İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüşlerinin Nicel Analizi *

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 11(4) Güz/Autumn Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüşlerinin Nicel Analizi * Tuba AYDOĞDU İSKENDEROĞLU a Karadeniz Teknik Üniversitesi Adnan BAKİ Karadeniz Teknik Üniversitesi Öz Matematikte ve matematik eğitiminde kanıtın anlamı ve önemi giderek artmaktadır. Bu nedenle öğrencileri yetiştirecek öğretmen ve dolayısıyla öğretmen adaylarının kanıt yapma düzeyleri, kanıt hakkındaki görüşleri ve algıları önemlidir. Buna bağlı olarak bu araştırmanın amacı; farklı sınıf seviyelerinde öğrenimlerine devam etmekte olan ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik görüşlerini belirlemektir. Bu amaç doğrultusunda öğretmen adaylarının kanıta yönelik görüşlerini tespit etmek için Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği adı altında geliştirilmiş olan bir ölçek kullanılmıştır. Ölçekte 27 tane 5 li likert tarzı madde yer almaktadır. Gelişimci araştırma yönteminin benimsendiği bu çalışmada ölçek farklı sınıf seviyelerinden 187 ilköğretim matematik öğretmeni adayına uygulanmıştır. Çalışmanın sonucunda, öğretmen adaylarının kanıta yönelik olumlu bakış açılarının olduğu ortaya konulmuştur. Ayrıca öğretmen adaylarının kanıt yapmaya yönelik güvenlerinin özdeğerlendirme, zihinsel süreç ve tutum-inanç boyutlarından daha düşük olduğu ortaya konulmuştur. Anahtar Kelimeler Kanıt, Matematik Eğitimi, İlköğretim Matematik Öğretmeni Adayı, Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği. Kanıtlar, matematiği matematik yapan şeylerin en önemli bölümünü oluşturmaktadır (Padula, 2006). Çünkü kanıt, matematikte her durumun doğruluğunu veya yanlışlığını sağlamaktadır (Tall a a Bu çalışma Prof. Dr. Adnan BAKİ danışmanlığında Tuba İSKENDEROĞLU nun Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü nde hazırladığı İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kanıtlamayla İlgili Görüşleri ve Kullandıkları Kanıt Şemaları isimli doktora tezinden üretilmiştir. Dr. Tuba AYDOĞDU İSKENDEROĞLU. İlköğretim Matematik Eğitimi alanında Araştırma Görevlisidir. Çalışma alanları arasında matematik eğitimi, öğretmen eğitimi ve kanıt yer almaktadır. İletişim: Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fatih Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü, Matematik Eğitimi ABD, Söğütlü Akçaabat, Trabzon. Elektronik posta: tiskenderoglu@ktu.edu.tr. Tel: Fax: ve Mejia-Ramos, 2006). Fakat kanıt, bir durumun sadece doğru veya yanlış olduğunu değil aynı zamanda neden doğru olduğunu da göstermektedir (Hanna, 2000). Bunun yanı sıra kanıtlar, öğrencilerin öğretmenlerine veya kitaplarına güvenmelerini engelleyerek matematiksel doğruları kendilerinin görmelerine fırsat vermektedir (Knuth, 1999, 2002a). Böylece kanıt, öğrencilerdeki matematiksel düşüncenin gelişmesinde ve değişmesinde de önemli bir rol oynamaktadır (Flores, 2002). Kanıtlama ise bir bireyin veya topluluğun bir iddianın doğruluğu hakkındaki şüphelerini kaldırmakta kullanılan zihinsel eylem olarak tanımlanmaktadır (Harel, 2008; Harel ve Sowder, 1998, 2007). Bu nedenle kanıt matematikte çok önemli bir yere sahiptir (Coe ve Ruthven, 1994; Martin ve Harel, 1989). Bell e (1976) göre matematiksel kanıt; savunma, açıklama (neden) ve sistemleştirme (nasıl) dir. Bunlara bağlı olarak kanıtın en önemli işlevi öğ- 2275

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ rencilerin inançlarına zemin hazırlamaktır. Kanıtın ikinci işlevi öğrencilerin bir sonucu anlamalarını ve bu sonucun neden doğru olduğunu anlamalarını sağlamaktır. Üçüncü işlevi ise fikirlerin mantıksal yapısını açıklamak ve akıl yürütme ile tümdengelimsel çıkarımlar yapmalarını sağlamaktır (Bell, 1976). Bu işlevlere bağlı olarak da bir kanıt üç aşamada tamamlanmaktadır. Birinci aşamada doğrulama, ikinci aşamada açıklama ve üçüncü aşamada da soyutlama yapılır (Baki, 2008). Öğrencide kanıt ve akıl yürütme becerisinin öğretimi ve gelişimi ise öğretmene bağlıdır (Altıparmak ve Öziş, 2005; Riley, 2004). Eğer öğretmenler öğrencileri için geniş öğrenme ortamı sunar ve değişik kanıt yöntemlerini verirlerse, öğrenciler de matematiği ve mantıksal düşünceyi daha iyi anlayıp yaratıcılıklarını artıracaklardır (Altıparmak ve Öziş, 2005). Öğrencilerde matematiksel düşüncenin ve kavramsal bilginin gelişmesinde öğretmenlerin yanı sıra sınıf içinde yapılan sorgulamalar da önemli bir rol oynamaktadır (Martino ve Maher, 1999). Ayrıca öğretmenlerin sınıf içinde kullandıkları materyaller de öğrencilerin kanıt kapasitelerini artırmakta etkilidir (Stylianides, 2007b). Bu yüzden öğretmenlerin kanıta ilişkin algıları, deneyimleri ve yetenekleri öğrencilerin kanıt becerilerini kazanma süreçlerinde etkili olmaktadır (Almeida, 2003; Galbraith, 1995; Knuth, 1999, 2002b; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere, 2006). Öğretmenlerin matematik derslerini etkili bir şekilde planlayarak uygulayabilmeleri için ise kazandıracakları kavramın nereden geldiğini, hangi matematiksel bilgi veya ilke üzerine kurulu olduğunu bilmeleri gerekmektedir. Bunun için de kendilerinin matematiksel kanıt yapma yönünden donanımlı olmaları gerekmektedir (Moralı ve ark., 2006). Bu donanımın sağlanabilmesi için ise kanıt etkinliklerine küçük yaşlarda başlanarak (Stylianides, 2005, 2007a; Szombathelyi ve Szarvas, 1998) yeni matematiksel bilgiler öğrencilerin informal bilgilerinin üstüne inşa edilmelidir (Ginsburg ve Seo, 1999). Bunlara rağmen birçok öğretmen sınıf ortamlarını kanıtların değerini düşünerek düzenlememektedirler (Knuth, 1999, 2002a). Bunun sonucunda da öğretmenlerin, öğrencilere kanıt ve kanıt yapmanın doğasından uzak etkinlikler sundukları görülmektedir (Jones, 2000). Geleneksel sınıflarda öğretmenler kanıtları öğrencilerin oluşturmalarına fırsat tanımadan doğrudan sunmaktadırlar. Bu durumda öğrenciler bilgi oluşumunda yer alamamakta, sadece pasif bilgi alıcısı durumunda olmaktadırlar (Harel ve Sowder, 1998). Oysaki öğretmenlerin inançları ve fikirleri, öğretmenlerin davranışlarını önemli ölçüde etkilemektedir (Erickson, 1993). Bu nedenle matematik öğretmenlerinin matematik bilmenin ne anlama geldiğini ve önemli matematiksel düşüncelerden ne anladıklarını düşünmeleri gerekmektedir (Masingila, 1998). Bu süreçte öğretmenlerin matematik eğitiminde hangi değerleri öğrettiklerinin yanı sıra öğrencilerin öğretmenlerinden hangi değerleri öğrendikleri de önemlidir (Bishop, 2001). Çünkü öğrencilerin gelişiminde öğretmenlerin önemli bir yeri vardır. Bu noktada ise ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta bakış açıları önem kazanmaktadır. Bu nedenle de öğrencilerin doğrulama ve kanıt ile deneyimlerinin ana kaynağı ilköğretim öğretmenleridir ve kanıt, ilköğretim matematik programında çok sınırlı da olsa yer almaktadır (Martin ve Harel, 1989). National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2000), öğretim programlarının matematiksel tartışmaları ve kanıtları geliştirmeye ve değerlendirmeye yer vermesi gerektiğini ifade etmektedir. İlköğretim düzeyinde kanıt becerilerinin ne düzeyde ve nasıl olması gerektiğine dair araştırmalar yapıldığında NCTM (2007) standartlarında akıl yürütme ve kanıt ölçütlerine rastlanmaktadır. Türkiye de ise ilköğretim matematik öğretim programında doğrudan kanıt ve kanıtlama ile ilgili herhangi bir kazanım bulunmamaktadır fakat akıl yürütme ve ilişkilendirme gibi bazı becerilerin geliştirilmesi ile çözümlerin açıklanması ve savunulmasına yer verilmektedir (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2005a, 2005b). Bu nedenle öğrenciler doğrulama, açıklama, savunma ve kanıt ile deneyimlerine ilköğretim düzeyinde bir giriş yapmaktadırlar (Martin ve Harel, 1989). Fakat öğrenciler zaman zaman kanıtlamada sorunlar yaşayabilmektedirler. Araştırmalar gösteriyor ki her düzeydeki öğrenciler matematiksel kanıtı anlamakta, anlayıp sevmekte ve oluşturmakta büyük zorluklar yaşamaktadırlar (Güven, Çelik ve Karataş, 2005; Harel ve Sowder, 1998; Jones, 2000; Martin ve Harel, 1989; Moore, 1994). Oysa matematik derslerinin amaçlarından biri öğrencilere kanıtlama becerisini kazandırmaktır. Bu nedenle öğrencilerin performanslarının değerlendirilmesinde kanıttaki yeterlilikleri göz önünde bulundurulmaktadır (Weber, 2001). Kanıtlama, matematikte önemli bir etkinlik olmasına rağmen kanıtı vermekte lisans düzeyinde ciddi zorluklar bulunmaktadır (Almeida, 2000). Üniversite öğrencileri (Almeida, 2000; Dreyfus, 1999; Harel ve Sowder, 1998; Jones, 2000; Knapp, 2006; Moore, 1994; Recio ve Godino, 2001; Senk, 1983; Styli- 2276

3 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik... anides, Stylianides ve Philippou, 2005, 2007; Weber, 2001, 2004) ve matematik öğretmeni adaylarının da mantık yürütme ve kanıt yapmada sorun yaşadıkları ve kanıt stratejilerinin genellikle yetersiz olduğu görülmektedir (Moralı Köroğlu ve Çelik, 2004; Weber, 2001). Çünkü kanıtla deneyimleri genellikle öğrencilere anlamlı gelmemektedir (Galindo, 1998). Bunun sonucunda da üniversite öğrencilerinin kanıtı algılama şekilleri, kanıt yapmalarını etkilemektedir (Moore, 1994; Tatar ve Dikici, 2008). Bu da ileride öğretmen olduklarında sınıf içindeki etkinliklerini etkileyebilir. Çünkü öğretmenlerin inançları ve fikirleri, öğretmenlerin kendi davranışlarını önemli ölçüde etkilemektedir (Erickson, 1993). Bu nedenle öğretmenlerin matematiksel kanıt yapma yönünden donanımlı olmaları gerekmektedir (Moralı ve ark., 2006). Yurtdışında kanıt konusunda birçok çalışma yapılmış olmasına rağmen ülkemizde bu alanda sınırlı sayıda çalışmaya rastlanmakta ve bu konu ile ilgili yeterli çalışma yapılmadığı görülmektedir (Özer ve Arıkan, 2002). Oysa; matematik ve eğitiminde kanıtın anlamı ve önemi giderek artmaktadır (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003; Aydoğdu, Olkun ve Toluk, 2003; Baki, İskenderoğlu ve İskenderoğlu, 2009; İskenderoğlu, 2010; Moralı ve ark., 2006; Üzel ve Özdemir, 2009). Yapılan bazı araştırmalar öğretmenlerin kanıta ilişkin algılarının ve deneyimlerinin öğrencilerin kanıt becerilerini kazanma süreçlerinde etkili olduğunu göstermektedir (Almeida, 2003; Knuth, 1999, 2002b). Görülüyor ki öğretmenlerin yaklaşımları öğrencilerin kanıtı anlamalarını sağlamaktadır. Çünkü öğrenciler öğretmenin sunduklarını, açıklamalarını ve düşüncelerini alarak daha sonra da var olan yapılarıyla birleştirmektedirler (Galbraith, 1995). Bu nedenle öğrencileri yetiştirecek öğretmen ve dolayısıyla öğretmen adaylarının kanıt yapma düzeyleri, kanıt hakkındaki görüşleri ve algıları önemlidir (Moralı ve ark., 2006). Bunun yanı sıra öğretmen adaylarının kanıtın matematiksel ve pedagojik görünüşü ile ilgilenirken ne anladıklarını ve bildiklerini belirlemek de önemlidir (Dickersen, 2006). Fakat matematik öğretmeni adaylarının mantık yürütme ve kanıt yapmada sorun yaşadıkları görülmektedir (Moralı, Köroğlu ve Çelik, 2004). Bu sorunlardan biri de öğretmen adaylarının kanıtı sadece bir açıklama olarak görmeleridir. Bu da öğretmen adaylarının kanıt kavramını anlamadıklarını (Dane, 2008) ve kanıtlara yeterince değer vermediklerini göstermektedir (Yıldız, 2006). Oysaki öğretmen adaylarının kullandıkları kanıtlar, kanıta bakış açıları ve kanıtı yapma sürecinde izledikleri yol ileride öğretmen olduklarında kanıt ile ilgili yapacakları sınıf içi etkinliklerini etkileyecektir. Sınıf içinde meydana gelebilecek olumsuzlukların ortadan kalkması için ise öğrencileri yetiştirecek öğretmen ve öğretmen adaylarının kanıta ilişkin güvenlerinin, tutum ve inançlarının, zihinsel süreçlerinin ve özdeğerlendirmelerinin yanı sıra kanıt yapma düzeylerinin, kanıt hakkındaki görüşlerinin ve algılarının ne olduğu gibi konular önem kazanmaktadır. Çünkü kanıta ilişkin tutum-inanç, güven, özdeğerlendirme ve zihinsel süreç de bireyin yaptığı kanıtı etkilemektedir (Lee, 1999). Bunlara bağlı olarak bu araştırmanın amacı; farklı sınıf seviyelerinde öğrenimlerine devam etmekte olan ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik görüşlerini belirlemektir. Bu amaç doğrultusunda aşağıdaki problemlere yanıt aranacaktır. Araştırma Problemi Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıta yönelik görüşleri nelerdir? 1. Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıta yönelik görüşleri nasıl farklılaşmaktadır? 2. Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik zihinsel süreçleri nasıldır? 3. Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik güvenleri nasıldır? 4. Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik özdeğerlendirmeleri nasıldır? 5. Farklı sınıflardaki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik tutum-inançları nasıldır? Yöntem Bu çalışmada farklı düzeylerdeki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta bakış açılarını ortaya koymak amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda çalışma, gelişimci araştırmalardan enlemesine yürütülen bir çalışmadır. Gelişimci araştırmaların tanımlayıcı bir özelliği vardır ve gelişimci araştırmalar neydi ve ne oldu gibi soruları da araştırmaktadır. Tanımlayıcı araştırmalar genellikle bireyleri, toplulukları, kurumları, metotları veya materyalleri karşılaştırmak, tanımlamak, sınıflamak, 2277

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ benzerliklerini veya farklılıklarını anlamak, analiz etmek ve analiz sonuçlarını yorumlamak için yapılmaktadır (Çepni, 2009; Menard, 2008; Miller, 1998). Örneklem Çalışmanın evrenini Karadeniz Teknik Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği programı oluştururken örneklem grubunu İlköğretim Matematik Öğretmenliği programı ikinci öğretimde öğrenimlerine devam etmekte olan 1, 2, 3 ve 4. sınıf öğretmen adayları oluşturmaktadır. Bu öğretmen adaylarının tamamına Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği uygulanmıştır. Çalışmada kullanılmak üzere hazırlanmış olan ölçek ikinci öğretimde öğrenimine devam etmekte olan 187 ilköğretim matematik öğretmeni adayına uygulanmıştır. İlköğretim Matematik Öğretmenliği nde birinci sınıflardan 2 şube ve diğer sınıf seviyelerinden de birer şube bulunmaktadır. Bu nedenle bu öğretmen adaylarının 73 ü 1. sınıf, 35 i 2. sınıf, 34 ü 3. sınıf ve 45 i de 4. sınıfta öğrenimlerine devam etmektedirler. Bu öğretmen adaylarının 108 i (%58) kız ve 79 u (%42) da erkek öğrencilerden oluşmaktadır. Veri Toplama Araçları Bu çalışmada ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıt yapmaya yönelik görüşlerini belirlemek amacıyla Lee (1999) tarafından hazırlanmış olan ölçek kullanılmıştır. Bu süreçte ölçek öncelikle Türkçeye çevrilerek pilot çalışma ile geçerlik ve güvenirlik çalışmaları yapılmıştır. Lee nin çalışmasından farklı olarak ölçeğe açık uçlu sorular eklenmiştir. Pilot çalışmada hazırlanmış olan ölçek birinci öğretimde öğrenimlerine devam etmekte olan 174 ilköğretim matematik öğretmeni adayına uygulanmıştır. Bunun sonucunda öncelikle ölçeğin geçerlik çalışmaları dâhilinde dil, içerik ve yapı geçerliği sağlanmıştır. Yapı geçerliği sonucunda ölçek Lee nin (1999) çalışmasındaki gibi 4 faktöre ayrılmıştır. Bu boyutlar Güven, İnanç ve Tutum, Zihinsel Süreç ve Özdeğerlendirme olarak düzenlenmiştir. Ayrıca ölçekte zihinsel sürece yönelik olarak 7 madde, güven faktörüne yönelik 7 madde, özdeğerlendirme faktörüne ait 5 madde ve tutum-inanç boyutuna yönelik de 8 madde yer almaktadır. Daha sonra ise yapılan güvenirlik çalışmaları sonucunda ölçeğin Cronbach-alpha güvenirlik katsayısı.79 olarak hesaplanmıştır. İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıt yapmaya yönelik görüşlerini belirlemek amacıyla geliştirilmiş olan Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği 30 maddeden oluşmaktadır. Bu maddelerden 27 tanesi 5 li likert tarzında hazırlanmış ve geriye kalan üçü de açık uçlu olarak verilmiştir. Bu çalışmanın amacı doğrultusunda ölçekte yer alan 5 li likert tarzı 27 maddeden elde edilen verilere yer verilecektir. Verilerin Toplanması Verilerin toplanması aşamasında öğretmen adaylarından ölçekte 5 li likert tarzında yer alan maddeleri boş kalmayacak biçimde doldurmaları istenmiştir. Bunun sonucunda da öğretmen adaylarına ölçeği yanıtlandırmaları için dakikalık bir süre verilmiştir. Bu ölçek ile öğretmen adaylarının kanıta ilişkin tutum, inanç, güven, zihinsel süreç ve özdeğerlendirmelerinin ortaya çıkarılması amaçlanmaktadır. Verilerin Analizi Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği ağırlıklı olarak likert tipi bir ölçektir. Bu ölçekte yer alan likert türü maddeler, her zaman, sık sık, bazen, nadiren ve asla şeklinde beş seçenek içermektedir. Ölçekte öğretmen adaylarının kanıta yönelik görüşlerini içeren 27 tane likert türü madde bulunmaktadır. Likert türü her maddenin puanlaması yukarıdaki sıraya göre, 5, 4, 3, 2, 1 şeklinde yapılmıştır. Bunun yanı sıra bazı maddeler ters görüş içerdikleri için bu maddeler puanlanırken ters çevrilerek puanlanmış ve analiz edilmiştir. Ölçekte yer alan maddelerin 10 tanesi ters görüş içerirken 17 tanesi de olumlu ifadeler içermektedir. Aralıkların eşit olduğu varsayılarak puan aralığı katsayısı 0.80 olarak bulunmuştur. Puan Aralığı = (En Yüksek Değer-En Düşük Değer)/5 = 4/5 = Öğretmen adaylarının puanlarının ortalamalarının değerlendirme aralığı; arası asla, arası nadiren, arası bazen, arası sık sık, arası her zaman şeklinde belirlenmiştir. Böylece her bir maddeye ait puanlar toplanarak öğretmen adaylarına ait puan ortalamaları ölçekte yer alan her bir faktöre göre her sınıf için ayrı ayrı tespit edilmiştir. Bunlara ek olarak ölçekte yer alan her bir faktör için farklı sınıflar arasında anlamlı bir fark olup olmadığı SPSS yardımıyla istatistiksel yöntemlerden Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) kullanılarak analiz yapılmış ve yorumlanmıştır. ANOVA 2278

5 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik... daha çok değişkene-faktöre ait ortalama puanların birbirleri arasında anlamlı bir farklılığın olupolmadığını karşılaştırmada, çeşitli faktörlerin birbiriyle anlamlı şekilde etkileşip etkileşmediğinin belirlenmesinde, örneklem varyanslarının birbirinden anlamlı şekilde farklılaşıp farklılaşmadıklarını karşılaştırmada kullanılmaktadır (Balcı, 2005; Büyüköztürk, 2004; Kalaycı, 2005). Bu çalışmada ise farklı örneklemlerin her bir faktör için anlamlı bir biçimde farklılaşıp farklılaşmadığı görülmeye çalışılmıştır. Bunun için de her bir faktör için bütün katılımcıların ortalamaları teker teker bulunarak Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) ile analizler yapılmış ve yorumlanmıştır. Bunlara ek olarak her bir faktörde yer alan maddelerin frekans ve yüzde değerleri ayrı ayrı tablolarda verilerek yorumlanmıştır. Bulgular İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kanıta Yönelik Görüşlerini ve Farklı Sınıf Seviyelerine Göre Kanıta Yönelik Görüşlerinin Değişimini İçeren Bulgular Çalışmada kullanılan Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği zihinsel süreç, güven, özdeğerlendirme ve tutum-inanç olmak üzere dört faktör içermektedir. Ölçeğin bütün sınıflar bazında genel ortalaması 3,59 olarak bulunmuştur. Bu ortalama gösteriyor ki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıta yönelik belirttikleri görüşler olumludur. Ölçekte yer alan dört ayrı faktöre göre ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ortalamalarında bazı farklılıklar bulunmaktadır (bkz. Tablo 1.). Bu farklılıklar bazı durumlarda sınıflara göre de değişmektedir. Tablo 1. Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği nde Yer Alan Faktörlere Göre Farklı Sınıf Seviyelerinin Ortalamaları Faktör Sınıf N Ortalama Standart Sapma Zihinsel Süreç 1, ,13,358 2, ,12,529 3, ,02,527 4, ,77,592 Toplam 187 4,02,505 Güven 1, ,01,573 2, ,88,460 3, ,13,610 4, ,14,517 Toplam 187 3,04,551 Özdeğerlendirme 1, ,76,533 2, ,72,518 3, ,52,661 4, ,74,628 Toplam 187 3,70,581 Tutum-İnanç 1, ,67,403 2, ,56,434 3, ,51,499 4, ,50,435 Toplam 187 3,58,438 Ölçekte yer alan ilk faktör zihinsel süreçtir. Zihinsel sürecin genel ortalamasının 4,02 olduğu görülmektedir. Bu ortalama katılımcıların kanıta dair zihinsel süreçlerini sık sık kullandıklarını göstermektedir. Ölçekteki zihinsel süreç maddelerine bakıldığında ise tanımları, teoremleri, önceki bilgileri vs. içerdiği görülmektedir. Ayrı ayrı sınıf seviyeleri bazında ortalamalara bakıldığında birinci sınıfların 4,13, ikinci sınıfların 4,12, üçüncü sınıfların 4,02 ve dördüncü sınıfların da 3,77 olduğu görülmektedir. Ortalamalara göre bütün sınıf seviyelerinde zihinsel süreçlerin kanıtta sık sık kullanıldığı görülmektedir ve farklı sınıf seviyelerinin ortalamaları birbirine yakın değerlerdedir. Fakat en düşük ortalamaya dördüncü sınıflar sahipken en yüksek ortalamaya da birinci sınıfların sahip olduğu görülmektedir. Ölçekte yer alan diğer faktör ise güvendir. Ölçeği yanıtlandıran katılımcıların genel ortalaması 3,04 olarak bulunmuştur. Bu da katılımcıların genelinin kanıt konusunda bazen kendilerine güvendiklerini göstermektedir. Farklı sınıf seviyelerinde katılımcıların kanıt konusunda kendilerine olan güven ortalamalarına bakıldığında birinci sınıfların 3,01, ikinci sınıfların 2,88, üçüncü sınıfların 3,13 ve dördüncü sınıfların 3,14 olduğu görülmektedir. Ortalamalar gösteriyor ki farklı sınıf seviyelerindeki katılımcılar kanıt konusunda kendilerine bazen güvenmektedirler. Ortalamalar birbirine çok yakın olmasına rağmen kanıt konusunda güveni en yüksek olanlar dördüncü sınıflar iken en düşük olanlar da ikinci sınıflardır. Ölçekteki bir diğer faktör bireylerin kanıt konusunda kendilerini değerlendirmelerine ve yaptıklarına tekrar dönüp bakmalarına yönelik olarak özdeğerlendirmedir. Bütün katılımcıların kanıt konusunda özdeğerlendirme yapma ortalamaları 3,70 dir. Bu ortalama gösteriyor ki katılımcılar 2279

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 2. Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği nde Yer Alan Faktörlere Göre Varyans Analizi Tablosu (ANOVA) Faktör Kareler Toplamı sd Kareler Ortalaması Zihinsel Süreç Gruplar Arası 4, ,367 5, Gruplar İçi 43, ,237 Toplam 47, Güven Gruplar Arası 1,668 3,556 1, Gruplar İçi 54, ,300 Toplam 56, Özdeğerlendirme Gruplar Arası 1,402 3,467 1, Gruplar İçi 61, ,335 Toplam 62, Tutum-İnanç Gruplar Arası 1,079 3,360 1, Gruplar İçi 34, ,189 Toplam 35, F P kanıt yaparken sık sık kendilerini değerlendiriyor ve yaptıklarını tekrar gözden geçiriyorlar. Bunun yanı sıra birinci sınıfların özdeğerlendirme ortalamaları 3,76 iken ikinci sınıfların 3,72 dir. Ayrıca üçüncü sınıfların ortalamalarının 3,52 ve dördüncü sınıfların ortalamalarının da 3,74 olduğu görülmektedir. Ortalamaların birbirine son derece yakın olmasının yanı sıra katılımcıların kanıta dair özdeğerlendirmeyi sık sık yaptıkları görülmektedir. Fakat ortalamalar göz önünde bulundurulduğunda üçüncü sınıfların en düşük ve birinci sınıfların da en yüksek ortalamaya sahip oldukları görülmektedir. Ölçekteki son faktör ise tutum-inançdır. Bu faktör ile katılımcıların kanıta yönelik tutum ve inançları görülmeye çalışılmıştır. Farklı sınıf seviyelerinden çalışmaya katılan öğretmen adaylarının kanıta dair tutum-inanç konusundaki genel ortalamaları 3,58 dir. Bu ortalama gösteriyor ki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıt konusundaki tutum ve inançları olumludur. Yani diğer bir ifadeyle öğretmen adaylarının kanıta yönelik olarak tutum-inançları sık sık olumludur. Ölçekteki tutum-inanç faktöründe birinci sınıfların ortalaması 3,67 iken ikinci sınıfların ki 3,56 dır. Bunun yanı sıra üçüncü sınıfların ortalaması 3,51 ve dördüncü sınıflarınki ise 3,50 bulunmuştur. Bütün sınıfların ortalamalarına tek tek bakıldığında kanıta yönelik tutum-inançlarının yüksek olduğu görülmektedir. Farklı sınıfların ortalamaları birbirine son derece yakın olmasına rağmen en yüksek ortalamaya birinci sınıflar sahipken en düşük ortalamaya da dördüncü sınıflar sahiptir. Farklı sınıf seviyelerinden ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ölçekte yer alan faktörlere ait ortalamalarına bakıldığı zaman kanıtlama sürecinde zihinsel süreçleri en çok birinci sınıfların kullandıkları, güveni en yüksek olanların dördüncü sınıflar oldukları, özdeğerlendirmeyi en çok birinci sınıfların yaptıkları ve tutum-inancın en yüksek olduğu sınıf seviyesinin de yine birinci sınıflar olduğu görülmektedir. Bunlara bağlı olarak bazı faktörlerle sınıf seviyeleri arasında yapılan ANO- VA testi sonucunda anlamlı farklılıklar ortaya çıkmıştır (bkz. Tablo 2.). Tablo 2 de sınıf seviyeleri ile ölçekte yer alan faktör arasında anlamlı bir fark olup-olmadığı görülmektedir. Tabloya bakıldığında zihinsel süreç ile farklı sınıf seviyeleri arasında p <.05 olduğu için anlamlı bir fark olduğu söylenebilir. Bu farklılığın hangi sınıf seviyeleri arasında olduğunu anlamak için ise ANOVA testleri yapılmıştır. Fakat diğer faktörler ile sınıf seviyeleri arasında p <.05 için anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Yapılan ANOVA testi sonucu zihinsel süreç ile sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık olduğu görülmüştür. Test sonuçlarına göre zihinsel süreçte p <.05 düzeyinde birinci sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında (.001) ve yine p <.001 düzeyinde ikinci sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında (.009) anlamlı bir farklılık olduğu ortaya çıkmıştır. Bunun yanı sıra zihinsel süreçte üçüncü sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Çünkü 1 ve 2. sınıfların puanları 3. sınıfların puanlarından daha yüksektir. 2280

7 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik... Tablo 3. Öğretmen Adaylarının Kanıta Yönelik Zihinsel Süreçlerine Ait Frekans ve Yüzde Değerleri L.K. Madde 3 Madde 4 Madde 16 Madde 17 Madde 18 Madde 24 Madde 25 N % N % N % N % N % N % N % 1 2 1,1 2 1, ,5 1 0,5 1 0, ,5 17 9,1 7 3,7 4 2,1 3 1, , , , ,8 11 5, , , , , , , , , , , , , , , ,3 T Tabloda kullanılan kısaltmalar: L.K.: Likert Kategoriler, T.: Toplam İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Ölçekteki Herbir Faktöre Ait Bulguları Çalışmanın bu kısmında farklı sınıf seviyelerindeki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ölçeğe verdikleri yanıtlar herbir faktöre göre ayrı ayrı değerlendirilerek ele alınmıştır. Tablo 3 ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının zihinsel süreçle ilgili ölçekte yer alan maddelere verdikleri yanıtlara ait frekans ve yüzde değerlerini içermektedir. Ölçekte yer alan zihinsel süreç öğretmen adaylarının kanıt yaparken geliştirdikleri düşünme yeteneklerini, bilgi kaynaklarını ve motivasyonlarını içermektedir. Zihinsel süreçte katılımcıların %62 si kanıt yaparken tanımları ve %49,7 si de kanıt yaparken kanıt süreçlerini hatırlayıp ilgili teoremleri sık sık kullandıklarını dile getirmektedirler. Kanıtı yaparken kanıtlayacağı matematiksel ifadeyi sık sık tekrar okuyanlar %50,9 iken kanıt oluştururken önceki bilgilerin her zaman önemli olduğunu düşünen katılımcılarda %66,9 dur. önemi ile ilgilidir. Katılımcıların %44,4 ü için kanıtın verilen durumu neden sağladığını anlamak sık sık önemlidir. Bunun yanı sıra katılımcıların %38 i kanıtın bir sonraki adımına geçmeden önce kanıtı tamamlamakta kullanacağı yönteme karar vermenin her zaman sonuca daha kolay ulaşmasını sağladığını düşünmektedir. Ayrıca katılımcıların %42,3 ü öğretmenin sınıfta yaptığı kanıtı tekrar düzenlemenin her zaman zaman kaybı olduğunu düşünmektedirler. Sonuç olarak katılımcıların kanıt hakkındaki zihinsel süreçleri ile ilgili düşünceleri ağırlıklı olarak bazen, sık sık ve her zaman kategorilerinde yoğunlaşmaktadır. Tablo 4 farklı sınıf düzeylerindeki öğretmen adaylarının kanıta yönelik güvenlerini gösteren frekans ve yüzde değerlerini içermektedir. Ölçekte yer alan güven faktörü bireyin kanıtlama konusunda probleme meydan okuma biçimini ve kendine olan güvenini içermektedir. Farklı sınıf seviyelerinden çalışmaya katılan öğretmen adaylarının kanıt konusunda kendilerine güven ile ilgili düşünceleri nadiren, bazen ve sık sık kategorilerinde yoğunlaşmaktadır. Ölçekte birinci madde olarak Kanıt yapmak zordur. cümlesi yer almaktadır ve bu madde ters görüş içermektedir. Katılımcıların çok azı bu maddeye asla diyerek kanıt yapmanın zor olmadığını belirtmişlerdir. Katılımcılardan %65,2 si ise bazen zor olduğunu belirtmişlerdir. Katılımcıların %22,5 i bir kanıtı öğretmen yaptığında anladıklarını fakat kendi başlarına yapamayacaklarını belirtmişlerdir. Katılımcıların %9,1 sınıfta kanıtların yapılışını anlamadıklarında her zaman so- Tablo 4. Öğretmen Adaylarının Kanıta Yönelik Güvenlerine Ait Frekans ve Yüzde Değerleri L.K. Madde 1 Madde 2 Madde 6 Madde 7 Madde 12 Madde 20 Madde 23 N % N % N % N % N % N % N % 1 1 0,5 4 2,1 18 9,6 2 1,1 3 1,6 12 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 8 4,3 17 9,1 1 0,5 9 4, ,4 17 9,1 T Tabloda kullanılan kısaltmalar: L.K.: Likert Kategori, T.: Toplam 2281

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 5. Öğretmen Adaylarının Kanıta Yönelik Özdeğerlendirmelerine Ait Frekans ve Yüzde Değerleri L. K. Madde 9 Madde 15 Madde 19 Madde 21 Madde 22 N % N % N % N % N % 1 1 0,5 1 0,5 1 0, , ,8 7 3, , , , , , , , , , , , , , T Tabloda kullanılan kısaltmalar: L.K.: Likert Kategori, T.: Toplam rular sorduklarını belirtirken asla soru sormayanlar da %9,6 dır. Kanıt yaparken bir sonraki adıma karar vermekte asla zorlanmayanlar sadece %1,1 iken bazen zorlananlar da %58,3 dür. Katılımcılardan %4,8 i kanıtı her zaman kendi başına yapabileceğine inanmaktadır. Katılımcıların %14,4 ü matematiksel kanıt yapmayı her zaman sevdiklerini belirtmişlerdir. Ayrıca katılımcıların %8 i sınıfta kanıt yapılırken asla soru sormakta zorlanmazken her zaman zorlananlar da %9,1 dir. Tablo 5 de ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik özdeğerlendirmelerine ait frekans ve yüzde değerleri yer almaktadır. Özdeğerlendirmede bireylerin kanıta yönelik olarak çalışma biçimleri, yani kanıt yaparken kendilerinin nasıl bir yol izleyeceği görülmeye çalışılmaktadır. Kanıt yapmakta zorlandığında kendine asla zaman tanımayan katılımcı oranı %0,5 iken sık sık şeklinde yanıtlayanlar %44,9 dur. Katılımcıların %39 u kanıt yapmanın her zaman mantıksal düşünmelerini geliştirdiğini düşünmektedirler. Katılımcıların çok azı kanıta başlamadan önce farklı yolları düşünmediklerini asla seçeneğini işaretleyerek belirtmişlerdir. Ayrıca katılımcıların %44,4 ü sık sık farklı yollar düşünmektedirler. Bunun yanı sıra katılımcıların çoğu (%52,9) kanıt yapmakta zorlandıklarında yardım istediklerini belirtmişlerdir. Ayrıca kanıt yapmakta zorlandığında her zaman başka bir yaklaşımla sonuçlandırmaya çalışanlar %7 iken asla başka bir yaklaşımla sonuçlandırmaya çalışmayanlar da %3,2 dir. Sonuç olarak katılımcıların özdeğerlendirmeye yönelik yanıtları genellikle bazen, sık sık ve her zaman kategorilerinde yoğunlaşmaktadır. Tablo 6 da ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıta yönelik ölçeğin son faktörü olan tutum-inanca dair verdikleri yanıtların frekans ve yüzde değerleri yer almaktadır. Tutum-inanç faktörü bireylerin kişisel özelliklerini, bir probleme nasıl baktıklarını ve akranlarıyla nasıl çalıştıklarını içermesinin yanı sıra duygularını da içermektedir. Katılımcıların %24,1 i kanıt yapma uygulamalarının problem çözme becerilerini geliştirmelerine yardımcı olmadığını düşünmektedirler. Katılımcıların %38,5 i kanıt yaparken başkalarından yardım almaktadırlar. Kanıtın sadece özel durumları doğrulamakta kullanıldığını düşünen katılımcılar %23,6 ve düşünmeyenler de %2,1 dir. Katılımcıların %8 i her zaman kanıt yapmaya karar verince tek başına çalışırken %2,1 i tek başına çalışmadığını belirtmiştir. Katılımcıların %27,9 u kanıtı bitirdikten sonra yaptıklarını tekrar kontrol etmeye ge- Tablo 6. Öğretmen Adaylarının Kanıta Yönelik Tutum-İnançlarına Ait Frekans ve Yüzde Değerleri L.K Madde 5 Madde 8 Madde 10 Madde 11 Madde13 Madde 14 Madde 26 Madde 27 N % N % N % N % N % N % N % N % ,6 10 5,4 4 2,1 4 2,1 5 2,7 2 1, , , , , ,3 17 9,1 9 4,8 6 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 18 9, , , , , ,2 T Tabloda kullanılan kısaltmalar: S.K.: Seçilen Kategori, T.: Toplam 2282

9 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik... rek duymamaktadırlar. Kanıta bir durum ile başlanıp bir karar ile bitirildiğini düşünenler ise %31,5 ve nadiren bu düşünce de olanlar %4,8 dir. Katılımcıların %59,9 u kanıt yapmanın tek yolunun tümevarım olduğunu düşünmektedirler. Bunun yanı sıra katılımcıların %44,9 u düşüncelerini arkadaşlarıyla sık sık paylaşmaktadır. Sonuç olarak kanıta yönelik tutum-inanca dair maddelere katılımcıların verdikleri yanıtlar ağırlıklı olarak bazen, sık sık ve her zaman aralığında yığılmaktadır. Tartışma, Sonuç ve Öneriler Çalışmada kullanılan Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği zihinsel süreç, güven, özdeğerlendirme ve tutum-inanç olmak üzere dört faktör içermektedir. Ölçeğin bütün sınıflar bazında genel ortalaması gösteriyor ki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıta yönelik belirttikleri görüşleri olumlu yöndedir. Çalışmanın sonuçları Lee nin (1999) yaptığı çalışma ile tutarlılık göstermektedir. Fakat Moralı ve arkadaşlarının (2006) ilköğretim ve ortaöğretim matematik öğretmeni adayları ile yaptıkları çalışmanın sonuçları ile paralellik göstermemektedir. Çünkü Moralı ve arkadaşları (2006) yaptıkları çalışmada öğretmen adaylarının kanıt yapmaya yönelik istenen düzeyde olmadıklarını ortaya koymuşlardır. Yani bu çalışmaya göre öğretmen adaylarının kanıt yapmaya yönelik görüşlerinin tam olarak oluşmadığı görülmektedir (Moralı ve ark., 2006). Bunun en önemli nedeni ise iki çalışmada kullanılan ölçeklerin farklı faktörler içeriyor olması olabilir. Çalışmadaki ilk faktör olan kanıt yapmaya yönelik zihinsel sürecin genel ortalaması katılımcıların kanıta zihinsel olarak olumlu yaklaştıklarını göstermektedir. Diğer bir ifadeyle katılımcılar kanıta dair zihinsel süreçlerini sık sık kullanmaktadırlar. Bu çalışmanın sonuçları Lee nin (1999) çalışması ile de paralellik göstermektedir. Ayrı ayrı sınıf seviyeleri bazında ortalamalara bakıldığında bütün düzeylerde zihinsel süreçlerin kanıtta sık sık kullanıldığı görülmektedir ve farklı sınıfların ortalamaları birbirine yakın değerlerdedir. Bu da gösteriyor ki bütün sınıf seviyelerinden katılımcılar matematiksel kanıt yapmak için tanım ve teoremlere gereksinim duymaktadırlar. Çünkü katılımcıların yarısından fazlası kanıt yaparken tanımları sık sık kullandıklarını dile getirirken kanıt yaparken kanıt süreçlerini hatırlayıp ilgili teoremleri sık sık kullananlar da katılımcıların yarısıdır. Bunun yanı sıra katılımcıların çoğu kanıt oluştururken önceki bilgilerin önemli olduğunu düşünmektedir. Fakat zihinsel süreçte en düşük ortalamaya dördüncü sınıflar sahipken en yüksek ortalamaya da birinci sınıfların sahip olduğu görülmektedir. Bunun en önemli nedeni ise birinci sınıfların kanıt yapmak için başka bir yol bilmediklerinden dolayı sadece tanım ve teoremlerin kullanılması gerektiğini düşünmeleri olabilir. Bunun yanı sıra ölçekte yer alan faktörlere yönelik olarak hangi sınıflar arasında farklılık olduğunu görmek için yapılan istatistiki test sonucu zihinsel süreç ile sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık olduğu görülmüştür. Test sonuçlarına göre zihinsel süreçte birinci sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında ve yine ikinci sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında anlamlı bir farklılık olduğu görülmektedir. Ölçekte yer alan diğer faktör güvendir. Ölçeği yanıtlandıran katılımcıların genel ortalamasına bakıldığında Lee nin (1999) çalışmasında olduğu gibi kanıt konusunda bazen kendilerine güvendikleri görülmektedir. Çünkü katılımcıların çoğu kanıt yapmanın bazen zor olduğunu belirtmişlerdir. Bunun yanı sıra katılımcılardan çok azı kanıtı her zaman kendi başına yapacağına inanırken yarısı da bazen yapabileceğine inanmaktadır. Farklı sınıf seviyelerinin ortalamaları birbirine çok yakın olmasına rağmen kanıt konusunda güveni en yüksek olanlar dördüncü sınıflar iken kanıt konusunda güveni en düşük olanlar da ikinci sınıflardır. Dördüncü sınıfların diğer sınıf seviyelerine göre güvenlerinin yüksek olmasında lisans düzeyinde aldıkları dersler etkili olmuş olabilir. Ayrıca mezun olmak üzere oldukları için artık kendilerini öğretmen olarak görmeye başlamaları da etkili olmuş olabilir. Fakat yapılan istatistiki test sonucu farklı sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Ölçekteki bir diğer faktör bireylerin kanıt konusunda kendilerini değerlendirmelerine ve yaptıklarına tekrar dönüp bakmalarına yönelik olarak özdeğerlendirmedir. Bütün katılımcıların kanıt konusunda özdeğerlendirme yapma ortalamaları gösteriyor ki katılımcılar kanıt yaparken sık sık kendilerini değerlendiriyor ve yaptıklarını tekrar gözden geçiriyorlar. Bu bulgular Lee nin (1999) yapmış olduğu çalışma ile paralellik göstermektedir. Bu çalışmada öğretmen adaylarının yarısı kanıt yapmakta zorlandıklarında kendilerine zaman tanımaktadırlar. Bunun yanı sıra farklı sınıf seviyelerinden katılımcıların özdeğerlendirme ortalamaları birbirine son derece yakındır. Fakat yapılan istatistiki test sonucu farklı sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Ölçekteki son faktör ise tutum-inançdır. Farklı sınıf seviyelerinden çalışmaya katılan öğretmen 2283

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ adaylarının kanıta dair tutum-inanç konusundaki genel ortalamaları gösteriyor ki ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıt konusundaki tutum ve inançları sık sık olumludur. Sınıfların ortalamalarına bakıldığında bütün sınıf seviyelerinde katılımcıların kanıta yönelik tutum-inançlarının yüksek olduğu görülmektedir. Bunun yanı sıra sınıfların ortalamaları birbirine son derece yakın olmasına rağmen en yüksek ortalamaya birinci sınıflar sahipken en düşük ortalamaya da dördüncü sınıflar sahiptir. Bu sonuçlar yapılan diğer çalışmalar ile tutarlılık göstermektedir. Farklı araştırmacıların yaptıkları çalışmalarda da sınıf seviyesi arttıkça kanıta yönelik tutum-inançta bir düşüş meydana gelmiştir (Harel ve Sowder, 1998; Lee, 1999; Senk, 1985; Üzel ve Özdemir, 2009). Sınıf seviyesi arttıkça kanıta yönelik tutum-inanç boyutundaki düşmenin nedeni ise kanıt ile yeni karşılaşan birinci sınıfların kanıt yapmaya daha istekli olmaları olabilir. Fakat sınıf seviyesi arttıkça öğretmen adayları kapsamlı teoremlerin kanıtları ile karşılaşmaktadırlar. Bu nedenle de kanıt yapmakta zorlanmaktadırlar. Buna bağlı olarak da kanıta yönelik tutum ve inançları düşüş göstermektedir. Fakat yapılan istatistiki test sonucu farklı sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Özetle; ölçekte yer alan faktörlerden sadece zihinsel süreç ile sınıflar arasında anlamlı bir farklılık bulunurken diğer faktörler arasında anlamlı bir farklılık bulunmamaktadır. Bu farklılık ise birinci sınıflar ile dördüncü sınıflar ve ikinci sınıflar ile dördüncü sınıflar arasında anlamlıdır. Çünkü 1 ve 2. sınıfların puanları 3 ve 4. sınıfların puanlarından daha yüksektir. Bunun en önemli nedeni birinci ve ikinci sınıfların alan derslerini henüz almamaları veya yeni almaya başlamaları olabilir. Bir diğer nedeni ise öğretmen adaylarının henüz kanıt yöntemlerini ve teoremleri tam olarak içselleştirememeleri olabilir. Oysaki Almeida nın (2000) üniversite 1, 2, 3 ve 4. sınıflar ile yaptığı çalışmada birinci ve ikinci sınıf öğrencilerinin kanıtı algılamaları arasında anlamlı bir farklılık ortaya çıkarken diğer sınıf seviyeleri arasında anlamlı bir farklılık ortaya çıkmamıştır. Kanıt yapma, ilköğretim ve ortaöğretim matematik programlarında çok sınırlı da olsa yer almaktadır. Kanıtın öğrencilere kazandırdığı beceriler düşünüldüğünde kanıtların her düzeyde yer alması gerekmektedir. Bu nedenle ileride öğretmen olacak öğretmen adaylarının kendilerini bu alanda geliştirerek, matematiksel kanıtlama etkinlikleri geliştirebilecek duruma gelmeleri gerekmektedir. Çünkü öğrenciler, bu tarz etkinliklerle matematiksel bilgilerin ortaya çıkış yollarının farkına vararak, matematiğin tadına varacaklardır. İleride yapılacak araştırmalarda dördüncü sınıfların kanıt yaparken zihinsel süreçlerinin neden düşük olduğu incelenebilir. Bunun yanı sıra dördüncü sınıfların kanıt yapma konusunda zihinsel süreçleri düşük olmasına rağmen güveni en yüksek olanlar da bu sınıftaki öğretmen adaylarıdır. Bunun nedenleri araştırılabilir. Ayrıca araştırmanın sonuçlarına bakıldığında kanıta karşı tutum-inanç birinci sınıflarda yüksek iken dördüncü sınıflarda daha düşüktür. Bunun nedenleri üzerine araştırmalar yapılabilir. Ayrıca sınıf seviyesi arttıkça kanıta yönelik tutum-inanç boyutunda neden bir düşüş meydana geldiği araştırılabilir. 2284

11 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 11(4) Autumn Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. Quantitative Analysis of Pre-service Elementary Mathematics Teachers Opinions about Doing Mathematical Proof * Tuba AYDOĞDU İSKENDEROĞLU a Karadeniz Technical University Adnan BAKİ Karadeniz Technical University Abstract Meaning and importance of proof in mathematics and education increases gradually. Therefore levels of doing proof, proof-related opinions and perceptions of the teachers and pre-service teachers who will train the students in future are of importance. Accordingly, this study aims to determine the proof-related opinions of pre-service elementary mathematics teachers who still study at different grade levels. In line with this purpose, a questionnaire developed under the title Questionnaire for Constructing Mathematical Proof was used to determine the pre-service teachers opinions about proof. The questionnaire comprises 27 items based on 5 point Likert-type. In the study, developmental research method was conducted and the questionnaire was applied to 187 pre-service elementary mathematics teachers from different grade levels. As a result of the study, it was revealed that pre-service teachers have positive views about proof. Also, the study revealed that confidence of pre-service teachers in proving is lower than mental process, self-assessment and belief, and attitude factors. Key Words Proof, Mathematics Education, Pre-service Elementary Mathematics Teacher, Questionnaire for Constructing Mathematical Proof. Proofs constitute the most important part of the essential things making mathematics mathematics (Padula, 2006). Because, it provides the accuracy and inaccuracy of each case in mathematics (Tall & Mejia-Ramos, 2006). Proof also demonstrates not only the accuracy and inaccuracy of a case but also explains the reason why it is accurate (Hanna, * This article is produced by Tuba ISKENDERO- GLU s PhD dissertation (İskenderoğlu, 2010). a PhD. Tuba Aydogdu Iskenderoglu is currently an Assistant Professor at the Department of Elementary Mathematics Education. Her research interests include mathematics education, teacher education and proof. Correspondence: Research Assisstant Tuba AYDOGDU ISKEND- EROGLU, Karadeniz Technical University, Fatih Faculty of Education, Department of Elementary Education, Elementary Mathematics Education, Sogutlu Akcaabat, Trabzon/Turkey. tiskenderoglu@ktu.edu.tr. Phone: ). Besides, proofs enable students to see the mathematical truths on their own by preventing them to rely on their teachers or books (Knuth, 1999, 2002a). Proof thereby plays an important role in developing and changing mathematical thinking of students (Flores, 2002). Doing proof is defined as a mental act performed to eliminate doubts of an individual or a community regarding the accuracy of a claim (Harel, 2008; Harel & Sowder, 1998, 2007). Hence, proof is of high importance to mathematics (Coe & Ruthven, 1994; Martin & Harel, 1989). According to Bell (1976) mathematical proof is a defense, explanation (why) and systematization (how). As for that, proving is completed at three stages. The first stage is confirmation; second one is explanation and the last one is abstraction (Baki, 2008). Teaching and developing proof and reasoning skills for students depend on the teacher (Altıparmak & Öziş, 2005; Riley, 2004). The questions directed (Martino & Maher, 1999) and materials used in the classroom, along with 2285

12 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE teachers influence the proving capacities of students (Stylianides, 2007b). Besides, teachers perceptions about proof, experiences and skills are effective in the process of gaining proving skills by students (Almeida, 2003; Galbraith, 1995; Knuth, 1999, 2002b; Moralı, Uğurel, Türnüklü, & Yeşildere, 2006). Therefore, it is essential for mathematics teachers to consider what it means to them to know mathematics and what they understand from important mathematical ideas (Masingila, 1998). In this process, it is also important which values teachers teach in the mathematics education, as well as which values students learn from their teachers (Bishop, 2001). Because the core source of verifying and proving experiences of students is elementary school teachers and the proving, albeit very limited, is included in the elementary school curriculum (Martin & Harel, 1989). National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000) indicates that educational programs are required to develop proofs and include evaluation. Proving and reasoning criteria are available within the NCTM (2007) standards. In Turkey, elementary mathematics education curriculum involves no acquisition directly in respect with the proof and proving, however involves the development of some skills such as reasoning and associating, and explaining and defending solutions (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2005a, 2005b) Research shows that students at any grade level have great difficulties in understanding, loving and creating mathematical proof (Güven, Çelik, & Karataş, 2005; Harel & Sowder, 1998; Jones, 2000; Martin & Harel, 1989; Moore, 1994). There exist serious challenges in providing proofs at the undergraduate level, although proving is an important activity in mathematics (Almeida, 2000). It is seen that university students (Almeida, 2000; Dreyfus, 1999; Harel & Sowder, 1998; Jones, 2000; Knapp, 2006; Moore, 1994; Recio & Godino, 2001; Senk, 1983, Stylianides, Stylianides, & Philippou, 2005, 2007; Weber, 2001, 2004) and mathematics preservice teachers have difficulty in making proofs (Moralı, Köroğlu, & Çelik, 2004; Weber, 2001). Because, proof and their experiences do not generally make sense to students (Galindo, 1998; Stylianides, 2005, 2007a; Szombathelyi & Szarvas, 1998). As a result, students perception forms regarding proof influence making proof (Moore, 1994; Tatar & Dikici, 2008). It may affect their classroom activities when they become a teacher in future. Because, teachers beliefs and ideas significantly affect their own behaviors (Erickson, 1993). Purpose Although many studies have been conducted on proof abroad, there is a limited number of studies in this field in our country and it is seen that sufficient research has not been conducted on this subject (Özer & Arıkan, 2002). However, the meaning and importance of mathematics and proof in the education thereof is gradually increasing (Aydoğdu İskenderoğlu, 2003; Aydoğdu, Olkun, & Toluk, 2003; Baki, İskenderoğlu, & İskenderoğlu, 2009; İskenderoğlu, 2010; Moralı et al., 2006; Üzel & Özdemir, 2009). Therefore levels of doing proof, proof-related opinions and perceptions of the teachers and pre-service teachers who will train the students are of significance (Dickersen, 2006; Moralı et al., 2006). However it is seen that mathematics pre-service teachers have difficulties in reasoning and doing proof (Moralı et al., 2004). One of such difficulties experienced is that pre-service teachers regard the proof only as an explanation. This indicates that the preservice teachers do not understand the function of the term of proof (Dane, 2008) and they underrate the proofs (Ginsburg & Seo, 1999; Yıldız, 2006). Yet, proofs used by pre-service teachers, their perspectives to the proof and route followed in the process of doing proof will influence the classroom activities to be applied in respect of the proof when they become a teacher in future. Issues such as proofrelated confidences, attitudes and believes, mental processes and self-assessments, together with levels of doing proof, opinions and perceptions about the proof of the teachers and pre-service teachers who will train the students increasingly gain importance in order to avoid the possible problems to occur in the classroom. Accordingly, this study aims to determine the proof-related opinions of pre-service elementary mathematics teachers who still study at different grade levels. Method This research is a developmental research conducted through longitudinal design. Developmental researches have a descriptive feature and inquire questions such as what it was and what happened (Çepni, 2009; Menard, 2008; Miller, 1998) Sample The sample group comprises pre-service elementary mathematics teachers studying at 1 st, 2 nd, 3 rd, and 4 th grades of Karadeniz Technical University. The 2286

13 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / Quantitative Analysis of Pre-service Elementary Mathematics Teachers Opinions... questionnaire prepared to be used in the study was applied to 187 pre-service elementary mathematics teachers. 73 of the said pre-service teachers continued their study at 1 st class, 35 at 2 nd class, 34 at 3 rd class and 45 at 4 th class. Data Collecting Tools In this study, the questionnaire devised by Lee (1999) was utilized to determine opinions of preservice elementary mathematics teachers about presenting proof. At this stage, the questionnaire was initially translated into Turkish and validity and reliability studies were carried out through a pilot study. In the pilot study, the questionnaire was applied to 174 pre-service elementary mathematics teachers. Accordingly, the validity of language, content and structure were ensured within the scope of validation studies of the questionnaire. As a result of structure validation, the questionnaire was separated into 4 factors. These dimensions were arranged as Confidence, Belief and Attitude, Mental Process and Self-Assessment At the end of the reliability studies carried out, the Cronbach s Alpha reliability coefficient of the questionnaire was later calculated as.79. Questionnaire for Constructing Mathematical Proof developed to reveal views of the pre-service teachers about proof composes of total 30 items, 27 of which are based on 5-point Likert-type and three of which are open-ended questions. Data Analysis Likert-type items of Questionnaire for Constructing Mathematical Proof covers five points including always, often, sometimes, rarely and never. Scoring of each Likert-type item was done in the order above as 5, 4, 3, 2, 1. Some items were reversed-scored and analyzed as they consisted of negative opinions. Points of each item were collected and the point average of pre-service teachers was separately determined for all grades according to the each factor included in the questionnaire. In addition, One-Way Analysis of Variance (ANOVA), one of statistical methods, was utilized by means of SPSS to analyze and interpret whether there is a significant difference between different grades. In this study, it was sought to see whether different samples significantly differ for each factor through ANOVA (Balcı, 2005; Büyüköztürk, 2004; Kalaycı, 2005). For this reason, the average of all participants for each factor was found one by one and, analyses and interpretations were made using One-Way Analysis of Variance (ANOVA). Frequency and percentage values of the items contained in each factor were also separately tabled and interpreted. Results Questionnaire for Constructing Mathematical Proof used for this study covers four factors comprising mental process, confidence, self-assessment and belief and attitude. The general average of the questionnaire was founded as 3,59 on the basis of all classes. The foregoing average shows that mathematical proof-related views of the pre-service elementary mathematics teachers are positive. The first factor of the questionnaire is mental process. General average of mental process is 4,02. This average shows that participants frequently utilize their mental processes about proof. The other factor of the questionnaire is confidentiality. The general average of the participants who responded to the questionnaire was found to be 3,04. It indicates that majority of the participants sometimes relies on themselves on the subject of proof. Another factor of the questionnaire is individuals self-assessments about proof and review of what they have done. The average of self-assessment of all participants about proof is 3,70. This average suggests that the participants frequently assess themselves when proving and they re-review what they have done. The last factor in the questionnaire is attitude-belief. By means of this factor, it was sought to reveal the participants attitudes and beliefs. The general average of the participating pre-service teachers from different grade levels is 3,58 for the attitudebelief as regards the proof. The foregoing average shows that proof-related attitudes-beliefs of the pre-service elementary mathematics teachers are positive. As a result of the ANOVA test conducted, it was seen that there was significant difference between grade levels in respect to mental process. According to the test results, it was revealed that there was a significant difference between first-grade preservice teachers and fourth-grade ones at the level of p <.05 in respect with the mental process (.001); and between second-grade pre-service teachers and fourth-grade ones at the level of p <.001 (.009). However, it was seen no significant difference between third and fourth grade levels in respect with mental process. 2287

14 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Discussion, Conclusion and Recommendations Questionnaire for Constructing Mathematical Proof used for this study covers four factors comprising mental process, confidence, self-assessment and belief and attitude. The general average of questionnaire based on all grade-levels shows that mathematical proof-related views of the pre-service elementary mathematics teachers are positive. The results of the study are consistent with the study by Lee (1999). However, the results of the study conducted by Moralı et al. (2006) with the elementary and secondary school mathematics teachers are not parallel with this study. The most important reason thereof may be that the questionnaires used in both studies include different factors. The general average of the first factor and mental process of doing proof show that participants mentally display a positive approach towards proof. In other words, participants often use their mental processes about proof. The results of this study are also parallel with the study conducted by Lee (1999). When the averages are concerned on the basis of separate grade levels, it is seen that mental processes are often used at all levels for proof, and the averages of different grade levels are found to be close to each other. It demonstrates that the participants from different grade levels need definitions and theorems to do mathematical proof. As for the mental process, while the lowest average is scored by fourth grade levels, the highest average was scored by the first grade levels. The main reason thereof may be that the first-grade pre-service teachers know no other way to do proof and consider that it is only required to use definitions and theorems in this regard. Besides, according to the results of the statistical test conducted to reveal which grade levels differs from each other in respect with the factors included in the questionnaire, it is seen that there is a significant difference between first-grade and fourth-grade pre-service teachers and between the second and fourth-grade pre-service teachers. Another factor of the questionnaire is confidentiality. When the general average of participants who responded to the questionnaire is concerned, it is seen that they rely on themselves on the subject of proof as in the study conducted by Lee (1999). Although the averages of different grade-levels are very close to each other, those who have the highest confidence in proof are the pre-service teachers at fourth-grade while those who have the lowest confidence are the pre-service teachers at secondgrade. The reason why the fourth-grade pre-service teachers have higher confidence than those at other grade-levels is may be the courses received at the level of undergraduate. As a result of the statistical test conducted, there is no significant difference between grade levels. Another factor of the questionnaire is individuals self-assessments about proof and review of what they have done. The average of participants self-assessment on proving suggests that the participants frequently assess themselves when proving and they re-review what they have done. These results are parallel with study performed by Lee (1999). Self-assessment averages of participants at different grade-levels are highly close to each other. As a result of the statistical test conducted, there is no significant difference between grade levels. The last factor in the questionnaire is attitude-belief. General average of the participating pre-service teachers from different grade levels in respect with the attitude-belief towards the proof shows that proof-related attitudes-beliefs of the pre-service elementary mathematics teachers are positive. When the averages of the grade-levels are concerned, it is seen that participants of all grade-levels attitudes and beliefs towards are high. Besides, although the averages of grade-levels are highly close to each other, those who have the highest average are the pre-service teachers at first-grade while those who have the lowest average are the pre-service teachers at fourth-grade. These results are consistent with the other studies performed (Harel & Sowder, 1998; Lee, 1999; Senk, 1985; Üzel & Özdemir, 2009). As the grade-level increases, the reason of the decrease in the attitude-belief towards proof may be that the first-grade pre-service teachers who recently learn proof are eager to do proof. As a result of the statistical test conducted, no significant difference was found between different grade levels. Doing proof is included, albeit very limitedly, in the elementary and secondary school mathematics programs. When the skills provided to the students through proof are taken into consideration, it is necessary to include proof at any level. Therefore, the prospective pre-service teachers should be able to develop mathematical proving activities by training themselves in this field. Because, students will realize the emerging ways of the mathematical information through such kinds of activities and enjoy the mathematics. The reason why the metal processes of fourth-grade pre-service teachers are low while doing proof may be researched in the future studies. Though the mental processes of those at fourth grade are low in respect of doing proof, those who have the highest confidence are the pre-service teachers at this grade. Causes thereof can be researched. 2288

15 AYDOĞDU İSKENDEROĞLU, BAKİ / Quantitative Analysis of Pre-service Elementary Mathematics Teachers Opinions... References/Kaynakça Almeida, D. (2000). A survey of mathematics undergraduates interaction with proof: Some implications for mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31 (6), Almeida, D. (2003). Engendering proof attitudes: Can the genesis of mathematical knowledge teach us anything? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34 (4), Altıparmak, K. ve Öziş, T. (2005). Matematiksel ispat ve matematiksel muhakemenin gelişimi üzerine bir inceleme. Ege Eğitim Dergisi, 6 (21), Aydoğdu, T., Olkun, S. ve Toluk, Z. (2003). İlköğretim 6, 7 ve 8. sınıf öğrencilerinin matematik problemlerine ürettikleri çözümleri kanıtlama süreçleri. Eğitim Araştırmaları, 4 (12), Aydoğdu İskenderoğlu, T. (2003). Farklı sınıf düzeylerindeki öğrencilerin matematik problemlerini kanıtlama süreçleri. Yayımlanmamış yüksek lisans tezi, Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Bolu, Türkiye. Baki, A. (2008). Kuramdan uygulamaya matematik eğitimi. Ankara: Harf Eğitim Yayıncılığı. Baki, A., İskenderoğlu, T., & İskenderoğlu, M. (2009, June). Classroom teacher candidates justifications for their solutions to function problems in mathematics. Paper presented at the 2009 College Teaching and Learning Conference, Prague, Czech Republic. Balcı, A. (2005). Sosyal bilimlerde araştırma: Yöntem, teknik ve ilkeler. Ankara: Pegem Yayıncılık. Bell, A. W. (1976). A study of pupils proof-explanations in mathematical situations. Educational Studies in Mathematics, 7, Bishop, A. J. (2001). What values do you teach when you teach mathematics? Teaching Children Mathematics, January, Büyüköztürk, Ş. (2004). Sosyal bilimler için veri analizi el kitabı. Ankara: Pegema Yayıncılık. Coe, R., & Ruthven, K. (1994). Proof practices and constructs of advanced mathematics students. British Educational Research Journal, 20 (1), Çepni, S. (2009). Araştırma ve proje çalışmalarına giriş. Trabzon: Yazar. Dane, A. (2008). İlköğretim matematik 3. sınıf öğrencilerinin tanım, aksiyom ve teorem kavramlarını anlama düzeyleri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 16 (2), Dickersen, D. (2006, November). Aspects of preservice teachers understandings of the purpose of mathematical proof. Paper presented at the Psychology of Mathematics and Education of North America, 2006 Annual Meeting, USA. Dreyfus, T. (1999). Why Johnny can t prove? Educational Studies in Mathematics, 38 (1), Erickson, D. K. (1993). Middle school mathematics teachers views of mathematics and mathematics education. Paper presented at the Annual Meeting of American Educational Research Association, Atlanta. Flores, A. (2002). How do children know that what they learn in mathematics is true? Teaching Children Mathematics, 8 (5), Galbraith, P. (1995). Mathematics as reasoning. The Mathematics Teacher, 88 (5), Galindo, E. (1998). Assessing justification and proof in geometry classes taught using dynamic software. The Mathematics Teacher, 91 (1), Ginsburg, H. P., & Seo, K. H. (1999). Mathematics in children s thinking. Mathematical Thinking and Learning, 1 (2), Güven, B., Çelik, D. ve Karataş, İ. (2005). Ortaöğretimdeki çocukların matematiksel ispat yapabilme durumlarının incelenmesi. Çağdaş, Eğitim, 316, Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational Studies in Mathematics, 44, Harel, G. (2008). DNR perspective on mathematics curriculum and instruction, Part I: Focus on proving. ZDM Mathematics Education, 40, Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students proof schemes: Results from exploratory studies. In A. Schoenfeld, J. Kaput & E. Dubinsky (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education III (pp ). Providence, RI: American Mathematical Society. Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward a comprehensive perspective of proof. In F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathemetics Teaching and Learning (Vol. 2, pp ). United States of America: National Council of Teachers of Mathematics. İskenderoğlu, T. (2010). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıtlamayla ilgili görüşleri ve kullandıkları kanıt şemaları. Yayımlanmamış doktora tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon, Türkiye. Jones, K. (2000). The student experience of mathematical proof at university level. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31 (1), Kalaycı, Ş. (2005). SPSS uygulamalı çok değişkenli istatistik teknikleri. Ankara: Asil Yayın Dağıtım Ltd. Şti. Knapp, J. L. (2006). Students appropriation of proving practices in advanced calculus. Unpublished doctoral dissertation, Arizona State University, USA: Knuth, E. J. (1999). The nature of secondary school mathematics teachers conceptions of proof. Unpublished doctoral dissertation, Faculty of the Graduate School of the University of Colorado, USA. Knuth, E. J. (2002a). Proof as a tool for learning mathematics. Mathematics Teacher, 95 (7), Knuth, E. J. (2002b). Teachers conceptions of proof in the context of secondary school mathematics. Journal of Mathematics Teacher Education, 5, Lee, W. I. (1999). The relationship between students proof writing ability and Van Hiele Levels of geometric thought in a college geometric course. Unpublished doctoral dissertation, University of Northern Colorado, Greeley, Colorado, USA. Martin, G., & Harel, G. (1989). Proof frames of preservice elementary teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 20 (1), Martino, A. M., & Maher, C. A. (1999). Teacher questioning to promote justification and generalization in mathematics: What research practice has taught us. Journal of Mathematical Behavior, 18 (1),

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Masingila, J. O. (1998). Thinking deeply about knowing mathematics. The Mathematics Teacher, 91 (7), Menard, S. (2008). Handbook of longitudinal research: Design, measurement and analysis (1st ed.). London: Academic Press. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2005a). İlköğretim matematik dersi 1 5. sınıflar öğretim programı. adresinden 22 Kasım 2005 tarihinde edinilmiştir. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB) (2005b). İlköğretim matematik dersi 6 8. sınıflar öğretim program. adresinden 22 Kasım 2005 tarihinde edinilmiştir. Miller, S. A. (1998). Developmental research methods (2nd ed.). New Jersey: Simon and Schuster/A Viacom Company. Moore, R. C. (1994). Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics, 27, Moralı, S., Köroğlu, H. ve Çelik, A. (2004). Buca Eğitim Fakültesi matematik öğretmen adaylarının soyut matematik dersine yönelik tutumları ve rastlanan kavram yanılgıları. Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, 24 (1), Moralı, S., Uğurel, I, Türnüklü, E. ve Yeşildere, S. (2006). Matematik öğretmen adaylarının ispat yapmaya yönelik görüşleri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 14 (1), National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, Virginia: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2007). Reasoning and proof standard for grades 3-5. Retrieved June 07, 2007 from reas.htm. Özer, Ö. ve Arıkan, A. (2002). Lise matematik derslerinde öğrencilerin kanıt yapabilme düzeyleri. V. Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiriler Kitabı. edu.tr/ufbmek-5/ adresinden 18 Temmuz 2005 tarihinde edinilmiştir. Padula, J. (2006). The wording of a proof: Hardys second elegant proof. Australian Mathematics Teacher, 62 (2), Recio, A. M., & Godino, J. D. (2001). Institutional and personal meanings of mathematical proof. Educational Studies in Mathematics, 48 (1), Riley, K. J. (2004). Prospective secondary mathematics teachers conceptions of proof and its logical underpinnings. In Psychology of Mathematics and Education of North America, 2004 Annual Meeting (pp. 1-7). Toronto, Canada. Senk, S. L. (1983). Proof-writing achievement and van hiele levels among secondary school geometry students. Unpublished doctoral dissertation, The University of Chicago, Department of Education, Chicago-Illinois, USA. Senk, S. (1985). How well do students write geometry proofs?. Mathematics Teacher, 78, Stylianides, A. J. (2005). Proof and proving in school mathematics instruction: Making the elementary grades part of the equation. Unpublished doctoral dissertation, The University of Michigan, USA. Stylianides, A. J. (2007a). Introducing young children to the role of assumptions in proving. Mathematical Thinking and Learning, 9 (4), Stylianides, G. J., Stylianides, A. J., & Philippou, G. N. (2005). Prospective teachers understanding of proof: What if the truth set of an open sentence is broader than that covered by the proof? In H. L. Chick, & J. L. Vincent (Eds.), Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Melbourne, PME 4. Stylianides, G. J., Stylianides, A. J., & Philippou, G. N. (2007). Preservice teachers knowledge of proof by mathematical induction. Journal of Mathematics Teacher Education, 10, Stylianides, G. J. (2007b). Investigating the guidance offered to teachers in curriculum materials: the case of proof in mathematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 6, Szombathelyi, A., & Szarvas, T. (1998). Ideas for developing students reasoning: A Hungarian perspective. The Mathematics Teacher, 91 (8), Tatar, E. ve Dikici, R. (2008). Matematik eğitiminde öğrenme güçlükleri. Mustafa Kemal Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi, 5 (9), Tall, D., & Mejia-Ramos, J. P. (2006, November). The long-term cognitive development of different types of reasoning and proof. Paper presented at the Conference on Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives, Universitat Duisburg-Essen. Üzel, D., & Özdemir, E. (2009). Elementary mathematics teachers candidates attitudes towards proof and proving. e-journal of New World Sciences Academy, 4 (4), Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs: The need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48, Weber, K. (2004). A framework for describing the process that undergraduates use to construct proofs. In M. J. Hoines & A. B. Fuglestad (Eds.), International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Bergen, Norway. 2290