Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ

Transkript

1 BÖLÜM III RLC DEVRELERİN DOĞAL VE BASAMAK CEVABI RLC devreler; bir önceki bölümde gördüğümüz RC ve RL devrelerden farklı olarak indüktör ve kapasitör elemanlarını birlikte bulundururlar. RLC devrelerini genel olarak iki gruba ayırabiliz. Paralel RLC devreler Paralel RLC devrelerinde amaç her bir kolda eşit olan voltaj değerini bulmaktır. Seri RLC devreler Seri RLC devrelerinde ise devreden geçen akımı bulmaktır.

2 3.. Paralel RLC Devrelerde Doğal Cevap i C il i R V o I o Şekil 3.: Paralel RLC devresi KCL kullanılarak Şekil 3. de yer alan devre çözülecek olur ise; V t dv V I C 0. (3.) 0 o R L Denklem (3.) in t ye göre türevi alındığında ise; dv dv V C R L 0. (3.)

3 Denklem (3.) yeniden düzenlenecek olur ise Denklem (3.3) de yer alan ikinci dereceden sabit katsayılı bir diferansiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir. dv dv V 0 (3.3) RC LC İkinci Dereceden Diferansiyel Denklem Çözümü: Denklem (3.3) de yer alan ikinci dereceden diferansiyel denklemin çözümünü eksponansiyel formda olduğunu kabul edersek, Denklem (8.3) de yer alan gerilim; V st Ae (3.4) burada A ve s bilinmeyen sabitler olarak ifade edilir. Buradaki amacımız ise bu sabit değerleri bularak Şekil (3.) de yer alan devrenin gerilim cevabını bulmaktır. 3

4 Burada çözüm olarak kabul ettiğimiz yerine koyacak olursak; As A 0 RC LC st st st As e e e Ae st s ( s ) 0 RC LC (3.5) V st Ae ifadesini Denklem (3.3) de st Denklem (3.5) de yer alan ifade, e 0 olmak üzere A veya parantez içindeki terimler toplamının sıfır olduğu durumda geçerlidir. Ancak, A = 0 olması genel çözümde kullanılmaz, çünkü bu durum gerilimin her zaman 0 (sıfır) olmadığı anlamına gelir. Buda eğer indüktör veya kapasitörde enerji varsa fiziksel olarak mümkün değildir. Bu sebeple sadece parantez içindeki ifadenin sıfır olması dikkate alınır. 4

5 Dolayısıyla, Denklem (3.5) e ait karakteristik denklem aşağıdaki gibi elde edilir. s s 0 RC LC (3.6) Denklem (3.6) nın kökleri ( s ve s ) ise; s ( ) RC RC LC (3.7) s ( ) RC RC LC (3.8) Denklem (3.7) ve (3.8) de yer alan kökler A ya bağlı olmadan diferansiyel denklemi sağlar. Bu sebeple; V st Ae (3.9) 5

6 V Devre Teorisi Ders Notu st Ae (3.0) V Ae A e st st (3.) olacak şekilde üç çözüm bulunur. Denklem (3.) deki çözüm, hem Denklem (3.9) u hem de (3.0) u içerdiğinden dolayı, diferansiyel denklemin çözümünde kullanılacak olur ise; dv dv st st A se Ase (3.) st st A se Ase (3.3) Bulunan bu türev ifadeleri (Denklem (3.) ve (3.3)), Denklem (3.3) de yerine yazılacak olur ise; 6

7 st st Ae s Ae s Devre Teorisi Ders Notu s s ( ) ( ) 0 (3.4) RC LC RC LC Denklem (3.4) de yer alan her bir parantezin içinde yer alan s ve s kökleri, karakteristik denklemin kökleri bu parantezli ifadeler 0 a eşit olur. Sonuç olarak, paralel RLC devresinin doğal cevabının formu; V Ae A e st st (3.5) burada s w, o s w, o ve RC w o LC dir. Ayrıca belirtmek gerekir ki; e nin üssü boyutsuz olacağından, s ve s t nin tersi yani s s, s kompleks frekans neper frekansı şeklinde tanımlanan frekans değerleri olarak tanımlanır. Yani; 7

8 wo rezonans radyan frekansı olarak tanımlanır. Burada üç durum söz konusudur. Eğer damped) w o Kökler reel ve farklı, devre cevabı ise üst sönümlü (over Eğer w o Kökler kompleks ve farklı, devre cevabı alt sönümlü (under damped) Eğer w o Kökler reel ve eşit, devre cevabı kritik sönümlü (critically damped) 8

9 Örnek 3.: R 00, L50 mh, C 0. F olan paralel RLC devresinde; a) Devrenin karakteristik denklemin köklerinin bulunuz. b) Devreye ait cevap durumunu belirleyiniz (üst sönümlü, alt sönümlü ). c) (a) ve (b) şıkkını R 3.5 için tekrarlayınız. d) Devre cevabının kritik sönümlü olması için R =? Cevap: a).5x0 rad / sn RC (400)(0.) 00 w rad sn LC (50)(0.) o 0 / s w rad sn o 5000 / 9

10 s w rad sn o 0000 / b) w o olduğundan devre cevabı üst sönümlüdür. c) R 3.5 için 6 0 (65)(0.) 8000 rad / sn 0.64x0 rad / sn 8 w 0 rad / sn 8 o s 8000 j6000 rad / sn s 8000 j6000 rad / sn w olduğundan R 3.5 için devre cevabı alt sönümlüdür. o e) Devre cevabının kritik sönümlü olması için; w o olmalıdır. Dolayısıyla 0

11 0 0 RC LC RC 4 (x0 )(0.) 8 4 Devre Teorisi Ders Notu 6 0 R 50 olarak bulunur.

12 3.. Üst Sönümlü (Overdamped) Voltaj Cevabı Denklem (3.5) de yer alan paralel RLC devresinin doğal cevabının formu V Ae A e st st dir ve burada kökleridir. s ve s karakteristik denklemin reel farklı Bu denklemde yer alan A ve A sabitleri, başlangıç koşulları kullanılarak bulunabilir. Bunun içinde özellikle V (0 ) ve V Ae A e dv (0 ) st st ifadesi için aşağıdaki gibi belirlenmesi gerekir. V(0 ) A A (3.6) ifadelerinin, dv (0 ) s A s A (3.7)

13 Denklem (3.6) ve (3.7) den başlangıç koşullarını (depolanan enerjiyi) kullanarak A ve A bulunabilir. dv (0 ) i (0 ) C, t 0 (3.8) C (0 ) dv (0 ) ic C (3.9) Yani i C (0 ) biliniyorsa dv (0 ) bulunur. Kapasitörün başlangıç akımı i C (0 ) bulunur. i C Vo (0 ) Io (3.0) R ise KCL kullanılarak aşağıdaki gibi 3

14 Örnek 3.: C 0. uf, L50 mh, R 00 olan bir Paralel RLC devresinde, kapasitör üzerinde depolanan enerjiye denk düşen başlangıç voltajı V V ve indüktörün başlangıç akımı I 30mA ise; a) Devrede her bir koldaki başlangıç akımını bulunuz. b) dv nin başlangıç değerini bulunuz. c) Gerilim ifadesi V() t yi bulunuz. d) V() t yi, 0t 50siçin çiziniz. o o 4

15 Cevap: Devre Teorisi Ders Notu a) İndüktör, üzerinden geçen akımda ani değişime izin vermediğinden, indüktörün başlangıç akımı i (0 ) i (0) i (0 ) 30mA dir. L L L Kapasitöre ait başlangıç voltajı ise V V dur. Direnç üzerinden geçen başlangıç akımı ise IR(0 ) 60mA dir. 00 KCL kullanılarak kapasitörün başlangıç akımı bulunacak olur ise; I (0 ) I (0 ) I (0 ) C L R o 30mA 60mA 90mA dir. (Bu arada I (0 ) 0 A kabul edildi). dv b) i c C kullanılarak; C 5

16 i C Devre Teorisi Ders Notu 3 dv (0 ) 90x0 450 KV / sn olarak bulunur. 6 C 0.x0 c) Öncelikle karakteristik kökler aşağıdaki gibi bulunur. s s w o ( ) RC RC LC 5000 rad / sn w o ( ) RC RC LC 0000 rad / sn 6

17 V(0 ) A A V dv (0 ) i (0 ) C s A s A C Böylece; A A x V sn A A V / A A x V A 4 V, A 6V bulunur. Vt () Ae Ae st s t t t e 6 e V, t 0. 7

18 d) 0t 50siçin t( m s) Şekil 3.: Gerilim değişimi 8

19 3.. Alt Sönümlü (Underdamped) Voltaj Cevabı Eğer w o ise karakteristik denklemin kökleri kompleks ve devre cevabı alt sönümlüdür. Bu durumda karakteristik kökler; s w o s s ( ) j w o jw, d d ( ) ( wd wo ) (3.0) jw (3.) burada wd sönümlenmemiş (damped) radyan frekansı temsil eder. Paralel RLC devresine ait gerilim ifadesi ise; V Ae A e st s t 9

20 ( jwd) t ( jwd) t Devre Teorisi Ders Notu j Ae Ae, e cos jsin Ae e Ae e t jw t jw t e ( A cos w t ja sin w t A cos w t ja sin w t) d d d d t e ( A A )cos w t j( A A )sinw t (3.) d burada B A A B j A A gerilimin ifadesi; d ( ), ( ) olarak tanımlanacak olur ise devreye ait d t V e B cos w t B sin w t. (3.3) d Alt sönümlü cevapta kökler kompleks ve birbirinin eşleniği olduğundan dolayı B ve B reel çıkar ( B ( A A ), B j( A A )). Zaten B ve B voltaj olarak reeldir ve aşağıdaki denklemler kullanılarak elde edilir. V(0 ) Vo B (3.4) 0

21 (0 ) (0 dv i ) C B wb d (3.5) C Alt sönümlü cevap salınımlıdır. Yani voltaj artı ve eksi değerler arasında değişim gösterir. Osilasyonun genliği eksponansiyel olarak azalır. Voltaj salınım oranı w d ile sabitlenir., sönüm (damping) faktörü veya sönüm katsayısı olarak tanımlanır. Eğer 0 ve osilasyon frekansı w o ise sönüm (damping) olmaz. Ancak devrede R gibi (enerji harcayan) bir eleman var olduğu sürece 0 olur ve wd w o dır. ( w d, salınım frekansı) Osilasyonlu davranışın sebebi, devrenin L ve C gibi iki enerji depolayıcı elemanının aynı devrede var olmasıdır.

22 Örnek 3.3: i C il i R V o I o Şekil 3.3: Örnek 3.3 e ait paralel RLC devresi Şekil 3.3 deki paralel RLC devresinde Vo 0, Io.5mA, R 0 K, L 8H, C 0.5F olduğuna göre; a) Devreye ait karakteristik denklemin köklerini bulunuz.

23 b) t 0 için V ve dv yi bulunuz. c) t 0 için devrenin voltaj cevabını bulunuz. d) V() t yi 0t msn için çiziniz. Cevap: 6 a) 0 3 RC (0)0 (0.5) 00 rad / sn wo 0 rad / sn LC (8)(0.5) w olduğundan devre cevabı alt sönümlüdür. o w w 0 4x rad / sn. d 6 4 o 3

24 s jw 00 j rad / sn. d s jw 00 j rad / sn d b) V nin C kapasitörüne karşılık bir voltaj olduğunu düşünerek; V(0) V(0 ) V o 0 ve V(0 ) V R 0 olur. ( t 0 Bu durumda t 0 için, i I.5mA dir. C o da). 3 dv (0 ) i C (0 ).5x0 6 C 0.5x0 c) B V(0 ) V o V / sn. B V. w d Böylece devreye ait gerilim ifadesi; Vt e tvt 00t ( ) 00 sin( ), 0. 4

25 d) tsn ( ) Şekil 3.4: Gerilim değişimi 5

26 Alt sönümlü devrelerde; V RP den, 0. R 0 Voltaj cevabı maksimum değerde sabitlenir. wd wo a yaklaşır ve eşit olur. Osilasyon frekansı w o da tutulur. Osilasyon periyodu; w d, burada T d ilk maksimum ile ikinci maksimum değer arasındaki T d zamanı ifade eder. Böylece devreye ait periyot ve frekans aşağıdaki gibi bulunur. T d w d 6

27 Td f d 6.4msn Hz T 6.4 d Alt sönümlü cevap salınım yapar. Üst sönümlü cevap son değerine osilasyonsuz yaklaşır. 7

28 3..3 Kritik Sönümlü Voltaj Cevabı (Doğal) Bir paralel RLC devresinde w o veya wo ise devrenin voltaj cevabı kritik sönümlüdür. Kritik sönümlü cevap için kökler reel ve birbirine eşittir. s s s (3.6) RC st st s de V Ae A e ifadesi kullanılmaz çünkü V A A e A e t t ( ) o dır. Burada o A ifadesi; ( V o ve I o) bağımsız başlangıç koşullarını tek başına sağlayamaz. Bu yüzden iki kök bir birine eşit ise diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki formu alır. V Dte D e t t (3.7) 8

29 Burada ise V (0 ) ve bulunur. dv (0 ) Devre Teorisi Ders Notu ifadeleri Denklem (3.8) ve (3.9) da ki gibi V(0 ) Vo D (3.8) dv (0 ) i (0) C D D (3.9) C 9

30 Örnek 3.4: Devre Teorisi Ders Notu a) Bir önceki örnek 3.3 de paralel RLC devresinin kritik sönümlü olabilmesi için direnç değeri R nin kaç ohm olması gerekir. b) Bu devreye ait gerilim ifadesi V() t yi t 0 için bulunuz. c) V() t yi 0 t 7msn aralığı için çiziniz. Cevap: a) w 0 6 o 0 3 RC 6 0 R (0.5) b) V (0 ) 0 30

31 dv (0 ) V / s D, D V / s Gerilim ifadesi, V t te V t Devre Teorisi Ders Notu 000t ( ) 98000, 0. t( ms ) Şekil 3.5: Gerilim değişimi 3

32 3. Paralel RLC Devrelerinde Basamak Cevabı i C il i R I Şekil 3.6: Paralel RLC devresi Bir paralel RLC devresine sabit (dc) bir akım ve gerilimin ani uygulanması durumunda (Şekil 3.6 da olduğu gibi) devreye ait gerilim ifadesi bulunacak olur ise; il ir ic I V dv i L C I R (3.30) 3

33 V di L olduğundan, gerilimin zaman göre türevi aşağıdaki gibi elde edilir. dv d i L L (3.3) Böylece Denklem (3.30) düzenlenecek olur ise; LdiL dil il LC I R t V dv V C I L 0 R dv dv V RC LC I (3.3) ifadesi elde edilir. 33

34 Denklem (3.3) ye ait çözüm formları: Gerilim ifadeleri; V Ae Ae Devre Teorisi Ders Notu st st Devre cevabı üst sönümlü t V Be cos( w t) B e sin( w t) Devre cevabı alt sönümlü t d V Dte D e t t Devre cevabı kritik sönümlü d Burada doğal cevaptan farklı olarak t 0 için bir kaynak olduğundan, t 0 anında sabitleri değerlendirirken kaynak (akım veya gerilim) dikkate alınmalıdır. Akım ifadeleri; i I Ae Ae L ' st ' s t i I Be cos( w t) B e sin( w t) ' t ' t L d d 34

35 i I Dte D e L ' t ' t Devre Teorisi Ders Notu Basamak cevabın doğal cevapla ilişkisi; i I + {doğal cevap fonksiyonu formu} f v V f + {doğal cevap fonksiyonu formu} burada, I f ve Vf son değer. 35

36 Örnek 3.5: i C il i R I V o I Şekil 3.7: Örnek 3.5 e ait devre şeması 4mA, R 400, L 5mH, C 5nF, I 0, V 0 ve depolanan enerji sıfırdır. a) i L nin başlangıç değerini bulunuz. dil b) nin başlangıç değerini bulunuz. o o 36

37 c) Karakteristik denklemin köklerini bulunuz. d) il () t nin t 0 için nümerik ifadesini bulunuz. Cevap: a) Depolanan enerji olmadığından il (0) 0 olur. İndüktörde ani akım değişimi olmadığından (0 ) 0 olur. i L b) Vo 0 olduğundan V o (0 ) 0 olur. V c) di di L den ifadesi kullanılarak L (0 ) 0. w 0 LC 5x5 8 o 6x0 9 0 x rad sn x RC x400x /

38 w o kökler reel ve ayrıdır ve devre cevabı üst sönümlüdür. s x x rad sn / s x x rad sn / ' st ' d) i I Ae Ae L i (0) 0 L I A A ' ' di L ' ' (0) sa sa 0 olduğuna göre; A ma ve, A 8mA olur. ' 3 ' s t Böylece il () t nin t 0 için nümerik ifadesi; i t e e ma t 0000t 80000t L() (43 8 ), 0. 38

39 Örnek 3.6: Örnek 3.5 deki devrede R 65 alınırsa; Cevap: wo LC 40 x x0 w o olduğundan devre cevabı alt sönümlüdür. s x j x rad sn / s x j x rad sn / Bu devreye ait akım ifadesi; i () t I Be cos( w t) B e sin( w t) ' t ' t L d d 39

40 Yukarıda verilen akım denkleminde, 3000 rad / sn ve w 4000 rad / sn dir. I d 4mA i (0) 0 L I B di (0) L B ' 4 d ' wb Bolduğuna göre; ma ve ' ' ' B 3mA olarak bulunur. Böylece il () t nin t 0 için nümerik ifadesi; i t e t e t ma t 3000t 3000t L( ) (4 4 cos(4000 ) 3 sin(4000 )), 0. 40

41 Örnek 3.7: Örnek 3.5 deki devrede R 500 Cevap: 40 x s, w 40 x 4 4 o alınırsa, w o olduğundan devre cevabı kritik sönümlüdür ve akım ifadesi; t i () t I Dte D e. L ' t ' i (0) 0 L I D di L (0) D ' D D olduğundan ' ' ' 960,000 / ' D 4mA ma sn i t te e ma t 40000t 40000t L( ) ( ), 0. 4

42 0 t 0 sn için üç örneğin grafiği Şekil 3.8 de verilmiştir. i ( ) L ma R = 400 W( Üst Sönümlü) R = 500 W( Kritik Sönümlü) R = 65 W( Alt sönümlü) t( ms) Şekil 3.7: Örnek 3.5, 3.6 ve 3.7 için zamana göre akım değişimi i nin son değeri 4 ma, % 90 ı,6 ma dir. Son değere 30 s de (en geç) L üst sönümlüde ulaşıyor. 4

43 3.3 Seri RLC Devrelerde Doğal ve Basamak Cevabı Doğal Cevap: R I o V o KVL kullanılarak; di t Ri L i V 0 o C Şekil 3.8: Seri RLC devresi 0 43

44 R di L d i i 0 C di Rdi i 0 Devre Teorisi Ders Notu (3.33) L LC Denklem (3.3) e ait karakteristik denklem ise; R s s 0 L LC (3.34) Karakteristik denklemin kökler; s, R R L L LC ( ) (3.35) 44

45 s w olarak tanımlanır ve burada, 0 R rad / sn, w o rad / sn L LC dir. Seri RLC devresine ait doğal Cevap st it () Ae Ae s t Üst sönümlü t d t it () Be cos( wt) Be sin( wt) Alt sönümlü t t it () Dte De Kritik sönümlü d 45

46 Basamak Cevabı: R VR VL V V C Şekil 3.9: Seri RLC devresi KVL kullanılarak; di V RiL VC (3.34) 46

47 Denklem (3.34) de akım yerine i dv C C ifadesi yazılacak olur ise di dv C C olur. Böylece; dvc R dvc VC V (3.34) L LC LC V V Ae A e C f ' st ' s t V V Be cos( w t) B e sin( w t) ' t ' t C f d d V V Dte D e C f ' t ' t V f, V C nin son değeri. (yani devrede Vf V(kaynak gerilimi)) 47

48 Örnek 3.8: Şekil 3.0: Örnek 3.8 e ait devre şeması Şekil 3.0 daki devrede 0. F lık kapasitör 00V a şarj olmuştur ve t 0 anında bobin ve direnç üzerinden deşarj olmaktadır. a) it ()?, t 0. b) V () t?, t 0. C 48

49 Cevap: a) 8 R wo 0 rad / sn, 800 rad / LC L w o olduğu için cevap alt sönümlüdür. sn t it () Be cos( wt) Be sin( wt) t d 800 rad / sn, w 9600 rad / sn L d i anahtar kapanmadan hemen önce 0 dır ve (0 ) da 0 olur. i(0) 0 B di(0 ) L V o Anahtar kapatıldıktan hemen sonra; d i L 49

50 i(0 ) 0 olduğundan VR 0 olur. Dolayısıyla V o gerilimi (C üzerindeki) L de de görülür. di(0 ) V o 000 A / sn L B 0 da kullanılarak; di di(0 ) Be t (4cos(9600 t) 7sin(9600 t)) 9600B B 0.04 A it e t At 800t ( ) 0.04 sin(9600 ), 0. b) t 0 o veya C VC i V C di V ir L V t t t e V t 800t C ( ) (00cos(9600 ) 9.7sin(9600 )), 0. 50

51 Özet Bilgi: Üst sönümlüde, wo son değerine salınım olmadan gider. Alt sönümlüde, wo dır. Yani, rezonans frekansından büyüktür ve dır ve cevap son değer civarında salınım yapar. ne kadar büyükse salımı o kadar uzar. Eğer enerji harcayıcı eleman (R) devreden çıkarılırsa, 0 olur ve cevap sabitlenmiş salınımlı olur. Kritik sönümlerde, paralel RLC RC R seri RLC L wo dır ve cevap salınım olayının eşiğindedir. 5

52 neper frekansı veya damping faktörü; R nin (R dissipative element) cevap üzerindeki etkisini gösterir. 5

53 Kaynak Devre Teorisi Ders Notu J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 53