essıd Meyd Gele Kesme Kuvvetler Teork ve Deeysel Olrk Belrlemes İ. EŞİLUT * H. GÜSO Uşk Üverstes Uşk Üverstes Uşk Uşk Özet Bu bldrde

Detaylı

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

4- SAYISAL İNTEGRAL. c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F (x) = f(x) ); denir. f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise; 4- SAYISAL İNTEGRAL c ϵ R olmk üzere F() onksiyonunun türevi () ise ( F () = () ); Z ` A d F ` c eşitliğindeki F()+c idesine, () onksiyonunun elirsiz integrli denir. () onksiyonu [,] R için sürekli ise;

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İÇ-İÇE TASARIMLARDA DAYANIKLI ANALİZ VE UYGULAMALARI. İklim GEDİK NKR ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ VE UYGULMLRI İklm GEDİK İSTTİSTİK NBİLİM DLI NKR 00 er hkkı sklıdır ÖZET Yüksek Lss Tez İÇ-İÇE TSRIMLRD DYNIKLI NLİZ

Detaylı

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü

ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik - Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırt Üiversitesi Mühedislik Fkültesi Elektrik - Elektroik Mühedisliği Bölümü ENERJİ İLETİMİ DERSİ (DERS NOTLARI) Hzırly: Arş. Gör. Göky BAYRAK ELAZIĞ-008 İletim Htlrıı Elektriksel Ypısı ) Sürekli Durum:Nomil

Detaylı

İMALAT ZAMANLARI HESABI

İMALAT ZAMANLARI HESABI İMAAT ZAMANARI HESABI Bilimi gereği olrk lş kldırm işlemi, ekik ve ekoomik koşllr bğlı olrk gerçekleşirilmekedir. Tekik koşllr, prçy, resim üerideki ögörüle işleme kliesi çerçeveside şekil vermek içi ygl

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 1 BÖLÜM 1 KÜMELER VE SAYILAR 1.1 KÜMELER 1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesi ir tımı ypılmmkl erer,sezgisel olrk,kümeye iyi tımlmış iri iride frklı eseler topluluğudur diyeiliriz. Kümeyi meyd getire eselere kümei

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ C.Ü. İktisdi ve İdri Bilimler Dergisi, Cilt 5, Syı 5 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİNİN EXCEL İLE ÇÖZÜMÜ Öğr. Gör. Dr. Mehmet Ali ALAN Cumhuriyet Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Öğr. Gör.

Detaylı

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL KONU ANLATIMI ÖRNEKLER İNTEGRL KONU NLTIMI ÖRNEKLER Ġtgrl lmk, türi ril ir oksio lmk tır d,, d oksio olrk rildiğii =F i istdiğii rslım d içi i cid idsi: d = + dir, hrhgi ir sit df d koģl sğl = F oksio i gör itgrli dir d F içimid

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması

Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin Simülasyon ile Karşılaştırılması . Ders ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON Tahm Edcler ve Test Đstatstkler Smülasyo le Karşılaştırılması Đstatstk rasgelelk olgusu çere olay süreç ve sstemler modellemesde özellkle bu modellerde souç çıkarmada ve

Detaylı

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR

ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR ÖLÇÜM, ÖLÇÜM HATALARI ve ANLAMLI RAKAMLAR Ölçme, her deeysel blm temel oluşturur. Fzk blmde de teorler sıaması ç çeştl deeyler tasarlaır ve bu deeyler sırasıda çok çeştl ölçümler yapılır. Br fzksel celğ

Detaylı

BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İKİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI

BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İKİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI 36 Erciyes Üiversitesi İktisdi ve İdri Bilimler Fkültesi Dergisi, Syı: 3, Ock-Hzir 009, ss.35-5 BİR VİNÇ ATÖLYESİNDE İİLİ VERİLERE DAYALI HÜCRE OLUŞTURMA YÖNTEMLERİYLE HÜCRELERİN OLUŞTURULMASI ÖZ Bület

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Tiri ml rklrii rlıklı vr yömi gör izly bir işlmd döm s iibriyl sk rklrii drm şğıdki gibidir DB Ml Mvd 2 000 Döm içi Ml Alışı 50 000 Alış İd 3 000 Tiri Ml Hs Al Tp 5 000 Tiri Ml Hs Brç Klı 52 000 Yriçi

Detaylı

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu

Bir KANUN ve Bir TEOREM. Büyük Sayılar Kanunu Br KANUN ve Br TEOREM Büyük Türkçe Sözlük kau Đg. law Doğa olaylarıı oluş edeler ortaya koya ve gelecektek olayları öcede kestrme olaağı vere bağıtı; Newto kauu, Kepler kauları. (BSTS / Gökblm Termler

Detaylı

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a

basit cebirsel denkleminin geçerli olduğunu varsayalım. denklemine ait İAD. çıkış düğümüne olan ve kazancı a İşret Aış Drmlrı: İşret Aış Drmlrı (İAD), blo drmlrın bstleştrlmş hl olr örüleblr. Ft, İAD fzsel örünüş ve mtemtsel urllr bğlılı ısındn zım urllrı dh serbest oln blo drmlrındn frlıdır. Blo drmlrı, rmşı

Detaylı

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

SMMM STAJ BAŞLATMA FİNANSAL MUHASEBE/TİCARİ ALACAKLAR. f u a t h o c a. n e t. DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 2 sjbslmsivi@gmilm DEĞİŞİME AÇIK OLUN 3 sjbslmsivi@gmilm 1 Bir işlmi bzı bilgilri şğıdki gibidir: (Bi TL) Öki Döm Cri Döm Alıılr 940 610 Alk Slri

Detaylı

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlee ver düzeleerek çzelgelerle, graklerle suulması çoğu kez yeterl olmaz. Geel durumu yasıtacak br takım ölçülere gereksm vardır. Bu ölçüler verler yalızca özlü br bçmde belrtmekle

Detaylı

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere

RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0

Detaylı

8. Ders Deney Tasarımı Model Uygulamaları Çapraz ve Đç Đçe Tasarımlar, Tekrarlı Gözlemler, Bloklama

8. Ders Deney Tasarımı Model Uygulamaları Çapraz ve Đç Đçe Tasarımlar, Tekrarlı Gözlemler, Bloklama 8. Ders Deney Tsrımı Model Uygulmlrı Çprz ve Đç Đçe Tsrımlr, Tekrrlı Gözlemler, loklm Çprz tsrımlr le lgl bzı uygulmlr öncek derslerde örnek olrk verld.. Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımı (Nested Expermentl Desgn

Detaylı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı

Trace ve Kellogg Yöntemleri Kullanılarak İntegral Operatörlerinin Özdeğerlerinin Nümerik Hesabı Trce ve Kellogg Yöemleri Kullılrk İegrl Operörlerii Özdeğerlerii Nümerik Hesı Erk Tşdemir () ; Yüksel Soyk () ; Melih Göce (3) (¹)Kırklreli Üiversiesi, Kırklreli, Türkiye, erksdemir@homil.com (²)Büle Ecevi

Detaylı

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU

ÇOKLU REGRESYON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESYON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-YON KATSAYILARININ YORUMU 6.07.0 ÇOKLU REGRESON MODELİ, ANOVA TABLOSU, MATRİSLERLE REGRESON ÇÖZÜMLEMESİ,REGRES-ON KATSAILARININ ORUMU ÇOKLU REGRESON MODELİ Ekonom ve şletmeclk alanlarında herhang br bağımlı değşken tek br bağımsız

Detaylı

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine

Genelleştirilmiş Ortalama Fonksiyonu ve Bazı Önemli Eşitsizliklerin Öğretimi Üzerine Geelleşrlmş Oralama Foksyou ve Bazı Öeml Eşszlkler Öğrem Üzere Gabl ADİLOV, Gülek TINAZTEPE & Serap KEALİ * Öze Armek oralama, Geomerk oralama, Harmok oralama, Kuvadrak oralama ve bular arasıdak lşk vere

Detaylı

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME

BASİT RASSAL ÖRNEKLEME. Örnekleme ve Tahmin Teorisi. Örnekleme RASSAL ÖRNEKLEME BASİT RASSAL ÖRNEKLEME Örekleme ve Thmi Teorii Solu Kitle BüyüklüğüN ol olu bir kitlede büyüklüğüde lıck bir öreği eçilme şı, büyüklüğüdeki bir bşk öreği eçilmei şı ile yı ie bu tür öreklemeye bit rtl

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama

= k. Aritmetik Ortalama. Tanımlayıcı İstatistikler TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER. Sınıflanmış Seriler İçin Aritmetik Ortalama TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Taımlayıcı İstatstkler MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Dr. Mehmet AKSARAYLI D.E.Ü. İ.İ.B.F..B.F. EKONOMETRİ BÖLÜMÜ mehmet.aksarayl aksarayl@deu.edu.tr Yer Ölçüler (Merkez Eğlm Ölçüler)

Detaylı

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2

Matematik olarak normal dağılım fonksiyonu. 1 exp X 2 Matematk olarak ormal dağılım foksyou f ( ) ep ( ) Şeklde fade edlr. Burada μ artmetk ortalama, σ se stadart sapma değer gösterr ve dağılım foksyou N(μ, σ) otasyou le gösterlr. Bu deklem geometrk görütüsü

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

BÉZIER YAKLAŞIMI İLE BİR YÜZEYİN OLUŞTURULMASI VE C PROGRAMLAMA İLE CAM KODLARININ TÜRETİLMESİ

BÉZIER YAKLAŞIMI İLE BİR YÜZEYİN OLUŞTURULMASI VE C PROGRAMLAMA İLE CAM KODLARININ TÜRETİLMESİ İMAK-asarım İmalat Aalz Kogres 6-8 Nsa 6 - ALIKESİR ÉZIER YAKLAŞIMI İLE İR YÜZEYİN OLUŞURULMASI VE C PROGRAMLAMA İLE CAM KODLARININ ÜREİLMESİ Cha ÖZEL, Erol KILIÇKAP Fırat Üverstes, Maka Mühedslğ ölümü-elaziğ

Detaylı

Euler Yöntemi İle Gerçek Zamanlı Sayısal İntegrasyon İşleminin FPGA Ortamında Gerçekleştirilmesi. İ. Soya, T. Tuncer, Y. Tatar

Euler Yöntemi İle Gerçek Zamanlı Sayısal İntegrasyon İşleminin FPGA Ortamında Gerçekleştirilmesi. İ. Soya, T. Tuncer, Y. Tatar 6 th Itertiol Advced Techologies Symposium (IATS 11), 16-18 My 2011, Elzığ, Turkey Euler Yötemi İle Gerçek Zmlı Syısl İtegrsyo İşlemii FPGA Ortmıd Gerçekleştirilmesi İ. Soy, T. Tucer, Y. Ttr Firt Üiversitesi

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com Mliy Msbsi : Bir işlmd üril ml v izm birimlrii ld dilmsi v blrı lıılr lşırılıp pry çvrilmsi içi, işlmi ypığı dkârlığı prsl ölçüsüü gösr mliylri, gi gidrlrd lşğ blirly, söz ks gidrlri; ürlri, ksiylrı v

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek

FİNANSAL YÖNETİM. Finansal Yönetim Örnek Sorular Güz 2015. Yrd. Doç. Dr. Rüstem Barış Yeşilay 1. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek Fasal Yöetm Örek lar Güz 2015 Güz 2015 Fasal Yöetm Örek lar 2 Örek FİNNSL YÖNETİM ÖRNEKLER 1000 TL %10 fazde kaç yıl süreyle yatırıldığıda 1600 TL olur? =1000 TL, FV=1600 TL, =0.1 FV (1 ) FV 1600 (1 )

Detaylı

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME SINAVI ISBN 978-605-364-027-1. Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. Komisyon DGS TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME SINAVI ISBN 97-0--07- Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem Akdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem Akdemi Yy. Eğt. Dn. Hizm. Tic. Ltd. Şti

Detaylı

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI

KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI KIRIKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE BAZI UYGULAMALARI SEVGİ İŞLER EYLÜL 5 ÖZET KOMPLEKS FONKSİYONLARDA REZİDÜ VE

Detaylı

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ

AKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.

Detaylı

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.

YER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir. YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,

Detaylı

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

bir yol oluşturmaktadır. Yine i 2 , de bir yol oluşturmaktadır. Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre Devre Analz Teknkler DEE AAĐZ TEKĐKEĐ Bu zamana kadar kullandığımız Krchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlern çözmek çn gerekl ve yeterl olan eştlkler sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak

Detaylı

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak

YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarihli ve 25391 sayılı Resmi Gazete'de yayımlanmıştır.) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayanak YILLIK ÜCRETLİ İZİN YÖNETMELİĞİ (03.03.2004 tarhl ve 25391 sayılı Resm Gazete'de yayımlamıştır.) Amaç BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam ve Dayaak Madde 1 Bu Yöetmelğ amacı, 4857 sayılı İş Kauuu 53 ücü maddes

Detaylı

Faure Dizili Genetik Algoritmalar İle Toprak Özdirencinin Mevsimsel Değişiminde Transformatör Merkezi Topraklama Sisteminin Optimum Tasarım Stratejisi

Faure Dizili Genetik Algoritmalar İle Toprak Özdirencinin Mevsimsel Değişiminde Transformatör Merkezi Topraklama Sisteminin Optimum Tasarım Stratejisi Süleym Demrel Üverstes, Fe Blmler Esttüsü Dergs, 6- ), 6-76 Fure Dzl Geetk Algortmlr İle Toprk Özdrec Mevsmsel Değşmde Trsformtör Merkez Toprklm Sstem Optmum Tsrım Strtejs Brış GÜRSU *, Melh Cevdet İNCE

Detaylı

2. BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ

2. BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ . BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ Akışknlr mekniğinin birçok probleminde reket yoktur. Bu tip problemlerde durn bir kışkn içinde bsınç dğılımı ve bu bsınç dğılımının ktı yüzeylere ve yüzen vey dlmış cisimlere

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2:195-200 (2004)

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:5-Sayı/No: 2:195-200 (2004) ANADOLU ÜNİERSİTESİ BİLİM E TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIERSITY JOURNAL OF SIENE AND TEHNOLOGY lt/ol.:5-syı/no: :195-00 (004) DERLEME/REIEW KESİKLİ DEĞİŞKEN İÇEREN GRAFİKSEL MODELLER Hüly BAYRAK 1, Fr

Detaylı

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE

İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ. Balıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Müh. Bölümü Balıkesir, TÜRKİYE THEOREM OF WORK INFLUENCE LINE BAÜ Fen Bil. Enst. Dergisi (006).8. İŞ ETKİ ÇİZGİSİ TEOREMİ Scit OĞUZ, Perihn (Krkulk) EFE Blıkesir Üniversitesi Mühendislik Mimrlık Fkültesi İnşt Müh. Bölümü Blıkesir, TÜRKİYE ÖZET Bu çlışmd İş Etki Çizgisi

Detaylı

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları

http://www.metinyayinlari.com Metin Yayınları LİMİT İÇ KAPAK Bu kitbı bütü ı hklrı sklıdır. Tüm hklrı, zrlr ve METİN YAYINLARI ittir. Kısme de ols lıtı pılmz. Meti, biçim ve sorulr, ıml şirketi izi olmksızı, elektroik, mekik, fotokopi d herhgi bir

Detaylı

b göz önünde tutularak, a,

b göz önünde tutularak, a, 3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06

İÇİNDEKİLER ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 PROBLEMLER İÇİNDEKİLER Syf No Test No ORAN VE ORANTI... 267-278... 01-06 KESİR PROBLEMLERİ... 279-288... 01-05 HAVUZ VE İŞ PROBLEMLERİ... 289-298... 01-06 SAYI PROBLEMLERİ... 299-314... 01-08 YAŞ PROBLEMLERİ...

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.

0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7. MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ

İSTATİSTİK. Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özkan GÖRGÜLÜ İSTATİSTİK Doç. Dr. Suat ŞAHİNLER Arş.Gör. Özka GÖRGÜLÜ Tavsye Edle Kayak Ktaplar Her öğrec keds tuttuğu düzel otlar.. Akar, M. ve S. Şahler, (997). İstatstk. Ç.Ü. Zraat Fakültes Geel Yayı No: 74, Ders

Detaylı

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma

Açık Artırma Teorisi Üzerine Bir Çalışma Kocael Üerstes Sosyal Blmler Esttüsü Dergs (4) 27 / 2 : 5-77 Açık Artırma Teors Üzere Br Çalışma Şeket Alper Koç Özet: Bu çalışmada haleler üzere teork r araştırma yapılacaktır. Belrl arsayımlar altıda

Detaylı

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI

SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI SAYISAL YÖNTEMLER DERS NOTLARI Yrd Doç Dr Hüse Bıroğu İSTANBUL 6 İÇİNDEKİLER SAYFA -GİRİŞ SAYISAL HESAPLAMALARDA HATA ANALİZİ HATA TANIMI SAYISAL YÖNTEMLERİN SINIFLANDIRILMASI 5 DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN

Detaylı

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ

YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YILLAR 00 003 00 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS 3 1 1 1 3 YÜZDE VE FAĐZ PROBLEMLERĐ YÜZDE: Bir syının yüzde sı= dır ÖRNEK(1) % i 0 oln syıyı bullım syımız olsun 1 = 0 = 0 ÖRNEK() 800 ün % ini bullım

Detaylı

Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır.

Bir tahmin edicinin sapması, beklenen değeriyle gerçek parametre arasındaki fark olarak tanımlanır. 6. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNLERİNİN ÖZELLİKLERİ 6. TAHMİN EDİCİLERDE ARANAN ÖZELLİKLER Geellkle br tahm aa kütle parametres gerçek değere yakı olmasıı ve b gerçek parametre yakılarıda dar br aralıkta değşmes

Detaylı

E-WOM a Dayalı Çok Kriterli Karar Verme Teknikleri İle En Uygun Otelin Belirlenmesi ve Bir Uygulama

E-WOM a Dayalı Çok Kriterli Karar Verme Teknikleri İle En Uygun Otelin Belirlenmesi ve Bir Uygulama Selçuk Üverstes Sosyl Blmler Esttüsü Dergs Syı: 33, 2015, ss. 1-17 Selcuk Uversty Jourl of Isttute of Socl Sceces Volume: 33, 2015, p. 1-17 E-WOM Dylı Çok Krterl Krr Verme Tekkler İle E Uygu Otel Belrlemes

Detaylı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı

Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207. Temel Elektronik-I. Doç. Dr. Hüseyin Sarı Ankr Üniversitesi Mühendislik Fkültesi, Fizik Mühendisliği Bölümü FZM207 Temel ElektronikI Doç. Dr. Hüseyin Srı 2. Bölüm: Dirençli Devreler İçerik Temel Yslrın Doğrudn Uygulnışı Kynk Gösterimi ve Dönüşümü

Detaylı

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI

PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ. Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü. Zekeriya Girgin DENİZLİ, 2015 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ Mühedlk Fakülte, Make Mühedlğ Bölümü Zekerya Grg DENİZLİ, 05 OTOMATİK KONTROL DERS NOTLARI Ööz Mühedlkte vermeye başladığım Otomatk Kotrol der daha y alaşılablme ç bu otlar hazırlamaya

Detaylı

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI

DENEY 4: SERİ VE PARALEL DEVRELER,VOLTAJ VE AKIM BÖLÜCÜ KURALLARI, KIRCHOFF KANUNLARI A. DNYİN AMACI : Bast ser ve bast paralel drenç devrelern analz edp kavramak. Voltaj ve akım bölücü kurallarını kavramak. Krchoff kanunlarını deneysel olarak uygulamak. B. KULLANILACAK AAÇ V MALZML : 1.

Detaylı

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI

TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI TDK Temel Devre Kavramları ve Kanunları /0 TEMEL DEVRE KAVRAMLARI VE KANUNLARI GĐRĐŞ: Devre analz gerçek hayatta var olan fzksel elemanların matematksel olarak modellenerek gerçekte olması gereken sonuçların

Detaylı

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ

3. BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ . BÖLÜM: ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER KONU ÖZETİ A. ÜSLÜ İFADELER 6.,, c R olmk üzere. Üslü İfdeler. +. c. = ( + c) dir. Bir syıı kedisi ile tekrrlı çrpımı o syıı kuvvetii lm y d üssüü lm deir. R ve Z + olmk

Detaylı

1 GİRİŞ. 12.02.2014 1 Taslak V.1

1 GİRİŞ. 12.02.2014 1 Taslak V.1 Lütü Der Not ProDr İÖztğ BİLDİRİCİ Ko 3 GİRİŞ VERİ MODELİ OLARAK HARİTA HARİTALAR VE VERİ İŞLEME SİSTEMLERİ MEKANSAL KARTOGRAFİK OBJELER Sıır Botl Oeler Br Botl Oeler İ Botl Oeler 3 TEMEL ANALİTİK GEOMETRİ4

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN BİLİMLERİ DERGİSİ Clt: 2 Sayı: 3 sh 87-02 Ekm 200 VOLTERRA SERİLERİ METODU İLE DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLERİN FREKANS BOYUTUNDA ANALİZİ İÇİN NET TABANLI ARAYÜZ TASARIMI (DESIGN

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON)

BÖLÜM 4 KLASİK OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ (KISITLI OPTİMİZASYON) BÖÜM 4 KASİK OPTİMİZASYON TEKNİKERİ KISITI OPTİMİZASYON 4. GİRİŞ Öcek bölülerde de belrtldğ b optzaso probleler çoğuluğu kısıtlaıcı oksolar çerektedr. Kısıtlaasız optzaso problelerde optu değer ede oksou

Detaylı

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ

TALEP TAHMİNLERİ. Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ TALEP TAHMİNLERİ Y.Doç.Dr. Alpagut YAVUZ Yöetm e temel foksyolarıda br ola plalama, e kaba taımıyla, şletme geleceğe yöelk alıa kararları br bleşkesdr. Geleceğe yöelk alıa kararları başarısı yöetcler yaptıkları

Detaylı

2013 YILI TÜRKİYE RADYO VE TELEVİZYON YAYINCILIĞI SEKTÖR RAPORU

2013 YILI TÜRKİYE RADYO VE TELEVİZYON YAYINCILIĞI SEKTÖR RAPORU 2 0 1 3YI L I R KL AMV Rİ L Rİ YL T ÜRKİ Y RADY OVT L Vİ ZY ONY A YI NCI L I ĞI S KT ÖRRAPORU R A T M R A D Y OT L V İ Z Y O NY A Y I N C I L A R I M S L KB İ R L İ Ğ İ L e y l ks o k kmu r t İ ş Me r

Detaylı

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma

1. Değişkenler ve Eğriler: Matematiksel Hatırlatma DERS NOTU 01 Son Hli Değildir, tslktır: Ekleme ve Düzenlemeler Ypılck BİR SOSYAL BİLİM OLARAK İKTİSAT VE TEMEL KAVRAMLAR 1 Bugünki dersin işleniş plnı: 1. Değişkenler ve Eğriler: Mtemtiksel Htırltm...

Detaylı

Fumonic 3 radio net kablosuz duman dedektörü. Kiracılar ve mülk sahipleri için bilgi

Fumonic 3 radio net kablosuz duman dedektörü. Kiracılar ve mülk sahipleri için bilgi Fumonc 3 rado net kablosuz duman dedektörü Kracılar ve mülk sahpler çn blg Tebrk ederz! Darenze akıllı fumonc 3 rado net duman dedektörler monte edlmştr. Bu şeklde ev sahbnz yasal donanım yükümlülüğünü

Detaylı

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE

MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE MALTA HAÇI MEKANİZMASININ KİNEMATİĞİ ÜZERİNE Yrdımcı Doçent Doktor Yılmz YÜKSEL 1. GİRİŞ Tekstil Mklnlrmd hmmddeyi mmul mdde hline getirirken çoğu kere bir çok teknik iş belirli bir sıry göre rdrd ypılmktdır.

Detaylı

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ

ALTERNATİF AKIM DEVRE YÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ Tpak GİRİŞ Alternatf akımın

Detaylı

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.

DENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24. DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli

Detaylı

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr.

Mühendislikte Olasılık, İstatistik, Risk ve Güvenilirlik Altay Gündüz. Mühendisler için İstatistik Prof. Dr. Mehmetçik Bayazıt, Prof. Dr. İSTATİSTİK DERSİ (BAÜ Müh-Mm Fakültes Dr. Bau Yağcı KAYNAKLAR Mühedslkte Olasılık, İstatstk, Rsk ve Güvelrlk Altay Güdüz Blgsayar (Ecel Destekl Uygulamalı İstatstk Pro. Dr. Mustaa Akkurt Mühedsler ç İstatstk

Detaylı

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI

KARŞI AKIŞLI SU SOĞUTMA KULESİ BOYUTLANIDIRILMASI KARŞI AKIŞI SU SOĞUTMA KUESİ BOYUTANIDIRIMASI Yrd. Doç. Dr. M. Turh Çob Ege Üiversitesi, Mühedislik Fkultesi Mkie Mühedisliği Bölümü turh.cob@ege.edu.tr Özet Bu yzımızd ters kışlı soğutm kulelerii boyut

Detaylı

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE SÜT ENDÜSTRİSİNDE BİR UYGULAMA 1 A CASE STUDY AT DAIRY INDUSTRY WITH FUZZY LINEAR PROGRAMMING

BULANIK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE SÜT ENDÜSTRİSİNDE BİR UYGULAMA 1 A CASE STUDY AT DAIRY INDUSTRY WITH FUZZY LINEAR PROGRAMMING Süleymn Demrel Ünverstes İktsd ve İdr Blmler Fkültes Dergs Y.0, C.8, S., s.7-97. Suleymn Demrel Unversty he Journl of Fculty of Economcs nd Admnstrtve Scences Y.0, Vol.8, No., pp.7-97. BULANIK DOĞRUSAL

Detaylı

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI

İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI İŞLETMELERDE DAĞITIM SİSTEMİ MALİYETLERİ MİNİMİZASYONU İÇİN ÇÖZÜM MODELİ: BİR FİRMA UYGULAMASI Ahmet ERGÜLEN * Halm KAZAN ** Muhtt KAPLAN *** ÖZET Arta rekabet şartları çersde karlılıklarıı korumak ve

Detaylı

Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam!

Başlangıç değerleri. olduğundan iterasyona devam! ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİESİ Mühedl Mmlı Fülte İşt Mühedlğ Bölümü E-Pot: ogu.hmet.topcu@gml.com Web: http://mmf.ogu.edu.t/topcu Blgy Detel Nüme Alz De otlı Ahmet OPÇU m X X X.5.5.5.5.75 -.5.5.875.75

Detaylı

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1

ĐÇI DEKILER 1. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR 1 ĐÇI DEKILER Sayfa. TEMEL ĐSTATĐSTĐK KAVRAMLAR VE OTASYO LAR.. Grş.. Đstatstk.3. Populasyo.4. Örek.5. Brm.6. Parametre.7. Değşke 3.8. Ver ve Ver Tpler 3.9. Toplama Sembolü 4 ÇALIŞMA PROBLEMLERĐ 6. VERĐLERĐ

Detaylı

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR

ORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.

Detaylı

Anadolu Mandalarının Değişik Metotlara Göre Tahmin Edilen Süt Verimleri Üzerine Bazı Çevresel Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi

Anadolu Mandalarının Değişik Metotlara Göre Tahmin Edilen Süt Verimleri Üzerine Bazı Çevresel Faktörlerin Etkilerinin Belirlenmesi Kfs Uv et F Derg 20 (): 79-85, 204 DOI: 0.9775/vfd.203.9457 Jourl Home-Pge: http://vetderg.fs.edu.tr Ole Submsso: http://vetdergfs.org RESEARCH ARTICLE Adolu Mdlrıı Değş Metotlr Göre Thm Edle Süt ermler

Detaylı

üzerinde tanımlı cyclic bir kod olduğu Wolfman tarafından 1999 da yaptığı bir çalışmayla gösterilmiştir. Daha sonra bu

üzerinde tanımlı cyclic bir kod olduğu Wolfman tarafından 1999 da yaptığı bir çalışmayla gösterilmiştir. Daha sonra bu GİİŞ Kodl teors l olr 94 lı yıllrı solrı doğr zı ühedsl roleler le ğltılı olr orty çııştır B o erde tet vrlrı llılr elştrlş ve Cersel Kodl Teors dıı lıştır t düzelt odlr teors se l trsfer yd deolsı essıd

Detaylı

1 stajbaslatmasinavi@gmail.com STAJ BAŞLATMA MUHASEBE STANDARTLARI

1 stajbaslatmasinavi@gmail.com STAJ BAŞLATMA MUHASEBE STANDARTLARI 1 Türkiy msb sdrlrı gör; krşılıklı pzrlık rmıd, bilgili v iskli grplr rsıd bir vrlığı l dğişirmsi yd bir br ödmsi drmd ry çıkmsı grk r d vrilir? A) Mliy dğri B) N grçklşirilbilir dğr C) Alış dğri D) Dr

Detaylı

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ

4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Ünsal M.; Varol, A.: Soğutma Kulelernn Boyutlandırılması İçn Br Kuramsal 8 Mayıs 990, S: 8-85, Adana 4.5. SOĞUTMA KULELERİNİN BOYUTLANDIRILMASI İÇİN BİR ANALIZ Asaf Varol Fırat Ünverstes, Teknk Eğtm Fakültes,

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları

Bilgisayar Destekli Tasarım/İmalat Sistemlerinde Kullanılan Modelleme Yöntemleri: Bézier ve Tiriz Eğrileri ve İmalat Uygulamaları Bilgisr Destekli Tsrım/İmlt Sistemlerinde Kllnıln Modelleme Yöntemleri: Béier ve Tiri Eğrileri ve İmlt Uglmlrı Bilimsel Hesplm II Dönem Projesi Hmdi Ndir Trl İçerik. Giriş. Bilgisrlı Destekli Tsrım (CAD

Detaylı

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract

Tuğba SARAÇ Yük. Endüstri Mühendisi TAI, Ankara tsarac@tai.com.tr. Özet. 1. Giriş. 2. Gözden Geçirmeler. Abstract YKGS2008: Yazılım Kaltes ve Yazılım Gelştrme Araçları 2008 (9-0 ekm 2008, İstabul) Yazılım Ürü Gözde Geçrmeler Öem, Hazırlık Sürec ve Br Uygulama Öreğ The Importace of the Software Product Revews, Preparato

Detaylı

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com

DEĞİŞİME AÇIK OLUN 1 stajbaslatmasinavi@gmail.com 1 v 2 SORULARI AŞAĞIDAKİ BİLGİLERE GÖRE CEVAPLAYINIZ 20082006 riid ypıl ks syımıd ksd 585 ABD Dlrı ($) ldğ blirlmişir Ayı ri iibriyl Dlr Kssı l sbıı brç plmı 26845 $, lk plmı 26320 $ lrk izlmkdir B rkı

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı