Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download ""

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇOK YÜKSEK FREKANSLI ELEKTROMANYETİK DALGA ALANI HESABI Azu KOÇASLAN JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2008 He Hakkı Saklıdı

2 TEZ ONAYI Azu KOÇASLAN taafından hazılanan Sonlu Fakla Yöntemi İle Çok Yüksek Fekanslı Elektomanyetik Dalga Alanı Hesabı adlı tez çalışması 08/10/2008 taihinde aşağıdaki jüi taafından oy biliği ile Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olaak kabul edilmişti. Danışman: Yd. Doç.D Selma KADIOĞLU Jüi Üyelei: Başkan : Pof. D. Ahmet Tuğul BAŞOKUR Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yd. Doç. D. Muat Hüsnü SAZLI Ankaa Ünivesitesi Elektonik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Yukaıdaki sonucu onaylaım. Pof. D. Ohan ATAKOL Enstitü Müdüü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi SONLU FARKLAR YÖNTEMİ İLE ÇOK YÜKSEK FREKANSLI ELEKTROMANYETİK DALGA ALANI HESABI Azu KOÇASLAN Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU Tezin amacı, üç boyutlu (3B) gömülü geometik şekilli modelle üzeinde çok yüksek fekanslı elektomanyetik (EM) dalga alanını hesaplayan bi bilgisaya pogamı geliştimekti. Aynı zamanda laboatua şatlaında geçekleştiilen, fiziksel bi model üzeinde toplanan ada veilei ile geliştiilen pogamdan elde edilen dalga alanı veileini de kaşılaştıaak uygulanan yöntemin duyalılığını otaya çıkamaktı. Modelleme geçek veilele teoik bi ye modelinden elde edilen sonuçlaın kaşılaştıılmasını sağlayan bi yöntemdi. Çalışmada ye adaı (GPR) yönteminde gömülü nesnelein bulunmasına katkı sağlayabilmesi amacıyla 3B zaman bölgesinde sonlu fakla (FDTD) yaklaşımı kullanaak çok yüksek fekanslı EM dalga alanı modelleme geçekleştiilmişti. Amaca uygun olaak öncelikle teoik gelişmele, FDTD yöntemi ve Mawell denklemleinin bu yöntem ile ifadelei tanımlanmıştı. Ye adaı yöntemine uygun kaynak tanımı ve sını şatlaı ayıntılı olaak idelenmişti. Tez amacına uygun olaak gömülü küe, silindi gibi geometik şekilli modelle için geliştiilen bilgisaya pogamı ile elde edilen 3B EM dalga alanı veilei 3B blok ve iki boyutlu (2B) kesitlei ile sunulmuştu. Ayıca teoik bi modele ait hesaplanan EM dalga alanı veilei ile Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü Kayaç Fiziği Laboatuaında geçek bi model üzeinde RAMAC CU II sistem ve 1.6 GHz kapalı sistem kullanılaak toplanmış EM dalga alanı veilei kaşılaştıılaak geliştiilen pogam ve FDTD yönteminin duyalılığı tatışılmıştı. Ekim 2008, 255 sayfa Anahta Kelimele: Ye Radaı (GPR), Zaman Bölgesinde Sonlu Fakla Yöntemi (FDTD), Çok Yüksek Fekanslı Elektomanyetik Dalga Alanı Hesabı i

4 ABSTRACT Maste Thesis VERY HIGH FREQUENCY ELECTROMAGNETIC WAVEFIELD COMPUTATION WITH FINITE DIFFERENCE METHOD Azu KOÇASLAN Ankaa Univesity Gaduate School of Natual and Applied Sciences Depatment of Geophysical Engineeing Supeviso: Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU The aim of this thesis is to develop a compute pogam in which vey high fequency electomagnetic (EM) wave field can be computed on the thee dimensional (3D) buied geometical shaped models. In addition, sensitivity of the applied method is to be evealed even by compaing with a eal data acquied on the physical model ealized in laboatoy condition and the data obtained by the compute pogam esults of the theoetical model which is the same with physical model. Modeling is a method which supplies compaing of the esults obtained by a theoetical eath model eal data. In the study, vey high fequency EM wave field modeling has been ealized by using 3D finite diffeence time domain (FDTD) method to contibute to detemination of the buied objects in gound penetating (GPR) method. Fist, theoetical developments, FDTD method and epessions of Mawell equations with this method have been defined. Souce definition appopiate to GPR method and bounday conditions have been eseached in detail. 3D EM wave field data obtained by developed compute pogam fo models of buied sphee, cylinde etc. have been figued out with 3B blocks and two dimensional (2D) sections of it as elevant of the thesis. In addition developed compute pogam and sensitivity of the FDTD method have been discussed by compaing with computed EM wave field data elating to a theoetical model and EM wave field data acquied on a eal model, which is the same with theoetical model, in the laboatoy of ock physics in Ankaa Univesity Geophysical Engineeing Depatment by using RAMAC CU II system and 1.6 GHz shielded antenna. Octobe 2008, 255 pages Key Wods: Gound Penetating Rada (GPR), Finite Diffeence Time Domain (FDTD), Vey High Fequency Electomagnetic Wavefield Computation ii

5 TEŞEKKÜR Çalışmamın he aşamasında bana yadımcı olan, bilgi ve desteğini benden esigemeyen, tezin oluşumunda önemli katkılada bulunan danışman hocam Sayın Yd. Doç. D. Selma KADIOĞLU na teşekküleimi sunaım. Tezin he aşamasında yanımda olan ve göüşleini aldığım Sayın Aaş Gö. Ezgi Esa EKİNCİOĞLU a, Sayın Aaş. Gö. İsmail AKKAYA ya, ayıca akadaşım Büşa Bihte KURT a teşekküleimi sunaım. Tüm bu süe içeisinde beni destekleyen ve daima yanımda olaak başaıya ulaşmamı sağlayan Ailem e sonsuz teşekküleimi sunaım. Azu KOÇASLAN Ankaa, Ekim 2008 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET.... i ABSTRACT.....ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ... vi ŞEKİLLER DİZİNİ i ÇİZELGELER DİZİNİ...vi 1. GİRİŞ YER RADARI YÖNTEMİ Tanım Ye Radaının Çalışma Pensibi Ye Radaı Yöntemi Taihçesi Ye Radaı Kullanım Alanlaı Jeoteknik ve jeolojik aaştımala Yüzeydeki gevşek zonun tespiti Ana kaya (Temel kaya. deinliğinin saptanması Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması Otoyol, tünel ve demiyolu güzegah çalışmalaı Boşluklaın saptanması Su tablasının belilenmesi Maden aaştımalaı, maden ocağı sınılaının belilenmesi Kablo ve bou güzegahı belileme çalışmalaı Otoyol asfalt ve dolgulaındaki defomasyonlaın izlenmesi Akeoloji aama çalışmalaı Güvenlik ve kiminal amaçlı kullanım Ye Radaı Yöntemini Etkileyen Faktöle Aaştıma Deinliği Yeiçi İletkenlik ve Dielektik Sabiti Etkisi Su Otamı Anten Fekansı Çeve Koşullaı Çözünülük Kalibasyon Hassasiyet ve Sapmala Anten Seçimi Ölçüm Aalığının ve Antenle Aası Ayım Aalığının Seçilmesi Zaman Önekleme Aalığının ve Kayıt Zamanının Belilenmesi Pofil Yönünün ve Pofil Aalığının Seçimi Mekez Fekansı ve Band Genişliği Anten Düzeneğinden Kaynaklanan Yayınma Kaybı Saçılma Yüzeylei Yöntemin Üstünlük ve Zayıflıklaı Ölçü Alım Tekniklei ve Sistem Duyalılığı Mono-statik ve Bi-statik anten..27 iv

7 Ölçü alım tekniklei Çeşitli anten açılımlaı Geometik Optik ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Bi Boyutlu (1-B ) Sonlu Fakla Yöntemi İki Boyutlu (2-B ) Sonlu Fakla Yöntemi Üç Boyutlu (3-B ) Sonlu Fakla Yöntemi Manyetik alan denklemlei X yönündeki manyetik alan bileşeni Y yönündeki manyetik alan bileşeni Z yönündeki manyetik alan bileşeni Elektik Alan Denklemlei X yönündeki manyetik alan bileşeni Y yönündeki manyetik alan bileşeni Z yönündeki manyetik alan bileşeni Yinelemeli Denklemlede Kaalılık Kitei FDTD Yönteminde Sayısal Dispesiyon FDTD Yönteminde Paamete Seçimi FDTD Yönteminde Uyama Zamanda Ayıklaştıma ve Hata Analizi FDTD Sistem Geeksinimlei ORTAM MODELLEME VE SINIR KOŞULLARI Otam Modelleme Yutucu Sını Koşullaı Tek Yönlü Dalga Denklemlei Mu Tipi Abc UYGULAMALAR Fdtd Algoitması Küp Modeli Küe Modeli Dikdötgen Pizma Modeli Sİlindi Modeli Bou Modeli Faklı Büyüklükteki Boula Üzeinde Toplanan Geçek Veile ile FDTD Modellein Kaşılaştıılması TARTIŞMA ve SONUÇLAR KAYNAKLAR EKLER EK 1 Elektomanyetik Dalgala EK 2 Ye Radaı Polaizasyon ve Antenle.217 ÖZGEÇMİŞ 255 v

8 SİMGELER DİZİNİ 1B Bi Boyutlu 2B İki Boyutlu 3B Üç Boyutlu Ei Gelen Elektik alan Es Saçılan Elektik Alan f Fekans µ 0 Boşluğun manyetik geçigenliği ε 0 z 0 k E H λ k V I c J R t P Boşluğun dielektik sabiti Boşluğun empedansı Dalga yayınım doğultusu vektöü Elektik Alan Vektöü Manyetik Alan Vektöü Dalga Boyu Dalga Sayısı Geilim Akım Işık Hızı Akım Yoğunluğu Rada hedef aası mesafe Zaman Gözlem noktası Gözlem noktası ye vektöü Kaynak noktası ye vektöü ˆ Ye vektöü nomali n Zaman adımı n ~ Zaman adımı ( n~ = n H Manyetik alan -bileşeni H y Manyetik alan y-bileşeni H z Manyetik alan z-bileşeni vi

9 E z Elektik alan -bileşeni E y Elektik alan y-bileşeni E z Elektik alan z-bileşeni N FDTD hüce sayısı i, j, k FDTD, y, z deki konum adımlaı t Zaman adımı α Zayıflama sabiti β Faz sabiti γ Yayılma sabiti µ Manyetik geçigenlik f Fekans c Işık hızı Z 0 Kaakteistik empedans Г ε ε e Yansıma katsayısı Bağıl dielektik sabiti Etkin dielektik sabiti vii

10 KISALTMALAR FDTD GPR FT FFT TLM PE MoM RSY EM FD EMC EMI Zamanda Sonlu Fakla Yöntemi Ye Radaı Fouie Tansfomu Fast Fouie Tansfomu İletim Hattı Matisi Paabolik Denklem Moment Yöntemi Rada Saçılma Yüzeyi Elektomanyetik Dalgala Sonlu Fakla Elektomanyetik Uyumluluk Elektomanyetik Giişim viii

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1 Ye adaı sistemi ve EM dalgala. 1 havadan doğudan gelen EM dalgası 2 yüzeyden doğudan gelen EM dalgası, 3 ve 4 aayüzeyden yansıyan EM dalgalaı ( Last ve Smol, Şekil 2.2 Ye adaı yönteminde zaman-uzaklık diyagamı ve dalga modlaı..4 Şekil 2.3 Pofille boyunca elde edilen adagam göüntüsü...5 Şekil 2.4 Kumlu bi alanda su tablasının Ye Radaı kesitindeki göünümü (Stickley, Noon,Cheniakov ve Longstaff, Şekil 2.5 Fekans, ayımlılık ve deinlik asındaki ilişki (Last ve Smol, Şekil 2.6a. Mono-statik, b. Bi-statik anten...25 Şekil 2.7 Ye adaı sisteminin ana bileşenleinin blok diyagam şeklinde gösteimi (Annan Şekil 2.8 Sabit açıklık pofili dizilimi..27 Şekil 2.9 Çoklu katlama dizilimi 28 Şekil 2.10 Paalel ve uzun kena bakışımlı..29 Şekil 2.11 Paalel ve kısa kena bakışımlı...29 Şekil 2.12 Dik ve uzun kena bakışımlı...30 Şekil 2.13 Dik ve kısa kena bakışımlı...30 Şekil 2.14 Dalga cephesi ve ışınla aasındaki ilişkile (Stutzman, Şekil 3.1 Yıllaa göe yayın sayısı...33 Şekil 3.2 a. kae gid, b.skew gid, c. üçgen gid, d. daiesel gid...34 Şekil 3.3 İlei, gei ve mekezcil faklaı kullanaak P noktasındaki f(. in tüevi için kullanılan şematik A ve B noktalaı...35 Şekil 3.4 İki bağımsız ve t değişkeni için sonlu fak ağı...35 Şekil 3.5 Atlamalı FDTD ayıklaştıması Şekil 3.6 Sonlu fakla ağı...38 Şekil 3.7 Hücelein değişen (i,j. lee göe numaalandıılması işlemi. 38 Şekil 3.8 TM modu..41 Şekil 3.9. E z, H y ve H bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı Şekil 3.10 Bi önceki zamanda hesaplanan değelein kullanılmasıyla bi sonaki zamana ait değelein hesaplanması...45 Şekil TE modu 46 Şekil 3.12 E, E y ve H z bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı...47 Şekil D Yee biim hücesi...50 Şekil 3.14 H yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla...51 Şekil 3.15 Hy yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla 52 Şekil 3.16 Hz yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla 53 Şekil 3.17 E yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...54 Şekil 3.18 Ey yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...56 Şekil 3.19 Ez yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla...57 Şekil 3.20 Sayısal dispesiyonun fiziksel youmu.63 i

12 Şekil 3.21 Sayısal faz hızının 2D otamda yayılım açısına bağlı değişimi...65 Şekil B sayısal dispesiyon (Gedney, Şekil 3.23 Gauss tipi kaynak (Gedney, Şekil 3.24 Gauss dabesinin zaman ve fekans davanışı Şekil 5.1 FDTD akış diyagamı...84 Şekil 5.2 FDTD algoitmasında kullanılan ana pogam ve alt pogamla...86 Şekil 5.3 FDTD modelinde kullanılan küp modeli Şekil 5.4 Küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei...88 Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 92 Şekil 5.9 Küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 93 Şekil 5.11 FDTD modelinde kullanılan küe modeli 95 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 96 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.. 97 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 98 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..99 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.102 Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 105 Şekil 5.23 FDTD modelinde kullanılan faklı çaplaa sahip küe modeli.106 Şekil 5.24 a cm boyutundaki küe modeline, b cm boyutundaki küe modeline c cm boyutundaki küe modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..107 Şekil 5.26 FDTD modelinde kullanılan kae pizma modeli.108 Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 110

13 Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 111 Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 112 Şekil cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..113 Şekil cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait,y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei..114 Şekil 5.35 FDTD modelinde kullanılan silindi modeli..115 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 116 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 0 deece eğimli silindi modeline ait,y doğultusuna ait ada kesitlei 117 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..118 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 0 deece eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei..124 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 0 deece eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei..125 Şekil 5.46 a. faklı açılı silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei. b. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei.126 Şekil o, 30 o, 45 o, 60 o, 90 o eğimli silindi modeline ait ölçüm düzeneği..127 Şekil 5.48 FDTD modelinde kullanılan bou modeli 127 Şekil 5.49 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.128 Şekil 5.50 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.129 Şekil 5.51 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.130 Şekil 5.52 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei.131 Şekil 5.53 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil 5.54 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 134 i

14 Şekil cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei Şekil 5.61 FDTD algoitmasında ve deneylede kullanılan kasa ve,y,z boyutlaı 141 Şekil 5.62 Deneylede kullanılan kasa üzeindeki pofille ve doğultulaı.142 Şekil 5.63 a. Faklı çaptaki demi boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı 143 Şekil 5.64 Faklı çapladaki demi bounun ekseni yönünde a. FDTD ve b. deneyle sonuçlaından elde edilen kesitlei Şekil 5.65 a.aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı Şekil 5.66 Faklı çapladaki plastik bounun FDTD ve deneyle sonuçlaından elde edilen adagam kesitlei Şekil 5.67 a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı.147 Şekil 5.68 Demi ve plastik bou modelinin FDTD algoitmasından ve deneyleden elde edilen ada kesitlei ii

15 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1 Ye adaı yöntemi aaştıma alanlaı Çizelge 2.2 Bazı jeolojik biimlee ait dielektik, iletkenlik, hız ve soğulma değelei (Wilchek, 2000)...15 Çizelge 2.3 Ye adaı paametelei (dielektik sabit, elektik iletkenliği ve anten fekansı) aasındaki ilişki (Takahashi, 2004)...18 Çizelge 2.4 Deinliğe bağlı önek fekans seçimlei (Kadıoğlu, 2004) Çizelge 2.5 Fekansa bağlı önek maksimum ölçüm aalıklaı ((Kadıoğlu, 2004).21 Çizelge 2.6 Fekansa bağlı minimum anten aalığı öneklei (Kadıoğlu, 2004).22 iii

16 1. GİRİŞ Bu tez çalışmasının ana konusu zaman bölgesinde sonlu fakla yöntemi (FDTD) kullanılaak yüksek fekanslı elektomanyetik (EM) dalga modellemesidi. Yüksek fekanslı elektomanyetik yöntemlede FDTD, Mawell denklemleinin doğudan zamanda ve konumda yinelemeli olaak ayıklaştıılıp adım adım çözülmesine dayanmaktadı. Çalışmada yüksek fekanslı EM yöntem olaak ye adaı (GPR) yöntemi ele alınmakta ve FDTD ile üç boyutlu modelleme yapılmaktadı. FDTD yöntemi FD olaak kısaltılan sonlu-fakla yönteminin 1966 yılında Yee taafından Mawell denklemleine uyacak şekilde zaman bölgesi için genişletilmesiyle bilikte otaya atılmış, özellikle 1980 lein otalaında bilgisayalaın hız ve kapasiteleindeki hızlı atışla bilikte EM dalga poblemlei, için en çok kullanılan yöntemleden bii haline gelmişti. FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popüleitesi atmaya devam edecekti. Ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. FDTD ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zodu. Yutucu sını koşullaı (Engquist-Majda 1977, Bayliss- Tukel 1980, Liao et al. 1980, Scientia Sinica 1984, Benge 1994), sayısal dispesiyon (Schneide ve Wagne 1999, Kumpholz ve Katehi 1996, Q.H.Liu 1997 ), sayısal kaalılık (Taflove & Bodwin 1975, Namiki 1999, Zheng et al. 2000, De aedt et al. 2003), gid biçimlendime (Taflove- Umashanka 1977, Shanka et al. ve Madsen ve Ziolkowski 1990, Rylande ve Bondeson 2000), mikoşeit hatlı deve analizi, açık veya kapalı dalga kılavuzlaında dalga iletimi ve süeksizle (Choi & Hoefe 1982), ada saçılma yüzeyi (RSY) modelleme (Taflove- Umashanka 1977), anten ve anten dizi tasaımlaı ve sentezi (Maloney et al. 1991, Katz et al. 1991, Tikas ve Balanis 1991), biyolojik dokulada elektomanyetik tutulma hesaplaı (Sullivan et al. 1987, Zhang et al. 1987). Mikodalga fıın benzetimi EMC/EMI (elektomanyetik uyumluluk ve giişim) modelleme (Sui et al. 1991) bazı uygulama alanlaıdı. Günümüzde GPR modellenmesinde en çok kullanılan sayısal yöntemleden bii de FDTD yöntemidi (Robets ve Daniels 1997, Xu ve McMechan 1997, Begmann 1

17 vd.,1998). Sonlu fakla ağının hücesel özelliği nedeniyle, bu yöntemle yapılan çözümlemede basit yealtı yapılaının yanı sıa, kamaşık yealtı yapılaına ait model yanıtlaı da uzun süe geektimeden hesaplanabilmektedi. Ayıca bu teknik, diğe hesaplama tekniklei ile yapılamayan ve ada kuamında önemli bi yei olan ada anteninin yakın alanındaki gömülü hedefleden oluşan saçılmalaın modellenebilmesine de olanak vemektedi (Robets and Daniels, 1997). Çalışmanın ikinci bölümde ye adaı hakkında temel bilgile ve dayandığı temel fiziksel ve matematiksel tanımla veilmişti. Çalışmanın üçüncü bölümünde FDTD ayıntılı olaak ele alınmıştı. Bu yöntemin dayandığı matematiksel ve fiziksel özellikle anlatılmıştı. Sayısal analiz için geekli denklemle oluştuulmuştu. FDTD yönteminin kaalılık koşullaı hakkında nelee dikkat edilmesi geektiği, kaynak uyamasının ne şekilde yapılacağı, paamete seçimi ve sayısal dispesiyon gibi yöntemlele ilgili önemli kavamla açıklanmıştı. Dödüncü bölümde, ayıntılı olaak incelenen yutucu sını koşullaının matematiksel özelliklei veilmiş ve hangi sını koşulunun hangi yapılada ve ne tü poblemlede daha etkili olacağı belitilmişti. Güncel aaştıma mekezleinde en çok kullanılan biinci ve ikinci-deece Mu (Mu 1963), Higdon (Higdon 1987), Liao (Lio et al. 1984) ve DBC (dispesive bounday condition) tüü sını koşullaı ile aalaındaki faklılıkla ve benzelikle anlatılmaktadı yılında Benge (Beenge 1994), taafından otaya atılan ve Mükemmel Uyumlu Tabaka (Pefectly Matched Laye, PML) olaak adlandıılan yutucu sını koşulu ele alınmıştı. İki boyutlu ve üç boyutlu FDTD uzayına nasıl uygulanacağı anlatılmıştı. Beşinci bölümde, FDTD yönteminde kullanılan faklı sını koşullaı uygulamalaı yadımıyla üç boyutlu (3B) yüksek fekans elektomanyetik dalga modellemesi yapılmış ve kaşılaştıılmıştı. Ayıca, Ankaa Ünivesitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü kayaç fiziği laboatuaında ahşap hazne içeisinde aynı uzunluklada, faklı çaplada içi boş demi ve 2

18 plastik boula ayı ayı ve bi büyük çaplı demi ve plastik boula kuma gömüleek, yüksek fekanslı RAMAC CU II maka ada sistemi ve 1.6 GHz mekez fekanslı kapalı anten ile m aalıklala ölçümle alınmıştı. Bu çalışmadaki amaç, aynı şekilli faklı özellikteki cisimlein göstediği faklılıklaı işlenmiş adagamla ve FDTD yönteminden elde edilen adagamlala kaşılaştımaktı. Son bölümde yapılan modelleme ve uygulama sonuçlaı tatışılmıştı. Eklede ise, EM dalgala teoisinin matematiksel bağıntılaı, GPR antenle ve polaizasyon kavamlaı, yakın-uzak alan denkleminde kullanılan Fesnel denklemle ve Taylo seisi anlatılmıştı. 3

19 2. YER RADARI YÖNTEMİ 2.1 Tanım Ye adaı (GPR), yüzeye yakın yealtı özellikleinin belilenmesinde kullanılan yüksek fekanslı ayım gücü yüksek elektomanyetik, jeofizik yöntemdi (Giffin and Pippet 2002). GPR ölçüm sistemi, kontol sistemi, veici anten, alıcı anten ve kayıtçıdan oluşmaktadı (Şekil 2.1). Yöntemde kaynak olaak yüksek fekanslı elektomanyetik dalgala kullanılmaktadı. Ye adaı, düşük maliyeti, hızlı kullanımı ve çeveye hehangi bi tahibat vememesi dolayısıyla biçok alanlada kullanılmaktadı. Şekil 2.1 Ye adaı sistemi ve EM dalgala( Last and Smol 2001) 1 havadan doğudan gelen EM dalgası, (2) yüzeyden doğudan gelen EM dalgası, (3) ve(4) aayüzeyden yansıyan EM dalgalaı 4

20 2.2 Ye Radaının Çalışma Pensibi Ye adaı, kaynak olaak kullanılan yüksek fekanslı EM dalgalaın veici anten kullanılaak yealtına göndeilmesi ve bu dalgalaın bi kısmının kaşılaştıklaı faklı cisimlein veya faklı jeolojik yapılaın yüzeyleinden yansıyaak alıcı anten taafından işlem ünitesine iletilmesi şeklinde çalışmaktadı (Şekil 2.2). Bütün bu işlemle saniyenin milyonda bii zamanda geçekleşmektedi (Çataklı 2003). Veici anten taafından yealtına göndeilen EM dalgalaın ye içinde ileleme hızı, ilelediği otamın dielektik sabitine ve manyetik geçigenliğine; dalganın ulaşabileceği maksimum deinlik ise, dalganın fekansına ve ilelediği otamın elektik iletkenliğine bağlıdı (Weeds 1994). Şekil 2.2 Ye adaı yönteminde zaman-uzaklık diyagamı ve dalga modlaı Ölçümle genellikle bi pofil üzeinde, önceden belilenmiş ölçüm noktalaında alınıla. ölçüm noktalaındaki izle yan yana getiileek adagam adı veilen ada kesitlei elde edili (Şekil 2.3). 5

21 Şekil 2.3 Pofille boyunca elde edilen adagam göüntüsü Ye adaı sistemlei geniş bantlı antenle kullanı. Yaklaşık olaak 10 MHz den 1000 MHz e kada geniş fekans aalıklaı kullanılı. 3 ile 10 nanosaniye (1 saniye=10 9 ns) impuls kaynaklı bi veici anten yaklaşık geilim (V) kullanıken, alıcı antende geilim oluşu (Roges 1994). Bu geilimleden (2.1) bağıntısı ile veilen db cinsinden yansıma gücü hesaplanı.. =10log (2.1) Buada; ; db biiminden göeceli yansıma gücü, v o ; yansıma genliği (V), v ; efeans genliği (V) di. 6

22 2.3 Ye Radaı Yöntemi Taihçesi Ye adaı yöntemi sismik, gavite, düşük fekanslı elektomanyetik yöntemle, elektik yöntemle ve IP gibi jeofizik yöntemlele kaşılaştııldığında oldukça yeni bi yöntemdi. Rada, II. Dünya Savaşı sıasında silah sistemleinin gelişmesi ile ada teknolojisinin olağanüstü gelişmesine yol açtı ve özellikle buna bağlı olaak hava savunma sistemlei kuulmaya başlandı. Savaş sonasında NATO ve Vaşova Paktı üyesi ülkelein otak sınılaında biçok ada sistemi yeleştiildi. İkinci Dünya Savaşından sona ada yöntemi baışçıl kullanım olaak adlandıılan bi yönde kullanılmaya başlandı. Günümüzde ada günlük hayatta çok sık kullanılmaktadı İngiliz fizikçi James Clek Mawell elektomanyetik dalgalaı ve bunlaın yayılmasını açıklayan elektomanyetik ışık kuamını otaya attı Alman fizikçi Heinich Rudolf Hetz elektomanyetik dalgalaı keşfetti ve Mawell'in kuamını kanıtladı Alman yüksek fekans teknisyeni Chistian Hülsmeye su üzeinde ki tafiği denetlemek için telemobiloskopu icat etti. Bu alet metal bi nesneden çapaak dönen elektomanyetik dalgalaın süesini ölçüyo ve böylece menzil hesaplanabiliyodu. Bu ilk patik ada denemesi için Hülsmeye patent başvuusunda bulundu Albet Wallace Hull taafından güçlü göndeici tüpü magneton icat edildi ABD Donanma Aaştıma Laboatuaından A. H. Taylo ve L.C.Young ilk kez bi tahtadan gemiyi algılamayı başadıla Albet Wallace Hull taafından güçlü göndeici tüpü magneton icat edildi ABD Donanma Aaştıma Laboatuaından A. H. Taylo ve L.C.Young ilk kez bi tahtadan gemiyi algılamayı başadıla Yine ABD Donanma Laboatuaından L. A. Hyland bi uçağı algıladı. 7

23 1931 Bi gemiye ada takıldı. Alıcı ve veici anteni olaak boynuz ışın yayıcı bulunan paabolik anten kullanıldı Metcalf ve Hahn taafından yükselteç veya osilatö olaak kullanılan kliston bulundu İngiltee Bimingham Ünivesitesinden John Randall ve Heny Boot adlı iki fizikçi hafif fakat güçlü mikodalga adaını geliştidile ve bu ada B-17 bombadıman uçaklaına takıldı. Bu denizaltı savaşlaında bi dönüm noktası oldu ABD, Rusya, Almanya ve Japonya'da muhtelif ada tesislei geliştiildi Yealtındaki nesnelein belilenmesine yönelik ilk uygulama yapılmıştı İlk uygulama don altında kalan topak tabakasında Annan ve Davis taafından geçekleştiildi Uygulama alanlaının 1989 da Annan ve Davis taafından genişletilmesi ile yöntemin zayıf noktalaı ve güçlü yanlaı anlaşılmıştı (Annan 1992) İnsan kalıntılaının aanması (Hammon III et al. 2000), ye altı su seviyeleinin belilenmesinde (Bano et al. 2000, Dannowski ve Yaamancı, 1999, Aspion ve Aigne, 1999; Haai 1996, Benson 1995). 2.4 Ye Radaı Kullanım Alanlaı Ye adaı ilk uygulaması 1929 yılında Avustuya da buz kalınlığının ölçülmesi amacıyla geçekleştiilmiş (Sten 1929,1930) ve sonaki yıllada çok çeşitli sığ aaştımalada geniş kullanım alanlaı kazanmıştı. Başlıca uygulama alanlaı aşağıda kısaca sunulmaktadı. Bununla bilikte Çizelge 2.1 de adaın uygulama alanlaı sıalanmıştı. 8

24 2.4.1 Jeoteknik ve jeolojik aaştımala Jeoteknik aaştımala genelde yüzeyden itibaen 1 20 mete deinliklee kada olan bölüm ile ilgilenmekte, nadien büyük yapıla için bu deinlik meteye kada ulaşmaktadı. Ye adaı ile jeoteknik aaştımala da bazı alt başlıklada değelendiilmektedi (Daniels 2004) Yüzeydeki gevşek zonun tespiti Zeminin en üst tabakası olaak adlandıılan ve he tülü yapılaşma için mutlaka alttaki set zemin bulununcaya kada kazılması geeken bu tabakanın kalınlığı he yede faklıdı. Malzemenin cinsine de bağlı olaak bazen onlaca meteyi bulmaktadı. Yapılaşmanın pogamlandığı sahalada bu biimin saptanması amacı ile elektik ya da sismik yöntemlele jeofizik etütle yapılmakta veya sondajlala saha test edilmektedi. Ye adaı uygulamalaı, aynı çalışmalaın bu yöntem ile çok daha kısa süede ve daha az maliyet ve insan gücü ile yapılabileceğini kanıtlamıştı. Genelde yüzeydeki gevşek zon alttaki nispeten pekişmiş zon ile iyi bi dielektik sabit fakı oluştumaktadı. Ye adaı uygulamalaında kullanılan elektomanyetik dalgala için iyi bi kontast oluştuan bu sını kayıtlada kolaylıkla gözlenebilmektedi (Daniels 1989) Ana kaya (Temel kaya) deinliğinin saptanması Ana kaya yüzeyi elektomanyetik dalgala için iyi bi yansıma yüzeyi olup deinliği meteyi geçmeyen temel kaya deinliklei ye adaı yöntemi ile kolaylıkla bulunabilmektedi. Köpü ayaklaı, viyadükle, bazı yapılaın temeline itibatlandıılan foe kazıklaı et ale bazı mühendislik uygulamalaı için temel kaya deinliğinin saptanması geekli olmakta, ye adaı yöntemi ile bu çalışmala başaı ile yapılmaktadı (Robets 1992). 9

25 Zemindeki yanal ve düşey süeksizliklein saptanması Zemin içeisinde bulunan gevşek biimle, yanal ve düşey fomasyon değişimlei homojen zemin özelliğini bozabilmektedi. Bu zeminlein aaştıılması yapılmadan üzeine inşa edilecek he tülü yapıda bi süe sona defomasyon başlayacaktı. Bunun önüne geçmek için sahada önceden yapılacak olan bi ye adaı etüdü, bu tü gevşek biimlei bütün detaylaı ile otaya çıkaacaktı (Haeni 1995) Otoyol, tünel ve demiyolu güzegah çalışmalaı Yapılması planlanan otoyol ve ten yolu zeminleinin aaştıılması ile tünel açılması planlanan kaya otamlaındaki tünel güzegahı boyunca kayalık zemindeki mevcut süeksizlik veya çatlaklaın aaştıılması, ye adaı ile başaıyla yapılmaktadı. Kayalık otamla düşük dielektik sabiti ve elektik iletkenlik nedeniyle elektomanyetik dalgalaın kaya otamı içeisindeki kolay yayınımı ve süeksizlikleden yansıma elde edilmesi bu yöntemin uygulamasını yaygınlaştımıştı (Koppenjan 1993) Boşluklaın saptanması Özellikle kastik sahalada büyük çaplı hava boşluklaı zeminde ciddi tehlikele oluştumaktadı. Bu boşluklaın belilenmesinde elektik ve sismik yöntemle bazen yetesiz kalabilmektedile. Ye adaı yöntemi ise bu konuda büyük avantajla sağlamaktadı. Hava, elektomanyetik dalganın yayılması için ideal bi otamdı. Kayaçla ise, dielektik sabitleine, manyetik geçigenlikleine, manyetik süseptibiliteleine, içediklei su miktaına ve buna bağlı olaak atan elektik iletkenlikleine bağlı olaak elektomanyetik dalga yayınımına dienç göstemektedi. Ancak bi hava boşluğu ile kaşılaşan elektomanyetik dalgala aniden hızlanmakta ve bu yeni otamın aa yüzeyinden kuvvetli yansımala göndemektedi. Bu nedenle hava boşluklaının ye adaı yöntemi ile saptanması mümkündü. 10

26 Su tablasının belilenmesi Zeminde bulunan su tablasının seviyesi ve mevsimsel haeketlei üzeine inşaa edilecek yapıla için çok önemlidi. Elektomanyetik dalgalaın, su içeen fomasyon içeisinde, yüksek elektik iletkenliği nedeniyle yayınımı güçtü. Dolayısıyla su tablası sınıı elektomanyetik dalgala için çok kuvvetli bi yansıma yüzeyidi. Bu yöntem kullanılaak zemindeki su tablası seviyesinin dağılımı büyük bi duyalılıkla çıkaılabilmektedi (Robets 1994) Maden aaştımalaı, maden ocağı sınılaının belilenmesi Madenlein saptanması ve işletmeye alınacak madenlein ocak sınılaının tespiti, ye adaı uygulama deinliklei içeisinde ye aldığından bu yöntem ile saptanabilmektedi. Yüzeye sokulum yapan volkanik ve metamofik kayaçladaki elektomanyetik dalga yayınımı, civaındaki ayışmış yüzey çökelleinden faklı olduğundan dokunaklada iyi yansıma yüzeylei oluşmaktadı. Meme işletmeciliğinde kalınlık ve süeksizliklein değişiminin otaya konulmasında en yaygın olaak kullanılan yöntemdi Kablo ve bou güzegahı belileme çalışmalaı Su, kanalizasyon, akayakıt ve doğal gaz bou hatlaı ile elektik ve habeleşme kablolaı bi lokasyondan diğeine ulaştıılıken yealtına gömülmektedi. Gömme opeasyonu öncesi ise uygun zeminin belilenmesi amacıyla aaştıma yapılmaktadı. Ye adaı yöntemi ile yapılan zemin incelemelei bou hattı ve kablo döşenmesine en uygun zemini süatli bi şekilde belilemektedi (Robets 1994). 11

27 2.4.4 Otoyol asfalt ve dolgulaındaki defomasyonlaın izlenmesi Otoyolla yapıldıktan sona bazı kesimlede gözle göülen defomasyonla otaya çıkabilmektedi. Geek doğal afetle geekse beklenenin üzeindeki yükle otoyollada kısmi bozukluklaa neden olmakta, önlemi alınmazsa daha büyük defomasyonlaı beabeinde getimektedi. Defomasyon belitileinin otaya çıkmasından sona bölgede yapılan ye adaı ölçümlei bu sahada defomasyona neden olan kaynağı otaya çıkamakta büyük yaa sağlamaktadı. Asfalt üzeinde yapılan ye adaı çalışmalaı uygun zemin nedeniyle son deece hızlıdı. Elde edilen kayıtladan defomasyonun asfalt kaplama veya altındaki dolgu malzemesindeki miktaı da belilenmektedi (Daniels, 1989) Akeolojik aama çalışmalaı Günümüzde biçok eski medeniyete ait taihi kalıntıla yein altında keşfedilmeyi beklemektedi. Topak altında bulunan eski yapılaın jeofizik yöntemlele saptanaak tahip edilmeden kazılması için akeologla ile jeofizikçile aasında uzun yılladı otak çalışmala yüütülmektedi. Ye adaı tekniğinin uygulanmaya başlamasından sona jeofizikçile akeologlaa en kesin ve en tahibatsız sonuçlaı vemeye başlamışla, akeologla da ye adaı sonuçlaını kullanaak kazılaını tahibatsız yapmaya başlamışladı. Ye adaı ile özellikle topak altında kalan eski yapıla ve meza boşluklaı başaılı bi şekilde göüntülenebilmektedi (Daniels, 1989) Güvenlik ve kiminal amaçlı kullanım Güvenlik açısından, cezaevi çevesinde peiyodik ye adaı ölçümlei ile cezaevi dışına doğu kazılacak tünelle tespit edilebilmektedi. Ayıca hüce evi olaak ele geçiilen yasadışı ögüt baınaklaında ve çevesindeki gizli bölmelede gizlenen silah, cephane ve ezak tespitinde de ye adaı uygulamalaından yaalanılmaktadı. Ayıca aazide gömülü olan ceset veya toplu mezalaın aanmasında da ye adaı kesin sonuçla vemektedi. 12

28 Çizelge 2.1 Ye adaı yöntemi aaştıma alanlaı(www.deu.edu.t/same) 2.5 Ye adaı Yöntemini Etkileyen Faktöle Ye adaı, yüksek çözünülük ile yüzeysel deinlik aaştımalaında kullanılan bi yöntemdi. Ye adaı yöntemi ölçümün yapılacağı çeveye oldukça duyalıdı. En önemli iki faktö, elektomanyetik kaynakla ile metalik yapılaın valığıdı. Ayıca, diğe önemli faktöde aaştıma alanının koşullaıdı. Çalışmanın yapılacağı alanda ekipmanla güvenli ve ekonomik bi biçimde çalışmanın yapılıp yapılmayacağı da önemli bi konudu. Eğe otamda sıcaklık, soğukluk, kililik gibi olağan dışı koşulla ya da tehlikele mevcut ise bunlaa dikkat edilmeli ve çalışma esnasında not alınmalıdı. Vei-işlem ve youm aşamasında bu notlaa dikkat edileek işlemle yapılmalıdı (Annan, 1999). 13

29 2.6 Aaştıma Deinliği Ölçümlede kullanılacak fekansla, antenlein aalığı, ölçüm aalığı, kayıt uzunluğu, önekleme aalığı, yealtı suyu seviyesi, ötü katmanın tüü ve özdienci aaştıma amacına göe belilenmesi geeken büyüklükle veya değişkenledi. Öneğin, inceleme alanında bikaç noktada düşey elektik sondaj ölçümü yapılaak deinliğin fonksiyonu olaak özdienç bulunaak otamda oluşacak sönüm miktaı hesaplanabili. Bu duumda ölçümlede ulaşılabilecek en yüksek aaştıma deinliği; 30 veya α 35 (2.2) σ ile hesaplanabili. Buada sönüm katsayısının (α ) biimi db/m,iletkenliği biimi ms/m di. Aaştımada çözünülüğü istenen deinlik d ve otamın sahip olduğu pemitivite değei ε ise, ölçümlein yapılması için uygun fekans; f 150 = (2.3) d ε ile bulunu. Eğe sabit ölçüm aalıklı pofillede iki ölçüm aası uzaklık, dalga boyunun ¼ ün den büyük ise kuamsal olaak aaştıılmak istenen hedefle belilenemez. Bu koşul yaklaşık olaak biimi mete olan ölçüm aalığı D 75 = (2.4) f ε ile veilebili (Giffin and Pipet 2002). Diğe bi yaklaşımla, he iki işlemden D in aaştıma deinliğinin en fazla 1/8 i kada veya daha az olması geektiği göülebili. Anten dizilimlei genelde yan yana olaak yapılmasına ağmen uç uca dizgelede kullanılmaktadı. Jeolojik uzanımın veya aaştıma hedefinin bilindiği duumlada antenle yapıya koşut 14

30 tutulmalıdı. Uygulamalada anten aalığının aaştıma deinliğinin 1/5 i veya daha küçük alındığında iyi sonuç vediği göülmüştü. Deinliğe bağlı olaak anten aalığı D anten (m) için ampiik bağıntı; D anten 2* deinlik = ε 1 (2.5) ile veili (Giffin and Pipet 2002). 2.7 Yeiçi İletkenlik ve Dielektik Sabiti Etkisi İletkenlik ve dielektik sabiti, yüzeysel özelliklein bulunmasını etkilemektedi (Uliksen 1982). Bu iki paamete sudan önemli bi şekilde etkilenmektedi. Bundan dolayı suyun ye adaının başaısı üzeinde büyük etkisi bulunmaktadı (Giffin and Pipet 2002). Çizelge 2.2 de bazı jeolojik malzemelee ait dielektik sabit, iletkenlik, yayılma hızı ve soğulma değelei veilmişti. 15

31 Çizelge 2.2 Bazı jeolojik biimlee ait dielektik, iletkenlik, hız ve soğulma değelei (Wilchek 2000) Yüksek iletkenlik ada çalışmalaını sınılayan en önemli faktöleden biidi. Yüksek iletkenli zemin (yüksek kil içeikli zemin) düşük iletkenli zeminden (kuu kum) daha fazla eneji soğuu (Giffin et al. 2002). Yüksek iletkenli otamla, iletilen sinyalin soğuulmasına ve deinliğin azalmasına neden olmaktadı. Bu nedenle ye adaı çalışmalaında çalışılan otamın iletkenliğinin düşük olması isteni. Zemin dokusu, zemin yoğunluğu, zemin hacimsel su içeiği ve zemin tuz miktaı içindeki değişiklikle ada sinyalleini etkilemektedi (Bistow and Jol 2003). Otamın dielektik sabiti elektomanyetik dalganın yayılma hızını belilemektedi. Yayılma hızı ile dielektik sabiti aasında tes oantı vadı. Yealtına göndeilen elektomanyetik 16

32 dalgalaın hızı, ani bi dielektik sabit düşmesi sonucunda atmaktadı. Bu otam değişikliği sınıı bi yansıma yüzeyi oluştuduğundan ileleyen dalganın bi kısmı gei dönmekte ve alıcı antene ulaşmaktadı. Dielektik sabitin attığı otamlada (Kil gibi su içeiğinin yüksek olduğu otamla), dalga hızı azalmakta ve eneji kaybına uğamaktadı. 2.8 Su Otamı Su sahip olduğu yüksek polaizetibilite nedeniyle en yüksek dielektik sabitine sahipti (Weeds 1994). Bu nedenle elektomanyetik dalgalaın bu dienç kaşısında ilelemesi oldukça zodu. Diğe yandan, su tablası sınıı, ye adaı çalışmalaında elektomanyetik dalgala için iyi bi yansıma yüzeyi oluştumaktadı ve bu sını kolay bi şekilde tespit edilebilmektedi (Şekil 2.4). Şekil 2.4 Kumlu bi alanda su tablasının Ye Radaı kesitindeki göünümü (Stickley et al. 2000). 17

33 2.9 Anten Fekansı Ye adaı çalışma pefomansına etki eden diğe bi faktöde kullanılan anten fekansıdı. Uygulamalada kullanılan anten fekanslaı 25 MHz ile 2000 MHz aasında değişmektedi. Bu fekans uygulama deinliğine bağlı olaak değişmektedi. Antenin fiziksel boyutu iletilen dalgalaın fekansını etkile (Giffin et al. 2002). Elektomanyetik dalgalaının deinliği ve çözünülülüğü kullanılan anten fekansına bağlıdı (çizelge 2.3) (Takahashi 2004). Yüksek fekanslı elektomanyetik dalgala düşük fekanslı elektomanyetik dalgalaa göe daha fazla detay ve yüksek ayımlılık elde edilmesine olanak sağla, fakat yüksek fekansla çok hızlı emildiği için penetasyon deinliklei düşük fekansla kada iyil değildi (Giffin and Pipet 2002). Kısacası, fekans ile ayım aasında doğusal oantı; fekans ile deinlik asında tes oantı vadı. Şekil 2.5 de fekans, ayımlılık ve deinlik aasındaki ilişki veilmişti. Çizelge 2.3 Ye adaı paametelei (dielektik sabit, elektik iletkenliği ve anten fekansı) aasındaki ilişki (Takahashi 2004) Şekil 2.5 Fekans, ayımlılık ve deinlik asındaki ilişki (Last and Smol 2001). 18

34 Anten fekansı seçimi yapılıken bilinmesi geeken koşulla vadı (Takahashi 2004). Bunla; 1) Hedef aaştımanın boyutu, deinliği, mateyal tüü, 2) Hedefin gömülü olduğu zemin ve kayanın özelliklei, 3) GPR penetasyonunu etkileyen nem ve kil içeiği, 4) Alanın yüzey engebelei ve bitki ötüsüdü Çeve Koşullaı Ye Radaı yöntemi ölçümün yapılacağı çeveye oldukça duyalıdı. En önemli iki faktö, elektomanyetik kaynakla ile metalik yapılaın valığıdı. Ayıca, diğe önemli faktöde aaştıma alanının koşullaıdı. Çalışmanın yapılacağı alanda ekipmanla güvenli ve ekonomik bi biçimde çalışmanın yapılıp yapılmayacağı da önemli bi konudu. Eğe otamda sıcaklık, soğukluk, kililik gibi olağan dışı koşulla ya da tehlikele mevcut ise bunlaa dikkat edilmeli ve çalışma esnasında not alınmalıdı. Vei-işlem ve youm aşamasında bu notlaa dikkat edileek işlemle yapılmalıdı (Anan 1999) Çözünülük Çözünülük kullanılan antene bağlıdı. Geeksinim duyulan deinlik ve çözünülüğe göe MHz aasında antenle vadı. Düşük fekanslı anten kullanımında deinlee inme imkanı ata. Deinliğin atması ise, çözünülükte azalma anlamına geli. Bu duum yüksek fekans içinde geçelidi. Yüksek fekanslı anten kullanımında deinlik azalıken çözünülük ata. Yüksek fekanslaın yüzeye yakın kesimlede emilmesi fazla olacağından deinlik bakımından fazla bilgi alınamaz. 19

35 2.12 Aya Ye adaı sistemi üeticisinin yapacağı aya ve standatlaştıma önemlidi. Bi pojeye başlamadan önce mutlaka cihazlaın ayalaı yapılmalıdı. Eğe ölçü alımı bibiini takip eden günle içindeyse gene he gün aya yapılmalıdı. Cihazlaın temel bakımlaı aksatılmamalı, vasa bozucu etkile uzaklaştıılmalıdı Hassasiyet ve Sapmala Hassasiyet, yapılan ölçümlein tekalanabililiği ve antenin uygun ve doğu şekilde kullanımıyla ayıca doğu anten tüü seçimiyle bağlantılıdı. Alınan veiden emin olunamadığında ölçüyü teka almak hassasiyeti atııken fiyatlandımada ise atışa sebep olabili. Ölçü alanının sadece kum içediği va sayılısa he tekalanan ölçüde aynı veinin elde edilmesi geeklidi. Faklı veide hata oluşuyosa ölçümde hata yada kalibasyon hatası olduğu kolayca anlaşılabili. Bu duum, faklı litoloji içeen alanlada yapılan ölçüm çalışmalaında da aynı mantık içinde yapılı. Sapmala ise kaydediciden kaynaklanan hataladı. Gidiş geliş zamanlaında hatala ya da ölçü alımı sıasında alıcının uygun şekilde kullanılamaması hesap hatalaı, pofili takip edememe ve nedeni bilinmeyen ada hızındaki ani değişiklikle olaak tanımlayabiliiz. Ye adaı yönteminde kullanılan başlıca ana pogamla SIR SYSTEM / PATHFİNDER, RAMAC / GPR SYSTEM, PULSEEKKO / NOGGIN SYSTEM di Anten Seçimi Anten seçiminde önemli olan hangi deinliğin gözlemlenmek istendiğidi. Yüksek fekansla yüksek çözünülük sunaken deinlee indikçe soğuulmaktadıla. Düşük fekansla ise daha deinlee ahatça nüfuz edebilmektedile. 20

36 Çizelge 2.4 Deinliğe bağlı önek fekans seçimlei (Kadıoğlu 2004) Mekez Fekans (MHz) Düşey Ayımlılık (m) Maksimum Penetasyon (m) Ölçüm Aalığının ve Antenle Aası Ayım Aalığının Seçilmesi Seçilen antenin ayımlılık gücüne yani mekez fekansına uygun bi ölçüm aalığı belilenmeli. Nyquist önekleme aalığını geçmemelidi. Bu da dalga boyunun dötte biidi. 21

37 Çizelge 2.5 Fekansa bağlı önek maksimum ölçüm aalıklaı ((Kadıoğlu 2004) Fekans Maksimum Ölçüm Aalığı (m) Antenle açık tüü ve ayı duumda isele he bi mekez fekansı için antenle aası minimum aalık kounmalıdı. Minimum anten aalığı, anten boyuna eşitti. Seçilmesi geeken aalıktan daha küçük seçilise alıcı doygunluğu (satuation) oluşabili ve kesilmeden dolayı vei kaybolabili. 22

38 Çizelge 2.6 Fekansa bağlı minimum anten aalığı öneklei (Kadıoğlu 2004) Fekans Minimum Anten Aalığı (m) Zaman Önekleme Aalığının ve Kayıt Zamanının Belilenmesi Diğe önemli bi paamete de zaman önekleme aalığı seçimidi. Bi iz üzeindeki noktala aası zaman aalığıdı. Mekez fekansı büyüdükçe veinin toplanmasında daha küçük önekleme aalığı seçilmelidi. Zaman önekleme aalığı ile mekez fekansı aasındaki ilişki, t = 1000 / ( 6F ) (2.6) şeklindedi. Maksimum kayıt zamanının doğu seçilmesi önemlidi. Geeğinden az seçilmesi duumunda hedef deinliğe ulaşmadan kayıt bite, geeğinden fazla seçilmesi duumunda vei hacmi ata ve geeksiz şekilde kayıt sistemi hafızası dolduulu. Buna göe jeolojik çalışmala için otalama 0.1 m/ns hız alınısa; 23

39 T = 1.3 (2d) / V (2.7) Olaak ampiik bi bağıntı ile hesaplanabili (Annan, 2000). d = maksimum deinlik, V = minimum hız Pofil Yönünün ve Pofil Aalığının Seçimi - Hedefin uzun ekseni biliniyosa, pofil yönü buna dik yön boyunca olmaktadı. - Hedefin yönü hakkında bilgi yoksa deneme pofille yadımı ile pofil yönü belilenebili. - 3B ye adaı çalışmalaında başlangıç noktalaı ve bitiş noktalaı aynı olan önekleme kuamına göe düzenlenmiş paalel pofille ile ölçüm alanı taanmalıdı Mekez Fekansı ve Band Genişliği Sistemin band genişliği sistemin minimum cevap zamanını tanımla. Fekans otamında düşük band genişliği zaman otamında mekez fekansı ile kaakteize edilen geniş bi dalgacığı tanımla Anten Düzeneğinden Kaynaklanan Yayınma Kaybı Ye adaı yönteminde genlik değelei desibel (db) ile yani kazanç sönüm işlemlei ile tanımlanıla. db=10 log 10 (kazanç/sönüm) (2.8) 24

40 2.20 Saçılma Yüzeylei Ye adaında saçılma yüzeylei etkili bi paametedi. Hedeflein tanımlanmasında saçılma yüzeyleinden yaalanılı. En etkili olana yansımaladı. Yüzeylein eğilik yaıçaplaının gelen dalga boyuna göe çok büyük olduğu duumlada geçeli olu. Snell yasalaına uyala. Diğei ise kıınımladı. Uç ve kena süeksizlik gösteen yüzeyleden olan saçılmaladı. Temel ışın-optik yöntemle yeine kıınım teimleini içeen geometik kıınım teoisi ve fiziksel kıınım teoisi kullanılı. Yüzey dalgası teimi, pek çok dalga tipini içeen ve bi gövde boyunca yol alan akımı ifade ede. Yüzey dalgalaı, iç bükey yüzeylede yüzeyi yalayaak gelen dalgaladı. Bu dalgala dış bükey yüzeylede zayıflayaak yol alıla ve bunlaa süünen dalgala deni Yöntemin Üstünlük ve Zayıflıklaı Sığ ye aaştımalaında oldukça yaygın kullanılmaya başlanılan ye adaı yöntemi, diğe jeofizik yöntemlele kaşılaştııldığında önemli atıla ve eksilee sahipti. Bu atıla ve eksile yöntemin kullanılacağı çalışmada mutlaka göz önüne alınmalıdı. Ye adaı yönteminde, yüksek fekanslı kaynak kullanılması aaştıma deinliği çözünülüğünü yükselti. Ayıca yığma yapabilme olanağı da aaştıma deinliği çözünülüğünü pozitif yönde etkilemektedi. Aaştıma çözünülüğü deinliği, ölçümlein yapıldığı istasyonla aası uzaklığa da bağlıdı. İstasyonla aası uzaklık, hedeflenen yapının elektiksel iletkenliğine bağlı olaak seçilen elektomanyetik dalganın dalga boyu ile ilişkilidi. 25

41 Aaştıma da hedeflenen yapının deinliği, yapının elektiksel özellikleine, otamın jeolojik özellikleine ve seçilen elektomanyetik dalganın mekezi fekansına bağlı olaak duyalı bi şekilde hesaplanabili. Bu önemli bi avantajdı. Çalışma sıasında, insanla taafından oluştuulan istenmeyen olayla diğe bi deyişle güültüle, vei işlem tekniklei ile kolayca ayıklanabili. Ayıca, kullanılan ekipmanla bakımından, otamın topogafyasına da bağlıdı, uygulanması oldukça kolay ve hızlıdı. Kullanılan elektomanyetik dalganın mekezi fekansının yüksek fekanslı olması aaştıma deinliği, çözünülüğünü attısa da, aaştıma deinliğini azaltmaktadı. Etki tepki sounu da, yüksek fekansın diğe bi eksi yönüdü. Ye adaı yöntemi nemli otamlada istenildiği gibi çalışmamaktadı. İletkenlik attıkça, kesitle kalitesizleşmektedi. Çok yüksek iletkenliklede aa yüzeylede eneji yayılıken keskin yansıma sinyallei yaatabili ve bilgi alınması zolaşabili. Yealtı su seviyesine yaklaştıkça oluşan ani iletkenlik atışı da elektomanyetik dalganın genliği ve yüksek fekansında önemli bi soğuulmaya neden olacaktı. Bu da kesiti kalitesizleştimektedi. Radyo veicilei, güültü yaatıla ve ölçülen sinyallei de kayıt aygıtının belilenen ölçüm aalığı dışına taşıabilile. Aaştıma yapılan bölgede bulunabilecek metalik nesnele, çok keskin yansımalaa neden olaak kesiti bozucu etki yaatabilile. 26

42 2.22 Ölçüm Tekniklei ve Sistem Duyalılığı Mono-statik ve Bi-statik Anten Alıcı ve veicini antenlein tek bi düzenekte olmasına mono-statik ayı ayı düzenekte olmasına bi-statik anten deni (Şekil 2.6). Şekil 2.6 a. Mono-statik, b. Bi-statik anten Ölçüm tekniklei Aazi çalışmalaında ye adaı dizgesi, veici-alıcı antenle, bilgisaya, kontol ve kayıt biimleinden oluşan kayıt aygıtı (CRU) üniteleinden meydana gelmektedi (Şekil 2.7). 27

43 Göüntü Şekil 2.7 Ye adaı sisteminin ana bileşenleinin blok diyagam şeklinde gösteimi (Annan 1992) Kayıt aygıtı yadımıyla, kullanılan fekans, ölçümün yapılacağı süe, yığma yapılacak iz sayısı gibi koşulla ayalanabili. Kayıt süelei nanosaniye aasında değişebiliken, 2049 ize kada yığma yapılabili. Aazide ölçüm, seçilen hat boyunca yapılı. Bibiinden belli uzaklıkta tutulan veici ve alıcı antenle hat boyunca ileletili ve belilenen istasyon noktalaında ölçümle alını. Antenle aası mesafe kullanılan fekans, çeve koşullaı ve anten boyutlaına bağlı olaak seçilmelidi. Bağıl geçiimlilik, yani K, deinlee doğu atmaktadı. Bu duum, elektomanyetik dalganın hızının gideek azalmasına ve Snell kanununa bağlı olaak elektomanyetik ışının gideek nomale yaklaşmasına neden olacaktı. Bu, sismik yöntemlede kaşılaşılanın tesi bi duumdu. Deinliklee doğu hız atımı, sismik kıılma yönteminin temelini 28

44 oluştumaktadı. Ancak elektomanyetik dalga hızı gideek azaldığından, ye adaı kıılma yönteminin kullanılma şansını azaltmaktadı. Bu nedenle çoğu ye adaı aaştımalaında sabit anten aalığı kullanılı ve sabit açıklık pofili dizilimi olaak tanımlanı (Şekil 2.8). D D anten Şekil 2.8 Sabit açıklık pofili dizilimi Diğe bi dizilim şekli ise, ota nokta sabit kalacak şekilde faklı anten aalığı kullanaak, çoklu katlama tekniğidi (Şekil 2.9) Şekil 2.9 Çoklu katlama dizilimi 29

45 Çeşitli anten açılımlaı Veici ve alıcı antenlein hatlaa göe konumlaını, jeolojik yapı ve topoğafya etkilemektedi. Jeolojik uzanımın bilindiği çalışmalada genelde yapıya paalel anten açılımı seçili. Hat Şekil 2.10 Paalel ve uzun kena bakışımlı Hat Şekil 2.11 Paalel ve kısa kena bakışımlı Hat Şekil 2.12 Dik ve uzun kena bakışımlı 30

46 Hat Şekil 2.13 Dik ve kısa kena bakışımlı Aynı yede yapılan ye adaı uygulamalaında faklı anten açılımlaı kullanıldığında faklı ye adaı kesitlei elde edilmektedi (Annan 1992) Geometik Optik Geometik optikte (GO), saçılan alanın hesaplanmasında elektomanyetik enejinin izlediği yolla ışınlala modelleni. Bu yolla diekt, yansımış ve kıınıma uğamış teimle içeebilile. GO, diekt yolladan başka yansıyan ışın yollaı içei ve kıınım teimleini içemez. Homojen otamda, eneji ışın yolu boyunca düz bi hatta ilele. Bu ışın nomal olan yüzeyle eş faz yüzeyle olaak adlandıılı. Şekil 2.14 de gösteilen homojen otamdaki düzlem dalga için, eş faz yüzeyle ışın yollaına dik olan düzlemleden oluşla. Küesel kaynak için ise yine küesel düzlemleden oluşan eş faz yüzeyle ışın yollaına diktile. 31

47 Şekil 2.14 Dalga cephesi ve ışınla aasındaki ilişkile (Stutzman 1962) S 0 dσ 0 =Sdσ (2.9) yazılabili. Yansıma katsayılaı R II =+1 R =-1 olaak alınıp, bu gösteim Fesnel yansıma katsayılaı olaak adlandıılmaktadı. Fensel yansıma katsayılaı, ancak gelen dalganın düzlem dalga ve yine yansıtıcı yüzeylein düzlemsel olduğu duumlada kullanılabilmektedi. Yüksek fekanslada bu sınılamaladan yola çıkaak, GO yansımasının yeel bi olay olduğunu ve bu yüzden gelen dalganın yansıtıcı noktada düzlem dalga olması geektiğini söyleyebiliiz. 32

48 GO yöntemini, kaynak ve yansıma noktalaının sabit olduğu poblemlee uygulandığımızda yansıma kuallaına göe belilenmek zoundadı. Bu nedenle GO yönteminde yansıyan alan hakkında sadece tek bi doğultuda bilgi toplanabili. Ancak geçek hedeflede yansımala çok faklı açısal bölgelede geçekleşebili. 33

49 3. ZAMAN BÖLGESİNDE SONLU FARKLAR YÖNTEMİ Sonlu-fakla yöntemi, ilk olaak, doğusal olmayan hidodinamik eşitliklei çözmek için kaele yöntemi adı altında 1920 lede A. Thom taafından geliştiilmişti. O zamandan bei, yöntem faklı alan poblemleini çözmede kullanılmıştı. Sayısal yöntemlein uygulanmasında en çok dikkat edilmesi geeken noktala, benzetim süesi, bellek (RAM), işlemci (CPU) hızı yeteliliği, modellemede kullanılan üst seviyeli pogamlama dilleinin ve sonuçlaı uygun fomatta işleyebilecek gelişmiş gafik çizim pogamlaının seçimi olaak sıalanabili.bu nedenle kullanılan sayısal yöntemin ve poblemin geektidiği tüm sistem ihtiyaçlaı iyi belilenmeli ve bi optimizasyon yapılmalıdı. Zaman Otamında Sonlu-Fakla (Finite Diffeence Time Domain) yöntemi, elektomanyetik poblemlein çözümünde kullanılan en popüle sayısal yöntemleden biidi. FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popülaitesi atmaya devam edecekti.ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. İlk defa 1966 da Yee taafından otaya atılan FDTD yöntemi, Mawell denklemleinin difeansiyel fomunu ayıklaştımaya yaayan sade ve sık bi yöntemdi.fdtd ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zo bi işti. Bu yöntemle ilgili yayın sayısı aşağıda göüldüğü gibi süekli olaak atmaktadı. FDTD yöntemi FD olaak bilinen sonlu fakla yönteminin 1966 yılında Yee (Yee 1966) taafından Mawell denklemleine uyacak şekilde zaman bölgesi için genişletilmesiyle bilikte otaya atılmış, özellikle 1980 lein otalaında bilgisayalaın hız ve kapasiteleindeki hızlı atışla bilikte elektomanyetik dalga poblemle için en çok kullanılan yöntemleden bii haline gelmişti). FDTD yöntemi 30 yılı aşkın bi süedi va olmasına ağmen, bilgisayalaın hız ve kapasitelei attığı süece yöntemin popülaitesi atmaya devam edecekti. Ayıca yöntemin geliştiilmesine yönelik yayınlaın atması da yöntemin çekiciliğini atımaktadı. FDTD ile ilgili aaştıma faaliyetleinin çok fazla olmasından dolayı FDTD liteatüünün izlenmesi zodu. Yutucu sını koşullaı (Engquist- 34

50 Majda 1977, Bayliss- Tukel 1980, Liao et al. Scientia -Sinica 1984, Benge 1994), Sayısal dispesiyon (Schneide and Wagne 1999, Kumpholz and Katehi 1996, Liu 1997 ), Sayısal kaalılık (Taflove and Bodwin 1975, Namiki 1999, Zheng et al. 2000, De aedt et al.2003), gid biçimlendime (Taflove-Umashanka 1977, Shanka et al. 1990, Rylande and Bondeson 2000), Mikoşeit hatlı deve analizi, Açık veya kapalı dalga kılavuzlaında dalga iletimi ve süeksizle (Choi and Hoefe 1982), ada saçılma yüzeyi (RSY) modelleme (Taflove-Umashanka 1977), anten ve anten dizi tasaımlaı ve sentezi (Maloney et al. Katz et al. 1991), Biyolojik dokulada elektomanyetik tutulma hesaplaı (Sullivan et al. Zhang et al. 1987). Mikodalga fıın benzetimi EMC/EMI (elektomanyetik uyumluluk ve giişim) modelleme (Sui et al. 1991) vb. çalışmalada kullanılan en popüle sayısal yöntemleden biidi. Günümüzde GPR modellenmesinde en çok kullanılan sayısal yöntemleden bii de FDTD yöntemidi (Robets and Daniels 1997, Xu and McMechan 1997, Begmann et al. 1998). Sonlu fakla ağının hücesel özelliği nedeniyle, bu yöntemle yapılan çözümlemede basit yealtı yapılaının yanı sıa, kamaşık ye altı yapılaına ait model yanıtlaı da uzun süe geektimeden hesaplanabilmektedi. Ayıca bu teknik, diğe hesaplama tekniklei ile yapılamayan ve ada kuamında önemli bi yei olan ada anteninin yakın alanındaki gömülü hedefleden oluşan saçılmalaın modellenebilmesine de olanak vemektedi (Robets and Daniels 1997). 35

51 Şekil 3.1 Yıllaa göe yayın sayısı Sonlu fakla tekniklei, difeansiyel eşitliklei fak eşitlikleiyle değiştimeye izin veen, tahminlee dayanı. Bu sonlu fak tahminlei biçimsel olaak sayısaldı; çözüm bölgesindeki bi noktadaki bağlı değişkenin değeini, bazı komşu noktaladaki değelele ilişkilendiile. Böylece, sonlu fak çözümü temel olaak üç adımı kapsa: 1. Çözüm bölgesini, düğümleden oluşan gid e bölmek, 2. Veilen difeansiyel denklemi, çözüm bölgesindeki bi noktadaki bağlı değişkeni komşu noktaladaki değeleiyle ilişkilendien sonlu fakla eşiti ile yaklaşık olaak hesaplamak, 3. Sını koşullaı ve/veya başlangıç koşullaına bağlı olaak fak eşitlikleini çözmek. Üç adımda alınan çözümün nasıl yapılacağı çözülecek poblemin doğası, çözüm bölgesi ve sını koşullaı ile belileni. İki boyutlu poblemle için genellikle en çok kullanılan gidleme tülei Şekil 3.2 de gösteilmişti. 36

52 Şekil 3.2. a. kae gid, b.skew gid, c. üçgen gid, d. daiesel gid Şimdi veilen bi difeansiyel eşitlikten sonlu fak tahmini hesaplaının nasıl yapıldığına bakalım. Bu aslında tüevlei nümeik olaak tahmini hesaplamayı içemektedi. Şekil 3.3 İlei, gei ve mekezcil faklaı kullanaak P noktasındaki f() in tüevi için kullanılan şematik A ve B noktalaı 37

53 38 Şekil 3.3 de gösteilen bi f() fonksiyonunun P noktasındaki tüevini, eğimini veya tanjantını, ilei-fak fomülünü veen PB yayının eğimi ile, f f f o + ) ( ) ( ) '( 0 (3.1) veya gei-fak fomülünü veen AP yayının eğimi ile, f f f o ) ( ) ( ) '( 0 (3.2) ve mekezcil- fak fomülü ile sonuçlanan AB yayının eğimi ile, f f f o + 2 ) ( ) ( ) '( 0 (3.3) yaklaşık olaak hesaplayabiliiz. P deki f() in ikinci tüevini de, (3.4) şeklinde yaklaşık olaak hesaplanabili. Ayık bi noktala kümesindeki değele cinsinden ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) '( ' ) ( ) ( ) ( 2) / ( 1 2) / ( ' 2) / '( ) '( ' f f f f f f f f f f f o o o o o o o o o = + (3.5) ) ( ' ' ' ) ( 3! 1 ) ( ' ' ) ( 2! 1 ) ( ' ) ( ) ( = + f f f f f (3.6)... ) ''( ' ) ( 3! 1 ) ( '' ) ( 2! 1 ) '( ) ( ) ( = f f f f f (3.7) ) ( ) '( ' ) ( ) ( 2 ) ( ) ( O f f f f + + = = +

54 bi tüevin yaklaşık olaak hesaplanması, sonlu fak hesabı olaak adlandıılı. Daha genel bi yaklaşım için Taylo seilei kullanılmaktı. O( ) 4 kesme hatasıdı. Bu hata ( ) 4 metebesinde hatadı. Mekezi Fakla Yönteminde hata bağıntısı diğe iki yöntemden daha küçüktü. Tüev açılımında daha fazla nokta kullanılaak hata istenilen metebeye indiilebili, fakat bu duumda bilgisayadaki hesaplama süesi ve bellek geeksimi atacaktı. Daha yüksek metebe sonlu fak yaklaşık hesaplamalaı, Taylo seisi açılımında daha çok teim almakla elde edilebili. Eğe sonsuz Taylo seisi alınmış olsaydı, poblem için tam bi çözüm olduğu fakına vaılıdı. Bununla bilikte, patiklik için, sonsuz sei genellikle ikincimetebe teimden sona kesili. Bu bütün sonlu fak çözümleinde va olan bi hatayı göstei. Bi Φ(,t) fonksiyonunun çözümünü bulmaya fak yöntemini uygulamak için -t düzlemindeki çözüm bölgesini Şekil 3.3 deki gibi eşit kaelee veya ve t kenalı ağlaa böleiz. Tipik bi gid noktasının veya düğümün (,t) koodinatlaı, =i i=0,1,2, (3.9) t=j t j=0,1,2, olsun ve P deki Φ değei, Φ =Φ( i, j t) = Φ( i, j) (3.10) P 39

55 Şekil 3.4 İki bağımsız ve t değişkeni için sonlu fak ağı olsun. Bu notasyon ile, i ve j. N. düğümdeki Φ nin tüevleinin mekezsel fak yaklaşık hesaplamalaı, şeklindedi (N.O.Sadiku 1992). 40

56 Sonlu fakla yöntemi uzun zamandı bilinmesine ağmen zaman bölgesinde Mawell denklemlei için kullanımı ilk kez 1966 yılında Kano Yee taafından otaya atılmıştı. Bunun sonucunda, elektomanyetik dalga yayılımını modelleyen Mawell denklemleinin sonlu fakla ile yazılması ve zamana göe tüevleinde sayısallaştıılaak genelleştiilmesi yöntemi Zamanda Sonlu Fakla Yöntemi (FDTD) adıyla özel olaak adlandıılmıştı. FDTD yöntemi Mawell denklemleindeki difeansiyel opeatölein zamanda ve konumda ayıklaştıılmasına dayanı. 3.1 Bi Boyutlu (1-B) Sonlu Fakla Yöntemi Homojen otamda zamana bağlı Mawell denklemlei eşitlik (3.11) ile ifade edili (Bkz Ek A). (3.11) (3.12) Buada E ve H üç boyutlu yöneyledi. (3.11) ve (3.12) denklemlei he üç yöney bileşenini de ifade ede. Buada E ve H y nin kullanıldığı bi boyutlu duum ele alınmıştı. (3.13) (3.14) 41

57 42 Bu denklemle, elektik alanı, manyetik alanı y doğultusunda yönlendiilmiş ve z yönünde ileleyen bi düzlemsel dalgayı temsil ede. Geçici ve uzaysal tüevlein he ikisi ile beabe mekezi fakla yaklaşımı kullanılaak aşağıdaki denklemle elde edili. Buada, n zamanı beliti. Bu yinelemeli denklemle ile zamanda ve konumda ayık adımlala dalga yayılım modellenmektedi. Yinelemeli çözümle daima koşullu kaalı çözümledi ve kaalılık şatı sağlanamazsa çözümle geçesiz kalı. Kaalılık şatı zaman ve konum adımlaının bibiinden bağımsız seçilemeyeceğini gösteen bi paametedi. Şekil 3.5 Atlamalı FDTD ayıklaştıması (3.16) 1)) ( 1) ( ( ) ( ) ( (3.15) 1)) ( 1) ( ( ) ( ) ( = + = k E k E z t k H k H k H k H z t k E k E n n n y n y n y n y n n µ ε

58 3.2 İki Boyutlu (2B) Sonlu Fakla Yöntemi Homojen, tekdüze bi otamda EM dalga yayılımı ye adaı (GPR) sistemi için 10 MHz den 1 GHz e kada değişen bi mekez fekansı ile aşağıda (3.17) denkleminde veilen Mawell denklemleinden elde edilen EM dalga denklemi ile ifade edili (Bkz. Ek A). 2 2 E E E = µε + µσ 2 t t 2 2 H H H = µε + µσ 2 t t (3.17) σ = 0 kabul edildiğinde (1) denklemi aşağıdaki gibi veili (Bkz. Ek A); 2 2 E E = µε 2 t 2 2 H H = µε 2 t (3.18) denklemleindeki ifadele; (3.18) E : Elektik alan H : Manyetik alan ε : Dielektik sabiti (pemittivity) µ : manyetik geçigenlik (pemeability) σ : Elektiksel iletkenlik (conductivity) di. (3.8) denklemleinin son hali; 2 2 E E y 2 E = µ 0ε (3.19) 2 t 43

59 t H y H H = + ε µ (3.20) şeklindedi. Bu dalga denklemleinin çözümünde Mawell denklemleinden elde edilen Faaday ve Ampe kanunlaını veen ifadele ((3.23)-(3.24) denklemlei) kullanılı. Yani ye adaı yönteminde kullanılan EM dalga denklemi çifti paabolik tipte bi dalga denklemleidi ve modellemede sonlu fakla yöntemi kullanılaak bu denklem çifti çözülü. Buadan yola çıkılısa; t H E = 0 1 µ Faaday Kanunu (3.21) t E H = ε 1 Ampe Kanunu (3.22) Ampe Kanununu veen ifadeden yaalanaak denklemi katezyen koodinatla için yazasak; + + = + + y H H z H z H y z H y H z t E y t E t E X Y Z X Y Z Z Y X ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ε (3.23) Bu denklemi he bi koodinat ekseni için yazasak; = z H y H t E Y Z X ε 1 = H z H t E Z X Y ε 1 (3.24) = y H H t E X Y Z ε 1 Faaday Kanununu veen ifadeden yaalanaak denklemi katezyen koodinatla için yazasak; + + = + + y E E z E z E y z E y E z t H y t H t H X Y Z X Y Z Z Y X ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ µ 0 (3.25)

60 45 Bu denklemi he bi koodinat ekseni için yazasak; = y E z E t H Z Y X 0 1 µ = z E E t H X Z Y 0 1 µ (3.26) = E y E t H Y X Z 0 1 µ Veilen bi model için hesaplamala yapılıken, öncelikle sonlu fakla ağı oluştuulu (Şekil 3.5) ve bu ağ üzeinde hücelee ait düğüm noktalaı kullanılaak elektik alan değelelei hesaplanmaya çalışılı (Şekil 3.6). Şekil 3.6 Sonlu fakla ağı

61 Şekil 3.7 Hücelein değişen (i,j) lee göe numaalandıılması işlemi He düğüm noktasına elektik alan değei, manyetik alan değei, µ 0 ve ε değelei atanı. TE ve TM modu için ayı ayı hesaplama yapılı. Elektomanyetik dalga denklemi çözümünde EM dalganın TM ve TE modlaı ayı ayı inceleni. Bu modlaı ayı ayı ele alıp, elektik alanın ye değiştimesi hesaplanı. İlk olaak TM modunu ele alalım. TM modu: Bu mod da hesaplanması geeken manyetik alan ve elektik alan bileşenlei vaken, aynı zamanda hesaplanmayan manyetik alan ve elektik alan bileşenlei de vadı ve bunla sıfı olaak kabul edili. y Hy Ez H z 46

62 Şekil 3.8 TM modu Yukaıdaki şekil TM modu için gösteilmektedi (Şekil 3.8). Buna göe; H X H Y E Z 0 ve E E = H = 0 olu. X = Y Z Elektik ve manyetik alan bileşenlei yukaıdaki gibi veili. İki boyutta hesaplama yapaken ve bi pofil üzeinde ileleken, tek bi yatay eksen değei için belili deinliklede ve belili zaman değeleinde hesaplama yapılı. Zaman biimi için değişkenimiz n olsun. Buna göe, n ~ = n yaım zaman aalığı sonaki zaman değei olaak veilmiş olsun. TM modu için, zamanın tam katlaında elektik alan, zamanın kesili katlaında ise manyetik alan değei hesaplanı. TE modu içinse, zamanın tam katlaında manyetik alan, zamanın kesili katlaında ise elektik alan değelei hesaplanı. Yee (1996) ye göe, bi hüce içeisinde, 3 elektik alan ve 3 manyetik alan bileşeni vadı. Fakat bunlaın hüce içeisindeki konumlaı faklıdı. Bu nedenle manyetik ve elektik alan bileşeni aasında t / 2 lik bi fak vadı. Buna göe; TM modu için, t = 0, t, 3 t, zamanlaında E t = t / 2, 3 t / 2, zamanlaında H 47

63 alan bileşenlei hesaplanı. Hehangi bi noktadaki elektik alan diğe hüceleden etkileni. Hüce oluştuulduktan sona; 1) He hücede 3 elektik ve 3 manyetik alan vadı ve hücelee ait düğüm noktalaı numaalandıılıken (i,j) şeklinde adlandıılı. 2) (i,j) hücesinde elektik alanın bileşeni E z (i,j) ve manyetik alanın y bileşeni H y (i,j) aynı indisli olmalaına kaşın hüce içeisindeki konumlaı faklıdı (Şekil 3.9). E z (i,j- 1) H (i,j- 1/2) E z (i-1,j) H y (i-1/2,j) E z (i,j) H y (i+1/2,j) E z (i+1,j) H (i,j+1/ 2) E z (i,j+ 1) Şekil 3.9 E z, H y ve H bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı 48

64 49 3) Hüce içeisinde faklı konumda faklı konumda olmalaının yanı sıa elektik ve manyetik alan bileşenlei aasında zamanda da 2 / t kada fak vadı. 4) 3 manyetik alanın hesabında kullanılan 0 µ ve 3 elektik alanın hesabında kullanılan ε, ilgili alanlaın bileşenleinin tanımlandığı noktada veilmelidi. Yukaıdaki şekil TM modu için yapılan hesaplamayı göstemektedi. Bu şekle bakaak, mekezcil fakla yadımıyla düğüm noktalaındaki faklı zaman değelei için elektik alan ve manyetik alan değei hesaplanı. TM modu için katezyen koodinatlada yazılan ifadele 0 = = = Z Y X H E E olmasından dolayı denklemle; = y H H t E X Y Z ε 1 E t H Z Y = 0 1 µ (3.27) y E t H Z X = 0 1 µ haline geli. Buadan mekezcil fakla yadımı ile yapılan hesapla sonucu + + = y j i H j i H j i H j i H t j i E j i E n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( 1 ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 1 ε (3.28) bulunabili. Buadan ), ( 1 j i E n Z + çekili; = y j i H j i H j i H j i H t j i E j i E n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 1 ε (3.29)

65 50 + = y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.30) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + + j i H n X çekilise + + = + + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.31) + = j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.32) elde edili. Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y + + çekilise; = + + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.33) = + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.34) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + j i H n X çekilise; = + y j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.35) = + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ) 1, ( ), ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.36) Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y + çekilise; + = + j i E j i E t j i H j i H n Z n Z n Y n Y ) 1, ( ), ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 0 2 1/ 2 1/ µ (3.37) elde edili. Yukaıdaki denklemlee bakıldığında, başlangıç koşulu olaak n inci zamana ait he (i,j) düğüm noktasındaki elektik alanın z bileşenlei sıfı kabul edili. Ayıca, n- 1/2 inci zamana ait ) 2 1/, ( 2 1/ + j i H n X, ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y +, ) 2 1/, ( 2 1/ j i H n X ve ) 2, 1/ ( 2 1/ j i H n Y manyetik alan bileşenleinin değelei de sıfı kabul edili. Bu değeleden yaalanaak ve yukaıda veilen denklemle kullanılaak, n+1/2 inci zamana

66 + ait H n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), H n + 1/ 2 + Y ( i+ 1/ 2, j), H n 1/ 2 + X ( i, j 1/ 2) ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) H n Y değelei + hesaplanaak bi sonaki zamana ait yani n+1 inci zamana ait 1 ( i, j) E n Z değei hesaplanı. + n+1 zamanına ait ve he (i,j) noktası için bulunan 1 ( i, j) E n Z değelei kullanılaak bi sonaki zaman ait değele hesaplanı ve bu işlem hesaplanmak istenen zaman değeine kada südüülü (Şekil 3.10). Şekil 3.10 Bi önceki zamanda hesaplanan değelein kullanılmasıyla bi sonaki zaman ait değelein hesaplanması 51

67 TE modu: TE modu ele alındığında ise benze işlemle yapılı. Bu moda da hesaplanması geeken manyetik alan ve elektik alan bileşenlei vaken, aynı zamanda hesaplanmayan manyetik alan ve elektik alan bileşenlei de vadı ve bunla TM modunda da yapıldığı gibi sıfı olaak kabul edili. y H z E y E z Şekil 3.11 TE modu Yukaıdaki şekil TE modu için gösteilmektedi (Şekil 3.10). Buna göe; E ve X E Y H Z 0 H H = E = 0 olu. X = Y Z TM modu için, zamanın tam katlaında elektik alan, zamanın kesili katlaında ise manyetik alan değei hesaplandığı TM modunu açıklanıken belitilmişti. TE modu için de, zamanın tam katlaında manyetik alan, zamanın kesili katlaında ise elektik alan değelei hesaplanı. TE modu için, t = 0, t, 3 t, zamanlaında H 52

68 t = t / 2, 3 t / 2, zamanlaında E alan bileşenlei hesaplanı. Hüce oluştuulduktan sona TM modu anlatılıken veilen adımla bu mod için de yapılı. TE modundaki 3 manyetik alan bileşeninin hesabında kullanılan µ 0 ve 3 elektik alan bileşeninin hesabında kullanılan ε, TM modunda olduğu gibi ilgili alanlaın bileşenleinin tanımlandığı noktada veilmelidi. H z (i,j-1) E (i,j-1/2) H z (i-1,j) E y (i-1/2,j) H z (i,j) H z (i+1,j) E y (i+1/2,j) E (i,j+1/2) H z (i,j+1) Şekil 3.12 E, E y ve H z bileşenleinin hüce içeisindeki konumlaı Yukaıdaki Şekil 3.12 de TE modu için yapılan hesaplamayı göstemektedi. Bu şekle bakaak, mekezi fakla yadımıyla düğüm noktalaındaki faklı zaman değelei için elektik alan ve manyetik alan değei hesaplanı. TE modu için katezyen koodinatlada yazılan ifadele H H = E = 0 olmasından dolayı denklemle; X = Y Z H t E t Y E t Z X 1 EY = µ 0 1 H = ε 1 H = ε y Z Z E + y X haline geli. Buadan mekezi fakla yadımı ile yapılan hesapla; (3.38) 53

69 54 ( (3.39) Buadan ), ( 1 j i H n Z + çekili; ( (3.40) + = y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.41) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + + j i E n X çekilise; = + + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ), ( 1), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.42) + = j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( 1 ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 2 1/ 2 1/ ε (3.43) Buadan ) 2, 1/ ( 2 1/ j i E n Y + + çekilise; + + = + + j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n Y n Y ), ( ) 1, ( ) 2, 1/ ( ) 2, 1/ ( 2 1/ 2 1/ ε (3.44) = + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X ) 1, ( ), ( 1 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.45) Buadan ) 2 1/, ( 2 1/ + j i E n X çekilise; + = + y j i H j i H t j i E j i E n Z n Z n X n X 1), ( ), ( 2) 1/, ( 2) 1/, ( 2 1/ 2 1/ ε (3.46) = y j i E j i E j i E j i E t j i H j i H n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( 1 ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 µ = y j i E j i E j i E j i E t j i H j i H n X n X n Y n Y n Z n Z 1/2) (, 1/2) (, ) 1/2, ( ) 1/2, ( ) (, ) (, 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1 µ

70 n+ 1/ 2 n 1/ 2 n n E Y ( i 1/ 2, j) EY ( i 1/ 2, j) 1 H Z ( i, j) H Z ( i 1, j) = t ε (3.47) + Buadan 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y çekilise; E n+ 1/ 2 Y ( i 1/ 2, j) = E n 1/ 2 Y t H ( i 1/ 2, j) ε n Z ( i, j) H n Z ( i 1, j) (3.48) Yukaıdaki denklemlee bakıldığında, yine TM moduna benze şekilde, başlangıç koşulu olaak n inci zamana ait he (i,j) düğüm noktasındaki elektik alanın z bileşenlei sıfı kabul edili. Ayıca, n-1/2 inci zamana ait E n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), E n 1/ 2 Y ( i+ 1/ 2, j), 1/ 2 ( i, j 1/ 2) E n X ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y manyetik alan bileşenleinin değelei de sıfı kabul edili. Bu değeleden yaalanaak ve yukaıda veilen denklemle kullanılaak, n+1/2 inci zamana + ait E n 1/ 2 X ( i, j+ 1/ 2), E n + 1/ 2 + Y ( i+ 1/ 2, j), E n 1/ 2 + X ( i, j 1/ 2) ve 1/ 2 ( i 1/ 2, j) E n Y değelei + hesaplanaak bi sonaki zamana ait yani n+1 inci zamana ait 1 ( i, j) H n Z değei hesaplanı. + n+1 zamanına ait ve he (i,j) noktası için bulunan 1 ( i, j) H n Z değelei kullanılaak bi sonaki zaman ait değele hesaplanı ve bu işlem hesaplanmak istenen zaman değeine kada südüülü. 3.3 Üç Boyutlu (3B) FDTD Yöntemi Üç boyutlu (3B) poblemlede uzaydaki ayıklaştıma, Şekil 3.13 de gösteildiği gibi Yee (Yee 1966) taafından öneilen biim hüce kullanılaak geçekleştiilmişti. 55

71 Şekil D Yee biim hücesi Manyetik Alan Denklemlei, y ve z yönünde olmak üzee 3 adet manyetik alan bileşeni hesaplanı. Temel denklem (3.51) denklemidi. H E= µ t (3.49) yönündeki manyetik alan bileşeni (H) 56

72 k+ 1 Ey i. yüzey k+ 1/2 Ez H Ez k j Ey j+ 1 j+ 1/2 Şekil 3.14 yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H 1 E y E z H 1 Ey E z = = t µ z y t µ z y n n (, 1/ 2, 1/ 2 ) 1 Ey( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) (, 1/ 2, 1/ 2) n H i j+ k+ Ez i j+ k+ = t µ z y (3.50) (3.51) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) ) 1 z b) ( n n = Ey ( i, j+ 1/ 2, k+ 1) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) 1 y c) ( n n = Ez ( i, j+ 1, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) (3.52) (3.53) (3.54) denklemlei 3.53 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın yönündeki bileşeni çekilise; H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) = H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 δt µ ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) δ n n n n Ey ( i, j+ 1/ 2, k+ 1) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) + Ez ( i, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j+ 1, k+ 1/ 2) 3.57 eşitliği elde edili. (3.55) 57

73 y yönündeki manyetik alan bileşeni (Hy) k+ 1 E j. yüzey k+ 1/2 Ez Hy Ez k i E i+ 1 i+ 1/2 Şekil 3.15 y yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H y 1 Ez E H y 1 Ez E = = t µ z t µ z ( 1/ 2,, 1/ 2) 1 ( 1/ 2,, 1/ 2) ( 1/ 2,, 1/ 2) n n n H y i+ j k+ Ez i+ j k+ E i+ j k+ = t µ z (3.56) (3.57) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) ) 1 b) ( n n = Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) 1 z c) ( n n = E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) (3.58) (3.59) (3.60) 3.60, 3.61 ve 3.62 denklemlei 3.59 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) = H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 y y δt µ ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) δ n n n n Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) (3.61) 58

74 3.63 eşitliği elde edili z yönündeki manyetik alan bileşeni (Hz) j+ 1 E k. yüzey j+ 1/2 Ez Hz Ez kj i E i+ 1 i+ 1/2 Şekil 3.16 z yönündeki manyetik alan hesabında kullanılan komşu alanla n n n H 1 z E E y H z 1 E E y = = t µ y t µ y n n ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1 ( 1/ 2, 1/ 2, ) y( + 1/ 2, + 1/ 2, ) n H E i j k z i+ j+ k E i+ j+ k = t µ y a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ a) ( 1/ 2 n = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) ) 1 y b) ( n n = E ( i+ 1/ 2, j+ 1, k) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) 1 c) ( n n = Ey ( i+ 1, j+ 1/ 2, k) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) (3.62) (3.63) (3.64) (3.65) (3.66) 3.66, 3.67 ve 3.68 denklemlei 3.65 denkleminde yeine yazılı ve manyetik alanın z yönündeki bileşeni çekilise; 59

75 H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) = H ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + n+ 1/ 2 n 1/ 2 y y δt µ ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) δ n n n n Ez ( i+ 1, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k+ 1) (3.67) 3.69 eşitliği elde edili Elektik alan denklemlei, y ve z yönünde olmak üzee 3 adet manyetik alan bileşeni hesaplanı. E H= σ E+ ε t (3.68) yönündeki elektik alan bileşeni (E) k+ 1/2 Hy k Hz i+ 1/2. yüzey E Hz k-1/2 j-1/2 Hy j j+ 1/2 60

76 Şekil 3.17 yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla E 1 H H Z y = σ E t ε y z X n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 E ( 1/ 2,, ) 1 ( 1/ 2,, ) H y ( i 1/ 2, j, k) i+ j k H z i+ j k + = σ E t ε y z X (3.69) (3.70) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( E ( i+ 1/ 2, j, k) E ( i+ 1/ 2, j, k) ) 1 y n+ b) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i+ 1/ 2, j 1/ 2, k) ) 1 z n+ c) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i+ 1/ 2, j, k 1/ 2) ) (3.71) (3.72) (3.73) 3.73, 3.74 ve 3.75 denklemlei 3.72 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın yönündeki bileşeni çekilise; n+ 1 σ( i+ 1/ 2, j, k) δt n δt E ( i+ 1/ 2, j, k) = 1 E ( i+ 1/ 2, j, k) + ε( i+ 1/ 2, j, k) ε( i+ 1/ 2, j, k) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/2 n+ 1/2 Hz ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) Hz ( i+ 1/ 2, j 1/ 2, k) + Hy ( i+ 1/ 2, j, k 1/ 2) Hy ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) (3.74) 3.76 eşitliği elde edili y yönündeki elektik alan bileşeni (Ey) 61

77 k+ 1/2 H j+ 1/2. yüzey k Hz Ey Hz k-1/2 i-1/2 H i+ 1/2 i Şekil 3.18 y yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla Ey 1 H H z = σ Ey t ε z n + 1/ 2 1/ 2 1/ 2 (, 1/ 2, ) 1 n + (, 1/ 2, ) n + Ey i j+ k H i j+ k H z ( i, j+ 1/ 2, k) = σ Ey t ε z a) c) b) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( Ey ( i, j+ 1/ 2, k) Ey ( i, j+ 1/ 2, k) ) 1 y n+ b) ( 1/ 2 n+ = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j+ 1/ 2, k 1/ 2) ) 1 z n+ c) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2, 1/ 2, ) 1/ 2 z i+ j+ k H z ( i 1/ 2, j+ 1/ 2, k) ) (3.75) (3.76) (3.77) (3.78) (3.79) 3.79, 3.80 ve 3.81 denklemlei 3.78 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; n+ 1 σ ( i, j+ 1/ 2, k) δt n δt Ey ( i, j+ 1/ 2, k) = 1 Ey ( i, j+ 1/ 2, k) + ε ( i, j+ 1/ 2, k) ε ( i, j+ 1/ 2, k) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) H ( i, j+ 1/ 2, k 1/ 2) + H z ( i 1/ 2, j+ 1/ 2, k) H z ( i+ 1/ 2, j+ 1/ 2, k) (3.80) 62

78 3.82 eşitliği elde edili z yönündeki elektik alan bileşeni (Ez) j+ 1/2 H j Hy k+ 1/2. yüzey Ez Hy j-1/2 i+ 1/2 H i-1/2 i Şekil 3.19 z yönündeki elektik alan hesabında kullanılan komşu alanla Ez 1 H y H = σ Ez t ε y n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 E (,, 1/ 2) 1 y (,, 1/ 2) z i j k+ H i j k+ H ( i, j, k+ 1/ 2) = σ Ez t ε y (3.81) (3.82) a) b) c) a), b), c) eşitliklei mekezi faklaa göe yazılısa; 1 t n+ 1 n a) = ( Ez ( i, j, k+ 1/ 2) Ez ( i, j, k+ 1/ 2) ) 1 n+ b) ( 1/ 2 n+ = H ( 1/ 2,, 1/ 2) 1/ 2 y i+ j k+ H y ( i 1/ 2, j, k+ 1/ 2) ) 1 y n+ c) ( 1/ 2 n+ = H (, 1/ 2, 1/ 2) 1/ 2 i j+ k+ H ( i, j 1/ 2, k+ 1/ 2) ) (3.83) (3.84) (3.85) 3.85, 3.86 ve 3.87 denklemlei 3.84 denkleminde yeine yazılı ve elektik alanın y yönündeki bileşeni çekilise; 63

79 n+ 1 σ ( i, j, k+ 1/ 2) δt n δt Ez ( i, j, k+ 1/ 2) = 1 Ez ( i, j, k+ 1/ 2) + ε ( i, j, k+ 1/ 2) ε ( i, j, k+ 1/ 2) δ n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 n+ 1/ 2 H y ( i+ 1/ 2, j, k+ 1/ 2) H y ( i 1/ 2, j, k+ 1/ 2) + H ( i, j 1/ 2, k+ 1/ 2) H ( i, j+ 1/ 2, k+ 1/ 2) eşitliği elde edili. (3.86) Yee hüce yapısı incelendiğinde şu noktalaa dikkat edilmesi geeki: He biim Yee hücesinde üç elektik ve üç manyetik alan bileşeni bulunu. He hüce (i,j,k) etiketi ile anılı. Bunla sıasıyla,y ve z deki hüce indisleidi. Zamanda ve konumda ayıklaştıma adımlaı t ve, y, z ti. Yani hehangi bi alan bileşeni için (3.87) anlamına gelmektedi (buada zaman indisi kaışıklığa neden olmaması için n gösteilmemişti. Aslında n zaman adımındaki alan bileşenlei, öneğin - bileşeni E =E şeklindedi.) He ne kada bi hüce içeisindeki altı bileşen de aynı (i,j,k) etiketi ile gösteilse de Şekil 3,1 den göüldüğü gibi, bu bileşenlein hüce yeleşimi faklıdı. Öneğin E (i,j,k) hücenin - kena otasında iken, H z (i,j,k) hücenin y-yüzey otasında bulunu. Yani elektik alanla hüce kenalaında, manyetik alanla hüce yüzeyleindedi. Aynı hücede, elektik ve manyetik alanlaın yeleşimlei gibi, hesaplandıklaı zaman adımlaı da faklıdı. Elektik ve manyetik alanla bibiinden t/2 kada faklı zamanlada hesaplanıla. Elektik alan bileşenlei t=0, t, 2 t, 3 t, vb. adımlaında hesaplanıken, manyetik alanla t= t/2,3 t/2,5 t/2, vb. adımlada hesaplanmaktadı. Böylece, hesaplama bi elektik alanla bi manyetik alanla şeklinde yinelemeli olaak südüülü. 64

80 Aynı hücede belli bi noktada elektik ve manyetik alanlaından söz edebilmek için konumda ve zamanda otalama almak yetelidi. Öneğin alan bileşenleini hüce mekezine ötelemek için manyetik alan bileşeni ] (3.88) lidi. Ancak elektik alan bileşenlei için komşu döt bileşene geek vadı (3.89) Yinelemeli FDTD denklemleinde (Yee,1966), hehangi bi otam üç otam paametesi ile temsil edili. Bunla, dielektik sabiti ε, manyetik geçigenlik µ, ısıl kayıplaı temsil eden iletkenlik σ, dı. Bunladan ε ve σ, elektik alan bileşenleinin hesaplandığı denklemlede, µ ise manyetik alan bileşenleinin hesaplandığı denklemlede göünmektedi. Hücede elektik ve manyetik alan bileşenlei için faklı otam paametelei (ε, σ ve µ) belileneek faklı cisimle modellenebilmektedi. Hacmi içeisinde yüzbinlece hücede, zaman yinelemeli boyunca (V/m) olaak elektik ve (A/m) olaak manyetik alan değelei hesaplanı. Hehangi bi noktada istenilen alan bileşenlei biiktiileek E(t) ve H(t) zaman değişimi elde edilebili. Bu sayede, yapının hem geçici hem de süekli zaman davanışı gözlenebilmektedi. Zaman davanışından da Fouie dönüşümü ile E(f) ve/ veya H(f) fekans davanışı çıkaılabili. FDTD ile hacmi içinde kaynak uygulama poblemi oldukça kolay şekilde çözümlenebilmektedi. Modellenen yapıya ve geçekleştilmek istenen analize bağımlı olaak kaynağın faklı noktalaa ve faklı şekillede uygulanması geekebili. Kaynak tek bi noktada tek bi bileşene uygulanabileceği gibi, biden fazla noktada ve/veya bikaç bileşene de uygulanabili. Kaynak olaak hem sinüzoidal ve dabesel kaynakla kullanılabili. 65

81 FDTD hacmi içindeki tüm hücelede elektik ve manyetik alan bileşenlei hesaplandığı için, yapının hehangi bi noktasındaki geilim veya akım değeini hesaplamak mümkündü. FDTD hesap uzayı üç boyutlu Katezyen koodinat sisteminde X min,, Y min, Z min ile X ma,, Y ma, Z ma düzlemlei aasında kalan dikdötgen uzayı N N y N z adet Yee hücesine bölüneek işe başlanı. Ye adaı modellemesi yapılıken uzak- yakın alan değelei geektiğinden ayıca önlem alınması geeki. FDTD ile modellenen bütün elektomanyetik poblemleinde ele alınan yapı etafında ancak 3-5 dalga boyu mesafe kalı. Yani, FDTD hesap uzayı içeisinde Mawell denklemlei kullanılaak ancak yakın alanla benzeşimi edilebili. Oysa GPR veya anten ışıma diyagamı hesaplaında yapıdan çok uzakladaki (sonsuzdaki) alan davanışlaı geeki. FDTD simülasyonu kada, benzeşimle edilen yakın alanladan- elektomanyetik teoide geçeli eşdeğelilikle kullanılaak uzak alanlaın elde edilmesi de önemlidi. FDTD simülasyonunda yakın alanladen uzak alanlaın elde edilmesi için fekans (Taflove, 1995) ve zaman (Luebbes, 1993) bölgesinde Huygen s eşdeğelik yasası kullanmıştı. Bu yönteme göe FDTD hesap uzayında cismi çeveleyen kapalı sanal bi yüzey üzeinde he hücenin belitilen doğultuda uzak alan katkısı hesaplanı. Bu kapalı sanal yüzeye yakın alan- uzak alan dönüşüm yüzeyi adı veili. Bilgisaya kapasitesine bağlı olaak FDTD hesap uzayı sonlu sayıda hüceden oluşu. Bu sayı bikaç bin olabileceği gibi, bikaç milyon hüce de olabili. Sayı ne olusa olsun he eksende bi maksimum hüce sayısı söz konusudu. Yinelemeli FDTD alan denklemleine bakıldığında bi hücedeki elektik alan bileşenleinin hesabında komşu manyetik alanla ile aynı noktada bi önceki elektik alan değeinin kullanıldığı göülü. Benze duum, manyetik alan bileşenlei içinde geçelidi. Yani (i,j,k) hücesindeki önceki zamanda hesaplanan değele için yine (i+1,j,k), (i,j+1,k),(i,j,k+1),. hüceleindeki değele kullanılmaktadı. 66

82 FDTD algoitmasının, ayıklaştıılması ve kısmi tüevlei sonlu fakla eşdeğeleiyle değiştiilmiş Mawell denklemleinin yinelemeli çözümüne dayanı. Hehangi bi kısmi tüevli denklem sisteminin iki tip çözümü bulunabili. Bunla kapalı ve açık çözümle olaak isimlendiili. Kapalı çözümle, ele alınan poblemdeki bilinmeyen sayısı kada bağımsız denklem kuup poblemi dizey sistemi şeklinde ele almaya dayanı. Sistemin sol taafında bilinmeyenle yöneyi, sağ taafta ise katsayıla dizeyi ve bilinen fonksiyonla bulunu. Katsayıla dizeyinin tesi alınaak denklem sistemi çözülü. Dizey tesinin olması için geek ve yete koşul oluştuulan denklemlein bibiinden linee ağımsız olmasıdı. Bu duumda kapalı çözümle he zaman kaalıdıla. Açık çözümlede yineleme denklemle şeklinde otaya çıka. Dizey tesi geektimediğinden daha kolay ve hızlı hesaplanabili ancak çözümlein kaalı olması bazı koşullaa bağlıdı. 3.4 Yinelemeli Denklemlede Kaalılık Kitei Ayıklaştıılıp sayısallaştıılmış denklemlei elektik (manyetik) alan bileşenleini kendileinin bi önceki anda bulunan değelei ve komşu hüceledeki manyetik (elektik) alan bileşenlei cinsinden yineleme biçimde hesaplanmasına olanak sağla. Yineleme denklemle açık denklem sistemi oluştuulduğundan he zaman sonlu çözümü gaanti etmezle. Veilen denklemlei için konum (, y, z) ve zaman t boyutlaı keyfi seçilmez. Yineleme denklemlein kaalı (sonsuza gitmeyen) sayısal çözümlei gaantilemesi için bu hüce boyutlaı aasında önemli bi ilişki sağlanmalıdı. Couant kaalılık kitei (Taflove 1995 ) denilen bu bağıntı zaman ve konum adımlaı aasında sağlanması geeken ilişkiyi belilemektedi. FDTD yönteminde veilen denklemlein kaalılığı için matematiksel olaak ispat edilmesi oldukça uzun ve kamaşık olan Couant kaalılık şatı tek boyutlu FDTD için (3.90) 67

83 şeklinde tanımlanmaktadı (Taflove 1995 ). Bu denklemden, fiziksel olaak dalganın biim içinde en fazla bi düğüm kada ilelemesi geektiği anlaşılmaktadı. Homojen olmayan otamlada en kötü hal analizi için ışık hızını (c= m/sn) kullanmak yetelidi. Benze şekilde 3D-FDTD için Couant kaalılık kitei; (3.91) olaak belilenmektedi (Taflove 1995). Buada Couant koşulunun sadece kaalılığı sağladığı ancak doğuluğu gaanti etmediğini belitmek geeki. 3.5 FDTD Yönteminde Sayısal Dispesiyon Hüce içindeki elektomanyetik dalgalaın faz hızlaı boşluktaki c hızından faklı değele almaktadı. Bu faklılık fekansa, hüce boyutlaına ve dalga ileleme yönüne göe değişmektedi. Sayısal dispesiyon, FDTD analizinin en önemli konulaından biidi. Özellikle geniş bandlı analizle yapılıken sayısal dispesiyonun etkilei doğuluğa, simulasyonun güveniliğine etkileinin iyi anlaşılması geekmektedi. İletiminde dispesiyon olamaktdı. Basitlik olması açısından iki boyutlu TM tipi poblem üzeinde düzlem dalga iletimine ait aitlik ve sayısal dispesiyon bağıntılaı çıkaılmış ve üç boyutlu dispesiyon bağıntısı ele alınan paametelee bağlı olaak şekillele idelenmişti. Sayısal dispesiyon; benzeşimi edilen sinyal içeisinde en küçük dalga boylu (en yüksek fekansa) bileşenin konumda kaç hüce ile önekleneceğine bağlı bi tanımdı. Zaman-fekans ilişikisi içeisinde bilinenshanon önekleem teoemine çok benzeyen bi tanımdı.shanon teoemine göe bi sinyalin bilgi kaybı olmadan teka elde edilebilmesi için zamanda önekleme hızının içediği en yüksek fekansın iki katı olamsı geeki. Benze 68

84 şekilde FDTD yönteminde sayısal dispesiyon minimum dalga boyu sinyalin kaç konum öneği ile önekleneceğine bağlıdı. Şekil 3.19 da a şıkkında λ min =2 b şıkkında ise λ min =8 ile öneklenmişti. Bu duumda b şıkkında FDTD nin λ min bileşeninin dalga yayılımını daha iyi benzeşim edeceği açıktı. Şekil 3.20 Sayısal dispesiyonun fiziksel youmu İki boyutlu TM tipi poblemde kayıpsız otamda Mawell denklemlei H t X 1 E = µ y 0 Z (3.92a) H t Y 1 = µ 0 E Z (3.92b) E t Z 1 H = ε şeklindedi. Y H y X (3.92c) FDTD yöntemine göe ayıklaştıılan ( ) denklemleinde yeleine konulup geekli düzenlemele yapılısa (3.93) eşitliği elde edilmektedi. (3.93) bağıntısı, TM modu için FDTD algoitmasına ait iki boyutlu sayısal dispesiyon eşitliğidi (Taflove 1995). 69

85 Benze yaklaşımla üç boyutlu FDTD için sayısal dispesiyon bağıntısı (3.94) şeklinde bulunmaktadı (Taflove 1995). Bi düzlem dalga için üç boyutlu kayıpsız otamdaki analitik dispesiyon bağıntısı ise + (3.95) olaak belitilmektedi. (3.92) denkleminde t,, y ve z sıfıa doğu yaklaştıkça (3.92) ve (3.95) bağıntılaı bibiine denk hale gelmektedi. Buna göe eğe zamanda ve konumda FDTD öneklemesi uygun boyutlada yapılısa, sayısal dispesiyonun etkisi istenilen deeceye indiilebili. Eğe değei boşluktaki dalga boyuna göe nomalize edili ve iteasyon sıasında 2π, yani ilgili modun boş uzaydaki dalga sayısı ilk değe olaak alınısa sayısal faz v p için = (3.96) eşitliği elde edili. Buada k final iteasyon sonucunda bulunan değedi. Şekil 3.20 da iki boyutlu FDTD uzayında faklı hüce ezolüsyonalı için sayısal faz hızının α yayılım açısıyla değişim gaiklei göülmektedi (Taflove 1995). Buada sayısal faz hızının he zaman c ışık hızından düşük olduğu ancak dalga boyunu modelleyen FDTD hüce sayısı attıkça v p nin ışık hızına yaklaştığı ve α değeleine daha az bağımlı olduğu göülmektedi. 70

86 Şekil 3.21 Sayısal faz hızının 2D otamda yayılım açısına bağlı değişimi 71

87 Şekil B sayısal dispesiyon (Gedney 1993) 3.6 FDTD Yönteminde Paamete Seçimi FDTD yönteminde önemli unsuladan biisi de uygun paametelein seçilmesidi. Yöntemde bibiini doğudan etkileyen bi çok paamete sözkonusudu. Ele alınan yapıya, geçeklenmek istenen simulasyona ve beklenen sonuçlaa göe bu paametelein adım adım optimize edilmesi geeki. 72

88 Bi çok elektomanyetik poblemde fekans bölgesinde çözümleiyle ilgilenili. FDTD ile edilen zaman bölgesi davanışından Fouie dönüşümü ile fekans davaşı elde edili. Bu nedenle, özellikle Fouie dönüşümünde kaşılaşılan ötüşme ve spektal sızıntı (Akleman 1995) gibi sounlaa kaşı önlem almak zounludu. FDTD simulasyonunda dabesel kaynak kullanılaak geniş fekans bandlaında analiz yapılabili. İlgilenilen band içeisinde en yüksek fekans f ma ve fekans çözünülüğü f, zaman paameteleinin T: gözlem süesi ve t önekleme aalığına bağlıdı. En yüksek fekans ile zamanda önekleme aalığı bibiine (3.97) şeklinde bağlıdı. Göüldüğü gibi fekans analizi açısından paametele keyfi seçilememektedi. İlgilenilen fekans yükseldikçe (Nyquist önekleme hızı) zaman bölgesinde sinyali daha sık öneklemek geekmektedi. Benze şekilde (3.98) olduğundan, daha iyi fekans çözünülüğü için sinyalin zaman bölgesinde daha uzun süe gözlenmesi geekmektedi. FDTD için geekli t zaman adımı patikte ; K>1 (3.99) olaak seçilmektedi (Jenn 1995). Zaman adımı bu şekilde belilendikten sona konum adımı için geeken alt ve üst sınıla iki koşula göe hesaplanmaktadı. Couant kaalılık kiteiyle 3D-FDTD için konum adımı alt sınıı; 73

89 (3.100) şeklinde belilenmektedi (Jenn 1995). ve y boyutlaı için de (3.100) denkleminde z yeine sıasıyla ve y konulmaktadı. Konum adımının üst sınıı, sayısal dispesiyon koşulu hesaplanmaktadı. Konum-sinyal dalga boyu aasında da zaman-fekans ilişkisindeki Shanon önekleme hızına benze bi koşul bulunmaktadı. Konumda seçilen adım uzunluğuna bağlı olaak, sinyal içindeki en küçük dalga boyu, yani en yüksek fekanslı bileşen, konumda en az iki düğüm ile gösteilmektedi. Üç boyutlu ve z adımlaına sahip bi yapıda konumda en uzak iki nokta değeine kada inebilmektedi. 3.7 FDTD Yönteminde Uyama FDTD yöntemi için zaman bölgesinde sonlu ve sınılı fekans spektumlu dalga biçimi uygundu. Ancak, fiziksel olaak bu mümkün değildi, çünkü zaman bölgesinde sonlu bi sinyalin fekans spektumu söz konusudu. Aynı şekilde fekans bölgesinde sınılı bi sinyal de zaman bölgesinde sonsuz olmaktadı. Genel olaak sinyalin zaman bölgesindeki şekli ile fekans band genişliği aasında tes ilişki vadı. Sinyalin süesi zaman bölgesinde kısaldıkça fekans spektumu genişle. Buna göe, hehangi bi f(t) sinyalin etkin süesi (T eff ) ile etkin band genişliği (B eff ) çapımı bi sabite eşitti (Jenn 1995). (3.101) Zaman fonksiyonu f(t) ile bu fonksiyonun Fouie dönüşümü F(w) için etkin süe ve band genişliği tanımlaı 74

90 (3.102) (3.103) şeklindedi. FDTD yöntemi için geniş bandlı kaynak modellemesinde en uygun sinyal, zaman- band genişliği çapımı minimum olan sinyaldi. Bu tip bi sinyalin hem zaman süesi hem de fekans band genişliği oldukça küçüktü.bu sayede Fouie dönüşümündeki ötüşme hatalaı azalmaktadı (Jenn 1995). Teoik olaak zaman- band genişliği çapımı; (3.104) değeini almaktadı (Jenn 1995). Bu koşullaı en iyi sağlayan fonksiyon Gauss dabesidi. Gauss dabesi iki faklı şekilde tanımlanı. (3.105) (3.106) ( ) denklemleinde Gauss dabesi sonsuz süeklidi. FDTD de sonlu değelele çalışıldığı için Gauss dabesi T 0 süeli ve biim genlikli bi sinyalle (p(t/t 0 )) çapılaak sınılandıılmaktadı. Bu şekilde, sonsuz süeli Gauss dabesi zamanda dikdötgen bi dabe ile çapılaak sonlu hale getiilmektedi (Jenn 1995). g(t)=f(t(p(t/t 0 )) (3.107) 75

91 Gauss dabesini zamanda sınılı yapmak için T eff değeini azaltıp B eff i attımaktadı. Ancak uygun T 0 değelei yadımıyla bu değişiklik çok küçük tutulabildiğinden, sınılı Gauss dabesinin T eff ve B eff değelei oijinal Gauss dabesininkilele eşit kabul edilebili. Sınılandıılmış dabenin T 0 değei seçiliken istenen veya ulaşılabili kesinlik değelei göz önüne alınmaktadı. e min, dabenin sıfıdan faklı sayılacağı değe olaak kabul edilise, bu değein altında Gauss dabesinin sıfı olduğu söylenebili ve Gauss dabesi T 0 da g(t 0 /2)=e min (3.108) şeklinde sınılandıılabili (Jenn 1995). Nomalize Gauss dabesinin tepe değeiyle e min aasındaki oanın logaitmik değeine dinamik sını adı veili. (3.109) Şeklinde ifade edilmektedi. Sınılandıılmış sinyalin dabe süesi T 0 istenilen dinamik sınıa bağlı olaak hesaplanabilmektedi. Öncelikle, e min dinamik sını cinsinden e min =10 -Rdyn/20 (3.110) şeklinde tanımlanmakta, buadan ep[-(b eff T 0 /2) 2 ]=10 -Rdyn/20 (3.111) denklemi T 0 için çözüleek (3.112) 76

92 Eşitliği elde edilmektedi (Jenn 1965). Bu denklem yaklaşık olaak (3.113) şeklinde yazılabili. Denklem (3.107) yadımıyla hehangi bi R dyn [db] değei için T 0 süesi hesaplanabili. R dyn =120[dB] olaak veilen bi dinamik sını için e min =10-6 elde edilmektedi; yani Gauss dabesinin genliği 10-6 değeinden küçük olduğunda sıfı kabul edilise dinamik olaak 120[dB] bulunmaktadı. Bu denklem (3.107) denkleminde kullanıldığında (3.114) elde edilmektedi (Jenn,1995). Sınılandıılmış Gauss dabesi nomalde zamanda T 0 /2 kada ötelenmiş olaak yazılmaktadı. Bu sayede dabenin t<0 anlaındaki tüm değelei sıfıa eşit olacağı için nedensellik koşulu sağlanmış olmaktadı. Bu duumda sınılandıılıp ötelenen Gauss dabesi (3.115) ile veili. 120 [db] den büyük R dyn için T 0 =8/B eff seçilise (3.116) olu. 77

93 3.8 Zamanda Ayıklaştıma ve Hata Analizi Gauss dabesinin fekans bandındaki en büyük fekans bileşeni, Shanon önekleme teoemine göe zamanda ayıklaştımayı belilemektedi. Buna göe, (3.97) ve (3.98) da veildiği gibi t 1/2f ma olmalıdı. Gauss dabesinin fekans spektumu da Gauss biçimindedi ve (3.117) şeklinde tanımlanmaktadı. Gauss fekans spektumunun spektal güç yoğunluğu ise (3.118) olaak hesaplanmaktadı. 0<f<f ma aalığında taşınan sinyal gücü, güç spektumunda sinyalin bu aalıktaki entegasyonu ile bulunmaktadı. (3.119) Bu denklemde w ma =2πf ma olaak alınmaktadı. 0<f<f ma bandının dışındaki gücün taşınan güce oanı (3.120) olaak veili. Buada ef( ) hata fonksiyonu, 78

94 (3.121) şeklinde tanımlanı. Sınılandıılmış Gauss dabesinin band içindeki gücüne yaalı sinyal gücü, band dışındaki gücüne ise güültü gücü olaak bakılacak olusa S/N oanı (sinyal/güültü oanı) olaak band içindeki gücün band dışındaki güce oanı alınabili. Eğe f ma =B eff alınısa, bağıntıla yadımıyla S/N =90 [db] bulunmaktadı. f ma =1.2 B eff alındığında ise S/N yaklaşık 130 [db] e ulaşmaktadı. Patikte 120[dB] değeinde sinyal/güültü oanı yetelidi. Bu duumda S/N 120dB f ma 1.2B eff (3.122) bulunmaktadı. 79

95 Şekil 3.23 Gauss tipi kaynak (Gedney 1993) Şekil 3.24 Gauss dabesinin zaman ve fekans davanışı 3.9 FDTD Sistem Geeksinimlei Uygulamalada FDTD yöntemini kullanmaya kaa veiken göz önüne alınması geeken en önemli noktaladan bii FDTD yönteminin pobleme çözüm getiebilecek kapasitede olup olmadığıdı (Sevgi 1999). Zaman bölgesinde çalışıken ilgilenilen en küçük dalga boyu, kullanılacak geometinin boyutlaını belilemektedi. Tutalı sonuçla elde etmek için he FDTD hücesinin bi kenaı ilgilenilen en yüksek fekanstaki dalga boyunun onda bii uzunlukta veya daha küçük olmalıdı. FDTD hücesinin boyutlaı ve hücelein sayısını belilemek için bilgisaya belleğinin ne kada kapasitede olduğunu belilemek temel unsuladan biidi. Toplam hüce sayısı aynı zamanda sistemin kaalı hale gelmesi için geekecek yineleme sayısını da belile (Kunz- Luebbes 1993). 80

96 (3.123) (3.123) denkleminde, FDTD ile incelenen elektomanyetik dalga poblemi için geeken bilgisaya bellek ihtiyacı göülmektedi. Denklemde, FDTD geometisinde kullanılacak olan hüce sayısı N olaak gösteilmişti. Bellekte he hücenin elektomanyetik dalga alan bileşeni değei için 4 byte ve he bileşenin malzeme bilgisi için ise 1 byte ye ayılmıştı (Sevgi, 1999) Bilgisayaın çalışması açısından önemli bi kite olan toplam kayan nokta işlem sayısı (FLOPS: floating point opeations); (3.124) ile veili. Bu denklemde T toplam yineleme sayısıdı. Bi yinelemede hüce başına he bileşen için en fazla 10 işlem yapılacağı düşünülmüştü. İşlem sayısı, he hücedeki bileşenlein malzeme tipine, belli bi yinelemede gelen dalga olup olmamasına ve o hücede yapılacak özel işlemlee bağlıdı (Sevgi 1999). Toplam işlem sayısından yola çıkaak patik bi sistemde algoitmanın çalışmasının ne kada zaman alacağı belilenebili. Öneğin hüce boyutlaındaki bi FDTD uzayında 1024 adımlık bi simülasyon yapılmak istenise, yaklaşık 8 MB bellek geekecekti. Toplam işlem sayısı ise FLOPS olacaktı. 4. ORTAM MODELLEME VE SINIR KOŞULLARI 4.1 Otam Modelleme 81

97 FDTD yönteminde ( ) denklemleinden de göüleceği gibi he hücenin yapısı ε, σ ve µ paametelei ile belilenmektedi. Otamın modellemesi şu şekilde geçekleştiilmektedi. En kolay modellenen otam σ nın sonsuza gittiği PEC otamıdı bu duumda zaman benzeşimi süesince söz konusu noktada elektik alanın teğetsel bileşeni sıfı alını. Kayıplı dieletik malzeme modeli, söz konusu noktanın ε ve σ sı veileek sağlanı. He hüce içeisinde faklı noktalada (E, E y ve E z ) üç elektik alan bileşeni vadı. Bu nedenle he hüce için bu üç noktanın malzemesi de faklı olabili. Uygulama da he hücede he elektik alan bileşeni ayı bi kimlik numaası anılı. Böylece bu alan bileşenleinin olduğu noktala ε ve σ ile modellenebili. Kayıpsız dielektik modellemesinde duum biaz faklıdı. Kayıplı dielektik modelinde olduğu gibi, ε (σ=0 olduğunda) ile otam modelleni. Ancak kayıpsız iki dielektik sınıında veya dielektik-hava geçisindeki noktalada ε=(ε 1 +ε 2 ) /2 şeklinde otalama değe kullanılı. FDTD yönteminde otam modellemesi yanında sını belitilmesi de önemlidi. Uygulamada üç tip sını koşulu kullanılı: Sınıla mükemmel iletken bi malzemeyle kapatılıp sını düzlemleine teğet olan elektik alan bileşenleine sıfı değeinin atanabili. Bu koşul hesap uzayındaki tüm sınılaa çınlayıcı tipi yapıla incelenebili. Sınıla manyetik bi malzemeyle (PMC- pefectly magnetic conducto) kapatılıp sını düzlemleine teğet alan manyetik alan bileşenleine sıfı atanabili. Bu koşul özellikle yapısal simetili poblemlede hacim küçültmek için kullanılı. Simetik yapının tam otasındaki düzlem PMC ile kapatılısa bu düzleme göe simetik olan manyetik alan değelei bibiine eşit olacaktı. 82

98 Açık sını koşulu (Absobing Bounday (ışıma) koşullaı sını düzlemleine uygulanabili. Condition ABC) olaak adlandıılan ışınım 4.2 Yutucu Sını Koşullaı FDTD yönteminde ele alınan elektomanyetik poblemle yapılaı açılaından kapalı bölgelede ve açık bölgelede olmak üzee iki başlık altında toplanabili. FDTD nin uygulanabililiği açısından, kapalı bölgelede soun yoktu. FDTD hacminin sınılaı ele alınan kapalı bölgenin sınılaı ile çakıştıılaak soun gideilmektedi. Çoğu elektomanyetik poblem çözümünde sonu açık yapılala ilgilenmek geekmektedi. Böyle bi duumda, FDTD yönteminden kaynaklanan sınıla geçigenlik özelliğine sahip olmalıdı; yani sınılada açık bölge koşullaı uygulanmalıdı. Teoik dayanağına göe sını koşullaı ya ışıma sını koşullaı (Radiation Bounday Condition- RBC) veya yutucu sını koşullaı (Absobing Bounday Condition ABC) olaak tanımlanmaktadıla. Liteatüde ise genel olaak he iki yöntem için de ABC tanımı kullanılmaktadı. Teoik olaak Z=0, Z=Z ma, Y=0, Y=Y ma, X=0, X=X ma düzlemleinde ışınım koşullaının uygulaması ile sınıladaki yansıma etkisiz hale getiilmektedi. Işınım koşulu elektomanyetik dalganın sonsuza gideken kaynaktan uzaklaştıkça sıfıa gitmesi şeklinde tanımlanmaktadı. Φ(,y,z) elektomanyetik bi dalgayı ifade edecek olusa lim,y,z ± φ(,y,z)=0 (4.1) şeklinde yazılmaktadı. Bu koşul, FDTD için ABC uygulamalaında faklı matematiksel yaklaşımlala geçekleştiilmektedi. 4.3 Tek Yönlü Dalga Denklemlei Belli bi noktada kesilen FDTD uzayında istenmeyen yansımala oluşu. Bu yansımalaın önüne geçmek için FDTD uzayının sınılaında hesap yapılmaz. Bu sını noktalaındaki 83

99 alan değelei iç noktalada hesaplanan değele cinsinden belli bi denkleme uyacak şekilde yazılı. Bu denklemin seçimi yansımala açısından önemlidi. Seçilecek denklem, geiye yansımalaı yok edecek veya en aza indiilecek şekilde olmalıdı. Genelde yapılan; iki yönde dalga iletimini modelleyen dalga denklemini ilei ve gei giden bileşenlee ayııp, gei giden kısmı sıfılamaktadı. (Engquist and Majda 1977) Katezyen koodinatlada FDTD uygulamalaındaki ABC ihtiyaçlaına uygun bi tek-yönlü dalga denklemi teoisi geliştimişledi. Bu teoi, kısmi tüev opeatöleinin çapanlaına ayılması yoluyla açıklanabili. Bunun için öncelikle katezyen koodinatlada iki boyutlu bi dalga denklemi göz önüne alınmaktadı. U skala bi alan bileşenini, c ise dalganın faz hızını göstemek üzee iki boyutlu dalga denklemi, (4.2) ile veilmektedi. Buada kısmi tüev opeatöü (4.3) di. Bu duumda dalga denklemi LU=0 (4.4) şeklinde yazılabilmektedi. L dalga opeatöü LU=L + L - U=0 (4.5) şeklinde çapanlaına ayılabili. Buada (4.6) 84

100 (4.7) (4.8) olaak tanımlanmaktadı. L - (-) yönünde, L + (+) yönünde ileleyen dalgalaa ait opeatöledi. Engquist and Majda (1977), =0 sınıında U dalga fonksiyonuna L - U=0 (4.9) şeklinde L - uygulandığında sınıa doğu hehangi bi α açısıyla gelen bi düzlem dalganın yutulacağı göstemişti. Beze şeklide, = ma sınıındaki düzlem dalga için L + opeatöü aynı sonucu vemektedi. ( ) ile veilen denklemlede L - ve L + zaman ve konum değişkenleine göe difeansiyel opeatöleini içemektedi. Aynı zamanda bu ifadele de kaekök içeisinde olabilmektedi. Bu haliyle opeatöle sayısallaştıılmaya uygun değildi. Kaeköklü ifade L - ve L + yı hem konum hem de zaman değişkenlei içinde yeel olmayan sözde-difeansiyel opeatöle haline getidiği için, ABC olaak kullanılan (4.9) denkleminin doğudan doğuya sayısal hale getiilmesini engellemektedi. Bu soun kaeköklü ifade nomal kısmi difeansiyelleden oluşan bi seiye yaklaştıılaak çözümlenebili ve FDTD uygulamalaında sayısal olaak kullanılacak hale getiebili (Taflove 1995). Veilen L - ve L + opeatölei çok küçük S değelei için (4.10) Şeklinde tek teimli Taylo seisi açınımı ile kullanılabili. S değeinin çok küçük olması, ileleyen dalganın y-eksenine göe olan tüevinin; zamana göe tüevinin ışık hızına 85

101 bölünmesi sonucunda elde edilen değeden çok daha küçük olması anlamına gelmektedi. Bu duumda (4.10) denklemi, (4.6) eşitliğinde kullanılısa (4.11) Elde edilmektedi. (4.10) denklemi (4.9) eşitliği yeleştiilse, =0 sınıı üzeinde sayısal olaak uygulanabilecek olan biince deece (fist-ode) ABC eşitliği, (4.12) olaak bulunu. Benze şekilde (4.6) eşitliğindeki kaeköklü ifade Taylo seisine açılı ve ilk iki teim alınısa daha büyük S değelei için uygun olan (4.13) ifadesi elde edili (Taflove,1995). Bu ifade (4.6) eşitliğinde kullanıldığında + (4.14) elde edili. (4.14) denklemi (4.8) eşitliğinde D t ile çapılaak difeansyel opeatöle kısmi tüevle şeklinde kabul edileek uygulanısa =0 için kinci deeceden ABC ifadesi (4.15) 86

102 şeklinde elde edili. Aynı ifade; = ma sınıında (4.16) y=0 sınıında (4.17) y=y ma sınıında (4.18) olaak elde edili. Benze şekilde 3B duumu için Şeklinde veilen dalga denkleminde tekalanabili. Buada kısmi tüev opeatöü (4.19) (4.20) şeklindedi. L opeatöü denklem (4.6) bağıntısındaki gibi belileyen ve =0 düzleminde yutuculuğu sağlayan L - opeatöünü veecek şekilde 4.5 denklemindeki gibi ayıklaştıılabili. Bu duumda S tanımı 87

103 (4.21) olaak değişmektedi. 3B için biinci deece ABC, iki boyutlu duumda elde edilen (4.12) denklemindeki gibidi. Fakat iki teimli Taylo sei açınımını kullanan ikinci-deece ABC koşulu 3B için faklıdı ve (4.22) şeklinde belilenmektedi. (4.22) denklemi D t ile çapılıp difeansiyel opeatölei kısmi tüevle olaak yazılısa =0 sınıında (4.23) = ma sınıında (4.24) y=0 sınıında y=y ma sınıında (4.25) (4.26) 88

104 z=0 sınıında (4.27) z=z ma sınıında (4.28) olaak bulunmaktadı (Taflove 1995). Geek 2B geekse 3B için elde edilen bu ifadele sonlu fakla yaklaşımı ile ayıklaştıılaak sınılada sağlaması geeken yinelemeli denklemle ulaşılı. 4.4 Mu Tüü ABC Mu (1963) taafından FDTD algoitmasına uygun hale getiilmişti. Üç boyutlu duumda = 0 sınıındaki ABC için sonlu fakla denklemleinin çıkaılması için öncelikle Yee (1996) biim hücesindeki aşağıdaki özellikle göz önüne alınmaktadı. 1) Hüce, he koodinatta o eksene dik bi yüzeyle sınılıdı. Bu yüzeyle (i, j) noktalaından geçmektedi. 2) E elektik alan bileşenlei bu yüzeylee teğet, H manyetik alan bileşenlei ise dik doğultudadı. Uygun FDTD yinelemelei ile bi sonaki hüceye ait elektik ve manyetik alan bileşenlei hesaplanabilmektedi. Ancak sını üzeindeki teğetsel elektik alan bileşenleinin değelei bu şekilde elde edilemez. Çünkü bu bağıntıda sınıın dışaısında ye alan manyetik alan bileşenleine ihtiyaç duyulmaktadı. Bu yüzden açık bölge sını koşullaının, sadece yüzeye teğet elektik alan bileşenlei için elde edilmesi yetelidi (Mu 1963). 89

105 Üç boyutlu duumda = 0 sınıında i = 0 ve j nin değişen değelei için biinci deece Mu ABC E z için çıkaılacak olusa; (4.29) elde edilmektedi (Mu, 1963). İkinci deece Mu ABC ise ( - (4.30) olaak bulunmaktadı. Bu denklemlede = y = z = olaak kabul edilmişti. = ma, y = 0, y = y ma, z = 0, z = z ma sınılaı için biinci ve ikinci deece Mu ABC denklemlei benze şekilde elde edilebili. 90

106 5. MODEL UYGULAMALARI Model uygulamalaı için, Roges Robets taafından 1994 yılında yazılmış olan bilgisaya kodlaı tez kapsamında ele alınan modellee göe bitakım düzenlemele yapılmış ve algoitma Matlab pogamlama diline dönüştüülmüştü. Tez çalışmasında bi-statik anten düzeneği kullanılmıştı. FDTD uygulamalaı 3B otamda küp, küe, dikdötgen pizma ve bou modellei üzeinde geçekleştiilmişti. Ayıca bou modellemesi ile laboatua şatlaında geçekleştiilen faklı çaplı boula üzeinde toplanan 2D geçek veilee ait pofil kesitlei ile kaşılaştıma yapılmıştı. Tez kapsamında FDTD sayısal yöntemindeki tüm hesaplamalada kişisel bilgisaya kullanılmıştı. Antenlein doğultulaı y yönüne paalel hedefi dik kesecek şekilde ölçü alınmıştı. 5.1 FDTD Pogam Algoitması Kamaşık yapılaın elektomanyetik analizinde, zamanda kısa süeli dabesel sinyalle kullanılı. FDTD yönteminde, bulunması amaçlanan hedefin katezyen koodinatlada tanımlanması elde edilen sonuçlada daha etkilidi. Bu nedenle modelleme pogamında katezyen koodinatla tecih edilmişti. Kişisel bi bilgisayada ile aası hüce kullanmak olasıdı. Özellikle yakın alan uzak alan dönüşümü kullanaak bi düzlemde modelle elde edilmek istendiğinde açısal çözünülüğe bağlı olaak, işlem süesi nomal FDTD süesini yüz misliden fazla attıabili. FDTD algoitmasında kullanılan diğe önemli paamete yineleme sayısıdı. Şekil 5.3 de akış diyagamı veilen algoitmada önce hedefin yeleştiileceği FDTD uzayı ile ilgili paametele atanı ve zaman döngüsü başlatılı. Bundan sona yapılacak işlemle zaman adımlaında döngü içinde tekalanı. 91

107 Şekil 5.1. FDTD akış diyagamı FDTD döngüsü içinde he hüce için önce E, E y, E z elektik alan bileşenlei hesaplanı. Bulunan elektik alan değeleinin yadımıyla 3B FDTD hesaplama uzayının altı yüzeyi için açık bölge sını koşullaı (ABC) geçekleştiili. Açık bölge sını koşullaı için he sını yüzeydeki teğetsel elektik alan bileşenlei kullanılı (bkz. Bölüm ). FDTD uzayı içeisindeki bütün hücelede elektik alan hesaplanıp, sını yüzeylede ABC uygulandıktan sona manyetik alan bileşenleinin hesabı yapılı. Manyetik ve elektik alanlaın hesaplandıklaı zamanla aasında t/2 kada fak olduğu için önce zaman adımı t/2 kada atıılı ve H, H y, H z manyetik alan bileşenlei hesaplanı. Döngü bu şekilde devam ettiili. Pogamda hesaplanılan elektik alan değeleinin yazdıılmasıyla pogam sonlandıılı. 92

108 Algoitma içeisinde, ana pogama bağlı beş tane alt pogam vadı. FDTD algoitmasında kullanılan alt pogamlaın isimlei Şekil 5.4 de veilmişti. Alt pogamlaın işlevlei ise sıasıyla, antcalcs3 : Bu alt pogam FDTD model kullanılan anten geometisini oluştuan 2 boyutlu anten dizileini vei. cylcalc: bu alt pogam gömülü bi küenin 3 boyutlu dizilei üeti. fdmenu : Bu pogam ana ve alt pogamlada kullanılan paametelei içei. fdtd3d : 3-D FDTD modelleme pogam kodu. Pogamın çalışması boyunca fdtd.pa dosyasından ikili paametelei oku. Yutucu Sını Koşullaı Mu, IEEE Tans. Elect. Comp,v,23 no.4 yayılma kodu Ph.D tez U.C.Bekley YEE,IEEE Tans. Ant&Pop, v,14 no3 makaleleine göe uyalanmıştı. Hücelein kesişinde havada sıfıa atanmış. Ez li 4 gid hücesini kullanaak 4- E Alanı (E, Ey bunla) bileşenlei paaleldi; Böylece hattın kaakteistik empedansı 376.7/4= ohm değeindedi. Elektiksel geçigenlik ve/veya manyetik geçigenlik değiştiileek hattın empedansı atıılabili veya azaltılabili. pipcalc3 : Bu pogam gömülü bounun geometisini tanımlayan 3 boyutlu dizilei üeti pofpat : fdtd3d ana pogamın çalışması boyunca elde edilen veilein adyal ac ın, y ve z koodinatlaının bi boyutlu dizileini üeti. sphcalc.c : Bu pogam gömülü bi silindiin geometisini tanımlayan 3 boyutlu dizilei üeti. 93

109 Şekil 5.2 FDTD algoitmasında kullanılan ana pogam ve alt pogamla 94

110 5.2 Küp Modeli Tüm uygulamalada cm boyutlaına sahip 3B alan kullanılmıştı. Küp modelinde bu alan içine cm, cm ve cm boyutlaında küple yeleştiilmişti (Şekil 5.3 ). Model hesaplamalaında mekez fekansı 200 MHz olaak belilenmişti Otam paametelei ε =5.5 ve µ=1 S/m ve σ=0 S/m di. Küple 1m deinliğe gömülmüş ve antenlein konumu m hedefin konumu m olaak ele alınıp modelleme geçekleştiildi. Otamın hızı 0.12 m/sn veildi. Model uygulamasında = y= z=0.02 m ve t=0,31250 ns olaak belilenmişti. Modelinin di elektik sabiti ε =80 iletkenlik σ=0.063 S/m ve manyetik geçigenlik µ=1 seçilmişti. 5.3 FDTD modelinde kullanılan küp modeli 95

111 A B C D E Şekil cm küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 96

112 A B C D E Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 97

113 A B C D E Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 98

114 A B C D E Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 99

115 A B C D E Şekil cm boyutundaki küp modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 100

116 A B C D E Şekil cm küp modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 101

117 Faklı boyutladaki küp modeline ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Modelde y doğultusuna ait ada kesitleinde küplein büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi (Şekil ) Küple, küplei dik kesen pofille üzeinde (Şekil ), küp anomalilei saçılma hipebolü olaak küp boyunca olan pofille üzeinde (Şekil ) ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. Küplein konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil de küplein konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. 102

118 5.3 Küe Modeli Bu uygulamada cm boyutlaına sahip bi alan içine yeleştiilen 1 cm, 4 cm, 8 cm, 10 cm, 50 cm boyutlaında faklı çaplada küe modellei yeleştiilmişti Modelimizde = y= z=0.02 m ve t= ns olaak belilenmişti. Alıcı ve veici anten alanın tam mekezine m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasından geçtiği düşünüleek pogam çalıştııldı. Küe modelinin antenin mekez fekansı 200 MHZ değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Bu model uygulamasında otamın hızı v=0.12 m/sn alınmıştı. Küele 1.5 m deinliğe gömüldüğü gömülmüştü. Şekil 5.11 FDTD modelinde kullanılan küe modeli 103

119 Faklı çapladaki küe modelinde 1, 1.5 ve 1.75 m deinlikleine gömülmüştü. Modelde kullanılan paametele aynı tutulmuştu. Üç faklı deinlik için elde edilen adagamla şekil 5.24 ve 5.25 de gösteilmişti. Kullanılan modelde 1cm, 10cm ve 50 cm çaptaki küele kullanılmıştı. Şekil 5.12 FDTD modelinde kullanılan faklı çaplaa sahip küe modeli 104

120 A B D C E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 105

121 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 106

122 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 107

123 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 108

124 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 109

125 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 110

126 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 111

127 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 112

128 A B C D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 113

129 A C B D E Şekil cm boyutundaki küe modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 114

130 Faklı boyutladaki küe modeline ait hipebollein kollaının genişlediği ve hipebolün tepe kısmının yayvanlaştığı anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Modelde y doğultusuna ait ada kesitleinde küelein büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi (şekil ). Küe anomalilei saçılma hipebolü olaak küe boyunca olan pofille üzeinde ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. Küplein konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil 5.12-, 5.21 de küelein konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. Elde edilen adagamla incelendiğinde aynı mekez fekans, aynı dielektik katsayısı ve aynı iletkenlik değei kullanıldığında gözlenmişti. 115

131 Şekil a cm boyutundaki küe modeline b cm boyutundaki küe modeline c cm boyutundaki küe modeline ait, ve y pofil kesitlei 116

132 Modelinde faklı çaplada ve faklı deinliklee gömülmüş küe modeli ele alınmıştı. Elde edilen adagamlada incelendiğinde çapla azaldıkça hipebollein daaldığı ve alt ve üst yüzeylede yansımalaın daha aktif olduğu gözlenmişti. Küelein deinlik ve konumu milimetik hatalala yaklaşık olaak uyumlu olduğu belilenmişti. 5.4 Dikdötgen Pizma Modeli Bu uygulamada cm boyutlaındaki bi otam içine yeleştiilen cm, cm boyutlaında ve faklı dielektik ve iletkenlik değeleine sahip dikdötgen pizma yeleştiilmişti. = y= z=0.02 m ve t= ns olaak belilenmişti. Pizma kutu 1.5 m deinliğe gömülüdü. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam yüütülmüştü. Antenin mekez fekansı 200 MHz değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Otamın hızı v=0.12 m/sn alınmıştı. Şekil 5.23 FDTD modelinde kullanılan kae pizma modeli 117

133 A B C D E Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E kesitlei 118

134 A B C D E Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E kesitlei. Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 119

135 A B C D E Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei. 120

136 A B C D E Şekil cm boyutundaki pizma modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 121

137 A B C D E Şekil cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil 122

138 A B C D E Şekil cm boyutundaki ve ε = 80 ve σ=0.063 S/m pizma modeline ait,y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 123

139 Elektomanyetik dalgala zamanla değişen elektik ve manyetik alan bileşenleinden oluştuğundan, içinden geçtiklei otamlaın faklı fiziksel özellikleinden etkilenile. Bu önemli fiziksel özellikleden dielektik geçigenlik ve iletkenlik olup, ada dalgalaının yayınımını etkileyen en önemli paameteledi. Elde edilen adagamla incelendiğinde, modeli tanımlanan paametelein değişimiyle hipebolün değiştiği gözlenmektedi. Dielektik sayısı ve iletkenlik değei attıkça hipebolün kollaının daaldığı ve hipebolün tepesinin yayvanlaştığı gözlenmektedi. 200 MHz mekez fekansı kullanıldığından hedefin üst ve alt yüzeyleinden yansımala oluşu. Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. pizmanın konumu için tek değeli (,y,z) koodinatı belileniken boulaa ait hipebollein tepe noktası dikkate alını. Şekil 5.27, 5.28, 5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.33 de pizmanın konum değelei için veilen deinlik seviyesi ada kesitleinde milimetik hatalala bilikte, yaklaşık uyumlu olduğu gözlenmektedi. 124

140 5.5 Silindi Modeli Bu uygulamada cm boyutlaına sahip 3B alan içine 20 cm ve 100 cm boyutlaında silindile yeleştiilmişti. Bu model uygulamasında = y= z=0.04 m ve t= ns olaak belilenmişti. 1.5 m deinliğe gömülü olduğu vasayılmıştı. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine 0.60 m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam yüütülmüştü Silindi modelinde dielektik sabiti ε =1.0, iletkenlik σ=0 S/m ve manyetik geçigenlik µ=1 seçilmişti. Antenin mekez fekansı 100 MHz değeine göe hesaplama yapılmış ve faklı düzlemlee ait ada kesitlei elde edilmişti. Şekil 5.30 FDTD modelinde kullanılan silindi modeli 125

141 Şekil o, 30 o, 45 o, 60 o, 90 o eğimli silindi modeline ait ölçüm düzeneği 126

142 A B C D E Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 127

143 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 15 o eğimli silindi modeline ait,y doğultusuna ait ada kesitlei 128

144 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 129

145 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 130

146 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 30 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 131

147 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 132

148 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 133

149 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 45 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 134

150 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 135

151 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o y doğultusuna ait ada kesitlei deece eğimli silindi modeline ait, 136

152 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 60 o eğimli silindi modeline ait, z doğultusuna ait ada kesitlei 137

153 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei 138

154 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 139

155 Şekil cm boyunda ve 20 cm çapındaki 90 o eğimli silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 140

156 a) b) c) Şekil a. faklı açılı silindi modeline ait, doğultusuna ait ada kesitlei, b. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei, c. faklı açılı silindi modeline ait, y doğultusuna ait ada kesitlei 141

157 Bu uygulamada aynı paametele kullanılaak faklı eğimlede 3B alan içine yeleştiilen silindi modeli ele alınmıştı. Silindi faklı açılada yeleştiileek model üzeindeki etkisi aaştıılmıştı. Elde edilen adagamla incelendiğinde aynı ölçüm düzeneğine ve aynı paametelee sahip modellein faklı açılaa göe hipebolün tepe noktasının kaydığı ve ada dalgalaının faklı vaış zamanlada geldiği göülmüştü. Bu model çalışmasında modelde faklı açılada yeleştiilmesinde modelin konumunu ve deinliğinin otaya konulmasında ne kada etkili olduğu gösteilmişti Bou Modeli Bu uygulamada m boyutlaına sahip bi kutu içine yeleştiilen 20 cm çap ve 1 m boyuna sahip bi bou modeli ele alınmıştı. Bu modelleme de faklı dielektik ve iletkenlik değelei veilmiş ebatlaı aynı alınaak paametelein model üzeindeki etkilei incelenmişti (şekil ). Şekil 5.49 ve şekil 5.50 de ε =1.0 ve σ=0 S/M, Şekil 5.51 ve 5.52 de ε =8.0 ve σ=0 S/M, Şekil 5.53 ve 5.54 de ε =8.0 ve σ=0.063 S/M, değele veilmişti. Daha sona yine faklı çap ve boyutladaki boula 3B alan içine yeleştiileek faklı boy ve çaplaın model üzeindeki etkilei incelenmişti. Şekil 5.55 ve 5.56 da 30cm çapında ve 150 cm boyunda bi bou, şekil 5.57 ve 5.58 de 20 cm çapında ve 50 cm boyunda bi bou ve şekil 5.59 ve 5.60 de 30 cm ve 100 cm boyunda bi bou yeleştiilmişti. = y= z=0.04 m ve t= ns olaak belilenmişti. 1 m deinliğe gömülü olduğu vasayılmıştı. Alıcı ve veici anten kutunun tam mekezine m yeleştiilip gömülü modelin tam mekez noktasında geçtiği düşünüleek pogam çalıştııldı. Bou modelinin antenin mekez fekansı 500 MHZ değeine göe hesaplama yapılmış ve ve y doğultulaına ait ada kesitlei elde edilmişti. 142

158 Şekil 5.47 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 143

159 Şekil 5.48 ε = 1.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil kesitlei 144

160 Şekil 5.49 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 145

161 Şekil 5.50 ε = 80.0 ve σ=0 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 146

162 Şekil 5.51 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 147

163 Şekil 5.52 ε = 80.0 ve σ=0.063 S/m bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 148

164 Şekil cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 149

165 Şekil cm çapında ve 150 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 150

166 Şekil cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 151

167 Şekil cm çapında ve 50 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 152

168 Şekil cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 153

169 Şekil cm çapında ve 100 cm boyunda bou modeline ait, y yönündeki A, B, C, D ve E pofil doğultulaına ait ada kesitlei 154

170 Bu uygulamada faklı dielektik ve iletkenlik değelei değiştieek model üzeinde etkilei incelenmişti. Şekil 5.49, 5.50, 5.51, 5.52, 5.53, 5.54 de gösteilen adagamlada paametelein değişimlei önemli ölçüde etkilediği göülmüştü. Model yapı ile yapının içinde bulunduğu otamın bağıl dielektik geçigenlik değelei aasındaki fakın atışı, daha yüksek genlikte ada yansımalaının oluşmasını sağlamaktadı. Bunun yan sıa söz konusu bu atış, yapay adagamlada tekalı yansımalaın otaya çıkmasına da neden olmaktadı. Bu etkile adagamlaı daha kamaşık bi hale getimekte ve bu duum adagamlaın yanlış youmlanmasına da yol açabilmektedi. Ayıca, ada dalgalaının ilelediklei otamın bağıl dielektik geçigenlik değeindeki atış da, ada dalgalaının otam içinde yavaşlamasına neden olmakta ve ada dalgalaının vaış zamanlaını etkilemektedi. Rada dalgalaının iletimini etkileyen diğe önemli bi paamete de elektik iletkenlikti. Çalışmala; kullanılan model yapılaın elektik iletkenlik değeindeki atışa koşut olaak, yapının üst yüzü ile gömüldüğü otamın aa yüzünden daha beligin yansımala oluşmakla bilikte, yapının alt yüzeyinden hehangi bi yansıma oluşmadığını otaya koymuştu. Bu duum otamlada elektik iletkenliğe koşut olaak otaya çıkan sönümlenme ile ilişkili olmaktadı. Bağıl manyetik geçigenlik değelei üzeinde yapılan incelemele ise, bağıl manyetik geçigenlik değeinin atışı ile bilikte yapı ile otam aayüzeyindeki yansımalaın genlikleinin önemli ölçüde değiştiğini göstemişti. Bağıl manyetik geçigenlik değeleindeki değişimle model ile onu çeveleyen otam aasındaki aayüzeyleden oluşan yansımalaı daha da beliginleştimektedi. Model yapının bağıl manyetik geçigenlik değeinin atışı, yapının alt yüzeyinden yansıyıp yeyüzüne dönen ada dalgalaının yüzeydeki alıcıya daha geç ulaşmasına ve yapay adagamladaki tekalı yansımalaın beliginleşip, atmasına neden olmaktadı. Bu duum, yüksek manyetik geçigenlik değeine sahip otamladan elde edilecek adagamla üzeinden yapılacak youmlada mutlaka göz önünde bulunduulmalıdı. Rada modellemesinde elde edilen ada yanıtlaının niteliğini, model yapılaın sahip olduklaı fiziksel özelliklein yanı sıa, bunlaın geometik özelliklei de belilemektedi. Model yapı boyutlaındaki atış, yapının belilenebililiğini attımaktadı. Benzetim modelleinde ada yanıtlaını etkileyen bi diğe önemli geometik paametenin de yapının gömülü bulunduğu deinlik olduğu göülmektedi. Sığ deinlikledeki model yapıla daha 155

171 beligin yansımala üetiken, yapı deine ötelendiğinde yansıma hipebollei zayıflamakta ve tanımsallıktan uzaklaşmaktadı. Bu duum deinlikle ada dalgalaının sönümlenmesinden ve daha az ada enejisinin deine ulaşmasından kaynaklanmaktadı. Modelleme çalışmalaı hipebol biçimlenmesinde model yapının şeklindeki değişimin de yanıtlaı etkilediğini göstemişti. 5.6 Faklı Büyüklükteki Boula Üzeinde Toplanan Geçek Veile İle Fdtd Modellein Kaşılaştıılması Deneylede 1.6 GHz kapalı anten, 9898 cm 2 iç alana ve 40 cm iç deinliğe sahip tahta kasa ve otam malzemesi olaak kuu kum kullanıldı. FDTD algoitmasından elde edilen ada kesitleiyle deneyleden elde edilen adagamla iki boyutlu (2B) ve üç boyutlu (3B) göüntüleneek boulaa ait saçılma hipebolleindeki faklılıkla konumsal, fiziksel ve büyüklükleine göe kaşılaştııldı. Gömülü boulaın kaakteistik özellikleini ve büyüklükleini otaya koymak amacıyla laboatua koşullaında deneyle yapıldı. Deneylede kullanılabili iç boyutu yönünde 98 cm, y yönünde 98 cm ve z yönünde 40 cm deinliği olacak şekilde tahta kasa dizayn edildi (Şekil 5.62). Kasa içi, otamı temsil eden kuutulmuş ince kum ile dolduuldu ve üç faklı çapta demi ve plastik boula kullanılaak üç faklı deney geçekleştiildi. Üç deneyde de ekseni gömülü boulaa dik olan eksen, y ekseni gömülü boulaa paalel eksen ve z ekseni kasanın deinlik ekseni olaak seçildi. 156

172 y z Şekil 5.61 FDTD algoitmasında ve deneylede kullanılan kasa ve,y,z boyutlaı 157

173 Vei Toplama Tüm deneylede vei toplama aşamasında, gömülü boulaa paalel ve dik olmak üzee 11 cm aalıklala ve y yönünde sekiz pofil aydınge kağıdına işaetlendi (Şekil 5.63). Pofil yönlei ve aalıklaı işaetlenen aydınge kağıdı boulaın gömüldüğü içi kuu kum ile dolu kasanın üzeine yeleştiileek pofille üzeinde veile toplandı. Deneylede, RAMAC CUII ada sistemi ve bu sisteme uyumlu, duyalılığı m ve antenle aası mesafe 0.05 m olan 1.6 GHz kapalı anten kullanıldı. He pofilde ölçüm aalığı m, kayıt süesi 9 ns ve zaman önekleme aalığı ns olaak alındı. Sekil 5.62 Deneylede kullanılan kasa üzeindeki pofille ve doğultulaı, 158

174 Deney 1 (Demi Boula) İlk deney üç faklı çapta aynı boyda demi boula kullanılaak yapıldı. Demi boulaın çaplaı sıasıyla 10.5 cm, 7 cm ve 5 cm olup, boylaı ise 50 cm di. Boula kasa içine büyük çaplı demi boudan küçük çaplı demi bouya doğu yeleştiildi (Şekil 5.64 a). Üç demi bou kasanın üst seviyesine göe 2B ada kesitleinde fakı yakalayabileceğimizi gömek için ikişe cm aalıklala 14 cm, 16 cm ve 18 cm deinliğe gömüldü. Boulaın -y ve -z konumlaı ayıntılı olaak Şekil.64 ab ve c de gösteilmektedi. Boula aasındaki mesafe 20 cm, büyük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe 20 cm, küçük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe ise 15.5 cm olaak dizayn edildi (Şekil 5.64 b). Boulaın başlangıç noktası kasa kenaından y eksenine göe 23 cm, bitiş noktası ise 73 cm içeidedi. Bitiş noktasının kasanın diğe kenaına uzaklığı 25 cm di (Şekil 564 c). Demi boulaa büyük çaplıdan küçük çaplıya doğu 1, 2, 3 olaak numaalandııldı. 159

175 Şekil a.faklı çaptaki demi boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 160

176 1 2 3 Şekil 5.64 Faklı çapladaki demi bounun ekseni yönünde a. FDTD ve b. deneyle sonuçlaından elde edilen kesitlei (adagamlaı) 161

177 Deney 2 (Plastik Boula) İkinci deneyde yine aynı amaçla faklı çaplada plastik boula kullanıldı. Boulaın çaplaı sıasıyla 10.5 cm, 7 cm ve 5 cm, boylaı ise 54 cm di. Kasa içindeki sıalama - y koodinatına göe büyük çaplı boudan küçük çaplı bouya doğudu (Şekil 5.66 a). He üç plastik bou kasanın üst seviyesine göe 13 cm deinliğe gömüldü. Boulaın -z konumlaı şekil 3b de veildiği gibi boula aası mesafe 20 cm, büyük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe 20 cm, küçük çaplı bou ile kasanın kenaı aasındaki mesafe ise 15.5 olaak düzenlendi (şekil 5.66 b). y ekseni yönünde boulaın başlangıç noktası y=0 noktasındaki kasa kenaından 19 cm içeidedi. Boulaın bitiş noktası ile kasa kenaı aasındaki mesafe ise 23 cm di (Şekil 5.66 c). Plastik boulaa büyük çaplıdan küçük çaplıya doğu 4, 5, 6 olaak numaalandııldı. 162

178 Şekil a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 163

179 Şekil 5.66 Faklı çapladaki plastik bounun FDTD ve deneyle sonuçlaından elde edilen adagam kesitlei 164

180 Deney 3 ( Demi-Plastik Bou ) Üçüncü deneyin amacı aynı çaptaki ancak faklı özellikteki iki bounun anomali faklılıklaını aaştıaak bou kaakteistik özelliliğini otaya koymaktı. Bu amaçla deney 1 ve deney 2 de kullanılan büyük çaplı demi ve plastik boula kasa içinde 7 cm deinliğe gömüldü. Boulaın çaplaı eşit 10.5 cm, boylaı ise 54 cm, 50 cm di (Şekil 5.68a). Buna göe boulaın kasa içindeki yönünde boula aasındaki mesafe 23 cm di. Boula ile kasa kenalaı aasındaki mesafe 27 cm di (Şekil 5.68b). Kasanın kenaı ile boulaın başlangıç noktası y yönünde demi için 21 cm, plastik için 25 cm di. Boulaın bitiş noktası ile kaşı kena aasındaki mesafe ise 23 cm di (Şekil 5.68c). Deney 1 ve 2 deki gibi demi bou 1, plastik bou 4 olaak numaalandııldı. 165

181 5.67. a. Aynı çaptaki demi ve plastik boulaın kasa içindeki yaı gömülü göüntülei, b. Demi, plastik boulaın kasa içinde -z konumlaı, c. Kasa içinde -y konumlaı, 166

182 FDTD algoitmasına deneylede kullanılan aynı modelle ve modellein paametelei değiştiilmeden algoitma çalıştıılmıştı. Deneyleden elde edilen ada kesitlei ve FDTD algoitmasında elde edilen ada kesitlei şekil 5.69 da gösteilmişti. Şekil 5.68 Demi ve plastik bou modelinin FDTD algoitmasından ve deneyleden elde edilen ada kesitlei 167

183 Biinci ve ikinci deneylede aynı özellikte faklı çapladaki boulaa ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı. Deneyde ise aynı çapta faklı özellikteki boulaa ait anomali faklılıklaı otaya çıkaıldı Pofil boylaının kasa uzunluğundan daha faklı olmasının nedeni kasa içine yeleştiilen antenin boyu kada olan kayıptı. Bu nedenle konum değelendiilmeleinde bu duum dikkate alınmalıdı. Yapılan pofil ölçümleine göe boulaı dik kesen doğultusundaki pofillee ait ada kesitlei (Şekil 5.65) boulaın büyüklük faklaını otaya koyduğu göülmektedi. Boula, boulaı dik kesen pofille üzeinde (Şekil 5.67), bou anomalilei saçılma hipebolü olaak, boula boyunca olan pofille üzeinde ise yansıma anomalisi olaak göülmektedi. Şekil B kesitlee göe üç faklı çaptaki demi bou değelendiildiğinde ilk gözlenen anomalilein çok net olması, saçılma anomalileinin çok geniş bi alanda gözlendiğidi. Bunun nedeni, demiin EM dalga hızının çok düşük olması (0.017 m/ns) ve otamın yüksek (0.2 m/ns) EM dalga hızına sahip olmasıdı. Bu duumda EM dalgası için yansıma katsayısı; V2 V ε 1 1 ε 2 R= = V V (4.1) + ε + ε değeini negatif değede atımaktadı. Buada, V 1 kuu kuma, V 2 boulaa ait EM dalga hızı, ε 1 kuu kuma, ε 2 boulaa ait dielektik katsayısıdı. Aynı şekilde Şekil 5.67 de veilen 2B kesitlee göe üç faklı çaptaki plastik bou anomalilei değelendiildiğinde aynı genlik kazanç fonksiyonu ile vei göüntülenmesine ağmen saçılma genlikleinin demi bou anomalileine göe daha zayıf olduğu gözlenmektedi. Bunun nedeni, plastiğin EM dalga hızının yaklaşık 0.16 m/ns, otamı temsil eden kuu kumun 0.2 m/ns olması ve buna bağlı olaak yansıma katsayısı değeini azaltmasıdı. Deneylee ait kesitlede hem demi hem de plastik boulaın EM dalga hızının otamı temsil eden kuu kumun EM dalga hızından daha düşük olmasından dolayı saçılmala negatif polaitededi (Şekil 5.65, 5.67 ve 5.69). Genlik skalasından dalganın polaitesi gözlenebilmektedi. 168

184 6. SONUÇLAR VE TARTIŞMALAR Jeofizik çalışmalada yöntemlein poblemle üzeindeki başaısını test etmede modelleme çalışmalaı sıkça kullanılmaktadı. Bu tez çalışmasında fiziksel ve geometik paametelei belli ye altı modellei FDTD yöntemi kullanılaak yüksek fekanslı elektomanyetik dalga alanı incelenmişti. Mühendislikte, hehangi bi fiziksel sistemin matematik modellenmesi sonucu elde edilen kamaşık veya analitik çözülemeyen denklemlein çözümünde kullanılan sayısal yöntemle, son yıllada özellikle bilgisaya alanındaki gelişmelee paalel olaak atmıştı. Sayısal yöntemledeki gelişmele teoik ve deneysel çalışmalaa da kolaylık getimiş, bilimsel çalışmalaa zaman ve ekonomik bakımdan katkı sağlamıştı. Sayısal yöntemle, fiziksel olaylaın matematiksel modelleinin çözümünde ve bilgisaya benzetimleinin geçekleştiilmesinde de büyük destek sağlamıştı. Elektomanyetik dalga poblemleinde de yoğun olaak sayısal yöntemle kullanılmaktadı. Bunla, İletim hattı matisi (TLM), Paabolik denklem (PE), Moment yöntemi (MoM), Zamanda Sonlu Fakla yöntemi (FDTD) vb. pobleme özgü özel sayısal yöntemle olabileceği gibi, ilgili alanlada oldukça geniş poblem guplaına uygulanabilen sayısal yöntemle de kullanılmaktadı. Bu tez çalışmasında zaman otamında sonlu fakla yöntemi ele alınmıştı. FDTD yöntemi, Mawell denklemleindeki kısmı tüev opeatöleinin mekezi faklaa dayalı sonlu fakla kaşılıklaı ile değiştiilip, doğudan zaman ve konum bölgesinde sayısallaştıılmasına dayanı (Yee 1966). Bu çalışmada Gauss dabesi gibi kısa süeli sinyalle kullanılaak geometik şekilli gömülü nesnele FDTD yöntemi ile modellenmişti. Bunun için MATLAB pogamlama dilinde bi algoitma geliştiilmişti. FDTD yöntemlede kullanılan paametele, model ağı, otam paametelei ayıntılı olaak incelenmişti. Özellikle FDTD yönteminin doğuluğunun atıılması ve denklemleinin çözümünde kullanılan sını şatlaının, çözüme tam olaak yansıtılması için hesaplama ağında doğu tasalanması modelleme için oldukça önemlidi. Buada FDTD için en fazla kullanılan ABC sını şatı kullanılmıştı. 3B 169

185 modellemede diğe bi soun ise kullanılan paameteledi. Model ağına uygun olaak seçilmesi geekmektedi. Diğe bi poblem ise bu paamete seçimleine bağlı olaak hesaplama maliyetinin çok yüksek olması ve çok yüksek düzeyde bilgisaya belleğine geeksinim duyulmasıdı. Yapılan modelleme çalışmalaında m boyutlaına sahip bi otam içine otam paametelei faklı geometik şekilli nesnele yeleştiilmiş ve hesaplamala için 200 MHz anten kullanılmıştı. İlk modelde 111 m, 222 ve m boyutlaındaki küple ele alınmıştı. FDTD algoitmasında,y ve z yönünde elektik alan değelei elde edilmişti. Elde edilen sonuçla ada kesitleinde gösteilmişti. Rada kesitleinde göüldüğü gibi küpün konumu, deinliği ile ilgili bilgilein otaya konulabililiği ispatlanmıştı. Modele üzeinde faklı pofillee ait özellikle y yönlü adagamlada hipebolun tepe bölümünde küp büyüklüğüne uygun yansımala vediği göülmüştü. Otamın dielektik ve iletkenlik değei ve küe modelinin boyutlaına bağlı olaak hipebollede mavi enk negatif genlik kımızı enk pozitif genlik olaak belilenmişti. İkinci modelde faklı boyutlaında pizma modellei ele alınmıştı. Kaynağı modelimizin tam mekezine göe yeleştieek sonuçla elde edilmişti. Radagamla üzeindeki modeli yansıtan hipebol boyutlaının değişimlei incelenmişti. Üçüncü modelde aynı çap ve boylaa sahip silindi modelinin faklı açıladaki konumlaı ele alınmıştı. Model üzeindeki adagamla incelendiğinde silindiin beliteci olan hipebollein açılaın değelei ile oantılı olaak kaydığı gözlendi. Dödüncü modelde faklı çaplada aynı otam içine yeleştiilen küe modeli idelenmişti. Küelee ait hipebolla incelendiğinde yaıçap değeleinin atmasıyla hipebollein genişlemesi şeklinde kendini göstemektedi. Son olaak ye adaı yöntemi (GPR) ile gömülü faklı özellikte ve çaptaki bou modeli laboatua deneylei sonuçlaı ile geçek model paametelei kullanılaak FDTD algoitması sonuçlaı incelenmiş, benzelikle ve faklılıkla aaştıılmıştı. Deneyle, 170

186 modellemele ve kaşılaştımalaı sonucunda bou özelliğinin ise he zaman kolaylıkla belilenemediği gözlenmişti. Ayıca FDTD modellenmesinde de gömülü boulaın konumlaı ile bilikte tespit edilebileceği ve büyüklüklei hakkında bilgi veilebileceği otaya konulmuştu. 171

187 KAYNAKLAR Anonymous Suface mount RF schottky baie diodes: HSMS-282 seies. Technical Data Akleman F. Özyalçın M.O. Sevgi L RSY Modelleme and Radaa Göünmeyen Hedef Tasaımı 2000 li Yıllada Uzay Havacılık and Savunma Teknolojileinin Önceliklei Sempozyumu Cilt 2 İstanbul. Allen M. B. Isaacson E. L Numeical analysis fo applied science. John Aloglu S Zemin Etüdü Sondaj Bulgulaının Sismik and Ye Radaı Gibi Tekniklele Kaşılaştıılması Annan A.P Gound penetating ada wokshop notes. Sensos&Softwae. Annan A. P. and Davis J. L Impulse ada applied to ice thickness measuements and feshwate bathymety. Geological Su andy of Canada Repot of activities Pape 77-1B pp Annan A.P Uses and techniques of gound penetating ada in nea-suface geophysics. SEG. Afken G. B. and Webe H. J Mathematical methods fo physicists 4th edition. Academic Pess. Balanis C. A Advance engineeing electomagnetics John-Wiley & Sons. Basson U Mapping of moistue content and stuctue of unsatuated sand layes with gound penetating ada. Thesis submitted fo the degee of maste of Sciences in Geophysics Octobe 1992 Tel-Aviv Uni andsity Raymond and Be andly Sackle Faculty of Eact Sciences Depatment of Geophysics and Planetay Sciences 80 p. (in Hebew with English abstact). Basson U Imaging of acti and fault zone in the Dead Sea Rift: Evona Fault Zone as a case study. Thesis submitted fo the degee of Ph.D. Tel-Aviv Uni andsity Raymond & Be andly Sackle Faculty of Eact Sciences Depatment of Geophysics & Planetay Sciences 196 p. Beenge A. P A pefectly matched laye fo the absoption of electomagnetic wa ands. Jounal of Computational Physics (114) Blood W. J MECL system design handbook. Pinted by Motoola Inc. Bistow C.S and Jol H.M. (Ed.) Gound Penetating Rada in Sediments. Geological Society Special Publications London C. M. Fuse S. P. Mathu and O. P. Gandhi Impo andments ot the finitediffeence time-domain method fo calculating the ada coss section of a pefectly conducting taget IEEE Tans. Micowa and Theoy and Tech. vol. MTT-38 pp July. Ciampolini P. Mezzanotte P. Roselli L. Soentino R Accuate and efficient cicuit simulation with lumped-element FDTD technique. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 44(No.12)

188 Collins R. E Foundations fo micowa and engineeing. McGaw-Hill. Cook J.C Peface Jounal of applied Geophysics Vol. 33 p D. M. Sullivan Mathematical methods fo teatment planning in deep egional hypethemia IEEE Tans. Micowa and Theoy and Tech. vol. MTT-39 pp D. M. Sullivan Fequency-dependent FDTD methods using Z tansfoms IEEE Tans. Antenna Pop. vol. AP-40 pp D. M. Sullivan An unsplit step 3-D PML fo use with the FDTD method IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes vol. 7 pp D. M. SullivaN Electomagnetic Simulation Using the FDTD Method. N.Y.: IEEE Pess Davis J. L. and Annan A. P High esolution sounding using gound pobing ada. Geoscience Canada Vol. 13(3) p Davis J. L. and Annan A. P Gound penetating ada fo high esolution mapping of soil and ock statigaphy. Geophysical pospecting Vol. 37 p Davis J.L. and Annan A.P Gound-penetating ada fo high esolution mapping of soil and ock statigaphy. Geophysical Pospecting Dobin B. M. and Savit C. H Intoduction to Geophysical Pospecting. Intenational Edition McGaw-Hill Book Co. Elaydi S. N Discete chaos. Chapman & Hall/CRC. Emili G. Alimenti F. Mezzanotte P. Roselli L. Soentino R Rigoous Gandhi O. P. Gao B. Q. Chen Y. Y A fequency-dependent finite diffeence time-domain fomulation fo geneal dispesi and media. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol Gandjean G. And Gouy J.C GPR data pocessing fo 3D factue mapping in a mable quay (Thassos Geece). Jounal of Applied Geophysics Gasmueck M D gound penetating ada applied to factue imaging in gneiss Geophysics 61 (4) Gay P. R. Meye R. G Analysis and design of analog integated cicuits (3d edition). John-Wiley & Sons. Giffiths D.J Elektomanyetik Teoi. ARTe Gü andn. 7; 235s. 8; Haington R. F Field computation by moment methods. MacMillan Company.215 Haington R.F Field Computation by Moments Methods The Macmillan Co. NY. Hockanson D. M The finite-diffeence time-domain method and applications in EMC. Technical epot Electomagnetic Compatibility Laboatoy Uni andsity of Missoui-Rolla 173

189 Hoefe W. J. R The Tansmission-line Mati Method Theoy and applications. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 33(No. 10) Hoton I Beginning Visual C Wo Pess Ltd. Ishimau A Electomagnetic Wa and Popagation Radiation and Scatteing Pentice Hall NY. Itoh T. (Ed) Numeical techniques fo micowa and and milimete-wa and passi and stuctues. John Wiley & Sons. J. P. Beenge A pefectly matched laye fo the absoption of electomagnetic wa ands J. Comput. Phys. vol. 114 pp James G Advance moden engineeing mathematics. Addison-Wesley. Jenn D.C Rada and Lase Coss Section Engineeing Chapte 4. AIAA Education Seies. Johnson H. W. Gaham M High-speed digital design a handbook of black magic. Pentice Hall. K. S. Kunz and R. J. Luebbes The Finite Diffeence Time Domain Method fo Electomagnetics Boca Raton FL CRC Pess. K. S. Yee "Numeical solution of initial bounday value poblems involving Mawell's equations in isotopic media " IEEE Tans. on Antennas and Popagation vol. AP-17 pp Kadıoğlu Y.K. and Kadıoğlu S Detemination of Factues and Cavities and Mapping of Depth Slices in a mable Aea by Gound Penetating Rada method The 16 th Intenational Geophysical Congess and Ehibition of Tukey Decembe Ankaa-Tukey. Kadıoğlu Y.K. and Kadıoğlu S Detemination of Thichnesses and Discontinuities in a mable aea by Gound Penetating Rada Method Selcuk Uni andsity Faculty Engineeing-Achitectue Magazine Vol 21 No. 1. Kelle J. B Geometical Theoy of Diffaction J. Opt. Soc. Ame Khalil H. K Nonlinea systems (2nd edition). Pentice Hall. Kielkowski R SPICE: Pactical device modeling. McGaw-Hill Inc. Kielkowski R Inside SPICE (2nd edition). McGaw-Hill Inc. Kobayashi A. et al CPU boad design fo the 100MHz ea. Nikkei Electonics Asia Koga R Radiation fom packaged integated cicuits. Poceedings of the 1994 IEEE Intenational Symposium on EMC Keyszig E Advanced engineeing mathematics (6th edition). John Wiley & Sons. Kung F Modeling of high-speed pinted cicuit boad. Maste thesis Faculty of Engineeing Uni andsity of Malaya. Kung F. Chuah H. T. 2002(a). Modeling of diode in FDTD simulation of pinted cicuit boad. Jounal of Electomagnetic Wa ands and Applications (JEMWA) Vol. 16(No. 1) Kung F. Chuah H. T. 2002(b). Modeling of bipola junction tansisto in FDTD simulation of pinted cicuit boad. Pogess in Electomagnetic Reseach PIER Elsevie book seies

190 Kunz K. S. Lee K. M A thee-dimensional finite-diffeence solution of etenal esponse of an aicaft to a comple EM envionment I: The method and its implementation. IEEE Tans. Electomagnetic Compatibility Vol Kunz K.S. Luebbes R.J. The Finite Diffeence Time Domain Method fo Electomagnetics CRC Pess Boca Raton FL. Kuo C. N. Houshmand B. Itoh T Full-wa and analysis of packaged micowa and cicuits with acti and and nonlinea devices: An FDTD appoach. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 45(No. 5) Ludwig R. Betchko P RF cicuit design theoy and applications. Pentice Hall. Luebbes R. J. Hunsbege F FDTD fo nth-ode dispesi and media. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol Maas S. A Nonlinea micowa and cicuits. IEEE Pess. Massobio G. Antognetti P Seminconducto device modeling with SPICE (2nd edition). McGaw-Hill. Mekin D. R Intoduction to the theoy of stability. Spinge- andlag. Millman J. Halkias C. C Integated electonics. McGaw-Hill. Mills J. P Electomagnetic intefeence eduction in electonic systems. Pentice Hall. modeling of packaged schottky diodes by the nonlinea lumped netwok (NL2N)-FDTD appoach. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol.48(No. 12) Moey R.M Detecting of subsuface cavities by gound penetating ada. Highway Geological symposium Poceedings 27 p Mose P. M. Feshbach H Methods of theoetical physics pat I and II. McGaw- Hill. Mu G Absobing bounday conditions fo the finite-diffeence appoimation of the time-domain electomagnetic-field equations. IEEE Tans.EMC Vol Naishadham K. Bey J. B. Hejase H Full-wa and analysis of adiated emission fom abitay shaped pinted cicuit taces. IEEE Tans. EMC Vol. 35(No. 3) Namiki T A new FDTD algoithm based on altenating-diection implicit method. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 47(No.10) Namiki T D ADI-FDTD method unconditionally stable time domain algoithm fo solving full andcto Mawell s equations. IEEE Tans.Micowa and Theoy and Techniques Vol. 48(No. 10) Ney M.M Method of Moments as Applied to EM Poblems MIT. Oct O. P. Gandhi B. Q. Gao and Y. Y. Chen A fequency-dependent finitediffeence time-domain fomulation fo geneal dispesi and media IEEE Tans. Micowa and Theoy Tech. vol. 41 pp O Neil P. V Beginning patial diffeential equations. John Wiley & Sons. Oppenheim A. V. Schafe R. W Discete-time signal pocessing. Pentice Hall. Olando L Gound penetating ada in massi and ock: A case histoy Euopean J. of Env. and Eng. Geophysics

191 Otega J. M Mati theoy A second couse. Plenum Pess. Paasnis D. S Pinciples of Applied Geophysics (fifth edition). Chapman & Hall. Paul J. Chistopoulos C. Thomas D. W. P Genealized mateial models in TLM Pat 1: Mateials with fequency-dependent popeties. IEEE Tans.Antennas and Popagation Vol. 47(No. 10) Paul J. Chistopoulos C. Thomas D. W. P Genealized mateial models in TLM Pat 2: Mateials with anisotopic popeties. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 47(No. 10) Peeda J. A. Gacia O. andgas A. Pieto A Numeical dispesion and stability analysis of the FDTD technique in lossy dielectics. IEEE Micowa and and guided wa and lettes Vol. 8(No. 7) Peeda J. A. Vielva L. A. andgas A. et al Analyzing the stability of the FDTD technique by combining the von Neumann method the Routh-Huwitz citeion. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 49(No. 2) Piket-May M. J. Taflo and A. Baon J FD-TD modeling of digital signal popagation in 3-D cicuits with passi and and acti and loads. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 42(No. 8) R. Luebbes F. Hunsbege K. Kunz R. Standle and M. Schneide A fequency-dependent finite-diffeence time-domain fomulation fo dispesi and mateials IEEE Tans. Electomag. Compat. vol. EMC-32 pp R. M. Joseph S. C. Hagness and A. Taflo and Diect time integation of Mawell s equations in linea dispesi and media with absoption fo scatteing and popagationof femtosecond electomagnetic pulses Optics Lettes vol. 16 pp Remis R. F On the stability of the finite-diffeence time-domain method. Jounal of Computational Physics Vol. 163(1) Richtmye R. D. Moton K. W Diffeence methods fo initial-value poblems (2nd edition). John Wiley & Sons. Sadhi V. K. Bah I. J. Willems D. A CAD compatible accuate models of micowa and passi and lumped elements fo MMIC application. Inte. Jounal of Micowa and and Milimete-wa and Compute Aided Engineeing Vol.4 (No.2) Sato M. S Suppesion of late-time instabilities in 3-D FDTD analyses by combining digital filteing techniques and efficient bounday conditions. IEEE Tans. Mangetics Vol. 37(No. 5) Scheineman E. R Invitation to dynamical systems. Pentice Hall. Scott K. J Pactical simulation of pinted cicuit boads and elated stuctues. John-Wiley & Sons Inc. Sevgi L Elektomagnetik Poblemle and Sayısal Yöntemle Bisen Yayınevi İstanbul 176

192 Sheen D. M. Sami A. M. Abouzaha M. D. Kong J. A Application of the theedimensional finite-diffeence time-domain method to the analysis plana micostip cicuits. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 38(No. 7) Skolnik M Rada Handbook McGaw-Hill Inc. Singapoe. Smith J. R Moden communication cicuits (2nd edition). McGaw Hill. Stauss R Suface mount technology. Buttewoth-Heinemann. Steetman B. G. Banejee S Solid state electonic devices. Pentice Hall. Stikweda J. C Finite diffeence schemes and patial diffeential equations. Wadswoth & Books/Cole Mathematics Seies Stutzman W.L. Thiele G.A Antenna Theoy and Design John Wiley&Sons Inc. NY. Stutzman W.L. Thiele G.A Antenna Theoy and Design John Willey&Sons Inc. Sui W. Chistensen D. A. Duney C. H Etending the two-dimensional FDTD method to hybid electomagnetic systems with acti and and passi and lumped elements. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 40(No.4) Sullivan D. M Z-tansfom theoy and the FDTD method. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol. 44(No. 1) Taflo and A Computational Electodynamics The finite-diffeence time domain method. Atech House. Taflo and A.(Ed) Advances in computational electodynamics the Finite- Diffeence Time-Domain method. Atech House. Taflo and A. Bodwin M. E Numeical solution of steady-state electomagnetic scatteing poblems using the time-dependent Mawell s equations. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 23(No. 8) Taflo and A Computational Electodynamics: The Finite-Diffeence Time- Domain Method Atech House Nowod MA. Taflo and S. C. Hagness Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method 2 nd Edition. Boston MA: Atech House. Taflo and Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method. Boston MA: Atech House. Taflo and Advances in Computation Electodynamics: The Finite-Diffeence Time-Domain Method. Boston MA: Atech House. Thiel W. Katehi L. P. B Some aspects of stability and numeical dissipation of the finite-diffeence time-domain (FDTD) technique including passi and and acti and lumped-elements. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 50(No. 9) Toland B. Houshmand B Modeling of nonlinea acti and egions with FDTD method. IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes Vol. 3(No. 9) Uliksen C. P. F Applications of impulse ada to civil engineeing. Unpublished Ph.D. thesis Depatment of Engineeing Geology Lund Uni andsity of Technology Sweden. (Republished by Geophysical Su andy Systems Inc. Hudson New Hampshie). 177

193 Ulugegeli E.U. and Kadioglu S Detecting cavities and Acheological emains with GPR The 9 th Intenational Congess of the Bazilian Geophysical Society held in Salvado Bazil Septembe. Umashanka K. R. Taflo and A A no andl method to analyze electomagnetic scatteing of comple objects. IEEE Tans. Electomagnetic Compatibility Vol Widess M. B How thin is this bed? Geophysics Vpl. 38 p Wiley & Sons. Wisme D. A. Chattegy R Intoduction to nonlinea optimization. Elsevie Noth-Holland Inc.. Yee K. S Numeical solution of initial bounday value poblem involving Mawell s equations in isotopic media. IEEE Tans. Antennas and Popagation Vol Yilmaz O Seismic Data Pocessing.Edited by Dohety S. M. Society of Eploation Geophysics Seies: In andstigation in Geophysics Vol. Z. S. Sacks D. M. Kingsland R. Lee and J. F. Lee A pefectly matched anisotopic absobe fo use as an absobing bounday condition IEEE Tans. Anten. and Pop. vol. 43 pp Zhang X. Mei K. K Time-domain finite diffeence appoach to the calculation of the fequency-dependent chaacteistics of micostip discontinuitites. IEEE Tans. Micowa and Theoy and Techniques Vol. 36(No. 12) Zheng F. Chen Z. Zhang J A finite-diffeence time-domain method without the Couant Stability Conditions. IEEE Micowa and and Guided Wa and Lettes Vol. 9(No. 11)

194 EKLER EK1 Elektomanyetik Dalgala EK2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle 180

195 EK 1 ELEKTROMANYETİK DALGALAR GENEL TANIMLAR Vektö Analizi Fiziksel büyüklükle bi vektö ile temsil edili. Elektomanyetikte katezyen, silindiik ve küesel koodinat sisteminin he üçü de kullanılı. Vektölein bi yönü ve şiddetlei bulunu. Şekil 1 de vektöün başlangıç noktası 0 dı. Vektöün doğultusu ise kesikli çizgilele belitilen doğultudu. Yönü vektö okunun göstediği yön, vektöün şiddeti ise vektöün uzunluğu kadadı. Bi vektöün döt elemanı vadı. Doğultusu Yönü Başlangıç noktası Şiddeti z v k=(0,0,1)) j=(0,1,0) y i=(1,0,0) z Şekil 1 Biim vektö uzayı ve v (,y,z) vektöü. 181

196 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 3B bi v vektöünün doğultusu,y ve z doğultusundaki bileşenlei ile tanımlanı ve v(,y,z) veya v(i+yj+zk) şeklinde ifade edili. Buada i, j ve k, eksenlee ait biim vektöledi. Bi v=(,y,z) vektöünün büyüklüğü, vektöün boyu veya nomu olaak adlandıılı ve v = + y z (1.1.1) ile ifade edili. Boyutu bi biim olan vektö biim vektö olaak adlandıılı. Koodinat Sistemlei Poblemlein çözümüne göe özel koodinat sistemleinin kullanılması geeki. Elektomanyetik poblemlein çözümünde katezyen, silindiik ve küesel koodinat sistemleinin he üçü de kullanılı. 182

197 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) z P(,y,z) z P(,φ,z) z y φ y y a) Katezyen b) Silindiik z θ P(,θ,φ) φ y c) Küesel Şekil 2. Koodinat sistemlei 183

198 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) P noktası, Şekil 3 de gösteildiği gibi üç dik yüzeyin kesişim noktası olaak da tanımlanabili. Katezyen koodinatlada yüzeyle sonsuz düzlemle olup,,y ve z sabitti. Silindiik koodinatlada z=sabit ve z- ekseni boyunca bi yaım düzlem ile sınılandıılmış, =sabit ve daiesel bi doğudu. Küesel koodinatlada, φ=sabit, =sabit ve θ=sabit olup, ucu oijinde olup ekseni z di. Faklı koodinat sistemlei için biim vektöü ele alalım. Katezyen sistemlede biim vektöle, P noktasının bağımsız sabit doğultulaa sahiptile. Koodinat sistemleinde he biim vektö, kendi koodinat yüzeyleine diktile ve doğultulaı koodinatın atış yönündedi. Tüm sistemle sağ- yönlüdü (saat yönünün tesi). Biim vektöle aasındaki bağıntıla, a a y =a z;; a φ =a z ; a a θ =a φ (1.2.1) ile veili. He üç koodinat sistemi için bi vektöün bileşenlei ile bilikte gösteimi, V=(V,V y,v z )(a,a y,a z ), Katezyen koodinat sistemi V=(V,V θ,v z )(a,a φ,a z ), Silindiik koodinat sistemi V=(V,V θ,v φ )(a,a θ,a z ), Küesel koodinat sistemi 184

199 185 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Vektö Opeatölei ( Nabla ) Opeatöü : bilinen anlamda bi vektö değildi. Vektöel tüev opeatöüdü. Ancak bi vektö gibi davanı. Vektölele yapılan tüm tüev işlemlei ile yapılabili z k y j i + + = (1.3.1) ile tanımlanı. Gadyant: Gadyant, bi skale fonksiyona bağlı olan vektöel tüevdi. z V k y V j V i )V z k y j (i V + + = + + = (1.3.2) Divejans: İngilizce de ıaksama anlamına geli. Divejans, bi vektöel fonksiyona bağlı olan vektöel tüevdi V ile gösteili. V, bi noktadaki V vektö çizgileinin ne kada ıaksadığının bi ölçüsüdü. z y V k V j V i V + + = (1.3.3) ise; ) V k V j V (i ) z k y j (i V z y = (1.3.4) z V y V V V z y + + = (1.3.5) olu. Divejans, vektöel bi fonksiyona bağlı olan skale bi fonksiyondu. Bi skalein divejansından söz edilemez.

200 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Rotasyon : Rotasyon miktaının ölçüsüdü. V ile gösteili ve V vektöünün bi nokta etafında dolanış Rotasyonel vektöel bi fonksiyona bağlı olan vektöel bi fonksiyondu. V= i V j y Vy k z Vz (1.3.6) Divejans Teoemi ( Gauss Teoemi ) : Divejansın hacim integali, bu hacmi saan yüzeyde aldığı değee eşitti. hacim ( V ) dv = V ds yüzey (1.3.7) Stokes Teoemi : Rotasyonun bi yüzey paçası üzeindeki integali, bu yüzeyi çeveleyen eği üzeinde aldığı değee eşitti. yüzey ( V ). ds = egi V dl (1.3.8) Gauss Kanunu: Bi yüzey paçası üzeindeki elektik alan E nin akısı, o yüzeyi kesen çizgilein sayısıyla oantılıdı. Bi yükü çeveleyen kapalı bi yüzeyden geçen akı q ε 0 olu. q E ds = ε 0 (1.3.9) 186

201 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Buada q kapalı yüzey içinde kalan yüklein toplamıdı. Bu yüzeyin dışında kalan bi yükün akıya katkısı sıfı olu çünkü bu yüklein alan çizgilei yüzeyin bi yeinden giip, başka bi yeinden çıka. E q nin Divejansı: Gauss kanununda veilen E ds = ε uygulandığında; E ds= ( E).dV= ε yüzey hacim 0 q 0 ifadesine divejans teoemi (1.3.10) olu. Buada ( E).dV= bulunu. q = ρ. dv olduğundan; ρ.dv ε 0 ρ E= (1.3.11) ε 0 E nin Rotasyoneli: Elektik alanın bi a noktasından diğe bi b noktasına giden yol boyunca eğisel integali alındığında; b a E dl= b 1 4πε a 0 q 2 1 d= 4πε 0 q b a 1 = 4πε 0 ( q a q b ) (1.3.12) a ve b sıasıyla a ve b noktalaının oijinden uzaklıklaıdı. Buada önemli olan nokta, eğisel integalin yoldan bağımsız oluşudu. Sonuç sadece uç noktalaının koodinatlaına bağlı çıka. Kapalı bi eği boyunca integal alındığında ( yani a = b olduğu duum ) ; E d l= 0 (1.3.13) Stokes teoemine göe ; E dl= ( E).dS= 0 E= 0 (1.3.14) 187

202 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Elektomanyetik Alan Bileşenlei Tanımlaı Manyetik Alan: Dugun bi yük sadece E elektik alanı oluştuu. Haeketli yük ise elektik alana ek olaak bi de B manyetik alanı oluştuu. Elektomanyetik teoinin temel poblemi q 3 1,q 2,q... kaynak yükleinin, bi Q test yükü üzeindeki etkisini hesaplamaktı. Süpepozisyon ilkesine göe, sadece iki yük aasındaki kuvvet ifadesini bilmek yetelidi. Toplam kuvvet he bi yükün Q üzeine uyguladığı kuvvetlein vektöel toplamı olu. Akım geçen bi telin etafında bi manyetik alan oluştuğu pusula ile gözlenebili. İçinden zıt yönde akım geçen iki tel bibiini ite. Ancak akım geçeken tellee dışaıdan bi test yükü yaklaştıılısa hiçbi kuvvet ölçülmez. Yani telle nöt duumdadı. Manyetik Kuvvet ( Loentz Kuvveti ) : Bi B manyetik alanı içinde, ν hızıyla haeket eden bi Q test yüküne etkiyen manyetik kuvvet; F man. = Q ( ν B) (1.4.1) F elek. Elektiksel kuvvet = Q E olduğundan, Q test yükü üzeindeki toplam elektomanyetik kuvvet ; F= Q (E+ ( ν B)) (1.4.2) olu. Buna Loentz kuvveti deni. 188

203 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Akım ve Manyetik Kuvvet: Bi telin kesitinden biim zamanda geçen yük miktaına akım deni. İletken içinde haeket eden negatif yüklü elektonladı, yani akıma zıt yönde gidele. = I l B I (dl B) F man. (1.4.3) Akım Yoğunluğu ve Süeklilik Denklemi: Akım yoğunluğu J ile gösteili. I J ds = s olu. Divejans teoemine göe ; J ds= ( J)dV s v (1.4.4) (1.4.5) dq d ρ I= = dv dv dt dt ρ = (1.4.6) t ρ ( J)dV= dv t ρ J= (1.4.7) t Süeklilik denklemi denilen bu ifade, yük kounumunun matematiksel bağıntısıdı. Manyetik Alanın Divejans ve Rotasyoneli : Ampee kanununa göe ; B d l =µ 0 I Buada I; I J ds = s (1.4.8) (1.4.9) olduğundan Stokes teoemine göe ; d = ( B) ds =µ J ds l B 0 olu. Buadan ; (1.4.10) 189

204 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) B=µ 0 J (1.4.11) elde edili. Ayıca buada B= 0 dı. Faaday Yasası : Sabit bi manyetik alan içinde iletken bi çeçeve haeket ettiilise oluşan elektomanyetik alan kuvveti (emk); dφ Ε = (1.4.12) dt Çeçeve sabit tutulup mıknatıs haeket ettiilise yine aynı emk oluşu. Eğe çeçeve haeket ediyosa emk, manyetik kuvvet taafından oluştuulu. Fakat çeçeve dugunken mıknatıs haeket ediyosa, kuvvet manyetik kökenli olamaz. Çünkü dugun yükle üzeinde manyetik kuvvet oluşmaz. Bu duumda duan yüklee kuvvet uygulayan alan elektik alandı. Fakat bu alan elektostatik tüden değildi. Çünkü elektostatik alan emk oluştuamaz. ( E d l= 0 ) Bu yeni tü elektik alan mıknatısın haeket ediyo olmasından, yani manyetik alanın değişiyo olmasından kaynaklanmaktadı. O halde değişen bi manyetik alan bi elektik alan oluştuu. dφ E d l= olu. Bu, Faaday yasasının integal ifadesidi. Bunun difeansiyel ifadesi dt stokes teoemi ile bulunu. Stokes teoemine göe; E dl= dφ d ( E) ds= = dt dt B ds= B ds t (1.4.13) B E= t 190

205 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Dugun bi yük sadece E elektik alanı oluştuuken, haeketli bi yük elektik alana ek olaak bi de manyetik alan oluştuu. Eğe zamanla değişim yoksa elektik alan ve manyetik alan bibileinden bağımsız olaak bulunabilile. Yani dugun bi yük veya düzgün doğusal haeket eden bi yük, elektomanyetik dalga oluştuamaz. Manyetik alan sabitse; E= 0 (1.4.14) şeklinde olu. Elektomanyetik Dalgalaın Oluşumu Şekil 3. Elektik ve manyetik alanın gösteimi Elektomanyetik dalga oluşması için yükün ivmelenmesi geeki. Zamanla değişim gösteen duumlada, elektik alan ve manyetik alan bibiine tamamen bağlıdı. Yani 191

206 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) elektik alan değişimi, manyetik alan oluştuu; manyetik alan değişimi de elektik alan oluştuu (Taflove,1995). Değişken bi manyetik alan oluştumak için, iletkenden altenatif akım geçmesi yetelidi. Yani altenatif akım geçen bi iletkenin çevesinde hem elektik alan hem de manyetik alan oluşu. Bu da çeveye elektomanyetik dalga yayıldığını göstei. Elektomanyetik dalgayı oluştuan elektik alan ve manyetik alan bibileine dikti. Elektomanyetik dalganın ileleme yönü he iki alana da dik doğultudadı (Şekil 4). Şekil 4. Elektomanyetik dalga. E ve H alanlaın doğultulaı ve E ve H alanla yayılma doğultulaına dikti. 192

207 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Elektomanyetik dalgala boşlukta ışık hızıyla yayılı ve Mawell denklemleiyle tanımlanı. Elektomanyetik spektum geniş bi fekans aalığını kapsa. Bütün elektomanyetik dalgala, spektumun hangi bölgesinde olusa olsun daima ışık hızında haeket ede. Elektomanyetik dalgalaın faklılığı dalga boylaının faklı olmasından kaynaklanı. Gama ışınlaı, X ışınlaı, moötesi ışınla, mikodalga, adyo dalgalaı, televizyon ve ada dalgalaı gibi çeşitlei vadı. Bu da 100 Hz ile Hz aasında geniş bi fekans bandı demekti. Mawell Denklemlei Manyetizma için Gauss kanunu, doğada izole edilmiş manyetik kutuplaın va olamayacağını ifade ede. Yani hehangi bi kapalı yüzey boyunca manyetik akı sıfıdı. B ds = 0 (1.6.1) Bu ifade için divejans teoemi alınısa B=0 (1.6.2) şeklinde olu. Elektostatik alanın divejansı ve otasyoneline göe ; 193

208 ρ E = ε 0 (1.6.3) şeklindedi. Faaday kanununa göe, sabit bi manyetik alan içinde haeket ettiilen iletken dφ çeçevede indüklenen geilim Ε = ile veili. dt dφ E d l= dt (1.6.4) Faaday kanununun integal ifadesidi. Stokes teoemine göe; dφ d E dl= ( E) ds= = dt dt B E= t B ds= B ds t ve (1.6.5) olu. Buna göe manyetik alan değişimi elektik alan meydana getii. Ampe kanununa göe; B d l =µ 0 şeklindedi. Buada I; I (1.6.6) I J ds = s (1.6.7) olduğundan, Stokes teoemine göe ; 194

209 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) B d l = ( B) ds=µ J 0 ds (1.6.8) olu. Buadan ; B=µ 0 J+µ 0 ε 0 E t (1.6.9) elde edili. Buna göe ya elektik alanının değişimi ya da akımın valığı manyetik alan oluştuu. Böylece döt Mawell denklemi elde edilmiş olu. Boşlukta ρ yük yoğunluğu ve J akım yoğunluğu sıfıdı. Bu duumda Mawell denklemlei şu hali alı. E= 0 B E= t B=0 B=µ 0 ε 0 E t (1.6.10) (1.6.11) (1.6.12) (1.6.13) EM Dalga Denklemleinin Elde Edilmesi 195

210 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Mawell denklemleindeki E ve H ifadeleinin otasyonu alınısa; 2 H ( E) = (. E) E = ( ) t (1.7.1) v 2 E (. E) E = H = ( µ 0. J + µ 0. ε 0. ) t t t (1.7.2) 2 ρ 2 J E ( ) E= µ 0 µ 0 ε 0. 2 ε 0 t t (1.7.3) 2 2 E ρ J E µ 0 ε 0 = +µ 2 0 t ε t (1.7.4) 0 olu. Buada eşitliğin sağ, taafı kaynağı oluştuu (Taflove,1995). 2 E ( H ) = ( H ) H = ( µ 0 J + µ 0 ε 0 ) (1.7.5) t 2 H = µ 0 J + µ 0ε 0 E t (1.7.6) 2 H H = µ 0 J + µ 0ε 0 ( ) t t (1.7.8) 2 2 H H = µ 0 J µ 0ε 0 2 t (1.7.9) 2 H 2 H µ 0ε 0 = µ 0 J 2 t (1.7.10) Bu ifadelede kaynak teimlei yoksa yani ρ = 0 ve J= 0 ise; 196

211 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 2 2 E E ε 0µ 0 = 0 (1.7.11) 2 t 2 2 H H ε 0µ 0 = 0 (1.7.12) 2 t f Bu denklemle f = 0 gibi bi klasik dalga denklemi olup, ν hızıyla 2 ν t 2 ileleyen bi dalganın haeketini belile. E ve B için ayı ayı elde edilen dalga denklemleinde ν hızının değei; 8 ν = = 3.10 m/sn. (1.7.13) ε 0 1 µ 0 Bu hız, ışık hızına eşitti ve elektomanyetik dalganın ışık hızında yayıldığını göstei (Kunz, 1993). Öyleyse, ışık da bi elektomanyetik dalgadı. Madde içinde sebest yük ve sebest akım yoğunluğu bulunmuyosa v; ν= olu. 1 ε µ ε=ε 0 ε 0 µ (1.7.14) (1.7.15) µ =µ (1.7.16) olduğundan, elektomanyetik dalganın yayılma hızı, maddenin elektik ve manyetik özellikleine bağlıdı ve bu hız elektomanyetik dalganın boşluktaki hızı olan ışık hızından daha küçüktü. Buada; 197

212 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Em Dalga Denklemi Çözümü EM Alan bileşenlei, yayılma doğultusuna dik bi düzlem içinde bulunan dalgalaa EM düzlem dalgala deni. z yönünde ileleyen bi sinüzoidal dalga ele alalım. Bu dalga linee polaize edilmiş düzlemsel dalga olsun. O halde;. j.( wt kz) E= E0 e j.( wt ) H = H e 0. kz (1.8.1) (1.8.2) Buada E 0 ve H 0 elektik ve manyetik alanlaın başlangıç genlikleidi. Zamandan ve koodinat sisteminden bağımsızdıla. Yukaıdaki denklemlede k dalga sayısıdı ve ω 2πf 2π k = = = υ λf λ (1.8.3) ile veili. Buadaυ faz hızı, λ ise dalga boyudu. E ve H düzlemsel dalgalaı için = jω yazılısa; t = + y+ y z z (1.8.4) z yönünde ileleyen bi dalga ve y ye bağımlı olmadığı için ve y sıfı olu. z ifadesi ise j.k olaak elde edili. O halde opeatöü yeine j.k. z kullanılı ve 198

213 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) = j.k z olu.boşlukta ρ f = 0 dı. σ 0 ise J f = σ. E olu. Buna göe;. E = 0 B H E= = µ t t. H = 0 (1.8.5) (1.8.6) (1.8.7) (1.8.9) yeine j.k.z.e = 0 j. k z k konulusa; j.k.z E= µ (jωh) j.k.z.h = 0 j.k.z H=σ E+ε ( jωe) = ( σ+ jωε).e (1.8.11) (1.8.12) (1.8.13) (1.8.14) H= j.k.z E jωµ = k.z E ωµ k H= z E ωµ (1.8.15) 199

214 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) j.k.z H k E= = z H σ+ jωε ωε jσ E= k z H ωε jσ (1.8.16) Buadan göüldüğü gibi E ve H alanlaı, bibileine ve dalganın ileleme yönüne dikti. Kaakteistik Empedans E H oanına, kaakteistik empedans deni. Z ile gösteili. E k ωµ Z= = = ( ) H ωε jσ k ω k = υ ω υ = elde edili. Uzayda dalga hızı υ = c olduğundan, k Boşluğun kaakteistik empedansı; ω k = c olu. ωµ 0 ω 1 µ 0 4π.10 Z0 = = µ 0 = c µ 0 = µ 0 = = = 377Ω ( ) 12 k k ε µ ε 8, Dalga Sayısı E k ωµ Z= = = ( ) H ωε jσ k k 2 = ωµ.( ωε jσ) =ω εµ jσωµ 2 ( ) k 2 2 σ σ = ω εµ.(1 j ) olu. Buadaki teimi, zayıflama katsayısıdı. Eneji kayıplaını ωε ωε vei. Yüksek fekanslada bu teim ihmal edilebili. 200

215 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Uzayda Düzlem EM Dalgala Uzayda ε = 1, µ = 1 ve σ = 0 dı. σ sıfı olduğu için, elektomanyetik dalga ileleken genliğinde bi değişiklik olmaz. Yani, boşlukta zayıflama sıfıdı. J akım yoğunluğu ve ρ yük yoğunluğunun olmadığı bölgede;. E = 0 B H E= = µ 0 t t. B = 0 E H=ε0 t ( ) ( ) ( ) ( ) Buadan; E= jωµ 0.H ( ) H= jωε0.e ( ) 2 2 E E=µ 0 ε0 2 t ( ) 2 2 E=µ 0 ε0 (jωe)) =µ 0 ε0.( ω E) t ( ) 2 2 +ω ε µ E= 0 ( ) E

216 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olu. Bu dalga denklemine Helmholtz denklemi deni. Bu duumda dalga sayısı; 2 2 k = ω ε µ ( ) olu ve 2 E+ k 2 0 elde edili. 0 E= 0 ( ) Bu denklemin çözümü ( 1.8.1) ifadesine benze şekilde, E E jkz 0 e = ve (z, t) = Re E e jwt ( ) = E Cos(wt kz) E 0 ( ) Elde edili. Buadan, uzay boşluğunda yayılan düzlem EM dalganın genliğinin değişmediği anlaşılmaktadı. Yalıtkan Otamda Düzlem EM Dalgala 2 2 E E=µε 2 t 2 2 H H=µε 2 t şeklindedi ( σ = 0 ). ( ) ( ) 202

217 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olu. Buada β =ω µε 2 2 E+β E = 0 Bu denklemin çözümü; E E j z 0 e β = 2 2 denilise; ( ) ( ) şeklindedi. (z, t) = Re E e jwt ( ) = E Cos(wt βz) E 0 Buada, β faz sabitidi ve ( ) β =ω µε ( ) şeklindedi. ω β = υ ω ω 1 c υ = = = = ( ) β ω µε µε µ ε Yani, tamamen yalıtkan otamda yayılan elektomanyetik dalganın hızı, maddenin elektik ve manyetik özellikleine bağlıdı. Bu hız ışık hızından daha düşüktü (Buke, 1977). İletken Otamda Düzlem Dalgala İletken otamlada σ 0 dı. Dolayısıyla fekans otamında, E = jωµ.h ( ) H =σe+ jωε.e ( ) olu. 203

218 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) 2 H ( E) = (.E) E= ( µ ) = µ ( H) ( ) t t 2 E= µ.(( σ+ jωε)e) t ( ) 2 E=µ ( σ+ jωε).(jωe) ( ) 2 E= jωµ ( σ+ jωε).e ( ) olu. γ 2 = jωµ ( σ+ jωε) denilise; 2 E+γ 2 E= 0 elde edili. Bu denklemin çözümü; E E z 0. e γ = olu. ( ) ( ) ( ) γ=α+ j β ( ) ise; E(z, t) = Re E e jwt ( α+ jβ)z jωt ( ) = Re( E.e.e ) αz E(z, t) = E0 e Cos(wt βz) 0 olu. Buna göe, iletken malzemelede alan şiddeti, eponansiyel olaak azalı. 2 ( ) ( ) γ = jωµ ( σ+ jωε) ( ) ifadesinde; 204

219 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) γ=α+ j β ( ) ωµσ 1 di. İyi iletkenlede bu değe, α β= şeklinde olu. Genliğin ilk değeinin sine 2 e düştüğü uzunluğa dei kalınlığı deni. δ ile gösteili ve 1 1 δ= = α β ( ) şeklinde veili. Dei kalınlığı, EM dalganın iletken içine ne kada nüfuz edebildiğinin bi ölçüsüdü. İletken malzemede ileleyen dalganın dalga boyu; ω β= υ 2πf = λf 2π = λ 2π λ= β λ = 2 πδ ( ) olu. İyi iletken malzemele yüksek iletkenlikli olup, büyük iletim akımına sahiptile. Bu tip malzemelede kayıpla süekli olması dolayısıyla dalga ileledikçe enejisini kaybede (Taflove, 1995). Bu nedenle elektomanyetik eneji, iletken içinde iletilmeyip, iletken hat dalgaya kılavuzluk yapaak, eneji dalga kılavuzu çevesindeki bölgede iletili. Elektomanyetik Dalgalaın Yansıması Ve Yayınımı İki faklı otam sınıındaki düzleme nomal doğultusunda gelen bi dalga, sınıda yansıyan ve ikinci otam mükemmel iletken değilse, iletilen olmak üzee iki dalga oluştuu. Bu dalgala otamla aası bölgede sını şatlaını sağlala. Şekil 6 da iki faklı otam sınıına nomal doğultusunda gelen, yansıyan ve iletilen alan bileşenlei gösteilmişti. Buada z<0 (Otam I) için gelen dalga (+) yönde, yansıyan dalga (-) yönde ileleken, z>0 da (Otam II) iletilen dalga (+) yönde ilelemektedi. 205

220 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) σ 1,µ 1,ε 1,η 1 E - 1 (z) k H - 1y (z) Yansıyan Dalga Otam I E 1 + (z) İletilen Dalga Otam II σ 2,µ 2,ε 2,η 2 E + 2 (z) H 2y + (z) k t Gelen Dalga H 1y + (z) k i z=0 Şekil 5. İki faklı otam sınıına düzlem dalganın nomal doğultuda gelişi Otam I için (1.9.2) ifadesi yazılı. (1.9.1) (1.9.2) Otam II için (1.9.4) ile veilen ifadele yazılı. (1.9.3) (1.9.4) Elektik alan - yönünde ve manyetik alan y. Yönünde olmak üzee Otam I için alan bileşenlei (1.9.6) ile veilen ifadele elde edili. (1.9.5) (1.9.6) (1.9.7) 206

221 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Şekil 5 da iki faklı otam sınıına nomal doğultusunda gelen, yansıyan ve iletilen alan ifadelei gösteilmişti. Buada E + 1 ve H gelen EM dalga bileşenlei E 1 - ve H 1 ise yansıyan EM dalga bileşenleidi. Yansıma sabiti: Sınıda yansıyan elektik alan dalgasının sınıa gelen elektik alan dalgasına oanı yansıma sabiti olaak tanımlanı ve eşitlik (1.9.8) ile ifade edili. (1.9.8) (1.9.9) İletim sabiti: Sınıda Otam II ye iletilen elektik alan dalgasının sınıına gelen elektik alan dalgasına oanı iletim sabiti olaak tanımlanı ve şu şekilde ifade edili. (1.9.10) (1.9.11) Bu ifadele şu şekilde youmlanı. (1.9.12) 1. Eğe η 1 =η 2 Γ=0 ve τ=1 olu. Bu, gelen dalganın tamamen iletildiği anlamına geli. İki otamın paametele bakımından özdeş olduğu sonucu çıka. 2. İki otamda mükemmel dielektik ise σ 1 =σ 2 =0 ve iki otam için µ 1 =µ 2 fakat ε 1 ε 2 ise yansıma ve iletim sabitlei şu şekilde ifade edili. 207

222 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) ve (1.9.13) 3. Eğe σ 2 ise η 2 =0 Γ=-1 ve τ 0 olu. Şayet Otam II mükemmel iletken ise gelen dalga tamamen yansı. Em Dalga Modlaı Çok iyi iletken bi otamın dei kalınlığı δ= 2 ωµσ ile bulunu. Yüksek fekanslada δ çok küçüktü. Öneğin bakı için 1 MHz de 0.07 mm di. Çok yüksek fekanslı bi işaet iletken yadımıyla taşınıken, iletkeninin otasını boş yapmak hatta iletken yeine bou kullanmak daha uygundu. Öyleyse dalga kılavuzu, çok yüksek fekanslı elektomanyetik dalgalaı taşımak için düzenlenmiş metal bi boudu. Dalga kılavuzu sinyal iletme açısından iletkene benze. Ancak iletken, elektik akımını; dalga kılavuzu ise dalgalaı ileti. Ayıca iletkenden akımın geçebilmesi için kapalı bi elektik devesi geekiken dalga kılavuzunda buna geek yoktu. Radyo veicisinden yayınlanan dalgalala, dalga kılavuzundan iletilen dalgala aasında fak vadı. Veiciden enine elektomanyetik dalgala yayınlanıken, dalga kılavuzunda böyle 208

223 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) olmaz. Bu faklılaşmaya dalga kılavuzunun çepelei neden olu. Dalga kılavuzu ile eneji iletimi, enejinin elektomanyetik dalgala halinde, bou biçimli yapının içine bi veici anten yeleştiilmesiyle sağlanı. Dalga kılavuzu içinde yayılan enejide hehangi bi kayıp olmadığı vasayılısa, bounun diğe ucundan benze bi anten aynı enejiyi alacaktı. Bi dalga kılavuzu içinde uyaılmış olan dalgala, patik olaak sadece bou içinde yayılıla ve bou dışındaki otama eneji vemezle. Yani bou, dalgalaa kılavuzluk edeek enejinin hangi yönde taşınacağını göstei. Bu nedenle böyle dalgalaa kılavuzlamış dalgala deni. Dalga kılavuzunun kendisi, ilettiği elektomanyetik dalganın enejisini çeveye yaymaz. Ancak dalga kılavuzunun çepeleinde delikle veya çentikle açılaak dalgalaın çeveye ışıması sağlanı. Dalga kılavuzlaı yalnızca belili dalga boylaı için kullanılı. Bi elektomanyetik dalganın dalga kılavuzu aacılığıyla iletilebilmesi için, dalga boyunun kanalın çapıyla aynı ya da ondan daha küçük olması geeki. Bu nedenle dalga kılavuzlaı, dalga boylaı 1 mm ile 1 m aasında değişen kısa mikodalgala için kullanılı. Bi dalga kılavuzunda mevcut olan çeşitli alan dağılım şekillei, bunlaın TM ve TE modlaı olaak isimlendiilen iki esas tipe ayılabileceğini göstei. Enine Elektik ( TE ) Modu : Elektomanyetik dalganın, dalga kılavuzunun ekseni boyunca yayıldığı düşünülüse, TE modunda elektik alan, kılavuz eksenine dik doğultuda olup eksen boyunca hehangi bi elektik alan bileşeni yoktu. Manyetik alanın hem eksen doğultusunda hem de eksene dik bileşenlei vadı. Enine Magnetik ( TM ) Mod : TM modunda manyetik alanın kılavuz ekseni doğultusunda bileşeni yoktu. Buna kaşılık elektik alanın hem eksen doğultusunda hem de eksene dik bileşenlei vadı. 209

224 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Enine Elektomagnetik ( TEM ) Modu : TEM modunda elektik ve manyetik alanlaın kılavuz ekseni boyunca yani yayılım yönünde bileşenlei yoktu. Dalga kılavuzlaında TEM dalgalaı kılavuzlanamazla. Sadece TM veya sadece TE veya he ikisi biden bulunabili. Genellikle dalga kılavuzlaı bi tek mod bulunacak şekilde çalıştıılmak isteni. Çünkü bu duumda en küçük boyutlu kılavuz kullanılı ve istenmeyen modla kolayca otadan kaldıılabili. He tip mod, kendi özel elektik ve manyetik alan konfigüasyonuna sahipti. He mod ve ebat için, yayılımın mümkün olduğu bi en alt fekans vadı. Buna kesim fekansı deni. Dalga kılavuzlaı yüksek geçien filte gibi davanaak kılavuz boyutlaının belilediği kitik bi değeden veya bi kesim değeinden daha düşük fekanslı dalgalaı iletmezle. Bunun sonucu olaak ancak yüksek fekanslada bi anlam taşıla. Dalga kılavuzunda faklı modla faklı dalga boylaına sahip olduğundan, kılavuzu biden fazla mod için ayalamak genellikle mümkün değildi. Ayıca kılavuz içindeki hehangi bi kesinti veya köşe, başka modlaın otaya çıkmasına neden olacağından en düşük modu iletecek kılavuzun seçilmesi uygundu. Dalga kılavuzu içindeki modlaı tanımlamak için yalın simgele kullanılı. Bu simgelein altına konulan indisle, dalga kılavuzunun genişlik ve deinliğine uygun düşen belli fekans yayımının yaı dalga boyunu göstei. 210

225 Bi dalga kılavuzunun en uygun kesiti, yönlendieceği dalganın özellikleine göe belileni. En basit ve en yaygın kullanılan dalga kılavuzlaı, eni boyunun yaklaşık iki katı olan Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) dikdötgen kesitli aygıtladı. İkinci sıada daiesel kesitlile geli. Elips biçiminde olan tülei de vadı. Dalga kılavuzlaının, mikodalgalaı köşeli otamlaın ötesine iletmesi geektiğinde özel mafsalladan ve disekleden yaalanılı. Mikodalgalaı klavuza uygun bükümle veili. o 90 lik bi açıyla döndümek için Dalga kılavuzunda hehangi bi yayılım modu için zayıflama iki nedenle meydana geli. 1- Bou içine dolduulan dielektiğin iletkenliği sıfı değilse dielektik kayıplaı olu. 2- Bou çepeleinde omik kayıpla olu. Boulada dielektik genel olaak havadı. 10 GHz in altında dielektik zayıflaması ihmal edilebili. Çeşitli mikodalga fekans bandlaı için standat boyutlada boula kullanılmaktadı. 300 MHz den 400 GHz e kada imalat yapılmaktadı. Dalga kılavuzu yapımında alüminyum, gümüş ve piinç kullanılı. İki Dielektik Sınıına Belli Bi Açı İle Gelen EM dalgalaın Yansıması ve İletimi Elektik alan geliş düzlemine dik ise bu duum TE polaizasyon (paalel polaizasyon) olaak adlandıılı. Eğe elektik alan geliş düzlemine paalel ise TM polaizasyon (dik polaizasyon) olaak tanımlanı. TE polaizasyon için dielektik sınıda yansıma ve iletim olaylaı Şekil 7 de gösteilmişti. 211

226 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) k Yansıyan dalga H E t k t İletilen dalga E i θ Otam I θ Şekil 7. k H i σ 1, µ 1,ε 1,η 1 i Otam II i Gelen σ 2, µ 2,ε 2,η 2 dalga θ t H t z Şekil 6 TE polaizasyon için yansıyan ve iletilen dalga bileşenlei Şekil 6 de gelen elektik alan bileşeni ifadesi; ( ) Manyetik alan bileşeni ( ) TE polaizasyonuna ait alan bileşenlei gelen, yansıyan alan ve iletilen alan bileşenleidi. Bunladan gelen alan bileşenlei; 212

227 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) ( ) ( ) Yansıyan alan bileşenlei; ( ) ( ) ve iletilen alan bileşenlei ( ) ( ) Fekans Ve Dalga Boyu Tüm elektomanyetik dalgala, mükemmel bi vakum tüpün içinde yaklaşık olaak ışık hızında (3108 m/sn) yayılıla. Bu yayılım hızı deniz seviyesinin hemen üzeindeki bi yükseklikte vakum tüpe nazaan ihmal edilebilecek deecede düşüktü. O yüzden ada işaetlei için, elektomanyetik dalgalaın yayılım hızı ışık hızı olaak kabul edili. Bilindiği gibi ışık hızı; c=f λ (1.10.1) şeklinde ifade edili. Buada c; ışığın yayınım hızını [m/s], f; yayılan dalganın fekansını [Hz] ve λ ise dalga boyunu [m] göstemektedi. Günümüzde adala kullanım alanlaı ve tiplei itibaiyle çok faklı dalga boylaı ve fekanslada çalışmaktadıla. Sayısal 213

228 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) hesaplamalada elektomanyetik dalgalaın boşlukta yayıldığı kabul edili ve dalgalaın yayıldığı otamın empedansı olaak boşluğun kaakteistik empedansını kullanılmaktadı (Taflove, 1995). Bulunduğumuz otamın empedansı, (1.10.2) olaak veili. Boşlukta ise bu hesaplama, µ 0 =4λ 10-7 [H/m]; boşluğun manyetik geçigenlik sabiti ve [F/m]; boşluğun dielektik sabiti olmak üzee, (1.10.3) (1.10.4) olaak veilmektedi. Dalga Tiplei Bi elektomanyetik dalganın yayınımına ait gösteim Şekil 8 deki gibidi. Şekilde elektomanyetik dalganın elektik alanının, k biim vektöü ile gösteilen yayınım doğultusu ile zamana göe nasıl değiştiği gösteilmektedi. Elektik alan vektöü E manyetik alan vektöü H ye dikti ve he ikisi de k yayınım doğultusu vektöüne diktile. 214

229 Ek 1 Elektomanyetik Dalgala (Devam) Şekil 7. Elektomanyetik düzlem dalga bileşenlei Şekil 7 de mesafe attıkça dalganın genliğinde azalma olmamaktadı. İşte bu düzlem dalgadı. Bi düzlem dalga adından da anlaşılacağı üzee sabit fazladaki düzlemleden oluşu. Düzlem dalgala doğada nadien bulunula. Bi önek olaak yıldızladan gelen ışıkla düzlem dalgala şeklinde yayıldıklaını söyleyebiliiz. Sabit faz yüzeyi küesel olan dalgala ise küesel dalgala olaak adlandıılıla. Bu tü dalgala doğalaı geeği noktasal kaynakladan yayılıla. Diğe bi tip ise silindiik dalgaladı. Bu tipte ise sabit faz yüzeylei silindiik yapıdadı. Şekil 9 da silindiik, küesel ve düzlem dalgala bilikte gösteilmişti. Silindiik bi dalga sonsuz uzunluktaki doğusal bi kaynaktan yayılı. Silindiik dalgala, doğada düzlem ve küesel dalgalaa nazaan daha az göülüle. Fakat teoik uygulamalada sıklıkla kullanılmaktadıla. Bunlaın dışında biçok dalga şekillei bulunmaktadı. Fakat ada uygulamalaında kullanılan elektomanyetik dalgala bahsedildiği gibi yayılmaktadıla. 215

230 Silindiik dalgala Küesel dalgala Düzlem dalgala Şekil 8. Silindiik, küesel ve düzlem dalgala. Okla yayınım yönleini göstemektedi 216

231 EK 2 GPR POLARİZASYON VE GPR ANTENLER GPR POLARİZASYON Bi dalganın polaizasyonu, uzayın sabit bi noktasındaki elektik alanın en yüksek değeinin zamanla değişim biçimi olaak tanımlanmaktadı (Kong, 1986). Polaizasyon kavamı elektomanyetik teoide sıklıkla kaşımıza çıkan bi kavamdı, doğusal, daiesel ve eliptik olmak üzee üç çeşidi vadı. Jeofizik yöntemlede iki çeşit polaizasyon şeklinin va olduğu kabul edili ve bunlaa bağlı olaak iki çeşit ölçü alma modu geliştiilmişti (Şekil 1). Buna göe eğe ölçülen elektik alan jeolojik yapının doğultusuna paalelse buna E tipi polaizasyon, eğe ölçülen manyetik alan jeolojik doğultuya dikse buna da H tipi polaizasyon adı veilmektedi. Şekil 1 Ölçülen elektik alanın jeolojik doğultuya dik veya paalel olması duumunda EM alan bileşenlei (Beamish, 1998). 217

232 Ek 2 GPR Polaizasyon ve GPR Antenle (devam) Antenden ışınan elektomanyetik dalganın polaizasyonu ve üç çeşit polaizasyon bulunmaktadı. Doğusal polaizasyon Daiesel polaizasyon Eliptik polaizasyon Şekil 2 Polaizasyon tülei ve açıklaması 218

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals

ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eigenfrequency Contours of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Crystals Ç.Ü Fen e Mühendislik Bilimlei Deisi Yıl:0 Cilt:8-3 ZnX (X=S, Se, Te) FOTONİK KRİSTALLERİNİN ÖZFREKANS KONTURLARI * Eienfequency Contous of ZnX (X=S, Se, Te) Photonic Cystals Utku ERDİVEN, Fizik Anabilim

Detaylı

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI

BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İLE ALÇAK GEÇİREN FİLTRE TASARIMI BASAMAK TİPİ DEVRE YAPISI İE AÇAK GEÇİREN FİTRE TASARIMI Adnan SAVUN 1 Tugut AAR Aif DOMA 3 1,,3 KOÜ Mühendislik Fakültesi, Elektonik ve abeleşme Müh. Bölümü 41100 Kocaeli 1 e-posta: adnansavun@hotmail.com

Detaylı

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ

MATLAB GUI TABANLI ELEKTROMIKNATIS DEVRE TASARIMI VE ANALİZİ PAMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 005 : 11 : 1 : 13-19

Detaylı

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER

KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ ÖRNEKLER BİR KUYRUK SİSTEMİNİN ÖRNEKLER KUYRUK SİSTEMİ VE SİSTEM SİMULASYONU 5. KUYRUK SİSTEMLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa ya da

Detaylı

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ

SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ SİSTEM SİMULASYONU KUYRUK SİSTEMLERİ KUYRUK SİSTEMİ VE BİLEŞENLERİ Bi kuyuk sistemi; hizmet veen bi veya biden fazla sevise sahipti. Sisteme gelen müşteile tüm sevislei dolu bulusa, sevisin önündeki kuyuğa

Detaylı

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU

BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU BÖLÜM 5 İDEAL AKIŞKANLARDA MOMENTUMUN KORUNUMU Linee İmpuls-Momentum Denklemi Haeket halinde bulunan bi cismin hehangi bi andaki doğusal hızı, kütlesi m olsun. Eğe dt zaman aalığında cismin hızı değişiyosa,

Detaylı

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ

SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ TRİBOLOJİ LABORATUARI DENEY FÖYÜ DENEY ADI RADYAL KAYMALI YATAKLARDA SÜRTÜNME KUVVETİNİN ÖLÇÜLMESİ DERSİN ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.

Detaylı

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ

TMMOB ELEKTRİK MÜHENDİSLERİ ODASI ELEKTRİK TESİSLERİNDE TOPRAKLAMA ÖLÇÜMLERİ VE ÖLÇÜM SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ TMMOB ELEKTİK MÜHENDİSLEİ ODASI ELEKTİK TESİSLEİNDE TOPAKLAMA ÖLÇÜMLEİ VE ÖLÇÜM SONUÇLAININ DEĞELENDİİLMESİ Not : Bu çalışma Elk.Y.Müh. Tane İİZ ve Elk.Elo.Müh. Ali Fuat AYDIN taafından Elektik Mühendislei

Detaylı

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek.

3. EŞPOTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ. Bir çift elektrot tarafından oluşturulan elektrik alan ve eş potansiyel çizgilerini görmek. 3. EŞPOTNSİYEL VE ELEKTRİK LN ÇİZGİLERİ MÇ i çift elektot taafından oluştuulan elektik alan ve eş potansiyel çizgileini gömek. RÇLR Güç kaynağı Galvanomete Elektot (iki adet) Pob (iki adet) İletken sıvı

Detaylı

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ

BÖLÜM 2 KORUNUM DENKLEMLERİ BÖLÜM KORUNUM DENKLEMLERİ.-Uzayda sabit konumlu sonlu kontol hacmi.- Debi.3- Haeketi takiben alınmış tüev.4- üeklilik denklemi.5- Momentum denklemi.6- Eneji Denklemi.7- Denklemlein bilançosu Kounum Denklemlei

Detaylı

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A.

FİZ102 FİZİK-II. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Grubu Bahar Yarıyılı Bölüm-III Ankara. A. FİZ12 FİZİK-II Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B-Gubu 214-215 Baha Yaıyılı Bölüm-III Ankaa A. Ozansoy Bölüm-III: Gauss Kanunu 1. lektik Akısı 2. Gauss Kanunu 3. Gauss Kanununun Uygulamalaı

Detaylı

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014

ASTRONOTİK DERS NOTLARI 2014 YÖRÜNGE MEKANİĞİ Yöüngeden Hız Hesabı Küçük bi cismin yöüngesi üzeinde veilen hehangi bi noktadaki hızı ve bu hızın doğultusu nedi? Uydu ve çekim etkisinde bulunan cisim (Ye, gezegen, vs) ikili bi sistem

Detaylı

Nokta (Skaler) Çarpım

Nokta (Skaler) Çarpım Nokta (Skale) Çapım Statikte bazen iki doğu aasındaki açının, veya bi kuvvetin bi doğuya paalel ve dik bileşenleinin bulunması geeki. İki boyutlu poblemlede tigonometi ile çözülebili, ancak 3 boyutluda

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu 3. Bölüm (Doğrusal Hareket) Özet FİZ11 FİZİK-I Ankaa Üniesitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Gubu 3. Bölüm (Doğusal Haeket) Özet.1.14 Aysuhan Ozansoy Haeket Nedi? Mekanik; kuetlei e onlaın cisimle üzeine etkileini inceleyen fizik dalıdı

Detaylı

OPTİMUM RADAR PARAMETRELERİNİN SÜREKLİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMIYLA KARIŞTIRMA ORTAMINDA RADAR MENZİLİNİN MAKSİMİZE EDİLMESİ İÇİN BELİRLENMESİ

OPTİMUM RADAR PARAMETRELERİNİN SÜREKLİ GENETİK ALGORİTMA YARDIMIYLA KARIŞTIRMA ORTAMINDA RADAR MENZİLİNİN MAKSİMİZE EDİLMESİ İÇİN BELİRLENMESİ Optimum ada Paameteleinin Süekli Genetik Algoitma Yadımıyla Kaıştıma Otamında ada Menzilinin Maksimize Edilmesi İçin Belilenmesi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLEİ DEGİSİ TEMMUZ 2004 CİLT 1 SAYI 4 (41-46)

Detaylı

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b

YX = b X +b X +b X X. YX = b X +b X X +b X. katsayıları elde edilir. İlk olarak denklem1 ve denklem2 yi ele alalım ve b Kadelen Bisküvi şiketinin on şehideki eklam statejisi Radyo-TV ve Gazete eklamı olaak iki şekilde geçekleşmişti. Bu şehiledeki satış, Radyo-TV ve Gazete eklam veilei izleyen tabloda veilmişti. Şehi No

Detaylı

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY

Ankara Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankara Aysuhan OZANSOY FİZ11 FİZİK Ankaa Üniesitesi Diş Hekimliği Fakültesi Ankaa Aysuhan OZANSOY Bölüm-III : Doğusal (Bi boyutta) Haeket 1. Ye değiştime e Haeketin Tanımı 1.1. 1 Mekanik Nedi? 1.. Refeans çeçeesi, Konum, Ye

Detaylı

50 40 ----------30 20 10

50 40 ----------30 20 10 HACİM Maddenin uzayda kaplamış olduğu yedi.bi cismin kapladığı yei aynı anda başka bi cisim kaplayamaz.hacim biimlei m3 veya cm3 tü.ayıca sıvıla için Lite kullanılı. 1 Lite=1 dm3 1 ml=1cm3=1cc A)Katılaın

Detaylı

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU

BÖLÜM 2 GAUSS KANUNU BÖLÜM GAUSS KANUNU.1. ELEKTRİK AKISI Elektik akısı, bi yüzeyden geçen elektik alan çizgileinin sayısının bi ölçüsüdü. Kapalı yüzey içinde net bi yük bulunduğunda, yüzeyden geçen alan çizgileinin net sayısı

Detaylı

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi

Latex 3000 Yazıcı serisi. Kurulum Yerini Hazırlama Denetim Listesi Latex 3000 Yazıcı seisi Kuulum Yeini Hazılama Denetim Listesi Telif Hakkı 2015 HP Development Company, L.P. 2 Yasal bildiimle Bu belgede ye alan bilgile önceden habe veilmeksizin değiştiilebili. HP üün

Detaylı

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için

SAE 10, 20, 30 ve 40 d = 200 mm l = 100 mm W = 32 kn N = 900 d/dk c = mm T = 70 C = 2. SAE 10 için ÖRNEK mm çapında, mm uzunluğundaki bi kaymalı yatakta, muylu 9 d/dk hızla dönmekte ve kn bi adyal yükle zolanmaktadı. Radyal boşluğu. mm alaak SAE,, ve yağlaı için güç kayıplaını hesaplayınız. Çalışma

Detaylı

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları

2013 2013 LYS LYS MATEMATİK Soruları LYS LYS MATEMATİK Soulaı. LYS 5. LYS ( + a ) = 8 < < olmak üzee, olduğuna öe, a kaçtı? I. A) D) II. + III. (.) ifadeleinden hanileinin değei neatifti? A) Yalnız I Yalnız II Yalnız III D) I ve III II ve

Detaylı

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU

Bölüm 5 Manyetizma. Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU ölüm 5 Manyetizma Pof. D. ahadı OYACOĞLU Manyetizma Manyetik Alanın Tanımı Akım Taşıyan İletkene Etkiyen Kuvvet Düzgün Manyetik Alandaki Akım İlmeğine etkiyen Tok Yüklü bi Paçacığın Manyetik Alan içeisindeki

Detaylı

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ

SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ SİSTEM MODELLEME VE OTOMATİK KONTROL FİNAL/BÜTÜNLEME SORU ÖRNEKLERİ.Gup: Vize sou önekleindeki son gup (Routh-Huwitz testi) soula dahildi. Bunla PID soulaıyla bilikte de soulabili..) Tansfe fonksiyonu

Detaylı

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ YENİ NESİL ASANSÖRLERİN ENERJİ VERİMLİLİĞİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ ÖZET Egün ALKAN Elk.Y.Müh. Buga Otis Asansö Sanayi ve Ticaet A.Ş. Tel:0212 323 44 11 Fax:0212 323 44 66 Balabandee Cad. No:3 34460 İstinye-İstanbul

Detaylı

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT

3 FAZLI SİSTEMLER. şartlarda daha fazla güç nakli mümkündür. 26.05.2013 3 fazlı sistemler 1 3-FAZLI DENGELİ SİSTEMLER V OR V OS O V OT 3 FA İEME n Çok azlı sistemle, geilimleinin aasında az akı bulunan iki veya daha azla tek azlı sistemin bileştiilmiş halidi ve bu işlem simetik bi şekilde yapılı. n ek azlı sistemlede güç dalgalı olduğu

Detaylı

KÖPRÜLERİN YAPISAL ÖZELLİKLERİNİN DİNAMİK ÖLÇÜMLER VE MODAL ANALİZ İLE BELİRLENMESİ

KÖPRÜLERİN YAPISAL ÖZELLİKLERİNİN DİNAMİK ÖLÇÜMLER VE MODAL ANALİZ İLE BELİRLENMESİ KÖPRÜLERİN YAPISAL ÖZELLİKLERİNİN DİNAMİK ÖLÇÜMLER VE MODAL ANALİZ İLE BELİRLENMESİ Ahmet TÜRER*, Hüseyin KAYA* *Ota Doğu Teknik Üniv., İnşaat Müh. Böl., Ankaa ÖZET Köpülein yapısal duumu hakkındaki değelendimele

Detaylı

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi

Otomatik Depolama Sistemlerinde Kullanılan Mekik Kaldırma Mekanizmasının Analizi Uluslaaası Katılımlı 17. Makina Teoisi Sempozyumu, İzmi, 14-17 Hazian 21 Otomatik Depolama Sistemleinde Kullanılan Mekik Kaldıma Mekanizmasının Analizi S.Telli Çetin * A.E.Öcal O.Kopmaz Uludağ Ünivesitesi

Detaylı

Basit Makineler Çözümlü Sorular

Basit Makineler Çözümlü Sorular Basit Makinele Çözümlü Soula Önek 1: x Çubuk sabit makaa üzeinde x kada haeket ettiilise; makaa kaç tu döne? x = n. n = x/ olu. n = sabit makaanın dönme sayısı = sabit makaanın yaıçapı Önek : x Çubuk x

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri Basit Makinele BASİ MAİNELER est in Çözümlei. Şekil üzeindeki bilgilee göe dinamomete değeini göstei. Cevap D di.. Makaa ve palanga sistemleinde kuvvetten kazanç sayısı kada yoldan kayıp vadı. uvvet kazancı

Detaylı

DOĞUŞ-USV İNSANSIZ DENİZ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA

DOĞUŞ-USV İNSANSIZ DENİZ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA DOĞUŞ-USV İNSANSI DENİ ARACI: STEREO GÖRÜŞ İLE HARİTALANDIRMA Ebu Dağlı, Cane Civan 2, Sean Şöhmelioğlu,Fazıl Eme Ediş, Dilek Tükel Kontol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü Doğuş Ünivesitesi, Aıbadem 2K869@dogus.edu.t

Detaylı

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır?

EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015. Bireysel emeklilik sistemine ilişkin olarak aşağıdakilerden hangisi(leri) yanlıştır? EMEKLILIK SİSTEMLERİ SINAV SORULARI WEB-ARALIK 2015 Sou-1 Bieysel emeklilik sistemine ilişkin olaak aşağıdakileden hangisi(lei) yanlıştı? I. Bieysel emeklilik sistemindeki biikimle Sosyal Güvenlik Sistemine

Detaylı

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI

POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI .. SAU Fen Bilimlei Enstitüsü Degisi 6.Cilt, 1.Saı (Mat 2002) Pozison Kontolüne Yönelik DC Moto Ugulaması A.İ.Doğman, A.F.Boz POZiSYON KONTROLÜNE YÖNELİK DC MOTOR UYGULAMASI 'oj Ali lhsan DOGMAN, Ali Fuat

Detaylı

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ

SENKRON RELÜKTANS MAKİNASININ ANALİZİ SENKRON REÜKTANS MAKİNASNN ANAİZİ Esoy BEŞER 1 H.Taık DURU 2 Sai ÇAMUR 3 Biol ARİFOĞU 4 Esa KANDEMİR 5 Elektik Mühendisliği Bölümü Mühendislik Fakültesi Koeli Ünivesitesi, Vezioğlu Kampusü, 411, Koeli

Detaylı

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi

En Küçük Kareler Ve Toplam En Küçük Kareler Yöntemleri İle Deformasyon Analizi En Küçük Kaele Ve oplam En Küçük Kaele Yöntemlei İle Defomasyon nalizi Mustafa CR,evfik YN, Ohan KYILMZ Özet u çalışmada, oplam En Küçük Kaele (EKK) yönteminin defomasyon analizinde uygulanması, elde edilen

Detaylı

r r r r

r r r r 997 ÖYS. + 0,00 0,00 = k 0,00 olduğuna göe, k kaçtı? B) C). [(0 ) + ( 0) ] [(9 0) (0 ) ] işleminin sonucu kaçtı? B) C) 9 6. Bi a doğal sayısının ile bölündüğünde bölüm b, kalan ; b sayısı ile bölündüğünde

Detaylı

Boru İçerisindeki Bir Akış Problemine Ait Analitik ve Nümerik Çözümler

Boru İçerisindeki Bir Akış Problemine Ait Analitik ve Nümerik Çözümler Afyon Kocatepe Üniesitesi Fen Bililei Degisi Afyon Kocatepe Uniesity Jounal of Sciences AKÜ FEBİD () 59 (-9) AKU J. Sci. () 59 (-9) Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle Eine Ceyan,Muhaet

Detaylı

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi

Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bir Silindirik Borunun Gerilme Analizi Uludag.Üniv.Zi.Fak.Deg., 25) 19: 23-36 Sonlu Elemanla Yöntemiyle Yumuşak Polietilen Bi Silindiik Bounun Geilme Analizi Muhaem ZEYTİNOĞLU * ÖZET Taım, anayii ve konut ektöünde kullanılan, ıvı ve gaz iletim

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Jounal of Engineeing and Natual Sciences Mühendislik ve Fen Bilimlei Degisi Sigma 6 47-66, 8 Aaştıma Makalesi / eseach Aticle DESIGN OF GOUNDING GID WITH AND WITHOUT GOUNDING OD IN TWO-LAYE SOIL MODEL

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MİKROSULAMA LATERAL BORULARINDA İDROLİK ESAP METOTLARININ KARŞILAŞTIRMALI ANALİZİ VE ÇOK ÇAPLI BORULAR İÇİN LİNEER ÇÖZÜM METODU DOKTORA TEZİ Y. Müh.

Detaylı

Batman Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu 2014 Yılı. Özel Yetenek Sınavı Sonuçlarının Değerlendirilmesi

Batman Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu 2014 Yılı. Özel Yetenek Sınavı Sonuçlarının Değerlendirilmesi Batman Ünivesitesi Beden Eğitimi ve Spo Yüksekokulu 2014 Yılı Özet: Özel Yetenek Sınavı Sonuçlaının Değelendiilmesi Mehmet Emin YILDIZ 1* Buak GÜRER 2 Ubeyde GÜLNAR 1 1 Batman Ünivesitesi Beden Eğitimi

Detaylı

Öğrenci No: Ürünler Masa Sandalye Kitaplık İşçilik süresi (saat/adet) Talep miktarı (adet)

Öğrenci No: Ürünler Masa Sandalye Kitaplık İşçilik süresi (saat/adet) Talep miktarı (adet) Oman Endüsti Mühendisliği ölümü TESİS PLNLM asınav 14.11.2016 15:00 Öğenci No: İmza dı Soyadı: SORU 1. ltenatif işletme büyüklükleinin optimum kapasiteye göe aşıı veya eksik olmasının işletme açısından

Detaylı

BURSA HAFİF RAYLI TAŞIMA SİSTEMİ İÇİN AKIM KAYNAKLI AKTİF GÜÇ FİLTRESİ UYGULAMASI

BURSA HAFİF RAYLI TAŞIMA SİSTEMİ İÇİN AKIM KAYNAKLI AKTİF GÜÇ FİLTRESİ UYGULAMASI BURSA HAFİF RAYLI TAŞIMA SİSTEMİ İÇİN AKIM KAYNAKLI AKTİF GÜÇ FİLTRESİ UYGULAMASI A.Teciyanlı*, O.Uçak*, T.Kılınç*, R.Çına, İ.Özkan *TÜBİTAK-UZAY ODTÜ/ANKARA, BURULAŞ, Nilüfe/BURSA alpe.teciyanli@uzay.tubitak.gov.t

Detaylı

Yakın Yer Uydularının Duyarlı Yörüngelerinin Belirlenmesi

Yakın Yer Uydularının Duyarlı Yörüngelerinin Belirlenmesi TMMOB Haita ve Kadasto Mühendislei Odası, 5. Tükiye Haita Bilimsel ve Teknik Kuultayı, 25 28 Mat 25, Ankaa. Yakın Ye Uydulaının Duyalı Yöüngeleinin Belilenmesi Sekan Doğanalp *, Aydın Üstün 2 Necmettin

Detaylı

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ Öncelikle çembein tanımını hatılayalım. Neydi çembe? Çembe, düzlemde bi noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktala kümesiydi. O halde çembein analitik incelenmesinde en önemli

Detaylı

MALİ UZLAŞTIRMA HESAPLAMALARI

MALİ UZLAŞTIRMA HESAPLAMALARI ELEKTRİK PİYASASI DENGELEME ve UZLAŞTIRMA YÖNETMELİĞİ MALİ UZLAŞTIRMA HESAPLAMALARI 11 Ekim 2011, Ankaa Hüseyin ALTUNTAŞ Piyasa Mali Uzlaştıma Mekezi Gündem Uzlaştıma Uzlaştıma Süeçlei Gün Öncesi Piyasası

Detaylı

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007)

MEKANİK TİTREŞİMLER. (Dynamics of Machinery, Farazdak Haideri, 2007) MEKANİK TİTREŞİMLER TİTREŞİM ÖLÇÜMÜ: Titeşim ölçümü oldukça kapsamlı bi koudu ve mekaik, elektik ve elektoik bilgisi içeiklidi. Titeşim ölçümleide titeşim geliği (ye değiştime-displacemet, hız-velocity

Detaylı

( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) TRANFORMATORLAR Genel Elektiksel Özelliklei ve Gücünün Belilenmesi TRGT ODABAŞ Fiziksel Temelle Giiş Tansfomatole geilim ve akımın ölçülmesi veya sinyal ve gücün taşınması gibi özel maksatla için dizayn

Detaylı

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540

Örnek 1. Çözüm: Örnek 2. Çözüm: 60 30000 300 60 = = = 540 Önek 1 1.8 kn yük altında 175 dev/dak dönen bi mil yatağında çalışacak bilyeli ulman için, 5 saat ömü ve %9 güvenililik istemekteyiz. Öneğin SKF kataloğundan seçmemiz geeken inamik yük sayısı (C 1 ) nedi?

Detaylı

Bölüm 6: Dairesel Hareket

Bölüm 6: Dairesel Hareket Bölüm 6: Daiesel Haeket Kaama Soulaı 1- Bi cismin süati değişmiyo ise hızındaki değişmeden bahsedilebili mi? - Hızı değişen bi cismin süati değişi mi? 3- Düzgün daiesel haekette cismin hızı değişi mi?

Detaylı

Yasemin Öner 1, Selin Özçıra 1, Nur Bekiroğlu 1. Yıldız Teknik Üniversitesi yoner@yildiz.edu.tr, sozcira@yildiz.edu.tr, nbekir@yildiz.edu.tr.

Yasemin Öner 1, Selin Özçıra 1, Nur Bekiroğlu 1. Yıldız Teknik Üniversitesi yoner@yildiz.edu.tr, sozcira@yildiz.edu.tr, nbekir@yildiz.edu.tr. Düşük Güçlü Uygulamala için Konvansiyonel Senkon Geneatöle ile Süekli Mıknatıslı Senkon Geneatölein Kaşılaştıılması Compaison of Conventional Synchonous Geneatos and emanent Magnet Synchonous Geneatos

Detaylı

2.4 GHz de Yüksek Kazançlı Mikroşerit Yama Anten Tasarım ve Gerçekleştirimi 2.4 GHz High Power Microstrip Patch Antenna Design and Realization

2.4 GHz de Yüksek Kazançlı Mikroşerit Yama Anten Tasarım ve Gerçekleştirimi 2.4 GHz High Power Microstrip Patch Antenna Design and Realization 4 GHz de Yüksek Kazançlı Mikoşeit Yama Anten Tasaım ve Geçekleştiimi 4 GHz High Powe Micostip Patch Antenna Design and Realization Alpe Yıldıım, H Bülent Yağcı, Selçuk Pake Telenetonics npsh, Mbeti Zog

Detaylı

DNS temelleri ve BIND DNS sunucusu. Devrim GÜNDÜZ. TR.NET devrim@oper.metu.edu.tr. http://seminer.linux.org.tr http://belgeler.linux.org.

DNS temelleri ve BIND DNS sunucusu. Devrim GÜNDÜZ. TR.NET devrim@oper.metu.edu.tr. http://seminer.linux.org.tr http://belgeler.linux.org. DNS temellei ve sunucusu Devim GÜNDÜZ TR.NET devim@ope.metu.edu.t http://semine.linux.og.t http://belgele.linux.og.t Giiş Bu seminede, aşağıdaki konula anlatılacaktı: DNS Nedi? DNS Yapısı nasıldı? Ne zaman

Detaylı

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI

ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI ELEKTRONİĞİN FİZİKSEL ESASLARI Bi elektonik elemanın özelliğini, bu elemanın üetiminde kullanılan malzemenin paametelei ve ısı, geilim ışık gibi dış etkenleden dolayı elemanın içinde geçekleşen fiziksel

Detaylı

ASD: Çok Amaçlı Ayarlanabilir Sınıflandırıcı Devreler

ASD: Çok Amaçlı Ayarlanabilir Sınıflandırıcı Devreler ASD: Çok Amaçlı Ayalanabili Sınıflandııcı Deele Poje No: 06E39 Pof. D. Cem GÖKNAR Pof. D. Shaham MINAEI D. Meih YILDIZ D. Engin DENİZ EYLÜL 00 İSTANBUL ÖNSÖZ Bu pojenin ilk aşamasında mecut sınıflandııcı

Detaylı

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

LYS TÜREV KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI LYS TÜREV KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Tüev... Sağdan Ve Soldan Tüev... Tüev Alma Kuallaı...7 f n () in Tüevi... Tigonometik Fonksionlaın Tüevi... 6 Bileşke Fonksionun Tüevi... Logaitma

Detaylı

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar:

Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kullanılan Temel Matematiksel Fonksiyonlar: Kominikayon da ve de Sinyal Đşlemede kllanılan Temel Matematiksel Fonksiyonla: Unit Step fonksiyon, Implse fonksiyon: Unit Step Fonksiyon: Tanim: Unit Step fonksiyon aşağıdaki gibi iki şekilde tanımlanabili

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI SAĞLIK BAKANLIĞI PERSONEL GENEL MÜDÜRLÜĞÜ PERSONELİNİN UNVAN DEĞİŞİKLİĞİ SINAVI 29. GRUP: MAKİNE MÜHENDİSİ T.. MİLLÎ EĞİTİM KNLIĞI EĞİTİM TEKNOLOJİLERİ GENEL MÜÜRLÜĞÜ Ölçme eğelendime ve çıköğetim Kuumlaı aie aşkanlığı KİTPÇIK TÜRÜ dayın dı ve Soyadı : day Numaası (T.. Kimlik No) : SĞLIK KNLIĞI PERSONEL GENEL

Detaylı

FEMTOSANİYE LAZERLERİN METALLERLE ETKİLEŞİMLERİNDE DALGAKILAVUZU DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ DOKTORA TEZİ. Abdullah Kamuran TÜRKOĞLU

FEMTOSANİYE LAZERLERİN METALLERLE ETKİLEŞİMLERİNDE DALGAKILAVUZU DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ DOKTORA TEZİ. Abdullah Kamuran TÜRKOĞLU İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FEMTOSANİYE LAZERLERİN METALLERLE ETKİLEŞİMLERİNDE DALGAKILAVUZU DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ DOKTORA TEZİ Abdullah Kamuan TÜRKOĞLU Fizik Mühendisliği

Detaylı

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye

Eğrisel harekette çok sık kullanılan tanımlardan biri de yörünge değişkenlerini içerir. Bunlar, hareketin her bir anı için ele alınan biri yörüngeye Eğisel haekee çok sık kullanılan anımladan bii de yöünge değişkenleini içei. Bunla, haekein he bi anı için ele alınan bii yöüngeye eğe, diğei ona dik iki koodina eksenidi. Eğisel haekein doğal bi anımıdıla

Detaylı

İNM Ders 2.2 YER HAREKETİ PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI. Yrd. Doç. Dr. Pelin ÖZENER İnşaat Mühendisliği Bölümü Geoteknik Anabilim Dalı

İNM Ders 2.2 YER HAREKETİ PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI. Yrd. Doç. Dr. Pelin ÖZENER İnşaat Mühendisliği Bölümü Geoteknik Anabilim Dalı İNM 424112 Ders 2.2 YER HAREKETİ PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI Yrd. Doç. Dr. Pelin ÖZENER İnşaat Mühendisliği Bölümü Geoteknik Anabilim Dalı YER HAREKETİ PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI Yapıların Depreme

Detaylı

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları

FİZ101 FİZİK-I. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Kimya Bölümü B Grubu Bölüm V: Newton un Hareket Yasaları İZ101 İZİK-I Ankaa Ünivesitesi en akültesi Kimya Bölümü B Gubu Bölüm V: Newton un Haeket Yasalaı 05.12.2014 Aysuhan OZANSOY Bölüm-V: Newton un Haeket Yasalaı: 1. Kuvvet Kavamı 2. Newton un I. Yasası (Eylemsizlik

Detaylı

Elektromanyetik Dalgalardan Enerji Hasat Etmek

Elektromanyetik Dalgalardan Enerji Hasat Etmek Elektomanyetik Dalgaladan Eneji Hasat Etmek ( D. Cahit Kaakuş - Yük. Müh. Onu Teki) Havada sebest olaak yayınım yapan adyo ya da mikodalga fekanslaındaki elektomanyetik dalgalaın üzeinde baındıdıklaı enejinin

Detaylı

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.

FİZK Ders 6. Gauss Kanunu. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü. FİZK 14- Des 6 Gauss Kanunu D. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynakla: -Fizik. Cilt (SWAY) -Fiziğin Temellei.Kitap (HALLIDAY & SNIK) -Ünivesite Fiziği (Cilt ) (SAS ve ZMANSKY) http://fizk14.aovgun.com www.aovgun.com

Detaylı

SIVILAŞMA ETKİLERİNİN YÜKSEK KAYMA MODÜLLÜ ZEMİN ÇİMENTO KARIŞIMI KOLONLARLA AZALTILMASI

SIVILAŞMA ETKİLERİNİN YÜKSEK KAYMA MODÜLLÜ ZEMİN ÇİMENTO KARIŞIMI KOLONLARLA AZALTILMASI Beşinci Ulusal Depem Mühendisliği Konfeansı, 6-30 Mayıs 003, İstanbul Fifth National Confeence on Eathquake Engineeing, 6-30 May 003, Istanbul, Tukey Bildii No: AT-004 IVILAŞMA ETKİLERİNİN YÜKEK KAYMA

Detaylı

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ

ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ OTEKON 4 7 Otomotiv Teknolojilei Kongesi 6 7 Mayıs 04, BURSA ARAÇ YOL YÜKLERİNİN DIŞ DİKİZ AYNAYA ETKİLERİ VE DIŞ DİKİZ AYNA TİTREŞİM PARAMETRELERİNİN İNCELENMESİ Basi ÇALIŞKAN *, İan KAMAŞ *, Tane KARSLIOĞLU

Detaylı

BÖLÜM 6. MANEVRA 6.1. GĐRĐŞ

BÖLÜM 6. MANEVRA 6.1. GĐRĐŞ ÖÜM 6. MANEVRA 6.. GĐRĐŞ üm deniz aaçlaı için temel dizayn geekleinden biisi yeteli manea kabiliyetine sahip olmaktı. Manea kabiliyeti temel olaak geminin istenen bi yönde kontollü şekilde yön değiştiebilmesini

Detaylı

LED LL DP CD WW CS CF AC. LED Cell CG CB LC FO EL. LEDCell serisi; konser, sergi, disko, fuarlar gibi organizasyonlar ve

LED LL DP CD WW CS CF AC. LED Cell CG CB LC FO EL. LEDCell serisi; konser, sergi, disko, fuarlar gibi organizasyonlar ve LED Cell Üünle LED LL DP CD WW CS CF AC LED Cell LEDCell seisi; konse, segi, disko, fuala gibi oganizasyonla ve - - CG CB LC FO EL LED Cell Üünle LEDCell - LEDCell Üünle CED CEP LCP Piksel Kontollü o Üünle

Detaylı

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur

BASIT MAKINALAR. Basit makinalarda yük P, dengeleyici kuvvet F ile gösterilir. Bu durumda ; Kuvvet Kazancı = olur SIT MKINR Günlük yaşantımızda iş yapmamızı kolaylaştıan alet ve makineledi asit makinelele büyük bi yükü, küçük bi kuvvetle dengelemek ve kaldımak mümkündü asit makinalada yük, dengeleyici kuvvet ile gösteili

Detaylı

Türkiye deki Özürlü Grupların Yapısının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmesi *

Türkiye deki Özürlü Grupların Yapısının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmesi * Uludağ Üniveitei Tıp Fakültei Degii 3 (3) 53-57, 005 ORİJİNAL YAI Tükiye deki Guplaın Yapıının Çoklu Uyum Analizi ile İncelenmei * Şengül CANGÜR, Deniz SIĞIRLI, Bülent EDİ, İlke ERCAN, İmet KAN Uludağ

Detaylı

Elektro Akustik Gitar

Elektro Akustik Gitar Elekto Akustik Gita GA3R GA3RVS GAC1M GAC1RVS GAPX1000 GAPX1000MB GAPX1000PW GAPX500II GAPX500IIBL GAPX500IIDRB GAPX500IIOBB GAPX500IIRM GAPX500IIVW GCPX1000 GCPX1000UM GCPX500II GCPX500IIBL GCPX500IIOVS

Detaylı

Fizik II Elektrik ve Manyetizma Manyetik Alan Kaynakları-2

Fizik II Elektrik ve Manyetizma Manyetik Alan Kaynakları-2 Des Hakkında Fizik-II Elektik ve Manyetizma Desinin Amacı u desin amacı, fen ve mühendislik öğencileine elektik ve manyetizmanın temel kanunlaını lisans düzeyinde öğetmekti. Desin İçeiği Hafta Konu 1.

Detaylı

BTZ Kara Deliği ve Grafen

BTZ Kara Deliği ve Grafen BTZ Kaa Deliği ve Gafen Ankaa YEF Günlei 015 1-14 Şubat 015, ODTÜ Ümit Etem ve B. S. Kandemi BTZ Kaa Deliği Gafen ve Eği Uzay-zamanla Beltami Tompeti ve Diac Hamiltonyeni Eneji Değelei ve Gafen Paametelei

Detaylı

1,26 GHz REZONANS FREKANSINDA ÇALIŞAN ÇİFT TABAKALI YÜKSEK KAZANÇLI MİKROŞERİT DİKDÖRTGEN YAMA ANTEN TASARIMI

1,26 GHz REZONANS FREKANSINDA ÇALIŞAN ÇİFT TABAKALI YÜKSEK KAZANÇLI MİKROŞERİT DİKDÖRTGEN YAMA ANTEN TASARIMI Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Jounal of the Faculty of Engineeing and Achitectue of Gazi Univesity Cilt 8, No 4, 743-75, 13 Vol 8, No 4, 743-75, 13 1,6 GHz REZONANS FREKANSINDA ÇALIŞAN ÇİFT TABAKALI YÜKSEK

Detaylı

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması

Evrensel kuvvet - hareket eşitlikleri ve güneş sistemi uygulaması Evensel kuvvet - haeket eşitliklei ve güneş sistemi uygulaması 1. GİRİŞ Ahmet YALÇIN A-Ge Müdüü ESER Taahhüt ve Sanayi A.Ş. Tuan Güneş Bulvaı Cezayi Caddesi 718. Sokak No: 14 Çankaya, Ankaa E-posta: ayalcin@ese.com

Detaylı

Örnek...1 : Çapı 4 birim olan bir dairenin yarı çevresi ve alan ın ın sa yısal değerleri toplam ı kaçtır? 6π. Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek...

Örnek...1 : Çapı 4 birim olan bir dairenin yarı çevresi ve alan ın ın sa yısal değerleri toplam ı kaçtır? 6π. Örnek...4 : Örnek...2 : Örnek... ÇEEE ÇEVE, İEE N 3 ( ÇEEİN ÇEVEİ İENİN, İE İİİNİN, İE EEİNİN VE HNIN NI ÇEEE ENZEİ EĞEENİE ) ÇEEİN ÇEVEİ VE İENİN NI İE İİİ NI VE YY UZUNUĞU mek ezli bi çembein çevesi, Çeve=2.π. mek ezli bi daienin alanı,

Detaylı

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p

VİDALAR VE CIVATALAR. (DĐKKAT!! Buradaki p: Adım ve n: Ağız Sayısıdır) l = n p VİDALA VE CIVAALA d : Miniu, inö yada diş dibi çapı (=oot) d : Otalaa, noinal çap yada böğü çapı (=ean) d : Maksiu, ajö çap, diş üstü çapı λ : Helis açısı p : Adı (p=pitch) l (hatve): Civatanın bi ta dönüşüne

Detaylı

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum

Dönerek Öteleme Hareketi ve Açısal Momentum 6 Döneek Ötelee Haeketi e Açısal Moentu Test 'in Çözülei.. R L P N yatay M Çebe üzeindeki bi noktanın yee göe hızı, o noktanın ekeze göe çizgisel hızı ile çebein ötelee hızının ektöel toplaına eşitti.

Detaylı

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem

Bölüm 30. Biot-Savart Yasası Giriş. Biot-Savart Yasası Gözlemler. Biot-Savart Yasası Kurulum. Serbest Uzayın Geçirgenliği. Biot-Savart Yasası Denklem it-savat Yasası Giiş ölüm 30 Manyetik Alan Kaynaklaı it ve Savat, elektik akımının yakındaki bi mıknatısa uyguladığı kuvvet hakkında deneyle yaptı Uzaydaki bi nktada akımdan ilei gelen manyetik alanı veen

Detaylı

JEOTERMAL REZERVUARLARIN MODELLENMESİ VE PERFORMANS TAHMİNLERİNDEKİ BELİRSİZLİĞİN DEĞERLENDİRİLMESİ

JEOTERMAL REZERVUARLARIN MODELLENMESİ VE PERFORMANS TAHMİNLERİNDEKİ BELİRSİZLİĞİN DEĞERLENDİRİLMESİ _ 209 JEOTERMAL REZERVUARLARIN MODELLENMESİ VE PERFORMANS TAHMİNLERİNDEKİ BELİRSİZLİĞİN DEĞERLENDİRİLMESİ Mustafa ONUR Hülya SARAK Abduahman SATMAN ÖZET Jeotemal ezevualaın üetim potansiyeli ve südüülebililiğinin

Detaylı

5 ÖABT / MTL ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG. 678 ( sin + cos )( sin- cos )( sin+ cos ) lim sin- cos " = lim ( sin+ cos ) = bulunu. ". # # I = sin d = sin sin d sin = u sin d = dv du = sin : cos

Detaylı

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR

7. VİSKOZ ( SÜRTÜNMELİ ) AKIŞLAR Tüm aın haklaı Doç. D. Bülent Yeşilata a aitti. İinsi çoğaltılama. III/ 7. İSKOZ ( SÜTÜNMELİ ) AKIŞLA 7.. Giiş Bi akışta iskoite etkisi önemli ise bu akış isko (sütünmeli) akış adını alı. Akışkan iskoitesinden

Detaylı

ELEKTRİK POTANSİYELİ

ELEKTRİK POTANSİYELİ 38 III.3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l., POTANSİYEL FARKI VE EŞPOTANSİYELLİ YÜZEYLER. Potansiyel eneji kavamı, yeçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi kounumlu kuvvetle inceleniken ele alınmıştı. Çeşitli

Detaylı

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 8 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN İLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖAT İLKÖĞRETİM MATEMATİK u testlein he hakkı saklıdı. Hangi amaçla olusa olsun, testlein tamamının veya bi

Detaylı

ENJEKSİYON YIĞMA YÖNTEMİNDE KUVVET VE MALZEME AKIŞINA DEFORMASYON BÖLGESİ BOYUT ORANININ ETKİLERİ

ENJEKSİYON YIĞMA YÖNTEMİNDE KUVVET VE MALZEME AKIŞINA DEFORMASYON BÖLGESİ BOYUT ORANININ ETKİLERİ Uludağ Ünivesitesi Mühendislik Mimalık Fakültesi Degisi, Cilt 9, Sayı, 004 ENJEKSİYON YIĞMA YÖNTEMİNDE KUVVET VE MALZEME AKIŞINA DEFORMASYON BÖLGESİ BOYUT ORANININ ETKİLERİ M Tahi ALTINBALIK Yılmaz ÇAN

Detaylı

Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu

Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Ders Notu 16 Otomotiv Mühendisliği Bölümü Dinamik Des Notu Pof. D. Halit KARABULUT 1.1.16 GİRİŞ Dinamik cisimlein kuvvet altında davanışlaını inceleyen bi bilim dalıdı. Kinematik ve kinetik konulaını kapsamaktadı.

Detaylı

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ

YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ YOĞUNLUK FONKSİYONEL TEORİSİ METODUYLA İDEAL OKTAHEDRAL Co(II) BİLEŞİKLERİNDE KOVALENSİ FAKTÖR ANALİZİ Sevgi GÜRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI Tez Yöneticisi: Yd. Doç. D. Fiket İŞIK EDİRNE-0

Detaylı

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI

İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Uludağ Ünivesitesi Mühendislik-Mimalık akültesi Degisi, Cilt 17, Sayı, 1 ARAŞTIRMA İKİ BOYUTLU DİREKT DİNAMİK PROBLEMİN ANALİTİK ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI Gökhan SEVİLGEN Özet: Bu çalışmada, m kütleli paçacığın

Detaylı

https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitter.com/bzcocuk https://instagram.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com

https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitter.com/bzcocuk https://instagram.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com Sonuç Bildigesi https://www.facebook.com/bzcocuk https://twitte.com/bzcocuk https://instagam.com/bzcocuk/ http://www.bzcocuk.com 20 ICT Summit NOW - Bilişim Zivesi nin 14 yılda bize kazandıdığı uzmanlık

Detaylı

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır.

Basit Makineler. Test 1 in Çözümleri. 3. Verilen düzenekte yük 3 ipe bindiği için kuvvetten kazanç 3 tür. Bu nedenle yoldan kayıp da 3 olacaktır. 9 Basit Makinele BASİ MAİNEER est in Çözülei.. Veilen düzenekte yük ipe bindiği için kuvvetten kazanç tü. Bu nedenle yoldan kayıp da olacaktı. kasnak ükün 5x kada yükselesi için kasnağa bağlı ipin 5x.

Detaylı

Temel zemin etkileşmesi; oturma ve yapı hasarı

Temel zemin etkileşmesi; oturma ve yapı hasarı Temel emin etkileşmei; otuma ve yapı haaı Foundation oil inteaction; ettlement and tuctual damage Altay Biand Otadoğu Teknik Üniveitei, Ankaa, Tükiye ÖZET: Oganik eminlein valığı dışında yapı haaında genelde

Detaylı

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı;

Detaylı

Çapraz Masuralı Rulman Serisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndürme Yatakları Mükemmel bir dönme doğruluğu

Çapraz Masuralı Rulman Serisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndürme Yatakları Mükemmel bir dönme doğruluğu Çapaz Masualı Rulman Seisi Kompakt, Yüksek Düzeyde Rijit Döndüme Yataklaı Mükemmel bi dönme doğuluğu KATALOG No.382-1TR İçindekile Çapaz Masualı Rulman Seisi Yapı ve Özellikle... S.2-3 Tüle ve Özellikle...

Detaylı

SIFIR HÜCUM AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKIM HIZININ TESPİTİ. Doç. Dr. M. Adil YÜKSELEN

SIFIR HÜCUM AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKIM HIZININ TESPİTİ. Doç. Dr. M. Adil YÜKSELEN SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI HIZININ TESPİTİ Doç. D.. Ail YÜKSELEN Temmuz 997 SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI

Detaylı

Doç. Dr. Sabri KAYA Erciyes Üni. Müh. Fak. Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü. Ders içeriği

Doç. Dr. Sabri KAYA Erciyes Üni. Müh. Fak. Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü. Ders içeriği ANTENLER Doç. Dr. Sabri KAYA Erciyes Üni. Müh. Fak. Elektrik-Elektronik Müh. Bölümü Ders içeriği BÖLÜM 1: Antenler BÖLÜM 2: Antenlerin Temel Parametreleri BÖLÜM 3: Lineer Tel Antenler BÖLÜM 4: Halka Antenler

Detaylı

Down sendromlu çocukların annelerinin aile işlevlerini algılama ve sosyal destek düzeylerinin değerlendirilmesi

Down sendromlu çocukların annelerinin aile işlevlerini algılama ve sosyal destek düzeylerinin değerlendirilmesi İzmi D. Behçet Uz Çocuk Hast. Degisi 20; ():7-0 doi:0.5222/buchd.20.7 Klinik Aaştıma Down sendomlu çocuklaın anneleinin aile işlevleini algılama ve sosyal destek düzeyleinin değelendiilmesi Assessment

Detaylı

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2.

TORK. τ = 2.6 4.sin30.2 + 2.cos60.4 = 12 4 + 4 = 12 N.m Çubuk ( ) yönde dönme hareketi yapar. τ K. τ = F 1. τ 1. τ 2. τ 3. τ 4. 1. 2. AIŞIRMAAR 8 BÖÜM R ÇÖZÜMER R cos N 4N 0 4sin0 N M 5d d N ve 4N luk kuv vet lein çu bu ğa dik bi le şen le i şekil de ki gi bi olu nok ta sı na gö e top lam tok; τ = 6 4sin0 + cos4 = 4 + 4 = Nm Çubuk yönde

Detaylı

Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü

Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof.Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Enstitü Müdürü ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KÜBİK GaN (001) YÜZEYİNİN ELEKTRONİK YAPISI Hakan GÜRÜNLÜ FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 005 He hakkı saklıdı Pof. D. Boa ALKAN danışmanlığında,

Detaylı

GESTRA Ürün Programı. Her türlü uygulama için optimum çözümler

GESTRA Ürün Programı. Her türlü uygulama için optimum çözümler GESTRA Üün Pogamı He tülü uygulama için optimum çözümle Kondenstop (buha kapanı) Çek valfle BK Seisi PN 630 a kada olan duo paslanmaz çelik bimetalik egülatölü kondenstopladı. BK tipi kondenstopla, en

Detaylı