1 Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği

Transkript

1 Şekil 1: Şekil 2: Katı (rijid) cismin düzlemsel hareket tipleri 1 Rijit Cisimlerin Düzlemsel Kinematiği 1.1 Giriş Dersin 2. bölümünde noktasal cismin kinematik bağıntılarını elde etmiştik. Aynı bağıntıları rijit cisimlerin düzlemsel kinematiğinde de kullanacağız, ama burada rijit cisimlerin dönme hareketi de göz önüne alınacaktır. Rijit cismi, iki noktası arasındaki mesafesi değişmeyen cisim olarak tanımlayabiliriz. Bir rijid cisim düzlemsel hareket ettiğinde onu oluşturan tüm parçalar paralel düzlemlerde hareket eder. Düzlemsel rijit cismin hareketi aşağıda gösterilen dört kategoriye ayrılabilir. a) Doğrusal öteleme b) Eğrisel öteleme c) Sabit bireksenetrafında dönme d) Genel düzlemsel hareket Öteleme: Katı cismin hareketinde, her t anında katı cismin maddesel noktalarının hızları birbirine eşit ise hareket öteleme dir. Hız v = v(t) şeklindedir. Nokta- 1

2 Şekil 3: Katı cismin eğrisel ötelemesi Şekil 4: Katı cismin doğrusal ve dairesel ötelemesi ların yörüngeleri birbirlerine paraleldir. Dönme: x,y,z e göre katı cismin hareketinde, Katı cismin OO ekseni üzerindeki tüm C,D,E,...,K gibi noktaların hızları sıfır ise katı cisim OO ekseni etrafında dönme hareketi yapıyor denir. OO eksenine de Dönme Ekseni denir. Genel Düzlemsel Hareket: Dönme ve öteleme hareketi ile aynı anda yapılıyorsa katı cismin hareketine Genel Düzlemsel Hareket denir. Genel Hareket: Yukarıdaki özel hallere uymayan tüm katı cisim hareketlerine GENEL HAREKET denir. ÖTELEME: Yer vektörü r B = r A + r B/A Hız vektörü: v B = dr B dt = d dt (r A + r B/A ) = v A + v B/A r A/B = sbt olduğundan (katı cisim ve öteleme) v B/A 0 v A = v B 2

3 Şekil 5: Katı cismin eğrisel ötelemesi Şekil 6: Genel düzlemsel hareket Şekil 7: Katı cismin genel hareketi 3

4 Şekil 8: Öteleme Şekil 9: Dönme İvme vektörü: a B = dv B = dv A = a A dt dt NOT: Bir tek noktanın hız ve ivme vektörü öteleme hareketinde katı cismin tüm noktalarının hız ve ivmelerini temsil eder. Doğrusal ötelemede doğrultuları değişmez. Eğrisel ötemelede değişir Dönme Bir rijit cismin dönmesi onun açısal hareketi ile tarif edilir. β sabit olmak üzere, şekilden θ 2 = θ 1 + β ve bu ifadenin zamana göre türevini alırsak θ 2 = θ 1 ve θ 2 = θ 1 aynı zamanda θ 2 = θ 1 yazılabilir. Böylece rijid cismin düzlemsel hareketinde tüm noktalarının aynı açısal yer değiştirme, aynı açısal hız ve aynı açısal ivmeye sahip olduğu görülür. 4

5 1.1.2 Açısal hareket denklemleri Açısal hızı w, α açısal ivmesi olan bir rijit cismin düzlemsel hareketi θ 2 = θ 1 + β w 2 = dθ 2 dt = dθ 1 dt = w 1 ise Katı cismin bir tek açısal hızı vardır. w = dθ dt = θ w 1 = w 2 =... = w = θ Veya α = dw dt = ẇ ẇ = dw dθ dθ dt = w dw dθ wdw = αdθ α = d2 θ dt = θ θ = d θ 2 dt θ = d θ dθ dθ dt denklemleri ile verilir. Eğer açısal ivme sabit ise: bulunur. Veya wdw = αdθ dan: = θ d θ dθ θd θ = θdθ α = dw dt = ẇ = sabit w = w 0 + αt w 2 2 w2 0 2 = α(θ θ 0) w 2 = w α(θ θ 0 ) w = dθ dt = w 0 + αt θ = θ 0 + w 0 t αt2 Burada θ 0 ve w 0 ; t=0 anındaki açısal konum ve açısal hızdır Sabit bir eksen etrafında dönme Sabit bir eksen etrafında dönen rijid cismin dönme eksenine normal (dik) bir düzlemi göz önüne alalım. İkinci bölümde öğrendiğimiz eşitlikleri yeniden yazarsak; Hatırlatma: v = rω a n = rω 2 = v 2 /r = vω a t = rα 5

6 Şekil 10: Sabit bir eksen etrafında dönme Öteleme: Cismin üzerindeki her doğrunun hareket boyunca orijinal doğruya paralel kaldığı harekettir. i) Doğrusal ötelemede cismin her noktası paralel doğrular üzerinde hareket eder. ii) Eğrisel ötelemede cismin her noktası paralel eğriler boyunca hareket eder. Dönme: Cismi oluşturan tüm noktalar sabit bir eksen etrafında dairesel yörünge izlerler. Genel Düzlemsel Hareket: Bu, dönme ve ötelemenin birleşimi bir harekettir. EKSEN ETRAFINDA DÖNME OA = re r, r = sabit v = doa dt ivme: = (re r ) = rėr = r( dθ dt e θ) = rwe θ ; v = rw a = dv dt = d dt (rwe θ) = rẇe θ + rwė θ = rẇe θ + rw( dθ dt e r) a = rw 2 e r + rẇe θ bulunur.bu vektörleri vektörel çarpım ile de elde edebiliriz: ω OA çarpımını hesaplayalım. a (b c) = (a.c)b (a.b)c ivme: ω = wk = we z OA = re r ω OA = wk (re r ) = rwe θ = v A v = ω OA = ω r a = dv dt = d doa (ω OA) = ω OA+ω dt dt 6 ω OA+ω ω OA = a

7 Şekil 11: Eksen etrafında dönme a = ω OA + (ω.oa)ω w 2 OA = α r + (ω.r)ω w 2 r teğetsel ivme: α r = ẇk re r = rẇe θ = a t normal ivme: ω ω r = wk (wk re r ) = wkw(rwe θ ) = rw 2 e r e r = e n w ω r = rw 2 e n = a n, a = a t + a n = a t e t + a n e n Vektörel çarpım kullanılarak daha önce verilen eşitlikler: v = ṙ = ω r a = v = ω ṙ + ω r = w (w r) + ω r = w v + α r v = ω r a n = ω (ω r) a t = α r a = a = a 2 t + a 2 n Problem 5/ dev/dak açısal hızı ile saat yönünde dönen (sürtünmesiz) bir kasnağın açısal ivmesi saatin tersi yönünde α = 4t(rad/s 2 ) dir. a) açısal hızın 900dev/dak düşmesi için geçen zamanı b) kasnağın dönme yönünün değişmesi için geçen zamanı 7

8 c) Saat yönünde + saatin tersi yönünde toplam devir sayısını ilk 14 saniye için hesaplayınız. Çözüm 5/1: a) dw = α = 4t w = dt 2t2 + w 0 ; t= 0 da w = 1800( 2π) = 60π(rad/s) 60 w 0 = 60π w = 2t 2 60π Saat yönünde w = 900dev/dak yerine yazılırsa: 900 2π 60 = 2t2 60π t 2 = 15π t = 6.86 b) 0 = 2t 2 60π t = 9.71s yön değişir. c) Saat yönündeki 9.71 saniyelik dönme sayısı +ters yöndeki geri kalan zamandaki dönme sayısı= cevap dθ = wdt = θ1 0 dθ = 9.71 Birinci aralıkta alınan yaklaşık yol ve devir: 0 ( 60π + 2t 2 )dt θ 1 = [ 2 3 t3 60πt] = 1220rad İkinci aralıkta: θ2 0 N 1 = π = dθ = (2t 2 60π)dt θ 2 = [ 2 3 t3 60π] = 410rad N 2 = 420 2π = 65.3 Toplam Devir:N 1 + N 2 = = NOT: θ 1 Negatif alanı veθ 2 pozitif alanı temsil ediyor. Problem 5/2 A dişlisine bağlı bir motor, B dişlisini ve ona bağlı tamburu döndürmektedir. L yükü hareketsiz halden 2 m/s hıza sabit bir ivme ile 0.8 m yol kat ederek ulaşıyor. 8

9 Şekil 12: Açısal hız - zaman Şekil 13: Problem 5/2 9

10 (a) Kablonun C noktasındaki ivmesini, (b) A dişlisinin açısal hızını ve ivmesini hesaplayınız. Çözüm 5/2: a)kasnak üzerinde kabloda kayma olmadığunu farzedelim. L yükünün düşey hız ve ivmesi gerekli. C de aynı şekilde v teğetsel hız ve a t teğetsel ivmesi gerekli. L nin doğrusal hareketi için sabit ivme: v 2 = 2as a = v2 2s = = 2.5m/s2 = a t a n normal ivme ve a t teğetsel ivme olmak üzere a c = a n = v2 r = = 10m/s2 a 2 t + a 2 n = = 10.31m/s 2 b) A dişlisinin açısal hareketi B nin açısal hareketinden belirlenir. v = wr B için v B = r B w B w B = v B r B = = 5rad/s a t = rα B için α B = (a t) B = 2.5 r B 0.4 = 6.25rad/s2 v A = r A w A = r B w B ve a A = r A α A = r B α B ve, w A = r Bw B = (0.300)5 = 15rad/s r A α A = r Bα B = (0.300)6.25 r A = 18.75rad/s 2 Problem 5/3 Saat yönünde dönen dik açılı bir kirişin açısal hızının değişme oranı azalarak 4rad/s 2. A noktasının hızı ve ivmesi için vektörel ifadeleri, w= 2 rad/s açısal hızı için bulunuz Çözüm5/3: ω = 2k rad/s; α = 4k rad/s 2 v = ω r 2k (0.4i j) v = (0.6i + 0.8j)m/s 10

11 Şekil 14: Problem 5/3 Şekil 15: Problem 5/4 a n = ω (ω r) = ω v a n = 2k (0.6i + 0.8j) = ( 1.6i 1.2j)m/s 2 a t = α r = 4k (0.4i j) a t = ( 1.2i + 1.6j)m/s 2 a = a t + a n = ( 2.8i + 0.8j)m/s 2 a = a = 2.83m/s Mutlak Hareket Rijit cisimlerin düzlemsel kinematik analizini bu bölümde inceleyeceğiz. İlgili rijit cismin konumunun geometrik bağıntılarını kullanıp burada zamana göre türevlerini alıp hız ve ivmeyi elde edeceğiz. Problem 5/4 r yarı çapındaki bir teker düz bir yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanıyor. Tekerin açısal hareketini, merkezinin doğrusal hareketi cinsinden ifade ediniz. Tekerin kenarındaki bir noktanın yüzeyle temas ettiği andaki ivmesini hesaplayınız. Çözüm 5/4: Kayma yok OO = s=c A; s = rθ v O = r θ; a O = r θ Burada v O = 11

12 Şekil 16: Problem 5/5 ṡ, a O = v O = s, w = θ ve α = ẇ = θ dir. Sabit eksenin orjini keyfi alınabilir. Genelinde çemberin temas noktası uygundur.c temas noktası çembersel yörünge üzerinde C noktasına yer değiştirdiğinde yeni konumu: x = s r sin θ = r(θ sin θ); y = r r cos θ = r(1 cos θ) ẋ = r θ(1 cos θ) = v O (1 cos θ); ẏ = r θ sin θ = v O sin θ ẍ = v O (1 cos θ) + v O θ sin θ; ÿ = vo sin θ + v O θ cos θ ẍ = a O (1 cos θ) + rw 2 sin θ; ÿ = a O sin θ + rw 2 cos θ İstenen anda θ = 0 ẍ = 0 ve ÿ = rw 2 elde edilir. Herhangi bir θ için v = ẋi+ẏj = v O (1 cos θ)i+v O sin θj ve a = ẍi+ÿj = [a O (1 cos θ) + rw 2 sin θ]i + [a O sin θ + rw 2 cos θ]j θ = 0 da hız= v = ẋi + ẏj = 0 ve ivme a = ẍi + ÿj = rw 2 j Problem 5/5: L yükü şekilde görülen palanga ve kablo düzeneği ile yukarı kaldırılmaktadır. Her bir kablo, palangasına güvenli bir şekilde sarıldığından kayma olmamaktadır. L yükünün bağlandığı palangalar birbirine tek bir rijit cisim olacak şekilde birleştirilmiştir. L yükünün hızını ve ivmesini; a-palanga 1 w 1 = 0, w 1 = 0, Palanga 2 w 2 = 2rad/s, α 2= w 2 = 3rad/s 2 b- Palanga 1 w 1 = 1, w 1 = 4rad/s 2,Palanga 2 w 2 = 2rad/s, α 2= w 2 = 2rad/s 2 Durumları için hesaplayınız. Çözüm 5/5 1 veya 2 makaralarının kenarlarındaki bir noktanın teğetsel yer değişimi, hızı ve ivmesi; A nın veya B nin düşey hareketindeki değerlere eşittir.(kayma yok) a hali: B anlık olarak A ya göre dθ açısıyla dt zamanında AB konumuna gelir. 12

13 Şekil 17: ds B = ABdθ v B = ABw, (a B ) t = ABα ds O = AOdθ v O = AOw, a O = AOα v D = rw = 0.1(2) = 0.2m/s, a D = r 2 α 2 = (0.1)( 3) = 3m/s 2 Çift makara için: w = v R AB = v D AB = = 2 3 rad/s α = (a B) t AB = a D AB = = 1rad/s2 b hali: C nin hareketiyle yani A hareketiyle AB A B ne hareket eder. Şekilden AB : ds B ds A = ABdθ v B v A = ABw (a B ) t (a A ) t = ABα AO : ds O ds A = AOdθ v O v A = AOw a O (a A ) t = AOα v C = r 1 w 1 = (0.1)1 = 0.1m/s; v D = r 2 w 2 = (0.1)(2) = 0.2m/s a C = r 1 α 1 = (0.1)(4) = 0.4m/s 2 ; a D = r 2 α 2 = (0.1)( 2) = 0.2m/s 2 13

14 Şekil 18: Problem 5/6 Çift makara için v B v A = ABw w = v B v A AB = v D v C AB w = = 1 3 rad/s α = a B) t (a A ) t AB = a D a C AB O nun ve L yükünün hareketi için ise: = = 2rad/s 2 v O = v A + AOw = v C + AOw = = m/s a O = (a A ) t + AOα = a C AOα = ( 2) = 0.2m/s 2 Problem 5/6 Eşkenar üçgen bir levhanın kendi düzlemindeki hareketi D silindiri yardımı ile kontrol ediliyor. Eğer silindirin pistonu yukarı doğru sabit 0.3m/s hızıyla hareket ediyorsa θ = 30 o olduğunda B noktasının (yatay yataklanmış mesnetin merkezi) hızını ve ivmesini bulunuz. Çözüm 5/6: B nin hareketi x 2 + y 2 = b 2 den v A = ẏ = 0.3m/s, a A = ÿ = 0 14

15 2xẋ + 2yẏ = 0 ẋ = y xẏ xẍ + ẋ 2 + yÿ + ẏ 2 = 0 ẍ = ẋ2 + ẏ 2 y = b sin θ, x = b cos θ, ÿ = 0 yazılarak, x y xÿ a B = ẍ = v2 A b sec3 θ bulunur. Sayısal değerler yerlerine yazılırsa (v A = 0.3m/s ve θ = 30 o ) v B = = a B = (0.3)2 ( 2 3 ) 3 a B = 0.693m/s CB nin açısal hareketi levha içerisindeki herhangi bir çizginin hareketi ile örneğin AB ile aynıdır. Açısal hız: olarak, ve açısal ivme: y = bsinθ ẏ = b θcosθ, w = θ = v A b sec θ α = ẇ = v A b θ sec θ tan θ = v A b (v A sec θ) sec θ tan θ b bulunur. Sayısal olarak w = = 1.732rad/s ve α = (0.3)2 (2) 2 (1) 1.732rad/s Bağıl Hareket 0.2 (0.2) = Katı cismin AB doğrultusu t zamanında A B konumuna hareket etsin. Bu hareket: a) AB nin B A ne ötelenmesi ( r B kadar) b) B etrafında θ kadar dönme hareketinin süperpozisyonu olarak karakterize edebilirix. Hareket düzlemseldir. Yer değiştirmesi ise r A/B dir. Şekil (a) Rijit bir cismin iki noktasını (A ve B) göz önüne alalım. x-y dönmeyen eksen takımını B noktasına bağlayalım. 15

16 Şekil 19: Bağıl hareket r A = r B + r A/B v A = v B + v A/B ifadesini elde ederiz. Bu daha önce 2. bölümde gördüğümüz eşitlik ile aynı, tek farkı burada A ve B noktaları arasındaki mesafe sabit olduğundan r A/B = r θ = BA θ = B A θ Yukarıdaki ifadeyi zaman dilimi ile bölüp limitini alırsak r v A/B = lim A/B n 0 t = r dθ = rw = v dt A/B v A/B = lim t 0 r A/B t Skaler Hız burada v A/B = ω r ve r A/B = r olarak gösterilirse; = lim t 0 r θ t v A/B = ω r = ω BA = ω r A/B Bağıl Hız yazabiliriz. Sonuçta aşağıdaki formül elde edilir. v A = v B + w r (Katı cismin düzlemsel hareketinin hızlar alanı) NOT:w Hareket düzlemi b ve c den bağıl skaler (lineer) hız A ile B noktasını birleştiren doğrultuya daima diktir. Hızların izdüşüm formüllü: 16

17 Şekil 20: Süperpozisyon Şekil 21: İzdüşümler AB = Le ile skaler çarparsak v A = v B + v A/B = v B + w BA Le.v A = Le.v B + Le.(w BA) Le.v A = Le.v B AB.v A = AB.v B AK = BH NOT: A,B,C aynı doğru üzerinde olmamk kaydı ile Le.v A = Le.v B AB.v A = AB.v B formülü katı cisimlerin her türlü hareketinde kullanılır. Örnek problem 5/7 r=300mm yarıçaplı tekerlek sağa doğru kaymadan yuvarlanıyar. Merkezinin hızı v O = 3m/s Tekerleğin üzerindeki A noktasının verilen konumdaki hızını hesaplayınız. Çözüm 5/7 v A = v O + w OA v O = wr w = v O r = = 10rad/s v A/O = ω OA v A/O = r O θ = (0.2)(10) = 2m/s v 2 A = v 2 O + v 2 A/O + 2(v O)(v A/O )cosβ v 2 A = (2)(2)cos60 0 = 19(m/s) 2 v A = 4.36m/s 17

18 Şekil 22: Problem 5/7 C noktasının hızı sfırdır. Referans noktası olarak alınabilir. Öyleyse: v A = v C + v A/B = v A/C v A/C = ACw = AC( v O OC ) = (3) = 4.36m/s 0.3 v A = v A/C = 4.36m/s Örnek Problem 5/7 nin Vektörel Çözümü v A = v O + v A/O = v O + w OA = v O + w r O w = 10krad/s, r O = 0.2( cos30i + sin30j) r O = ( i + 0.1j)m, v O = [3i)m/s i j k v A = 3i = 3i j + 1.0i v A = (4i i)m/s v A = v A = (1.732) 2 v A = 4.36m/s elde edilir. Dojğrultusu ilk çözüm ile aynıdır. Problem 5/8 CB krankı, C noktası etrafında salınırken OA krankının O etrafında salınmasına sebep oluyor. Mekanizma CB nin yatay ve OA nın düşey olduğu noktadan geçerken CB nin açısal hızı, saatin dönme yönünün tersine 2 rad/s ise bu anda OA ve AB nin açısal hızlarını hesaplayınız. Çözüm 5/8 Vektörel çözüm yapalım: v A = v B + v A/B v A = v B + w AB r A/B = v O + w OA r A 18

19 Şekil 23: Problem 5/8 Şekil 24: Problem 5/9 w OA = w OA k,, w CB = 2k w AB = w AB k r = 100j, r B = 75i r A/B = 175i + 50j Yukarıdaki ifadeler yerlerine yazılınca; w OA k 100j = 2k ( 75i)+w AB k ( 175i+50j) 100w OA i = 150j 175w AB j 50w AB i i : 100w OA = 50w AB j : 0 = w AB w AB = 6 7 rad/s w OA = 3 7 Not: Daima vektörel çözümü tercih ediniz. Örnek problem 5/9: şekildeki krank sisteminde OB kolu saat yönünde 1500 dev/dak ile döndüğüne göre θ = 60 o iken A pistonunun v hızını ve AB nin üzerindeki G noktasının hızını ve AB nin açısal hızını belirleyiniz. AG=250mm,GB=100mm,r=125mm 19

20 Çözüm 5/9 v A = v B + v A/B v B = v O + w OB OB, v A = v A i v A i = w OB ( 125 cos 60i sin 60j) + w AB k ( 350 cos βi sin βj) Şimdi yukarıdaki denklemde gerekli olan β açısını hesaplayalım. β = 18 o değeri yerine konulursa, sin β = BH AB = BH 350 sin 60 = BH OB = BH 125 BH = 350 sin β = 125 sin 60 sin β = 125 sin 60 = β = arcsin = 18 o v A i = (1500)( 2π 60 )k 125( 0.5i j + w ABk 350( 0.95i 0.309j) v A i = (157)(125)( 0.5j i) 350( 0.95j 0.309i) i : v A = w AB j : 0 = w AB w AB = 29.51rad/s v A = (29.51) = mm/s = m/s Şimdi G noktasının hızını hesaplayalım; Bulunanlar yerlerine yazılırsa; v G = v B + v G/B = v B + w GB k BG v B = v O + w OB OB = w OB OB v B = 157k ( 125 cos 60i sin 60j) v B = j i BG = 100(cos 18i + sin 18j) = 95.1i j w BG = w AB = 29.5 dev/dak v G = j i + w BG j (95.1i j) 20

21 Şekil 25: Problem 5/10 v G = j i w BG j 30.9w BG i v G = [ (29.5)]i + [ (29.5)]j v G = i j v G = (16.092) 2 + ( ) 2 = = 20.45m/s Örnek Proble 5/10: Şekildeki vidayı döndürerek C noktsına aşağıya doğru 0.25 m/s düşey hız kazandırılıyor. θ = 30 o olduğu anda yataklı OB kolunun açısal hızını hesaplayınız. Çözüm 5/10: v B = 0.25j = v C v B = v O + w OB + v A OB ve O 1 B uzunluklarını hesaplayalım: cos 30 = 0.45 OB OB = = m sin 30 = O 1B OB O 1B = (0.5) O 1 B = j = wk ( 0.45i j) + v A 0.25j = 0.45wj i + v A ( cos 30i + sin 30j) 0.25j = 0.45wj i 0.866v A i + 0.5v A j j : 0.25 = 0.45w + 0.5v A i : 0 = 0.26w 0.866v A v A = 0.26w

22 0.25 = 0.45w + (0.5) 0.26w = 0.45w w w = = 0.4rad/s v A = 0.67(0.41) = 0.27m/s Not: ω = wk alınmış idi. w = ( 0.41)k = 0.41k saatin tersi yönde dönme var. 22