Kırım Filtresi ve Alt Örnekleme

Transkript

1 Kırım Filtresi ve Alt Örnekleme Örneklenmiş bir sinyalin örnek azaltma işleminde M değerleri arttıkça spektral örtüşme kaçınılmaz hale gelmektedir, bu spektral örtüşmeden kaynaklı veri kaybını yok edemeyiz ancak spektral örtüşmeyi azaltmak için kırım filtresi kullanabiliriz. Bu işlem dijital sinyali örnek azaltma işleminden önce frekans düzleminde kırım filtresi ile çarpılarak sağlanabilir. Bu filtre aşağıdaki gibi; H dn (ω) = eğer ω < π M ve olarak tanımlanmaktadır eğer π { M < ω < π } h dn [n] = M sinc( n M ) Örnek: Ts=/ örnekleme perioyodu ile örneklenmiş bir Sinc (t) sinyalini M= ile alt örnekleme işlemine tabi tutunuz, sonrasında kırım filtresini tanımlayıp çizdiriniz, son olarak kırım filtresinden geçirerek alt örnekleme işlemine tabi tutup spektral düzlemde inceleyiniz. Kodumuzu yazmaya aşağıdaki gibi başlayalım ve örnekte verilen Sinc (t) sinyalini tanımlayıp fourier dönüşümünü hesaplatalım. clc;clear all; close all; t=-:/:; w=linspace(-*pi,*pi,length(t)); Ts=/; ts=-:ts:; n=ts./ts; xn=(sinc(ts)).^; M=; xsw=zeros(,length(w)); for k=:length(w) xsw(k)=sum(xn.*exp(-j.*w(k).*n));

2 Bu örnekte toplam grafik elde edeceğiz, elde edeceğimiz bu grafikleri, çizim sonucunu üç satır ve iki sütun halinde göstermek için subplot komutunu kullanıp yukarıda oluşturduğumuz sinyalin Fourier dönüşümünü ilk çizim kısmına yerleştirelim. Bunun için yukarıdaki koda aşağıdaki satırları ekleyelim. figure() subplot(3,,) plot(w,abs(xsw)) ylabel('f[sinc^(ts)]') title('sinc^(nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü') Şimdi örnekte istiği gibi sinyalimizi M= ile alt örnekleme işlemine tabi tutalım ve ilk iki çizim sonucunu çizdirelim. Kodumuzu yazmaya aşağıdaki gibi devam edelim. Yukarıdaki kodda elde ettiğimiz alt örneklenmiş sinyallerin çizilerini yapmak için koda aşağıdaki gibi devam edelim. subplot(3,,) for k=:m-; plot(m*w-*pi*k,abs(xsw)/m) hold on ylabel('f[sinc^(ts)]') title('m= ile alt örneklenmiş Sinc^(nTs) sinyalinin Fourier Dönüşümü') xlim([-*pi *pi]) Şimdiye kadar yazdığımız kodu çalıştırdığımızda aşağıdaki sonucu elde edeceğiz.

3 Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü M= ile alt örneklenmiş Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü.5 F[Sinc (ts)] - - F[Sinc (ts)].5 - Yukarıdaki çizimde de görüldüğü üzere, sinyalimiz alt örnekleme işlemine tabi tutulunca spektral düzlemde örtüşme meydana geliyor, bu örtüşmeyi azaltmak için kırım filtresini aşağıdaki gibi tanınlayalım. Ve çizime üçüncü sırada olacak şekilde ekleyelim. hdn=(/m)*sinc(n./m); subplot(3,,3) stem(n,hdn) xlabel('n (tamsayı)') ylabel('/m Sinc(n)]') title('n Düzleminde Kırım Filtresi') Şimdi bu tanımladığımız kırım filtresinin Fourier dönüşümünü hesaplatalım ve çizdirelim. hdw=zeros(,length(w)); for h=:length(w) hdw(h)=sum(hdn.*exp(-j.*w(h).*n)); subplot(3,,) plot(w,abs(hdw)) ylabel('f[/m Sinc(n)]]') title('spektral Düzleminde Kırım Filtresi') xlim([-*pi *pi]) Yukarıdaki kodu çalıştırdığımızda aşağıdaki gibi gözlemleyeceğiz 3

4 Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü M= ile alt örneklenmiş Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü.5 F[Sinc (ts)] F[Sinc (ts)] n Düzleminde Kırım Filtresi Spektral Düzleminde Kırım Filtresi /M Sinc(n)].. F[/M Sinc(n)]] n (tamsayı) Yukarıdaki çizimden de gözlemliği gibi kodumuza kırım filtresini ekledik ve Fourier dönüşümünü hesaplattık. Spektral düzlemde filtre yukarıda tanımlandığı gibi π/m ve π/m aralığnda bir genlikle var olmakta ve diğer bölgelerde sıfır değerini almaktadır. Filtrenin de iki pi ile periyodik olduğu unutulmamalıdır. Filtrenin tamamını görmek için kodu xlim([-*pi *pi])komutunu kaldırarak tekrar çalıştırınız. Kodmumuza artık Sinc (nts) sinyalini spektral düzlemde kırım filtresinden geçirip ve alt örnekleme işlemine tabi tutup devam edelim. Bunun için ilk önce kırım filtresini ve sinyali spektral düzlemde çarpacağız, kodumuza aşağıdaki gibi devam edelim. Hdxw=hdw.*xsw; subplot(3,,5) plot(w,abs(hdxw)) ylabel('h_d_n(\omega).x_n(\omega)') title('spektral Düzleminde Filtrelenmiş Sinyal') xlim([-3*pi 3*pi]) Yukarıdaki kod filtrelenmiş sinyali spektral düzlemde 3π ve 3π aralığında çizdirmektedir, şimdi bu sinyali alt örnekleme işlemine aşağıdaki gibi tabi tutalım.

5 subplot(3,,) for k=:m-; plot(m*w-*pi*k,abs(hdxw)/m) hold on ylabel('m= ile H_d_n(\omega).X_n(\omega)') title('filtrelenmiş ve M= ile alt örneklenmiş Sinc^(nTs) sinyali') xlim([-*pi *pi]) Yukarıdaki kodu çalıştırdığımızda aşağıdaki sonucu elde edeceğiz. Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü M= ile alt örneklenmiş Sinc (nts) sinyalinin Fourier Dönüşümü.5 F[Sinc (ts)] F[Sinc (ts)] n Düzleminde Kırım Filtresi Spektral Düzleminde Kırım Filtresi /M Sinc(n)].. F[/M Sinc(n)]].5 H dn ( ).X n ( ) n (tamsayı) 8 Spektral Düzleminde Filtrelenmiş Sinyal -5 5 M= ile H dn ( ).X n ( ) Filtrelenmiş ve M= ile alt örneklenmiş Sinc (nts) sinyali Yukarıda ikinci çizimde spektral örtüşme ile alt örneklemeyi ve altıncı çizimde spektral örtüşme olmaksızın alt örneklenmiş sinyali gözlemliyoruz. 5

6 Örnek Arttırma Sürekli bir sinyalden belirli aralıklar ile örnekler alma işlemini, sürekli zaman sinyalinin örneklirilmesi olarak adlandırdık sonrasında bu örneklenmiş sinyali alt örnekleme işlemine tabi tuttuk, daha sonrasında bu sürekli zaman sinyali yeniden elde etmek istenirse alt örneklenen dijital sinyalin örnek arttırma işlemine tabi tutulması gerekmektedir, bu işleme de örnek arttırma veya üst örnekleme adını verebiliriz. Örnek arttırma y[n] = x[n/l] ile ifade edilir burada L tamsayı olmak zorundadır. Örneği arttırılan seride boş olan yerlere sıfır değeri atanır, daha sonrasında bu değerler tahmin edilmektedir. Şöyleki örneği arttırılacak olan dizi a,b,c elemanlarından oluşsun L = ile üst örnekleme işlemine tabi tutuluca yeni dizi a,,b,,c elemanlarından oluşur yeni oluşan dizinin eleman sayısı L (ilk eleman sayısı ) + ile ifade edilebilir. Bu işlemleri bir Matlab örneği ile inceleyelim Örnek: Bir Matlab kodu yazaran x[n] = [ ] dizisini L= ile üst örnekleme işlemine tabi tutunuz. Kodumuzu yazmanaya aşağıdaki gibi dizimizi ve diğer parametrelerimizi tanımlayarak başlayalım. clc; clear all;close all; x=[ ]; L=; Şimdi yukarıda verilen yeni dizi eleman sayısına göre yn tanımımızı yapalım clc; clear all;close all; xn=[ ]; L=; yn=zeros(,l*(length(xn)-)+); Yeni oluşan yn dizisi L= koşulunda bir eleman xn dizisinden almanı ve sonraki elemanı sıfır omalı ve bu işlem böylece xn dizisinin tüm elemanları için yapılmalıdır bunun için aşağıdaki gibi bir for döngüsü hazırlamamız yeterli olacaktır. Kodumuzu aşağıdaki gibi devam ettirelim.

7 clc; clear all;close all; xn=[ ]; L=; yn=zeros(,l*(length(xn)-)+); i=; for indeks=:length(xn); yn(i)=xn(indeks); i=i+l; yn Yukarıdaki kodu her istenen Ldeğeri için çalıştırabiliriz. L = için çalıştırdığımızda aşağıdaki sonucu elde edeceğiz. Örneği Arttırılan Sinyalin Frekans Düzlemde İncelenmesi Bir önceki örnekte örneği arttırılan sinyaller arasındaki ilişkiyi y[n] = x[n/l] olarak tanımlamıştırk. Bu iki dijital sinyalin frekans düzlemindeki ilişkisi ise Y n (ω) = X n (Lω) şeklinde tanımlanmaktadır. Yukarıda verilen ilişkiyi bir matlab örneği ile inceleyelim. 7

8 Örnek: Frekansı bir hertz ve örnekleme periyodu on altı olan bir Kosinüs sinyalini M= ile alt örneklemeye daha sonrasında L= ile üst örnekleme işlemni tabi tutunuz sonrasında bu iki örneğin Fourier dönüşümlerini inceleyiniz. Kodumuzu yazmaya aşağıdaki gibi başlayalım clear all; close all; clc; Ts=/;L=;M=; t=-:/:; ts=-:ts:; n=ts./ts; xn=cos(*pi*ts); subplot(3,,) stem(ts,xn) xlabel('time ts') title('örnekleme periyodu olan dijital Kosinüs sinyali') Ts=*Ts; ts=-:ts:; n=ts./ts; xdn=xn(:m:length(xn)); subplot(3,,3) stem(ts,xdn) xlabel('time ts') title('dijital Kosinüs Sinyalinin M= ile Alt Örneklenmesi') yn(:l:length(xn))=xdn; subplot(3,,5) stem(ts,yn) xlabel('time ts') title('alt Örneklenen Sinyalin L= ile Üst Örneklenmesi') 8

9 Yaptığımız örneklemelerin Fourier dönüşümlerini alalım. w=linspace(-*pi,*pi,length(t)); xw=zeros(length(w)); xdw=zeros(length(w)); ynw=zeros(length(w)); for i=:length(w) xw(i)=sum(xn.*exp(-i.*w(i).*n)); ynw(i)=sum(yn.*exp(-i.*w(i).*n)); subplot(3,,) plot(w,abs(xw)) title('dijital Kosinüs Sinyalinin Fourier Dönüşümü') for k=:length(w) xdw(k)=sum(xdn.*exp(-i.*w(k).*n)); subplot(3,,) plot(w,abs(xdw)) title('alt Örneklenen Kosinüs Sinyalinin Fourier Dönüşümü') subplot(3,,) plot(w,abs(ynw)) title(' Üst Örneklenmiş Sinyalinin Fourier Dönüşümü') 9

10 Örnekleme periyodu olan dijital Kosinüs sinyali Dijital Kosinüs Sinyalinin Fourier Dönüşümü time ts Dijital Kosinüs Sinyalinin M= ile Alt Örneklenmesi Alt Örneklenen Kosinüs Sinyalinin Fourier Dönüşümü time ts Alt Örneklenen Sinyalin L= ile Üst Örneklenmesi time ts - - Üst Örneklenmiş Sinyalinin Fourier Dönüşümü - -