Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır."

Transkript

1 NÜMERİK İNTEGRASYON

2 Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle yaklaşım yapılır.

3 Yöntemler Nümerik integrasyon yöntemleri, şekilden de görüleceği üzere yaklaşık değerler hesaplar.

4 Kare Metodu Fonksiyonun her bir aralıkta sabit bir değeri olduğu varsayılarak hesaplama yapılır. Trapez Metodu (Yamuk Kuralı-İki Nokta) Fonksiyonun belirli integrali hesaplanırken a b aralığında x ekseni ile arasına bir yamuk çizilerek bu yamuğun alanı hesaplanır. Simpson Metodu Trapez e göre daha iyi sonuç verir. İntegralin alt ve üst sınırı büyük ise bu aralığı n>=2 ve çit olacak şekilde n tane alt aralığa bölerek ardışık çit aralıklar için bu metot kullanılır.

5 İntegrali alınacak onksiyonun graiksel gösterimi

6 İntegralin analitik çözümü (Gerçek Çözüm)

7 Gerçek çözüme sayısal yöntemle yaklaşım

8 Kareler ile İntegral Fonksiyonun her bir aralıkta sabit bir değeri olduğu varsayılır.

9 Trapez kuralı ile integral Kareler yerine yamuklar kullanır.

10 Simpson 1/3 kuralı En yaklaşık sonucu verir.

11 Newton-Cotes Formülleri I b x b dx a a n xdx n x =a o +a 1 x+...a n x n Trapez (Yamuk) Kuralı b,(b) 1 (x) a, (a) doğrusal interpolasyon ( b) ( a) 1 x=(a)+ ( x a) b a I b b a a dx ( b) I ( b a) b a 2 a ( a)

12 Trapez (Yamuk) Kuralı I=(Taban) x (Ortalama Yükseklik) I ( b a) ( a) 2 ( b)

13 Örnek: Trapez kuralı (Tekli Uygulama) (x) = x-200x x 3-900x x 5 onksiyonunun x=0 dan 0.8 e kadar trapez kuralı ile integralini alınız. (İntegralin analitik çözümü: ) Aralığın büyük seçilmesi sonucunda integral hatası!!! Çözüm: Fonksiyonun verilen noktalardaki değerleri; (0)=0.2, (0.8)=0.232 bulunur. Eşitlikte bu değerler yazılırsa; I=(b-a) ( b) ( a) bulunur. 2 2 Hata : E t = = Sonuç %89.5 bağıl hatayla bulunmuştur.

14 Trapez kuralı nın çoklu uygulaması I 1 = ) ( 2 1 h o, I 2 = ) ( h Çoklu uygulamalarda trapez kuralı I=I 1 +I I n I= )... ( n n n n o h I= ) 2 ( n k k n o h Trapez kuralının çoklu uygulaması için genel ormül

15 Simpson Kuralları (x) (x) 2. dereceden polinom x 3. dereceden polinom x

16 Simpson un 1/3 Kuralı I b x dx a b a 2 xdx a=x0, b=x2 dir. x1 ise a ve b nin ortasındaki nokta 2 x x 2, (x 2 ) x 1, (x 1 ) x 3, (x 3 ) 2. Dereceden Lagrange İnterpolasyon Polinomu I x 2 x o x x1 x x2 x x x x x x0 x x2 x x x x x x0 x x1 x x x x ( x0 ) ( x1 ) ( x ) dx I h 3 x0 4 ( x1 ) ( x 2 ) h= Simpson un 1/3 Kuralı (İkinci Newton Cotes İntegral Formülü) b x a 2 I ( b a) Taban 0 4 ( x1 ) ( x2 ) 6 Ortalama yükseklik

17 Simpson un 1/3 Kuralının Tekli Uygulaması: Örnek: (x)=0.2+25x-200x x 3-900x x 5 işlevini a=0 dan b=0.8 e kadar Simpson un 1/3 kuralıyla sayısal olarak integre edin. (İntegralin tam değeri: idi) Çözüm: (0)=0.2, (0.4)=2.456, (0.8)=0.232 dir. Integral değeri 0.2 4(2.456) 0.232) I Bu değer yamuk yöntemiyle çözüme göre daha doğru bir sonuç bulmuştur. E t = = , yüzde bağıl hatası %16.6 dır.

18 Simpson un 1/3 Kuralının Çoklu Uygulaması: I=I 1 +I I n I= ) 4...( ) 4 ( ) 4 ( n n n o h h= n b a I= n a b n i n i i i n / 1 2 / 2) ( Ortalama yükseklik Taban x x x a b I 6 ) ( ) ( 4 ) ( 2 1 0

19 Örnek: : (x) = x-200x x 3-900x x 5 işlevinin a=0 dan b=0.8 e kadar Simpson un 1/3 kuralını kullanarak n=4 aralık için integre edin. (İntegralin tam değeri: idi) Çözüm: n=4, h=(0.8-0)/4=0.2 x 0 =0, x 1 =0.2, x 2 =0.4, x 3 =0.6, x 4 =0.8 (0)=0.2 (0.2)=1.288 (0.4)=2.456 (0.6)=3.464 (0.8)=0.232 I ( ) 2(2.456) E t = = Bağıl yüzde hatası %1.04 bulunur. 19

20 Simpson un 3/8 Kuralı Diğer iki yöntemin türetilmesine benzer şekilde, üçüncü dereceden bir Lagrange polinomu dört noktadan geçirilebilir ve integrali alınacak (x) işlevi yerine kullanılabilir. I b x dx 3 a b a xdx Üçüncü dereceden Lagrange polinomunun integrali; I 3h veya Simpson un 3/8 kuralı (3. Newton Cotes integral ormülü): I 1 2 b a

21 TRAPZ Integrasyon Fonksiyonu Tanım : Trapezoid Kuralı, İntegrale dikdörtgenler yerine yamuklarla yaklaşma metodudur. Verilen x ve y noktalarının oluşturacağı yamukların alanı yaklaşık integral değerini verir. Kullanım : Z = trapz(y) Z = trapz(x,y) Z = trapz(...,dim)

22 TRAPZ Trapezoidal Integrasyon Örnek 1: >>x = 0:pi/100:pi; >>y = sin(x); z = trapz(x,y) veya z = pi/100*trapz(y)

23 TRAPZ Trapezoidal Integrasyon Örnek 2: Aşağıdaki tabloda verilerin integralini trapez kuralıyla hesaplayın x (x) İntegral = (0.5-0) 1 + 2( ) = 2.05 >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> trapz(x,y) [ ]

24 TRAPZ Trapezoidal Integrasyon Örnek 2 Çözüm : Trapez yöntemi ile kendimiz çözersek, aşağıdaki giib bir denklem kurmamız gerekir. ] [ İntegral = (0.5-0) 1 + 2( ) = 2.05 Aynı problemi, matlab ortamında trapz komutu ile çözeriz. >> x = [ ]; >> y = [ ]; >> trapz(x,y) Ans =

25 QUAD- Sayısal İntegral Tanım : Bu komut yinelemeli Simpson 1/3 yöntemini kullanarak [a b] aralığında integrali hesaplar. Adapte Gauss kuadratörü ile integral alınır. Kullanım : q = quad(un,a,b) q = quad(un,a,b,tol) q = quad(un,a,b,tol,trace) [q,cnt] = quad(...)

26 QUAD- Sayısal İntegral Örnek : 1 x 3 2x 5 Fonksiyonun 0-2 aralığında integralini çözün. Çözüm : Önce onksiyon m-dosyasında tanımlanır unction y = myun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5); end 0-2 aralığında integralini almak için quad çağrılır

27 QUAD- Sayısal İntegral Örnek : Aynı onksiyon, anymous şekilde de tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlandığında, ismi verilmesi yeterlidir. quad(f,0,2);

28 QUAD- Sayısal İntegral Fonksiyon daha önce tanımlanarak gönderilebileceği gibi y = *x-200*x.^ *x.^3-900*x.^ *x.^5; quad(y) karakter dizisi şeklinde direkt onksiyona gönderilebilir. quad(' *x-200*x.^ *x.^3-900*x.^ *x.^5', 0,.8) y2 = x.^5 + 7*x.^4 + 4*x.^3 + 3 * x.^2 + 5 *x + 2 quad('y2 = x.^5 + 7*x.^4 + 4*x.^3 + 3 * x.^2 + 5 *x + 2', 0,.5)

29 DBLQUAD Çit Değişkenli İntegral Çözücü Tanım : Dblquad komutu MATLAB de iki değişkenli (bivariate) onksiyonların integrallerini almayı sağlar. Yani (x, y) gibi iki değişkene bağlı onksiyonların integrali dblquad ile hesaplatılabilir. Kullanım : q = dblquad(un,xmin,xmax,ymin,ymax) q = dblquad(un,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) q = dblquad(un,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

30 DBLQUAD Çit Değişkenli İntegral Çözücü Örnek : (x,y) = ysin(y)sin(x) + xcos(y) Şeklinde tanımlı onksiyonun integrali için Matlabda Önce onksiyon yazılır ve dblquad her bir değer için aralık verilerek çağrılır. q = dblquad(,pi,2*pi,0,pi) ans =

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44 UYGULAMALAR

45 Uygulama-1 Borusal bir reaktörde gerçekleşen değişken hacimli bir reaksiyon sistemi için, uzunluğun dönüşümle değişimini veren iade aşağıdaki gibidir. x L = 4 ln 1 x + x x Reaktör uzunluğu 2 m ise dönüşümün ne olacağını bulunuz.

46 Çözüm-1 Denklem Nonlineer-solve Kullanım: X = solve( dosya,başlangıç değeri)

47

48 Uygulama-2 Aşağıda verilen dieransiyel denklemleri çözerek W = 100 olduğunda x ve y değerlerini bulunuz. dx dw = x x y dy dw = x 2 y w = 0 için x = 0.0 ve y = 1.0

49 Çözüm-2 Denklem Adi türevli 2 dieransiyel denklem-ode Kullanım: [t,y] = ode45( dosya,[tspan],başlangıç değerleri)

50

51 Uygulama-3 Aşağıda verilen başlangıç değer dieransiyel denklemini çözerek t = 1.2 için y değerlerini bulunuz. dy dt = 1 t 2 y ; 1.0 t 2.0 ; y 1.0 = 1.0 t

52 Çözüm-3 Denklem Adi türevli 2 dieransiyel denklem-ode Kullanım: [t,y] = ode45( dosya,[tspan],başlangıç değerleri)

53

54

55

56 Uygulama-4 x x değerini bulunuz.

57 Çözüm-4 Eğri Uydurma-plot-basic itting veya excel

58

59

60 Uygulama-5 Aşağıda verilen cebirsel denklem takımını çözünüz. 10 x 1 + x 2 + x 3 = 6 x x 2 + x 3 6 = 0 x 1 + x 2 = 6 10 x 3

61 Çözüm-5 Denklem cebirsel denklem takımı-solve Kullanım: [X]=solve( denklem1, denklem2, denklemn veya A matrisi ve b vektörü tanımlanır. X=A\b veya X=inv(A)*b

62 [x1 x2 x3]=solve('10*x1+x2+x3=6','x1+10*x2+x3-6=0','x1+x2=6-10*x3') x1 =1/2 x2 =1/2 x3 =1/2

63 >> A=[10 1 1;1 10 1;1 1 10]; >> b=[6;6;6]; >> A=[10 1 1;1 10 1;1 1 10]; >> X=A\b >> b=[6;6;6]; X = >> X=inv(A)*b X =

64 Uygulama-6 Tam karıştırmalı bir reaktörde dönüşümün zamanla değişimi aşağıda verilmiştir. Denklemde yer alan t saat birimindedir. x = 0.1 olması için geçecek süreyi bulunuz. x = e 2.5 t 3 t 0.6 e

65 Çözüm-6 Denklem Nonlineer-solve Kullanım: X = solve( dosya,başlangıç değeri) Eğer başlangıç değeri yoksa yakın bir değer tahmin edilir ve verilir.

66 Uygulama-7 Borusal bir reaktörde gerçekleşen A + B C tersinmez reaksiyonu için reaktör hacmi aşağıdaki iade ile verilmiştir. Hacim birimi Litre dir. Dönüşümün 0.4 olması için gerekli reaktör hacmini bulunuz. x V = 2000 e x x 1 x x 300 2

67 Çözüm-7 Denklem Nümerik İntegral-quad Kullanım: Q = quad( dosya,alt sınır, üst sınır)

68