İLKÖĞRETİM 7. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN RASYONEL SAYILAR KONUSUNDAKİ HAZIR BULUNUŞLUKLARI

Transkript

1 Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 31, Sayfa , 2011 İLKÖĞRETİM 7. SINIF ÖĞRENCİLERİNİN RASYONEL SAYILAR KONUSUNDAKİ HAZIR BULUNUŞLUKLARI Mustafa Doğan 1, Betül Yeniterzi 2 1 Selçuk Üniversitesi, A.K. Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği ABD mudogan@selcuk.edu.tr 2 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi İlköğretim ABD ybetul@metu.edu.tr ÖZET Matematiğin soyut, zor bir ders olduğu düşüncesi toplumda çoğu kişi tarafından savunulan bir bakış açısıdır. Bu durum beraberinde matematiğe karşı ön yargıyı ve başarısızlığı ortaya çıkarmaktadır. İlköğretim birinci sınıftan başlayarak hemen her dönem işlenen kesirler konusu ve 7. sınıf müfredatında yer alan rasyonel sayılar konusu için de aynı durum söz konusudur. Bilindiği gibi rasyonel sayılar konusunun öğrenilebilmesi için öğrencilerin önceki yıllarda işlenen kesirler konusundaki öğrenme düzeyleri önem taşımaktadır. Kesirler konusu, rasyonel sayılar konusunun yanı sıra matematik dersindeki birçok konunun da temelinde yer alan ve iyi öğrenilmesi gereken bir konudur. Daha önce yapılmış olan birçok çalışmanın sonucunda da kesirler konusunun iyi öğrenilememesinden dolayı öğrencilerin çoğu konuyu öğrenirken güçlük çektikleri görülmüştür. Bu bağlamda bu çalışmanın amacı ilköğretim 7. sınıf öğrencilerinin kesirler konusundaki öğrenme düzeylerini, dolayısıyla rasyonel sayılar konusundaki hazır bulunuşluk düzeylerini ortaya çıkarmaktır. Çalışmanın örneklemini Konya ilindeki iki adet şehir merkezi ve bir adet ilçe ilköğretim okulundan toplam 185 öğrenci oluşturmaktadır. Elde edilen sonuçlara göre, öğrencilerin ilköğretim birinci kademeden beri defalarca tekrarlanan kesirler konusundaki kazanımları hâlâ tam olarak elde edemedikleri tespit edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Matematik Öğretimi, Kesirler, Ön Öğrenme.

2 Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 31, Sayfa , 2011 ATTAINMENT LEVEL OF SEVENTH GRADE STUDENTS FOR RATIONAL NUMBERS Mustafa Doğan 1, Betül Yeniterzi 2 1 Selçuk Üniversitesi, A.K. Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği ABD mudogan@selcuk.edu.tr 2 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi İlköğretim ABD ybetul@metu.edu.tr ABSTRACT Most of the people claim that mathematical subjects are abstract and difficult. This claim is true for the topic of fractions as well. Teaching of fractions starts from the early elementary years and continue with the rational numbers in the seventh grade mathematics curriculum in Turkey. This claim brings the bias and failure for the students in all levels. It is known that in order for students to learn rational numbers, their prior knowledge about fractions is very important. The sub-learning domain of fractions takes part as a basic subject besides rational numbers in many subject of mathematics and it should be learned deeply. Many researches also show that students have difficulties in many subjects of mathematics since fractions could not learn deeply. Therefore, the purpose of this study is to find out the students attainment levels for the topic of fractions which is very important to be ready to learn the topic of rational numbers for the 7 th grade students. The sample of the study consists of 185 students from two different elementary schools. One of the schools is from the city centre and the other from the rural part of Konya. A specially prepared achievement test has been used to collect necessary data. The test contained questions about all objectives of the fractions for the sixth grade curriculum. The findings show that the seventh grade elementary school students still could not satisfactorily acquire the objectives for the fractions. Key words: Teaching Mathematics, Fractions, Prior Knowledge

3 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 219 GİRİŞ Ülkemizde, ilköğretim öğrencilerine zor gelen matematik konularından birisinin de kesirler olduğu genel bir kanaattir. Özellikle kesirlere ait işlemlerin öğretimi ve öğrenilmesi ilköğretim matematik eğitimi için önemli bulunmaktadır (MEB, 2005). Program gereği, öğrenciler kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini her yıl rutin bir şekilde görmekte, fakat daha sonraki yıllarda bu işlemlerin nasıl yapıldıklarını unutmaktadırlar. Öğrencilerin kesirlerle işlemlerde zorlanmalarının başlıca nedenlerinden birisi kesirleri anlamaları yerine formülleri ve algoritmayı ezberlemeleri olarak görülmektedir. Bir diğer neden ise kesirlerin pay ve paydalarını farklı iki tam sayı olarak algılamalarıdır. Kesirli sayıların öğretiminde genel olarak yapılan hatanın, öğrencilerin bu işlemlerde yararlanacağı yeterli altyapıya sahip olmadan, öğrencileri hesaplamalara başlatmak olduğu vurgulanmaktadır (Mack,1990; Aksu,1997). Bu durumda kesir kuralları kolayca öğrenmenin odağı haline getirilerek, anlık ezberlerle yapay bir başarı ortaya çıkabilir. Örneğin, Arcavi (2003) ve Olkun a (2004) göre; kesir kurallarına odaklanmak, öğrencilerin işlemlerin anlamlarını öğrenmelerini sağlamaz. Birçok ilköğretim veya lise öğrencisi iki kesri birbirine kolaylıkla bölebilir. Fakat bu işlemi yaparken, ikinci kesrin ters çevrilip çarpılmasının niçin yapıldığını açıklayamaz. Bu durum öğrenmenin anlamlı ve kalıcı olmasına engel oluşturmaktadır. Ancak, son yıllarda matematik eğitimindeki gelişmeler, öğrencilere matematiksel kuralların ezberletilmesinden daha çok, bu kavramları oluşturabilmesini sağlayacak etkinlikler yardımıyla matematik öğretimini öne çıkarmak eğilimindedir (Orhun, 2007). Şiap ve Duru ya göre (2004); İlköğretim 1-5 Matematik Program ı incelendiğinde, bu düzeyde kesirleri yeni öğrenen öğrencilere kesirleri daha iyi öğretmek için kullanabilecek metodun, kesirleri bir bütünün parçası olarak göstermek olduğu görülmektedir. Bu yaklaşımın kolay anlaşılabilir olduğu ve anlatmak için de birçok model ve manipulatif araç kullanılabildiği vurgulanmaktadır. İlköğretim matematik ders programına bakıldığında her sınıf düzeyi için kazandırılması düşünülen beceriler arasında kesire uygun şekli çizebilme ve şekle uygun kesri yazabilme vardır. Ancak, beceriler kazandırılırken seçilen modellerin öğrencilerin seviyelerine uygun olması ve aynının kullanılmasından kaçınılması gerektiğine de dikkat çekilmektedir (Şiap ve Duru, 2004). Bloom ve arkadaşları (2002) da matematiksel modellemenin öğrencilerin matematiksel kavramları daha iyi anlamalarına, özgün problemleri çözmelerine, formüle etmelerine, eleştirel ve yaratıcı yönlerinin farkına varmalarına ve matematiğe yönelik olumlu tutum geliştirmelerine katkı sağladığını vurgulamaktadırlar. Toluk ve Oklun a (2003) göre; kesir öğretiminde kullanılabilecek birçok model vardır. Alan modelinde, kesir sayısı bir bölgenin belli bir parçası olarak somutlaştırılır. Küme modelinde, bir kümede bulunan nesnelerin bir bölümü temsil edilir. Sayı doğrusu modeli, kesir sayısını soyut bir gerçek sayı olarak

4 220 M. Doğan, B. Yeniterzi nitelendirir. Her kesir bir sayıdır ve sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Öğrenciler nesnelerin eşit paylaşımı ile ilgili hem yaşantılarıyla ilgili hem de sezgisel bilgilerini kullanarak alan ve küme modelleri yardımıyla kesir kavramını inşa edilebildikleri vurgulanmaktadır. Öğrencilerin her durumda bir kesri anlayabilmeleri yani onun değişik anlamlarını kavrayabilmeleri için değişik problem durumlarında deneyim kazanmaları gerekir. Sağlam bir kesir kavramının temellerinin kesrin değişik anlamlarının öğrencide somutlaşması ile gerçekleştiği vurgulanmıştır (Arslan Kılcan, 2006). İlköğretimin birinci kademesindeki öğrencilerin kesirlerde sıralama, toplama, çıkarma, çarpma ve kesirlerle ilgili problem konularının anlamına ilişkin, bu konular ile ilgili çalışma yapmamış olsalar bile, informal anlamda bu kavramlarla karşılaştıklarından dolayı, bazı yerleşik fikirlerinin bulunduğu ifade edilmiştir. Öğretmenlerin bu fikirleri keşfetmesi ve öğretim sırasında dikkate almaları durumunda daha duyarlı ve etkili olabilecekleri vurgulanmıştır. Yani öğretmenler, öğrencilerin kesirlerdeki öğrenme güçlüklerini ve kavram yanılgılarını belirleyip buna göre bir öğretim stratejisi belirlerse kesirlerde kavramsal düzeyde öğrenmenin gerçekleşmesinin mümkün olduğu ifade edilmiştir (Soylu ve Soylu, 2005). İlköğretim Matematik Programı (MEB, 2005) öğrencilerin tahmin becerilerinin geliştirilmesine de önem vermekte, öğrencilere işlem sonuçlarının yaklaşık olarak tahmin ettirilmesi gerektiğini, bunun hem işlemlerin kontrolünü hem de kolay hesap yapma yeteneğini geliştirdiğini vurgulamaktadır. NCTM (2000), problem çözmeyi okul matematiğinin temel taşı olarak ifade etmiştir. Problem çözme İlköğretim Matematik Programı (MEB, 2005) nda problemin çözüm yolu önceden bilinen alıştırma ve soru olarak algılanmamasının, öğrencinin mevcut bilgileri ile akıl yürütme becerilerini kullanmasını sağlamasının, öğrencinin problemi nasıl çözdüğünün, problemdeki hangi bilgilerin bu çözüme katkıda bulunduğunun, problemde kullandığı stratejilerin çözümü nasıl kolaylaştırdığının önemli olduğu şeklinde ifade edilmiştir. Amaç İlköğretim 7. sınıf rasyonel sayılar konusu için kesirler ön kazanım özelliği taşımaktadır. Bu çalışma, ilköğretim 7. sınıf öğrencilerinin ön kazanım olarak kesirlere ait öğrenmelerinin düzeyini tespit etmeyi amaçlamaktadır. Problem Cümlesi İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin rasyonel sayılar konusu için ön kazanım özelliği taşıyan kesirler konusuyla ilgili hazır bulunuşlukları hangi düzeydedir?

5 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 221 YÖNTEM Kesirler ilköğretim 7. sınıf rasyonel sayılar konusu için ön kazanım özelliği taşıyan en önemli konulardan biridir. Kesirler için ön öğrenmelerin elde edilebilme düzeyini tespit etmeyi amaçlayan bu çalışma tarama modelinde nicel bir araştırmadır. Bu amaçla kazanımları içeren bir başarı testi hazırlanmış çalışma grubuna uygulanarak sonuçlar nicel olarak analiz edilmiştir. Çalışma Grubu Araştırmanın örneklemini, Konya ilindeki farklı 3 ilköğretim okulundan toplam 185 adet 7. sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Araştırma için her ne kadar evren örneklem ilişkisine girilmemişse de araştırmanın amacına uygun olarak iki adet şehir merkezi ve bir adet kasaba ilköğretim okulu seçilmiştir. Veri Toplama ve Analiz Öğrencilerin rasyonel sayılar alt öğrenme alanı için hazır bulunuşluk düzeylerini ve programın kazanımlarına ne kadar sahip olduklarını tespit etmek için bir başarı testi hazırlanmıştır. Bu testte 6. sınıf programında yer alan Kesirler konusuna ait; Kesirleri karşılaştırır, sıralar, sayı doğrusunda gösterir, Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini yapar, Kesirlerle çarpma işlemini yapar, Kesirlerle bölme işlemini yapar, Kesirlerle yapılan işlemlerin sonucunu strateji kullanarak tahmin eder, Kesirlerle işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer ve kurar, kazanımlarını ölçmeye yönelik sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı yürürlükteki İlköğretim Programına uygun olarak hazırlanmıştır. Hazırlanan sorular uygulama yapılan ilköğretim okullarındaki öğretmenlerle görüşülerek değerlendirilmiş, böylece geçerliği sağlanmıştır. Ayrıca dil, anlatım ve olası hatalar için alan uzanmalarının görüş ve incelemelerine başvurulmuştur. Yapılan düzenlemeler sonucunda, ön kazanımları kapsayacak şekilde 16 adet klasik tarzda açık uçlu soru oluşturulmuştur. Sorular analitik olarak değerlendirilmiştir. Analitik değerlendirme için sorularda yer alan her bir adım tek tek puanlanmış ve doğru yapılan her bir işlem için puanlama anahtarındaki puanı verilmiştir. Böylece her bir soru, analitik olarak birden çok basamaktan oluşacak şekilde puanlanmıştır. Her bir soru için elde edilen toplam puan o sorudan alınabilecek en yüksek puanı ifade etmektedir. Sonuçlar her bir soru için ilgili puanına göre tek tek (frekans ve yüzde kullanılarak) ve sorunun geneli için aritmetik ortalaması kullanılarak yorumlanmıştır.

6 222 M. Doğan, B. Yeniterzi BULGULAR VE YORUMLAR Bu bölümde testte yer alan sorular tek tek incelenerek sonuçlar verilmiştir. Ayrıca, testin her bir maddesinden elde edilen bulgular Tablo 1 de de topluca verilmiştir. Tablo 1: Her bir soru için elde edilen analitik puan sonuçları ve başarı ortalamaları Sorular Puanlar Frekans Yüzde Yığılmalı Standart Ortalama (f) (%) Yüzde Sapma ,2 16, ,7 18, ,4 30,3 Soru ,8 41, ,9 53,0 4,29 2, ,8 63, ,3 74, ,9 100, ,6 48, ,6 63,2 Soru ,5 69, ,3 74,1 1,83 2, ,5 80, ,5 100, ,3 57,3 Soru ,9 62,2 1,61 1, ,8 100, ,4 51, ,7 61,1 Soru ,9 65, ,2 75,1 3,26 3, ,1 83, ,8 100, ,1 41, ,5 41,6 Soru ,6 43,2 2,16 1, ,7 78, ,1 100, ,4 52,4 Soru ,4 84, ,2 87,0 1,36 1, , ,6 88,6 Soru ,2 91, ,5 92,4 0,46 1, ,6 100, ,4 71,4 Soru ,9 96,2 0,65 1, ,8 100, ,9 71,9 Soru ,1 80, ,2 82,2 0,66 1, ,8 100,0

7 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 223 Sorular Soru 10 Soru 11 Soru 12 Soru 13 Soru 14 Soru 15 Soru 16 Puanlar Frekans Yüzde Yığılmalı (f) (%) Yüzde ,3 84, ,1 85, ,1 86, ,6 88, ,9 100, ,5 93, ,5 94, ,9 100, ,3 44, ,4 49, ,3 100, ,3 64, ,4 75, ,8 79, ,5 100, ,2 63, ,6 64, ,1 100, ,8 83, ,5 84, ,7 100, ,0 60, ,3 64, ,8 75, ,5 75, ,3 100,0 Ortalama Standart Sapma 1,12 2,691 0,51 1,940 2,12 1,947 1,61 2,427 2,14 2,859 0,95 2,188 2,50 3,390 Soru 1: Aşağıdaki kesir sayılarını <, >, = sembollerinden uygun olanlarını kullanarak sıralayınız. a) b) c) 7, 8 5 6, 2 3 d) 6, 5 1 5, 2 5 Testin birinci sorusu 6. sınıf matematik programının Kesirler konusunun Kesirleri karşılaştırır, sıralar kazanımını ölçmeye yöneliktir. Bu soruda öğrencilerden verilen şıklardaki kesir sayılarını <, >, = sembollerinden uygun olanlarını kullanarak sıralamaları istenmektedir. Zorluk derecesine göre yapılan puanlamada bu soruyu tam olarak doğru cevaplayan öğrencilere 8 puan verilmiştir. Verilen cevaplara göre, öğrencilerden %16,2 si bu soruya hiç cevap verememişlerdir. Öğrencilerin %2,7 si 1 puan, %11,4 ü 2 puan, %10,8 i 3 puan, %11,9 u 4 puan, %10,8 i 5 puan, %10,3 ü 6 puan almışlardır. Soruyu tam doğru cevaplayanlar %25,9 dur. Sorunun ortalaması 4,29, standart sapması 2,834 tür. Soruda d şıkkını doğru cevaplayan öğrenciler, paydaları eşit kesir sayılarını doğru şekilde sıralayabilmiş ve 1 puan almışlardır. Sorunun a şıkkında denk iki kesir sayısı verilmiş ve = sembolünün kullanılması istenmiştir, doğru cevaplayan öğrenciler 2 puan almışlardır. Sorunun b şıkkı için payı ve paydası farklı iki kesir sayısı verilmiş, hangisinin büyük veya küçük olduğu istenmiş ve doğru cevaplayan öğrenciler 2 puan

8 224 M. Doğan, B. Yeniterzi almışlardır. Son olarak c şıkkında payı ve paydası arasındaki farkları eşit olan üç tane kesir sayısının sıralanması istenmiş ve doğru cevaplayan öğrenciler 3 puan almışlardır. Genel olarak öğrenciler a ve d şıklarını cevaplayabilmişlerdir ancak b ve c şıkkını doğru cevaplayabilen öğrenci sayısı daha azdır. Bu durum, öğrencilerin paydaları eşit kesir sayılarını sıralamakta ve denk kesir sayılarını eşitlemekte zorlanmadıklarını, fakat paydaları farklı kesir sayıları ve payı ve paydası arasındaki farkları eşit olan kesir sayılarını sıralarken, yorum yapma ya da payda eşitleme işlemlerini yapmada zorlandıklarını göstermektedir. Soru 2: 3 5, 1 1 6, 3, 11 4 kesir sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz. Testin ikinci sorusu ilk sorudaki kazanımları da içine almakla birlikte Kesirleri karşılaştırır, sıralar ve sayı doğrusunda gösterir kazanımının tamamını ölçmeye yöneliktir. Soruda öğrencilerden verilen kesir sayılarını bir sayı doğrusu çizerek, üzerine yerleştirmeleri istenmektedir. 3 5, 3 kesir sayılarını doğru yerleştirenlere birer puan, 1 1 6, verilmiştir kesir sayılarını doğru yerleştirebilenlere ikişer puan Bu sorunun tamamını yanlış cevaplayan öğrencilerin oranı % 48,6 dır. Bu sonuç öğrencilerin sayı doğrusu kullanma becerilerinin oldukça düşük olduğunu göstermektedir. Soruda 1 puan alanlar % 14,6, 2 puan alanlar % 6,5, 3 puan alanlar % 4,3, 4 puan alanlar % 6,5 dir. Soruyu tam olarak doğru cevaplayanlar % 19,5 dir. Sorunun ortalaması 1,83 ve standart sapması 2,347 dir. Öğrencilerin çoğu soruya hiç doğru cevap veremezken, cevap verenlerin çoğunluğu 3 5 ve 3 kesir sayılarını yerleştirmekte zorlanmamış, fakat ve 11 4 kesir sayılarını doğru yerleştirememişlerdir. Bu durum, öğrencilerin tamsayılı kesir bileşik kesir dönüşümlerini yapmayı düşünmede zorlandıkları için ortaya çıkmaktadır. Soru 3: Ali bir kitabın önce 2 kaçını bitirmiş oldu? 11 ini sonra 1 3 ünü okudu. Acaba kitabın kaçta Üçüncü soru kesirlerde toplama işlemini yapma becerisini ölçmeye dayalı bir rutin problemdir. Öğrencilerden okunan kitabın ilk kısmıyla, ikinci kısmındaki kesir sayılarını payda eşitleyerek toplamaları istenmektedir. İşlemi yazmaya,

9 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 225 payda eşitlemeye, ortak paydada yazmaya ve sonucu yazmaya birer puan, tüm bunları doğru yazanlara toplamda 4 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 57,3 ü bu soruda 0 puan almışlardır. İlköğretim birinci kademeden beri defalarca tekrar edilen, payda eşitleyerek toplama işlemi gerektiren bu soru tipini, bu kadar öğrencinin yapamamış olması oldukça dikkat çekicidir. Soruyu öğrencilerin % 4,9 u 2 puan alarak cevaplayabilmiştir. Öğrencilerin ancak % 35,1 i bu problemi tam olarak çözebilmiştir. Öğrencilerden bir tanesi bu soruyu anlayarak, payda eşitleyerek iki kesri toplamış ve aşağıdaki gibi doğru cevaba ulaşmıştır (Şekil 1). Şekil 1: Soru 3 için örnek bir öğrenci çözümü Soru 4: 5 1 =? İşlemini şekille (modelle) göstererek sonucunu bulunuz. 6 4 Testin bu sorusu Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini yapar kazanımının çıkarma işlemi yapabilme becerisini ölçmeyi amaçlamaktadır. Öğrencilerden bu çıkarma işlemini özel olarak şekil çizip, payda eşitlemeyi şekil üzerinde gösterip, çıkarma işleminin sonucunu bulmaları istenmektedir. Verilen kesir sayılarının paydalarını eşitlemeye 2 puan, paydası eşitlenen kesir sayılarını şekille göstermeye 2 puan, şekil üzerinde çıkarma işlemi yapmaya 2 puan, işlemsel olarak yazıp doğru sonucu bulanlara 4 puan verilmiştir. Soruya hiç cevap veremeyen öğrencilerin oranı % 51,4 tür. 2 puan alanlar % 9,7, 4 puan alanlar % 4,9, 6 puan alanlar % 9,2, 8 puan alanlar % 8,1 dir. Soruya tam cevap veren öğrenciler ise sadece %16,8 ini oluşturmaktadır. Sorunun ortalaması 3,26 ve standart sapması 3,981 dir. Öğrenciler bir kısmı payda eşitleyip doğru sonuca ulaşmış olsalar bile, işlemi modelle göstermekte oldukça zorlanmışlardır. Şekil 2: Soru 4 için örnek bir öğrenci çözümü

10 226 M. Doğan, B. Yeniterzi Bu soruya en doğru cevaplardan birini veren öğrenciye ait çözüm Şekil 2 deki gibidir. Öğrenci önce paydaların en küçük ortak katını bulmuş ve bu sayıda paydaları eşitleyerek çıkarma işlemini gerçekleştirmiştir. Daha sonra yaptığı işleme uyan alan modeliyle çözümü doğru olarak gösterebilmiştir. Soru 5: Modeli verilen çıkarma işleminin matematik cümlesini yazınız. Testin beşinci sorusu modeli verilmiş bir çıkarma işlemini, işlemsel olarak yazmayı ve payda eşitleyerek işlemin doğru sonucuna ulaşmayı hedeflemektedir. Her basamak ayrı ayrı puanlanmış ve toplam doğru cevaba 5 puan verilmiştir. Öğrencilerden birinci modelden 8 5 ve ikinci modelden 4 1 yazanlara 1 er puan verilmiştir. Çıkarma işlemini yazarak payda eşitleyenlere 1 puan ve işlemi yapıp sonucu bulanlara 2 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 41,1 i soruya hiç cevap verememiştir. % 0,5 i 1 puan, % 1,6 sı 2 puan ve % 35,7 si 3 puan almıştır. Öğrencilerin sadece % 21,1 i soruyu tam olarak doğru cevaplayabilmişlerdir. Sorunun ortalaması 2,16 ve standart sapması 1,974 dir. Bu sorudan ve 4. sorudan da anlaşılacağı üzere; öğrencilerin öğrenme düzeyleri model anlamındaki işlem algılamaları için yeterli düzeyde değildir. Soru 6: 1 1 =? İşlemini şekille göstererek sonucunu bulunuz. 2 3 Altıncı soru Kesirlerle çarpma işlemini yapar kazanımını ölçmeye yöneliktir. Bu soruda öğrencilerden hem kesirlerle çapma işlemini yapmaları, hem de yapılan işlemi şekille(modelle) göstermeleri istenmektedir. Modelle gösterime 3 puan, sonucu yazmaya 2 puan verilmiştir. Bu soruyu öğrencilerin % 52,4 ü hiç cevaplayamamıştır. Sorudan öğrencilerin % 32,4 ü 2 puan, % 2,2 si 3 puan ve % 13 ü 5 (tam) puan almışlardır. Yüzdelere bakıldığında da görüleceği üzere kesirlerde çarpma işlemini modellemede öğrencilerin yeterli olmadığı görülmüştür. İşlemin sonucunu yazmada ise öğrenciler daha az sorun yaşamışlardır. Yinede, soruyu tam olarak cevaplayan öğrenci sayısına bakıldığında yeterli olmadığı görülmektedir. 6. sorunun ortalaması 1,36 ve standart sapması ise 1,702 olarak hesaplanmıştır.

11 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 227 Şekil 3. Soru 6 için örnek bir öğrenci çözümü Yukarıda verilen öğrenci cevabında; öğrenci doğru cevabı alan modeliyle göstermeye çalışmış, fakat aynı bütün üzerinde göstermemiştir (Şekil 3) (Öğrenci cevabın 1 6 olduğunu bilmektedir). Soru 7: İşaretli kısmı gösteren çarpma işlemine ait modelin matematik cümlesini yazınız. Bu soru 6. soruda olduğu gibi Kesirlerle çarpma işlemini yapar kazanımını ölçmeye yöneliktir. Soruda; 6. sorudan farklı olarak, öğrencilerin, modeli verilen çarpma işlemine ait matematik cümlesini yazıp işlemi yaparak, sonuca ulaşmaları istenmiştir. Soru için 1 1 işlemini yazanlara 3 puan, sonucunu yazanlara 2 puan olmak üzere toplam 5 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 88,6 sı bu soruya hiç cevap verememişlerdir. Bunun sebebi olarak, öğrencilerin kesirlerde çarpma işlemini paylarla paylar, paydalarla paydalar çarpılır şeklinde algıladıkları, bu yüzden modele bakıp verilenleri işleme dökemedikleri düşünülmüştür. Öğrencilerin sadece % 3,2 si sorudan 2 puan, % 0,5 i 3 puan ve %7,6 si ise 5 tam puan almışlardır. Sorunun ortalaması 0,46, standart sapması 1,367 olarak bulunmuştur. Soru 8: 2 1 =? İşleminin sonucunu şekille gösteriniz. 3 2

12 228 M. Doğan, B. Yeniterzi Bu soru Kesirlerle bölme işlemini yapar. kazanımını ölçmeye yöneliktir. Öğrencilerden verilen işlemin sonucunu bulmaları ve bunu şekille göstermeleri istenmektedir. Modellemeye iki ayrı kısımdan toplam 4 puan, işlemi yapmaya 2 puan olmak üzere soruya toplam 6 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 71,4 ü soruyu hiç çözememiş, % 24,9 u 2 puan, % 3,8 i ise 4 puan almışlardır. Soruyu istenen şekilde cevaplayan öğrenci hiç yoktur. Sorunun ortalaması 0,65, standart sapması 1,089 olarak bulunmuştur. Bu sorudaki özellikle istenen işlemi şekille gösterme adımını öğrenciler, genellikle; bölme işlemini çarpma işlemine, çarpma işlemini de toplama işlemine benzeterek şekille gösterme yolunu tercih etmişlerdir. Buradan da anlaşılacağı gibi öğrenciler çarpma işleminin modellemesinde olduğu gibi bölme işlemindeki modellemede de sıkıntı yaşamaktadırlar. Bu soruya ait cevaplar genelde Şekil 4 ve Şekil 5 te olduğu gibidir Şekil 4 ve 5 te, bölme işlemini çarpma işlemine, çarpma işlemini de toplama işlemine benzeterek modelle gösterme yolunu tercih eden öğrencilerden iki tanesinin verdiği cevaplar görülmektedir. Şekil 4. Soru 8 için örnek bir öğrenci çözümü Şekil 5: Soru 8 için örnek bir başka öğrenci çözümü 1 Soru 9: 1 + =? İşleminin sonucunu bulunuz.

13 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 229 Testi 9. sorusu kesirlerle ilgili 3 adımlık işlem sürecini gerektirmektedir. Sorunun her 3 adımına eşit olmak üzere, toplam 3 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 71,9 u soruyu hiç çözememiş, % 8,1 i 1 puan, % 2,2 si ise 2 puan ve % 17,8 i ise 3 tam puan almışlardır. Sorunun ortalaması 0,66 ve standart sapması 1,160 olarak hesaplanmıştır. Sorunun oldukça basit işlem adımları gerektirmesi, soruya öğrencilerin daha iyi cevap verebileceği beklentisini oluşturmasına rağmen, öğrenciler istenen başarıyı gösterememişlerdir. Soru 10: =? işleminin sonucunu bulunuz Onuncu soru öğrencilerin tamsayılı kesri bileşik kesre çevirebilme, kesirlerle dört işlem yapabilme, işlem önceliğini bilme özelliklerini ölçmektedir. Her adım detaylı puanlandırılmış ve tam doğru cevaba 8 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 84,3 ü soruyu hiçbir şekilde yapamayarak 0 puan, % 1,1i 3 puan, % 1,1 i 4 puan, % 1,6 si 6 puan ve ancak % 11,9 u ise 8 tam puan almışlardır. Sorunun ortalaması 1,12 ve standart sapması 2,691 olarak hesaplanmıştır. Sorunun özellikle işlem önceliğine dikkat edilmesi gereken kısmını öğrencilerin çoğunluğu dikkate almamıştır. Tam puan alamayan öğrencilerin büyük kısmı burada problem yaşamışlardır. Öğrenciler; tamsayılı kesri bileşik kesre çevirme ve toplama, çıkarma işlemlerinde çok sıkıntı çekmezken, bölme ve çarpma işlemleri ile sadeleştirme gerektiren durumlarda zorlanmıştır. Bu durum, toplama ve çıkarmaya ait işlemlerde nispeten başarının daha iyi olduğunu, fakat çarpma ve bölmeye ait işlemlerde daha fazla zorlanıldığını göstermektedir. Şekil 6: Soru 10 için örnek bir öğrenci çözümü Şekil 6 da bir öğrencinin bu soruya verdiği cevap yer almaktadır. Öğrenci işlem önceliğini dikkate almadan, işlemleri yazılış sırasıyla yapmış ve yanlış sonuç bulmuştur. Bu durumla öğrenci cevaplarında çok sık karşılaşılmaktadır.

14 230 M. Doğan, B. Yeniterzi Soru 11: ediniz =? 7 5 İşleminin sonucunu yaklaşık olarak tahmin Bu soru Kesirlerle yapılan işlemlerin sonucunu strateji kullanarak tahmin eder. kazanımını ölçmeye yöneliktir. Sorunun doğru cevabına toplam 8 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 93,5 i sorudan 0 puan almıştır, yani hiçbir işlem yapamamışlardır. Bu durum bize öğrencilerin nasıl tahmin yapabileceklerini ve tahmin yaparken hangi tahmin stratejilerini kullanabileceklerini bilmediklerini göstermektedir. Soruya doğru cevap veren öğrencilerin oranı çok düşüktür (% 0,5 i 6 puan, % 5,9 u ise 8 puan almıştır). Sorunun ortalaması 0,51 ve standart sapması 1,940 olarak hesaplanmıştır. Şekil 7: Soru 11 için örnek bir öğrenci çözümü Şekil 7 de ki öğrenci cevabında; öğrencinin verilen işlemleri sırasıyla yaptığı, son basamakta tahmin stratejisi kullanıp toplama işleminin sonucuna göre cevabı yazdığı görülmektedir. Hâlbuki öğrencilerden verilen tamsayılı kesirden ilkini 2 ye, ikincisini de 4 e yakındır şeklinde yorumlamaları ve toplama işlemiyle 9 sonucuna ulaşmaları beklenmiştir arasındaki sorular Kesirlerle işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer ve kurar. kazanımını ölçmeye yöneliktir. Soru 12: 120 sayısının 4 5 i kaçtır? İki işlemden oluşan sorunun her basamağına 2 puan, toplamda 4 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 44,3 ü bu sorudan 0 puan almıştır. % 5,4 ü 2 puan ve % 50,3 ü soruyu tam olarak cevaplamış, 4 puan almıştır. Sorunun ortalaması 2,12 ve standart sapması 1,947 olarak bulunmuştur. Soru 13: 5 7 sinin 1 5 i 14 olan sayı kaçtır?

15 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları soru 3 adımda puanlanmış olup; sayının 5 7 sinin 1 5 ini bulmaya 4 puan, sonucu bulmaya 2 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 64,3 ü sorudan 0 puan almıştır. % 11,4 ü 2 puan, % 3,8 i 4 puan, % 20,5 i 6 puan almıştır. Sorunun ortalaması 1,61 ve standart sapması 2,427 olarak bulunmuştur. Şekil 8: Soru 13 için örnek bir öğrenci çözümü Yukarıdaki öğrenci cevabında; öğrencinin iki farklı işlem yaptığı görülmektedir (Şekil 8). Öğrenci, önce hangi kesir sayısını kullanacağını tam olarak bilmemektedir ve yaptığı işlemlerden emin değildir. Soru 14: Bir otobüsten durakta 18 kişi inmiştir. Bu durakta otobüsten içerideki yolcuların 3 7 yolcu vardı? sinin indiği biliniyorsa otobüste durakta durmadan önce toplam kaç Soruya toplamda 6 puan verilmiştir. Öğrencilerin % 63,2 si sorudan 0 puan almıştır. % 1,6 sı 2 puan ve ancak % 35,1 i 6 tam puan almıştır. Sorunun ortalaması 2,14 ve standart sapması 2,859 olarak bulunmuştur. Soru 15: Can ile babasının yaşları toplamı 48 dir. Can ın yaşı babasının yaşının 1 ü ise Can ın yaşı kaçtır? 3 Soruya toplam 6 puan verilmiştir. Öğrencilerin çoğunluğunun soruyu dikkatli okumadığı ve direkt gördüğü sayılarla işlem yaptığı görülmüştür. Öğrencilerin % 83,8 i sorudan 0 puan almıştır. % 0,5 i 2 puan, ve sadece %15,7 si 6 tam puan almıştır. Sorunun ortalaması 0,95 ve standart sapması 2,188 olarak bulunmuştur. Soru 16: Numan ın 18 YTL si vardır. Numan ın parasının 2 ü, İhsan ın 3 parasının 3 5 ine eşit olduğuna göre İhsan ın kaç YTL si vardır?

16 232 M. Doğan, B. Yeniterzi Soruya toplam 6 puan verilmiştir. Yine bu soruda da, öğrencilerin çoğunluğunun soruyu dikkatli okumadığı ve direkt gördüğü sayılarla işlem yaptığı görülmüştür. Öğrencilerin % 60 ı sorudan 0 puan almıştır. % 4,3 ü 2 puan, % 10,8 i 4 puan, % 0,5 i 6 puan, % 24,3 ü 8 tam puan almıştır. Sorunun ortalaması 2,50 ve standart sapması 3,390 olarak bulunmuştur sorular incelendiğinde öğrencilerin kesirlerle ilgili problem çözme aşamalarını uygulamakta zorlandığı görülmüştür. Öğrencilerin büyük bir kısmı problemi anlama safhasını bile yerine getirememiştir. Öğrencilerin bir kısmı çözümün bir adımını gerçekleştirseler bile, sonuca ulaşmakta problem yaşamışlardır. Ancak öğrencilerin daha az bir kısmı ancak problem basamaklarını tam olarak yerine getirebilmiş ve doğru cevaplara ulaşmıştır. Bu durum, kesir problemlerine ait kazanımın istenilen düzeyde öğrenilemediğini ortaya koymaktadır. SONUÇLAR ve TARTIŞMA Altıncı sınıf matematik programındaki Kesirleri karşılaştırır, sıralar ve sayı doğrusunda gösterir. kazanımı testin 1 ve 2. sorularında ölçülmek istenmiştir. Öğrenciler, 1. soruda paydaları eşit kesir sayılarını sıralamakta ve denk kesir sayılarını eşitlemekte zorlanmamışlardır. Ancak paydaları farklı kesir sayıları ve payı ve paydası arasındaki farkları eşit olan kesir sayılarını sıralarken, yorum yapma ya da payda eşitleme işlemlerini yapmada birçok öğrencinin zorlandığı görülmüştür. Testin 2. sorusunda ortaya çıkan sonuç ise; öğrencilerin sayı doğrusunu kullanma becerilerinin oldukça düşük olduğunu göstermektedir. Testin 3. sorusu; kesirlerde toplama işlemini yapma becerisini ölçmeye dayalı bir problemdir. Öğrencilerden okunan kitabın ilk kısmıyla ikinci kısmındaki kesir sayılarını payda eşitleyerek toplamaları istenmektedir. Öğrencilerin çoğunluğu yine bu soruda da istenilen başarıya ulaşamamıştır. İlköğretim birinci kademeden beri defalarca tekrar edilen, payda eşitleyerek toplama işlemi yapmayı gerektiren bu soru tipini, bu kadar öğrencinin yapamamış olması, daha sonra 7. sınıfta öğrenilecek rasyonel sayılarda yer alan toplama işlemine ait kazanımın ön öğrenmesinin oldukça düşük düzeyde olduğunu göstermektedir. Yine testin dört ve beşinci soruları kesirlerde çıkarma işlemini yapma becerisini ölçmeye dayalı sorulardır. Öğrenciler payda eşitleyip doğru sonuca ulaşmış olsalar bile, işlemi modelle göstermekte oldukça zorlanmışlardır. Yani öğrencilerin model anlamındaki işlem algılamaları, olması gereken düzeyde değildir. Toplama ve çıkarma işlemi için görülen bu durumlar, ön öğrenmelerin çok önemli olduğu matematikte, sonra öğrenilenlerin ön öğrenmeler olmadan gerçekleşmesinin oldukça güç olduğunun bir göstergesi olarak tekrar ortaya çıkmıştır. Testin 6 ve 7. sorularında kesirlerde çarpma işlemini modellemede öğrencilerin yeterli olmadığı görülmüştür. İşlemin sonucunu yazmada ise öğrenciler daha az sorun yaşamışlardır. Hem işlem, hem de modellemeyi doğru şekilde yapan öğrenci sayısı da çok değildir. Ancak öğrencilerin rasyonel sayılardakine benzer

17 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 233 olarak kesirlerde çarpma işlemini de paylarla paylar, paydalarla paydalar çarpılır şeklinde algıladıkları, bu yüzden modele bakıp verileni işleme dökemedikleri görülmüştür. Testin 8 ve 9. soruları kesirlerde bölme işlemiyle ilgilidir. Öğrencilerin büyük bir kısmı bu soruyu hiçbir şekilde çözememiştir. Programda özellikle kesirlerde bölme işlemiyle ilgili bol etkinlik ve sorulara yer verilmesine rağmen, böyle bir sonucun ortaya çıkmış olması, önemli görülmüştür. Öğrenciler genellikle çarpma işlemindeki ezberciliğe bölme işleminde de birinci kesri aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp şeklinde devam etmişlerdir. Bölme işleminin modellenmesinde ise; büyük çoğunluk işlemi çarpma işlemine dönüştürmüş, çarpma işlemin de toplama işleminin kısaltılması mantığını kullanarak, toplama işlemi modellemesi gibi cevaplamıştır. Bu durum, öğrencilerin bölme işlemini modellemeden kaçmasına neden olmuş, bölmeyi çarpma daha sonrada çarpmayı toplama işlemi ile eşleştirme ve modelleme yoluna götürmüştür. Testin 10. sorusu öğrencilerin tamsayılı kesri bileşik kesre çevirebilme, kesirlerle dört işlem yapabilme, işlem önceliğini bilme özelliklerini ölçmektedir. Sorunun özellikle işlem önceliğine dikkat edilmesi gereken kısmını öğrencilerin çoğunluğu dikkate almamıştır. Öğrenciler; tamsayılı kesri bileşik kesre çevirme ve toplama, çıkarma işlemlerinde çok sıkıntı çekmezken, bölme ve çarpma işlemleri ile sadeleştirme gerektiren durumlarda zorlanmıştır. Burada öğrencilere özellikle 4 ve 5. sınıfta verilmesi gereken temel kazanımların tam anlamıyla yerleştirilemediği gerçeği açık olarak görülmektedir. Testin 11. sorusunda öğrencilerin tahmin becerileri ölçülmek istenmiştir. Öğrencilerin neredeyse tamamı (%93,5) soruya hiç cevap verememiştir. Bu durum bize öğrencilerin nasıl tahmin yapacaklarını ve tahmin yaparken hangi tahmin stratejilerini kullanabileceklerini bilmediklerini göstermektedir. Testin arasındaki soruları 6. sınıf programındaki Kesirlerle işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözer ve kurar. kazanımını ölçmeye yöneliktir. Öğrencilerin yarısı problem çözmeyi gerektiren soru tiplerinde hiçbir işlem yapamamışlardır. Bu durum özellikle 15 ve 16. sorularda daha fazla gözlenmiştir. Öğrencilerin problem çözme aşamalarını uygulamakta zorlandığı görülmüştür. Problemlerde verilenleri ve istenenleri öğrencilerin büyük kısmı planlı bir şekilde bile yazamamışlardır. Bu aşamayı yapamayan öğrenci doğal olarak bir çözüm planı çizip, bu planı uygulamayı da gerçekleştirememiştir. Öğrencilerden bazıları da plan çizmeyi başarmış, çözümün bir adımını gerçekleştirmiş fakat sonuca ulaşmakta problem yaşamışlardır. ÖNERİLER Kesirler konusu matematikte birçok konunun temelini oluşturduğu için önemlidir. Bundan dolayı öğrenciler her şeyden önce kesir ifadesinin anlamını kavramalıdır. Öğrencilerden ne olduğunu tam olarak bilmedikleri bir ifadeyle ilgili işlem yapma ve problem çözme becerilerini iyi derecede göstermelerini

18 234 M. Doğan, B. Yeniterzi beklemek mümkün değildir. Yeni müfredatta yer alan etkinlikler yardımıyla öğretmenler öncelikle kesir kavramını öğrencilere kazandırmaya çalışmalıdırlar. Öğrenciler kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerini çarpma ve bölme işlemlerine kıyasla daha kolay algılayabilmektedirler. Çarpma ve bölme işlemlerinde sorun yaşamalarının temeli; doğal sayılardaki çarpma ve bölme işlemi algılamalarını kesirlere de taşımış olmalarına dayanmaktadır. Bir sayıyı bir sayıyla çarparsak büyür, bir sayıya bölersek küçülür şeklindeki genelleme öğrencileri yanılgıya düşürebilir. Öğretmenler bu genellemeye fırsat vermeden gerekli açıklamaları yapmalıdır. Kesirlerle çarpma ve bölme işlemlerindeki kuralların mantığı öğrenciye anlatılmalıdır. Böylece öğrenci kuralları ezberlemeden neyi, neden yaptığını bilir ve anlamlı öğrenmiş olur. Ayrıca öğrencilerin tahmin yapmayla ilgili sıkıntılarını gidermek için sınıf içi etkinliklerin sayısı artırılarak günlük hayatla ilişkili tahmin yapma uygulamalarına yer verilmelidir. Öğrenciler kesirlerle ilgili problem çözme ve kurmada da zorluk yaşamaktadırlar. Öğrencilerin çoğu problem çözme aşamalarını dikkate almadan, özellikle problemi anlamadan sayılarla işlem yaparak sonuç yazmaya çalışmaktadır. Öğretmenler öncelikle öğrencilerin problemi algılamasına dikkat etmelidir. Öğretmenler daha sonra çözümle ilgili plan yapılıp uygulanması için öğrencilere yönlendirici sorular sormalıdır. Ayrıca öğretmenler kesirlerle ilgili dört işlem ve problem çözme kısmında bol örnek ve soru çözümüne zaman ayırmalı ve öğrencilerin farklı soru tipleriyle karşı karşıya getirmelidir. KAYNAKLAR Aksu, M. (1997). Student Performance in Dealing with Fractions. The Journal of Educational Research, 90(6), Arcavi, A. (2003). A Role of Visual Representations in the Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 52(3), Arslan Kılcan, S. (2006). İlköğretim Matematik Öğretmenlerinin Kesirlerle Bölmeye İlişkin Kavramsal Bilgi Düzeyleri. Yüksek Lisans Tezi. Bolu: Abant İzzet Baysal Üniversitesi. Mack, N.K. (1990). Learning Fraction with Understanding, Building on Informal Knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 21, M.E.B. (2005). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (1-5). Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü. Olkun, S. (2004). When Does the Volume Formula Make Sense to Students. Hacettepe Univesity Journal of Faculty of Education, 25,

19 İlköğretim 7. Sınıf Öğrencilerinin Rasyonel Sayılar Konusundaki Hazır Bulunuşlukları 235 Orhun, N. (2007). Kesir İşlemlerinde Formal Aritmetik Ve Görselleştirme Arasındaki Bilişsel Boşluk. İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, Güz 2007, 8(14), Soylu, Y. ve Soylu C. (2005). İlköğretim Beşinci Sınıf Öğrencilerinin Kesirler Konusundaki Öğrenme Güçlükleri: Kesirlerde Sıralama, Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Kesirlerle İlgili Problemler. Erzincan Eğitim Fakültesi Dergisi, 2005, 7(2), 104. Şiap, İ., Duru, A. (2004). Kesirlerde Geometriksel Modelleri Kullanabilme Becerisi. Kastamonu Eğitim Dergisi, 2004, 12(1), Toluk, Z., Olkun, S., (2004). İlköğretimde Etkinlik Temelli Matematik Öğretimi. Ankara : Anı Yayıncılık.

20 236 M. Doğan, B. Yeniterzi EK 1:Araştırmada Kullanılan Test MATEMATİK TESTİ Sevgili öğrenciler, aşağıda sizin çözmeniz için çeşitli matematik soruları yer almaktadır. Lütfen uygun yerlere cevaplarınızı yazınız. Süreniz 40 dakikadır. Başarılar dilerim. Öğrencinin; ADI ve SOYADI:...OKULU: 1) Aşağıdaki kesir sayılarını <, >, = sembollerinden uygun olanlarını kullanarak sıralayınız.. a) b) c) 7, 8 5 6, 2 3 d) 6, 5 1 5, 2 5 2) 3 5, 1 1 6, 3, 11 4 kesir sayılarını sayı doğrusu üzerinde gösteriniz. 3)Ali bir kitabın önce 2 bitirmiş oldu? 11 ini sonra 1 3 ünü okudu. Acaba kitabın kaçta kaçını 4) 5 1 =? işlemini şekille (modelle) göstererek sonucunu bulunuz ) Modeli verilen çıkarma işleminin matematik cümlesini yazınız. 6) 1 1 =? işlemini şekille göstererek sonucunu bulunuz ) İşaretli kısmı gösteren çarpma işlemine ait modelin matematik cümlesini yazınız.