TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT"

Transkript

1 TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım sembolüü açılar, ullaışları ile ilgili özellileri açılar ve temel toplam formüllerii modelleyere işa eder.

2 TÜME VARIM ÖNERME Doğru ya da yalış, esi bir hüüm bildire ifadelere öerme deir. Öreği; Türiye i başeti Aara dır. ifadesi doğru bir öermedir. = 6 ifadesi yalış bir öermedir. ÖRNEK A = {,, } ve B = {x: x, x Z} ümeleri içi, A = {,, }, B = {,, } olduğuda A = B dir. Ayrıca s(a) = s(b) olduğuda A B dir. AÇIK ÖNERME İçide e az bir değişe bulua öermelere açı öerme deir. Açı öermeler, bu değişelere verile değerlere göre doğru ya da yalış bir yargı bildirir. Açı öermeyi doğru yapa değişeleri ümesie öermei doğrulu ümesi deir. SONLU ve SONSUZ KÜME Elema sayısı tespit edilebile ümeye solu üme deir. Elema sayısı tespit edilemeye ümeye sosuz elemalı üme deir. N + içi A = {,,,..., } ümesie de olabile veya elemaı olmaya her üme solu ümedir. Solu olmaya üme ise sosuz ümedir. ÖRNEK bir doğal sayı olma üzere, P() : 5. > açı öermesii doğrulu ümesi edir? A = { x: x < 6, x N } ümesi solu ümedir. B = { x: < x < 6, x Z } ümesi solu ümedir. C = { x: < x < 6, x R } ümesi sosuz ümedir. N + = {,,,... } ümesi sosuz ümedir. N 5 = { 5, 6, 7, 8,... } ümesi sosuz ümedir. SAYILABİLİR KÜME N + = {,,,...,,...} ümesii bir alt ümesie de ola ümelere sayılabilir üme deir. A = {,, 5,..., 007} sayılabilir solu üme, B = {,, 5,...,,...} sayılabilir sosuz ümedir. EŞİT KÜME, DENK KÜME Ayı elemalarda oluşa ii ümeye eşit ümeler deir ve A = B biçimide gösterilir. Elema sayıları eşit ola ümelere de ümeler deir ve A B biçimide gösterilir. TÜME VARIM YÖNTEMİ P() bir açı öerme ve a N öermeyi doğrulaya e üçü sayı olsu. a ve N olma üzere, i. P(a) ı doğruluğu gösterilir, ii. P() ı doğruluğu abul edilip, P( + ) i doğruluğu gösterilirse, P() açı öermesii doğruluğu ispatlamış olur. 66

3 Tüme Varım ETKİNLİK Tüme varım yötemii daha iyi avrayabilme içi sosuz domio doğrusu öreğii ele alalım. Domio taşlarıı, biri düşüce bir sorai de düşece şeilde ayarlayara, birici domio taşıı düşürmele ardı ardıa hepsii de basitçe düşürebiliriz. P() öermesii doğruluğuu ispatlama, domio taşlarıda biricisii düşürme gibidir. P() öermesii doğruluğuu abul edip P( + ) öermesii doğruluğuu gösterme, domio taşlarıda biri düşüce bir sorai de düşece şeilde ayarlamasıa bezer. ÖRNEK Her N + içi ( + ) P() : = olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. Tüme varımda, P() doğru ise P() doğru olmalıdır, P() doğru ise P() doğru olmalıdır, P() doğru ise P(4) doğru olmalıdır,... şelide işlem devam eder. Böylece P() öermesii içi doğru olduğu ispatlamış olur. ÖRNEK 4 Her N + içi P() : =.( + ) olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 67

4 Tüme Varım ÖRNEK 5 Her N + içi P() : ( ) = olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ETKİNLİK Aşağıdai şeillerde are sayıları hesaplamıştır. İceleyiiz. ÖRNEK Her N + içi P() : ( + ).( + ) = 6 olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız

5 Tüme Varım ÖRNEK 7 Her N + içi P() : = ( + ) ; E olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 8 Her N + içi P() : =.. 4..( + ) + olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 69

6 Tüme Varım ÖRNEK 9 Her N +, r içi P() : + r + r + r r = r r olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 4 ve N içi P() :! > olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 0 Her N + içi P() :! +.! +.! ! = ( + )! olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 70

7 ÖRNEK Her N + içi P() :! olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ii. Tüme Varım = içi ifadesi ile tam bölüsü. Bu durumda, r Z olma üzere, =.r = + r dir. = + içi ( + ) ( + ) sayısıı ile tam bölüdüğüü gösterelim. ( + ) ( + ) = + + = +, ( = + r ) = + r + = ( + r), ( + r Z) buluur. O halde, ( + ) ( + ) ifadesi de ile tam bölüür. Bu durumda, P() öermesi doğrudur. ÖRNEK 4 Her N + içi P() : 7 sayısı 5 ile tam bölüür. öermesii doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK Her N + içi P() : sayısı ile tam bölüür. öermesii doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 7

8 Tüme Varım ÖRNEK 5 i = olma üzere, her N + içi P() : (cosθ + i.siθ) = cosθ + i.siθ olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. ÖRNEK 7 Beroulli Eşitsizliği deile, N + ve h > içi ( + h) +.h olduğuu ispatlayıız. ÖRNEK 6 ve N içi P() : > + olduğuu tüme varım yötemi ile ispatlayıız. 7

9 ALIŞTIRMALAR. N + içi aşağıdai öermeleri doğruluğuu tüme varım yötemi ile ispat ediiz. ( + ).( + ) a (+) = 5. olma üzere, earlı bir oves çogei öşegelerii sayısıı olduğuu ( ) ispatlayıız. b =. 5. ( )( + ) + c =!! 4!!! d ( ) = ( 4 ) 6. N + ve a, b R içi (a+b) = c m a + c m a. b + c m a. b + + c m 0 b teoremii (Biom teoremi) doğruluğuu tüme varım yötemiyle ispatlayıız. e = 5 4. Aşağıdai öermeleri N + içi doğruluğuu gösteriiz. a. 4 > 7. 5 ve N içi > olduğuu ispatlayıız. b c < 4 8 ( )! 4 8. > ve N içi > (!) + ispatlayıız. olduğuu d.!.4!.6!... ()! [( + )!] +. N + içi, 6 sayısı 5 ile tam bölüebilir. öermesii doğruluğuu ispatlayıız. 9. N içi ifadesii ile bölüebildiğii ispatlayıız. 4. olma üzere, earlı bir oves çogei iç açılarıı ölçülerii toplamıı ( ).80 olduğuu ispatlayıız. 0. N içi ifadesii 9 ile bölüebildiğii ispatlayıız. 7

10 Toplam ve Çarpım Sembolleri TOPLAM SEMBOLÜ ( Σ ) f: Z R, f() = a ve r, (r, Z) olma üzere, f(r) = a r, f(r + ) = a r+, f(r + ) = a r+,..., f() = a terimlerii toplamıı a r + a r+ + a r a = a r biçimide ifade edebiliriz. Burada ullaıla sembol, toplam sembolü ya da Yua alfabesii (sigma) sembolüdür. ÖRNEK ifadesii sembolü ile yazıız. a r ifadeside; r alt sıır, üst sıır ve değişedir. Bu ifade = r de ye adar a sayılarıı toplamı şelide ouur. ÖRNEK 0 ÖRNEK 8 Aşağıdai öreleri iceleyiiz. a + a 4 + a a 5 = 5 a ifadesii sembolü ile yazıız = = = = = tae = =.( + ) 50 ÖRNEK ifadesii sembolü ile yazıız. = + ( ) = 5 = = 8 5 = = 5 74

11 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 5 ( + ) ifadesii değeri açtır? ÖRNEK d ifadesii değeri açtır? r r= 0 ÖRNEK 6 ÖRNEK f(x) = x +, x =, x = 4 olduğua göre, ( x + ). f( x) ifadesii değeri açtır? i= i i + logc m= olduğua göre, açtır? = ÖRNEK 7 5 ifadesii eşiti açtır? = ÖRNEK 4 a = ( + 4) ise a 4 açtır? = m m + = 0 dır. ÖRNEK 8 5 ( + ) ifadesii eşiti açtır? = 4 75

12 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 9 80 cos a ifadesii eşiti açtır? a = ÖRNEK 50 ifadesii eşiti açtır?! ÖRNEK 0 90 si r ifadesii eşiti açtır? = TOPLAM FORMÜLLERİ Tüme varımda ispatıı yaptığımız bazı öemli toplam formülleri aşağıda verilmiştir. Bu formülleri ezberleme bize, toplam sembolü ile ifade edile değeri olayca hesaplamamızı sağlayacatır = = ( + ) = ÖRNEK i = olma üzere, 50 + i d = ifadesii eşiti edir? = ( ) = ( + ) = ( ) = ( ) = = = = ( + )( + ) = = = ( + ) = ; E + r + r r r = r =, (r ) r = = =.. ( + ) ( + ) + = 76

13 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK Aşağıdai öreleri iceleyiiz ( 0 = ^h= 0.(0 + ) = 0. = 0 0 ( ) = 0 = 0 = 0.( 0 + ).(. 0 + = Toplam Sembolüü Kullaımı İle İlgili Özelliler ^a! b h = (a b ) + (a b ) (a b ) = ^a! b h= a! b = = = = (a + a a ) (b + b b ) = a! b = = 0 = 0.( = ; ÖRNEK 5 8 ^ h ifadesii soucu açtır? = 0 = = 0 0 = ( + ) ( + r+ i = = r = i = c =. c dir. = ÖRNEK toplamıı değeri açtır? c = c+ c+ + c =. c = tae ÖRNEK ifadesii soucu açtır? 77

14 Toplam ve Çarpım Sembolleri ca. = c. a dir. = = a = a = a dir. p r + r + r r p r p+ r ca. = c.a + c.a + c.a c.a = 0 ÖRNEK 7 = c.(a + a + a a ) = c. a = ( 5.) i ifadesii soucu açtır? i= r a + r p r = = a p r+r + a p r++r a r+r + r a r p+ r = a p + a p a = a p = a p+r r + a p+r+ r a +r r ÖRNEK 9 0 = a p + a p a = a ( ) ifadesii soucu açtır? 4 p a + a = a dir. = p p a + a = a + a a p + a p+ + a p a = p+ = p+ = a + a a = a = ÖRNEK ifadesii soucu açtır? = 0 ÖRNEK 40 8 ^ + h ifadesii soucu açtır? 78

15 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 4 ^+ + h ifadesii soucu açtır? = = 0 ÖRNEK 4 5 ifadesii soucu açtır? = ÖRNEK 4 0 [ ^+ h^ h] ifadesii soucu açtır? = ÖRNEK 44 f ( ) = ^i+ h ve g ( ) = i ise i = (fog)() ü değeri açtır? i = 79

16 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 45 5 = ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 47 6 m m= = ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 48 ÖRNEK ifadesii soucu açtır? = 4 0 ^+ h = A ise = B = toplamıı A türüde değeri edir? 80

17 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai toplamları Σ sembolü ile ifade ediiz. a g. ^ + + h = b h. ^a + h a= c i. ^ + h = d j. ^5+ 4h = e Aşağıdai toplamları soucuu buluuz. f a. ^r + h r =. Aşağıdai toplamları soucuu buluuz. 8 a. ^ h 8 b b. ^m h m= = a a= b = c. b 0 c. = 4 d. ^z+ y+ xh x= y = z = d. i i = 5 e. r r= 0 5 f. ^+ h = = 4. a = + ise a 5 + a 6 açtır? 5. f(x) = x ve g(x) = x ise ^gofh^xh ifadesii değeri açtır? 4 x= 8

18 Toplam ve Çarpım Sembolleri 6. ( + ) ifadesi eye eşittir? = 0. ^ + 5h ifadesi eye eşittir? 7. ifadesi eye eşittir? = + 5 r. ^ h. ^r h ifadesi eye eşittir? r = logc m ifadesi eye eşittir? =. a = ifadesi aça eşittir? ise a 9. [ f ^ + h f ^ h] ifadesi eye eşittir? = 4. S =! ise S + S + S 4 açtır? = 0. ifadesi eye eşittir? 4 = 5. 5 = 40 ise açtır? = 0 8

19 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÇARPIM SEMBOLÜ ( ) f: Z R, f() = a ve r, (r, Z) olma üzere, f(r) = a r, f(r+) = a r+, f(r+) = a r+,..., f() = a terimlerii çarpımıı a r.a r+.a r+.....a = a r biçimide ifade edebiliriz. Burada ullaıla sembol, çarpım sembolü ya da Yua alfabesii pi (π) harfii içere sembolüdür. a r ifadeside; r alt sıır, üst sıır ve değişedir. Bu ifade = r de ye adar a sayılarıı çarpımı şelide ouur. ÖRNEK ifadesii sembolü ullaara yazıız. ÖRNEK 49 ÖRNEK 5 Aşağıdai öreleri iceleyiiz. a 4.a 5.a 6...a 6 = 6 a = 98 c + m ifadesii değeri açtır? = = ^h = = = tae = = 5 = ÖRNEK 5 55 log + h ifadesii değeri açtır? ^ 0 = = ( ).( ) = 0 5 a= aaaaa.... = a = 5 8

20 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 5 0 ^ + 6h ifadesii değeri açtır? = ÖRNEK 56 x 6x 4 = 0 delemii öleri x ve x olma üzere x ifadesii eşiti açtır? ÖRNEK 54 0 ^ 9h ifadesii değeri açtır? = ÖRNEK 57 x + x x = 0 delemii öleri x, x ve x olma üzere, x + x ifadesii eşiti açtır? = ÖRNEK ta a ifadesii değeri açtır? a = ÖRNEK 58 = 4 c m ise açtır? = 4 84

21 Toplam ve Çarpım Sembolleri Çarpım Sembolüü Özellileri c = c dir. = ÖRNEK 6 5 ^h ifadesii soucu açtır? c= ccc.. c= c = 44 tae ÖRNEK 59 6 ifadesii soucu açtır? r = r dir. = r = ( + ) = r.r.r...r = r = r ( + ) ÖRNEK 6 =! dir. = = =.. =! 6 ifadesii soucu açtır? ÖRNEK 60 0 ifadesii soucu açtır? ^a. b h = a. b dir. = ^a. bh = a.b.a.b...a.b = = a.a...a.b.b...b = = = a. = = b ^ca. h= c. a dir. = ^ca. h = c.a.c.a.c.a...c.a = = = c.a.a.a...a = c. a = ÖRNEK 6 5 ^.h ifadesii soucu açtır? 85

22 Toplam ve Çarpım Sembolleri a = a^ ph= a^ m m+ p + p a^ p h m+ p + p p dir. m p = a (m+p p).a (m+p+ p)...a (+p p) = a m.a m+...a = a m + ph ÖRNEK 66 5 ^p. h ifadesii soucu açtır? p = p a^ + p h m p = a (m p+p).a (m p++p)...a ( p+p) = a m.a m+...a = a m ÖRNEK 64 7 ^r+ h ifadesii soucu açtır? r= ÖRNEK 67 c m ifadesii soucu açtır? r r = ÖRNEK ifadesii soucu açtır? 5 ÖRNEK 68 f a p = d a dir. = m p p = p = = m f a p = ^a. a a m p = p = = p m h ^m+ + h ifadesii soucu açtır? m= = = (a.a...a m ).(a.a...a m )...(a.a...a m ) m m m = a. a a p p p p = p = p = m = ^a. a a h = d a p p = p p p m m p = = 86

23 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 69 ^m+ + h ifadesii soucu açtır? = m = 5 ÖRNEK 7 d ifadesii soucu edir? i= r = ÖRNEK 7 c + + = m 00 ise açtır? = m m p = p = p = = a a dir. p 0 ÖRNEK 70 ^r + rh ifadesii soucu açtır? r = ÖRNEK 74 log 4 ifadesii eşiti edir? = 5 ÖRNEK 7 d ifadesii soucu edir? i= r = 87

24 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖRNEK 75 a = x ve log^a h= ise x açtır? r = r r = r ÖRNEK ^r. 4. h ifadesii eşiti açtır? r = ÖRNEK 76 = 0 ise açtır? = ÖRNEK 79 f, g : N + N +, f(x) = ve g(x) = x = ise (gof)(5) aça eşittir? x = ÖRNEK 80 x 6x + = 0 delemii öleri x ve x olma üzere, x. xm ifadesii soucu açtır? m= ÖRNEK log 4 ifadesii eşiti açtır? 88

25 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai çarpımları sembolü ile ifade ediiz. a Aşağıdai ifadeleri soucuu buluuz. 4 a. ^. h = b c b. = c m = d..( 5).7.( 9)...( 4) c. = e f x d. 0 =. Aşağıdai çarpımları soucuu buluuz. a. 5 c m f. 0 = 4 5 e. = b. 0 c m g. ^h t= 0 = f. 8 6 p= = 0 c. h. 0 d. t i. [. ^ + h] t= 8 5 x g. p= = 6 e. ^ h j. ( + 0) = 5 = 0 0 h. = 89

26 Toplam ve Çarpım Sembolleri 4. = a b = = = a b olduğuu gösteriiz ifadesii eşiti edir? = cos a ifadesii değeri edir? a = cot a ifadesii değeri edir? a = ifadesii değeri edir? =. 0 9 ifadesii soucu açtır? 4 = 4 7. f: N + R, f(x) = olduğua göre, (fof)() aça eşittir? x = 0. P(x) = ^x h poliomuu sabit terimi açtır? = ^ h ifadesii eşiti açtır? = 0 4. > olma üzere, log + h ifadesii değeri edir? m ^ 5 9. log h ifadesii eşiti edir? = ^ 5. log = x ve log = y olduğua göre, log + h ifadesii x ve y türüde ^ değeri edir? 90

27 TEST Toplam Sembolü. ^ h ifadesii soucu açtır? A) 4 B) 0 C) D) 40 E) 5 5. ifadesii eşiti açtır? = A) 5 B) 8 C) 7 D) 9 E) 0 6. ^ h ifadesi aça eşittir? A) 56 B) 60 C) 64 D) 70 E) ^ h. ^+ h ifadesi aça eşittir? = A) B) 7 C) D) 7 E) 0. ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) + B) C) D) E) [ log log ( + )] ifadesii eşiti edir? A) B) C) D) 4 E) ^5+ h 5 ifadesii eşiti açtır? = 5 = A) 0 B) 0 C) D) 45 E) i = olma üzere, 9 i ifadesii soucu edir? A) B) 0 C) i D) i E) 95

28 Toplam ve Çarpım Sembolleri 9 9. ^ + h ifadesii eşiti açtır? A) 50 B) 44 C) 6 D) 0 E) x = 0. = = = = olduğua göre, x açtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 0. ^r + 8 +, 6h ifadesii eşiti açtır? r = 6 A) 048 B) 064 C) 408 D) 44 E) ax + bx + c = 0 delemii öleri x ve x dir. Bua göre, x x ifadesii eşiti edir? = A) a b B) b c C) a a D) c E) 0 a x. ^x+ h= 48 ise x açtır? = A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) cos a ifadesii eşiti açtır? a = A) 0 B) 44 C) 89 D) 45 E) i ifadesii eşiti açtır? i= j = A) 80 B) 9 C) 94 D) 00 E) 05 x 6. f.() = x olduğua göre, f(0) açtır? = A) B) 9 0 C) D) 0 E) 0.B.D.E 4.C 5.A 6.B 7.D 8.E 9.A 0.C.D.E.A 4.B 5.C 6.B 96

29 TEST Çarpım Sembolü 0. ifadesii soucu edir? A) 0! B) 0! D) 0 E) 5! C) cos a ifadesii soucu edir? a = A) B) C) 0 D) E) 8. ^ h ifadesii soucu edir? = log h ifadesii soucu edir? 4 ^ A) B) C) D) E) 4 A) 0 B)! C) (!) D)! E) (!) 5. ifadesii soucu edir? 8 7. ifadesii soucu edir? = A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 A) B) 6 C) 0 D) E) c m ifadesii soucu edir? 4 A) B) C) D) E) log + h ifadesii soucu edir? = ^ A) 5 B) 4 C) D) E) 99

30 Toplam ve Çarpım Sembolleri cos^a h ifadesii soucu edir? si a a =. x c + m= 7 olduğua göre, x açtır? = A) 0 B) 45 C) D) E) 45 A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 0. x + 4x + = 0 delemii öleri x ve x ise ^x h çarpımıı soucu edir? i= i A) 0 B) C) D) E) 4. 0 = 0 4 = 7 ifadesii eşiti edir? A) 0 B) 4 C) 8 D) E) 6. ^ih ifadesii soucu edir? i= = A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) ^ + h ifadesii soucu aşağıdailerde = hagisidir? A).0! B) (0!) C) (0!). D) 0!. E) (0!). x. 4 log 4 ifadesii soucu aşağıdailerde = hagisidir? A) x B) x C) 4x D) 6x E) 6! 0 0 = 6. ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) (0!) 55 B) (0!) 0! C) (0!) 0 D) 0 55 E) 0 0.A.A.D 4.B 5.C 6.D 7.E 8.B 9.C 0.E.D.C.B 4.C 5.E 6.A 00

31 TEST 6. = = ^ + h log ^ + h = olduğua göre, açtır? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) ^+ + h ifadesii soucu açtır? = 0 A) 0 B) 85 C) 770 D) 540 E) 0 t. + x = t ^ h olduğua göre, x 5 açtır? = A) 4 B) 9 C) 4 D) 6 E) te üçü çift doğal sayıları areleri toplamı açtır? A) 800 B) 400 C) 600 D) 700 E) 00. Şeilde grafiği verile y = f(x) parabolüe göre, f ( ) ifadesii değeri açtır? 7. ^ h. ifadesii soucu açtır? 0 A) 0 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 A) 5 B) C) 0 D) E) c m ifadesii soucu açtır? = A) 00 B) 0 C) 40 D) 50 E) x = 0 olduğua göre, = ^+ h ifadesii eşiti açtır? 0 x A) 5 B) 0 C) 45 D) 65 E) 75 05

32 Toplam ve Çarpım Sembolleri 0 5 = 9. [( ). ] ifadesii soucu aşağıdailerde hagisidir? A) 0.5! B) 5.5! C) 0 D) 5.5! E) 0.5!. f, g: N + R, f(x) = ve g(x) = ^.h x = x = ise (gof)() açtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 40 E) ^ h ifadesii soucu açtır? x= y = A) 98 B) 88 C) D) E) x 4x + x + 6 = 0 delemii öleri x, x, x olma üzere, x + x ifadesii soucu açtır? i i= j = j A) 6 B) 4 C) D) E) 4 5 =. ^ h ifadesii soucu aşağıdailerde hagisidir? A) (6!) B) (6!).7 C) (7!) D) (7!).8 E) (8!) 6 4 ifadesii değeri açtır? 5. > ^ xhh m= = 4 A) 9 B) 8 C) 6 D) 8 E) 0 5 m. = log 5 5 d G ifadesii soucu m = = açtır? A) B) 5 C) 6 D) 8 E) a c + m ifadesii değeri açtır? b a= b = A) 70 B) 480 C) 60 D) 40 E) 0.C.A.E 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9.C 0.B.D.E.B 4.C 5.E 6.A 06

33 TEST f ^ h= a, f ^ h= b, f ^ h= c 0 = = 0 ise f(0) u a, b ve c ciside değeri aşağıdailerde hagisidir? A) a b + c B) a b c C) b + c a D) a + b c E) a + b + c 5. f(x) = x olma üzere, 6 [f(x ) f (x)] ifadesii eşiti aşağıdailerde x= hagisidir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 0. ^ h^ h ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 94 B) 95 C) 96 D) 97 E) 98 A) 6 5 B) 7 6 C) 8 7 D) 9 8 E) ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ^ h= 0x eşitliğii sağlaya x = açtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ^ + h! ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) B) 4 C) D) E) = + 0 ise açtır? = = A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 07

34 Toplam ve Çarpım Sembolleri 9. 4 d ifadesii eşiti açtır? A) B) C) D) E) ^ h= x ise ^ + h ifadesii x 9 ciside değeri aşağıdailerde hagisidir? A) x B) x C) x D) x E) x c + m ifadesii eşiti aşağıdailerde ha- gisidir? 4. 6 c + + m ifadesii eşiti aşağıdailerde = hagisidir? A) 5 B) 6 C) 49 D) 64 E) 8 A) 44 B) 50 C) 55 D) 60 E) 66. f(x) = x ise = f( 8) açtır? f( 7) A) B) C) 4 D) 6 E) ifadesii eşiti aşağıdailerde hagisidir? A) 5. B) 5. C) 5. 0 D) 5. 9 E) = 49 eşitliğii sağlaya açtır? = A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 eşitliğii sağlaya x 6. = x!. ^x+ h! = açtır? A) B) C) D) 4 E) 5.C.C.B 4.E 5.B 6.A 7.C 8.D 9.A 0.E.C.D.A 4.C 5.A 6.C 08

35 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS ^y + h= + ve ^x ahy = 0, (α R) i = i xy i değeri aşağıdailer- olduğua göre, de hagisidir? a A) i = i i = i i B) α C) α i ÖYS de ye adar ola tae doğal sayıı areleri toplamı, T = dir. Bu tae sayıda herbiri adar artırıldığıda, T e adar artar? A) ( + ) B) ( ) C) ( + ) D) E) D) α E) ( )α. 98 ÖYS f ve g, N N aşağıdai biçimde taımlı ii fosiyodur. f: x x, g: x = x = verildiğie göre (fog)() i değeri edir? ÖYS 0 ^+ ah= 70 olduğua göre, a açtır? = A) B) C) D) E) A) B) C) 4 D) 5 E) ÖYS f(x) = x +, x =, x = 4 olduğua göre ^x hf^xh toplamı açtır? i= i i A) B) 0 C) D) E) ÖYS 4 ^4s + h ifadesii değeri açtır? s = A) B) 8 C) 0 D) 6 E) ÖYS 4 = m = m > ^ 6hH toplamıı sayısal değeri açtır? A) 0 B) 0 C) 0 D) 0 E) ÖYS 0 8 ^m h ifadesii değeri açtır? = m = A) 76 B) 6 C) 0 D) 6 E) 76 09

36 Toplam ve Çarpım Sembolleri ÖYS 0 ile 5 arasıda bulua ve 5 ile alasız bölüebile sayıları toplamı açtır? A) 9875 B) 000 C) 050 D) 50 E) LYS Karmaşı sayılar ümesi üzeride f fosiyou f(z) = 0 z 0 biçimide veriliyor. Bua göre, f(i) değeri edir? A) + i B) i C) i D) i E) ÖSS içi a a 99 = = ^ + h olduğua göre aşağıdailerde hagisidir? 4. 0 LYS 7 = ( + ) sayısı 0 m ile tam bö lü e bil di ği e gö re, m i ala bi le ce ği e büyü tam sayı değeri açtır? A) B) C) A) B) C) 4 D) 5 E) 6 D) E) ÖSS pozitif tam sayı olduğua göre, 8! + ^+ h!. ^+ h 0 toplamı aşağıdailerde hagisie eşittir? 5. 0 LYS 9 + f p = 4 = işlemii soucu açtır? A) 45 B) 48 C) 50 D) 5 E) 54 A) ( + 7)! B) ( + 8)! C) ( + 9)! D) ( + 8)! E) ( + 0)!. 00 LYS 00 = 0 toplamıı 5 ile bölümüde ala açtır? A) 0 B) C) D) E) 4 0

37 TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT DİZİLER Diziler. Kazaım : Dizi, solu dizi ve sabit diziyi açılar, dizileri eşitliğii ifade eder ve verile bir dizii grafiğii çizer.. Kazaım : Verile (a ), (b ) gerçe sayı dizileri ve c R içi (a ) + (b ), (a ) (b ), c. (a ), (a ).(b ) ve N + içi b 0 olma üzere (a ) : (b ) dizilerii bulur.. Kazaım : Arta, azala, azalmaya ve artmaya dizileri açılar. Aritmeti ve Geometri Diziler. Kazaım : Aritmeti diziyi açılar, özellilerii gösterir ve aritmeti dizii il terimii toplamıı bulur.. Kazaım : Geometri diziyi açılar, özellilerii gösterir ve geometri dizii il terimii toplamıı bulur.

38 DİZİLER DİZİLER Taım ümesi sayma sayıları ola her fosiyoa dizi deir. f: N + R taımlı bir fosiyo f() = a ile gösterilir. Burada a ye (a ) dizisii. terimi ya da geel terimi deir. (a ) = (a, a, a,..., a,...) yazılışıda dizii; birici terimi: f() = a, iici terimi: f() = a, üçücü terimi: f() = a,,. terimi: f() = a dir. Diziler değer ümelerie göre adladırılır. Öreği; f: N + R, f() = a reel sayı dizisi, f: N + N +, f() = a sayma sayı dizisidir. Asi belirtilmediçe dizi sözüde reel (gerçel) sayı dizisi alaşılır. Diziler geel terimleri ile belirleir. Geel terimi verilmede yazıla sayı grupları dizi belirtmez. (a ) yazılışı a dizisii ifade edere, a yazılışı dizii geel terimii ifade etmetedir. Öreği; f() = dizisi (a ) = ( ) şelide yazılabildiği gibi, (a ) = (,, 5,...,,...) şelide de açı olara yazılabilir. Bu dizii geel terimi a = şelide yazılır. Burada, dizi yazare paratez ullaıldığıa, geel terim yazare ise paratez ullaılmadığıa diat ediiz. ^a h ÖRNEK = c m ifadesi bir dizi belirtir mi? Eğer bir dizi belirtiyorsa, il dört terimii yazara grafiğii çiziiz. ^a h ÖRNEK = c m ifadesi bir dizi belirtir mi? Eğer bir dizi belirtiyorsa grafiğii çiziiz. 4

39 Diziler ÖRNEK Aşağıdai bağıtılarda hagileri bir reel sayı dizisii geel terimi olabilir? a. a = 5+ b. b = + + ÖRNEK 4 Geel terimi a ola dizii il üç terimii toplamı açtır? + ^ h = c. c = + d. d = e. e = + 5 f. f = cot g. g = cos h. h = log( ) ÖRNEK 5 Geel terimi a = *, 0 ^mod h, ^mod h ola (a ) diziside, a + a 4 + a 5 açtır? ÖRNEK 6 Geel terimi a +, te ise = *, çift ise ola (a ) dizisi içi, a 4 + a 5 + a 6 toplamı açtır? 5

40 Diziler ÖRNEK 7 Bir (a ) diziside N + içi, a + = a + ve a = 6 ise a 0 açtır? ÖRNEK 0 Bir (a ) diziside, a = 5 ve a + = 4 + a olduğua göre, bu dizii geel terimi edir? ÖRNEK 8 Bir (a ) diziside N + içi, a + = a + ve a = ise a 5 açtır? ÖRNEK Geel terimi a terimi açtır? = c m ola dizii altıcı = ÖRNEK 9 Geel terimi a = log + ( + ) ola dizii il 78 terimii çarpımı açtır? ÖRNEK Geel terimi a = ola dizi içi a 0 açtır? = 6

41 Diziler ÖRNEK ^a h = c m dizisii açıcı terimi tir? + 5 ÖRNEK 6 ^a h = c m dizisii aç terimi te üçütür? 4 ÖRNEK 4 ^a h = c m dizisii aç terimi egatiftir? ÖRNEK 7 ^ah = d dizisii aç terimi tam sayıdır? ÖRNEK 8 ÖRNEK 5 ^a h = + 4 c m dizisii aç terimi pozitiftir? 9 4 Geel terimi a = ola dizii aç terimi tam + sayıdır? 7

42 Diziler ÖRNEK 9 ola dizii aç teri- + 8 Geel terimi a = + mi tam sayıdır? ÖRNEK 0 ^a h = c m dizisii aç terimi (, ) aralığıdadır? + 4 Fiboacci Dizisi...,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44,... Bir terim edide öcei ii terimi toplamıa eşittir. Öreği; + =, + = 5, + 5 = 8, =, 8 + =, + = 4,... gibi. Bu dizii ileri elemalarıda, bir sorai elemaı bir öceie oraı altı ora adı verile ve yalaşı,68 değerie eşit bir sayıyı verir. Altı oraa uygu ölçülerdei eseler ve calılar daha esteti ve daha güzel görüür. 5 8 Fiboacci dizisii görüdüğü ve ullaıldığı bazı yerler:. Ayçiçeği: Ayçiçeğii merezide dışarıya doğru sağda sola ve solda sağa doğru taeler sayıldığıda çıa sayılar Fiboacci dizisii ardışı terimleridir.. Papatya Çiçeği: Papatya çiçeğide de ayçiçeğide olduğu gibi bir Fiboacci dizisi mevcuttur.. Çam Kozalağı: Çam ozalağıdai taeler ozalağı altıdai sabit bir otada ozalağı tepesidei başa bir sabit otaya doğru spiraller (eğriler) oluşturara çıarlar. İşte bu taeler solda sağa ve sağda sola sayıldığıda çıa sayılar, Fiboacci dizisii ardışı terimleridir. 4. Tütü Bitisi: Tütü bitisii yapralarıı dizilişide bir Fiboacci dizisi söz ousudur; yai yapraları dizilimide bu dizi mevcuttur. Buda dolayı tütü bitisi Güeş te e iyi şeilde güeş ışığı ve havada e iyi şeilde arbodiosit alara fotosetezi müemmel bir şeilde gerçeleştirir. 5. Ömer Hayyam veya Pascal veya Biom Üçgei: Ömer Hayyam üçgeidei tüm atsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alıdığıda Fiboacci dizisi ortaya çıar

43 Diziler ÖRNEK (a ) = ( + 9 4) dizisii e büyü terimi açtır? ÖRNEK (a ) = ( ) dizisii aç terimi pozitiftir? SONLU DİZİ ÖRNEK (a ) = ( 4 5) dizisii e üçü terimi açtır? Z + ve A = {,,,..., } Z + olma üzere, taım ümesi A ola her fosiyoa solu dizi deir. Öreği; A 6 = {,,, 4, 5, 6} olma üzere, A : A 6 R, (a ) = () dizisi soludur. Üsteli, (a ) = (, 4, 6, 8, 0, ) olup (a ) dizisii 6 terimi vardır. Solu dizi olduğu belirtilmediği sürece her dizii sosuz dizi olduğu alaşılır. ÖRNEK 4 + ^a h = c m ifadesii bir solu dizi belirtebilmesi 8 içi terim sayısı e ço aç olabilir? 9

44 Diziler SABİT DİZİ Bütü terimleri birbirie eşit ola dizilere sabit dizi deir. (a ) bir sabit dizi ise, a = a = a =... = a = c, (c R) dir. Öreği; (a ) = (5) dizisi bir sabit dizidir. Çüü (a ) = (5, 5, 5,..., 5,...) olup dizii bütü elemaları 5 e eşittir. ÖRNEK 5 (a ) = (( ) ) dizisi sabit dizi midir? DİZİLERİN EŞİTLİĞİ N + içi a = b oluyorsa, (a ) ve (b ) dizilerie eşit diziler deir ve (a ) = (b ) şelide gösterilir. ÖRNEK 8 (a ) = (cos(π)) ve (b ) = (( ) ) olma üzere, (a ) = (b ) olduğuu gösteriiz. ÖRNEK 6 (a ) = (cos(π)) dizisi sabit dizi midir? ÖRNEK 9, 0 (mod ) (a ) = (( ) + ) ve (b ) = {, (mod ) dizileri eşit midir? ÖRNEK 7 ^a h = + c m ifadesi bir sabit dizi olduğua göre, + açtır? : I. Yol ÖRNEK 0 Geel terimi a = x + y + z ve b = = ola dizilerde (a ) = (b ) ise x.y.z açtır? ^ h 0

45 Diziler DİZİLERDE İŞLEMLER (a ) ve (b ) herhagi ii dizi ve c R olma üzere, (a ) + (b ) = (a + b ) (a ) (b ) = (a b ) (a ).(b ) = (a.b ) ^ah a = c m, ^b 0h ^b h b ÖRNEK Geel terimi a +, te, te = * ve b = *, çift +, çift ola diziler içi aşağıdai işlemleri iceleyiiz. c.(a ) = (c.a ) şelide dizileri geel terimleri arasıda yapıla dört işleme, dizilerde dört işlem deir. ÖRNEK (a ) = ( ) ve ^b h = c m olma üzere, aşağıda yapıla işlemleri iceleyiiz. ÖRNEK 4 Z,, < 5 ] ^ah= * ve ^bh= [, < < 5 +, 5 ] \ +, 5 içi (a + b ) dizisii buluuz. ÖRNEK 4 (a ) = c m ve (b + ) = c m dizileri içi 5 (a.b ) dizisii üçücü terimi açtır?

46 Diziler MONOTON DİZİLER Bir (a ) diziside her terim bir soraide hep üçü alıyorsa, bu dizilere mooto arta dizi deir. (a ) mooto arta dizi ise, a < a < a <... < a < a + <... olur. ÖRNEK 7 (a ) = ( 4) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. Bir (a ) diziside her terim bir soraide hep büyü alıyorsa, bu dizilere mooto azala dizi deir. (a ) mooto azala dizi ise, a > a > a >... > a > a + >... olur. Mooto arta ya da mooto azala dizilere, mooto diziler deir. ÖRNEK 5 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. (a ) bir dizi olsu. N + içi, a + > a (a ) mooto artadır. a + < a (a ) mooto azaladır. ÖRNEK 6 (a ) = ( ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. a + a (a ) mooto azalmayadır. a + a (a ) mooto artmayadır. a + = a (a ) sabit dizidir. Bir (a ) dizisii mootoluğuu icelere a + a farıı işaretie baılır. a + a > 0 a + > a olup mooto artadır. a + a < 0 a + < a olup mooto azaladır.

47 Diziler ÖRNEK 8 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. ÖRNEK 40 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. + ÖRNEK 9 (a ) = ( + ) dizisii mootoluğuu iceleyiiz. ^a h = a. + b c m şelidei dizilerde mootolu c. + d durumu aşağıdai gibi de iceleebilir. d Paydaı öü; < ise dizi mootodur. c a.d b.c > 0 ise, dizi mooto artadır. a.d b.c < 0 ise, dizi mooto azaladır. a.d b.c = 0 ise, dizi sabit dizidir. Paydaı öü; değildir. d > ise dizi mooto c ÖRNEK 4 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz.

48 Diziler ÖRNEK 4 ^a h = c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. + ÖRNEK 45 + b ^a h = c m dizisii sabit bir dizi olması içi b + 4 e olmalıdır? ALT DİZİ Bir (a ) dizisi verildiğide, ( ) mooto arta bir ÖRNEK 4 ^a h = + c m dizisii mootoluğuu iceleyiiz. 5 sayma sayı dizisi olma üzere elde edile (a ) dizisie (a ) dizisii bir alt dizisi deir ve (a ) (a ) şelide gösterilir. Burada ( ) mooto arta bir dizi ve N + içi N + olmalıdır. ÖRNEK 46 Aşağıda (a ) = () dizisii bazı alt dizileri yazılmıştır. İceleyiiz. ÖRNEK 44 ^b h = a. + c m dizisii mooto azala olması içi + 4 a ı alabileceği e büyü tam sayı değeri açtır? 4

49 Diziler ÖRNEK ^b h = c m dizisii ^a h + = bir alt dizisi olduğuu gösteriiz. c m dizisii + ^a ÖRNEK 50 h = açtır? + c m ise (a + + ) dizisii. terimi ÖRNEK 5 N + da taımlı ve geel terimi; a =.(!) ola bir dizide, a +, a i aç atıdır? ^a ÖRNEK 48 + h = + c m olduğua göre (a + ) dizisii buluuz. ÖRNEK 49 ( ) (a ) = c m dizisi veriliyor. (a ) alt dizisii. terimi açtır? ÖRNEK 5 Z +, ( mod ) ] Geel terimi, a = [ + ola ], 0 ( mod ) \ (a ) dizisii (a ) ve (a + ) alt dizilerii buluuz. 5

50 ALIŞTIRMALAR. Aşağıdai ifadelerde hagileri bir dizii geel terimi olabilir? + 4. (a ) = c m dizisii açıcı terimi tür? 4 + a. + b. c. + 5 d. 9 e. 6 f. ta(π) 5. Geel terimi a = ola dizii açıcı terimi tür? g. cot r h. log( v). Aşağıda geel terimleri verile dizileri il üç terimlerii grafiğii oordiat düzlemide gösteriiz. a. si r c. ^ h b. ( )! d. = 6. Geel terimi a =.( + )! ola dizi içi a a oraı açtır? 7. N + içi a = ve a + = a ola (a ) dizisii geel terimi edir? 0 9 e Geel terimi a = + ola dizii aç tae f. Z ] [ ] \, 0^mod h +, ^mod h terimi 4 te büyütür?. Bir (a ) diziside N + içi a = a + ve a = ise a 9 açtır? 9. (a ) = ( 8 + ) dizisii aç tae terimi egatiftir? 6

51 0. (a ) = 7 c m dizisii aç tae terimi pozitif- tir? Diziler 6. (a ) = ( ) dizisii e büyü terimi açtır?. (a ) = ( 8 + 5) dizisii aç terimi pozitif değildir? 7. (a ) = c m dizisi sabit dizi olduğua göre, c. + c açtır? ^ah = c m dizisii aç terimi tam sayıdır? 8. (a ) = (t + t + ) dizisii sabit dizi olması içi t i alabileceği değerleri toplamı açtır?. Geel terimi a terimi tam sayıdır? = + + ola dizii aç 9. A 4 = {,,, 4}, a : A 4 R, (a ) = ( ) solu dizisii terimlerii toplamı açtır? 4. (a ) = ( 6 + ) dizisii e üçü terimi açtır? 0. (a ) = ( ) ve (b ) = (x + y) 5. (a ) = ( ) dizisii e üçü terimi açtır? dizileri eşit olduğua göre, x.y açtır? 7

52 Diziler. Geel terimleri a = + ve + b = c. + 6 d. + 9 ola diziler eşit olduğua göre, c + d açtır? 4. ^a h =. 6 c m dizisii mooto arta olması + 5 içi ı alabileceği e üçü tam sayı değeri açtır?. Geel terimleri a = + ve b = ola + (a ) ve (b ) dizileri içi aşağıdai işlemleri yapıız. a. (a ) + (b ) b. (a ) (b ) 5. Aşağıdai dizileri mooto olup olmadılarıı gösteriiz. a. c + m b. c m c. ^+ 6 h d. (! ) c. (a ).(b ) d. ^ah ^b h e. ( 4) f. ( + ) e. (a ) (b ) f. ^ah ^b h g. i. ^ h d + h. c m + + c m j. c m +. Geel terimleri a = ( ).( + ) ve b, 0^mod h = * ola ^a h ve ^b h +, ^mod h dizileri içi aşağıdai işlemleri yapıız. a. (a ) + (b ) b. (a ) (b ) p c m dizisi olduğua göre, + p açtır? c m dizisii bir alt dizisi + c. (a ).(b ) d. ^ah ^b h 7. (a + ) = ( ) dizisie göre aşağıdai dizileri geel terimlerii buluuz. a. (a ) b. (a + ) e. (a ) (b ) f. ^ah ^b h c. (a ) d. (a + ) 8

53 Diziler ÖRNEK 54 İl terimi ve orta farı 4 ola bir (a ) aritmeti dizisii geel terimi edir? ÖRNEK 55 İl terimi 4 ola bir (a ) aritmeti diziside a 0 a 9 = ise a 5 açtır? ARİTMETİK DİZİ Ardışı terimleri arasıdai far hep ayı sabit sayıya eşit ola dizilere aritmeti dizi, bu sabit fara da orta far deir. Bua göre, N + içi a + a = r ise r R sayısıa bu dizii orta farı deir. (a ) bir aritmeti dizi ve r R ise a a = a a = a 4 a =... = a + a = r dir. Öreği; (a ) = (4, 6, 8,..., +,...) mooto arta, (b ) = (9, 5,,..., 4,...) mooto azala, (c ) = (,,,...,,...) sabit dizileri birer aritmeti dizidir. ÖRNEK 5 (a ) = + 6 c m dizisii aritmeti dizi olduğuu gös- teriiz. ÖRNEK 56 Geel terimi a = ola aritmeti dizii orta farı açtır? Aritmeti Dizii Geel Terimi İl terimi a ve orta farı r ola (a ) aritmeti dizisii geel terimi a = a + ( ).r olara buluur. Çüü, a + a = r a + = a + r olduğuda, a = a + r a = a + r a 4 = a + r... a = a + r + a = a + r+ r+ r+ + r tae a = a + ( ).r olara buluur. ÖRNEK 57 İl terimi a ve orta farı r ola bir aritmeti dizii 4. terimi 6 ve 6. terimi 9 olduğua göre, a + r açtır? 9

54 Diziler ÖRNEK 58 İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii 0. terimi açtır? ÖRNEK 6 Bir aritmeti dizii ardışı üç terimi sırasıyla, x, x +, x 4 ise x açtır? ÖRNEK 59 Bir dörtgei iç açılarıı ölçüleri bir aritmeti dizii ardışı 4 terimidir. E üçü açıı ölçüsü 0 olduğua göre, diğer açılarıı ölçülerii buluuz. ÖRNEK 6, x, y, z, 58 solu dizisi bir aritmeti dizi ise x + y + z açtır? ÖRNEK 60 5 ile 7 sayılarıı arasıa il terimi 5, so terimi 7 ola aritmeti dizi oluşaca şeilde 0 terim daha yerleştiriliyor. Oluşa aritmeti dizii 8. terimi aç olur? Bir aritmeti dizide, her terim ediside eşit uzalıtai ii terimi aritmeti ortalamasıdır. a p+ a+ p a =, ^ > ph ÖRNEK 6 Bir aritmeti dizii 8. terimi ve 0. terimi 6 ise 4. terimi açtır? 0

55 Diziler Aritmeti Dizii İl Terimii Toplamı Orta farı r ola bir (a ) aritmeti dizisii il terimii toplamıı S ile gösterelim. S = a + a + a a ÖRNEK 65 Geel terimi a = + ola aritmeti dizii il 8 terimii toplamı açtır? = a + (a + r) + (a + r) [a + ( )r] =.a + r + r ( )r =.a + r( ( )) ^ h. =.a + r. = [a + ( )r ] = [a + a + ( )r ] = (a + a ) buluur. ÖRNEK 66 0 ile 00 sayıları arasıda ile tam bölüebile tam sayıları toplamı açtır? S = (a + a ) ÖRNEK 64 İl terimi ve orta farı ola (a ) aritmeti dizisii il 0 terimii toplamı açtır? ÖRNEK 67 Yaşları toplamı 68 ola dört işii yaşları bir aritmeti dizi oluşturmatadır. Bu 4 işii e büyüleri 0 yaşıda olduğua göre, e üçüleri aç yaşıdadır?

56 Diziler ÖRNEK 68 İl terim toplamı S = 7. terimi açtır? ola bir aritmeti dizii ÖRNEK 7 x x + ax + 8 = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi oluşturduğua göre, a açtır? ÖRNEK 69 İl terimii toplamı S = + ola bir (a ) aritmeti dizisi içi a + a 4 + a 5 toplamı açtır? ÖRNEK 7 ÖRNEK 70 İl terimi toplamı S ola bir aritmeti dizide N + içi S = S + + ise bu dizii 5. Bir aritmeti dizii 8. ve 9. terimlerii toplamı 5 olduğua göre, il 6 terimii toplamı açtır? terimi açtır?

57 ALIŞTIRMALAR. Aşağıda verilelerde hagileri bir aritmeti dizii geel terimidir? a. a = b. a = + 4. İl terimi ve orta farı 4 ola bir aritmeti dizii açıcı terimi 7 dir? c. a = d. a = + 5., a, b, c,, d sayıları bir aritmeti dizii ardışı altı terimi ise a + b + c + d açtır?. Aşağıda il terimi ve orta farı verile aritmeti dizileri geel terimlerii buluuz. a. a = 5, r = 5 b. a =, r = 6., log a, 9 sayıları bir aritmeti dizii ardışı üç terimi ise a açtır? c. a = 0, r = v. Aşağıda ii terimi verile aritmeti dizileri geel terimlerii buluuz. a. a = 5, a 7 = 7. (a ) aritmeti diziside a a = ise a 0 a 9 farı açtır? b. a = 4, a 4 = 6 c. a = 5, a 8 = 6 8. İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii 5. terimi açtır?

58 Diziler 9. (a ) aritmeti diziside a + a = 7 ve a + a 6 = 5 ise a 0 açtır? 4. Bir (a ) aritmeti diziside a = ve N + içi a + = a + olduğua göre, dizii il 0 terimii toplamı açtır? 0. İl terimii toplamı S = + 4 ola bir aritmeti dizii. terimi açtır? 5. Baada alıa faizsiz 080 TL deste redisi içi il ay 00 TL, iici ay 0 TL, üçücü ay 0 TL vb. ademeli ödeme plaı uygulamıştır. Bua göre, borcu bitmesi aç ay sürer?. (a ) = ( ) aritmeti dizisii il o terimii toplamı açtır?. 4 ile tam bölüebile ii basamalı sayıları toplamı açtır? 6. Bir tiyatro salouu birici sırasıda 6 oltu, iici sırasıda 8 oltu, üçücü sırasıda 0 oltu vardır. Saloda bu şeilde devam ede toplam 40 sıra olduğua göre, saloda toplam aç oltu vardır?. (a ) aritmeti diziside, a + 8 =.a 8 eşitliği sağlaıyorsa dizii il yirmi terimii toplamı açtır? 7. 8 ile 4 sayılarıı arasıa il terimi 8, so terimi 4 ola aritmeti dizi olaşaca şeilde 6 terim daha yerleştiriliyor. Oluşa aritmeti dizii 40. terimi aç olur? 4

59 Diziler GEOMETRİK DİZİ Ardışı ii terimii oraı hep ayı sabit sayıya eşit ola dizilere geometri dizi, bu sabit oraa da orta çarpa deir. Bua göre, N + a+ içi = r ise r R sayısıa bu dizii a orta çarpaı deir. (a ) bir geometri dizi ve r R ise a a a a4 a + = = = = = r dir. (r 0) a a a ÖRNEK 75 (a ) = ( + ) bir geometri dizi midir? Geometri Dizii Geel Terimi ÖRNEK 7 (a ) = (. ) dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz. İl terimi a ve orta çarpaı r ola bir geometri dizii geel terimi a = a.r dir. a a + = r a + = a.r olduğuda a = a.r a = a.r a 4 = a.r... a = a.r x a = a. rrr... r a = a.r tae olara buluur. ÖRNEK 76 ÖRNEK 74 (a ) = c m dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz. (a ) geometri diziside a = ve a + a = eşitlileri veriliyor. Bua göre, bu dizii geel terimi edir? 5

60 Diziler ÖRNEK 77 İl terimi ve orta çarpaı ola bir geometri dizii. terimi edir? ÖRNEK 8 Bir geometri dizii. terimi 50 ve 6. terimi 5 ise orta çarpaı açtır? ÖRNEK 78 Bir geometri dizii il 5 terimii çarpımı, olduğua göre, bu dizii üçücü terimi açtır? Bir geometri dizide, herhagi bir te ri mi a re si e di si de eşit uza lı tai ii terimi çarpımıa eşittir. (a ) = a p.a +p, ( > p) ÖRNEK 79 Geel terimi a = 4 8 orta çarpaı açtır? ola (a ) geometri dizisii ÖRNEK 8 Pozitif terimli bir geometri dizii iici terimi 4 ve seizici terimi 9 ise beşici terimi açtır? ÖRNEK 8 ola geometri di- ÖRNEK 80 Orta çarpaı ve 5. terimi 6 zii 8. terimi açtır? (a ) geometri dizi ve a.a 4.a 5.a 6.a 7 = ise a 5 açtır? 6

61 Diziler ÖRNEK 84 a = ve > içi a + = a ve b = a ile verile (b ) dizisii geometri dizi olduğuu gösteriiz ve b geel terimii buluuz. Geometri Dizii İl Terimii Toplamı Orta çarpaı r ola bir (a ) geometri dizisii il terimii toplamıı S ile gösterelim. S = a + a + a a = a + a.r + a.r a.r = a ( + r + r r ) = a r buluur. r S = a r, (r ) r ÖRNEK 86 Orta çarpaı ve dördücü terimi 6 ola (a ) geometri dizisii il dört terimii toplamı açtır? ÖRNEK 85 (a ) pozitif terimli bir geometri dizidir.. a. a a 7 açtır? = a olduğua göre, dizii orta çarpaı 9 7

62 Diziler ÖRNEK 87 İl terim toplamı S = = c m G ola (a ) geometri diziside a 7 + a 8 açtır? ÖRNEK 89 x 7x + x 8 = 0 delemii öleri bir geometri dizii ardışı üç terimi ise açtır? ÖRNEK 88 Bir geometri dizii il terimi, orta çarpaı ve. terimi 6 ise bu solu dizii terimleri toplamı açtır? ÖRNEK 90 (a ) = (. ) geometri dizisii il terimii çarpımı eye eşittir? 8

63 Diziler ÖRNEK 9 Mooto arta bir geometri dizii ardışı üç terimii çarpımı 64 ve bu terimlerii aritmeti ortalaması tür. Bua göre, bu üç terimi buluuz. 4 ÖRNEK 9 (a ) = (x+y, +y, x y) dizisi hem aritmeti hem de geometri bir dizi ise x.y açtır? ÖRNEK 94 ÖRNEK 9 (a ) = (x, y, z) dizisii hem aritmeti hem de geometri dizi olması içi x, y, z arasıda asıl bir bağıtı olmalıdır? a b c olma üzere, a, b, c sayıları verile sırayla aritmeti dizi ve ab, bc, ac sayıları verile sırayla geometri dizi oluşturmatadır. Bua göre, geometri dizii orta çarpaı açtır? (a ) = (x, y, z) di zi si i hem arit me ti hem de geomet ri dizi olması içi x = y = z olmalıdır. 9

64 Diziler ÖRNEK 95 ÖRNEK üfuslu bir öyü üfusu yılda ortalama artıyor. Bua göre, 0 yıl sora öyü üfusu yalaşı olara aç olur? Yuarıdai grafi, bir ailei yılları arasıdai yıllı gelirii göstermetedir. Bu ailei yılları arasıdai yıllı geliri, her yıl ortalama 5 artmıştır. Bua göre, bu ailei bu döemdei 5 yıllı toplam geliri yalaşı aç TL dir? ÖRNEK 96 Bugüü değeri 500 TL ola paraı.5 aylı faiz oraı ile 6 ay soudai değeri aç TL dir? 40

65 ALIŞTIRMALAR. Aşağıda verilelerde hagileri bir geometri dizii geel terimi olabilir? 4. Bir (a ) geometri diziside a 5 = ve a 8 = 4 olduğua göre, a 0 açtır? a. a = + b. a = 5 c. a = ( ) d. a = Aşağıda il terimi ve orta çarpaı verile geometri dizileri geel terimlerii buluuz. a. a =, r = 5., a, b, c, 9, d sayıları bir geometri dizii ardışı altı terimi ise a.b.c.d 9 açtır? b. a = v, r = v 6. Bir (a ) geometri diziside a 7 = ve c. a =, r = a 0 = 4 ise orta çarpa açtır?. Aşağıda ii terimi verile geometri dizileri geel terimii buluuz. a. a = 8, a 4 = 7. Beşici terimi ola bir geometri dizii il douz terimii çarpımı açtır? b. a =, a 6 = 8 c. a 8 = 5, a = 5 8. Geel terimi a =.5 + ola (a ) geometri dizisii orta çarpaı açtır? 4

66 Diziler 9. Orta çarpaı ve dördücü terimi 6 ola bir geometri dizii il beş terimii toplamı açtır? 4. a, 5, b solu dizisi hem aritmeti hem de geometri dizi ise a + b açtır? 0. Bir (a ) geometri diziside a = ve a 7 = 4 ise a.a.a 4.a 5.a 6 çarpımı açtır? 5. a = ve N + içi.a =.a + olduğua göre, (a ) dizisii il dört terimii çarpımı açtır?. İl terimii toplamı S =.( ) ola (a ) geometri diziside a 4 + a 5 toplamı açtır? 6. Bir (a ) geometri diziside 4.a = a + ise a 4 açtır? a 6. İl terimii toplamı S = ola bir geometri dizii orta çarpaı açtır? 7. 0 yıl öce yılda 6000 TL ile işe gire bir işii ücreti, her yıl 0 artmıştır. Bu 0 yıl boyuca aldığı toplam ücret aç TL dir?. Pozitif terimli bir geometri dizii il altı terimii toplamı, il üç terimii toplamıı 9 atı ise bu dizii orta çarpaı açtır? 8. Bir bateri çeşidii üfusu, uygu bir ortamda her 0 saiyede bir iiye atlamatadır. Başlagıçta ortamda 0 tae bateri olduğua göre, 5 daia sora ortamda aç tae bateri olur? 4

67 TEST Geel Terim Mooto Dizi Alt Dizi. Aşağıdailerde aç taesi bir dizii geel terimi olur? I. II. v5 III A 5 = {,,, 4, 5}, a : A 5 R, (a ) = () solu dizisii terimlerii toplamı açtır? A) 0 B) 4 C) 0 D) 5 E) 0 IV. V. 5 VI. si A) B) C) 4 D) 5 E) 6. Geel terimi a = + ola (a ) dizisii il dört terimii toplamı açtır? A) 6 B) C) 7 D) 5 E) 8 + c 6. ^ah = c m ve ^bh = b l + d+ olma üzere (a ) = (b ) ise c + d açtır? A) B) C) 0 D) E). (, x) iilisi (a ) = ( ) dizisii ardışı ii terimide oluştuğua göre x aşağıdailerde hagisi olabilir? A) B) C) 8 D) 46 E) 6 7. ^a h = 7 c m dizisii aç tae terimi pozitif + değildir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4. J K K ^ah = K K L = = N log ^ + ho O O ise a 8 açtır? ^ h O P A) B) C) D) E) ^a h = + 6 c m dizisii aç tae terimi tam sa- yıdır? A) B) C) D) 4 E) 5 47

68 Diziler 9. (a ) = ( 6 + 6) dizisii e üçü terimi edir? A) B) C) D) E). Geel terimi a = + + ola (a ) dizisii il 0 terimii toplamı açtır? 5 A) B) C) D) E) 4 0. (a ) = ( + 5) dizisii aç terimi te üçütür? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. Geel terimi a = 0 ola (a ) dizisii = 5. terimi aç basamalı bir sayıdır? A) 0 B) C) D) E) 4. ^a h = d ^+ h^ h dizisii aç terimi egatiftir? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Geel terimi a =.! ola bir (a ) diziside, ( + ). terim. terimi aç atıdır? A) B) C) + D) + E) +. ^a h = + c m dizisii sabit dizi olması içi 4+ reel sayısı aç olmalıdır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 6. Aşağıdailerde hagisi mooto azala bir dizidir? + A) c m B) ^ h. c m C) d D) c m E) c m + +.D.C.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8.D 9.A 0.A.D.E.D 4.B 5.E 6.D 48

69 TEST 4 Aritmeti Dizi. Aşağıdailerde hagisi bir aritmeti dizii geel terimi olabilir? A) B) C) D) E) ( ) Geel terimi a = ola bir aritmeti dizii il altı terimii toplamı açtır? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) 8. İl terimi ve orta farı 5 ola bir aritmeti dizii açıcı terimi 47 dir? 6., a, b, 4 sayıları solu bir aritmeti dizii ardışı terimleri olduğua göre, a + b açtır? A) B) 4 C) 9 D) 5 E) 6 A) 9 B) 0 C) D) E). (a ) aritmeti bir dizi olma üzere, a 5 = ve a 5 = ise a açtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7. İl terimi ve orta farı ola bir aritmeti dizii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) + 8 B) + 9 D) + E) + 5 C) ile 5 arasıa tae sayı yerleştirilmiştir. Bu 4 tae sayı il terimi ola bir aritmeti dizii ardışı terimleridir. Oluşa bu dizii 8. terimi açtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 8. İl terimi ve so terimi 5 ola bir solu aritmeti dizii terimleri toplamı 5 olduğua göre, bu dizii terim sayısı açtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5

70 Diziler 9. (a ) aritmeti diziside, a 0 + a + a + a + a 4 = 0 ise a 6 + a 8 toplamı aça eşittir? A) 6 B) 0 C) D) 5 E) 8. Bir üçgei açılarıı ölçüleri, bir aritmeti dizii ardışı üç terimidir. Bu üçgei e üçü açısıı ölçüsü 0 ise e büyü açısıı ölçüsü aç derecedir? A) 80 B) 90 C) 00 D) 0 E) 0 0. Bir aritmeti dizii il terimii toplamı S = ise dizii 6. terimi açtır? A) 6 B) C) 0 D) 8 E) 6 4. İl terim toplamı S = + 4 ola (a ) aritmeti dizisii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) B) C) + D) + E) +. Orta farı ve il terimi birbirie eşit ola bir aritmeti dizii il 6 terimii çarpımı 6.6! ise, bu dizii 7. terimi açtır? A) 8 B) C) 4 D) 7 E) 0 5. x x 6x + d = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi oluşturuyorsa d açtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E). (a ) aritmeti diziside a x + a y = 6 olduğua göre, a x+y aça eşittir? A) B) C) 6 D) 8 E) 6. (a ) bir aritmeti dizi ve.a r+ = a + a r ise r açtır? A) B) C) D) 4 E) 5.D.A.A 4.C 5.B 6.E 7.C 8.B 9.C 0.D.B.B.C 4.E 5.C 6.C 54

71 TEST 5 Geometri Dizi. Aşağıdailerde aç taesi bir geometri dizii geel terimi olabilir? I. 5 II. e III. IV. V. VI.! 5. Dördücü terimi 4, altıcı terimi 8 ola geometri dizii beşici terimi açtır? A) B) 6 C) 4v D) v E) v A) B) C) D) 4 E) 5. Bir (a ) pozitif terimli geometri diziside, a = ve a 6 = ise a 5 açtır? A) 0 B) 4 C) 6 D) E) 8 6. Orta çarpaı ola bir geometri dizii. terimii iici terimie oraı 56 olduğua göre, açtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. Bir (a ) geometri diziside, a = 4 ve a 4 = 9 6 ise orta çarpa açtır? A) B) C) D) E) v ve c sayılarıı arasıa aşağıdai sayılarda hagisi oulursa, geometri bir dizi meydaa gelir? A) B) v5 C) v6 D) v7 E) v8 4. (a ) geometri bir dizi olma üzere, a6 = ve a9 = ise a 6 açtır? A) 8 B) 4 C) D) 4 E) 8 8., x, y, z, beş terimde oluşa solu bir geometri dizi ise x.y.z çarpımı 8 açtır? A) B) C) D) E)

72 Diziler 9. Bir (a ) geometri diziside a = ve a 4 = 7 ise bu dizii il beş terimii toplamı açtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E). Bir geometri dizii il terimii toplamı S = 4 ise bu dizii dördücü terimi açtır? A) 7 4 B) 7 C) 9 4 D) 5 E) 8 0. İl üç terimi a +, 5, b ola solu dizi hem aritmeti hem de geometri dizi olduğua göre, b a açtır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 4. Bir geometri dizii il 6 terimii çarpımı, il terimii çarpımıı 64 atı ise bu geometri dizii 5. terimi açtır? A) B) 4 C) 8 D) 6 E). (a ) pozitif terimli bir geometri dizi olma üzere, a r = a. a r 4r ise r açtır? A) B) C) D) 4 E) 5 5. Pozitif terimli bir geometri dizii il 4 terimii toplamı, il terimii toplamıı 7 atı olduğua göre, bu geometri dizii orta çarpaı açtır? A) 6 B) 8 C) 4 D) E). x 6x + cx 4 = 0 delemii öleri bir geometri dizi oluşturuyorsa c açtır? A) 0 B) 6 C) 4 D) 48 E) 5 6. Pozitif terimli bir geometri dizide, a = ve a 5 = 8 ise, bu dizii geel terimi aşağıdailerde hagisidir? A) B) C) D) + E) +.C.C.D 4.B 5.C 6.E 7.C 8.A 9.E 0.E.B.E.A 4.B 5.C 6.B 56

73 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 ÖYS Dördücü terimi, yedici terimi 8 ola bir geometri dizii, yirmici terimi aç olur? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) ÖYS a 0 =, a =.a ve N olduğua göre a 6 A) 6! B) 5! açtır? D) 5! E) 6! C) 5!.6!. 98 ÖYS Bir geometri dizii il terimi a, orta çarpaı, ici terimi b dir. Bu dizii, il terim toplamıı a ve b ye bağlı olara ifadesi aşağıdailerde hagisidir? A) b a B) b + a C) b a + D) b a E) b a ÖYS Dışbüey bir dörtgede, açılar bir aritmeti dizii ardışı dört terimidir. E üçü açı 0 olduğua göre, e büyüğü aç derecedir? A) 60 B) 55 C) 50 D) 45 E) ÖYS N + da taımlı, geel terimi a = 5.(!) ola bir dizide a, a i aç atıdır? A) + 5 B) 5 C) D) 5 E) 5( ) ÖYS Bir dizii geel terimi, 8 a =.a dir. a = olduğua göre, a 6 açtır? A) B) 6 C) D) 5 E) 5! 5! 6 6! ÖYS x + ax + bx + c = 0 delemii öleri bir aritmeti dizi olduğua göre ortaca öü değeri aşağıdailerde hagisidir? A) a b D) a + b B) a b C) E) a + b + c ÖYS Bir aritmeti dizii 8. terimi a olduğua göre,. ve 4. terimleri toplamı edir? A) a B) a C) a D) a E) a 57

74 Diziler ÖYS Bir geometri dizii il terimi, iici terimi olduğua göre, altıcı terimi açtır? A) 8 B) 0 C) D) 9 E) ÖYS Yaşları toplamı 48 ola 6 ardeşi yaşları bir aritmeti dizi oluşturmatadır. E üçü ardeş yaşıda olduğua göre, e büyü ardeşi yaşı açtır? A) 9 B) C) 4 D) 5 E) ÖYS Bir geometri dizii ardışı üç terimi sırasıyla x, x +, x + 5 olduğua göre, x açtır? A) B) 0 C) D) 0 E) ÖYS =,,,... olma üzere il terimii toplamı S = + ola bir dizii 7. terimi açtır? A) 0 B) 4 C) D) 6 E). 99 ÖYS Bir geometri dizii il altı terimii toplamıı, il üç terimii toplamıa oraı Bu dizii r orta oraı açtır? A). D) dir. B) v C) v E) ÖYS Bir geometri dizii il üç terimi (a ), (a ) ve (4a + ) tür. Bua göre, bu dizii beşici terimi açtır? A) 45 B) 54 C) 6 D) 8 E) ÖYS Geel terimi a = ^+ h. ^+ h, N+ ola dizii il 7 terimii toplamı açtır? A) 8 45 B) 8 C) 4 D) 6 5 E) ÖSS ve 6 arasıa uygu ola tam sayı yerleştirilere 5 sayıda oluşa bir geometri dizi oluşturuluyor. Bu üç sayıı toplamı açtır? A) 78 B) 80 C) 8 D) 86 E) 90 58

75 Diziler LYS {a } ve {b } dizileri aşağıdai biçimde taımlaıyor. Z 0, 0 ( mod ) ise ] a = [, ( mod ) ise ], ( mod ) ise \ b = a = 0 Bua göre, b 4 açtır? A) B) C) 0 D) E) 9. 0 LYS (a ) dizisi +, 0( mod ) a = *, ( mod ) biçimide taımlaıyor. a9 a7 Bua göre, ifadesii değeri açtır? a8 4. a6 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) LYS (a ) dizisi a = 40 a + = a ( =,,,...) biçimide taımlaıyor. Bua göre, a 8 terimi edir? A) 4 B) 7 C) D) 5 E) 9 59

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı

DİZİLER - SERİLER Test -1

DİZİLER - SERİLER Test -1 DİZİLER - SERİLER Test -. a,,,,, dizisii altıcı terimi. Geel terimi, a ola dizii kaçıcı terimi dir? 6. Geel terimi, a! ola dizii dördücü terimi 8 8 6. Geel terimi, a k k ola dizii dördücü terimi 6 0 6

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden

8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerden MC TEST I Seriler ve Diziler www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir2@yahoo.com.tr 8. Bir aritmetik dizide a 2 = 2, a 7 = 8 ise, ortak fark aşağıdakilerde hagisidir? A) 0,8 B) 0,9

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.

BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir. BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde

biliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748

ISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748 ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?

+ y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? PROBLEMLER: 9 Sıavı 5 a, a, a,..., a Z, 0 a k olmak üzere, 95 sayısı faktöriyel tabaıda 5. k 95 = a+ a.! + a.! +... + a.! biçimide yazılıyor. a kaçtır? (! =...( ) ) 0 ( B ) ( C ) ( D ) ( E ). Bir ABC üçgeide

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI

11. SINIF KONU ÖZETLİ SORU BANKASI . SINIF MATEMATİK KONU ÖZETLİ SORU BANKASI Mil li Eği tim Ba ka lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş ka lı ğı ı 4.8. ta rih ve sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi le ve - Öğ re tim Yı lı da iti ba re uy

Detaylı

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)

Ele Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI) 5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat

Detaylı

h)

h) ĐZMĐR FEN LĐSESĐ TÜMEVARIM-DĐZĐLER-SERĐLER ÇALIŞMA SORULARI TÜME VARIM:. Aşağıdaki ifadelerde geel bir kural çıkarabilir misiiz? a) p()= ++4 poliomuda değişkeie 0,,,, değerleri verdiğimizde elde edile

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Diziler. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir dizinin genel ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersi Adı SINIFI: KONU: Diziler Dersi Kousu. Aşğıdkilerde kç tesi bir dizii geel terimi olbilir? I. II. log III. IV. V. 7 7 9 9 t 4 4 E). Aşğıdkilerde hgisi bir dizii geel

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura

Detaylı

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir?

A= {1,2,3}, B={1,3,5,7}kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangisi fonksiyon değildir? ÖRNEK 1 : A= {1,,}, B={1,,5,7}kümeleri veriliyor. A da B ye taımlaa aşağıdaki bağıtılarda hagisi foksiyo değildir? A) {(1,), (,5), (,7)} B) {(1,), (1,5), (,1)} C) {(1,1), (,1), (,1)} D) {(1,5), (,1), (,7)}

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.

3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P. 0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )

VII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( ) Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI.

TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI. TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM ADAMI YETİŞTİRME GRUBU ULUSA L İLKÖĞRETİM MA TEMATİK OLİMPİYADI DENEME SINAVI Birici Bölüm DENEME-4 Bu sıav iki bölümde oluşmaktadır. * Çokta seçmeli

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en

Detaylı

TOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM n=n(n+1) n-1= n

TOPLAM SEMBOLÜ TÜMEVARIM n=n(n+1) n-1= n TÜMEVARIM Mtemtite ulldığımız pe ço ispt yötemi vrdır.bu yötemlerde biride tümevrım yötemidir. P() bir çı öerme öermeyi doğru yp e üçü doğl syı, P() öermesii doğrulu ümesi N olsu B.P() olduğu gösterilir.yi

Detaylı

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:

SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ

T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ

Detaylı

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir.

KÖKLÜ İFADELER. = a denklemini sağlayan x sayısına a nın n inci. Tanım: n pozitif doğal sayı olmak üzere kuvvetten kökü denir. 1 Taı: pozitif doğal saı olak üzere kuvvette kökü deir. KÖKLÜ İFADELER = a dekleii sağlaa saısıa a ı ici = a dekleide = a, tek ise a 0 ; = ± a, çift ise Uarı: = ise, a = a olarak gösterilir. a ifadesie

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com

8. sınıf ders notları zfrcelikoz@yahoo.com III - SAYI ÖRÜNTÜLERİ Htırltm: Syılrı virgülle yrılrk, birbirii rdı dizilmesie syı dizisi, dizideki her bir syıy d terim deir. hrfi verile örütüde syılrı sırsıı belirte semboldür ve ici syıy örütüü geel

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)

Bağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b) Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI

İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 2018 SINAVI ÖGRENCİNİN ADI SOYADI : T.C. KİMLİK NO : OKULU / SINIFI : SINAVA GİRDİĞİ İLÇE: SINAVLAİLGİLİUYARILAR: İSTANBUL İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ BİLİM OLİMPİYATLARI 018 SINAVI Kategori: Lise Matematik Soru Kitapçık

Detaylı

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10

OLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 . ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma

Detaylı

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere

... SERİLER Tanım: 2 3 toplamı kaçtır? Çözüm: serisinde 10. kısmi terimler. Ör: bir reel sayı dizisi olmak üzere SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

KOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B

A) π B) 4 π C) 9 π D) 16 π E ) π 6. Çözüm: Yanıt:A. 5. ax +by+ 5 = 0 } denklemlerini aynı zamanda. Çözüm: Yanıt:B . +? + + işlemii soucu aşağıdakilerde xy } y 5,x 4 5x 4y Ç 6y +7x 6.5+7.4 58 cm Yaıt:C hagisie eşittir? A) 7 B) 4 C) 7 4 D) 7 7 E ) 7 4. Aşağıda alaları verile dairelerde hagisii alaı sayıca çevresie eşittir?

Detaylı

1991 ÖYS. )0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 123 B) 432 C) 741 D) 864 E) 987

1991 ÖYS. )0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 123 B) 432 C) 741 D) 864 E) 987 99 ÖYS.,8 (, ), işleminin sonucu açtır? A) B) C) D) E) 7. Raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en büyü sayı ile raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en üçü sayının farı açtır?

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI Neşe İŞLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır ÖZET Yüse Lisas Tezi

Detaylı

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine

6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri

Detaylı

POL NOMLAR. Polinomlar

POL NOMLAR. Polinomlar POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit

Detaylı

6. 1. terimi 35, 4. terimi 26 olan aritmetik dizinin. 7. İlk üç teriminin toplamı 27 ve ilk 5 teriminin. 8. İlk terimi a1

6. 1. terimi 35, 4. terimi 26 olan aritmetik dizinin. 7. İlk üç teriminin toplamı 27 ve ilk 5 teriminin. 8. İlk terimi a1 ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Aritmetik ve Geometrik Diziler Dersin Konusu. Birinci terimi, ikinci terimi 7 olan aritmetik dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisidir?

Detaylı

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler...

VERİ. gelir (bin) y l ÜNİTE 66 VERİ 2,5 1,5 1,2 KAVRAMSAL ADIM. Sayfa No VERİ... 478 496. σ = 1. İstatistik, Veri ve Grafikler... ÜİTE KAVRAMSAL ADIM Sayfa o.... 8 9 İstatistik, Veri ve Grafikler.... 8 Merkezi, Eğilim ve Yayılım Ölçüleri... 8 Açıklık, Çeyrekler Açıklığı........................................................ 8 Varyas

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10

n ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10 KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise

Detaylı

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar

Permütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar 0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl

Detaylı

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar

ünite12 POLİNOMLAR Polinomlar ünite1 POOM = 1 Polinomlar 0 1 1. şağıdakilerden hangileri bir polinom değildir?. x 4 + 3. x 3 3x 5 +. x 6 1 V. x 4 1 + V. 5x 1 8 POOM POOM 5. P(x) = (a )x + (b + 3)x + ab 1 polinomu sabit bir polinom

Detaylı

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve

Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ

İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Prof.Dr.Hüseyi ÇAKALLI İKİNCİ BÖLÜM REEL SAYI DİZİLERİ Bu ölümde dizileri, yi tım kümesi doğl syılr kümesi, değer kümesi, reel syılr kümesii ir lt kümesi ol foksiyolrı iceleyeceğiz... Ykısk Diziler. Öce

Detaylı

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır.

tanımlanabilir. Bu nedenle olasılık konusu küme teorisini bir araç olarak kullanmaktadır. . OLASILIK TEORİSİ İstatistisel araştırmaları temel oularıda biri soucu öcede esi olara bilimeye bazı şasa bağlı olayları (deemeleri) olası tüm mümü souçlarıı hagi sılıla ortaya çıtığıı belirleyebilmetir.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı