6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

Transkript

1 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

2 -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay olarak adladırılır ve ile gösterilir. a, a,, a : i içi a i

3 VEKTÖR UZAYI Taım: V boş olmaya bir küme ve -boyutlu uzay (cisim) olsu. Aşağıdaki öermeler doğru ise V kümesi uzayı üstüde bir vektör uzayıdır.

4 VEKTÖR UZAYI. V kümeside + ile gösterile ve adıa toplama deile bir işlem taımlamıştır. Bu işlemi aşağıdaki özellikleri vardır. a. Her u,vv içi u+v taımlıdır ve u+vv. V kümesi toplama işlemie göre kapalıdır. b. Her u,v,wv içi (u+v)+w=u+(v+w) V kümeside toplama işlemii birleşme özelliği vardır. c. V ve her uv içi u+=+u V kümeside toplama işlemii birim elemaı vardır ile gösterilir. d. her uv içi V kümeside u ile gösterile ve u+(-u)= ve (-u)+u= eşitliklerii sağlaya bir u elemaı vardır ve V kümeside toplamaya göre ters elemaı temsil eder. e. Her u,vv içi u+v=v+u özelliği vardır. V kümeside toplama işlemii değişme özelliği vardır.

5 VEKTÖR UZAYI V V, (a,u)au biçimide, adıa skalerle çarpma işlemi deile bir foksiyo taımlamıştır ve bu foksiyo aşağıdaki öermeleri doğrular: a. Her a ve her u,vv içi a(u+v)=au+av. b. Her ab, ve her uv içi (a+b)u=au+bu. c. Her ab, ve her uv içi (ab)u=a(bu). d. i çarpmaya göre birim elemaı olduğua göre V i her elemaı içi u=u.

6 VEKTÖR UZAYI Not: Verile taımda a-d öermeleri (V,+) ikilisii bir grup olduğuu gösterir. e öermesi ise (V,+) grubuu değişmeli grup olduğuu gösterir. Taım: Bir vektör uzayıı her bir elemaıa vektör deir.

7 ALT VEKTÖR UZAYI Taım: V kümesi, uzayı üstüde bir vektör uzayı ve H kümesi ise, V i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Aşağıdaki iki öerme doğru ise H kümesi V kümesii bir alt vektör uzayıdır deir.. Her u,vh içi u+vh H kümesi toplama işlemie göre kapalıdır.. Her a ve her uh içi auh H kümesi skalerle çarpma işlemie göre kapalıdır.

8 VEKTÖR UZAYI İki vektör birbirleriyle çarpılabilir fakat bölüemez. İç çarpım ve vektörel çarpım, vektör uzaylarıda yer almaz. Örek: E temel örek Örek: uzayıda vektörleri toplaması ve çarpılmasıdır(iç çarpım) uzayıı herhagi doğrusal bir alt uzayı da bir vektör uzayıdır. Alt uzayı taımı göz öüe alıarak, vektörlerle birlikte vektörleri toplamları ve çarpımları taımlı oldukları alt uzayda alamlıdır.

9 VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL KOMBİNASYONU Taım: V kümesi, uzayı üstüde bir vektör uzayı ve E kümesi, E v, v,, v ise, V i boş olmaya solu bir alt kümesi olsu. uzayıda (cismide) herhagi c, c,, c elemaları alıarak elde edile, w cv cv cv vektörüe v, v,, v vektörlerii doğrusal kombiasyou deir. Bkz. Soru

10 DOĞURAN(BAZ) VEKTÖRLER Taım: V vektör uzayıı her v vektörü, yie bu uzayı v, v,, v gibi tae vektörüü doğrusal kombiasyou olarak; v cv cv cv civ i şeklide ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesie, v, v,, vvektörleri tarafıda türetilmiş (gerilmiş) bir vektör uzayı deir. v, v,, v vektörlerie uzayı türete (gergi) vektörleri ya da baz vektörler deir.

11 DOĞRULMUŞ UZAY Taım: S v, v,, v baz vektörler kümesi ile türetilmiş bir W doğrusal uzayı, lis ya da li v, v,, v ile gösterilir. Bkz. Soru

12 DOĞRULMUŞ UZAY Teorem: α, α,, α ve β, β,, β k kümeleri bir V vektör uzayıı alt kümeleri olsu. j olacak şekilde her j doğal sayısı içi α vektörü, β, β,, β k kümesii bir doğrusal kombiasyou, ise α c β c β c β c β j j j kj k ij j i α α α β β β li,,, li,,, k k j

13 EN KÜÇÜK ALT UZAY Teorem: v, v,, v, V vektör uzayıdaki vektörler olsu. a. v, v,, v vektörlerii tüm doğrusal kombiasyolarıı oluşturduğu W kümesi V vektör uzayıı bir alt kümesidir. b.eğer v, v,, v vektörlerii içere V vektör uzayıı e küçük alt uzayı W ise v, v,, v vektörlerii içere V vektör uzayıı tüm diğer alt uzayları W kümesii içerir.

14 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Taım: Eğer S v, v,, v boş olmaya bir vektörler kümesi ise, cv cv cv vektör deklemii, c c c ile taımlaa e az bir çözümü vardır. Tek çözüm bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal bağımsızdırlar. E az bir ci olacak şekilde çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır. Bkz. Soru 3

15 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: m uzayıda, v, v, vm v,, v, v,, vm v, v, v v,, v m m m, mm vektörleri verilmiş olsu. v,, v m vektör kümesii doğrusal bağımsız olması içi, v v v m v v v m vm vm vmm olması gerekli ve yeterlidir. Bkz. Soru 3

16 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: İki ya da daha fazla vektör içere bir S kümesi, a. acak ve acak S kümesideki vektörlerde e az biri bu kümedeki diğer vektörleri doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebiliyor ise doğrusal bağımlıdır. b. acak ve acak S kümesideki vektörleri hiç biri bu kümedeki diğer vektörleri doğrusal kombiasyou olarak ifade edilemiyor ise doğrusal bağımsızdır.

17 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: m uzayıda, v,, v vektörleri verilsi. m< ise v,, v kümesi doğrusal bağımlıdır.

18 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 3 ya da boyutlu uzayda başlagıç oktaları orijie yerleştirilmiş iki vektör acak ve acak, ayı doğru üzeride yer almıyor ise bağımsızdırlar. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

19 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 3 boyutlu uzayda başlagıç oktaları orijie yerleştirilmiş üç vektör acak ve acak, ayı düzlem üzeride yer almıyor ise bağımsızdırlar. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız

20 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Düzlemsel aalitik geometride, düzlemdeki bir P oktasıa ait (a,b) koordiatları, birbirie dik iki koordiat eksei üzerie P oktasıı izdüşüm değerlerii belirtir. Her bir koordiat çifti bu düzlemdeki bir ve yalız bir oktaya karşılık gelir. Koordiat sistemi düzlemdeki oktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasıda bire bir bir ilişki taımlar.

21 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Birbirie dik ekselerde oluşa koordiat sistemi e çok kullaıla sistemdir. Buula birlikte bu düzlemde birbirie paralel olmaya her hagi iki doğru da bir koordiat sistemi taımlamak içi kullaılabilir.

22 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Amaç; bir koordiat sistemi kavramıı vektör uzayları üzeride geellemektir. Başlagıç aşaması, bu koordiat sistemii oluştura ekseler yerie vektörleri kullaılmasıa imka taıya bir formülasyo taımlamaktır. Her bir koordiat eksei uzuluğu birim ola bir vektör ile değiştirilir. Öreği v ve v gibi.

23 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ P düzlemdeki bir okta ise OP vektörü, v ve v vektörlerii doğrusal kombiasyou; OP=av +bv olarak yazılabilir. Vektör formülüde yer ala a ve b sayıları P oktasıı bu koordiat sistemideki koordiat değerleridir.

24 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Taım: Bir koordiat sistemii belirleye vektörlere baz vektörler deir. Birim uzulukta olmaları şart değildir. Bir koordiat sistemi baz vektörler kümesi ile taımladığıda, baz vektörleri uzulukları koordiat ekseleri üzerideki ardışık tam sayılar arasıdaki mesafeyi belirler.

25 BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ

26 BAZ: TABAN Taım:Eğer V her hagi bir vektör uzayı ise ve S v, v,, v, V vektör uzayıdaki bir vektörler kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumuda S kümesi baz olarak adladırılır. a. S kümesi doğrusal bağımsızdır. b.s kümesi V vektör uzayıı türetir.

27 Matematikte bir problem ilk kez oluşturulduğuda e çok bilie ve kullaıla stadart koordiatlardır. Öreği problem 3 uzayıda taımlamış ise x, y ve z ile taımlaa kartezye koordiatlar kullaılır. Bu koordiat sistemide taımlı stadart baz, 3 e e e z y x z y x z y x eşitlikleri ile verilebilir. 3,, e e e S kümesi 3 içi stadart baz vektörlerdir. STANDART BAZ

28 STANDART BAZ Bir uzayıdaki birim vektörler e,,,, e,,,,,,,, ise bu vektörleri oluşturduğu küme, S e, e,, e uzayıda doğrusal bağımsız bir kümedir. uzayıdaki her hagi bir v v, v,, v vektörü v ve ve ve şeklide yazılabileceği içi S kümesi ayı zamada vektör uzayıı türetir. Taım: S e, e,, e kümesi vektör uzayı içi bir bazdır ve stadart baz olarak adladırılır:

29 uzayıda taımlı stadart baz S e,..., e iki özelliği: STANDART BAZ vektörleri öemli Stadart baz vektörler birim uzuluğa sahiptir. e i e i e i e T i e i Stadart baz vektörler çifterli olarak ortogoaldir. T e e e e, i j içi i j i i Bu iki özellik, e i e j ij, i, i j j şeklide özetleebilir. Burada ij Kroecker deltadır ve birim matrisi elemalarıı taımlar.

30 STANDART BAZ Yukarıdaki eşitliklerde görülebileceği gibi verile v ve w gibi iki sütu vektörü içi v.w iç çarpımı ile v T w matris çarpımı ayı soucu verir. Burada souç bir skalerdir.buula birlikte T vw şeklide taımlaa dış çarpım soucuda bir kare matris elde edilir. Stadart baz vektörleri dış çarpımı ile aşağıdaki ilgiç matrisler elde edilir.

31 T e e π T e π e STANDART BAZ

32 STANDART BAZ π i matrisleride i-ici köşege elema olup, diğer tüm elemalar sıfırdır. π π e i l i e T i e j e T j e i δ ij e T j olduğuda, π i π l πi i j i j olur. Ayrıca köşege elemaları,...,, ola bir D köşege matrisi, D π... şeklide yazılabilir. π

33 FARKLI BAZ YAPILARI Bazı özel problemler içi, problemi basitleştire farklı bir koordiat sistemi de olabilir. Öreği; bir gezegei güeş çevresideki hareketi ile ilgileildiğide güeş, oriji oktasıa koularak problemi çözümü kutupsal koordiatlarda gerçekleştirilebilir. Stadart bazda farklı vektörleri taımladığı vektör kümesi geellikle, S v,..., v şeklide taımlaır.

34 BAZ: TABAN Teorem 6.: Eğer Bkz. Soru 4 Bkz. Soru 5 S v, v,, v kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise, V vektör uzayıdaki her v vektörü v cv cv cv olacak şekilde tek bir doğrusal kombiasyola ifade edilebilir.

35 BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Taım: Eğer S v, v,, v kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise ve herhagi bir v vektörü v cv cv cv ile taımlamış ise c, c,, c skalerleri S bazıa göre v vektörüü koordiatlarıdır ve v ile gösterilir. Bkz. Soru 6 s c c c

36 BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Teorem: uzayıda taımlı bir v vektörüü koordiatları eşsizdir. İspat: uzayıda taımlı bir v vektörü içi iki koordiat kümesii olduğu varsayılsı: v v c d v cv v dv

37 BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Bu iki ifade birbiride çıkarılarak, c d v c d v v, v baz vektörleri, doğrusal bağımsız olduğu içi d d c d ve c d c olmalıdır. Souç olarak koordiatları eşsiz olduğuu kaıtlar. c ve buluur. Bu souç Elde edile souç içi geelleebilir.

38 BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Eğer bir uzayı içi bir baz vektörler kümesi S v,..., v taımlamış ise, bu vektör uzayıdaki bir v vektörüü bu baza göre koordiatları, baz vektörleri oluşturduğu, A v,..., v matrisi ve bilimeye koordiat vektörüü v s c c oluşturduğu Av v s doğrusal deklem sistemi çözülerek elde edilir.

39 ORTOGONAL-ORTANORMAL BAZLAR Stadart baz gibi öemli özelliklere sahip diğer baz yapıları da ortogoal ve ortaormal bazlardır. Ortogoal baz p,...,p vektörler kümesideki tüm vektörler ikişerli olarak birbirie diktir(ortogoaldir). p, i j içi i p j Ortaormal baz u,...,u vektörler kümesideki tüm vektörler ortogoal olmalarıı yaıda, ayı zamada birim uzuluğa sahiptir. u u i j δ ij

40 ORTANORMAL BAZLAR Teorem: bir ortaormal baz u,...,u içi v vektörü, v vu u vu u... vu i i u i şeklide ifade edilebilir.

41 ORTANORMAL BAZLAR İspat: içi bir ortaormal baz T u,..., u olsu. T bir baz olduğu içi deki bir v vektörü baz vektörleri doğrusal kombiasyou olarak, v c u... c u yazılabilir.

42 ORTANORMAL BAZLAR T kümesideki herhagi bir vektör ile v vektörüü iç çarpımı, u i vektörleri ortaormal olduğuda, vu i c u u... c u u... i i i i c u u i c... c i... c c i Elde edile souç kullaılarak, v vu u... vu u ispat tamamlaır.

43 BAZ ve BOYUT Taım: Sıfırda farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler kümesi v, v,, v solu sayıda vektörü içeriyor ise solu boyutlu olarak adladırılır. Aksi halde sosuz boyutlu vektör uzayı deir.

44 BAZ ve BOYUT Teorem: Eğer S v, v,, v kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise V vektör uzayıdaki adette fazla vektör içere her küme doğrusal bağımlıdır. Teorem: Solu boyutlu bir vektör uzayı içi her hagi iki baz küme ayı sayıda vektöre sahiptir. Taım: Solu boyutlu bir V vektör uzayıı boyutu baz vektör kümesideki vektör sayısıdır ve dim(v) ile gösterilir

45 BAZ ve BOYUT Teorem: V boyutu ola bir vektör uzayı olsu. a. S v, v,, v r kümesi V vektör uzayıdaki doğrusal bağımsız vektörleri oluşturduğu bir küme ise ve eğer r< ise, S kümesi V vektör uzayıı bir bazı olacak şekilde vr, vr,, v vektörleri dahil edilerek geişletilebilir. Burada V vektör uzayıı baz kümesi; S v, v,, vr, vr, vr,, v b. Eğer W, V vektör uzayıı bir alt uzayı ise; dim W dim V. Acak ve acak W=V ise dimw dimv

46 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Taım: Boyutu m ola bir A matrisi a a a a a a A am am am olsu. A matrisii satır vektörleri; r a, a, a r a, a, a r m am, am, am ve sütu vektörleri: a a a a c, c,, am am c a a a m

47 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI Boyutu m ola bir A matrisi sütu vektörlerie göre, A c c c ya da satır vektörlerie göre, r r A rm yazılabilir.

48 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Teorem: Eğer A ve B satır dek matrisler ise a. A matrisii verile bir sütu vektörü kümesi acak ve acak B matrisii karşılık gele sütu vektörü kümesi doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır. b. A matrisii verile bir sütu vektörü kümesi acak ve acak B matrisii karşılık gele sütu vektörü kümesi B matrisii sütu uzayı içi bir baz oluşturuyor ise A matrisii sütu uzayı içi bir baz oluşturur. Bkz. Soru 9

49 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Teorem: Eğer bir matris satır echelo yapısıda ise satırda ilk (pivot) elemaa sahip sütu vektörleri bu matrisi sütu uzayı içi bir baz oluşturur. Bkz. Soru Sütu uzayı içi bulua vektörler orijial matrisi vektörleridir. Buula birlikte satır uzayı içi yapıla çalışmada bulua baz vektörler orijial matrisi vektörleri değildir.

50 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAYI Souç olarak bir Ax doğrusal deklem sistemi; ax a x a x ax ax ax Ax amx amx amx a a a a a a x x x am am am ya da eşdeğer olarak: Ax x c x c x c

51 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Doğrusal cebir uygulamalarıda, uzayıı alt uzayları geellikle şu iki şekilde ortaya çıkar: ) doğrusal homoje deklem sistemii çözüm kümesi olarak Ax (boş uzay) ya da ) verile vektörler kümesii tüm doğrusal kombiasyolarıı kümesi olarak, Ax b [rak(a)]

52 BOŞ UZAY Bir Matrisi Boş Uzayı: Bir homoje deklem sistemii çözüm kümesi, vektör uzayıyla taımlaabilir. Boyutu m ola bir A matrisi içi boş uzay, Ax deklem sistemii çözüm kümesidir. Taım: Boş Uzay Boyutu m ola bir A matrisii Null(A) ile gösterile boş uzayı, Ax homoje deklem sistemii tüm çözümlerii kümesidir. Küme otasyouda, Null A x : x ve Ax A matrisii boş uzayı ker(a ) (çekirdek) olarak adladırılır.

53 Not-: Belirtile bu küme BOŞ UZAY uzayıı bir alt uzayıdır. Eğer boyutu m ola bir matris iceleiyorsa, Null(A) uzayıı elemaları uzayıda taımlı vektörlerdir. Not-: Null(A) uzayıı elemaları(hagi vektör uzayıa ait oldukları), sadece A matrisii sütu sayısıa bağlıdır. Not-3: Homoje deklem sistemleride daima e az bir sıfır çözüm ( vektörü) olduğuda, Null A olur. Asıl soru sıfırda farklı çözümü olup olmadığıdır. Eğer A matrisii tersi alıabiliyorsa, Null A dır. Buu alamı: Eğer A matrisii tersi alıabiliyorsa, Ax homoje deklem sistemii sadece sıfır çözümü vardır.

54 BOŞ UZAY Bir uzay içi herhagi bir alt uzay (bir matrisi boş uzayı gibi) taımlamaı e kolay yolu, o uzay içi bir baz taımlamaktır. Bir deklem sistemii çözümüde Ab geişletilmiş matrisi üzerie elemater satır işlemleri uygulaarak çözüm elde edilmekteydi. Bu edele elemater satır işlemlerii doğrusal deklem sistemii çözüm kümesii değiştirmediği açıktır. Not-4: Bir matrisi bazı, elemater işlemler ile matrisi echelo matrise idirgeyerek belirleir. Daha sora Ax içi çözüm kümesi bulumalıdır. Bir matrisi boş uzayı bulumak istediğide, öcelikle buu içi bir baz belirlemelidir. Öcelikle Null(A) uzayıı elemalarıı, uzayıı elemaları olduğu belirlemelidir.

55 BOŞ UZAY Boyutu m ola bir A matriside elemater satır işlemleri ile elde edile matris B olsu. Bu matrisleri sütu vektörleri sırası ile, c, c,, c c, c,, c olsu. İki matris içi homoje doğrusal deklem sistemleri Ax= Bx= ya da xc xc xc xc xc x c

56 BOŞ UZAY Örek: A matrisii boş uzayı belirlesi. Bu sistemi geişletilmiş matrisi, ve echelo yapısı 3 Sistemi çözümü t x s x t s x r x t s r x

57 BOŞ UZAY ya da t s r x x x x x şeklide yazılabilir.

58 BOŞ UZAY u, v ve 3 w olmak üzere, w v u,, kümesi Null(A) uzayıı taımlaya baz vektörlerdir ve Null(A), w v u,, i bir alt kümesidir. Belirtile bu küme doğrusal bağımsızdır ve Null(A) içi bir bazdır. Böylece Null(A), 3 boyutludur ve 3,, bazıyla 5 uzayıı bir alt uzayıdır.

59 BOŞ UZAY Teorem: Bir A matrisi üzeride yapıla elemater satır işlemleri Null(A) uzayıı değiştirmez. Taım: Bir A matrisi içi boşluğu boyutu, ullity(a) ile gösterilir ve boş uzayı boyutua eşittir.

60 BOŞ UZAY Örek: Aşağıda verile bir A matrisi ele alısı. 3 A Bua göre,, vektörü, 3 Sağlaıyorsa A matrisii boş uzayıda yer alır.

61 BOŞ UZAY Ayı şekilde,, vektörü, 3 3 Eştiliğii sağlamadığı içi A matrisii boş uzayıda yer almaz.

62 SATIR-SÜTUN UZAYI Taım: Boyutu m ola bir A matrisi içi,. A matrisii satır uzayı, yie A matrisii satır vektörleri ola r,...,r m bazıı taımladığı bir uzaydır.. A matrisii sütu uzayı, yie A matrisii sütu vektörleri ola c,...,c m bazıı taımladığı bir uzaydır.

63 SATIR-SÜTUN UZAYI Not: Bir A matrisii satır uzayı uzayıı bir alt uzayı, sütu uzayı ise m uzayıı bir alt uzayıdır. Böylece Boyut(satır uzayı(a)) ve Boyut(sütu uzayı(a)) m olur. Doğrusal deklem sistemlerii çözümü ile matrisler arasıda yakı bir ilişki olduğua göre, bir A matrisii ve Ax b deklem sistemii boş uzayı, satır uzayı ve sütu uzayı arasıda bir ilişki mevcut mudur?

64 Bilimeye vektörü SATIR-SÜTUN UZAYI x x x x olmak üzere, deklem sistemi Ax x c x c... x c şeklide yazılabilir. Böylece x c xc... x c b olur. Bu sistemi bir çözümüü olabilmesi içi b vektörü, c c,..., kümesii taımladığı uzayda yer almalıdır., c

65 SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: Ax b deklem sistemi, sadece ve sadece b vektörü A matrisii sütu uzayıda buluduğuda tutarlıdır. Teorem: Bir A matrisi üzeride yapıla elemater satır işlemleri satır uzayıı değiştirmez. Not: Tüm matrisler eşsiz bir satır-echelo yapıya döüştürülebilir Not: Bu teorem bir A matrisii sütu uzayı içi geçerli değildir. Örek: R ( ) İkici matrisi sütu uzayıı tüm ikici elemaları sıfırke, ilk matris içi ayı durum söz kousu değildir.

66 SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: A ve B satır dek matrisler(biride uygulaa elemater satır işlemleriyle diğeri elde edilebiliyorsa) olmak üzere,. A matrisii sütu vektörleri kümesi sadece ve sadece B matriside bu vektörlere karşılıkgele sütu vektörleri doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır.. A matrisii sütu vektörleri kümesi sadece ve sadece, B matriside bu vektörlere karşılık gele sütu vektörleri B matrisii sütu uzayı içi bir baz taımladığı durumda A matrisii sütu uzayı içi bir baz taımlar. Not: Satır-echelo formdaki bir matrisi sıfır olmaya satırları bağımsızdır. Satır-echelo formdaki bir matrisi sıfır olmaya satırları, matrisi satır uzayı içi bir baz taımlar.

67 SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: Eğer bir A matrisi echelo formda ise,. Pivot elemaı ola satır vektörleri A matrisii satır uzayı içi birer baz taımlar.. Pivot elemaı ola sütu vektörleri A matrisii sütu uzayı içi birer baz taımlar. Sütu uzayı içi bulua vektörler, orijial matrisi vektörleridir. Buula birlikte, satır uzayı içi yapıla çalışmada bulua baz vektörler, orijial matrisi vektörleri değildir. Yukarıdaki iki teoremde alaşılabileceği üzere, bir matrisi satır uzayı araştırılıyor ise ilk işlem, matrisi satır echelo yapıya döüştürmek ve pivot elemaa sahip satırları belirlemektir

68 SATIR UZAYI SÜTUN UZAYI BOŞ UZAY Satır uzayıı orijial matris vektörleri olarak elde edilmesi: a. Orjial matrisi traspozuu al. Bu işlem orijial A matrisii satır uzayıı A T matrisii sütu uzayıa döüştürür. b. A T matrisi içi satır echelo matrisi elde et. Bu işlem A T matrisii sütu uzayı içi baz vektörleri bulacaktır. c. Bulua baz sütu vektörlerii traspozuu al. Bu işlem A matrisii satır uzayıı orijial vektörler ciside elde eder. Bkz. Soru

69 SATIR-SÜTUN UZAYI Elemater satır işlemleri soucuda sütu uzayı ayı kalmadığı içi, bir matrisi sütu uzayıı belirlemesi kısme daha zordur. Bir A matrisii satır-echelo formdaki yapısı B matrisi olsu. Belirtile A matrisii sütuları c,...,c, B ' ' matrisii sütuları da c,..., c vektörleri olsu. Bu durumda B matrisii sütularıda pivot elemaı ola sütulara bakılır. A matrisii sütu uzayıda baz oluştura c i vektörleri, B matrisii sütularıda pivot elemaı ola sütulara karşılık gele ' c i vektörlerii idisi i değerlerie göre belirleir.

70 RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Teorem: A herhagi bir matris olmak üzere, A matrisii satır uzayı ve sütu uzayı ayı boyuta sahiptir. Taım: Bir A matrisii satır uzayı ve sütu uzayıı boyutu A matrisii rakı olarak adladırılır.

71 SATIR-SÜTUN UZAYI Taım: Bir matrisi rakı, satır/sütu uzayıı boyutua eşittir. Teorem: Boyutu m ola bir A matrisi içi, rak A ullity A

72 SATIR-SÜTUN UZAYI Örek: Echelo formdaki A matrisi ele alısı A Bua göre A matrisii satır ve sütu uzayları içi bir baz buluuz.

73 SATIR-SÜTUN UZAYI Çözüm: Verile matris echelo formda olduğu içi yukarıdaki teorem doğruda uygulaabilir. Satır uzayı: lerle başlaya satır vektörleri kümesi bir bazdır., 3 3, 5 Satır uzayı 3 boyutludur. Sütu uzayı:,, Sütu uzayı 3 boyutludur. Not: Yukarıdaki örekte satır ve sütu uzaylarıı boyutlarıı ayı olması tesadüf değildir. Her zama satır ve sütu uzaylarıı boyutları eşittir.

74 SATIR-SÜTUN UZAYI Teorem: Eğer x vektörü, Ax b deklem sistemii bir çözümü ve v,..., v k da A matrisii boş uzayı içi bir baz ise, x vektörü sadece ve sadece x x c v... c k v k ise Ax b deklem sistemii bir çözümüdür.

75 İspat: SATIR-SÜTUN UZAYI Ax b deklem sistemii bir çözümü x ve v,..., v r A matrisii boş uzayı içi bir baz olsu. Eğer x vektörü Ax b deklem sistemii bir çözümü ise Ax b ve ya da Ax x Ax Ax x x c v c v... olur. Böylece x x vektörü A matrisii boş uzayıdadır. c r v r Tersie, herhagi c,...,, c cr skalerleri içi x x cv cv... c r vr olmak üzere x, Ax b deklem sistemii bir çözümü ise x vektörü Ax b deklem sistemii çözümüdür. Ax A x c v c v... c r v r Ax c Av c Av... b... c r Av r Burada v i vektörleri Null(A) uzayı içi bir bazdır.

76 SATIR-SÜTUN UZAYI Boyutu m ola bir A matrisi ele alısı. A matrisi ile çarpım foksiyouu; Girdileri uzayıda taımlı vektörler, Çıktıları ise m uzayıda taımlı vektörlerdir. A matrisii boş uzayı, bu foksiyo ile sıfıra ataa tüm vektörleri oluşturduğu kümedir. A matrisii görütü kümesi, bu foksiyou tüm mümkü çıktılarıdır. A matrisii satır uzayı, boş uzaya her zama dik ola ve satır vektörlerii bir baz taımladığı uzaydır. A matrisii sütu uzayı,görütü kümesiyle her zama ayı ola ve sütu vektörlerii bir baz taımladığı uzaydır.

77 BOŞ UZAY A matrisi ile çarpım

78 BOŞ UZAY Yukarıdaki şekilde soldaki koyu düzlem boş uzaydır ve bu düzlemdeki herhagi bir oktaı A matrisi ile çarpımı sıfırdır. Sağdaki oktalar ise vektörler A matrisi ile çarpıldığıda ortaya çıkabilecek bazı mümkü souçları göstermektedir. Yie sağdaki doğru ise sütu uzayıa eşit ola görütü kümesii göstermektedir. Soldaki doğru ise satır uzayıı göstermektedir.