Denklemdeki E ve F değerleri kökün aranacağı ÒEßFÓ sınır değerleri veya ilk değerler olarak tanımlanabilir. Denklem (1.12) de kök

Transkript

1 1.. RGULA-FALSI veya SKANT YÖNTMİ u yöntem regula-falsi, sekant veya kiriş yöntemi olarak adlandırılmaktadır. Yöntem, öteleme işlemleri sonucunda kök değerine yani fonksiyonu sıfır yapmaya çalışan değere yaklaşmayı amaçlamaktadır. u yöntemde, Şekil 1.11 den görüleceği gibi benzer iki üçgenin özelliklerinden yararlanarak bir matematiksel ifade elde edilir: y(x) F œ?? 0Ð 0Ð 0ÐF 0Ð (1.12) f() A f(x u ) x u x f(a) Şekil Regula-Falsi veya sekant yöntemi. Denklemdeki ve F değerleri kökün aranacağı ÒßFÓ sınır değerleri veya ilk değerler olarak tanımlanabilir. Denklem (1.12) de kök değeri olarak kabul edilen? noktasında 0Ð? œ! olarak alınırsa 0Ð? œ 0Ð 0ÐF F (1.13) veya œ ÐF? 0Ð 0 0ÐF ( ) (1.14) ifadeleri yazılabilir. öylelikle ikinci ötelemedeki? kök değeri, yani bir sonraki adımdaki başlangıç değeri bulunur. Artık kök değeri, ŸŸ? veya? ŸŸF bölmelerinden birinde aranır. u işlem, daha önce ikiye bölme yönteminde olduğu gibi 0Ð? 0Ð veya 0Ð? 0ÐF çarpımlarının işaretine bakarak yönlendirilebilir. 0ÐF 0Ð?! ise, kök sağ bölmede kalır ve nin yeni değeri? olur. enzer olarak 0Ð 0Ð? <! ise kök sol bölmededir ve F nin yeni değeri? olmalıdır. Regula-Falsi yöntemi bir çeşit çizgisel interpolasyondur. Secant yönteminde bir 0Ð fonksiyonunun kök değeri 0Ð+ µ 0Ð, durumunda zorlaşmaktadır. Ayrıca 0Ð fonksiyonunun e göre değişiminde 0Ð fonskiyonu eksenine teğet ise çözüm yine zorlaşmaktadır. u yöntemde 0Ð fonksiyonunun birinci türevinin sıfır olması durumuna ve 0Ð fonksiyonun + ve, noktalarındaki teğetlerinin (türevlerinin) eğiminin + ve, noktaları arasında sıkışıp kalmaması durumuna da dikkat etmek gerekmektedir. Aşağıda Regula-Falsi yönteminin algoritması ve Şekil 1. de akış diyagramı verilmektedir. 1

2 Algoritma 1.3 Regula-Falsi yönteminin algoritması. 1. aşla 2. Oku A,, HATA 3. XU = A + F(A)*(-A) / (F(A)-F()) 4. ğer F(XU) < HATA ise Git. ğer F(XU)*F(A) < 0 ise = XU 6. ğer F(XU)*F(A) > 0 ise A = XU 7. Git 3. Yaz XU 9. Son Öteleme işlemine yani kökü bulma işlemine 0Ð? & şartı sağlanana kadar devam edilir. urada &, programın başlarında verilen ve programın çalışmasını sonlandıran bir duyarlık kriteridir. Örneğin bu kriter ±F ± & olduğu durumda da kesilebilir veya! & en son kök değerinden bir önceki değer ise gibi bir değer olabilir. Ayrıca öteleme işlemi & œ aşla (1.1a) Oku A,, HATA F(A), F() XU=A+(F(A)(-A))/(F()-F(A)) F(A), F(XU) F(XU) <HATA vet Hayır =XU 0< F(A)F(XU) =0 Yaz XU >0 A=XU Son Şekil 1.12 Regula-Falsi yönteminin akış şeması. olmak üzere, 0Ð '' $ 0' Ð & œ & & SÐ& (1.1b) hata değeri olarak hesaplanabilir. Regula-Falsi öteleme denklemi Newton-Raphson yönteminde türev terimi yerine, 0Ð ' œ (1.16) 0Ð 0Ð ifadesi kullanılacak olur ve denklem yeniden düzenlenirse; 2

3 œ 0Ð 0Ð 0Ð œ Ð 0Ð 0Ð 0Ð (1.17) elde edilir. Yukarıdaki (1.17) denkleminde verilen değer, secant yöntemine göre, bir fonksiyonun kökünün bulunması için öteleme ile elde edilecek yeni değerdir. Yukarıdaki denklem, Newton-Raphson yönteminde fonksiyonun tanjantı yerine sekantı kullanılarak elde edilmiş olan bir denklemdir. Örnek 1.6 Aşağıdaki polinomun köklerini bulunuz. $ 0Ð œ $ ' %! œ! (1.1) polinomu öteleme işlemi yapılacak halde $ œ $ ' %! (1.19a) œ $ ' %! (1.19a) ' %! œ$ œjð (1.19c) şeklinde yeniden yazılabilir. œ başlangıç değeri ile öteleme işlemine başlanırsa, œ J Ð œ $ œ!þ$) ' %! œ!þ$) J Ð!Þ$) œ $ œ!þ!! ' %!!Þ$)!Þ$) œ!þ!! J Ð!Þ!! œ $ œ!þ!!$ $ ' %!!Þ!!!Þ!! (1.20) ' %! $ $ $ değerleri elde edilir. Yukarıdaki denklemi œ œjð şeklinde yazar ve œ başlangıç değeri ile öteleme işlemlerine başlarsak sonuca ulaşılamamak> adır. Ama œ) başlangıç değeri ile öteleme işlemi yapılırsa kök değeri œ bulunmaktadır. Kısaca derecesi büyük olan değişkeni eşitliğin bir tarafına aktarıp daha sonra bu değişkenin derecesini 1 olacak şekilde eşitliğin her iki tarafına bölerek elde öteleme için denklem 1.19 da gösterildiği gibi kök arama için uygun bir fonskiyon elde edilebilir. Aşağıda öteleme yönteminin algoritması ve Şekil 14 de akış diyagramı verilmektedir. Algoritma 1.4 Öteleme yönteminin algoritması 1. aşla 2. I=1 3. Oku X1, HATA, N 4. X =F(X ). ğer (X2-X1)/X2 < HATA İse Git X1=X2 7. I=I+1. ğer I = N İse Git 10 3

4 9. Git Yaz Sonuca ulaşılamadı 11. Git Yaz Kök =, X2 13. Dur ir siyah cismin birim yüzeyinden - ile -.- dalga boyları arasında yayılan enerji oranı ;(-) Planck yasası ile verilir : Ð/ - /<1-7 = & 2-Î X ;( ) œ. Denklemde! ( - œ ışık hızı œ Þ**(*&! -7Î=, 2 œ Planck sabiti œ 'Þ''! /<1Î= ' œ oltzmann sabiti œ Þ$)!&%! /<1ÎO, X œ Mutlak sıcaklık, Kelvin - œ Dalga boyu œ -7. nerjinin maksimum şiddete yayınlandığı dalga boyu -7+ dır. u durum, yani Wien in yerdeğiştirme yasası,.;(-) Î. - œ! ile elde edilebilir. X œ!!!ß!!!ß $!!!ß %!!! O sıcaklıklarındaki yüzeyden yayınlanan ışınların maksimum dalga boylarını hesaplayınız. Ayrıca verilen X -6 sıcaklıkları için - 7+ Xœsabit Ð = O) olduğunu gösteriniz (Carnahan 1969, s206) ir sıvının hacmi, ortamın sıcaklığı!g den $$G ye yükseldiğinde & ' ) $ Z ÐX œ!þ**** 'Þ%$! X )Þ&!&! X 'Þ)! X fonksiyonuna göre değişmektedir. Denklemdeki X santigrad derece cinsinden sıcaklığı belirtmektedir. Yoğunluğun maksimum olduğu sıcaklık değerini kök bulma yöntemlerinden birini kullanarak bulunuz (hacmin sıcaklığa göre türevi alınır ve sıfıra eşitlenirse.z.x & ' ) œ! œ 'Þ%$! 17.1! X 20.4! X ifadesinden yoğunluğun maksimum olduğu değer bulunur) (arrodale, 1971) Lee ve Duffy ( Journal of the American Institute of Chemical ngineering, 1976, 22(4):70-73) bir sıvı süspansiyonun (bir kimyasalın sıvı içinde çözünmeden durabilmesi) içindeki erimemiş parçacıkların akışkanın içindeki sürtünme faktörünü Reynold &Þ' katsayısına göre deneysel olarak şu şekilde vermişlerdir: œ ln ( VI 0) (% ) Denklemdeki 0 sürtünme faktörü, 0 VI œ $(&! Reynolds katsayısı, süspansiyonun konsantrasyonundan elde edilen bir sabittir. %!Þ!) lik süspansiyon konsantrasyonu için œ!þ) ise 0 sürtünme katsayısını hesaplayınız (sayfa:10, Gerald and Wheatley, 1997). Denklemi yeniden ln( VI &Þ' 0) (% ) œ! şeklinde yazarak bu denklemin kökleri hesaplanabilir devresi ile yapılan bir zamanlayıcı devresi aşağıdaki şekilde verilmektedir. X 0 X X V V G V V V V V V X X œ burada 0 frekans, periyotluk döngü œ!!%, X œ V G lnð, X œ ln Ð ± ±, V œ )'(! S27ß G œ!þ! µ J ß X œ!þ% milisaniye olarak verilmişse a) Xß0 ve bir periyotluk döngüyü, b) V F yi, c) ir 0 frekansı seçerek X ve X zamanlarını hesaplayınız (sayfa:106, Gerald and Wheatley, 1997). 4

5 V CC R A Çıkış C R uF T 1 T 2