TEZ ONAYI Abe MOĞULKOÇ taafından hazılanan Gafende Kütlesiz Diac Femionlaı Gazı adlı tez çalışması 03/07/008 taihinde aşağıdaki jüi taafından o biliği

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ GRAFENDE KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI GAZI Abe MOĞULKOÇ FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 008 He hakkı saklıdı

2 TEZ ONAYI Abe MOĞULKOÇ taafından hazılanan Gafende Kütlesiz Diac Femionlaı Gazı adlı tez çalışması 03/07/008 taihinde aşağıdaki jüi taafından o biliği ile Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olaak kabul edilmişti. Danışman: Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR Jüi Üelei: Başkan: Pof. D. Basi ÜNAL Ankaa Ünivesitesi Fizik Mühendisliği A.B.D. Üe : Pof. D. Hamit YURTSEVEN Otadoğu Teknik Ünivesitesi Fizik A.B.D. Üe : Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR Ankaa Ünivesitesi Fizik A.B.D Yukaıdaki sonucu onalaım Pof. D. Ohan ATAKOL Enstitü Müdüü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi GRAFENDE KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI GAZI Abe MOĞULKOÇ Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR Son zamanlada oğun madde fizikçileinin ilgisinin odaklandığı iki boutlu apı olan gafen, kabon atomlaının petek apısında dizilişinden oluşu. Göstediği elektonik özellikle bakımından, günümüzdeki silikon tabanlı teknolojie altenatif olabilecek gafen bu çalışmaa konu olmuştu. Çalışmanın ilk kısmında, gafenin denesel olaak gözlenmiş ve teoik olaak öngöülen bi takım elektonik özelliklei incelenmişti. Gafenin, bandın uçlaında linee dağınım bağıntısına sahip olduğunun gözlenmesi, bu sistemi tasvi etmesi bakımından Diac denklemini ön plana çıkamıştı. Bu nedenle gafendeki ük taşııcılaı da kütlesiz Diac femionlaı olaak isimlendiilmişledi. Bu paçacıksılaın, göeli kuantum mekaniğinin doğuduğu bazı özelliklei de gösteebileceği öngöülmüştü. Çalışmanın son kısmında ise peiodik magnetik ve elektik modülasonlaın etkisi altında kütlesiz Diac femionlaının davanışlaı incelenmişti. Böle bi sistemin gafenin elektonik özellikleini anlamak bakımından önemli olduğu düşünülmektedi. Temmuz 008, 54 safa Anahta Kelimele: Gafen, Kütlesiz Diac femionlaı, kabon nanotüple i

4 ABSTRACT Maste Thesis GAS OF MASSLESS DIRAC FERMIONS IN GRAPHENE Abe MOĞULKOÇ Ankaa Univesit Gaduate School of Natue and Applied Sciences Depatment of Engineeing Phsics Supeviso: Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR Recentl, two dimensional gaphite, called Gaphene which has honecomb stuctue of cabon atoms is of inteest to condensed matte phsicists. Fom the point of view of its common electonic popeties, gaphene ma be an altenative technolog to silicon based devices, and is the subject of this thesis. In the fist pat of the thesis, some electonic popeties of gaphene, both obseved expeimentall and pedicted theoeticall, ae summeized. Due to the fact that the gaphene has a linea dispesion elation at the bottom of band, the Diac equation is the best candidate fo the desciption of this sstem. Because of this, chage caies in gaphene ae called massless Diac femions. As a esult, it was foeseen that these quasi-paticles might show some popeties that ae consequences of the elativistic quantum mechanics. In the last pat of the thesis, massless Diac femions behavios ae investestigated in the pesence of both peiodic magnetic and electic modulations. Such a sstem is thought to be impotant to ealize the electonic popeties of gaphene. Jul 008, 54 pages Ke Wods: Gaphene, massless Diac femions, cabon nanotubes ii

5 TEŞEKKÜR Çalışmalaımı önlendien, haata ve bilime deinlemesine bakış açısıla bende eni açılımla aatan danışman hocam saın Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR e, çalışmalaım süesince he konuda benden desteğini esigemeen nişanlım Yeşim CENGER e ve biçok fedakâlık gösteen aileme en dein dugulaımla teşekkü edeim. Abe MOĞULKOÇ Ankaa, Temmuz 008 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ v ŞEKİLLER DİZİNİ vii 1. GİRİŞ 1. GRAFEN 3.1 İki Boutlu Kabon Yapıla 3. Gafenin Elde Edilişi 4.3 Gafenin Elektonik Özelliklei 7.4 Gafende Klein Paadoksu 16.5 Gafende Zittebewegung, Kialite ve Minimal İletkenlik 0.6 Gafende Kuantum Hall Etkisi 4.7 Kalem İzindeki Kuantumelektodinamiği 5 3. DIRAC DENKLEMİ Diac Denkleminin Kökeni 6 3. Wel Denklemi PERİYODİK MAGNETİK VE ELEKTRİKSEL MODÜLASYONLARIN VARLIĞINDA KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI TARTIŞMA VE SONUÇ 50 KAYNAKLAR 5 ÖZGEÇMİŞ 54 iv

7 SİMGELER DİZİNİ R q E c ħ ψ ˆ σ I H * m v F V T j ĥ B B 0 e ρ A a 0 p Tes Ögü Vektölei Simeti Vektölei Toplam eneji Işık Hızı Planck Sabiti Dalga Fonksionu Pauli Spin Matislei Biim matis Hamiltonen Sikloton Kütlesi Femi hızı Potansiel eneji Geçme olasılığı Akım opeatöü Helisite Magnetik alan Modüle magnetik alan Elekton ükü Yük oğunluğu Vektö potansiel Magnetik modülasonun peiodu Momentum ω c ω 0 H n L n γ Sikloton fekansı Modülason fekansı Hemite polinomlaı Laguee polinomlaı Vaason paametesi c Elektik modülasonun peiodu v

8 l E p D KED Magnetik uzunluk Boutsuz Femi momentumu Peiotla oanı Del Opeatöü Kuantum elektodinamiği vi

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.1 Faklı kabon allotoplaının kistal apılaı 3 Şekil. Bant öntemile gafenin elde edilişi 6 Şekil.3 Tek tabakalı kistallede elektik alan etkisi 6 Şekil.4 İki üçgen alt ögünün üst üste binmesile oluşan bal peteği ögüsü 7 Şekil.5 Billouin Bölgesi 8 Şekil.6 Gafenin kistal apısı 13 Şekil.7 Gafenin band apısı 14 Şekil.8 Gafendeki ük taşııcılaının sikloton kütlesi 15 Şekil.9 Gafende potansiel baieine tünelleme 17 Şekil.10 Gafende Klein Paadoksu 0 Şekil.11 Gafenin minimum iletkenliği Şekil.1 Kütlesiz Diac Femionlaında Kuantum Hall etkisi platolaı 4 Şekil.13 Faklı tüde Landau kuantizasonu 5 Şekil 3.1 Paul Diac 6 Şekil 4.1.a Petübason, b. Vaason tekniklei ile hesaplanmış faklı eneji sevieleindeki özdeğele, c. İki teknik aasındaki fak. 44 Şekil 4. Magnetik modülasonda eneji sevielei 45 Şekil 4.3 Elektik modülasonda eneji sevielei 46 Şekil 4.4 Modülasonlaın peiotlaının oanlaına göe eneji sevielei 47 Şekil 4.5 Magnetik modülasonda Göeli ve Göeli olmaan boutsuz eneji ifadesi 48 vii

10 1. GİRİŞ Simgesi C, atom saısı 6, atom ağılığı 1,011 olan kabon, peiodik çizelgenin IVA gubunda silisum, gemanum, kala ve kuşun elementleile bilikte e alı. Bu elementlein en hafifi ve en az metalik olanıdı. Peiodik çizelgedeki diğe biçok gubun tesine, IVA gubu elementlei, kimasal bakımdan bibiileinden çok faklıdıla; gubu temsil edici davanışı en az gösteen de kabondu. Kabon ağılıkça ekabuğunda altıncı sıada bulunan elementti. Faklı kabon-kabon bağlaının oluşumu sonucu, kabonun değişik allotoplaı da mevcuttu. Bunlaa önek olaak gafit ve elmas veilebili. Elmas bilinen en set maddedi. Kabonla sadece kendi aalaında aptığı bağlala değil, aıca diğe elementlele de oluştuduklaı bağlala aklaşık on milona akın bileşik oluştuula. Kabon tüm aşam için temel bi element olup, taih öncesi çağlada keşfedilmişti. Oganik maddelein eteli oksijenle tepkimesi sonucunda açığa çıkmasıla öğenilmişti. Bunun anı sıa gök taşlaı üzeinde kabon apıda mikoskobik elmasla da gözlenmişti. Kabon ismi Latincede cabo kökünden gelmektedi, anlamı ise odun kömüüdü. Kabonun önemli allotoplaından bii de gafitti. Gafit adı 1789 da Abaham Gottlob Wene taafından Gekçedeki gaphein kelimesinden tüetilmişti ( 007). Gafit patik olaak çok kullanılan kuşun kalemlein içeiğini oluştuu. Elmasın tesine, gafit elektiği ileti. Bu bakımdan elektotlada ve ak lambalaında kullanılı. Kabonun diğe bi apa allotopuda fulleendi. Fulleenle 1985 de Sussex ve Rice ünivesiteleinden Robet Kul, Haold Koto ve Richad Smalle taafından keşfedilmişledi. Fulleen ismi ise daha sonalaı Richad Buckministe Fulle taafından veilmişti ( 007). Fulleenle bazen buckballs die de adlandıılıla. Fulleenlein değişik tülei mevcuttu, bunlaın en önemlileinden bii nanotüpledi. Nanotüple silindiik fulleenledi. Bu kabon tüplei sadece bikaç nanomete genişliğindedile, fakat uzunluk olaak, bikaç milimete uzunluktan, mikometeden daha az uzunluğa sahip olacak şekilde değişim gösteile. Uçlaı açık olanlaı da mevcut olduğu gibi, çoğunlukla uçlaı kapalı apıdadıla. Nanotüplein özel 1

11 moleküle apılaı sıa dışı makoskobik özellikle gösteile. Bunla sıası ile: üksek geilim şiddeti, üksek elektiksel iletkenlik ve ısıa kaşı üksek dienç gibi özellikledi. Bi diğe önemli kabon apı ise son zamanlada oldukça ilgi uandıan Gafendi. Gafenle sp bağ apısına sahip olan tek tabakalı düzlemsel kabon apıladı. Gafenle üç boutlu gafitlein boutlu kopalaıdı ( 007). Mükemmel apıdaki gafenle, hekzagonal hüceleden oluşu. Tek duvalı kabon nanotüple gafenin silindie uvalanmış hali olaak düşünülebilile. Gafene duulan ilgi, Mancheste Ünivesitesinden Konstantin Novoselov ve Ande Geim ın çalışmalaı sonucu atmıştı. Bu konua çalışmanın ileideki aşamalaında daha da aıntılı değinilecekti. Gafenin göstediği önemli özellikleden bii sıcaklıktan bağımsız 10 4 cm²v 1 s 1 değeine ulaşan mobilitesi olup, diğe önemli bi özelliği de Kesili Kuantum Hall etkisidi. Gafende diğe bi çapıcı nokta elekton taşınımıdı. Yoğun madde fiziğinde elekton taşınımı, göeli olmaan doğasından dolaı Schödinge Denklemine uum göstei. Ancak, gafende bu taşınım Schödinge denklemince sağlanmaz. Etkin olaak, elektonla ışık hızının 1/300 lük kesinde (~10 6 m/s, femi hızına kıasla) kütlesiz Diac denklemine uum gösteile. Gafenin bu doğası oldukça ilginç fiziksel özelliklee gebedi. Bu bakımdan Diac Denklemi bu çalışmada önemli bi e teşkil etmişti.

12 . GRAFEN.1 İki Boutlu Kabon Yapıla Kabon, doğada büük bi öneme sahipti. Kabon atomlaının kamaşık apıla oluştuma eteneği oganik kimanın temel bi geçeği olup, aşamın valığı için de büük önem teşkil ede. Çok saıda faklı apının oluşumula kabon atomlaı çok faklı, kamaşık davanışla gösteile. Eski zamanladan bei bilinen gafitten ve elmastan faklı olaak, henüz keşfedilmiş olan fulleenle ve nanotüple fizikçilein ve kimacılaın oldukça dikkatleini çekmiştile. Sonuç olaak; kabonun, sadece üç boutlu (elmas, gafit), bi boutlu (nanotüple) ve sıfı boutlu (fulleenle) allotoplaı günümüze kada bilinen önekleidi. İki boutlu apıla dikkat çekici olaak liteatüde çok fazla e almamış ve denesel olaak gözlenmesi de pek mümkün olmamıştı. Şekil.1 deki kabon apılaı, soldan sağa: üç boutlu elmas ve gafit, iki boutlu gafen, bi boutlu nanotüp ve sıfı boutlu buckball şeklinde sıalanı. Şekil.1 Faklı kabon allotoplaının kistal apılaı (Katsnelson 007) Bu bulunması zo iki boutlu apı Gafen olaak adlandıılmıştı. İonik olan şudu, muhtemelen teoik olaak en çok çalışılmış kabon allotopudu. Gafende kabon atomlaının diziliminin düzlemsel, hekzagonal apıda olması; gafit, kabon nanotüple ve fulleenle için apılan tüm hesaplamalada başlangıç noktasını oluştumuştu. (Katsnelson 007). Bout, mateali tanımlaan en önemli paameteleden biidi. 70 ıl önce, Landau ve Peiels tam olaak iki boutlu kistallein temodinamik olaak kaalı olmadığını ve dolaısıla va olamaacağını kanıtlamaa çalışmışladı. Bu teoi, düşük boutladaki kistal ögüledeki temal dalgalanmalaın ıaksaan katkılaının, sonlu bi sıcaklıkta 3

13 atomlaın e değiştimeleinin atomla aası mesafelele kaşılaştıılabili olduğunu göstemişti. Bu tatışma daha sonalaı Memin taafından genişletilmiş ve biçok denesel gözlem ile desteklenmişti. Geçekten, ince filmlein donma noktası, azalan kalınlıkla hızla düşmektedi ve düzinelece atomik tabaka kalınlığında kaasız hale gelile. Bu nedenden dolaı, atomik tek tabakala daha büük üç boutlu apılaın temel paçalaı olaak bilinile. 3D apıla olmaksızın, iki boutlu apılaın valığı 004 ılına kada öngöülmemişti, bu inanış denesel olaak gafenin keşfedilmesile ve diğe sebest duumdaki iki boutlu kistallein (tek tabakalı boon nitit ve aı tabakalı BSCCO) gözlenmesile değişmişti. Bulunan iki boutlu kistalle sadece süeklilik göstemesile değil, anı zamanda üksek kistal kalite göstemesile büük önem teşkil etmişti. Diğe önemli nokta ise gafendeki ük taşııcılaıdı. Bu taşııcıla binlece atomla aası mesafelede saçılmadan haeket edebilile. İki boutlu kaalılığın sonadan anlaşılmasının aaı ise böle tek atomik kalınlıklı kistallein teoile uzlaşı içinde olabileceğidi. Tamamlaıcı bi bakış açısı da şudu; elde edilmiş iki boutlu kistalle, anal skalası 10nm olan üç boutta, hafifçe buuştuulaak geçekten kaalı hale getiilmişledi. Denesel olaak gözlenen böle bi 3D kıvılma, elastik enejide kazanca fakat belili bi sıcaklığın üzeindeki toplam sebest enejii minimize eden temal titeşimde sönmee sebebiet vei (Geim and Novoselov 007).. Gafenin Elde Edilişi Güçlü düzlemsel bağa, zaıf düzlemsel bağa ve tabakala aasında van de Waals benzei çiftlenime sahip çok tabakalı matealle mevcuttu. Pensip olaak sebest halde atomik tabakalı apılaın olup olmaacağı belisiz olmasına ağmen, tabakalı apıdan dolaı mateallei atomik tabakala şeklinde aıma üzeine çalışılmıştı. Bölece tüm çabala çok tabakalı mateallei kimasal soma işlemine tabi tutma üzeine oğunlaşmıştı. Bu soulma işlemi özellikle gafit için ilgi uandımıştı. Soulma işlemi esnasında bazı momentledeki tek tabakala bibileinden aılmalaı düşünülmektedi. Bununla bilikte, son kaışım içeisinden hehangi bi D kistal izole olamamıştı. Bunun olası sebebi tek tabakalaın, ancak kısa süeli duumlada otaa 4

14 çıkacağıdı ve mikoskobik bölgenin üzeinde bi aışımın geçekleşmiş olma olasılığıdı. Geçekten de, gafitin kimasal soulumula ilgili son çalışmala, soulum sonucunda kalan totu için tek tabaka değil, kıvımlı ve ığın halinde çok tabaka içediğini göstemektedi. Altenatif bi aklaşım da mekanik bölme işlemidi. İlk gözlemle mekanik olaak bölünmüş tabakalaın üzlece katmandan oluştuğudu, ancak son zamanlada atan ilgi sonucu apılan gözlemlede gafit filmleden bikaç gafen katmanlı tabakala elde etmenin mümkün olduğudu. Şu an gelinen noktada, atık tek kistal düzlemlein çok tabakalı matealleden izole etmenin mümkün olduğu önündedi. Bu duum; sonuç itibaile elde edilen iki boutlu kistalle, üksek kistal kalitesi ve makoskopik süeklilik segilediğini göstemişti. İki boutlu kistallei elde etmek için, basit ancak etkili bi öntem kullanılı. Çok tabakalı bi kistalin üzei başka bi üzee sütüleek oada bıakacağı katmanla ele alını. Bu tıpkı tebeşiin tahtaa sütüldüğünde bıaktığı tebeşi katmanlaı gibidi. Beklenmedik olan, üze üzeinde kalan katmanlada he zaman için tek tabaka kistalle gözlemlemenin mümkün olduğudu. Bu tabakalaı diekt olaak değil fakat çeşitli tekniklele öneğin, optik mikoskopla ve atomik kuvvet mikoskoplaı saesinde gözlemlemek de mümkündü. Basit bi teknik olmasına kaşın mekanik bölme süeci iki boutlu kistallein daha önce neden keşfedilemediğini açıklaan öğetici bikaç özelliğe sahipti. İlk olaak; tek tabakala, kalın tabakala aasında oldukça büük bi azınlığa sahiptile. İkinci olaak; nanotüplein tesine, iki boutlu kistalle elekton mikoskoplaında açık bi sinal oluştumamaktadıla. Üçüncü olaak; tek tabakala göünü ışığa kaşı geçigendi ve cam vea metal bi üze üzeinde optik mikoskoplala gözlenemezle. Dödüncü olaak ise; sadece atomik kuvvet mikoskobu tek tabakalı kistallei belilemek için kullanılabili, fakat bu da düşük veime sahipti ve patikte soulmuş D kistali astgele üze taaması apaak gözlemlemek mümkün değildi. Son olaak, daha öncede açıklandığı gibi, izole olmuş atomik düzlemle, bu düzlemlee ait kistalle olmadan valığını südüüp südüemeeceğinin aşika olmadığıdı. D boutlu gafitin de içinde bulunduğu biçok D mateal ukaıda bahsedilen öntem (taamalı tünelleme ile, elektonlaın taanmasıla ve üksek tansmisonlu 5

15 elekton mikoskoplaı) ile elde edilmişti. Bu öntemin anı sıa gafitin tabaka tabaka soulduğu diğe bi öntem de bant öntemidi. Bu öntem aşağıdaki Şekil. de gösteilmişti. Şekil. Bant öntemile gafenin elde edilişi (Moskowitz et al. 007) Sonuç olaak, elde edilen D matealleden gafen, özellik bakımından metalik olaak tespit edilmişti ve dikkate değe bi elektik alan etkisi segile (Şekil.3). Bu bakımdan gafen dein olmaan gap aalıklı aıiletkene vea düşük olaak ovelap olmuş aı metale benzelik göstei. Şekil.3 Tek tabakalı kistallede elektik alan etkisi (Novoselov et al. 005) 6

16 Sonuç olaak, D atomik kistallein dolaısıla gafenin valığı, çok tabakalı kistalleden mekanik olaak bölme süeci ile elde edilmesi suetile gösteilmiş oldu. Sezgisel olaak doğusa, kounan mikoskobik süeklilik ve üksek kalite suetile taşııcılaın mobilitesinin etkilenmemesi, izole D kistallede oda sıcaklığında ve havada kaalılık sağlaacaktı. (Novoselov et al. 005a). Bu bakımdan gafenin eni nesil teknolojilein oluştuulmasında büük önem teşkil edeceği düşünülmektedi..3 Gafenin Elektonik Özelliklei İki boutlu gafitin elektonik özelliklei ile ilgili çıkmış ilk aın Semenoff un 1984 ılındaki aınıdı. Bu aında iki bouttaki anomallikein sonuçlaını tatışmak amaçlanmıştı. Diğe bi deişle, o taihledeki adıla iki bouttaki gafitin ani şu anki ismile gafenin elektomagnetik özellikleini incelemek amaçlanmıştı. Şekil.4 İki üçgen alt ögünün üst üste binmesile oluşan bal peteği ögüsü (Semenoff 1984) Şekil.4 ile veilen gafenin temel ögü vektölei 1 a1 = ( 3 /, ) a a = (0,1) a (.1) Olup ine şekil üzeinde gösteilen astgele bi A atomunun akın komşuluğundaki üç adet B atomunun bunla cinsinden e vektölei 7

17 b1 = (1/ 3,1/ ) a b = (1/ 3, 1/ ) a b = ( 1/ 3, 0) a 3 (.) ile veili. Bunlaa kaşılık gelen tes ögü vektölei R = (4 π / 3 a)(1,0) 1 (.3) R = (4 π / 3 a) (1/, 3 / ) olup, Billouin bölgesindeki q simeti vektölei ise R x R q1 = = π 3 q = q 1 (, ) (4 / 3 a) (1/,1/ 3) 1 (.4) ile veili. Denklem.3 kullanılaak gafenin Billouin bölgesi Şekil.5 ile veilmişti. Şekil.5 Billouin Bölgesi (Semenoff 1984) A ve B atomlaının faklı tüde atomla olduğunu vasaaak genel iki atomlu bi sistem ele alını. A ve B de bulunan elektonlaın eneji fakı β ile paametize edili. Bu sisteme önek olaak ise Boon nitit veilebili. İki boutlu gafit (gafen) modeli ise β nın sıfı alınması suetile elde edili. Sıkı bağ aklaşımı kullanaak ve en akın komşuluklaı dikkate alaak, sistemin toplam Hamiltoneni 8

18 H = α aa( A) bb ( A+ bi ) + bb ( A+ bi ) aa( A) + A, i (.5) β aa( A) aa( A) bb ( A+ b1 ) bb ( A+ b1 ) A şeklinde azılı. İlk iki teim B de ok olup A da ve A da ok olup B de elekton aatılmasını ifade ede. Son iki teim ise A da ok olup A da ve B de ok olup B de aatılmaı ifade ede. Denklem.3 deki aatıcı ve ok edici opeatöle için Fouie dönüşümlei azılıp. a( A) = b( B) = Ω Ω d k (π ) d k (π ) e e ik A ik B a( k ) b( k ) (.6) şeklinde k uzaına geçilise Denklem.5 H k a k b k k a k b k ( π ) d k β a ( k ) a( k ) + b ( k ) b( k ) ( π ) d k * = Γ( ) ( ) ( ) +Γ ( ) ( ) ( ) + (.7) şeklini alı. Buada Γ, Γ( k ) = α exp( ik ) (.8) i b i ile veili. Bu duumda Denklem.7 hamiltoneni daha da kompakt olaak d k β Γ a H = a b * ( π ) Γ β b (.9) Ω şeklinde azmak mümkündü. Bilindiği üzee Denklem.8 in özdeğelei 9

19 β E Γ Γ = 0 * β E (.10) kaakteistik deteminantı ile bulunu. Deteminant hesaplanı ise eneji özdeğelei 1 E=± β + Γ (.11) olduğu kolalıkla bulunu. Buada, Γ= exp( ik b ) i i (.1) ile veili. Γ ifadesinde çeşitli tigonometik fomülle adımıla hesaplamala apılısa, sonuç olaak Denklem.11 deki eneji ifadesi { β α 1 4cos ( / ) 4cos( / ) cos(3 / 3 } 1/ x E= + + k a + k a k a (.13) şeklini alı. Denklem.13, P. R. Wallace ın 1946 ılındaki aınındaki eneji ifadesile uum göstei. Bu aında gafitin band teoisile de ilgilenilmişti. Anı zamanda, bu aın gafitin eneji ifadesinin hesap edildiği ilk aın olma özelliğini taşı (Wallace 1946). Buada α hopping teimi olmak üzee, (komşulukla aasındaki elekton tansfei için) olasılık genliğile ilintilidi. q 1 ve q1= q gibi iki faklı simeti noktası olduğu dikkate alınaak, Denklem.9 daki Hamiltonen d k ( ) / ( ) β α Γ k + q i a k + q i H = a ( k q ) ( ) i b k q i ( π ) + + * Ω α Γ ( k + qi ) / 0 b( k + qi ) d k 0 α ( k q ) / ( ) Γ + i a k+ q i + a ( k + q ) ( ) i b k + q i * ( π ) Ω α Γ ( k + qi ) / β b( k + qi ) (.14) şeklinde azılabili. q1= q özdeşliğinden aalanılaak Denklem.14 10

20 d k α / ( β α Γ k + q1) a( k q1 ) H = a ( k q 1) b ( k q1 ) * ( π ) Ω Γ ( k + q1 ) β / α b( k q1) d k α / ( β α Γ k+ q1 ) a( k+ q1 ) + a ( k q 1) b ( k q1 ) * ( π ) + + (.15) Ω Γ ( k + q1 ) β / α b( k + q1 ) şeklinde de ifade edilebili. Buada Γ ( k m q ) = exp( ik b m iq b ) + exp( ik b m iq b ) + exp( ik b m iq b ) (.16) ile veili. Denklem.11 deki Γ ifadesi bu noktala çevesinde i 3 Γ ( k m q1 ) = (1m i 3) ( kxam ik a) 4 i 3 Γ ( k m q1 ) = (1± i 3) ( kxa± ik a) 4 (.17) şeklinde seie açılı ise Denklem.15, Hamiltonen bandın dibine akın noktalada incelendiğinde d k 3 a H = α { a ( k q1 ) b ( k q1 ) ( π) 4 Ω β / 3 aα i(1 i 3)( kx ik ) / a( k q1 ) + a ( k+ q1 ) b ( k+ q1 ) i(1 i 3)( kx+ ik ) / β / 3 aα b( k q1 ) β / 3 a α i(1 i 3)( kx+ ik ) / a( k+ q1 ) } (.18) i(1 i 3)( kx ik ) / β / 3 a α b( k+ q1 ) şeklinde azılabili. Buada, m=β/ 3 a α olmak kadıla, Denklem.18 11

21 d k 3a m i( kx ik ) H = { α a b exp( iπσ 3 / 3) ( π ) 4 i( kx ik ) m a 3a m i( k ) 1 x ik exp( iπσ 3 / 3) α a+ b+ σ exp( iπσ 3 / 3) b + 4 i( kx ik ) m a 1 + σ exp( iπσ 3 / 3) } b + (.19) olacak şekilde eniden ifade edilebili. Sonuçta, öz fonksionla 1 3 a ψ1( k ) = αa 3 exp( iπσ / 3) b 1 a ψ ( k ) = αa 3 exp( iπσ / 3) σ b + (.0) olmak kadıla Denklem.19 d k H = ψ 1( k )( γ k + m) ψ 1( k ) + ψ ( k )( γ k m) ψ ( k ) ( π ) (.1) şeklinde azılı. Buada γ ifadesi µ 3 1 γ =(σ,iσ,iσ ) şeklinde tanımlanmıştı. Buada σ = i σ = i σ = 0 1 (.) bilinen Pauli spin matisleidi. Denklem.1 denklemini uzasal koodinatlada azılısa aşağıdaki ifade elde edili. 1

22 d k H = ψ 1( x)( iγ D+ m) ψ 1( x) + ψ ( x)( iγ D m) ψ ( x) ( π ) (.3) Buada D del opeatöüdü ( D µ = µ -ieaµ ). Kütlesiz limitte ani β 0 vea m 0 duumunda, sistem gafen sistemine kaşılık geli (Semenoff 1984). Denklem.8 deki eneji ifadesinden ve Denklem.15 deki Hamiltonenden anlaşılacağı üzee boutlu gafit apı, ani gafen, Diac denklemi ile tasvi edili. Bu sonuç çığı açıcı niteliktedi. Çünkü, daha önce oğun madde fiziğindeki sistemle Schödinge denklemince tasvi edilen sistemle olup, paabolik eneji spektumu segilemişledi. Ancak gafende böle bi duum söz konusu değildi. Bu duum, A ve B (Şekil.5) olmak üzee iki kabon alt ögüsünden oluşan gafenin kistal apısıla çok akından ilintilidi. Diac denklemi, fizik alanında daha çok üksek eneji fizikçileinin ilgilendiği bi denklemdi ve dolaısıla genellikle günümüze değin saçılma duumlaı incelenmişti. Yoğun madde fiziğinde incelenmee başlandığında Diac denkleminin bağlı duumlaı büük önem kazanı. Bu bağlamda Diac denkleminin bağlı duumlaına önekle ileideki bölümlede incelenecekti. Şekil.6 da kistal apısı gösteilen gafenin Denklem.13 deki eneji ifadesi çizdiildiğinde, Şekil.7 deki gibi bi gafik elde edili. Bu gafik gafenin band apısı ile ilişkilidi. İletim bandı değelik bandına K ve K noktalaında temas ede. Şekil.6 Gafenin kistal apısı (Katsnelson 007) 13

23 Şekil.7 Gafenin band apısı (Katsnelson 007) Eneji ifadesi ile ilintili olaak tam değme noktalaında konik bi band apısı oluşu. Ancak Denklem.17 deki izlenen öntemden de anlaşılacağı gibi, bu ifade ancak ve ancak banda akın dip noktalada bu şekildedi. Bu aklaşıklık üstel teimlein sei açılımında, ilk teimleinin hesaba katılmasıla elde edilmişti. Kabon atomlaı etafındaki elektonlaın haeketi göeli olmamasına ağmen, gafenin bal peteği ögüsünün peiodik potansieli ile etkileşimi düşük enejiledeki eni paçacıksılaın oluşumuna sebebiet vei. Bunla aklaşık υ F 10 6 m/s etkin hıza sahip (+1) boutlu Diac denklemile tasvi edili. Bu paçacıksılaa da kütlesiz Diac femionlaı adı veili. Kütlesiz Diac femionlaı kütlesini kabetmiş elektonla a da elekton üküne sahip nötinola olaak tasvi edilebilile. Kütlesiz Diac benzei dağılım, kendisinin kaa kökü olan elektonik oğunluğa bağlı olan bi sikloton kütlesidi (Novoselov et al. 007). Sikloton kütlesi, aı klasik aklaşımı da içeecek şekilde aşağıdaki gibi tanımlanı. * 1 A( E) m = π E (.4) 14

24 A(E), k uzaında öünge taafından sınılanan alan olaak tanımlanı ve A( E) E = π q = π (.5) vf ile veili. Denklem.5 kullanılaak, Denklem.4 E q = = (.6) * m v F v F şeklinde azılabili. Elektonik oğunluk n, Femi momentumu k F ile k F /π=n olaak ilişkilendiili (K ve K noktalaından ve spinden gelen katkıı da içemek suetile). Sonuç olaak sikloton kütlesi için m * π = n (.7) v F ifadesine ulaşılı. Denklem.7 nin denesel veilele fit edilmesi Femi hızı ve hoplama teimi hakkında bi fiki oluşmasına imkan vei (Sıasıla, v F 10 6 m/s ve t 3 ev). Bununla bilikte, denesel gözlemlele belilenen sikloton kütlesinin n bağımlılığı, gafendeki kütlesiz Diac paçacıksılaının valığına kanıt niteliğindedi. Bilinen paabolik dağınım ise (Schödinge denklemi) sabit bi sikloton kütlesini göstei (Novoselov et al. 005b). Şekil.8 Gafendeki ük taşııcılaının sikloton kütlesi (Novoselov et al. 005b). 15

25 .4 Gafende Klein Paadoksu Klein paadoksu olaak bilinen kavam, göeli paçacığın üksek ve geniş potansiel baieine engelsiz nüfuz etmesidi. Klein paadoksu kuantum elektodinamiğinin oldukça ilginç sonuçlaından biidi. Bu fenomen paçacık fiziği, nüklee fizik ve astofizik alanlaında oldukça tatışılmış ancak temel paçacıklala test edilemeeceği kanıtlanmıştı. Bu kısımda açıklanacağı gibi, bu etki oğun madde fiziğinde tek tabaklı gafenle kullanılaak ve elektostatik engelle oluştuulaak kavamsal olaak test edilecekti. Gafendeki paçacıksıla kuantum elektodinamiğindeki Diac femionlaı gibi davanmasından dolaı, bu oğun madde sistemi Klein taafından analiz edilen tünelleme deneini mümkün hale getii. Böle bi denein genel akış şeması Şekil.8 de tasvi edilmişti. Şekil dikkatli incelenise dikdötgen şeklindeki potansiel engeli ve doğultusu bounca sonsuz olan eksen mevcuttu. V0 0< x< D V ( x) = 0 Diğe Duumlada (.8) şeklindedi. D genişliğindeki bu eel potansiel ük taşııcılaını dönüştüü, ani deşik aatılmasında pozitonun ol onamaktadı vea tam tesi duum söz konusudu. Denklem.8 de, bilinen KED de dikkate alınan duumla diekt olaak bağlantı kuulmasına imkan sağlaan, sonsuz keskinlikte köşele olduğu vasaılmıştı. 16

26 Şekil.9 Gafende potansiel baieine tünelleme (Katsnelson et al. 006) Paçacıksılaın Femi dalga bou λ, köşelein kaakteistik genişliğinden (ki bu genişlik ögü sabitinden büük olmalıdı) daha büükse keskin köşe vasaımı doğulanı. Böle bi baie ince bi alıtkan a da eel kimasal katkılaı kullanılaak elektik alan etkisile aatılabili. Önemli olaak, gafendeki Diac femionlaı kütlesizdi ve bu nedenle baie altındaki poziton benzei duumlaı oluştumak amacıla minimal elektik alan ε için hehangi bi biçimsel teoik geeklilik söz konusu değildi. Geçek gafen numuneleinde düzensizlik içeen ii belilenmiş bi engel oluştumak için, denelede ε 10 5 V cm -1 olaak kullanılması önemlidi. Bu büüklük temel paçacıkla için Klein paadoksunun gözlenmesi için geekli alanın on bi metebe küçüğüdü. Tünelleme poblemini Şekil.8.b olaak gösteilen duum için çözmek mümkündü. k dalga vektölü gelen elektonun x eksenile aptığı açı ϕ olaak seçilise, H=H 0 +V(x) Hamiltoneni için 17

27 ψ ψ 1 = ψ (.9) Diac spinöü olmak üzee Ψ 1 ve Ψ sıası ile ikxx ikx x ik ( e + e ) e, x< 0 iqx x iq ik xx ψ1( x, ) = ( ae + be ) e,0< x< D ikxx+ ik te, x> D ikxx+ iφ ikxx iϕ ik s( e e ) e, x< 0 ' iq ik x x+ iθ iqxx iθ ψ ( x, ) = s ( ae be ) e,0< x< D ikxx+ ik+ iφ te, x> D (.30) şeklinde azılabilile. Buada k F =π/λ, k x=kfcosφ ve k =kfsinφ olmak üzee q = ( E V ) / h v k (.31) x 0 F ile veili. θ = actan(k /q x ), s ve s ise sıasıla s=sgne ve = sgn( ) ile ' s E V0 tanımlanı. Denklem.30 daki a, b, t, katsaılaı dalga fonksionunun süeklilik koşulundan belilenebili. Süeklilik koşulu dikkate alındığında ise sıasıla 1+ = a+ b ae + be = te iqxd iqxd ikxd s e e s ae be iφ iφ ' iθ iθ ( ) = ( ) ' iqxd+ iθ iqxd iθ ikxd+ iφ s ( ae be ) = ste (.3) Denklemleine ulaşılabili. Bu son döt denklem adımıla bilinmeen döt katsaıı bulmak mümkündü. Bu katsaıladan ansıma katsaısı ve geçime katsaısı t büük öneme sahipti. Yansıma katsaısı hesaplanısa. 18

28 = i φ idqx ( ) ' ' ( 1 )( i θ+ φ )( i φ i θ e + e e s+ s e s e s ) ' i ( θ+ φ ) ' i( θ+ Dqx ) ' i( φ+ Dqx ) ( ss + e ss e ss + e ss ' ) (.33) ifadesine ulaşmak mümkündü (Katsnelson et al. 006). Benze şekilde çeşitli tigonometik özdeşlikle kullanılaak Denklem.33 ve geçime olasılığı. iφ = ie sin( q D) x ' sinφ ss sinθ cos( θ + φ) + cos( φ θ ) sin( ) ' iqxd iqxd ss e e i qxd (.34) cos θ cos φ T ( φ) = [cos( Dq ) cosφcos θ ] + sin ( Dq )(1 ss sinφsin θ ) x x (.35) şeklinde ifade etmek de mümkündü. Geçme olasılığı T= t =1- olaak da azılabili. Yüksek engel limitinde, V 0 E iken, θ açısı aklaşık sıfıa eşit olu ve θ dan bağımsız T ifadesi T cos φ = 1 cos ( q D)sin φ x (.36) şeklinde azılabili. Denklem.34 ve Denklem.35 den anlaşılacağı üzee ezonans koşulunda (q x D=πN, N=0, ±1, ; olmak üzee) engel geçigen hale (T=1) geli. (Katsnelson et al. 006) Engel nomale akın açılada ϕ=0 mükemmel deecede geçigendi. Bu özellik kütlesiz Diac femionlaına özgüdü ve diekt olaak KED deki Klein paadoksula ilintilidi. Mükemmel bi tünelleme psedöspin kounumu ile anlaşılabili. Geçekten psedöspin ön değişiminin olmadığı duumlada (bölesi bi süeç kısa eimli potansiele ihtiaç dumasından dolaı sık olmasa da, gafen ögüsünün A ve B siteleinde faklı davanı ) sağa doğu haeket eden bi elekton ancak sağa doğu haeket eden bi elektondan a da sola doğu haeket eden deşik duumundan saçılı. Bu duum Şekil.8 de gösteilmişti. Şekil.10 da üstteki gafikte D=110 nm ve λ=50 nm, alttaki gafikte ise 19

29 D=50 nm ve λ=50 nm paametelei kullanılmıştı. He iki gafikte de E=80 mev kadadı. İncelenen potansiel değelei ise gafik üzeinde veilmişti. Band diagamının kımızı bölümündeki ük taşııcılaı sadece anı enkteki duumladan saçılabili ama bu duumla eşil bölüme dönüşemez. Bu saçılmanın olabilmesi için psedöspin önelimini değiştimesi geeki. Baiein dışındaki ve içindeki paçacıksılaın psedöspinlei aasındaki bu eşleşme mükemmel tünellemele sonuçlanı. Şekil.10 Gafende Klein Paadoksu.5 Gafende Zittebewegung, Kialite ve Minimal İletkenlik Gafenin diğe şaşıtıcı özellikleinden biisi sonlu minimal iletkenlikti. Bu noktada önemle vugulanması geeken nokta, iletimden ziade iletkenliğin kuantizasonudu. Bu fenomen anı zamanda göeli kuantum mekaniksel bi kavam olan zittebewegung ile akından ilişkilidi. İkinci kuantumlamada Diac Hamiltoneni ve buna kaşılık gelen akım opeatöü 0

30 H = v ψ σ pψ F p p p (.37) j = ev ψ σψ F p p p olaak ifade edili. Psedöspinö ise ψ = ( ψ, ψ ) (.38) p p1 p olmak üzee zaman bağımlı ψ p(t) 1 ( ) [exp[ ](1 p σ pσ ψ p t = iω pt + ) + exp[ iω pt](1 )] ψ p p p (.39) ile veili. Paçacık fekansı ω p =v F p/ħ olmak kadıla akım opeatöü j( t) = j ( t) + j ( t) + j ( t) (.40) şeklinde ifade edili. Buada j (t) 0 ve j 1 (t) j ( t) = ev ψ p( pσ ) ψ 0 F p p p p ev p( pσ ) i j ( t) = ψ [ σ + σ p] ψ exp[ iω t] F 1 p p p p p p (.41) Denklem.3 deki son teim Zittebewegung kaşılık gelmektedi. Diğe bi değişle bu kavam göeli kuantum paçacığının pozisonundaki belisizlikti ve pozison ölçümündeki paçacık anti paçacık aatılmasının kaçınılmaz olmasından kanaklanmaktadı. Bu astgele gibi göünen haeketle balistik cihazlaın sonlu iletkenliğinden e /h soumlu olabileceği düşünülmektedi (Katsnelson 007). 1

31 Gafende diğe ilginç bi özellik de sıfı alan (zeo-field) iletkenliği σ nın, n kuantum saısının sıfı olduğu limitte otadan kabolmaması, fakat bunun eine, taşııcı tipi başına e /h değeine akın bi iletkenlik göstemesidi. Şekil.11 de en düşük iletkenlik σ min, 50 tek tabaka cihaz için nötallik noktası (n cm - ) etafında gösteilmişti. Diğe ii bilinen mateallede, böle bi düşük iletkenlik kaçınılmaz olaak düşük sıcaklıkta metal-alıtkan geçişine sebebiet vei ki bu geçiş gafende sıvı helum sıcaklığına kada gözlenememişti. Vugulanmak istenen nokta, diğe taşınım fenomenleinde iletkenin kuantumlanması söz konusu iken gafende iletkenlik kuantumlanmıştı. Minimum kuantum iletkenliği hakkında, Diac femionlaı için biçok teoi öngöülmüştü. Bunladan bazılaı linee D spektum için sıfı E de duum oğunluğunun sıfı olmasına daandıılmaktadı. Kütlesiz Diac femionlaı ile kütleli Diac femionlaı aasında denesel davanışlaı bakımından bazı faklılıkla mevcuttu. Bu faklılıkla kialite ve kütlesizlik aasındaki aımla ilişkilidi. Çift tabaka gafen e /h metebesinde minimum bi iletkenlik göstei. Biçok teoi σ min =4e /hπ lik bi minimum iletkenlik önei. Bu değe denesel olaak gözlenen değeden π kat küçüktü. Bu duum Şekil.11 de gözlenmektedi. Denesel veile teoik değelee aklaşamamaktadı ve daha çok σ min =4e /hπ etafında kümelenmişti. Bu faklılık, teoik ve denesel veilein eteli olmamasından kanaklanı. Tam olaak bu faklılıklaın gafenin elekton saçılımındaki teoik aklaşımlaın etesizliğinden vea muhtemel önek paametelein denesel olaak sınılı aalıklada incelenebilmesinden kanaklandığı düşünülmektedi (Geim and Novoselov 007). Şekil.11 Gafenin minimum iletkenliği (Geim and Novoselov 007)

32 Daha önce Denklem.17 de elde edilen Hamiltonene ait dalga fonksionu momentum uzaında, K noktası civaında ψ ± K iθ k / 1 e ( k ) = iθ k / ± e (.4) şeklinde ifade edili. ± işaeti E=±v F k eneji duumlaına kaşılık gelmektedi. Bunla sıasıla π ve π * bandlaına kaşılık geli. θ k =actan(k x /k ) ise momentum uzaındaki açıdı. K civaındaki dalga fonksionu aşağıdaki şekilde ifade olunu. 1 e = ± e iθ k / ψ ' ( k ) ± K θ i k / (.43) şeklinde ifade edili. Dikkat edilecek olusa, K ve K dalga fonksionlaı zaman tesinmesi simetisi (k -k) ile bibileile ilişkilidi. Eğe θ fazı π kada döndüülüse, dalga fonksionu π kadalık bi faz gösteeek işaetini değiştii. Dalga fonksionu iki bileşenli bi spinödü, aslında dönmele altında π kadalık bu faz değişimi spinöün kaakteistik özelliğidi. Liteatüde bu duum sıklıkla Be Fazı olaak bilini. Özfonksionu kaakteize etmek için kullanılan bi diğe nicelik ise, (psedö) spin doğultusu bounca momentum opeatöünün pojeksionu olaak tanımlanan helisitedi. Helisite, kuantum mekaniksel olaak ˆ 1 p h= σ p (.44) şeklinde betimleni. Helisitenin tanımından dolaı, ψ K () ve ψ K () duumlaına ait özdeğele ahatlıkla h ˆ 1 ( ψ ) =± ψ ( ) K K (.45) 3

33 şeklinde azılabili. Benze eşitlik ψ K () için azılabili. Bu nedenle, paçacıkla (deşikle) pozitif (negatif) helisitee sahiptile denili. Denklem.45, momentuma ( ) önünde, a da ( ) önünde olmak üzee σ a ait iki özdeğe olduğunu ifade ede. Bu özellik, sistemin Diac noktalaına akın duumlaında kialite vea helisite ile açıklanabileceğini ifade ede. Kialite elektonun geçek spini ile ilgili olaak tanımlanmamıştı, dalga fonksionunun ikili bileşeni ile ilgili olan psedö-spin değişkenlei ile tanımlanmıştı (Neto et al. 007)..6 Gafende Kuantum Hall Etkisi Temel denesel giişimle gafenin elektonik özellikleini incelemee odaklanmıştı. Özellikle KED benzei spektumun getiisi anlaşılmaa çalışılmaktadı. Gafenin Kuantum Hall etkisi davanışı Şekil.10 daki gibi gözlenmişti. Bu şekilde tam saı kuantum Hall etkinsinin göeli benzei ve tek tabaka gafenin kaakteistiği gösteilmişti. Şekilde eşit basamaklı Hall iletkenliklei σ x gözlenmektedi. Nötallik (Diac) noktalaı civaında oluşan bu duumda, ük taşııcılaı elektonladan deşiklee dönüşü. Standat Kuantum Hall etkisine göe düzenlenim ½ faktölük kamaa uğa. Şekil.1 Kütlesiz Diac Femionlaında Kuantum Hall etkisi platolaı (Geim and Novoselov 007) Dolaısıla, iletkenlik N Landau seviesi indeksi olmak kadıla σ x =±4e /h (N+1/) şeklindedi. 4 çapanı çift sevie ve çift spin dejeneeliğinden gelen katkıdı. Bu 4

34 Kuantum Hall etkisi, kamaı ve eni bi kesili Kuantum Hall etkisi olmaması ve standat bi tamsaı Kuantum Hall etkisi de olmaması geçeğini ansıtmak için aımtamsaı Kuantum Hall etkisi olaak isimlendiilmişti. Olağan dışı düzenlenim, gafenin magnetik alan altındaki elektonik spektumunun KED benzei kuantumlanmasıla anlaşılabili. ± işaetlei elektonlaa ve deşiklee kaşılık gelmek üzee, eneji ifadesi E N =± (eħbn) şeklindedi. Şekil.13 de gösteilen, elektonla ve deşikle taafından palaşılan sıfı E deki kuantize olmuş sevielein valığı Kuantum Hall etkisi düzenlenimleindeki anomalliklei açıklaacak tüm bilgie sahipti. Şekil.13 Faklı tüde Landau kuantizasonu (Geim and Novoselov 007) Yaım-tamsaı Kuantum Hall etkisi için altenatif bi açıklama, sikloton öüngelei bounca π kadalık (Be fazı olaak bilinen) geometik faz kazandıan psedöspin ve öüngesel haeket aasındaki çiftlenimin olması ile mümkündü. Ek olaak, gelen faz kuantum salınımlaında π kadalık kamaa sebebiet vei. Bu duum Kuantum Hall etkisi limitinde aım basamak kama ile sonuçlanı (Geim and Novoselov 007)..7 Kalem İzindeki Kuantum Elektodinamiği Gafen için teoik olaak öngöülen ilginç fenomenle henüz denesel olaak gözlenememişti. Bununla bilikte, mevcut teoile için iki önemli noktadan bahsetmek geeki. Bunladan bi tanesi, zaıf pedelenmeden dolaı etkileşmelein etkileinin güçlü bi şekilde atış göstediği, duum oğunluklaının kabolduğu ve gafenin çiftlenim sabitinin e /ħv F 1 (etkin ince apı sabiti) olduğu Diac noktası civaındaki çok paçacıklı fizikti. Bu öngöüle, kesili Kuantumlu Hall etkisi, Kuantum Hall feomagnetizması ve egzitonik aalıkla için çeşitli opsionla içei. İkinci önemli nokta ise; Klein paadoksu, zittebewegung gibi, etkilei paçacık fiziğinde gözlenemeen KED etkileini test etme bakımından gafenin ii bi model olduğunun düşünülmesidi (Geim and Novoselov 007). 5

35 3. DIRAC DENKLEMİ Schödinge teoisi göeli olmaan kuantum mekaniğinin geçeli olduğu bi teoidi. Kuantum mekaniğindeki Schödinge teoisinin göeli genellemeleinden bii 4 E= p c +m c olmak üzee, ψ (, t) i = c + m c ψ t t 4 1/ h ( h ) (, ) (3.1) ile veilen Klein-Godon denklemidi. Ancak, hem Schödinge denklemi hem de Klein Godon denklemi spin bilgisi içemez. Geçekten, Klein Godon denklemi spin sıfı paçacıklaı için ugun bi denklemdi. Bununla bilikte, bilinen biçok paçacığın spinlei sıfı değildi. Bunladan en çok bilinenlei spinlei ½ olan: nöton, poton ve elektondu. Bu bakımdan, Diac denklemi gibi bi denklemin geekliliği büük önem taşı. 3.1 Diac Denkleminin Kökeni Diac denkleminin kökenine ilişkin iki önemli agüman mevcuttu. Bunladan bi tanesi simeti agümanıdı, diğei ise eneji konsantasonudu. Şekil 3.1 Paul Diac ( 008) 6

36 Loentz dönüşümlei zamanı ve uzaı döt boutlu tek bi niceliğe bileştien dönüşümledi. Göeli kuantum teoisinin altında atan temel denklem bu bileşmei baındımalıdı. Bunun anlamı, denklemin uzasal ve zamansal kısımlaı aasında tam bi simeti olması geekliliğidi. Biinci deeceden zaman tüevi ve ikinci deeceden uzasal tüev içemesi sebebile Schödinge denklemi bu simetii içemez. Bu nedenle uzasal tüevle linee olmalıdı. Sebest paçacığın enejisinin klasik göelilikte 4 E = p c + m c (3.) biçimine sahip olduğu ii bilinmektedi. Akla atkın göünen ve ukaıda bahsedilen simetilei içeen, Diac ın da ifade ettiği denklem 1 ψ i (, t) ψ imc = c t k N N k n αi, n βi, nψ n k= x,, z n= 1 h n= 1 (, t) (3.3) şeklinde olmalıdı. Denklemin sol taafı ψ(,t) nin zaman tüevini içei iken, sağ taaftaki ilk teim, dalga fonksionunun tüm bileşenleinin olası tüm tüevlei üzeinden toplam içei. Sağ taaftaki ikinci teim ise ψ(,t) nin tüm bileşenleinin linee kombinasonunu içei. Bu denklem ukaıda bahsedilen tüm simetilee cevap vemişti. Denklem 3.3 N N lik bi matis için azılan genel bi ifadedi. Bu denklem, vektöel olaak 1 ψ (, t) imc ˆ (, ) ˆ = α ψ t βψ (, t) c t h ψ (, t) i Hˆ = ψ t = c ˆ α p+ ˆ h βmc ψ t t (, ) ( ) (, ) (3.4) biçiminde azılabili. α ve β henüz tanımlanmamış ancak aşağıdaki öntemle ile belilenecek matisledi. Denklem 3. göz önünde bulunduulduğunda E için 7

37 4 E= p c + m c = ˆ α pc+ ˆ βmc ˆ ˆ E = ( ˆ α pc+ βmc )( ˆ α pc+ βmc ) (3.5) ifadeleini azmak mümkündü. Bu son iki denklem göz önünde bulunduulduğunda α = α = α = 1 x z ˆ αβˆ + ˆ βαˆ = 0 α α + α α = α α + α α = α α + α α = 0 x x z z x z z x (3.6) bağıntılaı azmak mümkündü. Bu koşullaın sağlanması kadıla, eneji için geçeli bi ifade azmak mümkün hale geli. Göeli teoide zaman ve uza değişkenlei bibileile bağlantılıdı. Sezgisel olaak zaman ve uzaın biliği çok açık değildi. Ancak, bu öğeti doğudu. Denklem 3.4 deki Diac denklemi dikkate alındığında ve α ve β matisleinin 4 4 matisle olduğu göz önünde bulunduulduğunda duağan duumla ψ 1( ) ψ ( ) ψ (, t) = ψ ( ) e = e ψ 3( ) ψ 4( ) iet / h iet / h (3.7) ile ifade edilile. Bu duumla için zaman tüevi alındığında, denklem özdeğe denklemi ˆ H c ˆ p ˆ ψ α β mc ψ Eψ ( ) = ( + ) ( ) = ( ) (3.8) şeklini alı. Denklem 3.8 sebest bi paçacığın Hamiltonenini tanımla. E ise eneji özdeğeidi. Eğe Denklem 3.7 de çözüm ψ(,t)= ψ()e ie/ħ olaak seçilmiş olsadı, Denklem 3.8 e benze bi denklem elde edilidi. Ancak denklemin sağ taafındaki E ifadesi E ile değiştiilmesi geekidi. Böle bi dalga fonksionu, hem zamanda tes önde haeket eden bi paçacığı hem de negatif eneji duumuna sahip olan bi 8

38 paçacığı temsil ede. α ve β matislei konvansionel temsilde Pauli spin matislei cinsinden, sıasıla σ x α x = = σ x i 0 0 i 0 0 σ α = = 0 i 0 0 σ 0 i σ z α z = = σ z (3.9) ve I 0 β = = I (3.10) ile betimleni. α ve β matisleinin çeşitli temsillei olduğu gibi, σ Pauli matisleinin de çeşitli temsillei mevcuttu. Sonuç olaak, bu temsillein tümünün valığı ve biçimi, temsilledeki matislein Denklem 3.6 daki koşullaı sağlamalaıla alakalıdı. Elektomagnetik alan altındaki Diac denklemi ve bunun eşleniğini ψ (, t) ˆ ih = [ c ˆ α( p ea( )) + V ( ) + βmc ] ψ (, t) t ψ (, t) ih = c p ea t ˆ+ t V + ˆmc t [ ( ( )) ψ (, ) α ψ (, )( ( ) β )] (3.11) 9

39 şeklinde azmak mümkündü. Denklem 3.11 deki işlemde p momentum opeatöünün kompleks olduğu ve Diac matisleinin α =α ve β =β olduğu bilgisi kullanılmıştı. Bi sonaki adım ise, Denklem 3.11 deki ilk denklemi Ψ (,t) ile ikinci denklemi ise Ψ(,t) ile çapıp, bibiileinin fakını almaktı. Sonuç olaak, ψ ψ hc ih ψ + ψ = ψ ˆ α ψ + ( ψ ) ˆ αψ t t i (3.1) denklemi elde edili. Tüevin çapım kualından aalanaak, bu denklem t ψ ψ ( ) = ( ψ c ˆ αψ ) (3.13) biçiminde azılı. Bu denklem aslında süeklilik denklemidi. Denklem 3.13 de, olasılık ρ= Ψ Ψ şeklinde ve akım oğunluğu j=c Ψ αψ şeklinde tanımlanacak olusa ρ = j t (3.14) şeklinde azılabili. Bu duumda olasılık oğunluğu için bi denklem mevcuttu. Tüm uza üzeinden integalin sıfı olması beklenen bi olgudu. Bu duum döt bileşenli dalga fonksionunun nasıl nomalize edileceği hakkında bilgi vei. Denklem 3.7 deki notason kullanılısa: * * * * d ψ 1ψ 1 ψ ψ ψ 3ψ 3 ψ 4ψ 4 ψ ψ = ( ) d = 1 (3.15) Dikkat edilise, Denklem 3.14 deki süeklilik denklemi oumu, spin sıfı duumu için faklı olacaktı. Buada, tanımdan dolaı he zaman pozitif tanımlı olan Ψ * Ψ ifadesi ρ olasılık oğunluğu olaak tanımlanabili (Klein Godon denkleminde ρ pozitif tanımlı değildi.). Bu nedenle, Denklem 3.14, uzadaki küçük bi hacimde olasılık oğunluğunun değişim oanı, o hacmi tek eden olasılığın oanına eşit olduğunu söle. 30

40 Klein Godon duumunda ρ sadece ük oğunluğu olaak oumlanabili. Bu tanıma göe, göeli olmaan duuma benze olaak beklenen değe de Aˆ Aˆ = ψ ψ dv (3.16) şeklinde tanımlanı. Dolaısıla, biçimsel olaak Diac kuantum mekaniği, göeli olmaan teoie oldukça benzelik göstei (Stange 1998). 3. Wel Denklemi β bozunumu deneleindeki ihlalin göünmesi ile 1930 ılında W. Pauli, zaıf etkileşmeledeki eneji momentum kounumunun geçekleştiğinden emin olaak, nötinonun valığını postüle etmişti. Paçacık nötino olaak isimlendiilmişti ve simgesi υ olaak belilenmişti. Göeli kütle eneji bağıntısına göe dugun kütlesi sıfı olan bi paçacık ışık hızıla haeket ede. Denesel veile ışığında belilenen elektonik nötinonun dugun kütlesi sadece bikaç ev civaındadı ve elektonun dugun kütlesinin binde biinden daha küçüktü. Bu bakımdan m ν =0 doğu bi vasaımdı. Nötino ve foton ük, kütle, magnetik moment ve eneji bakımından dikkate alındığında benze gözükmektedi. Ancak temel fak, paçacıklaın sıasıla, aım tamsaılı ve tamsaılı spinlee sahip olmalaından geli. Nötinonun taihsel valığının kanıtı β bozunumu deneleile geçekleşmişti (Geine 000): n p+ e + ν (3.17) Helisiteleine (Kialiteleine) göe sağ elli ve sol elli olmak üzee iki çeşit nötinonun valığından bahsedilebili. 199 ılında Hemann Wel, kütlesiz, spin ½ paçacıklaını açıklaan iki bileşenli bi denklem önemişti. Ancak Wel denklemi paite altında değişmezliği ihlal etmesi nedenile kabul edilmemişti. Zaıf etkileşmeledeki paite ihlali 1957 ılında Landau, Salam, Lee ve Yang taafından kanıtlanınca, Wel denklemi nötinonun davanışını açıklaan denklem olaak kabul edilmişti. Diac denklemini kütlesi sıfı olan bi paçacık için düşünüsek, Wel denklemi 31

41 ψ ( ) ih = c ˆ α pψ ( ) (3.18) t şeklinde azılı. Bu duumda Diac denklemi atık β matisini içemez (Geine 000). 3

42 4. PERİYODİK MAGNETİK VE ELEKTRİKSEL MODÜLASYONLARIN VARLIĞINDA KÜTLESİZ DIRAC FERMİYONLARI Bu bölümde; gafende, tek bi elektonun haeketini tasvi ettiği düşünülen Wel denkleminin eneji spektumunu, ünifom bi magnetik alana ek olaak, peiodik magnetik ve elektostatik potansiellein valığında incelenmişti. Gafen düzlemine dik modüle peiodik magnetik alan B=(B+B 0 coskx)z Diac denklemine aa ile gelmişti. Elektik modülasonu ise elektik alan bileşeni V()=V 0 cos β (πx/c ) olaak denkleme dahil edili. Hesaplama tekniği açısından bu teimlein katkısı vaason olu ile hesaplanmıştı. Poblem Landau aaı kullanaak çözülmüştü. Aa A=(0,Bx+(B 0 /K)sinKx,0) olmak üzee, Diac denklemi e v ˆ Fα ( p+ A) ψ = Eψ c (4.1) biçiminde azılı. Buada Ψ φ ψ = χ (4.) ile veili. Çiftlenimli bu denklem ϕ ve χ için E=E/v % F olmak üzee e ( ˆ σ p+ ˆ σ A) χ E% φ = 0 c e ( ˆ σ p+ ˆ σ A) φ E% χ = 0 c (4.3) şekline dönüşü. Bu iki denklem aasındaki çiftlenim kaldıılısa, ϕ dalga fonksionuna ait çözüm 33

43 eb eb0 eb eb0 px + p+ x φ+ [ sinkx p+ x + sin Kx c ck c ck eh + ( B+ σ 3B0 cos Kx) ] φ E% φ = 0 c (4.4) şekline gie. v F paametesi elektonun hızını kaakteize etmekle bilikte, ışık hızından aklaşık olaak 300 kat daha küçüktü. Buada, K=π/a 0 olup, a 0 modülason peiodudu. Dikkat edilecek olusa, Denklem 4.3 sadece aadan gelen teimlei içemektedi. Öncelikle, Deneme dalga fonksionunun biçimini doğu kestiebilmek için Landau aaındaki A=(0,Bx,0) çözümlee bakılacaktı. Landau aaı ugulandığında Denklem 4.3 eb eh B px p x 3 E H0 c c σ % φ = φ (4.5) şeklini alı. Sikloton fekansı ω c =eb/m c şeklinde tanımlanı. Paçacığa doğultusunda bi hapis söz konusu değildi. Komütason bağıntısı [H 0,p ]=0 olduğundan, Denklem 4.5 e çözüm olaak 1 ik φ( ) = e ϕ( x) L (4.6) bağımlılığı açıkça ifade edilmiş çözüm öneisi ani Denklem 4.6, Denklem 4.5 de eine koulusa; eb Mω chk c x = (x+x 0)= (x+x 0), x 0 =, σ3φ=sφ hc h eb olmak üzee % dx eb h hc d hc E eb x + s ϕ = 0 (4.7) ifadesine ulaşılı. Bu denklemden eneji özdeğeleinin 34

44 1 s E% =± M ν + hωc+ hωc 1/ 1/ s+ 1 =± { M( nhωc) } =± { nheb / c}, n= ν + 1/ (4.8) Şeklinde olduğunu gömek mümkündü. Buada M sikloton haeketi apan paçacığın kütlesi olaak bilini. Denklem 4.8 ifadesi göeli Landau eneji sevieleini vei. Spin önelimleine göe; s=1 ( ) iken ν=n-1, s=-1 ( ) iken ise ν=n değeini alı. Çözüm, hem pozitif hem de negatif enejilei içei. Pozitif enejile için spin önelimleine göe çözümlei ϕ = = ( x ) In 1( x ) 0 + ( x), ϕ ( x) 0 In (4.9) şeklinde azmak mümkündü. Denklem 4. deki χ i tespit edeek, dalga fonksionunun gei kalan alt iki bileşeni bulunaak, toplam dalga fonksionu In 1( x ) 0 ik 0 ik e e In( x ) ψ+ =, ψ = L 0 iin 1( x ) L iin( x ) 0 (4.10) şeklinde ifade edilebili. Benze süeç negatif enejili çözümle için de işletilise, çözümle 0 iin 1( x% ) ik ik e iin ( x% ) e 0 ψ% + =, ψ% = L In 1( x% ) 0 L 0 In( x% ) (4.11) 35

45 olaak kolaca bulunu. Bu ifadedeki I n le H n, Hemite polinomlaı ve eb chk x = ( x+x 0), x 0 = hc eb eb chk x % = x+x % 0, x % 0 =- hc eb, ( ) olmak kadı ile 1/4 eb 1 eb In( x ) = exp eb( x x0 ) / c H n ( x x0 ) π c n + + h n! h hc (4.1) ile veili. Bu çözümlee ait nomalizason katsaısı ise In 1 0 = [ 0 0 ] = 1 0 iin * d ψ+ ψ+ dx N In 1 iin (4.13) şatından N =1/ olaak bulunu. Bu duumda peiodik magnetik ve elektostatik modülasonlaın valığında, γ, eneji minimize edileek bulunacak bi vaason paametesi olmak üzee, 1/4 γ 1 In( γ ) = exp γ ( x x0 ) / Hn γ ( x x0 ) π n + + n! [ ] (4.14) Pozitif enejile için In 1( γ ) 0 ik 0 ik e e In( γ ) ψ+ =, ψ = L 0 iin 1( ) L γ iin( γ ) 0 (4.15) Şeklinde seçmek akla gelen ilk düşüncedi. γ paametesinin Landau aaına A=(0,Bx,0) ait tam çözümü kaşılaıp kaşılamaacağı, 36

46 E% e 0 ˆ σ p+ A c γ = ψ+ ( γ ) ψ+ ( γ ) e ˆ σ p+ A 0 c * ( ) d (4.16) ifadesinden test edilebili. Vektö potansiel için, Landau aaı kullanılısa Denklem 4.16 ( ) 1 eb E% ( γ ) = h dx I I I I + k dxi I + dx xi I h c n n 1 n 1 n n n 1 n n 1 1 eb 1 = h n γ + n c γ (4.17) şekline sokulabili. Eneji ifadesini minimize eden γ paametesi E% eb 1 = h n n 0 = γ c γ γ eb = hc (4.18) γ paametesinin pozitif kökü kullanılısa; eneji için ( ) 1/ E % = neb h / c = M n h ωc (4.19) ifadesi elde edili. Dikkat edilise bu ifade Denklem 4.8 ile uumludu. Benze işlemlei Denklem 4.14 deki spin aşağı duumu için tekalamak mümkündü. Bu işlemlein sonucunda da Denklem 4.18 ifadesine ulaşılı. Negatif enejile için, benze şekilde deneme dalga fonksionlaı 1/4 1 I % γ n( γ ) = exp γ ( x+ x0 ) / Hn[ γ ( x+ x0 )] π n % % n! (4.0) 37

47 olmak üzee 0 ii% n 1( γ ) ik ik e ii% n( γ ) e 0 ψ% + =, ψ% = L I% n 1( γ ) 0 L 0 I% n( γ ) (4.1) şeklinde seçilebili. Bu duumda, benze şekilde, eneji bağıntısı * e E% ( γ ) = d ψ% + ( γ ) p+ A ψ+ ( γ ) c 1 eb = h dx( I% I% I% I% ) k dxi I + dx xi I h % % % % c eb 1 = h n γ + n c γ n n 1 n 1 n n n 1 n n 1 (4.) olacak şekilde bulunu. Benze şekilde eneji ifadesi γ a göe minimize edilise, Denklem 4.18 deki anı γ ifadesine ulaşılı. Ancak, γ nın negatif kökü kullanılısa, negatif enejilee ait Denklem 4.8 ( ) 1/ E % = neb h / c = M n h ωc (4.3) şeklinde elde edili. Negatif enejide de spin aşağı duumu için benze işlemle tekalandığında ine ukaıdaki eneji ifadesi elde edili. Gafen düzlemine dik bi magnetik alanda, B=(B+B 0 coskx) z ve V()=V 0 cos β (πx/c ) elektik modülasonundaki katkılaı bulabilmek için ukaıda betimlenen deneme dalga fonksionu kullanılacaktı. Bu magnetik alana kaşılık gelen aa ifadesi A=(0,Bx+(B 0 /K)sinKx,0) olmak ve elektik modülasonda Diac denklemine zamansal teim olaak dahil olmak kadıla toplam Hamiltonen aşağıdaki gibi azılı. 38

48 e H = ˆ( α p+ A) + V ( ) c (4.4) şeklinde azılı. Bu Hamiltonenden spin ukaı duumu için eneji hesap edilmek istediğinde, dalga fonksionu olaak Denklem 4.15 ifadesi kullanılı. # 1 sembolü 1 # e V( ) Ι σ x px+ σ p+ σ A c = e σ x px+ σ p+ σ A V( ) Ι c (4.5) matisini göstemek üzee Denklem 4.4 ün beklenen değei E% = # ± * 1 + ψ± ψ± L + L + 1 β π x = { d dx cos I I d dx I I I I L + + c L L + ebx + d dx hk I I + d dx I I n n 1 n n 1 c 0 0 L + eb0 d dx Kx InIn 1 ck 0 + sin } ( n 1 n) h( n n 1 n 1 n) (4.6) şeklinde azılabili. Negatif eneji için spin ukaı ve spin aşağı duumunun eneji ifadesi de aşağıdaki gibidi. E% = % # % ± * 1 ψ± ψ± L + L + 1 β π x = { d dx cos I I d dx I I I I L + + c L L + ebx d dx hk I% I% + d dx I% I% n n 1 n n 1 c 0 0 L + eb0 d dx Kx I% ni % n 1 ck 0 + sin } (% % n 1 n) h( % % % % n n 1 n 1 n) 39 (4.7)