State-Space Modelling

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "State-Space Modelling"

Transkript

1 Karadeniz Technical University Department of Electrical and Electronics Engineering Trabzon, Turkey Chapter 5-1 State-Space Modelling Bu ders notları sadece bu dersi alan öğrencilerin kullanımına açık olup, üçüncü sahıslara verilmesi, herhangi bir yöntemle çoğaltılıp başka yerlerde kullanılması, yayınlanması Prof. Dr. İsmail H. ALTAŞ ın yazılı iznine tabidir. Aksi durumlarda yasal işlem yapılacaktır. Chapter 5-2

2 Mechanical System d 2x M dt 2 = u - f - s f = u - k b dx x - B dt, or d 2x dx M + B + k x = u dt 2 dt Laplace transform; Ms 2X ( s) + BsX( s) + k X( s) = U( s) k x(t) M B u(t) 1 X( s) = 2 U( s) Ms + Bs+ k Transfer Fonksiyonu: G(s) Chapter 5-3 RLC Circuit v i = å Voltage of each element di 1 = R i + L + ò i dt dt C Using Laplace transform 1 V i ( s ) = R I( s) + Ls I ( s) + Cs Solve for I(s) s I( s) = V ( s) = i 2 1 Ls + Rs + C Transfer fonksiyon, G(s) I ( s) G( s) V ( s) i v i R i L C v o Chapter 5-4

3 RLC Circuit Mechanical system 1 X( s) = 2 U( s) Ms + Bs+ k Electrical system Similarities between mechanical and electrical elements L <=> M R <=> B 1/C <=> k Chapter 5-5 Mechanical System x(t) k M B u(t) 1 X( s) = 2 U( s) Ms + Bs+ k Differential equation Transfer function Chapter 5-6

4 Mechanical System One 2nd order LTI diff. Eq. can be written as two 1st order LTI diff. Eq. Chapter 5-7 Mechanical System State vector A: System matrix B: Input matrix C: Output matrix Output variable State variables Chapter 5-8

5 Simulation Diagrams y(t) X(s) Y(s) X(s) Y(s) X(s) s -1 Y(s) Chapter 5-9 Transfer Function to Simulation Diagram U(s) Y(s) U(s) 1 D(s) Z(s) Y(s) Chapter 5-10

6 Transfer Function to Simulation Diagram EXAMPLE (Initial conditions are zero) Chapter 5-11 Transfer Function to Simulation Diagram EXAMPLE State Equations Output equation Chapter 5-12

7 Transfer Function to Simulation Diagram EXAMPLE Control Canonical form Chapter 5-13 Transfer Function to Simulation Diagram From Figure Chapter 5-14

8 Transfer Function to Simulation Diagram Multiply by The type of this TF is similar to the obtained using Mason s gain Formula as described below. Chapter 5-15 Transfer Function to Simulation Diagram Mason s gain Formula M Δ i D i : : : Product of the ith foward path gains 1 the loops remaining after removing path i. If none remain, then Δi = (S all individual loop gains + (Snontouching loop gains taken two at a time.) -(Snontouching loop gains taken three at a time) +... Chapter 5-16

9 Transfer Function to Simulation Diagram So we have, We have 3 paths from input to output u y Chapter 5-17 Transfer Function to Simulation Diagram u y Chapter 5-18

10 Transfer Function to Simulation Diagram Denominator of the transfer function 0 y Chapter 5-19 Transfer Function to Simulation Diagram y Chapter 5-20

11 Transfer Function to Simulation Diagram Block diagram representing the nominator Block diagram representing the denominator Get the complete block diagram by combining these two diagrams. Chapter 5-21 Transfer Function to Simulation Diagram Observer Canonical form x 3 + x 2 + x Chapter 5-22

12 Observer Canonical form From figure: Transfer Function to Simulation Diagram x 3 x x 1 State equations Chapter 5-23 Transfer Function to Simulation Diagram Control canonical form Two different simulation diagram The number of simulation diagrams is n Observer canonical form Two different state equations Chapter 5-24

13 For a SISO system. State-Space to Transfer Function U(s) Y(s) Chapter 5-25 For a SISO system. State-Space to Transfer Function alınırsa Chapter 5-26

14 State-Space to Transfer Function Chapter 5-27 State-Space to Transfer Function Example Matrices A, B, C and D are given below. Obtain the poles, zeros, characteristic equation, and the transfer function of this system. Solution Chapter 5-28

15 State-Space to Transfer Function Example Chapter 5-29 State-Space to Transfer Function Example Transfer function Zeros: -(-2+j1.7321) -(-2-j1.7321) Characteristic Equation: Poles: -1 ve -2 Chapter 5-30

16 State-Space to Transfer Function Example state_tf.m file % From State space % to transfer function A=[0 1;-2-3]; B=[1;2]; C=[1 0]; D=1; [num, den]=ss2tf(a,b,c,d) zeros=roots(num) poles=roots(den) Matlab command window >>state_tf <enter> num = den = zeros = i i poles = -2-1 Chapter 5-31 Review following topics and solve the problems given. Solution of the state equations using Laplace transformation. Solution of the state transition matrix using inverse Laplace transformation. Search alternative solution methods to the following equation. The solution of the state transition matrix using infitite series. A, B, C and D matrices and vectors are given below. Solve the state equations of this system and obtain the values of x((t) using the methods described above. Chapter 5-32

17 The state equations of a system are obtained from its differential equations or transfer function. Various methods are applied to solve the state equations. Chapter 5-33 Laplace Apply thge same process to the 2nd set of the equations: If the Laplace transformation of all equations are obtained in the same way and combined, the general form given below is obtained. Let us write this equation for X(s); Chapter 5-34

18 The state vector x(t) is obtained by getting the Inverse Laplace Transformation. DURUM GEÇİŞ MATRİSİ Chapter 5-35 (It is also called the base matrix.) Remarks: v An nth order system has an nth order state transition matrix. v The invers Laplace transformation of a matrix is defined as the inverse Laplace transformations of its individual elements. v The inverse Laplace transformation of the last equation is difficult, time consuming and possibility of making mistake is high. v The most practical way of solving state vector x(t) is the computer simulation. Chapter 5-36

19 A transfer function is given above. Write the state equations of this system in observer canonical form and solve for the state variables. Chapter 5-37 continued... State transition matrix: Chapter 5-38

20 Continued... Solve the second part of the general solution equation for a unit step (u(t)=1) input. Chapter 5-39 Continued... Then The solution: Chapter 5-40

21 The inverse Laplace transform of the product of two terms in s-domain can be expressed as a convulation integral. The solution with the Convulation theorem can be written as follows: The state transition matrix acts as a centre in solution of the state equations. Zero input (includes the initial values) Zero state depends on inputs. (forced solution) Chapter 5-41 Bir önceki örnekte elde edilen durum geçiş matrisini ve B giriş vektörünü basamak giriş işareti ile birlikte kullanarak x(t) bağıntısının sağ tarafında verilen konvülasyon integralini hesaplayınız. Chapter 5-42

22 Devam... Elde edilen bu zorlanmış çözüm daha önce elde edilen çözümle aynıdır. Toplam çözümü elde etmek için durum geçiş matrisinin sıfır giriş kısmındaki F(t)x(0) çözümünün de buna eklenmesi gerekir. Şu ana kadar yapılan çözümler ya Laplace dönüşümü, ya da Laplace dönüşümü ile konvülasyon integralinin birleştirilmesiyle elde edildi. Bu yöntemlerin her ikisi de uzun ve hata yapmaya açıktır. Chapter 5-43 Bütün sistem girişlerinin sıfır olduğu durum için durum denklemleri: Böylece; U(t)=0 Denkleminde U(s)=0 yani u(t)=0 için Denkleminin çözümü bir vektör olarak elde edilir. Öğle ki vektör aşağıdaki gibi bir seriyle ifade edilebilir. Chapter 5-44

23 A i : Bilinmeyen katsayılar t : zaman ölçeği Bu denklemin türevi alınırsa; Chapter 5-45 Şimdi aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim: v Yukardaki son denklemi t=0 için elde edelim v Bu son denklemin türevini alıp, sonucu t=0 için yazalım v Tekrar türevini alıp, t=0 için yeniden yazalım v Bu işlemin her tekrarlanmasında bilinmeyen A i matrisinde bir denklem elde edilir. v Bu işlemin etkisiyle yukarıdaki son denklemde ti katsayıları eşitlenmektedir. Chapter 5-46

24 Bu işlemler yapılırsa: t=0 Türev alıp, t=0 için düzenlenirse Tekrar türev alıp, t=0 için düzenlenirse T=0 için aşağıdaki denklem yeniden yazılırsa; Olduğu görülür. Ve diğer matrisler bağıntısından elde edilir. Chapter 5-47 Olarak elde edilince, Olarak belirlenir. Böylece durum geçiş matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu ifade Taylor serisine benzemekte olup, skaler bir exponansiyel olarak ifade edilebilir. Kullanılan notasyona uygun olması bakımından durum geçiş matrisi için; Yazılabilir. Chapter 5-48

25 Serisinin sonlu bir sayıda sıfır olmayan terimlere sahip olduğu durum için transfer fonksiyonu Olan bir sistemi ele alalım. Verilen sistem aşağıdaki işaret akış grafiği ile temsil edilebilir. U(s) Y(s) Böylece durum denklemleri: Chapter 5-49 Devam... U(s) Y(s) Şekilden: Benzer şekilde; Chapter 5-50

26 Devam... Böylece denkleminden Durum geçiş matrisi; Bu örnekte durum geçiş matrisi kolayca elde edildi. Ancak her zaman böyle kolay olmayabilir. Chapter 5-51 İkinci dereceden bir sistem aşağıdaki matrislerle temsil edilmektedir. Aşağıdaki koşullar için çözümleri bulunuz. Chapter 5-52

27 Önce durum geçiş matrisi hesaplanmalı. Chapter 5-53 Devam... Chapter 5-54

28 Aşağıdaki sistem için F(t) durum geçiş matrisini hesaplayınız. Olduğuna göre Chapter 5-55 Devam... % state_trans.m % State trans. matr. A=[0 1; -2-3]; t = sym('t'); STM = expm(a * t) Chapter 5-56

29 % MATLAB Program kontrol1.m % transfer fonksiyonundan % durum degiskenlerine donusum % pay ve payda verileri num=[2 8 6]; den=[ ]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); printsys(a,b,c,d)» kontrol1 a = x1 x2 x3 x x x b = c = d = u1 x x2 0 x3 0 x1 x2 x3 y u1 y1 0 Chapter 5-57 % kontrol2.m % Durum matrisi ve % diger veriler A=[0-2; 1-3]; B=[2;0]; C=[1 0]; D=[0]; dt=0.2; DGM=expm(A*dt); DGM» kontrol2 DGM = Chapter 5-58

30 lsim fonksiyonu % program kontrol3.m % lsim fonksiyonu ile durumlarin % ve cikisin elde edilmesi % Durum matrisi ve diger veriler A=[0-2; 1-3]; B=[2;0]; C=[1 0]; D=[0]; x0=[1 1]; t=[0:0.01:1]; u=0*t; [y,x]=lsim(a,b,c,d,u,t,x0); subplot(211), plot(t,x(:,1)) xlabel('time[sec]'), ylabel('x1') subplot(212), plot(t,x(:,2)) xlabel('time[sec]'), ylabel('x2') Chapter 5-59 ÖRNEK Aralarında yay bulunan iki kütleli bir sistemin simülasyonu (ref. Modern Control Systems by Dorf and Bishop page 160) % program Ornek01.m % Ornek simulasyon programi.aralarinda yay bulunan iki kutleli bir sistem % Model parametreleri M1=0.02; M2=0.0005; b1=410e-03; b2=4.1e-03; k=10; t=[0:0.001:1.5]; % durum degisken modeli verileri A=[ ; ; -k/m1 k/m1 -b1/m1 0; k/m2 -k/m2 0 -b2/m2 ]; B=[0; 0; 1/M1; 0]; C=[ ]; D=0; u=1; % Birim basamak simulasyonu y=step(a,b,c,d,u,t); plot(t,y) xlabel('time[sec]'), ylabel('hareket hizi (m/s)') grid birimler k : kg/m b : kg/m/s m : kg Chapter 5-60

31 ÖRNEK Aralarında yay bulunan iki kütleli bir sistemin simülasyonu (ref. Modern Control Systems by Dorf and Bishop page 160) Chapter 5-61 ÖRNEK % Program Kontrl04.m % PMDC motor denklemleri % veriler Va=36; Ia=15; Inl=1.62; Ra=1.4; La= ; Ka=0.095; Km=Ka; Nn=3400; Bm=4.31e-4; Jm=7.432e-4; K0= ; K1=8.4e-5; K2=1.1e-6; A=[ -(Ra/La) -(Ka/La) Km/Jm -(Bm/Jm) ]; B=[ 1/La 0 0 -(1/Jm) ]; Sürekli Miknatisli Dogru Akim motorunun Simulasyonu - 01» kontrl04» A A = » B B = 1.0e+003 * Chapter 5-62

32 Sürekli Miknatisli Dogru Akim motorunun ÖRNEK Simulasyonu - 02 % PMDC motor denetimsiz tepkesi % veriler Va=36; Ia=15; Inl=1.62; Nn=3400; Ra=1.4; La= ; Ka=0.095; Km=Ka; Bm=4.31e-4; Jm=7.432e-4; K0= ; K1=8.4e-5; K2=1.1e-6; A=[ -(Ra/La) -(Ka/La) Km/Jm -(Bm/Jm) ]; B=[ 1/La; 0]; C=[0 1]; D=[0 ] ; TL=0; % Birim basamak simulasyonu u=1; t=[0:0.01:2]; y=step(a,b,c,d,u,t); plot(t,y,'r') xlabel('zaman (s)'); ylabel('motor Hizi (rad/s)') Chapter 5-63 ÖRNEK Sürekli Miknatisli Dogru Akim motorunun Simulasyonu - 02 J m = Chapter 5-64

33 ÖRNEK Sürekli Miknatisli Dogru Akim motorunun Simulasyonu - 02 J m = Chapter 5-65 ÖRNEK Sürekli Miknatisli Dogru Akim motorunun Simulasyonu - 02 J m = Chapter 5-66

34 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI % Program Kontrl04.m % PMDC motor denetimsiz tepkesi. Transfer Fonksiyonu (TL=0 icin) % Birim basamak tepkesi, Birim darbe tepkesi, birim rampa tepkesi % veriler Va=36; Ia=15; Inl=1.62; Nn=3400; Ra=1.0; La=0.08; Ka=0.095; Km=Ka; % La= ; Bm=4.31e-4; Jm=7.432e-4; % Jm=7.432e-6; % Jm=7.432e-3; K0= ; K1=8.4e-5; K2=1.1e-6; A=[ -(Ra/La) -(Ka/La) Km/Jm -(Bm/Jm) ]; B=[ 1/La; 0 ]; C=[0 1]; D=[0 ] ; TL=0; Chapter 5-67 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI [num, den]=ss2tf(a,b,c,d); % Transfer fonksiyonu % Bulunan transfer fonkiyonu: % num = ; den = S^ S % Birim basamak tepkesi u=1; t=[0:0.01:1]; [ys1,xs1,ts1]=step(a,b,c,d,u,t); [ys2,xs2,ts2]=step(num,den,t); % Birim darbe tepkesi [yi1,xi1,ti1]=impulse(a,b,c,d); [yi2,xi2,ti2]=impulse(num,den,t); % Birim rampa tepkesi num2=[0 num]; den2=[den 0]; [yr1,xr1,tr1]=step(num2,den2,t); AA=[A zeros(2,1);c 0]; BB=[B;0]; CC=[0 0 1]; DD=0; % y=x3=z alinirsa [yr2,xr2,tr2]=step(aa,bb,cc,dd); Chapter 5-68

35 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI % Grafikler subplot(211) plot(ts1,ys1) xlabel('zaman (s)'); title('birim Basamak Tepkesi (rad/s)'); grid subplot(212) plot(ts2,ys2); xlabel('zaman (s)'); title('birim Basamak Tepkesi (rad/s)'); grid;pause subplot(211) plot(ti1,yi1); xlabel('zaman (s)'); title('birim Darbe Tepkesi (rad/s)'); grid subplot(212) plot(ti2,yi2); xlabel('zaman (s)'); title('birim Darbe Tepkesi (rad/s)'); grid;pause subplot(211) plot(tr1,yr1,'o',t,t,'-'); xlabel('zaman (s)'); title('birim Rampa Tepkesi (rad/s)');grid subplot(212) plot(tr2,yr2,'o',t,t,'-'); xlabel('zaman (s)'); title('birim Rampa Tepkesi (rad/s)'); grid Chapter 5-69 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI Chapter 5-70

36 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI Chapter 5-71 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN ZAMAN TEPKELERI Chapter 5-72

37 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN HIZ ve KONUM KONTROLÜ PMDC Motor kontrol simülasyonu PID Controller Chapter 5-73 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN HIZ ve KONUM KONTROLÜ Chapter 5-74

38 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN HIZ ve KONUM KONTROLÜ Chapter 5-75 SÜREKLI MIKNATISLI DA MOTORUNUN HIZ ve KONUM KONTROLÜ Chapter 5-76

39 Controllability and Observability Chapter 5-77 Controllability and Observability Basic Definitions v A system is said to be completely controllable if there exists a control input transferring any state variable to a desired final location; otherwise the system is uncontrollable. v A system is said to be completely observable if the initial state vector x(t0) can be found using control input u(t) and measured output y(t); otherwise the system is unobservable. Chapter 5-78

40 Controllability - x1 - x1 a1 a4 u - x2 y u - x2 y a2 a5 - x3 - x3 a3 (a) Controllable a6 (b) Uncontrollable ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = -a x 1 x 2 x 3 0 -a a u ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = -a x 1 x 2 x 3 0 -a a u Chapter 5-79 An nth order plant Controllability. x = Ax + Bu is completely controllable if the matrix 2 n-1 P c =[B AB A B A B is of rank n where P c is controllability matrix. det( P c ) is nonzero. Chapter 5-80

41 Controllability. x = Ax + Bu = x u The state equation for a system is given above. Determine whether the system is controllable. Controllable % contr_matr.m A=[ ] B=[0;2;3] Pm=ctrb(A,B) Rank=rank(Pm) Det=det(Pm) 2 P c =[B AB A B]= Rank of P is 3 c Determinant of P = -48 c Chapter 5-81 Observability - x1 - x1 a1 a4 u - x2 y u - x2 y a2 a5 - x3 - x3 a3 (a) Observable a6 (b) Unobservable y=cx = y=cx = x 1 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 Chapter 5-82

42 An nth order plant Observability is completely observable if the matrix is of rank n where P o. x = Ax + Bu y = Cx P o is controllability matrix. det( P o ) is nonzero. P = o C CA... CA n-1 Chapter 5-83 Observability. x = Ax + Bu = x u y=cx = The state equation for a system is given above. Determine whether the system is observable. Observable % obs_matr.m A=[ ] C=[0 4 1] Po=obsv (A,C) Rank=rank(Po) Det=det(Po) P = o C CA CA 2 = Rank of P is 3 o Determinant of P = -23 o Chapter 5-84

WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS. Lect. Yasin ORTAKCI.

WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS. Lect. Yasin ORTAKCI. WEEK 11 CME323 NUMERIC ANALYSIS Lect. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr 2 INTERPOLATION Introduction A census of the population of the United States is taken every 10 years. The following table

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

BBM Discrete Structures: Final Exam Date: , Time: 15:00-17:00

BBM Discrete Structures: Final Exam Date: , Time: 15:00-17:00 BBM 205 - Discrete Structures: Final Exam Date: 12.1.2017, Time: 15:00-17:00 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total Points: 6 16 8 8 10 9 6 8 14 5 10 100 Score:

Detaylı

MATLAB a GİRİŞ. Doç. Dr. Mehmet İTİK. Karadeniz Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü

MATLAB a GİRİŞ. Doç. Dr. Mehmet İTİK. Karadeniz Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü MATLAB a GİRİŞ Doç. Dr. Mehmet İTİK Karadeniz Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü İçerik: MATLAB nedir? MATLAB arayüzü ve Bileşenleri (Toolbox) Değişkenler, Matris ve Vektörler Aritmetik işlemler

Detaylı

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Grup Adı: Sıvı Seviye Kontrol Deneyi.../..

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Grup Adı: Sıvı Seviye Kontrol Deneyi.../.. Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Grup Adı: Sıvı Seviye Kontrol Deneyi.../../2015 KP Pompa akış sabiti 3.3 cm3/s/v DO1 Çıkış-1 in ağız çapı 0.635 cm DO2

Detaylı

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL MAK669 LINEER ROBUS KONROL s.selim@gyte.edu.tr 14.11.014 1 State Feedback H Control x Ax B w B u 1 z C x D w D u 1 11 1 (I) w Gs () u y x K z z (full state feedback) 1 J ( u, w) ( ) z z w w dt t0 (II)

Detaylı

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.

Dijital Kontrol Sistemleri Prof.Dr. Ayhan Özdemir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir. u(t):kuvvet u(t) F yay F sönm Yay k:yay sabiti m kütle Sönümlirici b:ösnümlirme sabiti y(t):konum 1 1 3

Detaylı

Bu durumda ya cozum yoktur veya sonsuz cozum vardir. KIsaca cozum tek degildir. Veya cozumler birbirine lineer bagimlidir.

Bu durumda ya cozum yoktur veya sonsuz cozum vardir. KIsaca cozum tek degildir. Veya cozumler birbirine lineer bagimlidir. Vektorlerin lineer bagimsiligi Ornek, Denklem Takimini Coun > - Ikinci denklemde erine ko (-) -) Sonuc: > - sartini saglaan butun ve ler her iki denklemi de coer. (, ), (, ), (, ),... Denklem takiminin

Detaylı

Unlike analytical solutions, numerical methods have an error range. In addition to this

Unlike analytical solutions, numerical methods have an error range. In addition to this ERROR Unlike analytical solutions, numerical methods have an error range. In addition to this input data may have errors. There are 5 basis source of error: The Source of Error 1. Measuring Errors Data

Detaylı

ELKE315-ELKH315 Introduction to Control Systems FINAL January 2, 2016 Time required: 1.5 Hours

ELKE315-ELKH315 Introduction to Control Systems FINAL January 2, 2016 Time required: 1.5 Hours SORU. Yanda serbest uyarmalı bir DA motorunun elektromekanik şeması verilmiştir. Bu doğru akım motoru, hızı kontrol edilmek üzere modellenecektir. Hız kontrolü hem endüvi devresi hem de uyarma devresi

Detaylı

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir. GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler

Detaylı

Sistem Analizinde Modern Kontrol Mekanizmaları Bahman Alp RENÇBER

Sistem Analizinde Modern Kontrol Mekanizmaları Bahman Alp RENÇBER Uşak Üniversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2013) 6/2,1-11 1 Sistem Analizinde Modern Kontrol Mekanizmaları Bahman Alp RENÇBER Özet Bu çalışmanın amacı, sistemlerde modern kontrol mekanizmalarının incelenmesidir

Detaylı

ATILIM UNIVERSITY Department of Computer Engineering

ATILIM UNIVERSITY Department of Computer Engineering ATILIM UNIVERSITY Department of Computer Engineering COMPE 350 Numerical Methods Fall, 2011 Instructor: Fügen Selbes Assistant: İsmail Onur Kaya Homework: 1 Due date: Nov 14, 2011 You are designing a spherical

Detaylı

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. yasinortakci@karabuk.edu.tr

12. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. yasinortakci@karabuk.edu.tr 1. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi DIVIDED DIFFERENCE INTERPOLATION Forward Divided Differences

Detaylı

1 I S L U Y G U L A M A L I İ K T İ S A T _ U Y G U L A M A ( 5 ) _ 3 0 K a s ı m

1 I S L U Y G U L A M A L I İ K T İ S A T _ U Y G U L A M A ( 5 ) _ 3 0 K a s ı m 1 I S L 8 0 5 U Y G U L A M A L I İ K T İ S A T _ U Y G U L A M A ( 5 ) _ 3 0 K a s ı m 2 0 1 2 CEVAPLAR 1. Tekelci bir firmanın sabit bir ortalama ve marjinal maliyet ( = =$5) ile ürettiğini ve =53 şeklinde

Detaylı

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

10. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. . HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 2- İTERATİF YÖNTEMLER Doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde

Detaylı

WEEK 4 BLM323 NUMERIC ANALYSIS. Okt. Yasin ORTAKCI.

WEEK 4 BLM323 NUMERIC ANALYSIS. Okt. Yasin ORTAKCI. WEEK 4 BLM33 NUMERIC ANALYSIS Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 NONLINEAR EQUATION SYSTEM Two or more degree polinomial

Detaylı

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

4. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 4. HAFTA BLM33 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi BLM33 NONLINEAR EQUATION SYSTEM Two or more degree polinomial

Detaylı

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI

DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.

Detaylı

EEM 452 Sayısal Kontrol Sistemleri /

EEM 452 Sayısal Kontrol Sistemleri / EEM 452 Sayısal Kontrol Sistemleri / Yrd. Doç. Dr. Rıfat HACIOĞLU Bahar 2016 257 4010-1625, hacirif@beun.edu.tr EEM452 Sayısal Kontrol Sistemleri (3+0+3) Zamanda Ayrık Sistemlerine Giriş. Sinyal değiştirme,

Detaylı

Matlab - Giriş (İleri Yapı Statiği II. Kısım)

Matlab - Giriş (İleri Yapı Statiği II. Kısım) - Giriş (İleri Yapı Statiği II. Kısım) Doç. Dr. Özgür Özçelik Dokuz Eylül Üniversitesi, Müh. Fak., İnşaat Müh. Böl. Matrisler Hakkında Alman amatör matematikçi Albrecht Dürer in (1471-1528) Rönesans Gravürü

Detaylı

AKT 305 Aktüeryal Yazılımlar Ödev 1 Yanıtları Soru 1. Create a vector x with the elements...

AKT 305 Aktüeryal Yazılımlar Ödev 1 Yanıtları Soru 1. Create a vector x with the elements... AKT 305 Aktüeryal Yazılımlar Ödev 1 Yanıtları Soru 1. Create a vector x with the elements... a. 2, 4, 6, 8,...,10 >> [2:2:10] 2 4 6 8 10 b. 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4 >> [10:-2:-4] 10 8 6 4 2 0-2 -4 c.

Detaylı

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI:

ELN3052 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - 2 TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: ELN35 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - TRANSFER FONKSİYONU, BLOK ŞEMA VE SİSTEM BENZETİMİ UYGULAMALARI: Control System Toolbox içinde dinamik sistemlerin transfer fonksiyonlarını tanımlamak için tf,

Detaylı

Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine

Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine 1 Yalçın Yılmaz, 2 İsmail Küçük ve 3 Faruk Uygul *1 Faculty of Arts and Sciences, Dept. of Mathematics, Sakaya University, Sakarya, Turkey 2 Faculty of Chemical

Detaylı

Do not open the exam until you are told that you may begin.

Do not open the exam until you are told that you may begin. ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR OKAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 03.11.2011 MAT 461 Fonksiyonel Analiz I Ara Sınav N. Course ADI SOYADI ÖĞRENCİ NO İMZA Do not open

Detaylı

Sistem Dinamiği ve Kontrolü Bütünleme 26 Ocak 2017 Süre: 1.45 Saat. Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası :

Sistem Dinamiği ve Kontrolü Bütünleme 26 Ocak 2017 Süre: 1.45 Saat. Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası : Adı ve Soyadı : İmzası : Öğrenci Numarası : SORU 1 Fiziki bir sistem yandaki işaret akış grafiği ile temsil edilmektedir.. a. Bu sistemin transfer fonksiyonunu Mason genel kazanç bağıntısını kullanarak

Detaylı

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I.

TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 301 Kontrol Sistemleri I. TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü ELE 3 Kontrol Sistemleri I Ara Sınav 8 Haziran 4 Adı ve Soyadı: Bölüm: No: Sınav süresi dakikadır.

Detaylı

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu DönüşümÜ 1 EEM304 MM306

Detaylı

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL MAK669 LINEER ROBUS KONROL Prof.Dr. Selim SİVRİOĞLU s.selim@gyte.edu.tr 7..4 Kararlılık analizi eorem :( Hurwitz) A Bu lineer sistemi sadece ve sadece bütün kökleri sol yarı düzlemde ise kararlıdır yani

Detaylı

CHAPTER 7: DISTRIBUTION OF SAMPLE STATISTICS. Sampling from a Population

CHAPTER 7: DISTRIBUTION OF SAMPLE STATISTICS. Sampling from a Population CHAPTER 7: DISTRIBUTION OF SAMPLE STATISTICS Sampling from a Population Örnek: 2, 4, 6, 6, 7, 8 say lar ndan oluşan bir populasyonumuz olsun Bu say lardan 3 elemanl bir örneklem (sample) seçebiliriz. Bu

Detaylı

PARABOLİK DENKLEMLERDE BİLİNMEYEN KAYNAK TERİMLERİNİN BULUNMASI İÇİN PROSEDÜR VE PROGRAMLAR. Alper Bostancı

PARABOLİK DENKLEMLERDE BİLİNMEYEN KAYNAK TERİMLERİNİN BULUNMASI İÇİN PROSEDÜR VE PROGRAMLAR. Alper Bostancı öz PARABOLİK DENKLEMLERDE BİLİNMEYEN KAYNAK TERİMLERİNİN BULUNMASI İÇİN PROSEDÜR VE PROGRAMLAR Alper Bostancı BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ Şubat 2002 Bu tez çalışmasında parabolik

Detaylı

MAT201E DIFERENTIAL EQUATIONS. Learning Outcomes

MAT201E DIFERENTIAL EQUATIONS. Learning Outcomes MAT201E DIFERENTIAL EQUATIONS Learning Outcomes DEPARTMENT of MATHEMATICS Mat103-Mat103E-Mat101-Mat101E(Mathematics 1) Mat 201-Mat201E (Differential Equations) Mat104-Mat102-Mat102E(Mathematics 2) Mat261

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

DOKUZ EYLUL UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING OFFICE OF THE DEAN COURSE / MODULE / BLOCK DETAILS ACADEMIC YEAR / SEMESTER

DOKUZ EYLUL UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING OFFICE OF THE DEAN COURSE / MODULE / BLOCK DETAILS ACADEMIC YEAR / SEMESTER Offered by: Bilgisayar Mühendisliği Course Title: COMPUTER PROGRAMMING Course Org. Title: COMPUTER PROGRAMMING Course Level: Course Code: CME 0 Language of Instruction: İngilizce Form Submitting/Renewal

Detaylı

BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI

BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI 39 BÖLÜM-6 BLOK DİYAGRAMLARI Kontrol sistemlerinin görünür hale getirilmesi Bileşenlerin transfer fonksiyonlarını gösterir. Sistemin fiziksel yapısını yansıtır. Kontrol giriş ve çıkışlarını karakterize

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Orjinal Adı: CALCULUS II. Dersin Kodu: MAT 1002

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Orjinal Adı: CALCULUS II. Dersin Kodu: MAT 1002 Dersi Veren Birim: Mühendislik Fakültesi Dersin Türkçe Adı: MATEMATİK II Dersin Orjinal Adı: CALCULUS II Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: MAT 100 Dersin Öğretim

Detaylı

#include <stdio.h> int main(void) { float sayi; float * p; p = &sayi; printf("deger girin:"); scanf("%f", p); printf("girilen deger:%f\n", *p);

#include <stdio.h> int main(void) { float sayi; float * p; p = &sayi; printf(deger girin:); scanf(%f, p); printf(girilen deger:%f\n, *p); Ege University Electrical and Electronics Engineering Introduction to Computer Programming Laboratory Lab 11 - Pointers 1) Pointer syntax. Declare a variable and a pointer with same data type. Assign variable

Detaylı

EGE UNIVERSITY ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERING COMMUNICATION SYSTEM LABORATORY

EGE UNIVERSITY ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERING COMMUNICATION SYSTEM LABORATORY EGE UNIVERSITY ELECTRICAL AND ELECTRONICS ENGINEERING COMMUNICATION SYSTEM LABORATORY INTRODUCTION TO COMMUNICATION SYSTEM EXPERIMENT 4: AMPLITUDE MODULATION Objectives Definition and modulating of Amplitude

Detaylı

Matlab & Simulink MATLAB SIMULINK

Matlab & Simulink MATLAB SIMULINK Matlab & Simulink MATLAB SIMULINK Simulink Oturumunu Başlatma SIMULINK icon üzerine tıkla Veya Matlab komut satırında simulink Yaz Simulink Kütüphanesi Yeni model iconu oluşturma Arama penceresi Model

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri H a z ı r l aya n : D r. N u r d a n B i l g i n Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Bir önceki

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

DENEY 2 Sistem Benzetimi

DENEY 2 Sistem Benzetimi DENEY Sistem Benzetimi DENEYİN AMACI. Diferansiyel denklem kullanarak, fiziksel bir sistemin nasıl tanımlanacağını öğrenmek.. Fiziksel sistemlerin karakteristiklerini anlamak amacıyla diferansiyel denklem

Detaylı

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ

ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü E-Posta: ogu.ahmet.topcu@gmail.com Web: http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu Bilgisayar Destekli Nümerik Analiz Ders

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Öğrencilere bilgisayar destekli titreşim analizi yeteğinin kazandırılması

Öğrencilere bilgisayar destekli titreşim analizi yeteğinin kazandırılması Ders Öğretim Planı Dersin Kodu 50700 4222007 Dersin Seviyesi Lisans Dersin Adı BİLGİSAYAR DESTEKLİ TİTREŞİM SİMÜLASYONU Dersin Türü Yıl Yarıyıl AKTS Seçmeli 4 8 3 Dersin Amacı Öğrencilere bilgisayar destekli

Detaylı

UBE Machine Learning. Kaya Oguz

UBE Machine Learning. Kaya Oguz UBE 521 - Machine Learning Kaya Oguz Support Vector Machines How to divide up the space with decision boundaries? 1990s - new compared to other methods. How to make the decision rule to use with this boundary?

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 12e. Equilibrium of a Particle

Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 12e. Equilibrium of a Particle Engineering Mechanics: Statics in SI Units, 12e 3 Equilibrium of a Particle Bölüm Hedefleri Parçacık serbest cisim diyagramı Denge denklemleri kullanılarak parçacık denge problemleri çözümü Bölüm Özeti

Detaylı

BBM Discrete Structures: Midterm 2 Date: , Time: 16:00-17:30. Question: Total Points: Score:

BBM Discrete Structures: Midterm 2 Date: , Time: 16:00-17:30. Question: Total Points: Score: BBM 205 - Discrete Structures: Midterm 2 Date: 8.12.2016, Time: 16:00-17:30 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 Total Points: 12 22 10 10 15 16 15 100 Score: 1. (12 points)

Detaylı

1. DENEY ADI: Rezonans Deneyi. analitik olarak bulmak denir. Serbestlik Derecesi: Genlik: Periyot: Frekans: Harmonik Hareket:

1. DENEY ADI: Rezonans Deneyi. analitik olarak bulmak denir. Serbestlik Derecesi: Genlik: Periyot: Frekans: Harmonik Hareket: 1. DENEY ADI: Rezonans Deneyi 2. analitik olarak bulmak. 3. 3.1. denir. Serbestlik Derecesi: Genlik: Periyot: Frekans: Harmonik Hareket: Harmonik Hareket Rezonans: Bu olaya rezonans denir, sistem için

Detaylı

Üç Fazlı Sincap Kafesli bir Asenkron Motorun Matlab/Simulink Ortamında Dolaylı Vektör Kontrol Benzetimi

Üç Fazlı Sincap Kafesli bir Asenkron Motorun Matlab/Simulink Ortamında Dolaylı Vektör Kontrol Benzetimi Araştırma Makalesi Adıyaman Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi (05) 6-7 Üç Fazlı Sincap Kafesli bir Asenkron Motorun Matlab/Simulink Ortamında Dolaylı Vektör Kontrol Benzetimi Ahmet NUR *, Zeki

Detaylı

MM 409 MatLAB-Simulink e GİRİŞ

MM 409 MatLAB-Simulink e GİRİŞ MM 409 MatLAB-Simulink e GİRİŞ 2016-2017 Güz Dönemi 28 Ekim 2016 Arş.Gör. B. Mahmut KOCAGİL Ajanda-İçerik Simulink Nedir? Nerelerde Kullanılır? Avantaj / Dezavantajları Nelerdir? Simulink Arayüzü Örnek

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL

MAK669 LINEER ROBUST KONTROL MAK669 LINEER ROBUST KONTROL Prof.Dr. Selim SİVRİOĞLU s.selim@gyte.edu.tr 26.09.2014 1 Ders takvimi Toplam 12 hafta içinde 10 hafta ders 1 hafta laboratuar uygulaması ve 1 hafta sınav yapılacaktır. Derse

Detaylı

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma

Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma Zaman Domeninde Modelleme Transfer Fonksiyonu Durum Uzay Dönüşümü Durum Uzay Transfer Fonksiyonu Dönüşümü Durum Uzayında Doğrusallaştırma 1 Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel

Detaylı

Ders İçerik Bilgisi. Sistem Davranışlarının Analizi. Dr. Hakan TERZİOĞLU. 1. Geçici durum analizi. 2. Kalıcı durum analizi. MATLAB da örnek çözümü

Ders İçerik Bilgisi. Sistem Davranışlarının Analizi. Dr. Hakan TERZİOĞLU. 1. Geçici durum analizi. 2. Kalıcı durum analizi. MATLAB da örnek çözümü Dr. Hakan TERZİOĞLU Ders İçerik Bilgisi Sistem Davranışlarının Analizi 1. Geçici durum analizi 2. Kalıcı durum analizi MATLAB da örnek çözümü 2 Dr. Hakan TERZİOĞLU 1 3 Geçici ve Kalıcı Durum Davranışları

Detaylı

Mühendislik ve Bilgisayar Bilimleri Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliði

Mühendislik ve Bilgisayar Bilimleri Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliði Mühendislik ve Bilgisayar Bilimleri Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliði EEE 282 - Mühendislik Matematiði II DERS TANITIM BÝLGÝLERÝ Dersin Adý Kodu Yarýyýl Teori (saat/hafta) Uygulama/Laboratuar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

Yaz okulunda (2014 3) açılacak olan 2360120 (Calculus of Fun. of Sev. Var.) dersine kayıtlar aşağıdaki kurallara göre yapılacaktır:

Yaz okulunda (2014 3) açılacak olan 2360120 (Calculus of Fun. of Sev. Var.) dersine kayıtlar aşağıdaki kurallara göre yapılacaktır: Yaz okulunda (2014 3) açılacak olan 2360120 (Calculus of Fun. of Sev. Var.) dersine kayıtlar aşağıdaki kurallara göre yapılacaktır: Her bir sınıf kontenjanı YALNIZCA aşağıdaki koşullara uyan öğrenciler

Detaylı

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI Blok Diyagramlar Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı İşaret Akış Diyagramları Mason Kuralı Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları Durum Uzayında Alternatif Gösterimler 1 Birçok kontrol

Detaylı

Sürekli-Zaman Sinyallerinin Matematiksel Tanımlanması

Sürekli-Zaman Sinyallerinin Matematiksel Tanımlanması Sürekli-Zaman Sinyallerinin Matematiksel Tanımlanması Tipik Sürekli-Zaman Sinyalleri 2 Süreklilik ve Sürekli-Zaman Sinyalleri Karşılaştırması Zamanda sürekli olan fonksiyonların hepsi sürekli-zamanlıdır,

Detaylı

Sistem Dinamiği. Bölüm 5-Blok Diyagramlar, Durum-Değişken Modelleri ve Simülasyon Metodları. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN

Sistem Dinamiği. Bölüm 5-Blok Diyagramlar, Durum-Değişken Modelleri ve Simülasyon Metodları. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN Sistem Dinamiği Bölüm 5-Blok Diyagramlar, Durum-Değişken Modelleri ve Simülasyon Metodları Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem

Detaylı

SEC 405 Bulanık Mantık Bilgisayar Müh. Böl.

SEC 405 Bulanık Mantık Bilgisayar Müh. Böl. AÇIKLAMALAR ************************ ************************ A=[ -10-31 -30 B=[ ; 0 1 0; 0 0 1]; C=[ 0 0 1]; D=0; u1=100; u2=0; u3=0; dt=0.01; tend=5; t0=0; Bir sonraki sayfadan başlamak üzere her öğrenciye

Detaylı

DENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y

DENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

ÇİFT ANADAL TABLOSU. Code Course name T R C ECTS IE CENG ECE MECE MSE CE ME 113

ÇİFT ANADAL TABLOSU. Code Course name T R C ECTS IE CENG ECE MECE MSE CE ME 113 ÇİFT ANADAL TABLOSU Makine Mühendisliği Programında Çift Anadal a başvuran değişik bölüm öğrencilerinin alması gereken dersler aşağıda verilmiştir. (Alınması gerekmeyen dersler koyu hücreler içerisinde

Detaylı

ÇİFT ANADAL TABLOSU. ME 203 Statics NA NA ME 211 Thermodynamics I NA NA

ÇİFT ANADAL TABLOSU. ME 203 Statics NA NA ME 211 Thermodynamics I NA NA ÇİFT ANADAL TABLOSU Makine Mühendisliği Programında Çift Anadal a başvuran değişik bölüm öğrencilerinin alması gereken dersler aşağıda verilmiştir. (Alınması gerekmeyen dersler koyu hücreler içerisinde

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR : MARMARA EĞİTİM KÖYÜ MALTEPE İSTANBUL

YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR : MARMARA EĞİTİM KÖYÜ MALTEPE İSTANBUL AHMET FUAT ANDAY ÖZGEÇMİŞ YÜKSEKÖĞRETİM KURULU PROFESÖR 05.02.2015 Adres : MARMARA EĞİTİM KÖYÜ 34857 MALTEPE İSTANBUL Telefon : 2166261050-2382 E-posta Doğum Tarihi : 27.08.1941 : fuatanday@maltepe.edu.tr

Detaylı

DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I

DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

BBM Discrete Structures: Final Exam - ANSWERS Date: , Time: 15:00-17:00

BBM Discrete Structures: Final Exam - ANSWERS Date: , Time: 15:00-17:00 BBM 205 - Discrete Structures: Final Exam - ANSWERS Date: 12.1.2017, Time: 15:00-17:00 Ad Soyad / Name: Ögrenci No /Student ID: Question: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total Points: 6 16 8 8 10 9 6 8 14 5 10

Detaylı

All documents should be presented with an official English or Turkish translation (if the original language is not English or Turkish).

All documents should be presented with an official English or Turkish translation (if the original language is not English or Turkish). Application to Gaziantep University Graduate Programs Gaziantep University invites applications for admission to Graduate Programmes (Masters and Doctoral Degree) for the 2018/2019 Academic Year. To qualify

Detaylı

Kontrol Sistemleri Tasarımı

Kontrol Sistemleri Tasarımı Kontrol Sistemleri Tasarımı Giriş ve Temel Kavramlar Prof. Dr. Bülent E. Platin Giriş Çalıştay İçeriği: Giriş ve Temel Kavramlar Açık Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Kök Yer Eğrileri ve Yöntemleri

Detaylı

>> pretty(f) s exp(10) 1/ s + 1 1/100 (s + 1) + 1 s

>> pretty(f) s exp(10) 1/ s + 1 1/100 (s + 1) + 1 s ELN5 OTOMATİK KONTROL MATLAB ÖRNEKLERİ - LAPLACE VE TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ UYGULAMALARI: Symbolic Math Toolbox içinde tanımlı olan laplace ve ilaplace komutları ile Laplace ve Ter Laplace dönüşümlerinin

Detaylı

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya

Detaylı

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. -

MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz Dönemi. Ders Uygulama Planı. - MAT 202-DİFERENSİYEL DENKLEMLER-Güz 2016-2017 Dönemi Ders Uygulama Planı 04 02 ve 03 01 Öğretim Üyesi Prof. Dr. Ömer AKIN (Ders Koordinatörü) Prof. Dr. Abdullah ALTIN Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN Ofis No 226

Detaylı

Delta Pulse 3 Montaj ve Çalıstırma Kılavuzu. www.teknolojiekibi.com

Delta Pulse 3 Montaj ve Çalıstırma Kılavuzu. www.teknolojiekibi.com Delta Pulse 3 Montaj ve Çalıstırma Kılavuzu http:/// Bu kılavuz, montajı eksiksiz olarak yapılmış devrenin kontrolü ve çalıştırılması içindir. İçeriğinde montajı tamamlanmış devrede çalıştırma öncesinde

Detaylı

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201

MATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201 BÖLÜM KODU:01 011-01 01.Yarıyıl Dersleri 0.Yarıyıl Dersleri MTK 101 Analiz I Analysis I 4 1 5 6 MTK 10 Analiz II Analysis II 4 1 5 6 MTK 11 Lineer Cebir I Linear Algebra I 1 4 MTK 1 Lineer Cebir II Linear

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations

Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Uygulama alanı: Lineer olan her sistem Notation: Ax 1 = b Augmented [A l b] Uniqueness A = 0, A nxa Bu şekilde yazılan sistemler Overdetermined (denklem

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi

Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi 1) Giriş Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Pendulum Deneyi.../../2018 Bu deneyde amaç Linear Quadratic Regulator (LQR) ile döner ters sarkaç (rotary inverted

Detaylı

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK. İlhan AYDIN

BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK. İlhan AYDIN BMÜ-421 Benzetim ve Modelleme MATLAB SIMULINK İlhan AYDIN SIMULINK ORTAMI Simulink bize karmaşık sistemleri tasarlama ve simülasyon yapma olanağı vermektedir. Mühendislik sistemlerinde simülasyonun önemi

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki

Detaylı

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin

Otomatik Kontrol. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri. Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Otomatik Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Hazırlayan: Dr. Nurdan Bilgin Kapalı Çevrim Kontrol Kapalı Çevrim Kontrol Sistemin Genel Gereklilikleri Tüm uygulamalar için aşağıdaki

Detaylı

Mat-Lab ile Kök Yer Eğrileri

Mat-Lab ile Kök Yer Eğrileri Mat-Lab ile Kök Yer Eğrileri Prof.Dr. Galip Cansever 1 MatLab ile Kök yer eğrisi çiziminde num = = num 1 + K = 0 den ( s s m + z 1 b s 1 )( s m 1 z m formunu kullanacağız. )...( s +... + b m z m ) den

Detaylı

L2 L= nh. L4 L= nh. C2 C= pf. Term Term1 Num=1 Z=50 Ohm. Term2 Num=2 Z=50 Oh. C3 C= pf S-PARAMETERS

L2 L= nh. L4 L= nh. C2 C= pf. Term Term1 Num=1 Z=50 Ohm. Term2 Num=2 Z=50 Oh. C3 C= pf S-PARAMETERS 1- Design a coupled line 5th order 0.5 db equal-ripple bandpass filter with the following characteristics: Zo = 50 ohm, band edges = 3 GHz and 3.5 GHz, element values of LPF prototype are with N = 5: g1

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

GebzeYüksek Teknoloji Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği Bölümü PK.141 41400 Gebze/Kocaeli

GebzeYüksek Teknoloji Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği Bölümü PK.141 41400 Gebze/Kocaeli GebzeYüksek Teknoloji Enstitüsü Bilgisayar Mühendisliği Bölümü PK.141 41400 Gebze/Kocaeli TM # : [Boş Bõrakõn] Başlõk : Rapor Başlõğõ Teknik Rapor! Seminer Raporu! Anahtar Kelimeler : Yazarlar : A. Çokçalõşkan,

Detaylı

Bölüm 6. Diziler (arrays) Temel kavramlar Tek boyutlu diziler Çok boyutlu diziler

Bölüm 6. Diziler (arrays) Temel kavramlar Tek boyutlu diziler Çok boyutlu diziler Bölüm 6 Diziler (arrays) Temel kavramlar Tek boyutlu diziler Çok boyutlu diziler Chapter 6 Java: an Introduction to Computer Science & Programming - Walter Savitch 1 Genel Bakış Dizi: Hepsi aynı türde

Detaylı

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri

1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: Ünvanı: Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu:

ÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: Ünvanı: Doç. Dr. 4. Öğrenim Durumu: 1. Adı Soyadı: Bahaddin SİNSOYSAL 2. Doğum Tarihi: 02.0.1969. Ünvanı: Doç. Dr.. Öğrenim Durumu: ÖZGEÇMİŞ Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Karadeniz Teknik Üniversitesi 1991 Y. Lisans Matematik

Detaylı

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.

2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz. D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................

Detaylı

Bu uygulama saatinde, dinamik sistemlerin simülasyonu (benzetimi) için geliştirilmiş olan, oldukça kullanışlı bir arayüz, Simulink, tanıtılacaktır.

Bu uygulama saatinde, dinamik sistemlerin simülasyonu (benzetimi) için geliştirilmiş olan, oldukça kullanışlı bir arayüz, Simulink, tanıtılacaktır. Bu uygulama saatinde, dinamik sistemlerin simülasyonu (benzetimi) için geliştirilmiş olan, oldukça kullanışlı bir arayüz, Simulink, tanıtılacaktır. Simulink bir Grafik Kullanıcı Arayüzü (Graphical User

Detaylı

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required

Detaylı

10.7442 g Na2HPO4.12H2O alınır, 500mL lik balonjojede hacim tamamlanır.

10.7442 g Na2HPO4.12H2O alınır, 500mL lik balonjojede hacim tamamlanır. 1-0,12 N 500 ml Na2HPO4 çözeltisi, Na2HPO4.12H2O kullanılarak nasıl hazırlanır? Bu çözeltiden alınan 1 ml lik bir kısım saf su ile 1000 ml ye seyreltiliyor. Son çözelti kaç Normaldir? Kaç ppm dir? % kaçlıktır?

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 5001

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 5001 Dersi Veren Birim: Fen Bilimleri Enstitüsü Dersin Türkçe Adı: Uygulamalı Matematik Dersin Orjinal Adı: Applied Mathematics Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisansüstü Dersin Kodu:

Detaylı