İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

Transkript

1 OPTİMİZASYON

2 İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam faydasını maksimize edecek tüketim miktarlarının belirlenmesi; belirli üretim kısıtı altında toplam maliyetin minimize edilmesi gibi çok sayıda minimizasyon ya da maksimizasyon seçenekleri birer optimal seçimdir. Maksimizasyon ve minimizasyon durumlarına genel olarak uçdeğer diyoruz.

3 3 Biz bu konu başlığı altında yalnızca kısıtsız optimizasyon durumlarını inceliyoruz. Bir optimizasyon probleminde yapılacak ilk iş, amaç fonksiyonunun belirlenmesidir. Bundan sonraki aşamada, amacımızı (bir maksimizasyon ya da minimizasyon) gerçekleştirecek olan değerler bulunur.

4 Örneğin bir firmanın toplam kârını maksimize etmek istediğini varsayalım. Bu durumda amaç fonksiyonu şöyle oluşacaktır. 4 π ( Q) = TR( Q) TC( Q) Burada amacımız, kârı (π) maksimize eden üretim miktarının (Q) belirlenmesidir. İlk olarak optimizasyon konusuna salt matematiksel açıdan bakalım ve ardından iktisadi uygulamaları yapalım. y=f() fonksiyonuna ilişkin bazı şekiller aşağıda yer almaktadır.

5 Şekil 4.1a da sabit bir fonksiyon vardır. Fonksiyonun üzerinde 5 farklı değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı olduğundan, bu değerleri bir optimal olarak öne süremeyiz. Şekil 4.1b de D noktası bir mutlak minimumdur. Fonksiyon monotonik artan olduğundan, bir maksimuma sahip değildir. Şekil 4.1c de ise fonksiyonun bir maksimumu (E noktası) bir de minimumu (F noktası), yani iki uç değeri vardır.

6 Şekil 4.1. UçdeU değer er Noktalarının n Belirlenmesi 6 y y y E B C A D F ( a ) ( b ) ( c)

7 Göreli UçdeU değer er İçin Birinci Türev T SınamasS naması 7 Üzerinde çalışacağımız y=f() fonksiyonunun, sürekli ve türevlenebilir olduğunu varsayıyoruz. Öyle ki, bazı durumlarda fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada bir uçdeğer söz konusu olabilir. Örneğin aşağıdaki Şekil 4.a da A ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte, bu noktada fonksiyonun tanımlı türevi yoktur. Şekil 4.b de ise C ve D noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev sınamalarıyla anlayabiliriz.

8 Şekil 4.. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi 8 y A y D B C ( a) ( b)

9 y=f() fonksiyonunun birinci türevi = noktasında sıfıra eşitse ve; 9 1. Türevin işareti, ın solundan sağına giderken pozitiften negatife doğru işaret değiştiriyorsa göreli maksimum.. Türevin işareti, ın solundan sağına giderken negatiften pozitife doğru işaret değiştiriyorsa göreli minimum 3. Türevin işareti, ın solundan sağına giderken değişmiyorsa ne göreli maksimum ne de göreli minimum vardır.

10 f ()= eşitliğini sağlayan değerine kritik değer er, f( ) değerine 1 de durgunluk değeri eri diyoruz. Bu anlamda, Şekil 4.b de yer alan C ve D noktaları, birer durgunluk değerine sahiptir. Ancak tüm durgunluk noktaları, bir uç değer anlamına gelmez. Şekil 4.3a ve b de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir göreli uçdeğer yoktur. Buna karşın Şekil 4.3c ve d deki durgunluk noktalarında sırasıyla bir minimum ve maksimum vardır.

11 Şekil 4.3. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi 11 y y ( a) A ( b) D B y c ( d ) C y D

12 Örnek 1: y = f = fonksiyonunun göreli uçdeğerlerini bulalım. dy d = f = + = * } = * = = 6 = f = 4, f = * 1 * = 6 f 6 = 8, f 6 =

13 13 < f > ve > f < < 6 f < ve > 6 f >

14 Şekil 4.4. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 1) y 8 3 y = f( ) =

15 Örnek : AC = AC Q = Q Q ortalama maliyet fonksiyonunun göreli uçdeğerlerini bulalım. AC = AC Q = Q Q dac = AC Q = Q = Q = AC ( Q ) = dq * * 5.5, 1.75 Q <.5 AC ( Q) < ve Q >.5 AC ( Q) >

16 Şekil 4.5. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek ) 16 AC 5 AC = AC Q = Q Q * Q = Q

17 Örnek 3: 17 = = y f f = 3 3= = 1 * 1, < 1 f > ve 1> > 1 f < 1< < 1 f < ve > 1 f > = 1'de maksimum, = 1'de minimum * * 1

18 Şekil 4.6. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 3) y 3 18 y = f =

19 Örnek 4: 19 1 y = f ( ) = +, 1 * f = 1 = 1, = 1 < 1 f > ve > > 1 f < < < 1 f < ve > 1 f > = 1'de maksimum, = 1'de minimum * * 1

20 Şekil 4.7. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 4) y y = f ( ) = +,

21 İkinci ve Daha Yüksek Y TürevlerT 1 y = f dy d = f ( ) d dy d d d y = = d f ( ) ( n 1) d y d y d d d 3 d ( n 1) n d y d y = = f ( ),..., = = f 3 n d d d d ( n )

22 Örnek 5: y = f ( ) =, ( ) f = = = + f = + ( 1+ ) ( 1+ ) 1 f = + 61 ( 4 ) = 4( 1 + ) 4 3 f 5 ( 1 )

23 Bir Fonksiyonda Birinci ve İkinci Türevlerin T Tanımlanmas mlanması 3 A noktasında : f >, f < B noktasında : f =, f < C noktasında : f <, f <

24 4 D noktasında : f <, f > E noktasında : f =, f > F noktasında : f >, f >

25 Şekil 4.8. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesine Birinci ve İkinci Türev T Yaklaşı şımları 5 y A f f ( ) f f > ( ) < ( ) = ( ) < B ( ) f < f < ( ) C y D ( ) f < f > f ( ) > E ( ) ( ) ( ) F f = f > f > ( a ) ( b)

26 Şekil 4.9. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesine Birinci ve İkinci Türev T Yaklaşı şımları 6 y K ( ) f < f > ( ) L f ( ) = f = f f M ( ) < < ( ) y f = f ( ) = P N f > R f f ( ) > > ( ) f ( ) < ( a ) ( b)

27 Göreli UçdeU değer er İçin İkinci Türev T SınamasS naması 7 Bir fonksiyonunun birinci türevi = noktasında sıfıra eşitse ve; y = f f < göreli ( ) maksimum f > göreli minimum ( )

28 Örnek 6: 8 = = 4 y f 1.. f = 8 1= = f = f = 8> =, f = 'da minimum var. 8 16

29 Şekil 4.1. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 6) 9 y 3 4 y = f =

30 Örnek 7: 3 3 = = + y f f = 3 6 = =, = f = 6 6 * * 1 ( * ) ( * ) f = = 6<, f = = 6> 1 * * 1 1 * * =, f = = 'de maksimum var. =, f = = 'de minimum var.

31 Şekil Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 7) 7.5 y y = f =

32 Örnek 8: 3 3 y f = = f = + = 3 1 ( reel kök yok) Ne maksimum nede minimum vardır.. 1 f ( ) = 6 1 = = = =1.67 de bir dönüm noktası vardır.

33 Şekil 4.1. Göreli G UçdeU değerlerin erlerin Belirlenmesi (Örnek 8) y 1 5 Dönüm Noktası

34 İktisadi Örnekler 34 Kâr r Maksimizasyonu Koşullar ulları, TR = TR Q TC = TC Q ( Q) TR( Q) TC( Q) π=π = 1. dπ dq =π = = ( Q) TR ( Q) TC ( Q) TR Q TC Q MR Q MC Q = =

35 35 d π. =π ( Q) = TR ( Q) TC ( Q) < dq TR Q TC Q MR Q MC Q < <

36 Şekil Tam Rekabette Kâr K r Maksimizasyonu 36 TR TC B TC TR A TFC * Q1 Q Q Q4 Q

37 Şekil Kâr K r Fonksiyonu ve Maksimizasyon 37 π * Q1 Q Q Q4 Q π ( Q)

38 Şekil Kâr K r Maksimizasyonu: MC=MR MR 38 P MC P = AR = MR E * E 1 MR * Q 1 Q Q

39 Kâr r Maksimizasyonuna Sayısal Örnek: Tekelci Piyasa 39 TR = TR Q = 1Q Q 3 TC TC Q Q Q Q ( Q) TR( Q) TC( Q) ( ) ( 3 Q 1Q Q Q 59Q 1315Q ) = = π=π = π = π Q = Q + Q Q

40 3 π Q = Q + 57Q 315Q 4 π Q = 3Q + 114Q 315 = Q = 3, Q = 35 π = 6Q+ 114 ( Q) ( Q ) * * 1 1 ( Q ) * * * * 1 π = 3 = 6Q = 96 > π = 35 = 6Q = 96 < Q ( Q ) = 35, π = 1395 'demaksimizasyon var. * *

41 Şekil 4.16a. Tekelde Kâr K r Maksimizasyonu 41 TR, TC 8 3 TC Q = Q 59Q Q = 1 TR Q Q Q A E E B Q

42 Şekil 4.16b. Tekelde Kâr K r Maksimizasyonu π E Q π Q = Q + 57Q 315Q

43 Şekil 4.16c. Tekelde Kâr K r Maksimizasyonu 43 P MC 15 1 E 1 * E MR Q

44 Satış Vergisi Hasılat latının n Maksimizasyonu 44 Bir tekelci piyasada devletin t ölçüsünde bir satış vergisi uyguladığını varsayalım. Verginin ölçüsü ne olmalıdır ki, devletin bu piyasadan toplayacağı satış hasılatı maksimize olsun? TR TR Q Q Q = =β α α β >,, TC TC Q aq bq c a b c = = + +,,, >

45 * * TC TC Q aq bq c tq = = * TC Q aq b t Q c = * Q TR Q TC ( Q) π=π = ( ) ( Q Q Q aq ( b t) Q c) π = α +β π Q = α+ a Q + β b t Q c

46 46 Q a Q b t Q * π = α+ + β = = β b t ( α+ a) π = α+ < ( Q) ( a) T * = = tq βt bt t ( α+ a) dt β b t * β b = = t = dt ( α+ a) dt dt 1 = < ( α+ a)

47 Kübik Toplam Maliyet Fonksiyonunun İncelenmesi 47 = = TC TC Q aq bq cq d d = TFC > Tüm Q değerleri için: = > ( U ) MC Q aq bq c biçimli eğri a > olmalıdır.

48 MC'nin minimum değeri: 48 dmc dq * b = 6aQ + b = Q = > 3a b < * ( *) b b MCmin = 3a Q + b Q + c = 3a b c 3a + + 3a 3ac b MCmin = > b > c > 3a 3ac acd, > b < ac b >,,, 3

49 Şekil Toplam Maliyet Fonksiyonu 49 TC 3 Q Q TC = TC Q = a + b + cq+ d a, cd, >, b<, 3ac b > TFC Q

50 Çeşitli Fonksiyonların İncelenmesi 5 Örnek 9: 1 y = f ( ) =, 1 f f = > ( ) ( ) ( 1 ) 8 = > ( 1 ) > < ve 1 < >

51 51 lim, lim = + + = 1 = 1 düşey asimptot lim = 1, lim = f = 1 yatay asimptot

52 Şekil Fonksiyon Analizi (Örnek( 9) y = f ( ) =

53 Örnek 1: 53 y = f = f = 6 3 f = > f = = = y = 3, 3, > f > ; < f < ( 3) ( 3 ) lim =, lim =

54 Şekil Fonksiyon Analizi (Örnek( 1) 54 y =

55 Örnek 11: 55 1 y = f ( ) =, 3 f = < 4 3, durgunluk değeri yok. f = 5 1 } > f > < f < 1 1 lim, lim 3 = = lim =, lim = 3 + 3

56 Şekil 4.. Fonksiyon Analizi (Örnek( 11) y = f ( ) =,

57 Kuvvet Serileri ve UçdeU değerin erin Belirlenmesi 57 f = a + a + a + a a f = a + a + a + a + + n a n n f = a + a + a + + n n a ( 1) 3 4 n n f = a + a + a + + n n n a ( )( 1) ( n ) = ( 3)( )( 1)( ) n n n 3 n f n n n n a n

58 Yukarıdaki çokterimliyi ve türevlerini, = için değerlendirelim: 58 f = = a f =! a f = = a f = 1! a 1 1 f = = a f =! a f = = 6a f = 3! a 3 3 ( 4 ) ( 4 ) f = = 4a f = 4! a ( n ) ( n ) f = = n 3 n n 1 n a f = na! n n

59 f =! a a = f = 1! a a = 1 1 f =! a a = f = 3! a a = ( ) f! f ( ) 1! f! f ( ) ( ) 3! 59 ( n ) f = n! a a = n n f ( n ) ( ) n!

60 6 f = a + a + a + a a n n f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = + +! 1!! ( n f f ) ( ) ! n! 3 n... Rn Maclaurin Serisi (ya da = etrafında Taylor kuvvet serisi açılımı)

61 Bir Çokterimlinin Taylor Serisi 61 f = a + a + a + a a n n f ( ) f f f = + + +! 1!! ( n f ) 3 f n R 3! n! n

62 Örnek 1: 6 Aşağıdaki fonksiyonun =1 noktasında n=4 açılımını yapalım. 1 1 f ( ) = f ( = 1) = + 1 ( 1 ) ( 1) f = + f = = ( 1) f = + f = = ( 1) f = + f = = 3 8 ( 4 ) 5 ( 4 4( 1 ) ) ( 1) f = + f = = 3 4

63 f 1!! = + ( ) + ( ) R 3! 4! f = R

64 Şekil 4.1. Kuvvet Serisi AçılımlarA mları (Örnek 1) 64 =1 de açılım f = f ( ) 1 =

65 Örnek 13: 65 Aşağıdaki fonksiyonun = noktasında n=4 açılımını yapalım. 1 f ( ) = f ( ) = = f = 1+ f = = 1 3 f = 1+ f = = 4 f = 61+ f = = 6 ( 4 ) 5 ( 4 ) f = f = = 4

66 f = R f = R4

67 Şekil 4.1. Kuvvet Serisi AçılımlarA mları (Örnek 13) 67 = de açılım 1 f ( ) 1 = = f

68 Taylor Serisi ve Göreli G UçdeU değerin erin Belirlenmesi 68 f ( ) f = f + f + +! f f ( n ) ( ) 3! n! n f ( ) f f = f + +! f f ( n ) ( ) 3! n! n

69 Şekil 4.. Kuvvet Serileri ve UçdeU değerin erin Belirlenmesi 69 y f ( 1 ) f ( ) f ( ) y y = f ( ) f ( ) y = f ( ) f ( 1 ) f ( ) 1 1 ( a ) ( b)

70 7 1 f f > 1 < <, Maksimum f f > 1 f f < 1 < <, Minimum f f < 1 f f > 1 < <, Dönüm Noktası f f < 1 f f < 1 < <, Dönüm Noktası f f >

71 71 1. Durum: f ( ) f ( ) f ( ) = f > + + f ( ) f ( ) = f < + f ( ) f ( ) = f < + f ( ) f ( ) = f >

72 . Durum: 7 f =, f 1 f f = f > f f = f > f f = f < + 1 f f = f < + Minimum Maksimum

73 4. Durum: 73 f = f =... = f =, f ( n 1 ) ( n ) 1 ( n ) f f = f! > n ntek ( n ) n sayı ise f f = f n! < + 1 ( n ) f f = f! < n ntek + 1 ( n ) n sayı ise f f = f n! > n n Dönüm Noktası Dönüm Noktası

74 4. Durum (Devamı): 1 ( n ) f f = f! > n n çift + + sayı ise 1 ( n ) n f f = f! > n + + n Minimum 74 1 ( n ) f f = f! < n n çift + sayı ise 1 ( n ) n f f = f! < n + n Maksimum

75 Örnek 14: 75 ( 7 ) y = f = f = 4 7 = = f = 4 7 f 7 = f = 1 7 f 7 = f = 4 7 f 7 = ( 4 ) ( 4 ) f = 4 f = 4 > = 7, y = noktasında minimum var.

76 Şekil 4.3. Kuvvet Serileri ve UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 14) 76 4 ( 7 ) 4 y = f =

77 Örnek 15: 77 = = + 5 = 6 = = 6 5 y f f f = 6 f = 5 f = 3 f = 4 f = 1 f = 3 ( 4 ) ( 4 ) f = 36 f = ( 5 ) ( 5 ) f = 7 f = ( 6 ) ( 6 ) f = 7 f = 7 > =, y = 5 noktasında minimum var.

78 Şekil 4.4. Kuvvet Serileri ve UçdeU değerin erin Belirlenmesi (Örnek( 15) y = f =

79 İki Seçim Değişkenli Durumda Taylor Serisi 79 ( ) z = f, y = a + a + a y + a + a y+ a y ( 1 a n n n ) n a( n 1),1 y any İlk olarak bu iki seçim değişkenli n. dereceden polinomun (,) noktası için Taylor açılımını yapalım. Tüm türevlerin (,) noktasında değerlendirileceğine dikkat edelim.

80 8 f (,) = a f f = a + a + a y+... = a f y f = a + a + a y+... = a y Benzer biçimde diğer türevleri de bulup sıfır noktasında değerlendirirsek, aşağıdaki terimleri yazabiliriz.

81 81 1 f f 1 f a =, a =, a =! y! 11 y Diğer tüm terimleri de (a katsayılarını) aynı yöntemle belirledikten sonra, bu katsayıları polinomdaki yerlerine yazıp düzenlersek, (,) noktasındaki Taylor açılımını elde etmiş oluruz.

82 8 f f f (, y) = f (,) + + y y 1 f f f + + +! y y y y 1 f f f f ! y 3 y y 3 3 y y y +...

83 83 Bu açılımı (,) noktası dışındaki herhangi bir noktada da yapabiliriz. Şimdi açılımı (, y ) gibi rasgele bir nokta için de yazalım. Tüm türevlerin (, y ) noktasında değerlendirildiğine dikkat edelim.

84 84 f f f y f y y y y (, ) = (, ) + ( ) + ( ) 1 f f f + + +! y y ( ) ( )( y y ) ( y y ) + 1 3! 3 3 f f y f f y y 3 ( ) + 3 ( ) ( y y ) ( )( y y ) ( y y )

85 Örnek 16: 85 z = y fonksiyonunun (1,1) noktasındaki Taylor açılımını yapalım. z = y, z = ln, z = y y 1 y 1 y y y z = + y ln, z = ln y y 1 y 1 y yy y = y Örneğin, 1.3 y z = = = 1.41

86 86 CES Üretim Fonksiyonunun Doğrusalla rusallaştırılması ya da Birinci Sıra S Taylor AçılımıA ρ Q = A δ K + ( 1 δ) L ρ µ ρ µ ρ lnq ln A ln K ( 1 ) ρ = δ + δ L ρ f ( ρ) f ρ ρ= yapalım. teriminin etrafındaki birinci sıra Taylor açılımını

87 87 ( ) ( ) f ρ = f + f ρ f = ( L' Hopital Kuralını Kullanalım) µ ρ ρ lim ln δ K + ( 1 δ ) L = µ δ ln K + ( 1 δ) ln L ρ ρ f ρ = ( ln ( 1) ln (( 1) )) ln ( 1 ) ρ ρ ( δ 1) K δl ρ µ δρl K δ ρk L δ K δl δ K + δ L ρ ρ ρ ρ ρ ρ

88 88 f ρ = (( 1) ln ln (( 1) )) ln ( 1 ) ρ ρ ( δ 1) K δl ρ µ δ ρk L δρ L K + δ K δl δ K + δ L ρ ρ ρ ρ ρ ρ f ( ) = ( L' Hopital Kuralını Kullanalım) 1 lim 1 ln ln ρ ( f ( ρ )) = ( δ) δµ ( K L)

89 89 ( ) ( ) f ρ = f + f ρ ( ) 1 f ρ = ln K 1 ln L µ δ + δ + ( 1 δ) δµ ( ln K ln L) ρ 1 ( ) lnq ln A= f ρ = ln K 1 ln L µ δ + δ + ( 1 δ) δµ ( ln K ln L) ρ 1 lnq = ln A+µδ ln K +µ 1 δ ln L 1 δ δµρ ln K ln L