PARABOLİK KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN İKİ ZAMAN ADIMLI YAKLAŞIMLAR ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA. Gamze YÜKSEL 1, Mustafa GÜLSU 1, *

Transkript

1 Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs p://fbe.ercyes.ed.r/ ISS -54 PARABOLİK KISMİ DİFERASİYEL DEKLEMLER İÇİ İKİ ZAMA ADIMLI YAKLAŞIMLAR ÜZERİE BİR ÇALIŞMA Gamze YÜKSEL Msafa GÜLS * Mğla Ünverses Fen-Edebya Faüles Maema Bölümü MĞLA ÖZET B çalışmada sandar olmayan başlangıç oşlna sap br boyl parabol ısm dferansyel denlemlern nümer çözümler çn sonl far yalaşımları ncelenmşr. B amaçla Taylor polnom yalaşımları emelnde brço sonl far yalaşımları gelşrlmşr. B sonl far yalaşım enler llanılara elde edlen nümer sonçlar daa önce araşırmacıların sonçları le arşılaşırılmışır. Problemn çözüm algormasında son yıllarda sıça llanılan Maple9 programı llanılmışır. Anaar Kelmeler: Sonl farlar Taylor yalaşımları Sandar olmayan başlangıç oşlları. A STDY O A TWO TIME STEP METHOD FOR PARABOLIC PARTIAL DIFFERETIAL EQATIO ABSTRACT In s sdy fne dfference appromaons o e solon of one dmensonal parabolc paral dfferenal eqaons w non-sandard nal condon are sded. Several fne dfference scemes based on Taylor polynomal apromaons are presened for solvng a parabolc paral dfferenal eqaon. Te nmercal resls obaned by presen meod and compared w e earler aors. Illsrave eamples are nclded performed on e comper sng a program wren n maple9. Keywords: Fne dfference Taylor appromaons on sandard nal condons. *E-posa: mgls@m.ed.r

2 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma.GİRİŞ Son yıllarda parabol ısm dferansyel denlemler onsnda araşırmalar özellle sandar olmayan başlangıç oşll problemler üzernde yoğnlaşmışır. B p problemler müendsl ve emel blmlern brço dalında arşımıza çımaadır. Örneğn b ür problemler aom reaör çalışmalarında ve bazı ers problemlerde ısı lemnde blnmeyen paramerelern blnması gb fz problemlernn modellenmesnde llanılmaadır [-4]. B çalışmada leraürden yola çıılara non-sandar başlangıç oşl le verlen zaman adımlı parabol ısm dferansyel denlemlern nümer çözümler çn paramereye bağlı sonl far yönemler gelşrlece ve yglamaları görülecer. B amaçla; φ < < < T denlemnn sınır oşlları; g < T g < T ve sandar olmayan başlangıç oşlları; n β T ψ < < < T < T <... < T T 4 şelnde verlmşr. Brada f g g φ ψ T ve β blnen fonsyonlar se blnmeyen fonsyondr.... olma üzere β ler < < en

3 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs π T β e < 5 oşln gerçelerler. Brada. L üzernde masmm norm gösermeedr []. Özel alde 5 eşszlğnde β β β ve T. T.6 T çn;. e π.. e π.6 oldğ görülür.. e π < Benzer şelde 5 eşszlğ β β β β ve T.5 T.5 T.75 T çn; e π.5. e π.5. e π.75. e π < dır. B değerler llanılara sandar olmayan başlangıç oşlları le verlen yalaşımlar çn çözümler gelşrlen sonl far yönemler le esaplanmışırtablo-.. SOL FARK FORMÜLLERİ [ ] [ T ] le göserlen bölge M ane grd noasından olşan br bölge olma üzere sırasıyla doğrlsnda adımlar M ve doğrlsnda adımlar T olara alınmışır. M amsayı ve grd noaları olma üzere şelnde göserlmşr.ayrıca... M...

4 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma 4 olma üzere grd noaları çn moleüler göserm aşağıda şelde verlmşr. Şel. Grd noaların göserlmes. Br fonsyon ve b fonsyonn ürevler sonl ve sürel en Taylor eorem yarınca Ve fadeler elde edlr. Brada 6 ve 7 araf arafa oplanılırsa; O o

5 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs aa dereces O olan.dereceden br yalaşım elde edlr. Brada yalaşımın aası mal edlrse; Veya 8 elde edlr.8 eşlğ le verlen yalaşıma.dereceden merez far yalaşımı denr. Benzer şelde 6 ve 7 araf arafa çıarılırsa; 9 aa dereces O olan merez far yalaşımı elde edlr. B yalaşıma da merez far yalaşımı denr. B o A P Şel. Sonl farların geomer göserm. Taylor sers yardımı le benzer şelde ısm ürevler çn sırası le

6 6 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma yalaşımları elde edlr[5].. KISITLAMIŞ TAYLOR YAKLAŞIMLARI fonsyonnn br a noası cvarında n. merebeye adar ısm ürevlernn mevc oldğ varsayılmışır. B ürevler yardımıyla olşrlan RT a! '' a! ε a n! ' n n a a a a... a n fonsyonna fonsyonnn a noasında ısılanmış Taylor yalaşımı adı verlr [6-7]. RT n eşlğnden belrlenen ε değernde yalaşı çözüm am çözüme eş olacağından yalaşımın aası da sıfıra eşlenmşr. 4. BİR BOYTL STADART OLMAYA BAŞLAGIÇ KOŞLLARI İLE VERİLE PARABOLİK DEKLEMLER İÇİ TAYLOR SERİLERİ İLE TÜRETİLE YAKLAŞIMLAR denlem sandar olmayan başlangıç oşllarıyla verlen problemler çn sonl farlarla ürelen yalaşımlar yardımıyla çözüleblr.

7 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs FTCS Forward Tme Cenered Space Yönem denlemnde ürevlere sonl farlar le yalaşılırsa; φ eşlğ elde edlr. B eşl M n çn düzenlenrse; φ r δ δ r r r br açı yönem olan FTCS yönem elde edlr. 4 de başlangıç şarları M T T ψ β ve olma üzere ve den sınır şarları da ve M şelnde verlmş olsn. Problem blnen yönemler le çözeblme çn lneer olmayan ssemlere yaç dylmaadır. Anca parabol problemlern doğası gereğ b sorn üçü erasyonlarla çözüleblmeedr. Dolayısıyla l başlangıç değer olara alınırsa l l β ψ aşağıda şelde anımlanablr. l... ve... M 4

8 8 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma 4 eşlğnde l başlangıç değer l le verlen ler Eler denlemnn sonl far çözümüdür []. B yönemn r çn Von-emann anlamında ararlı oldğ olayca görülür. FTCS yönemnde. zaman adımında blnen üç değer çn. zaman adımında blnmeyen br değer esaplandığı çn yönem yönem olara da adlandırılır. Yönemn moleüler göserm aşağıda gb verlr. Şel. FTCS yönemn moleüler göserm. 4.. Kısılanmış FTCS Forward Tme Cenered Space Yönem -4 le verlen problem Kısılanmış FTCS yönem le çözme amacıyla noasında ve ye göre ürevler;......!!! Ep 5 olma üzere O ve O

9 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs şelnde verlmş olsn.5 eşlğ denlemnde yerne onrsa D Ep ] [ D n M r r r εφ ε ε ε r δ δ 6 fades elde edlr [5]. B yöneme Von-emann anlamında ararlılı analz yglanırsa < rε çn ararlı oldğ görülür. 4.. Cran-colson Yönem denlemne { } noasında sonl farlar yglanırsa; φ φ φ r δ δ çn ; r r r r r r 7 φ φ denlem le verlen Cran-colson yönem elde edlr. Sandar olmayan başlangıç şarlarıyla - 4 problem Cran-colson yönemyle çözüleblr.

10 4 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma 4.4. Cran -colson yönem çn Von-emann ararlılı analz denlemnde p q noasında Cran-colson yönem çn sonl far denlem; pq pq p q pq pq p q pq pq şelndedr. B denlemde βp q p q e denrse; e βp e q e βp βp q q e p β q e βp q e βp q β e p q e βp q fades elde edlr. Gerel şlemler ve bas sadeleşrmelerde yapıldığında ararlılı anımı yarınca; β 4r sn β 4r sn oldğndan; 8r sn β elde edlr. B se yönemn r çn ararlı oldğn göserr Kısılanmış Cran-colson Yönem Benzer şelde denlemne aşağıda şelde { } noasında ısılanmış Taylor yalaşımları yardımı le sonl farlar yglanırsa;

11 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs φ rε rε rε rε rε rε ε φ φ r δ δ 8 denlem elde edlr. B yönem r ε > çn Von-emann anlamında oşlsz ararlıdır. 5. SAYISAL BİR ÖREK φ < < < T denlemnn sınır oşlları g < T g < T ve sandar olmayan başlangıç oşlları n β T ψ < T < T <... < T T şelnde verlmşr. Brada T φ π sn π ep sn T ψ π e e ve denlemn anal çözümü sn π e şelndedr.

12 4 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma Problemn çözümü β β β T. T.6 T ve β β β β T.5 T.5 T.75 T değerler çn farlı yönemler llanılara aşağıda gb arşılaşırmalı olara verlmşr Şel4-5. Tablo..5 çn FTCS yönemne a sonçlar. A.Ç. FTCS FTCS Haa FTCS Haa FTCS

13 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs FTCS 6 A.Ç. 5 FTCS Şel 4..5 Şel çn.5 FTCS çn FTCS yöneme a a graf.. Tablo. çn K.C- yönemne a sonçlar. X A. Ç. K.C- K.C- Haa K.C- Haa K.C

14 44 Parabol Kısm Dferansyel Denlemler İçn İ Zaman Adımlı Yalaşımlar Üzerne Br Çalışma.6 A. Ç..5 K.C- K.C Şel çn K.C- yönemne a graf. Şel 5. çn K.C- yöneme a graf.. 7. SOÇ ve TARTIŞMA B çalışmada br boyl ısı denlemne sandar olmayan başlangıç oşlları le farlı başlangıç şarı çn sonl far denlemler le ürelen zaman adımlı yönemler yglanmışır. B yönemler ısılama parameresne bağlı olara ve ısılama parameresne bağlı olmadan çözülmüş ve farları arşılaşırılmışır. Yönemler yapılan aa baımından ele alındığında b çalışmada gelşrlen yönemlern aa oranıyla dğer blnen las yönemlern aa oranlarının benzer oldğ gözlenmşr. Ayrıca şlem süresnn brbrne yaın oldğ sapanmışır. B se üçü adımlı problemlern şsel blgsayarda çözümünü sağladığından br avana olara görülmeedr. İlerde yapılaca çalışmalarla sandar olmayan başlangıç oşll problemlern yalaşı çözümler çn daa assas ve daa olay esaplama enler gelşrleceğ düşünülmeedr.

15 G. Yüsel M. Güls / Ercyes Ünverses Fen Blmler Ensüsü Dergs KAYAKLAR. Degan M. mercal Scemes for One-Dmensonal Parabolc Eqaons w onsandard lnal Condon. Appled Maemacs and Compaon Degan M. Tree-Leve Tecnqes for One-Dmensonal Parabolc Eqaon w onlnear lnal Condon. Appled Maemacs and Compaon Degan M. Idenfyng a Conrol Fncon n Two-Dmensonal Parabolc Inverse Problems. Appled Maemacs and Compaon Dcaea P. Zacmann W.D. Paral Dfferenal Eqaonss.5 Kın Keong Prnng Co. Pe. Ld. Sngapore Sm G.D. mercal Solon of Paral Dfferenal Eqaons s. Clarendon Press Oford İsmal H..A. Elbarbary E.M.E. Resrcve Taylor's Appromaon And Parabolc Paral Dfferenal Eqaons. Inern. J. Comper Ma İsmal H..A. Elbarbary E.M.E. Salem G.S.E. Resrcve Taylor's Appromaon for Two Dmensons Inal Bondary Vale Problem for Parabolc PDE. Appled Maemacs and Compaon